Research Paper Notes on Singular Hypersurfaces and Thin Shells

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文献列表

 * Singular Hypersurfaces and Thin Shells in General Relativity, Nuovo Cimento 44 B (1966) 1, 48 B (1967) 463, by W. Israel
 * Spinning Shell as a Source of the Kerr Metric, Phys. Rev. 170 (1968) 1187, by V.D. La Cruz and W. Israel
 * Source of the Kerr Metric, Phys. Rev. D 2 (1970) 641, by W. Israel
 * Stable gravastars - an alternative to black holes? arXiv:gr-qc/0310107v2, by Matt Visser and David L. Wiltshire
 * Ellipsoidal space-times, sources for the Kerr metric, Ann. Phys. 112 (1978) 22, by A. Krasiński
 * Relativistic disks as sources of the Kerr metric, Phys. Rev. Lett. 71 (1993) 1669, by J. Bičák and T. Ledvinka
 * Counter-rotating Kerr manifolds separated by a fluid shell, arXiv:0908.1835, by J. P. Krisch and E. N. Glass

Singular Hypersurfaces and Thin Shells in General Relativity, Nuovo Cimento 44 B (1966) 1, 48 B (1967) 463, by W. Israel
本文(原文地址)和勘误(勘误原文地址)是利用外曲率的数学概念来讨论质壳和奇性曲面在广义相对论中的处理方式.

文章所讨论的曲面边界方程在物理上可以类比经典电动力学中电磁场在曲面附近与曲面上的电荷电流之间满足的边界方程.

(2)

参见Schutz一书(6.77)的推导.

(5)

这个结果表明上与协变导数(1)的定义没有区别.而本质上,它是协变导数定义等式两边都在在曲面内的投影结果.

我们注意到,第一步等式后和最后一步的第二项都涉及到投影对应的缩并操作.这个结果说明,如果存在额外维度,即当前流形是内嵌在某个更大的流形中,具体的内嵌方式并不影响到(投影到内嵌空间的)协变导数和曲率张量的具体形式.又参见Poisson一书(3.4.3-3.4.4).

这里涉及的曲率被称为内曲率,作为对比,形式上这与后面给出的涉及到额外维度分量的协变导数(10)很不一样,与(5)比较,后者给出的结果涉及到外曲率(7).

(8)

第一步等式利用了$$K_{ij}$$的定义(7),第二步等式利用对正交关系$$\mathbf{n}\cdot \mathbf{e}_j =0$$的求导,第三步利用了广义相对论中联络(6)的对称性.

最后一步在(11)下方明确的给出.它本质上涉及到两个因素,其一是广义相对论中联络的对称性(无扭度),其二是(11)给出的投影的坐标变换.

注意到,严格的说,投影度规对应的联络对指标的对称性需要证明.实际上,它可以用类似广义相对论中证明联络指标对称性的方法给出,具体参见Poisson一书(3.4.6)的笔记.

(9)

注意到(6)和(8)都是数值.将(8)乘以$$-\epsilon(\mathbf{n})\mathbf{n}$$加上(6)乘以$$\mathbf{e}_{(h)}$$并相加.

等式左边就是(9)式的等式右边,而注意到(3)上方给出的正交关系,等式右边可以提出投影算符$$-\epsilon(\mathbf{n})\mathbf{n}\mathbf{n}+\mathbf{e}_{(h)}\mathbf{e}_{(h)}=1$$,即得(9)左边.证毕.

我们指出,由(9)出发,分别与$$-\epsilon(\mathbf{n})\mathbf{n}$$和$$\mathbf{e}_{(h)}$$缩并,即得(8)和(6),所以上述等式实际上是充要关系.

它的几何意义见(10)的笔记.

