Research Paper Notes on Spectroscopy and Signal-to-Noise Ratio

Research Paper Notes on Signal-to-Noise Ratio

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文献列表

 * Measuring gravitational waves from binary black hole coalescences. I. Signal to noise for inspiral, merger, and ringdown, arXiv:gr-qc/9701039, by Eanna E. Flanagan and Scott A. Hughes
 * Gravitational-wave spectroscopy of massive black holes with the space interferometer LISA, arXiv:gr-qc/0512160, by Emanuele Berti, Vitor Cardoso, and Clifford M. Will


 * Algebraic approach to time-delay data analysis for LISA, arXiv:gr-qc/0112059v2, by S. V. Dhurandhar, K. Rajesh Nayak and J-Y. Vinet

Measuring gravitational waves from binary black hole coalescences. I. Signal to noise for inspiral, merger, and ringdown, arXiv:gr-qc/9701039, by Eanna E. Flanagan and Scott A. Hughes
本文是后续Cardoso文章的基础.

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Gravitational-wave spectroscopy of massive black holes with the space interferometer LISA, arXiv:gr-qc/0512160, by Emanuele Berti, Vitor Cardoso, and Clifford M. Will
这篇文章讨论了QNM频率振幅和对应的SNR探测器信噪比的相关计算.

因为黑洞QNM的不同模式的强度和相位其实取决于初始条件,所以这里的做法是在合理的区间内取平均.

(2.2)

引力扰动至少是从四极距$$l=2$$开始的.

(2.3-6)

对Kerr黑洞的度规扰动,这里(2.3)是数学上严格形式是(2.3),径向部分是Teukolsky函数,它在角度部分的基spheroidal函数上展开的,而时间依赖部分中涉及的频率是实数.

但是作为一种近似我们用指数衰减的QNM来取代径向和时间部分的因子,这就是(2.6).同时spheroidal函数的自变量取为与QNM频率有关的值.

(3.1ab)

注意到等式右边分别取了实部和虚部,容易按(3.1ab)下面的定义建立与(2.9)之间的联系.

(3.4)

这就是计算SNR的基本公式,本文后面就是对其进一步化简和近似.这里$$h$$由被探测到的波形(3.2),进而由(3.1ab)与(3.3ab)得到,而$$S_h(f)$$由探测器决定.

(3.5)

这个结果被用来计算波形的傅里叶变换.注意到$$F_+, F_\times$$部分是不含时的,所以傅里叶变换只需要对$$h_+, h_\times$$展开.

注意这个积分因为指数上的$$|t|$$是绝对值,所以结果不是零,也不能用留数定理.被积函数虚部的积分正好抵消,故等于零,所以积分结果是实数.后者等于被积函数从零到正无穷大的积分结果的实部的两倍.

(3.19)

因为我们不知道不同的准正则模式的振幅与幅角,所以也不知道引力波能量占黑洞质量的比例(3.15).换言之,对于固定$$l,m,n$$的准正模式,这三个量之间满足一个关系,这就是(3.19).

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Algebraic approach to time-delay data analysis for LISA, arXiv:gr-qc/0112059v2, by S. V. Dhurandhar, K. Rajesh Nayak and J-Y. Vinet
本文讨论了TDI组合中的SNR计算

(4.2-3)

这里考虑了两种不同的引力波极化,在极坐标下把对应的张量基用归一的单位矢量$$\hat{\theta},\hat{\phi}$$表达出来.

注意到,这里的理论基础,即爱因斯坦引力中引力波的计划形式的推导可以参考Schutz广义相对论引论(9.21)以及Fig.9.1的推导过程.第一个基是反对称的,而第二个基是对称的.背景度规是平直空间.

(4.7-9)

这里的计算就是考虑度规扰动下,光测地线的空间距离与时间间隔的关系.最后(4.9)就是把扰动张量基在引力波传播方向上缩并.

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