Lecture Notes of An Advanced Course in General Relativity by E. Poisson

Lecture Notes of An Advanced Course in GR by E. Poisson

本文档除了包括推导, 疑惑 外,做 读书重点 的记录 $$$$

Ch.3 Hypersurfaces
P.48 (3.1.4)

容易证明这的确是曲面法向.因为$$\Phi$$对任意曲面坐标参数$$y^\alpha$$导数为零,而这个导数可以表达为(3.1.4)分子上面的偏导乘以一个决定于参数选择的曲面切向方向.而分母仅仅是归一.

我们指出(3.1.4)定义的$$n_\mu$$并不是一个一形式,因为如果用度规直接升降指标来计算$$n^\mu$$,那么(3.1.3)可能差一个负号,并不被满足.所以实际上$$n^\mu=\epsilon g^{\mu\nu}n_\nu$$.

P.48 (3.1.5-3.1.6)

对零(法向类光)曲面,上述定义不成立,所以用不归一的(3.1.5)来定义曲面的法向.接着按书中讨论我们得到,$$k^\alpha$$实际上是切向;推导得到(3.1.5)下面一式是一般的测地线方向.比较测地线方程(比如参见Schutz (6.47)到(6.50)间的推导)唯一的差别是右边正比于$$k^\alpha$$而非为零.因为矢量沿着曲线平行移动时矢量的变化沿着矢量本身,若$$k^\alpha$$是四速度,则这意味着沿着测地线的加速运动,对应平直空间中沿着直线的加速运动.

我们注意到,(3.1.5)给出的定义$$k_\alpha=-\Phi_\alpha$$是一形式,即协变矢量.这与之后逆变矢量的定义$$k^\alpha=dx^\alpha/d\lambda$$是自洽的. 因为显然其缩并为零$$k_\alpha k^\alpha=-\Phi_\alpha dx^\alpha/d\lambda=-d\Phi/d\lambda=0$$.

文中指出,由于上述关系等式右边未必为零,故$$\lambda$$一般情况下并不是仿射坐标.在特殊情况下,如果$$\Phi(x^\alpha)=\mathrm{const.}$$对于任何常数(而非某给定常数)都对应零曲面,则$$(\Phi_{,\beta}\Phi^{,\beta})_{;\alpha}$$不仅仅在曲面上为零,而是严格为零,故它不再正比于法向量.换言之,$$\kappa =0$$,即$$\lambda$$是纺射坐标. 一个具体的例子就是之后3.1.4小节给出的未来光锥曲面.

这里的测地线参数$$\lambda$$虽然与零曲面自洽,但并不由曲面的定义$$\Phi(x^\mu)$$决定. 这个参数在(3.1.6)中被选择为第一个零曲面的坐标参数,它在后续的曲面上的诱导度规的线元和曲面面元的计算中起到重要的作用. 我们把零曲面视为由测地线和另外两个生成元堆砌而成的,而按(3.1.9)下方的讨论,把测地线参数$$\lambda$$取为第一个曲面坐标参数,会给诱导度规的形式带来不少方便. 注意到这时因为法向量$$k^\alpha$$与平面相切,我们只给出了三个基矢.在下面3.1.4小节给出的例子中这对应平庸的结果$$e_\lambda^\alpha=k^\alpha$$. 因此,在之后验证(3.1.13)时必须引入第四个基矢,才能在完备的意义下验证该张量关系.

P.49 (3.1.9)

这就是诱导度规的定义.注意文中关于三张量变换性质的讨论.

P.50 (3.1.12)

我们按书中的思路给出证明过程. 首先,若等式成立,则等式的左右两端都是两阶张量,它的数学意义是把一个协变矢量映射为一个逆变矢量.所以,若等式两边对任意协变矢量缩并得到的结果都相同,则等式成立. 其次,我们只需考虑下列逆变矢量$$n_\alpha$$和$$e_{\alpha,c}\equiv\frac{\partial x_\alpha}{\partial y^c}$$,它们分别是曲面内和曲面的法向量,是完备的. 前者满足归一形式(3.1.3),且按(3.1.7)下方的讨论与后者正交$$e^\alpha_a n_\alpha=0$$.下面给出具体计算.

将$$n_\alpha$$与等式两边缩并,利用上述归一和正交关系,容易证明等式两边都得到$$\epsilon n^\beta$$. 将$$e_{\alpha,c}\equiv\frac{\partial x_\alpha}{\partial y^c}$$与等式两边缩并.等式左边得到
 * $$g^{\alpha\beta}e_{\alpha,c}=g^{\alpha\beta}\frac{\partial x_\alpha}{\partial y^c}=\frac{\partial x^\beta}{\partial y^c}=e^{\beta}_{c}$$

而等式右边得到
 * $$h^{ab}e^{\alpha}_{a}e^{\beta}_{b}e_{\alpha,c}

=h^{ab}\frac{\partial x^\alpha}{\partial y^a}\frac{\partial x^\beta}{\partial y^b}\frac{\partial x_\alpha}{\partial y^c} =h^{ab}\frac{\partial x^\alpha}{\partial y^a}\frac{\partial x^\beta}{\partial y^b}\frac{\partial x_\gamma}{\partial y^c}g_{\alpha\gamma} =h^{ab}h_{ac}\frac{\partial x^\beta}{\partial y^b}=\delta^b_c \frac{\partial x^\beta}{\partial y^b}=\frac{\partial x^\beta}{\partial y^c}=e^{\beta}_{c}$$ 其中利用了$$h_{ac}=g_{\alpha\gamma}\frac{\partial x^\alpha}{\partial y^a}\frac{\partial x_\gamma}{\partial y^c}$$,即(3.1.9). 证毕.

原则上,注意到$$N^\alpha$$与其他矢量一起构成矢量空间的完备基,(3.1.13)的证明与(3.1.12)的证明非常类似.

P.51 (3.2.1)

这就是用诱导度规来计算曲面面积的公式.但是,实际上,一个常见的特殊情况,就把一个坐标取为常数定义的曲面(且改曲面不类光)对应的曲面面积是很直观的(根本无需讨论诱导度规的定义).而反过来,在曲面类光时,情况反而很不不直观.

这里首先给出一个表面元的洛伦兹标量形式(3.2.2),证明对非类光的表面元(3.2.2)与(3.2.1)一致.接着利用(3.2.2)给出类光表面元的关系(3.2.7).

P.51 (3.2.2)


 * $$\begin{align}

d\Sigma_{\mu}=\varepsilon_{\mu\alpha\beta\gamma}e^{\alpha}_1e^{\beta}_2e^{\gamma}_3d^3y \end{align}$$

在定义中$$\varepsilon_{\mu\alpha\beta\gamma}$$在下一行中被定义,$$\varepsilon_{\mu\alpha\beta\gamma}=\sqrt{-g}[\mu\alpha\beta\gamma]$$. 其中$$y$$(对应指标$$123$$)是描述曲面的三个参数的编号,在(3.1.2)中被定义. 另外,$$e^{\alpha}_{a}=\frac{\partial x^\alpha}{\partial y^a}$$在(3.1.7)中被定义,并在P.50给出平直空间的例子. 注意上上述定义其实是张量缩并,其中注意到,按(3.1.9)下方的讨论,对曲面的描述$$y^a$$并不依赖于任何坐标系,从而$$e^{\alpha}_{a}$$本质上是逆变矢量,因此(3.2.2)定义了一个逆变矢量.

在第一次学习本书时,我给出了下面繁琐的"证明".先仍保留,以贻笑大方.

Now we want to show that $$ d\Sigma_{\mu}$$  defined in this way is indeed a covariant 4-vector.

Before handing out a general proof, let us check out a simple case, a surface element with $$\tau=const.$$  in  $$\{\tau,x,y,\eta\}$$  space. The example is very similar to that on P.51 right below (3.2.3) except in our case now $$\sqrt{-g}=\tau$$. Indices $$\mu,\alpha,\beta,\gamma$$   are chosen from  $$\{\tau,x,y,\eta\}$$ and


 * $$\begin{align}

y^1=x,y^2=y,y^3=\eta \end{align}$$

Straightforward calculation gives


 * $$\begin{align}

d\Sigma_{\mu,B}|_{\tau=const.}= \sqrt{-g}  \left( \begin{array}{c} 1\\ 0\\ 0\\ 0 \end{array}\right)  dxdyd\eta=  \left( \begin{array}{c} 1\\ 0\\ 0\\ 0 \end{array}\right)  \tau dxdyd\eta \end{align}$$

We want to show explicitly that the module of this surface element remains the same when one transforms the coordinates into flat Minkowski space $$\{t,x,y,z\}$$. Now one has $$\sqrt{-g}=1$$, and the surface can be defined as  $$\Phi(\tau-\sqrt{t^2-z^2})=0$$  (comparing (3.1.1)). Again, three parameters, namely, $$y^1=x,y^2=y,y^3=\eta $$, determine the surface. Therefore one obtains $$d^3y=dy^1dy^2dy^3=dxdyd\eta $$. $$e^{\alpha}_{a}$$ can be obtained from the following $$4\times 4$$ transformation matrix by ripping away the first column.


 * $$\begin{align}

\left( \begin{array}{cccc} \cosh\eta & 0 & 0 & \tau\sinh\eta\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ \sinh\eta & 0 & 0 & \tau\cosh\eta \end{array}\right) \Rightarrow\left( \begin{array}{cccc} X & 0 & 0 & \tau\sinh\eta\\ X & 1 & 0 & 0\\ X & 0 & 1 & 0\\ X & 0 & 0 & \tau\cosh\eta \end{array}\right) \end{align}$$

Now indices $$\mu,\alpha,\beta,\gamma$$ are chosen from  $$\{t,x,y,z\}$$, the first element is given by


 * $$\begin{align}

d\Sigma_{0}\equiv d\Sigma_{t}= \sqrt{-g}  [0,\alpha,\beta,\gamma]e^{\alpha}_1e^{\beta}_2e^{\gamma}_3 d^3y  =[0,\alpha,\beta,\gamma]e^{\alpha}_1e^{\beta}_2e^{\gamma}_3 dxdyd\eta  =\tau\cosh\eta dxdyd\eta \end{align}$$

since $$[0,\alpha,\beta,\gamma]e^{\alpha}_1e^{\beta}_2e^{\gamma}_3 \ne 0$$  only for  $$\alpha=x,\beta=y,\gamma=z $$. Similar calculation gives $$d\Sigma_{1}= d\Sigma_{2}=0, d\Sigma_{3}=\tau\sinh\eta dxdyd\eta$$. Piecing together one gets


 * $$\begin{align}

d\Sigma_{\mu,C}|_{\tau=const.}= \left( \begin{array}{c} \tau\cosh\eta\\ 0\\ 0\\ \tau\sinh\eta \end{array}\right)  dxdyd\eta \end{align}$$ This is the same as the result obtained naively from the notes "Energy Conservation Problem in SPheRIO". If we do the calculation for the surface $$\Phi(\eta-\frac{1}{2}\ln\frac{t+z}{t-z})=0 $$, similarly one gets


 * $$\begin{align}

&d\Sigma_{\mu,B}|_{\tau=const.}= \sqrt{-g}  \left( \begin{array}{c} 0\\ 0\\ 0\\ 1 \end{array}\right)  dxdyd\tau=  \left( \begin{array}{c} 0\\ 0\\ 0\\ 1 \end{array}\right)  \tau dxdyd\tau \\ &d\Sigma_{\mu,C}|_{\eta=const.}= \left( \begin{array}{c} \sinh\eta\\ 0\\ 0\\ \cosh\eta \end{array}\right)  dxdyd\tau  \\ &|d\Sigma_{\mu,B}|_{\tau=const.}|=\sqrt{g^{\mu\nu}d\Sigma_{\mu B}d\Sigma_{\nu B}}=\sqrt{-1}dxdyd\tau =|d\Sigma_{\mu,C}|_{\tau=const.}| \end{align}$$

Note that the normal direction of the surface is up to a negative sign since we have never explicitly considered it. The two examples show that the module of the surface does not change when the coordinates transform.

