Research Paper Notes on Triangular Flow

Research Paper Notes on Triangular Flow

本文档除了包括推导, 疑惑 外,做 读书重点 的记录

Data Analysis

 * arXiv:1003.0194 Collision geometry fluctuations and triangular flow in heavy-ion collisions
 * arXiv:1002.4878 Implications of space-momentum correlations and geometric fluctuations in heavy-ion collisions
 * arXiv:1101.1926 Analyzing the power spectrum of the little bang
 * arXiv.1102.1403 The rise and fall of the ridge in heavy ion collisions

Cumulent Expansion

 * arXiv:1010.1876 Triangularity and dipole asymmetry in heavy ion collisions
 * arXiv:1107.5485 Understanding anisotropy generated by ﬂuctuations in heavy-ion collisions

Hydrodynamics

 * arXiv:1007.5469 Triangular flow in hydrodynamics and transport theory
 * arXiv:1008.0652 Triangular flow in event-by-event ideal hydrodynamics in Au+Au collisions at \sqrt(s_NN)=200A GeV
 * arXiv:1008.3323 Phenomenology of the little bang
 * arXiv:1009.1847 Translation of collision geometry fluctuations into momentum anisotropies in relativistic heavy-ion collisions
 * arXiv:1009.3244 Elliptic and triangular flow in event-by-event (3+1)D viscous hydrodynamics
 * arXiv:1011.3750 The effect of triangular flow on di-hadron azimuthal correlations in relativistic heavy-ion collisions
 * arXiv:1011.5249 Jets Mach cone hot spots ridges harmonic flow dihadron and gamma-hadron correlation in high energy heavy-ion collisions

CMB analogy

 * arXiv:0711.1323 Super-horizon Fluctuation and acoustic oscillations in relativistic heavy-ion collisions
 * arXiv:0808.0503 Searching for superhorizon fluctuations in heavy-ion collisions
 * arXiv:0811.0292 Using CMBR analysis tools for flow anisotropies in relativistic heavy-ion collisions

arXiv:0711.1323 Super-horizon Fluctuation and acoustic oscillations in relativistic heavy-ion collisions
暴涨模型对应红移很大,时间很早.而光子的最后散射面对应的宇宙微波背景辐射演化对应1000左右的红移.两者的时间尺度不同. 暴涨模型,量子扰动的演化.根据王斌的解释,考虑最简单的标量场情况,一个KG方程.在$$H$$内,如薛定谔方程,获得震荡解.在$$H$$外,在相应的近似下为常数解,仅仅与$$H$$有关.其波动解的波长$$ \lambda=\frac{a}{k} $$,其中$$ a$$ 为标度因子,由于采取随动坐标系而引入, $$k=\frac{2\pi}{\lambda'}$$ 为波矢. 宇宙微波背景辐射的演化方程为波尔斯曼方程.我们对其中的能动张量和度规都进行展开,对$$4\times 4$$自由度,我们获得2个标量,4个矢量和4个张量,分别导出其方程.宇宙微波背景辐射谱的一些性质,如震荡与压制,与ISW效应有关.

Fig.3 疑惑 .完全随机"白色噪音"的初始条件会导致何种形式的 $$\varepsilon_n$$ 谱.文章提及是常数,为什么?

arXiv:0808.0503 Searching for superhorizon fluctuations in heavy-ion collisions
Fig.3 动量关联去除$$v_2$$贡献后,得到一个谷,傅立叶展开后发现其对应小$$n$$的压制.

arXiv:0811.0292 Using CMBR analysis tools for flow anisotropies in relativistic heavy-ion collisions
题目变大了,内容变得很无味.

arXiv:1002.4878 Implications of space-momentum correlations and geometric fluctuations in heavy-ion collisions
对两体关联函数不同形式的展开获得同样良好的数据拟合,从而讨论物理意义.之后的$$v_3$$其实是此文的推广.

arXiv:1003.0194 Collision geometry fluctuations and triangular flow in heavy-ion collisions
第一篇关于$$v_3$$的文章.对两体关联函数用$$v_1,v_2,v_3$$展开,而不考虑jet得到很好的数据拟合.从而考虑$$v_n$$,特别是$$v_3$$对两体关联函数的贡献. Eq.(3)按引文,此式仅仅是一个结果.首先考虑坐标轴原点处于质心的情况,偏心率是转动角度的函数,对转动角度求导得到偏心率的最大值,即为此式,摘录如下.


