Research Paper Notes on Phase Space Integral

Research Paper Notes on Phase Space Integral

本文档除了包括推导, 疑惑 外,做 读书重点 的记录 $$ $$

文献列表

 * Phys. Rev. Lett. 54, 510 (1985) Single-Particle Momentum Distribution at High Energies and Concept of Partition Temperature. by T.T. Chou, Chen Ning Yang, E. Yen


 * Phys. Rev. D 46, 160 (1992) Semi-inclusive rapidity distribution and a critical analysis of the concept of partition temperature. by Yogiro Hama, Michael Plumer


 * Phys. Rev. D 87, 114007 (2013) Tsallis fits to pt spectra and multiple hard scattering in pp collisions at the LHC. by Cheuk-Yin Wong, Grzegorz Wilk

Phys. Rev. Lett. 54, 510 (1985) Single-Particle Momentum Distribution at High Energies and Concept of Partition Temperature.
这里的一个重要的思想是系综的微正则分布导致单粒子的统计分布.

本文档除了包括推导, 疑惑 外,做 读书重点 的记录 $$ $$

Phys. Rev. D 46, 160 (1992) Semi-inclusive rapidity distribution and a critical analysis of the concept of partition temperature.
本工作就是上面杨振宁一文思想的具体数学推导.具体可以参考Yogiro的详细推导手稿

本文的物理思想是,从微正则系综和粒子数守恒出发能够一般的得到正则系综从而单粒子分布具有温度的概念. 这里通过一个相对论重离子碰撞中粒子分布的具体计算,得到解析的结果,并和实验数据分析对照确认推导的合理性.

(1.1-1.2)

本文的主要内容就是从微正则系综(1.1)出发,利用单粒子分布的具体形式(2.11)和能量动量粒子数守恒律,得到(1.2),并给出温度的具体形式(2.23).

(2.1)

这里已经考虑了粒子数守恒,等式右边剩余的守恒律由三个$$\delta$$函数承载,之后改写为(2.5-2.6)中的三个指数积分. 本文的核心技术难点,和所体现的Yogiro的过人的数学功底,就蕴含于完成这些积分中所涉及的复变函数技巧.

(2.4-2.6)

这里的数学推导参见附录(A1-A5)的笔记.

文中(位于(2.9)下方的讨论)指出,比值(2.4)不依赖与$$\beta$$.因为如果依赖的话,那么本文的结果就相对依赖于假设(2.11). 而结果的一般性主要体现在本文的结果不依赖于(2.11)的具体形式.

具体考虑分子分母的形式.比如分子是粒子占有数$$n_k$$的加权平均值.每个权重是一个指数函数的积分,其中指数上涉及$$\beta$$的项为
 * $$\prod_l \left(\exp(-\beta\sqrt{p_{Tl}^2+m^2}\cosh y_l)\right)^{n_l}

=\prod_l \left(\exp(-\beta E_l)\right)^{n_l} =\exp\left(-\sum_l \beta {n_l}E_l\right) =\exp(- \beta W)$$ 其中最后一步是因为能量守恒的$$\delta$$函数. 具体的,我们指出能量守恒来自于对(2.4)分子分母中对$$s$$的积分,这个积分因子在分子和分母中的形式一样,虽然在分子中没有对指定动量空间态$$dydp_T$$积分. 由于上述能量守恒,剩余的和$$\beta$$有关的因子在分子和分母中也是一样的,虽然分子中有一个因子处于$$f(y,p_T)$$中,而剩余的$$(n-1)$$个因子处于$$[F(s,t,u_T)]^{n-1}$$之中. 综上,不难注意到这个与$$\beta$$有关的因子对分子和分母是一样的.所以最后结果严格的与$$\beta$$无关.但是正如Yogiro指出的,做了近似后的结果是可能与$$\beta$$有关的,但是不应该敏感的依赖于$$\beta$$.

(2.7)

首先指出一个记号上的细节. 这里(2.7)中对变量的积分$$\int dydp_T$$和被积函数中的变量$$(y, p_T)$$是哑元,积分是对动量状态空间的求和. 这是因为按而(A4)笔记的推导,(2.5-6)中的变量$$(y, p_T)$$是指特定动量空间状态$$k$$,只是在相应表达式中略去了指标$$k$$而已.

指数上有因子$$-(s \cosh y-t \sinh y)$$并对$$y$$积分. 为了这个积分收敛,指数上的实部需要为负数. 因为$$y$$是实数,$$\cosh y, (\cosh y-\sinh y)$$都是正定的,故一个充分条件是$$s$$的实部要大于$$t$$的实部,即$$\epsilon_0 > \epsilon_1$$.

我们接着从另一个角度,在讨论积分收敛的问题. 注意到在表达式$$A,B$$中对$$s$$的积分,指数上$$s$$前面的系数是负定的,而原始的积分是在虚轴上的.比较约当引理的证明,原始的积分是在实轴上,而指数上被积变量前的系数是纯虚数$$ia$$,其中$$a$$为正数或者负数决定了积分可以从实轴的上方或者下方绕行.按证明约当引理的思路,我们知道$$s$$在虚轴上的积分可以在虚轴的右侧(实轴正方向)的大圆上绕行.

