Research Paper Notes on Acoustic Black Holes

Research Paper Notes on Acoustic Black Holes

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文献列表

 * Equation for Nonlinear optical propagation beyond the paraxial approximation, Proc. SPIE 3418 (1998), by S. Alam and C. Bentley
 * Geometrical aspects of light propagation in nonlinear electrodynamics, arXiv:gr-qc/9911085v1, by M. Novello

Equation for Nonlinear optical propagation beyond the paraxial approximation, Proc. SPIE 3418 (1998), by S. Alam and C. Bentley
本文从麦克斯韦方程出发,讨论近轴近似和更一般情况下的非线性电介质中的电场方程.

(1)

这就是Jackson一书的(8.108),具体推导参见该书的笔记.

注意到$$n^2\equiv\frac{\mu\epsilon}{\mu_0\epsilon_0}=\frac{\mu_0\epsilon}{\mu_0\epsilon_0}=\frac{\epsilon}{\epsilon_0}$$,故和书中方程比较有一个因子$$2$$.

(3)

注意到媒质中波矢$$k=\frac{\omega n}{c}$$,真空波矢$$k_0=\frac{\omega}{c}$$.而(2)中电场沿着$$z$$方向传播,故其波矢必然就是媒质中的波矢.

如文中所述,将(2)代入(1)即可得到(3).

对(1)中等式左边的第一项,一共可以写出4项贡献. 延横向方向的两阶空间偏导为一项. 沿着$$z$$方程的两阶偏导给出三项. 其中对$$\mathbf{F}$$的两阶偏导由近似近似而被忽略.其余两项分别是对$$\mathbf{F}$$和指数函数各做一次偏导,含系数$$2$$,以及对指数函数的两阶偏导. 最后一项与方程左边第三项正好抵消,因为$$k=k_0 n$$.

但是 不清楚 方程(1)左边第二项如何化简为(3)等式右边的$$\frac{k^2}{n_1}\delta n \mathbf{F}$$.

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Geometrical aspects of light propagation in nonlinear electrodynamics, arXiv:gr-qc/9911085v1, by M. Novello
本文讨论非线性光学对应的等效弯曲时空对光测地线的影响

(4-6)

这与广义相对论中的Israel连接条件非常相似. 其中,(4)指电磁张量(对应度规)在曲面两侧连续,(5)指电磁张量的导数的不连续性只能在法向,而(6)是曲面法向的定义,在文中称为波矢.

(8)

就是变分原理导致的欧拉拉格朗日方程,注意到结果只有一项因为电磁张量中只含有场的导数项而不含有$$A_\mu$$.

(9-10)

这就是在曲面$$\Sigma$$两侧计算(8)并取差的结果.其中利用乘积的导数的计算以及(4-5).

(11)

这个结果的推导只需要注意到(5)的等式左边在取差前满足轮换关系,故取差后仍然满足轮换关系.

(13)

这里从(9)等式右边的第一项中解出$$f^{\mu\nu}k_\mu=\frac{2L_{FF}\xi F^{\mu\nu}k_\mu}{L_F}$$代入(12)等式右边的第二项中因子$${f_\nu}^\lambda k_\lambda$$. 这样在$$\xi\ne 0$$时约去$$\xi$$,即得与边界无关的结果.

这里有两个问题.第一,上述推导结果仅在非平庸的边界$$\xi\ne 0$$处成立,不在bulk内任意位置成立.第二,$$k_\mu$$被称为波矢,但是它仅是曲面的法向量,即便电磁波(没有必然性的)垂直于曲面,$$k_\mu$$在一般情况下由曲面决定,未必是零矢量.

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