Lecture Notes of Principles of the Theory of Solids by J.M.Ziman

Lecture Notes of Principles of the Theory of Solids

2nd Edition by J.M.Ziman

本文档除了包括推导, 疑惑 外,做 读书重点 的记录

Ch.1 Periodic Structure
P.10 (1.28) 这个关系可以表达为,对于三个互质的正整数,总是可以通过对它们的整数倍的线性组合来构造出任何其他整数.(对当前问题我们只需要构造出整数N+1).上述关系在书中并没有给出数学上的证明,但是直观上正确.下面给出证明.

利用数学归纳法.首先考虑两个互质正整数的情况.对于最小的互质正整数对$$(2,1)$$,显然满足.考虑互质正整数对$$(a,b)$$,假定对任意互质正整数对$$(c,d),cb$$,考虑正整数对$$((a-b),b)$$,易证它们是互质的,从必然存在某整数倍的线性组合构造出任何其他整数,而显然这样的线性组合可以表达为$$(a,b)$$的线性组合,问题得证.对于三个互质正整数的情况,证明是完全类似的.

利用上述定理,同时注意到按此构造找到的平面是离开原来格点距离最近的格点,故是离开原来平面距离最近的平面.

P.10 (1.30) 这里书中的叙述并不很准确.对于某一给定的反晶格矢量,按(1.27),总是可以用一个整数N来唯一的描写一个与该矢量垂直的平面.在实际问题中,我们并不需要区分那些互相平行的平面.如果仅仅考虑某与反晶格矢量垂直的平面,我们实际上考虑任意N的取值,在这里,我们不妨考虑N为($$ n_1,n_2,n_3 $$)的最小公倍数.这个平面在三个晶轴上的截距由(1.30-31)决定,且截距位置正好是格点. 另一方面,对于任意平面,按(1.26),总是可以找到这一个格点满足$$(l,0,0)$$,正好处于第一个晶轴之上.

Ch.3 Electron States
P.81 Fig.38-39 这里和P.33 Fig.18-19非常类似.前者是晶格振动,这里是电子波函数.这里展开布里渊区的讨论基于体系状态数目.类似于箱归一化的情况,我们知道体系的状态数目正比于实空间和动量空间的大小,每个状态占有$$ h^D $$($$ D $$为维度).首先我们注意到,问题的实(坐标)空间所选取的晶胞的数目不重要,因为考虑$$ N_c $$个晶胞的同时,对应的粒子数也正比于$$ N_c $$,所以相应的每个粒子对应的状态数在分子(粒子数)分母(微观状态数)中正好消去,对结果无影响.考虑单位晶胞内有$$ N $$个粒子,考虑一个布里渊区,则单位粒子对应的状态数为


 * $$\begin{align}

\frac{N\Delta p a}{h}=\frac{N\hbar\frac{2\pi}{a}a}{2\pi\hbar}=N \end{align}$$

在保持其他情况不变的条件下,翻倍所考察的动量空间的大小,体系的状态数目也对应翻倍.

考虑两个情况.首先考虑平面波的情况(势场为常数,对任意平移不变),第一步,我们可以任意选取大小的晶胞,得到相应的倒格矢空间,我们注意到,如果只画出对应倒格矢空间的动量能量(色散)关系,那么它是抛物线,如果把晶格减小为原来的一般,且要把新的倒格矢空间的色散关系表达出来,我们简单的折射抛物线而已,对应有两个色散曲线,而实际上,按此重复,会有无穷多的色散曲线折叠一直到无穷大能量.这个例子帮助我们列数态的数目.

