Lecture Notes of Particle Physics by B.R. Martin & G. Shaw

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Ch.1 Some Basic Concepts
P.11 (1.17) 这里提供了一个快速验证下述量子电动力学中用到的结论的方法.如果其中一个粒子保持不变,只含有一个顶点的三线顶角相互作用,无法满足三线都在质壳上的条件,故而不可能是真实的物理过程.

P.15 (1.20) 此式上面在动量很大时候的近似, 疑惑 似乎少了一个因子$$2$$.

P.16 (1.23)

总是可以将(1.25)带入(1.23)验证对于原点以外都满足,但是实际上(1.23)少了一个在原点处的 $$\delta$$ 函数.

P.20 (1.35b) 自然单位制

第一步,把所有物理量都换成用作用量 $$\text{Action}\equiv [A]$$ ,速度 $$\text{Velocity}\equiv [V]$$ 和长度 $$\text{Length}\equiv [L]$$ 来表达,这一步不引起任何异议.第二步,取$$\hbar=c=k_B=1$$,这等价于把所有作用量都除以 $$\hbar$$,速度除以光速 $$c$$,这样(对任何物理量都)仅剩下长度量纲.换言之任何一个其中的$$=1$$的量等同于消灭一个量纲:这并不意味着物理量的量纲消失了,正好相反,这是在明确物理量的量纲的前提下简化具体计算中出现的量纲的方法,在计算中仅仅出现长度量纲,而当计算完成,如果要把物理量写回SI单位制,那么需要明确的知道物理量真正的量纲.

比如质量 $$m=\frac {[E]}{[V^2]}=\frac{[A]}{[V^2][T]}=\frac{[A]}{[V][L]}\to[L]^{-1}$$ ,最后的量纲为长度的倒数. 比如能量,类似可得为长度量纲的倒数.比如时间,类似可得为长度量纲.(我们熟悉的)在文献中常见的形式是费米做单位,利用$$\hbar c=197\text{MeVfm}$$,所以$$1\text{MeV}=\frac{\hbar c}{197\text{fm}}\to \frac{1}{197}\text{fm}^{-1}$$.有时候更方便的是把所有物理量都写成以能量做单位,这时比如温度,质量都具有能量单位.

把自然单位的物理量转换回国际单位制,只需要知道原来物理量的量纲,把被取为$$1$$作用量和速度量纲都补回来即可.

散射截面的例子 首先左边 $$\sigma$$ (在自然单位制和SI制中)具有长度平方的量纲,在自然单位中具有能量的负两次方,右边精细结构常数 $$\alpha$$ 无量纲,质量的平方的倒数在自然单位中是能量的负两次方.这个例子是两边在自然单位中量纲相同,在SI制中两边的量纲"不同",唯一的可能是,等式中含有作用量和光速的幂次的因子,它们在自然单位制中无量纲从而不出现.显然在SI制中,如果要求等式两边具有相同的量纲可以唯一的决定这些幂次(因为SI制中作用量,速度和长度是三个独立的量纲.).由此,即得P.20上方等式.

Ch.2 Leptons, Quarks and Hadrons
P.28 (2.14a) 注意到衰变率的定义为 $$\frac{dw}{dt}$$ ,而其中 $$w$$ 为全空间积分后的概率,没有单位.故而在自然单位制下,衰变率具有能量单位.忽略较轻的粒子的质量后,较重的粒子的质量是唯一具有量纲的参数.

P.32 Table(2.3) $$U$$夸克是up$$\Rightarrow$$plus电荷取正号最大可能分数值 $$+\frac{2}{3}$$ ,同样电荷取正号 $$+\frac{2}{3}$$ 是$$C$$夸克(字母$$C$$在$$S$$之前)和$$T$$夸克(顶如同上). 注意$$S$$夸克的电荷是负数,同时$$S$$夸克的奇异数为负数$$ -1$$ .与之相对应的,$$C$$夸克的电荷为正数,同时$$C$$夸克的魅力指数同样为正数 $$+1$$.

Ch.3 Experimental Methods
P.46 (3.1) 此式和质量无关,但是实际问题,外界提供的是能量.故值得考虑一定能量的粒子,单圈的能量损失比例.这样对电子来说就很大.

