Lecture Notes of Numerical Relativity by Baumgarte and Shapiro

Lecture Notes of Numerical Relativity by Baumgarte and Shapiro

本文档除了包括推导, 疑惑 外,做 读书重点 的记录

Ch.II The 3+1 decompostion of Einstein’s equations
P.23 (2.1)

首先变量为度规张量分量,对应的4x4度规具有10个分量,方程的形式是类似牛顿第二定律的加速度方程,初始条件是在初始时刻度规及其一阶时间导数.

这里利用Bianchi恒等式,说明$$G^{a0}$$项不含对度规的的两阶时间偏导,故相应的爱因斯坦场方程不能对度规分量的运动方程给出类似加速度方程的的信息.这样对应的四个方程仅仅是对初始条件的约束方程.

进一步,我们有10个度规张量作为变量,而只有6个方程.这对应我们在选择度规时有4个自由度.比如,书中举例,我们可以取高斯坐标$$g_{00}=-1, g_{0i}=0$$.这样六个变量都是关于度规空间分量$$g_{ij}$$的.另外书中的练习指出,约束方程如果在初始时刻被初始条件满足,则在任意时刻都被满足.

这里对于自由参数的计数和Schutz A First Course in General Relativity一书中的讨论(见该书P.160(6.27)附近的论述)似乎类似,但是涉及的结论很不一样.这是因为后者是考虑时候可能通过坐标变换把某一点处的度规变为平直空间的度规,而不是考虑度规是任意时空坐标的函数及其满足的方程的问题.在那里,我们知道,如果把度规变换为局域平直,那么我们多余6个自由参数对应一个任意的洛伦兹变换(3个参数的洛伦兹冲刺和3个参数的空间转动),如果要求度规的一阶导数也全为零,那么有且仅有一种可能的变换满足这个要求;而无法要求度规在变换后的两阶导数也为零,故平直是局域的.

P.28 (2.13)

对(2.12)求导$$D^i$$,并利用电荷守恒把对电流的空间导数转换为对电荷密度的时间导数,容易发现剩余的两项相互抵消.

P.29 (2.19-20)

如果不从微分几何的角度理解,这两个式子表达的就是一个曲面的法向(其实同时和定义曲面的多元函数的梯度有关),和这个矢量的旋度.后者由于$$\nabla\times\nabla f=0$$为零.

P.30 (2.23)

不清楚 如何推导这个结果.

因为对三个指标是反对称的,所以等式右边按完全反对称张量的定义等于$$\omega_{[a}\nabla_b\omega_{c]}=\frac{1}{3!}\epsilon^{abc}\omega_{a}\nabla_b\omega_{c}=\frac{1}{3!}\omega\cdot(\nabla\times\omega)\stackrel{?}{=}\frac{1}{2\cdot 3!}\nabla\cdot(\omega\times\omega)=0$$

注意到这里即便是对普通导数,上述推导的最后第二步等式也不成立.而实际问题中涉及的是协变导数.

P.31 (2.33)

这里把法向$$n^a$$定义为时间方向,然后分别定义了垂直(2.30)和平行(2.32)于该方向的投影算符.而(2.33)就是一个把但分量张量分解为两者之和的例子.

P.31 (2.34)

这里发现,对于两个分量的张量的情况,就必须单独考虑每个分量的平行与垂直部分,所以对应不同的组合方式,结果有四项.

注意到这里垂直符号只是作用在没有爱因斯坦求和的自由指标上.

P.32 (2.42)

利用(2.30)和(2.41)的定义,发现有一项对应$$(\delta_a^e+n_an^e)\nabla_e n_bn_c$$不为零. 不清楚 原因.

其他项都由于例如$$n^e\nabla_d n_e=0$$和$$\nabla_d g_{ab}=0$$的原因为零.

P.34 (2.48)

不清楚 如何证明twist即$$\omega_{ab}$$为零.

P.34 (2.51)

不清楚 如何证明这个关系.

P.35 (2.58)

已证明.

P.35 (2.59)

由(2.52)的右边和之前的定义(2.50),我们知$$n^an^bK_{ab}=0$$.

P.36 (2.60)

这里第一步和第二步等式的$$\gamma^{ab}$$和$$g^{ab}$$是可以互换的.倒数第二步等式就是考虑到$$\gamma=\gamma^{\frac12}\gamma^{\frac12}$$然后利用李导数对函数乘积的公式即得.

等式的第三步的具体推导 不清楚.

P.44 (2.112)

这里解释了为什么(2.106)和(2.108)式等号左边的李导数按定义不是"时间"偏导,但是这里指出,可以选取适当的坐标系,使得它成为时间坐标的偏导.同时等式右边仅仅与空间指标有关.这样就在技术上实现了3+1分解.

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Appendix A Lie derivatives Killing vectors and tensor densities
P.600 (A.5)

这里是以张量为例给出李导数的定义.退而求其次,以矢量为例对李导数的定义直观的见这篇综述附录A的Fig.A.1,不难理解两者是一致的.

P.600 (A.7)

李导数和协变导数的定义有类似的地方,区别是协变导数是和平行移动后的矢量的区别,李导数是和坐标变换后矢量(A.5)的区别.

P.601 (A.11)

已验证.

P.601 (A.17)

这个定理是ADM 3+1分解的数学基础.

由条件知

$$0={\mathcal L}_X Y^a=X^b\nabla_bY^a-Y^b\nabla_bX^a=X^b\partial_bY^a-Y^b\partial_bX^a$$

这里的疑问是把$$\lambda$$相同的点联系起来是何含义?但是我们可以考虑两个坐标点$$x^a, x^a+\epsilon Y^a$$沿着$$X^b$$方向演化$$\delta \lambda$$尺度后的坐标差$$\epsilon Y'^a$$是否满足方程$${\mathcal L}_X Y'^a=0$$来验证.

不难证明$$Y'^a=Y^a+\delta\lambda Y^b\partial_b X^a$$(可以参考这篇综述附录A的Fig.A.1).同时,我们知道在平移前后的坐标点的矢量$$Y^a(x), Y^a(x')$$都满足关系$${\mathcal L}_X Y^a=0$$,所以$$0={\mathcal L}_X (Y^a(x')-Y^a(x))={\mathcal L}_X (\delta\lambda X^b\partial_bY^a)$$,这样
 * $${\mathcal L}_X Y'^a={\mathcal L}_X (Y'^a-Y^a)={\mathcal L}_X (Y'^a-Y^a)=\delta\lambda {\mathcal L}_X Y^b\partial_b X^a=\delta\lambda {\mathcal L}_X (Y^b\partial_b X^a-X^b\partial_bY^a)=\delta\lambda {\mathcal L}_X ({\mathcal L}_X Y^a)=\delta\lambda {\mathcal L}_X 0=0$$.

证毕.

这个证明中有一个重要的细节,就是坐标系中$$\lambda$$相同的曲面具有一定的任意性,这里完全没有对该曲面的参数化给出任何限制.特别是,这个曲面并不要求和$$X^a$$垂直.

A.2 Killing vectors
P.603 Exercise A.6

这里的$$p^\mu$$其实应该是四速度,证明并不平庸,可以参见这个解答.其中的项由于(A.21)$$K_{\mu;\nu}=-K_{\nu;\mu}$$对指标反对称,与对指标对称的项$$\frac{dx^\mu}{d\lambda}\frac{dx^\nu}{d\lambda}$$的乘积对指标求和,得到的贡献为零.

另外可以证明,这个守恒量其实是与Noether定理有关的.

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