第二个例子,对应理解Bloch波解的形式.我们设法找到最小的空间平移周期,它对应最大的倒格矢空间的元胞.由于波函数必然可以写成Bloch波的形式(2.16),我们带入势场的具体形式(2.14),相应的得到关于$$ u $$的方程函数(2.17).按书中的例子,方程得到$$ u $$的解对应一个确定的色散关系(2.18).如果空间晶胞内有两个粒子,对应的存在两个方程(2.22).每个方程都存在确定的解,从而得到两个色散关系(2.24).如果我们考虑布里渊区外面的动量$$ q $$,问题实际上满足完全相同的方程(因为我们在写下方程(2.16)的时候并没有考虑$$ q $$需要满足的条件),所以倒格矢空间的解必然具有周期性,其周期为布里渊区的大小,这也从解(2.21)和(2.24)中自洽的反应出来.反过来重新考虑平面波解的情况,由于体系满足无限小的平移对此性,对应的布里渊区为无限大.所以我们采用布里渊区来表达平面波的色散曲线显然在此意义上是平庸的,只是从另外一个角度来列数态的数目.

书中在第二章给出的一个具体的例子是.考虑一个晶胞内有一个粒子.如果粒子都是相同的,那么对应倒格矢的大小反比于晶胞大小.现在考虑存在两种不同质量的粒子,间隔着排列,这样晶胞大小为原来的两倍,倒格矢为原来的一半.如果要把在原来单位倒格矢空间的所有状态数目都表达在现在一半大小的倒格矢空间,那么状态数自然为原来的两倍.进一步我们考虑在一个布里渊区外(第二个布里渊区内)的状态的色散曲线,我们假设晶格点阵实际上是在原来每个粒子都完全相同的基础上作微扰,对应的色散曲线必然也是在原来色散曲线的基础上作微扰而已,区别是(除了微扰)实际上我们还需要把原来的色散曲线表达到一半大小的倒格矢空间中,所以实际上就是把原来正弦平方根曲线如图Fig.19折叠起来.如上面讨论,色散曲线为周期函数,其周期就是布里渊区的大小.

Ch.4 Static Properties of Solid
P.119 Fig.67 导体和半导体的导电图像.按导带图像,最简单的模型是自由电子模型,电子波函数满足Bloch波形式


 * $$\begin{align}

\Psi=e^{i\vec k \cdot \vec r}u(\vec r) \end{align}$$

现在的问题是,什么是导电的物理图像.在经典电动力学中,导电意味着电子的运动,其实线性导体满足电流强度正比于电场.在固体物理中,我们用波函数来描写电子的运动状态,所以电流强度其实正比于电子的几率流强度,而后者,按薛定谔方程满足的几率守恒关系为


 * $$\begin{align}

\vec J = \frac{\hbar}{i2m}(\Psi^*\nabla \Psi-\Psi\nabla\Psi^*) =\frac{\hbar \vec k}{m}|u|^2+\nabla (\frac{\hbar}{2m}u^* u) \end{align}$$ 为经典的速度.所以即便电子处于"价带"中,他也在运动,或者说起粒子流强度并不为零.这个表面上的难题的解决之道是,由于价带被填满了,所以总的流强度为对所有可能的反晶格矢量在Brillouin区域中求和.对固定的空间点,第一项显然为零,第二项在一般情况下并不为零.但是由于$$ u(\vec r) $$的周期性,其梯度对空间的积分在一个晶胞内为零.而第一项在这一的积分下化为一个没有物理意义的归一常数.所以宏观上,电子的局域电流强度并不为零,但是在宏观尺度上(远大于晶胞尺度)电流强度为零.如果价带中的电子比较容易被激发到导带中,那么体系就是金属(无能隙)或者半导体(能隙宽度与温度相当).

P.121 Fig.69 这里是两维晶格的能带图,可以与一维晶格的情况相比较.比如沿着(100)方向,图(b)下面的能带从中心点出发到A点(在子图a和b中都有标记),过了A点以后对应图(b)上面的能带,对应图(a)布里渊区(100)倒格矢的半周期之后的第二个倒格矢晶胞了.沿着(110)方向的讨论相同,在图(a)中没有标记该方向倒格矢半矢量的位置,但是画出了平分该倒格矢的线.沿着固定的倒格矢空间方向,问题类似一维的情况,可以参考Fig.38-39的正半轴(或者负半轴)的样式.

