Lecture notes of Statistical Mechanics by Kerson Huang

Lecture notes of Statistical Mechanics by Kerson Huang

本文档除了包括推导, 疑惑 外,做 读书重点 的记录

Ch.14 The Ising Model
P.345 (14.17) 这里 $$N$$ 相当于体系的体积,故对第一式, $$PV=-\Omega=\frac{\ln\Xi}{\beta}$$ 对第二式, $$v$$ 相当于每个气体分子的平均占有体积所以对巨正则系综平均粒子数为 $$\frac{V}{v}$$

P.358 (14.56) 这个假定比较(7.34)即可理解其物理意义.

Ch.16 Critical Phenomena
P.395 (16.11) 疑惑

此式利用(16.10),将其中等式右边第一项的第二个因子$$ m(0)$$ 替换为它的傅立叶变换,(16.10)下面一式.再利用(16.11)上面一式即得. 下面给出(16.11)上面一式无法由本节上面部分给出.但是由最后结论(16.15),它的物理意义是,在临界点附近,临界温度之上,关联长度按指数衰减.从而近似(类似经典电动力学中的理想导体边界条件和非理想导体如波导的边界条件的比较)的有 $$=\delta(r-r')$$ 从而


 * $$\begin{align}

<\tilde m(k)\tilde m(p)>=\int d^3r d^3r' e^{-ik\cdot r-ip \cdot r'} =\int d^3r d^3r' e^{-ik\cdot r-ip \cdot r'}\delta(r-r')=\int d^3r e^{-i(k+p)\cdot r} \end{align}$$

如果利用平移不变性,可得


 * $$\begin{align}

==\delta(r-r') \end{align}$$

类似得到


 * $$\begin{align}

<\tilde m(k)\tilde m(p)>=\int d^3r d^3r' e^{-ik\cdot r-ip \cdot r'} =\int d^3r d^3r' e^{-ik\cdot r-ip \cdot r'}\delta(r-r')=\int d^3r e^{-i(k+p)\cdot r}=(2\pi)^3 \delta(k+p) \end{align}$$

但是仍然不知道如何凑出书上的表达式.

实际上,上面的讨论应该可以具体导出,补完.在Peskin的量子力学中,有一个对相同问题的讨论,得到的相同的最后结果,但是具体的讨论方式却很不一样.参见该书P.272 (8.14).

P.395 (16.12) 这里类似Landau相变理论,由于比如对Ising模型,空间反演(左右自旋取负号)不会改变体系的自由能的数值,故展开最低为偶次幂.

P.395 (16.14) 这里利用经典统计力学的能均分定理,动能和势能项各包含一个自由度,故系综平均能量为 $$2 \times \frac{kT}{2}=kT$$.