Research Paper Notes on Quasi-Particle Model

Research Paper Notes on Quasi-Particle Model

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文献列表

 * PRD52, 5206 (1995) Gluon plasma with a medium-dependent dispersion relation by Mark I. Gorenstein and Shin Nan Yang
 * arXiv:1001.3139 Equation of State for the Quark Gluon Plasma with the Negative Bag Constant by Viktor V. Begun, Mark I. Gorenstein, and Oleg A. Mogilevsky
 * arXiv:hep-ph/9911474 The equation of state of Deconfined Matter at Finite Chemical Potential in a Quasiparticle Description. by A. Peshier, B. Kampfer, G. Soff
 * PRD54, 2399 (1996) A Massive quasiparticle model of the SU(3) gluon plasma. by A. Peshier, B. Kampfer, O.P. Pavlenko, G. Soff
 * PRC57, 1879 (1998) Massive gluons and quarks and the equation of state obtained from SU(3) lattice QCD by Peter Levai1, and Ulrich Heinz
 * arXiv:0705.0397v2 A family of Equation of State Based on Lattice QCD: Impact on Flow in Ultrarelativistic Heavy-Ion Collisions. by M. Bluhm, B. Kampfer, R. Schulze, D. Seipt, U. Heinz
 * arXiv:nucl-th/0102027 Towards thermodynamical consistency of quasiparticle picture by T. S. Biro, A. A. Shanenko1 and V. D. Toneev
 * arXiv:1009.5239v2 An effective chiral Hadron-Quark Equation of State. by J. Steinheimer, S. Schramm, H. Stocker
 * arXiv:1404.7540v1 Matching Excluded Volume Hadron Resonance Gas Models and Perturbative QCD to Lattice Calculations. by M. Albright, J. Kapusta, C. Young
 * arXiv:0907.5331v1 Parton-Hadron-String Dynamics: an off-shell transport approach for relativistic energies. by W. Cassing, E.L. Bratkovskaya
 * arXiv:1205.2220 Thermodynamic inconsistency in quasiparticle model - a revisit. by Vishnu M. Bannur
 * arXiv:hep-ph/0608232 Comments on quasiparticle models of quark-gluon plasma, by Vishnu M. Bannur
 * arXiv:1203.6460 A thermodynamically consistent quasi-particle model without temperature-dependent infinity of the vacuum zero point energy. by Jing Cao, Yu Jiang, Wei-min Sun, Hong-shi Zong

PRD52, 5206 (1995) Gluon plasma with a medium-dependent dispersion relation by Mark I. Gorenstein and Shin Nan Yang
这就是著名的Gorenstein的热力学自洽性的讨论.其实重要的是意识到,Gorenstein的做法同时也满足统计力学自洽性.具体见对arXiv:1001.3139的讨论.

arXiv:1001.3139 Equation of State for the Quark Gluon Plasma with the Negative Bag Constant by Viktor V. Begun, Mark I. Gorenstein, and Oleg A. Mogilevsky
我们这里指出,Gorenstein这里的做法,即按热力学关系对温度积分的积分常数作为压强表达式中的一个自由参数的做法,同时是满足统计力学自洽性的.具体证明如下,注意证明中比较对Bannur模型的热力学自洽性的讨论

首先,我们的推导从等效拉格朗日量开始,写出巨配分函数,通过对巨配分函数对数的微分,比较热力学第一定律(即苏老师或者Pathria的推导思路)得到各热力学量的表达式.

$$H_{eff}=\left(\sum_{k,i}\omega^*a_{ki}^\dagger a_{ki}\right)+E+E_1=H_{id}+E+E_1$$

其中$$k$$是动量,$$i$$是粒子指标.$$E$$就是真空能量(除以体积后为口袋常数),$$E_1$$为本文中提出的和温度成正比的项,其中质量时温度的函数.这样巨配分函数为

$$\Omega=\sum e^{-\beta H_{eff}}=\left(\sum e^{-\beta H_{id}}\right)e^{-\beta(E+E_1)}$$

在对上述巨配分函数的对称求全微分前,我们先注意到,如果按传统定义

$$\epsilon=\frac{E}{V}=-\frac{1}{V}\frac{\partial ln\Omega}{\partial\beta}=\epsilon_{id}+\frac{E}{V}+\frac{E_1}{V}+\frac{1}{V}\langle \beta\frac{\partial E_1}{\partial\beta}\rangle$$

注意到

$$B=\frac{E}{V}$$,更重要的是,因为$$E_1$$只是温度的一次方,所以$$\langle\beta\frac{\partial E_1}{\partial\beta}\rangle=\beta\frac{\partial E_1}{\partial\beta}=-E_1$$正好和前一项抵消.

