Key Notes on Notions of Energy Momentum Tensor

Key Notes on Notions of Energy Momentum Tensor

本文档除了包括推导, 疑惑 外,做 读书重点 的记录

参考文献列表

 * Gravitation and Cosmology by Seven Weinberg
 * A First course in General Relativity by B. Schutz
 * Classical Mechanics by Goldstein
 * Thesis on Hydrodynamics by Ph. Mota

理想流体的能动张量
参见Lecture Notes of Gravitation and Cosmology by Seven Weinberg 可以证明,各向同性的理想流体在随动坐标系中能动张量的形式为


 * $$\begin{align}

T^{\mu\nu}=\left( \begin{array}{cccc} e & 0 & 0 & 0 \\ 0 & P & 0 & 0 \\ 0 & 0 & P & 0 \\ 0 & 0 & 0 & P \end{array}\right) \end{align}$$

通过洛仑兹变换,上述能动张量可以写到任意坐标系中,一个比较常见的形式是写成与四速度平行和四速度垂直的形式,即


 * $$\begin{align}

T^{\mu\nu}=(\varepsilon+P)u^{\mu}u^{\nu}-Pg^{\mu\nu}=\varepsilon u^{\mu}u^{\nu}-P\Delta^{\mu\nu} \end{align}$$ 其中速度投影算符


 * $$\begin{align}

\Delta^{\mu\nu}=g^{\mu\nu}-u^{\mu}u^{\nu} \end{align}$$ 它自然的满足
 * $$\begin{align}

u_{\mu}\Delta^{\mu\nu}=0 \end{align}$$

粘滞度
这里我们首先着重讨论当引入粘滞系数后,体系的独立参数的数目.首先我们注意到,能动张量总是可以按类似温伯格引力论和宇宙学(2.8.4)的方式给出,这样定义的一个后果是能动张量是洛仑兹张量.如果我们在流体随动系(以质点粒子求和的角度看即是质心系)中定义了能动张量,那么它在任一坐标系中的形式可以由洛仑兹变换完全确定下来.这意味着,如果在质心系中,体系所有与粘滞系数相关的性质可由某一确定数目的参数完全决定下来,则在任意坐标系中,体系粘滞性由同样数目的参数决定.这给我们的讨论带来了方便,接下来我们只是在质心系中讨论这个问题.在质心系中,由于理想流体具有空间旋转对称性(即空间各向同性),能动张量在纯空间转动洛仑兹变换下不变,纯空间转动洛仑兹变换即空间部分的实正交矩阵变换,从而能动张量空间部分必须正比于单位矩阵.而由质心系的定义,能动张量第一行空间部分全为零,由于能动张量的对称性,其第一列空间部分亦全为零(参见温伯格一书,及读书笔记).能动张量平行于四速度部分仅一个分量不为零,即零零分量.在此意义上,引入粘滞性相当于在引入能动张量中引入非对角元,下面的讨论主要议题就是引入粘滞性等价于在理论上最多可以引入多少个新的独立的参数.

第一步我们注意到一般形式下四维张量含10个对称部分的独立参数,6个反对称部分的参数.(2.8.4)定义的能动张量是对称的,从而反对称部分的6个独立参数在任何情况下不会对能动张量有贡献.而其中对称部分相应的10个独立参数中含6个参数垂直于流体的四速度,4个参数平行于流体的四速度.同样,垂直或者平行关系是洛仑兹协变的,不依赖于随动或者实验室坐标系的选取,数学上可以通过下述投影算符实现


 * $$\begin{align}

&\Delta^{\mu\nu}=g^{\mu\nu}-u^{\mu}u^{\nu}\\ &u_{\mu}\Delta^{\mu\nu}=0 \end{align}$$ 在随动系中,由于体系质心四速度为 $$(1,0,0,0)$$,任何时间分量为零的张量都与此四速度垂直,从而直观的看到,这6个参数对应于空间部分$$3\times 3$$对称矩阵的独立矩阵元的数目.其中矩阵的迹称为体积粘度,而其余无迹的5个参数称为剪切粘度(从下面对剪切粘度张量的具体构造中,我们看到构造得到的张量的确具有5个自由参数,从而构造是正确有效的).最后,需要说明在平行于流体速度部分.考察自由度数目同样只需要在质心系中讨论问题,由于四速度为 $$(1,0,0,0)$$ 任何只含有对角项时间分量为不为零,空间分量任意的矩阵都与四速度平行,这相当于能动张量中的热传导项,它有4个参数,但是其中一个参数并入能量密度,故具有3个独立的参数.

