Lecture Notes of Solid State Physics by Ibach and Luth

Lecture Notes of Solid State Physics by Ibach and Luth

4th Edition

本文档除了包括推导, 疑惑 外,做 读书重点 的记录

Ch.10 Superconductivity
P.302 (10.30)

这里用最简单的模型说明Cooper对存在的意义.

首先,书中说明为何电子间通过声子的相互作用是相互吸引的.接着讨论了为何这个的相互作用在处于费米面动量相反位置时为最大.最后,这一节通过一个简单模型,计算了在费米面之上的两个电子通过这个相互吸引作用最后能量比费米面要低.注意到这里计算的一对电子对的能量.另外,使得计算简化的一个重要条件是假设相互作用和电子的动量$$k$$.无关同时也可以参考这个讨论.

P.305 (10.37)

注意到,作为一个简化的模型,这里的态是仅仅考虑电子成对存在的状态,而不考虑单个电子占据某动量态的情况.

P.306 (10.51)

这里计算的是BCS基态电子在动量空间的分布函数,即态密度.这里讨论的对象不是一对电子,而是所有在费米面附近$$\pm\hbar\omega_D$$动量厚度电子对的集合.通过变分法来计算能量最小值.

注意到这里的相互作用项(10.38)是保证粒子数守恒的,所以最终分布从费米面以下取走的电子对数正是在费米面以上增加的电子对数.正如图10.11中展示的.

P.309 (10.52-53)

(10.52a)是BCS基态能量,注意到这个表达式仅仅是对$$k$$求和,并不明显依赖于费米面.

为了和没有考虑电子相互作用的情况比较,可以把(10.52a)写成(10.52b),但是注意到(10.52b)其实对任意$$k_F$$值成立.书中指出,其中第一项对应无相互作用基态能量,扣除后得到(10.53).原则上,这个过程其实必须把粒子数守恒,即$$w_k$$在全动量空间的归一性明确的考虑进去.但是这点在书中的简单模型中无法实现,主要是因为在(10.44)的变分中,求和仅仅是对费米面附近的动量态.我们 只能期望 这个结果对粒子数守恒是比较好的近似.

(10.53)给出的其实就是和无吸引相互作用情况下体系能量比较的差别,说明体系整体的能量的确下降了.可以看成$$Z(E_F^0)\Delta$$数目的电子对,每个电子对的能量都从费米面位置下降到费米面下方$$\Delta$$处.因为这些电子对原来是均匀的填充在$$\Delta$$厚度的能量区间的,所以平均下降值是$$\frac12\Delta$$.

但是,正如书中指出,这里计算和比较的仅仅是最低能量,还不能断言出现了能隙.

P.309 (10.56)

这里,理论上第一激发态对应把一对电子对的一个电子激发到另一个落单的动量态上.在具体计算中,(10.56)采用的变分最低能量的表达式,对第一激发态,这里显然没有代入满足变分后最小能量的分布关系(10.51),也没有对被打开电子对后的体系重新求泛函极小,而是指手动的扣除了一个原本被电子对占有的动量态, 不是很清楚为何这样做是合理的.

最后得到著名的结论,能隙的大小是$$2\Delta$$.

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