Lecture Notes of Group Theory in Physics by Wu-Ki Tung

Lecture Notes of Group Theory in Physics by Wu-Ki Tung

本文档除了包括推导, 疑惑 外,做 读书重点 的记录

Ch.2 Basic Group Theory
P.20 Example 1

这里置换群的类的讨论,关于类由各种不同轮换的数目完全决定,可以参考下面例子2中的空间旋转群的类完全由选择角度决定的结论来理解.

P.22 Theorem 2.4

为什么商群必须通过不变子群$$H$$来定义.这里不给出具体推导,但是给出思路.因为讨论陪集的时候,必须要求陪集的乘法规则有唯一性,即两个陪集的乘积是唯一决定的另一个陪集,由于陪集的代表元素不是唯一的,可以证明只有对不变子群,才能无歧义的定义上述商群元素的乘法.

Ch.3 Group Representations
P.35 Theorem 3.2 Proof

书上的证明的说明很简短,不容易懂.注意到$$\langle e^j(g)|e_i(g)\rangle=\langle U(g)e^j|U(g)e_i\rangle=0$$其中$$e_i(g) \in V_1$$且构成这个子空间的完备正交基.

P.42 (3.5-5)

这里的$$g$$相当于问题中矢量的分量指标.

Ch.4 General Properties of Irreducible Vectors and Operators
P.57 (4.2-4)

在(4.2-4)两边乘以$$D$$矩阵并对群元求和,左边得到投影算子的定义,右边利用$$D$$矩阵的正交关系得到投影算子.

P.59 (4.2-9)

在下面的讨论中,似乎有公式的打印错误,具体参见练习4.1的相关讨论.

P.60 (4.3-2)

(4.3-2)相当于(3.8-7),说明基按照两个表示的直积变换.(4.3-3)相当于(3.8-6)说明可以用KG系数把基重新组合为不可约表示的直和.

最后利用定理4.1,基的内积涉及相应不可约表示所有基矢量的和,所以与任何具体的基的序号无关.后者就是所谓的约化矩阵元.

P.61 multipole transition operator

由量子场论或者半经典理论,这个相互作用算符显然包含光子的湮灭(和产生,对应自发辐射)算符,后者对应的角动量为$$s=1$$.

Ch.5 Representations of the Symmetric Group
P.65 Theorem 5.1

首先说明命名,对称群实际上更好的翻译是置换群,本书中使用了对称群的称呼,在本笔记中可以互相替换的使用对称群或者置换群.

I影操作,实际上由于$$qs=s$$,我们看到该左理想(空间)为一维的.

P.66 Theorem 5.2

除了Theorem 3.7还需要参考P.20的Example 1.

P.68 (iv)

注意到这里提及(证明见Theorem 5.3-4)每个杨图的对称子(symmetrizer)是原初幂等(primitive idempotent)对应一个群代数的不可约表示.同时杨图的数目等于类的数目等于不可约表示的数目.故而我们穷尽了所有群的不可约表示.

P.68 (v)

对应的左理想子空间不同但是不可约表示等价(又见Theorem 5.5).这是因为群代数的空间包括2个(等价的)2维不可约表示,参见(5.3-1)和附录III.

P.69 (5.3-1)

几点说明.第一,实现群代数的空间就是实现标准表示(regular representation)的空间.第二,交换(主动转动)一个$$S_n$$的群元(操作)$$r$$的办法,就是$$r'=p r p^{-1}$$,其中$$p$$是相应坐标系的(被动)转动.证明方法是，对任何基矢量$$b$$,我们有$$rb'=p^{-1}r'b$$,其中$$b'=p^{-1}b$$是转动后的坐标系中的响应基矢量.因为$$b$$是表示空间中的任何基矢量,所以我们有$$rp^{-1}=p^{-1}r'$$,或者$$r'=prp^{-1}$$.这可以用于联系在书中$$e_2$$和$$e_2^{(2,3)}$$.

P.70 Theorem 5.5

注意到首先由前面的证明,$$e_{\lambda}^p=pe_{\lambda}p^{-1}$$是一个不可约投影算符,这是因为$$e_{\lambda}^p e_{\lambda}^p =\eta e_{\lambda}^p$$和$$e_{\lambda}^p r e_{\lambda}^p = \zeta e_{\lambda}^p$$.本书这里是证明由投影算符$$p e_{\lambda} p^{-1}$$得到的表示与由利用$$e_{\lambda}$$得到的表示等价.而这个这个证明的最后一步利用了$$e_{\lambda}$$是不可约投影算符的结论. 其实不难发现$$p e_{\lambda}$$其实也是一个不可约投影算符,这是因为$$p e_{\lambda} p e_{\lambda} =\eta ' p e_{\lambda}$$和$$pe_{\lambda} r p e_{\lambda} = \zeta ' p e_{\lambda}$$.同样可以证明,这个表示和由$$e_{\lambda}$$得到的表示等价.

P.70 Theorem 5.7 5.8

定理5.7是关于置换群的所有不等价不可约表示的结论.而定理5.8是关于置换群的正则表示的直和分解,其中一个给定的不可约表示可以出现多次.

P.71 (5.5-11)

容易证明(5.5-10)与(5.5-11)是等价的.把一个置换操作$$p$$作用在$$n$$个$$m$$维矢量的空间中的一个矢量$$|x>$$上,一方面,我们可以把结果写为(5.5-7),这意味着把结果用原来的基矢量展开,而新的系数由(5.5-8)决定.另一方面我们可以考虑把这个操作作用在沿着基方向的单位矢量上的结果,这必然应该可以由(5.5-7)的约定导出.这是因为$$|x>$$总是可以写成(5.5-4)的形式,把其中的系数看作不会受到操作$$p$$影响的常数.如果把两种写法联立等同,即得(5.5-11).

从物理上看,这相当于我们可以把置换看作是作用在基矢上的变换操作,或者是对张量分量的轮换.

P.72 Lemma 5.1

在讨论引理之前,书中给出了这些引理定理的使用策略在量子力学中对应例子.在给出具体的数学讨论之前给出策略概述和实例分析,是本书最大亮点.书中给出的例子是哈密顿量和轨道角动量.而轨道角动量可以用于帮助得到哈密顿的本征态.在量子力学中讨论的能量本征态其实一个特殊情况,这对应相对哈密顿量的不变子空间是一维的情况(注意到,哈密顿量只是一个算符,所以严格的讲是讨论一个由某些对称操作构成的算符群,哈密顿量是其中的一个群元),一维表示显然是不可约的.能量简并(很多时候)对应相应的一维表示按简并数目在态空间重复出现.本书中讨论的是更为一般的情况(Theorem 5.12),不可约表示不是一维的并重复出现(简并).这时与第一个算符群(上述例子中的哈密顿量)的重复出现的不可约表示中的固定序号的基构成与前者对易的第二个算符群(上述例子中的角动量)的不可约表示.轨道角动量"打开"能量简并就是这个定理的特例.

注意到下面的讨论虽然是关于置换群和一般线性群的表示的理论,实际上很多结论可以推广到一般的情况.

P.77 Theorem 5.12

首先证明$$g$$作用后的基在所有等价(但可以是不同)的置换群不可约表示之间展开,矩阵元其实为直积.

然后证明对指标$$a,b$$必须为对角矩阵.(5.5-19)利用舒尔引理,其中$$\alpha,\beta$$视为矩阵的参数.

P.77 Theorem 5.13

这个定理是基于尽管定理5.12证明了不同等价不可约表示的固定基构成一般线性群的表示,但是一般情况下,这个表示是可约的.

证明不可约的过程包括,考虑张量空间的$$\lambda$$类子空间$$T'_{\lambda}$$上的任意操作构成的群$$A$$,在此子空间上,$$A$$自然比一般线性群在张量空间上的群要一般.注意到一般线性群是$$m$$维矢量空间上最一般的线性群,但是在$$n$$个$$m$$维矢量构成的张量空间它总可以写成直积形式,所以显然不是最一般的群.因为是同一个$$\lambda$$类,所以有(5.5-20).这是因为$$e_{\lambda}$$和$$e_{\lambda}^p$$产生的表示是等价的.

接着书中指出,可以证明,其实$$A$$总是可以写为一般线性群的表示$$D(g)$$线性组合的形式(这很可能是因为任何混合张量都可以写成对应矢量的直积构成的基的线性组合形式,参见(13.2-2)附近的讨论).这样$$D(g)$$必然是不可约的.因为反之如果$$D(g)$$可约,则它的一个不可约子空间不可能可以写成(比它更大,且无共用元素的)可约表示的线性组合的形式.

Ch.6 One Dimensional Continuous Groups
P.84 (6.2-4)

(6.2-4)可以看成是(6.2-3)的积分形式.因为任何算符总是和自己对易,所以在积分过程中没有任何歧义.

P.87 (6.4-3)

这里群元$$R$$固定,考虑在很等于$$E$$附近的参数变化$$d\zeta_E$$(按群的乘法规则)对应的在$$R$$附近的参数的变化$$d\zeta_R$$.

Ch.7 Rotations in 3-dimensional Space -- The Group SO(3)
P.96 Fig.7.1-2

虽然没有以定理的形式给出,这里有两个非常重要的概念.第一是紧致,等同于封闭和有界(在实数的例子中等同于实数的闭区间和有界区间);第二是联通.图Fig.7.1说明SO(3)群的参数区间对应半径为$$\pi$$的球体,但其表面对应点对应同样的群元.图Fig.7.2说明其参数空间为双连通的.那么是否可以把参数空间取为半径为$$2\pi$$的半球呢?这样的话并没有简化球面上的群元重复的问题,实际上不难看到只是使得球面上的群元重复的形式更为复杂,显然具体的定义涉及拓扑中的严格定义.

P.97 (7.1-9)

这里一个理解方法是结合主动(矢量旋转)和被动(基的旋转)的观点,(这两个概念的区别在本书中没有被特别强调,作者默认两者的等价性是显然的).如果通过某主动旋转来联系两个矢量,$$x\rightarrow x'$$.如果另一个观察者在不同的坐标系中(比如某人旋转脑袋,数学上等价于通过$$R$$来旋转坐标轴)看这两个矢量的联系,那么显然内在物理(几何)是完全不变的.只是对不同的观察者,这两个矢量的分量和旋转轴的方向都会不同,但同时旋转的角度是固定的.

