Lecture Notes of Advanced Quantum Mechanics by J.J. Sakurai

Lecture Notes of Advanced Quantum Mechanics by J.J. Sakurai

本文档除了包括推导, 疑惑 外,做 读书重点 的记录

Ch.1 Classical Fields
P.4 (1.10) 原来情况,时间总是连续的,空间离散化.对于场,通过无限多的谐振子的近似,空间也连续化,原来的势能项变成对空间的导数,把时空对等的看,都是对坐标的一阶导数,势能项消失,从而最终得到(1.12).

P.8 (1.41) Yukawa势的傅立叶变换 从(1.40)直接做积分,对角度部分积分 $$d(\cos \theta)e^{ikr \cos \theta}$$ 完成后,空间部分具有形式 $$\frac{1}{r}\int_0^\infty \frac{kdk(e^{ikr}-e^{-ikr})}{k^2+\mu^2}$$ ,上述积分为偶函数,利用留数定理即可得到(1.41),具体略. 从(1.41)做傅立叶变换到(1.40),注意先对角度部分积分 $$d(\cos \theta)e^{ikr \cos \theta}$$ 产生 $$\frac{1}{ikr}(e^{-ikr}-e^{ikr})$$ ,积分 $$\int_0^\infty \frac{1}{r}e^{-\mu r}e^{-ikr} r^2 dr$$ 有限可积,综合各项即得(1.40)结果.

P.13 (1.66) 就是穷举法,首先显然三个指标 $$\lambda, \mu , \nu$$ 不能重复,否则等式左边是平庸的为零.其次如果三个指标都是空间指标,则只有一个独立的方程,即是关于磁场强度的方程(无磁单极).最后如果三个指标中含一个时间指标,可以写下三个独立的方程,即是关于电场旋度的方程(电磁感应中的变化的磁场感应电场部分).

P.14 (1.73) 是直接可以得到的,只需注意到(1.60) $$F_{4\mu}=iE_{\mu}$$

P.14 (1.77) 注意到容易验证由 $$\chi $$ 定义的规范变化不会改变电场强度和磁感应强度,但是正因为这个才叫规范变化的啊.

P.15 (1.88) 这里粗粗的推导似乎很容易犯错误 首先容易证明由拉格朗日(1.88)可以导致哈密顿(1.84) 其次由拉格朗日定义出来的正则动量 $$\vec p$$ 与速度之间的确满足关系(1.87) 然后需要证明由拉格朗日决定的运动方程的确是(1.86),这个推导需要注意到以下几点,首先所有的势场都考虑不含时的简单情况,即Sakurai的Modern Quantum Mechanics一书P.132的讨论,这样对经典力学的情况,拉格朗日不显含时间,免去很多麻烦.将粒子的(而不是场的)拉格朗日方程带入,利用


 * $$\begin{align}

\nabla (\vec u \cdot \vec v) = (\vec u \cdot \nabla) \vec v + (\vec v \cdot \nabla) \vec u + \vec u \times (\nabla \times \vec v) + \vec v \times (\nabla \times \vec u) \end{align}$$

其中 $$\vec v = \mathbf \dot {x}$$ 不显含坐标,从而上式中只有两项有贡献,其中第二项得到 $$\mathbf \dot {x} \times (\nabla \times A)= \dot {x} \times B$$ ,而第一项 $${\mathbf (\dot {x} \cdot  \nabla) A} = \frac{d \mathbf A}{dt}$$ (矢势对时间的全微分)正好与 $$\frac{d}{d t}  \frac{\partial \mathcal L(x_i, \dot x_i)}{\partial \dot{x_i}}$$ 中的一项消去.因为矢势不显含时间,电场强度的表达式不含矢势对时间的偏导项. P.16 (1.91) 因为矢势无旋,故线积分与路径无关,从而可定义一个标势,该标势的梯度场就是矢势.

P.17 (1.98) 由于此式在磁感应强度为零的区域导出,线积分在沿着磁感应强度为零的路径实施都应该是正确的,故而可以讨论两个不同的正好包围超导环内部磁场的路径.

Ch.2 The Quantum Theory of Radiation
P.20 (2.3) 一般情况下洛仑兹条件和横向条件是相互独立的,同时显然不是唯一的.例如(A-3)就是一个满足横向条件但是不满足洛仑兹条件的例子.这里只是给出一个特例,这时两个条件同时满足.

P.20 (2.4) 一个矢量总是可以分解为平行于和垂直于另外一个任意矢量的两个分量的和.但是对于算符这个结论不是平庸的,因为 $$\nabla \times {\mathbf A}$$ 并不垂直于 $$\mathbf A$$

Appendix A
P.301 (A-4) 注意到 $$\frac{1}{4\pi}\nabla^2 \frac{1}{|{\mathbf x-x'}|}=\delta({\mathbf x-x'})$$ ,将关于 $$\mathbf x'$$ 的函数 $${\mathbf \nabla' \cdot A}^{(old)}({\mathbf x'}, t )$$ 换成关于$$ \mathbf x $$的函数,即得

P.301 (A-5) 如果满足洛仑兹条件,待解的方程不同,可利用傅立叶变换和留数定理求解,所得的解是推迟势.

