Research Paper Notes on Particle Correlation in Wigner Function Approach

Research Paper Notes on Particle Correlation in Wigner Function Approach

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 * nucl-th/9909018 Boson spectra and correlations for thermal locally equilibrium systems

nucl-th/9909018 Boson spectra and correlations for thermal locally equilibrium systems
Yuri M. Sinyukov Preprint ITP-93-8E, Heavy Ion Phys.10:113-136,1999

P.4 (4) 首先 $$p^{\mu}e^{ik\cdot x}$$ 是守恒流,因为 $$p^{\mu}$$ 是数字,且根据假设 $$p\cdot k=0$$


 * $$\begin{align}

\partial_{\mu}(p^{\mu}e^{ik\cdot x})=ip^{\mu}k_{\mu}e^{ik\cdot x}=i(p\cdot k)e^{ik\cdot x}=0 \end{align}$$

利用高斯定理,上述 $$p^{\mu}e^{ik\cdot x}$$ 在任意封闭的四维时空曲面上的面积分为零,故在任意曲面 $$\sigma_{\mu}$$ 上的积分等于一个与此构成封闭曲面的等时曲面上的积分.


 * $$\begin{align}

\int d\Sigma_{\mu}p^{\mu}e^{ik\cdot x}=\int d\sigma^t_{\mu}p^{\mu}e^{ik\cdot x} \end{align}$$

而对等时曲面,我们有


 * $$\begin{align}

&d\sigma^t=d^3x \hat{e}_t\\ &\int d\sigma^t_{\mu}p^{\mu}e^{ik\cdot x}=\int d\sigma^t_{\mu}p^{\mu}e^{ik^0t}e^{-i\mathbf{k\cdot x}}=p^0e^{ik^0t}(\int d^3x e^{-i\mathbf{k\cdot x}})=p^0e^{ik^0t}(2\pi)^3\delta(\mathbf{k}) \end{align}$$

P.4 (5) 我们首先考虑等式的第一步 引入定义
 * $$p=\frac{p_1+p_2}{2},q=p_2-p_1$$

从而
 * $$p_1=p-\frac{q}{2},p_2=p+\frac{q}{2}$$

同时我们注意到我们观测到的是在质壳上的自由粒子,从而


 * $$p\cdot q = \frac{1}{2}(p_2^2-p_1^2)=\frac{1}{2}(m^2-m^2)=0 $$

数学上的小困难是如何写下 $$\delta(p\cdot u)$$ ,利用上面的结果,我们用$$u'$$标记 $$u$$ 与 $$q$$ 的差,即 $$u=q+u'$$.对任意函数$$f(u)$$ 我们有,


 * $$\begin{align}

&f(u) \delta(p\cdot u)\delta(\mathbf{q}-\mathbf{u}) \\ &=f(u) \delta(p\cdot (q+u'))\delta(\mathbf{q}-\mathbf{u}) \\ &=f(u) \delta(p^0{u^0}')\delta(\mathbf{q}-\mathbf{u}) \\ &=f(u) \delta({u^0}')\delta(\mathbf{q}-\mathbf{u})/p^0 \\ &=f(u) \delta(q^0-u^0)\delta(\mathbf{q}-\mathbf{u})/p^0 \\ &=f(u) \delta(q-u)/p^0 \end{align}$$

在上面的演算中,为了便于理解,可以把 $$p,q$$ 都视为常数,变量是 $$u$$ .演算中利用了空间部分的 $$\delta$$ 函数 $$\delta(\mathbf{q}-\mathbf{u}) $$,($$\mathbf{u}$$并不必要在质壳上),得到$$u'=({u^0}',0,0,0) $$,注意到
 * $$\begin{align}

d^4u=du^0d\mathbf{u}=du'^0d\mathbf{u},d\mathbf{u}\equiv d^3u \end{align}$$


 * $$\begin{align}

&d^4u p^0 e^{i(q^0-u^0)t}\delta(p\cdot u)\delta(\mathbf{q}-\mathbf{u}) =d^4u p^0 e^{i(q^0-u^0)t} \delta(q-u)/p^0 =d^4u e^{i(q^0-u^0)t}\delta(q-u) =d^4u \delta(q-u) \end{align}$$

所以等式的第一步无非是引入$$\delta$$函数


 * $$\begin{align}

\langle a^+(p_1)a(p_2)\rangle =\langle a^+(p-\frac{q}{2})a(p+\frac{q}{2})\rangle =\int d^4u \delta(q-u)\langle a^+(p-\frac{u}{2})a(p+\frac{u}{2})\rangle \end{align}$$

接着考虑等式的第二步 把等式中提出一个因子具有(4)的形式,代入(4)后我们得到另一个因子具有定义(3)的形式,注意到其余部分的因子$$\delta(p\cdot u)$$以及质壳上的$$p\cdot q =0$$保证了
 * $$u'\cdot p=(q-u)\cdot p=0$$

