Research Paper Notes on Higher Order Harmonics

Research Paper Notes on Higher Order Harmonics

本文档除了包括推导, 疑惑 外,做 读书重点 的记录

The octupole flow

 * Momentum spectra, anisotropic ﬂow, and ideal ﬂuids, arXiv:nucl-th/0506045v2, by Nicolas Borghini and Jean-Yves Ollitrault
 * Effects of flow fluctuations and partial thermalization on v4, arXiv:0907.4664v2, by Clement Gombeaud and Jean-Yves Ollitrault
 * v4 from ideal and viscous hydrodynamic simulations of nuclear collisions at the BNL RHIC and the CERN LHC, arXiv:1004.2024v2, by Matthew Luzum, Clement Gombeaud, and Jean-Yves Ollitrault

Event plane correlation

 * Elliptic flow contribution to two-particle correlations at different orientations to the reaction plane, arXiv:nucl-ex/0311007, by J. Bielcikova et al
 * A method for studying initial geometry fluctuations via event plane correlations in heavy ion collisions, arXiv:1203.5095, by Jiangyong Jia and Soumya Mohapatra
 * Study on initial geometry fluctuations via participant plane correlations in heavy ion collisions: part II, arXiv:1205.3585v1, by Jiangyong Jia and Derek Teaney

Nonlinearity

 * Determining initial-state fluctuations from flow measurements in heavy-ion collisions, arXiv:1104.4740, by Rajeev S. Bhalerao, Matthew Luzum, and Jean-Yves Ollitrault
 * Mapping the hydrodynamic response to the initial geometry in heavy-ion collisions, arXiv:1111.6538v2, by Fernando G. Gardim et al

Higher Correlators

 * Non linearities in the harmonic spectrum of heavy ion collisions with ideal and viscous hydrodynamics, arXiv:1206.1905v2, by D. Teaney and L. Yan
 * Event-plane correlators, arXiv:1307.0980v2, by Rajeev S. Bhalerao, Jean-Yves Ollitrault, and Subrata Pal
 * Characterizing flow fluctuations with moments, arXiv:1411.5160v2, by Rajeev S. Bhalerao, Jean-Yves Ollitrault, and Subrata Pal
 * v4,v5,v6,v7: nonlinear hydrodynamic response versus LHC data, arXiv:1502.02502v1, by Li Yan and Jean-Yves Ollitrault

Symmetric Cumulant

 * Generic framework for anisotropic flow analyses with multi-particle azimuthal correlations, arXiv:1312.3572, by Ante Bilandzic et al
 * Hydrodynamic Predictions for Mixed Harmonic Correlations in 200 GeV Au+Au Collisions, arXiv:1608.02982, by Fernando G. Gardim et al

Momentum spectra, anisotropic ﬂow, and ideal ﬂuids, arXiv:nucl-th/0506045v2
本文研究理想流体$$\frac{v_4}{(v_2)^2}$$关系.

Effects of flow fluctuations and partial thermalization on $$v_4$$, arXiv:0907.4664v2 [nucl-th]
本文主要研究$$\frac{v_4}{(v_2)^2}$$关系的实验测量和理论解释.首先回顾理想流体的结果,系数与实验值差了$$\frac{1}{2}$$.然后讨论了各种可能的理论机制,包括输运方程包含的不完全热平衡,非玻尔兹曼统计分布,以及集体流的涨落.对后者,讨论了椭圆流涨落的测量值,初始条件偏心率的涨落,椭圆流涨落的玩具模型.

Eq.(4) 注意到这里涉及到两个角度$$\phi$$,Eq.(2)中流体各部分对于反应平面的夹角和Eq.(3)中末态重子对于反应平面的夹角.为了得到Eq.(1)中的展开系数,我们将Eq.(2)代入Eq.(3),原则上需要对流体在冻结曲面上做积分,换言之第一个角度需要做积分,但是按前面文献的讨论,通过鞍点近似,由于流体的速度很大,粒子的动量方向主要由粒子发射所在的流体微元的速度决定.形象的可以参考Yogiro的解释,我们在一个大速度上叠加一个小速度(由于统计分布对大动量的压低)的洛仑兹变换,小速度对最终速度方向的影响很小.

注意到


 * $$\begin{align}

&E=m_t\cosh y\\ &p_z=m_t\sinh y\\ &u_t=u_0 \cosh y\\ &u_z=u_0 \sinh y \\ &p\cdot u=m_t u_0 (\cosh^2 y-\sinh^2 y)-p_T u_T\cos 0= m_t u_0 - p_T u(0) \end{align}$$

我们可以逐项验证Eq.(4)的展开正确,主要注意系数$$\frac{1}{2}$$和对动量的幂次.

