Lecture Notes of Classical Electrodynamics by John David Jackson

Lecture Notes on Classical Electrodynamics 3rd Edition by John David Jackson

本文档除了包括推导, 疑惑 外,做 读书重点 的记录 $$$$

Ch.6 Maxwell Equations, Macroscopic Electromagnetism, Conservation Laws
P.241 (6.25)

读书重点 这是一个重要的结论,对任何矢量成立.它的数学意义为,任何矢量场都可以按(6.27-28)写成一个无源场和一个无旋场的和的形式.这个结论利用本书中的公式即可构造证明,证明中涉及到矢量场计算中一些值得小心谨慎的细节,现分步阐述如下 首先可以证明(6.27)的确是无旋场,而(6.28)的确是无源场.观察(6.27-28)而注意到其实


 * $$\begin{align}

&\nabla \times (\nabla \varphi) =0 (\varphi \equiv -\frac{1}{4\pi}\int \frac{\nabla'\cdot \vec J}{|\vec x-\vec x'|}d^3x')\\ &\nabla \cdot (\nabla \times \vec {\mathfrak F}) =0 (\vec {\mathfrak F} \equiv \frac{1}{4\pi}\nabla\times\int \frac{\vec J}{|\vec x-\vec x'|}d^3x') \end{align}$$

接着我们给出证明的基本思路.我们假设,对任何 $$\vec J$$ ,必然可以分写为两部分之和, $$\vec J=\vec J_l+\vec J_t$$ .其中 $$\vec J_l$$ 无旋而 $$\vec J_t$$ 无源.则(6.26)可写为


 * $$\begin{align}

\nabla^2 \vec J=\nabla(\nabla \cdot \vec J_l)-\nabla \times (\nabla \times \vec J_t) \end{align}$$

而同时


 * $$\begin{align}

\nabla^2 \vec J=\nabla^2 \vec J_l+\nabla^2 \vec J_t \end{align}$$

由于 \vec J_l 和 \vec J_t 线性独立,则取其一为零即可得另一方的方程,从而


 * $$\begin{align}

&\nabla^2 \vec J_l=\nabla(\nabla \cdot \vec J_l)=\nabla(\nabla \cdot \vec J) \\ &\nabla^2 \vec J_t=-\nabla \times (\nabla \times \vec J_t) =-\nabla \times (\nabla \times \vec J) \end{align}$$

把方程最右边看成线性方程的非奇性部分,利用


 * $$\begin{align}

&\nabla^2 G(\vec x-\vec x' )= \delta(\vec x-\vec x') \\ &-\frac{1}{4\pi}\nabla^2 \frac{1}{|\vec x-\vec x' |}= \delta(\vec x-\vec x') \end{align}$$

格林函数 $$G(\vec x-\vec x' )= \frac{1}{|\vec x-\vec x' |}$$ 即得到


 * $$\begin{align}

&\vec J_l=\int \nabla'(\nabla'\cdot \vec J(x'))G(\vec x-\vec x')d^4x'=-\frac{1}{4\pi}\int \nabla'(\nabla'\cdot \vec J(x'))\frac{1}{|\vec x-\vec x'|}d^4x' \\ &\vec J_t=\int \nabla'\times(\nabla'\times \vec J(x'))G(\vec x-\vec x')d^4x'=-\frac{1}{4\pi}\int \nabla'\times(\nabla'\times \vec J(x'))\frac{1}{|\vec x-\vec x'|}d^4x' \end{align}$$

它们在形式上与(6.27-8)已经非常接近,但是又不相同,具体参加下面的讨论.