具体的,考虑两个以$${\hat n}$$为轴相差一个$$-\psi$$角度(主动)旋转的矢量.这两个不同的矢量由一个以$${\hat n}$$为轴的坐标系的(被动)旋转相联系,即$$x'=R_{\hat n}(\psi)x$$.现在在等式两边做坐标轴(被动)旋转$$R$$,把$${\hat n}$$轴转动到$${\hat n'}$$,即$${\hat n'}=R{\hat n}$$.对上述等式两边作用$$R$$即得$$Rx'=R R_{\hat n}(\psi)R^{-1}Rx$$.如果我们定义$$R_{\hat n'}(\psi)\equiv R R(\psi)_{\hat n}R^{-1}$$,那么旋转$$R_{\hat n'}(\psi)$$就是把$$Rx$$以$${\hat n'}$$为轴转动$$-\psi$$角度得到$$Rx'$$的转动矩阵.

参考Goldstein经典力学的相应讨论.

P.98 (7.1-12)

这里按照书中上面给出的带入顺序即得.如果直接同时带入,注意到对同轴旋转有$$R_3^{-1}(\alpha)R_3(\gamma)R_3(\alpha)=R_3(\gamma)$$也得到同样结果.

P.100 (7.2-5)

按书中对于转置的定义,那么这个式子 应该 为$$RJ_kR^{-1}={R_k}^lJ_l$$,下面其他式子会需要做相应改动,但是$$n^k$$右边改变指标位置不会受到影响.

由(7.2-7)可以得到(7.2-5),主要等式右边要把$${R_i}^s$$理解为系数,所以其指标都被保留下来.

P.101 (7.2-10)

这里的推导表明上和$$J$$的具体形式(7.2-3)有关,但是其实,因为(7.2-3)中的$$J$$是转动群自然表示得到的生成元,他们的对易关系就是转动群生成元的最一般的对易关系.另外一个略有不同的推导比如参见Sakurai的Morden Quantum Mechanics书中(3.1.19)的推导过程.

P.103 (7.3-2)

这里又是另一个很有名的物理中的实例.注意到这里在讨论一个群的表示,我们通过讨论生成元(李代数)的表示来得到群的表示,而生成元的表示由其一个互相对易的子集的表示得到,其中包括喀什米尔算符.

P.108 (7.4-4)

原则上这个式子可以用升降算符的关系来直接验证,但是似乎完全不显然.这里似乎没有捷径,必须用到$$d^j(\beta)$$的具体形式.比如Sakurai的(3.8.33)式或者马中琪的群论的(4.76)或者本书的(8.1-25),其中的求和只有一项,并注意到分母中的阶乘给出$$\delta_{mm'}$$矩阵为反对角的限制.值得注意矩阵必然不是对角的,即便把转轴转到$$z$$,对$$z$$轴的旋转矩阵对角但是不正比与单位阵,同时这个表示在$$j=1$$与自然表示等价(后者对$$y$$的90旋转是对角的)但是并不等于自然表示.

我们强调,这个结果在本书后面章节被反复应用.

P.108 (7.4-6)

这里的第二个关系,可以由(7.4-4)得到,只需考虑转动$$-\beta$$角度后在转动$$\pi$$角度即得.

P.109 (7.4-7)

这里的三个式子可以视为特殊函数的定义.它们建立了群不可约表示矩阵元和特殊函数的关系.

P.110 (7.5-5)

注意到不论在坐标空间的波函数还是动量本征态,起到桥梁作用的关键的角色是态$$|z>$$.一方面,按(7.5-6)它是$$|z>\equiv |r,0,0>=|r,l,m>$$本征态,另一方面按(7.5-5)它与$$|r,\theta,\phi>$$相联系.

P.112 (7.5-14)

这里就是按特殊函数的定义及其群元表示矩阵的定义即得.注意到其中最后一个因子退化为平庸的常数.

P.120 (7.7-8)

这里克莱因高登系数的定义方式与其他书不同.注意到在括号内的是两个角动量,在括号外小写的对应这两个角动量第三分量,而大写的对应耦合后的总角动量及其第三分量.

Ch.8 The Group SU(2) and More About SO(3)
P.129 (8.1-21)

这里其实采用了与Ch.5.5不同的记号约定,但是使用了其结果.考虑$${V_2}^n$$矢量空间中对应$$S_n$$的全对称张量的不可约表示,对应$$S_n$$的全对称张量的表示空间是1维的,但是矢量空间$${V_2}^n$$包括$$(n+1)$$个这样的子空间的之和.对于SU(2)群,这些子空间的基正好构成它的$$j=n/2$$维度为$$2j+1=n+1$$的表示.

在此特例,可以简单的把$${V_2}^n$$中的直乘后完全对称化的基直接写为代数乘积的形式.

P.130 (8.2-4)

这里把三个独立的参数空间看过四个独立的参数的空间加上一个限制条件.四个参数的变换是线性的(对于一个固定群元的乘法),而且是正交的从而其雅可比为1.最后考虑限制条件,把$$\delta$$的积分积掉得到(8.2-5).

P.131 (8.2-7)

书中提及的乘以一个因子不明其意,但是直接按(8.2-4)相同的方式乘以$$\delta$$函数,注意到$$\delta(1-\sum_i r_i^2)=\delta(1-r^2)$$即得.等式的第二步就是直接积分.

P.131 Theorem 8.2

证明涉及两部分.第一是固定参数选择下不同群元对应的度量密度$$\rho$$的比较(证明的第二部分),对应$$d\tau_A=d\tau_{BA}$$.第二是对不同参数,定理给出的度量密度是等价的(证明的第一部分),对应(8.2-3).

证明的第一步是在两边乘以转换矩阵并对指标求和,所以等式成立.等式的左边显然等于在新坐标下的形式,从而等式右边就是相应的(在新坐标上的)在生成元上的展开系数,这些系数被用于定义参数空间的度量密度$$\rho$$.

P.134 Theorem 8.4

这个定理与第三章的完备性的定理完全类似.但是从其应用来看,并不直观.因为最常用的应用,球谐函数展开,只有在两个(而非三个)指标上展开,对比(8.3-12)与(8.4-9).

P.136 (8.4-7)

这里的动量算符和角动量算符的对易关系来自(7.6-13).换言之,不需要量子力学中的具体形式,只需要知道动量算符是矢量算符即可.

(8.4-7)从群论角度自然的给出了为什么定义螺旋性的(运动学)理由.

P.138 (8.4-13)

首先,书中强调,含有内秉自由度(自旋)的粒子的平面波用球面波展开式不是平庸的.当不含自旋时,展开式是(7.5-10).

书中指出,虽然数学上是等价的.但是(8.4-13)与(8.4-9)的物理来源是不同的.(8.4-13)来自角动量的叠加,这里波函数是空间部分和自旋部分的直积.而(8.4-9)来自张量(SO(3)的不可约表示的基)波函数(是坐标的函数)在转动算符作用下的变换.注意到后者自然的导出了螺旋性的物理概念.前者涉及一个不可观测的空间角动量指标$$l$$.

书中提到,两者的等价性来自$$l$$和$$\lambda$$可以取的(量子态)数目是一样的,(虽然取值是不同的).我们 证明如下 .对$$l$$,因为两个角动量$$J$$和$$s$$耦合得到,它的状态数当$$J\ge s$$时是$$2s+1$$个,当$$J < s$$时是$$2J+1$$个.另一方面,按(8.4-10)虽然$$\lambda$$最多可以取$$2J+1$$个不同状态,但是按书中讨论$$\lambda$$对应角动量沿着动量方向分量本征态(这时即为自旋分量),这时可取$$2s+1$$状态;所以真正可取的状态数是$$\min(2J+1,2s+1)$$,与前者一致.

引入螺旋性除了其自然的物理意义外,还带来数学上的简化,书中在下面的段落给出(带自旋的)两粒子散射问题的螺旋性处理方法.传统的处理方法是利用9j符号,其工作量要大得多.

Ch.9 Euclidean Groups in Two and Three-Dimensional Space
P.152 (9.1-1)

欧几里德群没有涉及时间,因为对欧几里德变换$$t'=t$$.

P.156 Theorem 9.3

在这个定理的最后,需要证明$$TR(\theta_1)$$与$$TR(\theta_1)$$是两个不同的伴集.这只需要证明,对于任意$$T_1,T_2 \in T$$,$$T_1R(\theta_1)\ne T_2R(\theta_1)$$.后者等于说$$T_1R(\theta_1-\theta_2)\notin T$$,而这是显然的.

P.157 (9.2-6)

以E2群的例子为框架,我们逐项对李代数方法和诱导方法得到表示做一些 讨论 .我们首先指出,因为缺乏对李群和李代数的系统讨论,所以本书中对不可约表示的讨论主要是"构造"性的,即定义表示的基并决定所有群元对基的变换关系,从而把表示构造出来.但是我们很多时候不具体的讨论为什么得到的表示穷尽的全部可能,以及为什么表示是不可约的.

李代数方法的核心是,找到所有克什米尔算符和最大的相互对易生成元集合,用它们的共同本征态来定义群表示的基.

为什么考虑喀什米尔算符?按舒尔引理,对任何不可约表示,克什米尔算符对应的表示矩阵肯定正比于单位阵,故不同的不可约表示空间(及其基)可以用克什米尔算符的本征值来标记表示.虽然相同的喀什米尔算符本征值可能对应不同的不可约表示,但是不同的本征值肯定对应不等价的不可约表示.

为什么除了克什米尔算符还还需要完备的对易的生成元呢?对于李代数方法,如果某生成元与不变子群的生成元不对易,那么无法定义共同本征态,实际上,这时必然有类似(9.2-3)的对易关系,这时不引入这个生成元,而是利用对易关系来决定这个生成元对诱导表示的基变化关系;反过来,如果某生成元与不变子群的生成元对易而没有被引入,那么显然,相应(9.2-3)关系式的右边等于零,我们这时仅仅知道基同时也是该生成元的本征态,这样导致现有的基存在简并,为了打开这个简并,我们必须把该生成元引入到"完备对应生成元集合"中,并且用该生成元对基的本征值来标记基.按照温伯格的思路,可以给出下面的分析.考虑在现有的克什米尔算符和互相对易的生成元的集合的基础上,存在(或者在物理上新发现了)另一生成元,它和所有现有集合中的生成元都对易.我们不妨考虑表示的基存在另外一个额外的标记,按对易关系,容易知道把这个新的生成元所用在基上得到的是基的求和,该求和必须保留原先所有基的标志不变而只是对这个额外标记进行.换言之,我们把新生成元作用在基上得到的是这个新生成元的表示,这个表示原则上是可约的,可按这个生成元的不可约表示来约化.所以,我们自然的可以把这个生成元的不可约表示来直接注册这个额外的标记.从这个角度,可以清楚的看到为什么在引入额外标记前定义的表示,(即便是不可约的,但是)为"简并"的.