Eq.(6)

利用贝塞尔函数的积分表达式以及虚变量贝塞尔函数的定义即得,比如参见胡嗣柱数理方法,高教出版社,第二版(13.24).注意到其中$$I_0$$对应零阶傅立叶展开系数,相当于对集体流粒子数的归一.

v4 from ideal and viscous hydrodynamic simulations of nuclear collisions at the BNL RHIC and the CERN LHC, arXiv:1004.2024v2 [nucl-th]
本文主要研究$$\frac{v_4}{(v_2)^2}$$关系,文章进行粘滞流体力学模型数值计算与实验结果的比较.文章开头对理想流体的$$\frac{v_4}{(v_2)^2}$$关系的推导做了一个简明的总结.

Elliptic flow contribution to two-particle correlations at different orientations to the reaction plane, arXiv:nucl-ex/0311007
Eq.(11)取极限$$ c\to 0 $$在inplane方向$$ \phi_s=0,v_2^R=1 $$在outofplane方向$$ \phi_s=\pi/2,v_2^R=-1 $$,与直观一致.将这个结果与Eq.(12)和Eq.(4)代入Eq.(2),得到与我们onetube模型一致的结果.注意到Eq.(13-14)为有限区间的结果,而不是无限小区间的结果.

A method for studying initial geometry fluctuations via event plane correlations in heavy ion collisions, arXiv:1203.5095 [nucl-ex]
Eq.(4) 这个展开式可以推导如下
 * $$\begin{align}

&\rho_{ev}(\Phi_n,\Phi_m) \\ &=\rho_{ev}(\Phi_n-\Phi_m) \\ &=\rho_{ev}(\frac{2\pi}{n}+\frac{2\pi}{m}+\Phi_n-\Phi_m) \\ &=\rho_{ev}(\alpha\frac{2\pi}{n}+\beta\frac{2\pi}{m}+\Phi_n-\Phi_m) \\ &=\rho_{ev}(\frac{2\pi}{k}+\Phi_n-\Phi_m) \\ &=\tilde{\rho}_{ev}(2\pi+k(\Phi_n-\Phi_m)) \\ \end{align}$$ 等式第一步,两个事件平面的分布函数,由于两个事件平面周期都是$$ 2\pi $$,分布函数其实等于它们的夹角的函数,且是一个偶函数. 等式第二步,$$ \Phi_n $$的周期其实是$$ 2\pi/n $$,$$ \Phi_m $$的周期其实是$$ 2\pi/m $$. 等式第三步,我们可以随意线性组合两个周期. 等式第四步,在没有严格证明的情况下,我们假设线性组合后必然可以得到一个新的最小的周期$$ 2\pi/k $$,其中$$ k $$是文中指出的最小公倍数. 等式第五步,$$ \tilde{\rho}_{ev}(\phi)\equiv {\rho}_{ev}(k{\phi}) $$是一个周期为$$ 2\pi $$的偶函数.最后对后者以$$ (k\phi) $$为自变量进行傅立叶级数展开即得到Eq.(4)

Eq.(6) 这里注意到某一阶的事件平面对反应平面的涨落偏离独立于不同阶的另一个反应平面对相应反应平面的涨落偏离,两者同时独立于反应平面之间的夹角.(反之,事件平面方向的涨落与事件平面的取向之间是相互联系的.)并且涨落的分布函数是一个偶函数.所以我们有
 * $$\begin{align}

&\Psi_n-\Psi_m = (\Phi_n-\Phi_m)-[(\Psi_n-\Phi_n)-(\Psi_m-\Phi_m)] \\ &k(\Psi_n-\Psi_m) = k(\Phi_n-\Phi_m)-k[(\Psi_n-\Phi_n)-(\Psi_m-\Phi_m)] \\ &\cos[k(\Psi_n-\Psi_m)] = \cos\left[k(\Phi_n-\Phi_m)-k[(\Psi_n-\Phi_n)-(\Psi_m-\Phi_m)]\right] \\ &<\cos[k(\Psi_n-\Psi_m)]> = <\cos[k(\Phi_n-\Phi_m)]><\cos \left[k[(\Psi_n-\Phi_n)-(\Psi_m-\Phi_m)]\right]> \\ &<\cos[k(\Psi_n-\Psi_m)]> = <\cos[k(\Phi_n-\Phi_m)]><\cos [k(\Psi_n-\Phi_n)]><\cos [k(\Psi_m-\Phi_m)]> \\ &<\cos[k(\Phi_n-\Phi_m)]> = \frac{<\cos[k(\Psi_n-\Psi_m)]>}{<\cos[k(\Psi_n-\Phi_n)]> <\cos[k(\Psi_m-\Phi_m)]>} \end{align}$$

