Research Paper Notes on Pole Skipping

Research Paper Notes on Pole Skipping

本文档除了包括推导, 疑惑 外,做 读书重点 的记录 $$ $$

文献列表

 * Many-body chaos and energy dynamics in holography, arXiv:1809.01169v2, by Mike Blake, Richard A. Davison, Sašo Grozdanov, and Hong Liu
 * Horizon constraints on holographic Green's functions, arXiv:1904.12883v2, by Mike Blake, Richard A. Davison, and David Vegh
 * Holographic chaos, pole-skipping, and regularity, arXiv:1905.12014v2, by Makoto Natsuume, Takashi Okamura
 * Nonuniqueness of Green's functions at special points, 1905.12015v2, by Makoto Natsuume, Takashi Okamura

Many-body chaos and energy dynamics in holography, arXiv:1809.01169v2, by Mike Blake, Richard A. Davison, Sašo Grozdanov, and Hong Liu
(1.1)

按这个表达式,容易理解蝴蝶效应发生在$$|x|\le v_B t$$的区域. 这里,任何微小的初始位置扰动都被以指数形式放大.而这个蝴蝶效应区域边界的扩展速度正是$$v_B$$.

(1.3)

文中指出,混沌蝴蝶效应的增益系数$$\lambda$$是存在上限的,而这个上限正对应了pole skipping条件(2.4). 在此意义上,pole skipping与量子最大混沌直接有关.

(1.6)

这里的第一行的结果可以做如下理解. 格林函数满足的方程形式上总可以写为
 * $$(\partial_t^2-c_s^2\nabla^2)G^R(t,\vec{r})=\delta(t)\delta(\vec{r})f(t,\vec{r})$$

对两边做傅里叶变换,注意到$$\partial_t\to -i\omega$$和$$\nabla\to i\vec{k}$$,我们有
 * $$G^R(\omega,\vec{k})=\frac{\tilde f}{\omega^2-c_s^2 k^2}$$

其中$${\tilde f}=-f(0,\vec{0})$$. 所以$$\omega=c_s k$$是最低阶近似下格林函数的零点.

(2.3-2.4)

这里(2.3)对应了一个简化情况下激波扰动演化方程. 文中指出,它的解正是之前(1.2)中给出的平面波的形式,其系数由(2.4)决定.

这里简单说明如下. 首先(2.3)已经将(1.2)中的时间依赖提出了,对比(1.1-2)和(2.3)等式右边指数上对时间的依赖,即得(2.4)的第一个关系. 对波函数的空间依赖$$c(x)$$,我们使用傅里叶变换,并注意到(2.4)第二个关系中对$$k_0$$的定义,我们有
 * $$c(k)\sim \frac{1}{k^2-k_0^2}$$,

它的逆变换
 * $$c(x)\sim\int d^{d+1} \vec{k} \frac{e^{i\vec{k}\cdot\vec{x}}}{k^2-k_0^2}=\int d\Omega_d k^d dk \frac{e^{i\vec{k}\cdot\vec{x}}}{k^2-k_0^2} $$

其中$$d$$是角度方向的维度. 我们先考虑矢径方向的积分并利用留数定理有
 * $$c(x)\sim\int d\Omega_d k_0^d \frac{e^{i k_0 |x|\cos\theta}}{2k_0} $$

其中$$\theta$$为两个矢量的夹角$$\vec{k}\cdot\vec{x}=k |x|\cos\theta$$. 对于$$3+1$$维时空,$$d=2$$,且$$d\Omega_2=\sin\theta d\theta d\phi $$,角度部分积分有解析结果. 所得的$$c(x)$$在指数上的依赖就是(1.1-2)的形式.

在这里的讨论基础上引入积分常数项,就对应了(1.1-2)中等式右边的常数.

(2.10-11)

从(2.10)出发,引入频率的条件,正是(2.4)第一式与(1.3)第一式,得到(2.11). 进一步,(2.11)方程失效的条件,正是(2.4)第二式. 这时,扰动分量$$\delta g_{vv}^{(0)}$$不受到其运动方程的任何约束. 换言之,在特殊点,使得一个自由度的主方程不在有意义. 作为对比,按Natsuume和Okamura的讨论,类似的结果是通过去掉原来主方程的奇点实现的.

