Research Paper Notes on Black Hole Collisions

Research Paper Notes on Black Hole Collisions

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 * Testing cosmic censorship with black hole collisions by D.R. Brill and G.T. Horowitz
 * Carter-Penrose diagrams and black holes by Ewa Felinska

Testing cosmic censorship with black hole collisions by D.R. Brill and G.T. Horowitz
本文当时主要是在讨论宇宙监督原理.在渐进平直空间中,宇宙监督原理似乎成立.本文讨论在渐进de Sitter空间宇宙监督原理似乎可以被违反.文章首先讨论一个黑洞的情况,在探头近似下,作者证明某些情况下黑洞可以通过吸积从而违反宇宙监督原理.接着讨论物质场对黑洞有反作用的情况,这时的最极端的情况是两个黑洞碰撞的例子,作者利用最近找到的解析解讨论了这个问题,证明同样存在违法宇宙监督原理的可能.

(2.1) 因为这里是$$M=Q$$的极端黑洞的情况,如果取$$M=Q=0$$和合适的宇宙学常数的定义,度规就回到de Sitter空间的度规.

Fig.1 Penrose图

我们这里尝试在不严格论证Penrose图的数学性质的情况下讨论其物理意义的.数学方面的一些讨论可以参考下面关于Felinska的笔记.

Penrose图的数学性质主要涉及,Penrose图是共形变换,把时空无限远点重新打破和结合,并转换到有限的位置.极点一般是类空的,而不是如常规时空坐标中是类时的(比如极点$$r=0$$就是类时曲面).

其物理意义的讨论参考维基页和这个链接的讨论.

Penrose图最基本的性质主要概况如下.光(测地)线为45度,所以任何信号不可能跑出以x轴正负方向45度光线构成的光锥.观测者在原点,所以黑洞视界必然是向原点倾斜的45度光线.任何客体进入视界的另一侧后无法返回.

接着我们参考这个黑洞视界的Penrose图,进行一些讨论.考虑某探头穿越黑洞视界的过程.探头不可能超光速,所以必须在出发点的光锥内运动.黑洞视界和平直时空无限远边界相比,都是向原点倾斜的45度线,对原点观测者需要无穷大的时间才能达到.区别是黑洞视界对穿越视界的探头本身而言,经过有限的时间就可以达到并穿越黑洞视界.按之前某事件发出的信号只能在光锥内传播的讨论,很容易理解,为什么之前探头穿越视界前看到的视界是由反视界(antihorizon)上发出的信号,而在之后可以同时看到(接收到信号)视界和反视界了.由于原点观测者观测到的反视界的信号是过去的信号,而在反视界真正形成后,需要无限长的时间信号才能传到原点,所以在黑洞形成过程中,观测者将逐渐看到越放越慢的(红移)形体塌缩形成黑洞的记录,而最后瞬间的对应无限大的红移且需要无线长的时间才能达到观测者.

从上面黑洞Penrose图的讨论,我们可以进而加上白洞和平行宇宙的图.略去数学上延拓的细节,结果是,黑洞的反视界同时也是白洞的视界,并且存在另一个宇宙.因为黑洞只进不出,白洞只出不进,所以两个宇宙无法交换信息,故而是平行的;换言之,如果要通过黑洞视界达到平行世界必须进入黑洞视界后,以超光速运动才能在触碰到($$r=0$$)极点之前达到另一侧的视界而进入另一个世界.

更复杂的情况是带电的RN黑洞,极端RN黑洞,和旋转的Kerr黑洞的Penrose图.在这些情况中,黑洞解一般至少存在两个视界,而内视界处于外视界的将来,可以通过小于光速的运动从外视界达到内视界,另外极点是垂直的,这样并不把将来"截断". 另外极端黑洞与非极端黑洞的因果结构很不一样,所以这也是不可能从非极端黑洞通过粒子吸积成为极端黑洞的理由之一.

Carter-Penrose diagrams and black holes by Ewa Felinska
文档链接和原文档的下载地址.

(3),(6),(9) 这里没有给出证明为什么这个变换是保角变换.

因为这个变换角度部分不变,所以变换本身只涉及两个变量.按数学方法,比如参考胡嗣柱数理方法,解析函数的换元就是保角的,所以原则可以通过验证变换是否满足柯西-黎曼条件来验证变换是否为保角变换.但这里变换$$T=arctan(t+r)+arctan(t-r)$$和$$R=arctan(t+r)-arctan(t-r)$$显然不满足柯西-黎曼条件$$\frac{\partial T}{\partial t}=\frac{\partial R}{\partial r}$$和$$\frac{\partial T}{\partial r}=-\frac{\partial R}{\partial t}$$.具体的,第一个等式满足,而第二个等式差了一个负号.另外(13)式改变了度规,也相当于是改变了坐标变量.而且Fig.3中明显看到$$r,t$$的常数曲线并不是保角为90度的.所以这个变换似乎不是保角的.

按张承勇的解释,我理解场论中的共形变换(保角变换)与数理方法中的定义是不同(!)场论中在计算曲线的夹角的时候必须考虑度规,换言之,夹角按$$u\cdot v/|u||v|$$来计算,其中内积要考虑度规.这里给出的其实为Weyl变换,满足$$g_{\mu\nu}(x)\rightarrow g'_{\mu\nu}(x)=\Omega(x)g_{\mu\nu}(x)$$,按这个定义,任何内积的比例必然不变,所以任何角度必然不变.注意到,并非任意坐标变换都是保角的.而按(13)我们知道上述变换的确是Weyl变换.

另外对光线$$ds^2=0=\tilde{d}s^2$$,与具体度规无关,对(13)的情况,两边的度规都是对角的,按转动不变性去掉角度部分后,两边都得到$$dt=dr$$和$$dT=dR$$,这样的确都是45度.如果度规不对角,那么就也有理由不是45度,比如对$$R,T$$做等价于(正交)旋转的变换,就自然的可以把45度角转动到其他方向上去.

(13) 线元最后部分对应$$S^3$$是3-sphere可以这样理解.考虑一个更简单的2-sphere的情况,即三维空间的两维球面的情况.这时可以考虑一个半径为1的球面,如取球坐标的$$\theta$$为第一个变量,其取值范围为$$0$$到$$\pi$$,对于固定的$$\theta$$,剩余的变量为$$S^1$$即半径为$$Sin\theta$$的圆(环).在高维情况下这个结果仍然成立.

故而Fig.2中,就类比两维球面的情况,把一个坐标取为截取圆环平面与球心距离,两个顶点分别对应$$\theta=0,\pi$$;另一个取为圆环半径;这样画出来的就是一个半径为1的圈环.再在垂直方面画上$$T$$坐标,把坐标取值的限都画上,就得到了Fig.2.