Lecture Notes of Classical Electrodynamics by John David Jackson

Lecture Notes on Classical Electrodynamics 3rd Edition by John David Jackson

本文档除了包括推导, 疑惑 外,做 读书重点 的记录

Ch.6 Maxwell Equations, Macroscopic Electromagnetism, Conservation Laws
P.241 (6.25)

读书重点 这是一个重要的结论,对任何矢量成立.它的数学意义为,任何矢量场都可以按(6.27-28)写成一个无源场和一个无旋场的和的形式.这个结论利用本书中的公式即可构造证明,证明中涉及到矢量场计算中一些值得小心谨慎的细节,现分步阐述如下 首先可以证明(6.27)的确是无旋场,而(6.28)的确是无源场.观察(6.27-28)而注意到其实


 * $$\begin{align}

&\nabla \times (\nabla \varphi) =0 (\varphi \equiv -\frac{1}{4\pi}\int \frac{\nabla'\cdot \vec J}{|\vec x-\vec x'|}d^3x')\\ &\nabla \cdot (\nabla \times \vec {\mathfrak F}) =0 (\vec {\mathfrak F} \equiv \frac{1}{4\pi}\nabla\times\int \frac{\vec J}{|\vec x-\vec x'|}d^3x') \end{align}$$

接着我们给出证明的基本思路.我们假设,对任何 $$\vec J$$ ,必然可以分写为两部分之和, $$\vec J=\vec J_l+\vec J_t$$ .其中 $$\vec J_l$$ 无旋而 $$\vec J_t$$ 无源.则(6.26)可写为


 * $$\begin{align}

\nabla^2 \vec J=\nabla(\nabla \cdot \vec J_l)-\nabla \times (\nabla \times \vec J_t) \end{align}$$

而同时


 * $$\begin{align}

\nabla^2 \vec J=\nabla^2 \vec J_l+\nabla^2 \vec J_t \end{align}$$

由于 \vec J_l 和 \vec J_t 线性独立,则取其一为零即可得另一方的方程,从而


 * $$\begin{align}

&\nabla^2 \vec J_l=\nabla(\nabla \cdot \vec J_l)=\nabla(\nabla \cdot \vec J) \\ &\nabla^2 \vec J_t=-\nabla \times (\nabla \times \vec J_t) =-\nabla \times (\nabla \times \vec J) \end{align}$$

把方程最右边看成线性方程的非奇性部分,利用


 * $$\begin{align}

&\nabla^2 G(\vec x-\vec x' )= \delta(\vec x-\vec x') \\ &-\frac{1}{4\pi}\nabla^2 \frac{1}{|\vec x-\vec x' |}= \delta(\vec x-\vec x') \end{align}$$

格林函数 $$G(\vec x-\vec x' )= \frac{1}{|\vec x-\vec x' |}$$ 即得到


 * $$\begin{align}

&\vec J_l=\int \nabla'(\nabla'\cdot \vec J(x'))G(\vec x-\vec x')d^4x'=-\frac{1}{4\pi}\int \nabla'(\nabla'\cdot \vec J(x'))\frac{1}{|\vec x-\vec x'|}d^4x' \\ &\vec J_t=\int \nabla'\times(\nabla'\times \vec J(x'))G(\vec x-\vec x')d^4x'=-\frac{1}{4\pi}\int \nabla'\times(\nabla'\times \vec J(x'))\frac{1}{|\vec x-\vec x'|}d^4x' \end{align}$$

它们在形式上与(6.27-8)已经非常接近,但是又不相同,具体参加下面的讨论.