Eq.(8) 按照与上面类似的思路,这个关系并不难证明,因为这意味着
 * $$ <\cos[m(\Phi_n-\Phi_m)]><\cos[m(\phi-\Phi_m)]>=<\cos[m(\phi-\Phi_n)]> $$

由于分布$$ \rho_{ev}(\Phi_n, \Phi_m)=\rho_{ev}(\Phi_n-\Phi_m) $$是偶函数,容易得到上面的关系式.

Eq.(10) 首先这里提及系数需要满足关系$$c_1+2c_2+\cdots+lc_l=0$$,这是因为所有这些角度(反应平面或者事件平面或者粒子发射角度)都是相对于同一个参考角度,即零度角方向(比如碰撞参数的方向)定义的,所以分布必须对这个参考角度(转动)平移不变.这意味着,把每个角度替换为该角度与参考角度的差的形式,在最终表达式中参考角度必须正好抵消.这就是文中,最早在引文[10]中提出的需要被满足的条件.

这里的展开可以理解如下.先考虑一个分布函数,它是两个独立变量(角度)$$ \Phi_{2,1} $$和$$ \Phi_{3,1} $$的函数.显然函数关于这两个变量的周期都是2π,所以我们可以先对一个变量做傅立叶级数展开,其系数是另一个变量的函数,周期为$$ 2\pi $$所以我们可以对其系数也进行傅立叶展开.这样我们得到下面的余弦函数的乘积项,它可以化为余弦函数的和


 * $$\begin{align}

&f( \Phi_{2,1},\Phi_{3,1})=\sum_{i,j}V_{21,31}^{i,j}\cos(i\Phi_{2,1})\cos(j\Phi_{3,1}) \\ &=\frac{1}{2}\sum_{i,j}V_{21,31}^{i,j}[\cos(i\Phi_{2,1}+j\Phi_{3,1})+\cos(i\Phi_{2,1}-j\Phi_{3,1})] \end{align}$$

其中自变量分别是两个独立角度的和与差.注意到(10)右边的中间一项仅仅对于两个求和的乘积中一个取0次项的情况.

Study on initial geometry fluctuations via participant plane correlations in heavy ion collisions: part II, arXiv:1205.3585v1 [nucl-ex]
Eq.(7)这里有一个typo,$$ \Phi = a(\Phi_a-\Phi_b) $$

Eq.(8)(jm mod n)这是因为由前面的文章的Eq.(1)处的解释导致的.

Eq.(12)比较前面定义的$$ n-m-l $$关联,这里$$ i=c_n $$,$$ j=c_m $$,对于$$ 5-3-2 $$的情况$$ i=1 $$,$$ j=-1 $$

Eq.(13)这个关系并非由柏松分布决定,而是我们假定不同空间坐标的涨落相互独立,且与粒子束的平方根成正比.

Eq.(14)这可以看作Eq.(9)的一种推广

Eq.(15)利用Eq.(14)中的$$ \delta $$函数得到.

Eq.(16)这可以由Eq.(14)中$$ n=5 $$并取共轭,乘上Eq.(14)中取$$ n=3 $$构造得到.与Eq.(15)一起,这里我们清楚的看到关联函数的几何起源.

Determining initial-state fluctuations from flow measurements in heavy-ion collisions, arXiv:1104.4740 [nucl-th]
Eq.(2)首先这里如果不满足$$n_1+n_2+\cdots +n_k=0$$则在对不同事件求平均时留下一个反应平面的函数,由于反应平面为随机分布,对$$ 2\pi $$角度求平均后$$ \cos $$为零.

接着这里的定义采用$$ \cos $$而不是$$ \sin $$.这是因为分布函数对任何两个粒子角度差为偶函数,$$ \sin $$自变量为偶函数对最终变量为奇函数,积分后为零.

因为条件$$n_1+n_2+\cdots +n_k=0$$,这个$$k$$元函数必然可以写成$$(k-1)$$个角度差的函数(用小学数学竞赛的思路即可容易证明).

Eq.(5)这个著名的结果来自这篇文章的Eq.(17ab),其推导参见Eq.(16)以及该文章的笔记.

