Lecture Notes of Statistical Mechanics A Set of Lectures by R.P. Feynman

Lecture Notes of Statistical Mechanics A Set of Lectures by R.P. Feynman

本文档除了包括推导, 疑惑 外,做 读书重点 的记录

Ch. 7 Spin Wave
P.198 (7.2) 这个表达式来源于两个磁矩的相互作用能,而后者来源于一个磁矩在另外一个磁矩产生的磁场中的能量.按经典电动力学,(比如参见蔡圣善电动力学(5.53)和(5.42))为


 * $$\begin{align}

&-\vec \mu_1 \cdot \left( \nabla \times \frac{\vec \mu_2\times\vec r}{r^3} \right) \\ &=-\vec \mu_1 \cdot \vec\mu_2 \left( \nabla \cdot \frac{\vec r}{r^3} \right)+\vec \mu_1 (\vec \mu_2\cdot\nabla)\frac{\vec r \cdot \vec \mu_1}{r^3} \\ &=-4\pi\vec \mu_1 \cdot \vec\mu_2 \delta(\vec r)+ (\vec \mu_2\cdot\nabla)\frac{\vec r \cdot \vec \mu_1}{r^3} \\ &=-4\pi \vec \mu_1 \cdot \vec\mu_2 \delta(\vec r)+\frac{ (\vec \mu_2\cdot\nabla)(\vec r \cdot \mu_1)}{r^3}+(\vec r \cdot \mu_1)(\vec \mu_2\cdot\nabla)\frac{1}{r^3} \\ &=\left[\frac{\vec \mu_1\cdot \vec \mu_2}{r^3}-3\frac{(\vec\mu_1\cdot r)(\vec\mu_2 \cdot r)}{r^5}\right]-4\pi \vec \mu_1 \cdot \vec\mu_2 \delta(\vec r) \end{align}$$

上述结果除了使用的量纲不同外,与书上的表达式差了一个常数.

由项$$(\vec\mu_1\cdot r)(\vec\mu_2 \cdot r)$$知,这里涉及到最多$$ l=2 $$的球谐函数.

Ch. 11 Superconductivity
P.266 (10.1) 这里考虑的物理体系是超导体,体系处于真空中的磁场中.式子中涉及的压强是磁场的压强,所以对应无质量玻色子的压强能量密度关系.左边,磁场处于超导体外部,所以超导体的压强必须平衡磁场的压强.我们考虑一个等温等压的过程,即体系在转变为超导体的过程中,把压强推出体系外部.这个过程满足我们推导等温等压过程吉布斯自由能只能减小等于最大可用功的定律.并且写下(10.1)式.然后我们讨论,对普通体系,能量随着温度的增加而增加,而自由能随着温度的增加而减小,对超导体,由于处于有序态,熵的数值非常小,故自由能对温度的依赖要小于普通体系.

P.268 (10.4) 实际上,类似无电磁场的薛定谔方程得到几率流守恒方程的过程,(11.55)可以由电磁场下的薛定谔方程的几率守恒直接得到.计算过程中,消去的表面项为(与书中记号不同$$ e<0 $$)


 * $$\begin{align}

\frac{\hbar^2}{2m}\left((\nabla-\frac{ie}{\hbar c}\vec A)\Psi\right)^*\left((\nabla-\frac{ie}{\hbar c}\vec A)\Psi\right) \end{align}$$

P.269 Fig10.1 这里的讨论,可以认为基态能量为零,用分布函数计算能量后对温度求导记得热容,对函数$$ e^{-\Delta/T} $$做图在小区域(并非高温极限而是低温极限)内画出曲线即得图10.1的行为. Plot on Fooplot

P.272 (10.8) 在Ziman中的(11.2)给出了一个更为精确的表达式,如果在其中取电子动能完全相等,即得(10.8).该论证其实排除了其他同级费曼图的贡献,比如同样是虚声子的树图,但是正负电子散射中间态为虚声子,这时分母能量差为$$ \epsilon(\vec k)+\epsilon(\vec k+\vec K)-\epsilon(\vec q) $$,由于电子能量一般远大于声子,我们看到最后的相互作用并不是吸引.书中Fig.10.4-5其实并不对应粒子对的相互作用.

P.280 (10.33) 对于激发态能量,书中通过在基态的基础上改变某一个动量态的占有情况得到,这是因为基态(10.13)是所有动量占有态的直乘.所以当改变某动量占有态,我们可以方便的考虑能量差,它由(10.16)得到.注意到对单电子态,没有(10.16)的第二项的贡献,所以和基态的差别是这个动量态和其余所有动量态的相互作用能.从结果看到,能量差并不是从0开始,而是从能隙开始.

我们需要讨论其余的改变基态的方式并不可能构造出能量更低(小于能隙)的激发态.首先我们仍然考虑仅仅对一个动量态进行扰动,我们知道对于正负动量填充两个电子的空间,一共只有4个基,我们取一个基正好等于基态,那么其余三个基可以表达为(10.32).这时我们只需要穷举这三种情况,我们看到实际上能隙总是存在的.通过基的线性组合,得到的体系的能量也为线性组合,因为从哈密顿量的形式我们看到不会有交叉项(最复杂的为(0)与(1)态的相互作用项,可直接它等于零).接着我们考虑不仅仅改变一个动量态,但是由于我们写下的尝试波函数是态的直积,考虑多个态显然不会改变能隙的存在.