Research Paper Notes on Glauber Model

Research Paper Notes on Glauber Model

本文档除了包括推导, 疑惑 外,做 读书重点 的记录

文献列表

 * arXiv:nucl-ex/0701025 Glauber Modeling in High Energy Nuclear Collisions
 * arXiv:1009.1847 Translation of collision geometry fluctuations into momentum anisotropies in relativistic heavy-ion collisions

arXiv:nucl-ex/0701025 Glauber Modeling in High Energy Nuclear Collisions
本文虽然为关于Glauber模型的综述性文章,但是实际上讨论实验的部分多于理论推导.但是其中一些重要的公式还是值得提取.Glauber模型分两种,光学近似实现和蒙特卡洛实现.对两种情况我们都需要计算下列物理量: (1)总反应截面 $$\sigma_{incel}^{A+B}$$ (2)二元碰撞数 $$N_{coll}$$ ,(3)参与核子数 $$N_{part}$$ ,(4)核子与原子核$$A(B)$$的总散射截面 $$\sigma_{incel}^{A(B)}$$ 关于散射截面的具体讨论参见Lecture Notes of Particle Physics by B.R. Martin & G. Shaw

本文主要涉及光学近似下的相应公式. 文章中使用归一后的厚度函数
 * $$\begin{align}

\hat{T}_{AB}(\mathbf{b}): \int d^2\mathbf{b}\hat{T}_{AB}(\mathbf{b})=1 \end{align}$$ 而非其他文献中常用的


 * $$\begin{align}

&{T}_{AB}(\mathbf{b}): \int d^2\mathbf{b}{T}_{AB}(\mathbf{b})=AB \\ &{T}_{A(B)}(\mathbf{s}): \int d^2\mathbf{s}{T}_{A(B)}(\mathbf{s})=A(B) \end{align}$$

Eq.(5)是总反应截面 $$\sigma_{incel}^{A+B} $$.按散射截面定义它等于
 * $$\begin{align}

\int d^2\mathbf{b} P(\mathbf{b}) = \int d^2\mathbf{b} \sum_{n=1}^{AB} P(n,\mathbf{b}) \end{align}$$ $$P(n,\mathbf{b})$$是碰撞参数为 $$\mathbf b$$ 时 $$n$$ 对核子核子二元碰撞发生的概率,而两个原子核总共有 $$AB$$ 核子对,即最多有 $$AB$$ 对二元碰撞.对所有可能二元碰撞数求和以及对碰撞参数积分即得总反应截面,注意到对所有参与核子数求和从$$1$$开始而非从$$0$$开始.利用Eq.(4)以及


 * $$\begin{align}

1=(a_1+(1-a_2))^{AB}=\sum_{n=0}^{AB}\left( \begin{array}{c} AB\\ n \end{array}\right) a_1^n(1-a_2)^{AB-n} \end{align}$$

其中


 * $$\begin{align}

a_1=a_2=\hat{T}_{AB}(\mathbf{b})\sigma_{inel}^{NN} \end{align}$$

即得


 * $$\begin{align}

\sigma_{incel}^{A+B}=\int d^2\mathbf{b}\left\{1-[1-\hat{T}_{AB}(\mathbf{b})\sigma_{inel}^{NN}]^{AB}\right\} \end{align}$$ 这个结果可以直观的解释如下,在碰撞参数为 $$\mathbf b$$ 的两原子核$$A$$与$$B$$对撞过程中,至少发生一对核子核子二元碰撞的概率为 $$1-(1-\hat{T}_{AB}(\mathbf{b})\sigma_{inel}^{NN})^{AB}$$ ,简单的这是因为一对核子核子二元碰撞不发生的概率为 $$(1-\hat{T}_{AB}(\mathbf{b})\sigma_{inel}^{NN})$$ ,从而在总数为 $$AB$$ 对可能的碰撞中,一次也不发生的概率为 $$(1-\hat{T}_{AB}(\mathbf{b})\sigma_{inel}^{NN})^{AB}$$ ,它的互补事件即至少发生一对核子核子二元碰撞的概率为 $$1-(1-\hat{T}_{AB}(\mathbf{b})\sigma_{inel}^{NN})^{AB}$$.

