Lecture Notes of A First Course in General Relativity by Bernard Schutz

Lecture Notes on A First Course in General Relativity by Bernard F. Schutz 2nd Edition

本文档除了包括推导, 疑惑 外,做 读书重点 的记录

Ch.1 Special Relativity
P.8 Fig.1.5

这里讨论 $$\bar t \bar x \bar y \bar z$$ 轴在另一个沿$$ x$$ 方向相对匀速运动的坐标系 $$\{txyz\}$$ 中的取向. $$\bar t $$轴相当于 $$\{\bar t \bar x \bar y \bar z\}$$ 的原点在$$ \{txyz\}$$ 中做匀速运动的轨迹.而对 $$\bar x $$轴我们通过从 $$\{\bar t \bar x \bar y \bar z\}$$ 的$$\bar t$$轴上的点给不同坐标点发光信号和接收反馈信号的事件的讨论来构造.具体证明见书中讨论.

这是一个有名的结果,比如参见General Relativity P.7 Fig.1.3 by R.M. Wald.

这里给出狭义相对论中一个惯性参照系中的坐标轴在另一个惯性参照系中的形态.图中两个 $$\phi$$ 角相等可以利用Fig.1.4平面几何加以证明.

P.11 Fig.1.7

首先我们可以用几何学定义坐标系$${\mathcal{O}}$$的$$y$$轴,接着我们定义坐标系$$\bar{\mathcal{O}}$$的$$\bar y$$的方向和标度.我们回顾我们是如何通过构造讨论 $$\bar x$$ 轴在坐标系 $$\{txyz\}$$ 中的取向的.

这里考虑固定在 $$\bar y$$ 轴上的时钟 $$\bar{\mathcal{O}}$$ (或者记为 $$\bar{\mathfrak{O}}$$ )的世界线,它是在$$\bar{\mathcal{O}}$$坐标系内$${\bar x}=0,\bar y$$坐标不变的点.我们考虑该时钟发出的信号给$$\bar y$$轴上两个点$${\mathcal{A,B}}$$并接收从这两个点反馈给该时钟的信号,选取合适的时钟,使得反馈信号同时到达该时钟.由于两个信号的接受时刻相同(事件$$\mathcal{L}$$),显然在$$\bar{\mathcal{O}}$$坐标系内两事件$${\mathcal{A,B}}$$为同时.而在$${\mathcal{O}}$$坐标系内讨论该问题,将给我们提供重要的信息,因为$${\mathcal{A,B}}$$的连线是$$\bar y$$轴在$${\mathcal{O}}$$坐标系内的方向.首先,我们知道这个时钟(任何$$\bar{\mathcal{O}}$$坐标系中的固定点)在$${\mathcal{O}}$$坐标系中沿着$$x$$轴的正方向运动,换沿着它的世界线与$$\bar t$$轴平行且与$$y$$轴垂直;其次,我们知道由光速不变,该时钟所涉及的四条光信号(如图Fig.1.7)与$$t$$轴的夹角都为45度;最后,由于初末为确定的事件,两组对应光信号往返的边的长度之和相等.综合这三点,由立体几何我们知道$${\mathcal{A,B}}$$在$${\mathcal{O}}$$坐标系也为同时事件.我们选择$${\mathcal{A}}$$点在$$y$$轴上,显然在$$y$$轴上的$${\mathcal{B}}$$点是满足上述条件的解,进一步因为问题对应两次方程的解,上述解为唯一解.$${y, \bar y}$$重合,且在垂直于运动方向上的空间尺寸不变.

P.11 (1.6)

由于我们假设坐标变换是线性的且仅仅依赖于两个坐标系,故此常数与微元$$ds^2$$无关,仅仅与两个坐标系的相对速度有关.由此,书中通过选取特定的与相对运动速度垂直的类空微元来得到(1.6).

P.16 Fig 1.12

其中第二个图(b)曲线在$${\mathcal{P}}$$点相切.这是因为,由于变换是线性的,直线变换后仍为直线,平行的直线在变换后仍为平行的直线.同时,四维时空坐标中的某曲线的切线在洛仑兹变换后相应为变换后曲线的切线.这是因为直观上,切线可以视为一小段与曲线重合的直线,而重合的部分在变换之后自然仍然是重合的.

P.17 (1.8)

钟慢效应.计算两个确定事件在不同坐标系中的时间差,其中一个坐标系两这个事件在一个固定时钟的世界线上.实际上,我们需要讨论 $$\bar t$$ 轴在坐标系 $$\{txyz\}$$ 的标度.我们计算在Fig 1.11中,抛物线 $$-t^2+x^2=-1^2$$ 与$$ \bar t$$ 轴 $$\frac{t}{x}=\frac{1}{v}$$ 的交点,它是 $$t=\frac{1}{\sqrt{1-v^2}}, x=vt=\frac{v}{\sqrt{1-v^2}}$$ .由于交点在坐标系 $$\{\bar t \bar x \bar y \bar z\}$$ 中的读数为 $$\bar t=1$$ ,比较这个交点的事件 $$\mathcal B $$和坐标原点事件,时间差满足 $$\Delta t=\frac{\Delta \bar t}{\sqrt{1-v^2}}$$.

P.18 (1.11)

尺短效应.与钟慢效应的计算过程不同,这里我们并不讨论两个固定的事件.我们讨论尺子两端的世界线在两个坐标系中在时间轴上的截距. 首先我们讨论 $$\bar x$$ 轴在坐标系 $$\{txyz\}$$ 的标度,类似钟慢效应,抛物线 $$-t^2+x^2=1^2$$ 与 $$\bar x$$ 轴 $$\frac{t}{x}=v$$ 的交点为 $$x=\frac{1}{\sqrt{1-v^2}}$$ ,这一点在坐标系 $$\{\bar t \bar x \bar y \bar z\}$$ 中的读数为 $$\bar x=1$$. 接着,我们假设尺子的两端在 $$\{\bar t \bar x \bar y \bar z\}$$ 中为 $$\bar x=0 $$和 $$\bar x=1$$ ,即 $$\bar l=\bar x=1 $$,尺子两端的世界线在 $$\{\bar t \bar x \bar y \bar z\}$$ 中是平庸的.尺子两端的世界线在 $$\{txyz\}$$ 中是两条与 $$\bar t$$ 轴平行的直线.如图,Fig 1.13,我们需要计算 $$\bar t$$ 轴上 $$\mathcal{AC}$$ 在 $$\{txyz\}$$ 中的长度,它是直线 $$x=l+vt$$ 与 $$\bar x$$ 轴$$ t=vx$$ 的交点,其中$$ l$$ 就是尺子在在 $$\{txyz\}$$ 中的长度,即尺子两端世界线在时间轴上的截距.交点为 $$x=\frac{l}{1-v^2}$$ .因为与 $$\bar t$$ 轴平行,可以利用前面确定的标度,联立$$ x=\frac{l}{1-v^2}=\frac{1}{\sqrt{1-v^2}}$$ ,得到$$ l=\sqrt{1-v^2}$$ .利用 $$\bar l=\bar x=1$$ ,最后得 $$l = \bar l \sqrt{1-v^2}$$.

P.22 Fig 1.4 $$\alpha = \sigma$$

因为光速不变,所以在某坐标系中如果两个事件通过光速联系,则在任何坐标系中,他们通过光速联系. 即图Fig 1.4中的两个事件 $$\mathcal{RP}$$ 在 $$\bar{\mathcal{O}} $$中满足$$ \Delta\bar t=-\Delta\bar x$$ ,则在 $$\mathcal{O}$$ 中对应坐标应该满足 $$\Delta t=-\Delta x$$ .利用


 * $$\begin{align}

&\bar t_i=\alpha (t_i-vx_i) \\ &\bar x_i=\sigma (x_i-vt_i) \end{align}$$

其中$$ i=1,2$$ 为两个事件点 $$\mathcal{RP}$$ ,取差即得


 * $$\begin{align}

&\Delta\bar t=\alpha (\Delta t-v\Delta x) \\ &\Delta\bar x=\sigma (\Delta x-v\Delta t) \end{align}$$

从而 $$\alpha = \sigma$$

Ch.3 Tensor Analysis in Special Relativity
P.59 (3.9)

值得注意,由一形式分量在坐标变换下的变换关系的推导看出,一形式的变换与度规是否存在无关.而度规给出了一个从矢量到一形式的映射关系,换言之,它给出了一个矢量空间度量长度(内积)的规则.

P.62 Fig.3.1

对偶矢量(一形式)的图形描写,它是一系列表面,而对偶矢量和矢量的缩并是矢量穿透的表面的数目.

P.63 (3.14)

对偶矢量可以理解为导数.其数学定义可参考General Relativity P.19 (2.3.1) by R.M. Wald附近的讨论.但是图Fig3.1和Fig3.3给出了非常形象的图像说明.

