Research Paper Notes on Conservation Laws

Research Paper Notes on Conservation Laws

本文档除了包括推导, 疑惑 外,做 读书重点 的记录 $$ $$

文献列表

 * Lectures on Energy in General Relativity, University of Vienna, by Piotr T. Chrusciel


 * New conservation laws for zero rest-mass fields in asymptotically flat space-time, Proc. R. Soc. A305 (1968) 175-204, by R. Penrose and E. T. Newman
 * Asymptotic Quantization (Bibliopolis, Naples, 1987) by Abhay Ashtekar
 * On the ambiguity in the notion of transverse traceless modes of gravitational waves, arXiv:1707.09914v2, by A. Ashtekar and B. Bonga
 * Compact binary coalescences: The subtle issue of angular momentum, arXiv:1910.02907v2, by Abhay Ashtekar, Tommaso De Lorenzo, and Neev Khera


 * Conserved Energy Flux for the Spherically Symmetric System and the Backreaction Problem in the Black Hole Evaporation, Prog. Theor. Phys. 63 (1980) 1217, by Hideo Kodama
 * Kodama time: Geometrically preferred foliations of spherically symmetric spacetimes, arXiv:1004.1456v3, by Gabriel Abreu and Matt Visser

Lectures on Energy in General Relativity, University of Vienna, by Piotr T. Chrusciel
(1.1.37)

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如果接受(1.1.32)为ADM质量的定义,对球对称静态黑洞度规即得(1.1.37)的形式. 其中度规(1.1.8)的空间部分(1.1.10)一般的写成(1.1.34).且满足条件(1.1.35),注意展开位置(为1)和展开后的主导项对径向坐标的依赖关系.

本质上,(1.1.37)就是面积分(1.1.32)的具体结果. 具体的,它来自两项的贡献之和,即(1.1.36)下方式子的最后一行,和接下来的表达式$$g_{ij}=\chi\delta_{ij}+\frac{(\phi-\chi)x^ix^j}{r^2}$$. 第一项的贡献的计算完全类似(1.1.33),去掉系数2就是所需结果. 第二项的贡献计算由(1.1.37)上方给出,其中注意到利用求极坐标具体形式(1.1.36),我们有$$\frac{\partial x^i}{\partial r}=\frac{x^i}{r}$$,所以$$\partial_i\phi \frac{x^i}{r}=\frac{d\phi}{dr}=\partial_r\phi$$.

注意到(1.1.37)如果不把球面积分写成径向坐标部分部分和角度部分积分的之际的话,那么这个推导完全不需要(1.1.35)的条件而只需要球对称和静态的条件. 而在文中的推导中,利用了$$d^2S=r^2 dr d^2\Omega=4\pi r^2dr$$以及(1.1.35). 因此,如果$$\chi, \phi$$都可以提出某个常数$$A$$的话,最后的结果只需要在面积分中额外的乘以这个空间维度为2的常数. 以Ellis虫洞为例,在径向半径趋于负无穷大时,这个常数是$$\lim\limits_{r\to -\infty}\exp\left[-m\frac{\pi-2\arctan\left(\frac{r-m}{\sqrt{n^2-m^2}}\right)}{\sqrt{n^2-m^2}}\right]=\exp\left[\frac{-m\left(\pi-2\frac{-\pi}{2}\right)}{\sqrt{n^2-m^2}}\right]=\exp\left[\frac{-2m\pi}{\sqrt{n^2-m^2}}\right]$$.

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New conservation laws for zero rest-mass fields in asymptotically flat space-time, Proc. R. Soc. A305 (1968) 175-204, by R. Penrose and E. T. Newman
本文导出Peelling条件,推导了广义相对论中的在渐进平直时空中零质量场在零无限远处的守恒率.

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Asymptotic Quantization (Bibliopolis, Naples, 1987) by Abhay Ashtekar
本书通过渐进无穷远处的场方程的性质讨论量子引力的实现.

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On the ambiguity in the notion of transverse traceless modes of gravitational waves, arXiv:1707.09914v2, by A. Ashtekar and B. Bonga
本文讨论了现有文献中横向无迹度规扰动定义的歧义.

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Compact binary coalescences: The subtle issue of angular momentum, arXiv:1910.02907v2, by Abhay Ashtekar, Tommaso De Lorenzo, and Neev Khera
在零无限远处的时空对称性并非彭加莱群对应的对称操作而是BMS对称操作,本文讨论其对动量守恒的影响.

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Conserved Energy Flux for the Spherically Symmetric System and the Backreaction Problem in the Black Hole Evaporation, Prog. Theor. Phys. 63 (1980) 1217, by Hideo Kodama
在本文中,作者提出了(由他本人命名的)动态球对称黑洞的Kodama矢量和对应的守恒流.

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Kodama time: Geometrically preferred foliations of spherically symmetric spacetimes, arXiv:1004.1456v3, by Gabriel Abreu and Matt Visser
动态黑洞由于其度规的时间依赖性,对时间坐标的协变偏导不再是Killing矢量,进一步,与时间坐标相关的Killing矢量不再存在.在此意义上,一般情况下不再存在一个直观的时间坐标. 在球对称情况下,由Kodama矢量,和通过该矢量的Clebsch分解,可以自然的导出一个几何学上直观的时间坐标,称为Kodama时间.

在此意义上,这个工作给予球对称含时度规,比如Vaidya度规,的对角化以几何直观.

(45)

因为Kodama矢量对应Kodama守恒流,同时在度规退回到静态情况时平行于时间Killing矢量. 因此,我们自然的可以理解如果Kodama矢量正比于某标量的协变导数,那么这个标量直观的可以被对应为时间坐标.

(50)

由Misner-Sharp局域质量的定义(10),注意到等式右边是基(base,时间径向分量)的协变导数,以及由度规的对角形式(49),容易验证$$\left|\nabla r\right|^2=\frac{1}{g_{rr}}$$.

这样,由(50)的具体形式,我们其中的质量$$m(r,t)$$正是Misner-Sharp局域质量.

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