Research Paper Notes on Spectroscopy and Signal-to-Noise Ratio

Research Paper Notes on Spectroscopy and Signal-to-Noise Ratio

本文档除了包括推导, 疑惑 外,做 读书重点 的记录 $$ $$

文献列表
Binary Mergers


 * Measuring gravitational waves from binary black hole coalescences. I. Signal to noise for inspiral, merger, and ringdown, arXiv:gr-qc/9701039, by Eanna E. Flanagan and Scott A. Hughes
 * Gravitational-wave spectroscopy of massive black holes with the space interferometer LISA, arXiv:gr-qc/0512160, by Emanuele Berti, Vitor Cardoso, and Clifford M. Will
 * Inspiral, merger and ring-down of equal-mass black-hole binaries, arXiv:gr-qc/0610122v2, by Alessandra Buonanno, Gregory B. Cook, and Frans Pretorius
 * Black Hole Spectroscopy: Systematic Errors and Ringdown Energy Estimates, arXiv:1710.02156v1, by Vishal Baibhav, Emanuele Berti, Vitor Cardoso, and Gaurav Khanna
 * Black hole ringdown: the importance of overtones, arXiv:1903.08284v2, by Matthew Giesler, Maximiliano Isi, Mark A. Scheel, and Saul A. Teukolsky


 * Space missions to detect the cosmic gravitational-wave background, arXiv:gr-qc/0103075v2, by Neil J. Cornish, Shane L. Larson
 * Algebraic approach to time-delay data analysis for LISA, arXiv:gr-qc/0112059v2, by S. V. Dhurandhar, K. Rajesh Nayak and J-Y. Vinet
 * Forward Modeling of Space-borne Gravitational Wave Detectors, arXiv:gr-qc/0311069v1, by Louis J. Rubbo, Neil J. Cornish, and Olivier Poujade


 * Probing non-tensorial polarizations of stochastic gravitational-wave backgrounds with ground-based laser interferometers, arXiv:0903.0528v3, by Atsushi Nishizawa et al
 * Detection methods for stochastic gravitational-wave backgrounds: a unified treatment, arXiv:1608.06889v2, by Joseph D. Romano and Neil J. Cornish
 * Gravitational-Wave Observations as a Tool for Testing Relativistic Gravity, PRL30 (1973) 884 & PRD8 (1973) 3308, by Douglas M. Eardley et al

Stochastic Gravitational-Wave Background


 * The stochastic gravity-wave background: sources and detection, arXiv:gr-qc/9604033v3, by Bruce Allen
 * Detection methods for stochastic gravitational-wave backgrounds: a unified treatment, arXiv:1608.06889v2, by Joseph D. Romano, Neil J. Cornish
 * Stochastic Gravitational Wave Backgrounds, arXiv:1811.08797v1, by Nelson Christensen

Measuring gravitational waves from binary black hole coalescences. I. Signal to noise for inspiral, merger, and ringdown, arXiv:gr-qc/9701039, by Eanna E. Flanagan and Scott A. Hughes
本文是后续Cardoso文章的基础.

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Gravitational-wave spectroscopy of massive black holes with the space interferometer LISA, arXiv:gr-qc/0512160, by Emanuele Berti, Vitor Cardoso, and Clifford M. Will
这篇文章讨论了QNM频率振幅和对应的SNR探测器信噪比的相关计算.

因为黑洞QNM的不同模式的强度和相位其实取决于初始条件,所以这里的做法是在合理的区间内取平均.

(2.2)

引力扰动至少是从四极距$$l=2$$开始的.

(2.3-6)

对Kerr黑洞的度规扰动,这里(2.3)是数学上严格形式是(2.3),径向部分是Teukolsky函数,它在角度部分的基spheroidal函数上展开的,而时间依赖部分中涉及的频率是实数.

但是作为一种近似我们用指数衰减的QNM来取代径向和时间部分的因子,这就是(2.6).同时spheroidal函数的自变量取为与QNM频率有关的值.

