Lecture Notes of Quantum Mechanics by Ru-Keng Su

Lecture Notes on Quantum Mechanics by Ru-Keng Su

本文档除了包括推导, 疑惑 外,做 读书重点 的记录

Ch.1 量子论基础
P.2 (1.1.4) Rayleigh-Jeans公式的推导.原则上,该公式的推导与(1.2.6)的唯一的区别是光子能量的量子化.公式的推导首先按电子波的边界条件给出波数和频率满足的关系.该关系和波函数的箱归一化的结果一致,它是


 * $$\begin{align}

&E=E_0 sin(\frac{n_1\pi x}{L})sin(\frac{n_2\pi y}{L})sin(\frac{n_3\pi z}{L})sin(\frac{2\pi ct}{\lambda}) \\ &n_1^2+n_2^2+n_3^2=\frac{4L^2}{\lambda^2} \end{align}$$ 列数这样的状态的态密度的最简单的办法是先考虑某频率(球)内的态的总数(实际上是1/8的球体积,或者球的半径对应体系线度的一半),然后对频率求导.由于对每个经典状态对应一个振子,按经典统计力学的能均分定理,每个振动自由度对能量的贡献是$$ kT $$,再考虑光子的自由度为2,即得结果.

P.9 (1.3.1) 这里定态条件实际上是经典力学结论的量子化.按经典力学中的最小作用原理(并非最小作用量原理),如果保持起点和终点的坐标固定,考虑所有满足能量守恒的路径,那么真实路径满足条件


 * $$\begin{align}

\oint p dq = const. \end{align}$$

具体证明参见比如Goldstein 2nd Ed. P.368 (8-80).Sommerfeld定态条件把常数定为某个最小单位$$ \hbar $$的整数倍.

Ch.5 近似方法
P.177 (5.1.19) 这里的讨论其实是来源于Landau一书,因为按波函数的完备性,波函数的展开系数不必为实数,故而有此结论.注意到被微扰能级的二阶展开系数并非平庸,为(5.1.30).类似的思路出现在Griffinths一书的讨论中,在一阶微扰的波函数中直接扣除被微扰能级的零级波函数分量.

而实际上,被微扰能级的一阶展开系数并不影响能量的二阶修正.因为(5.1.26)的右边的第一项求和包含有被扣除的那项,这一项又正好与接下来的一项抵消.比如,在Schiff量子力学一书中就没有具体讨论这个系数,仅仅提到需要用波函数的归一条件确定.

Ch.11 相对论量子力学
P.412 (11.1.14-15)

这两式子多了对时间的两次导数,似乎有误.但是(11.1.16)之后结果都没问题.

P.432 (11.6.27) 本书这里开始讨论一般的中心力场中狄拉克方程的守恒量和角度部分解的形式,进而得到径向部分上下分量的方程.仔细阅读的话,书中的推导足够详细.