Research Paper Notes on Review of Black Hole Thermodynamics

Research Paper Notes on Review of Black Hole Thermodynamics

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文献列表

 * Hawking Radiation and Black Hole Thermodynamics, by Don N. Page, arXiv:hep-th/0409024v3
 * Black Holes, Lecture notes by P.K. Townsend, arXiv:gr-qc/9707012
 * An Introduction to Black Hole Evaporation by Jennie Traschen, arXiv:gr-qc/0010055v1
 * Greybody FactorsHawking Radiation in Disguise, by Jorge Escobedo, Master’s thesis, University of Amsterdam, 2008

Hawking Radiation and Black Hole Thermodynamics, by Don N. Page, arXiv:hep-th/0409024v3
这是一篇包含了一些作者亲身经历的综述文章,但是文章深入阐述了很多黑洞热力学中概念的不平庸的物理内涵,很难看懂.只能在对相关领域的重要结果以及结果推导的细节很熟悉的情况下才能回看此文.可能这辈子没戏了.

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Black Holes, Lecture notes by P.K. Townsend, arXiv:gr-qc/9707012
本讲义涉及黑洞的基本数学与物理,很好的入门读物.

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An Introduction to Black Hole Evaporation by Jennie Traschen, arXiv:gr-qc/0010055v1
(3.21-23)

注意到Rindler坐标$$(u,v)$$或者$$(T,\xi)$$并不能涵盖全空间.具体的,由于(3.23)
 * $$\bar{u}=-\exp(-\alpha u)$$
 * $$\bar{v}=\exp(\alpha v)$$

故
 * $$-\infty<\bar{u}<0$$且$$0<\bar{v}<+\infty$$.

换言之,它仅对应Fig.2中的I区域.而双零坐标$$(\bar{u},\bar{v})$$与Minkowski坐标涵盖的空间是一致的.具体参见Fig.2及其图例的标记.

文中的(3.23)有打字错误,为了正确的得到其他关系(3.23)其实应该为
 * $$v=\frac1a\ln(a\bar{v})$$
 * $$u=-\frac1a\ln(-a\bar{u})$$

由(3.22-3.23)附近的定义,容易证明
 * $$t=\frac1a\exp(a\xi)\sinh(a T)\equiv X\sinh{a T}$$
 * $$x=\frac1a\exp(a\xi)\cosh(a T)\equiv X\cosh{a T}$$

这与标准(比如维基页)的Rindler坐标系的定义一致. 不难证明,在Rindler坐标系中静止的,即取给定空间分量$$X$$或$$\xi$$,世界线对应定加速运动,这时$$T$$正比于固有时.具体的,在Minkovski度规中世界线的速度与加速度为$$d\tau=\exp(a\xi)dT$$,$$u^\mu=(\cosh(aT),\sinh(aT)), a^\mu=(a\exp(-a\xi)\sinh(aT),a\exp(-a\xi)\cosh(aT))$$,这样$$g_{\mu\nu}u^\mu u^\nu=-1, a\equiv\sqrt{g_{\mu\nu}a^\mu a^\nu}=a\exp(-a\xi)$$,与文中给出的结果一致.如果要让$$T$$恰为固有时,那么必须考虑固定点$$\xi=\frac1a$$.

这里粗略的分析一下彭罗斯图.按Fig.1,图上有过去类时无穷$$i^-$$,将来类时无穷$$i^+$$,类空无穷$$i^0$$.这些都对应点.我们还有过去零无穷$$\mathscr{I}^-$$和将来零无穷$$\mathscr{I}^+$$.后者对应两条边,在趋于无穷大时需满足零曲线的方程$$(t\pm r)=0$$.如果不是因为彭罗斯图的共形变换,上述"点"与"边"的几何形式并不是确定的,比如类空,类时,和类光无穷远都占据无穷大的相空间.而在这里,按彭罗斯图定义的共形变换,任何时间与空间坐标中只有一个量趋于无穷的事件显然都会映射为三个点$$i^0,i^\pm$$之一.现在,让我们假设一个无限过去的事件的$$t\to -\infty,r\to +\infty$$坐标都趋于无穷,但是它们绝对值的比值趋于一个小于1的常数$$|t|/r = 0.9$$,那么即便以最快的方式沿着光测地线演化到$$t=0$$时,其$$r$$坐标仍然为无限大,故这个事件的极限也必然属于$$i^-$$.而另一方面,如果坐标都趋于无穷且它们的比值趋于1$$t\to +\infty,r\to -\infty,t/r\to -1$$,但是它们绝对值的差距是一个有限大小的数字$$-t=r+3$$,这时,这个事件必然属于$$\mathscr{I}^-$$,而显然,这个事件与精确满足$$t=r\to +\infty$$的事件并不相同.上面两个例子解释了为何连接$$i^0 i^-$$的过去零无穷$$\mathscr{I}^-$$是一根线而非一个点.这根线对应$$\bar{u}=-\infty,\bar{v}=\mathrm{finite}$$,后者为任意有限的实数.类似的$$\mathscr{I}^+$$也是一根线,对应$$\bar{v}=+\infty,\bar{u}=\mathrm{finite}$$,同样后者为任意有限的实数.

