Research Paper Notes on Review of Superradiance

Research Paper Notes on Review of Superradiance

本文档除了包括推导, 疑惑 外,做 读书重点 的记录 $$$$

文献列表

 * Superradiance, arXiv:1501.06570, by Richard Brito, Vitor Cardoso, and Paolo Pani

Superradiance, arXiv:1501.06570, by Richard Brito, Vitor Cardoso, and Paolo Pani
本综述在2020年3月3日给出更新.这是对更新版的阅读笔记.本综述给出的重要文献列表很有意义,对初学者的知识体系构建很有帮助.

(3.4-5)

这里通过群速度对波矢与频率符号的分析是具有一般性的手续.

与文中的结论不同,注意到其实$$\omega$$是可以差一个负号的,这样对应某种相位正好相反的波,而重要是$$\omega$$与$$k$$的相对符号.具体的,当相对符号保持一致是,对应的色散关系其实是一个奇函数$$\omega(k)=-\omega(-k)$$,对上述函数群速度满足$$\frac{\partial\omega}{\partial k}(k)=\frac{\partial\omega}{\partial k}(-k)$$,换言之,始终满足物理上正确的入射波,反射波与透射波的群速度方向.

(3.6)

注意到(3.3)仅仅是关于空间坐标的函数,所以证明朗斯基行列式(3.6)守恒的关键步骤是注意到(3.6)对$$x$$的导数为零.

利用(3.3),并注意到$$\omega$$是给定的,即$$\omega,e,A_0$$都是常数(不是$$x$$的函数),这样,对方程(3.3)任意两个解$$(f_1,f_2)$$,易证(3.6)在任意空间点对$$x$$的导数都是零.这样朗斯基只能是常数.

(3.7)

这里,我们只能用朗斯基连接波函数在正负无穷大处的渐进行为而得到这个关系.这个结果就是分别用(3.4)中的两个表达式计算(3.6),令它们相等,并注意到(3.5),即得.具体已验证.因为我们仅知道势场的渐进形式而非具体形式,所以无法在某给定的空间点做波函数的连接关系.但是假设势场在$$x=0$$点跳跃在其他任何位置为常数可以验证上述结果,具体的,上述假设导致$$\mathcal{R}=\frac{\omega-k}{\omega+k}\mathcal{I}, \mathcal{T}=\frac{2\omega}{\omega+k}\mathcal{I}$$,易证,由结果同样可以得到(3.7)给出的关系.

我们,如果我们考虑给定的边界条件(3.4),那么在$$x\to\pm\infty$$的任何一端,(3.6)都为零.故朗斯基不仅为常数而且为零.对于一个两阶微分方程(3.3),它的通解由两个线性独立的解构成,朗斯基为零意味着两个解是线性独立的,换言之,满足边界条件(3.4)的所有解之间只可能相差一个常数,它们都是线性相关的.边界条件(3.4)从(两个线性独立的)通解中挑出了一个确定的满足物理上正确的边界条件的解.

而对于(3.7)中讨论的$$f, f^*$$,后者虽然是(3.3)的解,但显然它并不满足边界条件(3.4).这个结果只是利用(3.4)是方程(3.3)的解的条件得到反射,投射与折射系数间满足的关系而已.

(3.13)

注意到这里考虑的是(1+1)维的情况,而这个边界条件既满足(与之前讨论完全类似的)对群速度方向的要求,又满足运动方程(3.12).

(3.14)

可以想象部分涉世未深的无知少女不禁要问,为什么之前导出(3.7)我们要借助朗斯基,而这里(3.14)我们却要使用守恒流.如果反过来,是否会导致其他不平庸的结果?

实际上,不难证明,之前的朗斯基(3.6)就是守恒流的一般情况.具体的,因为由(3.3)出发,按量子力学的标准方法构造守恒流(如参见苏汝铿量子力学),我们得到的正是$$j^1=f^*\frac{df}{dx}-f\frac{df^*}{dx}$$.如果我们考虑的是非相对论的薛定谔方程而非克莱因高登方程,那么我们同样将得到(3.14).所以对波色场而言,这是一种相对论效应.而对满足相对论协变的狄拉克方程而言,由于某种原因,费米子却没有超辐射现象.

