Research Paper Notes on Black Hole Shadow

Research Paper Notes on Black Hole Shadow

本文档除了包括推导, 疑惑 外,做 读书重点 的记录 $$$$

文献列表
Geodesics and Strong Gravitational Lensing


 * Gravitational Lensing from a Spacetime Perspective, arXiv:1010.3416v1, by Volker Perlick


 * Spherical photon orbits around a Kerr black hole, Gen. Rel. Grav. 35 (2003) 1909, by Edward Teo
 * Spherical orbits around a Kerr black hole, arXiv:2007.04022v1, by Edward Teo
 * Schwarzschild black hole lensing, arXiv:astro-ph/9904193v2, by K. S. Virbhadra and George F. R. Ellis
 * Optical caustics in a Kerr spacetime and the origin of rapid x-ray variability in active galactic nuclei, Astrophys. J. 421, 46 (1994), by K.P. Rauch and R.D. Blandford
 * Primary caustics and critical points behind a Kerr black hole, arXiv:0710.5923v2, by Mauro Sereno and Fabiana De Luca
 * Testing the validity of the ray-tracing code GYOTO, Astronomy Astrophys. 591, A116 (2016), by M. Grould, T. Paumard, and G. Perrin
 * Gravitational Lensing by Spinning Black Holes in Astrophysics, and in the Movie Interstellar, arXiv:1502.03808v2, by Oliver James et al

Black Hole Shadow and Chaotic Lensing


 * Shadows and strong gravitational lensing: a brief review, arXiv:1801.00860v2, by Pedro V. P. Cunha, Carlos A. R. Herdeiro
 * Calculating black hole shadows: review of analytical studies, arXiv:2105.07101v1, by Volker Perlick and Oleg Yu. Tsupko


 * Rotating black holes: Locally nonrotating frames, energy extraction, and scalar synchrotron radiation, Astrophys. J. 178, 347 (1972), by C. T. Cunningham and J. M. Bardeen
 * The optical appearance of a star orbiting an extreme Kerr black hole, Astrophys. J. 183, 237 (1973), by C. T. Cunningham and J. M. Bardeen
 * Observing the shadow of Einstein-Maxwell-Dilaton-Axion black hole, arXiv:1311.4251v2, by Shao-Wen Wei, Yu-Xiao Liu
 * Photon Regions and Shadows of Kerr–Newman–NUT Black Holes with a Cosmological Constant, arXiv:1403.5234v2, by Arne Grenzebach et al
 * Chaotic lensing around boson stars and Kerr black holes with scalar hair, arXiv:1609.01340v1, by P. V. P. Cunha et al
 * Fundamental photon orbits: black hole shadows and spacetime instabilities, arXiv:1705.05461v1, by P. V. P. Cunha et al
 * Lensing and dynamics of ultra-compact bosonic stars, arXiv:1709.06118v1, by P. V. P. Cunha et al
 * Light ring stability in ultra-compact objects, arXiv:1708.04211v2, by P. V. P. Cunha et al
 * Stationary black holes and light rings, arXiv:2003.06445v1, by Pedro V. P. Cunha and Carlos A. R. Herdeiro
 * Black Hole Shadows and Invariant Phase Space Structures, arXiv:1705.07061v1, by Jai Grover and Alexander Wittig
 * Multiple shadows from distorted static black holes, arXiv:1802.03062v1, by Jai Grover


 * Shadow cast by a Konoplya-Zhidenko rotating non-Kerr black hole, arXiv:1707.09451v3, by Mingzhi Wang, Songbai Chen, and Jiliang Jing
 * Chaotic shadow of a non-Kerr rotating compact object with quadrupole mass moment, arXiv:1801.02118v3, by Mingzhi Wang, Songbai Chen, and Jiliang Jing
 * Shadow of a black hole surrounded by dark matter, arXiv:1905.00064v3, by R. A. Konoplya
 * Weak deflection angle of a dirty black hole, arXiv:2003.06829v3, by Reggie C. Pantig and Emmanuel T. Rodulfo

Black Hole Shadow and Geometric Optics Approximation


 * Comments on the "vibrations" of a black hole, Astrophys. J.172 (1972) L95, by J. Goebel
 * Geodesic stability, Lyapunov exponents and quasinormal modes, arXiv:0812.1806v3, by Vitor Cardoso et al
 * Analytical correspondence between shadow radius and black hole quasinormal frequencies, arXiv:2005.09761v1, by B. Cuadros-Melgar et al
 * Quasinormal-mode spectrum of Kerr black holes and its geometric interpretation, arXiv:1207.4253v1, by Huan Yang et al


 * Black Hole Glimmer Signatures of Mass, Spin, and Inclination, arXiv:2009.06641v2, by George N. Wong
 * Light echos and coherent autocorrelations in a blackhole spacetime, arXiv:2012.11778v1, by Paul M. Chesler et al

Black Hole Shadow in Dynamic Metric


 * Shadow of a naked singularity, arXiv:1505.07017v2, by Néstor Ortiz, Olivier Sarbach, and Thomas Zannias
 * The shadow of a collapsing dark star, arXiv:1802.04901v2, by Stefanie Schneider and Volker Perlick

Gravitational Lensing from a Spacetime Perspective, arXiv:1010.3416v1, by Volker Perlick
这是一篇很好的强引力透镜相关领域的综述.

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Spherical photon orbits around a Kerr black hole, Gen. Rel. Grav. 35 (2003) 1909, by Edward Teo
这篇文章仔细讨论了Kerr黑洞的球面测地线.分析仔细,讨论透彻却又朴实无华.

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Spherical orbits around a Kerr black hole, arXiv:2007.04022v1, by Edward Teo
本文是作者之前工作的延续,仔细分析了Kerr黑洞球面测地线的参数依赖以及测地线的稳定性问题.

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Schwarzschild black hole lensing, arXiv:astro-ph/9904193v2, by K. S. Virbhadra and George F. R. Ellis
本文计算了最基本的史瓦西黑洞的caustics,讨论了第一和第二影像外的其余影像.本文的笔记主要是关于caustic的定义和基本物理概念

(1-2)

这是最基本的透镜公式,这个式子可以用平面解析几何直接验证.由Fig.1,利用$$\alpha$$的定义,把$$D_s$$乘以等式两边后,注意到$$D_s\tan\theta-D_s\tan\beta$$对应了与镜轴垂直的线段$$SI$$的长度,而等式的另一边,正对应了从$$C$$点出发与镜轴平行的曲线把$$SI$$分割为两部分之和.

(4-5)

像的放大率(4)是(5)中两个因子的乘积.它们分别对应了在观测者视线垂直的平面与Fig.1平面相交方向上(radial)的放大率,和与Fig.1平面垂直方向上(tangential)的放大率.很容易理解$$\left(\frac{d\beta}{d\theta}\right)^{-1}$$对应了Fig.1平面内源的角度的放大,而由于问题对于光轴是对称的,$$\left(\frac{\sin\beta}{\sin\theta}\right)^{-1}$$给出了在垂直与Fig.1平面上源的尺度的放大.

这里涉及caustic的定义,即像的放大率的(发散)奇点.

而对史瓦西黑洞,我们知道Einstein光环解满足当$$\beta=0$$即源处于透镜光轴上时,$$\theta\ne 0$$对应爱因斯坦光环角度.这使得(5)中第一个因子发散.故爱因斯坦光环正对应了最低阶的tangential caustic.而自然的,更高阶的caustic对应了光线绕黑洞不同整数圈数后到达观测者的情况.

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Optical caustics in a Kerr spacetime and the origin of rapid x-ray variability in active galactic nuclei, Astrophys. J. 421, 46 (1994), by K.P. Rauch and R.D. Blandford
本文详细讨论并计算了旋转黑洞的测地线与caustics.

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Primary caustics and critical points behind a Kerr black hole, arXiv:0710.5923v2, by Mauro Sereno and Fabiana De Luca
本文用微扰的方法解析计算Kerr黑洞的caustics与临界曲线.

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Testing the validity of the ray-tracing code GYOTO, Astronomy Astrophys. 591, A116 (2016), by M. Grould, T. Paumard, and G. Perrin
本文利用计算测地线的程序包GYOTO计算了旋转黑洞的caustics与临界曲线.对相关内容给出了比较充分的回顾.

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Gravitational Lensing by Spinning Black Holes in Astrophysics, and in the Movie Interstellar, arXiv:1502.03808v2, by Oliver James et al
本文是Kip Thorne参与的,通过具体计算得到电影Interstellar中所展示的黑洞边的星系影像.很多直观的结果很值得仔细学习.

在这里的计算中,光源天球(celestial sphere)位于无穷远$$r\to \infty$$.

Fig.2-3

这是史瓦西黑洞的结果.这里直观的给出了爱因斯坦环,黑洞阴影,和"运动"背景中星体在爱因斯坦环外的第一影像和环内的第二影像. 注意到观测者完成环绕黑洞一周,故镜像的路径是闭合的. 如文中指出的,在爱因斯坦环和黑洞阴影边界之前,原则上还存在无数个背景天球的影像,分别对应按顺时针和逆时针方向绕转黑洞整数圈的测地线.但是这些影像在实际上过于暗淡而无法被看到.