对$$t$$的积分情况更复杂,因为$$\sinh y$$为实数但符号不确定,一般的证明并不是很显然. 但是我们可以退而求其次,利用之前的思路,考虑$$t$$在大圆上绕行的积分与对$$s$$在大圆上绕行的积分有某种依赖关系,只要能够保证在大圆上的两个积分路径上指数的实部始终小于零,那么在大圆上的绕行就是可行的.

(2.8-2.10)

这里不考虑横动量守恒,从而对$$u_T$$的积分看成$$du_T \rightarrow \delta(u_T)du_T$$. 从(2.5-2.6)到(2.8-2.9)的推导是显然的,基本就是将$$u_T=0$$代入.

(2.11)

Yogiro指出,这里的第二项只是为了有效的斩断横动量,因为对于jet而言,粒子(相对于jet方向垂直)的横动量非常小,可以视为零.

(2.13-2.15)

这里(2.13)就是将(2.11)代入(2.7),对$$y$$积分后即得(2.14).

对后者,我们利用(2.15)可对指数化简得
 * $$-\left[\delta+(\beta+s)\cosh y-t\sinh y\right]\sqrt{p_T^2+m^2}

=-\left[\delta+\eta\cosh\zeta\cosh y-\eta\sinh\zeta\sinh y\right]\sqrt{p_T^2+m^2} =-\left[\delta+\eta\cosh(\zeta- y)\right]\sqrt{p_T^2+m^2}$$

注意到变形贝塞尔函数的积分表示
 * $$K_a(x)=\int_0^\infty e^{-x\cosh t}\cosh at dt$$

我们有
 * $$F(s,t)=\alpha\int_{-\infty}^\infty dy\int dp_T^2 \exp\left\{-\left[\delta+\eta\cosh(\zeta- y)\right]\sqrt{p_T^2+m^2}\right\}

=\alpha\int dp_T^2\exp(-\delta \sqrt{p_T^2+m^2}) \int_{-\infty}^\infty dy \exp\left\{-\eta \sqrt{p_T^2+m^2}\cosh(\zeta- y)\right\} =\alpha\int dp_T^2\exp(-\delta \sqrt{p_T^2+m^2}) K_0\left(\eta \sqrt{p_T^2+m^2}\right)$$
 * $$=\alpha\int d\left(p_T^2+m^2\right)\exp(-\delta \sqrt{p_T^2+m^2}) K_0\left(\eta \sqrt{p_T^2+m^2}\right)

=\alpha\int_0^\infty d\left(\epsilon^2\right)\exp(-\delta \epsilon) K_0\left(\eta \epsilon\right) =4\pi\alpha\int_0^\infty \epsilon d\epsilon\exp(-\delta \epsilon) K_0\left(\eta \epsilon\right)$$ 其中$$\epsilon\equiv \sqrt{p_T^2+m^2}$$,两维矢量的平面积分$$\int dp_T^2=\int d\theta p_Tdp_T=2\pi\int p_Tdp_T$$.

(2.16)

这里的数学推导参见附录(B3-A7)的笔记.

(2.17-2.19)

这是本文解析计算最为出彩的部分,充分展现Yogiro的功力.具体推导参见附录(C2-C13)的笔记.

(3.1)

按(2.22)对$$p_T$$部分积分,考虑零质量$$y=\eta$$,$$p_T=m_T$$,$$m\delta=0$$,由(2.22):


 * $$\frac{dn}{d\eta}=\frac{dn}{dy}

\propto \delta^2\int 2\pi p_T dp_T \exp(-\delta p_T) \exp(-p_T \cosh y/T_p) =\delta^2\int 2\pi p_T dp_T \exp(-\delta p_T) \exp(-p_T \cosh y/T_p) = \delta^2 2\pi \int p_Tdp_T \exp[-(\delta+\cosh y/T_p)p_T] = \delta^2 \frac{\partial}{\partial a} \int dx \exp(-a x) = \delta^2 \frac{1}{a^2} =\frac{1}{(1+\cosh y/\delta T_p)^2}$$

其中定义$$a=\delta+\cosh y/T_p$$.

(3.2)

这里因子$$2$$来源于两阶导数,$$T_p$$来自$$\delta^2$$没有消去的部分,由于积分中$$E=p_T \cosh\eta$$,似乎分子分母上都是除以$$\cosh^2\eta$$.

Table I

按CYY一文的计算采用的$$\langle p_T(0)\rangle$$和$$W$$,(2.23)得到的结果与CYY的拟合得到的结果很吻合.

这里最后三列,分别是通过实验数据得到的$$\langle p_T(0)\rangle$$和通过对$$dn/d\eta$$积分到入射能量决定的最大快度而得到的与CYY不同的jet的总能量$$W$$,来计算$$T_p$$,得到很不一样的结果.