上面的分析给出,由于粘滞度的存在,即便在随动坐标系中,能动张量并不具有对角形式.上面问题的逆问题是,如何由一个一般形式的能动张量得到随动坐标系.这可以由下面的方法得到.考虑由相应四速度导致的洛仑兹变换 $$\Lambda$$ ,能动张量在相应的洛仑兹变化下,第一行和第一列除了一个对应随动能量密度的元素外都为零.因为四速度是归一的,能动张量始终是对称的,所以我们有三个变量三个方程,决定了随动系,即


 * $$\begin{align}

{{T'}^\mu}_\nu\Rightarrow{\Lambda^{\mu}}_{\alpha}{\Lambda_{\nu}}^{\beta}{T^{\alpha}}_{\beta}=\left( \begin{array}{cccc} e & 0 & 0 & 0\\ 0 & {T^1}_1 & {T^1}_2 & {T^1}_3\\ 0 & {T^2}_1 & {T^2}_2 & {T^2}_3\\ 0 & {T^3}_1 & {T^3}_2 & {T^3}_3 \end{array}\right) \end{align}$$

上述洛仑兹变换含有3个独立参数,其中两个参数决定三维空间的方向,最后一个参数决定速度的大小.剩下的空间部分的能动张量,如上所述,并不是对角化的. 这时体粘滞系数为$$\Pi =\frac13({T^1}_1+{T^2}_2+{T^3}_3)-P(e)$$. 其中$$P(e)$$由状态方程决定. 但是由于上述3X3的空间矩阵是实对称阵,从线性代数知道它的本征值都为实数,且可以通过转动矩阵$$R^T=R^{-1}$$来对角化. 这样的转动矩阵对应3个独立参数(比如三个Euler角),对应剪切粘滞的三个独立的非对角参数. 从总共五个剪切粘滞系数中扣除三个后剩下的两个独立参数对应对角线上的两个参数,比如$${\pi^1}_1={T^1}_1-\Pi-P(e)$$.

我们总结一下把能动张量对角化以确定局域随动系对应的自由度数目. 洛伦兹冲刺由一个四速度决定,包含三个自由度,空间转动由三个欧拉角决定,包含三个自由度. 故而洛伦兹含有六个自由度,正好用于消除对称的4X4能动张量的六个非零对角项. 整个消除步骤分两步. 第一步通过洛伦兹冲刺消除第一列(或者第一行)的三个非对角项,第一步通过空间转动消除剩余的空间部分的三个非对角项.

具体的,我们有
 * $${\Lambda^\mu}_{\alpha}{\Lambda_\nu}^{\beta}{T^\alpha}_\beta={{T'}^\mu}_\nu

=\begin{pmatrix}e&0&0&0\\0&-P-\Pi-{\pi^1}_1&0&0\\0&0&-P-\Pi-{\pi^2}_2&0\\0&0&0&-P-\Pi+{\pi^1}_1+{\pi^2}_2\end{pmatrix} $$ 其中$${\Lambda^\mu}_{\alpha}$$是写成张量形式的洛伦兹变换(矩阵). 注意到在平直时空的度规,上述关系经常被表达为
 * $${\Lambda^\mu}_{\alpha}{\Lambda^\nu}_{\beta}{T^{\alpha\beta}}={T'}^{\mu\nu}

=\mathrm{diag}\left(e, {T'}^{11}, {T'}^{22}, {T'}^{33}\right) $$ 实际上,这个写法对非闵可夫斯基度规下并不是协变的.具体参见下面的推导. 换言之,在局域随动系中被对角化的能动张量必须是$${T^\mu}_\nu$$而非$$T^{\mu\nu}$$或者$$T_{\mu\nu}$$.

另外,在文献中,对洛伦兹变换的四速度部分,经常还能看到以下表述方式
 * $$T^{\alpha\beta}u_\beta=e u^\alpha$$.

我们在这里证明,这两种表述方式是等价的.

在下面的证明中,洛伦兹变换原则上只涉及其洛伦兹冲刺部分,虽然这里的一些推导对一般的洛伦兹变换都成立. 首先,按洛伦兹变换不改变矢量模的性质
 * $${\Lambda^\mu}_{\alpha}{\Lambda_\mu}^{\beta}v^{\alpha}v_{\beta}={v'}^{\mu}{v'}_{\mu}=\delta^\alpha_{\beta}v^{\alpha}v_{\beta}$$

注意到$${\Lambda_\mu}^{\beta}$$也是洛伦兹变换矩阵,但是其具体形式依赖于指标的位置(上下,先后). 我们有
 * $${\Lambda^\mu}_{\alpha}{\Lambda_\mu}^{\beta}=\delta^\alpha_{\beta}$$
 * $${\Lambda^\alpha}_{\mu}{\Lambda_\beta}^{\mu}=\delta^\alpha_{\beta}$$

换言之,作为矩阵
 * $${\left({\Lambda^{-1}}\right)^\beta}_{\mu}={\Lambda_\mu}^{\beta}$$
 * $${\left({\Lambda^{-1}}\right)_\beta}^{\mu}={\Lambda^\mu}_{\beta}$$

