Research Paper Notes on Holographic Superconductivity

Research Paper Notes on Holographic Superconductivity

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文献列表

 * Ginzburg-Landau theory for superconductors, by Cyrot M., Rep. Prog. Phys. 36 (1973) 103
 * Introduction to Holographic Superconductor Models, by Rong-Gen Cai, Li Li, Li-Fang Li, Run-Qiu Yang, arXiv:1502.00437


 * Holographic Superconductors with various condensates in Einstein-Gauss-Bonnet gravity, by Qiyuan Pan, Bin Wang, Eleftherios Papantonopoulos, Jeferson de Oliveira, Alan B. Pavan, arXiv:0912.2475
 * Holographic vector superconductor in Gauss–Bonnet gravity, by Jun-Wang Lu, Nuclear PhysicsB903(2016)360–373
 * Holographic Superconductors with Various Condensates, by Gary T. Horowitz, Matthew M. Roberts, arXiv:0810.1077
 * Introduction to Holographic Superconductors, by Gary T. Horowitz, arXiv:1002.1722v2
 * The AdS/CFT Correspondence and a New Positive Energy Conjecture for General Relativity, by Gary T. Horowitz and Robert C. Myers, arXiv:hep-th/9808079
 * Colorful Horizons with Charge in Anti–de Sitter Space, by Steven S. Gubser, arXiv:0803.3483


 * Supercurrent: Vector Hair for an AdS Black Hole, by Pallab Basu, Anindya Mukherjee, and Hsien-Hang Shieh, arXiv:0809.4494
 * Holographic model of superfluidity, by C. P. Herzog, P. K. Kovtun and D. T. Son, arXiv:0809.4870v3
 * The Many Phases of Holographic Superfluids, by Daniel Arena, Pallab Basu, and Chethan Krishnan, arXiv:1006.5165v2
 * Holographic p-wave superfluid in Gauss-Bonnet gravity, by S. Liu, Q. Pan and J. Jing, arXiv:1610.02549
 * p-wave holographic superconductor in scalar hairy black holes, by D. Wen et al., arXiv:1904.00428

Ginzburg-Landau theory for superconductors, by Cyrot M., Rep. Prog. Phys. 36 (1973) 103
(2-3)

首先关于相变的定义的讨论可以参见这个stockexchange帖子.

伦敦方程是超导体最为经典宏观唯象的方程.伦敦方程并不取代麦克斯韦方程组中的任何一个方程.其实四个麦克斯韦方程都是以电荷电流为外源如何决定电磁场的运动方程.反过来,在经典电动力学中,以电磁场为源决定电荷运动的方程的微观形式就是洛伦兹力,而对于宏观材料,一个最常见的形式就是库仑定律.伦敦方程其实就是取代后者的.

具体的,宏观超导理论是双电流理论.体系同时包括满足库伦定律的普通电荷和满足伦敦方程的超导电荷.伦敦第一方程是说超导电荷的电流和电场的关系,并非成正比而是前者对时间的导数和电场成正比,对应微观上超导电荷在电场的作用下做加速运动,即零电阻效应.伦敦第二方程决定了伦敦第一方程和麦克斯韦方程结合后原则上没法决定下来的一个积分常数,这个积分常数的取法,如果电场不含时(或不存在),即对静态解,磁场在超导体内随着距离必以指数形式衰减,即绝对抗磁性,迈斯纳效应.

由麦克斯韦方程本身和零电阻,我们表明上可以通过下面的例子直观的理解零电阻情况下磁通量被囚禁在超导体内的说法.因为可以考虑电场沿着圆柱体轴向,即电流方向的初始条件.这时,由于对称性在圆柱体大圈的切线方向上电场分量为零,电场在圆柱体横截面大圆上的线积分为零.假设某一时候导体忽然变为超导体,电场仅仅沿着电流方向由有限值变为零.由电流产生的磁场对称的沿着圆柱体横截面大圆的切线方向,其变化产生的电场仍然沿着圆柱体的轴向.这样,电场沿着圆柱体横截面大圆的线积分在整个过程中不变,始终为零.这样如果开始时刻有磁场处于圆柱体内,则该磁通量随着体系变为超导体没有变化,从而被囚禁在超导体内.在蔡胜善的经典电动力学中,这个结果和(7.14)是自洽的,后者说在形成超导体后,磁场随时间的变化在超导体内随距离以指数衰减.