P.70 (3.20)

这是一个很常用的等式,在书中很多地方对两者互换使用. 等式左边 $$\tilde{d}x^{\alpha}$$ 是一形式,而不是某矢量或者对偶矢量的 $$\alpha$$ 分量.实际上它的 $$\beta$$ 分量按定义(3.15),考虑$$ x^{\alpha}$$ 为 $$\phi $$得
 * $$\begin{align}

(\tilde{d}x^{\alpha})_{\beta}=\frac{dx^{\alpha}}{dx^{\beta}}={\delta^{\alpha}}_{\beta} \end{align}$$

等式右边 $$\tilde{\omega}^{\alpha}$$ 是对偶矢量空间的基,同样是一形式.实际上,按(3.12)及下面的表达式,它的 $$\beta$$ 分量为 $$(\tilde{\omega}^{\alpha})_{\beta}={\delta^{\alpha}}_{\beta}$$

由于我们证明了两个一形式所有分量都相等,它们相等.

Ch.4 Perfect Fluids in Special Relativity
P.92 (4.14)

这里给出灰尘的能动张量的定义.
 * 守恒荷束流.按书中前面P.94数密度和数密度流的解释,可以统一的看成一个四流,它是一个矢量.对于数密度,它是该矢量的时间分量,而流密度是该矢量的空间分量.接着,书上把表面的方向,即函数的梯度表达为对偶矢量.这样四流和任意表面的缩并的物理意义为穿过该表面的世界线的数目.显然这个数目是一个洛仑兹标量,不随坐标系而变化.四流是一个矢量,因为它把表面方向对偶矢量映射为这个数目.特别的,它把每个对偶矢量的基映射为一个与坐标系无关的实数,这个映射显然是线性的.
 * 能动张量的定义.书中重点提出,能量动量是四矢量,而能量密度是能动张量的一个分量.因为由(4.13)附近的讨论,能量密度并不可能是某个四矢量的时间分量,而是某个张量的时间时间分量.我们定义能动张量是把一组对偶张量基矢投射到实数的映射,故而是张量.它的分量 $$T^{\mu\nu}$$ 是穿过 $$\nu$$ 方向的单位表面的能动量密度流的 $$\mu$$ 分量,因为守恒荷是一个洛仑兹标量,守恒荷束流是矢量,能动量是矢量,故能动量密度流是张量.虽然我们不能用类似穿过表面的世界线数目的描述,但是这个数学上的推广是非常自然的.所以按照定义,比如通过 $$\mu$$ 方向的单位表面的能量密度流就是 $$T^{0\mu}$$ ,它仅仅是能动张量的第一行,并不是一个矢量.按书中习题4.5,证明它是张量,除了上述映射关系外,只需要证明该映射是线性的.
 * 按上述定义,能动张量的物理意义是非常直接的.能量密度和能流,动量密度和动量流.动量流的物理意义可以借鉴非相对论统计物理中对压强的微观解释,在假设粒子平均动量总是垂直于表面的情况下,压强是单位时间穿过单位表面的微观粒子动量的总和.这里是对上述概念的推广,我们讨论单位时间每个动量分量穿过某表面方向的总和.
 * 接着书上以"灰尘"为例写出能动张量的具体形式,这里具有很大的特殊性.
 * 非灰尘,非理想流体,热流.这里我们进一步讨论超出"灰尘",超出理想流体的一般情况.任何物理量,如果不是一个自然的洛仑兹协变量,那么我们总是在随动质心系中讨论这个量,必要的情况下在质心系中定义这个量.书中给出例子说明,我们可以这样定义温度和熵.实际上还有一个重要的量与众不同,就是能量流.$$ T^{0\mu}$$ 并非矢量,所以我们仅仅可以在质心系中讨论能流,而在其他坐标系中讨论能流没有意义.书中指出,由于热传递的存在,所以即便在质心系中也存在空间方向上的能流 $$T^{0i}\ne 0$$ .这里其实涉及到一个重要的定义或者说物理上的选择.因为能流不是协变的矢量,故而这里涉及到随动质心系的定义,对于理想流体,随动系或者质心系的定义没有歧义,但是由于热传递的存在,我们涉及到是守恒荷四速度对应的四速度不含空间分量来定义质心系还是用能量流不含空间分量来定义.前者为Eckart定义,后者为Landau定义.文献中没有统一的约定.本书对热流的讨论出发点是Eckart的定义,质心系中 $$T^{0i}\ne 0$$ .而Weinberg一书对质心系的定义暗含了他采用了Landau的定义,故在质心系中始终满足 $$T^{0i}= 0$$ .自然的,其实热流因为与温度有关,本来就是不协变的,并不是矢量,只能在质心系中讨论,问题是实际上如何选择质心系就有人为因素存在.首先自然有空间方向上的热传导,而如果有时间分量,我们归结为能量密度的一部分,即内能,故热流在质心系中不含时间分量.在Echart质心系中,虽然不涉及由于守恒荷导致的能量传递,动量密度,但热流导致能量传递和相应的质量传递和动量密度.如按Landau质心系的定义进行讨论,在质心系中能动张量始终满足$$ T^{0i}=T^{i0}=0$$ ,这可以视为由于粒子数守恒方程导致的能量流和热流项在质心系中正好抵消.又参见Key Notes on Notions of Energy Momentum Tensor的讨论.

P.97 能动张量的对称性

这里对对称性的证明并不是从类似温伯格一书能动张量的定义出发的.而是从物理意义出发给出的讨论. 其空间部分指标对称性的证明.从结果看,似乎与证明固定应力张量的对称性类似,比如可参见Key Notes on Notions of Energy Momentum Tensor,其实不然,固体三乘三应力张量的对称性来自固体平衡的条件,合力为零,合力距为零.而流体能动张量空间部分的对称性的证明不需要这些条件,实际上,体系局部可以存在加速,并不处于平衡状态. 对于时间部分 $$T^{0i}=T^{i0}$$ ,在Echart质心系中,通过守恒粒子流的能量传送为零,但是仍然可能通过(比如温度差导致的)热传递完成的能量传送,如书中所述,它等于总能量除以单位面积除以时间,故量纲上等于能量密度乘以速度.而另一方面,这正好等于能量乘以速度除以空间,能量即是质量,故实际上上述热传递等价于动量密度的存在,上述表达式等于动量除以空间即动量密度.

P.101 (4.36)

本书始终没有明显的给出温伯格一书中(对离散粒子构成的体系的)能动张量的定义,一个容易犯的错误是认为 $$T^{\mu\nu}=\sum_i p_i^{\mu}p_i^{\nu}$$ 这是错误的因为上述表达式不是张量因为不协变,因为$$\sum_i $$对应的积分不是洛伦兹标量,正确的定义是


 * $$\begin{align}

T^{\mu\nu}=\int \frac{d^3p}{E}p^{\mu}p^{\nu}=\sum_i \frac{1}{E}p_i^{\mu}p_i^{\nu} \end{align}$$

P.105 关于压强的注释

这里由流体压强差导致的加速度与引力导致的加速度平衡,而后者的源是能动张量.这样考虑体系的物质分布一定,故引力一定.按书中分析,在相对论情况下压强差更大,后者导致的体系的分布可能进而造成更大的引力,最终引起引力塌缩.

Ch.5 Preface to Curvature
P.112 (5.1)

此式由永动机不存在导致.而另一方面,在洛仑兹惯性参照系中,不同时刻发出的光子的世界线应该具有完全相同的相对初始时刻的依赖关系,换言之,前后发出的光子的世界线相互平行.两者互相矛盾.矛盾根源在于如果参照系并非洛仑兹系,比如加速系的相对运动速度依赖于时间,那么前后发出的光子的世界线就可以有所区别.

P.115 (5.2)

此即相对论光波多普勒效应.因为光子在真空中速度为光速,故该效应不可以用类似声波多普勒效应的处理方法,先确定声波的随动系,然后决定洛仑兹变换.对于光波,我们必须利用量子力学的结果,把光波的频率与波长与能动四矢量联系起来.这样


 * $$\begin{align}

&\left( \begin{array}{c} E \\ p \end{array}\right) =\left( \begin{array}{c} \hbar\omega \\ \hbar k \end{array}\right) =\left( \begin{array}{c} h\nu \\ \frac{h}{\lambda} \end{array}\right) \\ &\left( \begin{array}{c} h\nu' \\ \frac{h}{\lambda'} \end{array}\right) =\left( \begin{array}{cc} \gamma & v\gamma \\ v\gamma & \gamma \end{array}\right)  \left( \begin{array}{c} h\nu \\ \frac{h}{\lambda} \end{array}\right) \end{align}$$

利用 $$v=gh$$ 和 $$\lambda=\frac{1}{\nu}$$ 即得书上结果


 * $$\begin{align}

\nu'=\gamma\nu+v\gamma\frac{1}{\lambda}={\nu(1+v)}\gamma \end{align}$$

P.119 (5.9)


 * 书中指出,老的方式,比如按刘辽的广义相对论,(5.9)就是矢量的定义,它由分量在坐标变换(洛仑兹坐标系变换或者广义的坐标变量的变换)下的变换形式决定.而协变矢量由度规定义.
 * 而新的方式,数学上更为严谨的方式,是先通过定义在某坐标空间的标量函数的导数定义一形式,而矢量空间被定义为由一形式的线性空间到实数的所有映射规则的集合.这些映射规则的集合是"线性矢量空间",还需要(自然的)定义这些规则的和,交换律,零元素等"线性矢量空间"定义需要的零件.至此,并不涉及度规的存在.