We are in the place to deliver a general proof. We are about to show that the module of a surface element is a scale, therefore surface element is a 4-vector. First, consider any surface element in flat Minkowski space $$\{t,x,y,z\}  ( \sqrt{-g}=1 )$$ but parameterized in terms of  $$y^1,y^2,y^3$$. It is noting that the surface element
 * $$d\Sigma_{\mu}=\varepsilon_{\mu\alpha\beta\gamma}e^{\alpha}_1e^{\beta}_2e^{\gamma}_3=\sqrt{-g}[\mu\alpha\beta\gamma]e^{\alpha}_1e^{\beta}_2e^{\gamma}_3$$

can be written in term determinant of an auxiliary matrix $${E_{\alpha}}_{\beta}$$  (whether the indices are superscript or subscript does not enter the question here, since we are dealing with a matrix, though the transform properties of the indices are discussed below)


 * $$\begin{align}

d\Sigma_{\mu}= \sqrt{-g}  \begin{vmatrix} \begin{array}{cccc} \hat{e}_0 & e^0_1 & e^0_2 & e^0_3\\ \hat{e}_1 & e^1_1 & e^1_2 & e^1_3\\ \hat{e}_2 & e^2_1 & e^2_2 & e^2_3\\ \hat{e}_3 & e^3_1 & e^3_2 & e^3_3 \end{array}\end{vmatrix}_C =  \begin{vmatrix} \begin{array}{cccc} \hat{e}_0 & e^0_1 & e^0_2 & e^0_3\\ \hat{e}_1 & e^1_1 & e^1_2 & e^1_3\\ \hat{e}_2 & e^2_1 & e^2_2 & e^2_3\\ \hat{e}_3 & e^3_1 & e^3_2 & e^3_3 \end{array}\end{vmatrix}_C =\det ({E_{\alpha}}_{\beta C}) \end{align}$$


 * $$\begin{align}

{E_{\alpha\beta} C }\equiv  \left( \begin{array}{cccc} \hat{e}_0 & e^0_1 & e^0_2 & e^0_3\\ \hat{e}_1 & e^1_1 & e^1_2 & e^1_3\\ \hat{e}_2 & e^2_1 & e^2_2 & e^2_3\\ \hat{e}_3 & e^3_1 & e^3_2 & e^3_3 \end{array}\right)_C \end{align}$$

where the first column elements are the coordinate basis vectors (which are not unit vectors!) and $$e^{\alpha}_{a}=\frac{\partial x^\alpha}{\partial y^a}$$. As a second step, we want to calculate the same surface element in a different coordinate system $$\{\tau,x,y,\eta\}$$. The word "same" is mathematically implemented when that one adopts the same set of parameters, namely, $$y^1,y^2,y^3$$  to describe the surface, except now new coordinates are composite functions of the parameters. The surface element, according to its definition can be written down as


 * $$\begin{align}

&d\Sigma_{\mu}=\varepsilon_{\mu\alpha\beta\gamma}e^{\alpha}_1e^{\beta}_2e^{\gamma}_3=\sqrt{-g}[\mu\alpha\beta\gamma]e^{\alpha}_1e^{\beta}_2e^{\gamma}_3 =\sqrt{-g}  \begin{vmatrix} \begin{array}{cccc} \hat{e}_0 & e^0_1 & e^0_2 & e^0_3\\ \hat{e}_1 & e^1_1 & e^1_2 & e^1_3\\ \hat{e}_2 & e^2_1 & e^2_2 & e^2_3\\ \hat{e}_3 & e^3_1 & e^3_2 & e^3_3 \end{array}\end{vmatrix}_E \\ &=\sqrt{-g}\det ({E_{\alpha {\beta} E}}) =\sqrt{-g}\det ({\Lambda^{\alpha}}_{\lambda}{E_{\lambda{\beta}C}})\\ &{E_{\alpha{\beta}E}} \equiv \left( \begin{array}{cccc} \hat{e}_0 & e^0_1 & e^0_2 & e^0_3\\ \hat{e}_1 & e^1_1 & e^1_2 & e^1_3\\ \hat{e}_2 & e^2_1 & e^2_2 & e^2_3\\ \hat{e}_3 & e^3_1 & e^3_2 & e^3_3 \end{array}\right)_E \end{align}$$

The last step was based on two facts. Firstly, for the three spatial columns, chain rule of derivative gives


 * $$\begin{align}

e^{\alpha}_{aE}=\frac{\partial x_E^{\alpha}}{\partial y^a}=\frac{\partial x_E^{\alpha}}{\partial x_C^{\beta}}\frac{\partial x_C^{\beta}}{\partial y^a}={\Lambda^{\alpha}}_{\beta}\frac{\partial x_C^{\beta}}{\partial y^a} = {\Lambda^{\alpha}}_{\beta}e^{\beta}_{a C}   \end{align}$$

and secondly, for the zeroth column, the transformation properties of coordinate basis read


 * $$\begin{align}

\hat e_{\alpha E}=\frac{\partial {x_\beta}_C}{\partial x_{\alpha E}}\hat {e_{\beta C}}={({\Lambda^{-1})}_{\beta}}^{\alpha}\hat e_{\beta C}={{\Lambda}^{\alpha}}_{\beta}\hat {{e_\beta}_C} \end{align}$$

above one has made use of the property of transformation matrix
 * $$\begin{align}

{\Lambda^{\nu}}_{\sigma}{\Lambda_{\nu}}^{\mu}={g_{\sigma}}^{\mu}=\delta_{\sigma}^{\mu}  \Rightarrow   {\Lambda^{\nu}}_{\sigma}={(\Lambda^{-1})_{\sigma}}^{\nu} \end{align}$$ One sees explicitly that the first index $$\alpha$$  of the auxiliary determinant  $${E_{\alpha}}_{\beta}$$  transforms like a superscripted contravariant 4-vector, meanwhile its second index  $$\beta$$  only depends on the parameterization of the surface element, therefore it does not depend on coordinate transformation. To show that the module of the surface element remain unchange, one need to evalute the determinant. The trick is, if one replace the first column with its algebraic complement, and taking into account the metric, one gets the module. For Minkowski case, the module of the surface element is


 * $$\begin{align}

\end{align}$$
 * d\Sigma_{\mu}|^2=\sum_{\mu\nu}\eta^{\mu\nu}A_{{\mu}1C}A_{{\nu}1C} =\det({E_{\alpha\beta C}})^2\sum_{\mu\nu}\eta^{\mu\nu}({E^{-1}_C})_{1\mu}({E^{-1}_C})_{1\nu}

where $$A_{\mu 1}$$  is the algebraic complement of  $$(\mu,1)$$th element of matrix  $${E_{\alpha}}_{\beta}$$, therefore  $$A_{\mu 1}=\det({E_{\alpha\beta}})({E^{-1}})_{1\mu}$$. For general case


 * $$\begin{align}

&|d\Sigma_{\mu}|^2=(\sqrt{-g})^2\sum_{\mu\nu}g^{\mu\nu}A_{{\mu}1E}A_{{\nu}1E} \\ &=(\sqrt{-g})^2\det({E_{\rho\sigma E}})^2\sum_{\mu\nu}g^{\mu\nu}({E^{-1}_E})_{1\mu}({E^{-1}_E})_{1\nu} \\ &=(\sqrt{-g})^2 \det({\Lambda^{\rho}}_{\lambda}{E_{\lambda}}_{\sigma C})^2\sum_{\mu\nu\alpha\beta}g^{\mu\nu}(({E_1}_{\beta C})^{-1}{(\Lambda^{-1})^{\beta}}_{\mu})((E_{1\alpha C})^{-1}{(\Lambda^{-1})^{\alpha}}_{\nu}) \\ &=(\sqrt{-g})^2 \det({\Lambda^{\rho}}_{\lambda})^2\det(E_{\lambda\sigma C})^2\sum_{\mu\nu\alpha\beta}g^{\mu\nu}{(\Lambda^{-1})^{\beta}}_{\mu}{(\Lambda^{-1})^{\alpha}}_{\nu}({E}_{1\beta C})^{-1}({E}_{1\alpha C})^{-1}\\ &=\det(E_{\lambda\sigma C})^2\sum_{\alpha\beta}\eta^{\beta\alpha}({E}_{1\beta C})^{-1}({E}_{1\alpha C})^{-1} \end{align}$$

where one has taken into consideration that


 * $$\begin{align}

&\sqrt{-g}=\sqrt{-\det(g_{\mu\nu}) } \\ &{\Lambda^{\mu}}_{\lambda}g_{\mu\nu}{\Lambda^{\nu}}_{\sigma}=\eta_{\lambda\sigma} \\ &(\sqrt{-g})^2\det({\Lambda^{\mu}}_{\nu})^2 =-\det({\Lambda^{\mu}}_{\lambda}g_{\mu\nu}{\Lambda^{\nu}}_{\sigma})=-\det(\eta_{\lambda\sigma})=1 \\ &\eta^{\lambda\sigma}={\Lambda_{\mu}}^{\lambda}g^{\mu\nu}{\Lambda_{\nu}}^{\sigma} ={(\Lambda^{-1})^{\lambda}}_{\mu}g^{\mu\nu}{(\Lambda^{-1})^{\sigma}}_{\nu} \end{align}$$

since


 * $$\begin{align}

{\Lambda^{\nu}}_{\sigma}{\Lambda_{\nu}}^{\mu}={g_{\sigma}}^{\mu}=\delta_{\sigma}^{\mu}  \Rightarrow   {\Lambda_{\nu}}^{\mu}={(\Lambda^{-1})^{\mu}}_{\nu} \end{align}$$

This concludes our proof that the module of $$d\Sigma_\mu$$ defined by (3.2.2) is indeed a scalar, therefore $$d\Sigma_\mu$$ is a four-vector.

P.51(3.2.3)

如书中所述,这样定义的的确是法向量,因为它与曲面垂直.具体的,用曲面内的任意一个坐标基$$e^{\mu}$$来缩并的结果为零,即$$e^{\mu}_a\varepsilon_{\mu\alpha\beta\gamma}e^{\alpha}_1e^{\beta}_2e^{\gamma}_3=0$$.假设$$a=1$$,则因为反对称张量对指标$$(\mu\alpha)$$反对称,而因子$$e^{\mu}_{a=1}e^{\alpha}_1$$对指标对称$$(\mu\alpha)$$对称,缩并后为零.

接着书中具体证明了(3.2.2)对非零曲面与(3.2.1)等价,即可以写为(3.2.3)的形式. 首先,由法向量的特性,我们形式上写为$$\varepsilon_{\mu\alpha\beta\gamma}e^{\alpha}_1e^{\beta}_2e^{\gamma}_3=\epsilon f n_\mu$$. 对此两边用$$n^\mu$$来缩并,利用$$n^\mu n_\mu=\epsilon=\pm 1$$,即得$$\varepsilon_{\mu\alpha\beta\gamma}n^\mu e^{\alpha}_1e^{\beta}_2e^{\gamma}_3=f$$. 因为$$f$$是标量,我们可以采用任何形式的坐标系来计算之.现在考虑如下特殊的坐标形式,$$x^0\equiv\Phi$$,$$x^{1,2,3}=y^{1,2,3}$$. 这样,$$e^{\alpha}_1=\delta_{\alpha,1},e^{\beta}_2=\delta_{\beta,2},e^{\gamma}_3=\delta_{\gamma,3}$$,这样对$$\mu$$的求和仅$$\mu=0=\Phi$$是才不为零.此即$$f=\sqrt{-g}n^0$$.用法向协变矢量归一的定义$$n_\mu=\Phi_{,\mu}/(g^{\alpha\beta}\Phi_{,\alpha}\Phi_{,\beta})^{1/2}$$,并且注意到$$\Phi_{,\mu}=(1,0,0,0)$$唯一的非零分量是零分量,由(3.1.4)我们得到$$n_\mu=\epsilon(1,0,0,0)/(g^{00})^{1/2}$$,注意到这并不是一个一形式,而必须按定义计算,而对应的逆变指标量为$$n^0=\epsilon g^{0\nu}n_\nu=(g^{00})^{1/2}$$,代回之前得到的$$f$$的表达式,即得$$f=\sqrt{-g}n^0=(-g g^{00})^{1/2}$$.最后,按书中提示将$$g^{00}$$写成其对应的逆阵$$g_{\mu\nu}$$代数余子式的形式消去行列式$$g$$,所以在可能差一个负号的情况下,代数余子式正是空间部分的雅克比.

P.52 (3.2.4-3.2.5)

这就是将(3.2.2)直接应用到零曲面的情况.三个曲面坐标分别为$$\lambda,\theta^A$$,对应的$$e^\mu_a\equiv \partial x^\mu/\partial y^a$$为$$k^\alpha=e^\alpha_1,e^\beta_2,e^\gamma_3$$,其中注意到对(3.1.5)给出的定义的讨论,而积分元$$d^3y=d\lambda d^2\theta$$.

P.52 (3.2.6)

书中(3.2.6)的证明在P.53给出. 其思路与之前类似,我们构造出满足对$$(\mu,\nu)$$指标反对称且与$$e^\alpha_{2,3}$$缩并为零的一般形式. 其实上,注意到与$$e^\alpha_{2,3}$$缩并为零的空间是两维,要求对指标反对称再去掉一维,所以它除了标量$$f$$外是唯一的.