接着,我们比较Fig.2,在新的坐标$$(u,v)$$趋于正负无穷大的情况下,它仅占有原先彭罗斯图的区域I.原来的零无穷边界$$\mathscr{I}^\pm$$分别对应$$\bar{v}=\infty$$和$$\bar{u}=-\infty$$,对任一边界,另一个不固定的坐标的演化范围正是对应边界的数值.比如,在边界上,$$\bar{v}=\infty$$,而$$-\infty<\bar{u}<0$$.但在图中,仅仅用了不为零的坐标来标记,即$$\bar{v}=\infty$$和$$\bar{u}=-\infty$$.我们最后指出,上述讨论是基于普通的(3+1)维情况下满足旋转对称性的球坐标下的彭罗斯图,在本文是讨论(1+1)维情况下的彭罗斯图,但是因为实际应用仅发生在$$x>0$$的区域,我们可以直接利用上述以$$r (r>0)$$为空间坐标的讨论.

区域I的边界"线"同样是坐标$$(T,\xi)$$的零无穷,注意到,在(1+1)维下,坐标$$\xi$$可正可负,所以除了两条零无穷与上述讨论重合,另外两条处于上述讨论中的彭罗斯图的内部.对于重合的边界,我们容易验证,在$$T,\xi\to +\infty,T/\xi\to 1$$时$$t,x\to +\infty,t/x\to 1$$,而在$$T\to -\infty,\xi\to +\infty,T/\xi\to -1$$时$$t\to -\infty,x\to +\infty,t/x\to -1$$.所以右上与右下的零无穷边界$$\mathscr{I}^\pm$$在两个坐标下的确是完全重合的,可直接使用上述讨论结果.而左上边界$$\mathscr{H}^+$$的定义为$$T\to +\infty,\xi\to -\infty,T/\xi\to -1$$,故$$u=+\infty,v=\mathrm{finite}$$,用上面导出的关系易得此时$$\bar{v}=\frac1a\exp(av)=\mathrm{finite}$$,$$\bar{u}=-\frac1a\exp(-au)=0$$.类似的,左下边界$$\mathscr{H}^-$$为$$v=-\infty,u=\mathrm{finite}$$,导出$$\bar{v}=0,\bar{u}=\mathrm{finite}$$.这与图中的标记一致.

我们可以把上述分析反过来,从$$(t,x)$$坐标出发.按文中的讨论,区域I的左上和左下的零边界$$t=\pm x$$圈围的是$$x \ge 0$$且$$|t|\le x$$的区域,换言之,边界对应$$\bar{u}=0_-,\bar{v}=\mathrm{finite}$$以及$$\bar{v}=0_+,\bar{u}=\mathrm{finite}$$(见图例).按坐标的定义,我们有
 * $$\xi=\frac{v-u}{2}=\frac{\ln(-a\bar{u})+\ln(a\bar{v})}{2a}$$

类似的因为
 * $$T=\frac{v+u}{2}=\frac{\ln(a\bar{v})-\ln(-a\bar{u})}{2a}$$

所以在边界上我们有$$a\xi \to -\infty$$和$$aT \to \pm\infty$$.这与上面得到的结果完全一致.

