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 * $$f_W(x,p)\to f_{B.E.}(p\beta u) = \frac{(2\pi)^{-3}}{exp(\beta p\cdot u) - 1}$$
 * $$\beta = \frac{1}{T}$$


 * $$\lim_{x\rightarrow \infty}\frac1x$$


 * $$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin x}{x}$$

文献An Introduction to Black Hole Evaporation的笔记...

(2.5) 正能量的自然定义是观测者局域固有时对应的正频率波函数.粒子态的不确定性出现在弯曲空间也出现在平直空间加速运动的情况.

而在平直空间的量子场论中,我们仅考虑洛伦兹变换.在洛伦兹变换下,四动量不会改变其时间分量,即能量的符号.这样,因为洛伦兹变换不会改变能量的符号,不存在粒子态的不确定性.

其中的时间导数是固有时,而空间积分对应任何柯西面.具体的,我们考虑量子场论中最基本的由守恒流证明守恒荷的方法,我们其实把对空间坐标的散度移到等式右边,然后对等式两边做体积分,等式右边的体积分由高斯定理被替换为在无穷远处的面积分.考虑有意义的物理过程(波函数)仅在有限空间区域不为零,故等式右边的面积分为零.等式左边交换体积分与时间偏导的顺序,得到守恒荷对时间偏导为零的结论.

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An Introduction to Black Hole Evaporation

Greybody FactorsHawking Radiation in Disguise

Black Holes - Lecture Notes

Superradiance - a review

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