Research Paper Notes on Gravitational Waves

Research Paper Notes on Gravitational Waves

本文档除了包括推导, 疑惑 外,做 读书重点 的记录 $$$$

Gravitational wave from EMRI

 * Numerical and analytical models of self-force effects in Kerr extreme-mass-ratio inspirals, by Zachary Nasipak, PhD thesis
 * Kludge gravitational waveforms for a test-body orbiting a Kerr black hole, by Stanislav Babak et al., arXiv:gr-qc/0607007
 * Effect of gravitational radiation reaction on circular orbits around a spinning black hole, by Fintan D. Ryan, PRD52 (1995) R3159
 * Spin effects in the inspiral of coalescing compact binaries, by Lawrence E. Kidder and Clifford M. Will, PRD47 (1993) R4183

Gravitational wave in modified gravity

 * The Gravitational Wave Stress-Energy (pseudo)-Tensor in Modified Gravity, by Alexander Saffer, Nicolás Yunes, and Kent Yagi, arXiv:1710.08863

Numerical and analytical models of self-force effects in Kerr extreme-mass-ratio inspirals, by Zachary Nasipak, PhD thesis
这篇博士论文的网址为DOI: 10.17615/z0nt-6x35

Kludge gravitational waveforms for a test-body orbiting a Kerr black hole, by Stanislav Babak et al., arXiv:gr-qc/0607007
本文讨论EMRI极限下的引力波发射的计算.上述极限对应小质量客体绕大质量致密星体旋进的运动时发射的引力波,旋进运动可以基本视为测地线运动(以及对应的修正),而引力波发射通过解适当坐标下的爱因斯坦方程得到,后者等式右边的源,即能动张量,主要由小质量客体的运动所决定.

(1abcd)

注意到这里的测地线方程是坐标的一阶,而非二阶方程.这是因为自变量是纺射参数$$\tau$$的函数.方程的初始条件与(形式上为两阶的)测地线方程一样,仍然是初始时空坐标和对应的四速度.(c.f.这与正则坐标下哈密顿方程是一阶方程并无任何直接关系,因为这里仅涉及坐标的方程,而完全没有涉及到任何正则动量的方程.)

(10abc)

这里考虑的是对测地线方程的修正.

它可以有两个物理来源.按龚云贵老师的说法,由于引力波辐射的能量损失,造成粒子运动状态的变化.这可以类似经典电动力学中在电磁场中做加速运动的电子由于电磁辐射导致的运动状态的变化.比如在匀强磁场中运动的电子并不能保持圆周运动,因为后者是加速运动会导致韧致辐射,能量损失使得电子动量减少,运动轨迹发生变化.我们进一步给出两点讨论.第一,考虑到韧致辐射完全可以在平直空间中发生,这种机制本质上与弯曲空间无关,因为任何耗散机制都会引起其测地线方程的变化.第二,这种机制本质上不是任何经典理论可以描述的,经典电动力学虽然可以从能量守恒的角度对此作出讨论,但是真正能从第一性原理导出上述过程的是量子电动力学.一般的,这是因为任何经典理论,除了唯象的方法以外,无法第一性的导出耗散,或者粒子数不守恒的过程.

按赵文的说法,考虑爱因斯坦方程由于在外援微扰下度规的扰动.其零阶展开对应(粒子的)测地线方程.从测地线方程解出粒子的运动轨迹代回爱因斯坦方程,可以得到度规展开的一阶项所满足的方程.展开的一阶项对应引力波辐射,如果将得到的度规扰动的一阶项的解代回爱因斯坦方程,并保留到度规展开的二阶项,可以再次得到考虑了度规扰动的测地线方程.注意到,保留到度规展开一阶项的测地线方程(应该!?)是平庸的,这是因为考虑了粒子的作用量对度规的一阶展开系数为零,而(度规扰动的爱因斯坦)方程对应作用量对度规(扰动)的变分.

实际计算中,这两部分都是需要的.参见下面两篇(Ryan以及Kidder和Will的)文章.赵文的说法的另外一种相关的具体实现就是通过后牛顿近似计算两个质点的相互运动.这样得到的运动轨迹比绕行大质量物体的测地线更为精确,而利用运动轨迹同样可以计算质量矩,从而计算引力波辐射,后者给出由于能量损失导致的减速,进一步修正轨迹.

后牛顿近似的具体步骤可以参考Poisson和Will所述Gravity: Newtonian, Post-Newtonian, Relativistic一书中有详细叙述.它与从大黑洞的测地线运动出发的Kludge方法的区别 理解 如下.后牛顿近似的运动方程是,决定度规的含有物质场和引力波(一次迭代后出现)的能动张量的爱因斯坦方程,与决定物质场的流体力学方程(或者在简化的质点情况下相对质心系的测地线方程).它涉及两个展开近似,其一是$$1/c^2$$展开,这对应牛顿力学与相对论(测地线)的差别,其二是$$G$$展开,对应一次迭代后度规扰动产生的能动张量对度规的(再次)影响.具体的,因为爱因斯坦方程右边能动张量前有系数$$G$$,所以把测地线得到的能动张量代入扰动的爱因斯坦方程后得到的度规扰动为$$G$$的一阶,它对应引力波,将它的能动张量再次代入爱因斯坦方程迭代,得到的度规修正为$$G$$的两阶.原则上,上述一阶度规扰动同时也会影响到测地线,从而影响到爱因斯坦方程右边物质场的能动张量,但是因为测地线的修正已经涉及到$$1/c^2$$展开,因此被忽略不计.在上述意义下我们理解后牛顿近似涉及$$G$$展开.我们注意到,后牛顿近似处理的两体问题并不依赖于质量比.但是,如果我们把上述结果进一步按质量比$$\mu/M$$的阶数整理为展开形式,那么Kludge理论很可能对应零阶贡献.而一阶及更高阶贡献,当与之前的两个展开,按数量级适当匹配获得某种联合展开的形式,原则上可以得到一个更为合理的修正的Kludge方法.

