Research Paper Notes on Flow Analysis Methods

Research Paper Notes on Flow Analysis Methods

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Event Plane

 * Reconstructing azimuthal distributions in nucleus-nucleus collisions, arXiv:nucl-ex/9711003v2, by Jean-Yves Ollitrault
 * Collective phenomena in non-central nuclear collisions, arXiv:0809.2949v2, by Sergei A. Voloshin, Arthur M. Poskanzer, and Raimond Snellings
 * Methods for analyzing anisotropic flow in relativistic nuclear collisions, nucl-ex/9805001, by A.M.Poskanzer and S.A. Voloshin

Cumulant

 * New method for measuring azimuthal distributions in nucleus-nucleus collisions, arXiv:nucl-th/0007063v3, by N. Borghini, P.M. Dinh, J.-Y. Ollitrault
 * Flow analysis from multiparticle azimuthal correlations, arXiv:nucl-th/0105040v2, by N. Borghini, P.M. Dinh, J.-Y. Ollitrault
 * Flow analysis with cumulants: direct calculations, arXiv:1010.0233v2, by Ante Bilandzic, Raimond Snellings, Sergei Voloshin
 * Systematic procedure for analyzing cumulants at any order, arXiv:1612.05634v2, by P.D. Francesco et al

Lee-Yang Zeros

 * Analysis of anisotropic flow with Lee-Yang zeroes, nucl-th/0310016, by R.S. Bhalerao, N. Borghini, and J.-Y. Ollitrault
 * Event-plane flow analysis without non-flow effects, arXiv:0801.3915v2, by Ante Bilandzic et al

Reconstructing azimuthal distributions in nucleus-nucleus collisions, arXiv:nucl-ex/9711003v2
Eq.(2)对于统计独立的两个事件,我们有$$ = $$这里反应平面和对反应平面的偏离是统计独立的,所以有该公式.反过来,事件平面和对反应平面的偏离(事件平面和反应平面的夹角)之间并不是独立的,因为事件平面本身包含了从反应平面决定的方向的基础上产生的涨落.

Eq.(6)$$ \bar{Q} $$是$$ N $$个模为1的复数的和.如果每个复数的平均值的数量级为1,那么他们的和($$ {Q} $$)的平均值($$ \bar{Q} $$)的数量级为$$ N $$.如果各复数对其平均值的偏差为独立的,其方差的数量级也为1,那么他们的和方差数量级也为$$ N $$,此即文中提到的$$ \sigma $$按$$ \sqrt{N} $$形式变化.

Eq.(8)按定义它应该等于
 * $$\begin{align}

<\cos n\Delta\phi>\equiv\frac{\int QdQd\Delta\phi\cos n\phi\frac{dN}{QdQd\Delta\phi}}{\int QdQd\Delta\phi\frac{dN}{QdQd\Delta\phi}} \end{align}$$

Collective phenomena in non-central nuclear collisions, arXiv:0809.2949v2 [nucl-ex]
Eq.(8)

我们有$$ v_n^{obs}=\langle \cos[n(\phi-\Psi_n)]\rangle=\langle \cos[n(\phi-\Psi_{RP})+(\Psi_{RP}-\Psi_n)]\rangle $$ 这里的平均包括同一事件中的平均和事件间的平均.这样$$ (\Psi_{RP}-\Psi_n) $$对同一事件不同的粒子是常数,且事件平均$$ \langle \sin(\Psi_{RP}-\Psi_n)\rangle=0 $$.

Eq.(11)

这里是注意到$$(\Psi_n^A-\Psi_n^B)=(\Psi_n^A-\Psi_{RP})-(\Psi_n^B-\Psi_{RP})$$以及$$ \langle \sin(\Psi_n^A-\Psi_{RP})\rangle=\langle \sin(\Psi_n^B-\Psi_{RP})\rangle=0 $$.

New method for measuring azimuthal distributions in nucleus-nucleus collisions, arXiv:nucl-th/0007063v3
这是系列工作的第一篇,提出用cumulant计算集体流的文章.

