Research Paper Notes on Time-Delay Interferometry

Research Paper Notes on Time-Delay Interferometry

本文档除了包括推导, 疑惑 外,做 读书重点 的记录 $$ $$

文献列表

 * Time-Delay Interferometry, Living Rev. Relativity, 17, (2014) 6, by Massimo Tinto and Sanjeev V. Dhurandhar
 * Time-Delay interferometry, Living Rev. Relativity, 24, (2021) 1, by Massimo Tinto and Sanjeev V. Dhurandhar
 * Elimination of Clock Jitter Noise inSpaceborn Laser Interferometers, arXiv:gr-qc/0012013v2, by Ronald W. Hellings
 * Algebraic approach to time-delay data analysis for LISA, arXiv:gr-qc/0112059v2, by S. V. Dhurandhar, K. Rajesh Nayak and J-Y. Vinet
 * Effect of filters on the time-delay interferometry residual laser noise for LISA, arXiv:1811.01575v8, by Jean-Baptiste Bayle et al
 * Clock-jitter reduction in LISA time-delay interferometry combinations, arXiv:2005.02430v2, by Olaf Hartwig and Jean-Baptiste Bayle
 * Geometric Time Delay Interferometry, arXiv:gr-qc/0504145v2, by Michele Vallisneri
 * Laser frequency stabilization by locking to a LISA arm, Phys.Lett.A 320 (2003) 9-21, by Benjamin S. Sheard et al
 * The Performance of arm locking in LISA, arXiv:0908.0290v2, by Kirk McKenzie, Robert E. Spero, and Daniel A. Shaddock
 * Time-delay interferometry for LISA with one arm dysfunctional, arXiv:1001.4911v1, by S. V. Dhurandhar, K. Rajesh Nayak, and J-Y. Vinet

Time-Delay Interferometry, Living Rev. Relativity, 17, (2014) 6, by Massimo Tinto and Sanjeev V. Dhurandhar
本文是综述arXiv:gr-qc/0409034v2的2014更新版本.讨论探测引力波的空间迈克尔逊干涉仪的激光器相位噪声的消除TDI方法.本质上该方法利用匹配光程的方法来抵消未知形式的噪声,除了表面上简单的代数加减外,抵消方案即方程(21)或(28)的解,对应了从四个多项式多项式环到一个多项式环的映射$$\mathcal{R}^4\to\mathcal{R}$$的核.这进而可以通过Grobner基,环理想的生成元,和syzygies模等数学概念来系统的得到问题的解.后者的数学基础是值得深入学习的.

(7-9)

这里的推导文中的叙述并不清晰,可以参考比较(25)附近的推导.(8)是对光路中的激光相位噪声进行两次延时并相减后剩余的非零部分,它对应了噪声一次延时后的贡献.相当于(25)中算符乘积中的一次项.

(21)

因为(20)中的$$p$$可以是任何噪声形式,故(20)并不对应矩阵的齐次方程从而得到(21)的行列式为零,而是(21)本身必须为零.

其中$$(q,q')$$是$$\mathcal{D}_i\ (i=1,2,3)$$的多项式,因为多项式本身构成环,而$$\mathcal{D}_i$$是相互对易的,故这些多项式也构成环.

(28)

这个表达式(28)左边通过四个多项式的线性组合得到一个多项式,故是一个从四个多项式多项式环到一个多项式环的映射$$\mathcal{R}^4\to\mathcal{R}$$.

如文中所述,方程(28)要求等式右边为零,故它的解就是上述映射的核.称为sizigies模(module).

这个问题的数学本质就是通过环论的工具来求解上述方程.

(29)

数学方案的第一步是讨论由集合(29)为生成元构造的理想. 因为有四个生成元(即将这四个生成元乘以环的任何元素构成的理想,这区别于更简单情况下主理想通过一个生成元来产生的例子),故理想通过生成元来产生的形式是$$\sum v_i u_i$$,其中$$u_i$$就是由(29)决定的生成元(用符号$$u_i$$没有异议因为生成元本身必然属于通过其构造的理想$$u_i\in\mathcal{U}$$),而$$v_i\in\mathcal{R}$$是环中的任何元素,容易证明这样得到的集合满足理想的定义. 具体的,生成元$$u_i$$属于理想,所以左乘环元素$$v_i$$后$$v_i u_i$$仍然属于理想;同时因为理想元素的加法操作构成群,所以必然属于理想.综上,由生成元定义的集合$$\sum v_i u_i$$满足环的左理想的定义. 上述定义的理想可以由某一组更为精简的生成元基来生成,这组基底的一个选组方案就是Grobner基.

文中指出Grobner基是由单一生成元产生的主理想情况的推广,因为这里涉及多个生成元.