Eq.(8)是核子与原子核$$A(B)$$散射截面 $$\sigma_{incel}^{A(B)} $$.它相应于任何一个核子与原子核$$A(B)$$发生反应的总散射截面.推导过程与Eq.(5)非常类似,只需要注意到,这时核子核子二元碰撞反应的概率改变为 $$\hat{T}_{A(B)}(\mathbf{b})\sigma_{inel}^{NN}$$ ,而总的可能二元碰撞数目为$$A(B)$$.从而


 * $$\begin{align}

\sigma_{incel}^{A(B)} =\int d^2\mathbf{s}\left\{1-(1-\hat{T}_{A(B)}(\mathbf{s})\sigma_{inel}^{NN})^{A(B)}\right\} \end{align}$$

Eq.(7)是二元碰撞数 $$N_{coll}$$ .与Eq.(5)的思路相同,它等于对所有可能反应对数乘以相应概率后求和,


 * $$\begin{align}

N_{coll} =\sum_{n=1}^{AB}nP(n,\mathbf{b})  =AB\hat{T}_{AB}(\mathbf{b})\sigma_{inel}^{NN} \end{align}$$ 运算中利用


 * $$\begin{align}

&\sum_{n=1}^{AB}n \left(\begin{array}{c} AB\\ n \end{array}\right) a_1^n(1-a_2)^{AB-n}= \sum_{n=0}^{AB} n\left(\begin{array}{c} AB\\ n \end{array}\right) a_1^n(1-a_2)^{AB-n}\\ &= a_1 \frac{\partial }{\partial a_1} (a_1+1-a_2)^{AB}=a_1AB (a_1+1-a_2)^{AB-1}=a_1AB \end{align}$$ 其中


 * $$\begin{align}

a_1=a_2=\hat{T}_{AB}(\mathbf{b})\sigma_{inel}^{NN} \end{align}$$

与之前类似,这个结果可以直观的得到.它简单的等于可能的碰撞总数乘以每个二元碰撞发生的概率

Eq.(8)是参与碰撞的核子总数 $$N_{part}$$ .这需要重新计算,因为一个核子可能参与多个二元碰撞,但只会被记数一次,所以 $$N_{part}$$ 小于二元碰撞数 $$N_{coll}$$ 的两倍.定义 $$\mathbf{b}$$ 为从$$A$$的中心指向$$B$$的中心的矢量, $$\mathbf{s}$$ 为从$$A$$的中心指向二元碰撞点的矢量,从而从$$B$$的中心指向二元碰撞点的矢量为 $$\mathbf{s-b}$$ .计算的技巧是考虑一个核子不与原子核$$A$$发生碰撞的概率,按Eq.(8)它等于 $$(1-\hat{T}_{A}(\mathbf{s})\sigma_{inel}^{NN})^{A}$$ .因为$$B$$原子核中总共有 $$B\int d^2 \mathbf{s} \hat{T}_{B}(\mathbf{s-b}) $$个核子可能发生碰撞,我们从而得到$$B$$原子核中的参与二元碰撞的核子数目为 $$B\int d^2 \mathbf{s} \hat{T}_{B}(\mathbf{s-b})[1-(1-\hat{T}_{A}(\mathbf{b})\sigma_{inel}^{NN})^{A}] $$.再考虑$$A$$与$$B$$的总和,我们得到


 * $$\begin{align}

N_{part}= A\int d^2 \mathbf{s} \hat{T}_{A}(\mathbf{s})[1-(1-\hat{T}_{B}(\mathbf{s-b})\sigma_{inel}^{NN})^{B}]+  B\int d^2 \mathbf{s} \hat{T}_{B}(\mathbf{s-b})[1-(1-\hat{T}_{A}(\mathbf{b})\sigma_{inel}^{NN})^{A}] \end{align}$$

Eq.(11)是蒙特卡洛实现的总反应截面,与Eq.(5)不同,我们必须对每个核子独立的计算散射概率(连乘)