由于洛伦兹冲刺由一个四速度决定,不难证明,洛伦兹变换和对应的四速度满足关系
 * $${\Lambda^\mu}_{\nu}u^\nu

=\begin{pmatrix}1\\0\\0\\0\end{pmatrix} \equiv \mathbb{1}^\mu$$ 实际上,由洛伦兹冲刺的具体形式(假设沿着$$\hat{z}$$方向),我们有

{\Lambda^\mu}_{\nu}u^\nu =\begin{pmatrix}\gamma&0&0&-\gamma v\\0&1&0&0\\0&0&0&0\\-\gamma v&0&0&\gamma\end{pmatrix} \begin{pmatrix}\gamma\\0\\0\\\gamma v\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1\\0\\0\\0\end{pmatrix} =\mathbb{1}^\mu$$. 由此,
 * $$ u^\gamma = {\left({\Lambda^{-1}}\right)^\gamma}_\mu \mathbb{1}^\mu = {\Lambda_\mu}^\gamma \mathbb{1}^\mu$$
 * $$ u^\gamma e = {\Lambda_\mu}^\gamma \mathbb{1}^\mu e$$.

我们对$$T^{\mu\nu}u_\nu={T^\mu}_\nu u^\nu$$做傅里叶(冲刺)变换,以使得能动张量$${T^\mu}_\nu$$的第一列(第一行)对角化.
 * $${\Lambda^\mu}_\alpha {T^\alpha}_\nu u^\nu = {\Lambda^\mu}_\alpha {\Lambda_\nu}^\beta {T^\alpha}_\beta {\Lambda^\nu}_\gamma u^\gamma

=\left( \begin{array}{cccc} e & 0 & 0 & 0\\ 0 & {T^1}_1 & {T^1}_2 & {T^1}_3\\ 0 & {T^2}_1 & {T^2}_2 & {T^2}_3\\ 0 & {T^3}_1 & {T^3}_2 & {T^3}_3 \end{array}\right) \begin{pmatrix}1\\0\\0\\0\end{pmatrix} = e \mathbb{1}^\mu $$ 利用上面的结果,对上面的结果两边左乘
 * $$ {\left(\Lambda^{-1}\right)^\beta}_\mu = {\Lambda_\mu}^\beta$$,

即得所需关系式,$$ {T^\beta}_\mu u^\mu = e u^\beta$$.

最后,我们通过一个特例来说明佐证上述结果的自洽性,考虑理想流体的能动量$$ T^{\mu\nu}=(e+P)u^\mu u^\nu - Pg^{\mu\nu}$$,我们有
 * $$ {T^\mu}_\nu = (e+P)u^\mu u_\nu - P{g^\mu}_\nu = (e+P)u^\mu u_\nu - P \delta^\mu_\nu$$

为了变换到随动系,我们对等式两边作用$$ {\Lambda^\alpha}_\mu {\Lambda_\beta}^\nu$$,我们得到
 * $$ {{T'}^\alpha}_\beta = (e+P){\Lambda^\alpha}_\mu u^\mu {\Lambda_\beta}^\nu u_\nu - P {\Lambda^\alpha}_\mu {\Lambda_\beta}^\nu \delta^\mu_\nu

=(e+P)\mathbb{1}^\alpha \mathbb{1}^\gamma g_{\gamma\beta} - P {\Lambda^\alpha}_\mu {\Lambda_\beta}^\mu =(e+P)\mathbb{1}^\alpha \mathbb{1}_\beta - P \delta^\alpha_\beta =\begin{pmatrix}e g_{00}&0&0&0\\0&-P&0&0\\0&0&-P&0\\0&0&0&-P\end{pmatrix} $$. 显然,变换后的能动张量的确被对角化了. 并注意到在一般情况下$$ g_{00}=1$$. 但若从$$ T^{\mu\nu}$$出发,如果不是对闵可夫斯基度规,则无法得到这个结果.

与应力张量的联系
与应力张量(stress tensor)的联系.上面定义的粘滞度实际上是从相对论角度,从能动张量的对称性出发的讨论.在经典力学中,按柯西应力定理,我们从应力的角度定义非相对论 $$3 \times 3$$ 应力张量 $$T$$ ,比如其分量 $$\sigma_{xy}$$ 是作用在 $$x$$ 方向的微元 $$\sigma_x$$ 上的应力的 $$y$$ 分量.从而对于朝向任意的小面元,可以与三个朝向分别为 $$x,y,z$$ 的小面元构造出一个封闭体积,对这个无限小的封闭体积运用牛顿第二定律,知道作用在小体积上的合力为零,从而得到作用在任意朝向的小面元上的应力的表达式,无非为三个朝向 $$x,y,z$$ 小面元上的应力的和


 * $$\begin{align}

&F^{(\vec n)}=T \cdot d\sigma^{(\vec n)}\equiv\sum_i\sigma_{ij}d\sigma_i \\ &d\sigma^{(\vec n)} \equiv d\sigma_i \hat e_i \end{align}$$ 按此定义,应力张量具有压强的量纲.另一个直接的结论是,与接触面平行的剪切应力出现在应力张量的非对角项.