(2.13)

这是把(2.10)在特殊点附近展开的结果.

(2.14)

这个方程由(1.13)直接得到.只需假设后者的展开的一阶项一般不为零. 这里的讨论在后面具体例子中给出了计算.

(3.7)

这里从(3.5)出发,讨论在边界上波函数的渐进行为,从而得到(边界上对偶理论的)格林函数的形式. 进而讨论后者的零点和奇点.

(3.8-9)

出射波的确认.

利用(2.2),$$T=\frac{r_0^2f'}{4\pi}$$. 另外由乌龟坐标定义$$r_*\sim \frac{dr}{(r-r_0)f'}=\frac{1}{f'}\ln(r-r_0)$$,我们有$$(r-r_0)\sim e^{r_*f'}$$.

这样,针对(3.8)和(3.9)的渐进解的指数,以及乘以P.15最下方的约定中提出的因子$$e^{-i\omega v+ikx}$$(注意其中$$e^{ikx}$$是切向空间维度,与所考虑的内行或者外行的径向方向$$r$$$$r_*$$或者$$r$$无关),我们得到
 * $$(r-r_0)^0\to e^0e^{-i\omega v}$$

由于$$v=t+r_*$$,是入射波.
 * $$(r-r_0)^{\frac{i\omega f'}{2\pi T}}\sim e^{\frac{i\omega r_*f'}{2\pi T}}=e^{2i\omega r_*}\to e^{2i\omega r_*}e^{-i\omega v}=e^{-i\omega (t-r_*)}$$

是出射波.

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Horizon constraints on holographic Green's functions, arXiv:1904.12883v2, by Mike Blake, Richard A. Davison, and David Vegh
(2.2)

参见arXiv:1409.3575v4一文(10.41-42)的讨论和笔记.

(2.8)

最简单的情况,比较arXiv:1409.3575v4一文(10.17)和(10.24)的结果. 具体的,我们有$$\phi_B\to \phi^{(0)}\phi^{(1)}, \phi_A\to \phi^{(0)}$$. 另外,注意到文中$$\phi^{(0)}\sim u^0\sim r^0$$,故$$\Delta=0$$,$$(\Delta-d-1)=(0-3-1)=-4$$,与文中(10.17)等式右边第二项$$u$$的幂次一致. 同时$$(2\Delta-d-1)=(0-3-1)=-4$$,与文中(10.24)等式右边前的系数一致.

对于一般的情况,类似的,比较arXiv:1409.3575v4一文(10.44),格林函数的定义相同的$$G=\langle O\rangle_s/\phi^{(0)}$$. 具体计算给出(10.76),同样与(2.8)一致.

与黑洞格林函数相比,这里考虑的是黑洞背景下某标量场在无穷远边界上的对偶场论中的格林函数,这对应了把黑洞中的标量毛的通解分割为源与对偶算符的相应,而且计算是在近似$$u\to 0$$下完成的. 虽然两者显然存在关系,但仅从定义本身出发,这并不是黑洞时空中标量扰动的格林函数.

(2.11)

正如脚注里指出的,如在$$(r,t)$$坐标下而非延时坐标$$(r,v)$$计算,我们可以证明(2.11)对应的指数正好为一半,即$$\pm i\omega/4\pi T$$.

换言之,我们在视界附近$$r\to r_0$$,我们有
 * $$e^{-i\omega (t+r_*)}(r-r_0)^{i\omega/4\pi T}=e^{-i\omega v}(r-r_0)^{i\omega/4\pi T} \to (r-r_0)^0$$.

具体证明如下.

我们先化简上面的表达式的左边为$$e^{-i\omega v}(r-r_0)^{i\omega/4\pi T}=e^{-i\omega t}e^{i\omega\frac{\ln(r-r_0)}{r_0^2 f'(r_0)}-r_*}$$ 其中我们利用了霍金温度的具体关系$$4\pi T=r_0^2 f'(r_0)$$. 我们注意到,在视界附近,$$r_*\to -\infty$$且$$r \to r_0+0_+$$,所以上面的第二个因子指数部分$$i\omega\left(\frac{\ln(r-r_0)}{r_0^2 f'(r_0)}-r_*\right)$$,它是$$[(-\infty)-(-\infty)]$$的不定型. 所以,原则上,我们需要用类似洛必达法则来处理.实际上,我们可以在视界附近$$r\to r_0+0_+$$计算导数
 * $$\frac{d\left(\frac{\ln(r-r_0)}{r_0^2 f'(r_0)}-r_*\right)}{dr}$$

的极限.