对于单一生成元的简单情况,文中给出了这样的例子.考虑仅由一个(而非本文中涉及的三个)变量定义的多项式环.我们同样考虑由任意指定的$$m$$个环的元素$$(g_1,g_2,\cdots,g_m)$$为生成元定义的理想$$\mathcal{G}$$,理想的元素形式为$$\sum_{i=1}^m v_i g_i$$.其中$$v_i$$就是该多项式环的元素.现在要考虑某多项式$$f$$是否属于上述理想.我们注意到,按多项式环的定义,多项式系数本身也是某个环的元素,我们考虑一个简单的情况,即多项式系数是整数,即多项式系数属于整数环.这意味着,对生成元集合的线性组合可以得到其"最大公约数",它是某个确定的多项式$$g$$.所以,若$$f$$是$$g$$乘以其他换元素得到的,换言之,$$f$$可以被$$g$$整除(余数为零),我们就可以通过对生成元的线性组合得到$$g$$,然后得到$$f$$,即$$f$$属于环$$\mathcal{G}$$.反之,若$$f$$属于环$$\mathcal{G}$$,它必然可以表达为$$\sum_{i=1}^m v_i g_i$$的形式,但因为$$g$$是$$g_i$$的公约数,我们可以把它们各自都写成公约数乘以换元素的形式,这样提出公约数后$$g$$,显然形式上$$f$$能被$$g$$整除.上述论证意味着,一个变量的多项式环的任意理想必然是主理想,理想只有一个生产元,上述例子中理想$$\mathcal{G}$$的生产元就是$$g$$.而文中指出,多于多变量多项式环,上述简单结论不再成立,这样才有Groner基的概念.

文中指出,对多变量多项式环,虽然任意环元素都可以写成$$\sum_{i=1}^m v_i u_i$$的形式,但是把换元素用生产元$$u_i$$来除,并把得到的余数用下一个生成元来除,一直到穷尽所有生成元,最后的余数未必为零.这是因为保证余数最小的原则导致了,用第一个生成元$$u_1$$除以后的余数并不一定是$$\sum_{i=2}^m v_i u_i$$.而Broner基确保上述连续除法最后得到的余数为零.

(30)

具体计算结果得到这里的Grobner基的数目为3个(比之前(29)中给出系数数目少1).更为直观的细节,参见(115-116)附近的讨论.

(31)

进而,我们可以计算对应sizigies模的生成元,从而得到问题的解.因为模(module)的简单例子就是定义在标量场上的矢量线性空间,对应的模的每个生成元具有6个分量(即$$q,q'$$的分量总数).线性独立的生成元有4个.具体细节参见附录的讨论.

(118)

由(116)易知$$Af=(1-dc)f=0$$,取转置为$$f^T A^T=0$$.比较方程(114),知$$A^T$$的每一行都满足(114),它们的线性组合也必然满足.

我们指出,上述构造的基础是矩阵$$dc$$的存在性.这可以简单的由基的定义得到证明.参考(29)处采用的符号,因为Grobner基是理想的基,故对于任意一组环的元素$$v_i\in\mathcal{R}$$,我们得到一个理想中的元素$$r=fv\equiv \sum_i v_i u_i\in \mathcal{U}$$,必然存在另外一组对应的环的元素$$w_i\in\mathcal{R}$$满足$$r=gw\equiv\sum_i w_ig_i$$.反之,对任意一组换的元素$$w'_i\in\mathcal{R}$$,得到一个理想中的元素$$r'=gw'\equiv\sum_i w'_ig_i$$,必然能够找到另外一组对应的环的元素$$v'_i\in\mathcal{R}$$满足$$r'=fv'\equiv \sum_i v'_i u_i\in \mathcal{U}$$.由上述第一个条件,我们取$$v_i=(1,0,0,0)$$,对应的$$w_i$$就是$$d$$矩阵的第一行的元素,由此类推得到$$d$$矩阵.而类似的上述第二个条件可用于决定$$c$$矩阵.

这里给出的结果中$$a_2$$的第二个元素有打字错误,因为$$1-z^2$$而非$$z(1-z^2)$$.

(120)

这里具体描述了如何构造另外三个生成元.这里,矩阵$$b^*$$把$$f$$转换为Grobner基的S多项式,但并不为零.具体推导参见本综述2021版的(50)之前的讨论.

通过上述具体构造过程我们直观的看到为何Grobner基可以用于确定sizigies模的生成元.

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Time-Delay interferometry, Living Rev. Relativity, 24, (2021) 1, by Massimo Tinto and Sanjeev V. Dhurandhar
这是综述的2021更新版本,对环论部分有较大更新.

(50)

这里给出了本文之前版本附录(120)的具体证明.比较(40),容易看到由(49)定义的$$b^*$$矩阵的行也是sizigies模的生成元.

(53)

这里讨论了syzygy的第二模的定义,它由sizigies第一模生成元的线性不独立性导致的.而对应的第二模的基是一维的.

而进一步推广,我们可以对希尔伯特的syzygy定理给出描述. 它形象的对应了文中给出的正合序列. 注意到中间部分的映射$$\mathcal{R}\to\mathcal{R}^4$$前后分别对应了syzygy第二模与第一模的生成元的维度,相应映射的核是零元素. 而中间的$$\mathcal{R}^4\to\mathcal{R}^4$$中的两个维度$$4$$分别是指由syzygy第一模式生成元的维度和(34)等式左边定义的理想的生成元的数目,相应的核正是(53). 而中后的$$\mathcal{R}^4\to\mathcal{R}$$中的两个维度$$4$$分别是指由(34)等式左边定义的理想的生成元的数目和等式右边的唯一多项式环,相应的核正是(34).