 * $$\begin{align}

&x'=x\cos\theta-y\sin\theta \\ &y'=x\sin\theta+y\cos\theta \sigma_y=\sqrt{\bar{y'^2}} \\ &\sigma_y^2={\bar{y'^2}} \\ &\sigma_x^2={\bar{x'^2}} \\ &\sigma_xy={\bar{x'y'}} \\ &y'^2=x^2\sin^2\theta+y^2\cos^2\theta+2xy\sin\theta\cos\theta \\ &{\bar{y'^2}}=\sigma_x^2\sin^2\theta+\sigma_y^2\cos^2\theta+\sigma_{xy}\sin\theta\cos\theta \\ &{\bar{y'^2}}+{\bar{x'^2}}=\sigma_y^2+\sigma_x^2\\ &{\bar{y'^2}}-{\bar{x'^2}}=(\sigma_y^2-\sigma_x^2)\cos 2\theta+2\sigma_{xy}\sin 2\theta \end{align}$$

对角度求导后得到极值


 * $$\begin{align}

({\bar{y'^2}}-{\bar{x'^2}})_{max}=\sqrt{(\sigma_y^2-\sigma_x^2)^2+(2\sigma_{xy})^2} \end{align}$$

接着推广到坐标轴原点不是质心的情况,发现引文中的表达式中的定义仅仅是把考察点移动到质心而已,具体证明非常类似,这里略去. Eq.(4)这是坐标轴原点为质心的情况,直接证明即得,具体略去. Eq.(10),参见Derivation Notes on Flow Decompositions of Particle Correlations Eq.(11)源于假设$$e_n$$对$$v_n$$关系为线性.有 $$\frac{}{<\varepsilon_n^2>}=\frac{}{<\varepsilon_n>^2}$$ ,将平均值记号按定义写出即得.

arXiv:1007.5469 Triangular flow in hydrodynamics and transport theory
用具体模型计算$$e_n$$与$$v_n$$的关系,基本为线性.

arXiv:1008.0652 Triangular flow in event-by-event ideal hydrodynamics in Au+Au collisions at $$\sqrt(s_{NN})=200A$$ GeV
类似上文.利用数值结果指出奇数和偶数的事件平面之间没有关联,偶数事件平面与反应平面联系.用具体模型计算$$e_n$$与$$v_n$$的关系,基本为线性.

arXiv:1008.3323 Phenomenology of the little bang
为暑期学校讲稿的总结.其中涉及流体力学方程的标度不变性,与一些相关结果的讨论.讨论了一些重要的结果和图.值得一读,但并非力作.

arXiv:1009.1847 Translation of collision geometry fluctuations into momentum anisotropies in relativistic heavy-ion collisions
用具体模型计算$$e_n$$与$$v_n$$的关系,基本为线性.但是有益之处是文章涉及 对Glauber MC模型的具体说明,具体参见Research Paper Notes on Glauber Model

Eq.(3)参见Lecture Notes of Particle Physics by B.R. Martin & G. Shaw关于散射截面的讨论. 这里 $$\hat\sigma$$ 相当于单位面积的总散射截面,由于总散射截面的量纲为面积, $$\hat\sigma$$ 不具有量纲,物理意义为碰撞发生的概率. Eq.(4)这里给出了粒子对碰撞数目和参与碰撞的核子数目的表达式.虽然是半经典模型,但是两个表达式的推导具有一般意义.第二式中 $$\prod_{j=1}^{B} \int d^2s_j \hat T_B(s_j)[1-\hat\sigma(s)] $$ 是第 $$i$$ 个粒子不与$$ j=1,2,...B$$ 碰撞的概率.

arXiv:1009.3244 Elliptic and triangular flow in event-by-event (3+1)D viscous hydrodynamics
一些关于粘滞流体动力学方程导出的摘要非常好,需要在Key Notes on Hydrodynamics参考加入总结.

arXiv:1010.1876 Triangularity and dipole asymmetry in heavy ion collisions
此文中引入的一些比如关于cumulant展开的定义被之后很多文章所采用.

