Research Paper Notes on Spectroscopy and Signal-to-Noise Ratio

Research Paper Notes on Signal-to-Noise Ratio

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文献列表

 * Measuring gravitational waves from binary black hole coalescences. I. Signal to noise for inspiral, merger, and ringdown, arXiv:gr-qc/9701039, by Eanna E. Flanagan and Scott A. Hughes
 * Gravitational-wave spectroscopy of massive black holes with the space interferometer LISA, arXiv:gr-qc/0512160, by Emanuele Berti, Vitor Cardoso, and Clifford M. Will


 * Forward Modeling of Space-borne Gravitational Wave Detectors, arXiv:gr-qc/0311069v1, by Louis J. Rubbo, Neil J. Cornish, and Olivier Poujade
 * Algebraic approach to time-delay data analysis for LISA, arXiv:gr-qc/0112059v2, by S. V. Dhurandhar, K. Rajesh Nayak and J-Y. Vinet

Measuring gravitational waves from binary black hole coalescences. I. Signal to noise for inspiral, merger, and ringdown, arXiv:gr-qc/9701039, by Eanna E. Flanagan and Scott A. Hughes
本文是后续Cardoso文章的基础.

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Gravitational-wave spectroscopy of massive black holes with the space interferometer LISA, arXiv:gr-qc/0512160, by Emanuele Berti, Vitor Cardoso, and Clifford M. Will
这篇文章讨论了QNM频率振幅和对应的SNR探测器信噪比的相关计算.

因为黑洞QNM的不同模式的强度和相位其实取决于初始条件,所以这里的做法是在合理的区间内取平均.

(2.2)

引力扰动至少是从四极距$$l=2$$开始的.

(2.3-6)

对Kerr黑洞的度规扰动,这里(2.3)是数学上严格形式是(2.3),径向部分是Teukolsky函数,它在角度部分的基spheroidal函数上展开的,而时间依赖部分中涉及的频率是实数.

但是作为一种近似我们用指数衰减的QNM来取代径向和时间部分的因子,这就是(2.6).同时spheroidal函数的自变量取为与QNM频率有关的值.

(3.1ab)

注意到等式右边分别取了实部和虚部,容易按(3.1ab)下面的定义建立与(2.9)之间的联系.

(3.4)

这就是计算SNR的基本公式,本文后面就是对其进一步化简和近似.这里$$h$$由被探测到的波形(3.2),进而由(3.1ab)与(3.3ab)得到,而$$S_h(f)$$由探测器决定.

(3.5)

这个结果被用来计算波形的傅里叶变换.注意到$$F_+, F_\times$$部分是不含时的,所以傅里叶变换只需要对$$h_+, h_\times$$展开.

注意这个积分因为指数上的$$|t|$$是绝对值,所以结果不是零,也不能用留数定理.被积函数虚部的积分正好抵消,故等于零,所以积分结果是实数.后者等于被积函数从零到正无穷大的积分结果的实部的两倍.

(3.19)

因为我们不知道不同的准正则模式的振幅与幅角,所以也不知道引力波能量占黑洞质量的比例(3.15).换言之,对于固定$$l,m,n$$的准正模式,这三个量之间满足一个关系,这就是(3.19).

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Forward Modeling of Space-borne Gravitational Wave Detectors, arXiv:gr-qc/0311069v1, by Louis J. Rubbo, Neil J. Cornish, and Olivier Poujade
(4)

如果沿着极化方向,则$$\epsilon^+=e^+, \epsilon^\times=e^\times$$.而后者的方向由坐标系选取(中的约定)决定.不难证明,当引力波的偏振方向$$(\hat{u}',\hat{v}')$$以下面(6)中约定的$$(\hat{u},\hat{v})$$方向逆时针旋转$$\psi$$角度时,新的偏振模式的张量基就是(4).