接下来我们给出上面的直接证明.即无旋场 $$\vec J_l$$ 和无源场 $$\vec J_t$$ 的确满足(6.27-28),换言之,我们把(6.27-28)右边做替换 $$\vec J=\vec J_l+\vec J_t$$ ,然后证明表达式自洽即可.第一,我们讨论表达式(6.27-28).注意到(6.27-28)等式右端如果 \vec J 是 $$\vec x$$ 的函数完全可以放在积分号外,故这里是 $$\vec J(\vec x') $$.(6.27)分子上的 $$\nabla'$$ 仅仅作用在分子上而不作用在分母上,不然应该写在分数的前面.(6.28)积分号外的 $$(\nabla\times\nabla\times)$$ 的导数部分作用在积分号内分母标量函数的$$ \vec x$$ 而非 $$\vec x'$$ 上,但是其作为矢量操作的(常数)分量代数运算却是作用在积分号内分子上的矢量函数 \vec J(\vec x') 上的,需要特别注意. 第二,部分积分法,并矢的部分积分法和并矢形式的高斯定理.高斯定理是重要的,因为它是使用部分积分法后扔掉体积分的数学依据,但是考虑并矢后,需要特别注意公式的具体形式,不然容易产生错误. 公式证明中对数字函数的部分积分法涉及到两个


 * $$\begin{align}

f\nabla g = \nabla (fg) - g\nabla f \end{align}$$

和


 * $$\begin{align}

f\nabla^2 g= \nabla \cdot (f\nabla g)-(\nabla f)\cdot (\nabla g)=\nabla \cdot (f\nabla g)-\nabla\cdot g(\nabla f)+g\nabla^2 f \end{align}$$

这都是我们所熟悉的.

对并矢的部分积分需要特别注意.并矢的散度为


 * $$\begin{align}

\nabla \cdot \vec{\vec T}=\mathbf \nabla \cdot (AB) =\nabla_A \cdot (AB)+\nabla_B \cdot (AB)= (\nabla\cdot A) B + (A\cdot \nabla) B \end{align}$$

而下面公式等号并不成立


 * $$\begin{align}

\mathbf \nabla \cdot (AB) \ne (\nabla\cdot A) B + A (\nabla\cdot B) \end{align}$$

这个关系说明并矢中的两个矢量地位并不对称,在(6.27)中, $${\mathbf A} \equiv \vec J(x'), {\mathbf B} \equiv \nabla' \frac{1}{|\vec x -\vec x'|}$$ .它导致在证明(6.27)的过程中我们不能对散度 (\nabla'\cdot ) 套用部分积分,因为这样下去不会得到所需要的 $$\delta(\vec x -\vec x')$$ .如果我们对梯度 \nabla' 使用部分积分,则可以得到需要的结果. 对旋度同样有 $$\nabla \times ({\mathbf A}b) = (\nabla\times {\mathbf A}) b + ({\mathbf A}\times \nabla) b $$ 对并矢的情形 $$\nabla \times \vec{\vec T}=\mathbf \nabla \times (AB) =\nabla_A \times (AB)+\nabla_B \times (AB)= (\nabla\times A) B + (A\times \nabla) B $$ 而下面的关系是不等式 $$\mathbf \nabla \times (AB) \ne (\nabla\times A) B + A (\nabla\times B) $$ 在(6.28)中,分别涉及到 $${\mathbf A} \equiv \nabla'\times \vec J(x'), b \equiv \frac{1}{|\vec x -\vec x'|}$$ 以及 $${\mathbf A} \equiv \vec J(x'), {\mathbf B} \equiv \nabla' \times \frac{1}{|\vec x -\vec x'|}$$ .在证明中具体体现在 $$(\nabla\times\nabla\times)$$ 作为矢量操作的(常数)分量代数运算是作用在积分号内分子上的矢量函数 $$\vec J(\vec x')$$ 上的,而导数部分作用在积分号内分母标量函数 $$\frac{1}{|\vec x -\vec x'|}$$ 上,部分积分涉及将对 $$\vec x'$$ 的导数从 $$\frac{1}{|\vec x -\vec x'|}$$ 转移到 $$\vec J(\vec x') $$.这需要引起特别的注意.

下面我们给出(6.27-28)的直接证明.