P.121 (5.19)

一个规则,对应一个矢量.(5.19)除去$$\vec V$$的部分,定义了一个把一形式空间任何元素映射到实数的规则,故定义了一个矢量,如果参数$$s$$有所变化,矢量相应变化.对于固定的坐标点$$(\xi, \eta)$$,矢量空间对应,所有不同参数的通过该点的曲线(curve).显然无非是通过该点的曲线的方向和曲线参数的标度可以有所不同,所以对应该固定点的矢量空间是线性空间.对于固定的路径(path),直观的,矢量的几何意义是曲线的切线方向.

P.123 (5.28)

这里我们把上述讨论应用到已经定义了度规的平直空间中.由于平直空间中的矢量和对偶空间的基通过度规相互联系,这导致坐标变化后的矢量和对空空间的基也相互联系.同时通过度规,我们可以计算基的模.

P.128 (5.51)

在(5.51)上面一段的讨论中,书中认为对矢量的微商,如果把求导变量看作参数,是矢量.而最后的表达式考虑微商取不同坐标分量为自变量进行,为两阶张量.这是因为由矢量空间定义与基无关,两个不同参数(坐标位置处)的同一矢量空间中的矢量的差按矢量空间的定义自然是矢量,其中参数可以是比如(6.16)中定义的某曲线的参数,现在我们把矢量对该参数的导数写为以坐标为中间变量的复合导数,我们自然的看到对坐标的导数实际上是两阶张量.

P.130 (5.61)

这里对协变矢量的协变导数形式的推导包含两个部分.第一是其形式的协变性,第二是它的确含有对坐标求导的数学意义.

P.130 (5.64-66)

在这里书中具体给出了协变导数用克里斯多夫符号表达的记忆方法.每个一个指标对应一个克里斯多夫符号,其几何意义是相应的基的导数,逆变对应正号协变对应负号.

P.131 (5.67)

这里涉及到一个之后反复用到的论证方式.如果一个张量等式在一个坐标系中正确,那么它在任何坐标系中正确.理由是,如果上述论断不正确,那么在某一坐标系中取两个表达式的差,它不为零.由于张量在任意坐标系中都是两种,必然存在一个张量在上述坐标系中全部分量都为零.然而如果一个张量在某坐标系中为零,它在任何坐标系中都为零.

P.134 (5.75)

可以理解这个结果有下面的物理意义.为了定义协变导数必须定义平行移动,因为要讨论平行移动必须有直线的概念,而后者与两点间的(最短)距离有关,所以必须要先定义两点间的距离,后者是通过度规$$g_{\mu\nu}$$来实现的;从而$$\Gamma^\alpha_{\mu\nu}$$由度规$$g_{\mu\nu}$$决定.

在这里,书中简洁的通过度规的协变导数来得到.

P.134 Tensor nature of $$\Gamma^\alpha_{\mu\nu}$$

首先考虑$$\vec{\nabla}\vec{e}_\alpha$$,其中的$$\vec{\nabla}$$是逆变矢量,$$\vec{V}\equiv\vec{e}_\alpha$$可以被看成是常数协变矢量,在某特定的坐标系中(也就是它是基矢的坐标系中)它的形式特别简单,因为只有一个固定的分量$$\alpha$$不为零.所以上述(1,1)张量$$\vec{\nabla}\vec{e}_\alpha$$在这个特定的坐标系中的分量是$$V^\sigma\Gamma^\mu_{\sigma\nu}=\Gamma^\mu_{\alpha\nu}$$,这是由于$$\vec{V}$$在这个坐标系中的简单形式造成的.但是因为这是一个(1,1)张量,所以结果是一个张量在这个坐标系中的分量,注意其中$$\alpha$$是固定的,不会随着坐标变换而变化.

P.137 (5.91)

这里书中讨论一个简单但是重要的概念.并非矢量空间中的任意的基都对应某曲线坐标,不存在对应曲线坐标的基称为非坐标基. (5.91)给出某坐标基和非坐标基的关系.其中$${\Lambda^\beta}_{\hat{\alpha}}$$的变换由分量变换关系(3.9)决定,它应该由基的变换关系(2.14)得到,而这里基的定义由(5.76)给出.等式的最左边相当于给出了一个定义.

Ch.6 Riemannian Manifolds
P.149 (6.26)

这里给出一个任意的度规,试图通过坐标变换使得在新的坐标中,度规和其导数尽量多的取为零. 我们看到,尽管度规及其一阶导数可以完全取为零,其两阶及以上导数一般情况下并不为零.

从自由参数和方程数目的角度,通过坐标变换把度规取为零,还多余6个自由参数,正好等于包括纯转动的洛仑兹变换参数数目. 这相当于说,在局域平直空间内做洛仑兹变换,仍然得到平直空间,这和狭义相对论的特殊情况吻合.

实际上,上述结果意味着时空的局域几何性质并不会因为选择局域洛伦兹系,即局域惯性系,而改变. 度规的两阶导数不为零,对应着联络的导数并不为零,因此,矢量的局域平行移动将导致非平庸的结果. 换言之,爱因斯坦方程的空间曲率部分也不会因为选取适当的坐标系而变得平庸. 上述结果是自然的,因为爱因斯坦方程是张量方程,其形式是协变的.反之,如果在某坐标系中爱因斯坦张量(方程左边)为零,则意味着空间曲率在任何坐标系中平庸的为零.

对某给定观察者,如果我们需要找到某给定物理量(矢量或者张量)的某种不依赖于具体坐标系的测量值,可以通过找到局域惯性系来实现. 具体的,通过10+40个方程可以确定局域惯性系. 剩余的6个与洛伦兹变换相关的变量. 其中3个自由参数与四个坐标轴的方向选取有关,可以独立的选取3个方向. 而另外3个自由参数与洛伦兹冲刺相关,它们由观测者的世界线决定,即观测者在新的坐标系中速度为零.

从整体时空性质的角度,书中指出,上述坐标变换只可能是局域的. 因为作为整体坐标变换,它还满足坐标变换的麦克斯韦关系,这个额外的要求一般不会被满足. 在最后一章(12.6)的笔记中,我们给出一个具体例子说明为何直观上可能建立整体平直空间的坐标变换在实际中是不能实现的.

P.152 (6.39)

这是因为容易直接验证,矩阵$$g_{\beta\alpha}$$的代数余子式为$$gg^{\alpha\beta}$$.

P.156 (6.51)

注意到这个测地线方程由初始位置和初始四速度决定,所以过一个给定的点可以有很多测地线.另外,这个方程不仅仅是坐标空间的曲线,而是在四维时空的曲线,所以包含一个点粒子运动的全部信息.