以$$\epsilon^+$$为例
 * $$\epsilon^+=\hat{u}'\otimes \hat{u}'-\hat{v}'\otimes \hat{v}'=(\hat{u}\cos\psi-\hat{v}\sin\psi)\otimes (\hat{u}\cos\psi-\hat{v}\sin\psi)-(\hat{u}\sin\psi+\hat{v}\cos\psi)\otimes (\hat{u}\sin\psi+\hat{v}\cos\psi)$$
 * $$=(\cos^2\psi-\sin^2\psi)(\hat{u}\otimes\hat{u}-\hat{v}\otimes\hat{v})-2\sin\psi\cos\psi(\hat{u}\otimes\hat{v}+\hat{v}\otimes\hat{u})$$
 * $$=\cos(2\psi)e^+-\sin(2\psi)e^\times$$

这就是(4)第一式的结果.

(5)

这是引力波"$$+$$"模与"$$\times$$"模的张量基,其具体方向在(6)中约定了观测者位置与引力波源位置后给出.

(6)

因为按约定探测器处于原点,引力波的源处于方位角$$(\theta,\phi)$$.易证从源指向原点为$$\hat{k}$$矢量,过原点与$$\hat{k}$$垂直的平面与$$x-y$$平面的交线即为$$\hat{v}$$方向,剩下的方向为$$\hat{u}$$它是前两者的叉乘.

(9)

这个结果由广义相对论计算,具体来源 未查找.

(B1)

这里包含了三个Killing矢量.Killing矢量对应了守恒量,注意到上述证明中的能动张量替换为平行移动的切矢量,即沿测地线的四速度,同样成立.这就是文中接下来用到的三个方程.

如果度规不包含某坐标分量,显然按定义对应的导数或者一形式就是Killing矢量.注意到度规背景是常数闵氏时空,而扰动为引力波,波动方程的解与坐标相关部分只有其相位是$$(t-\vec{k}\cdot\vec{r})=(t-\hat(k)kr)$$的函数.故而$$\hat{u},\hat{v}$$或者$$\frac{\partial }{\partial u}, \frac{\partial}{\partial v}$$是Killing矢量.而第三个量$$\vec{\xi}_{(3)}$$,除了可以利用定义直接验证外,可以视其为剩余唯一独立的线性叠加$$\frac{\partial}{\partial t}+\frac{\partial}{\partial k}$$

(B2)

这里涉及两个四速度.第一个是做测地线运动的探测器平台的四速度$$U$$,它是归一的.第二个是产生干涉条纹的光源发出光子的四速度,它是个零矢量,无法归一,这就是(B2)给出的$$\sigma^\mu$$.

精确到度规扰动一阶小量,可以直接验证$$\sigma^\mu\sigma^\nu g_{\mu\nu}=0$$.某种意义上,这是显然的,只要注意到零阶项$$s^\mu s^\nu \eta_{\mu\nu}=0$$,而在计算中去除$$\eta^{\mu\nu}$$的缩并后若把它视为$$1$$,一阶项部分正好相互抵消.

(B5)

注意到等式的中间部分其实是$$0-0=0$$.而由中间部分计算等式的左边,分别涉及(B4)中给出的两个时刻的差值,保留到一阶小.具体的
 * $$0-0=(\sigma^\alpha(t_2)-\sigma^\alpha(t_1))\sigma^\beta g_{\alpha\beta}+\sigma^\alpha(\sigma^\beta(t_2)-\sigma^\beta(t_1)) g_{\alpha\beta}+\sigma^\alpha\sigma^\beta(g_{\alpha\beta}(t_2)-g_{\alpha\beta}(t_1))$$
 * $$=\Delta s^\alpha\sigma^\beta g_{\alpha\beta}+\sigma^\alpha \Delta s^\beta g_{\alpha\beta}