(A1-A2)

这里文中只给出(2.4)的分子(2.5)推导的主要步骤,而分母(2.6)的推导是类似的. 首先注意到$$\sqrt{p_T^2+m^2}\cosh y=E$$和$$\sqrt{p_T^2+m^2}\sinh y=p_L$$,以及对动量空间的划分数为$$l=1,2,\cdots N$$且$$N\to \infty$$,占有数任意. 公式中明确写出的$$p_T,y$$对应给定的动量空间态,这个态不是哑元,剩余动量空间的状态都可视为积分(2.7)中的哑变量$$dy dp_T$$. 因为例如纵向动量守恒导致因子
 * $$\exp\left[\left(\sum_l n_l \sqrt{p_{Tl}^2+m^2}\sinh y_l\right)t\right]=\prod_l \exp\left[\sqrt{p_{Tl}^2+m^2}\sinh y_l t\right]^{n_l}$$

这与$$q_l^{n_l}$$的形式合并,并注意到所有的可能的求和具有形式$$\prod_{l=1}^N \sum_{n_l}$$,即得(A2)的结果.

除此以外,注意到分子$$A$$中涉及一个额外因子$$n_k$$. 注意到下标$$k$$是给定的,但是这个状态的占有数$$n_k$$(其实不管是分子还是分母都)是一个被求和的哑元. 当$$n_k=0$$时,对应的求和贡献为零. 而在其他情况下,(A2)等式右边最后因子的分母被替换为$$(n_k-1)!$$,求和从$$n_k=1$$开始,故实际计算中相当于换元为$${n_k}'=n_k-1$$从零开始求和. 这时只要相应修改(A2)等式右边最后因子的分子. 我们需要提出一个额外的因子$$q_k\exp\left[-E_k s + p_{Lk}t+ip_{Tk}\cdot u_{T}+iv\right]$$. 不难注意到,这正是(A2)第一行等式右边那些额外的因子.

(A4)

首先注意到$$E_k=E_{l=k}$$.

考虑$$a_l=q_l \exp[-(E_l s \cdots)+i p_{Tl}\cdot u_T+iv]$$,分子相当于计算
 * $$\prod_l \sum_{n_l} n_k \frac{a_l^{n_l}}{n_l !}

=a_k \frac{\partial}{\partial a_k}\prod_l \sum_{n_l} \frac{a_l^{n_l}}{n_l !} =a_k \frac{\partial}{\partial a_k}\prod_l \exp(a_l) =a_k \prod_l \exp(a_l) =a_k \exp\left(\sum_l a_l\right)$$

比较(A4)的右边,等式第二行的因子正是$$a_k$$,下标$$k$$被省略了因为其余下标都被积分. 另外求和在连续极限下称为对状态空间的积分. 具体的,对快度和横动量的积分$$\sum_l y_l p_{Tl}\to \int dy dp_T$$.

(A5)

其实这个表达式就是指数函数展开$$e^x=\sum_{l=0}^\infty \frac{x^l}{l!}$$,其中$$x=e^{iv}$$.

接着我们讨论对$$v$$的积分. 因为积分限为$$(0,2\pi)$$因为$$n$$和$$n_l$$都是整数,所以展开对象是周期函数.换言之,这里是傅里叶级数而非傅里叶积分. 利用(A5)的提示,得到:
 * $$\int_0^{2\pi} dv e^{-i(n-1)v}\exp[F e^{iv}]

=\sum_l \frac{F^l}{l!}\int_0^{2\pi} dv e^{-i(n-1-l)v} =\sum_l \frac{F^l}{l!}\delta(n-1-l) =\frac{F^{n-1}}{(n-1)!}$$

其中$$F$$由(2.7)定义.这样涉及粒子数守恒的积分问题首先被解决了. 这样就完成了(2.5)的证明,注意到分子上残余的因子来自$$n=\frac{n!}{(n-1)!}$$.

简述(2.6)的证明,其过程更为简单. 其核心部分的积分就是上述积分但被积函数指数上为$$n$$而非$$(n-1)$$,也不涉及$$a_k$$,但$$F$$形式不变.

(B3)

按文中所述把变形贝塞尔函数的自变量取为$$m\eta$$,以完成积分
 * $$\int_m^{\infty}\epsilon e^{-\delta\epsilon}d\epsilon

=-\frac{\partial}{\partial \delta}\int_m^{\infty} e^{-\delta\epsilon}d\epsilon =-\frac{\partial}{\partial \delta}\left[\left(-\frac{1}{\delta}\right)\left.e^{-\delta\epsilon}\right|_m^\infty\right] =-\frac{\partial}{\partial \delta}\left[\left(-\frac{1}{\delta}\right)\left(0-e^{-m\delta}\right)\right] =-\frac{\partial}{\partial \delta}\left(\frac{1}{\delta}\right)e^{-m\delta} =\left(\frac{1}{\delta^2}+\frac{m}{\delta}\right)e^{-m\delta}$$

(B4-B5)

这里(B4)相当于要求积分(B1)和平均值积分(B5)同时成立. 注意到等式(B5)严格成立,在此意义下,$$\langle\epsilon\rangle$$是一个比$$m$$更准确的近似.