对(6.27),注意到 $$\nabla \frac{1}{|\vec x-\vec x' |}=\nabla \frac{1}{|\vec x'-\vec x |}=-\nabla' \frac{1}{|\vec x-\vec x' |}$$ ,利用一次部分积分法 $$f\nabla g = \nabla (fg) - g\nabla f $$,代入(6.26),利用 $$\vec J_l$$ 无旋而 $$\vec J_t$$ 无源的假定,再利用部分积分法 $$f\nabla^2 g= \nabla \cdot (f\nabla g)-(\nabla f)\cdot (\nabla g)=\nabla \cdot (f\nabla g)-\nabla\cdot g(\nabla f)+g\nabla^2 f$$ ,最后借助格林函数具体形式 $$(\nabla\cdot\nabla) \frac{1}{|\vec x-\vec x' |}=\nabla^2 \frac{1}{|\vec x-\vec x' |}=\nabla'^2 \frac{1}{|\vec x-\vec x' |}=-4\pi \delta(\vec x-\vec x')$$ .具体如下


 * $$\begin{align}

&-\frac{1}{4\pi}\nabla\int \frac{\nabla' \cdot \vec J(x')}{|\vec x-\vec x' |}d^4x' \\ &=+\frac{1}{4\pi}\int ( \nabla'\frac{1}{|\vec x-\vec x' |}) \nabla' \cdot \vec J(x')d^4x' \\ &=+\frac{1}{4\pi}\int ( \nabla'\frac{1}{|\vec x-\vec x' |}) \nabla' \cdot (\vec J_l(x')+\vec J_t(x'))d^4x' \\ &=+\frac{1}{4\pi}\int ( \nabla'\frac{1}{|\vec x-\vec x' |}) \nabla' \cdot \vec J_l(x')d^4x' \\ &=-\frac{1}{4\pi}\int \frac{1}{|\vec x-\vec x' |}(\nabla'(\nabla'\cdot \vec J_l(x')))d^4x' \\ &=-\frac{1}{4\pi}\int \frac{1}{|\vec x-\vec x' |}(\nabla'\times \nabla'\times \vec J_l(x')+\nabla'^2\vec J_l(x'))d^4x' \\ &=-\frac{1}{4\pi}\int \frac{1}{|\vec x-\vec x' |}(\nabla'^2\vec J_l(x'))d^4x' \\ &=-\frac{1}{4\pi}\int \vec J_l(x')(\nabla'^2\frac{1}{|\vec x-\vec x' |})d^4x' \\ &= \int \vec J_l(x')\delta(\vec x-\vec x')d^4x' \\ &=\vec J_l(x) \end{align}$$

正如上面提及的,在上述证明中需要注意到


 * $$\begin{align}

&\frac{1}{4\pi}\int ( \nabla'\frac{1}{|\vec x-\vec x' |}) \nabla' \cdot \vec J_l(x')d^4x' \ne -\frac{1}{4\pi}\int \vec J_l(x')(\nabla'\cdot \nabla' \frac{1}{|\vec x-\vec x' |})d^4x' \\ &= -\frac{1}{4\pi}\int \vec J_l(x')(\nabla'^2 \frac{1}{|\vec x-\vec x' |})d^4x' \end{align}$$

虽然形式上,如果不等式为等式,似乎可以更加快捷的得到需要的结果. 而(6.28)的证明非常类似,具体如下


 * $$\begin{align}

&\frac{1}{4\pi}\nabla \times \nabla \times \int \frac{\vec J(x')}{|\vec x-\vec x' |}d^4x' \\ &=\frac{1}{4\pi} \int  (\nabla' \times \nabla' \times \frac{1}{|\vec x-\vec x' |})\vec J(x')d^4x' \\ &=\frac{1}{4\pi} \int \frac{1}{|\vec x-\vec x' |} (\nabla' \times \nabla' \times \vec J(x'))d^4x' \\ &=\frac{1}{4\pi} \int \frac{1}{|\vec x-\vec x' |} (\nabla' \times \nabla' \times (\vec J_l(x')+\vec J_t(x')))d^4x' \\ &=\frac{1}{4\pi} \int \frac{1}{|\vec x-\vec x' |} (\nabla' \times \nabla' \times \vec J_t(x'))d^4x' \\ &=\frac{1}{4\pi} \int \frac{1}{|\vec x-\vec x' |} (\nabla'  (\nabla' \cdot \vec J_t(x'))-\nabla'^2 \vec J_t(x'))d^4x' \\ &=\frac{1}{4\pi} \int \frac{1}{|\vec x-\vec x' |} (-\nabla'^2 \vec J_t(x'))d^4x' \\ &=\frac{1}{4\pi} \int \vec J_t(x') (-\nabla'^2\frac{1}{|\vec x-\vec x' |})d^4x' \\ &= \int \vec J_t(x')\delta(\vec x-\vec x')d^4x' \\ &=\vec J_t(x) \end{align}$$