Flow analysis from multiparticle azimuthal correlations, arXiv:nucl-th/0105040v2
Eq.(1)注意到这里是早期的关于流的定义.傅立叶级数的定义为
 * $$\begin{align}

a_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi f(x) \cos(nx)\, dx, \quad n \ge 0 \end{align}$$
 * $$\begin{align}

b_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi f(x) \sin(nx)\, dx, \quad n \ge 1 \end{align}$$
 * $$\begin{align}

f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^\infty \, [a_n \cos(nx) + b_n \sin(nx)], \quad N \ge 0 \end{align}$$ 注意到求和从0开始.如果函数是复函数,我们只需要考虑复的系数即可.同样我们可以用指数形式的$$ e^{nx} $$和$$ e^{-nx} $$作为基来代替$$ \cos(nx) $$和$$ \sin(nx) $$.
 * $$\begin{align}

f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^\infty \, [c_n e^{nx} + d_n e^{-nx}], \quad N \ge 0 \end{align}$$ 现在重新考虑实函数,同时考虑$$ e^{nx} $$和$$ e^{-nx} $$为展开的基,这时系数仍然为负,但是必须满足条件$$ c_n=d^*_n $$.上面的情况可以等价的看作把求和延伸到从负无穷大到正的无穷大,这时我们只有唯一的基$$ g^{nx} $$
 * $$\begin{align}

f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=-\infty}^\infty g_n e^{nx} \end{align}$$ 其中$$ g_n=g^*_{-n} $$是复数.如果我们把$$ g_n $$写为$$ g_n=2 v_0 v_n e^{-n\Psi_n} $$其中的$$ v_n=v_{-n},\Psi_n=\Psi_{-n} $$都是实数,而后者幅角就是我们熟知的事件平面,这就是Eq.(1)第一步等式的具体形式.由于
 * $$\begin{align}

\sum_{n=-\infty}^\infty g_n e^{nx} = \sum_{n=-\infty}^\infty v_n e^{n(x-\Psi_n)} = v_0(1+ \sum_{n=1}^\infty 2v_n \cos{n(x-\Psi_n)}) \end{align}$$ 从而我们得到了Eq.(1)的第二步等式.注意到,在最早的讨论中,认为所有的事件平面由于都是一致的.从而减少了一半的独立的系数.

Eq.(2)这里的讨论是两粒子连接关联函数的性质.如果两个粒子的测量是统计独立的,那么相应的测量量的乘积的平均等于平均的乘积,故连接关联函数等于零.如果事件平均后的单粒子分布函数是各向同性的,比如对理想探测器,事件平面是完全随机的,那么单粒子分布的平均值等于零,从而两粒子关联函数就是两粒子连接关联函数.按这样的定义,从后面的Eq.(15)讨论也可知,集体流是一种连接关联.这其实和我们之后一些工作和讨论中涉及到的cumulant是不同的,那时我们把不同事件的事件平面调节到同一方向上,然后在记录每个末态粒子的角度,这样集体流导致的关联就被包含在混合事件中了,剩余的关联原则上是排除了集体流以外的"非流"关联信息.

Eq.(3)这里一些项等于零,故没有写出来,比如$$ =0 $$,又如$$ =0 $$.理由是因为事件平面是随机的所以如果某因子的指数中包含任何事件平面因子,就会在对事件求和后变为零.

在后面的其他文章中,这个要求被明确的写了出来,这就是指数上每个$$ \phi_i $$前的因子$$ n_i $$的和必须为零,$$ \sum_i n_i=0 $$,事件平均才不为零.

Eq.(5)注意这里考虑的仅仅是与所有粒子数相同都为$$ M $$的事件的平均相关的关联函数.这里的定义使得$$ z $$的实部与虚部都在之后的表达式中有贡献.

Eq.(6)这是一个$$ M $$因子的乘积,每个因子又都是三项之和,对应体系的一个粒子.这里的结果涉及到从每个因子中选取那一项的排列组合.结果按选取"1"项的次数,从$$ M $$开始递减排列.

比如,这里$$ <\sum_{j=1}^M e^{-in\phi_j}> $$含有$$ M $$项之和,对应有一个粒子被选$$ \frac{z}{M} $$项,其余$$ M-1 $$粒子都选"1"项的所有可能,共计$$ M $$种可能.

而$$ <\sum_{j $$对应有两个粒子被选$$ \frac{z}{M} $$项,其余$$ M-2 $$粒子都选"1"项,故共有$$ \binom{M}{2}=\frac{M(M-1)}{2} $$种可能.求和$$ \sum_{j< k} $$代表两个粒子不相同,且不论顺序,对应的组合数正是$$ \binom{M}{2} $$.

而之后求和$$ \sum_{j\ne k} $$代表两个粒子不相同,但有顺序,因为第一个粒子被选到$$ \frac{z}{M} $$项,第二个粒子被选到$$ \frac{z^*}{M} $$项,但两个选择不能是针对同一个粒子的.这时对应的组合数是$$ 2!\times\binom{M}{2}=M(M-1) $$.