而由压强一般的表达式

$$p=\frac{1}{\beta}\frac{\partial ln\Omega}{\partial V}=\frac{1}{\beta}\frac{ln\Omega}{V}$$不受影响,有$$E_1$$项.

更加具体一些的,是对$$q= ln\Omega$$求全微分.对比第一定律.这样右边的对$$\beta$$的偏导在做了勒让德变换后与能量相关,对$$V$$偏导与广义力做功有关,左边全微分和勒让德变换全微分部分仍旧被定义成熵.和上面得到的结果吻合.

arXiv:hep-ph/9911474v1 The equation of state of Deconfined Matter at Finite Chemical Potential in a Quasiparticle Description by A. Peshier, B. Kampfer, G. Soff
这是Peshier在之前工作的基础上,把模型推广到有限密度.但是跑动的耦合常数的化学势的依赖关系不是手给的,而是由热力学自洽性来得到.具体的说,是通过麦克斯韦关系得到.注意到当时并没有有限密度的格点QCD结果的.最后状态方程被用于计算中子星质量半径曲线.

PRD54, 2399 (1996) A Massive quasiparticle model of the SU(3) gluon plasma by A. Peshier, B. Kampfer, O.P. Pavlenko, G. Soff
本文为准粒子模型代表作,是Peshier采用其本人前文的有限密度准粒子模型.在高温部分比较微扰QCD的极限,从而得到质量随温度的表达式,这个表达式用于与格点QCD结果比较,拟合模型的参数.

PRC57, 1879 (1998) Massive gluons and quarks and the equation of state obtained from SU(3) lattice QCD by Peter Levai1, and Ulrich Heinz
这是Heinz的讨论零密情况下,考虑了胶子和夸克QGP的准粒子模型的工作.这个工作的开头对准粒子模型和有效质量的微扰QDC的计算方法的总结很有信息量.

arXiv:0705.0397v2 A family of Equation of State Based on Lattice QCD: Impact on Flow in Ultrarelativistic Heavy-Ion Collisions by M. Bluhm, B. Kampfer, R. Schulze, D. Seipt, U. Heinz
这是Heinz在这方面的工作.本工作的状态方程部分主要用的是之前Peshier的热力学自洽做法.其结果比较了LQCD的化学势依赖关系的结果,和之前的工作一样,吻合的非常好.其新结果是用于重离子碰撞的观测量的计算.不同的模型的区别是从准粒子夸克相到重子共振气体相的连接方式的不同.

arXiv:nucl-th/0102027 Towards thermodynamical consistency of quasiparticle picture by T. S. Biro, A. A. Shanenko1 and V. D. Toneev
本工作讨论有限密度下准粒子模型的热力学自洽性.虽然这个工作没有直接讨论和Gorenstein的文章的关系,虽然前者仅仅是讨论了在零密下的情况.但是仔细看起推导过程和思路,特别是其结果与Gorenstein的结论是完全一致的.其主要区别,除了原则上讨论了化学势不为零的情况外,这里涉及了按统计力学系综平均的得到的物理量必须能够构成满足热力学第一定律形式的物理要求.

arXiv:1009.5239v2 An effective chiral Hadron-Quark Equation of State
这是法兰克福的德国人Horst的工作.本工作没有涉及准粒子模型.但是涉及唯象的对称破缺导致的去紧闭相变,类似PNJL模型.到去紧闭相的相变涉及对重子自由度的压制,在本模型中,这通过引入重子体积修正来实现.