Fig.4

这是Kerr黑洞的结果.与Fig.1比较,这个结果要复杂的多.由于黑洞在赤道面的旋转,这种对观测者而言"左"与"右"的不对称性在其他工作,比如arXiv:1801.00860v2一文Fig.5左上和右上的影像中也得到体现.如果一个星体在左上图中沿着水平线(黑色)从红色区域移动到绿色区域,那么在爱因斯坦环外和环内,也将分别对应沿着弯折后(对应的黑色)线从红色区域移动到绿色区域. 再次注意到观测者完成环绕黑洞一周,故镜像的路径是闭合的. 另外Fig.4中给出的局域盘绕的星体运动轨迹,(其中红星对应了北极和南极的影像),注意到arXiv:1801.00860v2一文Fig.5左上图中央竖直的线在右上图中的影像偏向左侧,而在本文中北极点(南极点)偏向右侧,这是黑洞旋转方向正好相反导致的.故不难理解在北极或者南极点附近的星体的影像对应了局域盘绕的轨迹.

Fig.5-7

更为复杂的是这里给出关于影像的具体讨论.有些重要的概念并 没有 搞清楚,需要深入学习.

第一是caustic,Kerr黑洞的caustic在天球上是两维的,故很容易和光源轨迹有重合,这导致额外星体影像的产生和湮灭. 第二是critical curve,它是caustic在观测者天空(camera sky)的影像,类似史瓦西黑洞的爱因斯坦环.

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Shadows and strong gravitational lensing: a brief review, arXiv:1801.00860v2, by Pedro V. P. Cunha, Carlos A. R. Herdeiro
这是一篇很不错的综述,以作者自身工作为中心,对黑洞阴影相关课题给出了比较完全的阐述.除了中间有些叙述过于简略,有些概念没有加以强调区分,对初学者略有些不够友好.

(0)

首先我们要区分视界(完全向外的光测地线半径不变),光环(半径不变的切向闭合光测地线),光球(半径不变的闭合测地线),球面测地线(半径不变但未必闭合),与阴影(观测者观测到的黑洞影像).黑洞阴影的物理图像在Fig.4附近给出讨论.

黑洞附近的物质吸积一般有两个作用.第一是为阴影提供光源,一个常用的简单假设是光源在无穷远处,为全立体角,这在第4节讨论.第二是对光测地线的影响,这在3.3节讨论.

静态度规不含时,意味着一个Killing矢量,当把度规的对称性表达为对某坐标平移不变,即不含某坐标,这同样意味着一个Killing矢量.这两个Killing矢量由于分属时间与空间坐标,分别对应的守恒量为能量E与角动量L.Kerr黑洞还有第三个Killing张量,它与Carter常数Q有关.注意到在三维空间中决定一根测地线只需要三个参数,因为测地线积分方程的积分常数的数目为三个,物理上,这相当于在给定的时空点的四速度由三个独立变量.进一步,因为光测地线是零曲线,还可以再去掉一个独立的变量,因此两个守恒量就可以唯一确定光测地线,按文中后面的做法,取为$$\eta=L/E,\chi=Q/E^2$$.我们指出,光子作为粒子,其四速度由测地线决定,由两个独立参数.这个结果也可以通过测地线方程直接验证.由arXiv:1311.4251v2一文的(2.9-12)在所有的方程等式两边除以$$E$$,则方程右边仅与$$(\eta, \chi)$$有关,而方程左边相当于把放射参数做变换$$\lambda\to E\lambda$$,经过某一给定时空点的测地线完全可以通过对上述方程的积分确定,换言之,经过某一点的光测地线由两个参数完全决定.

(1)

度规要求具有对$$t\to -t, \varphi\to -\varphi$$的对称性,但不要求对$$\theta=\pi/2$$平面的对称性,即$$\theta\to \pi-\theta, \varphi\to\varphi+\pi$$.

这里用变方法来得到测地线方程,对于欧拉拉格朗日方程,其等价性的证明参见比如Schutz广义相对论引论.不过本文采用了哈密顿方程,参见(2)的笔记.

注意到(1)第二行为逆变指标,利用代数余子式,我们有$$g^{tt}=\frac{g_{\varphi\varphi}}{-D}, g^{\varphi\varphi}=\frac{g_{tt}}{-D}, g^{t\varphi}=\frac{-g_{t\varphi}}{-D}$$,即得文中给出的关系$$2\mathcal{H}=T+V$$.

(2)

光环涉及若干个要素.第一光环是测地线,第二光环是闭合的测地线.第三按直观的定义,光环半径不变且沿着切向. 文中指出,光环切矢量必然处于前两个Killing矢量$$\zeta, \xi$$张成的空间中. 这个论述可以简单解释如下:在三个沿着测地线守恒的Killing量中,第三个Killing张量对应著名的Carter恒量,虽然这个量的物理解释至今不是很清楚,但是几何上,如果这个量为零,那么初始处于赤道面的测地线将始终处于赤道面.实际上,在Kerr黑洞中圆形轨道只能处于赤道面上.而光环处于赤道面的结果意味着测地线的切实量与Killing张量的内积必须为零,考虑到光测地线可以充分的由与上述三个Killing量相关的守恒量唯一的决定即赤道面上的测地线的切矢量只由$$\zeta, \xi$$张成.参考之前的讨论,我们注意到,实际上任意光测地线都可以由两个自由参数唯一的确定,因此赤道面的光环可以由一个参数完全决定(在实践中,经常被选为轨道半径$$r_0$$). 具体的,由哈密顿量的形式和哈密顿方程,$$\dot{r}=\dot{\varphi}=0$$意味着$$p_r=p_\theta=0$$. 同时,由对称性,坐标在Killing矢量的方向上平移后度规的形式不变,这导致了守恒量$$\dot{p_t}=\dot{p_\varphi}=0$$. 综上$$\dot{p}_\mu=0$$.

从另一个角度,光环测地线的切矢量通过Killing矢量平移后再平移移动仍然可以闭合,故按定义仍是某光环测地线的切矢量. 如果光环是唯一的,那么后者必然是光环测地线的切矢量,即用Killing矢量可以平行移动光环的切矢量.

实际上,如果我们考虑光测地线,即便要求其半径坐标始终不变$$r=r_0$$的球面轨道,一般情况下,并不保证$$\theta$$坐标是常数,也不能保证测地线是闭合的. 只有对史瓦西黑洞,上述曲线必然闭合,其集合被称为光球. 由于球面光测地线是连续的,$$\theta$$是有界的,所以在测地线上必然可以找到一个点满足$$\dot{\theta}=p_\theta =0$$,但显然并不保证这个等式在测地线上点点成立. 上述点称为"转折点". 更具体的讨论参见比如Gen. Rel. Grav. 35 (2003) 1909一文的计算. 我们指出,这些测地线与黑洞阴影的计算也有关系.

哈密顿方程的推导及其用有效势表达的形式.注意到度规分量,比如$$g^{rr}, g^{\theta\theta}$$,是含有广义坐标的.同时循环变量的广义坐标不出现,广义动量是常数$$E, L$$,不再计入变量中.按哈密顿方程标准形式,不难得到文中给出的哈密顿方程的形式.

这里,(2)通过对势场的方程给出了通过Killing矢量生成的光环的切矢量满足的条件.

能量与角动量满足的不等式关系.按书中讨论,由于能量是正定的,故角动量不能为零.这样在(1)第二式取分子为零得到的关于$$E$$两个根中,至少有一个正根,而$$-Lg_{t\varphi}/g_{\varphi\varphi}$$是两次方程的解中在$$\pm\sqrt{D}$$前面部分,若存在一个负跟,则$$E > -Lg_{t\varphi}/g_{\varphi\varphi}$$,但必须排除两个都是正根的情况.后者是因为$$-g_{tt}g_{\varphi\varphi}>0$$,故而$$\sqrt{D}>|g_{t\varphi}|$$.又参见arXiv:1609.01340一文(2.18)附近的讨论.

运动方程用势函数$$H_\pm$$的表达形式.按(2)式下一式的定义,势场可以表达为几个因子的乘积,那么按(2)的第一步等号,势场为零的点对应任何一个因子为零.故对应条件$$\sigma=H_\pm$$.

进一步,势场的导数对应了在保持剩余因子不变的情况下对每个因子单独求导的结果的和,由此,假设$$\sigma=H_+$$,涉及其他三个因子导数的项自然的为零,剩余项正比于$$\nabla(\sigma-H_+)=-\nabla H_+$$,其中注意到$$\sigma$$与坐标无关.这就是文中给出的结果$$\nabla H_\pm=0$$.与前面的结果一起$$H_\pm=\nabla H_\pm=0$$,故称之为"临界点".

类似的运用上面的分析策略,势场的二阶导数,只含与$$\nabla H_pm$$的导数因子正比的项,具体的,当$$\sigma=H_+$$时,$$\partial_\mu^2 =-L^2 g_{\varphi\varphi}(H_+-H_-)(-1)\partial^2 H_+=2L^2\partial^2 H_+/\sqrt{D}$$,即得书上结果.

光环的稳定性.物理上,如果所考虑的运动轨迹对应势场的极值点,所有的独立坐标的广义动量("速度")都为零.那么该运动轨迹的稳定性就是当给予小的微扰使得广义速度稍稍偏离零点,势场稍稍偏离最小值后,这样的扰动是否会被无限放大.直观的,若势场的极值点是最小点,微扰不会被放大. 注意到虽然上述光环解是在$$p_r=p_\theta=0$$的前提下得到的,但对测地线的扰动正是$$(r,\varphi)$$方向的.