可以用欧拉拉格朗日方程来证明这个测地线方程如下,按(6.7)


 * $$L=\left(g_{\alpha\beta}\frac{dx^\alpha}{d\lambda}\frac{dx^\beta}{d\lambda}\right)^{1/2}$$

它的偏导为,


 * $$\frac{\partial L}{\partial (dx^\alpha/d\lambda)} = (1/2) L^{-1/2} 2 g_{\alpha\beta}\frac{dx^\beta}{d\lambda}$$
 * $$\frac{d}{d\lambda}\frac{\partial L}{\partial (dx^\alpha/d\lambda)} = L^{-1/2} (g_{\alpha\beta,\gamma}\frac{dx^\gamma}{d\lambda}\frac{dx^\beta}{d\lambda}+g_{\alpha\beta}\frac{d^2x^\beta}{d\lambda^2})+L^{-3/2}\frac{dL}{d\lambda}$$
 * $$\frac{d}{d\lambda}\frac{\partial L}{\partial (dx^\alpha/d\lambda)} = L^{-1/2} (\frac{1}{2}g_{\alpha\beta,\gamma}\frac{dx^\gamma}{d\lambda}\frac{dx^\beta}{d\lambda}+\frac{1}{2}g_{\alpha\gamma,\beta}\frac{dx^\gamma}{d\lambda}\frac{dx^\beta}{d\lambda}+g_{\alpha\beta}\frac{d^2x^\beta}{d\lambda^2})$$

其中最后一步利用了亚元$$\gamma\beta$$的对称性,和后面将证明的$$\frac{dL}{d\lambda}=0$$;另外


 * $$\frac{\partial L}{\partial x^\alpha} = (1/2) L^{-1/2} g_{\gamma\beta,\alpha}\frac{dx^\gamma}{d\lambda}\frac{dx^\beta}{d\lambda}$$

注意到欧拉拉格朗日方程的形式,并用$$g^{\delta\alpha}$$来提升指标,注意到克里斯托弗符号的定义,即得(6.51)

P.156 (6.52)

这里证明曲线长度为仿射参数.注意到按(6.7)


 * $$l=\int_{\lambda_0}^{\lambda}\left(g_{\alpha\beta}\frac{dx^\alpha}{d\lambda}\frac{dx^\beta}{d\lambda}\right)^{1/2} d\lambda$$

$$l$$对$$\lambda$$的导数如果是常数,那么长度就是仿射参数.按上式,这个导数就是$$L=\left(g_{\alpha\beta}\frac{dx^\alpha}{d\lambda}\frac{dx^\beta}{d\lambda}\right)^{1/2}$$,所以我们需要证明,沿着$$\lambda$$的变化,全微分$$\frac{dL}{d\lambda}=0$$.所以(6.7)应该相当于常数对曲线参数的积分.

第一个证明,参见练习(13-15).按习题思路即可理解.具体证明如下.


 * $$\nabla_U A^\mu=\frac{d}{d\lambda}A^\mu+A^\sigma\Gamma^\mu_{\sigma\nu}U^\nu=0$$


 * $$\nabla_U B_\mu=\frac{d}{d\lambda}B_\mu-B_\sigma\Gamma^\sigma_{\mu\nu}U^\nu=0$$

所以代入后可以直接验证,有


 * $$\frac{d}{d\lambda}(A^\mu B_\mu)=0$$

第二个证明,考虑满足欧拉拉格朗日方程的轨迹$$x^\mu$$,计算对应的$$\frac{dL}{d\lambda}=0$$如下,


 * $$\frac{dL}{d\lambda}=\dot{x}_mu\frac{\partial L}{\partial {x}_mu}+\ddot{x}_mu\frac{\partial L}{\partial \dot{x}_mu}$$
 * $$\frac{dL}{d\lambda}=\dot{x}_mu\frac{d}{d\lambda}(\frac{\partial L}{\partial \dot{x}_mu})+\ddot{x}_mu\frac{\partial L}{\partial \dot{x}_mu}$$
 * $$\frac{dL}{d\lambda}=\frac{d}{d\lambda}(\dot{x}_mu\frac{\partial L}{\partial \dot{x}_mu})$$
 * $$\frac{dL}{d\lambda}=2\frac{dL}{d\lambda}=0$$

其中倒数第二步利用了$$L$$的具体形式.

P.159 (6.62)

这里证明这里定义了一个张量.首先对移动的矩形两边(两个逆变矢量)的长度成线性正比,第二和被平移的逆变矢量的长度成线性正比,最后的结果是平移后的逆变矢量的变化,这是一个逆变矢量.所以这是一个把三个逆变矢量映射到一个逆变矢量,从而对应为(1,3)张量. 一个数学上更直观的证明可以参见刘辽广义相对论(2.6.5),即直接证明$$a_{\mu;\nu\tau}-a_{\mu;\tau\nu}=-{R^\lambda}_{\mu\nu\tau}a_\lambda$$,容易看到黎曼张量的确是一个(1,3)张量.

P163 (6.82-85)

首先这里有
 * $$\frac{d}{d\lambda}=\frac{dx^\mu}{d\lambda}\frac{\partial}{\partial x^\mu}=U^\mu \frac{\partial}{\partial x^\mu}$$

由于曲线长度为仿线参数,所以任何仿线参数的数值与曲线的测地线长度成正比,简单起见,我们不妨取它为参数,接着选取坐标系使它正好为坐标的$$0$$分量.实际上对于两个相互平行的曲线,自然的有$${\xi^\beta}_{,0}=0$$.我们需要计算的是这个量的高阶导数,这对应平行线不再平行:(6.82)就是二阶导数,但是这是非协变的形式,(6.85)就是协变的形式.

另外我们注意到,(6.84)最后一个等号实际上应该是加号.另外(6.48)中的$$\frac{d}{d\lambda}$$实际上有些歧义,因为那里对应的是协变导数,而在这里的推导中,相同的记号对应的是对仿线参数的普通导数.

Ch.7 Physics in a Curved Spacetime
P.172 Weak Equivalence Principle

首先这一页上面的关于伽利略时空和狭义相对论时空的讨论似乎有些歧义.特别是第一段最后关于不同时的距离差对不同观测者是一定的论述.

弱相应性原理,只受到引力作用的粒子沿着测地线运动.注意到测地线是时空对仿线参数的函数,而非三维空间的曲线,所以它包含运动粒子的所有运动学信息.另外测地线方程是二阶的,由初始位置和速度决定,过一定点有无数不同的测地线.

一方面,对与一个粒子,任何时刻总是可以找到一个局域惯性系,在这个坐标系中粒子静止,所以弱相应性原理不与均匀重力场中引力效应等效于加速效应的结论矛盾,也不与牛顿第一定律矛盾.实际上,第二,弱相应性原理是上述重力质量等于引力质量的论述推广,推广到任意非常数重力场的情况.第三,环绕地球运动的人造卫星和自由下落的重物都满足测地线方程,沿着测地线运动,在弱场近似下,从测地线方程我们得到了(7.24),即牛顿的动力学方程,或者经典引力理论.

P.180 (7.37)

第一步就是(3.38)与(5.29),第二步是考虑平直空间的情况.

Ch.8 The Einstein Field Equations
P.185 (8.7)

其中$$k$$的物理意义在后面一页讨论.由响应性原理,它的数值必然由对应的牛顿引力理论决定.

P.187 Natural Unit

自然单位的意义在于每个$$=1$$的关系都被用来消除掉一个量纲.这样最后整个计算只涉及一个量纲(在广义相对论中和量子场论中都是长度),从而起到简化计算的目的.在最后,如果要把计算得到的物理量重新表达为SI制的结果,那么需要明确知道物理量的真实量纲,从而可以唯一的把每个$$=1$$消去的数值还原回来.

P.191 (8.24)

利用(8.17)和(8.21)即得.

P.192 (8.25)

此式在度规变化(8.22)下不变.

首先注意到$$\eta$$是常数张量,它的导数为零.

其次把关于$$\xi$$的正常导数写出来,一共会有8项,都是类似$$\xi_{\alpha,\nu\beta\mu}$$的形式;不难注意到第一个指标$$\alpha$$只有四种选择,每种选择一正一负正好消去,所以最后(8.25)不受度规的变化的影响.

P.193 (8.32)

首先,等式的左边按定义涉及指标的提升,而这是由通过和$$g^{\mu\nu}$$内积得到的;而后者可以按(8.12)展开,所以计算中涉及到$$h$$的高阶项被忽略的问题.正是因为这样,对任何小量,比如到在等式的右边,$$h$$是通过$$\eta$$来提升指标的;而对于普通导数,虽然不是协变的,但是因为是在平直空间上的小微扰,在忽略高阶量后也用$$\eta$$来升降指标.