对于诱导表示方法,问题的核心是找到不变阿贝尔之群来构造诱导表示的基,同时考虑小群的问题来打开基的可能的简并. 在小群诱导表示方法中,用于构造诱导表示的子群就是T2.在诱导表示的一般定义中(比如参见马中琪群论),我们不需要用不变子群来作为诱导表示的基础,但是对于一般的子群,按定义诱导表示的基的空间比子群表示的基的空间要大(因子群的群元数目倍);一般定义也不需要是阿贝尔群,但是这样就无法引入"标准矢量"的概念.我们具体的给出下面的讨论.

为什么要考虑阿贝尔子群呢,这是因为其不可约表示都是一维的,这样表示的基就是群元或者生成元的本征态,从而可以用本征态来标记表示的基,书中把其中的一个选取为所谓的"标准矢量".由于是本征态,把阿贝尔不变子群的生成元作用在标准矢量上不会得到新的基,即(9.3-4);表示的基仅仅通过把因子群的生成元作用在标准矢量上得到,此即(9.3-5).对E2的例子我们知道SO(2)和T2都是阿贝尔子群,但只有T2是不变子群.

为什么要考虑不变子群呢,这是因为我们还需要考虑因子群(不变子群的伴集构成的群,记为群除以不变子群,这里是SO(2))作用在基上的变换形式;对于不变子群,我们得到其生成元满足类似(9.2-3)的关系,这里不变子群体现在等式的右边是不变子群生成元的线性组合;这个表达式决定了因子群的生成元作用在不变子群的基(特别是,标准矢量)上的关系(9.3-2),通过这个关系可以把群的矩阵表示完全确定下来;而实际上,由于是不变子群的缘故,把任何生成元作用在标准矢量上只会得到不变子群的表示的基,同时就是子群的诱导表示的基.从这个意义上,表示的基完全是由小群的生成元及其不可约表示,从而是由小群的不可约表示决定,故而这个诱导表示是由小群的不可约表示诱导得到,称为小群诱导表示.

P.159 Fig.9.1

因为差一定,和只能以2为间隔的跳跃.在$$k,l$$全平面求和中,只有在一跟与$$k=l$$平行的射线上(直线在第一象限内的部分)的点贡献不为零.

P.161 (9.3-2)

注意到这里的一个要点是即便$$R$$不能直接作用在$$|p_0\rangle$$,(9.3-2)的推导也同样成立.我们也可以从形式上把$$R|p_0\rangle$$看作诱导表示的基,这样(9.3-2)是说这个基的形式上的定义,而(9.3-4)和(9.3-5)是诱导表示的定义.在这里讨论的具体问题中,$$R|p_0\rangle$$不是形式上的,而是得到子群的基的线性组合,即(9.3-2),这个结果的根源是因为子群是不变子群.

P.168 Definition 9.2

我们以E3群的例子为框架,同样仅仅给出一些 构造性的讨论.

李代数方法,对E3,考虑所有克什米尔算符,然后在此基础上加入群的所有对易生成元的最大集,所以基的标识为$$p^2$$和$$\lambda p$$来自克什米尔算符$$j,m$$来自其余对易生成元(的一种选择);一共4个标识;在这4个标识中$$p,\lambda$$用来标记不可约表示,$$j,m$$用来标记给定的不可约表示的基.

诱导表示方法是用最大非平庸的阿贝尔不变子群T3的基来构造诱导表示,和E2的例子有相似之处,可以"标准化"为从某个选定的阿贝尔不变子群的不可约表示的基,所谓的"标准矢量",出发来得到表示的所有基从而构造出相应的表示.诱导表示的构造核心是得到因子群(不变子群的伴集构成的群,记为群除以不变子群,这里是SO(3))的所有生成元作用在标准矢量上得到不变子群其他基的线组合的具体关系式.然而,问题的复杂性来源于因子群中可能存在一些元素对标准矢量的作用相当于恒等变换(这些变换构成的群称为小群,小群引入的必要性是存在生成元和某些特定的,而非全部,和标准矢量相关的阿贝尔不变子群的生成元对易).所以我们需要按小群的不可约表示在基中引入一个新的标识,最终的标准矢量是不变子群的生成元和小群的生成元的共同本征态,数学上由(9.7-6)和(9.7-7)定义,通过把因子群的生成元作用在标准矢量上可以得到诱导表示的所有的基.所以最终基的表示为$$p_{0z}$$来自标准矢量,$$\lambda$$来自小群SO(2)的不可约表示,$$\hat{p}=(\theta, \phi)$$来自因子群的其余生成元;同样一共是4个标识;如果不引入小群诱导的概念,那么只有两个标识,表示是"简并"的.

下面我们对小群的引入再做一些讨论.从群表示的角度,问题的出发点是因子群SO(3)存在一个子群,沿着标准矢量方向的SO(2)小群,从直观上,它作用在标准矢量上不产生任何(实际上,是对P的本征值的)变化,数学上这是因为由(9.6-5)$$J_3$$和$$P_3$$是对易的.实际上,这个情况非常类似于前面李群方法中在除了克什米尔算符以外必须尽量多的引入其他对易的算符来标识表示的基,换言之,相应的标准矢量的诱导表示不能完全的反映一部分群元或者群结构的信息.所以,我们在标准矢量中引入一个新的决定于小群的不可约表示的标识,定义包含这一额外标识的标准矢量在小群群元的作用下不再是不变而是按(9.7-6)变换.如果不这样做对应的表示仍然可能是不可约的,然而是"简并"的不可约表示.从物理上的讨论出发,按温伯格的讨论思路,可以容易的证明如果标准矢量还含有其他额外标识,那么在小群元素的作用下必然构成这个小群的某(一般是非平庸的)表示,故我们可以自然的对这个表示进行约化.所以,这个额外标志最自然的取法是用小群不可约表示及其对应的基的标识.显然,温伯格和本书采用不同的论述思路.本书通过讨论后以定义标准矢量必须是小群生成元的本征态为出发点,而温伯格只是假定存在额外的标志,进而自然的证明这个标识必然与小群的不可约表示有联系.

Ch.10 The Lorentz and Poincaré Groups and Space-Time Symmetries
P.175 (10.1-5)

这里的第二式并不是很显然的.但是其物理意义是明显的,如果协变矢量的洛仑兹变换由某$$\Lambda$$(的上指标求和)来变换,那么(10.1-5)显然正确.

实际上,这个$$\Lambda$$正是相应逆变矢量的洛仑兹变换的逆阵.由于洛仑兹矩阵的逆阵也是洛仑兹矩阵,问题得证.


 * $$x'_\nu = x_\mu{{\left(\Lambda^{-1}\right)}^\mu}_\nu $$

上述变换关系的证明可以直接由协变和逆变矢量的内积不变直接得到;或者利用协变矢量和度规的定义来直接证明.对于后者,因为逆变矢量在洛仑兹变化下的变换方式已知,故问题化简为一个纯数学问题.证明过程其实要用到(10.1-5a),后者可以直接由(10.1-5)的第一式得到.具体的,我们有


 * $$x_\mu \rightarrow x'_\mu = g_{\mu\alpha} {\Lambda^\alpha}_\nu x^\nu = x_\beta g_{\mu\alpha} {\Lambda^\alpha}_\nu g^{\beta\nu} = x_\beta{{\left(\Lambda^{-1}\right)}^\beta}_\mu$$

P.179 洛仑兹矢量参数化

这里下面的$$A$$分量的表达式 似乎打错 ,比如$$A^3=sinh\zeta cos\beta$$.

P.183 (10.2-6)

在公式下面可能有 打错 ,似乎应该为反对称的具体表达$$\omega^{\mu\nu}=-\omega^{\nu\mu}$$.

在这里,首先本书在上面部分论证了为什么一共有六个参数,其中三个对应空间转动三个对应洛仑兹冲刺.特别是按(10.2-11)的推导,就是将(10.1-9)在参数为零附近对参数求偏导得到,实实在在的看到这里的六个$$\omega^{\mu\nu}$$的确是参数.但是似乎不是很明确为什么这六个参数硬要使用两个指标的反对称参数来标注呢.在本书中,这是作为定义引入的.而且实际上,参考温伯格一书,这6个参数实际上对应洛仑兹变换矩阵偏离单位矩阵的部分的矩阵元,按洛仑兹矩阵的性质,这部分偏离自然的包含12个非零项且是反对称的.参数的反对称,自然的决定了生成元也是反对称的,因为生成元的对称部分没有任何实际作用.

P.184 (10.2-12)

这个结果应该可以利用(10.2-24)与(10.2-23b),采用类似由(7.2-5)证明(7.2-8)的方法证明.

因为(7.2-8)的关键步骤(7.2-5)及其生成元的形式(7.2-10)其实相当于说转动的生成元$$J$$是一个矢量.按(10.2-23b)我们发现洛仑兹冲击生成元$$K$$其实也是矢量,它在纯空间转动下满足与角动量完全相同的对易关系.物理上,这对应狭义相对论中的著名结论(参见比如蔡圣善电动力学),即对任意方向的洛仑兹冲击等同于用在$$z$$方向的冲击加上两个空间转动构成.利用这点,我们可以完全重复(7.2-8)的推导过程,得知$$\xi^m K_m$$是沿着$$\xi^m$$方向做模为$$|\xi^m|$$的洛仑兹冲击,这个解释完全类似(7.2-8)是沿着空间$$\hat{n}$$方向的转动操作的物理解释.

在一般的情况下,参照下面关于(10.2-22c)和(10.2-22d)的讨论,洛仑兹冲击在同方向的空间平移下会受影响.所以(10.2-12)的物理意义仅仅限于对空间转动.

