Research Paper Notes on Singular Hypersurfaces and Thin Shells

Research Paper Notes on Singular Hypersurfaces and Thin Shells

本文档除了包括推导, 疑惑 外,做 读书重点 的记录 $$$$

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 * Singular Hypersurfaces and Thin Shells in General Relativity, Nuovo Cimento 44 B (1966) 1, 48 B (1967) 463, by W. Israel

Singular Hypersurfaces and Thin Shells in General Relativity, Nuovo Cimento 44 B (1966) 1, 48 B (1967) 463, by W. Israel
本文(原文地址)和勘误(勘误原文地址)是利用外曲率的数学概念来讨论质壳和奇性曲面在广义相对论中的处理方式.

(2)

参见Schutz一书(6.77)的推导.

(5)

这个结果表明上与协变导数(1)的定义没有区别.而本质上,它是协变导数定义等式两边都在在曲面内的投影结果.

我们注意到,第一步等式后和最后一步的第二项都涉及到投影对应的缩并操作.这个结果说明,如果存在额外维度,即当前流形是内嵌在某个更大的流形中,具体的内嵌方式并不影响到(投影到内嵌空间的)协变导数和曲率张量的具体形式.又参见Poisson一书(3.4.3-3.4.4).

这里涉及的曲率被称为内曲率,作为对比,形式上这与后面给出的涉及到额外维度分量的协变导数(10)很不一样,与(5)比较,后者给出的结果涉及到外曲率(7).

(8)

第一步等式利用了$$K_{ij}$$的定义(7),第二步等式利用对正交关系$$\mathbf{n}\cdot \mathbf{e}_j =0$$的求导,第三步利用了广义相对论中联络(6)的对称性.

最后一步在(11)下方明确的给出.它本质上涉及到两个因素,其一是广义相对论中联络的对称性(无扭度),其二是(11)给出的投影的坐标变换.

注意到,严格的说,投影度规对应的联络对指标的对称性需要证明.实际上,它可以用类似广义相对论中证明联络指标对称性的方法给出,具体参见Poisson一书(3.4.6)的笔记.

(9)

注意到(6)和(8)都是数值.将(8)乘以$$-\epsilon(\mathbf{n})\mathbf{n}$$加上(6)乘以$$\mathbf{e}_{(h)}$$并相加.

等式左边就是(9)式的等式右边,而注意到(3)上方给出的正交关系,等式右边可以提出投影算符$$-\epsilon(\mathbf{n})\mathbf{n}\mathbf{n}+\mathbf{e}_{(h)}\mathbf{e}_{(h)}=1$$,即得(9)左边.证毕.

我们指出,由(9)出发,分别与$$-\epsilon(\mathbf{n})\mathbf{n}$$和$$\mathbf{e}_{(h)}$$缩并,即得(8)和(6),所以上述等式实际上是充要关系.

它的几何意义见(10)的笔记.

(10)

由(9)很容易得到这个结果,等式右边的第二项是垂直于曲面的. 它说明在曲面切向的矢量(4)在曲面上平行移动是会额外产生与曲面垂直的分量,正比于矢量与外微分的缩并. 但若仅仅考虑它在曲面切向的投影,则它的形式与一般的协变导数无异,即(5). 这个额外的垂直分量来源于(9),即曲面坐标基在沿曲面切向平行移动时会产生垂直于曲面的分量.

(11)

这个关系给出的是从一般坐标基$$(x^\alpha)$$投影到曲面上坐标$$(\xi^i)$$的坐标变换.

(12-15)

对(12-13)等式左边是在四维时空中定义的Ricci张量,通过$$e_{(a)}^\alpha, n^\alpha$$来缩并,等式右边是在曲面上的投影度规中的Ricci张量(其联络的定义为(6))和外曲率(8). 按Schutz一书(6.6.3),可以将Ricci张量用联络表示$${R^\alpha}_{\beta\mu\nu}={\Gamma^\alpha}_{\beta\nu,\mu}-{\Gamma^\alpha}_{\beta\mu,\nu}+{\Gamma^\alpha}_{\sigma\mu}{\Gamma^\sigma}_{\beta\nu}-{\Gamma^\alpha}_{\sigma\nu}{\Gamma^\sigma}_{\beta\mu}$$. 所以等式右边涉及联络(6)的导数,因为(3)坐标变量为$$(\xi^i)$$. 如书中所述,这个导数可以利用(9)和(9)对$$(\xi^i)$$的导数来计算.而后者涉及的$$\partial\mathbf{e}_{(i)}/\partial \xi^j$$和$$\partial\mathbf{n}/\partial \xi^j$$可以通过(7)和(9)表达为联络和外曲率. 这样上述结果最终全部可以表达为$$\mathbf{e}_{(i)},\mathbf{n}$$以及它们对$$(\xi^i)$$的导数. 按书中提示,它们最后都可以表达成对易子(2)的形式,从而表达为等式左边的四维时空中的Ricci张量.

其中(13)和(14)之间的关系式的本质同样是把度规和曲面上的诱导度规的关系.具体推导参见Poisson一书(3.1.12),而该书(3.4.2)附近指出,等式右边其实定义了一个把张量分量投影到曲面上的投影算符.

最后,用曲面度规$$g^{bc}g^{ad}, g^{bd}$$(而非四维时空的度规)来缩并(12-13),注意到被缩并等式右边直接给出(14-15)等式右边的对应项,而等式左边则可利用上述关系式化简. 其中$${}^3R=h^{ab}{R}^m_{amb}$$,是曲面上的Ricci张量.

按勘误,这些表达式含有些小错误.具体证明参见,比如,Poisson一书(3.5.3-3.5.6)的证明.

(16-17)

如文中所述,(17)的证明与之前(10)非常类似,对(16)等式右边求协变导数,利用与(5)类似的张量的曲面切向的协变导数与普通导数的关系,即沿曲面切向平移在曲面切向的投影以及(9)曲面上坐标基沿曲面平行移动与外曲率的关系,即得.

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