注意到,这里光环的解对应了$$(r,\varphi)$$到势场梯度的映射的原点.这个点显然是极点.如果这个点是鞍点或者局域最大值,那么光环解对于扰动是不稳定的,如果是局域最小值,那么光环解是稳定的.后者虽然在线性微扰的层次上是稳定的,但是这样的系统必将导致能量的集聚,以至对度规产生反作用导致系统最终的不稳定性. 这里的解是一个点,这是因为考虑了$$(r,\varphi)$$两个自由度的取常数的解.如果我们只考虑$$r$$为常数的解,那么我们得到的是球面轨道或者光球解.这就是(4-5)讨论的内容. 进一步,球面测地线与光环的关系,又参见下面(6)的讨论.

(4-7)

这里,(4-5)和(7)的推导可以参见比如arXiv:1311.4251v2一文的相关内容.

(6)

半径一定的光球测地线由一个参数$$r_0$$决定.但是对于$$\theta$$方向,并不一定是常数.其转折点相当于抛物时最高点静止的瞬间.具体的,不难证明,我们可以通过令arXiv:1311.4251v2中(2.12)的右边为零得到.仰角速度为零的点可以直接由两个守恒量决定,从而由光球参数决定.

对科尔类黑洞, 可以证明 ,如果测地线方程可以分离变量,那么一般情况下FPO只能是球面轨道.证明分两部分,分别在下面两段中给出.

首先,比如考察arXiv:1311.4251v2的测地线运动方程(2.9-12),我们注意到(2.11)对应的有效势(3.1-2)决定了与其他方向运动"分离"的径向运动,而有效势的极值点显然决定了半径不变的测地线解.由(3.1),这个极值点与角度坐标$$(\theta,\varphi)$$无关,这保证了球面轨道的存在.对(3.2)作图,发现这个极值点是极大值,故对应的球面轨道是不稳定的,因为任意对球面轨道解的微小扰动在时间演化下其半径坐标$$r$$的偏离都会不断增加.进一步,势场的极大值是唯一的,这样,扰动使得矢径坐标的偏离随着时间都将单调的增加或者减小直到粒子达到无穷远或者落入视界.因此,不可能存在其他矢径坐标随时间变化且粒子运动局限在有限空间的FPO解.存在这样的解的可能是有效势存在两个极大值,或者可分离变量的前提完全不成立.对于前面,我们实际上在眼前就有一个很好的例子.观察(2.12)决定的有效势,它仅是$$\theta$$的函数,势场的具有两个局域最大值,在两个端点$$(\theta=,\pi)$$趋于负无穷大.这意味着一般情况下,粒子在两个最大值间的势场趋于反复摆动,若正好处于$$(\theta=\pi/2)$$中心极点值处,则对应大圆上的光环解(见后续讨论),这时,轨道对于$$\theta$$方向的扰动是稳定的,但对矢径方向的扰动不稳定,故仍然是不稳定轨道.反之,若处于两个极大值之外的区域,则会趋于南北极方向.至此为止,讨论是直观的,结论也正确.

注意到,上述讨论忽略了一个重要的要素,即(2.11-12)中的$$\Sigma$$同时是矢径与仰角坐标的函数.对于$$\theta$$的运动的方程的讨论,若我们已经考虑了球面运动,则不受影响.但对$$r$$的运动方程(3.1),球面运动并不限制仰角,故需要加以辅助说明如下.(3.1)可以视为,质量随着时间变化的粒子在有效势中的运动.不难发现,对(3.1)两边对时间求全微分以得到它的牛顿第二定律形式为$$2\Sigma\ddot{r}+\dot{\Sigma}\dot{r}=-\partial_rV_{\mathrm{eff}}$$,其中$$\dot{\Sigma}=\dot{r}\partial_r\Sigma+\dot{\theta}\partial_\theta\Sigma$$.当$$\dot{r}=0$$时,外力仍然由有效势的梯度决定,换言之,在有效势极点的运动轨迹将停留在该极点.另外一个等价且更为直观(但稍逊严格性)的理解方式如下,若把质量项归入势场部分,把势场的形式改写为$$V_{\mathrm{eff}}/\Sigma$$,我们注意到,若原来的势场在极值点的函数值为零,那么新的有效势的形状虽然会变化,但其极值点(指对在矢径方向上偏导为零)位置不变且在该点函数值仍为零.而另一方面,轨道的不稳定性,也更容易从改变的有效势的角度来理解.因为轨道不稳定性本质上来源于局域极大值唯一的特性.因为局域最大值唯一且位置不变,那么显然对于在矢径方向的扰动是不稳定的.

正如上面提到的,可以证明.如果要求arXiv:1311.4251v2中(2.12)对应$$\theta$$不变的解,即(2.14)对应的有效势为零且有效势对$$\theta$$的导数也为零.那么这时结合(2.13)的方程,我们有四个方程,可以决定四个变量$$r,\theta,\xi,\eta$$.由(2.14)的有效势的形式,我们不难验证,若$$\theta_0=\pi/2$$对应仰角恒定的光环轨道,我们必须有$$K(\equiv Q)=0$$,从而$$\eta(\equiv\chi)=0$$.利用这个条件,将(4)代入(5),后者的分子必须为零,这样得到关于$$r$$的方程.不难验证(比如利用mathematica代入化简),光环半径(参见Gen. Rel. Grav. 35 (2003) 1909一文(1a-b))正是这个方程的解,文中(12)下的讨论也清楚的指出了这一点.更一般的讨论可参见arXiv:2007.04022v1一文的引言部分.

P.11第3.1节要求得到黑洞阴影边界的显函,可以注意到P.11第一式是关于$$r$$的一元三次方程,原则上有三个根.这分别对应下面的三个表达式.

(8)

对于特殊情况$$a=0$$,由(5-6)可以直接得到P.13第一个公式给出的两个关系.

同时,我们有$$\mathcal{A}=M^2, \mathcal{B}=1$$,代入之前第一式或者第二式即得$$r=3M$$

另外,注意到当$$\theta_0=\pi/2$$,(7)的第二式给出$$y=\pm\sqrt{\chi}=\pm\sqrt{(\chi+\eta^2)\cos^2\theta_*}=\pm\sqrt{3r^2\cos^2\theta_*}$$. 注意到最后一步等式利用了(8)这一页上第一行公式的第一个式子.文中称这是由(5-6)直接得到的,但实际上具体代入(5-6)到等式左边,在化简后令$$a=0$$,我们有$$\chi+\eta^2=3r^2-\frac{r^2(r-3M)^2}{(M-r)^2}$$. 故并不能得到需要的结果,其实还需要利用$$\lim\limits_{a\to 0} r=3M$$.所以得到结果只能看做在光环解附近$$a\to 0$$且$$r\to 3M$$的一级近似,但这与文中使用的上下文一致. 这里得到的结果就是(8)式上面一式.直觉上,这个结论似乎有些奇怪.因为对史瓦西黑洞,所有的球面测地线都是大圆上的光环,不应该存在转折点.对上述结果的理解是,Kerr黑洞包括光环在内的不同的球面测地线当退化为史瓦西情况时,对应了不同倾角的大圆.这样的结果是自然的,因为这样的退化方式对应了测地线的参数空间保持不变. 反过来,因为$$y=\pm\sqrt{3}r\cos\theta_*$$,如果我们考虑$$x$$坐标,它必须满足$$x=\sqrt{3}r\sin\theta_*$$. 而由(7)第一式,我们有$$x=-\eta$$,而由(4),$$\eta=\frac{(r-3M)r^2+(M+r)a^2}{a(M-r)}\sim \frac{9M}{2}\frac{\delta r}{\delta a}\to\frac{0}{0}$$. 注意到等式右边的极限其实不存在,因为对任意接近零的数值$$a$$,$$r$$存在一个趋于零的狭窄的范围,它对应一个有限大的$$\eta$$范围,这个范围的大小并不趋于零.

由于$$g_{\varphi\varphi}=r^2\sin^2\theta$$,由此我们可以给出(8)的近似方案.这个方案被用于得到Fig.3中给出的结果.

在媒体介质中的黑洞的阴影对应的哈密顿量相当于有"等效质量"情况下球壳上的只能关系.

Fig.4

本节讨论黑洞对光源扭曲后的影像,之前讨论的黑洞阴影是影像的边界.这里Fig.4首先给出了黑洞阴影的物理图像.其中$$\mathcal{N}$$对应无穷远处全方位角的光源,而$$\mathcal{O}$$对应观测者接受到的局域全方位影像.实际中,我们也可以从观测者发出光线,考虑光线射向无穷远和被黑洞捕获的情况.

习惯上我们把黑洞放在观测者坐标的原点.在观测者与黑洞连线上无穷远处的光源会在黑洞周围形成爱因斯坦环.它是由黑洞正后方的发光天体在黑洞附近弯折对观测者形成的第一个虚像,由对称性而形成环状.一个直观的图像可以参见维基页.具体的计算参见之后P.21关于致密星体爱因斯坦环的讨论.按上述定义,爱因斯坦环与黑洞阴影边界虽然类似,但是是不同的,后者是从观测者发出的光线在黑洞附近绕行无数圈后最终坠入黑洞的光线的边界,由球面测地线决定;而前者对应光线距离黑洞足够靠近时的第一次汇聚,这时绕行不足一圈.文中指出,在爱因斯坦环与黑洞阴影之间,绕行次数从零增加到无穷大,全方位角的光源被扭曲并重复制造了无数次影像.

因为爱因斯坦环对应了因为光线弯曲在致密星体正后方形成的第一个影像,它的推导甚至可以采用微扰的近似得到. 注意到,上述维基页中推导把光源星体放在了致密星体正背后有限远处,把上述结论取极限,把其中的光源星体推到无限远处,同样可以得到有限大小的爱因斯坦环半径(角度$$\theta_E\to \left(\frac{4GM}{D_L c^2}\right)^{1/2}$$).这时对应了黑洞对平行入射光线的聚焦.