但实际上,因为伦敦第二方程是一个独立的附加条件,这意味着,原则上如果引入从库伦定律到伦敦方程的渐变形式,可以通过解方程组得到体系宏观的时间演化解.虽然不是显然的,但是其实磁场并不完全由电流决定,上述分析中没有考虑的感应电场其实可以在超导体形成过程中产生圆柱体横截面上的涡流,这个局域有旋的电场,把磁场排斥出导体外.

注意到两个方程在一定条件下可以写成统一的形式.这就是文中给出的,在库伦度规即标势为零的情况下,电流正比于矢势的表达式.对比库仑定律,这个式子其实是说,代替电场,超导电流是和磁场(矢势)成正比.

(9-10)

朗道-金兹伯格模型.这个模型的相变机制是朗道的二级相变唯象理论.这里两个方程都是由变分而来.

第一个方程相当于考虑了对称性自发破缺的薛定谔方程.注意在临界温度以下$$\alpha<0$$,自由能最小的情况是波函数为对称自发破缺解,基态基本上是经典解几乎没有量子修正,空间导数为零,电磁场为零.这时没有电流和外场,但是超导电子密度不为零.

第二个方程直观的物理意义是超导电流就是波函数的概率流.它的推导稍微不直接些,但注意到(8)最后一项其实是矢势旋度的平方,注意到先用矢量运算关系,再把微分算符用部分积分改变作用对象,最后注意到重复因子2即得
 * $$\frac{\delta\left[(\nabla\times A)\cdot(\nabla\times A)-2(\nabla\times A)\cdot H_a\right]}{\delta A}=\frac{\delta\left[((\nabla\times A)\times\nabla)\cdot A-2(H_a\times\nabla)\cdot A\right]}{\delta A}=\frac{\delta\left[(A\cdot \nabla\times(\nabla\times A)-2A\cdot(\nabla\times H_a)\right]}{\delta A}=\frac{\delta\left[(A\cdot \nabla\times(\nabla\times A)\right]}{\delta A}=2\nabla\times(\nabla\times A)$$.

我们总结起来讨论下超导体排斥磁场和自由能的关系.超导体排斥磁场是方程(10)和麦克斯韦方程的结果,换言之电磁体系能量最低的要求.但是按方程(8)其实磁场为零$$H(r)=0$$使得吉布斯自由能增加(后面的$$H_a$$是人为施加的外场,而$$H(r)$$是与超导体产生磁场叠加后的剩余磁场),这是因为物理上把电磁场推出超导体外需要做功.如文中所述,只有当这部分功小于对称性自发破缺带来的体系能量的减少值.否则,波函数为零,(10)决定的超导电流为零,电磁场可以进入超导体.因为外磁场是由固定外源提供的,所以把磁场排除掉吉布斯自由能反而高.注意到这和在没有人为外场情况下体系自动产生的磁场的吉布斯自由能是完全不同的情况.在此意义上,(8)应该是吉布斯自由能的表达式,等式右边也没有$$F_n$$,运动方程仍然由对场变分得到.也参见这个问题.

(17-18)

这里涉及到两个物理尺度.第一个尺度由(17)上面一式比较(5)得到,注意到(17)上面一式左边是$$\vec{j}$$.这时考虑超导基态波函数基本不是空间坐标的函数(从而超导电子数密度是常数),在上引入很小的磁场后基本不会改变波函数形式,这样得到超导电流和磁场的关系直接和伦敦方程对应.换言之,朗道-金兹伯格模型包含伦敦方程的所有信息.自然的,考虑麦克斯韦方程即可得到磁场的渗透深度.(22)下面一段中的一个表达式有误,应该是零点能(不含$$\frac12$$)和频率两个不同的表达式.

第二个尺度是仅考虑超导电子的运动方程对应的格林函数的形式,决定的关联函数的指数依赖关系,即场论中熟知的关联长度与等效质量呈反比的结论.换言之,朗道-金兹伯格模型包含了伦敦方程没法涉及的体系的量子力学内涵.

他们的比值$$\kappa$$无量纲.是把朗道-金兹伯格模型的只有能无量纲化后唯一剩下的参数.