(3.1ab)

注意到等式右边分别取了实部和虚部,容易按(3.1ab)下面的定义建立与(2.9)之间的联系.

(3.4)

这就是计算SNR的基本公式,本文后面就是对其进一步化简和近似.这里$$h$$由被探测到的波形(3.2),进而由(3.1ab)与(3.3ab)得到,而$$S_h(f)$$由探测器决定.

(3.5)

这个结果被用来计算波形的傅里叶变换.注意到$$F_+, F_\times$$部分是不含时的,所以傅里叶变换只需要对$$h_+, h_\times$$展开.

注意这个积分因为指数上的$$|t|$$是绝对值,所以结果不是零,也不能用留数定理.被积函数虚部的积分正好抵消,故等于零,所以积分结果是实数.后者等于被积函数从零到正无穷大的积分结果的实部的两倍.

(3.19)

因为我们不知道不同的准正则模式的振幅与幅角,所以也不知道引力波能量占黑洞质量的比例(3.15).换言之,对于固定$$l,m,n$$的准正模式,这三个量之间满足一个关系,这就是(3.19).

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Inspiral, merger and ring-down of equal-mass black-hole binaries, arXiv:gr-qc/0610122v2, by Alessandra Buonanno, Gregory B. Cook, and Frans Pretorius
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Black Hole Spectroscopy: Systematic Errors and Ringdown Energy Estimates, arXiv:1710.02156v1, by Vishal Baibhav, Emanuele Berti, Vitor Cardoso, and Gaurav Khanna
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Black hole ringdown: the importance of overtones, arXiv:1903.08284v2, by Matthew Giesler, Maximiliano Isi, Mark A. Scheel, and Saul A. Teukolsky
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Space missions to detect the cosmic gravitational-wave background, arXiv:gr-qc/0103075v2, by Neil J. Cornish, Shane L. Larson
(8-9)

这是探测器响应函数的计算的出发点,与arXiv:gr-qc/0112059v2一文(4.20-23)以及作者后者工作arXiv:gr-qc/0311069v1一文(B11)的结果一致.参见相关文献笔记的推导.

(14-15)

这里(15)等式右边的减号是在很多文献中出现的,它的本质就是两个信号的干涉.

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Algebraic approach to time-delay data analysis for LISA, arXiv:gr-qc/0112059v2, by S. V. Dhurandhar, K. Rajesh Nayak and J-Y. Vinet
本文讨论了TDI组合的环论基础以及相关的SNR计算

(2.1)

这个式子给出了光源频率扰动的物理模型.它是在频率域,相对某中心频率$$\nu_0$$附近的依赖于时间的偏差$$\Delta\nu(t)$$.(2.1)中下标$$i$$用于标记不同(测量平台上)的激光源. 对应时域的振动形式为
 * $$f(t)=A \exp(i(\nu_0+\Delta\nu_i(t)))=A\exp(i(\nu_0(1+C_i(t))))$$

如果对给定的激光源,频率涨落$$C_i(t)$$是给定的时间函数,那么其波形同样是给定的时间函数.

(2.9-10)

这就是把$$\mu$$的逆阵乘以(2.8)的两边,在右边,把分母上的行列式$$\Delta\equiv\mathrm{det}\mu=1-E_1E_2E_3$$的逆阵再次乘以等式两边,即得.

(2.11)

第三步等式利用了(2.5)第一式,以及用代数余子式表达逆矩阵的形式.最后一步利用了(2.5)第二式,并注意到$$\Delta$$是个数.

(3.12)

这是考虑消除激光噪声和平台噪声的组合方程.在这个方程的导出中引入了新的测量量(2.8)和重新定义了一些测量和噪声项的组合(3.9-10).

这个方程并不带来新的解,因为由(3.12)消去新的组合系数$$r_i$$后,剩余的组合系数$$p_i, q_i$$满足的方程就是(3.1),它的解已经被讨论过了.反过来又可以直接得到新的组合系数$$r_i$$.