P.184 (10.2-13)

书中没有明确给出这个表达式是如何推导的,这里 理解 如下.在温伯格的(2.4.26-27),类似的关系的推导依赖于生成元的对易性.我们知道任何操作都跟自己对易.所以我们总是可以把(10.2-13)看作无限多次无限小的,生成元$$\frac{1}{2}\omega^{\mu\nu}J_{\mu\nu}$$连续作用后得到的有限的操作算符.另外由于李代数的封闭性(10.2-16 -18),任何有限大小的洛伦兹变换,按(10.1-15)可以写成三个因子的乘积,其中每个因子的表示都可以写为指数上对生成元有限展开的形式.其中两个三维转动矩阵按第七章的讨论可以写为(7.2-1)的形式,对空间固定方向的洛伦兹冲刺对应一维李代数,必然可以写为指数形式.所以他们的乘积也总是可以表达为群的生成元的线性组合的形式;换言之,总是可以把任意洛伦兹群员写为(10.2-13)的形式.在此意义上,(10.2-13)总是正确的,问题是其展开系数的物理意义是什么.

从(10.2-15)出发,这个式子的物理意义是$$J_{\mu\nu}$$在本征洛仑兹转动下按两个指标的张量变换,这个式子可以按温伯格卷一(2.4.8)的方式来证明,注意到对$$\Omega$$左边是算符,右边是洛伦兹变换的矩阵元.注意到(10.2-15)其实对应于(7.2-5).考虑对应于(7.2-1)的某个洛伦兹变换(10.2-13),我们考虑用任意洛伦兹变换$$\Omega$$和它的逆变换来夹住它(10.2-14)第一式左边,这对应于(7.2-2)第一式的左边.我们可以证明(10.2-14)第一式和第二死如下,这对应(7.2-2).
 * $$\Omega \Lambda(\omega)\Omega^{-1}=\Omega exp(-\frac{i}{2}\omega^{\mu\nu}J_{\mu\nu})\Omega^{-1}=exp(-\frac{i}{2}\Omega\omega^{\mu\nu}J_{\mu\nu}\Omega^{-1})=exp(-\frac{i}{2}\omega^{\mu\nu}J_{\lambda\sigma}{\Omega^{\lambda}}_{\mu}{\Omega^{\sigma}}_{\nu})=exp(-\frac{i}{2}\omega'^{\lambda\sigma}J_{\lambda\sigma})$$

其中$$\omega$$的变换关系就是(10.2-14)第二式,对应(7.2-2)的第二式.所以,我们可以把(10.2-13)的系数$$\omega^{\mu\nu}$$的物理意义理解为,用洛仑兹转动把某一个特殊方向上的两阶张量对应的洛仑兹变换转动到对应方向上后的操作算符;它的物理意义与(7.2-1)和(7.2-2)中$$n$$的物理意义一致.只不过在洛伦兹变换中,把一个沿着$$z$$轴方向的旋转变为一个一般意义上的洛伦兹变换的洛伦兹"转动"没有直观的物理意义,反对称张量$$\omega$$也不直观的具有转轴的物理意义.

P.185 (10.2-20)

这里的野蛮力证明中,自然的把所有生成元都写成5X5矩阵,对4X4矩阵,只需要做平庸的拓广.

P.188 (10.303)

这个关系式有重要的应用,就是可用于帮助构建物理态和洛仑兹群的有限不可约非么阵表示之间的关系.

讨论的出发点是物理态必然是洛仑兹表示的基(基于洛伦兹变换不变性的物理意义),必然对应有限维的洛仑兹表示(因为物理态本征构成有限维度的空间).讨论通过物理态在空间旋转下的变换方式,和洛仑兹群的表示在其空间转动子群群元中的具体形式对应的改子群的表示(分导表示,可以用两个指标$$j_0,j_1$$唯一标记)之间的关系,从而获得物理态的表示信息.

书中接着给出例子.四维矢量,它是不可约表示(1/2,1/2).

两阶反对称张量.书中没有具体给出证明,这里试图 给出证明 如下.两阶反对称张量$$F^{\mu\nu}$$一共有6个独立分量,在洛仑兹变换下按$${\Lambda^\mu}_\nu{\Lambda^\sigma}_\rho F^{\nu\sigma}$$变换.为了讨论它的具体表示的形式,我们仍然仅仅按其在三维空间转动下的表示按SO(3)不可约表示约化的结果来猜测其对应洛仑兹群的表示.同时这里的论述受电磁场张量的启发.对于三个按一个时间指标的分量$$F^{0i}$$而言,显然它在空间转动下按SO(3)的$$j=1$$表示变换.对于另外三个仅含空间指标的分量$$F^{ij}$$,我们猜测它会按矢量$$A_k=F_{ij}\epsilon^{ijk}$$的方式选择,这意味着变换后的分量既要满足矢量的变换形式$$R^{k'}_kF_{ij}\epsilon^{ijk}=\tilde{F}_{i'j'}\epsilon^{i'j'k'}$$,又要满足两阶张量的变换形式$$R_{i'}^iR_{j'}^jF_{ij}=\tilde{F}_{i'j'}$$.由(7.2-7),上述关系的确成立.同时,我们看到上面的例子直接对应电磁场的情况,电场和磁场以及电磁张量的定义与上面的定义非常类似.我们知道电磁场在洛仑兹(冲击)变换下会互相转换(参见蔡圣善电动力学(11.68)),这说明上述电磁场的划分并不对应两个表示的直和,需要对电场和磁场做适当的线性组合才能把这个表示分解为两个表示(1,0)和(0,1)的直和.按$$j_0,j_1$$的讨论,显然不可能有涉及1/2的不可约表示的组合可能,但是这个证明并没有说明为什么两阶反对称张量不是(1,0)和(1,0)的直和.

两阶对称张量.首先容易证明两阶对称张量的迹在空间转动下是不变的,从而对应SO(3)群的标量表示,和洛仑兹群的(0,0)表示.注意到$$T^{00}$$在空间转动下不变,故只有空间部分$$T\equiv T^{ij}$$受影响,即$$Tr(RTR^T)=Tr(RR^TT)=Tr(T)$$.这时的无迹的张量对应9个独立的分量,不难证明$$\frac{1}{2}(T^{0i}+T^{i0})$$在转动下按$$j=1$$的矢量变换.剩余的6个独立的分量为$$T^{ii},\frac{1}{2}(T^{ij}+T^{ji})$$易证它们对应空间旋转操作构成一个封闭的子空间,且空间部分的迹对应一个标量表示$$j=0$$,故剩余的5个独立分量(无法再构造出两个标量表示)必对应$$j=2$$的不可约表示.上述三个表示的和对应洛伦兹群的(1,1)表示.物理中的例子是能动张量.

P.192 (10.4.2)

这里是用洛伦兹群或者其子群作为小群来构造庞加莱群的诱导表示,类似于前面用SO(3)的子群作为小群来构造E3群的诱导表示.

把小群的生成元(从而群元)作用在标准矢量上得到诱导表示的基,此即(10.4-2)第二式.因为标准矢量是阿贝尔不变子群的生成元(从而群元)的本征态,把阿贝尔不变子群的生成元(从而群元)作用在标准矢量上得到本征值,此即(10.4-1)第一式.

P.194 Theorem 10.10

书中证明,这里给出的小群表示是不可约的.因为可约表示意味着表示空间存在不变子空间,但是由于所有群元都通过群的生成元的不可约表示与一个事先选定的标准矢量联系,所以不可能存在某些基或者基的线性组合通过群的生成元作用后变得与标准矢量线性独立.如果这样的情况发现,则说明上述生成元的不可约表示不是"不可约"的.

P.195 Theorem 10.11

在此定理之前讨论寻找第二个喀什米尔算符的先决条件是,物理上和自旋有关.这是因为我们知道对质量大于零的粒子,$$J^2$$与小群的生成元($$J^2,J_3$$)都对易,但是与其他庞加莱群的生成元($$K_m,P_m$$)都不对易;上述讨论对质量为零的粒子也不成立,因为质量为零的粒子的小群的生成元包括$$K_m$$.

P.196 Theorem 10.13

对本节最后部分书中的叙述有些 疑惑 ,似乎类时动量指的是只有能量分量不为零的标准矢量,因为对一般类时矢量,(10.4-13)决定的李代数并非SO(3)的李代数,虽然两者有密切的关系.

P.198 (10.4-21)

这里的具体的表示仅仅是数学上可能的表示的一部分.数学上SO(2)(E2的因子群)的表示包含$$\lambda$$为整数的单值表示和$$\lambda $$为分数的无数种可能的多值表示.而物理上,我们仅仅考虑整数和半整数的情况.书中给出两个理由.其中第二个理由是,因为SO(3)的表示仅包括整数和半整数两种情况,而前者可以看作是后者在粒子质量趋于零时的某种适当的极限.

P.201 (10.4-34)

这里(10.4-32)中的$$D$$矩阵不出现是因为存在分别关于$$\vec{p},\lambda,\sigma$$的三个$$\delta$$函数.

P.201 (10.4-38)

这个表达式的证明只需要注意到下面的关于动量的$$\delta$$函数的关系
 * $$\delta(\Lambda \vec{p}-\Lambda \vec{p}_0)d(\Lambda p)^1d(\Lambda p)^2d(\Lambda p)^3=\delta(\vec{p}-\vec{p}_0)dp^1dp^2dp^3$$

P.204 (10.5-8)

注意到这个变换不改变$$\Pi$$算符的矩阵的维度,这是因为(10.5-2)也不改变波函数算符的列矢量的维度.

P.204 (10.5-9)

这里 重要 的注意到洛仑兹变换$$U$$仅仅作用在波函数算符上因为仅仅后者是坐标的函数,$$U$$并不作用在$$\Pi$$上.物理上,这可以理解为,洛仑兹变换改变了对波函数的观察立足点,所以波函数会做相应的变换(10.5-2),但是变换后的波函数必须满足同样的方程(10.5-3).

另外可以验证,这里傅立叶变换和洛仑兹变换是相互独立的,前者同样仅仅对坐标进行,对算符$$\Pi$$无影响,故可以把(10.5-6)中对动量的积分提出到最外面,同时把$$\Pi$$算符中的协变导数换成四动量.

P.207 (10.5-23)

这里的思路是,将(10.5-16)取代(10.5-22)中的场算符$$\Psi$$(书中误打印为$$\psi$$),将(10.5-17)取代最右边的单粒子态.对比两边,由于右边存在对动量的积分和对自旋态的求和,故而必然存在动量和自旋态的$$\delta$$函数.这时比较之前得到的(10.4-42)以及定义(10.5-19),就得到(10.5-16)中的展开系数必然为单粒子态湮灭算符的结论.