一般的,从syzygy第$$(k+1)$$模到第$$(k)$$模的映射,是一个理想.它是由前者的维度的环空间直积空间映射到后者维度的环空间直积空间.具体的,第$$(k+1)$$模的生成元的任一线性组合(决定的理想)按规则对应到第$$(k)$$模的生成元的某一个组合.显然,这个组合的组合系数的数目是$$(k)$$模生成元的数目.按定义,这个映射的相,就是由第$$(k)$$模的生成元定义的理想的核.由第$$(k)$$模的生成元定义的理想,是更低一阶的syzygy模的理想的核.而相应的,往另一个方向追溯,第$$(k+1)$$模的生成元定义了一个理想,如果这些生成元不是(resolved)线性独立的,那么这个理想有一个不平庸的核,它是比它更高一阶的syzygy模定义的映射的相.

上述讨论中的一个关键点是,对于多项式构成的对易环,对应某理想的完备的生成元并不一定是线性独立的.显然上述讨论中涉及的理想的核的生成元仍然满足理想的定义,且是上述理想的子理想(一般的情况下,模的核的生成元也构成模,且是子模).但是因为多项式环在除法运算下并不封闭(虽然可以引入整除和余数的定义,即两个环元素的除法并不一定仍是环的元素),容易理解环的生成元之间并不线性独立,但是因为不能保证整除,无法通过他们线性组合为零的关系把其中任何一个元素用其他元素表达(具体的,没有任何一个组合系数是其他系数的公因子)从而剔除出生成元集合.生成元线性相关的关系显然是用上述生成元表达理想的某种冗余.为了进一步消除这种冗余,我们可以试图找到生成元线性的关系系数(即生成元构成理想的映射的核)的生成元.上述做法显然可以不断重复,直至某阶的生成元是线性独立(映射的核为平庸)为止,这就是引入上述正和序列背后的动机.

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Elimination of Clock Jitter Noise inSpaceborn Laser Interferometers, arXiv:gr-qc/0012013v2, by Ronald W. Hellings
本文是引入边带(sideband)以实现钟噪声消除方案的第一篇工作.

(7-10)

这是在时间域计算两束激光的相位差. 其中(10)等式右边的第一项,一方面它来自于将(8-9)直接代入(7),即非相对多普勒效应,另一方面,它与频率的相对论多普勒效应,即频率作为四矢的零分量在洛伦兹变换下的变化形式自洽.

(12ab)

这里加入了钟噪声的效应. 这里(12a)就是(10)的结果.而(12b)是在激光频率中加入钟频率,同时考虑了钟(频)噪声的结果.

我们注意到(12a)中等式右边的第一项$$(\nu_2-\nu_1-V_{12}\nu_2)t$$,其中$$(\nu_2-\nu_1)$$来自激光器频率差,文中指出,它的大小为300MHz左右,而$$V_{12}\nu_2$$是相对运动带来的多普勒效应的修正,数量级更小,仅为即MHz. 但是它们给所测量的拍频增加了一个很大的偏移,在下面,通过实验手段控制$$a_{21}$$的数值来消去它对测量的影响.

(13ab)

按之前讨论,这里在实验上的边带信号中通过相位锁定的办法,使得$$a_{21}f_1=\nu_2-\nu_1-V_{12}\nu_2$$,这样就能得到一般文献中考虑边带后的信号公式.

这里的问题是,实验上的相位锁定必然存在一些误差,这些误差乘以时间$$t$$故随着时间单调增加.我们需要证明它并不随着时间积累影响到引力波信号测量. 实际上,按arXiv:gr-qc/0112059v2的(4.20)的推导和结果,我们发现引力波对拍频的影响是对激光频率的相对值,故只要差值$$[a_{21}f_1-(\nu_2-\nu_1-V_{12}\nu_2)]$$足够小,它不会对引力波信号有影响.

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Algebraic approach to time-delay data analysis for LISA, arXiv:gr-qc/0112059v2, by S. V. Dhurandhar, K. Rajesh Nayak and J-Y. Vinet
本文讨论了TDI组合的环论基础以及相关的SNR计算

(2.1)

这个式子给出了光源频率扰动的物理模型.它是在频率域,相对某中心频率$$\nu_0$$附近的依赖于时间的偏差$$\Delta\nu(t)$$.(2.1)中下标$$i$$用于标记不同(测量平台上)的激光源. 对应时域的振动形式为
 * $$f(t)=A \exp(i(\nu_0+\Delta\nu_i(t)))=A\exp(i(\nu_0(1+C_i(t))))$$

如果对给定的激光源,频率涨落$$C_i(t)$$是给定的时间函数,那么其波形同样是给定的时间函数.

(2.9-10)

这就是把$$\mu$$的逆阵乘以(2.8)的两边,在右边,把分母上的行列式$$\Delta\equiv\mathrm{det}\mu=1-E_1E_2E_3$$的逆阵再次乘以等式两边,即得.

(2.11)

第三步等式利用了(2.5)第一式,以及用代数余子式表达逆矩阵的形式.最后一步利用了(2.5)第二式,并注意到$$\Delta$$是个数.

(3.12)

这是考虑消除激光噪声和平台噪声的组合方程.在这个方程的导出中引入了新的测量量(2.8)和重新定义了一些测量和噪声项的组合(3.9-10).

这个方程并不带来新的解,因为由(3.12)消去新的组合系数$$r_i$$后,剩余的组合系数$$p_i, q_i$$满足的方程就是(3.1),它的解已经被讨论过了.反过来又可以直接得到新的组合系数$$r_i$$.