Effect of gravitational radiation reaction on circular orbits around a spinning black hole, by Fintan D. Ryan, PRD52 (1995) R3159
(1)

用后牛顿近似得到的运动方程等价的可以由这个拉格朗日得到.

(10ab)

通过轨迹的具体形式可以计算质量矩.

(11)

而质量矩与导致能量耗散,故给运动轨迹带来额外的加速度.

(13ab)

这是在黑洞为中心的坐标系中表达这个额外的加速度,这与(1)的坐标系一致.

(14abc)

通过轨迹的具体形式可以计算质量矩,而质量矩与能量(这里具体是包括能量在内的三个守恒量)耗散,类比电矩导致的电磁波辐射与能量耗散,满足这个关系.损耗表达为上述计算得到的额外加速度的形式.

Spin effects in the inspiral of coalescing compact binaries, by Lawrence E. Kidder and Clifford M. Will, PRD47 (1993) R4183
(4)

用后牛顿近似得到的运动方程等价的可以由这个拉格朗日得到.

(10)

通过轨迹的具体形式可以计算质量矩,而质量矩与能量耗散,类比电矩导致的电磁波辐射与能量耗散,满足这个关系.

(14ab)

这是质量矩与轨迹的具体关系.

(17ab)

第一个方程式能量与角速度的关系,第二个是能量耗散满足的关系,从而我们得到(18-19),由于耗散的存在,角速度与运动半径随时间的变化.

The Gravitational Wave Stress-Energy (pseudo)-Tensor in Modified Gravity, by Alexander Saffer, Nicolás Yunes, and Kent Yagi, arXiv:1710.08863
(7)

按最小作用量原理,这里的零阶背景和二阶微扰满足的方程对应于不同的初始条件(边界条件).这对应于Goldstein一书第二版P.365第8-6节中讨论的,虽然其上下文是针对粒子运动的情况.书中计算了不同的物理过程的作用量的差别,其中不同的物理过程的初末态显然是不同的.

而按刘云旗的提示,这里的问题可以按下面的方式来理解.把零阶的背景度规看做是度规,而把二阶微扰看做是物质场,两者之前是有非最小耦合的.这样,零阶作用量对背景度规的变分就得到没有物质场(即微扰)时度规满足的方程,把展开到二阶的作用量(即把作用量按各阶泛函微分,如同傅里叶级数的形式展开)对背景度规的变分得到存在微扰情况下(主要是针对相应的问题的边界条件)度规的方程.这时的方程相当于爱因斯坦方程,爱因斯坦张量等于能动张量,故与之前的情况比对,多出来的新的部分就是微扰,即引力波,对应的能动张量.

最后提及,把展开到二阶的作用量对物质场变分得到存在微扰情况下微扰满足的方程,即物质场的方程:克莱因高登方程等.另外对微扰的一阶变分对作用量无贡献,因为作用量对背景度规变分为零,这个条件意味着把背景度规代入一阶变分得到零.

(17)

这里考虑把爱因斯坦方程中把度规展开后,考虑一阶贡献对应的方程.

爱因斯坦方程的左边的爱因斯坦张量,按展开阶数,可以为零阶,一阶和二阶.因为没有物质场,等式右边对任何阶数都为零.其中零阶度规是闵可夫斯基度规.闵可夫斯基度规是平直空间的真空解,所以零阶背景度规对应的爱因斯坦张量自然的为零.

刘云旗说,(17)就是把爱因斯坦张量中的度规换为度规的一阶微扰得到的表达式.但是问题是这个表达式必须等价爱因斯坦张量的一阶项的贡献,所以其中必然还涉及到零阶度规的贡献啊?即便注意到度规就是闵可夫斯基张量,只会起到抬升和降低指标的作用,所以不会明显的出现,但是为什么这样得到的结果与直接代入度规的一阶项等价呢?戴德昌提示,爱因斯坦张量是联络的函数,而在某种指标选择下(选择只有下分量的联络),可以把联络写成只含有度规的导数的形式,而闵可夫斯基度规的导数都是零,故不出现.具体的表达式Wheeler的书里可能会有.

另外,对于一阶贡献,我们得到了一个可以把一阶微扰表达为横向无迹(TT)的规范形式,此即(21).

(18)

这里考虑爱因斯坦方程中把度规展开后,考虑两阶项贡献对应的方程.按爱因斯坦场方程,等式左边为爱因斯坦张量,右边为物质场能动张量.

现在把二阶项对爱因斯坦张量的两种贡献分别写到等式的左右两边.第一种贡献是来自二阶展开,第二种贡献来自一阶平方项.因为考虑的是二阶小量,不存在其他可能.

但是 为什么 一阶项的短波平均就是能动张量呢?戴德昌提示,这个结果并不是显然的,在Wheeler的书中有讨论和证明.

(32)

虽然(31)是守恒流的形式,但是为什么(32)中它的平均值是能动张量呢?刘云旗说,因为这时问题中唯一涉及到的守恒量.

本文档除了包括推导, 疑惑 外,做 读书重点 的记录 $$$$