(22)

在导出(22)时,因为假设波函数很小,所以可略去$$\beta$$项在自由能中的贡献,所以下面讨论与朗道二级相变决定的相变点无关.按(8)自由能最小值主要由磁场贡献决定,问题的解比较接近普通导体的情况,磁场进入超导体.但是我们考虑波函数的空间依赖关系,具体讨论方程(9)的解,称为II类超导体.

如文中所述,这里在数学上等价于在匀强磁场加上一个常数势场$$\alpha$$中的粒子的薛定谔方程的解的问题.注意到在温度低于临界温度情况下$$\alpha<0$$,所以两项的贡献正好相差一个负号.容易发现,这时薛定谔方程的解对应著名的朗道能级问题.注意这里的薛定谔方程没有能量项,即体系总能量正好为零.要两项的贡献正好抵消,前者有最小值$$\frac12\hbar\omega_c$$上不封顶,后者固定.所以方程存在非平庸解要求谐振子解的零点能小于等于常数势场$$\alpha$$的势能,从而得到第二类超导体临界磁场的表达式.

注意,因为这时波函数的空间依赖关系是重要的,代回方程(10)不再简单的得到伦敦方程,换言之,伦敦方程对应的宏观图像不再成立.具体的,需要对问题做更为细致的讨论.

(24)

库帕对的物理概念的一个直观解释可以参考比如Ibach和Luth所著的Solid State Physics的第10.3节的讨论.这个讨论说明为何电子间,除了以光子为媒介的库伦力,为何通过声子的相互作用是吸引的?为何两个电子以声子为媒介的相互作用在处于费米面动量相反位置时为最大?为何在费米面之上的两个电子通过这个相互吸引作用最后能量比费米面要低?具体讨论可以参见Kbar和Luth的Solid State Physics,和这个讨论.

对于超导态,考虑的是一个有很多库帕对构成的哈密顿量的能量最小值,以及它和没有相互吸引的电子对作用的哈密顿量的能量的差别.通过手动打开电子对来计算能隙.

Introduction to Holographic Superconductor Models, by Rong-Gen Cai, Li Li, Li-Fang Li, Run-Qiu Yang, arXiv:1502.00437
(1)

这里关于朗道-金兹伯格模型的讨论基本参考了Cyrot M.的综述文章.具体讨论参考上述相关笔记.

Holographic Superconductors with various condensates in Einstein-Gauss-Bonnet gravity, by Qiyuan Pan, Bin Wang, Eleftherios Papantonopoulos, Jeferson de Oliveira, Alan B. Pavan, arXiv:0912.2475
Fig.2

在下面的讨论中,提及当condensation gap越小,越容易发现凝聚.首先,朗道金兹伯格模型的物理意义,$$\langle{\mathcal O}\rangle$$对应超导电子对的数密度.但是数密度似乎并不与发生相变的难易程度直接有关,表明上似乎是独立的.针对这个问题询问了以下各位同事.

启沅的答复是,按图同样的温度与临界温度比值下,凝结大应该就对应了凝结容易.王老师的答复是,凝结量和其他物理量可能有关,比如纠缠熵,关联长度,激发概率等,具体有待查阅文献.小梅的答复是,标量场的凝结的关联长度物理上并不对应电子的关联长度而是超导电子对(间)的关联长度.存在针对费米子拓扑超导模型,后者更为物理的计算了这些物理量.

Holographic vector superconductor in Gauss–Bonnet gravity, by Jun-Wang Lu, Nuclear PhysicsB903(2016)360–373
Eq.(10-11)

首先讨论这个边界条件的推导.

考虑在无限远的条件下,对$$\psi$$的方程,按$$f$$的渐进行为Eq.(2)代入,舍去高阶项后,得到一个关于$$\psi$$的二阶齐次方程(这是必然的,因为非齐次的项的贡献不是同量级的).假设贡献最大的项的形式为$$r^n$$,代入后得到关于$$n$$的二阶多项式(因为原场方程为两阶微分方程),有两个解,正是Eq.(10).

对$$\phi$$的情况非常类似.但是两个解中一个解$$n=0$$对于常数解,另外一个解对应$$\rho$$项.

实际上这个过程和特殊函数论中的级数解法非常类似.虽然后者是在求通解,这里是在求极限情况下贡献最大的项.

这里有四个独立的决定解的参数.这四个参数被化为两个,分布利用在视界处$$\phi(r_+)=0$$的边界条件,和在无穷远处由(线性响应理论)物理分析选取其中的一个参数$$\psi_-=0$$为零.最后,对于$$\psi$$方程在视界上的函数和一阶导数满足一个关系,这样形式上得到一个混合边界条件,再去掉一个参数.

