Research Paper Notes on Theories of Modified Gravity

Research Paper Notes on Theories of Modified Gravity

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文献列表

 * Degenerate higher derivative theories beyond Horndeski: evading theOstrogradski instability, by David Langlois and Karim Noui, arXiv:1510.06930


 * A kinetic theory of diffusion in general relativity with cosmological scalar field, by S. Caloger, arXiv:1107.4973
 * The Principle of Non-Gravitating Vacuum Energy and some of its consequences, by E.I. Guendelman and A.B. Kaganovich, arXiv:gr-qc/9605026v1
 * Scale Invariance, New Inflation and Decaying $$\Lambda$$-Terms, by E.I. Guendelman, arXiv:gr-qc/9901017v1
 * Interacting Diffusive Unified Dark Energy and Dark Matter from Scalar Fields, by David Benisty and E.I. Guendelman, arXiv:1701.08667v4
 * Unification of DE - DM from Diffusive Cosmology, by D. Benisty, E.I. Guendelman, and Z. Haba, arXiv:1812.06151v2

Degenerate higher derivative theories beyond Horndeski: evading theOstrogradski instability, by David Langlois and Karim Noui, arXiv:1510.06930
这是著名的标量-张量修改引力的最新延伸.

(2.1-2.8)

这里通过一个玩具模型解释了Ostrogradski鬼场的物理机制.

拉格朗日(2.1)的等效形式(2.4),通过新增的一个自由度使得所有的场都具有两次型的标准形式.虽然额外增加了$$\phi,\lambda$$,仅仅新增了一个自由度而非两个,因为描写它们的运动方程都是一阶的.当矩阵(2.8)存在逆时,可以用运动方程初始条件的角度明确自由度数目.

但这时体系出现鬼场,因为(2.4)的最后一项导致对应的哈密顿量存在速度的一次方项,$$\dot{\phi}\dot{\lambda}$$,它并不是域于下的.故在物理上出现矛盾.解决办法是要求矩阵(2.8)不存在逆.

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A kinetic theory of diffusion in general relativity with cosmological scalar field, by S. Caloger, arXiv:1107.4973
本文考虑弯曲空间中协变的Fokker-Planck方程.按这个对流体的介观描述,在粒子数守恒的情况下,能动张量不守恒.

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The Principle of Non-Gravitating Vacuum Energy and some of its consequences, by E.I. Guendelman and A.B. Kaganovich, arXiv:gr-qc/9605026v1
本文是双侧度模型的第一篇

(2)

可以证明,这个表达式在坐标变换下的变换规律与$$\sqrt{-g}$$是完全一致的.(2)是个数,其具体数值随坐标系而变化,故并非标量,其物理意义是某种密度.

要证明上述关系,只需注意到$$\sqrt{-g}$$可以写成坐标变换雅克比的形式,其中的矩阵元就是$$\frac{\partial {x}^a}{\partial {x'}^\mu}$$.而利用Levi Civita符号,我们可以把雅克比写为
 * $$\sqrt{-g}=\varepsilon^{\mu\nu\alpha\beta}\varepsilon_{abcd}\frac{\partial {x}^a}{\partial {x'}^\mu}\frac{\partial {x}^b}{\partial {x'}^\nu}\frac{\partial {x}^c}{\partial {x'}^\alpha}\frac{\partial {x}^d}{\partial {x'}^\beta}\to \varepsilon^{\mu\nu\alpha\beta}\varepsilon_{abcd}\frac{\partial {\varphi}_a}{\partial {x'}^\mu}\frac{\partial {\varphi}_b}{\partial {x'}^\nu}\frac{\partial {\varphi}_c}{\partial {x'}^\alpha}\frac{\partial {\varphi}_d}{\partial {x'}^\beta}$$

注意到$$x^a$$对应给定的(平直空间中)的坐标,在坐标变化下不会改变,相当于标量.故$$\varphi_a$$中的指标$$a$$不是时空维度的指标,而是标量对应某种不同对称性的指标.