(10)

由(9)很容易得到这个结果,等式右边的第二项是垂直于曲面的. 它说明在曲面切向的矢量(4)在曲面上平行移动是会额外产生与曲面垂直的分量,正比于矢量与外微分的缩并. 但若仅仅考虑它在曲面切向的投影,则它的形式与一般的协变导数无异,即(5). 这个额外的垂直分量来源于(9),即曲面坐标基在沿曲面切向平行移动时会产生垂直于曲面的分量.

(11)

这个关系给出的是从一般坐标基$$(x^\alpha)$$投影到曲面上坐标$$(\xi^i)$$的坐标变换.

(12-15)

对(12-13)等式左边是在四维时空中定义的Ricci张量,通过$$e_{(a)}^\alpha, n^\alpha$$来缩并,等式右边是在曲面上的投影度规中的Ricci张量(其联络的定义为(6))和外曲率(8). 按Schutz一书(6.6.3),可以将Ricci张量用联络表示$${R^\alpha}_{\beta\mu\nu}={\Gamma^\alpha}_{\beta\nu,\mu}-{\Gamma^\alpha}_{\beta\mu,\nu}+{\Gamma^\alpha}_{\sigma\mu}{\Gamma^\sigma}_{\beta\nu}-{\Gamma^\alpha}_{\sigma\nu}{\Gamma^\sigma}_{\beta\mu}$$. 所以等式右边涉及联络(6)的导数,因为(3)坐标变量为$$(\xi^i)$$. 如书中所述,这个导数可以利用(9)和(9)对$$(\xi^i)$$的导数来计算.而后者涉及的$$\partial\mathbf{e}_{(i)}/\partial \xi^j$$和$$\partial\mathbf{n}/\partial \xi^j$$可以通过(7)和(9)表达为联络和外曲率. 这样上述结果最终全部可以表达为$$\mathbf{e}_{(i)},\mathbf{n}$$以及它们对$$(\xi^i)$$的导数. 按书中提示,它们最后都可以表达成对易子(2)的形式,从而表达为等式左边的四维时空中的Ricci张量.

其中(13)和(14)之间的关系式的本质同样是把度规和曲面上的诱导度规的关系.具体推导参见Poisson一书(3.1.12),而该书(3.4.2)附近指出,等式右边其实定义了一个把张量分量投影到曲面上的投影算符.

最后,用曲面度规$$g^{bc}g^{ad}, g^{bd}$$(而非四维时空的度规)来缩并(12-13),注意到被缩并等式右边直接给出(14-15)等式右边的对应项,而等式左边则可利用上述关系式化简. 其中$${}^3R=h^{ab}{R}^m_{amb}$$,是曲面上的Ricci张量.

按勘误,这些表达式含有些小错误.具体证明参见,比如,Poisson一书(3.5.3-3.5.6)的证明.

(16-17)

如文中所述,(17)的证明与之前(10)非常类似,对(16)等式右边求协变导数,利用与(5)类似的张量的曲面切向的协变导数与普通导数的关系,即沿曲面切向平移在曲面切向的投影以及(9)曲面上坐标基沿曲面平行移动与外曲率的关系,即得.

(18)

一个熟悉且简单的概念就是文中提及的星体表面.在静态球对称的情况下,我们可以直接利用Birkhoff定理计算度规.而之后再用外曲率的定义来计算外曲率.这时,容易发现,因为度规由Birkhoff定理决定(参见Misner广义相对论)的史瓦西形式(参见Schutz(10.29-30)),因为星体表面$$n_\mu=\partial_r$$,按(8)计算得外微分在星体表面连续.但实际上,利用静态度规的讨论其实是不严格的,因为在知道物质能动张量的情况下,我们可以导数质壳的运动方程,换言之,在一般情况下,质壳不会静止不动.

