Research Paper Notes on Stochastic Variational Method

Research Paper Notes on Stochastic Variational Method

本文档除了包括推导, 疑惑 外,做 读书重点 的记录 $$ $$

参考文献

 * Derivation of the Schrodinger Equation from Newtonian Mechanics, Phys. Rev. 150 (1966) 1079, by Edward Nelson
 * Stochastic calculus of variations, J. Funct. Anal. 41, (1981) 327, by Kunio Yasue
 * Application of Stochastic Variational Method to Hydrodynamics, arXiv:1111.6034v1, by Tomoi Koide
 * Navier-Stokes Equation by Stochastic Variational Method, arXiv:1105.6256v2, by Tomoi Koide and Takeshi Kodama
 * Uncertainty Relations in Hydrodynamics, arXiv:2010.15226v1, by G. Gonçalves de Matos, T. Kodama, and T. Koide

Derivation of the Schrodinger Equation from Newtonian Mechanics, Phys. Rev. 150 (1966) 1079, by Edward Nelson
这是第一篇从SDE, Fokker-Planck方程出发,推导薛定谔方程的工作.

(6)

这是指对系统时间反演后对应的SDE.这里保守力方向不变,但耗散力反向.两个布朗运动对应的随机力是互相独立的,与其"过去"的运动轨迹无关.

正如作者指出,由运动方程组(4ab)所决定的耗散随机系统显然没有时间反演不变的特性. 这个时间反演的对称性完全由运动方程中经典决定论的部分决定,即(4b)等式右边的耗散项决定. 具体的,如果略去(4b)等式右边的第三项随机力部分,对运动方程系统(4ab)做时间反演变化$$t\to -t\equiv -\tilde t$$. 对运动方程(4a)改写为$$\frac{dx(-\tilde t)}{d(-\tilde t)}=v(-\tilde t)$$,因为方程左边$$x(-\tilde t)$$就是把(4a)的解$$x(t)$$的自变量做了换元,故$$\frac{dx(-\tilde t)}{d(-\tilde t)}=-\frac{dx(-\tilde t)}{d\tilde t}=v(\tilde t)$$,比较方程右边,有$$v(-t)=v(\tilde t)=v(t)$$. 对运动方程(4b)

而(4b)仅

本文档除了包括推导, 疑惑 外,做 读书重点 的记录 $$ $$

Stochastic calculus of variations, J. Funct. Anal. 41, (1981) 327, by Kunio Yasue
第一篇提出SVM的工作.

本文档除了包括推导, 疑惑 外,做 读书重点 的记录 $$ $$

Application of Stochastic Variational Method to Hydrodynamics, arXiv:1111.6034v1, by Tomoi Koide
作为会议综述,Tomoi讨论了混沌变分原理和流体力学方程的推导的总体思路.

本文档除了包括推导, 疑惑 外,做 读书重点 的记录 $$ $$

Navier-Stokes Equation by Stochastic Variational Method, arXiv:1105.6256v2, by Tomoi Koide and Takeshi Kodama
本文档除了包括推导, 疑惑 外,做 读书重点 的记录 $$ $$

Uncertainty Relations in Hydrodynamics, arXiv:2010.15226v1, by G. Gonçalves de Matos, T. Kodama, and T. Koide
本文的一些推导比较具体.

本文档除了包括推导, 疑惑 外,做 读书重点 的记录 $$ $$