Lecture Notes of Solid State Physics by Ashcroft and Mermim

Lecture Notes of Solid State Physics by Ashcroft and Mermim

本文档除了包括推导, 疑惑 外,做 读书重点 的记录

Ch.1 The Drude Theory of Metals
P.11 (1.12)

如书中所述,这里和一般的牛顿第二定律相比增加了一个弛豫项.该弛豫项对应由于碰撞造成的电子动量的损失.后面分别讨论两种情况.第一种情况是动量不随时间变化的稳定解,比如(1.17),对应弛豫项和加速项正好抵消的情况.第二种情况是外场随时间周期性变化,比如(1.23),这时讨论也随着时间周期性变化的稳态解.

P.14 Hall Angle

这里讨论与磁场或者$$\omega_c$$的大小无关.因为电流必须沿着$$x$$方向,电场与电流的夹角就是电场和$$x$$的夹角,由(1.17)即得这个角度的正弦值.

P.17 (1.37)

这里将Drude模型对周期性变化电场的欧姆定律(1.28)用于讨论金属中(存在传导电流情况下)的麦克斯韦方程,和得到不衰减的平面波解的条件(1.36).

P.19 (1.45)

这里将Drude模型对周期性变化电场的欧姆定律(1.28)用于讨论金属中(存在传导电流情况下)的电荷守恒方程,和得到波动解的条件(1.45).

P.22 (1.50)

似乎这个推导中最大的问题是没有考虑速度随空间的变化,假设电子密度不是空间的函数,推导至少忽略了另外一项平均速度对空间的导数.这在(1.57-58)给出的具体的解释.但是正如书中明确指出的,这个推导除了这样那样的问题外,另一严重的问题就是著名的电子比热问题,没有任何实验得到过电子比热,因为这是一个量子统计才能解决的概念.

Ch.2 The Sommerfeld Theory of Metals
P.33 (2.5)

这里书中简单的讨论了为什么用周期性边界条件,而非无限深势阱边界条件.这里没有明确提出电子波函数的动量与导体内电流强度的关系.但是在后面(2.93)计算热传导率与电导率比值关系时,使用了费米面上的电子速度来取代Drude模型中的经典统计力学的平均速度,从这点可以看到量子力学描述中波函数动量与经典图像中电子速度导致的电流强度的大致定性关系.这个物理图像是,金属的电导率主要由费米面附近的价电子的波函数与其对应的价电子密度$$n$$决定.这个问题在后续章节(Ch.12)中有更为仔细的论述.

P.41 (2.44)

这里是一个推导费米狄拉克分布的方法.由于(2.39),这个推导在物理上从属于吉布斯统计的系综的推导(区别于波兹曼统计推导).关系(2.44)考虑两个总粒子数分别为$$N$$和$$N+1$$的分布,由(2.40)并利用其能量差以及(2.45)直接得到.换言之,这两个分布虽然有直接的对应关系,但是$$P_N(E_N)$$与$$P_{N+1}(E_{N+1})$$并不相同.

P.47 (2.81)

如书中指出的,如果仅仅需要考虑比热对温度的依赖关系,那么对温度的线性依赖关系可以直接由费米分布得到,比如参见苏汝铿统计力学.这里书中给出其物理解释.

P.50 (2.90)

这个表达式的 物理意义 为,按量子力学测不准原理,不可能在比较准确的估计电子动量的情况下,认为电子从属于某原子核.

Ch.3 Failures of the Free Electron Model
P.59 Fundamental Mysteries and Review of Basic Assumptions

这里给出了基于量子统计分布的自由电子模型的总结和该模型没有给予解释的物理内容.其理论发展的大致思路是:第一步,量子力学,从自由粒子的薛定谔方程发展到考虑由晶格点阵造成的周期场中的薛定谔方程;第二步,量子场论,考虑电声子相互作用.

Ch.4 Crystal Lattices
P.65 Equivalence of the two definitions

证明从定义(a)得到定义(b)必须明显的构造元胞基矢.构造参见问题8a的构造方案.容易证明,按这个构造方案(1)不可能在$$a_1$$和$$a_2$$平面内存在任何格点,(2)不可能在$$a_1$$,$$a_2$$和$$a_3$$构成的平行六面体内存在任何格点.值得一提的是,元胞的构造并不唯一,而按这个构造方法一般并不得到对称性最高的元胞.比如立方点阵按这个方法只能得到平行六面体元胞格子.

P.71 Primitive Unit Cell

书中原初晶胞的定义包含两个要素.第一,当把元胞按任何格点矢量进行平移,那么平移后的元胞必须正好占有平移之前另一个原初晶胞的空间.第二,所有原初晶胞之间没有重叠,也不留出多余空间.所以原初晶胞正好填满整个空间.

值得注意,按此定义,原初晶胞的定义不是唯一的,原初晶胞不一定是单连通的,按给定的规律每个原初晶胞能且只能且必然对应一个格点,该格点其实并不一定在原初晶胞体积内,不同定义下的原初晶胞的体积是相同的.

P.73 Wigner-Seitz Primitive Cell

维格纳塞茨晶胞的定义是,一个空间点属于与它距离最近的格点的维格纳塞茨原初晶胞.因为(除了交界面)最近邻格点的是存在且唯一的,维格纳塞茨晶胞是原初晶胞.

直观的,维格纳塞茨晶胞的界面就是相邻格点之间的布拉格平面.

P.78 (4.10)

注意到这里$$c$$对应于垂直于正三角形构成的平面,两层交错紧密排列的球厚度的高度.参考图4.2.1注释的讨论.作为一个立体解析几何题目,没有具体验证(4.10).但是上述论断可以通过图形搜索"密排六方晶格"得到.

Ch.5 The Reciprocal Lattice
P.91 Miller Indices

任何格点平面都过原点.这是因为任何格点都是等价的--它的周围环境与任何其他格点完全相同.

同样道理,格点平面必然包含任何格点.

对于面心和体心结构,通常把整个晶胞作为一个格点,这样整个体系可以视为简单立方晶格.注意到此时的简单立方晶格可以视为就是由除去面心和体心外的格点构成.这时,一个很大的好处是因为实际上任何面心或者体心立法的格点平面都平行于(但并不一定从属于)对应的简单立方晶格的某格点平面--这是因为任何过原点和面心或者体心的连线必然通过另外一个简单立方的格点,同时任何格点都是等价的.所以简单立方的米勒指数可以被用来描写面心或者体心立方的格点平面.

P.92 (5.13)

其中$$A$$必然是$$2\pi$$的整数倍,因为$$e^{i(K\cdot r)}=1$$.

同时$$x_i$$必须为整数.

Ch.6 Determination of Crystal Structures by X-ray Diffraction
P.100 (6.10-11)

显然劳厄散射比布拉格散射的物理图像更为正确,数学形式更为简单,但是后者更为直观.但是正由于这个等价性证明,在一般的教科书上一般都采用直观上更容易描述的布拉格散射.

P.105 (6.13)

因为其中任何散射源对一个固定的散射源的相对贡献是(6.5),故(6.13)是(6.5)对$$n$$散射源的推广.

Ch.7 Classification of Bravais Lattices and Crystal Structures
P.117 Fig.7.4

注意到这里标记的1和2在不同的层面上,所以体心正方晶格可以看成为面心正方晶格.

