Research Paper Notes on Review of Black Hole Thermodynamics

Research Paper Notes on Review of Black Hole Thermodynamics

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文献列表

 * Hawking Radiation and Black Hole Thermodynamics, by Don N. Page, arXiv:hep-th/0409024v3
 * Black Holes, Lecture notes by P.K. Townsend, arXiv:gr-qc/9707012
 * An Introduction to Black Hole Evaporation by Jennie Traschen, arXiv:gr-qc/0010055v1
 * Greybody FactorsHawking Radiation in Disguise, by Jorge Escobedo, Master’s thesis, University of Amsterdam, 2008

Hawking Radiation and Black Hole Thermodynamics, by Don N. Page, arXiv:hep-th/0409024v3
这是一篇包含了一些作者亲身经历的综述文章,但是文章深入阐述了很多黑洞热力学中概念的不平庸的物理内涵,很难看懂.只能在对相关领域的重要结果以及结果推导的细节很熟悉的情况下才能回看此文.可能这辈子没戏了.

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Black Holes, Lecture notes by P.K. Townsend, arXiv:gr-qc/9707012
本讲义涉及黑洞的基本数学与物理,很好的入门读物.

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An Introduction to Black Hole Evaporation by Jennie Traschen, arXiv:gr-qc/0010055v1
(3.21-23)

注意到Rindler坐标$$(u,v)$$或者$$(T,\xi)$$并不能涵盖全空间.具体的,由于(3.23)
 * $$\bar{u}=-\exp(-\alpha u)$$
 * $$\bar{v}=\exp(\alpha v)$$

故
 * $$-\infty<\bar{u}<0$$且$$0<\bar{v}<+\infty$$.

换言之,它仅对应Fig.2中的I区域.而双零坐标$$(\bar{u},\bar{v})$$与Minkowski坐标涵盖的空间是一致的.具体参见Fig.2及其图例的标记.

由(3.22-3.23)附近的定义,容易证明
 * $$t=\exp(a\xi)\sinh(a T)\equiv X\sinh{a T}$$
 * $$x=\exp(a\xi)\cosh(a T)\equiv X\cosh{a T}$$

这与标准(比如维基页)的Rindler坐标系的定义一致. 不难证明,在Rindler坐标系中静止的,即取给定空间分量$$X$$或$$\xi$$,世界线对应定加速运动,这时$$T$$正比于固有时.

按文中的讨论,边界$$t=\pm x$$圈围的是$$x \ge 0$$且$$|t|\le x$$的区域,换言之,边界对应$$\bar{u}=0_-,\bar{v}=\mathrm{finite}$$以及$$\bar{v}=0_+,\bar{u}=\mathrm{finite}$$(见图例).按坐标的定义,我们有
 * $$\xi=\frac{v-u}{2}=\frac{\ln(-\bar{u})+\ln(\bar{v})}{2a}$$

类似的因为
 * $$T=\frac{v+u}{2}=\frac{\ln(\bar{v})-\ln(-\bar{u})}{2a}$$

所以在边界上我们有$$a\xi \to -\infty$$和$$aT \to \pm\infty$$.

因为有(3.22),在坐标系$$(T,\xi)$$中的光速$$c=1$$,故处于无穷远处的边界永远不能达到,对应柯西Cauchy视界. 另一方面,度规(3.22)不依赖于$$T$$,所以存在Killing矢量$$k^{(T)}=\partial_T$$,它的逆变分量为$$(k^{(T)})^\mu=(1,0)$$.显然,它的模
 * $$g(k^{(T)},k^{(T)})=g_{\mu\nu}(k^{(T)})^\mu (k^{(T)})^\nu=g_{00}=-e^{2a\xi}$$

在视界上等于零.即克林矢量在视界上为零矢量. 书中指出,上述结果是因为克林矢量$$k^{(T)}$$在坐标系$$(t,x)$$中对应的是洛伦兹冲刺变换而非时间平移变换,这是Minkowski时空具有的对称性之一.在类光边界$$t=\pm x$$显然洛伦兹冲刺不产生任何影响.