我们得到
 * $$\frac{d\left(\frac{\ln(r-r_0)}{r_0^2 f'(r_0)}-r_*\right)}{dr}

=\frac{d\left(\frac{\ln(r-r_0)}{r_0^2 f'(r_0)}\right)}{dr}-\frac{dr_*}{dr} =\frac{1}{r_0^2 f'(r_0)(r-r_0)}-\frac{dr_*}{dr} =\frac{1}{r_0^2 f'(r_0)(r-r_0)}-\frac{1}{r_0^2 f(r)} =\frac{1}{r_0^2 }\frac{f(r)-f'(r_0)(r-r_0)}{f(r) f'(r_0)(r-r_0)} =\frac{1}{r_0^2 }\frac{f'(r)-f'(r_0)}{f(r) f'(r_0)+f'(r) f'(r_0)(r-r_0)}$$
 * $$=\frac{1}{r_0^2 }\frac{f(r)}{f'(r) f'(r_0)+f(r) f'(r_0)(r-r_0)+f'(r) f'(r_0)}

=\frac{1}{r_0^2 }\frac{f(r)}{2f'(r) f'(r_0)+f(r) f'(r_0)(r-r_0)} \to \frac{1}{r_0^2 }\frac{f''(r_0)}{2{f'}^2(r_0) } \sim \mathrm{finite}$$ 我们注意到在视界上$$f(r_0)=0$$,故在视界附近$$f(r)\to f'(r_0)(r-r_0)$$,上述极限是$$\frac00$$形式的,由连续两次应用洛必达法则得到结果. 这个结果说明,上述因子$$i\omega\left(\frac{\ln(r-r_0)}{r_0^2 f'(r_0)}-r_*\right)$$在视界附近随着$$r\to r_0$$同时趋于零.证毕.

(2.12)

由于$$\omega \to -i2\pi Tn$$,出射波解对应的指数上的出射波形式在(2.12)中贡献的是一个幂次.

(2.16)

这里极点跳跃对应两个条件,分别对$$\omega=\omega_1$$和$$k=k_1$$都有要求.

(2.19)

这里通过在极点跳跃条件附近对$$\omega$$和$$k$$展开,从而得到唯一解.但通过对展开点处$$\delta\omega/\delta k$$的斜率的选取,既可以要求入射波在无穷远处有界(可重整),这对应了朗斯基行列式的零点,即格林函数的极点的条件;也可以要求出射波为零,由(2.8),即格林函数零点的条件.所以在跳跃点,存在一个方向上格林函数发散,和另一个方向上格林函数为零.

(3.5)

与(2.16)比较,这是更一般的跳跃点满足的条件,其中对波矢$$k_n$$的条件是行列式为零,故一般存在$$n$$个解.

(3.6)

不难用递归的办法证明这个结论.

首先对于最低阶的情况,容易得到
 * $$\phi_1=\frac{M_{11}\phi_0}{i\omega-2\pi T}$$
 * $$\phi_2=\frac{1}{i\omega-4\pi T}\left(M_{21}\phi_0+M_{22}\phi_1\right)

=\frac{1}{(i\omega-4\pi T)(i\omega-2\pi T)}\left(M_{21}(i\omega-2\pi T)+M_{22}M_{11}\right)\phi_0=\frac{\mathrm{Det}M^{(2)}}{N^{(2)}}\phi_0$$ 假设上述结果对于$$j$$阶成立,则对$$(j+1)$$阶,我们有
 * $$\phi_{j+1}

=\frac{1}{(i\omega-(j+1)\pi T)N^{(j)}}\left(M_{j1}N^{(j)}+M_{j2}N^{(j-1)}+M_{j3}\mathrm{Det}M^{(2)}+\cdots+M_{jj}\mathrm{Det}M^{(j)}\right)\phi_0$$
 * $$=\frac{1}{N^{(j+1)}}\left(M_{j1}\mathrm{Sub}(M_{j1})+M_{j2}\mathrm{Sub}(M_{j2})+M_{j3}\mathrm{Sub}(M_{j3})+\cdots+M_{jj}\mathrm{Sub}(M_{jj})\right)\phi_0

=\frac{\mathrm{Det}M^{(j+1)}}{N^{(j+1)}}\phi_0$$ 其中注意到,$$\mathrm{Sub}(M_{j3})$$是矩阵元$$M_{j3}$$对应的代数余子式.证毕.