现在考虑流体的应力张量以及流体的平衡条件.对任何无限小体积,由牛顿第三定律,我们知道合力为零,和力矩为零.前者导致一个类似能动张量守恒的表达式,后者导致应力张量是对称的(能动张量按定义即是对称的).下面给出证明,来源为维基百科stress(mechanics).设外力密度为 $$F_i$$ 由合力为零得


 * $$\begin{align}

&\int_S T_i^{(n)}dS + \int_V F_i dV = 0 \\ &\int_S \sigma_{ji}n_j\, dS + \int_V F_i\, dV = 0 \\ &\int_V \sigma_{ji,j}\, dV + \int_V F_i\, dV = 0 \\ &\int_V (\sigma_{ji,j} + F_i\,) dV = 0 \\ &\sigma_{ji,j} + F_i = 0 \end{align}$$

其中利用了高斯定理,当外力为零时,我们得到 $$\sigma_{ji,j} = 0 $$ 类似的,由力矩和为零得到


 * $$\begin{align}

&\tau=\int_S (\mathbf{r}\times\mathbf{T})dS + \int_V (\mathbf{r}\times\mathbf{F})dV=0 \\ &\int_S\varepsilon_{ijk}x_jT_k^{(n)}dS + \int_V\varepsilon_{ijk}x_jF_k dV =0 \\ &\int_S \varepsilon_{ijk}x_j\sigma_{mk}n_m\, dS + \int_V\varepsilon_{ijk}x_jF_k\, dV =0  \\ &\int_V (\varepsilon_{ijk}x_j\sigma_{mk})_{,m} dV + \int_V\varepsilon_{ijk}x_jF_k\, dV =0 \\ &\int_V (\varepsilon_{ijk}x_{j,m}\sigma_{mk}+\varepsilon_{ijk}x_j\sigma_{mk,m}) dV + \int_V\varepsilon_{ijk}x_jF_k\, dV =0 \\ &\int_V (\varepsilon_{ijk}x_{j,m}\sigma_{mk}) dV+ \int_V \varepsilon_{ijk}x_j(\sigma_{mk,m}+F_k)dV =0 \end{align}$$

第二项因为合力为零所以等于零,第一项利用 $$x_{j,m}=\delta_{jm}$$, 得到


 * $$\begin{align}

\int_V (\varepsilon_{ijk}\sigma_{jk}) dV=0 \end{align}$$ 此即
 * $$\begin{align}

\sigma_{ij}=\sigma_{ji}, (i\ne j) \end{align}$$ 进一步容易得到应力张量在坐标系变化下的变换形式,特别是在空间转动下应力张量的变换形式为 $$T \rightarrow R^{T} T R$$ ,从而我们得到类似结论,如果体系具有转动不变性,应力张量不含非对角项且对角项相等


 * $$\begin{align}

{\sigma_{ij}} = -P{\delta_{ij}} \end{align}$$ 其中 $$P$$ 按定义即为压强.而上面所有的结论,都可以被看成是能动张量的性质的一个非相对论特例,即应力张量是能动张量的空间部分.

能动张量,各向同性理想流体的能动张量
我们知道,由量子场论,拉格朗日的时空平移不变导致能动张量守恒.比较经典力学,我们知道经典力学中同样有时空平移不变导致能量动量守恒的结果.因为对于单粒子,可以由单粒子的相对论形式拉格朗日(Goldstein经典力学)写出其能动张量形式.对体系的所有粒子求和后即得到体系能动张量的表达式(参见温伯格引力论与宇宙学第二章(2.8.4)).在此意义上,场论和经典力学中的能动张量概念是一致的.在流体力学中,我们并不从第一性原理推导能动张量守恒
 * $$T^{\mu\nu}{}_{;\mu}=0$$

而是把这一定理作为我们研究的体系的动力学方程.这是因为这里我们并不具有一个微观动力学理论,如QED我们可以推导出能动张量守恒,但是我们它并不是我们求解体系的动力学方程,因为QED中求解的动力学方程是演化算符满足的方程,相应计算散射矩阵,能量动量守恒是$$S$$矩阵包含的一个 $$\delta $$函数因子,即与动力学方程自洽.所以,在流体力学中,问题的关键是如何写下能动张量.我们利用能动张量在经典力学中的物理意义,写下一个一般形式的张量,它的第一行是能量和动量,同时相对论要求这个张量是协变的. 在文献中,对简单情况,能动张量一般有两个经常出现的形式