Eq.(2.9) 由(2.7-2.8),我们不难发现,(2.8)的各阶的展开系数,因为在指数上,成为了把(2.7)看成生成函数对动量$$(ik)$$多次求导数后的贡献中的"连接图"的贡献.这是因为把(2.8)代入(2.7)的左边,对$$(ik)$$求某阶(零次,一次,两次...)导数,并把$$k$$取为零,比较等式的两边.这时等式的左边为对应外线数目等于求导阶数的"费曼图".这些图分两类,第一类是对与求导阶数相同的$$W$$因子反复求导得到的,这样的费曼图是"连接"的,因为只含有一个唯一的一个阶数正确的$$W$$因子.而另一类是涉及对指数上不同的$$W$$因子项的求导,在最后取$$k=0$$后没有消失的项,这样的费曼图是"不连接"的,因为含有多个$$W$$因子的乘积,这些$$W$$因子的阶数的和必然等于求导阶数.而等式右边是对应的关于坐标的关联函数,和左边对比起来看,它包含连接和不连接的费曼图的贡献之和.所以,如果我们要单独写出每个$$W$$因子的坐标关联函数的形式,我们就需要人为的去除所有不连接的费曼图的贡献,而这正是(2.9)的结果.其中第一项,单外线的情况,因为这时不存在"不连接"的费曼图的情况,所以结果是"平庸"的.而第二项,就存在具体把"不连接"费曼图的贡献扣除的操作.

最后在(2.3)下面文中指出这里的分布$$\rho$$是归一的,所以(2.8)中$$W$$展开的第一项其实是0,

Eq.(2.12-13) 虽然没有明确写出来,这里的记号约定是$$a$$指求和的亚变元,而$$x,y$$指具体分量,不按爱因斯坦规则求和.

文中指出$$W$$虽然对应连接图,但是作为张量是可约张量.一个把张量进行约化的处理方法就是用置换群和杨图的数学手段,但是这里是二阶最简单的情况所以不需要用这种系统性的工具.任何两阶张量,我们都可以写成完全反对称张量,迹,无迹的完全对称张量的线型组合,但(2.9)按定义是对称的,所以可以分解为(2.11),其中第二项就是无迹的.

这样,因为张量的独立的基的数目是2,所以只要写出两个张量就够了,于是,(2.12-13)选了迹,xx分量对应的无迹张量这两个作为独立的选择.

Eq.(2.16-2.21) 首先利用对称性可以推知 $$W_{2n}^{c,s}$$ 仅仅含 $$(ik)$$ 偶数次幂,而 $$W_{2n+1}^{c,s}$$ 仅仅含 $$(ik)$$ 奇数次幂.这是因为函数在变换 $$k\rightarrow -k, \phi\rightarrow\phi+\pi$$ 下不变,其中三角函数因子在此变换下产生(或者不产生)一个负号,故而决定了多项式部分必须为奇函数(或者偶函数).严格的,这可以用奇函数(或者偶函数)n阶导数的性质,以及函数在相应的点的泰勒展开来证明. 其次,文中所谓平移和转动不变的说法是错误的.但是我们有三个只有参数可以选择.我们可以选择坐标原点为质心,从而 $$==0$$ ,再相对质心进行转动,使得 $$=0 $$.容易后面将涉及证明,这三项正对应了 $$W_{1,1}^{c,s},W_{2,2}^{s} $$. 最后,所有展开系数满足 $$W_{n,m}^{c,s}=0 (m<n)$$ .这似乎并不能直接从对称性得到,但是按附录中的贝塞尔函数展开表达式,以及平面波按柱面波(贝塞尔函数)展开表达式的具体形式,可以直接得到上述结论.

Eq.(2.15)余弦函数中漏了一个$$n$$

Eq.(2.34-35)导数可以换成相应的坐标分量,而另一方面$$ \cos 3\phi $$可以写成 $$\sin\phi, \cos\phi $$从而也写成坐标分量,容易证明两者相等.

Eq.(A.3-4)这是平面波按柱面波(贝塞尔函数)展开表达式,可以在wiki中找到.在量子力学的分波法或者数理方法中,一般有一个类似但是不同的展开公式,平面波按球面波(球贝塞尔函数)展开表达式.这里余弦函数漏了一个$$n$$.将此代入傅立叶变换直接可得到(A.4)

Eq.(A.8-24) 证明中涉及$$\Gamma$$函数的性质,


 * $$\begin{align}

&\Gamma(n)=(n-1)! (n\in N) \\ &J_n(kr)=(\frac{1}{2}kr)^n\left[ \frac{1}{n!}+\frac{\frac{1}{4}(ikr)^2}{(n+1)!}+\frac{(\frac{1}{4}(ikr)^2)^2}{2(n+2)!}+\frac{(\frac{1}{4}(ikr)^2)^3}{3(n+3)!}+\cdots \right] \end{align}$$