P.118 Fig.7.6

这个图说明体心单斜晶体等价于面心单斜晶体.在途中面心单斜晶体没有明显标出.但是注意到该图类似于Fig.7.4,同时面心单斜的晶胞在平面上的面积是体心单斜晶胞在平面上面积的4倍,就应该能找到.

Ch.8 Electron Levels in a Periodic Potential: General Properties
P.135 (8.18-19)

(8.18)由(8.17)代入(8.15)直接得到,不需要(8.16).

(8.19)由(8.16)代入(8.18)得到.

P.136 (8.27-29)

这里一个值得讨论的问题是将当前讨论的结论和常数势场下的结果做比较.书中指出(8.29)和平面波箱归一情况下的结果一致.

同时,我们可以这样理解,因为常数势场具有任何晶格满足的对称性,所以必然满足布洛赫定律.我们可以把常数势场的体系视为具有晶格常数$$a_i$$,同时对于一定的体系的体积,其周期性边界条件也可以取为(8.22),从而得到(8.27).但是,常数势场的体系也可以被视为晶格常数为原来的一半的情况,这样每一维度的格点数增加为原来的两倍同时倒格子矢量的大小也变为原来的两倍,综合两点我们得到(8.28-29)形式完全不变.所以体系的每个状态在动量空间占据的体积数仅仅和体系的坐标空间的体积有关,或者说,在动量和坐标乘积空间中每个态占据$$h=2\pi\hbar$$.这一点不会由于晶格常数的具体数值,换言之,系统满足的对称性而改变.

P.137 (8.30-31)

矢量$$\mathbf q$$来源于边界条件(周期性条件),它比到格子的分辨率高且它的可能取值涉及全部动量空间并不限于第一布里渊区.

矢量$$\mathbf K$$由于周期性条件,为倒格子矢量,所以仅仅是前者的一个子集.

P.138 (8.40)

对于任何矢量$$\mathbf q$$总是可以通过适当的平移使之处于第一布里渊区.

P.138 (8.41)

这里除了注意到系数方程按$$\mathbf k$$以及平移分组分布,不同组的方程之前各自独立.重要的是其实$$\mathcal E$$是能量本征值,各组方程对应的能量可以是不同的.换言之,(8.41)是能量本征方程,本征波函数对应系数组.这正是布洛赫定律讨论的上下文.

P.141 (8.50)

这里给出能带的形式上的定义.即对于第一布里渊区中一个给定的$$k$$,(8.48)可以看成是以$$k$$为参数的薛定谔方程.这样得到不连续的能级,用$$n$$来标记.反过来对于给定的能级$$n$$,对应的能量应该是$$k$$的连续函数.注意到如果体系的体系足够大,那么按(8.29),$$k$$几乎可以连续的取值.这样,把固定$$n$$对应所有第一布里渊区中的$$k$$对应的几乎连续的能量值的集合称为能带$$n$$.

这里,为了方便,我们可以把$$k$$延拓到全动量空间,而把(8.50)定义为以倒格子矢量为周期的周期函数.

P.141 (8.51)

基于附录的讨论,从数学上来看(8.51)并不意外.其物理意义无非是,在量子力学角度,电子在固体中是始终保持稳态的运动的,而非如经典模型中的图像.在经典图像中,由于晶格的存在,任何运动的电子会由于碰撞而减速,而这正是电导率的经典解释.在量子力学中,即便没有任何电场的驱动,任何携带非零波矢的本征态一般都对应始终在运动的稳恒态.

Ch.9 Electrons in a Weak Periodic Potential
P.153 (9.3-4)

旁注,一个很精彩的关于在周期势场下波函数和能谱形成的讨论参考Sakurai量子力学,具体在第四章Fig.4.7附近.

我们在这里 给出比书中更具体的关于 如何用(9.3)得到自由电子的能量的解(2.7)的讨论.

这里所涉及的核心问题是如何理解自由电子的能谱(2.7)与动量$$\mathbf k$$限制在第一布里渊区内的周期性晶格能带$$\mathcal E$$的关系.

以下我们不妨不失一般性仅考虑一维的情况.因为自由电子对应常数势场,满足任何周期势场的对称性.从而原则上满足(8.41).但是实际上,自由电子的势场的傅立叶级数展开除了$$U_0$$其余系数都为零(而按(8.33)的习惯定义$$U_0=0$$).所以,其系数$$c_k,c_{k-K},c_{k-K'}$$满足的方程不再是耦合的,这一点在讨论的时候需要额外的注意力.对于耦合的方程(8.41),按(8.48)的讨论,我们理解为对任何$$\mathbf k$$存在分立的能带,不同的能带可用指标$$n$$来标记.对于自由电子,对应(8.41)我们有方程(9.3).我们知道对自由电子,按(2.7),其能量正比于动量的平方,且动量的取值不限于第一布里渊区.为了说明这个结论在周期性势场上下文中的自洽性,观察波函数的形式(8.47)和能量本征方程(8.48).假设某电子的真正的动量处于第一布里渊区以外,记为$${\mathbf q}={\mathbf k}-{\mathbf K}$$,其中$${\mathbf k}$$在第一布里渊区之内,$${\mathbf K}=m b$$是倒格矢量.我们发现自由电子的平面波可以写为$$u(r)=e^{-i{\mathbf K}\cdot r}$$.显然,将该波函数代入(8.48)得到的自由电子波函数的能量与(2.7)自洽.这自然的让我们猜测,这个能量应该相应于第一布里渊区内动量$${\mathbf k}$$的第$$n=m+1$$能带中的能量.

接着我们直接证明,由周期势场的薛定谔方程(9.3)得到的不同能带的解的确对应自由电子的解(2.7)或者(9.4),$${\mathcal E}_{\mathbf k}^0=\frac{\hbar^2{\mathbf k}^2}{2m}$$.首先讨论第一级能带.为此先考虑$${\mathbf K}=0$$时的(9.3).此时$${\mathbf k-K}$$处于第一布里渊区内部.参考书上(9.4)下面的讨论,这时要么$${\mathcal E}={\mathcal E}_{k-K}^0={\mathcal E}_{k}^0$$且$$c_{k-K}=c_k\ne 0$$;要么$$c_{k-K}=c_{k}=0$$且$${\mathcal E} \ne {\mathcal E}_{k-K}^0={\mathcal E}_{k}^0$$.前者说能量相当于电子动量$$\mathbf k$$处于第一布里渊区内时满足(2.7)的形式,这时电子在第一布里渊区内波函数的系数不为零.后者说如果电子在第一布里渊区内波函数为零,那么能量就也不等于第一布里渊区内动量对应的能量.注意到第二种可能并没有提供任何关于此时能量具体数值的信息.我们选取第一种可能,即$${\mathcal E} = {\mathcal E}_k^0$$.但是为了得到完整的波函数(9.1),我们仍需要知道此式其他布里渊区波函数系数,比如$$c_{k-K}$$.这只需要考虑$$\mathbf K \ne 0$$时的(9.3),因为$$\mathbf K$$仅仅是方程(9.3)的一个参数.这时因为能量已知且显然$${\mathcal E} = {\mathcal E}_k^0 \ne {\mathcal E}_{k-K}^0$$,为了使得(9.3)满足,唯一的可能是$$c_{k-K} =0$$.由此我们得到了(9.3)的对应给定$$\mathbf k$$的一个可能的解,这个解对应(2.7)在第一布里渊区内的能量,其对应的波函数也仅有$$c_k$$分量不为零.