 * $$\begin{align}

& T^{\mu\nu}=(\varepsilon+P)u^{\mu}u^{\nu}-Pg^{\mu\nu}=\varepsilon u^{\mu}u^{\nu}-P\Delta^{\mu\nu}      (\Delta^{\mu\nu}=g^{\mu\nu}-u^{\mu}u^{\nu},u_{\mu}\Delta^{\mu\nu}=0) \\ &T^{\mu\nu}=\sum_np^{\mu}_n\frac{dx^{\nu}_n}{dt}\delta^3(x-x_n(t))=\frac{1}{(2\pi)^3}\int\frac{d^3p}{E}p^{\mu}p^{\nu}f(x,p) \end{align}$$

其中求和号是因为点源函数的存在必须考虑协变的要求,注意到$$p^\mu=E \frac{dx^\mu}{dt}$$,以及乘积


 * $$\begin{align}

\frac{\delta^3(x-x_n(t))}{dt}, d^3xdt, \frac{d^3p}{E} \end{align}$$

都是洛伦兹不变量.把
 * $$\begin{align}

\sum\frac{\delta(x-x_n(t))}{E_n},\frac{1}{(2\pi)^3}\frac{d^3p}{E}f(x,p) \end{align}$$

两边同乘以因子并积分$$\int d^3x E$$后,两边都是在数粒子(状态)数.所以第二式定义的两个能量张量等价,后者相当于前者推广到连续分布的情况.

由上面讨论知道,第二个定义实际上从动力学出发,更基本.其中的分布函数 $$f(x,p)$$ 可以是任何一般的形式,所以适用于一般的非理想体系.同样由前面的讨论知道,上面的第一个定义,仅仅对热力学平衡下无粘滞无相互作用的体系成立,因为它的数学形式可以通过对理想体系的对称性以及质心系的物理意义进行讨论而得到.但是为什么 $$\varepsilon, P $$分别是能量和压强呢?这实际上涉及到定义,特别是对压强的定义.我们总是可以把随动坐标系中的四流认为是能量密度乘以四速度,四动量的时间部分即是能量密度.而四流的空间部分其实是在单位时间穿过单位表面的动量流(四动量的空间部分),回忆非相对论统计物理对压强的微观解释(压强是单位时间穿过单位表面的微观粒子的动量的总和),发现其垂直表面的部分其实就是压强.

作为一个实例,在下面,我们考虑在质心系中热力学平衡分布(从而自然具有空间旋转对称性)给出一个自洽的计算.

作为证明的第一步,我们仅仅考虑单一质量为 $$m$$ 的玻色子(如纯$$ \pi$$ 介子)构成的理想流体.如果我们能在质心系中证明上面两个表达式中两个张量的各分量都一致,(并且假定在第一式中被定义的与流体守恒荷相应的流与在第二式中被定义的能量流物理上一致,具体见下面关于能动张量形式的讨论)那么由于上述两个表达式都是洛仑兹张量,从而通过洛仑兹变化后,在任一惯性系中两个张量的形式都应该一致.证明如下,首先我们考虑第二式,对于流体质心系即随动坐标系,流体的四速度为 $$(1,0,0,0)$$ .如明显的写出分布函数,它可以被进一步简化如下,


 * $$\begin{align}

&f(p_{\nu} u^{\nu})=f(p^0)=\frac{1}{e^{\beta(p^0-\mu)}-1} \\ &p^0=\sqrt{p^2+M^2}\\ &p\equiv |{\mathbf p}| \end{align}$$

首先我们计算 $$T^{00}$$ 分量,由第二式


 * $$\begin{align}

T^{00}=\int \frac{1}{(2\pi)^3}\frac{d^3p}{p^0}p^0p^0f(p)=\frac{g}{ (2\pi)^3}\int \frac{p^0d^3p}{e^{\beta(p^0-\mu)}-1} \end{align}$$

而另一方面,由平衡态统计物理,我们知道内能,压强等物理量可以由生成函数导出


 * $$\begin{align}

&\ln\Xi=-\frac{g V}{(2\pi)^3} \int d^3p \ln (1-e^{-\beta(p^0-\mu)}) \\ &P=-\frac{\Omega}{V}=\frac{\ln\Xi}{V\beta} \\ &\varepsilon=\frac{\bar E}{V}=\frac{1}{V}\frac{\partial \ln\Xi}{\partial \beta} \\ &P=-\frac{g}{\beta(2\pi)^3} \int d^3p \ln (1-e^{-\beta(p^0-\mu)}) =-\frac{1}{3}\frac{4\pi g}{\beta(2\pi)^3} \int \ln (1-e^{-\beta(p^0-\mu)}) d(p^3) \\ &=\frac{1}{3}\frac{4\pi g}{ (2\pi)^3}\int \frac{p}{p^0}\frac{p^3dp}{e^{\beta(p^0-\mu)-1}}=\frac{1}{3}\frac{g}{ (2\pi)^3}\int \frac{p}{p^0}\frac{pd^3p}{e^{\beta(p^0-\mu)-1}} \\ &\varepsilon=\frac{1}{V}\frac{gV}{(2\pi)^3} \frac{\partial}{\partial \beta}\int d^3p \ln (1-e^{-\beta(p^0-\mu)})  =\frac{g}{(2\pi)^3}\int  \frac{p^0d^3p}{e^{\beta(p^0-\mu)-1}} \end{align}$$