如文中所讨论的,这两个不同的性质,本质上来自于对费米子满足的泡利不相容原理.

(3.15)

这个结果的推导实际上就是利用波色子与费米全同粒子统计属性,以及概率的归一性以计算粒子平均数,具体参见这篇文章的(25)与(28).

实际上,我们顺带指出,该文给出了克莱因佯谬非常全面的描述,一些具体推导和讨论参见相关笔记.

(3.16)

这个结果在引文中并没有直接给出,这里我们结合Hansen与Manogue的文献来推导这个结论.

对标量场,参考Manogue一文的(22),考虑到给定频率与动量的情况,注意到本综述使用的势场形式与上述文献不同,从文献的表达式出发需要做变换$$+eV/2\to 0,-eV/2\to eV$$,不存在横向空间$$k\to 0$$,同时标量场质量为零$$m\to 0$$,综上我们得到$$q\to\omega,r\to \omega-eV$$,考虑到透射振幅定义一致$$T\to\mathcal{T}$$,因此文中的(22)意味着粒子对算符的期待值为$$\bar{n}_B=\left|\frac{r}{q}\right||T|^2\to \frac{\omega-eV}{\omega}|\mathcal{T}|^2$$,与本文(3.16)第一式的结果一致.

参考Hansen一文的结果(22),同时参见(9),(22),(61)以及相关讨论,并注意到此时$$q$$为负值.我们利用文章中$$T$$的表达式,参见文章(3-4)的笔记并注意到与$$\mathcal{T}$$的区别,这时对应替换$$q\to \omega-eV,p\to \omega$$,故$$\bar{n}_B=|T(-q)|^2=\frac{|q|}{|p|}|\mathcal{T}|^2\to\frac{\omega-eV}{\omega}|\mathcal{T}|^2$$.与之前的结果完全一致.

对费米场,情况其实比较复杂.我们盲目的同样参考Hansen一文的结果(22),注意到这时$$\kappa$$的定义不同,但是替换过程完全类似,并且有$$|\kappa|\to 1$$,我们得到$$\bar{n}_F=|\kappa||\mathcal{T}|^2\to|\mathcal{T}|^2$$,这就是本文(3.16)第二式的结果.按之后的讨论,其实我们注意到,每一个旋量分量的比值都满足$$\mathcal{T}=T$$.

参考Manogue一文的最后一式(没有编号),结论似乎不显然.这时我们注意到,比较Hansen一文的附录,反射波各自旋分量的比值$$R_i/I_i$$其实是不同,两篇文章都是考虑了(3+1)维空间,对入射波归一化的约定不同,故Hansen一文有统一的反射振幅而Manogue一文对每个旋量分量都涉及不同的反射振幅,而与之相比,Cardoso一文考虑的是(1+1)维,通过定义也仅仅使用了一个反射振幅.既然我们对计算方法已经给出了明确的讨论,这里并没有进行更为详细的计算.

(3.17)

文中这部分关于能量守恒的讨论似乎比较民科.用负能量联系反粒子的说法在现代物理中是应该竭力避免的,给出的引文也是在现代量子场论没有成熟的年代,文章也完全没有涉及到从场论的角度对问题的讨论.

对波色子,考虑带正电$$+e$$的粒子从真空入射打在势垒$$V$$上,当有正反粒子对产生时,以反射方向出射的正粒子动能为$$\omega$$,沿入射方向进入势垒的反粒子动能为$$eV-\omega$$,两者之和为$$eV$$,而反粒子带负电,其势能为$$-eV$$,故总能量为0.整个过程还需考虑以动能$$\omega$$打在势垒上直接被弹性反弹的粒子,这些粒子的能量不足以进入势垒,在被后者弹性反弹后动能同样也是$$\omega$$,运动方向相反.正负粒子对产生概率由动力学决定,就是(3.16)第一式.

