Research Paper Notes on Review of Superradiance

Research Paper Notes on Review of Superradiance

本文档除了包括推导, 疑惑 外,做 读书重点 的记录 $$$$

文献列表

 * Superradiance, arXiv:1501.06570, by Richard Brito, Vitor Cardoso, and Paolo Pani

Superradiance, arXiv:1501.06570, by Richard Brito, Vitor Cardoso, and Paolo Pani
本综述在2020年3月3日给出更新.这是对更新版的阅读笔记.本综述给出的重要文献列表很有意义,对初学者的知识体系构建很有帮助.

(3.4-5)

这里通过群速度对波矢与频率符号的分析是具有一般性的手续.

与文中的结论不同,注意到其实$$\omega$$是可以差一个负号的,这样对应某种相位正好相反的波,而重要是$$\omega$$与$$k$$的相对符号.具体的,当相对符号保持一致是,对应的色散关系其实是一个奇函数$$\omega(k)=-\omega(-k)$$,对上述函数群速度满足$$\frac{\partial\omega}{\partial k}(k)=\frac{\partial\omega}{\partial k}(-k)$$,换言之,始终满足物理上正确的入射波,反射波与透射波的群速度方向.

(3.6)

注意到(3.3)仅仅是关于空间坐标的函数,所以证明朗斯基行列式(3.6)守恒的关键步骤是注意到(3.6)对$$x$$的导数为零.

利用(3.3),并注意到$$\omega$$是给定的,即$$\omega,e,A_0$$都是常数(不是$$x$$的函数),这样,对方程(3.3)任意两个解$$(f_1,f_2)$$,易证(3.6)在任意空间点对$$x$$的导数都是零.这样朗斯基只能是常数.

(3.7)

这里,我们只能用朗斯基连接波函数在正负无穷大处的渐进行为而得到这个关系.这个结果就是分别用(3.4)中的两个表达式计算(3.6),令它们相等,并注意到(3.5),即得.具体已验证.因为我们仅知道势场的渐进形式而非具体形式,所以无法在某给定的空间点做波函数的连接关系.但是假设势场在$$x=0$$点跳跃在其他任何位置为常数可以验证上述结果,具体的,上述假设导致$$\mathcal{R}=\frac{\omega-k}{\omega+k}\mathcal{I}, \mathcal{T}=\frac{2\omega}{\omega+k}\mathcal{I}$$,易证,由结果同样可以得到(3.7)给出的关系.

我们,如果我们考虑给定的边界条件(3.4),那么在$$x\to\pm\infty$$的任何一端,(3.6)都为零.故朗斯基不仅为常数而且为零.对于一个两阶微分方程(3.3),它的通解由两个线性独立的解构成,朗斯基为零意味着两个解是线性独立的,换言之,满足边界条件(3.4)的所有解之间只可能相差一个常数,它们都是线性相关的.边界条件(3.4)从(两个线性独立的)通解中挑出了一个确定的满足物理上正确的边界条件的解.

而对于(3.7)中讨论的$$f, f^*$$,后者虽然是(3.3)的解,但显然它并不满足边界条件(3.4).这个结果只是利用(3.4)是方程(3.3)的解的条件得到反射,投射与折射系数间满足的关系而已.

(3.13)

注意到这里考虑的是(1+1)维的情况,而这个边界条件既满足(与之前讨论完全类似的)对群速度方向的要求,又满足运动方程(3.12).

(3.14)

可以想象部分涉世未深的无知少女不禁要问,为什么之前导出(3.7)我们要借助朗斯基,而这里(3.14)我们却要使用守恒流.如果反过来,是否会导致其他不平庸的结果?

实际上,不难证明,之前的朗斯基(3.6)就是守恒流的一般情况.具体的,因为由(3.3)出发,按量子力学的标准方法构造守恒流(如参见苏汝铿量子力学),我们得到的正是$$j^1=f^*\frac{df}{dx}-f\frac{df^*}{dx}$$.如果我们考虑的是非相对论的薛定谔方程而非克莱因高登方程,那么我们同样将得到(3.14).所以对波色场而言,这是一种相对论效应.而对满足相对论协变的狄拉克方程而言,费米子却没有超辐射发散.

如文中所讨论的,这两个不同的性质,本质上来自于对费米子的泡利不相容原理.