(4.2-3)

这里考虑了两种不同的引力波极化,在极坐标下把对应的张量基用归一的单位矢量$$\hat{\theta},\hat{\phi}$$表达出来.

注意到,这里的理论基础,即爱因斯坦引力中引力波的计划形式的推导可以参考Schutz广义相对论引论(9.21)以及Fig.9.1的推导过程.第一个基是反对称的,而第二个基是对称的.背景度规是平直空间.

(4.7-9)

这里的计算就是考虑度规扰动下,光测地线的无限小空间位移与时间间隔的关系.

因为引力波带来的度规扰动是时间的函数,故(4.7)涉及到在正确的时间计算度规扰动,其中涉及到相关空间位移在引力波传播方向上的投影.

实际上我们把它理解为一个标量函数,即(4.8),并且在后面(4.13)直接考虑它的傅里叶变换.

另外,(4.9)涉及把扰动张量基在需要度量长度的空间方向上的缩并.

(4.10)

为了在TDI计算中利用上述关系,我们考虑一个从平台A发射而最终被平台B接受到的光子,在平直空间中,其空间位矢是初始位置与空间位移的矢量和,后者沿着探测器B的接收到光子时刻的位置与探测器A发射光子时刻的位置的矢量差,(如本文,若考虑固定平台,则探测器位置不是时间的函数)此即(4.10).

(4.11)

注意到(4.7)中需要计算$$(t-\hat{w}\cdot\vec{r})$$,而其中的$$\vec{r}$$正是(4.10).代入后稍作调整即是(4.11).

(4.15-16)

注意到(4.14)中时间部分的积分可以独立完成.作为一级近似,在等式右边的指数上做替换$$(t_1-t_0)\to L$$.同时,我们将积分后差提出一个因子$$\exp(i\Omega t_0\hat{\omega}\cdot\hat{n})$$,它与之前积分号外的一个"常数"因子正好抵消,整理后即得(4.15-16).具体计算过程略.

(4.19)

注意到$$\Phi(t)$$是相角的量纲,其导数为角速度的量纲. 等式的右边是角速度的相对变化,而左边是频率的相对变化.而频率与角速度的差别仅仅是$$2\pi$$常数因子.

它本质上是平台间的激光束因为引力波导致的额外相角变化,这与之前中由于激光超声导致的相角变化是同时并存的.

为了将它与(2.1)给出的形式直接比较,我们计算它的对应值,即由引力波带来的相对角速度的变化,即(4.19)的右边,因为角速度与频率只差一个$$2\pi$$常数因子,显然它等于相对频率的变化.

(4.20-23)

这里(4.20)就是将(4.17)代入(4.19),利用傅里叶变换的定义,并注意到$$\vec{r}_A+L\hat{n}=\vec{r}_B$$,即得.

注意到这个表达式与用其他方法,比如Killing矢量法得到的结果,这与arXiv:gr-qc/0103075v2一文(8-9)或者arXiv:gr-qc/0311069v1一文(B11)是完全一致的.

若在等式两边考虑傅里叶频率空间的函数,即得(4.21),而(4.23)就是这个结果的直接应用.

龚云贵老师提示,这里(4.20)等式右边方括号中取差,有个重要的物理意义.这个方括号取差贡献了(4.21)中除了$$\tilde{h}(\Omega)$$以外相移对$$\Omega$$的依赖.这说明引力波通过度规扰动对相移的贡献并不来自扰动的同一相位,自变量的差别为臂长的数量级,如果引力波波长远大于臂长,那么上述差值较为稳定.如果引力波波长小于等于臂长,则上述差值会导致信号随着引力波频率震荡.这就是在灵敏度曲线高频区域观测到的结果.

(4.27)

这个结果给出了延时算符在傅里叶频率空间的简单形式,是(4.21)和(4.23)表达在傅里叶频率空间的主要原因.