接下来我们给出上面的直接证明.即无旋场 $$\vec J_l$$ 和无源场 $$\vec J_t$$ 的确满足(6.27-28),换言之,我们把(6.27-28)右边做替换 $$\vec J=\vec J_l+\vec J_t$$ ,然后证明表达式自洽即可.第一,我们讨论表达式(6.27-28).注意到(6.27-28)等式右端如果 \vec J 是 $$\vec x$$ 的函数完全可以放在积分号外,故这里是 $$\vec J(\vec x') $$.(6.27)分子上的 $$\nabla'$$ 仅仅作用在分子上而不作用在分母上,不然应该写在分数的前面.(6.28)积分号外的 $$(\nabla\times\nabla\times)$$ 的导数部分作用在积分号内分母标量函数的$$ \vec x$$ 而非 $$\vec x'$$ 上,但是其作为矢量操作的(常数)分量代数运算却是作用在积分号内分子上的矢量函数 \vec J(\vec x') 上的,需要特别注意. 第二,部分积分法,并矢的部分积分法和并矢形式的高斯定理.高斯定理是重要的,因为它是使用部分积分法后扔掉体积分的数学依据,但是考虑并矢后,需要特别注意公式的具体形式,不然容易产生错误. 公式证明中对数字函数的部分积分法涉及到两个


 * $$\begin{align}

f\nabla g = \nabla (fg) - g\nabla f \end{align}$$

和


 * $$\begin{align}

f\nabla^2 g= \nabla \cdot (f\nabla g)-(\nabla f)\cdot (\nabla g)=\nabla \cdot (f\nabla g)-\nabla\cdot g(\nabla f)+g\nabla^2 f \end{align}$$

这都是我们所熟悉的.

对并矢的部分积分需要特别注意.并矢的散度为


 * $$\begin{align}

\nabla \cdot \vec{\vec T}=\mathbf \nabla \cdot (AB) =\nabla_A \cdot (AB)+\nabla_B \cdot (AB)= (\nabla\cdot A) B + (A\cdot \nabla) B \end{align}$$

而下面公式等号并不成立


 * $$\begin{align}

\mathbf \nabla \cdot (AB) \ne (\nabla\cdot A) B + A (\nabla\cdot B) \end{align}$$

这个关系说明并矢中的两个矢量地位并不对称,在(6.27)中, $${\mathbf A} \equiv \vec J(x'), {\mathbf B} \equiv \nabla' \frac{1}{|\vec x -\vec x'|}$$ .它导致在证明(6.27)的过程中我们不能对散度 (\nabla'\cdot ) 套用部分积分,因为这样下去不会得到所需要的 $$\delta(\vec x -\vec x')$$ .如果我们对梯度 \nabla' 使用部分积分,则可以得到需要的结果. 对旋度同样有 $$\nabla \times ({\mathbf A}b) = (\nabla\times {\mathbf A}) b + ({\mathbf A}\times \nabla) b $$ 对并矢的情形 $$\nabla \times \vec{\vec T}=\mathbf \nabla \times (AB) =\nabla_A \times (AB)+\nabla_B \times (AB)= (\nabla\times A) B + (A\times \nabla) B $$ 而下面的关系是不等式 $$\mathbf \nabla \times (AB) \ne (\nabla\times A) B + A (\nabla\times B) $$ 在(6.28)中,分别涉及到 $${\mathbf A} \equiv \nabla'\times \vec J(x'), b \equiv \frac{1}{|\vec x -\vec x'|}$$ 以及 $${\mathbf A} \equiv \vec J(x'), {\mathbf B} \equiv \nabla' \times \frac{1}{|\vec x -\vec x'|}$$ .在证明中具体体现在 $$(\nabla\times\nabla\times)$$ 作为矢量操作的(常数)分量代数运算是作用在积分号内分子上的矢量函数 $$\vec J(\vec x')$$ 上的,而导数部分作用在积分号内分母标量函数 $$\frac{1}{|\vec x -\vec x'|}$$ 上,部分积分涉及将对 $$\vec x'$$ 的导数从 $$\frac{1}{|\vec x -\vec x'|}$$ 转移到 $$\vec J(\vec x') $$.这需要引起特别的注意.

下面我们给出(6.27-28)的直接证明.

