Research Paper Notes on WKB method

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 * Semiclassical approximations in wave mechanics, Rept. Prog. Phys. 35 (1972) 315, by Michael V. Berry and K.E. Mount

Semiclassical approximations in wave mechanics, Rept. Prog. Phys. 35 (1972) 315, by Michael V. Berry and K.E. Mount
本文是一篇很好的关于WKB近似的综述(原文地址).

(2.8)

这是由势场(2.1)的薛定谔方程问题的严格解(2.4)得到的,但是,因为这个结果与$$\hbar$$无关,如文中所述,它是无法通过依赖于$$\hbar$$展开的WKB等半经典近似得到.

(2.14)

这是得到WKB近似公式的第一个方法,通过连续的阶梯势透射的近似.

(2.21)

这是得到WKB近似公式的第二个方法,与Sakurai一书中类似,通过待定解并按$$\hbar$$逐阶展开.

(2.28-29)

这里(2.28)把势场视为阶梯势在连续反射与投射后得到的波函数一般形式(2.23)的解.根据这个图像,由此入射波通过光滑势场连续的投射与被反射.

最终的反射系数为(2.29).

(2.31)

表面上,这就是将积分(2.29)换元$$x\to w$$即得(2.31).实际上,这里牵涉积分路径与积分限的细节.对$$x$$的积分可以在实轴上有奇点,而对于$$w$$,对应的奇点不再出现.而在复平面上可能有(3.34-35)结果中涉及的两类奇点.

(2.34-35)

因为这时$$p^2(w)$$为简单奇点,这时我们可以把被积函数改写为$$\frac{dp/dw}{2p}=\frac{d(p^2)/dw}{4p^2}$$.这样就可以直接利用简单奇点的留数定理.但这样得到的结果与(2.34)比较系数$$\frac13$$为$$\frac12$$,并不相同.

我们注意(2.35)只需利用留数定理即可得到.

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Black hole normal modes: a semianalytic approach, Astrophys. Jour., 291 (1985) L33, by Bernard F. Schutz and Clifford M. Will
这是第一篇WKB计算QNM的文章.

Fig.1

首先当行文的年代,准正模式被称为正模式.

本质上,文章就是基于最标准的WKB方法,用于黑洞度规扰动的讨论散射波解.与普通WKB方法的区别是边界条件,即两端都是出射波.这样,文章指出,由于入射波(系数几乎)为零,由于概率守恒,透射系数与反射系数数值上必然相当,换言之,两端出射波的振幅必然相当.

参考Berry关于WKB近似的综述一文(2.29),在两个势场"拐点"间的反射系数与指数上的一个积分有关.

一般情况下,如文中所述,在II区域,当能量与势场极值相差很大时,由于积分在两个能量与势场相等决定的拐点之间的区域进行积分,其结果$$B$$为很大的正值.这导致$$e^{-B}$$很小,即透射系数与反射系数相比小很多,这与准正模式情况下的结果大相径庭.而文章中最关键的讨论,指出,达到准正模式的条件,就是当能量$$E=\omega$$(可延拓到复平面上)与势场最大值相当,这时上述积分得到的结果尽量小,这才可能使得正则模式的条件得到满足.

我们指出,实际上若$$\omega$$具有一个很大的虚部,意味着在积分后的结果$$B$$具有一个很大的虚部.这无非是导致透射与反射系数差了一个幅角,并不会影响到上述准正则模式的条件.

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