(5.1)

这是在(3.10)的基础上增加了测试质量振动,引力波信号与shot噪声.

(5.5-6)

这里是从(5.4)出来,按之前特定组合得到的展开系数$$p_i, q_i, r_i$$以及测量量$$V^i, U^i, Z^i$$的具体形式(见(3.8),(3.10)和(5.1-3)),可知激光噪声与平台噪声$$\tilde{C}_i$$(3.9)都被抵消了.因此(5.4)化简后的表达式中只会包含测试质量$$i$$的振动分量$$j$$即$$\hat{n}_j\cdot v_i$$和散粒噪声$$Y_{U_i,V_i}$$,具体计算略.

在此基础上,我们假设所有的噪声都是独立的,即不同源和类型噪声间的协方差都为零.进一步假设所有噪声分量的期待值都是零.这样,按测量理论的基本计算,易知总噪声的标准偏差就是不同噪声标准偏差之和,噪声的平均值的平方就是不同噪声平均值平方之和. 将(5.1-3)代入(5.4),独立计算功率谱噪声部分的模的平方,就是(5.5-6)的结果.

(5.15-19)

注意到$$\omega$$是引力波角速度,而不是干涉激光器角速度.另外$$\Omega$$是度规扰动的时间函数傅里叶变换后的频率,与引力波角速度(频率)直接有关.注意比较之前时域表达式(4.17)中$$\Omega$$是哑变元,而$$\omega$$是激光频率,它在计算相对频率偏差时(如参见(4.20))不再出现.

这里考虑的是单频的引力波信号,可以看到从(5.15-16)出发,傅里叶变换后得到的频率域的信号含有一个$$\delta$$函数,它始终被保留在最后的结果(4.21)中.注意到在(5.17-19)中特意忽略了这个因子.即我们考虑的是针对每个单频引力波的探测器灵敏度.这里不存在因为卷积导致的单频引力波在频率空间弥散的问题.

(5.21)

这是信噪比定义.

其中分子是探测器上获得的引力波频率域振幅(5.19). 显然,在分子中,除了引力波振幅本身是频率的函数外,延时算符的傅里叶变换等因素也能带来额外的频率依赖关系. 具体分析如下. 首先是来源于(4.8)的傅里叶变换(4.13),所以它的模的平方是功率谱. 第二,在频率域中计算探测器的信号,我们得到关系(4.20),其中$$F$$对应两种偏振模式的传输函数.对其他偏振,比如呼吸模式纵向模式矢量模式,也可以定义类似的传输函数.这是从频率域的给定偏振的引力波振幅到探测器给定臂长的频率偏移信号. 第三,考虑到TDI组合后,最后的信号还包含TDI对应的线性组合,这样才得到(5.19).

分母是噪声功率密度的开方(5.20).这里,不同的噪声源是独立的,参见之前(5.5-6)的推导笔记与结果,显然它与引力波部分的功率谱的量纲完全相同.

我们指出,这个定义与其他文献中的定义完全一致,比如arXiv:gr-qc/0206081一文的(27)式,其中$$\mathcal{R}$$就是本文对应的传输函数$$F$$的平方(8). 其中分子分母的表达形式都是功率谱的量纲.

(5.22)

灵敏度函数的定义是,达到某事先给定的SNR值所必须的最小引力波波源振幅,它是引力波波源功率谱的平方根. 又参见arXiv:gr-qc/0206081一文的(28)式.

本文档除了包括推导, 疑惑 外,做 读书重点 的记录 $$ $$

Forward Modeling of Space-borne Gravitational Wave Detectors, arXiv:gr-qc/0311069v1, by Louis J. Rubbo, Neil J. Cornish, and Olivier Poujade
(4)

如果沿着极化方向,则$$\epsilon^+=e^+, \epsilon^\times=e^\times$$.而后者的方向由坐标系选取(中的约定)决定.不难证明,当引力波的偏振方向$$(\hat{u}',\hat{v}')$$以下面(6)中约定的$$(\hat{u},\hat{v})$$方向逆时针旋转$$\psi$$角度时,新的偏振模式的张量基就是(4).