(B6-B7)

这里(B6)的第一步等式就是把(B4)减号前后的两项分别放在等式两边. 第二步等式利用部分积分
 * $$d\epsilon e^{-\delta\epsilon}\epsilon\ln\epsilon

= -d\left[\left(\frac{1}{\delta^2}+\frac{\epsilon}{\delta}\right)e^{-\epsilon\delta}\right] \ln\epsilon$$.

部分积分法的第二部分含有两个积分
 * $$\int\left[\left(\frac{1}{\delta^2}+\frac{\epsilon}{\delta}\right)e^{-\epsilon\delta}\right] \frac{1}{\epsilon}d\epsilon

=\int \frac{1}{\epsilon\delta^2}e^{-\epsilon\delta}d\epsilon+\int\frac{1}{\delta}e^{-\epsilon\delta}d\epsilon =\int \frac{1}{\epsilon\delta^2}e^{-\epsilon\delta}d\epsilon-\frac{1}{\delta^2}e^{-\epsilon\delta} =\int \frac{1}{\delta^2}\frac{1}{\epsilon\delta}e^{-\epsilon\delta}d(\epsilon\delta)-\frac{1}{\delta^2}e^{-\epsilon\delta}$$.

其中第一个积分的定积分结果给出最后表达式中的Ei,即指数积分. 注意到按定义,指数积分整个表达式之前有个负号,其自变量含有一个额外的负号. 第二个积分代入上下限后会得到一个额外的负号. 最后(B7)就是(B6)的代数结果.

(C1-C2)

首先,由(2.15)给出的坐标变换$$(s,t)\to(\eta,\zeta)$$(其中$$\beta$$是常数)对应的雅克比为
 * $$dtds

=\left|\mathrm{Det}\left(\frac{\partial(s,t)}{\partial(\eta,\zeta)}\right)\right|d\eta d\zeta =\begin{vmatrix}\frac{\partial s}{\partial \eta}&\frac{\partial s}{\partial \zeta}\\\frac{\partial t}{\partial \eta}&\frac{\partial t}{\partial \zeta}\end{vmatrix}d\eta d\zeta =\begin{vmatrix}\cosh \zeta&\eta\sinh \zeta\\\sinh \zeta&\eta\cosh \zeta\end{vmatrix}d\eta d\zeta =\eta d\eta d\zeta$$.

将(C1)和(2.15)代入,(2.10)指数因子得到
 * $$Ws-P_L t

=M\cosh Y(\eta\cosh\zeta-\beta)-M\sinh Y(\eta\sinh\zeta) =M\eta\cosh (Y-\zeta)-M\cosh Y\beta$$.

除了换元外,最关键的部分是对应新变量$$(\eta, \zeta)$$的积分路径. 这在下面(C3)和Fig.1的笔记中给出具体讨论.

(C3) & Fig.1

这里的关键是换元后积分路径在复平面的形式. 按之前(2.7)的笔记,换元之前变量$$(s, t)$$的积分路径在(A2)中给出,其中$$\epsilon_0>\epsilon_1$$,通过分析,换元后的变量$$(\eta, \zeta)$$的积分路径在(C2)中给出,其中$$\eta$$的积分路径与虚轴平行,其实部$$a>0$$,而$$\zeta$$的积分路径是一根复平面上的曲线,其实部与虚部的关系由Fig.1给出. 下面,基于Yogiro的详细推导手稿,我们对上述结论的推导给出具体分析.

在具体分析之前,我们先给出推导大致思路和结论.接着逐项给出具体计算过程:

(1)对变量$$(s, t)$$的复平面积分路径,由(A2),是沿着平行于虚轴的方向,故这个积分只涉及到两个自由参数,对应$$(s, t)$$. 原则上,在变换以后,对变量$$(\eta, \zeta)$$的积分,按(C2)和Fig.1,也应该只包含两个自由参数.

(2)一方面,从变量$$(s, t)$$的积分路径出发,我们可以得到对变量$$(\eta, \zeta)$$的积分路径. 另一方面,我们需要证明,按(C2)和Fig.1按(2.15)的给出的路径,它正确的给出了变量$$(s, t)$$的积分路径. 从下面的分析我们发现,与从变量$$(\eta, \zeta)$$到变量$$(s, t)$$的映射,与从变量$$(s, t)$$到变量$$(\eta, \zeta)$$的映射,并不是简单的逆映射关系. 为了展开具体分析,我们通过把所有的复数都写成(实数)分量的形式.我们引入
 * $$s=\epsilon_0+ i S$$
 * $$t=\epsilon_0+ i T$$

以及
 * $$\eta=a+i b$$
 * $$\zeta=\alpha+i\gamma$$

对变量$$(s, t)$$,两个自由参数是$$(S, T)$$,对变量$$(\eta, \zeta)$$,两个自由参数是$$(b, \alpha)$$,而$$\gamma=\gamma(a,b,\alpha)$$,$$a=a(b)$$也都是根据需要决定的函数. 我们要证明,由参数$$(b\in(-\infty,+\infty), \alpha\in(-\infty,+\infty))$$的变化所决定的空间完全覆盖由参数$$(S\in(-\infty,+\infty), T\in(-\infty,+\infty))$$所决定的空间. 同时,$$\zeta$$的虚部$$\gamma$$对其实部$$\alpha$$的依赖满足Fig.1给出的形式.

