Lecture Notes of Gravitation Foundations and Frontiers by Padmanabhan

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Ch.8 Black Holes
(8.138)

注意到$$r^*$$在视界外就占据了$$(-\infty,+\infty)$$区间,故在视界内要去掉(8.138)对数中的绝对值,而由对应的负号得到新增的一项$$\ln(-1)=\ln e^{i\pi}=i\pi$$.这样,如书中指出的,在计算
 * $$UV=-e^{(v-u)/4M}=-e^{r^*/2M}$$

中指数上额外的一项得到因子$$e^{i\pi}=-1$$.故如书中所述,在视界内$$UV>0$$视界外$$UV<0$$.

(8.142)

某矢量与曲面正交是指它正比于曲面的法向量,因为由曲面方程$$U=f(u,v)=-e^{-u/4M}=0$$,类似这个stackexchange的计算易知曲面的法向量的协变分量为$$n_\mu=(\frac{\partial f}{\partial v}, \frac{\partial f}{\partial u})=(0, e^{-u/4M}/4M)$$,由度规的具体形式,这与的确与(8.142)的逆变分量$$\left(\frac{\partial}{\partial v}\right)^\mu=(1, 0)$$,即1形式的(逆变)坐标分量成正比.

而与曲面相切是指它与曲面的法向量正交,零矢量显然与自身正交.而法向量为零矢量的曲面就是零曲面.

(8.143-144)

这个表达式有些 奇怪 ,一个更为直接了当的证明参见这个stackexchange问题.注意到上述证明中,零矢量对整个流形成立,而这里仅对视界成立.

这里,按书中的定义$$l_a=\mu\partial_a S$$,$$l^a=\frac{1}{\mu}\frac{dx^a}{d\lambda}$$.这样,按曲面的定义,$$l^2=l_a l^a=\frac{dS}{d\lambda}=0$$. 另外,我们知道$$\frac{1}{\mu}l_a$$是由标量对逆变坐标求导得到协变矢量,从而有
 * $$\nabla_m(\frac{1}{\mu}l_a)=\nabla_a(\frac{1}{\mu}l_m)$$

这样显然
 * $$\nabla_m(\frac{1}{\mu}l^a)=\nabla^a(\frac{1}{\mu}l_m)$$

由此
 * $$l^a\nabla_a l^m=l^a\nabla_a (\mu\frac{1}{\mu}l^m)=\mu l^a\nabla_a (\frac{1}{\mu}l^m)-\frac{1}{\mu}l^m l^a\nabla_a (\mu)=\mu l^a\nabla^m (\frac{1}{\mu}l_a)-\frac{1}{\mu}l^m l^a\nabla_a (\mu)=\mu l^a l_a\nabla^m (\frac{1}{\mu})+l^a\nabla^m (l_a)-\frac{1}{\mu}l^m l^a\nabla_a (\mu)=-l^2 \nabla^m \ln\mu+\frac12\nabla^m l^2-l^m l^a \nabla_a (\ln\mu)=-l^2 \partial^m \ln\mu+\frac12\partial^m l^2- \left[\frac{d}{d\lambda}(\ln\mu)\right]l^m$$

注意到$$l^2=0$$仅在视界上成立,故略去$$\partial^m l^2$$的条件是导数的方向是在视界上.这与文中的说法一致.

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