如果没有满足超辐射条件,那么透射(正)粒子的动能为$$\omega-eV$$,而势能为$$eV$$,两者之和为$$\omega$$.这个能量由入射粒子的动能$$\omega$$提供.和上面一样,在上述透射过程中还需叠加弹性反弹的粒子,整个物理过程没有出现反粒子.同样,反射与透射振幅由动力学决定.

上述分析,与Hansen一文(14)下讨论中得到的,对质量不为零的情况下在满足条件$$eV>2m$$时出现粒子对产生一致.这时势场提供给反粒子的能量等于正反粒子对的动能与其静质量的总和.具体的注意到条件$$E0$$.注意到$$v_0\cdot k=v_0 \cos\theta_0 k$$及$$\frac{ck}{n}=\frac{2\pi c}{n\lambda}=\frac{2\pi }{T}=\omega$$,我们有$$\omega < v_0\cdot k$$,此即(3.20).

接着,文中对(3.20-21)物理上的讨论是很有意义的,我们指出,这里并不涉及外势场以及正反粒子对产生.

(3.23)

它推导中的主要物理动机是热力学第二原理,具体参见贝根斯坦一文arXiv:gr-qc/9803033的公式(12)以及相关笔记.与金兹伯格的反常多普勒条件相比较,吸收系数必须为负,反射系数大于1,这时体系发生超辐射现象.

文章在这里指出的,超辐射与耗散的关系的具体讨论,参见上述文献(48ab)附近的讨论.文献中通过对旋转媒质超辐射的具体计算指出,如果不存在耗散(电导系数为零),则超辐射也不能出现.我们注意到,耗散的物理本质是过程的不可逆性,这与贝根斯坦文章中基于热力学第二定律对超辐射条件的推导是完全自洽的.

(3.25)

此式的物理意义是,压强梯度与外力场有关.比如,在重力场中空气的不同高度的压强不同.

参考原文,张少君指出,静态平衡时压强差导致净外力,即$$\frac1n\frac{\partial p}{\partial r}=-(mg+eE)$$,代入理想气体状态方程$$p=nkT$$,即得(3.25).

我们可以进一步导出(3.26),或原文中的(3).这是因为如果两个不同组分的分压随着坐标的变化不同,意味着这两个组分在空间的分布有差异,换言之,两个组分分离了.

一个被自己带到沟里去的理解是把压强与巨势联系起来.利用系综理论里广义力的形式,参考苏老师统计力学对正则系综广义力(压强)的计算公式(3.6.2),即$$\frac{ X}{kT}=\frac{\partial \ln P}{\partial x}$$其中$$P=\int e^{-\beta E}d\Omega$$,推广到巨正则系综的情况(3.11.21),即$$\frac{ X}{kT}=\frac{\partial \ln \Xi}{\partial x}$$其中$$\Xi=\int e^{-\beta (E-\mu N)}d\Omega$$.但对巨正则系综,有$$-pV=\tilde{\Omega}=-kT\ln \Xi$$.另一方面,如果流体静力学的受力平衡,那么应该是$${ X}=\frac{\partial p}{\partial x}$$,其中$$X$$是单个粒子受到的净外力.如果直接把$$X$$替换成压强,不考虑到粒子数密度是变量.则与上述结果一致.

(3.33)

这里 不清楚 超辐射准粒子的动量与能量是如何被表达为费米面动量$$k_{\mathrm{F}}$$和能隙$$\Delta_0$$的.综述中给出的引文[157]仅仅涉及临界磁场与临界电流密度的关系的历史回顾.

(3.36-37)

具体参见声学黑洞(arXiv:gr-qc/9712010v2)的综述声学黑洞的(2-3)以及推导.数学上,这个度规是直接从波动方程对应的微扰方程得到的.