Eq.(7)虽然在原则上我们知道生成函数的对数对应"连接"关联函数的生成函数,这里的一个重要区别是这里考虑的粒子数总数为$$ M $$是有限的,所以不可能只是简单的取对数.但是对这里定义的严格意义上的正确性 并不清楚.

它具有一个和对数函数很接近的形式,但是又不完全一样.理由是这里的定义可以对两粒子连接关联函数给出正确的对的数目.我们先给出后面需要用到的这个表达式的具体的形式
 * $$\begin{align}

&a^{\frac{1}{M}}=e^{\frac{1}{M}\ln a}=1+\frac{1}{M}\ln a+\frac{1}{2!}(\frac{1}{M}\ln a)^2+\dots \\ &M(a^{\frac{1}{M}}-1)=\ln a+\frac{M}{2!}(\frac{1}{M}\ln a)^2+\frac{M}{3!}(\frac{1}{M}\ln a)^3+\dots \\ &\ln a=\ln(1+b)=b-\frac{b}{2}+\frac{b^2}{3}\dots\\ &b\equiv (Eq.(6)-1) \end{align}$$

Eq.(15)这里注意到$$ \int e^{im\phi_k}\frac{\phi_k}{2\pi}=\delta_{m0} $$,所以Eq.(14)只有一些特定的选择不为零,其余项的贡献都为零.具体的,这样的选择是选取$$k $$项正比与$$z $$,这$$k $$项不区分来自哪个粒子,选择$$k $$项正比与$$z^* $$,同样不区分来自哪个粒子,其余都选"1",也不区分来自哪个粒子,这样的组合数为$$ \frac{M!}{(M-2k)!(2k)!}\frac{(2k)!}{k!k!} $$.最后对$$k $$求和.

Eq.(A4)偏差的估算.首先注意到$$ \delta M=M- $$,以及$$ <\delta M>=0 $$.类似的有关系$$ <{(\delta M)}^2>=<{(M-)}^2>=-^2\equiv \sigma $$.由此我可以计算
 * $$\begin{align}

&\frac{1}{M}=\frac{1}{}-\frac{\delta M}{^2}+\frac{(\delta M)^2}{2^3}\dots\\ &<\frac{1}{M}>=\frac{1}{}-\frac{<\delta M>}{<M>^2}+\frac{<(\delta M)^2>}{2<M>^3}\dots=\frac{1}{<M>}+\frac{\sigma}{2<M>^3}\dots\\ \end{align}$$

Eq.(A6)第二项的组合数为$$ \binom{M}{1}\binom{M-1}{1}=M(M-1) $$,第三项的组合数为$$ \binom{M}{2}\binom{M-2}{2}=\frac{M!}{4(M-4)!} $$.

Eq.(C4)第一项对应$$ p=0 $$第二项可以作下面的近似
 * $$\begin{align}

\frac{\sum_pa_{p+n}v_pe^{ip\phi_k}}{\sum_p a_pv_pe^{ip\phi_k}}= \frac{a_n+\sum_{p\ne 0}a_{p+n}v_pe^{ip\phi_k}}{1+\sum_{p\ne 0} a_pv_pe^{ip\phi_k}}\doteq a_n({1-\sum_{p\ne 0}a_pv_pe^{ip\phi_k}})+\sum_{p\ne 0}a_{p+n}v_pe^{ip\phi_k} \end{align}$$

Flow analysis with cumulants: direct calculations, arXiv:1010.0233v2 [nucl-ex]
Eq.(6)注意到这里的定义与PRC64 054901中Eq.(A6)不同.这导致之后很多表达式的具体形式是不同的.

Eq.(20)组合数的计算.先选取一个粒子为POI(Particle of Interest),第二个不同的粒子为RFP(Reference Flow Particle).这里的系数为满足条件的对的总数.第一项为POI和RFP的乘积,第二项减去重复计算的自关联数目,它等于同时被标记为POI和RFP的粒子数.

