Lecture Notes of Dinâmica Estocástica e Irreversibilidade by Tânia Tomé e Mário José de Oliveira

Lecture Notes on Dinâmica Estocástica e Irreversibilidade

by Tânia Tomé e Mário José de Oliveira

本文档除了包括推导, 疑惑 外,做 读书重点 的记录

Ch.1 Variáveis Aleatórias
P.20 (1.30) 由(1.29)积分,利用约当引理即得.

P.20 (1.32-35) 如书上所述,对(1.28)左边取对数,并利用对数的傅立叶展开即得


 * $$\begin{align}

\ln(1+x)=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{(n+1)}\frac{x^n}{n}=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+\cdots \end{align}$$

P.24 (1.64) 为了利用此式,类似(1.53),我们有


 * $$\begin{align}

dudv=\begin{vmatrix}\frac{\partial (u, v)}{\partial (x, y)}\end{vmatrix}dxdy \end{align}$$

从而


 * $$\begin{align}

\delta(u-f_u(x_0,y_0))\delta(v-f_v(x_0,y_0))=\begin{vmatrix}\frac{\partial (u, v)}{\partial (x, y)}\end{vmatrix}^{-1}_{x=x_0,y=y_0}\delta(x-x_0)\delta(y-y_0) \end{align}$$

Ch.2 Seqüência de Variáveis Independentes
P.33 (2.27) 这里利用了(1.28)及(1.16) 疑惑 ,但是为什么要求绝对收敛?

P.34 (2.40) 比较(1.28)及(1.16)


 * $$\begin{align}

g(k)=q+p e^{ik}=q+p(1+ik+\frac{(ik)^2}{2}+...)=1+p(ik)+p\frac{(ik)^2}{2}+\cdots \end{align}$$

P.35 (2.41) 类似(2.20)


 * $$\begin{align}

g(k)=p e^{ik}+qe^{ik}=(p+q)+(p-q)(ik)+(p+q)\frac{(ik)^2}{2}+o\left((ik)^2\right)=1+(p-q)(ik)+\frac{(ik)^2}{2}+o\left((ik)^2\right) \end{align}$$

P.36 (2.49-52) (2.49)可与(2.18)相比较 (2.51-2)利用(2.15-6)

P.39 (2.75) 疑惑 ,这里没有利用比如Reif. F的说明而直接进行展开,为什么?

Ch.3 Equação de Langevin
P.50 (3.37) 这里仅讨论最右边一项.由没有质量项的(3.5)出发 注意到 $$\delta$$ 函数的离散化表达式为 $$\delta(t_m-t_n)=\frac{\delta_{mn}}{\tau}$$ ,我们有 $$=\Gamma \frac{\delta_{mn}}{\tau}$$ 由于 $$<\xi_m \xi_n>= \delta_{mn}$$ ,两者的关系是 $$F_n=\sqrt{\frac{\Gamma}{\tau}}\xi_n $$

在方程(3.5)中出现的形式是 $$\tau F_n=\sqrt{\tau\Gamma}\xi_n$$

P.50 (3.39-40) 看似复杂,但是实际上数列(3.37)的"通项"表达式可以直接"展开",然后用眼睛看出来.相信形式上,用数学归纳法可以证明.

P.51 (3.51-2) 应该把相同贡献的项写出来是一个等比级数的求和而已,具体未验证.

P.54 (3.79) 注意到这里等式右边第二项对时间的导数有两项贡献,第一项是积分限时间求导,第二项是被积函数对时间求导,即得.

P.56 (3.94) 由于对 $$\tau$$ 的高次项在取极限时无贡献,这里两边只需要保留到最多一次项.

P.57 (3.96) 由于 $$f(x)$$ 是 $$x$$ 的函数,所以低阶动量的导数可能约定于高阶动量.

P.59 (3.115) 这里 $$<\zeta ^2>=\frac{\Gamma}{\tau}$$ 直接来源于(3.7),并利用 $$\delta $$函数的离散化表示即得.

P.59 (3.117-8) 这里利用概率函数全空间积分为$$1$$,从而在无限远处趋于零.

Ch.4 Equação de Fokker-Planck
P.66 (4.25) 疑惑 ,不明白为什么这里有温度表达式,这个表达式和P.47 (3.18-9)对应方程的物理意义不同,如何对比理解?

P.67 (4.30-31) 这是构成算符满足边界条件(4.31)的本征值问题.边界条件(4.31)利用总概率守恒以及方程(4.28)是线性方程得到.

P.70 (4.50-51) 这里不是量子力学中讨论的厄米算符,但是任意算符和它的共轭算符具有相同的本征值,因为考虑将一对算符和共轭算符的本征态 $$(\chi_{l'},\phi_l)$$ 代入(4.47),立刻得到结论本征值不同的本征态必正交.而之后又用构造的方式证明,总是可以通过共轭算符的本征函数来构造算符的本征函数. 在(4.51)两边左乘 $$\int dx \chi^*_{l'}(x)$$ ,如果 $$\chi_{l}(x)$$ 线性独立且完备,则系数必相等,此即(4.51).书上左边似乎少了一个共轭,应该为 $$\chi^*_{l}(x')$$.

P.70 (4.52) 书上等式右边多了一个因子 $$\Gamma$$.

P.75 (4.86) 疑惑 ,这里只是证明了(4.86)是概率流为零的必要条件,但是然后叙述如充分条件,为什么?