注意,与黑洞度规类似,上述两个视界为零曲面.简单的说,这是因为光锥$$t=\pm x$$为零曲面.在$$(T,\xi)$$坐标系中,视界由方程$$f(T,\xi)=\xi\pm T=\mathrm{const.}$$决定,求梯度易知它的法向矢量$$n_\mu$$的协变分量为$$n_\mu=(\pm 1,1)$$,直接通过度规计算它的模为不定式$$\infty\cdot 0$$.这个表面上的困难可以通过在Minkowski坐标中的计算来解决,因为矢量的模不依赖于坐标系.具体的,在$$(t,x)$$坐标系中,这是显而易见的,因为视界曲面方程$$f(t,x)=t\pm x=0$$决定了法向量的协变分量为$$n_\mu=(1,\pm 1)$$,这显然是零矢量.如果从Minkowski坐标系中的法向矢量出发,考虑坐标变换,我们会发现度规中的无穷大因子与坐标变换中产生的零因子正好精确抵消,剩余的有限项来自时间与空间部分的分量贡献正好相减,最后结果也为零.



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Greybody FactorsHawking Radiation in Disguise, by Jorge Escobedo, Master’s thesis, University of Amsterdam, 2008
本硕士论文讨论灰体因子的计算.灰体因子的物理是时空弯曲的有效势场对霍金辐射黑体谱的修正,在此意义上称之为"灰体".

(5.13)

这里具体证明了为何灰度因子可以用从无穷远入射的透射系数来定义.这是因为对任何势场,从左到右的透射系数等于从右到左的透射系数.

注意到一个两阶常微分方程的通解包含两个积分常数.但是由于在无穷远处势场为零,故在一端,比如在边界$$x\to -\infty$$处的渐进方程的通解$$e^{\pm i\omega}\ \ (x\to -\infty)$$前的常数$$C_1, C_2$$就足以充分的确定方程的解.因此,在边界另一端$$x\to +\infty$$处两个解$$e^{\pm i\omega}\ \ (x\to +\infty)$$是线性独立的,但是它们之前的系数,完全由$$C_1, C_2$$决定.具体的,通解中的两个积分常数的确定由问题的物理条件决定,并且注意到因为方程是线性的,故归一常数就可视为其中的一个积分常数,而因为它本身不携带物理意义,真正的有物理意义的通解仅由一个积分常数决定.在物理上,我们考虑从左侧$$x\to -\infty$$处入射的平面波,其振幅$$\mathcal{I}$$为积分常数,由势场产生反射与投射波,其中反射与投射系数$$\mathcal{R},\mathcal{T}$$并不是独立的,完全由入射振幅决定.问题的第二个积分常数是波函数的整体归一性,如上所述它并不携带任何物理意义故不予讨论.因为两个解$$e^{\pm i\omega}\ \ (x\to -\infty)$$是线性独立的,故把上述解中的频率取负号,我们得到了另一个线性独立的解.这时,我们可以等价的说,一般解的两个积分常数可以视为线性独立的左侧"入射波"$$e^{\pm i\omega}\ \ (x\to -\infty)$$前的系数.换言之,这两个解构成一组完备基.

因此,任何其他解必然可以用上述完备基展开.特别的,我们考虑由右侧$$x\to +\infty$$"入射波"$$e^{\pm i\omega}\ \ x\to +\infty$$构成的解如何由左侧入射波的展开问题.利用文中的符号,我们容易用基来构造$${\psi'}_\omega, {\psi'}_{-\omega}$$,具体的,我们有
 * $$\tilde{R}\psi_\omega-\psi_{-\omega}=\left\{\begin{matrix}R\tilde{R}e^{-i\omega x}-e^{-i\omega x}&x\to +\infty\\T\tilde{R}e^{i\omega x}-\tilde{T}e^{-i\omega x}&x\to -\infty\end{matrix}\right.\propto {\psi'}_\omega$$
 * $$\psi_\omega-R\psi_{-\omega}=\left\{\begin{matrix}-R\tilde{R}\tilde{R}e^{i\omega x}+e^{i\omega x}&x\to +\infty\\Te^{i\omega x}-R\tilde{T}e^{-i\omega x}&x\to -\infty\end{matrix}\right.\propto {\psi'}_{-\omega}$$

由此对比相关项后得
 * $$T'=-frac{R\tilde{R}-1}{\tilde{T}}\ \ \ R'=-\frac{T\tilde{R}}{\tilde{T}}$$
 * $$\tilde{T}'=\frac{1-R\tilde{R}}{T}\ \ \ \tilde{R}'=-\frac{R\tilde{T}}{T}$$

并注意到流守恒的关系$$R\tilde{R}+T\tilde{T}=1$$,易得$$T=T', \tilde{T}=\tilde{T}'$$.

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