(4.2-3)

这里考虑了两种不同的引力波极化,在极坐标下把对应的张量基用归一的单位矢量$$\hat{\theta},\hat{\phi}$$表达出来.

注意到,这里的理论基础,即爱因斯坦引力中引力波的计划形式的推导可以参考Schutz广义相对论引论(9.21)以及Fig.9.1的推导过程.第一个基是反对称的,而第二个基是对称的.背景度规是平直空间.

(4.7-9)

这里的计算就是考虑度规扰动下,光测地线的无限小空间位移与时间间隔的关系.

因为引力波带来的度规扰动是时间的函数,故(4.7)涉及到在正确的时间计算度规扰动,其中涉及到相关空间位移在引力波传播方向上的投影.

实际上我们把它理解为一个标量函数,即(4.8),并且在后面(4.13)直接考虑它的傅里叶变换.

另外,(4.9)涉及把扰动张量基在需要度量长度的空间方向上的缩并.

(4.10)

为了在TDI计算中利用上述关系,我们考虑一个从平台A发射而最终被平台B接受到的光子,在平直空间中,其空间位矢是初始位置与空间位移的矢量和,后者沿着探测器B的接收到光子时刻的位置与探测器A发射光子时刻的位置的矢量差,(如本文,若考虑固定平台,则探测器位置不是时间的函数)此即(4.10).

(4.11)

注意到(4.7)中需要计算$$(t-\hat{w}\cdot\vec{r})$$,而其中的$$\vec{r}$$正是(4.10).代入后稍作调整即是(4.11).

(4.15-16)

注意到(4.14)中时间部分的积分可以独立完成.作为一级近似,在等式右边的指数上做替换$$(t_1-t_0)\to L$$.同时,我们将积分后差提出一个因子$$\exp(i\Omega t_0\hat{\omega}\cdot\hat{n})$$,它与之前积分号外的一个"常数"因子正好抵消,整理后即得(4.15-16).具体计算过程略.

(4.19)

注意到$$\Phi(t)$$是相角的量纲,其导数为角速度的量纲. 等式的右边是角速度的相对变化,而左边是频率的相对变化.而频率与角速度的差别仅仅是$$2\pi$$常数因子.

它本质上是平台间的激光束因为引力波导致的额外相角变化,这与之前中由于激光超声导致的相角变化是同时并存的.

为了将它与(2.1)给出的形式直接比较,我们计算它的对应值,即由引力波带来的相对角速度的变化,即(4.19)的右边,因为角速度与频率只差一个$$2\pi$$常数因子,显然它等于相对频率的变化.

(4.20-23)

这里(4.20)就是将(4.17)代入(4.19),利用傅里叶变换的定义,并注意到$$\vec{r}_A+L\hat{n}=\vec{r}_B$$,即得.

注意到这个表达式与用其他方法,比如Killing矢量法得到的结果,这与arXiv:gr-qc/0103075v2一文(8-9)或者arXiv:gr-qc/0311069v1一文(B11)是完全一致的.

若在等式两边考虑傅里叶频率空间的函数,即得(4.21),而(4.23)就是这个结果的直接应用.

龚云贵老师提示,这里(4.20)等式右边方括号中取差,有个重要的物理意义.这个方括号取差贡献了(4.21)中除了$$\tilde{h}(\Omega)$$以外相移对$$\Omega$$的依赖.这说明引力波通过度规扰动对相移的贡献并不来自扰动的同一相位,自变量的差别为臂长的数量级,如果引力波波长远大于臂长,那么上述差值较为稳定.如果引力波波长小于等于臂长,则上述差值会导致信号随着引力波频率震荡.这就是在灵敏度曲线高频区域观测到的结果.

(4.27)

这个结果给出了延时算符在傅里叶频率空间的简单形式,是(4.21)和(4.23)表达在傅里叶频率空间的主要原因.

(5.1)

这是在(3.10)的基础上增加了测试质量振动,引力波信号与shot噪声.

(5.5-6)

这里是从(5.4)出来,按之前特定组合得到的展开系数$$p_i, q_i, r_i$$以及测量量$$V^i, U^i, Z^i$$的具体形式(见(3.8),(3.10)和(5.1-3)),可知激光噪声与平台噪声$$\tilde{C}_i$$(3.9)都被抵消了.因此(5.4)化简后的表达式中只会包含测试质量$$i$$的振动分量$$j$$即$$\hat{n}_j\cdot v_i$$和散粒噪声$$Y_{U_i,V_i}$$,具体计算略.

在此基础上,我们假设所有的噪声都是独立的,即不同源和类型噪声间的协方差都为零.进一步假设所有噪声分量的期待值都是零.这样,按测量理论的基本计算,易知总噪声的标准偏差就是不同噪声标准偏差之和,噪声的平均值的平方就是不同噪声平均值平方之和. 将(5.1-3)代入(5.4),独立计算功率谱噪声部分的模的平方,就是(5.5-6)的结果.

(5.15-19)

注意到$$\omega$$是引力波角速度,而不是干涉激光器角速度.另外$$\Omega$$是度规扰动的时间函数傅里叶变换后的频率,与引力波角速度(频率)直接有关.注意比较之前时域表达式(4.17)中$$\Omega$$是哑变元,而$$\omega$$是激光频率,它在计算相对频率偏差时(如参见(4.20))不再出现.

