Research Paper Notes on the Boltzmann Equation and its Hydrodynamic Limit

Research Paper Notes on Boltzmann Equation and Gradient Expansion

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参考文献

 * On the Kinetic Theory of Rarefied Gases, Commun. Pure App. Math.2 (1949) 331-407, by Harold Grad
 * Transient Relativistic Thermodynamics and Kinetic Theory, Ann. Phys. 118 (1979) 341-372, W. Isreal and J. M. Stewart
 * Boltzmann Equation and Moment Equations in Curvilinear Coordinates, Fluid Dyn 2 (1967) 107–109, by E. M. Shakhov


 * Origin of the Relaxation Time in Dissipative Fluid Dynamics, arXiv:1102.4780, by Gabriel S. Denicol, Jorge Noronha, Harri Niemi, Dirk H. Rischke
 * Derivation of transient relativistic fluid dynamics from the Boltzmann equation, arXiv:1202.4551, by Gabriel S. Denicol, H. Niemi, E. Molnar, D.H. Rischke
 * A new exact solution of the relativistic Boltzmann equation and its hydrodynamic limit, arXiv:1408.5646, by Gabriel S. Denicol, Ulrich Heinz, Mauricio Martinez, Jorge Noronha, and Michael Strickland
 * Studying the validity of relativistic hydrodynamics with a new exact solution of the Boltzmann equation, arXiv:1408.7048, by Gabriel Denicol, Ulrich Heinz, Mauricio Martinez, Jorge Noronha, Michael Strickland
 * Divergence of the Chapman-Enskog expansion in relativistic kinetic theory, arXiv:1608.07869, by Gabriel Denicol, Jorge Noronha
 * Hydrodynamics beyond the Gradient Expansion: Resurgence and Resummation, arXiv:1503.07514, by Michal P. Heller and Michal Spalinski
 * The anisotropic non-equilibrium hydrodynamic attractor, arXiv:1709.06644, by Michael Strickland, Jorge Noronha and Gabriel S. Denicol
 * Analytical attractor and the divergence of the slow-roll expansion in relativistic hydrodynamics, arXiv:1711.01657, by Gabriel S. Denicol and Jorge Noronha

On the Kinetic Theory of Rarefied Gases, Commun. Pure App. Math.2 (1949) 331-407, by Harold Grad
这是第一篇将玻尔兹曼方程按张量展开(14动量基展开),从而得到对应的流体力学方程的工作.

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Transient Relativistic Thermodynamics and Kinetic Theory, Ann. Phys. 118 (1979) 341-372, W. Isreal and J. M. Stewart
本文即著名的连接粘滞流体的Müller-Israel-Stewart模型. 基于一阶粘滞流体理论的因果性问题,这个工作有两个出发点. 第一是非平衡态下推广的热力学,它是基于熵流应该包含两阶项以引入延迟效应避免因果困难的现象学论述. 第二是利用moments展开由输运模型对流体力学方程的推导,它是基于这个展开可以导致双曲线型的偏微分方程避免因果性困难的数学角度论述. Israel正是广义相对论中曲面Israel条件的作者,本文不易读懂.

(1.1-1.3)

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Boltzmann Equation and Moment Equations in Curvilinear Coordinates, Fluid Dyn 2 (1967) 107–109, by E. M. Shakhov
(1.9)

这是玻尔兹曼方程在曲线坐标系中的一般形式,在很多书籍和文献中都有直接应用.本地下载链接

这个推导中最重要的一点是,当以坐标变换的方式把动量分量也表达为曲线坐标系的形式,玻尔兹曼方程会牵涉到对曲线坐标系中动量分量的偏导,尽管最初的玻尔兹曼方程(1.1)不含外力,对动量的偏导无关.

这是因为在曲线坐标系中的动量分量不仅仅是在笛卡尔坐标系中动量分量的函数,还是曲线坐标系中坐标分量的函数.即由(1.4),
 * $$q_i=q_i(x,y,z)$$
 * $$\xi_i=\xi_i(x,y,z,\xi_x,\xi_y,\xi_z)$$

反之亦然,即
 * $$\xi_x=\xi_x(q_1,q_2,q_3,\xi_1,\xi_2,\xi_3)$$

这样原来的对坐标的偏导不再具有之前的形式.具体的
 * $$\left.\frac{\partial f}{\partial q_i}\right|_{q_{j\ne i},\xi_1,\xi_2,\xi_3}\ne \left.\frac{\partial f}{\partial q_i}\right|_{q_{j\ne i},\xi_x,\xi_y,\xi_z}$$.