(3.41)

这部分讨论基本上是对Landau流体力学一书第二版P.322激波一章习题的具体阐述,内容比原书更为详尽.一些讨论可以参考该书的[Lecture_Notes_of_Fluid_Mechanics_by_Landau_and_Lifshitz|读书笔记].我们注意到由于边界条件,波矢在边界切向的投影对所有的波一致,在通解中对应因子$$e^{ik_xx+ik_yy}$$.类似的,存在共同的时间震荡因子$$e^{-i\omega t}$$.

这里,(3.41)可以通过将形式解(3.40)代入运动方程(3.36),注意到度规(3.37)得到.其中,度规的交叉项对应(3.41)等式左边的交叉项,度规空间部分与媒质速度有关的部分对应(3.41)等式右边与媒质速度的平方项贡献.

(3.44)

这里,等式右边的贡献分为两部分,第一部分是由于机械波在给定空间点的振动在交界面法向的投影$$v_z$$,第二部分是来源于媒质沿着$$x$$方向的传播以及波形(在给定时刻)沿着$$x$$方向的变化,如果媒质静止,第二部分贡献为零.

(3.45)

这里$$k$$的符号由折射波的群速度(而非相速度)决定.通过这个关系可以得到超辐射的条件.

(3.50)

这是一个"有效"运动方程,其中与$$\alpha$$正比的项为阻尼项.在物理上,这与在简谐振子中引入阻尼,或者在波传播的媒质中引入阻尼类似,不难证明,这要求$$\alpha>0$$才能保证频率虚部的符号对应随时间指数衰减的解.在数学上,它使得频率产生一个虚部,使得波函数的演化随着时间逐渐衰减.在此意义上,如文中的讨论,转动使得频率的实部改变符号.(这本不带来任何影响,但)参考(3.54),这进一步使得阻尼$$\alpha$$等效的改变符号,最终导致频率的虚部改变符号,从而导致超辐射.

文中同样提及,从运动学角度而言,在线性运动情况下,当群速度超光速导致超辐射,在转动情况下角(群)速度超过相应(角向)相速度也会导致超辐射.

(3.51)

通过场论方法以及有效场论对超辐射的研究工作 值得 进一步深度学习.

(3.66)

这个潮汐力从地球自转获得能量的例子与超辐射的关系并 没有 仔细学习.

(4.3)

这里文中提及的"唯一性"定理就是指上述黑洞度规无标量毛的结论.

(4.11)

注意到,三个方程中,前两个分别对应能量与角动量守恒,仅最后一个方程是与具体的粒子作用量有关.

有质量粒子的测地线是类时的,而非类空,但测地线方程与粒子质量无关.

(4.14)

用$$g_{tt}=0$$来定义ergosphere是不妥的.$$g_{tt}$$仅说明这是无限红移面,后者与坐标有关.严格的定义是通过类时Killing矢量来定义,显然这个定义与坐标无关.参见这个stackexchange问题,结合书中的记号,我们有$$\xi^\mu\xi^\nu g_{\mu\nu}=g_{tt}$$,因为这并不是一个张量等式,其中等号仅对特殊的坐标系成立.

(4.15-16)

直观的,静止观测者的世界线具有时间平移不变性.换言之,它由类时Killing矢量$$\xi^\mu$$生成,即类时Killing矢量起到世界线生成元的作用.而在ergosphere内,$$\xi^\mu$$是类空的,由它生成的世界线空间坐标必然会变化.

对上述说明的具体计算参见文中(4.15)下给出的讨论.存在静止观测者的必要条件是它对应的世界线为类时,后者就是(4.16)给出的不等式.

我们讨论一下这个不等式(4.16)的 性质 .由度规的具体形式或者按4.1.5最后一段的讨论$$g_{\varphi\varphi}>0$$,故关于$$\Omega$$的抛物线开口向上.我们要求这个抛物线存在小于零的区域.因为这个区域介于两根之间$$\Omega_-<\Omega<\Omega_+$$,所以零阶情况对应方程两根正好重叠.由(4.6),易知$$\Delta=r^2+a^2-2Mr<0$$对应$$r_-r_+$$,与此分析自洽.最后,第二格临界条件$$r=r_-$$处于视界内,没有物理意义.