其余证明思路与之前类似,我们对标量$$f$$选取最为方便的坐标系进行验算,$$x^0=\Phi,x^{1,2,3}=(\lambda,\theta^A)$$. 曲面上后两个坐标的定义导致$$e^\beta_2=(0,0,1,0)$$和$$e^\gamma_3=(0,0,0,1)$$. 值得指出的是,在文中给出的选择下,法向量的协变与逆变矢量简单却不平庸.具体的,$$k_\alpha=(-1,0,0,0)$$而$$k^\mu=(0,1,0,0)$$. 注意观察$$f$$的形式,我们只需知道$$N^0$$即可. 正交关系要求导致$$N^0=+1$$,其余分量未知,但一般不为零,记为$$N^\lambda\equiv N^1, N^A\equiv N^{2,3}$$. 代入$$f$$的具体形式我们知$$f=\sqrt{-g}$$. 而因为$$g^{\mu\nu}k_\mu k_\nu=0$$,有$$g^{00}=0$$.其余分量未知,度规按(3.1.13)表达为文中的矩阵. 容易发现,这个矩阵的重要特点是其行列式与$$N^\lambda, N^A$$的具体数值无关,计算其行列式,即得(3.2.6).

P.52 (3.2.7)

这就是将(3.2.6)直接代入,利用指标反对易关系和基矢间的内积(为零或者为负一)关系即得.其中注意到反对易关系中含有系数$$1/2$$. 类似的,由(3.2.6)出发,可以证明讨论中用到的关系$$N^\alpha k^\beta d S_{\alpha\beta}=\sqrt{\sigma}d^2\theta$$. 而(3.2.7)具有清晰的几何意义.

文中接着给出了两个实例.其中第二个实例用到了(3.2.6)证明中涉及的$$f$$的表达式.

P.54 (3.2.8)

这里讨论一个内嵌在三维空间中的两维类空曲面.书中论证,它的面积元可以表达成与之前零曲面类似的形式.

这个两维类空曲面有两个法向量,一个是三维曲面的类时法向量和三维曲面切向的类空法向量.前者是以后的结果,后者虽然是直观的,我们按书中的记号给出证明如下. 首先按两维曲面的定义我们知道它的类空法向量与两维曲面正交,数学上,这是$$r_a e^a_A=0$$,即沿着曲面上的坐标$$\theta^A$$变化时$$\psi(y^a)$$不变. 我们需要证明的关系是$$r^\alpha$$与两维曲面的切向量$$e^\alpha_A$$正交,即$$r^\alpha_{\alpha A}=0$$. 为此,我们注意到三维曲面上的正交关系
 * $$e^\alpha_a e_\alpha^b = \frac{\partial x^\alpha}{\partial y^a}\left(g_{\alpha\beta}h^{bc}\frac{\partial x^\beta}{\partial y^c}\right)

= h^{bc}\left(g_{\alpha\beta}\frac{\partial x^\alpha}{\partial y^a}\frac{\partial x^\beta}{\partial y^c}\right) = h^{bc}h_{ac}=\delta_{ab}$$ 其中利用了投影度规$$h_{ab}$$的定义. 这样,我们在原有的关系里插入上述$$\delta_{ab}$$,得到
 * $$0=r_a e^a_A=r^a e_{aA}=r^a \delta_{ab} e_{bA}=(r^a e^\alpha_a) (e_\alpha^b e_{bA})=r^\alpha e_{\alpha A}$$.

注意到其中指标$$(ab)$$使用投影度规$$h_{ab}$$来改变上下标位置的.证毕.

而(3.2.8)的证明与之前是非常类似的.唯一的不同是$$n_\mu, r_\nu$$这里不是零矢量,故需要归正负一,其中正负号是由于$$n_\mu$$类时,而$$r_\nu$$类空.最后仍然需要把度规的分量写成矩阵的形式计算行列式,得到(3.2.8)的形式.

最后,通过把正交归(正负)一的矢量构建成缩并为负一的零矢量,最后得到与零曲面完全相同的(3.2.6)的形式.

P.55 (3.3.1)


 * $$\begin{align}

\int_{\mathscr{V}}{A^{\alpha}}_{;\alpha}\sqrt{-g}d^4x=\oint_{\partial \mathscr{V}}A^{\alpha}d\Sigma_{\alpha} \end{align}$$

这是高斯定义,其中的表面元$$d\Sigma_{\alpha}$$的定义就是(3.2.2).

这里对高斯定理的证明与普通场论中非广义相对论情况下的证明很不同.

我们先回顾一般狭义相对论中协变守恒流导出守恒量的过程. 我们先把协变的时空散度部分写为时间分量对时间偏导和空间分量对空间的散度的贡献之和,然后对空间散度部分对空间的积分使用普通三维空间的高斯定理化为面积分. 接着,我们并且假设体系域于有限空间或者任何物理量在无限远处以足够快的速度衰减,从而认为在空间无限远处的面积分为零.这样空间导数部分没有贡献. 而对剩余的时间导数部分,我们把零分量对空间的积分定义为守恒量,因为形式上它对时间的导数为零.

而在广义相对论中,高斯定理的推广形式本身先需要被证明. 技术上,这涉及到在把矢量协变导数的缩并利用雅克比写为普通导数后,我们把积分和求导的变量分割为径向变量和角度变量. 同时,我们注意到物理量在空间无穷远处为零的假定仍然是合理且重要的假设.实际上,在之后(3.3.2)附近的讨论中,上述假设仍被使用以得到守恒量的形式. 对书中高斯定理的证明,具体讨论如下.

首先利用矢量的协变微分的形式把等式写成普通散度的体积分的形式.考虑任意有限大小的封闭曲线$$\Sigma$$,包络了一个有限体积.

接着,表达式是协变的,所以我们可以选取一个特殊的坐标系以简化分析. 在这个坐标系中,"时间"或者准确的说"径向"坐标对应一个描写表面的函数$$\Phi$$(3.1.1),它像洋葱一样的一层一层,使得在中心处$$\Phi=0$$,在外表面处$$\Phi=1$$. 选择了这个径向坐标以后,余下的其他坐标都是角度坐标,即任何物理量(这里的被积函数)是余下坐标中的至少一个坐标的周期函数. 为了便于直观理解,可以先考虑平面极坐标,接着考虑球面极坐标的例子.前者仅牵涉到一个周期性的角度坐标,后者牵涉到两个角度坐标且仅有一个是周期性坐标. 对于更一般的情况,我们指出,任何维度的空间都可能通过变换把所有的维度相关的长度量纲做归入一个径向坐标,而把剩余无量纲的自由度都归入角度坐标中.

然后,把散度径向和角度部分的导数分开写成两项之和. 一方面,角度坐标部分的散度的体积分为零.因为被积函数是至少一个坐标(在其他坐标给定情况下)的周期函数,我们可以先完成其他坐标的导数和积分操作,这样剩下的操作仅对最后一个周期性变量进行. 不难验证,对一个周期函数先求导然后对完整周期的积分为零.这很容易用傅里叶级数展开周期函数来验证. 另一方面,径向坐标的积分仅有在表面上积分的贡献,在球心处贡献为零. 故高斯定理的第一形式得证.

注意到上述三个角度坐标正是(3.1.2)中标记曲面的三个$$y$$坐标.在这个情况下,从全空间$$(\Phi,y^1,y^2,y^3)$$到$$y^1,y^2,y^3$$的诱导度规对应的行列式平庸的有$$\sqrt{-g}=\sqrt{h}$$,而按(3.2.2)表面元只有零分量不为零.所以最后表达式又能写成协变的形式.

P.56 (3.3.2)

在这里,我们从高斯定理出发,进而讨论满足协变导数缩并为零的守恒流与守恒量的关系.

我们假设守恒量在空间无穷远处为零.这样我选择某特殊的圆柱形的三维曲面,使得其柱形侧面对应空间无穷远处的的类时曲面. 这样,守恒流只能通过圆柱形的上下底面,而在圆柱侧面的面积分为零. 这是因为,考虑感兴趣的实际体系仅仅局限在有限的空间中.最后的守恒荷的表达式为(3.3.2).
 * $$\begin{align}

Q \equiv \int_{\Sigma}{j^{\alpha}}d\Sigma_{\alpha} = \int_{\Sigma}{j^{\alpha}}n_{\alpha}\sqrt{h}d^3y \end{align}$$ 如(3.3.1)的笔记中指出的,上述论证过程的内涵和普通场论中由守恒流得到守恒荷的证明过程非常类似,只是这里得到的结果(3.3.2)是广义相对论协变面元(3.2.1-3)的形式.

一个具体计算的例子,参见Research Paper Notes on Gravitational Collapse使用$$(u,v)$$坐标和$$(u,r)$$计算电荷的过程.

P.56 (3.3.3)

这是斯托克斯定理在广义相对论中的推广,它的证明过程与之前的高斯定理非常相似. 除了空间维度上从两维平面的边界一维曲线推广为三维曲面的边界两维曲面以外,我们注意到在平直空间中三维矢量的旋度
 * $$\left(\nabla\times \mathbf{A}\right)_a=\epsilon_{abc}\nabla^b A^c=\nabla^b (\epsilon_{abc}A^c)=\nabla^b B_{ab}$$

其中$$B_{ab}\equiv \epsilon_{abc}A^c$$就是一个反对称张量.

P.57 (3.4.1-3.4.2)

容易证明,之前(3.1.12)等式右边第二项定义的$$h_{\alpha\beta}$$的确是投影算符.因为投影后的量,$${h^\alpha}_\beta T^\beta$$满足$${h^\alpha}_\beta T^\beta n_\alpha =0$$.

按此逻辑,(3.4.1)是一个展开形式.它把一个切向张量用基矢展开,但是其分量仍然采用对应的高维度空间的指标.

注意到(3.4.2)同样仅对切向张量成立,具体的,把(3.4.1)代入(3.4.2)的左边,我们得到
 * $$A_{\alpha\beta\cdots}e^\alpha_a e^\beta_b\cdots =A^{cd\cdots}e_{\alpha c} e_{\beta d}\cdots e^\alpha_a e^\beta_b\cdots

=A^{cd\cdots}\left(e_{\alpha c}e^\alpha_a\right) \left(e_{\beta d}e^\beta_b\right)\cdots =A^{cd\cdots}\left(g_{\gamma\alpha}\frac{\partial x^\gamma}{\partial x^c}\frac{\partial x^\alpha}{\partial x^a}\right) \left(g_{\delta\beta}\frac{\partial x^\delta}{\partial x^d}\frac{\partial x^\beta}{\partial x^b}\right) \cdots =A^{cd\cdots}h_{ca}h_{db} \cdots \equiv A_{ab\cdots}$$ 此即(3.4.2).其中利用了$$e^\alpha_a$$和$$g_{ab}$$的定义(3.1.7)和(3.1.9). 书中再次强调,(3.4.2)对于$$x^\mu$$坐标而言是一个标量,对于$$y^a$$而言才是一个张量.

P.58 (3.4.4)

等式的右边可以直观的理解为把一个在曲面切向的基矢,沿着曲面切向平行移动时的变化率在曲面切向基矢上的投影. 这个表达式的几何意义是高维空间中联络在曲面切向空间中的投影.

P.58 (3.4.6)

这个关系说明(3.4.4)所定义的高维空间中联络在曲面切向的投影正是曲面上度规的联络. 换言之,曲面切向空间的联络并不依赖于其内嵌在高维空间中的具体形式,此即内曲率概念的由来.

显然(3.4.6)可以通过诱导度规的定义直接验证. 而另一个方法是考察广义相对论中(3.4.6)的推导过程,比如参考Schutz一书(5.72)到(5.75)的推导. 我们发现,关系(3.4.6)用度规导出需要以下三个条件. 第一是联络可以升降协变导数的指标,此即(3.4.5). 第二是度规的协变导数为零,此即书中证明的关系,它是协变导数所有指标在曲面切向的投影.书中给出了证明. 第三是联络是对称的,即(3.4.4)对指标$$(a,b)$$对称. 在广义相对论中,联络的对称性来自协变导数交换顺序的对称性,因为在一个坐标系中对称的张量在任何坐标系中都是对称的. 对于投影度规,最直接的证明方法是(3.4.4)上一式的中的$$A_\alpha \to \phi_{;\alpha}=\phi_{,\alpha}$$,因为协变导数$$\phi_{;\alpha;\beta}$$对指标$$(\alpha,\beta)$$对称,故交换后发现整个表达式必然对指标$$(a,b)$$对称,故投影度规对应的联络也必然对指标$$(a,b)$$对称.