-\frac12 \eta^{\alpha\mu}\Delta h_{\mu\nu}s^\nu\sigma^\beta g_{\alpha\beta} -\sigma^\alpha\frac12 \eta^{\beta\mu}\Delta h_{\mu\nu}s^\nu g_{\alpha\beta} +\sigma^\alpha\sigma^\beta\Delta h_{\alpha\beta}$$
 * $$=\Delta s^\alpha\sigma^\beta g_{\alpha\beta}+\sigma^\alpha \Delta s^\beta g_{\alpha\beta}

=\Delta s^\alpha\sigma^\beta \eta_{\alpha\beta}+\sigma^\alpha \Delta s^\beta \eta_{\alpha\beta}=2s^\alpha \Delta s^\beta \eta_{\alpha\beta}$$ 其中不给出之间自变量的物理量可以取时间间隔内的任意数字,计算利用了(B3),并注意到$$\Delta s^\alpha, \Delta h_{\alpha,\beta}$$都是一阶小.前者是在没有引力波扰动情况下,由于光子传播过程中飞船运动造成的,与空间弯曲无关(这似乎与文中的叙述 不同 ).

(B6)

第二式就是(B5)

第一式,我们用类似(B5)的方式计算即得
 * $$0=\xi_{(i)}^\alpha\sigma^\beta(t_2)g_{\alpha\beta}(t_2)-\xi^\alpha\sigma^\beta(t_2)g_{\alpha\beta}(t_2)$$.
 * $$=\xi_{(i)}^\alpha(\sigma^\beta(t_2)-\sigma^\beta(t_1))g_{\alpha\beta}+\xi_{(i)}^\alpha\sigma^\beta(g_{\alpha\beta}(t_2)-g_{\alpha\beta}(t_1))$$
 * $$=\xi_{(i)}^\alpha\left(\Delta s^\beta-\frac12 \eta^{\beta\mu}\Delta h_{\mu\nu}s^\nu\right)g_{\alpha\beta}

+\xi_{(i)}^\alpha\sigma^\beta \Delta h_{\alpha\beta}$$
 * $$=\xi_{(i)}^\alpha\Delta s^\beta \eta_{\alpha\beta}+\frac12 \xi_{(i)}^\alpha s^\beta \Delta h_{\alpha\beta}$$

(B7)

以$$\Delta s^\beta$$为待解变量,含四个分量,由(B6)的四个方程原则上总可以得到解.

具体的,注意到$$s_0^\alpha=(1,\hat{s}), k^\alpha=(1,\hat{k})$$.可以把(B6)按分量具体写成
 * $$\hat{u}\cdot\hat{\Delta s}=-\frac12 u^i s_0^j \Delta h_{ij}$$
 * $$\hat{v}\cdot\hat{\Delta s}=-\frac12 v^i s_0^j \Delta h_{ij}$$
 * $$-\Delta s_0+\hat{k}\cdot\hat{\Delta s}=-\frac12 k^i s_0^j \Delta h_{ij}$$
 * $$-\Delta s_0+\hat{s}_0\cdot \hat{\Delta s}=0$$

因为前三个方程分别给出了$$\Delta s$$的空间部分$$\hat{\Delta s}$$在三个单位矢量$$(\hat{u}, \hat{v}, \hat{k})$$上的投影. 我们利用这三个关系代入第四个方程,在消去$$\Delta s$$的空间部分后求出其时间部分.

我们注意到对于任意两个空间三矢量(注意到实际上不必为单位矢量)$$\vec{A}, \vec{B}$$的内积,可以利用正交基$$(\hat{u}, \hat{v}, \hat{k})$$写为
 * $$\hat{A}\cdot\hat{B}=(\hat{A}\cdot\hat{u})(\vec{B}\cdot\hat{u})+(\vec{A}\cdot\hat{v})(\vec{B}\cdot\hat{v})+(\vec{A}\cdot\hat{k})(\vec{B}\cdot\hat{k})$$