(4.20)

参考lapse函数的定义,如这个和那个stackexchange问题.首先我们证明一下两个定义的形式是一致的,由于$$n_a=-N\nabla_a t$$,我们有$$-1=g^{ab}n_an_b=N^2g^{ab}\nabla_a t\nabla_b t=N^2 g(\nabla t,\nabla t)$$,此即$$N^{-2}=-g(\nabla t,\nabla t)$$.注意到$$t=f,N=\alpha$$,两个定义是一致的.

作为特例,我们直接把$$t$$取为时间坐标.特别 注意到 这样我们把一个逆变矢量的分量视为一个标量,并用其梯度来定义矢量和一形式,按(3+1)分解的标准手续得到一个新的(!)时空坐标系.这样$$N^{-2}=-g(\nabla t,\nabla t)=-g^{ab}\nabla_a t\nabla_b t=-g^{tt}$$.考虑度规(4.19),$$g^{tt}=\frac{g_{tt}}{(g_{tt}g_{\varphi\varphi}-g_{t\varphi}^2)}$$,故在视界处$$N=0$$正对应(4.20).

我们简单讨论下lapse函数的物理意义,如参考这个stackexchange帖子(注意到其中$$\alpha$$的定义其实差了一个倒数).对应坐标间隔$$\delta t$$的固有时为$$\delta \tau=N\delta t$$.具体的,考虑间隔为$$\Delta f=\Delta t$$的两个相邻的等时面.我们考虑两个事件分别处于上述等时面上,它们的空间坐标是一致的.我们有$$\Delta f=(\nabla_af)\Delta x^a$$,故$$\Delta x^a=\frac{\Delta f\nabla^a f}{g(\nabla f, \nabla f)}$$.这时,我们计算这两个事件之间的固有时,它就是
 * $$\Delta\tau^2=-\Delta s^2=-g_{ab}\Delta x^a \Delta x^b=\frac{-\Delta f^2}{g(\nabla f, \nabla f)}=N^2\Delta f^2$$

换言之,$$\Delta \tau=N\Delta f=N\Delta t$$.在黑洞视界附近,由于无限红移,任何有限的坐标时对应的固有时为零,即$$N=0$$.

(4.23)

这是指,吸收或者释放一个满足上述能量与角动量比值的光子.而光子能量与角动量的比值关系参见,比如,Jackson的经典电动力学(9.144)附近的讨论.又见本文附录(C.6).

通过黑洞热力学第一和第二定律以及上述光子的能量角动量关系,这里证明了对旋转或带电黑洞的超辐射条件.

(4.27)

注意到4.3第二段中的第一个表达式,把等式左边分母同时乘以等式两边,即得牛顿引力理论中的关系:做功=势能变化.这个表达式只是把黑洞和客体的物理量分别放在等式两边并表达为无量纲的形式.

(4.28)

这里讨论的是静质量不为零的粒子,而非光子.注意到(4.11)中的$$E$$是单位质量的能量,故对在无穷远处的静止的粒子$$E=1$$.因为(4.11)对于$$L$$是一个一元两次多项式方程,它的解为(4.28),代入$$E=1$$,即得(4.27).

(4.30)

联合求解(4.27-29).把$$\mu_0,\mu_{\mathrm{fin}}$$视为(按粒子物理定律给定的)常数,(4.29)可视为两个方程求解两个变量$$\mathcal{E}^{(1)},\mathcal{E}^{(2)}$$,结果就是(4.30).

但是,这里有个 细节 ,为什么在无穷远处静止,按测地线运动的粒子,为何在有限半径处仍然可以速度为零$$\dot{r}(r=\infty)=\dot{r}(r=r_0)=0$$?!我们对比用零测地线光子的分析,光子的速度永远不为零,故唯一的可能是$$\dot{r}(r=r_0)=0$$对应轨道的近日点.此时粒子的速度并不为零$$\dot{\varphi}\ne 0$$.显然,对于有质量的粒子,我们必须做同样的理解.

