Research Paper Notes on Black Hole Thermodynamics

Research Paper Notes on Black Hole Thermodynamics

本文档除了包括推导, 疑惑 外,做 读书重点 的记录 $$$$

文献列表

 * Particle Creation by Black Holes, by Steven Hawking, Commun. Math. Phys. 43 (1975) 199
 * Self-Interaction Correction to Black Hole Radiance, arXiv:gr-qc/9408003v1, by Per Kraus and Frank Wilczek


 * Experimental Black-Hole Evaporation? by W.G. Unruh, Phys.Rev.Lett. 46 (1981) 1351–1353
 * Acoustic black holes: horizons, ergospheres, and Hawking radiation, by Matt Visser, arXiv:gr-qc/9712010v2


 * Zeroth Law compatibility of non-additive thermodynamics, by T. S. Biro and P. Van, arXiv:1102.0536v2
 * Classical and thermodynamic stability of black holes, by Ricardo Jorge Ferreira Monteiro, arXiv:1006.5358
 * Thermodynamic stability of Kerr black holes, by Osamu Kaburaki, PRD47, (1993) 2234

Particle Creation by Black Holes, by Steven Hawking, Commun. Math. Phys. 43 (1975) 199
霍金辐射原始文献,拜读.

(1.2)

这是对波函数正交归一的定义.

把这个表达式与Manogue文章(6)的讨论比较,后者是这个定义的一个具体实现,前者给出了弯曲空间中场论波函数正交性的一般定义形式.

具体参见相关文章中(6)的推导笔记.而一般形式的证明主要利用了弯曲空间的高斯定理,场方程,以及波包形式的假设.

接着,文章讨论了在弯曲空间中正反粒子能级的不确定性.即在无穷远处渐进平直空间处按波函数正频率定义的正粒子态通过一部分弯曲时空演化到末态平直空间时,未必仍旧对应这能量的粒子.这点与平直空间场论中的真空激发,即Schwinger效应在物理概念上很类似.关于正频率的数学定义参见(2.3-4)及相关笔记.

对于粒子穿过视界后,对于无穷远处观测者其能量为负理解如下.我们首先考虑单粒子延测地线运动能量守恒的问题.联系无穷远处的观察者的与能量相关的守恒量可以由满足测地线方程的自由落体的四动量$$p^\mu$$以及时间Killing矢量$$\left(\xi^{(t)}\right)^\mu=(1,0,0,0)$$的内积构造而成$$p\cdot \xi^{(t)}=g_{00}E^0=E_0$$,其中$$E^0$$是处于渐进平直时空的无穷远处观测者在他自身的随动系$$u^\mu=(1,0,0,0)$$中测量到的粒子的能量,对他而言,$$E^0=g_{00}E_0=E_0=p\cdot u$$.如果考虑在视界附近产生一对正反粒子,考虑对无穷远处的观测者总能量应该为零,那么$$E_{0}^{(1)}+E_0^{(2)}=0$$,在视界外的粒子2的能量满足$$E_0^{(2)}>0$$,如果沿着测地线运动到无穷远对应能量$$E^{(2)0}=E_0^{(2)}>0$$,而另一个粒子$$E_{0}^{(1)}<0$$,处于视界内部,并且由于在视界内$$g_{00}=f<0$$,对应的逆变分量$$E^{(1)0}>0$$,因为$$E^{(1)0}=m\frac{dt}{d\tau}$$,其时间坐标随着纺射坐标的增加的确是增加的,它将沿着测地线掉落到奇点.

上述"负"能量粒子可以类似克莱因佯谬中在势场中的反粒子,一个反粒子在势场中的动能为"正",势能为负,且总能量为负.这个结果不涉及任何违反能量守恒的情况,且在动力学上是完全自然的,具体参见这篇综述(3.17)的笔记.黑洞在物理上就对应某种势场,故这里的反粒子的能量为负的结果完全可以用类似的形式来理解.

不幸的是,具体讨论基本 完全看不懂 .按波函数对应频率$$\omega$$与局域曲率$$B^{\frac12}$$的大小关系,作者讨论了上述不确定性导致的局域能量密度不确定性.

(2.3-4)

这里分别在入射态空间$$|\mathrm{in}\rangle$$与入射态空间$$|\mathrm{out}\rangle$$定义了两组正交完备的基.同时明确指出对应的"时间"坐标为纺射坐标,从而对正频率给出了明确的定义.

入射态被定义在过去类光无穷远$$\mathscr{I}^-$$上.在这里定义的初始条件在物理上是充分的,即足以构造柯西条件.

而出射态仅仅被定义在将来类光无穷远$$\mathscr{I}^+$$上是不够完备的,还需要被定义在黑洞视界上.从物理上说,这是容易理解的.入射波可能被散射到无穷远,但也可能终结于视界表面.所以,后一种在出射态空间$$|\mathrm{out}\rangle$$的展开必须同时考虑(2.4)中的两组基.

这里的讨论与Hansen的文献(45-47)的讨论有很多共通之处.