这样方程Eq.(8-9)的解是由一个参数决定的.给定这个参数,就可以用试射法决定解.

Carlos Dudu的程序就是按照这个思路编写的.首先是在边界上用$$\psi$$和$$\phi$$的函数和一阶导数来调整炮台方向.因为$$\phi(r_+)=0$$和$$\psi$$在视界上的函数和一阶导数满足的关系,剩下两个参数.在这两个参数中先固定$$\phi$$的一阶导数,通过调节$$\psi$$在视界上函数值来使得在无穷远处$$\psi_-=0$$为零,这样就找到了一个点.接着调节$$\phi$$的一阶导数的数值,最终得到一根曲线.

而原作者的mathematica程序是通过下面的算法这样实现的.在视界上,因为函数没有奇性,$$\psi$$和$$\phi$$都可以用泰勒展开,而实际上因为$$\phi(r_+)=0$$的边界条件,后者的展开从一阶开始.把展开代入方程,发现实际上两个展开都可以用最低阶系数完全决定.这样其实只有两个独立的参数.这时,取定其中的一个参数,比如$$\phi$$的一阶展开系数,就可以通过另一个参数的试射来使得在无穷远处$$\psi_-=0$$为零.这样问题同样得解,其中首先取定的参数为具有物理意义的解的参数,比如温度.

这时问题来了.第一个问题.上述做法其实具有很大的普适性,因为一般波函数总是可以在视界上展开,代入方程后,总是可以把波函数的所有展开系数都写成第一个系数的表达式.从而用试射法来满足无穷远处的边界条件.但是这样做似乎会导致一个佯谬.因为原则上,如果通过方程在无穷远处的渐进行为发现其实方程有三个,而非两个独立的解的话,仍然可以通过在视界上固定一个参数而调节另一个参数,由试射法得到了在无穷远处满足边界条件(源为零)的解.而另一方面,在视界上,我们仅有可调一个自由参数,而我们知道通解包含三个自由的参数,去掉边界条件后还剩两个,从而与视界上的自由参数数目不同导致佯谬!

按林恺,可以理解如下.吕红的黑洞解的问题就是在视界处做类似展开,只有一个自由参数,同时在无穷远处的边界条件是唯一的.数值上这时却能得到两个线性独立的解,对应试射法射到无穷远时的结果随着视界处自由参数的连续变化从射高连续变化到射低再连续变化到射高.这样不难想象,视界处的单参数是可以对应到不同的线性独立的解.这是非线性方程的一个特性.

顺着这个思路,我们也得到结论,通过在无穷远处的渐进行为的分析得到的方程的独立解的数目可以比方程的真正独立解的数目少.

实际上,我们可以从另一个角度来考虑这个问题.对于两阶的微分方程,比如高斯方程,我们知道边界条件有第一类边界条件和第二类边界条件.对于第一类边界条件,其实就是确定了函数在边界上的值.换言之,这里的泰勒展开方法把解归结由展开最低阶系数决定和第一类边界条件的意义是一致的.而我们同样可以对微分方程用级数方法来求解,这时我们展开到无限阶,所以得到的是展开系数的递推方程,而并非如展开到有限阶情况下得到封闭的方程.对于前者,以氢原子径向本证方程为例,不同的线性独立的解已经严格的包含在系数的递推方程中了.对后者,其实方程的数目是在解方程前决定的.一般把方程的数目选为比变量的数目少一个,这样才能近似的把解表达为最低展开系数的函数,与上述边界条件的讨论保持一致.实际上,上述做法选取了一侧的边界条件,而另一侧的边界条件就是用试射法来保证其满足.

第二个问题.试射法在具体操作中可以直接用求根命令由边界条件(源为零)得到一个自由参数的值.这个求根的方程一般是多项式方程,包含多个根.其实根的数目和最初波方程的展开阶数有关.那么我们怎么知道哪个根是有物理意义的呢?

按潘启沅,解释如下.这里不同的根很多时候对应波函数满足边条件的不同激发态的解.我们其实一般最关心的基态解,在一维情况下,能量最低的基态解对应的是没有节点的波函数,而以后节点数对应能级.另外,对于两阶微分方程,方程的数目为展开的阶数减去2,这样保证了所有展开项对所考虑的方程导数项的贡献都是完整的,但是展开到有限阶本身已经引入了近似.另外注意到,这里的场方程并非本证方程,所以很可能除了方程本身存在的线性独立的解以外的解都是增根.