Eq.(21)类似的,这里是四粒子组合的数目.第一个例子为POI,后面三个不重复的粒子为RFP.考虑第一个粒子来自POI的粒子属于交集和不属于交集两种情况,我们有
 * $$\begin{align}

(m_p-m_q)M(M-1)(M-2)+m_q(M-1)(M-2)(M-3)=(m_pM-3m_q)(M-1)(M-2) \end{align}$$

Phys. Rev. C58, 1671 (1998) Methods for analyzing anisotropic flow in relativistic nuclear collisions Eq.(2)上一段结尾部分,对$$ v_2 $$的测量,由于
 * $$\begin{align}

&\cos^2x-\sin^2x=\cos 2x \\ &\cos x=\frac{p_x}{p_t} \\ &\sin x=\frac{p_y}{p_t} \end{align}$$

Eq.(12)这里$$ \Psi_m^a-\Psi_r $$与$$ \Psi_m^b-\Psi_r $$是统计独立的,故而函数的乘积的平均等于函数的平均的乘积.即
 * $$\begin{align}

&<\cos[n(\Psi_m^a-\Psi_m^b)]>=<\cos[n(\Psi_m^a-\Psi_r)-n(\Psi_m^b-\Psi_r)]>\\ &=<\cos[n(\Psi_m^a-\Psi_r)]><\cos[n(\Psi_m^b-\Psi_r)]>+<\sin[n(\Psi_m^a-\Psi_r)]><\sin[n(\Psi_m^b-\Psi_r)]>\\ &=<\cos[n(\Psi_m^a-\Psi_r)]><\cos[n(\Psi_m^b-\Psi_r)]> \end{align}$$ 从而得到实际中使用到的Eq.(14).

Eq.(35)注意到
 * $$\begin{align}

&\cos[n(\phi+\Delta\phi-\Psi_r)]\sim\cos[n(\phi+\Delta\phi-\Psi_0)]=\cos[n(\phi-\Psi_0)]\cos(n\Delta\phi)-\sin[n(\phi-\Psi_0)]\sin(n\Delta\phi)\\ &\sin(n\Delta\phi)\sim -2\widetilde{v_n}\sin[n(\phi-\Psi_0)]\\ &<\sin[n(\phi-\Psi_0)]\sin(n\Delta\phi)>=-2\widetilde{v_n}<\sin^2[n(\phi-\Psi_0)]>=-\widetilde{v_n}\\ &<\cos[n(\phi-\Psi_0)]\cos(n\Delta\phi)>=0 \\ &<\cos[n(\phi+\Delta\phi-\Psi_0)]>=\widetilde{v_n} \end{align}$$

Systematic procedure for analyzing cumulants at any order, arXiv:1612.05634v2 [nucl-ex]
这同样是一篇计算cumulant的文章.文本讨论了如何去除自关联,以及如何计算cumulant.在计算中通过杨图来计算某些贡献及其重复数.

Analysis of anisotropic flow with Lee-Yang zeroes, nucl-th/0310016
本文也是通过多粒子关联计算集体流系数的经典之作.适用条件是关联涉及粒子数很大的情况,和物理上的李杨相比结合起来讨论.方法本身的证明和讨论主要是在文章的第III部分,但是文章在第II部分先给出了具体实现手续和数值模拟结果.

Eq.(6)

这里$$ z $$将被取为纯虚数,$$ Q^\theta $$按Eq.(3)为实数.Eq.(4)中的尖括号和Eq.(6)中的花括号都差不多可以理解是事件平均,无区别.严格的,按文章后面第III部分开始段落的解释,尖括号是系综平均,从而是理想情况下的结果.而花括号是具体数值计算中做的事件平均.Eq(3-6)中都没有涉及对粒子的平均,所以按Eq.(5),$$ V_n $$与粒子数$$ M $$成正比.但是在问题中$$ M $$基本上是常数,所以对结果无重要影响.

首先注意到,如果$$ Q^\theta $$为常数,或者在某常数附近做小震荡,那么$$ |G^\theta(iz)| $$将在1附近震荡.特别的如果$$ \theta=\Phi_R $$,而事件平面的方向是固定的,那么就属于这样情况.而实际上,由于事件平面的随机取向,对不同的事件,$$ Q^\theta $$会在一个以零为中心的正负区间内取值,而区间的大小由Eq.(5)大致决定,一般肯定大于$$ 2\pi $$.这样Eq.(6)的实数幅角(即便在$$ r $$很小的时候也)会取遍任何方向,对事件求平均后会相互抵消而变小.这在Fig.1中体现出来.

Eq.(13-14)

这里的结论是表达式可以被因子化.物理上这是由于关联的局域性,把体系视为互相独立的子体系.每个子体系基本由两元核子核子碰撞决定,故子体系的大小是基本固定的,这样而子体系的数目和最终粒子的产率$$ M $$成正比.最后由于之前Eq.(7)的性质,奇数次展开项贡献为零.