对(6.27),注意到 $$\nabla \frac{1}{|\vec x-\vec x' |}=\nabla \frac{1}{|\vec x'-\vec x |}=-\nabla' \frac{1}{|\vec x-\vec x' |}$$ ,利用一次部分积分法 $$f\nabla g = \nabla (fg) - g\nabla f $$,代入(6.26),利用 $$\vec J_l$$ 无旋而 $$\vec J_t$$ 无源的假定,再利用部分积分法 $$f\nabla^2 g= \nabla \cdot (f\nabla g)-(\nabla f)\cdot (\nabla g)=\nabla \cdot (f\nabla g)-\nabla\cdot g(\nabla f)+g\nabla^2 f$$ ,最后借助格林函数具体形式 $$(\nabla\cdot\nabla) \frac{1}{|\vec x-\vec x' |}=\nabla^2 \frac{1}{|\vec x-\vec x' |}=\nabla'^2 \frac{1}{|\vec x-\vec x' |}=-4\pi \delta(\vec x-\vec x')$$ .具体如下


 * $$\begin{align}

&-\frac{1}{4\pi}\nabla\int \frac{\nabla' \cdot \vec J(x')}{|\vec x-\vec x' |}d^4x' \\ &=+\frac{1}{4\pi}\int ( \nabla'\frac{1}{|\vec x-\vec x' |}) \nabla' \cdot \vec J(x')d^4x' \\ &=+\frac{1}{4\pi}\int ( \nabla'\frac{1}{|\vec x-\vec x' |}) \nabla' \cdot (\vec J_l(x')+\vec J_t(x'))d^4x' \\ &=+\frac{1}{4\pi}\int ( \nabla'\frac{1}{|\vec x-\vec x' |}) \nabla' \cdot \vec J_l(x')d^4x' \\ &=-\frac{1}{4\pi}\int \frac{1}{|\vec x-\vec x' |}(\nabla'(\nabla'\cdot \vec J_l(x')))d^4x' \\ &=-\frac{1}{4\pi}\int \frac{1}{|\vec x-\vec x' |}(\nabla'\times \nabla'\times \vec J_l(x')+\nabla'^2\vec J_l(x'))d^4x' \\ &=-\frac{1}{4\pi}\int \frac{1}{|\vec x-\vec x' |}(\nabla'^2\vec J_l(x'))d^4x' \\ &=-\frac{1}{4\pi}\int \vec J_l(x')(\nabla'^2\frac{1}{|\vec x-\vec x' |})d^4x' \\ &= \int \vec J_l(x')\delta(\vec x-\vec x')d^4x' \\ &=\vec J_l(x) \end{align}$$

正如上面提及的,在上述证明中需要注意到


 * $$\begin{align}

&\frac{1}{4\pi}\int ( \nabla'\frac{1}{|\vec x-\vec x' |}) \nabla' \cdot \vec J_l(x')d^4x' \ne -\frac{1}{4\pi}\int \vec J_l(x')(\nabla'\cdot \nabla' \frac{1}{|\vec x-\vec x' |})d^4x' \\ &= -\frac{1}{4\pi}\int \vec J_l(x')(\nabla'^2 \frac{1}{|\vec x-\vec x' |})d^4x' \end{align}$$