P.59 (3.4.8)

这个结果的几何意义是,在高维度空间看来,一个曲面切向矢量的协变导数会导致曲面切向和垂直于曲面切向的分量. 前者就是内曲率,它反映了内嵌曲面本身的弯曲程度,故与曲面如何内嵌在高维空间的具体方式无关;而后者就是外曲率,它反映了曲面是如何弯曲的内嵌在高维空间中的.

P.59 (3.4.9)

这里用一个特殊的例子,用三个基矢之一的$$e^\alpha_a$$来取代矢量$$A^\mu$$. 因为$$A^\alpha =\delta_{ba} e^\alpha_b = A^b e^\alpha_b$$,故$$A^b =\delta{ba}$$. 代入(3.4.8)即得(3.4.9).

P.59 (3.4.11)

这里证明中用到的第二个条件,来源于基的协变导数仅来源于联络的贡献,而后者,按之前关于(3.4.6)笔记中讨论的投影联络(3.4.4)对指标$$(a,b)$$的对称性.证明参见相关讨论.

P.59 (3.4.12)

这里的证明只需用到完备条件(3.1.12)和$$n^\mu$$的归一性(3.1.3).

P.60 (3.5.3)

这里补充一些推导细节.

首先上方RHS部分第二步等式,是利用了$${\Gamma^d}_{ab}$$对$$x^\mu$$来说是标量,所以对它的协变导数就是普通导数,即
 * $${\Gamma^d}_{ab;\gamma}={\Gamma^d}_{ab,\gamma}={\Gamma^d}_{ab,f}\frac{\partial y^f}{\partial x^\gamma}$$

而后者$$\frac{\partial y^f}{\partial x^\gamma}$$与$$e^\gamma_c$$对亚元$$\gamma$$求和后得到$$\delta_{fc}$$.

解出$$e^\alpha_{a;\beta\gamma}e^\beta_b e^\gamma_c$$后与$$e^\alpha_{a;\gamma\beta}e^\gamma_c e^\beta_b$$相减,等式左边为零. 等式右边,比较Ricci张量的定义,首先能提出$${R^\alpha}_{\mu\beta\gamma}$$它对应两项联络$$\Gamma$$的导数以及两项联络的乘积; 接着有两项外曲率的协变导数,每项都等于一项普通导数和一项联络;最后剩下的两项与外曲率有关.

P.61 (3.5.5)

这里补充一些推导细节.

首先将$$R_{\alpha\beta}$$和$$R$$的展开式代入$$G_{\alpha\beta}=R_{\alpha\beta}-\frac12 Rg_{\alpha\beta}$$后再与$$-2\epsilon n^\alpha n^\beta$$缩并.

注意到$$R_{\alpha\beta}$$展开式等式右边第一项由于Ricci对指标的反对称,缩并后为零,所以这一项为零. 另外$$R_{\alpha\beta}$$展开式右边第二项为$$-2\epsilon h^{mn}R_{\mu\alpha\nu\beta}e^\mu_m e^\nu_n n^\alpha n^\beta$$. 注意到$$R$$展开式,利用归一性$$Rg_{\alpha\beta}n^\alpha n^\beta=\epsilon R$$. 这样展开式等式右边的第一项为$$+2\epsilon h^{ab}R_{\mu\alpha'\nu\beta'}n^\nu e^{\alpha'}_a n^\nu e^{\beta'}_b$$,注意到Ricci张量的对奇偶指标的反对称性,两次交换亚指标后与上述剩余项正好抵消. 最后留下的一项对应$$R$$展开式等式右边第二项$$h^{ab}h^{mn}R_{\mu\alpha'\nu\beta'}e^\mu_m e^{\alpha'}_a e^\nu_n e^{\beta'}_b$$. 利用(3.5.3)表达为曲面切向Ricci张量,并注意到$$h^{ab}h^{mn}R_{manb}={}^3R$$,即得(3.5.5)右边的结果.

P.62 (3.5.7)

这个表达式的主要计算对象正是上述(3.5.5)的计算过程中相互抵消的项的内容. 这里补充一些推导细节.

在推导最初,Ricci标量等式右边第一项与四个法向矢量缩并为零是利用了Ricci张量对指标的对称性,参见Schutz一书(6.69). 接着,利用Ricci张量的定义,Schutz一书的(6.77),我们有$$[\nabla_\alpha,\nabla_\beta]n^\nu={R^\mu}_{\nu\alpha\beta}n^\nu$$. 进一步利用定义(6.91)缩并指标,我们有$$[\nabla_\mu,\nabla_\beta]n^\nu={R^\mu}_{\nu\mu\beta}n^\nu=R_{\nu\beta}n^\nu$$. 对等式两边用$$n^\beta$$进一步缩并即得书中的结果
 * $$n^\beta[\nabla_\mu,\nabla_\beta]n^\nu=n^\beta R_{\nu\beta}n^\nu=n^\beta n^\nu_{;\nu\beta}+n^\beta n^\nu_{;\beta\nu}$$.

P.63 (3.6.1-3.6.2)

本节讨论广义相对论中爱因斯坦方程的初始条件.

文中指出,顾名思义,初始条件必须由初始"时刻"所定义的超曲面上的诱导度规完全确定,这样的对称的度规只含有六个独立分量.对比$$10-4=6$$,四个不确定的自由度正对应了一个任意坐标变换携带的自由度,换言之,规范所对应的四个自由度.

因此,初始"位置"可由$$h_{ab}$$决定,而初始"速度"可由$$K_{ab}$$决定,后者正是度规在由法向矢量决定的流的演化速率在曲面切向的投影.

注意到,(3.6.1-3.6.2)给出了爱因斯坦方程中与曲面垂直方向投影相关的分量.这些分量,并不构成投影度规和外曲率在垂直方向上的"时间"演化. 实际上,它们所决定的投影度规和外曲率的关系,反过来是一种额外的约束. 在技术上,在爱因斯坦方程的其他(在曲面切向的投影)分量构成了演化方程的同时,它们构成了爱因斯坦方程3+1分解对应的约束方程.

在下一节,书中给出宇宙学度规的例子. 首先,因为空间各向同性,故空间部分的度规,即以时间坐标为常数定义的曲面上的投影度规,必然在旋转下不变. 因此,除去可能的时间依赖以外,度规的空间部分正比于单位矩阵. 同理,在曲面上,并不存在任何特殊方向,故$$j_a=0$$. 又因为宇宙学考虑的宇宙是均匀的,物质密度在曲面上为常数,$$\rho=\mathrm{const.}$$.显然,这并不排除"常数"可以是时间坐标的函数. 简单总结,空间各项同性,即旋转不变,意味着标量为常数,矢量为零,而张量(由舒乐引理)正比于单位矩阵. 进一步,外曲率反映了曲面法向量在曲面上平行移动的变化率在曲面切向的投影,因为各向同性,这个张量也必须正比于单位矩阵. 因为外曲率与曲面内嵌到高维空间的具体形式有关,故这意味着我们考虑的内嵌在曲面切向上必须是各项同性的.否则空间将存在某特殊方向. 因此,$$K_{ab}$$正比于$$h_{ab}$$.文中比例常数为$$\frac13 K$$,这是因为在投影度规中$$h_{ab}$$被用以升降指标,故$$K$$就是外曲率的迹. 另外,因为$$h_{ab}$$是平直的,(3.6.1)中的$${}^3R=0$$. 最后,由$$g_{00}=g^{00}=-1$$,归一后$$n_\alpha = \partial_\alpha t$$.而由(3.4.12)和$$\sqrt{-g}=\sqrt{(-1)(-1)(a^2)^3}=a^3$$,我们有
 * $$K={n^\alpha}_{;\alpha}=\frac{1}{\sqrt{-g}}(\sqrt{-g}n^\alpha)_{,\alpha}=\frac{\dot{(a^3)}}{a^3}=\frac{3\dot{a}}{a}$$.

P.64 Killing vector and normal vector

对于静态(static)时空,$$\xi_\alpha=g_{\alpha\beta}\xi^\beta=g_{\alpha\beta}\delta_{\beta t}=g_{\alpha t}=g_{tt}\delta_{\alpha t}=g_{tt}\partial_\alpha t$$.

按书中讨论,静态时空的克林矢量,法向量,和外微分有密切的关系.

P.65 spherically symmetric external curvature

在这里我们要写出一个球对称但非平庸的外曲率的形式,书中给出下述形式
 * $$K_{ab}=\left[K_1(r)-K_2(r)\right]n_a n_b+K_2(r)h_{ab}=K_1(r)n_a n_b+K_2(r)(h_{ab}-n_a n_b)$$.

其中$$n_a$$并非三维(平直空间)曲面的(类时)法向量,而是垂直与两维球面的(类空)单位法向量,$$h^{ab}n_a n_b =1$$. 我们注意到张量$$h_{ab}$$对应了平直空间的度规,它显然是球对称的,它包含了径向与角度方向的分量. 新增加的部分正比于$$n_a n_b$$显然是径向的,因为它与任何角度方向的矢量$$e_A$$缩并后都为零. 同时由矢量的径向分量构成的张量在空间没有特殊方向,其分量满足旋转对称性.所以两者之和$$K_{ab}$$满足球对称性. 而如文中指出的,把它的系数分别写开为$$K_1,K_2$$后,张量$$(h_{ab}-n_a n_b)$$对应了角度部分,这是因为它与径向矢量$$n_a$$的内积为零.

具体的,如文中指出的,$$h_{ab}$$在$$(r,\theta,\phi)$$坐标系中的分量为$${h^a}_b=(1,1,1)=\delta_{ab}$$,而$$n^a n_b=(1,0,0)$$,故$${K^a}_b=(K_1,K_2,K_2)$$.后两者其实要用$$h_{ab}$$来升降指标.

接着,取第一个约束方程非平庸的解$$K_2=-2K_1$$,注意到这时$$K=-3K_1$$正是张量迹. 将此时外曲率$$K_{ab}$$的具体形式代入第二个约束方程,注意到$$K(r)n_a n_b$$对$$y^b$$的协变导数产生三项,而$$h_{ab}$$的协变导数为零,同时该项对$$K(r)$$的导数贡献系数$$\frac23$$.综上,正是对应文中给出的表达式.

接着文中给出具体计算.其中$${n^b}_{|b}$$和$$n_{a|b}n^b$$的直接计算需要用到求极坐标联络的形式.具体的,
 * $${n^b}_{|b}={\Gamma^b}_{ba}n^a={\Gamma^b}_{b1}={\Gamma^2}_{21}+{\Gamma^3}_{31}=\frac{1}{r}+\frac{1}{r}=\frac{2}{r}$$
 * $$n_{a|b}n^b={\Gamma^c}_{ab}n_c n^b={\Gamma^1}_{a1}=0$$.

P.65 conformally flat

首先共形平坦并非是平坦的,具体计算Ricci标量充分说明并不等于零. 共形因子对应的约束方程具体泊松方程的形式.

P.66 (3.7.1)

这里首先引入两个由曲面为边界的度规,并且假设在曲面附近存在统一的坐标系$$x$$.这个逻辑与Israel的原文不同,后者先不假设存在坐标系$$x$$,似乎数学上把不同假设带来的结果更清晰的划分开了,建议参考相关阅读笔记.

一方面,我们法向量的定义为(3.1.4)
 * $$n_\mu\equiv \frac{\epsilon\partial_\mu\Omega}{\left|g^{\mu\nu}\partial_\mu\Omega\partial_\nu\Omega\right|^\frac12}$$.

它的归一关系是$$\epsilon =g^{\mu\nu}n_\mu n_\nu=g^{\mu\nu}\partial_\mu\Omega \partial_\nu\Omega\frac{1}{\left|g^{\mu\nu}\partial_\mu\Omega\partial_\nu\Omega\right|}$$.

另一方面,对于任何标量函数$$\ell\equiv \ell(x^\mu)$$,我们可以把$$\ell$$对$$x^\mu$$的依赖关系看做一个坐标的定义,并由此引入一个坐标系. 具体的,针对其余的坐标自由度我们引入曲面坐标$$y^a$$,并且考虑与坐标变换$$(x^\mu)\to (\ell,y^a)$$对应的度规变换$$g_{\mu\nu}\to \tilde{g}_{\mu\nu}$$. 按文中假定,曲面上的点在曲面坐标$$y^a$$固定不变时的运动轨迹由$$\ell$$完全决定,且$$\ell$$的变化值就是固有距离. 因此坐标系$$(\ell,y^a)$$的度规必然满足$$\tilde{g}_{00}\equiv \tilde{g}_{\ell\ell}=1$$. 同时$$d\ell$$在曲面的法向,和$$dy^a$$互相垂直,即$$\tilde{g}_{0i}\equiv\tilde{g}_{\ell a}=0$$. 由此,我们可以证明
 * $$g^{\alpha\beta}n_\alpha n_\beta=g^{\alpha\beta}\epsilon^2 \partial_\mu \ell\partial_\nu \ell

=g^{\alpha\beta}\frac{\partial l}{\partial x^\mu}\frac{\partial l}{\partial x^\nu}=1$$. 证明过程如下,由上面定义的坐标变换,以及坐标变换下张量的定义我们有
 * $$g^{\alpha\beta}\frac{\partial l}{\partial x^\mu}\frac{\partial l}{\partial x^\nu}=\tilde{g}^{\ell\ell}$$.