一个要点是,这里是固定事件平面对事件求平均的情况.这是文章的假设B中的一个条件,更好的可以理解为固定中心度的碰撞.

另一个要点是,这里需要理解的是为什么会出现$$ z $$的高阶项?这是由于事件平均造成的,即$$ \langle e^{zQ^\theta}\rangle =\langle \left(e^{Q^\theta}\right)^z\rangle \ne \langle e^{Q^\theta}\rangle^z$$.因为事件平均等价的相当于以一个未知的$$f(Q^\theta) $$权重函数积分求平均$$ \langle e^{zQ^\theta}\rangle =\frac{\int dQ^\theta e^{zQ^\theta} f(Q^\theta)}{\int dQ^\theta f(Q^\theta)}$$.这类似场论中的生存函数就是指数上外源的线性项的路径积分平均,但是可以通过它对外源的各阶导数得到各阶格林函数.一个具体一些的例子参见下面Eq.(19)推导的笔记.

现在我们再回过来观察Eq.(13),它的意义是前面讨论的因子化在考虑事件平均的意义下仍然成立,且每个因子都是事件平均后的结果,且其中包含$$ z $$的高阶项.更重要的是,每个因子中的$$ Q_j^\theta $$与粒子数$$ M $$无关,仅仅和每个子体系(如两元核子核子碰撞)的本征性质有关.

Eq.(15)

之前Eq.(14)的讨论直接被用于讨论cumulant对产率$$ M $$的依赖关系.但首先我们讨论一个平庸的情况:既没有集体流,又不存在短程少体关联.这时最简单的例子是所有的事件也完全相同,这样$$\ln<e^{zQ^\theta|\Phi_R}>=\ln<e^{zQ^\theta}>=\ln(e^{zQ^\theta})=zQ^\theta $$.这时我们看到,下面讨论的两条性质同时都被满足了.因为每个事件的贡献指数上都与$$ M $$成正比,所以取对数后结果也与$$ M $$成正比.同时,虽然指数上与$$ z $$相乘的因子与$$ M $$成正比,但是按这里简化模型的讨论,并不存在$$ z $$的高阶项,所以最终结果与$$ M $$成正比,且高阶关联函数全为零.实际上,真正有意义的情况是高阶的关联函数,而正如文章推导中得到和被强调的,集体流高阶关联函数对粒子数的依赖关系远远强与普通短程强作用导致的关联.这正是很多集体流分析方法的出发点.

接下来讨论两种情况,第一个例子是对Eq.(14)的结论的进一步讨论.因为没有集体流,那么结果与事件平面无关,按Eq.(14),等式右边与独立子系统的数目成正比,从而与粒子数$$ M $$成正比.按之前的讨论,这里存在$$ z $$的高阶项,而各高阶项也都和与粒子数$$ M $$成正比.

而另一方面,如果存在集体流,那么不存在前面情况下的因子化,且与$$ z $$相乘的因子$$ Q^\theta $$与粒子产率$$ M $$成正比.按前面讨论,生成函数展开一般包含存在$$ z $$的高阶项,所以对应$$ k $$阶展开对粒子产率的依赖关系是$$ M^k $$.

Eq.(16)

在高阶$$ k $$情况下,关联函数渐进行为主要由其在收敛半径附近的表现决定.由于$$ Q^\theta $$按定义没有奇性,故其收敛半径,如果有限的话,仅仅由其最靠近原点的零点决定.这个关系就是其具体的数学关系.

Eq.(18)

如果从$$<Q_x|\Phi_R>=V_n\cos(n\Phi_R)$$和$$<Q_y|\Phi_R>=V_n\sin(n\Phi_R)$$出发,那么由Eq.(3)立即可得Eq.(18).

而如果将Eq.(4)理解为$$V_n=<Q_x \cos(n\Phi_R)+Q_y \sin(n\Phi_R)>=\frac{\int d\Phi_R (<Q_x|\Phi_R> \cos(n\Phi_R)+<Q_y|\Phi_R> \sin(n\Phi_R))}{\int d\Phi_R}$$.那么不难发现上述出发点,正是这个方程的解.

Eq.(19)

在求系综平均前,将$$ e^{zQ^\theta} $$展开到$$ z $$的两阶,然后取平均,然后再取对数,再次对$$ z $$展开,取两阶项贡献.不难发现这时其实有两个贡献,正好就是Eq.(19)中的两项.