(4.8-9)

这里左行和右行是指$$k$$和$$2m$$项之前系数的相对符号.显然,这里由(4.8)左行决定的奇点与(4.9)右行决定的零点,只要取合适的$$k$$就会重合. 这个结果在Fig.1中被形象的给出.

(5.3)

这里流体力学模的色散关系在低能极限下的结果.更详细的推导参见arXiv:0907.5011一文的推导. 在Fig.3中离散的流体力学模结果,pole skipping位置,与上述渐进曲线同时被描绘.

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Holographic chaos, pole-skipping, and regularity, arXiv:1905.12014v2, by Makoto Natsuume, Takashi Okamura
(1.1)

对蝴蝶效应的理解. 等式右边指数上的形式决定了随着时间增加四点关联函数以指数形式增加. 换言之,任何初始状态的时空的微小时刻差异都被以指数形式放大了. 蝴蝶速度用以决定指数上为零的位置,这是在时空演化中没有被放大的时空点的运动轨迹,即所有放大的出发点(如果指数上取绝对值的话),蝴蝶的轨迹.

直观的,指数形式的关联函数使得各态历经更为容易实现. 因此,文中指出,边界上的体系充满相空间,而由两元性假设对应黑洞是混沌最大化的.

(1.5)

这就是(1.3)与(1.1)对比,即得.

(1.6)

虽然对简单系统,我们可以解析的具体计算任何关联函数. 但从物理角度,文中指出,没有任何证据说明四粒子关联和两粒子关联有什么联系. 而pole skipping其实是以两粒子关联的特殊性质来对四粒子关联所决定的混沌做出论断,这应该是一种猜想.

(2.4)

具体的,由(2.2)出发,注意到
 * $$-dt^2=-(dv-dr_*)^2=-dv^2-dr_*^2+2dvdr_*$$

以及
 * $$r^2(-f)(-dr_*^2)+\frac{dr^2}{r^2 f}=0$$

和乌龟坐标的定义,即得(2.4).

(2.5)

注意到在视界附近,我们有
 * $$r_*=\int dr_*=\frac{dr}{r^2 f}\sim\frac{dr}{r_0^2(f(r_0)+f'(r_0)(r-r_0))}=\frac{dr}{r_0^2 f'(r_0)(r-r_0)}=\frac{\ln(r-r_0)}{r_0^2 f'(r_0)} $$

代入视界径向坐标$$r_0=1$$,即得(2.5)第一步的近似结果.

(2.7)

这里文中对引力扰动的标量分量的运动方程的自由度数目做出讨论.

文中给出的第一个方案正是Nollert的综述中给出的思路一致. 标量扰动必然是polar(偶宇称)的,所有的相关扰动在去除规范自由度后还剩四个自由度. 它们正是Nollert综述(83)或者Berti等人综述(13)中对应的$$H_0, H_1, H_2, K$$. 注意到,虽然通过特定的规范选取减除了自由度数目,这四个量并非规范不变的,换言之,仍然存在残余的规范自由度. 我们可以进一步,用这四个自由度构造出一个在(残余)规范变化下不变的量.

而第二个方案并不选取特殊的规范,而是直接构造规范不变量,这样同样得到四个量.

(2.8)

这里都是一阶方程,因为对$$v, x$$的偏导因为(2.6)的形式变得平庸.