第二,利用(8.31),以计算其中的一项导数为例,略去高阶小量我们有
 * $$h_{\alpha\beta}=\bar{h}_{\alpha\beta}-\frac{1}{2}\eta_{\alpha\beta}{\bar{h}^\lambda}_\lambda$$
 * $$h_{\alpha\beta,\mu\nu}=\bar{h}_{\alpha\beta,\mu\nu}-\frac{1}{2}\eta_{\alpha\beta}{\bar{h}^\lambda}_{\lambda,\mu\nu}$$

比如计算中需要的一项是
 * $$h_{\mu\beta,\alpha\mu}=\bar{h}_{\mu\beta,\alpha\mu}-\frac{1}{2}\eta_{\mu\beta}{\bar{h}^\lambda}_{\lambda,\alpha\mu}=\bar{h}_{\mu\beta,\alpha\mu}-\frac{1}{2}{\bar{h}^\lambda}_{\lambda,\alpha\beta}$$

对于具体问题
 * $$R{^{\alpha}}_{\beta\mu\nu}=\frac{1}{2}\left(h{^{\alpha}}_{\nu,\beta\mu}+h{_{\beta\mu,}}{^\alpha}_{\nu}-h{^{\alpha}}_{\mu,\beta\nu}-h{_{\beta\nu,}}{^\alpha}{_\mu}\right)$$

求迹后我们有
 * $$R_{\alpha\beta}=R{^{\mu}}_{\alpha\mu\beta}=\frac{1}{2}\left(h{^{\mu}}_{\beta,\alpha\mu}+h{_{\alpha\mu,}}{^\mu}_{\beta}-h{^{\mu}}_{\mu,\alpha\beta}-h{_{\alpha\beta,}}{^\mu}_{\mu}\right)$$

将前面的计算代入,得到
 * $$R_{\alpha\beta}=\frac{1}{2}\left(\bar{h}{^{\mu}}_{\beta,\alpha\mu}-\frac{1}{2}\bar{h}{^\lambda}_{\lambda,\alpha\beta}+\bar{h}{_{\alpha\mu,}}{^\mu}_{\beta}-\frac{1}{2}\bar{h}{^\lambda}_{\lambda,\alpha\beta}-\bar{h}{^{\mu}}_{\mu,\alpha\beta}+\frac{1}{2}4\bar{h}{^\lambda}_{\lambda,\alpha\beta}-\bar{h}{_{\alpha\beta,}}{^\mu}_{\mu}+\frac{1}{2}\eta_{\alpha\beta}\bar{h}{^\lambda}{_\lambda,}{^\mu}_\mu\right)$$
 * $$R_{\alpha\beta}=\frac{1}{2}\left(\bar{h}{^{\mu}}_{\beta,\alpha\mu}+\bar{h}{_{\alpha\mu,}}{^\mu}_{\beta}-\bar{h}{_{\alpha\beta,}}{^\mu}_{\mu}+\frac{1}{2}\eta_{\alpha\beta}\bar{h}{^\lambda}{_\lambda,}{^\mu}_\mu\right)$$

注意到其中$$4=\eta{^\mu}_\mu$$,这个结果与最后的(8.31)中的三项都一致,剩余的一项不一致,在度规下不为零. 最后按爱因斯坦张量的定义,减去一部分(爱因斯坦张量并非无迹).
 * $$G_{\alpha\beta}=R_{\alpha\beta}-\frac{1}{2}\eta_{\alpha\beta}R{^\mu}_\mu$$
 * $$R{^\mu}_\mu=\bar{h}{_\lambda\mu,}{^\lambda\mu}+\frac{1}{2}\bar{h}{^\lambda}{_\lambda,}{^\mu}_\mu$$
 * $$G_{\alpha\beta}=\frac{1}{2}\left(\bar{h}{^{\mu}}_{\beta,\alpha\mu}+\bar{h}{_{\alpha\mu,}}{^\mu}_{\beta}-\bar{h}{_{\alpha\beta,}}{^\mu}_{\mu}-\eta_{\alpha\beta}\bar{h}{_\lambda\mu,}{^\lambda\mu}\right)$$

P.193 (8.39)

这里的情况与电磁波类似,电磁波的解也是可以写为有源非齐次方程的特解(格林函数法得到的解)加上无源齐次方程的通解(平面波解)的和的形式.

P.(8.49)

注意到$$h^{\alpha\beta}$$是度规的微扰,但是按(8.42)我们知道$$\bar{h}^{\alpha\beta}$$的空间分量要小于时间分量,这对$$h^{\alpha\beta}$$并不成立.故而按(8.47-48)我们得到(8.49)

Ch.9 Gravitational Radiation
P.204 (9.9)

注意到(9.1)是平直空间的波动方程,所以它的解(9.2)在坐标系中是直线运动;而(9.6)决定了一个平面,因为满足方程的$$x^\mu$$含有三个独立的自由度,这是等相位平面;(9.8)是满足光速的直线运动的方程,是直线因为只有一个独立的自由度$$\lambda$$;(9.9)这根直线上的点都出于波动方程解等相位的平面上,换言之波动方程等相位的点以光速运动.

P.206 (9.21)

$$A_{xy}=A_{yx}$$是因为$$\bar{h}_{\alpha\beta}$$的对称性.

P.207 (9.25)

这里自由粒子受引力波的影响就是自由粒子受微扰度规的影响.

比较(6.86)的第一行,其中第二项被忽略了.这是因为(8.56)的缘故,被忽略的是小量.

P.208 (9.27)

前面讨论的是随动系,这里开始用某个特别的度规,TT度规来计算.这是因为黎曼张量不随度规变化.

P.210 Exer 16

这里不给出该练习的解答,而仅仅指出一个最简单的情况.$$h^{TT}_{xx}$$与$$h^{TT}_{xy}$$按习题中的定义是相互垂直的,而对应的$$xi^\mu$$差45度.

P.211 (9.32)

下面论述的两个细节.

第一,由于$$k_0=k_z$$,所以波动解中$$(t-z)$$是自然的因子化的,自然的可以对$$k_z$$积分得到傅里叶变换.

第二,考虑度规的展开,下面的两个没有编号的公式正对应了$$h_{xx}=-h_{yy}=\varepsilon$$以及$$h_{xy}=h_{yx}=0$$的情况.

P.216 (9.38)

注意到TT度规其实也是是一种坐标系,(只有黎曼张量在这种坐标系下不变),所以一般情况下它不是随动系,但是由于它是非常接近平直空间(随动系是平直空间)的坐标系,所以书中用它来近似随动系.

P.216 (9.45)

右边其实是(9.26)的$$R{^0}_{0x0}$$,从而由(9.27)的具体形式得到,这就是书中提到的另一种计算方法.

P.220 (9.58)

这里是正偏振的情况,"+"-porlarization.

$$h_+(z-t)$$是指括号内的$$(z-t)$$是函数$$h_+$$的自变量.而后一个括号内的自变量似乎写反了.

P.221 (9.61)

时间参数是指$$t$$变化而其他坐标都不变的情况,显然这是固有时$$d\tau=dt$$.书中计算的正是对于固定坐标点的两个事件的时间差,所以对应固有时差,是可观测的.

P.221 (9.63)

未能给出证明 .似乎可以讲$$x,z$$轴旋转$$\theta$$代入度规,然后重复书中的论述方法,但是得不到书中给出的结果.

P.227 强引力波

这是指$$O(1)$$而非$$0(1)$$,打印错误.

P.228 (9.68)

这里的物理(数学)思想是,有质量的电磁场的球坐标通解.

P.229 (9.80)

This means that $$T^{\mu\nu}=0$$ on the surface, 因为 Since one has $$T^{\mu\nu}=0$$ on the surface

P.229 (9.81)

未能给出证明.

P.229 (9.83)

联立(9.81),(9.82)以及(9.74),(9.72)即得.

$$\bar{h}{_{jk,}}^k$$是小量,因为它包含两项之和.一项是$$\frac{1}{r^2}$$,因为离开源的距离远所以可以被忽略,第二项是$$\Omega\frac{1}{r}$$由慢速假设它比前一项还要小.

P.230 (9.84)

未证明 .但是证明的思路是选取特殊的规范以化简结果.

P.233 (9.100)

这里说明三个问题.

首先按维尔定律$$\phi\sim v^2 < 1$$.

其次$$\phi l_0/r^2$$是$$\phi/r$$在$$l_0$$附近展开即得.而$$hl_0\omega^2$$是由于(9.45)左边就是力,右边由于对时间的两阶导数得到$$\omega^2$$.

最后,书中提到对应电磁场的例子,单极(球对称)不能产生辐射,至少二级才能辐射.从经典电动力学的角度出发,这是因为按高斯定理球对称的电荷分布产生的电场不随时间变化,如果随时间变化,则说明电荷不守恒.这个问题还可以用量子力学,从光子的自旋为1的角度来讨论.

P.239 (9.123)

最后一项$$8I^{xy}I_{xy}$$,因子2是因为$$I_{xx}$$与$$I_{yy}$$一样,$$I_{xy}$$与$$I_{yx}$$一样.

P.239 (9.125)

具体计算已经验证,略去.注意到这里的上下标是为了说明会被相同指标求和,并无其他意思,比如都是下指标的$$z$$就是不求和的.注意到对$$ij$$求和的时候不要忘了交换项$$I_{xy}I^{xy}$$与$$I_{yx}I^{yx}$$.而由定义无迹的四极子是对称的$$I_{xy}=I_{yx}$$.

P.239 (9.127)

这是的推广就是把$$I_{zj}$$中的$$z$$换成求和$$n^iI_{ij}$$.

P.240 energy density

因为能流等于能量密度乘以速度,后者为光速.而总能量就是能量密度对体积积分.

Ch.10 Spherical Solution for Stars
P.256 (10.3)

这里的两维球面只是度规的一部分,完整的度规是(10.4-5).