P.46 (3.2) 这是四年前第一次读的时候没写下来的 考虑相对论速度,会有一个$$ \gamma$$ 因子,但是它同时出现在离心力和动量的质量项中,故对结果没有影响.(3.2)中的数值因子来源于量纲,考虑单位电荷,并且把最后的动量用 GeV/c 来度量,综上产生因子 $$\frac{e}{GeV/c}=\frac{1.602\times 10^{-19} }{ 10^{9} \times 1.602\times 10^{-19}\times 1/ (2.99\times 10^{8})}=2.99\times 10^{-1}=0.3$$

P.47 Figure(3.1) 因为图中讨论的区域电场强度随着时间减少,当相位落后的粒子$$A$$到达具有震荡电场的位置时,由于时间已经增加,电场已经变小了,所以接着书上讨论,接着$$A$$的频率会增加.相应的可以对相位超前的粒子$$B$$的讨论.显然上述讨论不能推广到当电场随着时间增加的半周期,所以推得,同步电场总是应该同步在电场强度随时间增加的半周期对粒子加速,这样粒子会趋于集中到同一个相位.

Ch.4 Space-time Symmetries
P.86 (4.27) 这个记号 $$^{2S+1}L_J$$ 包含三个量子数的 $$(L,S,J)$$ 信息,比较一组完备的角动量量子数 $$(L,S,J.J_Z)$$ 少了一个,缺少的原因是一般情况下这个简并不被打开.记号的 $$(2S+1)$$ 部分可以字面上理解为,组合成总角动量本征态的自旋空间部分波函数为自旋 $$(2S+1)$$ 态.

P.88 (4.32a) 因为(4.35),这里定义的引入甚至好于Sakurai书中的定义.

P.92 (4.39b) 虽然两个空间角动量实际上需要耦合成总空间角动量,但是奇偶性与两者直接相加相同.

P.96 (4.50c) 具有反粒子的粒子的粒子镜像算符的常数无实际观察效应,见书后习题4.6的解答.

Ch.5 Hadrons: Quantum Numbers and Excited States
P.291 (B.4)

读书重点. 这是最好的关于散射截面的定义,它不涉及任何模型.反应速率,即单位时间产物的生成数目,必然正比于靶核的数目和入射流的强度.我们把剩余的因子定义为(总)反应截面.把总反应截面对出射粒子的方向上立体角的导数定义为微分反应截面.由此立即得到,反应截面或者总反应截面的量纲是长度的平方,即面积.这里引入入射流的理由,可以从经典力学和量子力学两个角度来考察.首先我们讨论经典力学中的情况,入射粒子流是碰撞参数的函数(对碰撞参数积分后我们得到总的入射粒子流),如果我们讨论对于确定碰撞参数附近的散射截面问题,在这个更一般的情况下我们知道单位时间出射粒子数必然正比与入射粒子流强度,而非总的入射粒子流.从量子力学的角度出发,如果我们考察波函数,比如入射波为平面波,那么我们根据比如薛定谔方程的流守恒形式,可以计算入射粒子的几率流强度,而非几率流,出射波同样可以计算几率流强度,但是根据几率流守恒,我们知道在特定方向上的出射的几率流强度必然随着按半径的平方衰减,正是这个半径的平方决定了微分散射截面的量纲(比如参见Sakurai一书中(7.1.35)式). 下面我们试图讨论散射截面的物理意义.首先我们指出,经典力学和量子力学对于散射的描述有一个本质的不同.在经典力学中,一个确定的碰撞参数对应一个确定的散射角.而在量子力学中,考虑入射粒子具有确定的动量,原则上我们应该抛弃碰撞参数的概念,因为确定的入射动量意味着完全任意的碰撞参数.在半经典理论,如Glauber模型中,我们仍然直观的引入碰撞参数,这时我们注意到,即便对一个确定的碰撞参数,出射粒子可以被散射到任何立体角.这就是上述所谓经典力学和量子力学对散射物理图像的本质差异.在经典力学中,如上所述,微分散射截面满足(比如参见Goldstein Classical Mechanics)


 * $$\begin{align}

\sigma(\theta)=\frac{b}{\sin\theta}|\frac{db}{d\theta}|=\frac{2\pi bdb}{d\Omega}=\frac{d^2 \mathbf{b}}{d\Omega} \end{align}$$ 将上述表达式对全立体角积分得到总散射截面


 * $$\begin{align}

\sigma_T=\int^{4\pi} d\Omega\sigma(\theta)=\int d^2\mathbf{b} \end{align}$$

对于任何长程力,比如库仑势,立刻得到 $$\sigma_T=+\infty$$ .我们记得,在量子力学散射的章节,总散射截面一般并非无穷大.但是,注意到,正如Goldstein书中所述,这个无穷大主要并非来源于经典力学和量子力学的区别,而是主要来源于长程力.如果考虑任何短程截断作用力,力的最大作用距离是 $$r_{max}$$ ,我们立刻得到


 * $$\begin{align}

\sigma_T=\int^{r_{max}}_0 d^2\mathbf{b}=\pi r_{max}^2 \end{align}$$ 这就是散射截面的在经典力学中的物理意义,一个半径等于作用力最大距离的圆盘,圆盘的大小正是散射截面,如果入射粒子由碰撞参数决定正好处于圆盘内,粒子将被散射.故而散射截面对应靶核的遮盖面积.在量子力学中,如果我们沿用同样的思路,我们发现这个圆盘的大小与经典力学中的圆盘大小不同,比如对无限阶梯势,量子力学得到的总散射截面是经典力学的四倍(比如参见Sakurai Modern Quantum Mechanics (7.6.49)).但是,在Goldstein一书中提到,即便对于长程力,如果势场比库仑势衰减的要快,那么量子力学得到的总散射截面是有限的,与经典力学不同.