接着,我们考虑第$$n=m+1$$能带,这时取$$\mathbf K =m b$$,并观察方程(9.3).我们知道方程为零仍然意味着两种可能,我们取第一种可能,即$$\mathcal E = \mathcal E_{k-K}^0$$且$$c_{k-K} \ne 0$$.注意到$$\mathbf k$$是在第一布里渊区内的,所以$$\mathcal E_{k-K}^0$$就是将处于第$$m$$布里渊区内的动量代入(2.7)的形式,这个能带的能量即是以$$\mathbf K =mb$$为能量零点双曲线在$$\mathbf k$$处的取值.比较之后Fig.9.1处的讨论.同样的,我们需要得到完整的波函数,从而需要讨论系数$$c_{k-K'}$$,其中$$\mathbf K'\ne mb$$(显然包括$$\mathbf K'=0$$).利用同样的推导我们知道$$c_{k-K'} = 0$$.这样我们得到了(9.3)对应给定$$\mathbf k$$的另外一个可能的解,这个解对应(2.7)在第$$m$$布里渊区内的能量,其对应的波函数也仅有$$c_{k-K}$$分量不为零.

按同样的逻辑我们可以得到其他任何能带的能量值,它们都正好是将$$\mathbf k$$利用倒格子基矢做平移后按(2.7)得到的结果.至此我们从方程(8.41)出发,得到了自由电子的能带,它与(2.7)完全一致.直观的图像,包括之后考虑了能带分裂后的情况,可以参考Fig.9.4.

P.153 (9.6)

注意到(9.6)的表达式是在(9.4)中被定义的.方程(9.6)意味着,存在一个第一布里渊区内的动量,他离开若干的倒格子的距离都接近相等.对高于一维的矢量,这是容易理解的,即便对于一维的情况,这也是可能的.这时由(9.4)决定的他们之间的能量差别与(微扰的)势场数值相近.一维的情况见Fig.9.1,其中两个自由粒子能级分别是以$$\mathbf K$$和$$\mathbf K_1$$为零点的抛物线.在高维情况下,正如书中后面指出的,对应的$$\mathbf k$$正好处于布拉格平面上.

按Fig.9.1,我们注意到这个点实际上正是不同能带的交汇点.正是(2.7)在第一布里渊区边界上折射的位置.值得注意的是,正如后面在书中指出的,在微扰后这个点的能级的变化要大于能带的其他位置.实际上这导致了在连续的自由电子能量表达式基础上能隙分裂的产生.(9.26)和Fig.9.3给出具体的例子.

P.155 (9.13)

按(9.2),我们可以把(9.9)中的$${\mathcal E}^0$$简单的看作定义.但是实际上,按(2.7)的具体形式和上面的讨论,$${\mathcal E}^0_{k-K}$$的数学表达式(9.4)正对应着不能能带的自由电子的能级,其中不同的$$\mathbf K$$对应着当$$\mathbf k$$固定时不同的能带.这时方程(9.2)被用于微扰求解存在弱小势场时能带的变化.

书中接着讨论,对于非简并情况,下面的能带被上方的能带往下排斥,而上面的能带被下放的能带往上推动.所以,这些能带之间是相互排斥的.而最重要的结论是,非简并态的修正为二阶,而对简并态的修正为一阶.所以后者在弱相互作用情况下对能量本征值的影响更大,其实,后者对能带的形成的作用才是最重要的后果.

P.158 Fig.9.3

一个貌似强词夺理的问题是为什么这里由(9.26)得到能隙,而不是两个交叠起来的在$${\mathbf q}={\mathbf K}/2$$处导数为零的能带,因为这时能量在$${\mathbf q}={\mathbf K}/2$$满足(9.26)且其导数关于动量连续.这个问题相当于说为什么我们要把(9.26)的正号解和$$\mathcal E_{\mathbf q}^0$$联系起来,而把正号解和$$\mathcal E_{{\mathbf q}-{\mathbf K}}^0$$联系起来.回答是一般情况下不可能.理由是,如果不存在能隙那么能量分布连续,所以可以在能带覆盖范围找到任何数值的能量,而按(9.26),我们可以证明微扰以后并不能找到一个能量解正好等于原来$${\mathbf q}={\mathbf K}/2$$处微扰之前的自由电子的能量,这是因为(9.26)的第二项的绝对值是与布拉格平面距离的单调函数,换言之,在离开布拉格平面后,微扰后能量变大的会变得更大,能量的减少的解会继续减少,因为能谱是连续的,所以Fig.9.3的图像成立.反之,如果能带曲线交错,那么能量分裂会随着与布拉格平面的距离的增加而减小,与(9.26)不符.

在一维情况下,完整的能带是关于$$\mathbf q=0$$的偶函数.这对应能量相对两个倒格子点$$\pm \mathbf K$$的曲线关于$$\mathbf q=0$$对称.图中只是给出了和能隙相关的部分.一个很全面的描述参见图Fig.9.5.三维的情况参见Fig.9.5及其讨论,其中出于物理上相同而几何上更复杂的原因,能带曲线存在简并.

P.158 (9.28)

首先对自由粒子能量表达式求导,我们得到$$\frac{\partial\mathcal E^0({\mathbf q})}{\partial {\mathbf q}}=\frac{\hbar^2}{m}\mathbf q$$.将这个结果代入对(9.26)求导.其中的第二项,$$U_K$$为常数,前面部分得到的导数正比于$$(\mathcal E_q^0-\mathcal E_{q-K}^0){\mathbf q}-({\mathbf q}-\mathbf K)=(\mathcal E_q^0-\mathcal E_{q-K}^0)\mathbf K$$,如果$$\mathbf q=0$$仅仅在布拉格平面上运动,因为$$\mathcal E_q^0=\mathcal E_{q-K}^0$$,对能量导数没有贡献.注意,这不仅仅是因为(9.26)的第二项在布拉格平面上为常数,比如$$(\mathcal E_q^0-\mathcal E_{q-K}^0)$$在布拉格平面上数值始终为零,但是其空间导数不为零,而是在垂直于平面的$$\mathbf K$$方向上.同理,第一项的导数就是(9.28)的右边,这是一个沿着布拉格平面的方向,故在垂直与布拉格平面的方向上(9.26)的变化率为零.

换言之,能带分裂处能量(对垂直于布拉格平面方向的$$\mathbf q=0$$的)导数为零.对三维情况,这就是Fig.9.3,而对一维情况,这就是Fig.9.4描绘的结果.

P.162 Fig.9.6

这时采用的是拓展的能带结构表述,对应一维情况Fig.9.4(d),这样表达的好处是,除了简并微扰打开的简并能级,在大致形态上,能带和原本自由电子气的能级是很接近的.所以,并不是把所有的能量都表达在第一布里渊区.

在能级密度足够大的情况下,能量最小化导致,费米面为等能面.在自由电子的情况下,能量仅仅是动量的模的函数,所以导致了球队称的费米球.而在弱周期势(即晶格)的影响下,出现了能带,情况变得复杂.作为很好的近似,我们假设仅仅在布拉格平面上出现能带的分裂,而在其他位置上能谱保持完全不变.具体的直观上动量空间的费米面可以参考本章习题1的讨论.这里右边的图对应习题1的(b)情况.我们对习题1的讨论给出总结如下.