这里考虑的是单频的引力波信号,可以看到从(5.15-16)出发,傅里叶变换后得到的频率域的信号含有一个$$\delta$$函数,它始终被保留在最后的结果(4.21)中.注意到在(5.17-19)中特意忽略了这个因子.即我们考虑的是针对每个单频引力波的探测器灵敏度.这里不存在因为卷积导致的单频引力波在频率空间弥散的问题.

(5.21)

这是信噪比定义.

其中分子是探测器上获得的引力波频率域振幅(5.19). 显然,在分子中,除了引力波振幅本身是频率的函数外,延时算符的傅里叶变换等因素也能带来额外的频率依赖关系. 具体分析如下. 首先是来源于(4.8)的傅里叶变换(4.13),所以它的模的平方是功率谱. 第二,在频率域中计算探测器的信号,我们得到关系(4.20),其中$$F$$对应两种偏振模式的传输函数.对其他偏振,比如呼吸模式纵向模式矢量模式,也可以定义类似的传输函数.这是从频率域的给定偏振的引力波振幅到探测器给定臂长的频率偏移信号. 第三,考虑到TDI组合后,最后的信号还包含TDI对应的线性组合,这样才得到(5.19).

分母是噪声功率密度的开方(5.20).这里,不同的噪声源是独立的,参见之前(5.5-6)的推导笔记与结果,显然它与引力波部分的功率谱的量纲完全相同.

我们指出,这个定义与其他文献中的定义完全一致,比如arXiv:gr-qc/0206081一文的(27)式,其中$$\mathcal{R}$$就是本文对应的传输函数$$F$$的平方(8). 其中分子分母的表达形式都是功率谱的量纲.

(5.22)

灵敏度函数的定义是,达到某事先给定的SNR值所必须的最小引力波波源振幅,它是引力波波源功率谱的平方根. 又参见arXiv:gr-qc/0206081一文的(28)式.

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Effect of filters on the time-delay interferometry residual laser noise for LISA, arXiv:1811.01575v8, by Jean-Baptiste Bayle et al
本文考虑反锯齿滤波,即高频滤波对TDI消除激光噪声方案的残余噪声的影响.残余噪声被表达为滤波与延时算符对易子的形式.

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Clock-jitter reduction in LISA time-delay interferometry combinations, arXiv:2005.02430v2, by Olaf Hartwig and Jean-Baptiste Bayle
本文考虑TDI及边带消除激发及钟噪声方案的残余噪声.残余噪声被表达为延时算符对易子的形式.

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Geometric Time Delay Interferometry, arXiv:gr-qc/0504145v2, by Michele Vallisneri
相对于"代数"方法,作者把本文提出的搜寻TDI组合的方法称为几何方法. 这里同时牵涉到TDI的"代"的概念. 不考虑延时算符对易子的是第一代.考虑延时算符一阶对易子(相当于探测器相对速度)消除的是第二代.考虑延时算符两阶对易子(相当于探测器相对速度平方和加速度)消除的是第三代.

虽然物理上是很有启发性的,但是作为一个寻找特解的方法,几何TDI并不具备数学完备性.已知的反例是全对称Signac组合,它并不能通过几何TDI的虚拟光路来解释. 我们在后面尝试讨论其物理意义.

具体做法我们以Fig.4中unequal arm Michelson写出(9)为例. 这个方法要穷举所有从某给定飞船出发(TDI解显然对出发点具有轮换对称性)沿着实线和虚线按时间演化到达另一飞船的光信号路径(给定出发飞船和交汇飞船不一定是同一个飞船),每两个飞船间的线段都带箭头. 几何TDI断言,正确的TDI组合存在其中,显然,Fig.4中对应的图都是TDI解,且满足上述特性. 我们按以下规则得到该图的相应贡献. 每一截连接两个相邻飞船的线段,下面称为链接(link)或者臂,都给出其部分贡献,最后的贡献是和的形式. 每个链接的贡献都对应的相邻两飞船间(带各自激光器噪声的)光信号的干涉(差). 实线贡献为正,虚线贡献为负. 每个链接的贡献具有延时(或者超前)操作,其延时就是从最终飞船(也是出发飞船)位置逆着时间倒退直到出发位置对应的的延时算符的反复叠加. 对实线,顺着箭头和逆着箭头对应时间的延时和超前(虽然是同一臂长)操作.对虚线,正好相反. 几何TDI要求上述对应实线和虚线的两条虚拟光路的臂长之和必须相等,断言满足这样条件的图为TDI解.

针对上述规则,按邵成刚 提示 ,我们讨论几何TDI构造背后的物理意义. 我们考虑出发点处的激光器(不是一般性,记为1)噪声,它是(6)中等式右边的第一项,在(7)或者(9)的贡献中,它按照路径以两个不同的方式(实线和虚线)分别延时,然后取差(干涉). 我们具体讨论如下. 对Fig.3左图,从1出发的实线和虚线都回到1,和上述讨论中激光器1的噪声相关的两项分别对应于(7)的第一项和最后一项.它们各自经历两次延时后取差. 对Fig.4右边八链接中的Unequal arm Michelson一图,同样是初始和终了于1的实线和虚线.和上述讨论中激光器1的噪声相关的两项分别对应于延时最长的两项,它们是(9)的第一项和最后一项,各自经历四(=3+1)次延时后取差. 通过具体代入,我们看到这样源于激光器1的两条光路间的干涉的确存在于几何TDI中,且被消除了.