这样,最后一个方程可以被改写成类似的形式,在代入前三个方程后再次利用这个关系的逆形式,我们得到
 * $$\Delta s^0=\hat{s}_0\cdot\hat{\Delta s}=(\hat{s}_0\cdot\hat{u})(\hat{\Delta s}\cdot\hat{u})+(\hat{s}_0\cdot\hat{v})(\hat{\Delta s}\cdot\hat{v})+(\hat{s}_0\cdot\hat{k})(\hat{\Delta s}\cdot\hat{k})=-\frac12 s_0^i s_0^j\Delta h_{ij}+(\hat{s}_0\cdot\hat{k})\Delta s^0$$

最后注意到$$-1+\hat{k}\cdot\hat{s}_0=\vec{k}\cdot\vec{s}_0$$即得(B7)的结果.

(B8)

这是计算光子四动量在平台局域坐标系的能量,即平台所测量到光子的频率.将四速度表达为$$\vec{U}=\gamma(1,v^i(t))$$,并利用(B2)注意到引力波对度规的扰动在TT规范中仅有空间分量$$\vec{s}=(s^0,s^i-\frac12 \eta^{ik}h_{kj}s^j)$$,内积并注意到背景闵氏空间度规空间分量的具体数值,即得结果.

(B9)

由于平台自由落体,其四速度$$U^\alpha$$满足测地线方程.而联络可以用度规的导数表达,背景度规是常数,而扰动$$h_{ij}$$仅含空间分量.具体的,我们有
 * $$\frac{dU^\alpha}{dx^\beta}=-\Gamma^\alpha_{\beta\gamma}U^\gamma=-\frac12\eta^{\alpha\mu}(h_{\mu\beta,\gamma}+h_{\gamma\mu,\beta}-h_{\beta\gamma,\mu})U^\gamma$$

对上式积分即应该得到(B9),故存在一个积分常数.同时我们把太阳引力场对度规贡献(经典近似下主要体现在$$h_{00}$$分量)对速度的改变归入$$U_0^\alpha$$,故上式决定了(B9)等式右边的第二项. 具体的,注意到在求和中,亚元指标$$\mu, \beta, \gamma$$只可能取空间分量,否则相应的结果为零.

但仍旧 不清楚 如何得到(B9)的结果.

(B10)

在两个时刻分别计算频率(B8)并取差,在忽略了速度与度规扰动的两阶(即$$v^2, vh, h^2$$等)项后,发现最大的贡献正是(B7).

(B11)

这里计算了频率的相对偏离,在引入的$$\hat{a}$$的定义并把结果表达为张量内积的形式.

我们指出这与用零曲线方法得到的结果,比如arXiv:gr-qc/0112059v2一文的(4.20)是完全一致的.注意到其中$$h$$的自变量不仅是不同的平台(空间差距),而且是在不同的时刻(时间差距).

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Algebraic approach to time-delay data analysis for LISA, arXiv:gr-qc/0112059v2, by S. V. Dhurandhar, K. Rajesh Nayak and J-Y. Vinet
本文讨论了TDI组合中的SNR计算

(2.1)

这个式子给出了光源频率扰动的物理模型.它是在频率域,相对某中心频率$$\nu_0$$附近的依赖于时间的偏差$$\Delta\nu(t)$$.(2.1)中下标$$i$$用于标记不同(测量平台上)的激光源. 对应时域的振动形式为
 * $$f(t)=A \exp(i(\nu_0+\Delta\nu_i(t)))=A\exp(i(\nu_0(1+C_i(t))))$$

如果对给定的激光源,频率涨落$$C_i(t)$$是给定的时间函数,那么其波形同样是给定的时间函数.

(2.9-10)

这就是把$$\mu$$的逆阵乘以(2.8)的两边,在右边,把分母上的行列式$$\Delta\equiv\mathrm{det}\mu=1-E_1E_2E_3$$的逆阵再次乘以等式两边,即得.