首先不难证明(9.26)可以写成(9.36),这样方面讨论在费米面和布拉格平面的交线.注意到,如果我们仅仅讨论在布拉格平面上的电子能量,那么能量对动量的依赖仅来源于$$k^2$$项,而$$k_{||}$$没有贡献,因为后者在平面上为零.

第一种情况,如果$$\Delta<0=0$$,那么电子在布拉格平面上任何点都不会达到能级分裂后下能带的最大值,其实这个最大值是在$$\frac12 K$$点,即动量空间原点到布拉格平面的垂足,最容易达到.这时这个布拉格平面对电子能级毫无影响,费米面是球形的.

第二种情况(a),如果$$0<\Delta<2|U_K|=0$$,那么电子在布拉格平面上任何点都不会达到能级分裂后上能级的最小值,其实这个最小值是在$$\frac12 K$$点最容易达到.同时,在$$\frac12 K$$点的能量必然比能级分裂后下能带的最大值要大.因此在$$\frac12 K$$点附近,费米面和布拉格平面完全重合(形象的,费米面原来的球面被布拉格平面削平了.)但是这个重合区域是有限大的,最大半径的位置就由费米能量正好等于能级分裂后下能带的最大值决定.$$\mathcal E_F=\mathcal E(\rho)=\mathcal E_{K/2}^0+\frac{hbar^2}{2m}\rho^2-U_K$$,其中注意到在平面上动量半径正是$$\rho=k_{perp}$$.这就得到(9.38)的结果.这个结果的图书上没有画出来.

第三种情况(b),如果$$\Delta>2|U_K|=0$$,那么电子在布拉格平面上$$\frac12 K$$点的能量能级分裂后上能级的最小值要大.所以在$$\frac12 K$$点附近,费米面恢复为自由电子气的球面.但是这个球面是有限的,其实考虑当布拉格平面上某一点的能量正好等于能级分裂后上能带的下限,这时这位置的半径的位置由$$\mathcal E_F=\mathcal E(\rho_1)=\mathcal E_{K/2}^0+\frac{hbar^2}{2m}\rho_1^2+U_K$$决定.等于和大于这个半径时,费米面正好就会回上上面讨论的被布拉格平面削平的那种情况.当小于这个半径时,如图Fig.9.6(b)所示,自由电子气的球对称费米面光滑的和布拉格平面上的$$\rho_1$$半径点连接,而非直挺挺沿着动量空间半径方向掉下来.这是因为动量沿着径向稍稍离开布拉格平面相当于如图Fig.9.4(c)沿着$$k$$轴,能级需要一个光滑的过度才能回到自由电子气的能级.最后,相应的在布拉格平面$$\rho_2$$半径处电子能量正好等于能级分裂后下能带的上限,换言之小于这个半径是电子能量更小,费米面被布拉格平面削平.这个半径满足$$\mathcal E_F=\mathcal E(\rho_2)=\mathcal E_{K/2}^0+\frac{hbar^2}{2m}\rho_2^2-U_K$$.将上述两式相减即得到书中的(9.39).

最后因为每个量子态在动量空间占据的体积是一定的,所以如果费米面在某位置低于球面就会在另一位置高出球面.因为$$\rho_1<\rho_2$$,所以最后结果必然如图Fig.9.6(b)所示.

P.163 第n布里渊区

书上证明,第n布里渊区是一个原初晶胞.不失一般性,我们以第2布里渊区为例,重述这个证明如下.

首先我们把第2布里渊区定义为,(除了边界面外)任何空间点属于离它第2近邻的格点的第2布里渊区.因为第2近邻格点是存在且唯一的.所以,任何一点都属于某个唯一格点(除了边界外)的第2布里渊区,从而空间是被第2布里渊区填满的,显然,基矢整数倍的平移把任何一个第2布里渊区的点移动到由平移矢量决定的另一对应格点的第2布里渊区.这样满足上述定义的第2布里渊区是原初晶胞.

接着我们证明上述定义和书上的定义是等价的.考虑任何一个空间点和它的第2近邻格点之间的线段,同时考虑这个格点和其他任何格点间的布拉格平面.这根线段唯一可以有交点的布拉格平面只有一个,就是第2近邻格点和第1近邻格点.有交叉点是因为,这个点处于其最近邻格点的第1布里渊区内,而它的第2近邻格点在最近邻格点的第1布里渊区外,而第1布里渊区的边界就是这两个格点的间的布拉格平面,所以从内到外,必须与此(无限大的)布拉格平面相交.不和其他任何布拉格平面相交是因为,因为任何其他布拉格平面都是第2近邻格点和更远格点连线上的布拉格平面,假设线段和平面存在交点,可以通过向平面做垂线来得到对应格点的坐标,用平面几何关系,可以证明该格点比第2近邻格点更接近问题中的空间点,故假设不可能成立.这样,我们就得到了书中的定义,就是改点如果处于某格点的第2布里渊区,那么它和格点的连线将穿过且只能穿过1次问题中格点的所有布拉格平面.

可以通过Fig.9.7实例来直观的看到各布里渊区的情况,比如各布里渊区的确面积(两维情况下的体积)相等,在按格点平移后可无重叠的填满全空间.另外注意到定义中布拉格平面的集合是针对某一格点而言的,所以在中心处布拉格平面很稀疏,而往边界处布拉格平面越来越密集.

我们还可以证明下面的推论.第n布里渊区内的所有点都可以通过倒格子空间基矢整数倍的平移来没有重叠的填满第1布里渊区.我们仍然以第2布里渊区为例来证明.证明分下面的步骤.第一,第2布里渊区内任何点都对应且唯一对应一个基矢整数倍的矢量,通过这个矢量可以把这个点平移到第1布里渊区内.第二,一个不在第2布里渊区边界上的点平移到第1布里渊区内部,而不是边界上.这样,由连续性,一个单连通的第2布里渊区部分可以通过同一个矢量整体平移到第1布里渊区内.第三,不可能有两个不同的点通过平移被移动到第1布里渊区内的同一点.反之,这两个点的坐标的差必然是基矢的整数倍,这样它们不可能都处于第2布里渊区.综上,我们可以把第2布里渊区的各部分没有重叠的移动到第1布里渊区内,因为两者的体积是一样的,所以这些部分正好把第1布里渊区填满了,证毕.

P.165 Fig.9.9

图(c)对应图(a)的结构之下的费米球面转换到第一布里渊区内的表面,图(d)对应图(b)的结构之下的费米球面转换后的表面,图(e)对应费米球的剩余部分转换后的表面.显然,转换后的表面不再是球面.在图(c-e)中,空心框架对应第一布里渊区.由于对于4个价电子的情况,费米球完全处于第一布里渊区外,故表面(c-e)与第一布里渊区无任何交集,完全落在其内部.但是由于布里渊区分割的特点,很多布里渊区的边界平移后落在第一布里渊区的边界上,故布里渊区与费米球的交界在平移后也很可能落在第一布里渊区的边界上,这正是我们在Fig.9.9-10中可以看到的.