虽然形式上,如果不等式为等式,似乎可以更加快捷的得到需要的结果. 而(6.28)的证明非常类似,具体如下


 * $$\begin{align}

&\frac{1}{4\pi}\nabla \times \nabla \times \int \frac{\vec J(x')}{|\vec x-\vec x' |}d^4x' \\ &=\frac{1}{4\pi} \int  (\nabla' \times \nabla' \times \frac{1}{|\vec x-\vec x' |})\vec J(x')d^4x' \\ &=\frac{1}{4\pi} \int \frac{1}{|\vec x-\vec x' |} (\nabla' \times \nabla' \times \vec J(x'))d^4x' \\ &=\frac{1}{4\pi} \int \frac{1}{|\vec x-\vec x' |} (\nabla' \times \nabla' \times (\vec J_l(x')+\vec J_t(x')))d^4x' \\ &=\frac{1}{4\pi} \int \frac{1}{|\vec x-\vec x' |} (\nabla' \times \nabla' \times \vec J_t(x'))d^4x' \\ &=\frac{1}{4\pi} \int \frac{1}{|\vec x-\vec x' |} (\nabla'  (\nabla' \cdot \vec J_t(x'))-\nabla'^2 \vec J_t(x'))d^4x' \\ &=\frac{1}{4\pi} \int \frac{1}{|\vec x-\vec x' |} (-\nabla'^2 \vec J_t(x'))d^4x' \\ &=\frac{1}{4\pi} \int \vec J_t(x') (-\nabla'^2\frac{1}{|\vec x-\vec x' |})d^4x' \\ &= \int \vec J_t(x')\delta(\vec x-\vec x')d^4x' \\ &=\vec J_t(x) \end{align}$$

最后,我们需要补充证明我们的假定,即对任何 $$\vec J $$,必然可以分写为两部分之和, $$\vec J=\vec J_l+\vec J_t$$ ,其中 $$\vec J_l $$无旋而 $$\vec J_t$$ 无源.对此,我们只需要找到一个特殊的两项的和的形式即可.注意到(6.27)是无旋的,我们只需要证明剩余部分, $$\vec J$$ 与(6.27)的差,是无源的即可,换言之


 * $$\begin{align}

\nabla \cdot \left\{\vec J-(-1)\frac{1}{4\pi}\nabla\int \frac{\nabla' \cdot \vec J(x')}{|\vec x-\vec x' |}d^4x' \right\}=0 \end{align}$$ 为此,我们计算


 * $$\begin{align}

&\nabla \cdot \left\{(-1)\frac{1}{4\pi}\nabla\int \frac{\nabla' \cdot \vec J(x')}{|\vec x-\vec x' |}d^4x' \right\}  \\ &=(-1)\frac{1}{4\pi}\nabla^2\int \frac{\nabla' \cdot \vec J(x')}{|\vec x-\vec x' |}d^4x'   \\ &=\int \nabla' \cdot\vec J(x')\left(-\frac{1}{4\pi}\nabla^2\frac{ 1}{|\vec x-\vec x' |}\right)d^4x'  \\ &=\int \nabla' \cdot \vec J(x')\delta(\vec x-\vec x')d^4x'  \\ &=\nabla\cdot \vec J(x) \end{align}$$

证毕.

P.245 (6.46) 这个情况和我们所熟悉的,推迟格林函数不同.因为当我们知道在时间趋于无限大时的电磁波,那么当被积坐标 $$\vec x' \rightarrow \infty$$ 时,影响的时间差 $$\mp \frac{|\vec x-\vec x'|}{c}$$ 同样趋于无穷,包含推迟格林函数会影响时间无穷大时的电磁波,从而只可能包含超前格林函数.

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Ch.8 Waveguides, Resonant Cavities, and Optical Fibers
P.353 (8.2-3) 这两个式子是对理想导体的边界条件.理想导体内无电场,无体电流.由于考虑的是电磁波,所以不考虑静磁场.由麦克斯韦方程,动态的磁场由电场由电流和位移电流决定.而位移电流数值非常小,总是可以忽略,故导体内无磁场.图8.1是一个重要的概念性图景. 数学上,利用积分形式 $$\oint_C \vec H \cdot dl=I$$ 来得到(8.2),一个理解方式如下.首先由于积分回路 $$dl $$紧贴着平面,电流仅仅与磁场平行于平面的分量决定,故使用叉乘.其二电流的方向在 $$dl $$与磁场平行于平面的分量一致时最大,实际上,电流由 $$dl$$ 在磁场平行于平面的分量方向上的投影决定,故正好与叉乘方向一致.

P.353 (8.4) 这里考虑良导体而非理想导体,故需要利用电介质磁性物质的麦克斯韦方程.存在体电流,而无面电流,故电流对无限小面积的面积分为零.另外注意到这时导体内接近表面处磁场不为零.故得到(8.4).但是由于是导体,我们在解方程时,可进行各种理想化处理.