作为对比,黑洞阴影对应了光线绕转黑洞无限多圈的极限.在两者之间存在黑洞后发光天体的无限多个影像.一些实际的计算表明(比如参见arXiv:1502.03808一文的结果和讨论),(爱因斯坦环外的)第一和(环内的最主要的同样对应环绕不足一圈的)第二影像在观测者视野中占绝对主导.

对于具有光环解的致密天体,对应了第一次成像的边界的爱因斯坦环完全被光环解附近的无数次成像所淹没,从观测的角度而言,这时我们把后者称为爱因斯坦环,具体又见下方Fig.8的讨论.

Fig.6

这里给出了不光滑(cusp)黑洞阴影和混沌引力透镜的结果与解释.关于混沌引力透镜又参见arXiv:1609.01340v1一文和相关笔记.

因为"非球面轨道"测地线的径向坐标并不是常数,这里用$$r_{\mathrm{peri}}$$来标示"非球面轨道".具体的,因为$$g_{\varphi\varphi}=r^2\sin^2\theta$$,在赤道上$$\theta=\pi/2$$,即得文中给出的关系$$r_{\mathrm{peri}}=\sqrt{g_{\varphi\varphi}}$$.

黑洞阴影对应的球面轨道的极值对应两个光环解.中间部分是"非球面轨道"解,但其实有两支.因为对观测者而言,影像的方位角仅由光测地线的守恒量$$\eta,\chi$$决定.故即便是不稳定的非球面轨道,也未必对应黑洞阴影的边界.Fig.6就形象的给出了上述"亚不稳态"的讨论以及相应的范德瓦尔斯气体"相变"的相图.红色延长线部分是"亚布稳态"的延伸.上述结果是数值的,但是有很好的理由相信这与解析结果一致且是足够一般的.

关于$$\mathbb{Z}_2$$的讨论,具体参见arXiv:1705.05461v1一文.它是对体系对称性的进一步假定,假设度规在赤道平面$$(\theta=\pi/2)$$上的变换$$t\to -t, \varphi\to -\varphi$$下保持不变.但并 不清楚 其关于轨道半径与上述对称性的关系的推导.

Fig.8

对于致密星体而言,因为没有视界,故从无穷远处发射的光不会落入视界而总是可能以适当的角度达到观测者.因此,虽然有光环,但不会有阴影.这时,光环被称为爱因斯坦环.但是我们指出,这里的爱因斯坦环与之前讨论的没有光环解的致密天体或者黑洞的爱因斯坦环是不同的,观测者实际上是观察到了光环解,因为不同绕转重复次数的叠加,它的亮度大于致密天体正背后光源在观察者位置第一次成像对应的半径边界,故取代后者被称为爱因斯坦环.

注意到,按惯例$$\mathcal{O}$$称为初始角,而$$\mathcal{N}$$对应散射角.在散射角发散点附近,对于给定散射角(所有相差$$2\pi$$角度的散射角),绕行不同圈数的测地线的入射角会有微小差别,故爱因斯坦光环是有一定厚度的,而非如黑洞阴影边界是几何曲线.

在爱因斯坦环附近,光线假设散射角变化关于入射角与光环角度的差值是以对数形式发散的,即$$2\pi k=\Delta\theta_{\mathrm{scattered}}=a\log\left(\frac{\Delta\theta_{\mathrm{initial}}}{b}\right)\sim a\log\left(\frac{\eta^{(k)}_{\mathrm{ER}}-\eta_{\mathrm{LR}}}{b}\right)$$,这正是文中给出的结果.

最后,如果上述关系取的角度为$$(2n+1)\pi$$而不是$$2\pi$$,那么相当于引力镜子,观测者可以从中看到自己影像的爱因斯坦环.

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Calculating black hole shadows: review of analytical studies, arXiv:2105.07101v1, by Volker Perlick and Oleg Yu. Tsupko
本文是另一篇黑洞阴影的综述.除了基本内容外,讨论了塌缩,碰撞宇宙,和媒质中黑洞阴影.

(12)

按定义,测地线可以通过下面泛函变分的极值获得(如参见Schutz一书).
 * $$S=\int ds=\sqrt{g_{\mu\nu}dx^\mu dx^\nu}=\sqrt{g_{\mu\nu}\frac{dx^\mu}{d\lambda} \frac{dx^\nu}{d\lambda}}d\lambda$$

显然,它对应了作用量
 * $$\mathcal{L}=\sqrt{g_{\mu\nu}\frac{dx^\mu}{d\lambda} \frac{dx^\nu}{d\lambda}}$$.

注意对于无质量粒子,由于$$ds^2=0$$,$$\lambda$$不能是固有距离,必须取为纺线坐标.

(16)

这里获得的测地线的径向运动方程是以$$\varphi$$为自变量. 因为方程的其他部分都与$$\varphi$$无关,把$$\varphi$$视为"时间"变量,方程仍然可以被看成在一个一维有效势下运动的守恒方程,且体系的总能量为零. 有效势的零点同时对应了$$\frac{dr}{d\varphi}=0$$的回转半径,这在经典引力的质点散射问题中对应了(总能量为零的临界情况下沿抛物线运动)入射粒子能够达到的最小半径. 在这点附近,势场随着半径增加而减少,否则上述讨论没有意义.

实际情况中,势场还由粒子的守恒量$$(E,L)$$决定,一般情况下这个曲线存在一个极值,它是最大值. 这对应了一个临界情况就是势场的零点同时是势场的最大值. 这对应了半径轨道,(这时显然是圆轨道),即光球轨道. 在该点处势场的两阶导数决定了轨道的(径向)稳定性,势场是最大值决定了轨道是不稳定的. 如果这时继续改变粒子的守恒量而改变势场的形状,它可能不再与$$x$$相交,即势场没有零点,粒子轨道不存在回转点,这对应粒子将直接射入黑洞视界.

(23)

文中讨论的逻辑是先建立回转半径$$R$$和入射角度$$\alpha$$的关系,这里观测者可以在有限远$$r_O$$位置. 然后讨论回转轨道逼近光球轨道的条件,以求得黑洞阴影.

(44)

与Cunha的综述给出的计算思路比较,这里对FPO的讨论是完全相同的,甚至省略了一些细节. 但是,因为观测者处于有限位置,或者时空不是渐进平直的,我们不再能直接的得到光线偏折角度与像的关系(如arXiv:1311.4251v2一文的(4.1-2)的结果). 取代它的,是从观测者以某立体角方向发出光线的测地线方程,如果它没有完全解析的结果,那么立体角方位与FPO的解析关系同样适用. 前者可以用(44)的正交标架来定量化,而后者就是(45-48). 对于观测者位于有限位置的计算比较复杂,文中没有给出具体过程.

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Rotating black holes: Locally nonrotating frames, energy extraction, and scalar synchrotron radiation, Astrophys. J. 178, 347 (1972), by C. T. Cunningham and J. M. Bardeen
本文讨论了Kerr类稳态黑洞的测地线,稳定性,随动转动坐标和延测地线运动源造成的标量场的同步辐射问题.

(2.10-13)

这里对稳定性的讨论可参见arXiv:1801.00860v2一文测地线稳定性讨论的基本思路. 注意到这里只考虑到大圆上的测地线,故$$Q=0$$. 由(2.11)的两个条件可以把$$E/\mu, L/\mu$$视为两个未知数得到(2.12-13). 轨道是否有界可以由径向有效势(2.10)在无穷远处的渐进行为简单得到,因为主导项为$$\sim (E^2-\mu^2)r^4$$,所以$$E/\mu$$是否大于1直接决定了有效势在无穷远处为正无穷大还是负无穷大. 临界情况$$E/\mu=1$$正对应了(2.19).

(2.17-18)

文中指出,在大圆上的圆形零测地线轨道对应了在(2.14)分母变为复数前单位质量对应的能量发散的情况,显然这正是光子满足的极限条件.

(2.20)

这是由势场在其零点导数为零定出的粒子的能量角动量(2.12-13)代回势场形式并要求其两阶导数为负(注意这里的有效势与机械能守恒表达式中的势场差了一个负号)得到的条件.

Fig.2

这里给出的给定时间坐标的空间三维曲面中不同轨道在度规趋于极限黑洞时的结果.这里形象的看到,虽然轨道半径一样,但是这些轨道在三维曲面上是完全不同的.

(3.1-2)

从这里开始文中用LNRF来对测地线进行分析.需要 进一步 学习.

从(3.1-2)的结果,可以直接验证这组基是正交归一的.而实际上,我们知道(参见比如Schutz一书)坐标基(coordinate bases)一般并不是正交的,最简单的例子比如史瓦西度规下的坐标基$$e^t=dt, e_t=\tilde{d}t=\frac{\partial}{\partial t}=g_{tt}e^t$$,显然它并非归一的.

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The optical appearance of a star orbiting an extreme Kerr black hole, Astrophys. J. 183, 237 (1973), by C. T. Cunningham and J. M. Bardeen
(1)

这里涉及星体不被黑洞的潮汐力解体的条件,和星体轨道稳定的条件. 文中讨论影响光度的因素:影像的大小,以及多普勒与引力红移.

(16-19)

因为过一点的光测地线由两个参数决定,可以选取为(16-17)中守恒量比值$$(\lambda, q)$$,或者(18-19)定义光线的发射角度$$(\Psi, \Theta)$$. 注意到$$\lambda$$仅仅与$$\Psi$$有关.