P.207 Theorem 10.15

从数学上讲,波函数算符是按洛伦兹群的有限非么阵表示变换,而单粒子态的产生消灭算符是按庞加莱群的有限么阵表示变换.而坐标空间单粒子态波函数起着联系两个不同的群的不同的表示的基的作用.

从物理上讲,相关的变换是洛仑兹变换.一方面,波函数算符的变换形式按已知的各种场在洛仑兹变换(按群表示对应到物理上的标量,矢量,张量)来得到(如(10.5-2)).另一方面,单粒子态产生消灭算符的变换通过标志矢量在洛仑兹变换(对应庞加莱群的某些生成元)作用下的具体变换形式(如(10.4-24)),以及考虑到真空在洛仑兹变换下不变,而得到(如(10.5-18)).

P.207 (10.5-25)

这个关系式与温伯格场论第一卷的(5.1.13-14)非常类似,按温伯格,该关系对坐标空间的波函数形式给出限制.实际上在温伯格一书中,场算符在庞加莱群(而非本书中的洛仑兹群)下的变换按(5.1.6-7)给出.按那样的定义,这样可以"自然的"给出平面波因子$$exp(ip\cdot x)$$,本书习题中要求证明的动量冲击和转动关系(10.5-15).这在温伯格一书中给出更为详细的讨论.

P.208 (10.5-26)

此式(10.5-26)对应在耦合后的总角动量基空间,而(10.5-27)对应在耦合前的基空间. 因为$$\Psi$$是投影算符,只接受总角动量为$$s$$以及任何自旋态$$\lambda$$的波函数,我们不妨把它写为算符,容易看到 $$\Psi = \sum_{\lambda} |s\lambda\rangle\langle s\lambda|$$ 把这个算符在上述两组基上写出其矩阵元容易得到(10.5-26)以及(10.5-27),注意到(10.5-26)中对$$\lambda$$没有求和,这是因为对两个自旋$$\delta$$函数求和后仅剩下一个$$\delta$$函数,而在后面导出的(10.5-29)中存在对自旋态的求和.

Ch.11 Space Inversion Invariance
P.216 (11.1-7)

这其实也是诱导表示(因子群中不存在非平庸的小群),因为SO(2)是O(2)的阿贝尔不变子群.

P.219 (11.1-18)

这里和E2群的诱导表示的区别是这里存在非平庸的小群,故而是小群诱导表示.

P.222 (11.2-5)

这里$$\eta = \pm 1$$,简单的是因为$$I_s^2=1$$,后者因为在其自然表象$$I_s=-E$$

P.223 (11.2-6)

在它上面关于球谐函数的表达式中$$|\hat{u}\rangle = R(\phi,\theta,0)|z\rangle = R_3(\phi)R_2(\theta)|z\rangle$$,所以它作用在$$|l,m\rangle$$产生因子$$e^{im\phi}$$

P.224 (11.2-7)

下面的讨论给出了赝矢量的定义,以及它在群论中的含义.

P.232 (11.3-12)

在上面一个(不带序号的)公式推导中,需要利用到$$R_2$$的具体形式(7.4-4).

P.235 (11.3-19)

按书中讨论,类似(11.3-12),可以在这个定义的右边引入一个因子$$\zeta_p =\pm 1$$,但是引入这个因子不导致一个新的自由指标,不会导致不同的不可约表示.这是因为对O(2),空间反演不与转动生成元对易,故而不会进入到相互对易的生成元的集合中.表示的等价性参见本书前面(11.1-9)附近的讨论.但是这个因子的引入,或者说一个适当的等价表示的选取,可以使得我们方便的找到物理上的具体问题采用的是那个等价表示,从而带来习惯上的方便.

P.235 (11.3-21)

我们 容易的看到 (与$$\zeta_p =\pm 1$$取值完全不关),当$$\lambda$$为半整数时,我们自然的有$$I_s^2 =- 1$$.虽然这点在书中前面反复提及,这里居然没有强调.

P.241 (11.4-21)

这里的$${{\mathbf A}^{k \tau}}_{JM}(x)$$是c数波函数,等价于(11.1-9)中的平面波.

Ch.12 Time Reversal Invariance
P.246 (12.2-1)

这里给出物理上的讨论,为什么时间反演不能和本书中的其余所有例子一样,通过线性厄米算符来实现.

P.249 (12.3-8)

这是反线性算符的厄米算符的定义.第一步等式,按内积的定义把积分写开,相当于说$$A$$和$$A^+$$都是反线性算符,除以其厄米算符除了普通线性算符的厄米算符的定义以外,还需要把任何被作用对象($$\phi,\psi$$)从被算符作用的右边移动到不被算符作用的左边,或者从不被算符作用的左边移动到被算符作用的右边时取复共轭.等式的第二步仅仅是希尔伯特空间内积的定义,因为虽然形式上交换了位置,$$A^+$$作用的状态和未作用的状态不变.

P.250 Theorem 12.1

这是说,在量子力学中,波函数是群表示的基.时间反演是反线性反么阵算符不违反量子力学中对称性的基本要求,且与薛定谔方程自洽.在经典力学中,不存在波函数,不存在对称性对波函数内积模平方的要求,完全与上述讨论的上下文不同.在经典力学中,牛顿第二定律在时间反演下不变,指坐标作为时间的函数中对时间变量取负号,这样的时间反演是一个线性算符.

P.250 (12.4-1)

可以直接证明这些关系,考虑到把等式的两边同时作用在某波函数上.注意到这里不可以考虑矩阵形式时间反演(12.1-2),因为这对于四维列矢显然是一个线性么阵.

下面一式可以将两边都按指数展开,逐项验证.在证明中算符$$A,B$$不需要交换位置,唯一需要注意的是指数上面的$$i$$需要提出到最前面,每次经过$$A$$都需要取复共轭,产生一个负号.

这些表达式的意义是在考虑其生成元后,由于反线性反厄米算符的缘故,最终得到的(12.4-2)与之前通过线性厄米算符得到的(12.1-7)完全不同,前者满足物理上的需要,

P.251 (12.4-4)

易证本征值的模为$$1$$.只需利用(12.3-9)和反线性算符的定义即可.

P.252 (12.5-3)

其中最后一步的推导类似(11.3-12)中用到的$$R_2$$的具体形式(7.4-4).

P.254 (12.5-8)

除了数学上的推导以外,(12.5-8)从物理上相当于说连续两次时间反演并不一定得到最初的波函数,只有连续四次反演才会得到最初的波函数.但我们已经知道,按(11.3-21)连续两次空间反演并不一定得到最初的波函数.所以,如书中所述,体系的双值表示是其覆盖群(应该是空间转动的覆盖群SU(2)的角动量生成元加上其余生成元对应的单连通群)的表示.(12.5-8)并没有改变或者增加新的内容.

P.261 (12.7-19)

不懂 ,需要结合物理书好好仔细阅读.

Ch.13 Finite-Dimensional Representations of the Classical Groups
P.262 Strategy

基本策略就是第五章的推广.在张量空间找到与感兴趣的群(对应第五章中的一般线性群)对易最大的操作集合(对应第五章中的对张量指标置换操作构成的对称群或者置换群),然后用算符集合来约化张量空间,最后在张量空间中得到的重复的某不可约表示(对应第五章中的置换群表示的类)的固定序号的基的集合就对应了感兴趣的群的不可约表示空间.

在第五章中没有接触到的操作比如对张量指标的外积和缩并.

P.263 (13.1-3)

注意两者等价.(13.1-1)是对沿着基的单位矢量的变换,对$$b$$求和;而(13.1-3)也看作是对矢量变换,那么可以看作是对变换后的新矢量在老的基上展开,而展开系数满足的关系,注意到这里是对$$a$$求和.

P.263 (13.1-5)

前面的主动描述,可以看成是矢量完成了"正向"的旋转,即矢量的分量完全旋转.变化总是对矢量分量进行,而基是不变的,所以后者不存在加撇号的问题.

这里的被动描述,可以看成是对基的"逆向"的旋转,即矢量没有旋转,但是坐标轴旋转了,基和矢量分量都发生了变化,所以这两者都用撇号表示旋转后的量.

这两者的联系是,最终的矢量分量的变换形式是一致的.都是(13.1-3).

P.265 Lemma 1

如果这里不考虑矩阵上下指标的约定,那么同样可以证明(13.1-8)的确在变换下不变.

P.266 (13.2-2)

这里指出任何混合张量都可以用对应的矢量的基的直积来展开.多此一举的注释,这个结论涉及某坐标空间到矢量空间的映射(把矢量定义在某坐标空间).

为证明这个结论,不失一般性,只需要考虑(13.2-2)左边仅仅有一个分量不为零的混合张量的情况,因为任何张量都可以用这样的张量的和构成.不失一般性,考虑仅有$$i,j$$分量不为零的情况,这个张量可以写成$$e^i\bigotimes e_j$$的形式,证毕.

P.271 (13.3-9)

注意到将(13.3-7)对$$p$$求和后$$g^{\{c\}}_{\{d\}}$$成为因子可以被提出来,这样即得(13.3-9).

容易验证(13.3-3)的确是方程组(13.3-8)的解,但是如何证明这的确穷尽了(13.3-8)的解.我们说明如下,(13.3-8)对应齐次线性方程,其所有的系数都是$$\delta$$函数的乘积的形式.由于是齐次方程,有些方程是不独立的,换言之有些变量是不独立,这些不独立的变量可以写为任意常数,从而把方程写为互相独立的变量的非齐次方程的形式.最终可以把方程的解写成矩阵系数的逆阵乘以列系数.其中,矩阵的逆阵是代数余子式除以行列式,代数余子式是原来矩阵系数的线性组合,所以是$$\delta$$函数的乘积的线性组合,矩阵的行列式是一个统一的因子;列系数也是$$\delta$$函数的乘积的线性组合,从而最终的解仍然是$$\delta$$函数的乘积的线性组合.

P.274 Lemma 2

这里不变张量$$I$$必须满足一个重要条件,即$$t$$与$$s$$的表示空间大小必须相同,否则$$I$$映射的两个表示不可能是相似的.比如内积,形式上可以写为$$\delta^a_b \equiv I^{0,a}_{0,b}$$,容易证明,上述映射$$I$$满足(13.3-17)或者(13.3-19).但是显然这样的映射对应的两个表示不可能是相似的,对(1,1)张量,映射后的表示是标量,是映射前张量空间的一个子空间.