Mapping the hydrodynamic response to the initial geometry in heavy-ion collisions, arXiv:1111.6538v2 [nucl-th]
Eq.(8) 把Eq.(7)写为$$\mathcal{E}$$的表达式,然后乘以其复共轭得到$$|\mathcal{E}|^2$$,接着对$$k$$求导令其为零,这样得到对应$$\mathcal{E}$$取极值时候$$k$$的表达式,对事件求平均即得Eq.(8).

接着文中数值计算Eq.(7)中第一项,即系统的线性反应,占据的百分比.仅此而已.

Non linearities in the harmonic spectrum of heavy ion collisions with ideal and viscous hydrodynamics, arXiv:1206.1905v2 [nucl-th]
Eq. (2.4)

我们看到$$(r^2)^{(n-m)/2}r^m=r^n$$,所以实际上


 * $$\begin{align}

\rho_{n,m}\equiv +i \end{align}$$

其中$$n$$为径向的展开级数,$$m$$为方位角的展开级数.比较arXiv:1010.1876中附录中的表达式(A8-24),其中交换了$$n,m$$在表达式中坐标下标中的次序.

Eq.(2.6-8)

这里的三个表达式在很多文献中出现.如果比较与arXiv:1010.1876文章的Eq.(2.25)的定义与其附录(A15-16),Eq.(2.6)相当于$$\Phi_1=\psi_{1,3}$$,角度部分1级的最大贡献,对应径向三级展开.Eq.(2.7)由于方位角取向的约定Eq.(2.21),总是有$$\Phi_2=\psi_{2,2}=0$$.

而同样的Eq.(2.8)由Eq.(A19-20),$$\Phi_3=\psi_{3,3}$$.$$\hat{W}$$与$$\mathcal{C}$$按定义差一个常数.

文中指出,$$\mathcal{C}$$的定义第一到第三阶与普通的偏心度$$\epsilon$$的定义是一致的,而从第四阶开始出现不同.

Eq.(2.9)

定义Eq.(2.9)与arXiv:1010.1876中附录Eq.(A13)类似,但是考虑定义左边涉及到指数上的形式,并注意到偏心度角$$\Phi_n$$的定义在原文中为Eq.(2.25),以及约定Eq.(2.21),我们有


 * $$\begin{align}

&\langle r^2\sin 2\phi\rangle =0 \\ &\langle r^2\cos 2\phi\rangle \langle r^2\sin 2\phi\rangle =0 \\ &W_{4,4}^s = \frac{1}{16}[\langle r^4\sin 4\phi\rangle-3\langle r^2\sin 2\phi\rangle^2]\\ &\mathcal{C}_4 e^{i4\Phi_4} = -\frac{16}{\langle r^4 \rangle}[W_{4,4}^c + i W_{4,4}^s] \end{align}$$

如果把Eq.(2.9)视为偏心度角和偏心率的定义,这里的定义与之前的定义一致
 * $$\Phi_4=\psi_{4,4}$$

同样的,Eq.(2.11)与(A.23-24)类似,且可以证明


 * $$\begin{align}

&\mathcal{C}_5 e^{i5\Phi_5} = -\frac{32}{\langle r^5 \rangle}[W_{5,5}^c + i W_{5,5}^s]\\ &\Phi_5=\psi_{5,5} \end{align}$$

Eq.(2.13)

文中没有很明确的写出来,但是按Frederique的提示,应该与之前J.-Y. O.的思路完全一致.

Event-plane correlators, arXiv:1307.0980v2 [nucl-th]
Eq.(2)

这是ATLAS实验测量的量,分子就是去掉了调和系数的事件平面关联,分母是事件平面的分辨率.但正如文中指出,分辨率的计算在调和系数有涨落的情况下是有歧义的.

Eq.(3)

这是文中给出的正确的计算方式,假设不同调和系数的涨落是独立的,那么调和系数的涨落就在分子和分母中相互抵消.在Eq.(6)对这个问题的讨论中,

但是除了假设涨落的独立性以外,这里的抵消似乎没有明确考虑不同阶数的调和系数涨落的影响,因为在分子中和分母中求平均之前,调和系数的阶数是不同的.

Characterizing flow fluctuations with moments, arXiv:1411.5160v2 [nucl-th]
本文也是讨论用高阶矩的定义来衡量调和系数的涨落以及事件平面的涨落.

Eq.(2)

这是高阶矩的事件平均的定义.