因为$$\tilde{g}^{\mu\nu}$$是$$\tilde{g}_{\mu\nu}$$的逆阵,把逆阵元素$$\tilde{g}^{\ell\ell}$$用代数余子式表达,我们有
 * $$\tilde{g}^{\ell\ell}=\frac{\mathrm{Sub}\left(\tilde{g}_{\ell\ell}\right)}{\mathrm{Det}(-g)}

=\frac{\tilde{g}_{\ell\ell}\mathrm{Sub}\left(\tilde{g}_{\ell\ell}\right)}{\mathrm{Det}(-g)} =\frac{\tilde{g}_{\ell\ell}\mathrm{Sub}\left(\tilde{g}_{\ell\ell}\right)+\tilde{g}_{\ell a}\mathrm{Sub}\left(\tilde{g}_{\ell a}\right)}{\mathrm{Det}(-g)} =\frac{\mathrm{Det}(-g)}{\mathrm{Det}(-g)}=1$$. 其中$$\mathrm{Sub}\left(\tilde{g}_{\mu\nu}\right)$$为矩阵元素$$\tilde{g}_{\mu\nu}$$的代数余子式,推导过程利用了之前得到的$$\tilde{g}_{\mu\nu}$$元素的信息以及行列式的定义.证毕.

值得 指出 ,一些错误的分析方法是把对于某具体坐标系得到的结果随意的一般化. 比如,考虑$$d\ell^2$$为固有空间(或者固有时间),写下$$g_{\mu\nu}\frac{dx^\mu}{d\ell}\frac{dx^\nu}{d\ell}=1$$,或者$$\frac{dx^\mu}{d\ell}\frac{dx^\nu}{d\ell}=\frac1d g^{\mu\nu}$$其中$$d$$是时空的维度. 注意到上述做法包含两个错误.因为变量$$\ell$$的变化对应固有时仅对函数$$\ell=\ell(x^\mu)$$的自变量$$x^\mu$$沿着特殊方向的微分有意义. 故第一,最后得到度规形式是张量形式,必须在任何坐标系中成立,而推导中要求的全微分形式仅对特殊方向的导数有意义,显然无法用来度量坐标$$x^\mu$$任意形式的微小变化. 换言之,与$$g_{\mu\nu}$$缩并为1的量并不一定是度规的逆,它可以仅仅是在某特定投影空间下的没有协变性的一些系数. 第二,若$$\frac{dx^\mu}{d\ell}$$实际上是偏微分,那么在偏微分中保持不变其余坐标自变量完全没有被明确.

另一个错误的例子是考虑$$\Delta\ell=\frac{\partial \ell}{\partial x^\mu}\Delta x^\mu$$,从而利用它的平方 $$(\Delta\ell)^2=\left(\frac{\partial \ell}{\partial x^\mu}\Delta x^\mu\right)^2 =\left(\partial_\mu \ell \Delta x^\mu\right)^2 =\partial_\mu \ell \partial_\nu \ell \Delta x^\mu \Delta x^\nu$$. 来计算两阶量从而提取度规,$$g_{\mu\nu}=\partial_\mu \ell \partial_\nu \ell $$,这样做法与上面的错误本质上类似,上述关系并不对任意坐标的变化量$$\Delta x^\mu$$成立,且得到的结果与之前的表达互相矛盾. 另一种直观的理解上述错误的方法是考虑在平直空间的求极坐标中,不能用矢径坐标对笛卡尔坐标微分形式的平方来得到相应的度规.

将这个结果与$$n_\mu$$的归一条件(3.7.1)进行比较,我们发现$$\Omega = \ell$$的确可以选为固有空间(或固有时间),且可以忽略分母上的归一因子.

P.67 (3.7.2)

注意到$$n^\alpha, e^\alpha_a$$在曲面两边连续,因为坐标系$$x$$连续穿过$$\Sigma$$,而我们假设坐标系$$y$$在曲面两边一致. 在等式下方$$n^\alpha=dx^\alpha/d\ell$$,即$$n_\alpha n^\alpha=\epsilon \partial_\mu \ell (dx^\alpha/d\ell)=\epsilon d\ell/d\ell=\epsilon$$. 注意上述讨论中对(3.7.1)中$$n_\alpha$$归一性的计算.

P.67 (3.7.4)

这是度规在曲面上的连续性条件,称为第一类Israel连接条件.

书中的逻辑思路如下. 我们若要求$$x$$坐标系中要求$$g_{\alpha\beta,\gamma}$$,从而联络,是一个"分布".那么必须要求对应的阶跃项为零,即$$[g_{\alpha\beta}]=0$$. 利用投影度规的定义,以及连续条件(3.7.2)第二步等式,我们得到曲面坐标系上的形式$$[h_{ab}]=0$$,即(3.7.4). 这意味着两个曲面的投影度规是相同的.因为投影度规是内曲率,是不依赖于曲面内嵌的具体形式的,故我们得到结论不依赖于$$x$$坐标系的具体选取方式. 进一步,因为$$h_{ab}$$被唯一的确定,那么它的导数在曲面上也是被确定的,或者说曲面两侧的导数$$g_{\alpha\beta,\gamma}$$在曲面切向的投影一致. 这个结果在数学上是直观,某函数在边界上连续,那么因为导数的本质是差的比值的极限,该函数沿着边界的导数,即导数在边界切向的分量必然相等.

实际上,从物理上说,对于曲面两侧的度规而言,各自在曲面上的投影度规必须完全一致,这应该是连接条件的出发点. 反之,如果内外空间投影到$$\Sigma$$上的内曲率不同,这意味着其实内外空间的边界不是同构的,这与内外空间共有一个边界曲面的出发点矛盾.

另一方面,度规张量在界面上连续并不保证后者的导数在法向方向上连续. 这是直观的,因为函数在某点连续并不意味着函数的导数在该点连续.

我们注意到,书中(3.7.3)下一式,由$$[g_{\alpha\beta}]=0$$,等式右边的第三项阶跃项为零. 这使得$$[g_{\alpha\beta,\gamma}]=\left.g_{\alpha\beta,\gamma}^+\right|_\Sigma -\left.g_{\alpha\beta,\gamma}^-\right|_\Sigma$$. 注意到,因为$$g_{\alpha\beta,\gamma}$$一般并不在曲面上连续,$$\left.g_{\alpha\beta,\gamma}^+\right|_\Sigma$$与$$\left.g_{\alpha\beta,\gamma}^-\right|_\Sigma$$一般并不相等,故上述等式左边一般并不为零. 但按上述分析,$$g_{\alpha\beta,\gamma}$$在平面切向连续,故其不连续性$$[g_{\alpha\beta,\gamma}]$$只能沿着 平面法向,这就是(3.7.7).

P.68 (3.7.5-3.7.6)

这个结果的计算源于对度规的形式(3.7.3),它的导数包含阶跃部分.若联络是分布,那么上述阶跃部分就必须为零.由此联络具有与度规类似的形式,不包含阶跃项. 由Ricci张量的定义,它包含两项联络的导数和两项联络的乘积(参见Schutz(6.6.3)). 通过直接计算,书中给出联络的导数包含阶跃部分,联络的乘积显然不包含.由此得到(3.7.5-3.7.6).

P.68 (3.7.7)

这个结果的导出参见(3.7.4)的讨论.

由(3.7.8)两边用$$n^\gamma$$缩并即得(3.7.8). 而利用度规来表示联络即得(3.7.8)下一式.

P.69 (3.7.10)

它的上一式,可以直接用于验证$$S_{\alpha\beta}n^\beta=0$$.故曲面能动张量可以用曲面切向基展开,其展开系数可以直接用切向基投影得到.

而将(3.7.10)上一式直接代入系数的表达式,即(3.7.10)下一式,由于正交关系,只有(3.7.10)上一式等式右边最后两项有贡献.接下来化简用到完备关系(3.1.12).

接着法向量的协变导数因为坐标的选取普通导数部分为零,仅和联络有关.

P.69 (3.7.10-3.7.11)

这就是曲面上能动张量和外曲率的关系.

P.70 (3.8.1-3.8.2)

参见Schutz(12.19),(12.22)和(12.27).对应$$k=1$$.

P.71 (3.8.5-3.8.6)

我们简单讨论曲面坐标和投影度规的计算.

关于曲面坐标,书中指出,可以取适当的曲面坐标系$$y^a=(\tau,\theta,\phi)$$. 这样使得$$e^\mu_\tau=\frac{\partial x^\mu}{\partial \tau}=u^\mu$$. 而$$e^\mu_\theta=(0,0,1,0)$$,$$e^\mu_\phi=(0,0,0,1)$$,上述结果具有足够简单的形式,且对$$\mathscr{V}^-$$和$$\mathscr{V}^+$$都成立.

由此$$\mathscr{V}^-$$在$$\Sigma$$上的投影坐标为
 * $$h_{\tau\tau}=g^-_{\mu\nu}e^\mu_\tau e^\nu_\tau=g^-_{\mu\nu}u^\mu u^\nu=-1$$,
 * $$h_{\theta\theta}=g^-_{\mu\nu}e^\mu_\theta e^\nu_\theta=g^-_{\theta\theta}$$
 * $$h_{\phi\phi}=g^-_{\phi\phi}$$

其余分量皆为零. 类似的,$$\mathscr{V}^+$$在$$\Sigma$$上的投影坐标同样可以计算
 * $$h_{\tau\tau}=g^+_{\mu\nu}e^\mu_\tau e^\nu_\tau=g^+_{\mu\nu}u^\mu u^\nu=g^+_{tt}\dot{T}^2+g^+_{rr}\dot{R}^2=-f(R)\dot{T}^2+f(R)^{-1}\dot{R}^2$$,
 * $$h_{\theta\theta}=g^+_{\theta\theta}$$
 * $$h_{\phi\phi}=g^+_{\phi\phi}$$

我们注意到对内部度规$$\mathscr{V}^-$$边界由$$a(\tau)$$决定;而对外部度规$$\mathscr{V}^+$$,边界由$$T(\tau),R(\tau)$$决定.

文中指出边界的运动通过对(3.8.6)积分而确定,其中$$R(\tau)$$由$$a(\tau)$$决定,而后者由(3.8.2)的解以及边界内物质守恒(3.8.3)决定. 在上述讨论中,完全没有涉及边界上能动张量对应的运动方程.

P.71 (3.8.7-3.8.8)

我们简单讨论法向量和外曲率的计算,又参见这个stackexchange帖子.

这里计算法向量的细节值得注意. 对外部度规$$\mathscr{V}^+$$,如果我们已知曲面的方程为$$f^+(t,r,\theta,\phi)=0$$,那么通过求偏导就可得到法向量.
 * $$n_\mu = \frac{\epsilon \partial_\mu f^+}{\left|g^{\mu\nu}\partial_\mu f^+\partial_\nu f^+\right|^\frac12}$$

而因为曲面是球对称的,法向量必然与角度切向$$d\theta$$或$$d\phi$$垂直,换言之,我们有$$\partial_\theta f^+=\partial_\phi f^+=0$$. 现在,我们考虑一个随着质壳运动的"随动"观察者. 因为在运动中保持曲面坐标的类空坐标分量$$(\theta, \phi)$$不变,且取观察者的固有时$$s$$为曲面坐标的类时坐标分量. 这样,他的运动没有任何角度方向的位移$$d\theta=d\phi=0$$,同时,他的坐标形式上满足关系$$f^+(t,r,\theta,\phi)=0$$. 他的世界线由其时间坐标和径向坐标对固有时$$s$$的依赖描述,换言之,其轨迹由两个隐变量的方程决定,$$r=R(s), t=T(s)$$ 对固有时微分后有
 * $$\dot{T}\partial_tf^+ + \dot{R}\partial_rf^+=0$$

如书中所述,上述表达式中$$(\dot{T},\dot{R})$$正是边界世界线四速度$$u_+^\mu=(\dot{T},\dot{R},0,0)$$的分量,显然,法向量与之正交. 在$$(t,r)$$指标构成的两维子空间中,上述正交条件以及$$n^+_\mu$$归一的条件使得我们能够唯一的确定法向量的形式,即$$n^+_\mu=(-\dot{R},\dot{T},0,0)$$.