具体程序参考mathematica的nb文件的注释.

最后这里涉及到Breitenlohner–Freedman(BF)bound,这是一个在AdS空间标量场,从而AdS时空本身,稳定性的问题.可以证明,这是标量场质量可以为负数,只要不是太大的负数就行.这个质量的下限就是BF限.

Eq.(12)

标度变换.

引入标度变换,使得拉格朗日和$$ds^2$$等标量的形式不依赖于标度$$\lambda$$.这样,对场做变分后得到的所有的运动方程都是标度不变的.换言之,把运动方程都写为没有量纲的量的方程.这里的没有量纲的量是通量纲的物理量的比值的形式.

任何一个物理量都和某标度维度相联系,比如$$A\rightarrow \lambda^n \tilde{A}$$,那么$$A$$的维度为$$n$$.比如我们可以用这样的分析得到标量场的凝聚$$\psi_+$$的维度为$$\Delta+1$$.

这样我们在最后输出结果的时候,可以把所有结果都表达成同样标度维度的量的比值的形式.这样的结果不依赖于具体标度的选取.

我们的上述方程的解依赖于一个参数,比如在解的时候取定视界半径为$$r$$,而取这个参数为$$\rho$$.由于视界半径是一定的,黑洞的质量和温度就被确定下来了.

在具体计算中,我们需要计算物理量随着温度的变化.为此我们考虑标度不变量$$T/\rho^{\frac{1}{3}}$$.我们知道一个$$\rho$$变化而温度$$T$$不变的系统的运动方程和一个温度$$T$$变化而$$\rho$$不变的系统完全等价,换言之,这样我们把一个变化$$\rho$$的运动方程的解表达为$$\rho$$一定,温度变换的运动方程的解.

这部分讨论参见PRD 79, 045010 (2009)一文,Eq.(11)下面一段的分析.

Eq.(16)

这是在边界上场论的格林函数的定义,其实Holowitz文中Eq.(7)有错,应该是这个表达式.

Holographic Superconductors with Various Condensates, by Gary T. Horowitz, Matthew M. Roberts, arXiv:0810.1077
Eq.(7)

这是在边界上场论的格林函数的定义,其实这个表达式有错,应该是$$\frac{A'_x}{A_x}$$.按无穷远处(边界上)的渐进行为Eq.(8)即得Eq.(9).这样就得到了电导率和格林函数的关系.又参见Horowitz的Introduction一文的Eq.(18).

在生成泛函中,因为矢势和四电流耦合,所以生成泛函对矢势时间分量的偏导的系综平均得到电荷密度,而对矢势空间分量的偏导的系综平均得到电流密度.因为这个原因,引入的外源分别在计算静态凝聚时是矢势的零分量,得到的体系净电荷不为零;而在计算电导率时引入矢势的空间分量,在体系中引入微小的电流.

复电导率的实部和电导性能有关,当趋近于无穷大的时候对应超导.其对应的格林函数的极点和激发的准粒子的质量有关.

另外,对于化学势的叫法,我们指出,按arXiv:1409.3575一文P.144注脚,这里化学势是在称呼与电荷密度共轭的物理量.而在arXiv:0809.4870一文Eq.(6-8)附近的讨论指出巨正则系综的化学势就对应矢势的零分量.

Fig.2

对所有四个图,在频率为零时,电导率为$$\delta$$函数,电导率实部(实线)函数值为无穷大这样对应体系的超导态.这时电导率的虚部趋近于无穷大对应极点.这里实部和虚部的关系式满足任何解析函数的特性,参见Introduction一文的Eq.(22)

值得注意的是,$$\omega \rightarrow 0$$对应最重要的频率为零时的直流电导率.但这里数值计算是无法得到实部对应的非常尖锐的$$\delta$$函数的,但是虚部对应的$$1/\omega$$的极点是可以被观察到的.

对于右上方的图,虚部出现了第二个极点(在极点两侧函数区域分布趋于正负无穷大),实部出现了相应的$$\delta$$函数.在两个极点之间的电导率实部为零,故完全不导电.其他三个图虽然有的没有出现第二个在实轴上的极点,但是也出现了电导率实部为零的绝缘区域.这时我们利用格林函数的极点对于准粒子质量的物理意义,这里两个无限寿命的粒子的激发态之间的能量差就是频率的差$$\omega_g-0=\omega_g$$.