Eq.(3)

因为每个事件的角度都以碰撞参数为基准来度量,而对不同事件,碰撞参数的方向是各向同性的.所以必须满足这个条件,Eq.(2)定义的高阶矩才不为零.

Eq.(5)

这个等式成立的原因是,等式左边的计算的Eq.(1)中展开系数的事件平均值.而等式右边的平均不但含事件平均还含有对粒子平均,后者相当于把对平均对象乘以分布函数Eq.(1)后对所有可能角度积分.而由于三角函数的正交性,奇函数的粒子平均得到的就是Eq.(1)中的系数,再进行事件平均就等于等式的左边.

Eq.(6)

这个表达式的分子就是在Eq.(2)中的连乘只考虑一个$$n$$,同时$$k_n=l_n=k$$,这样事件平面相互抵消,仅剩下调和系数的$$2k$$次方的事件平均.

这里定义的表达式是这样类似项的比值形式,是因为正如后面指出的,如果涨落是两维高斯的,那么这个表达式具有解析结果.

Eq.(7)

这里指出,事件平面涨落也可以表达成Eq.(2)的形式.在这里,分子中调和系数的乘积的事件平均被分母中的相应项抵消了.

接着,文中指出,Symmetric cumulant(standard candle)其实也能理解为是本文定义的量的特殊形式.

v4,v5,v6,v7: nonlinear hydrodynamic response versus LHC data, arXiv:1502.02502v1 [nucl-th]
Eq.(3)

类似下面关于Eq.(4)的讨论,我们容易得到$$\mathrm{Re}\langle V_4(V_2^*)^2\rangle=v_4 v_2^2 \mathrm{Re}\langle e^{-i4(\Psi_4-\Psi_2)}\rangle=v_4 v_2^2 \langle \cos 4(\Psi_4-\Psi_2)\rangle$$.

而$$\sqrt{\langle |V_2|^4\rangle}=\sqrt{\langle V_2^2 (V_2^*)^2\rangle}= v_2^2 \langle \cos 2(\Psi_2-\Psi_2)\rangle=v_2^2$$.这样按Eq.(4)的讨论,它们的比值的确与等式一致.注意到,这里没有讨论$$v_n$$的事件涨落.

Eq.(4)

我们注意到这里的平均即包含对不同事件的平均,又包含对每个固定事件发射的不同的粒子的平均.

以第一式为例,证明如下,我们从等式右边的分子开始计算,按定义以及Eq.(1),我们先对一个固定的事件发射的粒子求平均,有
 * $$v_4\{\Psi_2\}=\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}d\varphi\sum_n V_n e^{-in\varphi}\cos 4(\varphi-\Psi_2)=\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}d\varphi\sum_n v_n e^{-in(\varphi-\Psi_n)}\cos 4(\varphi-\Psi_2)=\frac{1}{\pi}\int_0^{2\pi}d\varphi v_4 e^{-i4(\varphi-\Psi_4)}\cos 4(\varphi-\Psi_2)=v_4(\cos 4(\Psi_2-\Psi_4)-i\sin 4(\Psi_2-\Psi_4))$$

对事件求平均,注意到$$\Psi_2$$对$$\Psi_4$$的分布肯定是对称的,换言之,一个以$$\Psi_4$$把所有角度反号的分布仍然是一个任意事件,所以,$$\Psi_2-\Psi_4$$是个偶函数.这意味着,对事件平均后$$\langle\sin 4(\Psi_2-\Psi_4)\rangle=0$$.故$$v_4\{\Psi_2\}=v_4\langle\cos 4(\Psi_2-\Psi_4)\rangle$$.

同理$$v_4\{\Psi_4\}=v_4\langle\cos 4(\Psi_4-\Psi_4)\rangle=v_4$$.这样两者的比值就是Eq.(4)下面论述的结果.

按Eq.(3)的证明的思路,我们容易得到Eq.(4)等式第一步的证明.

Eq.(9-11)

这里按之前文献的定义讨论线性和非线性的响应,这里的讨论是不通过初始条件的偏心率,直接从最终的球谐系数中把线性部分和非线性部分分离开,写成Eq.(8)的形式.

方程Eq.(9)可按之前Eq.(2-3)的结果直接得到.其中用到了事件平均值的平方等于平方的事件平均值的假设.接着,引入假设线性反馈与非线性反馈的"内积"(某种事件平均的Pearson关联的形式)为零,从而非线性部分在这个表达式(10)中不出现.理由是非线性部分和线性部分的物理来源不同.

