Research Paper Notes on Flow Fluctuations and Non-flow Analysis

Research Paper Notes on Fluctuation and Non-flow Analysis

本文档除了包括推导, 疑惑 外,做 读书重点 的记录 $$ $$

参考文献

 * Eccentricity fluctuations and elliptic flow at RHIC, nucl-th/0607009, by Rajeev S. Bhalerao and Jean-Yves Ollitrault
 * Elliptic flow in the Gaussian model of eccentricity fluctuations, arXiv:0708.0800, by Sergei A. Voloshin et al.
 * Effect of flow fluctuations and nonflow on elliptic flow methods, arXiv:0904.2315, by Jean-Yves Ollitrault, Arthur M. Poskanzer, Sergei A. Voloshin
 * Effects of flow fluctuations and partial thermalization on v(4), arXiv:0907.4664, by Clement Gombeaud, Jean-Yves Ollitrault
 * Understanding anisotropy generated by fluctuations in heavy-ion collisions, arXiv:1107.5485v2, by Rajeev S. Bhalerao, Matthew Luzum, and Jean-Yves Ollitrault
 * Eliminating experimental bias in anisotropic-flow measurements of high-energy nuclear collisions, arXiv:1209.2323, by Matthew Luzum, Jean-Yves Ollitrault
 * Non-Gaussian eccentricity fluctuations, arXiv:1604.07230v2, by Hanna Gronqvist, Jean-Paul Blaizot, and Jean-Yves Ollitrault

Eccentricity fluctuations and elliptic flow at RHIC, nucl-th/0607009, by Rajeev S. Bhalerao and Jean-Yves Ollitrault
Eq.(11)注意到平均值的方差(variance)实际上随着测量次数的增加而减少,因为按定义
 * $$\begin{align}

Var{(x_i-\bar{x})}=\sigma^2 \end{align}$$
 * $$\begin{align}

Var\left({\frac{\sum_{i=1}^N(x_i-\bar{x})}{N}} \right)=\frac{\sum Var{(x_i-\bar{x})}}{N^2}=\frac{N\sigma^2}{N^2}=\frac{\sigma^2}{N} \end{align}$$ 其中利用了每次独立测量的偏差是独立的,所以他们的方差的和等于和的方差.由此得知,平均偏离$$ \sqrt{\sigma} $$随着测量次数而减少.如果体系由$$ N $$个核子构成,那么如果一个物理量由所有核子的平均值决定,这个物理量的平均值的涨落随着核子数目的增加而减少.

Eq.(12)右边来自类似$$ - $$

本文档除了包括推导, 疑惑 外,做 读书重点 的记录 $$ $$

Elliptic flow in the Gaussian model of eccentricity fluctuations, arXiv:0708.0800, by Sergei A. Voloshin et al.
本文档除了包括推导, 疑惑 外,做 读书重点 的记录 $$ $$

Effect of flow fluctuations and nonflow on elliptic flow methods, arXiv:0904.2315, by Jean-Yves Ollitrault, Arthur M. Poskanzer, Sergei A. Voloshin
这是著名的通过多粒子关联来获得集体流涨落(标准偏差),从而获得非流贡献的讨论.

Eq.(3)我们知道,当存在流的时候,粒子之间存在连接关联.这是流的定义是
 * $$\begin{align}

v_n\equiv<\cos[n(\phi-\Psi_r)]>=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^N\cos[n(\phi_i-\Psi_r)] \sim\frac{1}{N}\sum_{i=1}^N\cos(n\phi_i)=\frac{Q}{N} \end{align}$$ 文中涉及的是不同的上下文,当不存在任何关联的时候,$$ v_n=\bar{Q}=0 $$,由于这时平均值为零,我们只能讨论由于涨落导致的流
 * $$\begin{align}

Var(Q)=Var\sum_{i=1}^N\cos(n\phi_i)=N\times Var[\cos(n\phi_i)]=N\sigma^2\sim N \end{align}$$ 这时候$$ Q $$的大小与$$ \sqrt{N} $$成正比.

