Lecture Notes of Asymptotics and Special Functions by Frank W. J. Olver

Lecture Notes of Asymptotics and Special Functions by Frank W. J. Olver

本文档除了包括推导, 疑惑 外,做 读书重点 的记录 $$$$

Ch.6 The Liouville-Green Approximation
本章讨论不含转折点(或称为零点)情况下利用刘维尔变换得到的相关近似解.

P.191 (1.04)

在这里,刘维尔变换的物理意义是它把一个不含一阶导数的两阶常微分方程(1.01)写成一个类似的不含一阶导数的形式.但是,因为比如分割(1.06)的存在,方程可以更适合得到某种近似解,最简单的情况就是刘维尔格林近似.

P.191 (1.05)

这个式子给出了一个具体的换元形式$$\xi(x)$$,它的优点是(1.06)等式右边括号中的第一项为常数,如果因为$$f^{-1/4}$$足够小或者变化足够缓慢而使得第二项足够小,那么,我们得到了刘维尔格林近似(1.08).显然,这个近似的最低阶结果与一阶WKB近似结果完全一致,不同之处在于它是对在刘维尔变换后的方程使用(震荡解,相当于零阶WKB近似)而得到的.

P.192 (1.10)

这个关系可以直接在(1.09)中引入换元(1.05)后得到.因为现在(1.04)下的方程等式右边将多一项$$\dot{x}^2g(x)w$$,这导致(1.04)等式右边花括号最后会多一项$$\dot{x}^2g(x)$$,而利用$$\dot{x}^2f(x)=1$$即得(1.10).

P.193 (2.04)

注意到这里不等式右边的下标$$a_j$$是指问题讨论中涉及的函数定义域$$x\in (a_1,a_2)$$.按(2.07)上方的讨论,在变换$$x\to\xi$$后$$a_j\to \alpha_j$$,但$$\alpha_1$$可以是无穷大.参见书中P.195底部的相关讨论.

P.194 (2.06)

注意到这个表达式就是(1.10),将(1.07)代入(1.10)即得(2.06).

P.194 (2.09)

如书中所述,把方程的右边化为$$s(\xi)\equiv(1+h(\xi)\psi(\xi)$$看成源.我们利用非齐次两阶常微分方程的参数变化法来得到方程的解.这个方法在两次常微分方程的相关书籍中很容易找到.

考虑对应齐次方程的两个线性独立的解$$y_1(\xi),y_2(\xi)$$,源为$$s(\xi)$$,可以证明,方程的特解为
 * $$-y_1(\xi)\int^\xi\frac{y_2(v)s(v)}{W(y_1,y_2)}dv+y_2(\xi)\int^\xi\frac{y_1(v)s(v)}{W(y_1,y_2)}dv$$.

不难发现(2.08)移项后对应的齐次方程的两个通解为$$y_1(\xi)=1, y_2(\xi)=e^{-2\xi}$$.另外注意到因为边界上贡献不为零,上述朗斯基行列式是$$\xi$$的函数.将此代入易得(2.09).

P.195 (2.10)

懒得看的话,就当是闭着眼睛迭代好了,迭代在积分(2.09)的初始点附近进行.

P.196 (2.13)

这里用数学归纳法证明这个结果.(2.14)是把前后两次利用(2.11)迭代得到的$$h_s(\xi)$$的结果取差.

而(2.14)下一式等式右边的第一步是利用数学归纳法假设(2.13)对$$s$$阶成立,而最后一步意味着$$\frac{1}{s+1}\Psi^{s+1}(\xi)=\int^\xi|\psi(v)|\Psi^s(v)dv$$.后者可以通过对上述等式两边对$$\xi$$求导,并利用(2.12)下一式中$$\Psi(\xi)$$的定义即得.而等式右边的积分下限由$$\xi=\alpha_1$$时等式两边都为零决定.

P.196 (2.15)

由于等式左边由(2.07)定义的$$h(\xi)$$就是(2.03)中变量为$$x$$的偏差$$\epsilon(x)$$,而等式右边由迭代关系(2.11)决定的相邻阶的差的总和是一致收敛的,具体见(2.18).所以,偏差是一致收敛故为可控的.

P.196 (2.16)

我们注意到,对(2.11)的求导其实含两部分的贡献.第一部分是对积分上限$$\xi$$的求导,不难发现部分贡献其实为零.而第二部分是对因子$$e^{2(v-\xi)}$$中$$\xi$$的求导,显然,这个贡献仍然保留对$$v$$的积分形式,这就是(2.16)第一式的结果.

另外,(2.16)第二式的证明思路完全类似,由对(2.14)进行求导得到.

P.196 (2.17)

这里(2.17)的结果与(2.13)类似但并不完全一致.这个关系足以证明偏差的导数也是一致收敛的.

由自身满足的运动方程,偏差的两阶导数由偏差及其一阶导数的线性组合构成,所以同样是一致收敛的.

P.196 (2.20-22)

注意到按约定$$f(x)$$是正定的(实)函数,所以(2.20)与之前(2.02)的区别是$$f(x)$$前为负号,故解的主要行为是震荡形式的.

而对误差的估计也略有不同,$$a$$是区间内任一点,而非如(2.04)误差是从区间边缘开始计算.

P.196 (2.23)

注意到,指数上额外的$$i$$使得这里以原点为中心半径为$$1$$的圆周上的任何点与$$1$$的距离最大为$$2$$.