但是这个在准粒子态之间跃迁的过程并不是BCS理论的物理图景,因为第二个准粒子态是一个超导态.而BCS理论对应的是普通导电态.

这是看左下图.这是虚部有一个极小点,实部有一点点像$$\delta$$函数.这实际上是因为极点这时极点是在$$\omega$$的复平面上,当$$\omega$$在实轴上经过时,只能感受到一个极值,而非极点.如果被激发到这个极点,对应的电导率实部为有限的数值,所以是普通导体.因为极点在复平面上,对应的粒子是一个有限寿命的共振态.

温度在临街温度以上的时候,电导率为常数.见Introduction一文的Fig.3.这是可以理解为极点在离开实轴很远的地方,这时体系在共振态之间演化,电导率的实部导致耗散.

Introduction to Holographic Superconductors, by Gary T. Horowitz, arXiv:1002.1722v2
Eq.(18)

这里给出电导率从电矢势角度的推导.

Eq.(22)

这里实部和虚部的关系式任何解析函数满足的,推导参见维基页的证明 如果做代换$$\omega\rightarrow\omega_0, \omega'\rightarrow\omega'_0$$容易说明对实轴上任何位置,实部和虚部都满足$$\delta$$函数和极点的关系.

The AdS/CFT Correspondence and a New Positive Energy Conjecture for General Relativity, by Gary T. Horowitz and Robert C. Myers, arXiv:hep-th/9808079
这个工作讨论AdS空间的(正)能量条件问题.其中提出了一个AdS空间的孤子解,其能量为负.这个孤子解背景被很多以后的作者用于研究拓扑超导和超流问题.

我们这里对这个孤子解给出最简单的讨论.首先这个解被称为孤子解的主要原因在于其能量为负,故小于对称性最高的等曲率纯AdS空间的能量,后者按文章中的定义为零.

接着,为了避免锥形奇点,这个孤子解变换到欧几里得空间中的时间坐标是具有周期性的.这点可以参考这篇综述(3.14)附近的讨论.文中指出,在变换到欧几里得坐标后,具有周期性的坐标是因为它对应了极坐标下的角度坐标,这样在圆锥顶点就可能产生奇点.另外按量子统计,周期性的虚时是和温度的倒数对应的.

Colorful Horizons with Charge in Anti–de Sitter Space, by Steven S. Gubser, arXiv:0803.3483
这是另一篇在拓扑超导和超流计算中被经常使用的时空背景,它同样是涉及有对称性自发破缺电磁场的情况.

物理上我们需要的是体内引力部分非阿贝尔局域规范U(1)的破缺,这对应边界场论中阿贝尔整体U(1)的破缺.在不考虑反作用的情况下,弯曲时空和U(1)局域规范场的耦合可以导致规范对称性的自发破缺,从而导致黑洞的超导,通过AdS/CFT对应性导致边界场论中的超导理论.

在这里,体内的部分考虑了SU(2)的自发破缺.场论中著名的例子是SU(2)的一个生成元$$\tau_3$$对应的U(1)变换并没有破缺,即把$$\tau_3$$作用在对称性破缺的真空上为零.而在这里Gubser提出了一个更一般的情况,即由于$$w\ne 0$$,电磁场U(1)对称性也破缺了,所以可能被用来研究拓扑超导态.

Supercurrent: Vector Hair for an AdS Black Hole, by Pallab Basu, Anindya Mukherjee, and Hsien-Hang Shieh, arXiv:0809.4494
这应该是拓扑超流模型的第一篇发表的工作.

这篇文章指出,超流态其实是超导态的一个形变解.这个形变解通过在超导态解中引入空间分量非零的规范场来实现,这个形变对普通非超导黑洞基态是无法类似实现的.

Holographic model of superfluidity, by C. P. Herzog, P. K. Kovtun and D. T. Son, arXiv:0809.4870v3
这篇文章从场论的角度研究了拓扑超流模型.是拓扑超流模型的最初工作.

The Many Phases of Holographic Superfluids, by Daniel Arena, Pallab Basu, and Chethan Krishnan, arXiv:1006.5165v2
这篇文章是下面启元文章的基础.