(4.32-33)

表达式(4.32)给出了每一个粒子掉进黑洞对黑洞能动量的影响.这个影响与粒子在一个处于无穷远处的不旋转的观测者测量到的粒子能量与角动量有关,注意到角动量前的负号.它通过粒子能动张量得到的能流在超曲面上的投影计算得到,具体参见附录C的推导及其笔记.

我们从自由粒子的四动量$$p^\mu$$出发,我们知道它与Killing矢量的内积构成守恒量,这里的四动量是自由粒子沿着测地线平行移动的切矢量.而在Kerr黑洞存在两个Killing矢量,$$\xi_{(v)}=\partial_v$$与$$\xi_{(\chi)}=\partial_\chi$$,我们不妨把对应的两个守恒量记为粒子的能量与角动量.具体的,我们有$$\delta E\equiv p\cdot\xi_{(v)}=-p_v$$以及$$\delta L\equiv p\cdot\xi_{(\chi)}=p_\chi$$.或者,利用这两个定义,我们可以把四动量写为$$p_\mu=(-E,0,0,L)$$.定义中的负号是因为这样在无穷远处,粒子的能量和角动量就是$$p^v=E,p^\chi=L$$都为正数,注意到这两个关系在任何其他度规非平直的区域都不成立.这样$$p^\mu$$是一个在无穷远处能量与角动量为$$E,L$$的粒子,沿着测地线自由落体运动的四动量.实际上,它与任何$$\xi_{(v)},\xi_{(\chi)}$$的线性组合与$$p^\mu$$的内积都是守恒量,沿着测地线不变.

接着,我们考虑在视界处$$r=r_+$$,一个ZAMO观测者测量到的上述粒子的能量.这个观测者以临界类时形式随着视界转动,它的四速度由(4.15)给出,即$$v^\mu=\dot{v}(1,0,0,\Omega_H)$$.这里的计算要 小心 ,特别因为文中混淆了Kerr与Boyer-Lindquist坐标,但是在视界位置上,容易验证恰有$$g_{tt}=g_{vv}=-\left(1-\frac{2Mr}{\rho^2}\right)$$及$$g_{\varphi\varphi}=g_{\chi\chi}=\left(\frac{2Mr}{\rho}\sin\theta\right)^2$$.故在两个坐标系中,在视界表面这个逆变四速度的形式恰巧是一致的.对这个观测者,自由落体粒子的能量为$$\delta E_H=-p_\mu v^\mu\propto (\delta E-\Omega_H \delta L)$$,这就是(4.32)的结果.

我们注意到上述结果与四动量的形式无关.但是,按附录,可以证明四速度$$v^\mu \propto n^\mu$$,正比于视界法向,是个零矢量且为Killing矢量,故上述结果也可以表达为$$\delta E_H =-\int_{r_+}d\Sigma_\mu p^\mu$$.

而参考这个stackexchange帖子,$$T^{\mu\nu}n_\nu=p^\mu$$其中$$n_\mu$$为Killing矢量.我们把满足测地线方程的四矢量记为四动量形式$$p^\mu$$.在这里,原则上我们仍然可以选择任何Killing矢量,而在实际计算中选择法向量$$n^\nu$$的理由是,类比相对论流体动力学的能量张量,我们把在局域系中的能动张量的$$(00)$$分量取为能量密度,即$$\epsilon=T^{\mu\nu}u_\mu u_\nu$$.

最后,(4.33)给出了黑洞通过粒子吸积过程演化得到的角动量与能量的关系.

(4.34)

入射粒子没有任何切向速度,并不给旋转的圆柱带来任何角动量.假设圆柱的质量全部均匀的集中在表面,所以无需考虑转动惯量.

(4.37)

这是一个经典的,与从Kerr黑洞的转动获得能量的简单的超辐射例子.