Eq.(20)

这时Eq.(19)的第二项为零,因为不同事件粒子与事件平面毫无关系,但可以以某随机方向不对称分布.同理,Eq.(19)第一项仅仅对于同一粒子平方项贡献不为零.并注意到$$ \cos^2 $$平均值为$$ 1/2 $$,即得Eq.(20)

另外注意到,这一部分有个容易混淆的概念,$$ k $$阶cumulant是正比与$$ M $$,还是$$ M^k $$?在Eq.(19)下面写着$$ \sigma^2 $$是正比与$$ M $$,而在Eq.(23)的上面一段的讨论中,又指出$$ 2k $$阶应该正比与$$ M^{2k} $$.两者的区别是,前者是对事件的平均但是固定事件平面,后者对事件平面也求了平均.

Eq.(24-25)

这里的结果就直接和之前的方法联系起来了,即在附录中证明的当$$ k $$很大时,零点的位置直接和集体流有关.Eq.(25)是在具体计算(非中心极限近似情况)下需要考虑到的一些问题,比如零点偏离虚轴等.在极限情况下它与Eq.(24)平庸的等价.

Eq.(26-28)

这里的公式推导就是一些简单的代数运算.Eq.(26)中能量的系综求和被包含在$$ Z_N $$中了.Eq.(27)就是对Eq.(26)的归一化,而Eq.(28)就直接和之前的Eq.(6)相关,因为在主要是集体流的情况下$$ Q^\theta $$与粒子数成正比.

实际上,文章具体讨论了两者的对应性.如果把热力学配分函数中的粒子数替换为当前问题中的$$ Q^\theta $$,把热力学配分函数中的体积替换成当前问题中的粒子数$$ M $$,两个问题具有数学上的相似性.

从物理上,李杨相变(零点)的讨论可以是一级相变.这时,与单相的情况不同,巨正则系综中体系的粒子数分布不再是具有一个尖锐的峰(由于体系的态的数据随着体系粒子数极快的增加而分布的可能性极其快速的递减导致的峰)而是在两个峰(两相)之间一个平缓的分布.同时这个分布与热力学体系的体积成正比.

Eq.(A.1-2)

这两个生成函数的定义是不同的,但是从其物理意义来理解是很接近的.两者的区别是后者仅包含至多$$ M $$个因子的乘积,且每个因子对应不同的粒子;前者可以包含无限多因子的乘积,且粒子可以重复(包含自关联项).但是注意到$$ z $$因子的指数幂次始终对应了考虑的关联粒子的数目.这样,对于固定的$$ z $$阶项,两个生成函数唯一的区别是前者包含自关联,而文章中提到,这样的自关联的影响在高阶情况下完全可以被忽略.

Eq.(B.1)

这里讨论了如果生成函数的定义不同,导致的关联函数与这里的关联函数的关系. 首先Eq.(B.1)与方程(A.1)的联系总是可以建立的,只需要做换元$$(z,\theta)\rightarrow (z_1,z_2) $$,即代换$$ z_1=ze^{-in\theta}/2 $$和$$ z_2=ze^{i\theta}/2 $$即可.

Eq.(B.4)

这其实符合函数链式求导即得,具体的就是$$\left.\frac{\partial^k G(z,\theta)}{\partial z^k}\right|_\theta=\sum_l\binom{k}{l}\frac{\partial^k G(z_1,z_2)}{\partial z_1^l \partial z_2^{(k-l)}}\left(\left.\frac{\partial z_1}{\partial z}\right|_\theta\right)^l \left(\left.\frac{\partial z_2}{\partial z}\right|_\theta\right)^{(k-l)} $$.

通过这个关系,这里实际上把两种不同生成函数的方法计算得到的关联函数联系起来了.这样等式Eq.(25)的左边被解释清楚了,即定量确定了生成函数的高阶关联函数和集体流的关系.

Eq.(B.5)

这无非就是将(B.4)对$$ \theta $$积分,利用积分产生的$$\delta $$函数直接即可得到.

Eq.(C.1-2)

这里从等式Eq.(25)的右边入手讨论,即为什么高阶关联函数与和原点最近的零点有关.这是因为对生成函数的各阶关联函数的计算无非就是计算函数的展开系数,(C.2).而当阶数$$k $$很大是,离原点越近的奇性的影响越大.