P.302 (A-14) 一个一般性的证明及表达式可见J. Jackson, Classical Electrodynamics P.242, 以及相应的读书笔记.

P.304 (A-23) 交叉项就是 $$-{\mathbf j \cdot A}^{(\perp)}$$,其中 $${\mathbf j} =\sum_{i} {\mathbf p}^{(i)}/m_i$$ ,库仑条件并不使得动量算符消失,因为算符还可以作用在后面的量子态上.另外一项和矢势垂直部分平方成正比的常数项被略去,又见(2.94)

P.21 (2.6-2.7) 这里仅仅写下除去静态场外的,将被量子化的动态部分,所以仅仅讨论满足横向条件的矢势垂直部分 $${\mathbf A}^{(\perp)}$$ .(2.6)见附录显然.由于这里仅仅讨论自由场,(2.7)完全类似$$F$$. Mandal书中第一章P.4的讨论.因为无源,(A-6)的解(A-7)为等于零平庸解,因为无源由流守恒也无流,再加横向条件(1.75)退化为(2.7) 所以这里并没有在讨论严格意义上,什么都存在,考虑横向条件后矢势垂直部分 $${\mathbf A}^{(\perp)}$$ 的一般方程以及量子化.

P.22 (2.17) 第一步利用体积公式 $$(A \times B) \cdot C = A \cdot (B \times C)$$ ,并且注意到最初$$\nabla$$算符在两项中实际上仅仅作用在括号内,而不涉及到括号外.第一步等式后,第一项体积分化为面积分后消失,第二项的第一项由于横向条件也等于零,最后仅剩第二项的第二项贡献.

P.23 (2.23) 至此全部都是经典力学,变量都不是算符,(2.23)说,在动量和偏振极化空间,哈密顿可以表达为(2.22),因为它的正确性(2.23)可以通过(2.12)直接验证. 实际上,如果愿意,可以把经典力学哈密顿量(2.22)利用定义(2.21)写成(2.19),同时利用(2.23)可导出解是(2.12),只是这样做在经典力学中没有什么特别的物理意思. 上式中对 $$k$$ 求和的态密度其实是不知道的,经典的能均分定理说,每个振子 $$k$$ 具有两个自由度,且具有相同的平均能量 $$2\frac{k_BT}{2}=k_BT$$ .量子力学说,平均能量应该决定于每个振子的能量 $$\bar {h}\omega=\bar {h}|{\mathbf k}|c$$ 和它的权重即态密度.

P.31 (2.71) 角动量算符是转动操作,或者洛仑兹变换操作的生成元.一方面,由于矢势是洛仑兹矢量,可以通过洛仑兹变换的生成元写出角动量算符,这个算符的具体作用是一个基矢在算符作用下变化为其他基矢的线性组合.但另一方面,可以投机取巧,猜想基矢的一个形式,由于矢势是矢量,所以转动操作的矩阵表示就是空间转动矩阵,从而由(2.72)知道(2.71)的确是(自旋)角动量基矢.

P.34 (2.88) 将(2.86)带入(2.26a)注意不能随意交换算符,但是 $$\sqrt{N} \sqrt{N}=N, e^{-i\phi}e^{i\phi}=1$$ ,即得

P.34 (2.89) 注意到空间和动量的测不准关系由对易子得到,所以这里同样可得类似关系.

P.34 (2.90) 疑惑

试图理解如下,考虑动量 $$k$$ 确定的一组光子的集合,体系的粒子数涨落和相位涨落由(2.89)决定,而粒子数涨落和总动量涨落有关,相位涨落会导致空间位置的涨落.但是上述理解依赖于理解相位算符的物理意义,具体不明确.

P.37 (2.98) 这里从量子场论和半经典理论两个方面来推导跃迁振幅,从量子场论角度,按书上步骤按部就班得到(2.96),其中常数系数由对易关系确定.从半经典理论,因为将(2.98)利用场(2.6)带入能量密度(2.16)应该得到能量密度等于光子数 $$n_{k,\alpha}$$ 乘以每个光子能量 $$\hbar \omega$$ 除以体积 $$V$$ ,从而确定系数(2.98).由于两个方法得到的结果跃迁几率都与粒子数正比.如果注意到(2.94)中 $$(\mathbf p_i\cdot A + A\cdot p_i) $$前面的系数,两者实际上完全一致.又参见Sakurai Modern Quantum Mechanics P335 第5.7节的讨论.书中称为快乐的巧合.另外一个区别是,量子场论方法初态和终态是光子数不同的态直乘电子的初态和终态.半经典理论中没有光子态的概念,初态和终态仅仅是电子在原子中的初态和终态.