(2.9)

比较arXiv:1905.12015v2一文(3.6)的相关笔记,值得指出,文中给出的特殊点$$(\mathfrak{w}_*, \mathfrak{q}^2_*)=(i, -1)$$并不是由之后的方程(2.10)等式右边的第二项和第三项的分子为零的条件决定. 具体的,如果考虑到在视界附近$$f'\sim 3$$和$$f\sim f'(r-1)\sim 3(r-1)$$,由(2.10)等式右边第二项的分子为零得到$$i\mathfrak{w}_*=3$$. 而将这个结果代入(2.10)等式右边第三项得到$$\mathfrak{q}_*^2=-5$$. 显然上述结果与本文给出的特殊点的位置 不一致. 实际上,arXiv:1905.12015v2一文涉及的特殊点都是在频率复平面的下半平面上的,而本文的特殊点是在上半平面.

实际上,本文的特殊点的机制与arXiv:1905.12015v2一文是不同的,下面我们具体给出分析. 首先,特殊点其实是要求(2.8b),(2.8c)和(2.8e)中,所有分母上有$$f$$因子的项对应的分子在极限$$r\to 1$$也都为零. 这些分子对应的因子是
 * $$i\mathfrak{w}r-\mathfrak{q}^2=0$$
 * $$1+\frac{\mathfrak{w}^2}{r^2}=0$$
 * $$1+\frac{i\mathfrak{w}}{r}=0$$
 * $$1-\frac{\mathfrak{q}^2}{i\mathfrak{w}}\frac{1}{r}=0$$

满足上述方程的解正是
 * $$\mathfrak{w}=i$$
 * $$\mathfrak{q}^2=-1$$

我们注意到,其实(2.8a)和(2.8d)并不满足上述条件. 因为(2.8a)是代数方程,故对它而言,这意味着$$\mathfrak{h}_{vr}=0$$. 对(2.8d)而言,这正与上述讨论一致,而最终对应的方程相当于把方程所有项都乘以$$f$$. 不难验证,与在略去(2.10)中的两阶导数项,并代入特殊点的频率值以及视界径向坐标值后得到的方程为
 * $${\mathfrak{h}_{rr}}'+2\mathfrak{h}_{rr}=0$$

这与在(3.1c)中代入视界径向坐标后得到的结果完全一致. 如果不代入视界坐标,而是保留$$f'$$的具体解析表达式,仔细比对(2.10)与(3.1c)的推导过程,原则上也能得到(3.1c)的具体形式.

(2.10)

这个方程通过(2.8b,d,e)得到. 具体的,用(2.8b)消去$$\mathfrak{h}_vv$$,将(2.8d)求导,用(2.8e)消去$${\mathfrak{h}_L}'$$,再用(2.8d)解出并消去$${\mathfrak{h}_L}$$.这样就得到了一个$$\mathfrak{h}_{rr}$$的两阶方程. 这个过程可以用下面的Mathematica代码实现.林恺的代码同时验证了(2.8c)是不独立了.

(2.12)

我们首先直接证明(2.12)的结果. 将(2.11)代入(2.10)并在$$r\sim 1$$处展开仅保留主导项,我们有
 * $$\mathfrak{h}''_{rr}+[1-(i\mathfrak{w}-2)](r-1)^{-1}\mathfrak{h}'_{rr}+(r-1)^{-1}(4-3i\mathfrak{w}-\mathfrak{q}^2)\mathfrak{h}_{rr}$$
 * $$\sim\lambda(\lambda-1)(r-1)^{\lambda-2}+[1-(i\mathfrak{w}-2)](r-1)^{-1}\lambda(r-1)^{\lambda-1}+(r-1)^{-1}(4-3i\mathfrak{w}-\mathfrak{q}^2)(r-1)^{\lambda}$$
 * $$\sim\lambda(\lambda-1)+[1-(i\mathfrak{w}-2)]\lambda=0$$

它的两个根正是(2.12). 其中第二步等号是将(2.11)的主要贡献项$$\mathfrak{h}_{rr}=(r-1)^{\lambda}$$代入

文中指出$$\lambda_2=-2+i\mathfrak{w}$$对应外形波,我们 证明 如下. 我们有
 * $$(r-1)^{i\mathfrak{w}}=(r-1)^{\frac{i\omega}{2\pi T}}\to e^{-i\omega v}(r-1)^{\frac{i\omega}{2\pi T}}\sim e^{-i\omega v}e^{2i\omega r_*}=e^{-i\omega u}$$

其中倒数第二步利用了(2.5),倒数第三步是补偿(2.6)中提出的因子,后者正是$$\lambda_1=0$$为内行波的理由.