其中利用了质能关系的推论 $$p^0dp^0=pdp$$ 对无质量介子,由于 $$p^0=|{\mathbf p}|\equiv p$$ ,可以进一步获得关系 $$\varepsilon=3P$$ .但这里并不需要此结论. 比较上面结论,得到所需关系


 * $$\begin{align}

T^{00}=\varepsilon \end{align}$$ 而类似的,利用 $$p^1=p\sin\theta\cos\phi, p^3=p\cos\theta$$ 可直接证明,对其余对角项


 * $$\begin{align}

T^{11}=T^{33}=P \end{align}$$ 另外对交叉项,注意到角度部分 $$\phi$$ 的积分即得


 * $$\begin{align}

T^{10}=T^{13}=\cdots=0 \end{align}$$

我们再次强调,在上述证明中,我们考虑的是一定温度下统计平衡分布的特殊情况,更糟糕的是,我们考虑的是无相互作用的理想气体,因为我们利用了各向同性且无相互作用体系的生产函数以及波色分布. 最后讨论对上述证明的推广.一般的,上述证明可以容易的推广到费米子.进一步,如果考虑多组分的流体,只需在所有公式等号两边对各种不同的组分求和,而证明过程完全保持不变.那么对于一般情况,即便没有温度的定义,我们可以借助"力"的定义,从经典统计物理的角度给出一个更一般,但是局限于经典力学的证明.完全类似大学物理中热学对压强与分布函数的关系,我们有


 * $$\begin{align}

&f(p^1)\equiv \sum_{p^2,p^3}f(p=p^1,p^2,p^3,x)\equiv \sum_{p^2,p^3}f(p,x) \\ &\Delta n(p^1)=f(p^1)\Delta V \\ &\Delta V=\Delta x^1dS=v^1\Delta t \Delta S=\frac{p^1}{E^0}\Delta t\Delta S \\ &\frac{\Delta p^1}{\Delta t}=\frac{2 p^1}{\Delta t} \\ &F^1\equiv F^1(p^1)=\frac{1}{2}\Delta n(p^1)\frac{\Delta p^1}{\Delta t}=\Delta n(p^1)p^1\Delta S=\frac{p^1p^1}{E^0}f(p^1)\Delta S \\ &P=\sum_{p^1}\frac{F^1}{\Delta S} =\sum_{p^1}\frac{p^1p^1}{E^0}f(p^1)=\sum_{p^1,p^2,p^3}\frac{p^1p^1}{E^0}f(p=p^1,p^2,p^3,x) =\frac{1}{(2\pi)^3}\int \frac{d^3p}{E}p^{1}p^{1} f(p,x) \end{align}$$

其中 $$F^1 $$是动量分量为 $$p^1$$ 的所有粒子所贡献的力,对动量分量 $$p^1$$ 求和除以面元就是压强, $$\Delta n(p^1)$$ 前面的因子$$ \frac{1}{2}$$ 因为只有一半动量 $$p^1$$ 为正数的粒子对压强有贡献,这个因子与动量差中的因子2正好抵消.上述证明形式一般,缺点是必须借助经典的"力"而非"功"的概念来定义压强.

包含粘滞系数的能动张量的形式
考虑粘滞系数带来的新的参数自由度后,能动张量的一般形式为(参见Philipe硕士论文Ch3.5) 能动张量的一般形式为


 * $$\begin{align}

T^{\mu\nu}={\varepsilon}u^{\mu}u^{\nu}-(P+\Pi)\Delta^{\mu\nu}+\pi^{\mu\nu}+2q_{\lambda}\Delta^{\lambda(\mu}u^{\nu)} \end{align}$$

其中 $$\Pi $$称为体粘滞系数,对应与速度垂直的对称矩阵的迹, $$\pi^{\mu\nu}$$ 称为剪切粘滞系数,对应与速度垂直的对称矩阵的无迹部分, $$q_{\lambda}$$ 称为热流对应 $$T^{\mu\nu}u_{\nu}$$ 与速度垂直部分.我们将逐项进行讨论,首先我们证明在朗道随动系的定义下,即考虑粘滞系数但不考虑随动系中热流的情况下体系的能动张量形式为