所以方程右边的新增的项就是为了补偿这个区别,而把$$\xi_x$$等三个变量看做中间变量来得到需要的偏导
 * $$\left.\frac{\partial f}{\partial q_i}\right|_{q_{j\ne i},\xi_1,\xi_2,\xi_3}=\left.\frac{\partial f}{\partial q_i}\right|_{q_{j\ne i},\xi_x,\xi_y,\xi_z}+\left.\frac{\partial f}{\partial \xi_x}\right|_{q_1,q_2,q_3,\xi_y,\xi_z}\left.\frac{\partial \xi_x}{\partial q_i}\right|_{q_{j\ne i},\xi_1,\xi_2,\xi_3}+\cdots$$

这个结果实际上并不是直观的,很容易搞错.注意到经典力学中的广义坐标和动量的变换牵涉到完全类似的问题.

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Origin of the Relaxation Time in Dissipative Fluid Dynamics, arXiv:1102.4780, by Gabriel S. Denicol, Jorge Noronha, Harri Niemi, Dirk H. Rischke
本文以线性响应理论为出发点,讨论粘滞流体力学中弛豫时间的来源,指出弛豫时间其实来自于对应的格林函数在动量空间复平面上的奇点的位置和它与原点的距离.虽然其数学推导的形式并不直接关系,字面上,这和粒子物理中的共振态粒子的寿命与动量空间格林函数的虚部有些类似.

这个工作的出发点其实很简单,就是线性理论和假设理论中涉及到的延时格林函数有最简单形式的奇点.但是讨论很有意思,涉及到Kundsen数展开,耗散流方程,空间导数展开等流体力学中的重要概念.

(10) 按文章的讨论,对力的导数和体系的宏观尺度,即体系的大小有关.而对格林函数的导数和微观尺度,即平均自由程有关.所以这个表达式可以视为用Knudsen数来展开和评判各项的大小.

(14) 这个洛朗展开,最低阶为假设的发散,加上其余高阶,各阶的系数之间有导数关系.

(15) 比较之前的方程(10),这个结果说明,流体力学中的具有弛豫时间的耗散流方程其实可以视为由延时函数的奇点的导致的.

(62-63) 对于弱相互作用偏离平衡不远的,满足可线性化的Boltzmann方程的体系,剪切粘滞系数满足(62-63),这可以视为一般线性理论方程(2)的一种特殊情况而已.

(72) 此即,延时格林的函数的奇点来自矩阵的逆阵的奇点,矩阵逆阵的极点来自矩阵行列式的奇点.

(89) 这是另外一个与AdS/CFT有关的体系,耗散流满足的方程.

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Derivation of transient relativistic fluid dynamics from the Boltzmann equation, arXiv:1202.4551, by Gabriel S. Denicol, H. Niemi, E. Molnar, D.H. Rischke
本文为Gabriel经典之作,必须学习,理解,融通,超越.

(3)波色子对应$$(1+f_k)$$因子的来源.

甚至于文中引文中教科书都没有给出证明.因为对费米子$$(1-f_k)$$因子直接来源于泡利不相容原理.对玻色子同样的推演则无法实现.在网上搜索苦久.终于找到了一个推导.其实考虑在体系达到动态平衡的情况下,分布函数$$f_k$$对时间全微分为零,换言之,方程右边碰撞项的贡献等于零,被积函数为零意味着
 * $$\begin{align}

f_pf_k(1\pm f_{p'})(1\pm f_{k'})-f_{p'}f_{k'}(1\pm f_p)(1\pm f_k)=0 \end{align}$$ 换言之
 * $$\begin{align}

\frac{f_p}{(1\pm f_p)}\frac{f_k}{(1\pm f_k)}=\frac{f_{p'}}{(1\pm f_{p'})}\frac{f_{k'}}{(1\pm f_{k'})} \end{align}$$ 两边取对数后,是和守恒的形式.按Landau统计力学的思路,每一项对应两体碰撞过程的守恒量的函数,即
 * $$\begin{align}

\ln\frac{f_p}{(1\pm f_p)}=-\beta{(\epsilon_p-\mu)} \end{align}$$ 而对应的$$f_p$$分布函数必然对应费米狄拉克或者波色爱因斯坦统计.
 * $$\begin{align}

{f_p}=\frac{1}{exp(-\beta{\epsilon_p-\mu})\pm 1} \end{align}$$ 从而反过来解释了玻色子的$$(1+f_k)$$来源.