一个更严格的计算是考虑动态尘埃球塌缩或者质壳塌缩问题的讨论. 这时,边界的唯一性要求曲面上内曲率是确定的,内曲率不依赖于内嵌方式,所以曲面内外的空间在其边界(即曲面)上的投影度规必须相同. 以上条件被称为第一类Israel连接条件. 如果这个条件不满足,则内外空间的交界面是两个不同的曲面,与最初的假设矛盾. 以此为基础,我们可以计算曲面在内外空间内的外曲率. 比如参见Poisson一书(3.8.7-3.8.8)通过具体计算(或者结果)表明,对于一个质量连续分布的尘埃球的塌缩,外曲率连续,它直接和物理上直观的解释相关. 对于球壳塌缩时,质壳两侧的外曲率不连续,而其差值也有直观的物理解释.

(19-20)

这里(19)仅仅是用等式的左边定义了等式右边的张量.而在(29)才开始引入背景度规.

而按Poisson一书的逻辑,首先引入曲面内嵌的空间,则这里(19)的左边是曲面两边度规的边界曲面上的外曲率的差,而等式右边是曲面附近的空间度规在曲面上投影的爱因斯坦张量. 这个结果的证明可参见Poisson一书(3.7.11).

将(19)两边与投影度规缩并从而取迹,注意到曲面的维度为3,即知$${\gamma_p}^p=\frac12 \kappa {S_p}^p=\frac12 \kappa S$$,代入即得(20).

(21-24)

没有具体证明,但利用定义很容易验证.

(26-28)

文中指出,可以把处于真空中的曲面看成在两面上都带有质量密度$$\sigma$$. 由(26)第一式,切向力为零.由(26)第二式,利用(23)的缩并关系知两者之和为零,利用(20)和上面给出的定义,知两者之差的大小.换言之,法向力大小相等,方向相反,为内力.

这里的推导与Poisson一书前后逻辑并不完全一致,但数学结果是完全等价的.

(29-30)

这里假设曲面被内嵌在某空间$$\tilde{V}$$中,文中指出,这样的空间并非唯一的. 但是按(14)与(24)可以得到(29)第一式,按(15)与(22)可以得到(29)第二式,故所有的空间都具有性质(29),即其爱因斯坦张量在曲面的垂直方向一致. 同时由(17),(21)与(23),得到(30),即在$$\tilde{V}$$中,由(16)延拓得到的能动张量$$S^{\alpha\beta}$$守恒.

(35)

这里给出一个具体的尘埃构成的质壳的例子.

页末加速度的计算,利用了曲面上矢量$$\mathbf{u}$$对曲面坐标的导数关系(10),并考虑了四速度守恒(36)下一式. 而这个结果给出了质壳的运动方程.

(38-40)

这里(38)因为法向量与曲面基的正交关系即得. 接着(39)可由(25)的定义和(23)得到. 最后(40)利用(19)上一式的定义,把差写成$$\gamma_{ab}$$再利用(20)写回$$S_{ab}$$,再次代入(35),完成四速度间的缩并即得.

对应的物理意义的分析要谨慎,同时我们注意到由推导过程这里的$$\frac{\delta}{\delta s}$$符号指的是协变导数后与四速度缩并,亦不严格的称为对固有时的协变导数,又参见下方(41)笔记. 首先(38)说明球壳上的尘埃四速度对固有时的协变导数在曲面切向的投影为零. 而(39-40)给出了在球壳两侧的坐标系中尘埃四速度对固有时协变导数的法向投影的和与差. 从而,(38-40)确定了在两个坐标系中加速度对固有时的依赖关系.

注意到上述方程决定都是分量的时间演化方程,而真正在物理上有意义的,是在$$\tilde{V}$$空间计算(注意到文中表达式用了$$\delta$$符号代表协变导数)
 * $$\frac{\delta\mathbf{u}}{\delta s}=\frac{\partial\mathbf{u}}{\partial \xi^j}\mathbf{u}^j$$

其中等式右边的前一个因子正是(10),而正如文中指出的,与$$\mathbf{u}^j$$缩并后,(10)等式右边第一项因为(36)为零,而等式右边第二项因为(37)为零. 故四速度在任意$$\tilde{V}$$空间以测地线方式运动. 这与物理直观一致,其一因为测地线运动方程不依赖于坐标系,其二因为物理上无限薄的壳层不应由运动而改变其厚度.