P.165 Fig.9.10

在询问了Masayuki和Denilo后仍然存在的 疑惑 ,但是正如在Fig.9.10中指出的,第n布里渊区转换到第一布里渊区后的$$\mathbf K=0$$的位置并不是第一布里渊区的几何中心,为什么呢?

P.167 (9.31)

这里$$\phi$$是每个离子的场,不是周期函数,$$R$$是对所有的晶胞求和,$$j$$是对晶胞内的所有离子求和.最后得到的函数,由于对$$R$$的无限求和,是周期函数.

Ch.10 The Tight Binding Method
P.178 Fig.10.2

这里注意到势场并非解(10.4)对应的势场,而是(10.6)对应的势场.它在中心原子的位置为0,在波函数不为零处修正很小,在周围原子的位置为负无穷大的排斥势,其余位置为中间值.

P.178 (10.4)

由(10.5)的证明,我们看到满足布洛赫条件的波函数并不仅仅是直接的周期性叠加,每个波函数还需要乘以一个额外的相位因子.我们理解其背后的物理是,布洛赫条件满足比"波函数的模必须有晶格周期性"以外更多的条件,即整个体系的边界条件.

(10.4)不仅仅满足Bloch条件,因为这里假设在单原子波函数不为零的位置势场修正总是为零,$$\psi$$是满足单原子薛定谔方程的解,不难验证,它同时也是满足周期性势场的薛定谔方程的解.而通过构造(10.4)可直接得到满足布洛赫条件的解.注意到这里的构造其实无非是把无数简并能量的单原子波函数做线性组合而已.

P.179 (10.7)

虽然很多时候是基于不同的上下文,这就是化学中著名的混杂态的数学形式.

P.180 (10.12)

这个公式的意义是,一方面在极端情况下,由(10.14),它的确回到每个原子波函数完全独立的图像.而在另一方面,在微扰论的思想下,把周期性晶格视为对势场的微扰,这些微扰打开了单原子波函数角量子数的简并,从而形成了s,p,d等能带.

P.188 (10.29)

如书上所述,由(10.28)以及布洛赫定理(8.5)可以得到(10.29)在布拉韦矢量下平移不变,但是并非对任何矢量平移不变.但是反过来注意到(10.27)中仅仅涉及对晶格格点的求和,所以唯一需要的仅仅是对布拉韦格点的平移不变.这是因为利用对布拉韦格点的平移不变,可以把(10.27)的右边可以写为$$\sum_R f_n(0,{\mathbf r}-{\mathbf R})e^{i{\mathbf R}\cdot {\mathbf k}}$$.由于在求和中函数$$f_n$$的第一个变量始终取常数$$0$$,所以可以定义位矢差的函数$$\phi({\mathbf r}-{\mathbf R})\equiv f_n(0,{\mathbf r}-{\mathbf R})$$,即(10.29)

Ch.11 Other Methods for Calculating Band Structure
P.195 (11.5)

由布洛赫原理,这个积分只需要考虑对一个晶胞的积分即可,因为对不同晶胞的指数振动部分的乘积始终为$$1$$.

下面的讨论大致说,(在核区的)价电子波函数振动很快,应该由很多大波数的波函数构成;而弱势场自由电子近似只是牵涉到在布拉格平面上少数简并的波函数的微扰论,故两者的物理图像是不同的.可以参考下面P.200的APW解法.

P.201 (11.16)

这里书中的叙述似乎有点不明确为什么对于任何一组$$k$$和$$\mathcal E$$都能找到解,而且还是唯一解.在Stefaan Cottenier - Density Functional Theory and the Family of (L)APW-methods a step-by-step introduction的18页对这个解的顺序有一个比较详细的表述.

复述书中提到的一个要点,原子附近的波函数与倒格子空间的动量$$k$$完全无关,但是其径向部分的波函数与薛定谔方程对应的能量有关.原子格点间的解由平面波的线性组合构成,但是每个平面波的形式与能量无关.

其实在下面的注解16指出一个似乎很重要的问题涉及对解的直观理解:对于能量本征值固定的无势场薛定谔方程的解,就是对应原子格点空隙的波函数.因为能量确定且势场为零,这是可能会以为波函数必然是对应固定能量数值的平面波的叠加,理由如下.在周期性势场下,薛定谔方程的解为对不同倒格矢动量的解的线性组合对应(8.42),在考虑它的解与自由粒子的解的关系,从而考虑在弱势和无简并的近似下,对应的波函数和能量修正为(9.11)和(9.13).在势场逐渐趋于零的极限情况下,仅仅某一支对应自由电子动量能量关系的解幸存,其余波函数系数都逐渐趋于直到为零.注意,上述 理解是不正确 的.因为上述论断中弱势场的假设也是错误的.首先,我们总是可以把问题看为复杂的周期性边界的薛定谔方程的解的问题,这时我们仅仅考虑由平面波满足周期性条件的所有平面波的线性组合构成的解,注意到其中虽然每个波函数单独满足的能量动量关系,每个平面波的能量完全不同,这些平面波不代表任何物理意义,仅仅对应满足条件的函数空间的基,如果求和对无限多的基矢进行,那么上述解放严格成立,求解过程可以看成用这些平面波构成的基对应的矩阵力学来求解薛定谔方程.但是在势场趋近为零的时候如何理解呢?这里值得指出,势场仅仅在原子格点空隙为零而非全空间为零,这时,把这种势场认为是弱势场的说法是不合理的,因为对应的哈密顿量中势场的矩阵元涉及波函数对势场的全空间的积分,由于势场在原子核附近有限,显然其结果不可微扰.如果我们仅仅考虑在原子核点间隙是我们的问题的全空间,那么问题焦点转移到边界条件上,我们断定问题的边界条件从无势场到松饼模具势的改变不是平庸的,导致微扰论的公式不能被直接使用.实际上,我们直观的知道,这时候问题的解的波函数肯定不是自由电子的平面波.在上述论述中,把其他能量的波函数分量做微扰处理的做法或者导致很大的偏差或者就是错误的,所以必须老老实实的把(8.42)所有满足边界条件的平面波解都考虑进来.

比较难直观理解的是如何得到球形区域内的(球谐展开)波函数和区域外的(平面波叠加)波函数(光滑的,原则上,在势场连续的情况下)连接.这个问题的直观上 理解 其实依赖于其具体的数学形式.一个比较具体的讨论可参见Stefaan Cottenier - Density Functional Theory and the Family of (L)APW-methods a step-by-step introduction把平面波按球面波展开,并球对称势场下的薛定谔方程的通解的系数相比较(3.2-3).

P.204 (11.23)

这和经典电动力学的格林函数法的边界条件的数学是非常类似的,其中薛定谔方程虽然没有外源,但存在其他线性项.注意到(11.21)是对全空间(自然边界条件成立),而(11.23)是考虑一个有限空间的情况,其推导用到(11.23).

Ch.12 The Semiclassical Model of Electron Dynamics
P.215 (12.2)

波包近似,至今不太懂.把波包写为平面波对不同动量本征态的叠加.这适用于自由粒子的薛定谔方程,因为具有确定动量的平面波就是其能量本征态.动量差来源于测不准原理,数学上的一个实例可以想象高斯波包,因为它在动量空间也是高斯波包,相应一定区间的动量的求和.