最后,我们需要补充证明我们的假定,即对任何 $$\vec J $$,必然可以分写为两部分之和, $$\vec J=\vec J_l+\vec J_t$$ ,其中 $$\vec J_l $$无旋而 $$\vec J_t$$ 无源.对此,我们只需要找到一个特殊的两项的和的形式即可.注意到(6.27)是无旋的,我们只需要证明剩余部分, $$\vec J$$ 与(6.27)的差,是无源的即可,换言之


 * $$\begin{align}

\nabla \cdot \left\{\vec J-(-1)\frac{1}{4\pi}\nabla\int \frac{\nabla' \cdot \vec J(x')}{|\vec x-\vec x' |}d^4x' \right\}=0 \end{align}$$ 为此,我们计算


 * $$\begin{align}

&\nabla \cdot \left\{(-1)\frac{1}{4\pi}\nabla\int \frac{\nabla' \cdot \vec J(x')}{|\vec x-\vec x' |}d^4x' \right\}  \\ &=(-1)\frac{1}{4\pi}\nabla^2\int \frac{\nabla' \cdot \vec J(x')}{|\vec x-\vec x' |}d^4x'   \\ &=\int \nabla' \cdot\vec J(x')\left(-\frac{1}{4\pi}\nabla^2\frac{ 1}{|\vec x-\vec x' |}\right)d^4x'  \\ &=\int \nabla' \cdot \vec J(x')\delta(\vec x-\vec x')d^4x'  \\ &=\nabla\cdot \vec J(x) \end{align}$$

证毕.

P.245 (6.46) 这个情况和我们所熟悉的,推迟格林函数不同.因为当我们知道在时间趋于无限大时的电磁波,那么当被积坐标 $$\vec x' \rightarrow \infty$$ 时,影响的时间差 $$\mp \frac{|\vec x-\vec x'|}{c}$$ 同样趋于无穷,包含推迟格林函数会影响时间无穷大时的电磁波,从而只可能包含超前格林函数.

Ch.8 Waveguides, Resonant Cavities and Optical Fibers
P.353 (8.2-3) 这两个式子是对理想导体的边界条件.理想导体内无电场,无体电流.由于考虑的是电磁波,所以不考虑静磁场.由麦克斯韦方程,动态的磁场由电场由电流和位移电流决定.而位移电流数值非常小,总是可以忽略,故导体内无磁场.图8.1是一个重要的概念性图景. 数学上,利用积分形式 $$\oint_C \vec H \cdot dl=I$$ 来得到(8.2),一个理解方式如下.首先由于积分回路 $$dl $$紧贴着平面,电流仅仅与磁场平行于平面的分量决定,故使用叉乘.其二电流的方向在 $$dl $$与磁场平行于平面的分量一致时最大,实际上,电流由 $$dl$$ 在磁场平行于平面的分量方向上的投影决定,故正好与叉乘方向一致.

P.353 (8.4) 这里考虑良导体而非理想导体,故需要利用电介质磁性物质的麦克斯韦方程.存在体电流,而无面电流,故电流对无限小面积的面积分为零.另外注意到这时导体内接近表面处磁场不为零.故得到(8.4).但是由于是导体,我们在解方程时,可进行各种理想化处理.