(20-21)

这里考虑了沿着星体轨道切向发出的光子.文中通过分析(16)各项的符号判断光子能量的符号.当光子逆着星体运动方向沿轨道切向发射且轨道的半径足够小时,光子能量可能为负,这时对应了光子无法逃逸.

(27)

这里考虑了一个给定轨道半径的星体,给定的观测者的观测时刻,径坐标(几乎无穷远处)和观测角度(观测者相对黑洞的方位角). 方程(24)与(27)这两个方程决定了测地线的守恒量$$(\lambda, q)$$. 注意到,其中(27)等式右边的$$\Delta\phi, \Delta t$$分别由(25)和(26)决定.

方程中对$$(2\pi)$$取模使得这组方程有无数解. 而我们知道,这组数值决定了观测到的星体在天体坐标(celestial coordinates)中位置. 因此,星体被成像无数次.这个结论显然是一般的. 文中用像对应的测地线穿过赤道面的次数来对像进行标识.

(28ab)

这就是著名的天体坐标(celestial coordinates)的结果.

形式上,这里的第一步等式与arXiv:1311.4251v2的(4.1-2)的第一步等式相比差别很大. 但是仔细考察后,发现这仅仅是同样的几何光学形式的更为直接的表述,当观测者位于无穷远时,$$p^{(t)}\sim p^{(r)}$$且$$p^{(\phi)},p^{(\theta)}\ll p^{(r)}$$. 进一步,利用定义的投影与观测者视线的正交性,以及动量分量的正交性与运动方向的几何关系,所以几何尺度与动量分量构成相似性.具体的,我们得到形式上非常简单的关系$$\frac{|\alpha|}{r_0}=\frac{p^{(\phi)}}{p^{(t)}}, \frac{\beta}{r_0}=\frac{p^{(\theta)}}{p^{(t)}}$$.

这样,一旦计算了光子在无穷远处动量的渐进表达式,即得黑洞阴影的大小.等式第二步与已知结果一致,没有具体计算.但是第一个等式的第二步利用$$\lambda$$的定义是很显然的.

(29-31)

这里$$\lambda_{(t)}^\mu$$是星体的四速度,即(8a)中的$$\Lambda_{(t)}^\mu$$,文中应该是希腊字母大小写笔误.

通过计算,(30)说明光子红移仅仅与$$\lambda$$有关,而进一步替换为光子发射倾角后,发现红移又仅仅与$$\Psi$$有关,即沿着赤道面和星体转动同向发射的光子具有最大的"紫移",在其他条件不变的情况下对应了最强的光度.

(35)

没有看文献,并 不清楚 是如何得到的. 我们假想,星体以固定的标准钟(固有时)时间间隔发出给定频率的光子. 对平面波,如果仅考虑引力红移与发出光子的时间间隔的变化,光子在引力红移(不失一般性假设$$g_{tt}>1$$)的同时,对应相同标准钟时间间隔变大,即单位时间间隔接收到的光子数目变少,这样的光强对应的仅仅是频率比的平方. 对球面波,即假设以星体为中心各向同性发出的球面波,考虑度规$$g_{tt}=g_{rr}^{-1}$$,球面积由于度规的影响相应的变小. 因为单位时间星体释放的光子数不变,而光强等于单位标准钟时间接收到的光子数乘以每个光子的能量并除以表面积. 这样之前得到的频率平方的因子反而被抵消了?

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Observing the shadow of Einstein-Maxwell-Dilaton-Axion black hole, arXiv:1311.4251v2, by Shao-Wen Wei, Yu-Xiao Liu
这是一篇比较标准的计算黑洞阴影的范文,除了细节略有缺失外,具体步骤比较详细.

(2.7)

这里测地线方程由哈密顿雅克比方程决定.

首先,注意到在弯曲空间中自由粒子哈密顿量的形式是$$H=\frac12 g^{\mu\nu}p_\mu p_\nu$$,因为由此得到的哈密顿方程与测地线方程等价,与欧拉朗日方程方程也等价.其中注意到在没有外势场的情况下,拉格朗日与哈密顿量只差一个负号.

接着,比较经典力学中的哈密顿雅克比方程(如参见Goldstein一书)的具体形式,注意到$$S\equiv F_2$$,(2.7)正是哈密顿雅克比方程.其中$$\lambda$$是反射坐标,含有时间的物理意义.

(2.8)

这是雅克比作用量$$S$$在可分离变量情况下的试解.

其中等式右边第一项因为(2.7)右边$$\frac{\partial S}{\partial x^\mu}=p_\mu$$,而自由粒子动量缩并为质量的平方,对$$\lambda$$积分即得.

等式右边第二项第三项,因为能量角动量为守恒量来源于由对应的Killing矢量决定的对称性.具体的,度规从而作用量不是守恒量(广义动量)对应的广义坐标的函数,所以这些变量自然的可以分离,且表达为守恒量的简单形式.比如,对能量$$E=-p_t=-\frac{\partial S}{\partial t}$$,积分即得对应的项$$-Et$$.对角动量$$L=p_\phi$$,对应的广义坐标为$$\phi$$,同样积分得到$$L\phi$$(文中貌似有typo).

最后我们假设对$$r, \theta$$坐标同样可以分离变量,这样就得到了(2.8)的形式.对此的系统性阐述参见比如Separation of variables in the geodesic Hamilton-Jacobi equation by S.Benenti.

(2.14)

这里的$$K$$即Carter常数,由对应的Killing张量决定.又参见arXiv:1801.00860v2一文(4-5)附近的讨论.

(3.1-2)

易证(3.1)就是(2.11)的平方.

(3.3)

这是球面测地线满足的方程.直观的.半径不变$$\dot{r}=0$$意味着$$V_{\mathrm{eff}}=0$$.但是仅有这一个条件是不够的,因为这可能对应了上抛运动质点到达最高点处速度为零的瞬间.所以,同时我们要求$$\partial_r V_{\mathrm{eff}}=0$$,对应此时粒子受力亦为零.数学上对(3.1)两边对$$r$$等式左边第一项实际上正是$$\ddot{r}$$,而第二项为力,固定轨道$$r=\mathrm{const.} 0$$意味着处于势场的极值.这就是(3.3)给出的两个条件,也可以参考arXiv:1801.00860v2的(2)式.

显然,(3.3)并不能保证轨道是稳定的,后者对应解不但处于势场的极点,还需处于势场的底部.

文中指出,(不稳定)光球对应黑洞阴影的边界上的光线.这是因为,对于不稳定光球测地线,略微偏离该测地线都会使得矢径坐标$$r$$无限的增加从而达到观测者.临界情况下光线在达到观测者前将绕行黑洞无数圈.另一方面,对于达到观测者的临界光线,它对应的阴影的尺寸并不等于光球的尺寸,它由在假象的平直空间中的直线的影像决定.具体参见(4.1-2)的讨论.

理论上,我们必须证明,为什么球面测地线对应的是黑洞阴影的边界.直观的,如果球面测地线是不稳定的,那么稍稍偏离球面测地线解的测地线要么最终射向无穷远,达到观测者,要么落入黑洞,无法被观测到.在此意义上,球面测地线,即FPO,是我们观测到黑洞阴影的边界.而且球面测地线得到黑洞阴影是闭合的鸭蛋形状,故很可能是完备的,即包括了所有的满足上述条件的临界不稳定测地线.但是,我们仍然不妨直接提问,是否可能存在半径坐标不为常数的,既不落入黑洞也不射向无穷远的测地线,如果这样的测地线存在,那么球面测地线就是不完备的.对后面这个问题的答案是不存在.对Kerr黑洞,所有的FPO都对应半径不变的测地线.这是因为,(3.2)中的有效势仅仅是$$r$$的函数,对于不稳定的测地线,一旦偏离有效势的最大值,只能单调的增加到无穷大或者落入原点.这是Kerr黑洞"分离变量"情况下的简单而重要的后果.对于测地线的稳定性,aXiv:2007.04022v1一文中给出了具体的讨论,结论是,对任何存在球面测地线解的$$r$$,总是存在不稳定的测地线,提供黑洞阴影的边界.

(3.4-5)

由(3.3)得到两个方程,对$$a=0$$的情况,这两个方程可以决定$$r$$与$$(\xi^2+\eta)$$的值.

具体的,将(3.2)对$$r$$求导,由(3.3)我们可以联立得到
 * $$\frac{(r+2b)^2r^2}{r^2+2r(b-1)}=\frac{4(r+2b)r(r+b)}{2[r+(b-1)]}=\xi^2+\eta$$

由此得到一个关于$$r$$的一元两次方程$$r^2+3(b-1)r+2b(b-1)=0$$,其正根既是(3.4),代回即得(3.5).

(3.6-7)

对于$$a\ne 0$$的情况,由(3.3)得到的方程中$$(\xi, \eta)$$以独立的形式出现,这样我们由(3.3)中的两个方程决定$$(r,\xi,\eta)$$三个变量,得到(3.6-7)的结果.

(4.1-2)

我们先考虑等式的第一步.

在具体计算之前我们考察下述简单情况.