以$$\epsilon^+$$为例
 * $$\epsilon^+\to(\epsilon^+)'=\hat{u}'\otimes \hat{u}'-\hat{v}'\otimes \hat{v}'=(\hat{u}\cos\psi-\hat{v}\sin\psi)\otimes (\hat{u}\cos\psi-\hat{v}\sin\psi)-(\hat{u}\sin\psi+\hat{v}\cos\psi)\otimes (\hat{u}\sin\psi+\hat{v}\cos\psi)$$
 * $$=(\cos^2\psi-\sin^2\psi)(\hat{u}\otimes\hat{u}-\hat{v}\otimes\hat{v})-2\sin\psi\cos\psi(\hat{u}\otimes\hat{v}+\hat{v}\otimes\hat{u})$$
 * $$=\cos(2\psi)e^+-\sin(2\psi)e^\times$$

这就是(4)第一式的结果.

(5)

这是引力波"$$+$$"模与"$$\times$$"模的张量基,其具体方向在(6)中约定了观测者位置与引力波源位置后给出.

(6)

因为按约定探测器处于原点,引力波的源处于方位角$$(\theta,\phi)$$.易证从源指向原点为$$\hat{k}$$矢量,过原点与$$\hat{k}$$垂直的平面与$$x-y$$平面的交线即为$$\hat{v}$$方向,剩下的方向为$$\hat{u}$$它是前两者的叉乘.

(9)

这个结果由广义相对论计算,具体来源 未查找.

(11)

不清楚等式右边为何是对$$\xi=t-\hat{k}\cdot x$$的积分.

(19)

这种表达为$$\mathrm{sinc}$$函数的形式在文献中很常见.其推导只需参考arXiv:gr-qc/0112059v2一文的(4.21)或者(4.23)的形式,引入定义$$f^*=1/(2\pi L)$$,把$$(1-e^{-i\Omega L(1+\hat{w}\cdot\hat{n})})$$部分提出指数因子写成$$\sin$$函数,与分母构成$$\mathrm{sinc}$$函数,同时合并剩余的指数因子并注意到指数上会出现$$1/2$$.

(B1)

这里包含了三个Killing矢量.Killing矢量对应了守恒量,注意到上述证明中的能动张量替换为平行移动的切矢量,即沿测地线的四速度,同样成立.这就是文中接下来用到的三个方程.

如果度规不包含某坐标分量,显然按定义对应的导数或者一形式就是Killing矢量.注意到度规背景是常数闵氏时空,而扰动为引力波,波动方程的解与坐标相关部分只有其相位是$$(t-\vec{k}\cdot\vec{r})=(t-\hat(k)kr)$$的函数.故而$$\hat{u},\hat{v}$$或者$$\frac{\partial }{\partial u}, \frac{\partial}{\partial v}$$是Killing矢量.而第三个量$$\vec{\xi}_{(3)}$$,除了可以利用定义直接验证外,可以视其为剩余唯一独立的线性叠加$$\frac{\partial}{\partial t}+\frac{\partial}{\partial k}$$

(B2)

这里涉及两个四速度.第一个是做测地线运动的探测器平台的四速度$$U$$,它是归一的.第二个是产生干涉条纹的光源发出光子的四速度,它是个零矢量,无法归一,这就是(B2)给出的$$\sigma^\mu$$.

精确到度规扰动一阶小量,可以直接验证$$\sigma^\mu\sigma^\nu g_{\mu\nu}=0$$.某种意义上,这是显然的,只要注意到零阶项$$s^\mu s^\nu \eta_{\mu\nu}=0$$,而在计算中去除$$\eta^{\mu\nu}$$的缩并后若把它视为$$1$$,一阶项部分正好相互抵消.

