Research Paper Notes on Scalarization

Research Paper Notes on Scalarization

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文献列表

 * Asymptotically flat black holes with scalar hair: a review, arXiv:1504.08209v2, by Carlos A. R. Herdeiro, Eugen Radu


 * Perturbations of a rotating black hole in DHOST theories, arXiv:1907.02924, by Christos Charmousis, Marco Crisostomi, David Langlois, and Karim Noui
 * Spontaneous scalarization of Gauss-Bonnet black holes: Analytic treatment in the linearized regime, arXiv:1912.07630v1, by Shahar Hod
 * Black hole scalarization with Gauss-Bonnet and Ricci scalar couplings, arXiv:2105.04479v2, by Georgios Antoniou et al

Asymptotically flat black holes with scalar hair: a review, arXiv:1504.08209v2, by Carlos A. R. Herdeiro, Eugen Radu
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Perturbations of a rotating black hole in DHOST theories, arXiv:1907.02924, by Christos Charmousis, Marco Crisostomi, David Langlois, and Karim Noui
本文讨论了DHOST理论中的引力和标量扰动方程.作者指出,引力扰动方程的爱因斯坦张量部分和Kerr黑洞形式上一致,而标量扰动部分与引力部分独立.进而,作者给出了标量扰动的通解,并讨论了其在视界和无限远的收敛性,指出,通解的展开系数需要由具体物理问题来定.在最后,作者以具有周期条件,耗散项和外源的本征值问题为例,讨论了引力扰动方程的解的一般性质.

(13-14)

这是本文的主要工作对象,标量场和引力场的扰动方程.

(18)

这里讨论两阶微扰项,是因为一阶微扰项前的系数为零,对应背景场的方程.而两阶项前的系数对应了一阶微扰方程.不妨类比Goldstein经典力学中体系在平衡位置附近微小振动满足的方程.

(25-29)

这是标量扰动对应的通解形式.

(33)

这里讨论了一个具有周期条件,耗散项和外源的本征值问题.这个问题的形式解是(37).作者把他作为具有源的张量扰动的准正则模问题的类比.

(35)

将满足边界条件的展开形式(34)代入把源(右边)取为零的(33),我们得到$$-\left(\frac{n\pi}{L}\right)^2-(-i\omega_n)^2-\frac{2}{\tau}(-i\omega_n)=0$$.易证,此即(35).

(37)

将(36-37)代入(33),两边都考虑积分以及求和号内的表达式,发现等式两边其实就是$$\hat{S}(-1)[-\left(\frac{n\pi}{L}\right)^2-(-i\omega)^2-\frac{2}{\tau}(-i\omega)]/[\left(\frac{n\pi}{L}\right)^2-(\omega)^2-\frac{2i\omega_n}{\tau}]=\hat{S}$$,显然是成立的.故(37)就是问题(33)的形式解.

我们指出,这里的对$$\omega$$的积分,由于分母上极点在复平面上,利用约当引理,最后的贡献就是留数值.换言之,$$\omega$$的积分可以替换为由(35)决定的复的$$\omega_n$$.具体的,因为$$t>0$$,我们应该从下半复平面绕行,不论(35)中根号内的符号,两个极点都在复平面的下方,当$$\frac{n^2\pi^2\tau^2}{L^2}>1$$时,两个极点关于虚轴对称,而在$$\frac{n^2\pi^2\tau^2}{L^2}<1$$时,两个极点都在虚轴上,记为$$\omega_1, \omega_2$$,我们可以进一步把结果化简为
 * $$\psi(x,t)=\sum_n \int d\omega\frac{\hat{S}\sin(n\pi x/L)e^{-i\omega t}}{(\omega-\omega_1)(\omega-\omega_2)}=2\pi i \sum_n \frac{\hat{S}(n,\omega_1)\sin(n\pi x/L)e^{-i\omega_1 t}}{\omega_1-\omega_2}+\frac{\hat{S}(n,\omega_2)\sin(n\pi x/L)e^{-i\omega_2 t}}{\omega_2-\omega_1}=2\pi i\sum_n \frac{\sin(n\pi x/L)(\hat{S}(n,\omega_1)e^{-i\omega_1 t}-\hat{S}(n,\omega_2)e^{-i\omega_2 t})}{\omega_1-\omega_2}$$.