不难注意到,虽然这样做消除了初始位置激光器的噪声,这样的消除方案会直接带来两个额外的下游激光器噪声. 具体的,以Fig.4不等臂迈克尔逊干涉为例,它们来源于(6)中等式右边的第二项,它们的符号为负号,并且接下来会被延时三次. 几何TDI通过引入光路中下游激光器测量量(6),来抵消上述第一步过程残余的激光器噪声,邵成刚称之为"接力"的方式. 考虑实线和虚线的第二截线段对应(6)中等式右边的第一项,它的符号为正,并且会被以同样的方式延时三次. 因此,通过上述比较我们发现,上述残余噪声通过(9)的第二项和第七项中对应部分被消除了,同时又进一步带来了新的残余噪声. 以递归(不断接力)的形式,这些噪声被实线和虚线上的下一组链接抵消,而又引入对应接受节点处激光器的链接. 特别是,在中途可以再次经过最初激光器. 我们指出,通过不断递归,最后一组残余噪声对应了虚拟光路闭合终点处的激光器. 在这里,两个噪声来源于同一个激光器,都不经历延时,并且符号为一正一负,所以被完全抵消了. 这样,我们给出了几何TDI的物理解释.

最后,我们讨论一下在几何TDI框架下一代和二代TDI的实现,以及它们的区别. 几何TDI只需要满足光路臂长总和相等的条件. 对于一代TDI,因为臂长是不是时间的函数,故上述条件可以化为一个简单的代数条件. 具体的,因为每个臂长是独立的,那么这个代数表达式可以分解为每个独立臂长前系数必须为零的条件. 对于二代TDI,臂长是时间的函数,这样我们把它作泰勒展开.具体的,为常数项,(链接两节点间的相对)速度项,以及加速度项的展式. 这里,近似仅达到速度项,所以上述条件可以分解为独立的臂长和速度项前系数为零. 但是这里有一个细节,这里臂长的常数项必须是某一选定时刻三飞船构成的三角形的三个臂长数值,而非在光信号传输时刻的臂长,因为后者在每次信号传输时都不一样. 这样,在计算延时的一阶误差时,即和相对速度成正比的贡献时,把所有臂长都近似为相同的常数. 由此,这个误差被表达为链接节点的相对速度和信号传输时刻与选定时刻的时间差(它差不多是信号传输时间的整数倍)的乘积. 在具体的代数表达式中,它被表达为一个整数因子(如1234).

(6)

这就是测量数据,它在图中对应相邻飞船间信号的干涉测量结果.其中包含延时不同的两个噪声和引力波信号.

Fig.2

这里没有用虚线,但是给出了最简单的测量信号(6)的差的表达式. 注意到(6)中等式左边的时间自变量是接收到光信号的非常的时间.

(7-8)

这里Fig.3左右两图分别对应等臂和不等臂Michelson方案的具体计算. 它们都是是从1出发的实线和虚线回到1的图.

(9)

这里Fig.4右边八链接图中其中一个对应了不等臂第二代Michelson方案的具体计算. 这同样是从1出发的沿着更为复杂的实线和虚线回到1的图.

(13)

借用公式号指代对应的页数,这里讨论文中给出的用于删选虚拟光路的封闭(close)条件.它就是上述讨论的,几何TDI需要满足的代数条件.

文中先给出记号约定. 用L或者R指代顺时针或者逆时针的一截光路(link);用箭头标记时间的推迟或者超前;用#标记后续记号在回路中出现的次数,具体和某特定延时出现次数有关.方括号中表示集合元素. 比如#[A,B]=#[C,D]是指#[A]+#[B]=#[C]+#[D].

文中对各个干涉实验中的光路给出了进一步的限制条件,称为封闭条件.

对等臂长三飞船情况,Pre-TDI interferometry,不必区分link的序号,只需标记顺时针还是逆时针(L或R)且有两个要求. 顺时针数字减去逆时针数字为3的倍数,且每个激光器噪声延时闭合圈总和为零.

对TDI1.5阶,不等臂延时算符不对易的情况,Modified TDI,要求两个虚拟光路的臂长之和正好相等. 这是因为对每个激光器的噪声,都必须满足上述条件,故求和后仍满足上述条件.这被定义为$$L$$闭合.

对TDI2.0阶,除了臂长外,还需考虑臂的伸缩速度.理由是类似的.这被定义为$$\dot{L}$$闭合.

(14)

借用公式号指代对应的页数,文中给出满足闭合条件的几何TDI的基本对称性质.

首先,在同一臂上连续的同轴向延时和超前操作导致平庸的结果,即Null bigrams.

第二,激光器指标轮换. 这里,string是指含有箭头和链接编号的序列,用于指代确定的几何TDI虚拟光路. 显然,激光器指标轮换不会改变上述讨论的闭合条件.因为TDI的解在激光器指标轮换下仍然是TDI解,所以这个结论是一般的,不具体依赖于几何TDI.