(B5)

注意到等式的中间部分其实是$$0-0=0$$.而由中间部分计算等式的左边,分别涉及(B4)中给出的两个时刻的差值,保留到一阶小.具体的
 * $$0-0=(\sigma^\alpha(t_2)-\sigma^\alpha(t_1))\sigma^\beta g_{\alpha\beta}+\sigma^\alpha(\sigma^\beta(t_2)-\sigma^\beta(t_1)) g_{\alpha\beta}+\sigma^\alpha\sigma^\beta(g_{\alpha\beta}(t_2)-g_{\alpha\beta}(t_1))$$
 * $$=\Delta s^\alpha\sigma^\beta g_{\alpha\beta}+\sigma^\alpha \Delta s^\beta g_{\alpha\beta}

-\frac12 \eta^{\alpha\mu}\Delta h_{\mu\nu}s^\nu\sigma^\beta g_{\alpha\beta} -\sigma^\alpha\frac12 \eta^{\beta\mu}\Delta h_{\mu\nu}s^\nu g_{\alpha\beta} +\sigma^\alpha\sigma^\beta\Delta h_{\alpha\beta}$$
 * $$=\Delta s^\alpha\sigma^\beta g_{\alpha\beta}+\sigma^\alpha \Delta s^\beta g_{\alpha\beta}

=\Delta s^\alpha\sigma^\beta \eta_{\alpha\beta}+\sigma^\alpha \Delta s^\beta \eta_{\alpha\beta}=2s^\alpha \Delta s^\beta \eta_{\alpha\beta}$$ 其中不给出之间自变量的物理量可以取时间间隔内的任意数字,计算利用了(B3),并注意到$$\Delta s^\alpha, \Delta h_{\alpha,\beta}$$都是一阶小.前者是在没有引力波扰动情况下,由于光子传播过程中飞船运动造成的,与空间弯曲无关(这似乎与文中的叙述 不同 ).

(B6)

第二式就是(B5)

第一式,我们用类似(B5)的方式计算即得
 * $$0=\xi_{(i)}^\alpha\sigma^\beta(t_2)g_{\alpha\beta}(t_2)-\xi^\alpha\sigma^\beta(t_2)g_{\alpha\beta}(t_2)$$.
 * $$=\xi_{(i)}^\alpha(\sigma^\beta(t_2)-\sigma^\beta(t_1))g_{\alpha\beta}+\xi_{(i)}^\alpha\sigma^\beta(g_{\alpha\beta}(t_2)-g_{\alpha\beta}(t_1))$$
 * $$=\xi_{(i)}^\alpha\left(\Delta s^\beta-\frac12 \eta^{\beta\mu}\Delta h_{\mu\nu}s^\nu\right)g_{\alpha\beta}

+\xi_{(i)}^\alpha\sigma^\beta \Delta h_{\alpha\beta}$$
 * $$=\xi_{(i)}^\alpha\Delta s^\beta \eta_{\alpha\beta}+\frac12 \xi_{(i)}^\alpha s^\beta \Delta h_{\alpha\beta}$$

(B7)

以$$\Delta s^\beta$$为待解变量,含四个分量,由(B6)的四个方程原则上总可以得到解.

具体的,注意到$$s_0^\alpha=(1,\hat{s}), k^\alpha=(1,\hat{k})$$.可以把(B6)按分量具体写成
 * $$\hat{u}\cdot\hat{\Delta s}=-\frac12 u^i s_0^j \Delta h_{ij}$$
 * $$\hat{v}\cdot\hat{\Delta s}=-\frac12 v^i s_0^j \Delta h_{ij}$$
 * $$-\Delta s_0+\hat{k}\cdot\hat{\Delta s}=-\frac12 k^i s_0^j \Delta h_{ij}$$
 * $$-\Delta s_0+\hat{s}_0\cdot \hat{\Delta s}=0$$

因为前三个方程分别给出了$$\Delta s$$的空间部分$$\hat{\Delta s}$$在三个单位矢量$$(\hat{u}, \hat{v}, \hat{k})$$上的投影. 我们利用这三个关系代入第四个方程,在消去$$\Delta s$$的空间部分后求出其时间部分.