P.216 (12.3)

值得指出 的是,正如书中下一段所述,电子波包运动速度(12.3)是群速度.而在附录(E.7)中证明,这正是波函数的速度算符的期待值,同时也和几率流密度成正比.物理上,几率流在量子力学中就是物质流,而它的速度对应波函数最大值的传播速度,群速度,并不是意外的.

P.216 (12.4-5)

这里(12.4)是对于有势场的情况,同样把波包写为对不同能量本征态的叠加.求和号内为薛定谔方程的能量本征态的形式,空间波函数乘上由能量决定的时间震荡因子.

带入布洛赫定理后得到(12.5),如果把$$R$$看作空间坐标,它具有平面波动量本征态的形式.从而得知,在其动量足够准确的前提下,它的宽度必然要大于晶格常数.准经典近似要求场的变化要比波包宽度还要大很多.

P.228 (12.26)

这里的负号来源于倒格矢$$k$$按运动方程随时间增加,而在图Fig.12.4在能量最大值处粒子速度随着倒格矢的增加而减少.这个负号要么对应负质量负电荷的电子,要么对应正质量正电荷的空穴,数学上即为(12.31)

一个 重要 的注解是,(12.26)有意义的前提是,正如书中在(12.26)下面一段指出的,电子的运动方程必须导致电子运动轨道局限在能带的最大值(或者最小值)附近,这样把(12.26)带入决定电子时间演化的运动方程才有意义.为了这个前提成立,似乎电子的运动方程就不能是在常数电场(12.17-18)形式的运动方程,因为其中$$k$$可以随意的演化,而必须是常磁场(12.32-33)或者常电磁场(12.46-48)的形式,后者电子轨道局限在等能面上,这样就会保持在最大值(护着最小值)附近.但是实际上,根据P.225以及书中在第十三章对这个问题有再次的讨论,结论是如果只考虑电场的话,碰撞非常频繁,而且碰撞的趋势是会使得电子尽量回到平衡分布的状态,从而其动量变化局限在动量空间的小范围内,所以这个前提成立;对于磁场,体系可能在两次连续的碰撞间在态空间有很大的演化,所以才有下面书中对电子轨迹及其所导致的电流的讨论.

这样,材料是电子导电还是空穴导电决定于能带的填充情况.

P.229 (12.32-33)

与磁场垂直因为(12.33)的叉乘的磁场因子,即$$\dot k$$不可能有沿着磁场的方向.等能面因为(12.32)在等能面上为零,而$$v(k)$$正是(12.33)叉乘的第一个因子,换言之在垂直于等能面方向上$$\dot k$$必为零.

接下来关于高能区在右手的表述也来自(12.33),其中注意到行走方向是$$\dot k$$方向,高能区方向由(12.32)正是$$v(k)$$方向,而且(12.33)的叉乘前面有个负号.

P.230 (12.35)和Fig.12.7

注意到在$$k$$空间的轨道总是垂直于外场和等能面,但是在坐标空间的轨道不必垂直于外场.(12.35)给出了如果把坐标空间的轨道投影到垂直于外场的平面上时必须满足的条件.这个对应的运动和经典力学中电子在磁场中的运动可以比较.在(12.45-46)中考虑电场,结果也与经典力学中电子在常数电磁场中的运动可比.注意到按牛顿力学,电子在垂直于磁场的平面上做匀速的漂移,在沿着磁场方向上做匀加速运动,这和这里的结果一致.

P.235 (12.53)

这里 不明确 的是在(1.15)中,电场包含垂直于电流方向和平行于电流方向的分量,这两个分量都是垂直于磁场方向的.在这里,电流也是垂直于磁场方向,但是必然垂直于电场方向.换言之,这与第一章的霍尔效应的物理图像不完全相符.这个问题书中在(12.56)有涉及到讨论,理解如下.在强磁场下,霍尔电场正比于磁场故占有主导地位,考虑(1.15)在恒定电流和霍尔系数下电场强度和磁场强度的关系,这时电场方向垂直于电流方向以及磁场方向.

P.236 (12.56)

这个表达式是由定性分析得到的,右边的第二项对应于(12.54)右边的贡献,电流平行于磁场的分量包含在张量$$\sigma^{(1)}$$中了.

观察Fig.12.8和(12.41),电子通过每个布里渊区的时间和$$H$$成反比,即$$\Delta k$$变化的速率和$$H$$成正比.观察(12.45)第一项,在坐标空间的位移在$$\Delta k$$因子以外又和$$H$$成反比,所以最终和$$H$$无关.

P.238 (12.57-62)

书中的例子:$$j$$并不沿着$$\hat n$$方向.从实际体系的例子出发,讨论其可能性.在强磁场极限下,(12.56)的右边似乎只有第一项不为零,这样由(12.56)$$j$$必然会沿着$$\hat n$$方向,这样貌似导致(12.56)是实际体系相互矛盾.实际上,这个矛盾是可以避免的,只需要要求在强磁场近似下$${\hat n}\cdot E =0$$即可.这时(12.56)右边的第一项也趋于零,从而总电流强度也趋于零.换言之,(12.56)右侧两项的大小可比,都很小.

这时,我们将电场按两个垂直方向展开(12.57),其中展开系数$$E^{(1)}$$要远小于$$E^{(0)}$$.在(12.60)的右边第二项中,我们仅仅保留(12.57)的展开的第一项.

注意到这时导电系数按定义为"零比零"型,其极限可以不为零,即(12.62).

Ch.13 The Semiclassical Theory of Conduction in Metals
P.246 (13.6)

这个表达式的前面两个因子正是(13.3),按前面的讨论,这对应在时间$$dt'$$内从其他态通过碰撞进入$$r_n(t'),k_n(t')$$状态的粒子数.这是因为,按(13.6)附近的讨论,在平衡态时,进入这个态的粒子数必然等于通过碰撞离开这个态的粒子数.

这个表达式的最后一个因子对应态空间的大小,按刘维定理,态空间密度对时间的全微分不变,故固定的态空间体积随着时间演化后其大小不变.

P.246 (13.8)

注意到$$t'$$时刻在还包括原先就处于$$r_n(t'),k_n(t')$$状态的粒子,这些粒子如果没有因为碰撞离开该状态,也会对最终$$r_n(t),k_n(t)$$状态的粒子数做贡献.但是这些粒子可能是在$$t'$$时刻之前通过碰撞进入该随时间演化轨迹的.而如果追溯到足够远的过去,那么对每个粒子都可以找到通过碰撞进入该演化轨迹的那一(过去的)时刻.所以把积分下限推到过去无限远,则无需考虑该轨迹的最初粒子数.

P.248 (13.19)

注意到(13.16)中也应该是对时间的全微分.(13.19)具体证明略.

如页脚注解中指出的,磁场并不明显的出现在(13.19),但是磁场会影响运动方程从而间接的出现在$$r_n(t'),k_n(t')$$对时间的依赖中.

P.250 (13.22)

这里完全 不理解 为什么在磁场为零而电场为常数的情况下,$$v(k(t'))$$和$$\frac{\partial f}{\partial\mathcal{E}}$$在对时间$$t'$$的积分中被视为常数.