P.354 (8.7) 第一式对(8.6)第一式两边求导 $$\frac{\partial}{\partial \xi}$$ ,对(8.6)第二式两边左乘 $$\vec n \times$$ .并注意到由(8.6)第一式, $$E_c$$ 垂直于$$ \vec n$$ ,从而 $$\vec n \times (\vec n \times \frac{\partial\vec E_c}{\partial \xi})=-\frac{\partial\vec E_c}{\partial \xi}$$. 第二式对(8.6)第二式两边从左边点乘 $$\vec n \cdot$$ 即得.

P.357 (8.23) 第一行第一式,由(8.16)第一行第一式得到. 左边 $$\nabla\times \vec E=\nabla\times \vec E_t+\nabla\times \vec E_z$$ ,其中 $$\vec E_t=E_x \hat x+E_y \hat y$$ .按分量具体写出得


 * $$\begin{align}

&\hat z \times (\nabla\times \vec E_t)=-\frac{\partial E_x}{\partial z}\hat x-\frac{\partial E_y}{\partial z}\hat y=-\frac{\partial E_t}{\partial z} \\ &\hat z \times (\nabla\times \vec E_z)=(\frac{\partial }{\partial x}\hat x+\frac{\partial }{\partial y}\hat y)E_z=\nabla_t E_z \end{align}$$

右边 $$\hat z \times \vec B=\hat z \times \vec B_t $$

同理得到第二行第一式.

第一行第二式,由(8.16)第一行第一式得到. 左边按分量具体写出得


 * $$\hat z \cdot (\nabla\times \vec E)=\frac{\partial E_y}{\partial x}-\frac{\partial E_x}{\partial y}=\hat z \cdot (\nabla_t\times \vec E_t) $$

右边 $$\hat z \cdot \vec B= B_z $$

同理得到第二行第二式.

第三行的两个式子仅仅只需把(8.16)第二行两个散度按定义写出,然后把横向部分保留在等式左边,把剩余的 z 部分移动到等式的右边即可.

P.358 (8.26a) 把 $$\hat z \times$$ 左乘(8.24)第二行第一式,注意到 $$\hat z \times (\hat z \times \vec E_t)=-\vec E_t$$ .以及由(8.18),把所有对 $$z$$ 的导数都替换为 $$\pm ik$$ .然后代回(8.23)第一行第一式即得.

P.358 (8.27) 不清楚书上的论断.但是由(8.26a)看到,如果 $$E_z=0,B_z=0,E_t\ne 0$$ ,那么等式右边的分母必须为零.

P.359 (8.30) 考虑(8.24)第二行第一式,在 $$\hat n$$ 方向上的分量.下面说明等式左边的两项的分量贡献都是零,等式右边即是(8.30)左边. 首先考虑等式(8.24)左边第一项, $$B_t$$ 包含两个分量.一个分量沿着切线方向,与我们考察的兴趣无关.另一个分量沿着 $$\hat n$$ 方向,正式我们所需要考虑的,但是由P.359上 $$\hat n\cdot \vec B =0$$ ,法向分量为零.故没有贡献. 接着考虑等式(8.24)左边第二项,同样 $$E_t$$ 包含两个分量.一个分量沿着切线方向,与 $$\hat z$$ 叉乘后真是我们需要的分量,但是由于(8.29),在导体表面电场切线分量为零,这项贡献等于零.另一项沿着 $$\hat n$$ 方向,用 $$\hat n$$ 叉乘后得到零.

P.359 关于波导的解的一般讨论

读书重点. TM波和TE波之间是什么关系.考虑(8.26ab)及(8.31),两者的线性组合情况更为复杂.但是另一方面,波动方程是线性方程,即满足同样边界条件(在这里是(8.29-30))解的线性组合仍然是波动方程的解.所以这里按书上所述,TM,TE以及TEM构成了波导问题完备的本征解.