最后,方程Eq.(11)讨论了非线性部分的形式.再次利用文中的假设,把Eq.(8)两边和$$V_n$$做"内积",利用之前假定的正交关系,我们得到了Eq.(11).

Generic framework for anisotropic flow analyses with multi-particle azimuthal correlations, arXiv:1312.3572
本文讨论了当粒子数有限时,粒子关联函数的计算,提出了一个只采用单个循环快速完成计算的方案,该计算方式适用于实验结果和理论模拟.本文讨论了实验测量的限制对结果的影响,以及实际计算中可以采用的补偿措施.文章引入了对称调和系数的定义和模拟,该多粒子关联量与事件平面以及关联无关,与无关联的集体流系数无关,仅仅与相关联的集体流系数有关.

本文的引言部分对之前的粒子关联函数和集体流的总结简洁而到位,其引用到文章都是该理论讨论过程中的重要工作.

这里单尖括号的平均$$\langle\cdots\rangle$$,如(33),是对给定事件的粒子对(组合)的平均,而双尖括号的平均$$\langle\langle\cdots\rangle\rangle$$,如(34),是对不同事件的平均.本文没有考虑不同阶数的事件平面的区别,没有考虑粒子数涨落.

Eq.(4)

从统计学的角度,这里Eq.(4)定义了一个估计量(estimator),它是多个粒子测量值$$\varphi_i$$的函数.可以通过单粒子分布Eq.(1)以及多粒子分布Eq.(3). 它的适用性由Eq.(5)和Eq.(6)决定. 具体的,Eq.(5)说明这个估计量的期待值正是需要计算的椭圆流. 而Eq.(6)计算了这个估计量的标准偏差. 从统计学的角度,它们分别是估计量概率分布的最低的两个动量矩(moment).

Eq.(5)

这是就是利用分布Eq.(1)和Eq.(3)来计算估计量Eq.(4)的期待值.

具体的,注意到这里关于分布的定义和arXiv:1608.02982的定义正好相对. 这里Eq.(1)单粒子分布函数是实数而非虚数,而粒子关联定义中被求(粒子和事件)平均的量是复数而非实数. 注意到,从统计学的角度,这里的定义似乎更为自然,因为这样分布函数是实的,符合概率的物理意义.

结果是类似的,Eq.(5)作为复数其虚数部分的期待值,在按Eq.(4)积分求平均后为零,这是因为三角函数的正交归一性质决定的. 具体的,虚部涉及这样的项
 * $$\sin n(\varphi_1-\varphi_2)=\sin n[(\varphi_1-\Psi_n)-(\varphi_2-\Psi_n)]=\sin n(\varphi_1-\Psi_n)\cos n(\varphi_2-\Psi_n)-\cos n(\varphi_1-\Psi_n)\sin n(\varphi_2-\Psi_n)$$

乘以分布函数利用Eq.(3),对应Eq.(1)的连乘的乘积,并积分后为零.因为分布为连续分布,自关联没有贡献. 类似的实部计算的结果正是等式右边.

由于估计量由离散的粒子的信息构造,这里具体涉及粒子对的计数,并且考虑到粒子对不能考虑相同的粒子. 实际上Eq.(4)中分母给出的因子正与分子上涉及的粒子对的数目相同,而对每一对由不同粒子构成的粒子对,其期待值是相同的,故分子分母涉及的粒子对数正好消去.
 * $$\left\langle\frac{1}{M(M-1)}\sum_{i\ne j}^M e^{in(\phi_i-\phi_j)}\right\rangle

= \frac{1}{M(M-1)}\sum_{i\ne j}^M \langle e^{in(\phi_i-\phi_j)}\rangle = \langle e^{in(\phi_1-\phi_2)}\rangle \frac{1}{M(M-1)}\sum_{i\ne j}^M 1 = \langle e^{in(\phi_1-\phi_2)}\rangle =\int\frac{d\varphi_1}{2\pi}\frac{d\varphi_2}{2\pi}f(\varphi_1,\varphi_2)e^{in(\phi_1-\phi_2)} =\int\frac{d\varphi_1}{2\pi}\frac{d\varphi_2}{2\pi}f_{\varphi_1}(\varphi_1)f_{\varphi_2}(\varphi_2) e^{in(\phi_1-\phi_2)}$$ 其中最后一步利用Eq.(3),接着利用上面讨论的具体对一对粒子的运算过程计算期待值. 最后,我们有
 * $$\left\langle \frac{1}{M(M-1)}\sum_{i\ne j}^M e^{in(\phi_i-\phi_j)}\right\rangle = \langle e^{in(\phi_1-\phi_2)}\rangle =v_n^2$$