考虑某光源在$$z$$轴上,离开原点的距离为$$z_0$$.它以与$$z$$轴$$\alpha$$角度发出一束光线,在光线上的某一点的球极坐标为$$(r,\theta,\phi)$$.满足几何关系
 * $$\frac{r\cos\theta-z_0}{r\sin\theta}=\mathrm{ctan}\alpha =\mathrm{const.}$$

把等式左边的分母移到等式右边后,等式两边对$$r$$求导得到
 * $$\frac{d\theta}{dr}r=\frac{\mathrm{ctan}\theta-\mathrm{ctan}\alpha}{1+\mathrm{ctan}{\theta}\mathrm{ctan}{\alpha}}=\tan(\alpha-\theta)$$

等式右边在$$r\to\infty$$时趋于$$\tan(\alpha-\theta) \sim (\alpha-\theta)\to 0$$,但$$\lim_\limits{r\to\infty}r\tan(\alpha-\theta)=z_0\sin\alpha= z_0\sin\theta_0\equiv z_\perp$$,等式的右边$$z_\perp\equiv z_0\sin\theta_0$$正是源的尺度$$z_0$$在与观测者视线垂直的平面上的投影.最后我们有
 * $$z_\perp=\lim_\limits{r\to\infty}r^2\frac{d\theta}{dr}$$.

我们涉及的问题与上述几何问题相似,但更为复杂,这里具体分析如下.

我们考虑光源边界上的一个点的笛卡尔坐标为$$(r_0\cos\gamma, r_0\sin\gamma, z_0)$$以自身为原点的球极坐标角度$$(\alpha, \beta)$$发射的光线,相对坐标系的原点的球极坐标角度为$$(\theta, \phi)$$,显然在无穷远处$$\lim_\limits{r\to\infty}\theta\equiv\theta_0=\alpha, \lim_\limits{r\to\infty}\phi\equiv\phi_0=\beta$$.我们试图用导数$$\frac{d\theta}{dr}, \frac{d\phi}{dr}$$来表达处于无穷远方位为球极坐标角度$$(\alpha, \beta)$$的观测者观察到到上述边界点在与其视线垂直方向平面上的投影尺度.

由于上述位移距离$$(r_0, z_0)$$相对于无穷远是很小的,所以所涉及的投影距离的计算中可以近似为独立位移的贡献之和.沿着$$z$$轴的位移对$$\frac{d\theta}{dr}$$的计算和相应投影距离的计算我们已经给出,虽然上述计算中我们相当于取了$$\beta=0$$,但这个假设并不失一般性.接着我们给出赤道面上的平移$$r_0$$对$$\frac{d\theta}{dr}$$的贡献.我们类似的约定从平移后的点发出的光线在以自身为原点的求极坐标中的角度为$$(\alpha, \beta)$$

不失一般性,我们假设在大圆上$$\gamma=\pi/2, \beta=0$$.类似上述计算,我们有
 * $$\frac{r\cos\theta}{\sqrt{(r\sin\theta)^2-r_0^2}}=\mathrm{ctan}\alpha$$

移项后求导我们有
 * $$r\frac{d\theta}{dr}=\frac{\mathrm{ctan}^2\theta-\mathrm{ctan}^2\alpha}{\mathrm{ctan}\theta(1-\mathrm{cta}^2\alpha)}\sim 2\tan(\theta-\alpha)$$

而由几何关系
 * $$\tan\alpha=\frac{\sqrt{(r\sin\theta)^2-r_0^2}}{r\cos\theta}$$

故
 * $$\tan(\alpha-\theta)\sim\frac{\tan\alpha-\tan\theta}{1-\tan^2\alpha}\sim\frac{1}{2\sin\alpha\cos\alpha(1-\tan^2\alpha)}\frac{r_0^2}{r^2}$$

为两阶小量,故对$$r\frac{d\theta}{dr}$$没有贡献.

进一步,我们再考虑在赤道平面上离开原点距离$$r_0$$的光源在以自身为原点的求极坐标中以角度$$(\alpha, \beta)$$发出的光线,光线上一点在原本球极坐标系中的坐标为$$(r,\theta,\phi)$$.利用与上述分析非常类似的分析得到.
 * $$r_0=\lim_\limits{r\to\infty}(r\sin\theta_0)^2\frac{d\phi}{d(r\sin\theta_0)}=\lim_\limits{r\to\infty}r^2\sin\theta_0\frac{d\phi}{dr}$$.

其中在赤道平面上的平移$$r_0$$与观测者的视线垂直,与在$$z$$方向上的平移也垂直,故与后者在观测者视线垂直方向上的投影也垂直.

最后,显然在$$z$$轴上的平移对$$r\frac{d\phi}{dr}$$没有影响.等式第一步证毕.

对于等式第二步,我们很容易在极限$$r\to\infty$$下得到渐进结果$$\Delta\sim r^2$$,$$R\sim (Er)^2$$,$$\Sigma\frac{d\phi}{d\lambda}\sim L\mathrm{csc}^2\theta$$,$$\Sigma\frac{dr}{d\lambda}=\sqrt{R}\sim Er^2$$,由此$$r^2\frac{d\phi}{dr}\sim \frac{L}{E}\mathrm{csc}^2\theta=\xi\mathrm{csc}^2\theta$$,由此即得(4.1)等式第二步.而(4.2)等式第二步可由完全类似的讨论得到.

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Photon Regions and Shadows of Kerr–Newman–NUT Black Holes with a Cosmological Constant, arXiv:1403.5234v2, by Arne Grenzebach et al
这是一篇计算很细致的文章,值得一读.

Fig.3

这里作者讨论可分离变量的度规,比如Kerr度规的球面轨道.因为这些轨道同时需要满足(16),它们中的不稳定轨道对应Fig.3中的橙色区域.

这里,Fig.3的坐标是球面轨道的$$(r,\theta)$$坐标决定的平面. 本文结果的不平庸之处是作者还讨论了内区域.

对于外区域,在赤道平面$$\theta=\pi/2$$,即$$x$$轴上,轨道半径可取得最大值与最小值,对应著名的Kerr黑洞的光测地线圆轨道半径$$r_\pm$$.实际轨道半径$$r_-<r<r_+$$. 而在两极$$\theta=0,\pi$$,轨道半径是唯一的.这对应在arXiv:1801.00860一文(6)中取回转角度为两极即$$\cos^2\theta_*=0$$,由此得$$\eta^2=0$$,代回(4)要求其分子为零,这是一个一元三次方程,但有两个复根,只有一个实根满足物理条件.改图外区域的讨论又参见综述Fig.21及其讨论.

另外关于度规奇点和视界. 黑洞视界是由$$\Delta=0$$决定的. 而奇点是个环.具体的,在BL坐标中,$$r=0$$本身并不是一个点,而是一个与三维平直时空同构的平面. 后者含有一个有奇性的环,对应$$r=0,\theta=\pi/2$$,它才是真正的"奇点".又参见Israel的文章的相关笔记.

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Chaotic lensing around boson stars and Kerr black holes with scalar hair, arXiv:1609.01340v1, by P. V. P. Cunha et al
本文是对作者的PRL文章arXiv:1509.00021的完整版.讨论了不同黑洞混沌引力透镜.从简单的光线弯折,到爱因斯坦环,再到无数影像,最后到混沌影像.

文章主要通过分析有效势给出的测地线物理轨迹边界和具体的光测地线轨迹来讨论黑洞混沌引力透镜的物理机制,作者的主要结论是混沌引力透镜与稳定光环造成的口袋与不稳定光环共同影响光测地线,与计算得到的混沌引力透镜有强关联,但即不是后者的充分也非必要条件.混沌引力透镜同时与轨道半径的折返点的数目和时间延迟密切相关,但是同样没法判断两者间的充要关系.ergoregion与混沌引力透镜的关系似乎不大.具有两个狭长入口的口袋可能是造成两个阴影的原因.

下面我们用看图说话的方式,对文章的主要结果给出讨论.

Fig.2

本文的图形结果很大部分是对给定的碰撞参数$$\eta=L/E$$讨论光测地线的允许区域和具体轨迹.前者是通过对有效势$$h_\pm$$的讨论实现的.光测地线的允许范围由(2.13)决定,故根据$$g_{tt}$$的符号,Fig.2中的阴影对应了物理上允许的区域.显然,该区域的边界由$$\tilde{V}=0$$即(2.21)决定,如果势场的零点的导数也为零,那么对应光环解(2.23)上一式下的讨论.因此对应任意$$\eta$$值一般不存在光环解,但是由于其重要性,在后面很多图中一般都标出光环解的位置.

(2.22)

这个变换把从视界到无穷远处的径向坐标变换到了$$(0,1)$$的范围.

Fig.4

这里Fig.4-7给出了有效势等高线,讨论了口袋,光环解,ergoregion.

在具体问题中,混沌引力透镜主要由$$h_+$$的性质决定,因为它所决定的测地线的允许区域的结构更复杂.因此,文章有更多的讨论是针对$$h_+$$展开的.

图中给出的是对应某$$\eta$$值,等效势$$h_+$$的等高线,注意到$$h_+$$仅仅是时空坐标的函数.光测地线物理允许区域在等高线的右侧.$$\eta=-8.75$$的曲线在之后Fig.5会演化为一个口袋,对应$$\eta=-8.5$$的曲线.对于口袋的更为清晰的描绘,可参见Fig.10的$$2_{10}$$的白色区域.

Fig.5

除了上述讨论的口袋外,这里有两个光环解.

因为光环对应了$$h_+$$对$$r$$的导数为零,所以圆环的中心是势场的极值点,这个峰可以很尖锐,但是由于连续性,中心位置显然导数为零对应光环解,且是稳定的光环解.

而另一个光环解对应鞍点$$\eta=-8.61$$,不稳定的光环解.在图中,我们注意到这样的极值点的特点是,比鞍点值大的等高线和比鞍点值小的等高线的形式完全不同,是张口方向互相垂直的双曲线.