(2.5-10)

按之前的讨论,按$$\mathscr{I}^-$$上的展开定义的波函数$$f_i$$是完备的,所以可以把$$p_i,q_i$$用这组基展开,进而得到(2.7-8).

我们需要计算的期待值正是(2.10),参见Hansen的文献(60)的讨论.

(2.11-15)

散射到无穷远处的波函数分两种,第一种对应$$S$$以及$$T$$矩阵定义中的1.这是当不存在任何相互作用情况下结果.文中指出这对应$$\delta(\omega'-\omega)$$. 2. 任何通过费曼图对$$S$$矩阵的非平庸的计算,即便是"向前散射"问题,都涉及相互作用.在这里,这就是通过星体表面散射但没有被视界捕获而演化到将来无穷远的波函数.

文中(2.11)给出的$$p_\omega$$对应着与散射到视界上没有任何因果联系(零柯西数据)的入射态.

参考赵峥的"黑洞的热性质与时空奇异性"一书的讨论,实际上,可以考虑一个标量粒子的克莱因高登方程在时空背景下的形式,考虑球对称解,做分离变量把角度部分剔除(这就是霍金本文中对解的对称性考虑),在剩余的时间与径向坐标中,首先对径向坐标引入乌龟坐标变换,这样得到(熟悉的)乌龟坐标中含有有效势的场方程.我们指出,不难注意到,在无穷远处与视界上,平直空间中的有效势都为零,因此方程在此渐进行为下为乌龟坐标中的波动方程,它的通解就是平面波解.在此情况下,我们考虑爱丁顿双零坐标,对入射波,有物理意义的就是时空因子为$$e^{i\omega v}$$,其中$$v=t+r_*$$,因为其相速度就是以光速向内传播.类似的对于出射波其时空因子为$$e^{i\omega u}$$,其中$$u=t-r_*$$.如果考虑点粒子,那么入射粒子轨迹为$$v=\mathrm{const.}$$的世界线,出射粒子轨迹为$$u=\mathrm{const.}$$的世界线.

参考赵峥书中的Fig.2.3.3,这是一个本质上有问题但是直观上容易理解的物理图景.入射粒子在视界形成前恰好略过星体中心,并且其半径从随着时间(纺射坐标)减小忽然变为随着时间增加,物理上是很直观的.但实际问题考虑的不是从某特定方向入射的波包,而且具有球对称的入射波与出射波,故不存在半径的"正"与"负"方向,入射波球对称的从外向内在星体中心反射后球对称的向外出射.这对应Fig.2.3.4中按奇点虚线对称反演后的曲线.

文中指出,把将来无穷远的波函数做实验反演,那么在视界处的观测者看来,粒子态是无限蓝移的.这很容易理解,因为这本质上与无限远处的观测者看到的视界上事件的无限红移完全是一回事.

(2.21)

虽然对具体计算过程 不清楚 ,这里通过几何光学近似计算了具体的入射与反射波间$$(u,v)$$值的对应关系$$u=u(v)$$,从而获得波戈留波夫变换(2.5-6)的系数,最终得到辐射粒子的数密度(2.10).

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Self-Interaction Correction to Black Hole Radiance, arXiv:gr-qc/9408003v1, by Per Kraus and Frank Wilczek
本文考虑霍金辐射中引力场的最低阶反作用.

(1.1)

这部分没有公式.文中指出,霍金温度由半经典近似计算得到,适用条件这在无限蓝移的情况下,这时采用了几何光学近似.而另一方面,此时辐射粒子能量更大,对黑洞质量的影响也更大,所以不讨论反作用是不合理的.这导致两难.

(5.8-9)

这是辐射粒子束流在视界表面与无穷远处的关系.前者主要由波戈留波夫变换系数决定.

本文档除了包括推导, 疑惑 外,做 读书重点 的记录 $$$$

Experimental Black-Hole Evaporation? by W.G. Unruh, Phys.Rev.Lett. 46 (1981) 1351–1353
本文从非相对论粘滞流体运动方程出发,导出了扰动方程满足弯曲空间黑洞度规中的标量场扰动方程.因此,作者得出结论:黑洞热辐射可以在相应的经典体系中研究,甚至在实验中实现.

Acoustic black holes: horizons, ergospheres, and Hawking radiation, by Matt Visser, arXiv:gr-qc/9712010v2
本文是声学黑洞以及相关的黑洞视界与热力学的综述,值得好好学习.

Zeroth Law compatibility of non-additive thermodynamics, by T. S. Biro and P. Van, arXiv:1102.0536v2
本文从一般的角度,讨论了非延展体系的热力学第零定律,并且从这个角度出发推导了Tallis分布.讨论和推导明确,清晰.

这个讨论视角被称为formal logarithm方法.

Classical and thermodynamic stability of black holes, by Ricardo Jorge Ferreira Monteiro, arXiv:1006.5358
这是一篇讨论黑洞稳定性的毕业论文.

Thermodynamic stability of Kerr black holes, by Osamu Kaburaki, PRD47, (1993) 2234
本文用Poincare方法来讨论黑洞的稳定性.