(3)在此基础上,我们用换元法,完成对$$\zeta$$的积分,用鞍点法完成对$$\eta$$的积分.

更为具体的推导和讨论如下:我们尝试考察曲线$$(b(S,T),\alpha(S,T))$$是否能够填满$$(S, T)$$构成的两维平面.

(I)首先,我们通过改变$$(S,T)$$来讨论对应的$$(\eta,\zeta)$$的变化.

(I.a)我们先尝试分析$$\eta$$在复平面的路径. 按上述坐标变换的关系,我们有
 * $$\eta=a+i b=\sqrt{(\beta+\epsilon_0)^2-\epsilon_1^2-(S^2-T^2)+2i[(\beta+\epsilon_0)S-\epsilon_1 T]}$$
 * $$\zeta=\alpha+i\gamma=\mathrm{arctanh}\frac{\epsilon_1 +iT}{\beta+\epsilon_0+iS}

=\mathrm{arctanh}\frac{(\beta+\epsilon_0)\epsilon_1 +ST+i[(\beta+\epsilon_0)T-\epsilon_1S]}{(\beta+\epsilon_0)^2+S^2} =\frac12\mathrm{arctanh}\frac{2(\beta+\epsilon_0)\epsilon_1 +2ST}{(\beta+\epsilon_0)^2+\epsilon_1^2+S^2+T^2} +\frac{i}{2}\mathrm{arctan}\frac{2(\beta+\epsilon_0)T-2\epsilon_1S}{(\beta+\epsilon_0)^2-\epsilon_1^2+S^2-T^2}$$ 上述推导中用到了把复自变量的反超三角函数的实部和虚部分开的关系,即
 * $$\mathrm{arctanh}(x+iy)=\frac{1}{2}\mathrm{arctanh}\left(\frac{2x}{1+x^2+y^2}\right)+\frac{i}{2}\arctan\left(\frac{2y}{1-x^2-y^2}\right)$$

其中$$x,y$$是实数, 它的具体推导可以参考这个stackexchange问题.

(I.b)在上面结果的基础上,我们从各个不同的极限条件出发论证两组自由参数对两维空间的覆盖.

首先,在第一和第三象限的对角线上,$$T=S$$,利用上面结果,我们有
 * $$\eta=\sqrt{(\beta+\epsilon_0)^2-\epsilon_1^2+2iS(\beta+\epsilon_0-\epsilon_1)}

=\sqrt{(\beta+\epsilon_0-\epsilon_1)[(\beta+\epsilon_0+\epsilon_1)+2iS]} =\sqrt{(\beta+\epsilon_0-\epsilon_1)}\sqrt{(\beta+\epsilon_0+\epsilon_1)+2iS} =|\eta|e^{i\varphi_\eta}$$ 其中
 * $$|\eta|=\sqrt{(\beta+\epsilon_0-\epsilon_1)}[(\beta+\epsilon_0+\epsilon_1)^2+4S^2]^{\frac14}$$
 * $$\varphi_\eta=\frac12 \mathrm{arctan}\frac{2S}{\beta+\epsilon_0+\epsilon_1}$$

在原点,$$S(=T)=0$$,我们有
 * $$\varphi_\eta=0$$
 * $$|\eta|=a=\sqrt{(\beta+\epsilon_0)^2-\epsilon_1^2}=a_0>0$$

这时因为$$\eta$$幅角为零,为实数,它的实部按约定就是$$a=a_0$$是个常数. 我们指出,这个关于$$(S,T)$$原点的结果并非一定要沿着对角线趋于原点才能得到. 按$$\eta$$作为$$(S,T)$$函数的一般表达式,以任何形式逼近零点都将得到这个结果. 注意到这与之后从$$(\eta,\zeta)$$为出发点给出分析得到的结果很不一样,后者得到$$a=b=0$$的结论.

下面我们考虑无穷远处的点. 在第一和第三象限对角线的渐进无穷远处$$|S|\to+\infty$$,注意到$$\epsilon_0>\epsilon_1$$,我们有
 * $$\varphi_\eta\to\mathrm{sign}(S)\frac{\pi}{4}$$
 * $$|\eta|\to\sqrt{2(\beta+\epsilon_0-\epsilon_1)|S|}$$

就是沿着幅角为$$\varphi_\eta=\pm\frac{\pi}{4}$$的第一和第四象限的对角方向.