对这个问题的解答似乎在P.249的脚注9.(13.19)的积分的指数部分说明其实该积分真正有贡献的是时间差小于弛豫时间的部分,但是按照实际数值大小,在弛豫时间间隔内,由于电场对粒子动量的改变(12.17)按P.225的讨论远小于布里渊区的尺寸,从而在上述积分中,完全可以认为对电场不敏感,或者说受电场的决定的量随着时间的演化可以被忽略.书中指出,磁场的情况正好相反,故在上一章中讨论了由于磁场而导致的粒子在态空间中的演化,及其导致的电流的计算.

P.252 (13.36)

因为在结果中$$\omega\tau$$始终以乘积的形式出现,所以高频等同于长弛豫时间.而在弛豫时间很长没有碰撞的情况下,可以通过解微扰论来解电子在电场微扰下的薛定谔方程.

Ch.14 Measuring the Fermi Surface
P.270 (14.2-4)

难以想象居然连这个也不给出证明.

P.272 Fig.14.5

图(a)中的管子(柱体的表面)对应$$\nu$$能级(这时$$\nu$$和$$\lambda$$为常数)能量随着$$k_z$$变化的表面,这个管子并不是等能面.一般情况下,$$\nu$$能级的管子夹在两个等能面之间的部分,如图(b)形如两个环的部分,其表面积对应$$\nu$$能级对总态密度的贡献.这是因为在动量空间,态密度几乎为常数,态的数目正比于应面积或者体积.按图(c)的直观图像,这个态密度贡献在等能面与管子相切是取最大值.数学上,对应着此刻能量在保持$$\nu$$不变的情况下对$$k_z$$的导数为零.

虽然没有具体给出金属能级对$$\nu$$的依赖关系的实例,上述讨论是严格的.而理解问题的关键是如何把上述讨论和自由电子在匀强磁场下的能级,固体的能带和费米面在外部恒定磁场下相应改变,以及波尔对应性原理的半经典图像结合起来,得到问题的物理图像.我们知道,按电子半经典运动方程,电子在$$k$$空间中的对应等能面,换言之就是$$k$$空间的能级.轨道的概率还被用于借鉴轨道周期和管子横截面的半经典关系(12.42).

比较图Fig.14.4我们意识到,对于周期性晶格在外磁场下的能级,如果进一步假设对应的$$\nu$$能级与$$k_z$$无关,则管子必然沿着$$z$$(磁场)方向.这时我们直接得到图Fig.14.4的直观几何图像.这点在书中没有明确指出.

Ch.15 Band Structure of Selected Metals
P.285 (15.1)

此式来源于
 * $$\frac{2\times a^3\times \frac{4}{3}\pi k_F^3}{(2\pi)^3} = 1 = n \times a^3$$

由此即得(15.2)

P.291 Fig.15.6

这里对于同一磁场方向同时存在最大值和最小值的可能,所所以出现这种两个周期接近的简谐振动相加得到的"拍"的效果.对应两个周期函数相乘,其中的一个频率(为两者的差)远远小于另一个,所以包裹着另一个较高的频率(两者的和).最初为两者相加因为对应在费米面上求和是对应态的求和,这个求和在最大值和最小值附近的贡献最大.这与书上的论述 不符.

Ch.16 Beyond the Relaxation-Time Approximation
P.317 (16.2)

这里讨论了微分散射截面与弛豫时间的关系:微分散射截面的物理意义是碰撞概率从而与碰撞频率或者其倒数弛豫时间直接相关.微分散射截面和碰撞矩阵元的计算有关,而弛豫时间与固体的电导率以及其他物理量有关.

P.325 (16.25)

注意到如果$$\mathcal E$$仅仅是$$\mathbf k$$的模$$k$$的函数,则$$\frac{\partial {\mathcal E}}{\partial {\mathbf k}}=\frac{\partial {\mathcal E}}{\partial k}\frac{\partial {\mathbf k}}$$其中第二个因子$$\frac{\partial {\mathbf k}}$$正比于$${\mathbf k}$$其余部分都可视为$$\mathcal E$$的函数.

Ch.17 Beyond the Independent Electron Approximation
P.339 (17.37)

这个假设在下面的具体例子中给出具体的实现.

P.342 (17.55)

当在粒子物理中讨论QCD反常屏蔽时,经常以QED中的电子屏蔽为讨论的出发点.这里就是一个最低阶线性理论来具体的讨论电子汽屏蔽的例子,在近似下定量的说明了为什么电子能够把库伦作用长程力的部分屏蔽掉.这里具体计算了屏蔽尺度,说明其与晶格常数可比,换言之,自由电子汽的屏蔽能力相当强.

P.347 (17.63-66)

这一段的论述非常精彩.

Ch.18 Surface Effects
P.355 (18.3)

这个展开式子和传统的(比如蔡圣善的)经典电动力学的展开方法比有点怪,其不同之处其实来源于这里必须把原点取在晶胞的中心处来做积分.但是从物理上考虑,由于电中性,总电荷为零;由于是立方对称性,偶极子和四极子都为零;由于反演对称性,偶极子和六极子为零.所以最低的贡献项是八极子.

Ch.19 Classification of Solids
P.377 Fig.19.2

图(b)中有用阴影画出一个平面,对应图(a)中的纸面.

Ch.22 Classical Theory of the Harmonic Crystal
P.427 (22.18)

这个结果可由能均分定理的自然得到.

P.436 (22.41-42)

$$\epsilon$$是同一元胞中两个核的振动的幅度,如果反号,则振动相位正好相反.而不同元胞间的振动,来自(22.34)任何一式,当$$k=\pi/a$$,正好反相.

P.440 (22.63)

这个近似来源于对$$R$$的求和的贡献主要来源于比$$1/k$$还要小的区域中.如果不是因为电子的屏蔽效应,这个近似于库伦场的特点并不一致,这在后面会有重新讨论.

Ch.24 Measuring Phonon Dispersion Relations
P.472 (24.6)

在QED中,相互作用项的坐标平移不变性直接导致了在作用顶点上动量守恒.这里的情况略有不同,因为格点的空间坐标平移还会牵涉到相互作用量中的晶格间的(离子-离子)相互作用,后者导致了动量守恒准确到一个倒格子空间的格子矢量.在附录中,利用基于量子力学的讨论给出了格点动量守恒的结果.这和更为常见的基于量子场论的讨论的物理意义是完全相同的.

Ch.25 Anharmonic Effects in Crystals
P.498 (25.26-27)

这里的主要结果是由于晶格相互作用的高阶项,这对应声子声子自相互作用的三阶以及更高阶顶角.这导致声子激发的随意性,其数目不守恒.

Ch.26 Phonons in Metals
P.512 (26.2)

按第一章的思路,如果电荷密度做简谐振动,则其振动频率必须满足(26.2).

在此频率以下,电场的振动随时间指数衰减;在此频率以上,电场可以在等离子体(有电流无电荷密度)内传递电磁波.

P.518 (26.25)

这就是考虑了电子和离子屏蔽后的等效电子-电子相互作用在动量空间的表达式.其中的离子屏蔽与晶格的声子频率有关.该表达式涉及到的过度屏蔽与传统超导理论切切相关.

P.523 (26.37)

等式左边是考虑了电声子相互作用后体系基态能量的改变.右边是用一阶微扰论来计算这个改变,这个计算与体系的电声子的相互作用无关,但是相互作用要求由一个声子的交换占主导.