文中接着讨论(2.11)在视界处的发散行为. 因为已经剥离了可能发散的因子$$e^{-i\omega v}$$,所以$$\lambda_1=0$$在视界处收敛. 而对$$\lambda_2$$,(2.11)在$$\Im\omega+2>0$$时发散. 文中仅提及在$$\Im\omega>0$$时发散,这个结果其实和之后(4.6)下方,通过对度规不变的曲率张量的讨论所得的结果一致.

正如作者之前指出的,上述内心波或者外形波的分析其实只有在$$\omega$$为实数时才有意义. 因为其虚数部分对应实数因子,从而可以写成震荡部分之前的系数. 但若在$$\omega$$为复数时不考虑这一点,那么得到的结论就会取决于在"形式上"究竟把哪个因子保留在指数上的人为选择. 在我们涉及的具体问题中,实际上$$\omega$$是纯虚数,这时把(2.12)的第二式对应的波函数认定为右行波并不是合适的.

(2.13)

这是一个很值得 重复 的形式解.

我们先以简单的谐振子方程为例对文中的论述给予说明.谐振子方程为
 * $$\ddot{x}+\omega^2 x=0$$

我们给出类似的试解形式
 * $$x=t^\lambda\sum_{n=0}a_n t^n$$

由主导项方程为将展开代入方程并取最低阶,即最为主导项满足的方程
 * $$\lambda(\lambda-1)t^{\lambda-2}=0 $$

此即$$\lambda_1=1, \lambda_2=0$$. 实际上,将$$\lambda=\lambda_{1, 2}$$代回方程,并保留所有项,我们得到
 * $$(\lambda+n)(\lambda+n-1)a_n+\omega^2 a_{n-2}=0 $$

由此,我们系数间的递推关系
 * $$a_n=-\frac{\omega^2}{(\lambda+n)(\lambda+n-1)} a_{n-2} $$

实际上,这无非即是级数解法. 上述递推关系由低阶的级数决定高阶的级数. 注意到,当等式右边分母为零时,上述递推关系无意义,被阶段. 如果我们考虑系数由最低阶系数以上述关系不断得到高阶系数,那么可以用上述分母的零点来决定最低阶的系数. 比它更低阶的系数都为零,更高阶的系数由递推关系决定,由此所有的系数都满足递推关系. 具体的,在分别取$$\lambda_1=1, \lambda_2=0$$时,分别对应的最低阶的不为零的系数是$$a_0, a_1$$,对应正整数$$n=3, n=2$$. 把系数$$a_1, a_0$$取为任意非零值$$A_1\omega, A_2$$,其余高阶系数$$a_2, a_3, a_4, \cdots$$由递推关系间隔着被决定,正好互不重叠,所以都不需要区分其究竟属于对应哪个$$\lambda$$的解的展开系数. 实际上,不难发现,对$$\lambda_1=1$$,$$a_{2i}=A_1(-1)^i\frac{\omega^{2i+1}}{(2i+1)!}$$,对应的级数之和正是函数$$A_1\sin(\omega t)$$. 而对$$\lambda_2=0$$,$$a_{2i+1}=A_2(-1)^i\frac{\omega^{2i}}{(2i)!}$$,对应的级数之和正是函数$$A_2\cos(\omega t)$$. 这个结果正是谐振子方程的两个线性独立的解.

和文字的讨论相比,上述例子的简单之不仅处在于两支解互不干涉,更重要的是零点之间互不冲突. 一个典型的例子是,如果递推关系不是跳跃的,且$$\lambda_{1, 2}$$的差是一个整数. 注意一般情况下$$\lambda$$是复数,我们假设$$\Re\lambda_1 > \Re\lambda_2$$且$$\Re\lambda_1 = \Re\lambda_2+m$$. 为了便于直观的讨论,我们假设对应的方程形如
 * $$(\lambda+n-\lambda_1)(\lambda+n-\lambda_2)a_n+C_{n-1}a_{n-1}+C_{n-2}a_{n-2}=0$$

那么,假设对于实部较大的那个数$$\lambda_1$$对应的解为
 * $$\mathfrak{h}_1=(r-1)^{\lambda_1} \sum_{n=0} a_n (r-1)^n$$.