注意到$$r$$一般不是固有长度,因为$$g_{rr}$$一般不是1.角度坐标$$\theta,\phi$$的取值范围和平直空间的情况一样,但这并不意味着空间是平直的.因为如果角度坐标的取值范围变化了,比如$$0<\theta<\frac32\pi$$,我们总可以通过引入坐标变化,使得在新坐标中$$0<\theta'<\pi$$.重要的是,度规对原点是中心对称的,这样圆周或者球面积都只能和径向坐标有关,区别仅仅是圆周和半径的比(圆周角)不再是$$2\pi$$,圆周和半径平方的比(立体角)不再是$$4\pi$$.这个比值并不体现在角度参数的取值范围,而是体现在度规分量$$g_{rr}$$中.

P.258 (10.5)

按习题1的思路,这里的几何意义是,不可能定义一个在$$\theta,\phi$$方向上,即球面切向上的球对称的矢量场.

P.260 (10.13)

引力红移,钟慢效应.

这里的结果,是从能量作为守恒量的角度来讨论的,其物理内涵和之前(5.2)的讨论完全一致.同时利用光子的频率既和能量成正,又和周期成反比的特点,我们可以得到引力引起的钟慢效应.特别是,注意到度规的具体形式(10.7),我们发现(和渐进平直的无穷远处比较)钟慢的因子正是度规$$00$$分量的平方根.

实际上,我们还可以从时空,即纯运动学的角度直接对问题给出讨论,并得到一致的结论.在下面的讨论中,"坐标时间隔"应该被读作"坐标时"的"间隔".

简单起见,考虑度规是不含时的.试想某人在黑洞视界附近位置$$1$$以某一物理规律的固定间隔(如原子衰变的半周期)释放光子信号,这些光子一个一个的沿着相同的测地线被一个处于无穷远处位置$$2$$的观测者接收到.我们用黑洞视界附近来打比方,只是因为在黑洞视界附近$$g_{00}$$在数值上很小,从而对应的钟慢效应非常明显.简单起见,假设在接受者处时空为渐进平直.进一步,为简化讨论,假设光子的发射者和接受者相对坐标轴都是静止的.这样,每个光子沿着测地线运动从被发射到被接收到的坐标时间差必然是一定的,进一步,如果考虑坐标时间,两个相邻光子的发射时间差和接收时间差,必然也是一致的.而另一方面,因为等价性原理,物理规律的固有时不变,所以光子发射间隔对应的固有时正好等于原子半衰期,那么$$d\tau^2=g_{00}dt_1^2$$.其中$$d\tau$$就是半衰期,对于发射者来说,其所处位置的度规非平直,其发射的坐标时的间隔并不等于固有时,而是$$dt_1$$,实际上,我们强调,这个坐标时间隔正是发射者在当地实验中观测到的一个真实原子在黑洞视界附近衰变的半衰期的坐标时间隔.实际上,因为$$g_{00}$$数值很小,坐标时间隔数值上很大,但是这个坐标时间隔对发射者是没有物理意义的,有物理意义的是对应的固有时间隔,后者由自然规律决定.然而,根据上面的讨论,在无穷远处的接受者接受到的坐标时间隔和发射者完全一致$$dt_1=dt_2$$,但是因为在无穷远处是渐进平直的,这个坐标时间隔就是固有时间隔.如果接受者在当地也进行同样的原子衰变实验,他会发现坐标时差距$$dt_1=dt_2\gg d\tau$$.这时,我们注意到发射者的坐标时差对接受者是有物理意义的.因为根据约定,发射者是以原子衰变的半衰期为间隔来发射信号的,接受者得到结论,发射者处的钟慢了.而钟慢的因子正是$$\sqrt{g_{00}}$$,与上面由能量守恒得到的结论一致.

P.261 (10.26)

由于这个关系的存在,爱因斯坦方程取所有可能分量得到的方程中,必然有一个方程不是独立的.

P.261 (10.27)

对后面星体的应用,这个表达只保证了在星体表面$$p=\rho=\frac{dp}{dr}=0$$.

P.264 constant of integral

注意到按度规(10.7),我们知道径向坐标点$$\epsilon$$离开中心的固有距离是$$g_{rr}r$$,而对应的圆的固有周长是$$2\pi\epsilon$$.这两个结果都可以通过度规的具体形式计算获得.

而另外一方面,总是可以在保持球对称的情况下,在中心附近随动的局域平直空间的选取一个球坐标,使得周长半径比为$$2\pi$$,对应这个坐标,上面的论述也成立,所以必然有$$g_{rr}=1$$.

在此意义上,并不是任意球对称坐标都满足$$g_{rr}=1$$,而是我们总是选取一个球对称坐标其原点是局域平直的.

如果上述理由成立,同时我们把质量函数的物理意义理解为"质量",那么如果在原点存在一个有限的质点,那么度规在原点就不是平直的,这个结论显然和物理直观上是一致的.实际上,进一步,我们可以从数学上直观的发现,如果度规(10.7)在原点$$g_{rr}=e^{2\Lambda}\ne 1$$且为有限大,即在原点$$\Lambda\ne 0$$且为有限大,那么其爱因斯坦张量的分量$$G_{rr}$$按(10.15)就必然发散.按爱因斯坦方程(8.10)的相应分量,能动张量的$$rr$$分量(10.21)也必然发散,即在星体中心压强为无穷大.

因为局域平直空间中的压强是一个有物理意义的量,所以星体中心处质量积分常数不为零是非物理的,导致本证的发散,我们不可能通过选取一个特殊的坐标系,使得原点处渐进平直.

P.265 (10.42)

似乎这里指数上面为$$e^{\Phi+\Lambda}$$.

P.273 (10.81)

对于白矮星,这里的压强$$p$$是由电子气产生的,而能量密度$$\rho$$是由重子产生的.按(10.75)与(10.78-79),不难理解这里为什么指数上面是$$4/3$$.

由于能均分,电子的动量比重子大得多(书中有打印错误,误为小的多),而由(10.77)电子对压强的贡献远大于重子对压强的贡献.

Ch.11 Schwarzschild Geometry and Black Hole
P.283 (11.7)

这里$$p^\mu$$是习惯上的四动量,这里把它的分量用守恒量(7.29)来表达出来.所以才导致了(11.9)的前两项具有相同的因子,而度规(11.1)前两项的因子是不同的.

P.283 (11.8)

注意到这里$$\lambda$$是任意仿射参数.而固有距离(6.7)本身就是仿射参数,所以可以在分母上用来定义动量.

注意到反过来时间坐标并不是仿射参数.实际上可以证明对时间坐标$$t=x^0$$的测地线方程为$$ {d^2 x^\mu \over dt^2} =- \Gamma^\mu {}_{\alpha \beta}{d x^\alpha \over dt}{d x^\beta \over dt}+ \Gamma^0 {}_{\alpha \beta}{d x^\alpha \over dt}{d x^\beta \over dt}{d x^\mu \over dt}$$.这个结果其实只要用复合函数的导数公式即可证明,特别是注意到$$(f^{-1})(y)=\frac{-f(x)}{(f'(x))^3}$$.

P.286 (11.25)

这里$$\phi$$角的周期是$$2\pi$$.表面上,按(11.1),度规在角度方向没有空间的弯曲,弯曲仅仅发生在径向和时间方向上.其实,即便考虑Kerr黑洞的度规(11.71),$$\phi$$角度的范围还是不变的,可以认为这是坐标参数的定义域.

P.287 (11.20-21)

已验证,纯代数计算.

P.292 (11.46)

$$1+\frac{2M}{r}$$与$$1+\frac{2M}{\bar{r}}$$相等.书上有印错.

P.293 牛顿引力理论,引力红移与时间曲率的关系

书中指出,引力红移可以完全决定牛顿引力理论.这是因为由(7.34)附近的讨论知道,引力红移仅仅由牛顿引力势决定.

P.293 (11.48)

$$b$$就是经典力学中的意义.粒子运动轨道唯一的由$$b$$决定,注意到$$r(\lambda)$$与$$r(const. \lambda)$$是同一轨道.

P.284 (11.11-12)

这是由守恒量来决定轨道,因为这里守恒量是由测地线决定的,而后者就是运动方程,自然可以用来决定轨道.

P.300 黑洞事件视界

这里给出的一种理解是,因为$$r$$是类时的,所以是时间的物理意义.时间只能向一个方向变化(单调增加或者单调减小),如果我们已知物体进入黑洞从而$$r$$沿着测地线参数减小,那么$$r$$对任何物体的测地线都必须减小.

另一种理解在后面给出.视界就是由临界类世界线构成,即$$r$$最终停留在有限远的类光世界线.

第三种理解在Kerr黑洞视界的讨论中给出.视界内的类光世界线方程无转折点解,即$$dr/d\tau=0$$无解,或者在视界内部其平方为虚数.