Holographic p-wave superfluid in Gauss-Bonnet gravity, by S. Liu, Q. Pan and J. Jing, arXiv:1610.02549
Eq.(8-10)

这里有三个方程,和超导的情况(两个方程)比,多了一个方程.

因为我们要求凝聚场的源为零,这个条件决定了一个变量,所以最终问题的解由两个参数决定.而在超导的情况,解只由一个参数决定,这个参数当时被取为温度.现在,这两个参数可以选取为温度和化学势.在文中,取为$$S_y,\mu$$.

Eq.(12)

由作用量的形式$$A\cdot j$$,"外源"和"场算符"的对应关系,外源标势$$A_t$$对应电荷密度,而矢势的一个分量$$A_y$$对应$$j_y$$,电流密度的对应分量.

在边界上场的通解包含外源和场算符的期待值,衰减慢的对应外源部分,衰减快的对应场算符的期待值部分.

按arXiv:1409.3575一文P.144注脚,这里化学势的叫法只是在称呼与电荷密度共轭的物理量而已.而按,arXiv:1006.5165的(2.12)下的讨论,超流速度的叫法是因为在凝聚态物理中,超流速度是被定义成凝聚(波函数)相位的梯度.而后者,参见该文(2.2)下面的讨论,可以在适当的度规变换下由矢势担当.

Eq.(14-16)

这里文中的on-shell是指表达式里的场是满足运动方程的解.潘启沅指出,将运动方程及其边界条件Eq.(11)代入即可得到这个结果.

自由能(不是巨势)的一个类似的推导见arXiv:1904.00428的Eq.(21-23)的讨论.

p-wave holographic superconductor in scalar hairy black holes, by D. Wen et al., arXiv:1904.00428
Eq.(21-23)

这里利用质壳上(场满足运动方程)的作用量来计算自由能.由文丹提供.

根据

\rho_\mu dx^\mu = \rho_x(r) dx, \\ A_\mu dx^\mu = A_tdt, \\ \rho_{\mu\nu}=D_\mu \rho_\nu -D_\nu \rho_\mu, \\ F_{\mu\nu}=\nabla_\mu A_{\nu} -\nabla_\nu A_{\mu} \\ $$ 可知非零分量有

\rho_{rx}=-\rho_{xr}=\rho'_x, \\ \rho_{tx}=-\rho_{xt}=-iqA_t\rho_x, \\ F_{tr}=-F_{rt}=-A'_t $$

根据度规和运动方程有

\sqrt{-g}=\sigma r^3, \\ \sigma(\infty)=1, \\ \frac{f}{\sigma}|_{r \to \infty}=1, \\ f(r_h)=0 ,\\ A_t(r_h)=0, \\ A_t=\phi(r)=\mu-\frac{\rho}{r^2}, \\ \rho_x(r) = \frac{\rho_{x-}}{r^{\Delta_-}}+\frac{\rho_{x+}}{r^{\Delta_+}} $$ 其中$$A_t(r_h)=0$$是为了保证$$g^{\mu\nu}A_\mu A_\nu$$在视界上不发散.

该巨正则系综的自由能为$$\Omega=-\mathit{T}\mathcal{S}_{os}$$,其中$$\mathcal{S}_{os}$$为质壳上的作用量.

\mathcal{S}_{os}=\frac{1}{16\pi G}\int dtdxdydzdr \sqrt{-g} \big[ -\frac{1}{2}\nabla_{\mu}(A_\nu F^{\mu\nu}) -\nabla_{\mu}(\rho^\dagger_\nu \rho^{\mu\nu}) +\frac{1}{2}A_\nu \nabla_{\mu}F^{\mu\nu} \big] =\frac{V_3}{16\pi GT} \int dr \left[ -\frac{1}{2}\partial_r(\sqrt{-g} A_\nu F^{r\nu}) -\partial_r(\sqrt{-g} \rho^\dagger_x \rho^{rx}) +\frac{\sqrt{-g}}{2}A_\nu \nabla_{\mu}F^{\mu\nu} \right] \label{actionOS1} $$ 其中$$\int dtdxdydz=V_3/\mathit{T}$$,为了方便计算中将因子$$16\pi G$$略掉了. 对式中积分的三项分别计算如下