重复上面的推导,在第四象限对角线$$S=-T$$的渐进无穷远处$$S\to+\infty$$,重复上面的推导,我们有
 * $$\varphi_\eta\to\frac{\pi}{4}$$
 * $$|\eta|\to\sqrt{2(\beta+\epsilon_0+\epsilon_1)S}$$

类似的,在第二象限对角线$$S=-T$$的渐进无穷远处$$S\to-\infty$$,我们有
 * $$\varphi_\eta\to -\frac{\pi}{4}$$
 * $$|\eta|\to\sqrt{2(\beta+\epsilon_0+\epsilon_1)|S|}$$

综上,上述由$$T=S$$在第一和第三象限的对角线上得到模和幅角公式是普适的. 我们注意到,对于给定幅角为$$\varphi_\eta=\frac{\pi}{4}$$,即$$a=b>0$$,模趋于无穷大的$$\eta$$常数曲线渐进的逼近第一和第四象限的对角线. 同样的对于给定幅角为$$\varphi_\eta=-\frac{\pi}{4}$$,即$$a=-b>0$$,模趋于无穷大的$$\eta$$常数曲线渐进的逼近第二和第三象限的对角线.

显然,正如本人之前版本的笔记中所指出的,上述$$\eta$$常数曲线在无穷远处$$|\eta|\to\infty$$的渐进行为是不兼容$$\eta$$实部$$a$$有限的图像的. 实际上,上述图像的兼容必须要求$$\varphi_\eta=\pm\frac{\pi}{2}$$. 同时,上述结果似乎和极限情况下$$\eta$$常数曲线在$$(S,T)$$平面的实轴上的截距的结果矛盾. 因为,取$$T=0$$,同时考虑极限$$S\to\pm\infty$$,这时
 * $$\varphi_\eta\to \mathrm{sign}(S)\frac{\pi}{2}$$
 * $$|\eta|\to |S|$$

通过更为仔细的分析,我们发现必须对上述结果做出补充. 实际上,若不是严格在对角线上,而是考虑从靠近实轴的一侧无限逼近四个象限的对角线,即满足条件$$\left|\frac{S}{T}\right|\to 1_+$$. 那么,不难发现,实部不但并不是精确的被抵消,而且与虚部的比值趋于无穷大. 换言之,上述结论其实必须被修改为
 * $$\varphi_\eta\to\mathrm{sign}(S)\frac{\pi}{2}$$

另一方面,若是考虑从靠近虚轴的一侧无限逼近四个象限的对角线,即满足条件$$\left|\frac{S}{T}\right|\to 1_-$$. 那么,我们有
 * $$\varphi_\eta\to 0$$

考虑在$$S$$轴或者$$T$$轴上的情况. 比如在$$S$$轴上,我们可以在上述相关表达式中令$$T=0$$. 这样我们可以从所得的$$\eta$$的表达式中提取出它的实部$$a$$和虚部$$b$$. 我们注意到,即便进一步使用了后面的简化假设$$\epsilon_1=0$$,由此得到的结果与后面论述中得到的结果很不相同.

(I.c)接着我们尝试分析$$\zeta$$作为$$(S,T)$$的函数的性质. 按上面的结果,$$\zeta$$的实部$$\alpha$$满足关系
 * $$\alpha=\frac12\mathrm{arctanh}\frac{2(\beta+\epsilon_0)\epsilon_1 +2ST}{(\beta+\epsilon_0)^2+\epsilon_1^2+S^2+T^2}$$

在对角线上,如果直接代入$$S=T\to\infty$$,那么显然有$$\alpha\to\infty$$. 但是我们注意到$$S=T$$本身并不导致$$\alpha$$发散. 若$$(S,T)\to\infty$$但是$$\left|\frac{S}{T}\right|\ne 1$$,我们得到的$$\alpha$$并不会发散. 换言之,在有限远处的对角线上,$$(S,T,a,b,\alpha)$$都不发散,并不导致矛盾. 仅在趋于无穷远处时,由于趋近方式的选取,会导致表面上的矛盾.

考虑在$$S$$轴或者$$T$$轴上的情况. 当在任何一个轴上时,$$ST=0$$. 由$$\zeta$$的实部$$\alpha$$的表达式,并若考虑之后引入的简化假设$$\epsilon_1=0$$,我们得到$$\alpha=0$$. 我们注意到,当$$\zeta$$的实部$$\alpha$$为零时,并不能保证其虚部为零.

(II)接下来我们通过改变$$(\eta,\zeta)$$来分析对应的$$(S,T)$$的变化. 这个讨论大致分两方面.

(II.a)首先,我们对给定的$$\eta$$的前提下分析$$\zeta$$的路径. 为了方便起见,我们假设$$\epsilon_1=0$$,$$\epsilon_0>0$$. 实际上,考虑到含有$$\beta$$的指数积分,保证积分收敛需要满足条件$$\beta+\epsilon_0>0$$.