同样的对三个不同的粒子和四个不同的粒子我们类似的有
 * $$\left\langle \frac{1}{M(M-1)(M-2)}\sum_{i\ne j\ne k}e^{in(2\phi_i-\phi_j-\phi_k)}\right\rangle= \langle e^{in(2\phi_i-\phi_j-\phi_k)}\rangle =v_{2n}v_n^2$$
 * $$\left\langle \frac{1}{M(M-1)(M-2)(M-3}\sum_{i\ne j\ne k\ne l}e^{in(\phi_i+\phi_j-\phi_k-\phi_l)}\right\rangle= \langle e^{in(\phi_i+\phi_j-\phi_k-\phi_l)}\rangle =v_n^4$$

这些关系在Eq.(6)的推导中会被用到.

Eq.(6)

如果不明白其统计学背景,这个结果的推导表明上看不是很显然. 当从统计学出发,就是形式上计算而已.我们具体给出推导的过程如下.

首先指出这里的平均值不涉及到事件平均,而仅仅是一个事件里面不同粒子对的平均. 按平方偏差$$\sigma$$的定义,我们需要计算估计值与估计值期待值的差的平方的期待值. 按定义,它显然等于估计值平方的期待值减去估计值的期待值的平方. 实际上,不难看到等式右边的最后一项是平均值,即Eq.(5),的平方.而前三项是对应平方的平均值. 具体看所有项的和,其实在粒子数很大的时候它不出意外的趋于零.

同样我们需要计算组合数,对其余三项,不难发现,其实分母对应组合数$$M(M-1)M(M-1)$$,这是两对独立且不同粒子对的数目. 这样第一项分子$$M(M-1)$$因子对应两对粒子完全相同,第二项分子$$M(M-1)(M-2)$$因子对应两对中有一个共同的粒子,而第三项分子$$M(M-1)(M-2)(M-3)$$因子对应两对粒子是四个完全不同的粒子.

实际上把两个不同粒子构成的"对"的所有可能性穷举,正好只有上面三种可能.具体的,我们讨论的协方差中平方项的平均为
 * $$\frac{1}{M(M-1)M(M-1)}\sum_{i\ne j,k\ne l}\cos n(\phi_i-\phi_j)\cos n(\phi_k-\phi_l)=\frac{1}{M(M-1)M(M-1)}\sum_{i\ne j,k\ne l}\frac12\left[\cos n(\phi_i+\phi_k-\phi_j-\phi_l)+\cos n(\phi_i+\phi_l-\phi_j-\phi_k)\right]$$

上述等式的右边按上面的三种情况写为三项之和.

第一项,两对中的粒子相同,结果为$$\frac{1}{M(M-1)M(M-1)}\frac{M(M-1)}{M(M-1)}\sum_{i\ne j}\frac12\times 2\left[1+\cos 2n(\phi_i-\phi_j)\right]$$.这里因子2是因为两两配对有两种可能,且得到的结果一致.插入等于1的$$\frac{M(M-1)}{M(M-1)}$$是为了利用之前Eq.(5)讨论中得到的关系.

第二项,两对中有一个粒子相同,结果为$$\frac{1}{M(M-1)M(M-1)}\frac{M(M-1)(M-2)}{M(M-1)(M-2)}\sum_{i\ne j\ne l}\frac12\times 4\left[\cos n(2\phi_i-\phi_j-\phi_l)+\cos n(\phi_l-\phi_j)\right]$$.这里的因子4,是因为从最初的四个粒子中,相等的粒子可能是$$i=k,i=l,j=k,j=l$$这四种可能.

第三项,两对中的粒子完全不同,结果为$$\frac{1}{M(M-1)M(M-1)}\frac{M(M-1)(M-2)(M-3)}{M(M-1)(M-2)(M-3)}\sum_{i\ne j\ne l\ne k}\frac12\left[\cos n(\phi_i+\phi_k-\phi_j-\phi_l)+\cos n(\phi_i+\phi_l-\phi_j-\phi_k)\right]=\frac{1}{M(M-1)M(M-1)}\frac{M(M-1)(M-2)(M-3)}{M(M-1)(M-2)(M-3)}\sum_{i\ne j\ne l\ne k}\frac12\times 2 \cos n(\phi_i+\phi_k-\phi_j-\phi_l)$$.最后的等号因为方括号中两项相等.