上面只是在经典力学的范畴里,讨论了散射截面的物理意义.但是必须注意到,在量子力学中,上述物理意义尽管可以被勉强推广,但实际上并不实用.因为对于确定的入射动量,碰撞参数在量子力学中不具有确定的数值,所以我们无法引入把靶核视为面积等于散射截面的小圆盘的形象物理图像.散射过程的经典图像和量子图像另外一个重要的差异是,按散射理论形式解,Lippmann-Schwinger方程,我们知道散射末态包含一项无相互作用波函数,对应散射并未发生,这在经典力学中并不存在,在经典力学中,粒子要么被散射,要么没有被散射.下面,为了讨论散射截面的物理意义.我们从粒子测量记数和散射事件发生概率的角度来考察散射截面.

在入射粒子流确定的情况下,在单位时间内,对微分散射截面出射粒子全立体角的积分是正比于测量总记数.如,对单体测量,此即总粒子数,对两体测量,此即总粒子对数目.然而,如上所述,散射截面的量纲是面积.这仅仅因为我们考虑散射截面正比于入射流强度而非入射流.散射截面的物理意义是反应发生的概率.借助下面讨论的半经典模型,我们可以更好理解这个物理图像.在此之前,我们指出,在量子力学中,由概率流守恒方程,我们可以计算入射流强度作为空间的函数.在此意义下,我们仍然只能计算总的某立体角出射粒子流强度,但是因为没有一个确定的入射流强度,微分散射截面的定义出现歧义.

最后我们考虑一个著名的半经典图像,即Glauber模型(arXiv.nucl-ex/0701025, arXiv:1009.1847).在这个图像中,我们保留散射截面是靶核的有效遮盖面积的经典解释,同时引入统计的概念.即两个点粒子的散射(最基本的核子核子对二元碰撞)概率与碰撞参数有关,为 $$P(b)\equiv \hat{\sigma}(b)$$ .由此,总散射截面按经典定义为入射流面积中按概率分布被遮盖到的部分,即 $$\sigma_T=\int 2\pi bdb \hat\sigma(b)$$ ,它由上述概率函数决定,因为一般情况下概率随着碰撞参数的增加而减小,总散射截面为有限大小,更重要的是,它实际上是一个实验测量量,量纲为面积.由此我们看到之前引入的概率函数 $$\hat{\sigma}(b)$$ ,不具有任何量纲,却具有散射截面的物理意义.由此我们得到结论,散射截面的物理意义是散射过程发生的概率.和存经典力学图像比较,后者的概率函数是一个阶梯函数,在遮盖面积内为$$1$$,在遮盖面积以外为$$0$$.

为了更具体的说明问题,利用Glauber模型,我们给出一个具体的计算 $$\hat{\sigma}(b)$$ 的例子.我们知道实验上质子质子碰撞的总散射截面为 $$\sigma_{inel}^{NN}$$ ,原子核按Woods-Saxon势具有下面的核子分布函数


 * $$\begin{align}

\rho_A(r)=\rho_0 \ \frac{1+w(r/R)^2}{1+\exp(\frac{r-R}{a})} \end{align}$$

将上述势函数归一后记为 $$\hat{\rho}_A$$ ,厚度函数被定义为 $$\hat{T}_A(\mathbf{s})=\int \hat{\rho}_A(\mathbf{s},z_A)dz_A$$ ,当两个原子核以碰撞参数 $$\mathbf{b}$$ (这里考虑矢量)对撞,分光学近似和蒙特卡洛两种模型.光学近似考虑相对第一个原子核中心 $$\mathbf{s}_1$$ 位置的核子仅仅与同样横向平面坐标处的核子对撞,对撞概率正比于的该位置沿着纵向积分后粒子数密度
 * $$\begin{align}

\hat{T}_{AB}(\mathbf{b})=\int \hat{T}_A(\mathbf{s_1})\hat{T}_A(\mathbf{s_1-b}) d^2 \mathbf{s} \end{align}$$ 因为$$ \hat{T}_{AB}(\mathbf{b})$$ (对面积积分$$\int d\vec b=\int 2\pi bdb$$)是归一的,它的量纲为面积的倒数,故前面讨论的(无量纲的)概率函数为
 * $$\begin{align}

\hat{\sigma}(\mathbf{b})=\hat{T}_{AB}(\mathbf{b})\sigma_{inel}^{NN} \end{align}$$ 蒙特卡洛模型按粒子数分布函数随机产生核子,而核子核子碰撞的概率函数是核子离开原子核中心的位矢和碰撞参数的函数 $$\sigma(\mathbf{s_1,s_2,b})=\sigma(\mathbf{s_1-s_2-b})\equiv \sigma(\mathbf{s})$$ ,具体函数形式为前面讨论的经典的阶梯函数.