当表达为分量形式,我们有
 * $$\beta+s=\beta+\epsilon_0 +iS=\eta\cosh\zeta=(a\cosh\alpha\cos\gamma-b\sinh\alpha\sin\gamma)+i(b\cosh\alpha\cos\gamma+a\sinh\alpha\sin\gamma)$$
 * $$t=\epsilon_1+iT=\eta\sinh\zeta=(a\sinh\alpha\cos\gamma-b\cosh\alpha\sin\gamma)+i(b\sinh\alpha\cos\gamma+a\cosh\alpha\sin\gamma)$$

由假设$$\epsilon_1=0$$,我们得到
 * $$a\sinh\alpha\cos\gamma=b\cosh\alpha\sin\gamma$$
 * $$\tan\gamma=\frac{a}{b}\tanh\alpha$$

换言之
 * $$\cos\gamma=\frac{1}{\sqrt{1+\frac{a^2}{b^2}\tanh^2\alpha}}$$
 * $$\sin\gamma=\frac{a\tanh\alpha}{b\sqrt{1+\frac{a^2}{b^2}\tanh^2\alpha}}$$
 * $$\gamma=\mathrm{arctan}\left(\frac{a}{b}\tanh\alpha\right)$$

由条件$$\beta+\epsilon_0>0$$,我们有
 * $$a\cosh\alpha\cos\gamma-b\sinh\alpha\sin\gamma=\frac{a\cos\gamma}{\cosh\alpha}(\cosh^2\alpha-\sinh^2\alpha)=\frac{a\cos\gamma}{\cosh\alpha}>0$$

其中第一个等号利用了$$\epsilon_1=0$$的结果. 这样,我们得到
 * $$a\cos\gamma >0$$
 * $$-\frac{\pi}{2}<\gamma<\frac{\pi}{2}$$

实际上,直接利用$$\epsilon_1=0$$的结果,我们可以得到一个更准确的限制,
 * $$\tan\gamma=\frac{a}{b}\tanh\alpha=\mathrm{ctan}\varphi_\eta\tanh\alpha$$
 * $$|\tan\gamma|<|\mathrm{ctan}\varphi_\eta|=\tan\left(\frac{\pi}{2}-|\varphi_\eta|\right)$$
 * $$-\frac{\pi}{2}+|\varphi_\eta|<\gamma<\frac{\pi}{2}-|\varphi_\eta|$$

其中利用了$$\eta$$的幅角$$|\varphi_\eta|<\frac{\pi}{2}$$这个条件,我们将在后面给出更为具体的讨论. 另外,我们注意到$$\zeta$$的实部$$\alpha$$在上面不等式中的影响为$$\tanh\alpha$$. 一方面,当$$\alpha\to 0$$时,$$\gamma \to 0$$,这是之前没有得到的结果. 另一方面,当$$\alpha\to\pm\infty$$时,$$\tanh\alpha\pm 1$$,分别逼近上面得到的$$\zeta$$虚部的上下界. 这正是Fig.1给出的$$\zeta$$的积分路径.

(II.b)接着,我们系统性的讨论给定$$(\alpha, b)$$在范围$$(-\infty,+\infty)$$内变化时,对应的$$(s,t)$$的虚部$$(S,T)$$的取值变化. 我们有
 * $$S=b\cosh\alpha\cos\gamma+a\sinh\alpha\sin\gamma=b\sqrt{\cosh^2\alpha+\frac{a^2}{b^2}\sinh^2\alpha}$$
 * $$T=b\sinh\alpha\cos\gamma+a\cosh\alpha\sin\gamma=\frac{\left(a^2+b^2\right)\sinh\alpha}{\sqrt{b^2+a^2\tanh^2\alpha}}$$

考虑当$$\eta$$固定,我们取$$a>0$$,这样在虚轴右侧有
 * $$b>0,\alpha\to+\infty \left\{ \begin{matrix}S\to+\infty\\T\to+\infty\end{matrix}  \right.$$
 * $$b>0,\alpha\to-\infty \left\{ \begin{matrix}S\to+\infty\\T\to-\infty\end{matrix}  \right.$$

在此情况下,$$(S,T)$$分别处于第一和第四象限.

(II.c)下面我们讨论极限情况. 类似之前的讨论,我们再次分析$$(S,T)$$坐标对角线上的情况. 考虑第一和第四象限的对角线,我们令$$S=\pm T$$,不难得到
 * $$b^2\cosh^2\alpha+a^2\sinh^2\alpha=\pm (b^2+a^2)\sinh\alpha\cosh\alpha$$
 * $$b^2\cosh\alpha e^{\mp\alpha}\mp a^2\sinh\alpha e^{\mp\alpha}=0$$
 * $$\frac{b^2}{a^2}=\pm\tanh\alpha$$