与之相比,我们指出,实部较小的那个数$$\lambda_1$$对应的解并不能写为(2.11)的形式.
 * $$\mathfrak{h}_2=(r-1)^{\lambda_2} \sum_{n=0} b_n (r-1)^n$$.

因为上述形式解的展开部分的最低阶不为零的系数是$$b_0$$,且展开系数的递推关系为
 * $$(n-m)n b_n+C_{n-1}b_{n-1}+C_{n-2}b_{n-2}=0$$

显然,随着阶数的增大,当$$n=m$$时,上述方程退化为
 * $$C_{m-1}b_{m-1}+C_{m-2}b_{m-2}=0$$

但因为$$b_{m-1}, b_{m-2}=0$$由之前的迭代关系已经被确定,这意味着之前得到的低阶展开系数在一般情况下只能是平庸的,只能从切断位置$$b_m=b_n\ne 0$$重新开始展开. 但这样的话,由于$$(r-1)^{\lambda_2}(r-1)^m=(r-1)^{\lambda_1}$$,这个重新开始的解与之前讨论的$$\mathfrak{h}_1$$形式上完全一样,并不是一个线性独立的解. 其实,这时我们要意识到,对$$\lambda_1$$,(2.11)是不成立,而(2.13)才是非平庸的展开形式. 并且(2.13)在形式上显然与$$\mathfrak{h}_1$$是线性独立的,且在视界处发散. 下面给出证明.

为了证明(2.13)是可行的,我们将(2.13)代入类似(2.10)的主方程中,尝试讨论决定其系数的方程是否仍然面临被截断的问题. 我们注意到(2.13)等式右边的第一项代入(2.10)后可以写为两部分贡献之和,第一部分来自因子$$\mathfrak{h}_1$$,第二部分来自$$\ln(r-1)$$. 第一部分,因为$$\mathfrak{h}_1$$满足(2.10),它的贡献其实为零(!)即便在视界处,取决与$$\lambda_1$$的值,零乘以发散因子$$\ln(r-1)$$的极限仍然可能是零. 第二部分,我们考虑$$\ln(r-1)$$的贡献,(2.10)中不涉及导数的项的贡献已经被记入第一部分了,所以相关的贡献就是将$$\ln(r-1)$$的一阶和两阶导数分别乘以$$\mathfrak{h}_1$$后代入(2.10)的相应项. 不难注意到,这里得到的结果的展开的最低阶是从$$(r-1)^{\lambda_1-2}$$开始的,而非$$(r-1)^{\lambda_1}$$,这是由两阶导数决定的. 形象的,它把对应的$$\mathfrak{h}_1$$展开式往低阶方向移动了两阶. 我们强调,虽然我们的讨论没有涉及到任何方程的形式和解$$\mathfrak{h}_1$$的形式,但这是一个已知系数的展开式. 现在,我们只需把这个结果与(2.13)等式右边的第二项求和,并且尝试由此得到$$b_n$$的递推关系. 由于上面提到的已知系数的展开式的非零的最低阶,$$b_n$$的递推关系一直到$$n=m-3$$是完全相同的. 从$$n=m-2$$开始,系数的递推关系会涉及到上述已知系数的展开式. 而这个展开式的加入,就是为了破坏之前截断位置的递推关系. 针对上述特例,$$a_n$$的系数不再为零,而由上述已知系数的展开式的对应系数决定. 特别的,只要$$a_{m+2}\ne 0$$,上述截断就不再出现,(2.13)等式右边的第二项存在非平庸的递推关系.

(3.1)

这里从(2.8)出发的解析化简计算已经被验证. 具体就是将$$\mathfrak{w}=i$$和$$\mathfrak{q}^2=-1$$代入(2.8)并化简即得. 比如从(2.8b)出发,代入上述关系后在等式两边乘以$$\frac{3r^3(r^2+r+1)}{(r-1)^2}$$即得(3.1a)的结果. 而(3.1c)就是将(3.1a)代入化简后的(2.8d),自然的消去$$\mathfrak{h}_{L}, \mathfrak{h}_{vv}$$后即得.