(2.11)

第三步等式利用了(2.5)第一式,以及用代数余子式表达逆矩阵的形式.最后一步利用了(2.5)第二式,并注意到$$\Delta$$是个数.

(3.12)

这是考虑消除激光噪声和平台噪声的组合方程.在这个方程的导出中引入了新的测量量(2.8)和重新定义了一些测量和噪声项的组合(3.9-10).

这个方程并不带来新的解,因为由(3.12)消去新的组合系数$$r_i$$后,剩余的组合系数$$p_i, q_i$$满足的方程就是(3.1),它的解已经被讨论过了.反过来又可以直接得到新的组合系数$$r_i$$.

(4.2-3)

这里考虑了两种不同的引力波极化,在极坐标下把对应的张量基用归一的单位矢量$$\hat{\theta},\hat{\phi}$$表达出来.

注意到,这里的理论基础,即爱因斯坦引力中引力波的计划形式的推导可以参考Schutz广义相对论引论(9.21)以及Fig.9.1的推导过程.第一个基是反对称的,而第二个基是对称的.背景度规是平直空间.

(4.7-9)

这里的计算就是考虑度规扰动下,光测地线的无限小空间位移与时间间隔的关系.

因为引力波带来的度规扰动是时间的函数,故(4.7)涉及到在正确的时间计算度规扰动,其中涉及到相关空间位移在引力波传播方向上的投影.

实际上我们把它理解为一个标量函数,即(4.8),并且在后面(4.13)直接考虑它的傅里叶变换.

另外,(4.9)涉及把扰动张量基在需要度量长度的空间方向上的缩并.

(4.10)

为了在TDI计算中利用上述关系,我们考虑一个从平台A发射而最终被平台B接受到的光子,在平直空间中,其空间位矢是初始位置与空间位移的矢量和,后者沿着探测器B的接收到光子时刻的位置与探测器A发射光子时刻的位置的矢量差,(如本文,若考虑固定平台,则探测器位置不是时间的函数)此即(4.10).

(4.11)

注意到(4.7)中需要计算$$(t-\hat{w}\cdot\vec{r})$$,而其中的$$\vec{r}$$正是(4.10).代入后稍作调整即是(4.11).

(4.15-16)

注意到(4.14)中时间部分的积分可以独立完成.作为一级近似,在等式右边的指数上做替换$$(t_1-t_0)\to L$$.同时,我们将积分后差提出一个因子$$\exp(i\Omega t_0\hat{\omega}\cdot\hat{n})$$,它与之前积分号外的一个"常数"因子正好抵消,整理后即得(4.15-16).具体计算过程略.

(4.19)

注意到$$\Phi(t)$$是相角的量纲,其导数为角速度的量纲.它本质上是平台间的激光束因为引力波导致的额外相角变化,这与之前中由于激光超声导致的相角变化是同时并存的.

为了将它与(2.1)给出的形式直接比较,我们计算它的对应值,即由引力波带来的相对角速度的变化,即(4.19)的右边,因为角速度与频率只差一个$$2\pi$$常数因子,显然它等于相对频率的变化.

(4.20-23)

这里(4.20)就是将(4.17)代入(4.19),利用傅里叶变换的定义,并注意到$$\vec{r}_A+L\hat{n}=\vec{r}_B$$,即得.

注意到这个表达式与用其他方法,比如Killing矢量法得到的结果,参见arXiv:gr-qc/0311069v1一文(B11),是完全一致的.

若在等式两边考虑傅里叶频率空间的函数,即得(4.21),而(4.23)就是这个结果的直接应用.

(4.27)

这个结果给出了延时算符在傅里叶频率空间的简单形式,是(4.21)和(4.23)表达在傅里叶频率空间的主要原因.

(5.1)

这是在(3.10)的基础上增加了测试质量振动,引力波信号与shot噪声.

(5.21)

这是信噪比定义,分子是引力波信号,分子是噪声功率密度的开方.

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