Lecture Notes of Elementary Mathematics by G. Dorofeev

Lecture Notes of Elementary Mathematics by G. Dorofeev

本文档除了包括推导, 疑惑 外,做 读书重点 的记录

Ch.2 Trigonometry

 * 解析几何基本定理

$$\cos(\alpha+\beta)$$按几何关系来证明.考虑一个直角三角形的斜边长度为1,三角形的一个角度为$$\alpha+\beta$$.我们考虑两个不同的方式最终把斜边投影到底边上.第一个方式是直接按角度$$\alpha+\beta$$来投影,那么底边就是$$\cos(\alpha+\beta)$$.第二个方式是把斜边先投影到$$\alpha$$角度的方向上接着再投影到底边,即$$\beta$$角度方向做第二次投影.显然第二次投影到底边上的长度是$$\cos\alpha\cos\beta)$$.最后只需证明第二次投影结果比第一次投影结果多余的部分正是$$\sin\alpha\sin\beta)$$.这可以用平面几何关系直接得到.其实只需要注意到第二种投影方式的第一次投影三角形的第三边和第一种投影方式的第三边的夹角是$$\beta)$$即可.

沟谷定理.构造图像,利用面积的性质来证明.

Ch.3 Geometry

 * 三角形三线合一

证明三边的中线合一.因为是涉及中点,想到的证明方式就是利用和线段长度比例相关的定理,特别的,平行线分割线段的长度比例定理.过一个顶点过对边平行线,讨论两根底线平分线(和其延长线)与两根平行线形成的割线的比例关系.第三根线也满足相同的关系.

证明三根角平分线合一.因为有等角和共享边,想到用全等三角形定理来给出证明.过两角平分线的交点向三边做垂线,利用两组全等三角形知,三垂线长度相等.连接交点和第三个顶点,证明两个直角三角形全等.

证明三根垂线合一.第一个证明.利用解析几何的思路暴力证明.当一个三角形的底边和它左右顶角已知,可得对应的顶点的垂线把底边分割比例.分别由两个垂线的交点向第三边,以及由原三角形的第三个顶点向第三边做垂线,证明对第三边的分割比例一致,从而两垂线处于同一直线上.

第二个证明.因为涉及直角,想到利用与角度相关的定理,特别的,四点共圆相关的定理.连接两根垂线的交点和第三个顶点,过这个顶点画一根和第三边平行的辅助线.证明该线段与第三边垂直.而这只需要证明这根线段和辅助线垂直.换言之,这根线段和三角形某一边的夹角是对应的三角形内角的余角即可.而这只需要通过两次四点共圆就可以得到.


 * 平面几何基本定理

证明圆周角是圆心角的一半.如果圆周角正好有一边过圆心,那么问题容易得证.如果没有,画一条过圆心和圆周角顶点的辅助线把问题中的圆周角分割为两个圆周角之和或者之差,其中每个圆周角都有一边过圆心.