值得指出,上述表达式的左边与在一般坐标系中完全反对称张量直接有关
 * $${\tilde{\varepsilon}'}_{\mu\nu\alpha\beta}=\frac{\partial {x}^a}{\partial {x'}^\mu}\frac{\partial {x}^b}{\partial {x'}^\nu}\frac{\partial {x}^c}{\partial {x'}^\alpha}\frac{\partial {x}^d}{\partial {x'}^\beta}\tilde{\varepsilon}_{abcd}=\frac{\partial {x}^a}{\partial {x'}^\mu}\frac{\partial {x}^b}{\partial {x'}^\nu}\frac{\partial {x}^c}{\partial {x'}^\alpha}\frac{\partial {x}^d}{\partial {x'}^\beta}\varepsilon_{abcd}=\mathrm{det}\left(\frac{\partial x^a}{\partial {x'}^\mu}\right)\varepsilon_{\mu\nu\alpha\beta}=\sqrt{-g}\varepsilon_{\mu\nu\alpha\beta}$$
 * $${\tilde{\varepsilon}'}^{\mu\nu\alpha\beta}=\frac{\partial {x'}^\mu}{\partial {x}^a}\frac{\partial {x'}^\nu}{\partial {x}^b}\frac{\partial {x'}^\alpha}{\partial {x}^c}\frac{\partial {x'}^\beta}{\partial {x}^d}\tilde{\varepsilon}^{abcd}=-\frac{\partial {x'}^\mu}{\partial {x}^a}\frac{\partial {x'}^\nu}{\partial {x}^b}\frac{\partial {x'}^\alpha}{\partial {x}^c}\frac{\partial {x'}^\beta}{\partial {x}^d}{\varepsilon}^{abcd}=-\mathrm{det}\left(\frac{\partial x^a}{\partial {x'}^\mu}\right)^{-1}\varepsilon_{\mu\nu\alpha\beta}=-\frac{1}{\sqrt{-g}}{\varepsilon}_{\mu\nu\alpha\beta}$$

其中$$\varepsilon^{\mu\nu\alpha\beta}$$是Levi Civita符号,它对指标完全反对称,其取值仅为零和正负一,指标上下分量没有特殊含义.而完全反对称张量$$\tilde{\varepsilon}^{\mu\nu\alpha\beta}$$是个张量(有时被称为Levi Civita张量,这时需特别注意),虽然它对指标完全反对称但是其模随着坐标的不同是变化的.仅在平直空间直角坐标系中$${\varepsilon}_{abcd}={\varepsilon}^{abcd}=\tilde{\varepsilon}_{abcd}=-\tilde{\varepsilon}^{abcd}$$,最后一步等号因为有且仅有一个零分量.

(5-6)

这个运动方程的导出可以利用对作用量的变分.

考虑到$$\Phi$$定义中的对称性,我们仅考虑一个因子$$\delta(\partial_\alpha \varphi_a)=\partial_\alpha\delta \varphi_a$$,注意到其中$$\partial_\alpha$$是普通的偏导,而$$\varepsilon^{\alpha\beta\mu\nu}$$Levi Civita符号是常数,其导数为零.这样,利用部分积分法,偏导被作用在拉格朗日密度与其他$$\partial_\beta \varphi_b$$因子上,由于偏导可交换是对称的,所以与反对称张量指标求和后没有贡献,最后只留下对拉格朗日密度的偏导的贡献.其之前的因子除了$$\delta \varphi_a$$外就是(6).

(12-13)

对应的运动方程包含描写时空动力学的场$$\varphi_a$$方程(7)和爱因斯坦方程(8).简单起见,这里没有考虑能量张量自由度的方程.

最终化简后得到方程(12),其中与$$\varphi_a$$场有关的$$\chi$$部分不会影响物质场的能动张量,而且物质场的能动张量不守恒.