Eq.(C.3)

这里,由于我们假定函数在原点附近解析,故路径积分原本在原点附近圈绕原点进行.积分路径可以向外张开,直到碰到函数在复平面上的其他奇性.这是,分母上面的$$ z $$的幂函数起到一个权重的作用,当$$ z $$增大时,相应的奇点的贡献就减小,故在近似下,我们仅仅考虑离开原点最近的函数的奇点. 由本文引入的生成函数,被积函数的奇点与生成函数的零点有关.按生成函数的不同,有两种情况. 第一种情况奇性为对数形式,故我们必须引入一割线.割线两侧的相位差为$$ 2\pi $$,结果与割线的位置与相对的绝对数值都无关.除了一个常数因子外,在割线的一侧的贡献为
 * $$\begin{align}

C_{23}=\int_{z_0}^{z_0+\infty}\frac{\ln(z-z_0)}{z^{k+1}}dz=\int_{r=0}^{r=\infty}\frac{\ln r+i\theta}{z^{k+1}}dz (\theta=-2\pi) \end{align}$$ 上述积分对应图中从奇点竖直向上积分到无穷远,其中我们把积分写成以零点为中心的极坐标的形式,并假定在割线上的相角.类似的在割线的另一侧的积分贡献为
 * $$\begin{align}

C_{22}=\int_{z_0+\infty}^{z_0}\frac{\ln(z-z_0)}{z^{k+1}}dz=-\int_{r=0}^{r=\infty}\frac{\ln r+i\theta}{z^{k+1}}dz  (\theta=0) \end{align}$$ 两者的和为
 * $$\begin{align}

C_{23}+C_{22}=\int_{z_0}^{\infty}\frac{-i2\pi}{z^{k+1}}dz=\int_{z_0}^{\infty}(-i2\pi)z^{-(k+1)}dz=(-i2\pi)\frac{1}{k}\frac{1}{(z_0)^k} \end{align}$$ 而围绕奇点的积分的贡献为零,因为
 * $$\begin{align}

C_{21}=\lim_{z\to 0}\int_{0}^{2\pi}\ln(z-z_0)dz=\lim_{r\to 0}\int_{0}^{2\pi}(\ln r+i\theta)ir d\theta=0 \end{align}$$

现在考虑$$z_0 $$是复数,同时在$$z_0^* $$存在另一个零点导致的割线,两个互为复共轭的贡献相加,为其实部的两倍,即得(C.3)结果.

Eq.(C.4)

第二种情况的奇性是普通多项式,故只需要用留数定理直接计算留数即可.对应函数
 * $$\begin{align}

f(z)=\frac{1}{G^{\theta}(z)}=\frac{1}{{G^{\theta}}'(z-z_0)} \end{align}$$ 容易得到它在$$ z_0 $$的留数为
 * $$\begin{align}

Res(f(z)(z=z_0))=\frac{1}{{G^{\theta}}'(z=z_0)} \end{align}$$

Event-plane flow analysis without non-flow effects, arXiv:0801.3915v2
Eq.(4) 首先简单讨论一下中心极限定理.具体参见英文维基百科中心极限定理的证明. 按定义,平均值为0标准偏差为1几率分布的特征函数(characteristic function)为


 * $$\varphi_Y(t) = 1 - {t^2 \over 2} + o(t^2)$$

如果$$t$$有限,所谓高阶项并不一定很小.上述特征函数在$$t\to 0$$时趋近于下述平均值为0标准偏差为1的正态分布的特征函数为


 * $$\varphi_N(t) = 1 - {t^2 \over 2}$$

注意到其中不存在高阶项.

实际上我们可以把任何几率分布都转化为上述平均值为0标准偏差为1的标准化几率分布.比如$$Y_i \equiv (X_i-\mu)/\sigma$$就是平均值为$$\mu$$标准偏差为$$\sigma$$的标准化分布.同样不难证明,$$n$$次测量的平均值的标准化分布为


 * $$Z_n = \frac{n\overline{X}_n-n\mu}{\sigma \sqrt{n}} = \sum_{i=1}^n {Y_i \over \sqrt{n}}.$$

按特征函数的基本运算规则,$$Z_n$$的特征函数为


 * $$\left[\varphi_Y\left({t \over \sqrt{n}}\right)\right]^n = \left[ 1 - {t^2 \over 2n} + o\left({t^2 \over n}\right) \right]^n \, \rightarrow \, e^{-t^2/2}, \quad n \rightarrow \infty.$$

我们看到,虽然每次测量并非正态分布,但是当测量次数$$n$$增加时,其特征函数的高阶项贡献由于分母上的$$n$$的影响趋于零,特征函数趋近于上述正态分布的特征函数.这就是中心极限定理,它是大数定理的自然结果.