P.274 (13.3-18)

书中的说明过于简洁,而且并不是很显然的,这里给出比较详细的解释.

首先考虑仅仅由置换群对张量指标进行约化的情况.这时一个简单的例子就是两个指标对称的逆变张量和两个指标反对称的协变张量的内积一定为零.一般情况下,需要证明$$T^{\tau(a)}T'_{\lambda(a)}=0$$.对于不同的约化子空间的指标,由于最后要对协变和逆变的所有张量指标求和,所以所有指标都是哑元,所以可以对哑元进行任意的轮换而不改变结果.假设协变指标为$$ T^{e_\tau(a)}\equiv T^{\tau(a)}$$逆变指标为$$T'_{e_\lambda(a)}\equiv T'_{\lambda(a)}$$,其中$$e_\tau$$与$$e_\lambda$$不等价且不失一般性$$\tau > \lambda$$,有$$e_\tau e_\lambda =0$$.我们知道指标按置换群的轮换和求和(缩并)是可交换的,并且按附录的引理IV.6(a)的论证方法,必然有两个数字$$(i,j)$$处于$$\tau$$的同一行且处于$$\lambda$$同一列.这样如果$$\tau$$与$$\lambda$$中的其中一个是完全对称或者反对称幂等算符的时候问题得证,因为可以选择交换这两个数字对应的指标.如果在最后交换,相当于对协变逆变张量都左乘$$(ij)$$,即$$ T^{(ij)\tau(a)}$$;如果对对称化前的张量就做交换,则为$$T^{\tau (ij)(a)}$$.两种情况内积都不应该改变,而对两种情况同行数字左乘$$(ij)$$不产生任何效果,同列数字右乘$$(ij)$$产生-1,而对完全对称或者反对称幂等算符左乘右乘是可以交换的,因子-1导致内积只能为零,所以问题得证.

等价的,stackexchange上面的高人给出了证明如下.对于任意的轮换子(permutation)$$\sigma$$我们有$$T^{\sigma(a)}T'_a=T^aT'_{\sigma^{-1}(a)}$$.对很多这样的轮换子应用上面式子,并且求和得到$(T^{e(a)}+T^{\sigma_1(a)}+T^{\sigma_2(a)}+\cdots)T'_a=T^a(T'_{e(a)}+T'_{\sigma_1^{-1}(a)}+T'_{\sigma_2^{-1}(a)}+\cdots)$.注意到其实幂等算子也可以写成轮换子的和的形式,而且对于完全对称幂等算子和完全反对称幂等算子,如果一个轮换子是其中的求和的一部分,那么它的逆也是求和的一部分,换言之$$e+\sigma_1+\sigma_2+\cdots=\lambda=e+\sigma_1^{-1}+\sigma_2^{-1}+\cdots$$其中$$\lambda \equiv e_\lambda$$.从而问题得证.

如果在此的基础上,试图给出对于一般情况的证明.对于一般的幂等算符,虽然可以写成轮换子的和的形式,但是一个轮换子的逆并不处于轮换子中.但是我们可以把幂等算符写成$$\lambda \equiv e_\lambda=s_\lambda a_\lambda=(e+\sigma_1+\sigma_2+\cdots)(1+(-1)^{\nu_{\omega_1}}\omega_1+(-1)^{\nu_{\omega_2}}\omega_2+\cdots)=(e+\sigma_1^{-1}+\sigma_2^{-1}+\cdots)(1+(-1)^{\nu_{\omega_1}}\omega_1^{-1}+(-1)^{\nu_{\omega_2}}\omega_2^{-1}+\cdots)$$这样我们知道每一个轮换子必可写成两个轮换乘积$$(-1)^{\nu_{\omega}}\sigma\omega$$的形式,而$$(-1)^{\nu_{\omega}}\sigma^{-1}\omega^{-1}$$必然也是求和中的一项.但是这时我们并没有$$T^{\sigma\omega(a)}T'_a=T^aT'_{\sigma^{-1}\omega^{-1}(a)}$$.

按附录中的Lemma IV.6,如果把幂等算符定义成$$\tilde{e}_\lambda \equiv a_\lambda s_\lambda$$那么易证这样的定义的确满足幂等算符的所有属性.正交性比较容易证明,原初幂等需要把附录IV中所有的论述中的行与列互换.值得指出,由于书中给出的左理想对群代数空间的划分是完备的,显然这样的幂等算符与书中定义的幂等算符对群代数空间的划分必然有所关联.因为我们有$$e_\lambda \tilde{e}_\lambda=s_\lambda a_\lambda a_\lambda s_\lambda=\eta s_\lambda a_\lambda s_\lambda= \eta e_\lambda s_\lambda \ne 0$$,其中最后一步不为零是因为$$s_\lambda a_\lambda s_\lambda a_\lambda =e_\lambda e_\lambda = \zeta e_\lambda \ne 0$$.所以$$\tilde{e}_\lambda$$实际上和$$e_\lambda$$等价.所以一般的我们有,$$e_\lambda = \sum_p \tilde{e}_\lambda^p$$其中对$$p$$的求和包括不同的标准杨表.这样我们结合上面的论证,考虑对于杨表$$\tau$$同行而对$$\lambda$$同列的数字$$(i,j)$$对应的对换操作$$(ij)$$.我们有$$T^{\tau(a)}T'_{\lambda(a)}=T^{(ij)\tau(a)}T'_{(ij)\lambda(a)}=T^{(ij)e_\tau (a)}T'_{(ij)e_\lambda (a)}=T^{(ij)e_\tau (a)}T'_{(ij)\sum_p \tilde{e}_\lambda^p (a)}=T^{e_\tau (a)}T'_{(-1)\sum_p \tilde{e}_\lambda^p (a)}=-T^{e_\tau (a)}T'_{e_\lambda (a)}=-T^{\tau (a)}T'_{\lambda (a)}$$,由负号知道上式比为零.

这个证明很容易表达成stackexchange上证明的推广.因为上面的论述保证了$$T^{\tau(a)}T'_a=T^{e_\tau (a)}T'_a=T^{s_\tau a_\tau (a)}T'_a=T^{a_\tau(a)}T'_{s_\tau(a)}=T^aT'_{a_\tau s_\tau(a)}=T^aT'_{\tilde{e}_\tau (a)}=T^aT'_{\sum_p e_\tau^p (a)}$$.只要把证明中的$$T'_a$$替换为$$T'_{\lambda(a)}$$并利用$$\tau^p(\lambda(a))=e_\tau^p e_\lambda (a)=0$$,即得结果.

接着考虑缩并的情况.这时一个简单的例子就是两个指标的无迹张量和对称的迹张量的缩并一定为零.一般情况下,对于不同的约化迹空间,总是可以找到两个指标,对于一个空间无迹,另外一个空间有迹(否则这两个空间完全一致).从而,对这两个指标的缩并必为零.

P.275 (13.3-23)

首先注意到仅仅$$\delta$$函数的乘积作用在一个张量分量上就相当于一个置换群的轮换操作.把$$\delta$$函数乘积的上下标做置换群不可约算符的左理想投影并不改变结果的基本形式.考虑把(13.3-22)作用在张量指标上,结果是很多张量分量的和,其实就是(13.3-23),其中$$r$$对应$$\delta$$函数乘积的上下指标对应的轮换操作.

P.277 (13.4-3)

注意(13.4-3)和(13.4-4)承载信息之和才是么阵的定义,虽然么阵本身似乎与坐标系的选取无关.但是如果把么阵看成(一般线性群那样的)一种群的线性实现,而通过坐标系的基来定义,那么就会与坐标系的选取有关了.这两个式子中,前者是协变与坐标系无关,后者与坐标系有关.

似乎么阵的定义只有一个关系,为什么这里有两个关系式呢.这两个式子是先把定义放宽(13.4-3),然后再给出对应某一组基的特定的形式(13.4-4).(13.4-4)并非协变的,是因为虽然一般线性群的逆变张量表示决定了其在复共轭空间的协变表示,但是$$\delta^a_{\dot{c}}$$的两个指标在这两个矩阵的变换下一般情况下显然不能保持为$$\delta$$函数.

P.278 Definition 13.9

书中把对坐标基的变换理解为一般线性群导致的变换,而么阵群作为一个一般线性群的子群,正是被定义为保持$$\delta^a_{\dot{c}}$$基本属性(比$$\delta$$函数有所放宽)的变换的合集,换言之,(13.4-3)成立$$\delta^a_{\dot{c}}$$是不变张量并满足定义中给出的基本属性.注意到,我们总是可以找到一个适合的坐标系,使得(13.4-4)的特殊形式成立.

这里正定是因为在$$\delta$$对角化的基下二次型正定,而由于(13.4-3)是协变的,所以在任何基下二次型都是正定的.值得注意到之前SO(3,1)的覆盖群U(3,1)的指纹具有完全相同的意义.

P.279 (13.4-6)

我们可以把$$\delta^a_{\dot{c}}$$构造成Lemma 2中的映射$$I$$:我们把没有涉及到的张量指标全部都用$$\delta$$函数来做平庸映射,并对所有指标做杨表对称化内积等处理,这样就得到$$I$$.所以映射操作后的张量构成的表示和原来的张量表示是等价的.

P.280 Definition 13.10

注意(13.4-9)对于反对称张量乘以常数仍然成立,换言之,对反对称张量是齐次的.虽然(13.4-10)是依赖于坐标系的.和前面类似,我们把特殊线性群定义为一般线性群的子群,它满足(13.4-8),即反对称张量是不变张量.注意到,我们中可以找到一个特殊的坐标系,其中反对称张量不为零的分量为$$\pm 1$$.

P.281 Theorem 13.14

这里注意到两点.第一,$$m$$个指标的张量对应的杨图不可能超过$$m$$行,所以对任何一列总是可以找到所谓的对偶列;基于同样理由,伴随(dual)杨图的总尺寸其实会超过$$m$$.第二,注意到完全反对称张量作为基只有一个,所以一个有$$m-n$$个指标的完全反对称张量和一个$$n$$个指标的完全反对称张量都是只有一个,所以用这里的杨图和伴随杨图的映射可以构造出Lemma 2中定义的映射,从而构造等价的表示.

这个定理的结果是比较直观的,相当于把所有协变指标都通过对偶杨图来变为逆变指标,如果把所有的列平行的加起来后的杨图一致,那么两个表示就是等价的.