Scale Invariance, New Inflation and Decaying $$\Lambda$$-Terms, by E.I. Guendelman, arXiv:gr-qc/9901017v1
(4)

因为求偏导是可交换的,而利用完全反对称符号,故四项仅有一项不为零,即得(2).

因为$$\varphi_a$$是标量,这里涉及的偏导都是指普通导数.

(5)

考虑(5),比较(1)与(3),对前者而言,对作用量的产生的附加项将会有非平庸的影响.具体的,对度规扰动的运动方程中将出现宇宙学常数.对后者,对作用量的影响可化为面积分,故对(任何)运动方程都不会有影响.

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Interacting Diffusive Unified Dark Energy and Dark Matter from Scalar Fields, by David Benisty and E.I. Guendelman, arXiv:1701.08667v4
本文把Fokker-Planck方程导致的能动张量不守恒与双侧度理论结合起来,给出了两个可能的模型

(5)

这个作用量对应的变分为
 * $$\delta S=\delta\chi_\mu \sqrt{-g}\nabla_\nu {T^{\mu\nu}_{(\chi)}}$$

故得到了能动张量守恒的方程,其详细推导参见arXiv:1812.06151v2一文(12)的笔记.

(6-7)

按(5)的推导思路,并多使用一次部分积分法,我们不难得到作用量的变分为
 * $$\delta S=(\delta\chi)_{,\mu} \sqrt{-g}\nabla_\nu {T^{\mu\nu}_{(\chi)}}

\to -(\delta\chi)(\sqrt{-g}\nabla_\nu {T^{\mu\nu}_{(\chi)}})_{,\mu} =-(\delta\chi)\sqrt{-g}\nabla_\mu\nabla_\nu {T^{\mu\nu}_{(\chi)}}$$ 其中利用了$$\nabla_\nu {T^{\mu\nu}_{(\chi)}}$$是一阶逆变张量的事实.

这样引入定义$$f^\mu \equiv \nabla_\nu {T^{\mu\nu}_{(\chi)}}$$即得(7)给出的结果.

这个模型的物理意义就是从拉格朗日架构出发,打破了能动张量守恒.

(10-12)

这是第二个模型,这里$$f^\mu$$由动态场决定.而如文中指出,动态场对标量场$$A$$的变分保证了$$f^\mu$$是守恒的.

(15)

作为一个简单的例子,这里讨论一个总能量随着时间线性变化的振动系统.对应方程的推导都是之前推导的简化版本.

(21)

文章的卖点是能量不守恒,但是因为拉格朗日密度不含时间,哈密顿仍然是一个守恒量.

(23)

这一项保证了动力学演化具有吸引子解的形式.

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Unification of DE - DM from Diffusive Cosmology, by D. Benisty, E.I. Guendelman, and Z. Haba, arXiv:1812.06151v2
(12-13)

这里推导运动方程,我们先复习一下弯曲空间中标量场与电磁场的场方程推导.

对标量场的情况,有些细节的是作用量中的动能项$$\sqrt{-g}\nabla^\mu\phi\nabla_\mu\phi=\sqrt{-g}\partial^\mu\phi\partial_\mu\phi$$.因此我们仅考虑零质量标量场的情况.注意到这时偏导就是普通导数,利用部分积分法,并注意到对任何逆变矢量$$A^\mu$$,我们有
 * $$(\sqrt{-g}A^\mu)_{,\mu}=\sqrt{-g}(A^\mu)_{;\mu}=\sqrt{-g}\nabla_\mu A^\mu$$,

其中我用到了关系 $$\frac{\partial \sqrt{-g}}{\partial x^\nu}=\sqrt{-g}\Gamma^\mu_{\mu\nu}$$. 所以
 * $$(\sqrt{-g}\partial^\mu\phi)_{,\mu}=\sqrt{-g}(\partial^\mu\phi)_{;\mu}=\sqrt{-g}\nabla_\mu(\partial^\mu\phi)=\sqrt{-g}\nabla_\mu\nabla^\mu\phi$$

我们自然的得到了熟悉的克莱因高登方程的形式.容易发现,这与利用欧拉拉格朗日方程得到的结果是一致的.