P.75 (4.90) 利用到(4.84)即得

Ch.5 Cadeias de Markov
P.84 (6) 这个论述可利用(5.26)来理解.因为每一列都与列矩阵 $$P$$ 相同的矩阵等价于 $$P$$ 乘以行矩阵$$1$$,再利用 $$P_0$$ 的归一性即得.

P.87 (5.39) 疑惑 ,不理解书中利用(5.37-8)的物理意义.但是可以利用循环三次的(5.36)来消去静态概率分布函数 $$P$$ ,如下


 * $$\begin{align}

&T(n',n)P(n)=T(n,n')P(n') \\ &T(n,n')P(n')=T(n',n)P(n'') \\ &T(n,n)P(n)=T(n'',n)P(n) \\ &T(n,n)P(n)T(n,n')P(n')T(n',n)P(n)=T(n,n)P(n)T(n',n)P(n)T(n,n')P(n') \end{align}$$

从而


 * $$\begin{align}

T(n,n)T(n,n')T(n',n)=T(n,n)T(n',n)T(n,n') \end{align}$$

P.87 (5.40) 由于细致平衡(6.36)说明等式右边(左边同样满足)是一个关于 $$(m,n)$$ 对称的表达式.

P.88 (5.47)


 * $$\begin{align}

P_{l+1}(n)=\sum_m T(m,n)P(n)\frac{P_l(m)}{P(m)}=\sum_m T(n,m)P(m)\frac{P_l(m)}{P(m)}=\sum_m T(n,m)P_l(m) \end{align}$$

P.90 (5.58) 由(5.57)两边令 $$P=P_l=P_{l+1}$$ 即得,与 $$p,q$$ 无关.

P.90 (5.62) 这是形式为 $$a_{n+1}=Aa_n+B$$, $$A,B$$ 为常数的数组的通项.

P.92 (5.76) 不知道怎么证明,可类比上一章得到?

P.92 (5.81) 对(5.80)两边对 $$x$$ 求导,然后令 $$x=1$$ 即得

P.92 (5.82) 考虑在$$ l-1$$ 时刻的任意态$$ i$$ ,在 $$l $$时刻演化到 $$n$$ 态的几率为 $$T(n,i)P(i)$$ .若不问初态,则总的概率为 $$\sum_iT(n,i)P(i)$$ .所以在 $$l$$ 时刻演化到 $$n$$ 态,在 $$l-1$$ 时刻处于$$ j $$态的几率为


 * $$\begin{align}

\frac{T(n,j)P(j)}{\sum_iT(n,i)P(i)}=\frac{T(n,j)P(j)}{P(n)} \end{align}$$

取$$ j=n-1$$ ,再演化一个时间间隔即得书上表达式.

P.94 (5.94) 这里类似傅立叶变化的卷积定理.注意到对整数 n,m ,有正交条件


 * $$\begin{align}

\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}dk e^{ik(n-m)}=\delta_{nm} \end{align}$$ 从而


 * $$\begin{align}

P_l(n)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}dk e^{-ikn}G_l(k) \end{align}$$ 将此表达式带入(5.92)两端,即得. 但是实际上,由于周期性条件 $$f(n+N)=f(n)$$, $$k$$ 只能取间断值(5.99)

P.95 (5.101) 这里同样是利用前面的正交条件直接得到.

P.95 (5.102) 此即(5.77),并注意到这里 $$P_0(n)=\delta_{n0}$$

P.95 (5.105) $$T^l(m,n)$$ 读作矩阵 $$T$$ 的$$ l $$次幂 $$T^l$$ 的 $$(m,n)$$ 矩阵元,而不是矩阵 $$T$$ 的 $$(m,n)$$ 矩阵元的 $$l$$ 次幂.这显然也与问题的物理意义相符合.也正因为如此,才有(5.107)下面的关于矩阵的逆的论述.

P.97 (5.117) 这里先取极限 $$\lim_{N\rightarrow\infty}$$ ,后取极限 $$\lim_{z\rightarrow 0}$$.

Ch.6 Equação Mestra
P.104 (6.22) 展开系数少了$$ \frac{1}{l!}$$ ,但是下面正确.

P.106 (6.38) 因为左边等于零,故在 $$W_{nm}\ne 0$$ 时,只能有 $$x_m=x_n$$

P.106 (6.39) 首先函数 $$x\ln x-x+1$$ 虽然不是全局为凹函数,但是在我们关心的区间 $$0<x<1$$ 的确是凹函数.其次(6.38)花括号对凹函数为负数.

P.116 (6.124) 见下一页书中的论述.涉及两个极限 $$\lim_{z\rightarrow 0},\lim_{t\rightarrow +\infty}$$ 的适当采用.

P.118 (6.140) 右边应该是 $$-RVP_{l-1}$$ ,见(6.141)

Ch.7 Método de Monte Carlo
P.131 (7.45) 疑惑 ,为什么要乘以2啊?

Ch.9 Modelo de Glauber
P.150 (9.9) 这里书上没有具体写出过程. 对于翻转概率,由自旋向下翻转为向上或者由自旋向上翻转为向下是不一样的.但是由于这里有两个亚元求和,并且 $$\sigma$$ 和 $$\sigma^i $$之间只是相差一个格点自旋反转,所以实际上只有一个求和是独立,其实,利用这个对称性,可以对其中一项交换 $$\sigma$$ 和 $$\sigma^i $$.从而...