(41)

这里给出球对称情况下球壳灰尘的塌缩方程.

按本文第四部分最后的定义,曲面上的坐标是曲面两侧坐标系共有的,且(本文似乎没有强调)内曲率也是一致的.这样坐标$$(\theta,\varphi)$$为曲面两侧的坐标系所共有,在曲面两侧的曲面方程自然的就是径向坐标$$r=r(\theta,\varphi)$$,因此曲面两侧坐标系,除了$$t\ne T$$坐标外,其他变量都连续.

考虑灰尘没有角度方向运动,四速度只有时间和径向分量$$u^\mu_+=(\dot{R},0,0,X)$$. 对于球壳外侧,由史瓦西度规与四速度条件$$g_{tt}X^2-g_{rr}\dot{R}^2=1$$,即得$$X^2=(f+\dot{R}^2)/f^2$$.

计算法向量的细节值得注意,如果我们已知曲面的方程为$$f(t,r,\theta,\varphi)=0$$,那么通过求偏导就可得到法向量. 现在我们知道曲面由两个隐变量$$s$$的方程决定,$$r=R(s), t=T(s)$$,(注意并非$$f=r-R(s)$$)并没有上述显函的具体形式$$f(t,r,\theta,\varphi)=0$$. 但是,我们知道上述隐变量其实是边界的世界线的固有时,若我们假设已知函数形式为$$f(t,r,\theta,\varphi)=f(t(s),r(s))$$, 那么我们有$$\partial_\theta=\partial_\varphi=0$$和
 * $$\partial_t \dot{T}+\partial_r \dot{R}=\partial_t X+\partial_r \dot{R}=0$$

注意到上述表达式中$$(X,\dot{R})$$正是已经求得的世界线四速度的分量. 上述信息以及$$n_\mu$$归一的条件使得我们能够唯一的确定法向量的形式,即$$n^+_\mu=(X,0,0,-\dot{R})$$. 又见Poisson一书(3.8.6)下方的讨论.

文中表达式$$n_\alpha\frac{\delta u^\alpha}{\delta s}=X\frac{\delta^2 R}{\delta s^2}-\dot{R}\frac{\delta t^2}{\delta s^2}$$, 其中等式右边二项应为$$\dot{R}$$而非$$R$$. 值得注意的是,文中用$$\frac{\delta}{\delta s}$$代表对固有时的协变导数(协变导数与四速度的缩并). 所以$$\frac{\delta u^\alpha}{\delta s}$$是速度对固有时的协变导数. 类似的,$$\frac{\delta^2 R}{\delta s^2}$$代表对速度$$u^\alpha$$的协变导数的$$R$$分量. 从具体的$$\left.\frac{\delta^2 R}{\delta s^2}\right|^+$$的表达式中可以清楚的从使用中看到这个约定的意义.

(43)

这是对球壳情况下运动方程(39)在一次积分后的解. 运动方程就是(43)上一式,它的具体推导已重复. 为验证(43)满足运动方程,只需将(43)求导一次,将得到的$$\ddot{R}$$代回运动方程,验证满足即可.

对另外两个方程,(39)是自动被满足的.具体参见Poisson一书(3.8.4)下方的讨论. 可以取适当的曲面坐标系$$y^a=(\tau,\theta,\varphi)$$. 这样使得$$e^\mu_\tau=u^\mu$$,由于四速度归一显然满足(39).而$$e^\mu_\theta=(0,0,1,0)$$,处于速度和它的协变导数垂直的方向上. 最后(40)在(43)下一式给出,它同样不是一个运动方程,与质壳的质量与势能有关.