我们考虑完全反对称张量$$\varepsilon^{ab}$$其中$$b$$会被与杨图的某一列的一些元素(从而也是完全反对称)进行缩并.我们希望构造出符合Lemma 2中定义的映射$$I$$.我们注意到,对张量$$T_{\tau(bc_1c_2\cdots)}^{\lambda(e)}$$,我们可以为上述$$\varepsilon^{ab}$$外积对应于$$c_1c_2\cdots$$和$$\lambda(e)$$的$$\delta$$函数,$$\varepsilon^{ab}{\delta_{d_1}}^{c_1}{\delta_{d_2}}^{c_2}\cdots{\delta^{\lambda(e)}}_{\lambda(e')}\equiv {(\epsilon\delta\delta\cdots)^{a\lambda(e')}_{d_1d_2\cdots}}^{bc_1c_2\cdots}_{\lambda(e)}$$这样指标的数量上符合和$$I$$的要求.接着我们需要对求和的指标$$bc_1c_2\cdots$$按对应的张量指标的杨图进行对称化即$${bc_1c_2\cdots}\rightarrow\tau{bc_1c_2\cdots}$$以及$${a\lambda(e')}\rightarrow\lambda'(ae')$$注意到其中$$\lambda'(ae')$$满足书中涉及的把对应列中被选中的$$b$$元素的对偶列加到杨图$$\lambda(e)$$中对应的新杨图杨图对指标的对称操作,这样的操作对应构造新杨图在书中没有给出证明.但是另外一个 要点 是,这样的构造的新杨图(或者对应的映射$$I$$)的阶(即表示空间的独立元素)在变换前后是一致的,否则变换不可能对应相似变换.

P.282 (13.4-12)

由(13.4-11)得到,等式右边 应该 是$$(g^{-1})^T$$.可比较(13.1-7)确认其自洽性.

P.285 (13.4-18)

可以具体的证明这个"迹"对不同的指纹,在实正交群变换下的确都是不变的.这是因为张量$$\zeta_{ab}$$的两个指标按$${g^{-1}}$$和$${g^{-1}}^T$$变换后不变,即(13.4-14).而张量$$t^{cd}$$按$${g}$$和$${g}^T$$变换.内积后可以把所有变换都放到$$\zeta_{ab}$$上,使用(13.4-14)两次后即得(13.4-18)左边是不变的.

P.287 (13.4-23)

(13.4-23)与(13.4-24)正是是两维空间(13.4-21)的两个张量.对于SO(2)它们对应两个一维表示,而对O(2)它们是一个两维表示的两个张量基.

P.289 Summary

这里最后总结了讨论李群的两个主要方案:李代数方法和置换群方法.显然,两个方案得到的最后群表示结果是一致.书中指出,第一个方案是构造式的,所以生成元越少的李群越简单;第二个方案是化简式的,所以对称性越是完备的李群越简单;两者正好相反.

Appendix I Notations and Symbols
P.293 (I.3-1)

初看起来,这里的对洛仑兹变换的矩阵的定义与温伯格一书中的定义是不相容的,比如比较(10.1-5a)与温伯格第一卷(2.3.10),两式形式上不同.

我们首先来证明温伯格一书的(2.3.10).这里$${\Lambda^\mu}_\nu$$仅仅被视为一个矩阵,而另一方面,谨慎起见我们把$${\Lambda_\nu}^\mu$$看作是一种类型完全不同的矩阵(另外两种可能,上上,下下并没有在这里被定义和使用).而(2.3.10)通过定义,把两种类型通过逆阵联系起来.

我们知道,温伯格书中(2.3.10)的定义蕴含了一个 潜在且重要的 与张量的协变逆变指标转换的自洽性.换言之,按温伯格的定义,我们可以自然的把其余类型(比如上上和下下)用度规通过升降指标联系起来(参见(2.4.2)上面一式),特别是注意到温伯格的定义与下面的表达式自洽


 * $${\Lambda_\mu}^\nu =g_{\mu\sigma}{\Lambda^\sigma}_\alpha g^{\alpha\nu}$$

因为这导致
 * $${\Lambda_\mu}^\nu x_\nu =g_{\mu\sigma}{\Lambda^\sigma}_\alpha g^{\alpha\nu}x_\nu = g_{\mu\sigma} {\Lambda^\sigma}_\alpha x^\alpha =g_{\mu\sigma} x'^\sigma=x'_\mu$$

而这个结果自然的与
 * $$x'_\nu = x_\mu{{\left(\Lambda^{-1}\right)}^\mu}_\nu $$

自洽.但是注意到一点,上面的讨论完全没有涉及到矩阵转置的定义.因为洛仑兹变换不仅可以视为张量(按上面的讨论),而且可以视为矩阵.

所谓的不同之处其实来自于对矩阵转置的定义,而实际上温伯格一书中并非涉及到把洛仑兹变换视为矩阵并讨论其转置的形式.

我们可以自然的认为,把一个矩阵转置就是直接对调两个指标的位置(指标的位置包括其上下和前后位置).我们可以不妨把这个定义具体的写出来.


 * $${{(\Lambda^T)}^\alpha}_\beta \equiv {{\Lambda}^\beta}_\alpha$$

表面上看,这个定义似乎是非常自然的.

然而上述定义在对下面的缩并乘积(可以看成行矩阵,方块矩阵和列矩阵的连续乘积)做转置后带来表达上的困难


 * $$x_\alpha{{\Lambda}^\alpha}_\beta x^\beta = (x_\alpha{{\Lambda}^\alpha}_\beta x^\beta)^T = x^\beta ({\Lambda^\alpha}_\beta)^T x_\alpha = x^\beta {\Lambda^\beta}_\alpha x_\alpha$$

其中最后一步利用了转置的定义,而在最后的表达式中,我们失去了上下指标通过缩并融合的惯例.基于这个原因,在Tung一书中引入下面的转置的定义


 * $${{(\Lambda^T)}^\alpha}_\beta \equiv ^\alpha$$

按这个定义,上面的式子得到


 * $$x_\alpha{{\Lambda}^\alpha}_\beta x^\beta = (x_\alpha{{\Lambda}^\alpha}_\beta x^\beta)^T = x^\beta ({\Lambda^\alpha}_\beta)^T x_\alpha = x^\beta {\Lambda_\beta}^\alpha x_\alpha$$

下面我们来尝试推导(10.1-5a)

由(10.1-5)第一式出发,



\begin{align} &g_{\mu\nu}{\Lambda^\mu}_\lambda{\Lambda^\nu}_\sigma = g_{\lambda\sigma} \\ &g_{\mu\nu}{\Lambda^\mu}_\lambda{\Lambda^\nu}_\sigma {(\Lambda^{-1})^\sigma}_\alpha g^{\lambda\beta} = g_{\lambda\sigma} {(\Lambda^{-1})^\sigma}_\alpha g^{\lambda\beta}\\ &g_{\mu\alpha}{\Lambda^\mu}_\lambda g^{\lambda\beta} = {(\Lambda^{-1})^\beta}_\alpha \\ &{({g \Lambda g^{-1}})_\alpha}^\beta = {(\Lambda^{-1})^\beta}_\alpha \\ &{[({g \Lambda g^{-1}})^T]^\beta}_\alpha = {(\Lambda^{-1})^\beta}_\alpha \\ &{({g \Lambda^T g^{-1}})^\beta}_\alpha = {(\Lambda^{-1})^\beta}_\alpha \end{align} $$

或者


 * $$g \Lambda^T g^{-1} = \Lambda^{-1}$$

注意到这个推导在完全表达为分量的形式时,与转置的定义还是完全无关的.故在此意义上,与温伯格一书没有任何冲突.在代入转置的定义后,注意到最后的结果可以脱离分量写成张量的形式.回过头来看Tung一书关于转置的定义,其合理性也变得明显了,这里是交换两个指标的前后位置,但不改变其上下标位置,这与转置的实质相一致,转置就是改变其求和的前后,但是不会改变求和的协变逆变本质.

但是这里似乎有个 冲突 的定义.因为在书中也使用度规来改变上下指标,而我们无法同时把$${\Lambda_\mu}^\nu =g_{\mu\sigma}{\Lambda^\sigma}_\alpha g^{\alpha\nu}$$定义成转置.比如下面两个式子一般是不会同时成立的:第一个是$${\Lambda_2}^1 =g_{2\sigma}{\Lambda^\sigma}_\alpha g^{\alpha 1}$$,而第二个是$${{{\Lambda_2}}^1={(\Lambda^T)}^1}_2$$.只能把其中的一个作为定义,那么另一个就应该要么被推导出来要么导致矛盾.

把两者综合起来看,一方面,我们上面最初的对转置的定义欠妥,因为我们简单的把两个指标看作矩阵的两个下标,把转置粗暴的定义为无条件的交换两个指标,而实际上转置仅仅涉及到与前面的因子求和还是与后面的因子求和.另一方面,Tung书的定义虽然自然,但是会导致自洽性问题,故也不可取.在两个自然的定义中只能取一个.因为Tung书也用到度规张量在做指标的变换,故而只能放弃转置的定义.

实际上,文中提到的,问题的关键是注意到(10.1.5-a)与(7.1-3)的区别.仔细回想,(7.10-3)中因为不涉及到上下标的问题,其形式中其转置所代表的意义是非常熟知且不会导致任何歧义的,而(10.1.5-a)则不然,因为同时涉及到了(前面讨论中所顾及的)上下指标的转换和矩阵的转置.所以,一个更为合理的做法是始终把指标写出来,这样求和的顺序就不会导致矛盾,实际上就不需要明显的考虑转置的问题,比如对(10.1-5)的第一步的中就涉及到指标不按着就近的原则来求和,但是由于求和指标被明显的写出,这里不会导致任何歧义的.所以我们总结对(I.3-1)的理解是,用具体的求和指标来明显写出来替代它的定义.

P.294 (I.3-3)

这里的关于复共轭的定义包括了两个意思.第一是前面讨论的转置矩阵的定义,第二是复共轭矩阵的定义.等式的第一步利用了前面转置的定义,等式的第二步提出,复共轭矩阵相当于把混合张量变换到复共轭空间,故而涉及到把指标的上下位置都做交换.注意其中某混合张量的复共轭的一个元,和某个张量元的复共轭是两个完全不同的概念.由于前面讨论的原因,这样的定义会导致 歧义, 不仅仅是复杂和不便.