\int dr \left[ -\frac{1}{2}\partial_r(\sqrt{-g} A_\nu F^{r\nu}) \right]=-\frac{1}{2}\left[ \sigma r^3A_tg^{rr}g^{tt}A'_t |_{r \to \infty} -\sigma r^3A_tg^{rr}g^{tt}A'_t |_{r \to r_h} \right]  \\ =-\frac{1}{2}\left[ \sigma r^3A_tg^{rr}g^{tt}A'_t |_{r \to \infty} \right] \\ =\frac{1}{2} \frac{r^3}{\sigma}(\frac{2\mu\rho}{r^3}-\frac{2\rho^2}{r^5})|_{r \to \infty}   \\ =\mu\rho $$ 其中第二步等号用到,度规的具体形式$$g^{tt}=-r^2f, g^{rr}=\frac{\sigma^2}{r^2f}$$,以及$$A_t(r_h)=0$$,除了这个因子外表达式不发散,故在视界上的边界值为零.而最后一步用到$$\sigma(\infty)=1$$



\int dr \left[ -\partial_r(\sqrt{-g} \rho^\dagger_x \rho^{rx}) \right]=-\left[ \sigma r^3\rho_xg^{rr}g^{xx}\rho_{rx}|_{r \to \infty}-\sigma r^3\rho_xg^{rr}g^{xx}\rho_{rx}|_{r \to r_h} \right] \\ =-\left[ \frac{r^3f}{\sigma}\rho_x\rho'_x|_{r \to \infty} -\frac{r^3f}{\sigma}\rho_x\rho'_x|_{r \to r_h} \right] \\ =-\frac{r^3f}{\sigma}\rho_x\rho'_x|_{r \to \infty} \\ = 0 $$ 其中第三步等号用到$$f(r_h)=0$$,最后一步用到$$\frac{f}{\sigma}|_{r \to \infty}=1 ,\rho_x\rho'_x \sim r^{-(2\Delta+1)}, (\Delta>1)$$



\int dr \left[ +\frac{\sqrt{-g}}{2}A_\nu \nabla_{\mu}F^{\mu\nu} \right]=\int dr \left[ \frac{1}{2}A_t\partial_r (\sqrt{-g}F^{rt}) \right] \\ =\int dr \left[ \frac{1}{2}A_t\partial_r (\sigma r^3g^{rr}g^{tt}A'_t) \right] \\ =\int dr \left[ \frac{1}{2}A_t\partial_r (-\frac{r^3}{\sigma}A'_t) \right]  \\ =-\int dr \left[ \frac{r^3A_t}{2\sigma}(A''_t+\frac{3}{r}A'_t-\frac{\sigma'}{\sigma}A'_t) \right]  \\ =-\int dr \left[ \frac{r^3A_t}{2\sigma}\frac{2\sigma^2\rho^2_xA_t}{r^4f} \right] \\ =-\int dr[\frac{\sigma}{rf}\rho^2_xA^2_t] $$ 其中倒数第二步等号代入了场的运动方程.

综上则有

\mathcal{S}_{os}= \frac{V_3}{16\pi GT}\big( -\frac{1}{2}\sqrt{-h}n_r A_\nu F^{r\nu}|_{r \to \infty} -\sqrt{-h}n_r \rho^\dagger_\nu \rho^{r\nu}|_{r \to \infty} + \frac{1}{2}\int^{\infty}_{r_h}dr\sqrt{-g} A_\nu \nabla_{\mu}F^{\mu\nu} \big) = \frac{V_3}{16\pi GT}\left[ \mu\rho -\int^{\infty}_{r_h}dr \frac{\sigma\rho^2_x\phi^2}{rf} \right] $$

于是得到超导相中的自由能表达式为

\frac{\Omega_S}{V_3}=-\frac{\mathit{T}\mathcal{S}_{os}}{V_3}=-\mu\rho +\int^{\infty}_{r_h}dr \frac{\sigma\rho^2_x\phi^2}{rf} $$

对正常相则有$$\rho_x=0$$,所以第二项为零.另外矢势零分量的精确解为$$A_t=\phi(r)=\mu-\frac{\rho}{r^2}$$,注意到在视界位置$$r_h=1$$的边界条件为$$A_t=0$$,则有$$\mu=\rho$$. 最后相应地自由能为

\frac{\Omega_N}{V_3}=-\mu^2 $$

本文档除了包括推导, 疑惑 外,做 读书重点 的记录 $$$$