(3.15)

这个结果的推导实际上就是利用波色子与费米全同粒子统计属性,以及概率的归一性以计算粒子平均数,具体参见这篇文章的(25)与(28).

实际上,我们顺带指出,该文给出了克莱因佯谬非常全面的描述,一些具体推导和讨论参见相关笔记.

(3.16)

这个结果在引文中并没有直接给出,这里我们结合Hansen与Manogue的文献来推导这个结论.

对标量场,参考Manogue一文的(22),考虑到给定频率与动量的情况,注意到本综述使用的势场形式与上述文献不同,从文献的表达式出发需要做变换$$+eV/2\to 0,-eV/2\to eV$$,不存在横向空间$$k\to 0$$,同时标量场质量为零$$m\to 0$$,综上我们得到$$q\to\omega,r\to \omega-eV$$,考虑到透射振幅定义一致$$T\to\mathcal{T}$$,因此文中的(22)意味着粒子对算符的期待值为$$\bar{n}_B=\left|\frac{r}{q}\right||T|^2\to \frac{\omega-eV}{\omega}|\mathcal{T}|^2$$,与本文(3.16)第一式的结果一致.

参考Hansen一文的结果(22),同时参见(9),(22),(61)以及相关讨论,并注意到此时$$q$$为负值.我们利用文章中$$T$$的表达式,参见文章(3-4)的笔记并注意到与$$\mathcal{T}$$的区别,这时对应替换$$q\to \omega-eV,p\to \omega$$,故$$\bar{n}_B=|T(-q)|^2=\frac{|q|}{|p|}|\mathcal{T}|^2\to\frac{\omega-eV}{\omega}|\mathcal{T}|^2$$.与之前的结果完全一致.

对费米场,情况其实比较复杂.我们盲目的同样参考Hansen一文的结果(22),注意到这时$$\kappa$$的定义不同,但是替换过程完全类似,并且有$$|\kappa|\to 1$$,我们得到$$\bar{n}_F=|\kappa||\mathcal{T}|^2\to|\mathcal{T}|^2$$,这就是本文(3.16)第二式的结果.按之后的讨论,其实我们注意到,每一个旋量分量的比值都满足$$\mathcal{T}=T$$.

参考Manogue一文的最后一式(没有编号),结论似乎不显然.这时我们注意到,比较Hansen一文的附录,反射波各自旋分量的比值$$R_i/I_i$$其实是不同,两篇文章都是考虑了(3+1)维空间,对入射波归一化的约定不同,故Hansen一文有统一的反射振幅而Manogue一文对每个旋量分量都涉及不同的反射振幅,而与之相比,Cardoso一文考虑的是(1+1)维,通过定义也仅仅使用了一个反射振幅.既然我们对计算方法已经给出了明确的讨论,这里并没有进行更为详细的计算.

(3.17)

文中这部分关于能量守恒的讨论似乎比较民科.用负能量联系反粒子的说法在现代物理中是应该竭力避免的,给出的引文也是在现代量子场论没有成熟的年代,文章也完全没有涉及到从场论的角度对问题的讨论.

对波色子,考虑带正电$$+e$$的粒子从真空入射打在势垒$$V$$上,当有正反粒子对产生时,以反射方向出射的正粒子动能为$$\omega$$,沿入射方向进入势垒的反粒子动能为$$eV-\omega$$,两者之和为$$eV$$,而反粒子带负电,其势能为$$-eV$$,故总能量为0.整个过程还需考虑以动能$$\omega$$打在势垒上直接被弹性反弹的粒子,这些粒子的能量不足以进入势垒,在被后者弹性反弹后动能同样也是$$\omega$$,运动方向相反.正负粒子对产生概率由动力学决定,就是(3.16)第一式.

如果没有满足超辐射条件,那么透射(正)粒子的动能为$$\omega-eV$$,而势能为$$eV$$,两者之和为$$\omega$$.这个能量由入射粒子的动能$$\omega$$提供.和上面一样,在上述透射过程中还需叠加弹性反弹的粒子,整个物理过程没有出现反粒子.同样,反射与透射振幅由动力学决定.