利用上面的结果和之前Eq.(5)讨论中得到的结果,可以容易的证明Eq.(6).但是疑惑是,似乎这里的第一项其实就是第二项,即不同粒子构成的对的平均的平方,因为计算的方式不同,得到了形式上不同的结果而已.

Eq.(9)

这个结果是先把所有的角度写为$$\varphi_i=(\varphi_i-\Psi_i)+\Psi_i$$,最后一项$$\Psi_i$$与积分变量无关就得到后面的指数常数因子$$e^{i(n_1\Psi_{n_1}+\cdots+n_m\Psi_{n_m})}$$.前面的$$m$$重积分可以因子化,每个积分分别得到因子$$v_{n_i}$$.即得Eq.(9).这里平均既是对每个粒子的角度进行积分和归一操作$$\int\frac{d\varphi}{2\pi}$$.

在条件$$n_1+n_2+\cdots+n_m=0$$不满足时,最后的因子$$e^{i(n_1\Psi_{n_1}+\cdots+n_m\Psi_{n_m})}$$的事件平均为零.

Eq.(19-22)

这里的做法的优点是不用四重循环,而仅仅用单重循环.

具体的,Eq.(19)就是最简单的两粒子情况下把重复的自关联减除的计算表达式.Eq.(20)就是三粒子的情况,也不难理解.所以,继续推广,也不难理解Eq.(21-22)就是四粒子的情况.

Eq.(24)

这里给出计算各阶关联的分子和分母的递归算法的轮廓.

Eq.(25)

这里把除了最内圈和外面$$(m-1)$$圈写开.先把外面$$(m-1)$$圈写成任意$$M$$粒子中选出$$(m-1)$$个粒子不自关联的形式.如果内圈做一个无限制的对所有$$M$$轮换,那么除了正好正确的无自关联的$$m$$个不同粒子关联外,还有正好和$$(m-1)$$粒子中的每个粒子重合的所有可能,后者需要被减去.这样就得到这个表达式的结果.

这样第一个涉及$$(m-1)$$个粒子关联正是低阶粒子关联,从而启发可以使用第二种形式的递归来获得粒子关联的形式.

Eq.(26)

等式右边从第二项开始的所有项就对应把Eq.(25)等式第二个因子的每一项写开的贡献,注意指数上合并,并且按文中指出的改变对应的$$w_{k_j}$$的定义即得.

Eq.(31)

这里通过一个具体的例子来说明如何去除探测器灵敏度对横平面角度的依赖造成的系统误差.按文中叙述,这个方法非常直接,就是如果探测器灵敏度函数是已知的,那么在计算$$Q$$矢量时利用$$w$$权重来补偿探测器的灵敏度.结果如图几乎是完美的.

Eq.(35)

这里讨论的是一种特殊的cumulant,它的定义就是之前文献中提出的形式,参见其Eq.(3)和Eq.(4).作为一种特殊的cumulent,这里成为标准蜡烛,之后成为对称cumulant.

Hydrodynamic Predictions for Mixed Harmonic Correlations in 200 GeV Au+Au Collisions, arXiv:1608.02982
这是F鸟人的用SPheRIO计算混合调和(harmonics)系数的文章,这是一个用流体力学程序发垃圾文章的典型例子.

Eq.(1-2)

这是单粒子分布,相当于后面求平均中对同一事件平均时候$$\phi$$积分的权重.

注意这里$$V_n$$被定义为复数,原因是后面Eq.(5)中发现只有其实部有贡献,所以这个定义是有意义和简洁的.

第(2)式指数上事件平面前少了$$n$$.

Eq.(3-5)

这里是考虑如果只有集体流情况下的(3)的结果.

这就是利用Eq.(1-2)作为权重,对Eq.(3)具体积分得到的.这里注意是$$m$$个独立的变量的积分,由于粒子发射独立性假设,所以被积权重是$$m$$个类似Eq.(1-2)的因子,每个积分可以分别进行然后在做乘积.

这样,在对$$\phi$$的积分中,按正余弦函数的正交关系发现$$e^{in\phi}$$的虚部的贡献为零,所以得到Eq.(4).

接着,注意到不同事件求平均时,任意两个事件平面的差的分布函数按对称性是偶函数.同时由于存在关系$$n_1+n_2+\cdots+n_m=0$$(参见这里的定义),$$m$$个事件平面的分布必然是$$(m-1)$$个事件平面差的函数.这样虚数部分$$\sin$$没有贡献,结果为实数.这样反过来说明了复数$$V_n$$的定义是一种简洁的书写方式.