我们注意到对于任意两个空间三矢量(注意到实际上不必为单位矢量)$$\vec{A}, \vec{B}$$的内积,可以利用正交基$$(\hat{u}, \hat{v}, \hat{k})$$写为
 * $$\hat{A}\cdot\hat{B}=(\hat{A}\cdot\hat{u})(\vec{B}\cdot\hat{u})+(\vec{A}\cdot\hat{v})(\vec{B}\cdot\hat{v})+(\vec{A}\cdot\hat{k})(\vec{B}\cdot\hat{k})$$

这样,最后一个方程可以被改写成类似的形式,在代入前三个方程后再次利用这个关系的逆形式,我们得到
 * $$\Delta s^0=\hat{s}_0\cdot\hat{\Delta s}=(\hat{s}_0\cdot\hat{u})(\hat{\Delta s}\cdot\hat{u})+(\hat{s}_0\cdot\hat{v})(\hat{\Delta s}\cdot\hat{v})+(\hat{s}_0\cdot\hat{k})(\hat{\Delta s}\cdot\hat{k})=-\frac12 s_0^i s_0^j\Delta h_{ij}+(\hat{s}_0\cdot\hat{k})\Delta s^0$$

最后注意到$$-1+\hat{k}\cdot\hat{s}_0=\vec{k}\cdot\vec{s}_0$$即得(B7)的结果.

(B8)

这是计算光子四动量在平台局域坐标系的能量,即平台所测量到光子的频率.将四速度表达为$$\vec{U}=\gamma(1,v^i(t))$$,并利用(B2)注意到引力波对度规的扰动在TT规范中仅有空间分量$$\vec{s}=(s^0,s^i-\frac12 \eta^{ik}h_{kj}s^j)$$,内积并注意到背景闵氏空间度规空间分量的具体数值,即得结果.

(B9)

由于平台自由落体,其四速度$$U^\alpha$$满足测地线方程.而联络可以用度规的导数表达,背景度规是常数,而扰动$$h_{ij}$$仅含空间分量.具体的,我们有
 * $$\frac{dU^\alpha}{dx^\beta}=-\Gamma^\alpha_{\beta\gamma}U^\gamma=-\frac12\eta^{\alpha\mu}(h_{\mu\beta,\gamma}+h_{\gamma\mu,\beta}-h_{\beta\gamma,\mu})U^\gamma$$

对上式积分即应该得到(B9),故存在一个积分常数.同时我们把太阳引力场对度规贡献(经典近似下主要体现在$$h_{00}$$分量)对速度的改变归入$$U_0^\alpha$$,故上式决定了(B9)等式右边的第二项. 具体的,注意到在求和中,亚元指标$$\mu, \beta, \gamma$$只可能取空间分量,否则相应的结果为零.

但仍旧 不清楚 如何得到(B9)的结果.

(B10)

在两个时刻分别计算频率(B8)并取差,在忽略了速度与度规扰动的两阶(即$$v^2, vh, h^2$$等)项后,发现最大的贡献正是(B7).

(B11)

这里计算了频率的相对偏离,在引入的$$\hat{a}$$的定义并把结果表达为张量内积的形式.

我们指出这与用零曲线方法得到的结果,比如arXiv:gr-qc/0112059v2一文的(4.20)是完全一致的.注意到其中$$h$$的自变量不仅是不同的平台(空间差距),而且是在不同的时刻(时间差距).

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Probing non-tensorial polarizations of stochastic gravitational-wave backgrounds with ground-based laser interferometers, arXiv:0903.0528v3, by Atsushi Nishizawa et al
(1)

这里具体给出了一般引力理论可能具有的6个偏振模式.理论方面的讨论可以参见比如Sean Carroll一书(7.33)附近的讨论和笔记.简单的说从对称的4x4张量的10个自由度中去除度规不确定性相应的4个自由度后剩余6个.按Sean一书的取法,其中两个标量,两个矢量,两个张量.