下述Mathematica代码完成上述验算

(B.2d)

值得指出,这里的讨论是具有一般性的. 因为对很多具体度规,在乌龟坐标下,主方程的有效势在视界与无穷远处都趋于零.因此,(2.12)所对应的两个解的渐进行为不是右行波就是左行波. 这样,对视界处的右行波,我们要求它的EF坐标$$v$$下能在视界附近由泰勒级数展开,否则波函数对应左行波.

如果方程的均匀部分(非"源"部分)能在视界处泰勒展开,则不会发散,这要求方程的源在视界处不发散. 注意到在$$r\to 1$$的极限下,方程的"源"的可能的发散来自因子$$\frac1f\sim (r-1)^{-1}$$. 要求这个发散不出现的条件正是(3.6).

(3.6-7)

这里的第一式就是要求(B.2d)最后一项方括号中的第一项与第二项花括号中的第一项在极限$$r\to 1$$下相互抵消.因为花括号中的第二项并不发散. 而(3.6)的第二项就是把(3.6)的第一项代入(3.1a)后即得.

作者是女性所以写为à la Kovtun and Starinets?

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Nonuniqueness of Green's functions at special points, 1905.12015v2, by Makoto Natsuume, Takashi Okamura
(1.1)

按(1.1)指数上的形式,当频率的虚部大于零时,指数的实数部分随着时间的增加为很大的正数.这是导致蝴蝶效应的直观原因.

而按之后(3.6)的具体计算和(1.4)下方的讨论,这里的特殊点都是位于频率实轴的下方,因此,这些点并不导致蝴蝶效应.

(1.4)

按文中的说法,流体力学奇点仅仅是一个奇点,但这个奇点在波矢的模趋于零时,对应的频率也趋于零.

(3.1)

本文在一个更为一般的框架下讨论特殊点以及方程通解的形式,这里给出具体的讨论.

由度规(2.1-2),在视界$$r=1$$附近我们有$$f'\sim (p+1)$$, $$f\sim (p+1)(r-1)$$. 由此,(3.1)在视界部分近似为(3.2). 而由(3.2)左边第二项分子为零的条件得到
 * $$\omega_*= -i\frac{p+1}{2}$$

或者 $$\mathfrak{w}_*= \frac{\omega_*}{2\pi T}=-i$$ 其中$$T= \frac{f'}{4\pi}=\frac{p+1}{4\pi}$$. 将这个结果代入(3.2)左边第三项分子为零的条件得到
 * $$q^2_*= -m^2-\frac{p(p+1)}{2}$$

或者
 * $$\mathfrak{q}^2_*= \frac{q^2_*}{(2\pi T)^2}$$

这就是(3.6)的结果.

对于(3.1)解的渐进行为,我们不考虑分子为零的情况. 取(3.3)的主导项$$(r-1)^\lambda$$代入(3.1),我们得到
 * $$\lambda(\lambda-1)+\lambda\left(1-\frac{2i\omega}{p+1}\right)$$

上述两次多项式的两个根为$$\lambda_1=0$$, $$\lambda_2=i\mathfrak{w}$$.此即(3.4)

(3.12)

这个关系就是令(3.11)等式右边括号中的表达式为零,并且代入视界位置$$r=1$$即得.

(3.18)

我们 没有能够 得到这个结果.显然将(3.13)代入(3.15)并按(3.18)左边求导数,并不能得到(3.18).

(3.21)

这里,利用(3.12)的结果. 将$$p=1$$,$$\frac{\delta(\mathfrak{q}^2)}{\delta\mathfrak{w}}=\frac{2\mathfrak{q}\delta(\mathfrak{q})}{\delta\mathfrak{w}}$$以及$$\mathfrak{q}=\mathfrak{q}_*=i\sqrt{1+m^2}$$代入(3.12)右边. 将(3.20)以及$$\Delta_\pm$$的具体形式代入(3.12)左边,并利用$$r=1$$. 由上述等式可以解出比值$$\frac{\phi_*^{(1)}}{\phi_*^{(0)}}$$,即得(3.21),略去具体计算过程.

这正是文中反复强调的,波函数通解中两个积分常数的比值取决于从特殊点位置偏离的具体方式. 将这个结果代入(3.18)即得(3.22).

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