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Spinning Shell as a Source of the Kerr Metric, Phys. Rev. 170 (1968) 1187, by V.D. La Cruz and W. Israel
本文利用Israel连接条件,考察Kerr度规和内部柱对称度规的连接边界,内部度规形式,与边界曲面的能动张量.

(3)

连接边界被假定为椭球形.并对$$\epsilon$$逐阶展开.

(14)

这是最低阶结果,连接曲面为球形.这体现在外部度规的边界(3)中取$$\epsilon=0$$和内部度规在柱坐标中的边界(14).因为边界上的诱导度规必须一致(共形),所以外部度规的内边界为球面决定了内部度规的外边界也必须是球面.

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Source of the Kerr Metric, Phys. Rev. D 2 (1970) 641, by W. Israel
利用广义相对论的曲面边界方程,本文讨论了Kerr黑洞的源.

因为在Boyer-Lindquist坐标的$$r=0$$对应了一个类空曲面,它是一个平坦的三维时空. 而Kerr度规在该曲面两侧的切向投影,即诱导度规,是一致的.同时,其法向分量给出了曲面上物质分布对应的能动张量. 通过上述结果得到的源的物质分布是发散的.使得指出的是,本文得到的结果,与独立的从牛顿极限获得的源分布完全一致.

(4)

显然,这个投影度规可以直接通过在(2)中取$$r=0$$获得. 如文中所述,做代换$$\rho=a\sin\zeta$$后在$$(t,\rho,\phi)$$坐标系中这是一个(2+1)维平直时空,其中空间部分对应半径为$$\rho\le a$$的圆盘.

这里重要的信息是,在Boyer-Lindquist坐标的$$r=0$$与普通的求极坐标不同,它并不对应了一个没有维度的点,而是对应了一个类空曲面.

(5)

细节是这个曲面的法向量,它必须通过考察在$$r=0$$附近的四维时空而获得. 我们发现,因为$$\rho\in(0,a)$$对应$$\zeta\in(0,\pi/2)$$,仅对应四维时空中三维空间的上半平面$$\theta\in(0,\pi/2)$$.

实际上,按法向量的定义,约定一个方向后,我们得到(5)的第一步等号,而注意到$$\zeta$$的定义,我们得到(5)的第二步等号,它说明了,如Fig.1所示,曲面的法向实际上分别对应了上述圆盘的上下两个侧面.

进一步,因为上述曲面$$r=0$$是边界,我们无需为"外部"度规在曲面切向的投影度规是否与内部的Kerr度规的投影度规一致而担心. 尽管,按(4)的讨论,上述投影度规就是平庸的平直空间. 我们可以直接计算这个曲面上的能动张量,而正因为这个曲面对应了一个两维圆盘的上下两侧,我们可以通过法向量的差来计算这个圆盘的上的能动张量.

(7-9)

这里从能动张量中读出物质密度,四速度,和一个径向张力.

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Stable gravastars - an alternative to black holes? arXiv:gr-qc/0310107v2, by Matt Visser and David L. Wiltshire
本文用质壳的Israel连接条件讨论gravastar的稳定性问题.精彩的工作! 从足够一般的度规形式出发,作者采用了Gaussian normal坐标,要求内外时空在曲面上的投影度规相同,通过外曲率间断获得质壳能动张量,以及利用后者的运动方程,进而讨论体系的动力学稳定性.

(25-26)

这是静态质壳结果(12-13)的进一步推广,其中利用了四速度与四加速度垂直的条件.

(38)

考虑了状态方程$$\sigma=\sigma(\vertheta)$$后,由(31)可决定质壳质量随着质壳位置的变化关系$$\sigma=\sigma(a)$$.注意到$$\sigma$$不是常数.

由此代入(25),决定质壳运动的主方程.

(39-41)

文中指出,(38)具有一维保守体系的运动方程(39-40)的形式,且"总能量"满足$$E=0$$. 因此(41)自然的给出了其动力学稳定性的判据.