在这里,流矢量$$Q$$由满足同样角度几率分布的粒子构成,每个事件还存在粒子总数的涨落,故流矢量的平均值对于其期待值为两维正态分布,对其模进行积分后,我们原则上可以得到事件平面$$\Phi_{EP}$$相对反应平面$$\Phi_{RP }$$的分布,注意到其中反应平面对于每个碰撞事件也各不相同,在横平面上随机分布.

Eq.(5) 这里可以把$$Q$$看作是一个沿着$$\Phi_{EP}$$方向模为$$Q$$的矢量.故Eq.(5)的几何意义是Q在反应平面上的投影.由于$$Q$$是由对粒子求和得到的,故把它成为积分椭圆流系数.另外这个式子在形式上可以对比Eq.(7)进行理解,后者是在任意角度上的投影,且没有对不同碰撞事件求平均.

Eq.(6) 在这里,我们注意到由每个事件产生的粒子决定的事件平面与反应平面的差$$(\Phi_{EP}-\Phi_{RP})$$为由中心极限定理决定的某种分布,这里进一步将它的函数对(同样碰撞参数区间的)事件求平均,如果总的事件数目有限,$$V_n$$亦是某种分布.但在实际操作中,事件的数目非常大,远远大于每个事件粒子的数目,所以我们可以认为Eq.(5)中的求平均计算最后导致$$V_n$$为某期待值,这样类似于研究流矢量$$Q$$相对其期待值的分布,可以研究每个事件的流矢量$$Q$$相对$$V_n$$的分布.不妨提及,因为事件平面的分布函数,$$Q$$的期待值并非$$V_n$$,而是比$$V_n$$略大一些.

Eq.(8-9) 考虑几率分布为常数函数的期待值.注意这时按定义由此分布函数得到的角度期待值并不等价于出射几率最大的角度,而仅仅表达分布对应的出射角度的极限平均值,而且可以随着角度自变量定义范围的不同而不同.在此意义上,期待值有些误导的作用,因为如果分布有最大值,比如正态分布,那么这时分布的期待值正好是分布函数的最大值.流矢量$$Q$$有所不同,它是出射粒子的角度的正弦和余弦函数的期待值,在角度几率分布为常数分布的情况下,流矢量的两个分量的期待值都为0.并且按中心极限定理,流矢量$$Q$$的分布为原点附近的正态分布.

当存在集体流时,期待值的位置由零点向事件平面的方向偏移.但同时需注意到事件平面的方向是完全随机的.在碰撞产生的粒子数趋于无限的极限情况下,如书中所述$$V_n=Q$$,这时按定义


 * $$\begin{align}

G_{\theta}(r)\equiv \left\langle e^{irQ_{\theta}}\right\rangle = \int_0^{\frac{2\pi}{n}}{d\Phi_{EP}}\left\langle\frac{n}{2\pi}\right\rangle e^{irV_n \cos(n(\Phi_{EP}-\theta))}=J_0(rV_n) \end{align}$$

其中利用了指数定积分公式,其推导可参见,胡嗣柱数理方法,高教出版社,第二版(13.24).


 * $$\int_{0}^{2 \pi} e^{x \cos \theta} d \theta = 2 \pi J_{0}(ix)$$

注意到最后结果与$$\theta$$无关

Eq.(11) 此式第一步的正确性可以推导如下.受到Eq.(7)的启发,我们可以把Eq.(5)写为


 * $$\begin{align}

&V_n = \left\langle Q_x \cos (n\Phi_{RP}) + Q_y \sin (n\Phi_{RP})\right\rangle \\ &=\left\langle \sum_j w_j\cos(n\phi_j) \cos (n\Phi_{RP}) + \sum_j w_j\sin(n\phi_j) \sin (n\Phi_{RP})\right\rangle \\ &=\left\langle \sum_j w_j\cos n(\phi_j-\Phi_{RP})\right\rangle \end{align}$$

其中利用Eq.(4).这样,对$$V_n$$中的求和权重做微小变化,并除以对相应的微扰后,对比Eq.(1),如果除以事件粒子数$$M$$,两者相同.这个没有被出去的粒子数在讨论Eq.(13)时被补偿,因为其中分子对粒子做平均,而实际上Eq.(4)中没有对粒子数求平均,仅仅是求和.

Eq.(14) 以分母的推导为例,将Eq.(7)最后一步代入Eq.(13)的分母,然后对$$\theta$$积分.注意到前面零阶贝塞尔函数的积分形式,我们发现其形式正是它的导数,从而得到一阶贝塞尔函数.