P.43 (2.137) 由(2.135)其中矩阵元由(2.128)乘以它的复共轭决定,并对末态求和,故而结果与末态的磁量子数无关.从而对初态的求和取平均可以免去.

P.45 (2.148) 利用
 * $$\vec{A}\cdot(\vec{B}\times \vec{C}) = \vec{B}\cdot(\vec{C}\times \vec{A}) = \vec{C}\cdot(\vec{A}\times \vec{B})$$

再利用
 * $$\begin{align}

\vec{A} \times (\vec{B} \times \vec{C}) = (\vec{C} \times \vec{B}) \times \vec{A} = \vec{B}(\vec{A} \cdot \vec{C}) - \vec{C}(\vec{A} \cdot \vec{B}) \end{align}$$ 即得

P.46 (2.155) 首先 $$N(A),N(B)$$ 是相应能级的电子数,但是在相应的跃迁理论中,电子是作为经典粒子来处理的,电子是全同粒子,即费米子的结论没有进入比如波函数,故使用玻尔兹曼分布.另外 $$n_{k,\alpha}$$ 是高能级(发出或者接受光子的能级)的光子分布数.

P.49 (2.160) 第二步等号为什么忽略的项在能量近似守恒时可以被忽略.首先忽略的项是关于 $$t_1$$ 的积分在取下限 $$t_1=0$$ 处的取值,在能量近似守恒时,剩余项由于对 $$t_2$$ 的积分会产生一个因子 $$\frac{1}{E_B-E_A+\hbar \omega'-\hbar \omega}$$ ,从而最后给出能量守恒的 $$\delta$$ 函数,而被忽略项没有这个因子,故而相对较小.

P.50 (2.167) 为什么晴朗的天空是蓝色的,日出或者日落时是天空是火红色的.来源于(2.167)公式,解释见维基百科网页

P.54 (2,182) 注意到(2.107)的一级近似解(2.109),这里做类似处理.实际上易证,(2.182)满足(2.181)取 $$c_A=c_A(0)=1$$

P.60 (2.211) 这个公式的推导过程中,因果律体现在, $$f(\omega)$$ 仅仅在上半复平面解析,从而(2.206)积分回路从上半平面绕过,否则积分无法利用柯西引理,因为积分绕行无法实现.

P. 62 (2.213) 部分积分是指利用
 * $$\begin{align}

d\left(e^{i(\omega/c)\sqrt{\rho^2+l^2}} \right)=\frac{\rho d\rho}{\sqrt{\rho^2+l^2}}e^{i(\omega/c)\sqrt{\rho^2+l^2}} \frac{1}{l} \end{align}$$ 因子是指部分积分的另外一项,牵涉到对微分散射振幅的微分
 * $$\begin{align}

d(f(\omega,\theta))=\frac{f(\omega,\theta)}{d\theta}\frac{d\left(\tan^{-1}(\frac{\rho}{l})\right)}{d\rho}d\rho=\frac{f(\omega,\theta)}{d\theta}\frac{1}{1+(\frac{\rho}{l})^2}\frac{1}{l}d\rho \end{align}$$

P.63 (2.216) 将 $$\omega^2n(\omega)$$ 取代(2.211)中的 $$f(\omega)$$ 即得

P.65 (2.226-227) 涉及两个问题.首先,(2.226)仅对所有的光子态求和,即对对所有可能的相互作用哈密顿求和,但是不对初态求和,因为考虑一级微扰以零级系数带入右边,初始条件是体系处于初态.而(2.227)对所有的光子态求和并对所有中间态求和,这里没有用一级近似(见后面求解该方程组的具体方法)所以包括了所有的态.但是注意到(2.226)和(2.227)中对中间态和光子态的求和实际上只进行一次,即一个确定的中间态和一个确定的光子态决定的一个选择对应一个图Fig.2-7(b),最终结果是所有可能的这些选择的贡献的和. 其次,如果考虑图Fig.2-7(a),则相互作用的加入时间实际上等于零,那么重复直到(2.233)的计算,对时间的定积分不会产生任何贡献.

P.69 (2.248) 注意积分的有效范围是(2.243),所以 $$C$$ 虽然形式上发散,实际上是负的小量.从而可以做(2.250)中近似,(2.251)对质量的修正也是一个小修正.

P.70 (2.252) 这里试图解释这个式子. 重整值在某些重整化条件下,确定重整化的具体方案.例如质量重整化在质壳上进行,对应的物理图像是,对应费曼图的发散部分与裸质量抵消项正好抵消,费曼图的收敛部分是由有效质量定义的传播子,这和(2.250)一致.对相同的费曼图但是不在质壳上的情形,抵消项和质壳上的情形完全相同,从而得到有限的可与实验比较的剩余项,这和(2.252)一致.