Ch.5 Electron-Electron Interaction
P.147 (5.3) 考虑Quantum Mechanics 苏汝铿 P.204 (5.6.3)讨论了在绝热近似下,含时微扰可以过渡到非含时微扰.这里表面上情况不同,是周期性的微扰.但是如果考虑哈密顿相互作用项随时间的变化要远远小于(当把它放到)指数项随时间的变化.所以书中的论证方法仍然成立,移除哈密顿相互作用项对时间的导数,我们得到不含时微扰公式,即(5.3)

Ch.10 Magnetism
P.334 (10.18) 这里约等于符号的位置似乎有误.等式的第二步,按(10.17)如果忽略对分母的导数,即得到(10.18)的形式.

Ch.11 Superconductivity
P.380 (11.1) 这是非相对论的非简并定态微扰理论套用费曼图求解有效势场的例子.我们需要得到初态(两个电子)通过有效势场(电子声子相互作用)散射后在末态(两个电子)上的散射振幅.由于这个过程不存在一级微扰项(四粒子相互作用势),我们考虑中间态为一个声子,按二阶微扰的公式比如参考苏汝铿量子力学(5.1.28)式,这里中间态与初态(由于动量守恒)能量不同,所以我们只考虑第一项的求和.而由于动量守恒的关系,求和的贡献仅仅只有一项(考虑布里渊区内的N过程).注意到这个求和的分子与(11.1)分子一致.现在我们把这一项理解为,假设存在一个一级定态微扰,那么按(5.1.16),这项可以写为


 * $$\begin{align}

\frac{H^{eff}_{kn}}{E^0_n-E^0_k} \end{align}$$

其中分母为有效相互作用在初态和末态上的矩阵元.两者比较,约去分母上的因子,立即得到有效相互作用的表达式(11.1).注意到这里图(a)中的初态为$$ \vec k $$和$$ \vec k' $$中间态为生成的$$ \vec k-\vec K, \vec q $$和$$ \vec k' $$.在费曼的书中有更为详细的图例.

在相对论情况下,我们考虑S矩阵的矩阵元,同样可以计算有效势,这是得到结论比如,介子的质量与有效势的屏蔽长度有关.

P.394 (11.52) 这里回答了为什么半导体的能隙导致半导性质,而超导体的能隙导致超导.半导体的能隙增加了导电的难度,因为半导体必须激发到激发态从而使得费米面不再各项同性,导致宏观电流.超导体不存在这个问题,因为超导体的能隙是相对费米面建立的,而非相对倒格矢空间,而费米面可以由于外电场的存在而各向异性,故当所有电子处于简并基态时,体系就可以存在宏观电流.能隙的存在阻止了电声子相互作用从而避免了相应的能量耗散.

P.397 (11.54-55) (11.54)这个式子参见Sakurai Advanced Quantum Mechanics 附录(A-23)的讨论.式子的右边来自在电磁场的拉格朗日中增加相互作用项的形式,它满足含有外源的麦克斯韦方程组,且来自对协变的要求(QED最小耦合).式子的左边第一项来自对电子的拉格朗日中增加相互作用项的形式,非相对论的讨论参见比如Goldstein一书,该相互作用满足洛仑兹力的形式,相对论情况参见QED拉格朗日.等号是说,两边的相互作用描写的都是电子与电磁场的相互作用,应该相同.

(11.55)是(11.54)的自然的结果.或者参见Lecture Notes of Statistical Mechanics A Set of Lectures by R.P. Feynman (10.4),在无电磁场的几率流表达式中做正则动量替换得到.实际上(11.55)可以由电磁场下的薛定谔方程的几率守恒直接得到.

一个很容易导致的讨论是按QED,流的相对论情况下的形式为 $$ j^{\mu}=q\bar{\Psi}\gamma^{\mu}\Psi $$, 比如参见QFT F.Mandl(4.28)和(5.10),它可由狄拉克方程直接得到(类似薛定谔方程情况),或者由拉格朗日在波函数整体相位变动下不变得到.这里和非相对论情况下表达式表面上很不同因为狄拉克方程对空间为一阶导数,且流与电磁场无关.但是注意到狄拉克方程对电子成立,而这里是Cooper对的方程,并非电子的方程,所以用狄拉克方程表达流在这里是不适当的.而非相对论的薛定谔方程没有这个层次的担忧.