Research Paper Notes on Pole Skipping

Research Paper Notes on Pole Skipping

本文档除了包括推导, 疑惑 外,做 读书重点 的记录 $$$$

文献列表

 * Horizon constraints on holographic Green's functions, arXiv:1904.12883v2, by Mike Blake, Richard A. Davison, and David Vegh
 * Holographic chaos, pole-skipping, and regularity, arXiv:1905.12014v2, by Makoto Natsuume, Takashi Okamura
 * Nonuniqueness of Green's functions at special points, 1905.12015v2, by Makoto Natsuume, Takashi Okamura

Horizon constraints on holographic Green's functions, arXiv:1904.12883v2, by Mike Blake, Richard A. Davison, and David Vegh
(2.2)

参见arXiv:1409.3575v4一文(10.41-42)的讨论和笔记.

(2.8)

最简单的情况,比较arXiv:1409.3575v4一文(10.17)和(10.24)的结果. 具体的,我们有$$\phi_B\to \phi^{(0)}\phi^{(1)}, \phi_A\to \phi^{(0)}$$. 另外,注意到文中$$\phi^{(0)}\sim u^0\sim r^0$$,故$$\Delta=0$$,$$\Delta-d-1=0-3-1=-4$$,和$$2\Delta-d-1=0-3-1=-4$$,与文中(10.24)一致.

对于一般的情况,类似的,比较arXiv:1409.3575v4一文(10.44),格林函数的定义相同的$$G=\langle O\rangle_s/\phi^{(0)}$$. 具体计算给出(10.76),同样与(2.8)一致.

与黑洞格林函数相比,这里考虑的是黑洞背景下某标量场在无穷远边界上的对偶场论中的格林函数,这对应了把黑洞中的标量毛的通解分割为源与对偶算符的相应,而且计算是在近似$$u\to 0$$下完成的. 虽然两者显然存在关系,但仅从定义本身出发,这并不是黑洞时空中标量扰动的格林函数.

(2.11)

正如脚注里指出的,如在$$(r,t)$$坐标下而非延时坐标$$(r,v)$$计算,我们可以证明(2.11)对应的指数正好为一半,即$$\pm i\omega/4\pi T$$.

换言之,我们在视界附近$$r\to r_0$$,我们有
 * $$e^{-i\omega (t+r_*)}(r-r_0)^{i\omega/4\pi T}=e^{-i\omega v}(r-r_0)^{i\omega/4\pi T} \to (r-r_0)^0$$.

具体证明如下.

我们先化简上面的表达式的左边为$$e^{-i\omega v}(r-r_0)^{i\omega/4\pi T}=e^{-i\omega t}e^{i\omega\frac{\ln(r-r_0)}{r_0^2 f'(r_0)}-r_*}$$ 其中我们利用了霍金温度的具体关系$$4\pi T=r_0^2 f'(r_0)$$. 我们注意到,在视界附近,$$r_*\to -\infty$$且$$r \to r_0+0_+$$,所以上面的第二个因子指数部分$$i\omega\left(\frac{\ln(r-r_0)}{r_0^2 f'(r_0)}-r_*\right)$$,它是$$[(-\infty)-(-\infty)]$$的不定型. 所以,原则上,我们需要用类似洛必达法则来处理.实际上,我们可以在视界附近$$r\to r_0+0_+$$计算导数
 * $$\frac{d\left(\frac{\ln(r-r_0)}{r_0^2 f'(r_0)}-r_*\right)}{dr}$$

的极限.