注意到激光器标号的轮换后导致虚拟光路图发生不平庸的变化,换言之,把一个TDI解轮换激光器指标后得到的仍然是TDI解,但是所得的结果与原(多项式)表达式可以是线性独立的. 一种维持原虚拟光路图不变的可能是把所有激光器发射接收信号的时间先后都做某种平移,注意到这个平时并不是等时的,所以这里是指信号传递顺序的平移. 这样,我们可以考虑把大多数链接都增加一个额外的延时,或者减少一个延时(增加时间逆向的延时). 特别对于光路的初始节点(飞船)和终了节点(飞船),这样的平移导致非平庸的改变. 这里并 不清楚 文中所讨论的变换对结果的改变为高阶影响的结论具体是如何获得的. 实际上,如果对应的是不变的光路图,那么简单的改变初始节点一般并不能构造出合理的TDI解. 比如,原图对应$$L_1+L_2+L_3+L_4-L_5-L_6-L_7-L_8=0$$,那么如果把初始和终了节点移动后比如可能得到$$L_2+L_3+L_4+L_8-L_5-L_6-L_7-L_1$$,它显然不为零.

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Laser frequency stabilization by locking to a LISA arm, Phys.Lett.A 320 (2003) 9-21, by Benjamin S. Sheard et al
这是锁闭技术的第一篇文章.所以技术的理论基础是反馈控制论.

(3)

这是把(1)中给出的激光器噪声与其延迟信号的干涉结果做拉普拉斯变换,并与直接输入的激光噪声取比值. 因为(3)与输入信号的具体形式无关,它可以直接在Fig.2中给出.

从信号处理的角度来说,这个比值正是频率空间的信号传输函数(transfer function),相当于对噪声信号的放大或者压低的定量判断. 函数的零点位置,相当于在对应频率的最有效的压低,函数的最大值位置,相当于在对应频率最有效的放大. 我们注意到引力波信号不会同时进入(1)的两项,因此其频率空间的函数也不会(在本文推导的意义上)含有因子(3). 但是,值得注意的是,由比如按arXiv:gr-qc/0112059v2一文的(4.20),引力波信号对频率的影响也是含有节点的,以引力波频率为自变量,这些节点主要由引力波传播速度,传播方向,以及与探测器臂长的关系所决定.

如果对延时$$\tau$$只能有粗略的估计,那么可以通过滤波器来选择特定的对激光噪声压制最为有效的频率区间,在这些区间,噪声被最大限度的压制,得到的引力波信号的信噪比更高.

但实际上,邵成刚指出,如果对延时的估计足够准确,那么因为激光噪声信号比引力波信号要大七个数量级,直观的说,可以把测量到的含有引力波信号的(2)除以解析表达式(3),就能得到频率空间激光噪声的函数形式.从测量信号中扣除这个形式,就能很大限度上消除激光噪声,一般减少三个数量级. 具体的,本文利用控制论(control theory)的标准手续,通过控制器(controller)的负反馈来具体实现噪声的压低. 事实上,因为被扣除的函数因子(2)中含有引力波信号,这个扣除过程会重复引入与原初引力波信号同量级的引力波信号,在计算中必须加以考虑. 最后,残余的激光噪声可以用传统的TDI方法予以扣除,这样的方法作为对TDI方法的一个前置手续,是有实际意义的.

Fig.3-4

这里Fig.3是控制论(control theory)的Bode图. 其中,roll-off是指传输函数随着频率(以对数形式)下降的斜率. 按控制论,传输函数的零点和奇点一般都是在复平面上,而非在虚轴上的. 虽然在图中标出了零点和奇点,这些点其实在$$s$$的实轴而非虚轴,即如图所示的频率轴上,这点应该是某种规范. 上述问题在stackexchange询问未果,但邵成刚给的学生所重复的画图结果验证了这点.

同时,传输函数对应的系统的稳定性与零点与奇点的位置有关. 对简单的线性时间不变系统(LTI),比如开路系统,其稳定性判据与QNM的稳定性类似,而对更为复杂的非线性系统,比如闭路反馈系统,要求其特征函数的零点不能处于虚轴右侧,其具体讨论涉及到更为复杂的Routh-Hurwitz判据.

Fig.5

这里Fig.5是控制论(control theory)的流程图. 其中箭头处标有"负号"的对应着负反馈,这时需要从发出的信号中扣除掉反馈信号. 三角形代表控制器,它通过对信号的增强和减弱和之后的正负反馈来操控最终的信号. 控制器$$G_1, G_2$$的Bode图就是Fig.3.

(5)

控制器的Bode图就是Fig.3,它的等效作用就是因子(5).

这里我们给出 解释 为什么最后得到的是(5)式等式右边分数的形式. 首先Fig.5右边飞船2涉及一个环路的无限循环,因此虽然每次经过控制器$$G_2$$只需要乘以因子$$G_2(s)$$,但是要考虑到无限循环对应的等比级数求和. 第二,这个循环中在进入激光器2时涉及到一个负反馈,因此级数的各项其实是正负交错的. 第三,在进入这个循环前还存在一个额外负号. 考虑上述三点后,这个求和为
 * $$-\left[(-G_2)+(-G_2)^2+(-G_2)^3+\cdots\right]=-\frac{-G_2}{1-(-G_2)}=\frac{G_2}{1+G_2}$$

其中分子$$G_2(s)$$就是传输函数,而分母相当于通过无线循环把最终的输出进行了某种归一化. 这样的操作是解析上可以事先计算的,因为(5)的形式是人为设计的. 注意到,非常类似的分母形式同样出现在(10)等式右边的第二和第三项中,注意到分子的不同外,它们的推导是非常类似的.