对内部度规$$\mathscr{V}^-$$,曲面$$\Sigma$$对径向空间坐标是随动的,换言之,决定曲面的方程是$$f^-=\chi-\chi_0$$,曲面上的坐标是$$(\tau,\theta,\phi)$$. 四速度为$$u^\mu_-=(1,0,0,0)$$,所以$$u^\mu_-\partial_\mu=\partial_\tau$$. 而归一后的法向量为$$n^-_\mu= \partial_\mu f^-/\left|\partial_\mu f^-\right|=a(\tau)(0,1,0,0)$$,所以$$n_\mu^-dx^\mu=a(\tau)d\chi$$.

接着,我们计算外曲率. 一般的,如书中的计算,利用表面四速度与法向量的正交关系,有$$K_{\tau\tau}=-a^\alpha n_\alpha$$,而由$$e^\mu_{\theta}$$的非零分量决定了$$K_{\theta\theta}=n_{\theta;\theta}$$,类似的有$$K_{\phi\phi}=n_{\phi;\phi}$$.

对外部度规$$\mathscr{V}^+$$的情况类似,但计算更为繁琐,具体的,计算中涉及到史瓦西空间的非零联络为
 * $${\Gamma^0}_{10}={\Gamma^0}_{01}=g^{00}\Gamma_{010}=g^{00}\frac12(g_{01,0}+g_{00,1}-g_{10,0})=g^{00}\frac12 g_{00,1}=(-\frac1f)\frac12(-f)_{,r}=\frac{1}{2f}(f)_{,r}$$
 * $${\Gamma^1}_{00}=g^{11}\Gamma_{100}=g^{11}\frac12(-g_{01,1})=f\frac12(-1)(-f)_{,r}=\frac{f}{2}(f)_{,r}$$
 * $${\Gamma^1}_{11}=g^{11}\Gamma_{111}=g^{11}\frac12 g_{11,1}=f\frac12\left(\frac1f\right)_{,r}=-\frac{1}{2f}(f)_{,r}$$
 * $${\Gamma^1}_{22}=g^{11}\Gamma_{122}=g^{11}\frac12(-g_{22,1})=-f\frac12\left(r^2\right)_{,r}=-fr$$
 * $${\Gamma^1}_{33}=g^{11}\Gamma_{133}=g^{11}\frac12(-g_{33,1})=-f\frac12\left(r^2\sin^2\theta\right)_{,r}=-fr\sin^2\theta$$

由此,注意到对$$X=X(r)$$,我们有$$(X)_{,r}u^0=\dot{X}$$和在曲面上$$f(R)=F$$,我们得到
 * $${u^0}_{;\beta}u^\beta=\ddot{T}+{\Gamma^0}_{00}u^0u^0+{\Gamma^0}_{10}u^1u^0+{\Gamma^0}_{01}u^0u^1+{\Gamma^0}_{11}u^1u^1

=\ddot{T}+2{\Gamma^0}_{10}u^1u^0=\ddot{T}+2\frac{\dot{F}}{2F}\dot{T}=\ddot{T}+\frac{\dot{F}\dot{T}}{F}$$
 * $${u^1}_{;\beta}u^\beta=\ddot{R}+{\Gamma^1}_{00}u^0u^0+{\Gamma^1}_{10}u^1u^0+{\Gamma^1}_{01}u^0u^1+{\Gamma^1}_{11}u^1u^1

=\ddot{R}+{\Gamma^1}_{00}u^0u^0+{\Gamma^1}_{11}u^1u^1=\ddot{R}+\frac12\frac{F\dot{F}\dot{T}^2}{\dot{R}}-\frac12\frac{\dot{F}\dot{R}}{F}$$
 * $$n_\mu {u^\mu}_{;\beta}u^\beta=-\dot{R}{u^0}_{;\beta}u^\beta+\dot{T}{u^1}_{;\beta}u^\beta

=-\dot{R}\left(\ddot{T}+\frac{\dot{F}\dot{T}}{F}\right)+\dot{T}\left(\ddot{R}+\frac12\frac{F\dot{F}\dot{T}^2}{\dot{R}}-\frac12\frac{\dot{F}\dot{R}}{F}\right)$$ 为了化简上式,我们首先利用$$\beta$$的定义(3.8.6)来消去$$\ddot{T}$$如下, 对$$F\dot{T}=\sqrt{\dot{R}^2+F}$$两边求导,得到
 * $$F\ddot{T}+\dot{F}\dot{T}=\frac{1}{2}\frac{2\dot{R}\ddot{R}+\dot{F}}{\sqrt{\dot{R}^2+F}}$$

代入上式右端第一项,得到
 * $$-\dot{R}\frac{1}{2}\frac{2\dot{R}\ddot{R}+\dot{F}}{F\sqrt{\dot{R}^2+F}}$$

同时,按(3.8.6),我们代入$$\dot{T}=\frac{\sqrt{\dot{R}^2+F}}{F}$$,同时把关系$$\dot{F}=\left.(f)_{,r}\right|_{R}\dot{R}=\frac{2M}{R^2}\dot{R}=\frac{1-F}{R}\dot{R}$$代入以$$F,R,\dot{R}$$取代$$\dot{F}$$,我们得到
 * $$n_\mu u^\mu_{;\beta}u^\beta

=-\dot{R}\frac{1}{2}\frac{2\dot{R}\ddot{R}+\dot{F}}{F\sqrt{\dot{R}^2+F}}+\dot{T}\left(\ddot{R}+\frac12\frac{F\dot{F}\dot{T}^2}{\dot{R}}-\frac12\frac{\dot{F}\dot{R}}{F}\right)$$
 * $$=-\dot{R}\frac{1}{2}\frac{2\dot{R}\ddot{R}+\dot{F}}{F\sqrt{\dot{R}^2+F}}+\frac{\sqrt{\dot{R}^2+F}}{F}\left(\ddot{R}+\frac12\frac{\dot{F}(\dot{R}^2+F)}{F\dot{R}}-\frac12\frac{\dot{F}\dot{R}}{F}\right)$$
 * $$=-\dot{R}\frac{1}{2}\frac{2\dot{R}\ddot{R}+\frac{1-F}{R}\dot{R}}{F\sqrt{\dot{R}^2+F}}+\frac{\sqrt{\dot{R}^2+F}}{F}\left(\ddot{R}+\frac12\frac{(1-F)(\dot{R}^2+F)}{RF}-\frac12\frac{(1-F)\dot{R}^2}{RF}\right)$$
 * $$=-\dot{R}\frac{1}{2}\frac{2\dot{R}\ddot{R}+\frac{1-F}{R}\dot{R}}{F\sqrt{\dot{R}^2+F}}+\frac{\sqrt{\dot{R}^2+F}}{F}\left(\ddot{R}+\frac12\frac{(1-F)}{R}\right)$$
 * $$=\frac{-\dot{R}\frac{1}{2}\left(2\dot{R}\ddot{R}+\frac{1-F}{R}\dot{R}\right)+(\dot{R}^2+F)\left(\ddot{R}+\frac12\frac{(1-F)}{R}\right)}{F\sqrt{\dot{R}^2+F}}$$
 * $$=\frac{F\left(\ddot{R}+\frac12\frac{(1-F)}{R}\right)}{F\sqrt{\dot{R}^2+F}}=\frac{\ddot{R}+\frac12\frac{(1-F)}{R}}{\sqrt{\dot{R}^2+F}}$$

另一方面,对(3.8.6)求导构建(3.8.8)第一式的右边得到,并代换$$\dot{F}$$的表达式后得到
 * $$\frac{\dot{\beta}}{\dot{R}}=\frac12\frac{2\ddot{R}+\frac{\dot{F}}{\dot{R}}}{\sqrt{\dot{R}^2+F}}

=\frac12\frac{2\ddot{R}+\frac{1-F}{R}}{\sqrt{\dot{R}^2+F}}$$ 最后注意到投影度规对角,且$$h^{\tau\tau}=-1$$,所以
 * $${K^\tau}_\tau=h^{\tau\tau}K_{\tau\tau}=(-1)(-n_\mu u^\mu_{;\beta}u^\beta)=\frac{\ddot{R}+\frac12\frac{(1-F)}{R}}{\sqrt{\dot{R}^2+F}}

=\frac{\dot{\beta}}{\dot{R}}$$. 此即(3.8.8)第一式.

类似的,我们可以计算角度部分,对$$\theta$$方向,我们有
 * $$n_{\theta;\theta}=0-{\Gamma^\mu}_{\theta\theta}n_\mu=0-{\Gamma^0}_{\theta\theta}n_0-{\Gamma^1}_{\theta\theta}n_1

=-{\Gamma^0}_{22}(-\dot{R})-{\Gamma^1}_{22}\dot{T}=-{\Gamma^1}_{22}\dot{T}=FR\dot{T}$$
 * $${K^\theta}_{\theta}=h^{\theta\theta}n_{\theta;\theta}=\frac{1}{R^2}FR\dot{T}=\frac{F\dot{T}}{R}=\frac{\beta}{R}$$.

而对$$\phi$$方向除了一个分子分母互相抵消的$$\sin^2\theta$$因子外,计算过程完全一致.这样我们得到(3.8.8)第二式.

对内部度规$$\mathscr{V}^-$$的情况类似,但计算相对较为简单,我们有
 * $${u^\alpha}_{;\beta}=0+{\Gamma^\alpha}_{\beta\nu}n^\nu={\Gamma^\alpha}_{\beta 0}$$
 * $${u^\alpha}_{;\beta}u^\beta={\Gamma^\alpha}_{\beta 0}u^\beta={\Gamma^\alpha}_{0 0}$$
 * $$K_{\tau\tau}=-n_\alpha {u^\alpha}_{;\beta}u^\beta=-n_\alpha {\Gamma^\alpha}_{0 0}=-{\Gamma^1}_{0 0}=-\frac12 g^{11}(g_{10,0}+g_{10,0}-g_{00,1})=0$$
 * $$n_{\theta;\theta}=n_{2;2}=-{\Gamma^\mu}_{22}n_\mu=-a{\Gamma^1}_{22}=-a\frac12 g^{11}(g_{12,2}+g_{12,2}-g_{22,1})

=a\frac12 g^{11}g_{22,1}=\frac12\frac1a(a^2\sin^2\chi)_{,\chi}=a\sin\chi\cos\chi$$
 * $${K^\theta}_\theta={K^2}_2=g^{22}n_{2;2}=\frac{1}{a^2\sin^2\chi}a\sin\chi\cos\chi=\frac1a\cot\chi$$.

上述第一个外曲率分量为零,因为在宇宙学度规中随动坐标的世界线就是测地线.

P.72 (3.8.9)

由$$\dot{\beta}=0$$且$$\beta\ne 0$$,知$$\dot{(\beta^2)}=2\beta\dot{\beta}=0$$,故由定义(3.8.6)知$$\dot{R}^2+F=\mathrm{const.}$$.

另一方面,由之前得到的四速度知$$-u_t=-g_{tt}u^t=-(-F)\dot{T}=F\dot{T}$$.

由(3.8.5)第一式以及$$\left[{K^\theta}_\theta\right]=0$$外曲率在边界上连续的条件,即得(3.8.9).

P.72 (3.8.10)

利用书中的(3.8.2),(3.8.5)和(3.8.6),我们有,
 * $$\dot{R}^2+F=\cos^2\chi_0=1-\sin^2\chi_0$$

由$$R=a\sin\chi_0$$求导$$\dot{R}=\dot{a}\sin\chi_0$$代入上式左边,得到
 * $$F=1-\sin^2\chi_0-\dot{a}^2\sin^2\chi_0=1-\left(\dot{a}^2+1\right)\sin^2\chi_0$$

从而
 * $$1-\frac{2M}{R}=F=1-\frac{8\pi}{3}\rho a^2\sin^2\chi_0$$
 * $$\frac{2M}{R}=\frac{8\pi}{3}\rho a^2\sin^2\chi_0=\frac{8\pi}{3}\rho R^2$$

此即(3.8.10)具有直观的物理意义.

从另一个角度,这里把对外曲率连续的条件与质量守恒关系(3.8.10)联系起来,反过来说明了我们先验的选取的数学条件的合理性.