Eq.(11) 这个表达式是把测量值$$v$$在平均值$$$$附近泰勒展开$$f(v)=f((v-)+)$$,然后去平均.注意到一次项为$$f()(v-)$$,取平均后为零,故而没有贡献.如果我们仅仅考虑到两次项为止,即得.

值得指出当$$f(v)=v^2$$时对应常见的标准偏差的关系式,这时可以直接推导.

Eq.(13) 因为仅仅考虑到两次项,我们可以在计算中随意的添加一些高阶的项,如下
 * $$\begin{align}

&f(v)=v^4\\ &=^4+\frac{\sigma_v^2}{2}4\times3^2+\dots=^4+\frac{\sigma_v^2}{2}4\times3^2+\sigma_v^4\\ &=^2+\sigma_v^2\\ &(2^2-)^{1/2}=[<v>^4-2\sigma_v^2<v>^2+\sigma_v^4]^{1/2}=<v>^2-\sigma_v^2 \end{align}$$

本文档除了包括推导, 疑惑 外,做 读书重点 的记录 $$ $$

Effects of flow fluctuations and partial thermalization on v(4), arXiv:0907.4664, by Clement Gombeaud, Jean-Yves Ollitrault
本文档除了包括推导, 疑惑 外,做 读书重点 的记录 $$ $$

Understanding anisotropy generated by fluctuations in heavy-ion collisions, arXiv:1107.5485v2, by Rajeev S. Bhalerao, Matthew Luzum, and Jean-Yves Ollitrault
本文档除了包括推导, 疑惑 外,做 读书重点 的记录 $$ $$

Eliminating experimental bias in anisotropic-flow measurements of high-energy nuclear collisions, arXiv:1209.2323, by Matthew Luzum, Jean-Yves Ollitrault
本文档除了包括推导, 疑惑 外,做 读书重点 的记录 $$ $$

Non-Gaussian eccentricity fluctuations, arXiv:1604.07230v2, by Hanna Gronqvist, Jean-Paul Blaizot, and Jean-Yves Ollitrault
本文讨论偏心率涨落. 文章提及非流关联可以在很大程度上通过关联粒子的快度间隔来消除,而不需要之前提议的多粒子关联.

(1)

这里把$$z$$定义为复数,所以这样定义的偏心度也是复数,自然的包含对应阶数的事件平面作为幅角.

(2)

如果没有偏心率涨落,那么容易发现,这里(2)定义的cumulant分别为$$\epsilon_n^2$$和$$\epsilon_n^4$$.

(5)

这个结果的证明并不平庸,而且值得推广到高阶流,可能可以用于解释极中心碰撞中椭圆流小于三角流的观测结果.

(6)

这里的结果可以利用(2)的定义,对(5)直接积分获得.

如在(4)以下指出的,文中指出本文仅仅讨论各向同性的概率分布,所以上述幅角的任何积分平均都为零. 按积分定义,任何高于一阶的偏心度都为零.

但是如果初始条件通过上述对称分别的概率分布来产生,那么因为部分子个数$$N$$为有限,所产生的初始条件任何并不是各向同性的. 文中(6)就是所得结果,它们仅在在$$N\to\infty$$时才趋于零.

(16)

这个表达式可用于计算某任意物理量涨落的关联,它涉及分布函数的涨落的关联. 等式由定义(12)容易得到,其中涉及事件平均和对给定事件的分布平均. 前者,事件平均,对应平均记号$$\langle\cdots\rangle$$;后者,分布平均,对应推导中涉及的积分$$\int_{z_1,z_2}\rho(z_1)\rho(z_2)\cdots$$.

(20-21)

这里(20)等式右边的关联项可由附录中给出的cumulant,即"连接格林函数"计算. 而(21)给出了相关物理量涨落的关联.

XXXXX

(A1)

这里就是密度分布函数的"连接格林函数"的标准定义.

这里等式得到的是涨落的关联. 对低阶的情况,利用(12)容易看到cumulant就是把能量密度平均值相关的所有项的贡献都扣除后的结果,即涨落的关联.

(A4-5)

容易看到泛函导数导致$$\delta$$函数,而这样的关联只能是局域的.

本文档除了包括推导, 疑惑 外,做 读书重点 的记录 $$ $$