 * $$\begin{align}

T^{\mu\nu}={\varepsilon}u^{\mu}u^{\nu}-(P+\Pi)\Delta^{\mu\nu}+\pi^{\mu\nu} \end{align}$$

数学上,我们可以用下面的投影算符得到一个张量的对称无迹部分,它的定义如下


 * $$\begin{align}

\Delta^{\mu\nu\alpha\beta}\equiv\frac{1}{2}\left[\Delta^{\mu\alpha}\Delta^{\nu\beta}+\Delta^{\mu\beta}\Delta^{\nu\alpha}-\frac{2}{3}\Delta^{\mu\nu}\Delta^{\alpha\beta}\right] \end{align}$$

利用速度投影算符的性质,我们可以直接验证投影后得到的张量满足对称和无迹的性质,即


 * $$\begin{align}

&\Delta^{\mu\nu\alpha\beta}A_{\alpha\beta}=\Delta^{\nu\mu\alpha\beta}A_{\alpha\beta}\\ &\mathbf{Tr}\Delta^{\mu\nu\alpha\beta}A_{\alpha\beta}=g_{\mu\nu}\Delta^{\mu\nu\alpha\beta}A_{\alpha\beta}=0 \end{align}$$

其归一系数$$1/2$$保证张量被投影后的模不变


 * $$\Delta^{\mu\nu\alpha\beta}A_{\alpha\beta}\Delta_{\mu\nu\alpha'\beta'}A^{\alpha'\beta'}=A_{\alpha\beta}A^{\alpha\beta}$$

实际上这个归一系数可以通过比如无迹张量的特例确定下来.

如果我们把能动张量写成两部分的和的形式,


 * $$\begin{align}

T^{\mu\nu}=T^{\mu\nu}_0+{\Pi}^{\mu\nu} \end{align}$$

那么我们可以自然的把剪切粘滞系数定义为与平衡态的偏差的无迹部分,即


 * $$\begin{align}

\pi^{\mu\nu}=\Delta^{\mu\nu\alpha\beta}\Pi_{\alpha\beta} \end{align}$$

在朗道随动系中,由于不存在热(能量)流,满足关系


 * $$\begin{align}

T^{\mu\nu}u_{\nu}=eu^{\mu}\Rightarrow \Pi^{\mu\nu}u_{\nu}=0 \end{align}$$

我们可以进一步化简上面的表达式为


 * $$\begin{align}

&\Delta_{\alpha\mu}\Pi^{\mu\nu}=g_{\alpha\mu}\Pi^{\mu\nu}-u_{\alpha}u_{\mu}\Pi^{\mu\nu}={\Pi_{\alpha}}^{\nu}\\ &\pi^{\mu\nu}=\Delta^{\mu\nu\alpha\beta}\Pi_{\alpha\beta}=\Pi^{\mu\nu}-\Delta^{\mu\nu}\frac{{\Pi^{\alpha}}_{\alpha}}{3} \end{align}$$

同时定义


 * $$\begin{align}

\Pi\equiv-\frac{{\Pi^{\alpha}}_{\alpha}}{3} \end{align}$$

这样我们完成了不带能流项的能动张量的形式的证明.

热流项和化学流项的引入
按能动张量的定义,能量流为(2.8.1) $$T^{0\mu}$$ ,它并非一个矢量.类似对温度和熵的处理,我们在随动质心系中作讨论.讨论热流最方便的理解方式是考虑Eckart质心系的定义,质心系由守恒荷决定,即在质心系中守恒流和流体四速度都仅具有时间分量无空间分量.对于能量流,在质心系中它满足
 * $$\begin{align}

T^{0\mu}=u_0T^{0\mu}=u_{\mu}T^{\mu \nu} \end{align}$$ 这样我们唯一定义了一个矢量形式的物理量,它在质心系中满足能量流的物理内涵,在其他任意参考系中它其实并不是能量流.实际上,对于理想流体,能动张量分量 $$T^{0\mu}$$ 在Eckart随动系中只有时间分量,但是由于热传递的存在,能量流在随动系中可以有空间分量,因为在物理上,热流可由温度差引起,且热流并不必要伴随守恒荷的流动.换言之,从数学角度出发,因为热传递的存在,守恒荷流和能量流原则上是两个独立的物理量,或者说,能量流并不能完全决定于粒子流.在质心系中能量流的时间分量为内能,归入能量密度.我们把空间分量定义为热流,显然它垂直于四速度的方向.所以我们写下


 * $$\begin{align}

u_{\mu}T^{\mu \nu}=\varepsilon u^{\nu}+q_{\lambda}\Delta^{\lambda\nu} \end{align}$$