我们可以利用(3)


 * $$\begin{align}

&\langle a^+(p_1)a(p_2)\rangle\\ &=\int d^4u(2\pi)^{-3}\delta(p\cdot u)\langle a^+(p-\frac{u}{2})a(p+\frac{u}{2})\rangle\times[(2\pi)^3p^0e^{i(q^0-u^0)t}\delta(\mathbf{q}-\mathbf{u})] \\ &= \int d^4u\int d\Sigma_{\mu} p^{\mu}e^{i(q-u)\cdot x}(2\pi)^{-3}\delta(p\cdot u)\langle a^+(p-\frac{u}{2})a(p+\frac{u}{2})\rangle \\ &=\int d\Sigma_{\mu} p^{\mu}e^{iq\cdot x} \times\int d^4u (2\pi)^{-3}e^{-iu\cdot x}\delta(p\cdot u)\langle a^+(p-\frac{u}{2})a(p+\frac{u}{2})\rangle \\ &=\int d\Sigma_{\mu} p^{\mu}e^{iq\cdot x} f(x,p) =\int d\sigma_{\mu} p^{\mu}e^{iq\cdot x} f(x,p) \end{align}$$

证毕

考虑上述演算过程的物理意义.因为Wigner函数的定义与任意的曲面上的积分无关,所以问题的关键在于 $$\langle a^+(p_1)a(p_2)\rangle$$ 是一个与坐标选择无关的标量,我们把它凑成在等时曲面上的曲面积分的形式,利用一个凑出来的守恒流把这个曲面积分表达为任何曲面(从而可以是实验室测量到的粒子所在的曲面)上的积分.把 $$f(x,p)$$ 作近似后,这个表达式正是在流体力学模型中计算使用的公式.

值得注意到通过上述表达式,我们可以把一个对空间无限均匀的体系的某算符的系综平均表达为在某时空依赖的非均匀的有限的冻结曲面上的积分.所以在这个表达式中唯象的引入了新的物理,用于计算非均匀的流体力学演化的体系.

在推导中,等式的两端的算符的系统平均都是在等时的条件下进行的,所以$$\langle a^+(p_1)a(p_2)\rangle$$ 是一个在协变坐标变化下不变的量,是一个标量.在推导中,实际上并不涉及该项的具体形式,所以这里原则上并不涉及弯曲空间中的量子场论的问题.

文中指出,上述维格纳函数可以近似的用平衡条件下体系的分布函数近似,但是这样的近似仅仅在iliangge动量$$p_1,p_2$$很接近的条件下才正确.正是因为这个原因,在讨论背对背关联的时候,我们必须先进行Bogoliubov变换后,才利用上述公式,如果反过来,那么我们将在两个动量差别很大的时候运用上述公式,对应的维格纳函数不能用平衡态的分布函数取代.

P.5 (10) 利用(2)与(5)即得.

P.7 (16-17) 公式(16)的经典形式参见Landau Statistical Physics I P.25 (7.9).这里是它的算符形式的推广. 公式(17)无非是拉格朗日不定乘子方法.因为系综平均即为


 * $$\begin{align}

\langle...\rangle = \mathbf{Tr}(\rho ...)=Sp(\rho ...) \end{align}$$

一共引入三个不定乘子,分别是 $$n_{\gamma},\mu,\lambda$$ .利用完全类似玻尔兹曼统计力学的方法,对密度矩阵算符做变分,得到


 * $$\begin{align}

\left[-\ln\rho-1-\lambda-\int d\sigma n_{\gamma}(x)(\beta_{\nu}T^{\mu\gamma}(x)-\mu\beta J^{\gamma}(x))\right]\delta\rho =0 \end{align}$$

从而


 * $$\begin{align}

\rho=\exp \left[-1-\lambda-\int d\sigma n_{\gamma}(x)(\beta_{\nu}T^{\mu\gamma}(x)-\mu\beta J^{\gamma}(x)) \right] \end{align}$$

其中常数由归一性决定


 * $$\begin{align}

\mathbf{Tr} \rho = Sp (\rho)=1 \end{align}$$

从而


 * $$\begin{align}

&\rho=\frac{1}{Z}\exp \left[-\int d\sigma n_{\gamma}(x)(\beta_{\nu}T^{\mu\gamma}(x)-\mu\beta J^{\gamma}(x)) \right] \\ &Z=\mathbf{Tr} \exp \left[-\int d\sigma n_{\gamma}(x)(\beta_{\nu}T^{\mu\gamma}(x)-\mu\beta J^{\gamma}(x)) \right] \end{align}$$

文中关于 $$\Phi(\sigma)$$ 的表达式似乎指数上少了一个负号. 最后拉格朗日乘子可以通过与经典力学中的密度矩阵进行对比而得到,它们分别是温度化学势等.