对电磁场,我们注意到对任何反对称张量$$\Theta^{\mu\nu}$$,我们有
 * $$(\sqrt{-g}\Theta^{\mu\nu})_{,\mu}=\sqrt{-g}(\Theta^{\mu\nu})_{;\mu}=\sqrt{-g}\nabla_\mu \Theta^{\mu\nu}$$.

这是因为等式右边协变导数中的第三项$$\propto \Gamma^\nu_{\sigma\mu}\Theta^{\mu\nu}=0$$,因为反对称指标$$(\mu\sigma)$$的对称求和而没有贡献. 另外我们注意到对麦克斯韦张量$$F_{\mu\nu}=\partial_\mu A_\nu-\partial_\nu A_\mu=\nabla_\mu A_\nu-\nabla_\nu A_\mu$$,可以用普通导数来代替协变导数. 因此可以很大程度上简化作用量$$\sqrt{-g}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}=2\sqrt{-g}\partial_\mu A_\nu F^{\mu\nu}$$. 利用上面的关系我们最终得到
 * $$(\sqrt{-g}F^{\mu\nu})_{,\nu}=\sqrt{-g}\nabla_\nu F^{\mu\nu}$$.

同样,这与利用欧拉拉格朗日方程得到的结果是一致的.

我们现在可以来讨论文章中的作用量
 * $$\sqrt{-g}\chi_{\mu;\nu}T^{\mu\nu}_{(\chi)}$$

其中$$\chi_\mu$$是一个协变矢量,我们考虑对它的变分,方法也是类似的.具体的,考虑到
 * $$\chi_{\mu;\nu}=\partial_\nu\chi_\mu-\Gamma^\lambda_{\mu\nu}\chi_\lambda$$

对第一项导数部分,用部分积分法,我们有贡献(在略去一个负号后)为
 * $$(\sqrt{-g}{T^{\mu\nu}_{(\chi)}})_{,\nu}

=(\sqrt{-g})_{,\nu}T^{\mu\nu}_{(\chi)}+\sqrt{-g}{T^{\mu\nu}_{(\chi)}}_{,\nu} =\sqrt{-g}(\Gamma^\sigma_{\sigma\nu}T^{\mu\nu}_{(\chi)}+{T^{\mu\nu}_{(\chi)}}_{,\nu})$$. 对第二项的贡献(同样略去一个负号)为
 * $$\sqrt{-g}\Gamma^\mu_{\sigma\nu}T^{\sigma\nu}_{(\chi)}$$

注意到其中提取了场变分的$$\mu$$分量. 两者的贡献之和为
 * $$\sqrt{-g}({T^{\mu\nu}_{(\chi)}}_{,\nu}+\Gamma^\sigma_{\sigma\nu}T^{\mu\nu}_{(\chi)}+\Gamma^\mu_{\sigma\nu}T^{\sigma\nu}_{(\chi)})$$

它应该正比于(13)是给出的协变导数,我们具体计算如下
 * $$\nabla_\nu {T^{\mu\nu}_{(\chi)}}

={T^{\mu\nu}_{(\chi)}}_{,\nu}+\Gamma^\mu_{\sigma\nu}{T^{\sigma\nu}_{(\chi)}}+\Gamma^\nu_{\sigma\mu}{T^{\mu\sigma}_{(\chi)}}$$. 注意到联络的对称性以及能动张量的对称性,(13)的确是正确的.换言之,作用量的变分导致
 * $$\delta S=\delta\chi_\mu \sqrt{-g}\nabla_\nu {T^{\mu\nu}_{(\chi)}}$$

(16-17)

终于到了打破能动张量守恒的时间了.这里的做法是之前两个方案中的一个.把矢量$$\chi_\mu$$直接耦合到第二个测度中去,这样(17)是显然的.

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