这里的取法是在对称的3x3空间分量中取6个作为基.

可以验证它们是正交的,且在波转播的方向上的转动作用下,分别按张量,矢量,标量变换.具体证明参见arXiv:1608.06889v2一文(8.60)的讨论.

注意到,实际上这个取法并非随观测者不变的.具体的,度规自由度,即一个任意的坐标变换,将完全改变上述偏振基矢的变换性质.在此意义上,按上述基矢计算得到某偏振模式的SNR没有实际意义.具体参见Eardley一文的讨论.

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Detection methods for stochastic gravitational-wave backgrounds: a unified treatment, arXiv:1608.06889v2, by Joseph D. Romano and Neil J. Cornish
(8.60-64)

按arXiv:0903.0528v3一文的做法,这里(8.60)是把度规用对称的3x3空间分量写出来,如果选取特殊的坐标系,那么可以简单的表达为(8.61)的形式.

利用(8.60)的形式,可以直接证明,引力波的不同偏振模式的基(8.60)在沿着传播方向为轴的空间转动下的确按(8.62-64)方式变化.即为张量,矢量,和标量.

以$$\epsilon^+$$为例的计算参见arXiv:gr-qc/0311069v1一文(4)的讨论.

而以$$\epsilon^B$$为例
 * $$\epsilon^B\to{\epsilon^B}'=\hat{u}'\otimes \hat{u}'+\hat{v}'\otimes \hat{v}'=(\hat{u}\cos\psi-\hat{v}\sin\psi)\otimes (\hat{u}\cos\psi-\hat{v}\sin\psi)+(\hat{u}\sin\psi+\hat{v}\cos\psi)\otimes (\hat{u}\sin\psi+\hat{v}\cos\psi)$$
 * $$=(\cos^2\psi+\sin^2\psi)(\hat{u}\otimes\hat{u}+\hat{v}\otimes\hat{v})=\hat{u}\otimes\hat{u}+\hat{v}\otimes\hat{v}=\epsilon^B$$

其他模式的计算都类似或者更为简单.比如
 * $$\epsilon^X\to{\epsilon^X}'=\cos\psi\epsilon^X-\sin\psi\epsilon^Y$$
 * $$\epsilon^L\to{\epsilon^L}'=\epsilon^L$$

具体推导略.

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Gravitational-Wave Observations as a Tool for Testing Relativistic Gravity, PRL30 (1973) 884, by Douglas M. Eardley et al
PRD一文是PRL一文的具体展开.文章从从度规扰动协变性的角度,讨论了不同引力理论预言的偏振模式的测量的协变性.并对引力波偏振模式进行分类.

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The stochastic gravity-wave background: sources and detection, arXiv:gr-qc/9604033v3, by Bruce Allen
综述.

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Detection methods for stochastic gravitational-wave backgrounds: a unified treatment, arXiv:1608.06889v2, by Joseph D. Romano, Neil J. Cornish
(8.81)

这就是双探测器$$(I,J)$$的重叠函数,它通过但探测器的响应函数(8.71)定义.而后者可参见arXiv:gr-qc/0103075v2的(18)以及(27)下方$$F^A$$的定义.

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Stochastic Gravitational Wave Backgrounds, arXiv:1811.08797v1, by Nelson Christensen
本文讨论了随机引力波的基本性质,测量方法,和各种可能的波源.

(8)

这是随机引力波的测量量,单位对数频率的相对功率谱.

(10)

因为随机引力波一般小于噪声,它一般需要用不同探测器的关联,利用噪声之间,噪声与随机引力波间的协方差为零的性质实现测量.

(12)

这里第二步等号利用了基的完备性产生的频率空间的$$\delta$$函数,消耗了一个频率积分.

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