这时对于给定的象限,$$\alpha$$符号确定,同时$$\pm$$也取确定值,等号右边的数始终是正的. 由此得到的$$b$$的解也是唯一确定的. 注意到$$|\tanh\alpha|<1$$,必须满足$$ba\\0_-,\ \mathrm{when}\ b<a\end{matrix}  \right.$$

注意到,这里我们不能轻易使用之前(I.b)中关于对角线上的分析的结果. 比如,令两种做法得到的$$\eta$$的幅角相等,即
 * $$\tan\varphi_\eta=\frac{b}{a}=\sqrt{\frac{2S}{\beta+\epsilon_0+\epsilon_1}}$$

加上上式,我们就可以通过消去$$a$$得到$$\eta$$常数曲线上的依赖关系$$S=S(b)$$,但同时也能得到依赖关系$$a=a(b)$$. 特别的,如果取$$\epsilon_1=0$$,通过之前的分析我们知道$$(S,T)$$的原点对应$$\eta=a=a_0=\beta+\epsilon_0$$. 显然,这样得到的结果存在自相矛盾之处.

当$$b\to 0$$时,$$\alpha\to 0$$,$$S=T\to b$$,趋于原点. 这时常数$$a$$可以不为零,取任意正数.

我们再次考虑在$$S$$轴上的截距,令$$T=0$$,我们有
 * $$\sinh\alpha=\alpha=0, b\ne 0$$

从而
 * $$S=b\cos\gamma=b$$

上述结果对$$a$$的取值没有限制,与上述对角线上的结果没有矛盾.

类似的,我们可以考虑在$$T$$轴上的截距,令$$S=0$$,我们有
 * $$b=\alpha=0$$

从而
 * $$T=a$$

这样,若沿着$$T$$轴趋近原点,我们发现$$a\to 0$$轴.

(II.d)类似的在虚轴左侧有
 * $$b<0,\alpha\to+\infty \left\{ \begin{matrix}S\to-\infty\\T\to-\infty\end{matrix}  \right.$$
 * $$b<0,\alpha\to-\infty \left\{ \begin{matrix}S\to-\infty\\T\to+\infty\end{matrix}  \right.$$

我们同样可以证明在对角线上解的唯一性. 在对角线附近,我们类似的有在$$\alpha\to +\infty$$时的极限行为是
 * $$S-T=-e^{-\alpha}\frac{b^2-a^2\tanh\alpha}{b^2+a^2\tanh^2\alpha}

\to\left\{ \begin{matrix}0_-,\ \mathrm{when}\ |b|>a\\0_+,\ \mathrm{when}\ |b|0$$的情况,在$$b>0$$和$$b<0$$时,曲线分别处于$$T$$轴的左右两边,曲线分别有四个角的无穷大的渐进行为.但是考虑覆盖全空间,还需要考虑这些曲线是否覆盖在原点附近的$$S,T$$参数空间.这些曲线与$$S$$轴有截距,这个截距在$$b$$趋于零的时候趋于零.这些曲线在$$|b|>a$$时与$$S=T$$相交,交点在$$b$$趋于零时趋于零.如果直接取$$b=0$$得到一根在$$T$$轴上从$$a$$点向上的割线.这个割线的渐进行为通过考察$$b$$趋于零时的渐进行为得到.考虑曲线与$$T=a$$的交点,在$$b$$很小时,对应$$\alpha$$趋于正负零从而$$S$$趋于正负零.所以曲线在$$b$$不但在$$S$$轴上的截距趋近于原点,而且无限逼近$$T=a,S=0$$点.但是注意到即便在$$b$$趋于零时,当$$\alpha$$趋于正负无限大时曲线的$$S$$值仍然趋于无限大,如图所示其渐近线同样是$$S=\pm T$$,而不是包裹上述割线.这个渐进行为使得$$S,T$$参数空间存在如图虚线上(下)方的空洞.就此,手稿得到结论,需要通过把$$a$$推到无穷大才能正常覆盖全部$$T,S$$空间.

(C10)

文中计算了沿着实轴方向的两阶导数,但是鞍点积分是沿着虚轴方向的.因为$$I_\alpha$$和$$K_\alpha$$分别是指数增加和指数衰减,函数沿着实轴方向导数为零的点为最小值.接着文中用沿着实轴的两阶导数来估算鞍点积分的结果. 这是因为对解析函数,导数也是解析函数,所以极值必然是鞍点,而在鞍点附近对小的复数展开满足$$\Phi(\xi)=\Phi(\xi_0)+\frac{1}{2}\Phi''(\xi-\xi_0)^2$$.

这里总结一下积分的办法,首先是直接积分,其次考虑特殊函数(利用特殊函数的积分表示),再次有留数法积分,鞍点积分法,换元法,最后可以用mathematica积分.

本文档除了包括推导, 疑惑 外,做 读书重点 的记录 $$ $$

Phys. Rev. D 87, 114007 (2013) Tsallis fits to pt spectra and multiple hard scattering in pp collisions at the LHC.
这里的问题是是否可以用jet的分布和粒子发射的微正则分布导出末态重子的分布形式.

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