P.73 (3.9.2-3.9.3)

上一式就是利用之前得到的外曲率的结果代入(3.7.11)并与(3.9.1)得到的结果联立. 其中注意到$$[K]$$求迹时角度部分有两项相同的结果,产生一个因子$$2$$. 对(3.9.2)第二项可以约去固有时哑变量而直接积分,注意到等式右边的加号在积分前产生一个额外负号故得到乘积形式$$(\beta_+-\beta_-)R=\mathrm(const)$$.

合理选取上述积分常数,可以将上述结果表达为(3.9.3),后者可以得到非常直观的物理解释.

P.73 (3.10.3)

由(3.10.2)微分得$$d\psi=d\phi-\Omega d\phi$$平方后比对(3.10.1)下一式的交叉项,得到$$R^2\sin^2\theta(-2\Omega)=-\frac{4Ma}{R}\sin^2\theta$$,此即(3.10.3).

P.73 (3.10.5)

注意到$$R$$是常数,这是一个平直空间的度规.

P.74 (3.10.6)

我们首先给出(3.10.6)以上外曲率及能动张量计算的细节.

外曲率的定义为$$K_{ab}=n_{\alpha;\beta}e^\alpha_a e^\beta_b$$.

我们从曲面外部度规的坐标$$(t,r,\theta,\phi)$$投影到曲面坐标$$(t,\theta,\psi)$$. 注意到$$\phi=\psi+\Omega t$$,即得书中给出的 $$e^\alpha_t\partial_\alpha=\frac{\partial x^\mu}{\partial t}\partial_\alpha=\partial_t+\Omega \partial_\phi$$, $$e^\alpha_\theta\partial_\alpha=\partial_\theta$$, $$e^\alpha_\phi\partial_\alpha=\partial_\phi$$.

法向量为$$n_\alpha=f^{-\frac12}(0,1,0,0)$$,其中$$f=1-\frac{2M}{r}$$. 利用Kerr黑洞联络的具体形式,外部度规(3.10.1)在计算中需要用到的非零分量为
 * $${\Gamma^r}_{tt}=\frac{r_s\Delta r^2}{2\Sigma^3}=\frac{Mf}{r^2}$$
 * $${\Gamma^r}_{t\phi}=-\frac{Mfa\sin^2\theta}{r^2}$$
 * $${\Gamma^r}_{\theta\theta}=-rf$$
 * $${\Gamma^r}_{\phi\phi}=-rf\sin^2\theta$$

其中略去了$$a^2$$及更高阶的项,且注意到$$\Sigma\to r^2$$,$$\Delta\to r^2f$$,$$r_s\to 2M$$. 由此,利用联络计算协变导数,缩并,并代入曲面上的值$$r\to R$$,$$f\to f(R)=F$$得到
 * $$K_{tt}=n_{\alpha;\beta}e^\alpha_t e^\beta_t=\left(0-{\Gamma^\gamma}_{\alpha\beta}\right)e^\alpha_t e^\beta_t

=-{\Gamma^r}_{\alpha\beta}e^\alpha_t e^\beta_t F^{-\frac12} =\left(-{\Gamma^r}_{tt}-2{\Gamma^r}_{t\phi}\right)F^{-\frac12} =-{\Gamma^r}_{tt}F^{-\frac12}=-\frac{MF}{R^2}F^{-\frac12}=-\frac{MF^{\frac12}}{R^2}$$
 * $${K^t}_t=h^{tt}K_{tt}=-\frac1f (-1)\frac{MF^{\frac12}}{R^2}=\frac{MF^{-\frac12}}{R^2}$$
 * $$K_{\theta\theta}=n_{\alpha;\beta}e^\alpha_\theta e^\beta_\theta=\left(0-{\Gamma^r}_{\theta\theta}\right)F^{-\frac12}

=RF F^{-\frac12}=RF^{\frac12}$$
 * $${K^\theta}_\theta=h^{\theta\theta}K_{\theta\theta}=\frac{1}{R^2}K_{\theta\theta}=\frac1R F^{\frac12}$$
 * $$K_{t\psi}=n_{\alpha;\beta}e^\alpha_t e^\beta_\psi=\left(0-{\Gamma^r}_{\alpha\beta}\right)e^\alpha_t e^\beta_\psi F^{-\frac12}

=\left(-{\Gamma^r}_{t\phi}e^t_t e^\phi_\psi-{\Gamma^r}_{\phi\phi}e^\phi_t e^\phi_\psi\right) F^{-\frac12} =\left(\frac{MaF\sin^2\theta}{R^2}-RF\sin^2\theta\Omega\right) F^{-\frac12} =\frac{3MaF\sin^2\theta}{R^2}$$
 * $${K^t}_\psi=h^{tt}K_{t\psi}=-\frac{1}{F}K_{t\psi}=-\frac{3Ma\sin^2\theta}{R^2 F^{\frac12}}$$
 * $${K^\psi}_t=h^{\psi\psi}K_{t\psi}=\frac{1}{R^2\sin^2\theta}K_{t\psi}=-\frac{3MaF^{\frac12}}{R^4}$$.

曲面内部度规为平直空间,其结果就是把曲面外部度规的结果取$$M=0$$即得.

最后取差后求迹$$[K]=\frac{M}{R^2 F^{\frac12}}+\frac2R\left(F^{\frac12}-1\right)$$,不难得到曲面上的能动张量.

因为曲面以及投影表示是三维的,故以归一的速度为本征矢的矩阵方程对应3个独立方程,同时含有2+1=3个待定变量.

P.74 (3.10.7)

这里 不清楚 如何用Killing矢量,即度规的对称性来构造四速度的形式.

P.75 (3.10.8-3.10.11)

注意(3.10.8)是由速度归一,并略去小量后得到的. 这样得到的速度本证方程仅含两个变量,只需两个方程. 我们注意到求得的角速度(3.10.9)并不是(3.10.3).

按文中的讨论,这里的结果与马赫原理一致.即(3.10.13)与(3.10.12)的比值在$$R\to 2M$$时趋于1,这意味着平直空间中的"静止"观测者将跟随者质壳同步转动. 这与马赫原理对应的惯性性其实由质量的运动所决定的逻辑相符.

P.76 (3.11.1)

按之前零曲面的参数的选择,这里$$\lambda$$对应了零曲面上生成元产生的测地线的参数(一般非纺射参数),而$$\theta^A$$用于标记不同的生成元.

P.77 (3.11.4)

与非零曲面类似,这是物理上对零曲面作为内外空间边界的要求,即边界上的投影度规必须同构.

P.77 (3.11.7-3.11.8)

这里考虑穿过零曲面的类时测地线.

对零曲面而言,法向就是切向,所以(3.11.8)要求速度在任何曲面基上的投影在曲面两边连续. 直观上,这个要求来源于曲面上的投影度规的统一性的出发点. 比如,考虑当一个矢量正好是定义在曲面上时,我们自然的希望从曲面两侧空间$$\mathscr{V}^\pm$$到曲面上的投影度规对该矢量丈量是一致的. 这个一致性体现在把矢量与曲面上的基缩并(投影)得到的分量都是相同的.形式上,此即(3.11.8).

对非零曲面而言,这点实际上与完备关系(3.1.12)自洽.具体的,(3.1.12)意味着,矢量的度量分别是在曲面上投影度规的度量以及曲面法向方向上度量的代数和的形式. 对零曲面而言,这点却有些 蹊跷 ,因为由其完备关系(3.1.13)并不能作出上述解读. 实际上,由之前对投影度规的计算,当一个矢量完全处于平面切向时,它的度量也仅有其$$d\theta^{A}$$分量决定. 而当某个矢量不完全处于切平面时,(3.1.13)意味着其横向$$N^\alpha$$方向上的分量会导致非零的协变方向$$k_\alpha$$分量.

在此意义上,对四速度$$u^\mu$$投影要求(3.11.8)第一步等式,其实是某种约定. 由于四速度是归一的,(3.11.8)中的三个条件可以完全的决定四速度在曲面另一侧的三个独立分量. 这进一步导致在一般情况下,$$-u_\alpha N^\alpha$$在曲面两侧不连续.

P.78 (3.11.9)

将(3.11.7)中定义的$$u^\mu$$代入(3.11.9)等式右边$$-(-k_\mu u^\mu)\frac{\partial\tau}{\partial x^\alpha}$$,即得等式右边. 即标量场$$\tau(x^\alpha)$$的梯度就是零曲面的法向,其比例系数由法向量与观测者的四速度缩并决定.

P.78 (3.11.10)

这里(3.11.10)对应了(3.7.5)的阶跃部分(3.7.6). 在之前(3.7.5)的推导中,我们利用了法向量的定义$$\frac{\partial l}{\partial x^\mu}=\epsilon n_\mu$$,而这里涉及类似的偏导$$\frac{\partial \tau}{\partial x^\mu}$$,其归一部分利用(3.11.9)即得(3.11.10)中的相关系数.

P.78 (3.11.11-3.11.12)

这里(3.11.11)上一式给出$$[g_{\alpha\beta,\gamma}]$$在曲面切向的投影为零. 其论证与非零曲面情况类似,并注意到这里法向量$$k^\gamma$$同时沿着切向.具体参见(3.7.4)的笔记.

类似的,任何$$g_{\alpha\beta,\gamma}$$的不连续性只可能沿着非切向$$N^\gamma$$的投影. 利用"正交"关系(3.11.5)第二式,用$$N^\gamma$$缩并(3.11.11)两端,即得上述$$N^\gamma$$方向投影后的不连续性被$$\gamma_{\alpha\beta}$$所承载. 最后利用(3.11.11)和联络用度规导数的表达形式,即得(3.11.12). 显然,$$\gamma_{\mu\nu}$$对应于非零曲面情况下外微分$$K_{ab}$$的角色.

P.79 (3.11.15)

由这个定义,(3.11.15)下一式的分解可证明如下.
 * $${\gamma^\alpha}_\mu k^\mu=g^{\alpha\beta}\gamma_{\beta\mu}k^\mu

=(-\gamma_{\beta\mu}N^\beta k^\mu)k^\alpha+(-\gamma_{\beta\mu}k^\beta k^\mu)N^\alpha+(\sigma^{AB}\gamma_{\beta\mu}e^\beta_B k^\mu)e^\alpha_A =-\frac12\gamma_{\beta\mu}(N^\beta k^\mu+N^\mu k^\beta)k^\alpha+(-\gamma_{\beta\mu}k^\beta k^\mu)N^\alpha+(\sigma^{AB}\gamma_B)e^\alpha_A$$
 * $$=\frac12\gamma_{\beta\mu}(g^{\beta\mu}-\sigma^{AB}e^\beta_A e^\mu_B)k^\alpha+(-\gamma_{\beta\mu}k^\beta k^\mu)N^\alpha+(\sigma^{AB}\gamma_B)e^\alpha_A

=\frac12({\gamma^\mu}_\mu-\sigma^{AB}\gamma_{AB})k^\alpha+(-\gamma_{\beta\mu}k^\beta k^\mu)N^\alpha+(\sigma^{AB}\gamma_B)e^\alpha_A$$ 其中前后两次利用了完备关系(3.11.6),并且利用了(3.11.11)下方表达式中$$\gamma_{\mu\nu}$$对指标的对称性,以及定义(3.11.15).

P.79 (3.11.16)

比较非零曲面的关系(3.7.11),这里$$\gamma_{\mu\nu}$$显然对应于非零曲面情况下外微分$$K_{ab}$$的角色. 但是前者,曲面上的能动张量与$$\gamma_{\mu\nu}$$都被定义在高维空间的度规中,后者的定义都能被局限在投影度规中. 在后面的(3.11.18),书中通过(3.11.17)中引入$$C_{ab}$$,把能量密度,流,压强都表达为投影度规中物理量的形式.

P.80 (3.11.17)

书中指出,因为法向量与曲面相切,这里与外曲率相对应的量不再是微分,而是(3.11.17). 它同样是对指标对称的,证明过程与之前类似.其中注意到坐标系的协变导数仅来源于联络部分,而后者对两个下指标对称.

P.81 (3.11.19)

此式说明零曲面的压强等于零曲面两边零世界线的加速度差,故压强不为零时零曲面两边不可能同时加速度为零,即零世界线参数$$\lambda$$不可能在零曲面两侧都为仿射坐标. 注意到,由(3.11.18),压强的定义与"外曲率"有关,换言之,它与具体的曲面嵌入高维空间的方式有关,但与描述高维空间的具体坐标系无关.所以不可能通过选择不同的坐标系来改变上述结论.

P.81 (3.11.20)

由于Raychaudhuri方程左边由垂直曲面的内曲率决定,它在边界零曲面上对应边界上的投影度规,而按本章讨论的物理出发点,保证了内曲率在曲面演化中通过我们所关心的零曲面时连续变化. 因此,我们可以由此得到方程右边在零曲面上的跳跃.