所以在阅读本书中,遇到类似的情况必须要用分量来理解.其实除了最后一章,上面的约定对书中的论述几乎无任何影响.

Appendix II Summary of Linear Vector Spaces
P.301 (II.4-1)

这里定义的是共轭空间,注意到这里的函数$$f$$把矢量空间的元素映射到复数,采用狄拉克符号的缩写.

P.302 (II.5-1)

这里定义的是内积,注意到是把两个矢量空间的元素映射到复数,采用圆括号.

P.303 (II.5-4)

在内积空间中,一个矢量对应一个共轭空间中的共轭矢量.注意到反之不然,因为根据Schutz,内积空间相当于定义了长度的矢量空间,它包括更多的信息:矢量空间,以及度规张量.

P.304 II.6 Lemma

一方面,如果$$A$$为零,显然$$=0$$.反之,只需证明$$=0$$.为此考虑$$x=e_i+e_j$$和$$x=e_i+ie_j$$并注意到(II.4-2)即得.

Appendix III Group Algebra and the Reduction of Regular Representation
P.307 Ring

如书中所述,环是定义了乘法和加法的空间.

P.308 Theorem III.1

因为群代数的表示完全由其基的表示决定,而其基就是群元.所以定理显然成立.

P.309 (iii)

这是左理想的投影算符自然满足的性质.我们证明把两边作用在任何群元上得到相同的结果.按书中提示,将任何群元按群代数的不变子空间分解,利用不变子空间的定义,即可证明.

P.309 Theorem III.2

证明的第一步(1),对应的操作是线性操作.后者的定义是,当被操作对象(群元)作线性组合时,其结果等同于直接对对象(群元)操作的结果做相同的线性组合.因为按定义群代数的乘法是线性的,故书中定义的左理想投影算符操作是线性操作.

(iv)等式的右边相当于把等式左边写成在各不变子空间内的投影的和的形式,因为每一项(被$$e_\mu$$右乘)按定义都是等式左边在各不变子空间内的投影.

P.310 Definition III.3

这里定义了群代数中的幂等元素.但是注意到这里逻辑上与前面不同,之前是由子空间写为左理想的直和出发,讨论投影算符和对应的恒等群元素的相应分解.得到恒等群元素满足幂等算符的性质.这里是从幂等算符出发,来讨论如何对全代数做左理想的直和分解.不难注意到,如果我们用幂等算符来定义左理想空间,发现这些左理想空间的确是互相正交的,但不一定是完备的.这个问题涉及抽象代数中的环的幂等算符和环的分解(decomposition).

P.310 Theorem III.3

这里的定义是对于任意元素$$q$$,算符的作用是右乘$$(ere)$$,即$$R|q>=q (ere)>$$.直接可以验证$$Rs=sR$$.

由于$$Rs$$可以看成两个群代数算符的连续作用.如果我们认为作用的空间是不可约子空间$$L$$.不难注意到$$s$$作用在$$L$$空间得到一个$$L$$空间的元素,实际上,$$s$$对应的群代数的表示是不可约的.算符$$R$$也可以被视为$$L$$空间上的算符.

这样按舒尔(Schur)引理1,在上述$$L$$空间,必然有$$R$$为恒等操作(单位算符),而显然"用$$e$$右乘"在$$L$$空间对应恒等操作,故$$R=e$$在$$L$$空间成立.换言之,由任何$$L$$左理想空间中的元素来左乘上述等式两端必然得到同样结果.接着可以证明上述等式对群代数的完整空间也成立,这是因为等式左边的$$e$$会把任意群元先投影到$$L$$左理想子空间中.其实不然继续推广把上述讨论中的所有"左"和"右"互换.

另外值得注意到舒尔引理1是针对同空间中的算符的矩阵表示,在这里这个空间是$$L$$空间.

P.311 Theorem III.4

$$S$$为联系两个表示的基的映射,由舒尔引理2,这个映射为一一映射,且即两个表示等价.注意到引理2是针对不同空间的不可约表示.这里定义的$$S$$和前面定义的$$R$$是很不同的.

P.311 Example

这里的$$e_1$$其实就对应Ch.5 P.65 Theorem 5.1中定义的对称算符$$s$$.

P.312 Table III.1

这里用$$\tilde{G}$$的表示来得到群的表示.前者的表示由表示的基构成的子空间决定.首先我们把全部群元用投影算符得到基的空间,我们发现得到的结果都只差一个常数,基构成的空间是一维的.所以我们可以把投影算符看作基.再次把群元作用在基上以得到群元的表示(矩阵).这实际上对应完全相同的数学表达式,但是此时的常数对应一维表示(矩阵).从而得到书上的表格.

P.313 minimal two-sided ideals

这里对群代数空间的约化以及不可约表示给出总结.其基本思路是用最小左理想的直和来约化群代数空间:首先是按不等价的最小左理想来标记并把空间写成带有该标记的子空间的直和形式,这时注意到这样得到的子空间并不是最小左理想,所以接着再按不同但是等价的最小左理想的直和来进一步约化这些子空间;这样最终每个最小左理想都对应一个不可约表示,同时把群代数的空间完全约化了.最后,书中指出,等价的不可约左理想直和构成的左理想空间其实是"最小"的双面理想空间,并且给出了最小双面理想空间和等价最小左理想空间的关系,以及相关证明.

书中"An element of $$Gs\ne 0$$"应为"An element of $$G$$, $$s\ne 0$$"

一方面,如果两个表示等价,那么他们处于同一个最小双面概念里.这是因为注意到$$rs=re^\mu_ase^\mu_b=rse^\mu_b$$,右乘$$e^\mu_b$$使得它肯定在$$L_b^{\mu}$$中,而中间的因子$$e^\mu_a \in L_a^{\mu} \in L$$使得它肯定在$$T$$中,按不变子空间的定义,$$T$$含有$$L_b^{\mu}$$的一个元素必然含有全部元素.

另一方面,如果两个表示在同一个最小双面概念里,那么他们等价.书中$$L_b^{\mu}s=L_b^{\nu}$$中下标$$b$$是说他们在同一个两面概念里,上标不同是假设他们不等价.证明如下,如果不存在任何$$s$$相当于说不存在任何$$s$$和$$r$$满足$$rL_b^{\mu}s=L_b^{\nu}$$.因为$$L_b^{\mu}$$和$$L_b^{\nu}$$都是左理想,左乘任何群元还在原来的左理想中中;另外如果$$s$$把某一个$$L_b^{\mu}$$的元素转换到L_b^{\nu}的话,它就会把所有元素都做这样的转换,这是因为最小左理想$$L_b^{\mu}$$中的不同元素都可以通过左乘群元来相互转换的.但是这等于说$$L_b^{\mu}$$是一个比$$T$$更小的双面理想,与假设矛盾.而按Theorem III.4(i)的思路利用舒尔引理,就可以证明这两个表示是等价的.

Appendix IV Supplements to the Theory of Symmetric Groups Sn
P.315 Lemma IV.1

这里是类似相对某坐标(变换)下的杨表操作.这个思想在Lemma IV.3中有重要的应用.

P.314 Lemma IV.3

首先是一个与书中的论述无关,但是与问题的考虑有关的一个讨论.如果要把处于某一杨表的同一行的两个元素变换到同一列,那么可以先作用一个$$v_\lambda$$把其中的一个元素的行改变,然后作用一个$$h_\lambda^{v_\lambda}$$把第二个元素的列变到和第一个数字相同.所以这个操作是$$h_\lambda^{v_\lambda} v_\lambda=v_\lambda h_\lambda$$;其中利用了引理IV.1.而这与书中讨论的操作的成绩正好相反.这个讨论很多地方与证明的第二步(b)的构造的想法接近.

证明的第一步,把整个操作写成两个的乘积,第一个因子是行变换,现在不会达到把两个同行的元素变到同列的效果.第二个操作是一个通过第一个变换操作后的列变换操作,换言之,正是对行变换后的新杨表做的列操作(因为如果没有这些互逆的操作,那么这个列变换操作就是进行在最初原始的杨表上的,或者说是作用在给定序数的指标上而非给定的数字上,两个操作的积没有书中给出的直观的意义,即对两个给定的处于同行的数字先做行变换后做列变换).我们知道,先进行行变换后进行列变换是无法把同行的两个元素变成同列的.达到该目的实际是需要的是前面一段讨论中提到的先列后行的变换.

P.315 Lemma IV.5

这里有些印刷错误. 倒数第二行的公式里面的第一个等号后$$\alpha_e$$应该为$$\alpha_p$$. 最后一行里面第一项的下标中的第一个因子$$\tilde{h}_\lambda$$应为$$h_\lambda$$.

P.316 Lemma IV.6

第一步(a)这里可以采用与Lemma IV.3的第二步非常相似的思路来证明,而非书中写的Lemma IV.4的思路.简单的,用反正法,假设不存在.那么对这两个杨表,其中任一个杨表中同行的元素不在另一个杨表中同列,同样同列的元素不在另一个杨表中同行.那么就可以用构造的方法把一个杨表从另一个杨表通过先行后列的表换得到.这意味着两个杨表对应的杨图一致,这与最初的假设两个杨表对应的杨图不同相矛盾.

P.316 Lemma IV.7

可以写成$${L^{\{j\}}}_{\{i\}}$$是因为$$L$$是线性泛函.$$\bar{g}$$应为$$\tilde{g}$$之误.

Appendix VI Rotational and Lorentz Spinors
P.320 (VI-3)

此式正是行列式为1的条件.正如书中下面指出的,此式的左边正是$$\epsilon^{\alpha\beta}\det(A)$$.

P.325 (VI-25)

这里矩阵$$A$$指标的定义来自(I3-1)的约定.

P.325 (VI-29)

这个关系的具体讨论参见本书的(11.3-4)和(11.3-6)及其相关讨论.

P.326 (VI-32)

按完全类似(VI-18)的推导,这里$$\epsilon_{\dot{\alpha}\dot{\beta}}$$就是普通的$$\epsilon$$.在空间反演下操作下它们仅仅是常系数,不受影响.

P.326 (VI-34)

这里讨论用旋量表示出发来构造洛伦兹群的其他表示:除了旋量(1/2,0)或者(0,1/2)本身以外,内积对应的洛仑兹标量(0,0),混合旋量对应的洛仑兹矢量(1/2,1/2),双旋量(bispinor)对应的洛仑兹张量(1,0)或者(0,1).