P.301 (11.14)

这由(11.1)易得.

P.302 图11.11

由几何作图可得.首先,类光世界线无法从视界内跑到世界外.其次,接近黑洞视界并且回来对无限远观测者来说经历无限长的时间,因为时间坐标经历了无限长同时时间坐标是类时的在无穷远处就是时间坐标;这一结论也可以通过几何作图来直观的验证,通过在光锥内作图,让$$r$$先减小接近$$r=2M$$视界线,然后再光锥内取世界线试图增加$$r$$,看时间坐标的变化.

P.309 黑洞的简单性

这是因为对斯瓦兹黑洞,$$m$$是满足对称性的度规的唯一的参数.

P.312 (11.83)

如何计算高维空间中一个曲面的面积.仅仅考虑曲面参数,并完全忘记其他参数,这是可以想象曲面是平面,曲面面积就由平面面积得到,所以就是雅克比行列式的平方根乘以曲面参数做积分.

P.316 (11.97)

这里说明,在平时空间,如果能量对一个观测者为正数,那么在洛伦兹变换下它始终是正数,即对所有观测者它是正数.在完全空间,特别是科尔度规下,这一结论不再成立.

首先在$$L$$为正数的情况下,$$p^0$$为正数意味着能量对无穷远处静止的观测者为正数,因为(1,0,0,0)是与无穷远处静止观察者坐标速度一致的局域速度,但是这并不意味着对所有观测者能量为正数.书中讨论的就是零角动量观测者测量得到的能量,这个观测者得到的能量值更具有物理意义.另外书中的计算的证明可以在取$$\theta=\pi/2$$的情况下直接比较表达式容易的得到.另外在下面考虑$$L$$为负数的情况,这时对无穷远处观测者能量为负,但对零角动量观测者能量可以是正的.

P.317 $$P\cdot U$$

对应$$P$$作常数$$U$$速度的洛伦兹变化,从而得到随着速度$$U$$运动的参照系中的能量分量,这是一个洛伦兹标量.

P.324 (11.102)

用测不准原理按粒子的寿命来估计其能量.

Ch.12 Cosmology
P.342 (12.6)

$$g_{0i}=0$$

对宇宙学度规,我们考虑如下随动坐标系,满足下述性质. 第一,时间坐标是每个空间点的固有时. 第二,等时曲面$$t={\mathrm const.}$$与每个空间点附近的随动局域平直空间(局域洛伦兹坐标系)的等时曲面重合.

对于第一点性质,对于固定的空间点,利用条件$$d{\vec x}=0$$,时间坐标等于固有时意味着$$g_{00}=-1$$. 而第二点性质则要求$$g_{0i}=0$$,即时间轴必然和空间轴垂直.我们做如下直观的讨论.

考虑一个时间轴与空间轴非正交坐标系,与时空相互垂直的坐标系间的比较. 对$$t={\mathrm const.}$$曲面,它们仍然可能具有相同的类空曲面族. 对于$$\vec{x}={\mathrm const.}$$曲面,若同时取$$g_{00}=-1$$,则$$t$$坐标都对应了随动观测者的固有时. 但是,这里的关键点是,我们要求在各自的局域平直空间中的等时面保持不变.

对于正交坐标系,在$$\dot{R}\ll 1$$时,我们可通过在给定时空点处的坐标变换$$\vec{x}\to \vec{x'}=R(t)^{-1}\vec{x}$$来达到局域洛伦兹坐标系. 显然,在变换后的局域坐标系中,$${g'}_{00}=g_{00}=-1$$,$$t'=t$$,且等时曲面与变换前的坐标系重合.

对于非正交坐标系,我们需要利用坐标变换找到局域洛伦兹坐标系,并计算相应的等时曲面,并与变换前的$$t={\mathrm const.}$$曲面进行比较. 下面我们证明,如果时空不正交,则按在上述局域洛伦兹坐标系中的等时面与变换之前的等时面不重合. 假象我们通过计算找到了上述局域平直空间. 具体的,上述局域洛伦兹变换的可行性的讨论参见本书(6.2)附近的讨论,原则上对任何度规都可进行操作. 值得注意的是,获得闵氏度规的坐标变换存在一个洛伦兹变换的六个自由度的不确定性. 其中三个空间转动自由度并不会改变等时曲面,而与狭义相对论中等时性的相对性对应,另外三个冲刺自由度会改变等时曲面. 因此要没有歧义的唯一确定上述局域坐标变换后的等时曲面,我们还需要指定变换后坐标系的相对速度. 由于度规选择的坐标是随动系,所以上述不确定由变换前后的坐标系都是星系的随动系决定. 在随动系中,空间坐标点的四速度$$u^\mu=\frac{dx^\mu}{d\tau}=\left(\frac{dt}{d\tau},0,0,0\right)=(1,0,0,0)$$,其中第三步等式利用了时间坐标是固有时的约定. 显然,上述空间坐标点的四速度的空间分量为零$$\frac{d\vec{x}}{d\tau}=0$$. 这样,我们要求变换前相对于原点静止的某空间坐标点在变换后仍然相对于原点静止,即$$d\vec{x}=0 \to d\vec{x'}=0$$. 换言之,在坐标变换后随动性不应受到影响,这导致在$$\dot{R}\ll 1$$时,空间坐标的变换必须满足$$\vec{x'}=R(t)\vec{x}$$,它不能引入任何与时间坐标的线性组合. 这样,要使得变换后的度规为闵氏度规,即对角化,我们只能对时间轴加以旋转以消除对角项. 因此,在局域洛伦兹系中的等时曲面$$t'={\mathrm const.}$$与变换前坐标系的等时曲面不同,从而违背了第二点性质的要求.证毕.

最后我们以(12.6)为例说明为何直观上似乎可能建立整体平直空间的坐标变换在实际中是不可能实现的,顺带说明上述讨论中近似$$\dot{R}\ll 1$$的意义. 首先度规(12.6)时间与空间部分正交,且度规的空间部分共形平直. 我们注意到共形平直并非是平直的,这通过具体计算Ricci张量即知. 但是,似乎通过对空间坐标的变换$$\vec{x'}=R(t)^{-1}\vec{x}$$就能使得度规转化为平直时空的闵可夫斯基度规. 我们从两个方面说明这其实是不可能的.

首先,上述坐标变换实际上会导致变换后的度规含有非对角的交叉项.具体的,利用
 * $$\tilde{g}_{\mu\nu}=\frac{\partial x^\alpha}{\partial \tilde{x}^\mu}\frac{\partial x^\beta}{\partial \tilde{x}^\nu}g_{\alpha\beta}$$,

注意到虽然$$g_{\alpha\beta}$$为对角形式,但偏导$$\frac{\partial t}{\partial x'}\ne 0$$导致变换后的度规为非对角. 显然,非对角项在条件$$\dot{R}\ll 1$$下可以被忽略. 其次,我们实际上需要的似乎是微分形式$$d\vec{x'}=R(t)^{-1}d\vec{x}$$. 实际上,上述形式其实并是一个"合法"的坐标变换. 这是因为从坐标变换的一般形式$$\vec{x'}=\vec{x'}(t,\vec{x})$$出发,上式意味着$$d\vec{x'}=R(t)^{-1}d\vec{x}+0 dt$$ 从而$$\frac{\partial \vec{x'}}{\partial \vec{x}}=R(t)^{-1}$$和$$\frac{\partial \vec{x'}}{\partial t}=0$$. 但是上述结果显然与麦克斯韦关系有矛盾,因为$$\frac{\partial}{\partial t}\frac{\partial \vec{x'}}{\partial \vec{x}}\ne 0$$而$$\frac{\partial}{\partial \vec{x}}\frac{\partial \vec{x'}}{\partial t}=0$$,即$$\frac{\partial}{\partial t}\frac{\partial \vec{x'}}{\partial \vec{x}}\ne \frac{\partial}{\partial \vec{x}}\frac{\partial \vec{x'}}{\partial t}$$. 上面从一个特例不充分但直观的说明不可能找到一个坐标变换把度规变换为全部闵氏度规.

P.342 (12.7)

这里把坐标系称为随动坐标系,该坐标系上两个空间坐标固定的点相当于,相当于一个被吹大的气球上的两个"固定"点,虽然对坐标系静止不动,他们之间的本征距离随着时间增加.实际上,需要证明,这样相对坐标系的空间固定点其实满足测地线方程,所以才符合"随动"的称谓.这个证明其实就是验证空间坐标固定的曲线满足测地线方程.

这个证明可以参见Cosmology Part III Mathematical Tripos by Daniel Baumann一书(1.2.47)附近的讨论.通过这个讨论,发现实际上这个论断只用到测地线方程$$U^\beta{V^\alpha}_{;\beta}$$的空间分量部分,而测地线方程的时间分量进一步给出其他重要的信息.