(10) 流体力学部分的定义

重要的定义,需要一一验证.自由度数目,对称的4X4能动张量,10=4+1+5

(11) 因为积分元必须是洛伦兹标量,所以在质壳上的积分导致分母上有$$k^0$$因子.又见(3)下面第二行对应表达式.故而从量纲上,可以理解$$\langle E_k\rangle_0=n$$.它的洛伦兹变换方式对应一个四矢量的零分量.

同理,能动张量的零分量,在随动系中除掉$$k^0$$因子后对应于$$\langle E_k^2\rangle_0=nm$$.它的洛伦兹变换方式对应一个两阶张量的零零分量.又参见比如A First Course in General Relativity by Bernard Schutz的(4.12)附近的讨论.

(13) 这里的$$\tilde{f}$$的定义在(3)下面.虽然不清楚为什么要这样定义,但是$$\phi$$还是承载了对平衡态偏离的信息,且刨去了$$f\tilde{f}$$因子.

(17) 这里对$$k^\mu$$的展开,由于(7),包括对速度平行部分$$E_k$$和垂直部分$$k^{<\mu>}$$的展开.这里先按后者展开,而展开系数为前者的函数.

对$$k^{<\mu>}$$采用的基,对应洛伦兹群不可约表示的,满足正交归一关系(16)的基(14)来展开.

(21) 为了满足归一条件(20),这里归一条件中又反过来和$$k$$有关.

(26) 这是本文对分布函数展开的一般表达式.注意到因为展开系数其实是$$\rho$$,要求解的其实是$$\rho$$对时间的依赖关系,比如(29-31).而他们是与宏观物理量直接有关的,见(41).

(42-43) 这里展开是关于两个小量进行的.第一个是关于Knudsen数,是指微观线度(平均自由程)远小于宏观线度(压强发现明显变化的尺度).第二个在文中被称为Reynolds数的倒数,是说系统偏离平衡态不远,即粘滞项远小于能量密度和压强.

(51-52) 这里由对矩阵对角化并且保留最小本征值的迟豫方程,对于其他本征值直接用渐进值代入.这个近似和之前他们的文章arXiv:1102.4780相关,其实,这里的一些表明上相对复杂的计算的物理实质在文章arXiv:1102.4780给出了更加清晰的分析.

(68) 这里在形式上把碰撞项(通过矩阵本征值)和粘滞系数联系起来了.

(69-70) 这里考虑固定散射截面的特殊情况,具体计算碰撞项相关的(45-46)中涉及的积分.

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A new exact solution of the relativistic Boltzmann equation and its hydrodynamic limit, arXiv:1408.5646, by Gabriel S. Denicol, Ulrich Heinz, Mauricio Martinez, Jorge Noronha, and Michael Strickland
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== Studying the validity of relativistic hydrodynamics with a new exact solution of the Boltzmann equation, arXiv:1408.7048, by Gabriel Denicol, Ulrich Heinz, Mauricio Martinez, Jorge Noronha, Michael Strickland ==

这两篇文章讨论了把流体力学满足Gubser(共形)对称性的流体力学方程的解析解推广到Boltzmann方程的解.

由于这个解满足Bjorken对称性且包含对称的横向流,同时因为这个解是解析的,所以对于Boltzmann方程和很多流体力学方程的数值模型有引导作用.

(5) Gubser解涉及到两个坐标系之间的映射关系.在一个坐标系中对称性的表现很直观,而在另一个平直空间的坐标系对应物理问题的实际坐标空间.

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Divergence of the Chapman-Enskog expansion in relativistic kinetic theory, arXiv:1608.07869, by Gabriel Denicol, Jorge Noronha
这篇文章讨论了和已知存在的满足Bjorken不变性的解析解的玻尔兹曼方程按Knudsen数展开求解出现发散,并且提出了一个收敛的展开方法.

(4-5) 其中(5)即含迟豫时间的Boltzmann方程,而(4)可看成(5)中平衡态中温度满足的方程.