其中 $$q_{\lambda}$$ 为热流.由于投影算符的存在,热流仅含有3个自由度.考虑这一项后,能动张量具有更一般的形式


 * $$\begin{align}

T^{\mu\nu}={\varepsilon}u^{\mu}u^{\nu}-(P+\Pi)\Delta^{\mu\nu}+\pi^{\mu\nu}+2q_{\lambda}\Delta^{\lambda(\mu}u^{\nu)} \end{align}$$

类似剪切粘滞系数,其实可以采用投影的方法来定义热流


 * $$\begin{align}

q^{\mu}\equiv\Delta^{\mu\alpha}T_{\alpha\beta}u^{\beta}=\Delta^{\mu\alpha}(T_{\alpha\beta}-T^0_{\alpha\beta}-\Pi_{\alpha\beta})u^{\beta} \end{align}$$

从而把能动张量写为


 * $$\begin{align}

T^{\mu\nu}={\varepsilon}u^{\mu}u^{\nu}-(P+\Pi)\Delta^{\mu\nu}+\pi^{\mu\nu}+2q_{\lambda}\Delta^{\lambda(\mu}u^{\nu)}={\varepsilon}u^{\mu}u^{\nu}-(P+\Pi)\Delta^{\mu\nu}+\pi^{\mu\nu}+q^{\mu}u^{\nu}+q^{\nu}u^{\mu} \end{align}$$

类似热流的引入,我们可以讨论伴随粒子守恒荷流的一个新物理量,称之为化学流.从物理上说,化学流具有和热流完全的导出非常类似,它来源于对随动系的另外一个不同的定义,Landau质心系的定义.按这种定义,质心系由能流决定,在质心系中能量流 $$T^{0\mu}$$ 和四速度都只有时间分量而没有空间分量,但是由于热传递的存在,在质心系中守恒荷流不但具有时间分量同时具有空间分量.因为从数学上说,这是守恒荷流和流体四速度是两个独立的物理量.由此,我们类似的可以把守恒荷流分解为平行于四速度和垂直于四速度部分.并把后者用$$ j_{\mu}$$ 和投影算符表示.


 * $$\begin{align}

N^{\nu}=nu^{\nu}+j_{\mu}\Delta^{\mu\nu} \end{align}$$

在随动系中,前者对应时间分量,后者对应空间分量.时间分量部分,由定义,和一个洛仑兹标量联系


 * $$\begin{align}

u_{\mu}N^{\mu}=n \end{align}$$ 但是注意到这里的 $$n$$ 是在Landau质心系中的守恒荷密度,这与Eckart质心系中的守恒荷密度(同样也是标量)数值上不同的,理由非常简单,虽然守恒流实际上是同一个矢量,但是另一个矢量流体四速度在两个情况下是两个完全不同的量. 在一般文献中,要么我们采用Eckart质心系定义,这时 $$q_{\mu}\ne 0, j_{\mu}=0$$ .要么采用Landau质心系定义,这时 $$q_{\mu}= 0, j_{\mu}\ne 0$$ .换言之,由于热传导机制,我们必须引入3个独立的参数加以描写.但是对于最为一般的情况,我们甚至可以讨论热流和化学流是由不同的机制造成的,这样上述表达式的数学形式得以利用,且 $$q_{\mu}\ne 0, j_{\mu}\ne 0$$ 体系增加6个独立的自由度.

随动系的等价性
疑惑 .在Heinz的讲义中,为了表达Ekart和Landau随动系的等价性,把能动张量的能流项垂直于四速度分量$$W^{\mu}$$表达为下面形式


 * $$\begin{align}

W^{\mu}\equiv u^{\nu}T_{\nu\lambda}\Delta^{\lambda\mu}=(q^{\mu}+\frac{\varepsilon+P}{n}j_{\mu}) \end{align}$$

这个式子可以理解如下.在Eckart随动参照系 $$j^{\mu}=0$$ 与 $$q^{\mu}\ne 0$$,上式形式平庸.在Landau随动参照系 $$j^{\mu}\ne 0$$ 与 $$q^{\mu}= 0$$,我们可以等价的把$$W^{\mu}=0$$认为是两项之和等于零的结果,换言之,在Landau随动系中存在空间部分的热量传送,但是这部分热量传送正好和空间部分的粒子输运导致的热量传送相互抵消,换言之系数$$\left(-\frac{\varepsilon+P}{n}\right)$$描写了空间部分粒子流对应空间部分能流(热流)的转换效率.我们发现,这个转换效率实际上意味着(更广义的结论不清楚)对于熵流的表达式,粒子流和能量流的等价性.原因是因为存在下面的热力学关系(证明参见流体力学运动方程的笔记)


 * $$\begin{align}

nTdS_{N}=d \varepsilon - \frac{(P+\varepsilon)}{n}dn \end{align}$$

从而Heinz的表达式对不同的随动系导致自洽的熵流表达式(讨论参见流体力学运动方程的笔记).