注意到其"总能量"为零的条件使得稳定性的讨论更为简单. 特别的,静态质壳的稳定性意味着质壳半径处于势场零点且为极小值. 由于总能量为零,平坦势场的临界情况在这里也是稳定的定态解. 而由P.11(52)下方的讨论(a)知,静态质壳的一种可能正对应了势场恒为零的情况.但(b)同样对应静态质壳.

(42)

作为一个例子,这是一种质壳半径域于有限空间的情况.

(45-47)

这里是假设已知势场和内外时空的质量来得到$$\sigma(a)$$,质壳质量随着位置的函数. 最后(47)是在曲面两侧间断的形式.

(49)

结合(47)与(49),我们发现其实可以从势场出发决定对应的状态方程.故本节被称为反解问题. 而之前的逻辑是从状态方程得到主方程,从而得到势场形式(40).

(51-52)

本文在这里开始具体代入Mazur–Mottola的gravastar模型的内外时空,这样内外时空质量被决定. 在此基础上有效势与状态方程仍然是自由的,故作者进而给出不同的分析.

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Ellipsoidal space-times, sources for the Kerr metric, Ann. Phys. 112 (1978) 22, by A. Krasiński
本文对Kerr黑洞的源的讨论给出了系统性的回顾.

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Relativistic disks as sources of the Kerr metric, Phys. Rev. Lett. 71 (1993) 1669, by J. Bičák and T. Ledvinka
本文通过静电场正负电荷电场和相应的导体表面面电荷密度的类比,构造对偶的Kerr黑洞的源.

我们考虑三种在经典电动力学中构造解的方案. 第一种情况.考虑一个负电荷的电场和一个以某平面为径向的电场,后者对应镜像点的同样电荷数的正电荷的电场,电场在镜像平面位置连续,且切向分量为零. 如果假设在平面正电荷一侧为导体,故电场完全为零,在负电荷一侧电场保持不变,我们可以用边界条件来计算出平面上的电荷密度. 由静电场唯一性原理,我们进而可以用得到面电荷分别来完全取代正电荷的电场. 由此我们构造出一个物理上有意义的静电场问题的解. 进一步,我们熟知一个更为一般的问题,若镜像正电荷的电荷数小于最初的负电荷,则镜像平面需要被替换为球面. 类似的,我们可以计算出取代正电荷的球面上的正电荷分布.

我们接着讨论第二种情况. 回到平面的问题,如果我们考虑在平面两侧镜像位置放置两个同号的电荷. 这时电场在平面位置同样是连续的,且法向分量为零. 这时,通过上述类似的手续可以推知平面上没有电荷. 虽然我们得到了一个在平面负电荷一侧满足拉普拉斯方程的解,但这个结果似乎没有实际价值,因为我们并没有任何熟知的物理体系对应上述镜像方案构造出的解.

本文讨论第三种情况,直接在平面右侧影像反演平面左侧的电场解. 同样在平面两侧,得到的电场都满足拉普拉斯方程. 在平面上,解的法向不连续,但切向连续.注意到后者保证了解在物理上有意义. 这时,我们可以通过边界条件由法向不连续性得到平面上对应的电荷. 对应的物理体系含有两个同号电荷和平面上的面电荷. 类似的,我们可以把问题推广到曲面,这时对应第一种情况,表面电场同样满足切向连续且法向不连续的条件. 我们同样可以推知满足物理意义的表面电荷.

具体做法是,把真空Kerr度规在以对称转轴为$$z$$的柱坐标下表达. 然后把上半空间中$$z=b$$平面下半空间中的$$z=-b$$平面缝合,产生一个新的度规. 由于Kerr度规是轴对称的,这样的缝合导致的诱导度规显然是相同的,而法向量在$$z=\pm b$$上正好方向相反,发散跳跃.