以及指数部分的展开导致的对数函数的展开


 * $$\begin{align}

\ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}\cdots \end{align}$$

另外注意到例如


 * $$\begin{align}

&=\int d\vec x\rho(\vec x)r^2\cos (2\phi) =\int rdrd\phi\rho(\vec x)r^2\cos (2\phi) =\int rdrd\phi 2\rho_2^c(r)r^2\cos^2 (2\phi) =2\pi \int \rho_2^c(r)r^3 dr \\ &=\int d\vec x\rho(\vec x)r^3\sin (\phi) =\int rdrd\phi\rho(\vec x)r^3\sin (\phi) =\int rdrd\phi 2\rho_1^s(r)r^3\sin^2 (\phi) =2\pi \int \rho_1^s(r)r^4 dr \\ &=\int d\vec x\rho(\vec x)r^4 =\int rdrd\phi\rho(\vec x)r^4 =\int rdrd\phi \rho_0(r)r^4 =2\pi \int \rho_0(r)r^5 dr \end{align}$$

这样由于对数函数展开导致的交叉项具有 $$^2$$ 或者 $$$$ 的形式,而且其贡献总是满足


 * $$\begin{align}

&(ik)^m\cos(n\phi) \\ &(ik)^m\sin(n\phi) (m\ge n) \end{align}$$ 的形式,故而只会对更高阶项作贡献,而不会对低阶项做贡献.而由贝塞尔函数展开的高阶项的贡献满足


 * $$\begin{align}

&(ik)^m\cos(n\phi) \\ &(ik)^m\sin(n\phi) (m\ge n,\ m=n+2l,\ l\in N) \end{align}$$

最后注意到除了(A.4)和(A.6),(2.22)中含有一个因子 $$1/m!$$ ,故对 $$\rho(\vec k)$$ 用 $$\rho_n^{c,s}(k)$$ 展开取对数然后关于动量的 $$m$$ 阶展开系数还需要乘以 $$m!$$ .其次定义(A.2)和(A.5)中的因子$$2$$会影响交叉项的因子. 按此,可以证明展开系数例如(A.8) (A.10) (A.19),并且逐项验证了(A.9)的三项.

Eq.(A.25) 利用关系


 * $$\begin{align}

&\vec \nabla \cdot \hat n =\frac{\partial}{\partial l_n} \\ &\vec \nabla \cdot \hat e_x =\frac{\partial}{\partial x} \\ &i\vec k \rightarrow \vec \nabla \end{align}$$

即得


 * $$\begin{align}

i |\vec k| \cos \phi_k = ik_x = i \vec k \cdot \hat e_x \end{align}$$

arXiv:1011.3750 The effect of triangular flow on di-hadron azimuthal correlations in relativistic heavy-ion collisions
采用AMPT模型讨论v_3,考虑边缘碰撞.

arXiv:1011.5249 Jets Mach cone hot spots ridges harmonic flow dihadron and gamma-hadron correlation in high energy heavy-ion collisions
采用AMPT模型讨论$$v_3$$,采用ZYAM,考虑中心碰撞.

arXiv:1011.6361 Directed flow at midrapidity in heavy-ion collsions
Eq.(4) 其中第一项可参见Derivation Notes on Flow Decompositions of Particle Correlations 第二项如果接受Eq.(3)成立为前提,则非常直接,因为 $$\vec{p_t^{(t)}} \cdot \vec{p_t^{(a)}} ={p_t^{(t)}} {p_t^{(a)}} \cos\Delta\phi $$,单粒子分布中仅仅常数项会对积分做贡献.

Eq.(9) 由于对所有的平均都加入此权重因子.故Eq.(5)也需要考虑此权重因子.从而,如果我们对trigger粒子动量求平均,而权重仅仅涉及trigger粒子动量的观测范围,则Eq.(5)的第二项就会消失.

arXiv:1101.1926 Analyzing the power spectrum of the little bang
对谱函数进行傅立叶展开,考虑其转换效率.

arXiv.1102.1403 The rise and fall of the ridge in heavy ion collisions
考虑傅立叶展开,假设转换效率,得到关于两粒子关联强度对碰撞偏心度的依赖关系.

arXiv:1107.5485 Understanding anisotropy generated by ﬂuctuations in heavy-ion collisions
Eq.(6) 如果视


 * $$\begin{align}

K\equiv k_x+ik_y=ke^{i\phi} \end{align}$$ 则容易理解对(3)式按 $$K$$ 展开的形式


 * $$\begin{align}

&K\bar K^2=k^3 e^{-i\phi} \\ &\bar K^2=k^2 e^{-2i\phi} \\ &\bar K^3=k^3 e^{-3i\phi} \\ &K\bar K=k^2 \end{align}$$