P.523 (26.38)

大致 思路是.准粒子$$k$$的能量是如果体系基态能量在把$$k$$态的电子去掉后的改变.上述准粒子与另外一个准粒子$$k'$$的相互作用是在$$k'$$态增加一个电子后准粒子能量的变化.

P.525 (26.47-48)

这里开始讨论前面承诺很久的,考虑电声子相互作用后的电子导电理论.

比如(26.48)指出在高温下,电子碰撞概率正比于可能与之相互作用的(满足能动量守恒)声子的数密度,正比于温度.

Ch.31 Diamagnetism and Paramagnetism
P.645 (31.4)

这个关系的证明可以参见Fundamentals of Statistical Mechanics by Felix Bloch中P.148 (17.13)的推导过程.

P.647 (31.16)

我们看到,这个著名的结果其实取决于度规(31.10).一个更为一般的推导是在狄拉克方程中考虑电磁场,然后做非相对论近似,具体参见比如苏汝铿的量子力学.

对于(31.16),一个具体的推导细节如下.由(31.15),它的交叉项为


 * $$\begin{align}

-\vec p\cdot (\vec r\times \vec H)-(\vec r\times \vec H)\cdot \vec p = 2(\vec r\times \vec p)\cdot \vec H - (\vec p_r \times \vec r) \cdot \vec H=2(\vec r\times \vec p)\cdot \vec H = 2 \vec l \cdot \vec H \end{align}$$ 倒数第二步等式因为$$ \vec r $$无旋,其中$$ \vec p_r $$仅仅作用在$$ \vec r $$上,最后的表达式$$ \vec p $$仅仅作用在后面的态上.

P.654 (31.34)

这个表达式可以用两个方式证明.第一是利用书上P.668的习题4,第二是直接利用Wigner-Eckart定理.

首先说明习题4.第一问,(31.84)可以按分量写出,利用(31.83)的分量直接证明.第二问,在(31.84)中取$$ \hat n=\hat e_z $$然后求等式对(31.85)的期待值,等式左边显然为零,等式右边为(31.86)对$$ \hat n=\hat e_z $$的叉乘,从而我们知道(31.86)只可能有$$ \hat e_z $$分量.接着依次考虑$$ \hat n=\hat e_x $$和$$ \hat n=\hat e_y $$,得知(31.86)的任何分量都是零.第三问,现在将(31.84)在两个态$$ J_z,J_{z'} $$上多内积并插入完备中间态,这样可以得到所有的$$L+g_0 S$$的矩阵元满足的方程.由于已知角动量$$ J=1/2 $$,我们有2个不同的状态,所以穷尽各种分量后,共计有4个矩阵元满足的方程组需要讨论.我们注意到因为$$ g_0 $$并不进入方程的系数中,我们并不能够明显的求解出这些矩阵元,但是可以证明这些矩阵元满足的方程与$$ \vec J $$的矩阵元满足的方程完全相同,实际上,只要确定一个矩阵元的数值,所有的其他矩阵元都被确定下来了.换言之,两组矩阵元之间仅仅相差一个常数,我们把这个常数定义为g因子.实际上,这正是Wigner-Eckart定理的内涵.

另一方面,直接按Wigner-Eckart定理,上述结果可以方便的得到.只需要计算算符$$ \vec L+g_0 \vec S $$和角动量算符的对易关系的确满足Sakurai(3.10.25ab),按轨道和自旋角动量的对易关系,实际上考虑到(3.10.8),它是一个矢量,或者考虑(3.5.6ab)并(3.10.16)中差一个$$ \sqrt{2} $$因子,看到它直接是一阶张量算符,$$ k=1,q=0,\pm 1 $$.我们按Wigner-Eckart定理(3.10.31)写为两个因子的乘积,接着用角动量算符$$ \vec J $$取代$$ \vec L+g_0 \vec S $$,同样可以按Wigner-Eckart定理(3.10.31)写为两个因子的乘积,我们注意到其CG系数的因子一致,故得到同样的结论,两个表达式只能相差一个常数.

在此基础上,利用附录P,通过乘以角动量的矩阵元并求完备基求和,完成(31.37)的证明.

P.654 (31.40)

正如书中指出的,上面的证明仅仅说明两组矩阵元之间差一个常数,这并不等于说两个算符"成正比",他们只是在当前问题涉及的完备子空间中"成正比".

Ch.33 Magnetic Ordering
P.719 Fig.33.12

这里给出了很形象的域形成的物理机制.

Ch.34 Superconductivity
P.734 Fig.34.6

如果存在能隙,那么比热具有形式
 * $$c_v = \frac{\partial (1+\Delta e^{-\Delta/kT})}{\partial T}=\frac{\Delta^2}{kT^2}e^{-\Delta/kT}$$

上式在零温时的确具有指数衰减的形式,但是 疑惑的是 其对应的能隙并非如书中所述的$$2\Delta$$.

P.750 (34.34)

疑惑 .关于超导导电理论表面上可以理解如下.能隙主要用于解释为什么在普通金属中的电阻理论不能直接用于超导体.在普通金属中,导电电子通过热平衡分布到达较高能级并通过与声子作用损失能量,在超导体中,由于能隙的存在,电子对处于能隙之下,在低温下很难通过热平衡分布跃迁到高能级,从而回避了这一损失能量的机制.

对于导电性,不论对导体还是超导体,其导带能级没有被占满,故在外电场作用下空间存在特殊方向,即波函数几率流的矢量和在该方向下不为零.

遗憾的是,上述解释是过于简化和片面的.在本书中尝试对超导的物理本质给予解释,超导性是一个集体效应,很可能不能用单粒子(包括准粒子)的图像进行简单的解释.

Appendix E The Velocity and Effective Mass of Bloch Electrons
P.765 (E.2)

将(8.48)哈密顿量中的$$\mathbf k$$替换为$$\mathbf k+q$$,然后作类似(E.1)的展开即得.

P.765 (E.4)

按微扰论的概念.此式左端为(E.1)一次项,此式右端(E.4)一次项.其中哈密顿量的微扰项即是(E.2)的线性项.

Appendix J Conditions for the Absence of Interband Transitions in Uniform Electric or Magnetic Fields
P.773 (J.3)

这里是(9.26)的关于$$q$$的两阶导数.可以直接验证,虽然一阶导数为零,这里是(9.26)第二项的二阶导数.第一项被扔掉的原因可能是因为它是常数,可能是因为其数值相对于第一项比较小.

让我们正视问题,这种档次的定性推导基本毫无意义.

Appendix M Conservation of Crystal Momentum
P.784 (M.2-3)

两个都是平移对称性.第一个式子是体系整体的平移不变性,而第二个式子是关于晶格格点的平移轮换不变性.两者都可以通过哈密顿量的形式直接验证.因为都是平移,两者都与动量守恒相关.

P.786 (M.7)

注意这里第一式的平移是对中子的坐标的平移,对应普通的对波函数的自变量的空间坐标平移.而这里的第二式的平移的是取离散值的格点的坐标,故对应的无限小生成元必须做相应改动.

P.786 (M.9)

这里等式两边都是算符,左边是坐标算符,右边是产生消灭算符.注意到这个表达式与量子力学中的对一维谐振子中的数学形式完全类似.