P.343 (12.9)

对于一个由时间坐标决定的"时刻",任何空间点都一致,所以三维空间部分的Ricci标量必须对所有空间点一致.故(12.9)以及上面的讨论都仅涉及曲率张量的三维空间坐标.

P.346 (12.21)上面的讨论$$R\sim \lambda$$


 * $$p^0=p_0$$
 * $$p^\chi=g^{\chi\chi}p_\chi$$
 * $$g_{00}p^0p^0+g_{\chi\chi}p^\chi p^\chi=0$$
 * $$-(p^0)^2+R^2(p^\chi)^2=0$$
 * $$p^0=Rp^\chi=R\frac{1}{R^2}p_\chi=\frac{p_\chi}{R}$$

由(7.29)附近的讨论,$$p_\chi$$是守恒量,所以$$R$$反比与能量,正比与波长.

P.346 (12.21)

我们给出具体计算如下.$$$$
 * $$T^{\mu\nu}=(p+\rho)u^\mu u^\nu+pg^{\mu\nu}$$

其中 $$u^\mu=(1,0,0,0)$$,并且
 * $$g^{\mu\nu}=\left(-1,\frac{1-kr^2}{R^2},\frac{1}{R^2r^2},\frac{1}{R^2r^2},\frac{1}{R^2r^2\sin^2\theta}\right)$$

所以相关的非零能动张量分量为
 * $$T^{00}=\rho$$
 * $$T^{rr}=p\frac{1-kr^2}{R^2}$$
 * $$T^{\theta\theta}=p\frac{1}{R^2r^2}$$
 * $$T^{\phi\phi}=p\frac{1}{R^2r^2\sin^2\theta}$$

利用度规可以得到联络的具体形式,相关的非零联络为
 * $${\Gamma^r}_{rt}={\Gamma^\theta}_{\theta t}={\Gamma^\phi}_{\phi t}=\frac{\dot{R}}{R}$$
 * $${\Gamma^t}_{rr}=\frac{R\dot{R}}{1-kr^2}$$
 * $${\Gamma^t}_{\theta\theta}=Rr^2\dot{R}$$
 * $${\Gamma^t}_{\phi\phi}=Rr^2\sin^2\theta\dot{R}$$

这样
 * $${T^{0\mu}}_{;\mu}=T^{0\mu}_{,\mu}+{\Gamma^\mu}_{\mu\nu}T^{0\nu}+{\Gamma^0}_{\mu\nu}T^{\mu\nu}

={T^{tt}}_{,t}+\left({\Gamma^r}_{rt}+{\Gamma^\theta}_{\theta t}+{\Gamma^\phi}_{\phi t}\right)T^{00}+\left({\Gamma^0}_{rr}T^{rr}+{\Gamma^0}_{\theta\theta}T^{\theta\theta}+{\Gamma^0}_{\phi\phi}T^{\phi\phi}\right)$$
 * $$=\dot{\rho}+\left(\frac{\dot{R}}{R}+\frac{\dot{R}}{R}+\frac{\dot{R}}{R}\right)\rho+\left(\frac{R\dot{R}}{1-kr^2}p\frac{1-kr^2}{R^2}+Rr^2\dot{R}p\frac{1}{R^2r^2}+Rr^2\sin^2\theta\dot{R}\right)p\frac{1}{R^2r^2\sin^2\theta}

=\dot{\rho}+\frac{3\dot{R}}{R}(\rho+p)=0$$. 此即(12.21).

P.346 (12.24)下面的讨论$$v=z$$


 * $$1+z=\frac{R}{R(t)}=1-\frac{R}{R^2}\Delta R=1-\frac{1}{R}\dot{R}\Delta t=1+\frac{1}{R}\dot{R}R\chi = 1+\frac{\dot{R}d_0}{R}=1+Hd_0=1+v$$

其中参考点在原点$$0$$,所以其中负号是来自考虑原点与另一点间的时间差或者距离差$$\Delta t=t_0-t=-d_0=-R \chi$$之间的距离.

P.347 (12.26)

$$\dot{H}_0$$项来源于积分展开的第二项,$$H_0^2$$来源与指数展开.

P.347 (12.27)

这里等式第二步直接来源于代入(12.26).

P.349 (12.34)

$$\frac{L}{4\pi d_L^2}=F$$

这里涉及很多不同的距离,比如径向坐标距离$$r$$,固有距离,即坐标时间相同时两点间的$$ds^2$$,等等.它们中,有的是可观测的有的是不可观测的.这是讨论的是用星体光源明流和表观亮度定义的距离,亮度距离是一个可观测量.

P.350 (12.38)

波的蔓延范围的变化可以考虑仅仅发出一个波长的波的波长的变化.

P.351 (12.44)

这里同样讨论的是径向坐标距离为$$r$$两点间的"距离",这里讨论的对象为固有距离,并且是光子发射时刻$$e$$的固有距离.作为比较,(12.34)的定义涉及到的是用光子被接受到时刻$$0$$的表观亮度定义的亮度距离.


 * $$d_A=R_e r=\frac{R_e}{R_0}rR_0=\frac{1}{(1+z)^2}R_0r(1+z)=\frac{d_L}{(1+z)^2}$$

P.353 (12.46)

这个式子的推导只用到理想流体的能动张量的形式,因为是协变导数,所以与度规的雅克比有关,所以表达式与$$R$$有关.

P.354 $$G_{tj}=0$$

这与对应的能动张量对角化,空间部分旋转对称有关.

P.367 (12.64-65)

这里讨论了暴涨宇宙模型的基本性质.

本书从度规的方程的角度对问题给出讨论,假设在暴涨截断,宇宙的运动方程主要由宇宙学常数对应的暗能量主导.这样由(12.58),忽略物质和曲率能量密度的贡献,即得到(12.64).它的解是指数增长的,其"半衰期"即(12.65).

接着,文章从对称性的角度给出讨论.因为我们要求真空在洛伦兹变化下是不变的,能动张量是一个(0,2)张量,而我们知道度规张量在洛伦兹变化下不变(这其实是洛伦兹变换的定义,参见Tung群论(10.1-5)),进一步可以证明,度规是唯一的在洛伦兹变化下不变的(0,2)张量,这样给通过宇宙学常数来描述真空能提供了对称性角度的基础.

而实际上,如果不简单的引入宇宙学常数,而是引入一个含自相互作用势的标量场,通过选取这个势场的形式,那么我们不难通过近似(慢滚近似)定性得到与宇宙学场论非常类似的结论,比如负压强.区别是这样的讨论涉及标量场自由度,从而是动力学的.这样,因为标量场的演化是动态的,必须由对应的运动方程来决定.我们对这个讨论简单的总结如下,可以参考这个或者shoutwiki版本和那个简介.

首先我们写下弯曲空间中含有一个标量场的拉格朗日.
 * $$S=\int d^4x\sqrt{|g|}{\mathcal L}$$
 * $${\mathcal L}=\frac{R}{16\pi G}+\frac12 \partial_\mu\phi\partial^\mu\phi-V(\phi)$$

注意本书中采用的自然单位制是取P.186的约定$$G=1$$,有的文献采用的是$$8\pi G=1$$,这样很多公式的表达略有不同.

其中标量场部分我们按场论的标准手续计算其能动张量,注意到空间是各向同性(能动张量空间部分对角化)且均匀(任何空间导数都为零),按理想流体能动张量的形式,我们不难得到能量密度和压强的表达式
 * $$T^{00}=\rho=\frac12 \dot{\phi}^2+V(\phi)$$
 * $$T^{ij}=p\delta_{ij}=\frac12 \dot{\phi}^2-V(\phi)$$

注意到在慢滚近似下,略去标量场的时间变化,我们有$$\rho=-p$$,此即负压强的暗能量满足的(12.53).所以度规满足的方程就是(12.64),与书中一致.当然,如果我们直接将作用量对变分,也能直接到爱因斯坦方程.

另一方面,$$\phi$$场的运动方程可以由两个途径得到.第一个办法是写出标量场的能动张量守恒方程.考虑到是在弯曲空间,对理想流体,能动张量守恒即(12.46).通过简单运算,我们得到


 * $${\dot \rho}=-\frac{3{\dot R}}{R}(\rho+p)$$

分别代入上述能量密度和压强的表达式,我们得到运动方程的形式为
 * $${\ddot \phi}+\frac{3{\dot R}}{R}{\dot\phi}+\frac{\partial V}{\partial\phi}=0$$

而另一方面$$\phi$$的运动方程应该由其欧拉拉格朗日方程决定,实际上,可以直接由作用量推导标量场的运动方程,不难证明,得到的方程的确就是上述形式.

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