Key Notes on Ginzburg-Landau Theory

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几率流和伦敦方程
几率流的形式可以直接由电磁场下的薛定谔方程的几率流守恒得到.Feynman, Statistical Mechanics(10.4)


 * $$\begin{align}

\vec J=-\frac{e}{2m}\left[ \Psi^*\left( \frac{h}{i}\nabla+\frac{e\vec A}{c} \right) \Psi+\left[ \left( \frac{h}{i}\nabla+\frac{e\vec A}{c}\right)\Psi \right]^*\Psi \right] \end{align}$$

按Zimen和Feynman,伦敦第二方程可以由"硬波函数"的假定得到.而按Ashcroft,只要波函数的导数主要由相位的导数贡献即可.

在Ginzburg-Landau理论中,可以在自由能中加上和哈密顿量类似的项,


 * $$\begin{align}

F=\int \left[ \alpha(T)|\Psi|^2+\frac{1}{2}\beta(T)|\Psi|^4+\gamma(T)\left|\left(\nabla+\frac{2ie}{\hbar c}A\right)\Psi\right|^2+\frac{B^2}{8\pi} \right] d^3x \end{align}$$

这样自由能对电磁场的偏导数即得


 * $$\begin{align}

&\frac{\delta F}{\delta \vec A}=0 \\ &\nabla \times B = \frac{4\pi}{c} \vec J \end{align}$$ 这对应于伦敦方程,从而可以用于讨论比如磁场的透入深度.

二级相变
将上述自由能对波函数求偏导数,得到一个波函数满足的方程,具体讨论比如参见Ginzburg-Landau Theory

利用上述方程,考虑在临界点附近$$ \alpha(T)=a(T-T_c) $$,考虑上述波函数满足的方程,略去波函数对空间的导数,上述模型中波函数自然的在临界温度的两侧有完全不同的行为.

考虑上述方程对空间的导数,可以讨论关联长度.

考虑固定的外磁场对自由能的贡献,它是一个负的相互作用项(磁场并不属于体系).在超导状态时,外磁场并不进入超导体,故外磁场在自由能中的相应项没有任何贡献.加入外磁场的能量项超导在外磁场达到临界值时消失,这时外磁场侵入超导体,这时它对自由能的降低正好等于采用超导相波函数对自由能的降低作用.