我们可以通过从上述表达式对时间的依赖的因子中来读出准正则模式的频率,不难发现,实际上这个频率与外源是无关的,外源影响到的,仅仅是准正模式的振幅部分而已.

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Spontaneous scalarization of Gauss-Bonnet black holes: Analytic treatment in the linearized regime, arXiv:1912.07630v1, by Shahar Hod
本文利用束缚态WKB近似讨论自发标量化.

(7-10)

这里势场形式(10)与Regge-Wheeler势形式上完全类似,这是因为标量自作用势只保留到两阶,故运动方程中标量场只涉及到线性项.

注意到这与标量扰动的QNM问题有个本质区别. 由[23]处指出,文中考虑静态标量场假设$$\omega=0$$,这样坐标空间的波动方程(7)与分量变量(8)中的频率$$\omega$$无关. 这与在使用WKB量子条件(14)时,量子化条件被赋予耦合常数,而非能量$$\omega$$.

(14)

这就是WKB近似的结果.参考,比如Sakurai量子力学.

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Black hole scalarization with Gauss-Bonnet and Ricci scalar couplings, arXiv:2105.04479v2, by Georgios Antoniou et al
本文是刘云旗标量化动态演化文稿的静态相图的基础.

(2)

文章的引言介绍工作的背景基础. 自发标量化有各种机制,一个重要的机制类型是标量场与曲率标量的耦合造成的.曲率标量一般包括Ricci标量和Gauss-Bonnet标量. 对于Ricci标量耦合的情况,一般在真空中,对爱因斯坦方程求迹,R正比于能动张量的迹. 比如在真空中,能动张量的迹为零,故耦合的效果为零,不会发生自发标量化. 如果对度规解的稳定性讨论的出发点为真空,那么与Ricci标量的耦合对体系稳定性的影响就很小,因此,最早的自发标量化的讨论只是针对星体内部的. 作为对比,在此意义上,对于真空中的黑洞的情况,只有与Gauss-Bonnet标量的耦合才会有作用. 本文作者指出,自发标量不稳定性是对线型扰动的分析结果. 而在动力学意义上,上述不稳定性在初期指数增长并演化到非线性区域后,其有限的大小的终态主要由非线性项的贡献决定. 换言之,原则上,后者必然压制了前者的指数增长,而使得系统演化达到某物理量皆为有限的稳定终态. 因此文章的出发点就是讨论自发标量化对Ricci标量耦合强度的依赖关系.

(8)

文中指出,这里标量场扰动方程对应的有效势与Ricci标量的耦合无关,与之前的分析一致. 这里给出的作用量中,就涉及两个耦合常数$$\alpha, \beta$$,分布对应了这两种耦合. 自发标量化对应了上述有效值存在不平庸的束缚态(对比上述Hod的文章). 其中,$$\Lambda, \Gamma$$由(9)中的度规定义.

(26)

本文的计算并没有讨论稳定性,而仅仅涉及含有或者不含自发标量化的静态黑洞数值解. 这里讨论了利用标度变换来得到仅依赖于一个参数的解. 因为上述解取定了视界位置,耦合强度,而解的存在至少对应了数值稳定性. 所以我们也许可以认为,这相当于考虑了给定质量的黑洞,这样的解可能对于QNM扰动是稳定的. 但是对于可以增加黑洞质量的初始扰动,黑洞可以沿着稳定的静态黑洞数值解演化.

Fig.2

这里的$$\beta=3$$的曲线,就相当于刘云旗文稿中考虑的相图. 作者因为,如果黑洞随着自发标量化的增加(电荷变大)质量也随之变大的话,那么这样的静态解应该是不稳定的在事实中不应该存在.

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