因为有(3.22),在坐标系$$(T,\xi)$$中的光速$$c=1$$,故处于无穷远处的边界永远不能达到,对应柯西Cauchy视界(对观测者有因果联系的时空边界). 另一方面,度规(3.22)不依赖于$$T$$,所以存在Killing矢量$$k^{(T)}=\partial_T$$,它的逆变分量为$$(k^{(T)})^\mu=(1,0)$$.显然,它的模
 * $$g(k^{(T)},k^{(T)})=g_{\mu\nu}(k^{(T)})^\mu (k^{(T)})^\nu=g_{00}=-e^{2a\xi}$$

在视界上等于零.即克林矢量在视界上为零矢量. 书中指出,上述结果是因为克林矢量$$k^{(T)}$$在坐标系$$(t,x)$$中对应的是洛伦兹冲刺变换而非时间平移变换,这是Minkowski时空具有的对称性之一.在类光边界$$t=\pm x$$显然洛伦兹冲刺不产生任何影响.

注意,与黑洞度规类似,上述两个视界为零曲面.简单的说,这是因为光锥$$t=\pm x$$为零曲面.在$$(T,\xi)$$坐标系中,视界由方程$$f(T,\xi)=\xi\pm T=\mathrm{const.}$$决定,求梯度易知它的法向矢量$$n_\mu$$的协变分量为$$n_\mu=(\pm 1,1)$$,直接通过度规计算它的模为不定式$$\infty\cdot 0$$.这个表面上的困难可以通过在Minkowski坐标中的计算来解决,因为矢量的模不依赖于坐标系.具体的,在$$(t,x)$$坐标系中,这是显而易见的,因为视界曲面方程$$f(t,x)=t\pm x=0$$决定了法向量的协变分量为$$n_\mu=(1,\pm 1)$$,这显然是零矢量.如果从Minkowski坐标系中的法向矢量出发,考虑坐标变换,我们会发现度规中的无穷大因子与坐标变换中产生的零因子正好精确抵消,剩余的有限项来自时间与空间部分的分量贡献正好相减,最后结果也为零.

(3.24-25)

注意到这里是两阶偏微分方程而非两阶常微分方程,故通解有四个积分常数,与(3.25)的形式对应.物理上说,对应给定正粒子能量$$\omega$$,存在两个相反方向的动量态.

从场方程解的角度出发,这里的两个表达式分别对应左行与右行波,它们都是波动方程(2.4)的解.与平直空间场论中场算符的展开比较,比如Mandl一书(3.27),这里的波函数展开的形式类似,唯一的区别是没有统一的时间坐标.具体的,波函数形式上只是$$(\omega,u)$$或者$$(\omega,v)$$的函数,换言之,只涉及时空坐标的某种组合.没有统一的时间坐标的矛盾的一部分解决办法就是对波函数内积即正交性的定义(2.5).

比较Fig.2,注意到在视界$$\mathscr{H}^\pm$$与零无穷边界$$\mathscr{I}^\pm$$上坐标$$(\bar{u},\bar{v})$$的取值.这对在视界等边界附近时,波函数的形式的简化产生直接影响.

(3.29)

这里考虑一个波包.物理上,它从无限远$$x\to +\infty$$处向内传播,换言之,它从过去零无穷$$\mathscr{I}^-$$附近出发.但是,它并不传播到对应的"将来"视界$$\mathscr{H}^+$$.因为波函数是时空的函数,坐标空间是时空的坐标.所以我们在数学上可以理解为一个时空坐标$$(\bar{u},\bar{v})$$中定义的波包(已包含了自身的时空演化信息)的峰值出现在$$\mathscr{I}^-$$附近,在$$\mathscr{H}^+$$附近为零.按上面的讨论,在$$\mathscr{I}^-$$附近,$$\bar{u}=-\infty,0<\bar{v}<\infty$$,而在$$\mathscr{H}^+$$附近,$$\bar{u}=0,0<\bar{v}<\infty$$变化.这样我们看到,波函数并不直接依赖与决定$$\bar{u}$$而仅仅与$$\bar{v}$$有关,在此意义上,我们只能理解(3.29)采用某种 未知 的方式,通过在给定频率$$\omega$$附近的平面波叠加,使得波包的中心位置离开另一个坐标$$\bar{u}=0$$的位置非常远.

(3.30-31)

这是利用内积定义(2.5)计算波戈留波夫系数(2.17)以得到(2.20)的精髓所在!