这里暂时 跳过 一些内容.

(4.52)

参考arXiv:1902.08352中(2.2)下方的讨论.

(4.53)

在下一节中,由于没有视界,波函数在原点必须连续,这样在$$r=0$$位置导数为零,这样朗斯基行列式为零在这点为零,从而点点为零.原因被归结为傅里叶变换的不适用性.



(C.7)

这里牵涉到以下 知识点 .第一,由Killing矢量的定义,容易证明它与在测地线上平行移动的切矢量,比如自由落体的四动量,做内积可构成沿着测地线的守恒量,特别的,与能动张量的内积构成守恒流.上述结论的证明,参见相应stackexchange链接中问题的解答.

第二,$$n^\mu=\xi^\nu_{(v)}+\Omega_{\mathrm{H}}\xi^\nu_{(\chi)}$$是视界的法向矢量.这里,我们简略给出它的证明如下.首先Cardoso抄袭别人的书籍 不够用心 .这里的这个Killing矢量的线性组合必须是在Kerr坐标中成立,而非文中给出的Boyer-Lindquist坐标.因此坐标指标应该用$$(v,r,\theta,\chi)$$而非$$(t,r,\theta,\varphi)$$.相信任何亲手推导过这个结论的人都不会犯这个错误.我们注意到,上述stackexchange里面的表达式没有特别注意区分1-形式的记号$$\mathrm{d}$$或者$$\tilde{\mathrm{d}}$$与导数$$d$$的区别.这里的$$\partial_v$$与$$\partial_\chi$$指的都是1-形式基矢,而非导数.按高人指点,证明可分两步进行.其一,在Kerr坐标中用Killing矢量的线性组合定义一个Killing矢量$$n^\mu$$,这是一个逆变矢量,分量为$$(1,0,0,\Omega_H)$$.我们可以利用在Kerr坐标中度规的具体形式,把它化为协变矢量,可以证明它的分量中只有$$r$$分量不为零.换言之$$n_\mu\tilde{\mathrm{d}}x^\mu \propto \tilde{\mathrm{d}}r$$.

具体的,我们利用Kerr坐标下具体的度规形式有$$g_{vv}=-\left(1-\frac{2Mr}{\rho^2}\right)$$,$$g_{v\chi}=-\frac{2Mra}{\rho^2}\sin^2\theta$$,$$g_{\chi\chi}=\frac{(r^2+a^2)^2-\Delta a^2\sin^2\theta}{\rho^2}\sin^2\theta$$,参见比如这个课件的(19.45)或者arXiv:1410.2130的(2.1),我们得到$$n_v=n_\theta=n_\chi=0,n_r\ne 0$$.其中利用在视界上$$\Delta=r^2+a^2-2Mr=0$$以及$$\Omega_H=\frac{2Mar}{(r^2+a^2)^2}$$的条件.上述结果在Boyer-Lindquist坐标中不成立,最简单的理由是对应的度规的$$r$$分量是对角的,所以视界法向的协变逆变形式间不可能满足上述关系.

其二,$${\mathrm{d}}r$$的确是视界法向的1-形式,这可以由视界的曲面方程$$f(r)=r-r_+=0$$求导直接得到.同时可以用上述结果直接验证$$n_\mu n^\mu=0$$,因为非零分量正好相错.因此,这个Killing矢量不仅是法向量而且是零矢量,故$$r=r_+$$是零曲面.实际上,法向量是零矢量结果可以直接得到,参见arXiv:1410.2130的(2.8),在Boyer-Lindquist坐标系中,可以直接由上述曲面方程证明其法向量满足$$g^{\alpha\beta}n_\alpha n_\beta=g^{rr}=\frac{\Delta}{\rho^2}$$,在视界上为零.

第三,通过守恒流与视界上超曲面的内积,我们得到能量.而(C.12)并没有利用Killing矢量的具体形式,而只是需将(4.23)代入(C.11)即得.

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