P.298 (B.34) 这里的说明其实有些含糊不清,比较好的理解方法是,参考比如Sakurai Advanced Quantum Mechanics第二章,把(B.34)理解为含时微扰,即哈密顿微扰部分含时,在0时刻加入,完备正交的本征态 $$(n=0,1,2...) $$是非微扰部分不含时的哈密顿的本征函数.

P.302 (B.44) 这就是Sakurai Advanced Quantum Mechanics的(2.181),也做了相应的解释.第一项是向其他中间态的跃迁,如考虑一个两能级的谐振子在某时刻加入一个相互作用Sakurai Modern Quantum Mechanics(5.5.18)对应方程(5.5.15).这一项对某些情况,可以视为因为选取的正则坐标在哈密顿空间没有对角化造成的.第二项是自身的衰变.

Ch.6 Hadrons: Quark States and Colour
P.140 (6.25a) 这里 $$e_q$$ 只是一个分数, $$e_qe$$ 是电荷量,角动量即自旋,在自然单位制中,仅仅贡献因子 $$\frac{1}{2}$$ .所以这个式子与 $$\mu=g\frac{q}{2m}L$$ 一致,其中注意到对费米子自旋 $$g=2$$ ,对经典角动量 $$g=1$$.

P.143 (6.29) $$SU(3)$$中的$$3$$是指$$3$$个颜色,这个群有$$8$$个生成元,如书中所述(6.29)仅仅是条件(6.40)的一部分.

Ch.7 QCD, jets and gluons
P.305 (C.5) 见习题解答.

P.306 (C.8) 注意下面的两个式子中 $$\phi $$和 $$\phi' $$的区别.

P.153 (7.4) 此式下面的讨论是指,如果我们说相互作用常数随着相互作用距离的增加而减小,那么可以等价的说相互作用常数随着动量转移的增加而减小.因为有效相互作用距离和动量转移成反比.

P.156 (7.9) 此式就是自然单位制下的库仑势 $$\frac{e^2}{4\pi \epsilon_0 r}$$ ,因为其中常数 $$\frac{e^2}{4\pi \epsilon_0}$$ 的量纲是 $$[L][A]\div \frac{[L]}{[V]}=[A][V] $$,故而除以 $$\hbar c$$

P.163 (7.21) 乘以因子 $$\frac{N_c}{3}$$ ,其中 $$\frac{1}{3}$$ 是因为(7.16)中的因子$$3$$需要先被除掉.

Ch.8 Weak Interactions: W and Z Bosons
P.194 (8.13) 这个数值与(2.23)下面给出的数值差距很大,因为过程(8.5ab)释放的动能比一般弱相互作用过程大得多,从而衰变率要大得多.

P.196 (8.16) 疑惑 ,不明白其中因子 $$\frac{1}{\sqrt{2}}$$ 的来源.

P.204 (8.36) 如果把一根夸克线从初态移到末态,保持顶角和费曼图的其他部分不变,则费曼图的初态和末态的量子数变化保持不变.因为这里牵涉到两次把被移动的夸克线的所有守恒荷取负号,故最终无影响.

P.208 (8.51) 下面讨论的$$N$$ $$b$$夸克衰变可能数目,是指确定的过程(比如)$$b$$夸克衰变到$$u$$夸克,比较确定的过程 $$\tau^-$$ 衰变到 $$\bar_{\tau}$$ ,其他产物的终态可能数目.又见Fig.(8.27) (8.28)下面的说明.

Ch.10 Weak Interaction: Charge Conjugation and Parity
P.247 (10.16) 等式可由能量守恒方程不做任何近似得到.

P.250 (10.25) 如果是粒子和他的反粒子构成的粒子对,则它的电荷共轭由(4.53)得到,如果粒子的反粒子就是自身,则它的內禀电荷共轭与轨道角动量和自旋无关.

P.257 (10.39) 这里指和上述反应对应的过程为 $$K^0+\bar{p}\rightarrow \pi^-+\bar{\Lambda}^0$$ ,但是物质并不由反质子构成,故此过程受到压制.