我们要考虑一个在Rindler坐标的观察者看到的从视界处发射的粒子态,故只需考虑他所在坐标系中的右行波,因为不存在任何散射,与它的内积只需要考虑在静止坐标系中的右行波即可.这样我们只需计算(3.30)的第一式.

由(2.6),对时间坐标$$t$$的导数可以改为对$$\bar{u}$$的偏导.而对类时曲面的积分,被选择在了类光的曲面$$\mathscr{H}^-$$上.理由是,因为没有散射,在$$\mathscr{H}^+$$上没有任何贡献,而在$$\mathscr{I}^-$$上没有物理上相关的入射初态.

因此,由于(3.27)
 * $$f\equiv p_\omega=\frac{1}{\sqrt{2\pi\omega}}e^{-i\omega u}=\frac{1}{\sqrt{2\pi\omega}}e^{+i\frac{\omega}{a}\ln(-a\bar{u})}$$,

我们有
 * $$\partial_T p_\omega=\frac{\partial \bar{u}}{\partial T}\partial_{\bar{u}}p_\omega=\partial_{\bar{u}}p_\omega=\frac{i\omega}{a\bar{u}}p_\omega$$.

并注意到
 * $$e^{i\frac{\omega}{a}\ln(\pm a\bar{u})}=(\pm a\bar{u})^{\frac{i\omega}{a}}$$

另外
 * $$h\equiv j_{\omega'}=\frac{1}{\sqrt{2\pi\omega'}}e^{-i\omega'\bar{u}}$$,
 * $$\partial_T j_{\omega'}^*=\frac{1}{\sqrt{2\pi\omega'}}(i\omega')e^{i\omega'\bar{u}}$$

这样,
 * $$\alpha_{\omega\omega'}=(p_\omega,j_{\omega'})=(f,h)=-i\int d^3\sqrt{-g}(f\dot{h}^*-\dot{f}h^*)

=\frac{i(-i)}{2\pi\sqrt{\omega\omega'}}\int_{-\infty}^0 d\bar{u}\left(\omega'e^{i\omega\ln(-a\bar{u})}e^{i\omega'\bar{u}}-\frac{\omega}{a\bar{u}}e^{i\omega\ln(-a\bar{u})}e^{i\omega'\bar{u}}\right)$$
 * $$=\frac{-1}{2\pi\sqrt{\omega\omega'}}\int^{-\infty}_0 d\bar{u}\left(\omega'e^{i\omega\ln(-a\bar{u})}e^{i\omega'\bar{u}}-\frac{\omega}{a\bar{u}}e^{i\omega\ln(-a\bar{u})}e^{i\omega'\bar{u}}\right)$$
 * $$=\frac{1}{2\pi\sqrt{\omega\omega'}}\int^{\infty}_0 d\bar{u}\left(\omega'e^{i\omega\ln(a\bar{u})}e^{-i\omega'\bar{u}}+\frac{\omega}{a\bar{u}}e^{i\omega\ln(a\bar{u})}e^{-i\omega'\bar{u}}\right)$$
 * $$=\frac{1}{2\pi\sqrt{\omega\omega'}}\int^{\infty}_0 d\bar{u}\left(\omega'(a\bar{u})^{\frac{-i\omega}{a}}e^{-i\omega'\bar{u}}+\frac{\omega}{a\bar{u}}(a\bar{u})^{\frac{i\omega}{a}}e^{-i\omega'\bar{u}}\right)$$

利用$$\Gamma$$函数的定义$$\Gamma(s)=\int_0^\infty e^{-z}z^{s-1}dz$$,我们记
 * $$z=i\omega'\bar{u}$$
 * $$s=\frac{i\omega}{a}$$

上式可以进一步写为
 * $$=\frac{1}{2\pi\sqrt{\omega\omega'}}\int^{\infty}_0 dz\left((-i)\left(\frac{a}{i\omega'}\right)^{\frac{i\omega}{a}}z^s e^{-z}+

\left(\frac{-i\omega}{\omega'}\right)\left(\frac{a}{i\omega'}\right)^{\frac{i\omega}{a}-1}z^{s-1}e^{-z}\right)$$
 * $$=\frac{1}{2\pi\sqrt{\omega\omega'}}\left((-i)\left(\frac{a}{i\omega'}\right)^{\frac{i\omega}{a}}\Gamma(s+1)+

\left(\frac{-i\omega}{\omega'}\right)\left(\frac{a}{i\omega'}\right)^{\frac{i\omega}{a}-1}\Gamma(s)\right)$$
 * $$=\frac{1}{2\pi\sqrt{\omega\omega'}}\left((-i)\left(\frac{a}{i\omega'}\right)^{\frac{i\omega}{a}}\Gamma(s+1)+

(-i)\left(\frac{a}{i\omega'}\right)^{\frac{i\omega}{a}}s\Gamma(s)\right)$$
 * $$=\frac{1}{\pi\sqrt{\omega\omega'}}(-i)\left(\frac{a}{i\omega'}\right)^{\frac{i\omega}{a}}\Gamma(s+1)$$.