Fig.6

与上一个图相比,这里除了口袋,一个稳定光环和一个不稳定光环外,还有一个ergoregion(动域?动圈?).这体现在从外到内,$$\eta$$数值趋于负无穷然后再从正无穷减小.

和Kerr黑洞ergosphere比较,其内外边界分别由(参见arXiv:0706.0622图一)$$m\pm\sqrt{m^2-a^2\cos^2\theta}$$决定. 这是一个有一定厚度的球形区域,Kerr黑洞的内外视界处这个区域内.在$$\theta=0,\pi$$时内外视界半径的差距最小,但仍然不为零.而在这里,在$$\theta=\pi/2$$时,内外视界的差距最大,而在有限的仰角内外半径差距重合,故ergoregion对应的是torus或者美仕唐纳滋的形状.我们注意到,从外半径外向内或者从内半径内向外接近ergoregion的边界都对应$$\eta$$趋于负无穷,反之,从ergoregion内外接近外半径或者向内接近内半径都对应趋于正无穷.

Fig.7

此图对应了更复杂的情况.有两个ergoregion,其中第二个ergoregion只有外半径且是(上下)压扁的柿子状的,因为其半径在$$\theta=0,\pi$$时趋于零.另外还有四个光环解,其中第四个光环解位于势场$$h_-$$中.

Fig.8

与黑洞阴影边界的讨论类似,按arXiv:1801.00860v2一文(7)的结果,如果度规的渐进行为与Kerr相差不是特别大,同时观测者位于$$\theta_0$$位置上,那么$$\eta$$对应的是其观察到像点的$$x$$坐标(的负值). 这解释了为何Fig.8中给定的$$\eta$$值对应于基本平行于$$y$$轴的竖线.

文中指出,在$$-7.8<\eta<-7.5$$区域,有效势出现口袋.对应的观测到的测地线也包括了混沌引力透镜的结果. 而在$$\eta=0.1$$附近,有效势并不存在任何口袋,但是同样出现了混沌引力透镜的结果,因此口袋并非混沌盈利透镜的充分条件,文章在后面还同时实例证明,其实也不是必要条件.口袋和混沌引力透镜仅仅是有比较强的关联而已. 另外我们注意到,光测地线由两个参数决定$$\eta$$只是其中的一个,故本文后续部分讨论的给定$$\eta$$的测地线仅仅是众多可能的测地线中的一例而已.

Fig.9

这里给出时间延迟与混沌引力透镜的相关联,这个结果在逻辑上是很直观的.

Fig.10

这里给出轨道半径折返次数与混沌引力透镜的相关联,这个结果在逻辑上是很直观的.

(3.1)

比较arXiv:1801.00860v2一文的Fig.4,这里把黑洞置于坐标原点,光源天球(celestial sphere)$$\mathcal{N}$$并非处于无穷远,而仅仅是处于观察者的两倍的径向坐标处(作为比较,在实际计算中,把光源放在无穷远处也是可行的,比如参见arXiv:1502.03808v2一文).

Fig.11

这里考虑了混沌区域外,混沌区域边界和混沌区域对应的光测地线的具体图像. 这里左边的图,从有效势的角度,形象的给出了光测地线如何进入落入口袋(当口袋从一个封闭区域演化为与外界联通时),并在口袋中反复折返后最终逃逸的图像. 右边的图,给出了在对应的实域空间,光测地线绕黑洞折返直到逃逸的图景. 我们注意到,这个图像并不能完全直观的解读,比如口袋口越小,并不更易于发生混沌引力透镜现象.

Fig.12

与上图的差别是,这里分别给出了两个不相连的混沌区域的光测地线的结果.

Fig.13

与上图的差别是,这里讨论了混沌触发的极强的初值敏感.

Fig.14

这里讨论了Kerr黑洞(没有混沌,但是有无穷多影像的情况)的情况,本图是阴影外的光测地线,包括在口袋边界上的折射的特征.

Fig.15

接着上图,这是被黑洞吞噬的黑洞阴影部分光测地线.讨论了阴影边界(恰好落入黑洞)与阴影内的两个例子.

Fig.16

这是最复杂的度规情况,包括了上述讨论的各种光测地线类型.其中(略有)不同的情况包括:(无法进入的多个)封闭口袋,从口袋狭窄的咽喉处被分别反弹一次和两次.作者对此的物理解释是,光测地线在混乱引力透镜中的位置与其和不稳定光环的"共振"有关,数值计算中出现的中央黑影和眉毛黑影对应了与不同光环以及它们的某种组合相关(这基本就是满嘴跑火车档次的讨论).

Fig.17

这里给出两个落入不同阴影的测地线,按在口袋边界上的反弹次数的不同进行分析,号称这个结果进一步支持了之前的讨论.最后,即便在$$\eta=0$$有效势是平庸的情况下,测地线仍然表现出不平庸的运动方式,这是作者自己给自己打脸再进行的标注.

Fig.18

这是封闭口袋内的测地线,这样的测地线不会被远处的观察者观测到.值得指出的是,第二行的图提示,在有效势左图中看起来平庸的赤道平面上的测地线实际上因为坐标投影的关系,其运动轨迹可以是很复杂的.

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Fundamental photon orbits: black hole shadows and spacetime instabilities, arXiv:1705.05461v1, by P. V. P. Cunha et al
本文首先给了FPO的定义和分类. 其中"开""闭"属性是用光测地线是否触碰到有效势决定的物理边界来定义的. 这里 不清楚 "奇""偶"属性和$$\mathbb{Z}_2$$对称性的关系. 以赤道面上的轨迹为例,同一类别的轨迹$$\mathcal{O}^{0+}_0$$可以是不同的测地线.

接着,文章讨论了FPO的稳定性. 这用到了彭加莱图的方法,通过图中的固定点处的偏导矩阵的本征值来判定.具体还需要学习相关数学知识.

Fig.2

这是对Kerr黑洞的结果.按黑洞阴影的基本定义和性质,图中的曲线都是比较容易理解的.

其中$$\Delta\theta\equiv \theta_*-\pi/2$$相当于球面轨道的反转(纬度)角,它可由arXiv:1801.00860一文(6)决定,因为是对$$\cos^2\theta$$的方程,所以解对赤道面是对称的,$$\Delta\theta$$只需取一个$$(0,\pi/2)$$区间的解即可(文中取绝对值).在光环位置,$$\theta_*=\pi/2, \Delta\theta=0$$.因为对变量$$\cos^2\theta$$是两次方程,而转折角时唯一的,所以两次方程的根必然要被舍去一个对应更小角度的反转点. 在$$\eta=0$$时,上述文献中方程(6)可化为$$(\cos^2\theta_*-1)(a^2\cos^2\theta_*+\chi)=0$$,此时球面轨道的纬度角覆盖全部取值可能.

Fig.3-4

这是这篇文章最重要的结论.不光滑的黑洞阴影,称为cusp.这是在两支FPO间跃迁造成的结果.

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Lensing and dynamics of ultra-compact bosonic stars, arXiv:1709.06118v1, by P. V. P. Cunha et al
本文讨论了无视界致密星体光环对爱因斯坦环的贡献.

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Light ring stability in ultra-compact objects, arXiv:1708.04211v2, by P. V. P. Cunha et al
本文论证了对于连续的度规演化,光环解必然成对出现或者消失.主要思路是光环解对应某势场的极值点,而除了拐点外,极值点必然成对出现.

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Stationary black holes and light rings, arXiv:2003.06445v1, by Pedro V. P. Cunha and Carlos A. R. Herdeiro
本文讨论了光环解的存在性证明.采用的方法就是光环解对应某势场的极值点或者矢量场的零点,对后者任意的环路矢量绕转圈数是一个固定的值,拓扑荷.通过计算这个荷以证明在一般情况下黑洞视界外必存在光环解.

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Black Hole Shadows and Invariant Phase Space Structures, arXiv:1705.07061v1, by Jai Grover and Alexander Wittig
本文从动力学系统理论的角度讨论了光环轨道与黑洞阴影.很值得仔细研读.

这里涉及的一些动力学系统的数学概念,除了吸引子外,还有利亚波诺夫稳定性,稳定与不稳定流形,中心流形,不变流形,彭加莱图等概率.

在上述维基页中,土星的环作为一个直观的例子被多次使用,最清晰的讨论可参见关于中心流形的维基页. 按这个简述中的分析,可以发现,不变流形其实相当于平衡点附近的"独立"运动自由度方向,平衡点相即重整化群流方程中的不变点. 而进一步,稳定,不稳定,中心流形分别对应相应在自由度方向上对于平衡点扰动的稳定性.

Fig.1

这与中心流形定理有关,一般情况下,总是存在本征值实部为零的中心流形. 文中指出,对中心流形,在适当的假设下,附近的有界轨道都以利亚波诺夫指数形式趋于中心流形决定的轨道(参见这个文档(7-8)附近的讨论),称为利亚波诺夫轨道族. 注意到,有界轨道排除了本征值实部为正的轨道,所以对应的轨道的本征值实部只能为零或者为负,但本征值实部为负的轨道显然会更快的衰减掉.

Fig.2

文中首先在讨论哈密顿方程时指出,在轴对称情况下测地线的相空间由原本的八维降低为四维,分别对应径向和仰角坐标及其动量,即$$(r,\theta,p_r,p_\theta)$$. 在讨论利亚波诺夫轨道族由于哈密顿量形式的特殊性,$$p_r$$相空间为三维$$(r,\theta,p_\theta)$$. 在文中,如Fig.3,选择三个不同的变量$$(\eta,\theta,X)$$,其中$$\eta$$为碰撞参数,$$X$$是紧致化后的径向坐标. 对于球面轨道,相空间进一步减小为为二维. 最后,对光环轨道,在运动学系统相图中对应一个点.而与之接近的两维球面轨道在相空间中对应由光环轨道对应的点处发出的管道.