(11)

这里考虑以速度(7)绕着黑洞转的某"随动观察者"观测到的能动张量仍然具有粒子流(12). 换言之,能动张量(9)等式右边的两项分别对应了以相反方向绕行的粒子流. 因为这样构造的度规并不包含$$r=0$$处的奇点,上述能动张量对应的物质分布是度规的唯一的源.

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Counter-rotating Kerr manifolds separated by a fluid shell, arXiv:0908.1835, by J. P. Krisch and E. N. Glass
本文同样考虑两个对偶的真空Kerr度规的缝合问题,但是缝合位置是Boyer-Lindquist坐标的径向坐标$$r=R_0$$处. 这里,被缝合的两个度规的旋转方向正好相反,这样相当于坐标$$\varphi\to -\varphi$$.作者"证明",度规的切向分量,即投影度规是一致的. 接着本文同样通过Israel条件计算在度规分割曲面上的能动张量.

(3-4)

在曲面上的投影度规一致并不是很直观的,除非投影前的坐标已经把绕轴转动部分剔除了. 作者"证明",这点可以通过所谓ZAMO度规来(3)实现,我们看到度规对$$x^\mu_\pm=(t,r,\vartheta,\psi_\pm)$$形式上是对角的. 接着,我们可以比较度规(3)在曲面$$r=R_0$$的投影度规. 从四维时空ZAMO坐标$$x^\mu_\pm=(t,r,\vartheta,\psi_\pm)$$,投影到曲面坐标$$y^a=(t,\vartheta,\psi_\pm)$$. 容易发现,投影度规形式上的确相同.这样做的代价,就是两侧的外曲率的计算必须都在两侧的ZAMO度规中进行.

我们注意到坐标变换(4)以ZAMO的运动为角度基准,这与刚性转动(如arXiv:1408.6316中(26)的定义不同). 不难,将(4)代入(3)的确可以退回到Boyer–Lindquist坐标下的度规(1). 而问题就是坐标变换(4)实际上是不可能存在的. 这是因为如果(4)代表了某种坐标变换$$\psi_\pm=\psi_\pm(t, r, \vartheta, \varphi)$$,那么求偏导后得到
 * $$d\psi_\pm=\frac{\partial \psi_\pm}{\partial t}dt+\frac{\partial \psi_\pm}{\partial r}dr+\frac{\partial \psi_\pm}{\partial \vartheta}d\vartheta+\frac{\partial \psi_\pm}{\partial \varphi}d\varphi$$

而与(4)比较意味着
 * $$\frac{\partial \psi_\pm}{\partial \varphi}=1$$
 * $$\frac{\partial \psi_\pm}{\partial t}=-\Omega_\pm=-\Omega_\pm(r, \vartheta)$$
 * $$\frac{\partial \psi_\pm}{\partial r}=\frac{\partial \psi_\pm}{\partial \vartheta}=0$$.

显然上述关系满足麦克斯韦关系
 * $$\frac{\partial }{\partial t}\frac{\partial \psi_\pm}{\partial \varphi}=\frac{\partial }{\partial \varphi}\frac{\partial \psi_\pm}{\partial t}=0$$,

但却不满足
 * $$\frac{\partial }{\partial t}\frac{\partial \psi_\pm}{\partial \vartheta}=\frac{\partial }{\partial \vartheta}\frac{\partial \psi_\pm}{\partial t}$$,

实际上,我们可以定义的是积分关系
 * $$\psi_\pm=\varphi-\int\Omega_\pm dt$$

其中积分沿着ZAMO的世界线进行.但这样的话,我们自然的发现$$\frac{\partial \psi_\pm}{\partial \vartheta}=\int\frac{\partial\Omega_\pm}{\partial \vartheta} dt\ne 0$$, 与(4)矛盾.

实际上如果投影度规在曲面$$r=R_0$$上一致,这必然是一个不依赖于内嵌方式的结果,除了作为一种额外的方便手段,一般不需要通过改变坐标系得到证明. 可惜了这篇文章得到的结论是错误的.

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