arXiv:1404.7540v1 Matching Excluded Volume Hadron Resonance Gas Models and Perturbative QCD to Lattice Calculations
本文是准粒子模型,但是与格点QCD数据无关.文章用带体积修正的准粒子模型来描写重子相,用微扰QCD来描写去禁闭相.总结了两种不同的体积修正模型,并且提出了一个光滑的连接函数来联系两相.由于这里准粒子质量不是温度的函数,这里不牵涉到热力学自洽性问题.

arXiv:0907.5331v1 Parton-Hadron-String Dynamics: an off-shell transport approach for relativistic energies
这是一个输运模型.

arXiv:1205.2220 Thermodynamic inconsistency in quasiparticle model - a revisit
本文虽然没有很多引用.但是这里强调了两个概念.第一是热力学自洽,Gorenstein的工作主要解决的就是热力学自洽问题.第二是统计力学自洽,比如苏老师的一些讨论就是从统计力学出发来讨论,比如能量应该等于准粒子能级的占有数加权平均值.本文指出,在最一般的情况下,如何利用口袋常数把两个自洽问题同时解决.

arXiv:hep-ph/0608232 Comments on quasiparticle models of quark-gluon plasma, by Vishnu M. Bannur
本文是作者的一系列工作中的一篇,这里比较具体的说明了作者提出的准粒子模型的细节.首先作者强调统计力学自洽性的重要性.比如,前面提到的能量应该等于准粒子能量的系综平均.这样,能量不再能写成配分函数对$$\beta$$求导的形式(或者在求导中忽略对质量的偏导),因为这样会多出一项来自有效质量对温度的依赖关系.参考苏汝铿的统计力学,进一步是这些从统计力学解释得到的宏观量必须满足热力学第一定律的形式,换言之,必须能凑出熵变为一个全微分的形式.这是不平庸的.按苏汝铿的统计力学,对正则系综和巨正则系综,两者都可以得到.这里,非常类似的,作者采用了Pathria一书P.93第四章第三节(4.3.2)式的推导思路.对配分函数的对数$$q$$求微分,并最终对比第一定律得到物理量比如热量,熵,做功.具体的,就是把质量对$$\beta$$求导产生的项归纳到$$q$$全微分中去.对比第一定律,$$q$$的全微分直接和熵联系起来,又这个关系得到新的压强的表达式.同时,作者证明,这个压强的表达式和热力学关系自洽.

表面上,这个推导和其他准粒子模型相比,不仅满足热力学自洽而且考虑了统计力学自洽.

实际上,这个推导存在很大的问题.首先,按Pathria一书的(4.3.2),如果同时比较热力学定义定律的广义功的部分$$-pdV$$,可以得到另一个压强的表达式.实际上这正是传统的从配分函数对压强的定义,对于具体问题可以具体计算.对理想气体,可以证明这样得到的压强和之后用热力学关系得到的压强(4.3.10)在热力学极限下是自洽的.相关讨论参见苏汝铿统计力学的笔记.对于这个模型,这个关系很可能不成立.其次,把质量对$$\beta$$求导产生的项归纳到$$q$$全微分中去是不合理的.因为对$$\beta$$的求导是偏微分,换言之,这个全微分有本质差别,比如没有考虑对其他独立变量,比如$$\alpha,V$$,的偏微分.

实际上,正确的处理方法就是Gorenstein最初提出的做法,虽然在他最早的文章中没有涉及相关讨论.哈密顿量中的随温度变化的口袋常数的贡献,正好消去上述对$$q$$求全微分中,由于有效质量对温度的依赖关系得到的额外项.这样得到的关系和之前的热力学第一定律形式完全一致.所以Gorenstein的做法才是真正同时满足热力学和统计力学的自洽的做法.

arXiv:1203.6460 A thermodynamically consistent quasi-particle model without temperature-dependent infinity of the vacuum zero point energy. by Jing Cao, Yu Jiang, Wei-min Sun, Hong-shi Zong
宗红石老师的准粒子模型,考虑了温度场论修正造成的温度依赖的无限大的零点能.引入温度依赖的口袋常数抵消项,最后得到有限的剩余贡献.