Fig.3

这里图中涉及的非球面测地线是三维的,在取定$$\eta$$的数值后是两维的,故可以在$$(\theta,X)$$坐标下没有歧义的表达. 因为相空间的每一个点,只可能被一根测地线占据,而同一利亚波诺夫轨道族都必须趋近于对应的中心流形. 因此,从属于同一利亚波诺夫轨道族的测地线从观测者附近出发,趋于对应的中心流形. 而不同利亚波诺夫轨道族的测地线同样从观测者附近出发,从前者的管道内穿过(因为管道的外延已与不可穿越的有效势外延贴合),趋于半径坐标更小处的中心流形.

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Multiple shadows from distorted static black holes, arXiv:1802.03062v1, by Jai Grover
本文讨论球对称基础上黑洞度规中的四极距分量导致的多重黑洞阴影.

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Shadow cast by a Konoplya-Zhidenko rotating non-Kerr black hole, arXiv:1707.09451v3, by Mingzhi Wang, Songbai Chen, and Jiliang Jing
本文给出由连续度规参数变化下存在黑洞阴影cusp的结果.这里测地线是可以分离变量的.

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Chaotic shadow of a non-Kerr rotating compact object with quadrupole mass moment, arXiv:1801.02118v3, by Mingzhi Wang, Songbai Chen, and Jiliang Jing
陈松柏是有程序的.

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Shadow of a black hole surrounded by dark matter, arXiv:1905.00064v3, by R. A. Konoplya
史瓦西黑洞加暗物质的黑洞阴影.

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Weak deflection angle of a dirty black hole, arXiv:2003.06829v3, by Reggie C. Pantig and Emmanuel T. Rodulfo
Kerr黑洞加暗物质的黑洞阴影.

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Comments on the "vibrations" of a black hole, Astrophys. J.172 (1972) L95, by J. Goebel
本文是第一篇把QNM(波)和光环上的零测地线(粒)联系起来的工作.但因为没有涉及具体的几何光学近似计算,讨论有些晦涩也不够充分.

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Geodesic stability, Lyapunov exponents and quasinormal modes, arXiv:0812.1806v3, by Vitor Cardoso et al
本文讨论了球对称度规在WKB近似和eikonal极限($$\ell\to\infty$$)下QNM频率与光球测地线的Lyapunov指数和角速度的关系.文章非常简单. 实际上,本文的结论在当时并不是"新"结果,在PT方法的文章中,已经得到了相关结论,区别只是利用了一般性更低的PT方法而不是WKB近似.

(10)

这里(7)和(9)都可以直接用定义(6)和(8)得到.

如果取合适的坐标系把矩阵$$L$$对角化,那么(8)意味着$$L$$的每一个本征值完全决定了相关的坐标分量(原来坐标分量的线性组合)的时间演化. 如果这个时间演化是指数形式,如$$e^{\lambda t}$$,那么(10)的定义就能得到对应的指数. 我们知道,按线性微扰理论,对两阶方程,一般情况下,微扰的演化就是指数形式的.具体的,$$\lambda<0$$对应体系是稳定的,而$$\lambda>0$$意味不稳定. 这里(10)针对$$L$$矩阵最大的本征值,决定了对体系的微扰随时间最快的增长方式.

(14)

在具体计算中,由(7)得到矩阵$$K$$,从而由(9)决定矩阵$$L$$.将后者对角化后利用(10)即得Lyapunov指数. 故(14)给出的结果由$$K$$的矩阵元决定.

(33)

这由(27)和(30)即得.

(34)

这里是在之前的推导中增加零测地线的信息,即(28)等式右边的常数为零.

(46)

这就是本文的主要结果.

注意到在球对称情况下,势场极值点与光球半径重合$$r_0=r_c$$.只需将WKB近似结果在极限$$\ell\to\infty$$下取主导项得到(45),与之前的结果(37)和(40)比较即得.

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Analytical correspondence between shadow radius and black hole quasinormal frequencies, arXiv:2005.09761v1, by B. Cuadros-Melgar et al
本文讨论了球对称度规在WKB近似和eikonal极限($$\ell\to\infty$$)下QNM频率实部与光环半径的关系.文章非常简单.

(4)

这是具有球对称的度规光环(光球)满足的条件.

它可以由arXiv:1801.00860中P.6定义的有效势$$H_\pm(r,\theta)$$和它的梯度决定. 在球对称情况下的光球$$\theta=\pi/2$$,我们有$$g_{tt}=-f(r)$$,$$g_{t\varphi}=0$$,$$g_{\varphi\varphi}=r^2\sin\theta$$. 代入有效势的表达式,我们只需要取正根$$H_+=\sqrt{\frac{-g_{tt}}{g_{\varphi\varphi}}}=\sqrt{\frac{f(r)}{r^2}}$$. 它的导数为零的条件正是(4).

(10)

这里说明,在极限$$\ell\to\infty$$下,势场极值(WKB近似应用位置)与光球半径是一致的.

(11)

利用WKB近似的结果(7),在$$\ell\to\infty$$时势场的实部仅由(7)实部的第一项决定(所以似乎根本不需要用到三阶WKB的结果),按势场的形式(3)在$$\ell\to\infty$$极限下$$g(r)$$项没有贡献,剩余部分按$$\ell$$的平方项和一次项展开即得(11)的实部,即(13).后者就是本文的核心结果,实在有点苍白.

(12)

这里等式右边第一个因子的分子$$(2\nu+1)$$应该是$$2\nu$$或者$$(2n+1)$$(笔误).而根号内的结果由(9)得到的$$f'=2f/r$$代入即得.

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Quasinormal-mode spectrum of Kerr black holes and its geometric interpretation, arXiv:1207.4253v1, by Huan Yang et al
本文提出了一个利用WKB方法计算Kerr黑洞的近似算法.并在此基础上讨论了QNM(波)的几何光学(高能粒子)近似,并由此建立起了Kerr黑洞QNM与等半径轨道的物理量间的联系.

(2.16)

这里引入的三个变量来取代标记QNM本证频率的指标$$\Omega, A_{\ell m}, L=\ell+\frac12, m$$. 在eikonal近似下,在一阶近似时它们充分的决定了主方程,更重要的是,在几何光学近似下与Kerr黑洞零测地线的三个守恒量一一对应.

(3.1-3.8)

这里具体给出了几何光学近似(geometric optics approximation)的具体做法. 该方法从一个零质量(标量)场的波动解入手,证明在满足波长远小于波面尺度的"高能"近似下,可以得到点粒子满足的零测地线方程. 由此,在零级近似下,等相面的法向量是零矢量且满足测地线方程,对应"光子"的波矢;在一级近似下,我们可以得到振幅的演化方程.

(3.15-3.18)

与WKB近似中的波函数形式比较,我们逐项得到了QNM涉及的频率等物理量与零测地线涉及的守恒量间的关系.

(3.19)

这里作者指出,WKB条件正对应了径向零测地线轨道为同宿轨道(homoclinic orbit). 注意到WKB近似在高overtone情况下不准,但本文讨论的低overtone情况下的eikonal极限正是WKB近似的适用场景.

但文中仅讨论径向方向运动方程,在光环半径处有效势为最大值,这样初始扰动只能向内外传播,这正是径向QNM方程的边界条件. 按下面(4.12)处的讨论,这里的同宿轨道与在arXiv:2009.06641v2在光测地线计算中涉及的黑洞glimmer的条件要求闭合(共振)轨道resonant orbits不同.

(3.36)

在把WKB方法中的对应的场方程中的参数用零测地线守恒量替换后,通过解一阶近似方程可以算出波函数频率的虚数部分,这里得到的结果(3.36)与球对称黑洞一致,与主量子数与Lyapunov指数有关. 接着,文中证明(3.43)就是WKB方法得到的频率虚部,(2.39).

(3.44-45)

由Lyapunov指数的定义,(3.44)给出了光束横截面随着时间演化弥散的形式. 由横截面与波函数振幅的关系,得到了横幅相应的关系(3.8),注意到其中的1/2系数,这与QNM的最低overtone的结果一致. 这是因为高阶overtone因为离开实轴更远,在回路积分中的贡献指数的被压低.

(4.12-15)

这里给出了球面轨道闭合的条件正是QNM简并的条件,这种简并使得QNM频率虚部不变,在实轴上均匀分布,与史瓦西黑洞类似. 这对应了arXiv:2009.06641v2一文所讨论的闭合(共振)轨道resonant orbits和黑洞glimmer.

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Black Hole Glimmer Signatures of Mass, Spin, and Inclination, arXiv:2009.06641v2, by George N. Wong
本文通过讨论Kerr黑洞具有周期性的球面轨道,称为共振轨道(resonant orbits)来讨论黑洞附近光源的闪动(gimmer).

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Light echos and coherent autocorrelations in a blackhole spacetime, arXiv:2012.11778v1, by Paul M. Chesler et al
本文计算黑洞附近标量场的关联函数来研究黑洞附近光源的"回声"(echoes).但格林函数就是QNM的定义,回声是格林函数的时域的极大值,由复平面上的极点决定.

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Shadow of a naked singularity, arXiv:1505.07017v2, by Néstor Ortiz, Olivier Sarbach, and Thomas Zannias
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The shadow of a collapsing dark star, arXiv:1802.04901v2, by Stefanie Schneider and Volker Perlick
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