我们得到
 * $$\frac{d\left(\frac{\ln(r-r_0)}{r_0^2 f'(r_0)}-r_*\right)}{dr}

=\frac{d\left(\frac{\ln(r-r_0)}{r_0^2 f'(r_0)}\right)}{dr}-\frac{dr_*}{dr} =\frac{1}{r_0^2 f'(r_0)(r-r_0)}-\frac{dr_*}{dr} =\frac{1}{r_0^2 f'(r_0)(r-r_0)}-\frac{1}{r_0^2 f(r)} =\frac{1}{r_0^2 }\frac{f(r)-f'(r_0)(r-r_0)}{f(r) f'(r_0)(r-r_0)} =\frac{1}{r_0^2 }\frac{f'(r)-f'(r_0)}{f(r) f'(r_0)+f'(r) f'(r_0)(r-r_0)}$$
 * $$=\frac{1}{r_0^2 }\frac{f(r)}{f'(r) f'(r_0)+f(r) f'(r_0)(r-r_0)+f'(r) f'(r_0)}

=\frac{1}{r_0^2 }\frac{f(r)}{2f'(r) f'(r_0)+f(r) f'(r_0)(r-r_0)} \to \frac{1}{r_0^2 }\frac{f''(r_0)}{2{f'}^2(r_0) } \sim \mathrm{finite}$$ 我们注意到在视界上$$f(r_0)=0$$,故在视界附近$$f(r)\to f'(r_0)(r-r_0)$$,上述极限是$$\frac00$$形式的,由连续两次应用洛必达法则得到结果. 这个结果说明,上述因子$$i\omega\left(\frac{\ln(r-r_0)}{r_0^2 f'(r_0)}-r_*\right)$$在视界附近随着$$r\to r_0$$同时趋于零.证毕.

(2.12)

由于$$\omega \to -i2\pi Tn$$,出射波解对应的指数上的出射波形式在(2.12)中贡献的是一个幂次.

(2.16)

这里极点跳跃对应两个条件,分别对$$\omega=\omega_1$$和$$k=k_1$$都有要求.

(2.19)

这里通过在极点跳跃条件附近对$$\omega$$和$$k$$展开,从而得到唯一解.但通过对展开点处$$\delta\omega/\delta k$$的斜率的选取,既可以要求入射波在无穷远处有界(可重整),这对应了朗斯基行列式的零点,即格林函数的极点的条件;也可以要求出射波为零,由(2.8),即格林函数零点的条件.所以在跳跃点,存在一个方向上格林函数发散,和另一个方向上格林函数为零.

(3.5)

与(2.16)比较,这是更一般的跳跃点满足的条件,其中对波矢$$k_n$$的条件是行列式为零,故一般存在$$n$$个解.

(3.6)

不难用递归的办法证明这个结论.

首先对于最低阶的情况,容易得到
 * $$\phi_1=\frac{M_{11}\phi_0}{i\omega-2\pi T}$$
 * $$\phi_2=\frac{1}{i\omega-4\pi T}\left(M_{21}\phi_0+M_{22}\phi_1\right)

=\frac{1}{(i\omega-4\pi T)(i\omega-2\pi T)}\left(M_{21}(i\omega-2\pi T)+M_{22}M_{11}\right)\phi_0=\frac{\mathrm{Det}M^{(2)}}{N^{(2)}}\phi_0$$ 假设上述结果对于$$j$$阶成立,则对$$(j+1)$$阶,我们有
 * $$\phi_{j+1}

=\frac{1}{(i\omega-(j+1)\pi T)N^{(j)}}\left(M_{j1}N^{(j)}+M_{j2}N^{(j-1)}+M_{j3}\mathrm{Det}M^{(2)}+\cdots+M_{jj}\mathrm{Det}M^{(j)}\right)\phi_0$$
 * $$=\frac{1}{N^{(j+1)}}\left(M_{j1}\mathrm{Sub}(M_{j1})+M_{j2}\mathrm{Sub}(M_{j2})+M_{j3}\mathrm{Sub}(M_{j3})+\cdots+M_{jj}\mathrm{Sub}(M_{jj})\right)\phi_0

=\frac{\mathrm{Det}M^{(j+1)}}{N^{(j+1)}}\phi_0$$ 其中注意到,$$\mathrm{Sub}(M_{j3})$$是矩阵元$$M_{j3}$$对应的代数余子式.证毕.

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Holographic chaos, pole-skipping, and regularity, arXiv:1905.12014v2, by Makoto Natsuume, Takashi Okamura
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Nonuniqueness of Green's functions at special points, 1905.12015v2, by Makoto Natsuume, Takashi Okamura
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