 * $$\begin{align}

\sigma_{incel}^{A+B}=\int d^2\mathbf{b} \prod_{i=1}^{A}\int d^2\mathbf{s_i}\hat{T}_A(\mathbf{s_i})\prod_{j=1}^{B}\int d^2\mathbf{s_j}\hat{T}_B(\mathbf{s_j}) \left\{1-\prod_{i=1}^{A}\prod_{j=1}^{B} [1-\hat{\sigma}(\mathbf{s_i-s_j-b})]\right\} \end{align}$$

类似的,我们得到


 * $$\begin{align}

\sigma_{incel}^{A(B)} =\prod_{i=1}^{A(B)} \int d^2\mathbf{s_i}\hat{T}_{A(B)}(\mathbf{s_i})\left\{1-\prod_{i=1}^{A(B)} [1-\hat{\sigma}(\mathbf{s_i-b})]\right\} \end{align}$$

arXiv:1009.1847 Translation of collision geometry fluctuations into momentum anisotropies in relativistic heavy-ion collisions
文章讨论关于初始涨落与三角流的关系.但是有益之处是文章涉及对Glauber模型蒙特卡洛实现的具体说明.文章Eq.(4)给出了二元碰撞数目 $$N_{coll}$$ 和参与碰撞的核子数目 $$N_{part}$$ 的表达式.虽然总体思路与光学近似的情况类似,但是这里我们需要逐个考虑每个核子.

对于两元碰撞数 $$N_{coll}$$ .它等于每一对独立的二元碰撞发生的概率的总和.每一对二元碰撞发生的概率为
 * $$\begin{align}

\hat{T}_A(\mathbf{s}_i)\hat{T}_B(\mathbf{s}_j)\hat{\sigma}(\mathbf{s_i-s_j-b}) =\hat{T}_A(\mathbf{s}_i)\hat{T}_B(\mathbf{s}_j)\hat{\sigma}(\mathbf(s)) \end{align}$$ 其中引入 $$\mathbf{s}\equiv \mathbf(s_i-s_j-b)$$

求和后即为


 * $$\begin{align}

N_{coll} =\sum_{i=1}^A\sum_{j=1}^{B} \int d^2\mathbf{s_i}d^2\mathbf{s_j}\hat{T}_A(\mathbf{s}_i)\hat{T}_B(\mathbf{s}_j)\hat{\sigma}(\mathbf(s)) \end{align}$$

对于参与碰撞的核子总数 $$N_{part} $$.我们同样首先计算某一个核子不与原子核$$A$$中任何核子碰撞的概率,它等于
 * $$\begin{align}

\prod_{i=1}^{A} \int d^2\mathbf{s_i}\hat{T}_A(\mathbf{s_i})[1-\hat{\sigma}(\mathbf{s_i-s_j-b})] \end{align}$$ 它的互补事件为该核子与原子核$$A$$中至少一个核子发生碰撞,相应的概率为
 * $$\begin{align}

\left\{1-\prod_{i=1}^{A} \int d^2\mathbf{s_i}\hat{T}_A(\mathbf{s_i})[1-\hat{\sigma}(\mathbf{s_i-s_j-b})]\right\} \end{align}$$ 因为上述核子为原子核$$B$$中任一核子,故若以$$B$$入射时,参与反应的核子数为
 * $$\begin{align}

\sum_{j=1}^B\int d^2\mathbf{s_j}\hat{T}_B(\mathbf{s_j})\left\{1-\prod_{i=1}^{A} \int d^2\mathbf{s_i}\hat{T}_A(\mathbf{s_i})[1-\hat{\sigma}(\mathbf{s_i-s_j-b})]\right\} \end{align}$$ 最后得到


 * $$\begin{align}

N_{part} =\sum_{i=1}^A\int d^2\mathbf{s_i}\hat{T}_A(\mathbf{s_i})\left\{1-\prod_{j=1}^{B}  \int d^2\mathbf{s_j}\hat{T}_B(\mathbf{s_j})[1-\hat{\sigma}(\mathbf{s_i-s_j-b})]\right\}+  (A\leftrightarrow B) \end{align}$$