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Greybody FactorsHawking Radiation in Disguise, by Jorge Escobedo, Master’s thesis, University of Amsterdam, 2008
本硕士论文讨论灰体因子的计算.灰体因子的物理是时空弯曲的有效势场对霍金辐射黑体谱的修正,在此意义上称之为"灰体".

(5.13)

这里具体证明了为何灰度因子可以用从无穷远入射的透射系数来定义.这是因为对任何势场,从左到右的透射系数等于从右到左的透射系数.

注意到一个两阶常微分方程的通解包含两个积分常数.但是由于在无穷远处势场为零,故在一端,比如在边界$$x\to -\infty$$处的渐进方程的通解$$e^{\pm i\omega}\ \ (x\to -\infty)$$前的常数$$C_1, C_2$$就足以充分的确定方程的解.因此,在边界另一端$$x\to +\infty$$处两个解$$e^{\pm i\omega}\ \ (x\to +\infty)$$是线性独立的,但是它们之前的系数,完全由$$C_1, C_2$$决定.具体的,通解中的两个积分常数的确定由问题的物理条件决定,并且注意到因为方程是线性的,故归一常数就可视为其中的一个积分常数,而因为它本身不携带物理意义,真正的有物理意义的通解仅由一个积分常数决定.在物理上,我们考虑从左侧$$x\to -\infty$$处入射的平面波,其振幅$$\mathcal{I}$$为积分常数,由势场产生反射与投射波,其中反射与投射系数$$\mathcal{R},\mathcal{T}$$并不是独立的,完全由入射振幅决定.问题的第二个积分常数是波函数的整体归一性,如上所述它并不携带任何物理意义故不予讨论.因为两个解$$e^{\pm i\omega}\ \ (x\to -\infty)$$是线性独立的,故把上述解中的频率取负号,我们得到了另一个线性独立的解.这时,我们可以等价的说,一般解的两个积分常数可以视为线性独立的左侧"入射波"$$e^{\pm i\omega}\ \ (x\to -\infty)$$前的系数.换言之,这两个解构成一组完备基.

因此,任何其他解必然可以用上述完备基展开.特别的,我们考虑由右侧$$x\to +\infty$$"入射波"$$e^{\pm i\omega}\ \ x\to +\infty$$构成的解如何由左侧入射波的展开问题.利用文中的符号,我们容易用基来构造$${\psi'}_\omega, {\psi'}_{-\omega}$$,具体的,我们有
 * $${\psi'}_\omega\propto\tilde{R}\psi_\omega-\psi_{-\omega}=\left\{\begin{matrix}R\tilde{R}e^{-i\omega x}-e^{-i\omega x}&x\to +\infty\\T\tilde{R}e^{i\omega x}-\tilde{T}e^{-i\omega x}&x\to -\infty\end{matrix}\right. $$
 * $${\psi'}_{-\omega}\propto\psi_\omega-R\psi_{-\omega}=\left\{\begin{matrix}-R\tilde{R}e^{i\omega x}+e^{i\omega x}&x\to +\infty\\Te^{i\omega x}-R\tilde{T}e^{-i\omega x}&x\to -\infty\end{matrix}\right.$$

由此对比相关项后得
 * $$T'=-\frac{R\tilde{R}-1}{\tilde{T}}\ \ \ R'=-\frac{T\tilde{R}}{\tilde{T}}$$
 * $$\tilde{T}'=\frac{1-R\tilde{R}}{T}\ \ \ \tilde{R}'=-\frac{R\tilde{T}}{T}$$

并注意到流守恒的关系$$R\tilde{R}+T\tilde{T}=1$$,易得$$T=T', \tilde{T}=\tilde{T}'$$.

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