P.82 (3.11.25)

如书中所述,在这个变换下,曲面切向基的正交性和投影度规$$\sigma_{AB}$$保持不变. 这不难验证,只需注意到变换前$$k^\alpha$$与$$e^\alpha_A$$的正交性,以及$$k^\alpha$$是一个零矢量.

P.83 Imploding spherical shell

这里书中指出,当质壳塌缩速度为光速时,质壳对应的曲面类空.证明如下. 按(3.8.7-3.8.8)的讨论,曲面上随动坐标(即保持曲面坐标的类空坐标分量不变)的固有时为曲面坐标中的类时坐标,这样我们导出了四速度和法向量的形式. 具体的,$$u_+^\mu=(\dot{T},\dot{R},0,0)$$,$$n^+_\mu=(-\dot{R},\dot{T},0,0)$$和$$g^+_{\mu\nu}=(-f(r),f^{-1}(r),r^2,r^2\sin^2\theta)$$ 不难发现,当以光速运动时,四速度为零矢量,对应的模为零的条件为$$-F\dot{T}^2+F^{-1}\dot{R}^2=0$$,其中$$F=f(R)$$,它正是法向量为零矢量的条件.

我们实际上可以给出更为一般的证明. 因为上述与质壳随动的四速度与曲面法向量垂直. 这样,当四速度为光速,即为零矢量时,显然四速度与自身正交,可以选为曲面的法向量.这样的法向量显然是零矢量. 由于上述结论似乎与直观相左,我们不妨进一步指出,因为四速度与法向量都属于固有时和半径构成的二维子空间,不难证明,与零矢量垂直的矢量是唯一的.因为在这个空间中另一个线性独立的矢量是$$N_+^\mu$$,它并不与$$n^+_\mu$$正交. 由此,我们证明了四速度为零矢量时,曲面为零曲面.

在上述分析中,我们所得到的结论与直观的欧几里得空间中的常识并不一致,具体 分析 如下. 在欧几里得空间中,矢量的正交与线性独立并不是相斥的概念,所以我们总是可以选择正交且线性独立的矢量作为空间的基底.(注意到坐标基并不能进一步保证归一,所以基并不是归一的.) 在闵可夫斯基空间中,由于非平庸零矢量的存在,上述结论不在成立. 对于零矢量,比如零曲面的法向量,容易验证和它与零矢量自身成正比的任何矢量正交. 为了便于直观理解,我们可以考虑最简单的(1+1)维情况下的闵氏空间. 在这种情况下,因为正交方程是一个含两个变量的一阶线性方程,故除去一个不定的归一常数外,它的解是唯一的. 因此,与零矢量正交的矢量就只有它自身,故正交与线性独立在此情况下成为互斥的概念. 比如,这时空间中的两个零矢量$$(1,\pm 1)$$线性独立,可以取为空间的基,但是它们并不正交. 我们可以进一步将上述结论推广到高维空间. 具体的,我们只需在上述度规中通过直积引入其他正交的空间维度. 这时,在矢量空间中,与零矢量正交的矢量可以处于新增的空间维度中. 但这并不改变上述论证过程所得结论的本质,即闵氏空间中的零矢量及其与零矢量正交的部分的基并不构成完备的基底.

内空间$$\mathscr{V}^-$$为闵氏空间,其投影度规的计算参见P.66的计算过程. 注意到曲面上坐标为$$(r,\theta,\phi)$$,而$$t_-^2=r^2$$,即得$$ds_\Sigma^2=r^2 d\Omega^2$$.

接着,我们对外空间$$\mathscr{V}^+$$计算其投影度规. 由上面推知的曲面随动观测者四速度$$u_+^\mu$$为零矢量的条件$$-F\dot{T}^2+F^{-1}\dot{R}^2=0$$,得到 $$-\frac{dR}{f(R)}=dT$$从而
 * $$f(x^\mu)\equiv t_++\int\frac{dr}{f} = t_++r_* = T+\int\frac{dR}{F}=\mathrm{const}$$

其中注意到$$x^\mu=(t_+,r,\theta,\phi)$$,$$y^a=(r,\theta,\phi)$$,我们有
 * $$k_\mu =\frac{\partial f}{\partial x^\mu}=\left(1,\frac1f,0,0\right)$$
 * $$e^\mu_r=\frac{\partial x^\mu}{\partial r}=\left(-\frac1f,1,0,0\right)$$
 * $$e^\mu_\theta=\left(0,0,1,0\right)$$
 * $$e^\mu_\phi=\left(0,0,0,1\right)$$

由此
 * $$h_{rr}=g_{\mu\nu}e^\mu_r e^\nu_r=(-f)\left(-\frac1f\right)\left(-\frac1f\right)+\left(\frac1f\right)\cdot 1\cdot 1=0$$

这与书中P.49上$$h_{11}=0$$的结果一致. 而角度部分投影度规分量的计算是平庸的,我们得到 $$h_{\theta\theta}=g_{\theta\theta}$$和$$h_{\phi\phi}=g_{\phi\phi}$$,最后有
 * $$ds_\Sigma^2=r^2 d\Omega^2$$.

按具体计算结果,对于内外空间$$\mathscr{V}^\pm$$,都可做下面的论述. 由(3.11.17),(3.11.19)上一式,以及$$e^\alpha_r=k^\alpha$$,$$C^-_{AB}=0$$意味着$$\kappa N_\alpha k^\alpha=0$$,而由于$$N_\alpha k^\alpha=-1\ne 0$$,故加速度为零$$\kappa=0$$.这样$$\lambda$$在曲面两侧都是仿射坐标. 进一步计算表面,表面流和表面压强都为零.其中压强为零与上述曲面两侧的仿射坐标选取自洽,而表面密度正是引力质量除以表面积.

最后部分讨论了初始在$$\mathscr{V}^-$$内静止,沿着测地线运动,并穿过质壳的观测者的运动. 计算结果中观测者速度的变化源于$$-u_\alpha N^\alpha$$在曲面两侧的不连续性,具体参见之前(3.11.7-3.11.8)的讨论.

P.84 Accreting black hole

在外部时空$$\mathscr{V}^+$$的坐标系$$x^\mu=(t,r,\theta,\phi)$$中,我们出于Kerr空间中静止随动观测者被转动的时空拖拽的原因不以曲面上随动观测者的速度为出发点. 我们考虑质壳是球对称的,由此曲面方程与角度方向变量$$(\theta,\phi)$$无关,具有形式$$f(x^\mu)\equiv\Phi(x^\mu)=\Phi(t,r)$$. 故形式上法向量为$$k_\mu=(-\partial_t\Phi,-\partial_r\Phi,0,0)\propto (-1,-n_r,0,0)$$. 由法向量为零矢量的条件,我们得到$$\left(-\frac1f\right)1^2+fn_r^2=0$$,即$$n_r=\frac1f$$. 换言之,$$\partial_t\Phi =1, \partial_r\Phi=\frac1f$$,我们发现,$$\Phi(x^\mu)=t+\int\frac{dr}{f}=t+r_*$$的确满足上述要求. 这样我们得到了与之前史瓦西时空下相同的结果.

注意书中$$v$$并非曲面的速度,仅仅是曲面方程中含有的常数,曲面速度是光速. 法向量$$k^\alpha\partial_\alpha$$的计算来自于$$k_\alpha=\partial_\alpha v$$的$$(t,r)$$非零分量以及非零的度规交叉项$$g^{t\phi}$$.
 * $$k^\alpha\partial_\alpha = \frac1f\partial_t - \partial_r +\frac{2Ma}{r^3 f}\partial_\phi$$

自然的,法向量的逆变分量含有角度部分分量,并不是球对称的形式.

文中指出,由上述结果可以得到下面四条结果.我们具体讨论如下.

首先,上述关系可以按分量写成
 * $$k_\alpha = (-1,-\frac1f,0,0)$$
 * $$k^\alpha = (\frac1f, -1,0, \frac{2Ma}{r^3 f})$$

不难验证$$k_t=g_{tt}k^t+g_{t\phi}k^\phi=(-f)\left(\frac1f\right)+\left(-\frac{2Ma}{r}\sin^2\theta\right)\frac{2Ma}{r^3f}=-1+O(a^2)$$, $$k_\phi=g_{\phi\phi}k^\phi+g_{\phi t}k^t=r^2\sin^2\theta\frac{2Ma}{r^3f}+(-1)\frac{2Ma}{r}\sin^2\theta\frac1f=0$$. 参考(3.1.5-3.1.6)的相关笔记,以及3.1.4节和3.11.6节的例子,并注意到这里曲线方程$$\Phi(x^\mu)=t+r_*=v$$对任何数值$$v$$都对应零曲面. 所以,按书中之前的推导,$$k_{\alpha;\beta}k^\beta=0$$,由$$k^\alpha=\frac{dx^\alpha}{d\lambda}$$决定的参数$$\lambda$$即为纺射坐标.

另一方面,我们可以用具体计算来验证$$k_{\alpha;\beta}k^\beta=0$$,我们具体验证(原则上最为复杂的)$$r$$分量为零,即$$k_{r;\beta}k^\beta=0$$. 在计算中涉及到的非零,且对应项贡献至少为一阶的联络仅两个,它们是
 * $${\Gamma^r}_{rr}=\frac{-r_s r^2}{2\Sigma\Delta}=\frac{-M}{r^2 f}$$
 * $${\Gamma^t}_{rt}=\frac{M}{r^2 f}$$
 * $$k_{r;\beta}k^\beta=k_{r,\beta}k^\beta-{\Gamma^\alpha}_{r\beta}k_{\alpha}k^\beta

=k_{r,r}k^r-{\Gamma^t}_{rt}k_tk^t-{\Gamma^r}_{rr}k_rk^r =\left(-\frac1f\right)_{,r}(-1)-\frac{-M}{r^2 f}(-1)\left(-\frac1f\right)-\frac{M}{r^2 f}(-1)(\left(\frac1f\right)) =-\frac{f'}{f^2}+\frac{M}{r^2 f^2}+\frac{M}{r^2 f^2}=0$$

对比$$k^\alpha$$的$$r$$分量,$$\frac{dx^1}{d\lambda}=-1$$,故纺射坐标$$\lambda=-x^1=-r$$.此即第一条结果.

实际上,若比较其他分量,则我们得到其他坐标分量沿着由生成元决定的测地线演化的方程.我们由此得到其他三条结果. 比如对时间分量,我们有$$\frac{dx^0}{d\lambda}=\frac1f$$,此即书中给出的$$dt=-dr/f$$. 若考虑时间分量和$$\phi$$分量的比值,即$$\frac{dt}{d\lambda}=k^0=\frac1f$$与$$\frac{d\phi}{d\lambda}=k^3=\frac{2Ma}{r^3 f}$$的比值,我们得到$$\frac{d\phi}{dt}=\frac{k^3}{k^0}=\frac{2Ma}{r^3}$$. 因为生成元,即切矢量被自身推着沿着测地线平行移动,故上述$$\phi$$方向的角速度正是生成元被无穷远处观测者测量到的角速度. 此即第二条结果. 正是因为$$\phi$$沿着测地线变化,它随着$$\lambda$$变化,故它不能被选择为曲面坐标$$\theta^A$$,我们必须寻找其他合适的变量.

考虑$$\theta$$分量,它的结果是平庸的$$\frac{d\phi}{d\lambda}=k^2=0$$. 故沿着测地线$$\theta$$坐标没有变化,它仍然可以被选择为除了$$\lambda=-r$$外的第二个曲面坐标. 此即第三条结果.

对$$\phi$$分量直接积分,我们把积分常数记为$$\psi$$,即为书中的结果.显然积分常数$$\psi$$对应了某个沿着测地线的守恒量. 由此,我们找到了另一个曲面(角度)坐标$$\theta^B$$. 这样,外部时空$$\mathscr{V}^+$$的坐标系$$x^\mu=(t,r,\theta,\phi)$$的零曲面边界上我们选择曲面坐标为$$y^a=(\lambda,\theta,\psi)=(-r,\theta,\psi)$$. 此即第四条结果.

由此我们得到投影度规,在我们选取的曲面坐标$$y^a$$下,它具有球面的度规.由此可以进一步计算曲面上的能动张量. 通过进一步的计算书中指出,与静止零质壳塌缩相比,这里多了旋转部分导致的流. 这个流的本质能动张量对应流体的转速(并非测地线)与零测地线生成元的转速之差,在极端情况下,我们得到与马赫效应相关的结果,这与非零转动曲面的情况非常类似.

P.86 Cosmological phase transition

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