P.354 (8.7) 第一式对(8.6)第一式两边求导 $$\frac{\partial}{\partial \xi}$$ ,对(8.6)第二式两边左乘 $$\vec n \times$$ .并注意到由(8.6)第一式, $$E_c$$ 垂直于$$ \vec n$$ ,从而 $$\vec n \times (\vec n \times \frac{\partial\vec E_c}{\partial \xi})=-\frac{\partial\vec E_c}{\partial \xi}$$. 第二式对(8.6)第二式两边从左边点乘 $$\vec n \cdot$$ 即得.

P.357 (8.23) 第一行第一式,由(8.16)第一行第一式得到. 左边 $$\nabla\times \vec E=\nabla\times \vec E_t+\nabla\times \vec E_z$$ ,其中 $$\vec E_t=E_x \hat x+E_y \hat y$$ .按分量具体写出得


 * $$\begin{align}

&\hat z \times (\nabla\times \vec E_t)=-\frac{\partial E_x}{\partial z}\hat x-\frac{\partial E_y}{\partial z}\hat y=-\frac{\partial E_t}{\partial z} \\ &\hat z \times (\nabla\times \vec E_z)=(\frac{\partial }{\partial x}\hat x+\frac{\partial }{\partial y}\hat y)E_z=\nabla_t E_z \end{align}$$

右边 $$\hat z \times \vec B=\hat z \times \vec B_t $$

同理得到第二行第一式.

第一行第二式,由(8.16)第一行第一式得到. 左边按分量具体写出得


 * $$\hat z \cdot (\nabla\times \vec E)=\frac{\partial E_y}{\partial x}-\frac{\partial E_x}{\partial y}=\hat z \cdot (\nabla_t\times \vec E_t) $$

右边 $$\hat z \cdot \vec B= B_z $$

同理得到第二行第二式.

第三行的两个式子仅仅只需把(8.16)第二行两个散度按定义写出,然后把横向部分保留在等式左边,把剩余的 z 部分移动到等式的右边即可.

P.358 (8.26a) 把 $$\hat z \times$$ 左乘(8.24)第二行第一式,注意到 $$\hat z \times (\hat z \times \vec E_t)=-\vec E_t$$ .以及由(8.18),把所有对 $$z$$ 的导数都替换为 $$\pm ik$$ .然后代回(8.23)第一行第一式即得.

P.358 (8.27) 不清楚书上的论断.但是由(8.26a)看到,如果 $$E_z=0,B_z=0,E_t\ne 0$$ ,那么等式右边的分母必须为零.

P.359 (8.30) 考虑(8.24)第二行第一式,在 $$\hat n$$ 方向上的分量.下面说明等式左边的两项的分量贡献都是零,等式右边即是(8.30)左边. 首先考虑等式(8.24)左边第一项, $$B_t$$ 包含两个分量.一个分量沿着切线方向,与我们考察的兴趣无关.另一个分量沿着 $$\hat n$$ 方向,正式我们所需要考虑的,但是由P.359上 $$\hat n\cdot \vec B =0$$ ,法向分量为零.故没有贡献. 接着考虑等式(8.24)左边第二项,同样 $$E_t$$ 包含两个分量.一个分量沿着切线方向,与 $$\hat z$$ 叉乘后真是我们需要的分量,但是由于(8.29),在导体表面电场切线分量为零,这项贡献等于零.另一项沿着 $$\hat n$$ 方向,用 $$\hat n$$ 叉乘后得到零.

P.359 关于波导的解的一般讨论

读书重点. TM波和TE波之间是什么关系.考虑(8.26ab)及(8.31),两者的线性组合情况更为复杂.但是另一方面,波动方程是线性方程,即满足同样边界条件(在这里是(8.29-30))解的线性组合仍然是波动方程的解.所以这里按书上所述,TM,TE以及TEM构成了波导问题完备的本征解.

P.359 (8.31-2) 只需要注意到 $$\nabla_t B_z,\nabla_t E_z$$ 按定义都与$$ \hat z$$ 方向垂直,从而


 * $$\begin{align}

&\hat z \times (\hat z \times \nabla_t B_z)=-\nabla_t  B_z \\ &\hat z \times (\hat z \times \nabla_t E_z)=-\nabla_t  E_z \end{align}$$