上述分析,与Hansen一文(14)下讨论中得到的,对质量不为零的情况下在满足条件$$eV>2m$$时出现粒子对产生一致.这时势场提供给反粒子的能量等于正反粒子对的动能与其静质量的总和.具体的注意到条件$$E0$$.注意到$$v_0\cdot k=v_0 \cos\theta_0 k$$及$$\frac{ck}{n}=\frac{2\pi c}{n\lambda}=\frac{2\pi }{T}=\omega$$,我们有$$\omega < v_0\cdot k$$,此即(3.20).

接着,文中对(3.20-21)物理上的讨论是很有意义的,我们指出,这里并不涉及外势场以及正反粒子对产生.

(3.23)

它推导中的主要物理动机是热力学第二原理,具体参见贝根斯坦一文arXiv:gr-qc/9803033的公式(12)以及相关笔记.与金兹伯格的反常多普勒条件相比较,吸收系数必须为负,反射系数大于1,这时体系发生超辐射现象.

文章在这里指出的,超辐射与耗散的关系的具体讨论,参见上述文献(48ab)附近的讨论.文献中通过对旋转媒质超辐射的具体计算指出,如果不存在耗散,则超辐射也不能出现.

(3.25)

此式的物理意义是,压强梯度与外力场有关.比如,在重力场中空气的不同高度的压强不同.

参考原文,张少君指出,静态平衡时压强差导致净外力,即$$\frac1n\frac{\partial p}{\partial r}=-(mg+eE)$$,代入理想气体状态方程$$p=nkT$$,即得(3.25).

我们可以进一步导出(3.26),或原文中的(3).这是因为如果两个不同组分的分压随着坐标的变化不同,意味着这两个组分在空间的分布有差异,换言之,两个组分分离了.

一个被自己带到沟里去的理解是把压强与巨势联系起来.利用系综理论里广义力的形式,参考苏老师统计力学对正则系综广义力(压强)的计算公式(3.6.2),即$$\frac{ X}{kT}=\frac{\partial \ln P}{\partial x}$$其中$$P=\int e^{-\beta E}d\Omega$$,推广到巨正则系综的情况(3.11.21),即$$\frac{ X}{kT}=\frac{\partial \ln \Xi}{\partial x}$$其中$$\Xi=\int e^{-\beta (E-\mu N)}d\Omega$$.但对巨正则系综,有$$-pV=\tilde{\Omega}=-kT\ln \Xi$$.另一方面,如果流体静力学的受力平衡,那么应该是$${ X}=\frac{\partial p}{\partial x}$$,其中$$X$$是单个粒子受到的净外力.如果直接把$$X$$替换成压强,不考虑到粒子数密度是变量.则与上述结果一致.

(3.33)

这里 不清楚 超辐射准粒子的动量与能量是如何被表达为费米面动量$$k_{\mathrm{F}}$$和能隙$$\Delta_0$$的.综述中给出的引文[157]仅仅涉及临界磁场与临界电流密度的关系的历史回顾.

(3.36-37)

具体参见声学黑洞(arXiv:gr-qc/9712010v2)的综述声学黑洞的(2-3)以及推导.数学上,这个度规是直接从波动方程对应的微扰方程得到的.

(3.41)

这部分讨论基本上是对Landau落体力学一书第二版P.322激波一章习题的具体阐述,内容比原书更为详尽.一些讨论可以参考该书的[Lecture_Notes_of_Fluid_Mechanics_by_Landau_and_Lifshitz|读书笔记].我们注意到由于边界条件,波矢在边界切向的投影对所有的波一致,在通解中对应因子$$e^{ik_xx+ik_yy}$$.类似的,存在共同的时间震荡因子$$e^{-i\omega t}$$.

这里,(3.41)可以通过将形式解(3.40)代入运动方程(3.36),注意到度规(3.37)得到.其中,度规的交叉项对应(3.41)等式左边的交叉项,度规空间部分与媒质速度有关的部分对应(3.41)等式右边与媒质速度的平方项贡献.

(3.44)

这里,等式右边的贡献分为两部分,第一部分是由于机械波在给定空间点的振动在交界面法向的投影$$v_z$$,第二部分是来源于媒质沿着x方向的传播以及波形(在给定时刻)沿着x方向的变化,如果媒质静止,第二部分贡献为零.

(3.45)

这里$$k$$的符号由折射波的群速度(而非相速度)决定.通过这个关系可以得到超辐射的条件.

本文档除了包括推导, 疑惑 外,做 读书重点 的记录 $$$$