P.359 (8.31-2) 只需要注意到 $$\nabla_t B_z,\nabla_t E_z$$ 按定义都与$$ \hat z$$ 方向垂直,从而


 * $$\begin{align}

&\hat z \times (\hat z \times \nabla_t B_z)=-\nabla_t  B_z \\ &\hat z \times (\hat z \times \nabla_t E_z)=-\nabla_t  E_z \end{align}$$

P.380 (8.108)

推导这个式子其实并不难,但是却翻箱倒柜谷歌了半天. 推导过程可以参见Solution of the inhomogeneous Maxwell’s equations using a Born series by Benjamin Kruger et al, Optical Express, Vol. 25, No. 21 (2017) 251一文.具体如下.

注意到前提是电磁场在媒介中的传播,这样没有自由电荷和自由电流.媒体无磁性质,即$$\mu=\mu_0$$.若如文中所述是选取$$\mathbf{E},\mathbf{H}$$为变量,对应的麦克斯韦方程为
 * $$\nabla\cdot (\epsilon\mathbf{E})=\nabla\cdot \mathbf{D}=\rho_f=0$$
 * $$\nabla\times \mathbf{E}=-\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}=-\frac{\partial (\mu \mathbf{H})}{\partial t}=-\frac{\mu_0\partial \mathbf{H}}{\partial t}$$
 * $$\nabla\cdot (\mu\mathbf{H})=\mu_0\nabla\cdot \mathbf{H}=\nabla\cdot \mathbf{B}=0$$
 * $$\nabla\times \mathbf{H}=j_f+\frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t}=\frac{\partial (\epsilon\mathbf{E})}{\partial t}$$

对$$\mathbf{E}$$的方程,按推导波动方程类似的代入过程,计算第二个方程的旋度,即$$\nabla\times(\nabla\times\mathbf{E})$$,不难得到
 * $$\nabla(\nabla\cdot\mathbf{E})-\nabla^2\mathbf{E}=-\mu_0\frac{\partial^2(\epsilon\mathbf{E})}{\partial t^2}=-\mu_0\epsilon\frac{\partial^2(\mathbf{E})}{\partial t^2}$$

最后一步因为媒质是固定的,故介电常数对时间的偏导为零. 推导的关键是利用麦克斯韦方程的第一式改写$$\nabla(\nabla\cdot\mathbf{E})$$,具体的
 * $$\nabla(\nabla\cdot\mathbf{E})

=\nabla\left(\nabla\cdot\left(\frac{\epsilon\mathbf{E}}{\epsilon}\right)\right)=\nabla\left(\epsilon\mathbf{E}\cdot\nabla\left(\frac{1}{\epsilon}\right)\right) =-\nabla\left(\epsilon\mathbf{E}\cdot\left(\frac{\nabla \epsilon}{\epsilon^2}\right)\right) =-\nabla\left(\frac{1}{\epsilon}\mathbf{E}\cdot \nabla \epsilon\right)$$ 整理后即得
 * $$\nabla\left(\frac{1}{\epsilon}\mathbf{E}\cdot \nabla \epsilon\right)+\nabla^2\mathbf{E}-\mu_0\epsilon\frac{\partial^2(\mathbf{E})}{\partial t^2}=0$$

如果电场对时间的依赖关系为指数,即得(8.108)的第一式.

相应的,磁场强度$$\mathbf{H}$$的方程的推导完全类似,其中需注意到的细节是
 * $$\nabla\times\left(\frac{\partial(\epsilon \mathbf{E})}{\partial t}\right)

=\left(\nabla \epsilon\right)\times\left(\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}\right)+\epsilon\frac{\partial(\nabla\times\mathbf{E})}{\partial t} =\left(\nabla \epsilon\right)\times\left(\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}\right)-\epsilon\mu_0\frac{\partial^2 \mathbf{H}}{\partial t^2}$$

本文档除了包括推导, 疑惑 外,做 读书重点 的记录 $$$$