(6-9)

这里(6-7)是考虑了控制器效果后后对(3)的改写. 而(8-9)是开路情况下,激光噪声本地信号和通过远处的激光器反馈,即(6-7),再经过本地控制器后的传输函数. 注意到,虽然本地激光器噪声和远处激光器噪声都涉及到远处卫星的控制器,但是这两个信号至此是以独立的形式被分析的.

(10-12)

这里(10)是对开路情况利用上面计算的传输函数考虑了本地激光器噪声,以及远处激光器噪声,本地与远处的散粒噪声以及引力波信号. 在(11)中,形式上对信号乘以因子$$\frac{1}{1+L_1}$$进行归一,其推导和(5)式右边的推导是完全类似的,只是大回路中的因子涉及到之前已经导出的小回路而已. 在(12)中,我们完成闭路乘以控制器的传输因子,并把这个信号从激光噪声中扣除,以完成锁闭动作. 具体的,验证(12)式其实只需要计算它等式右边的第一项,简单的代数计算并注意到(6)和(8)意味着$$L_1=T_1G_1$$,即可完成验算. 正如文中指出的,(12)等式右边最后一项包含了引力波的信息,这样压制后的激光噪声含有引力波信号

利用Fig.3中的数值,我们可以进一步对(12)的激光噪声压制方案给出半定性的讨论. 对低频引力波,$$G_1$$其实是个比较大的数,比如100,而由(3)或者Fig.2,除了零点以外,$$T_1$$的数量级为1. 这样,除了零点以外$$G_1$$和$$L_1$$为同数量级,是一个比较大的数字. 由此,除了在(3)的零点以外,(12)式等式右边的第一项和第二项都受到了比较大的压制. 而同时,等式右边的最后一项,即引力波信号,与散粒噪声一样,并未受到压制,而是一起进入了压制后的激光器噪声表达式.

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The Performance of arm locking in LISA, arXiv:0908.0290v2, by Kirk McKenzie, Robert E. Spero, and Daniel A. Shaddock
本文公式的推导要建立在之前PLA文章的基础上,否则理解会更困难些.

(1-2)

这里从(1)开始是逐渐封闭反馈回路的,故比如(1)中基本不涉及反馈修正因子. 相比较(2)已经考虑了控制器$$G_3$$反馈因子的修正,故(2)的最低阶贡献并不是(1).

(3-4)

注意到(3)的结果和(2)的一致性体现在(4)的第一式的具体形式. 从激光器1发出的信号除了直接在$$A_{13}$$干涉外,还有一部分通过飞船3的反馈闭路,这体现在频率响应因子$$P_{13}$$中. 具体的,(4)的第一行等式右边的第二项正来自(2)等式右边第二项的贡献.

(11-12)

这里和两飞船情况相比,复杂之处是(7)的贡献,但因为(9-10)考虑的是求和关系,故原则上其推广是很直观的. 另外,(11)的推导考虑了近似(6-7),同时注意到等式右边第二项的分母的乘积$$G_1 P_+$$的物理意义.

(15)

虽然(13)的具体形式更为复杂,但是从(12)到(15)的推广却是显然的.

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Time-delay interferometry for LISA with one arm dysfunctional, arXiv:1001.4911v1, by S. V. Dhurandhar, K. Rajesh Nayak, and J-Y. Vinet
本文用构造法系统性的得到在一条臂不工作的特殊情况下的第二代TDI解.

(4)

这个结果并不显然. 但它可以通过把延迟算符的乘积作用在某时间函数上,具体写开用延迟量展开后的形式并保留到一阶贡献,不难得到一般形式后直接验证(4)给出的结果.

显然,当对易子两项的下标只差一个置换时,(4)的右边为零,从而满足二代TDI解的定义.

(9)

文中指出,这是商环上的解. 这是因为(9)的右边通过生成元定义了一个理想,因为是对易环,它既是左理想又是右理想.所以按定义的确存在一个商环. 但 不明确 为何(8)是商环上的解,且对应二代TDI解.

(12)

注意到(11)中第一行的最后一项对应(10)的低阶部分正好等于(从而在相减时消去)第二行倒数第二项对应(10)的高阶部分. 同样,第二行最后一项对应(10)的低阶部分正好等于第一行倒数第二项对应(10)的高阶部分. 所以当把(11)代入(10)并把两行相减时,仅剩下两行最后一项对应(10)的高阶部分的差,它正好是对易子.

按这个思路,(12)其实就是在(11)的末尾各增添了一项,而增加的项正是相对行的最后一项对应(10)的低阶或者高阶部分. 最后所得结果虽然是两项,但并非对易子. 按此逻辑,继续增加其他项,一直到(15),所得的差(16)是个对易子.

按文章之后的讨论,这里的解对应$$n=2$$的情况,对易子每一项的长度是$$4n=8$$. 这个长度一共有三个解.

(18)

与解(15)相比,这里并没有要求每一阶立刻完全消去之前的项.

(20)

文中列出的构造法其实就是用构造法证明了$$1-t_{4n}$$是由生成元$$(1-a)$$和$$(1-b)$$决定的左理想的元素. 其中不论$$t_{4n}$$以$$a$$还是$$b$$结尾.

进一步,吴张启证明了如果涉及到反操作$$\bar{a}, \bar{b}$$(满足定义$$\bar{a}a=\bar{b}b=1$$),(4)仍然成立,上述构造可以类似展开,从而本文结论仍然成立.

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