Lecture Notes of General Relativity by Liu Liao

Lecture Notes of General Relativity 2nd Edition by Liao Liu

本文档除了包括推导, 疑惑 外,做 读书重点 的记录

Ch.2 黎曼空间的张量运算
P. 50 (2.3.18)

考虑推导的第一步


 * $$\begin{align}

\partial_{\nu} g =\frac{\partial g}{\partial g_{\mu\lambda}}\frac{\partial g_{\mu\lambda}}{\partial x^\nu} \end{align}$$

我们把行列式写成度规的所有分量的函数,所以对坐标求导可以看成对度规所有分量的隐函数的求导.对于一个给定的度规分量,行列式可以看成是该度规分量和它的代数余子式的乘积与同行的度规分量和相应代数余子式成绩的和的形式(换言之,度规分量和代数余子式成绩的和,两个指标只有一个指标求和,如下式)


 * $$\begin{align}

g=\sum_\nu A^{\mu\nu}g_{\mu\nu} \end{align}$$

注意到除了该度规分量,求和中的其他项不再是该度规分量的函数,该度规分量的代数余子式也不是该度规分量的函数,(考虑对另一个指标求和后得到维度乘以行列式)故得到


 * $$\begin{align}

\frac{\partial g}{\partial g_{\mu\lambda}}=gg^{\mu\lambda} \end{align}$$

从而得到书中的结果,即


 * $$\begin{align}

\frac{\partial_{\nu} g}{g} ={g^{\mu\lambda}}\frac{\partial g_{\mu\lambda}}{\partial x^\nu} \end{align}$$

注意到上式并不意味着,交换度规的上下指标也成立


 * $$\begin{align}

\frac{\partial_{\nu} g}{g} \ne{g_{\mu\lambda}}\frac{\partial g^{\mu\lambda}}{\partial x^\nu} \end{align}$$

这是因为度规的行列式的值并不等于它的逆阵的行列式的值.


 * $$\begin{align}

g\equiv|g_{\mu\nu}|\ne |g^{\mu\nu}| \end{align}$$