Fig.2 这里给出的结论是流体力学对应Knudsen数很小的情况(微观尺度平均自由程远小于宏观尺度体系线度),而体系演化初期和末期的自由流束对应Knudsen数很大的情况(微观尺度平均自由程大于宏观尺度体系线度).

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Hydrodynamics beyond the Gradient Expansion: Resurgence and Resummation, arXiv:1503.07514, by Michal P. Heller and Michal Spalinski
本文讨论并论证了流体力学方程解其实是动力学系统的吸引子,而非流体力学模式,对应了准正规模,这使得和AdS/CFT的物理内容具体的联系起来了.

文章首先通过在已经流体力学稳态解附近展开和数值方法,直观的说明了上述观点的可能性.

接着通过一些更复杂的数学工具来讨论.因为Borel求和在其涉及的拉普拉斯变换的积分路径中一般存在奇性,导致结果并不唯一.由于积分路径不同导致的奇点的贡献一般需要进行物理解释,故作者进而通过Transseries展开的办法更为深入的讨论了上述问题.

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The anisotropic non-equilibrium hydrodynamic attractor, arXiv:1709.06644, by Michael Strickland, Jorge Noronha and Gabriel S. Denicol
这个工作是讨论了Boltzmann方程对应的各向异性流体力学aHydro以及粘滞流体力学的吸引子解.可视为是arXiv:1503.07514的更多的例子和数值验证.

首先,这个工作是从弛豫时间近似的Boltzmann方程出发,推导出对应的aHydro方程,然后和已经的流体力学方程的解比较MIS,DNMR,NS.比较对象还包括原Boltzmann方程的严格解,但是他的差别和aHydro的在慢滚近似下的解差别很小.最后的结果包括两个方面,第一是数值上展示了aHydro和DNMR模型的确存在吸引子解;第二是比较各模型的吸引子解和严格解的差别.

(4-5)是从Boltzmann方程出发推导出相应的粘滞流体力学方程.这里的解考虑了Bjorken和弓星对称性.

(15)是从Boltzmann方程出发推导出相应的aHydro的运动方程.值得指出,粘滞流体力学模型MIS或者DNMR其实就是各向异性的,所以(20)就是把两者统一以$$\Pi$$为自变量进行比较.由于(16)和(17),文中指出,这个方程实际上牵涉到无限阶的倒雷诺数展开.

(32-33)对MIS和DNMR模型,通过换元(27-29),两个运动方程只有一个与模型有关.通过进一步的变量变换最终得到了运动方程.在慢滚近似下,吸引子解可以解析的得到.慢滚近似相当于假设解对时间参数的导数足够小,所以解可以按其对时间参数的导数展开,并引入$$\delta$$作为展开参数.最低阶的展开相当于说在方程中忽略解对时间参数的导数,由于方程本身依赖于时间,所以这样得到的吸引子解仍然是时间参数的函数.数值结果说明,这个近似非常精确.

(39)接着讨论了aHydro的吸引子解,这在慢滚近似下没有简单的解析解.

(41)这是Boltzmann方程的严格解.

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Analytical attractor and the divergence of the slow-roll expansion in relativistic hydrodynamics, arXiv:1711.01657, by Gabriel S. Denicol and Jorge Noronha
这篇文章可以看做这两个作者之前文章arXiv:1608.07869 [nucl-th]在PRL不中后的加强版续作.

文章的主要内容是继续使用他们提出的和trans-series相关的展开办法得到的解和attrator解析解相比较,证明其实他们的解是唯一不发散的解.

另外,继承Jorge文章的一般风格,这篇文章清楚的讨论了得到attractor解得几种做法.比如大时间数值时的渐进解;初始时刻边界条件数值解;慢滚展开解等.清晰的说明了这些数值或者解析解法的具体过程.

本文中有些不清楚的地方.流体力学的因为和牛顿第二定律等价所以对应对时间的两阶方程.这样的方程对某一平衡态(吸引子)的微扰方程仍然是两阶的,所以趋向吸引子模式是准正规模是可以理解的.但是相关文章中通过变量变换,把方程写为两个一阶方程,其中一个退偶,导致趋向吸引子的方程为一阶,故准正规模的频率为纯虚.作为比较,简谐振动方程可以写为速度和坐标的一阶方程,但是两个方程始终互相耦合,微扰的运动方程仍然为两阶,可能出现准正模式.作者提出的新的展开方法,得到的是解存在初值和解本身的偏差,但是不清楚为什么相对误差却有准正模式的形式.

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