与之前比较,上述差别导致的另一个重要结果是$$a$$点可以"任意"选取,因为往任何方向积分都满足有界不等式,即$$|1-e^{2i(v-\xi)}|\le 2$$.在指数上为实数时没有这个条件.现在,唯一的要求是存在某一点$$a\in (a_1,a_2)$$(而非必须在区域的边界上),近似解与真实解重合,换言之,偏差为零$$h(\xi)=0$$.

P.198 (3.05)

这里给出了当变换后的坐标区间的另一个端点$$\xi=\alpha_2$$趋于无穷时,在后者处误差的估计.

由(2.16)第一式,把积分区间分为两部分,注意到在第一个区间$$v\le \gamma \le \xi$$,在第二个区间$$v\le \xi$$,我们有,
 * $$|h'_1(\xi)|=\int_{\alpha_1}^\xi e^{2(v-\xi)}|\psi(v)|dv=\int_{\alpha_1}^\gamma e^{2(v-\xi)}|\psi(v)|dv|+\int_{\gamma}^\xi e^{2(v-\xi)}|\psi(v)|dv

\le \int_{\alpha_1}^\gamma e^{2(\gamma-\xi)}|\psi(v)|dv+\int_{\gamma}^\xi e^{2(\xi-\xi)}|\psi(v)|dv=e^{2(\gamma-\xi)}\Psi(\gamma)+\eta$$.

对(2.16)第二式,先做相同的分割,之后的处理稍微复杂些.对第一个区间,利用(2.17)以及上面导出的$$\Psi^{s+1}$$与$$\Psi^s$$的积分关系,写成$$\Psi^{s+1}(\gamma)$$的形式.而对第二个区间,代入(2.17)后,直接利用$$\Psi(v)$$是单调函数的性质替换为其上限$$\Psi^{s}(\infty)$$,剩余部分积分得到$$\eta$$因子.

上述两个结果的和得到了$$|h'(\xi)|$$上限的估计.因为$$\Psi(\infty)$$是有限的,对任何小量$$\eta$$,总是可以找到足够大的$$\xi$$,使得$$|h'(\xi)|<\eta$$.这样完成了(3.05)第二部分的证明.

P.198 (3.06-10)

这就是把(2.11)等式右边花括号中的两项$$(1, -e^{2(v-\xi)})$$分别用逐项之差的展开的形式写开.前者就(3.07),后者就是(2.16)与$$h(\xi)$$的导数有关,已被讨论过.

按书中所述,不难得到(3.08)的形式,而等式右边在$$(\xi,\gamma,)$$独立的趋于无穷大时是趋于零的.从而,与之前的结果一起,完成了(3.05)的证明.

最后,在(3.10)中给出了一个计算在另一端点处偏差的趋近其极限(常数)的具体形式.

P.199 (3.11)

这里通过具体构造的方法,书中指出,虽然在另一端点处满足(3.03)的渐进解$$w_3$$的确存在,但它并不是唯一的.

P.199 (3.12)

这里讨论的是相应于定理2.2中震荡解问题的相应结论.这里的偏差不在趋于某常数,而保持震荡的形式.正因为这个原因,直观的,满足渐进行为(3.12)的解是唯一的.

P.200 (4.02)

这里涉及到所有等式的指数计算可按(4.01)以及相关定义直接得到.

以(4.02)为例,第一式为$$-\frac14 (-2\alpha-2)\times 2-2=\alpha-1$$,第二式为$$-\frac12(-2\alpha-2)-(\alpha-\beta+2)=\beta-1$$.

因为满足$$\alpha,\beta>0$$,这个形式直接导致在极点附近的积分有界,从而可以利用之前的定理知误差函数为有限.

P.201 (4.04-05)

这里给出的指数形式可以按(1.05)和(2.06)中的定义直接验证,故略去.

接下来具体计算(3.10),它是$$|\epsilon_1(x)-\epsilon_1(a_2)|$$.

花括号中的第一部分就是简单的幂函数积分,可以直接完成.而第二部分,被分为两份,我们只需要估算积分的上界.第一份我们在$$v=\frac12 \xi$$处取指数函数的上界并提出积分号.第二份,我们仍然在$$v=\frac12\xi$$处取$$\psi(\xi)$$函数的上界并提出积分号.

继续作积分后,任何$$e^{-\xi}$$形式的因子给出很大的压制,故相关项都可以略去.唯一剩下的是加号后积分给出$$\frac12(1-e^{-\xi})$$,其中不含指数因子的部分给出最终书中的结果.

从(4.05)的结果与(4.02)的积分的阶数一致,我们发现,误差函数的积分是收敛的,任何点与端点的误差的差别是同阶的.而且更重要的是(4.01)给出的奇性如果更强的话,也不会影响到误差函数的收敛性,即直观的讲,LG近似在奇点附近的解是收敛性很好的,而且证明并不要求奇点为常规(整数阶)奇点.

P.201 (4.06-07)

这里的证明类似,但是处理的处于无穷大位置的奇点.同样,更强的奇点阶数并不会影响到误差函数的收敛性.

相应得到的误差函数指数为$$x^{-\delta}, (\delta>0)$$,但因为奇点是在$$x\to +\infty$$,故误差同样是收敛的.

P.202 (4.09)

这里讨论的是具体的规则奇点的情况,由之前(4.01)的结果的提示,我们考虑(4.09)的形式.通过类似的讨论我们得到了著名的,在$$f_0\ne 0$$条件下收敛的充分必要条件是$$g_0=-\frac14$$的结果.

本文档除了包括推导, 疑惑 外,做 读书重点 的记录 $$$$