Research Paper Notes on Superradiance

Research Paper Notes on Superradiance

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文献列表

 * Klein's Paradox and its Resolution, Phys.Scripta 23 (1981) 1036, by A. Hansen and F. Ravndal
 * The Klein paradox and superradiance, Annals of Physics 181 (1988) 261, by C. A. Manogue
 * Radiation by uniformly moving sources, Physics-Uspekhi 39 (1996) 973, by V. L. Ginzburg
 * The many faces of superradiance, arXiv:gr-qc/9803033, by Jacob D. Bekenstein and Marcelo Schiffer
 * Reflection, Transmission, and Amplification of Sound by a Moving Medium, Jour. Acoustical Society of America 29(1957) 435, by Herbert S.
 * Interaction of a quantum field with a rotating heat bath, arXiv:1702.06231v2, by Rober Alicki and Alejandro Jenkins
 * A Modern Approach to Superradiance, arXiv:1609.06723v2, by Solomon Endlich and Riccardo Penco


 * Greybody factors at large imaginary frequencies, arXiv:hep-th/0304080v1, by Andrew Neitzke
 * Greybody Factors for d–Dimensional Black Holes, arXiv:0708.0017v2, by Troels Harmarka, José Natáriob, and Ricardo Schiappa


 * Klein-Gordon equation and rotating black holes, PRD22 (1980) 2323, by Steven Detweiler
 * Instability of Massive Scalar Fields in Kerr-Newman Spacetime, arXiv:gr-qc/0402037v2, by Hironobu Furuhashi and Yasusada Nambu
 * Superradiant instabilities of rotating black branes and strings, arXiv:hep-th/0502206v2, by Vitor Cardoso and Shijun Yoshida
 * Instability of the massive Klein-Gordon field on the Kerr spacetime, arXiv:0705.2880v2, by Sam R. Dolan
 * Massive vector fields on the Schwarzschild spacetime: quasinormal modes and bound states, arXiv:1110.4494v2, by Jo˜ao G. Rosa and Sam R. Dolan
 * The Penrose process, superradiance, and ergoregion instabilities, arXiv:1803.08060, by Rodrigo Vicente, Vitor Cardoso, and Jorge C. Lopes

Klein's Paradox and its Resolution, Phys.Scripta 23 (1981) 1036, by A. Hansen and F. Ravndal
这篇文章很精彩,它从量子力学,统计力学,二次量子化及波戈留波夫变换,和场论多个不同角度讨论了克莱因佯谬.

(3-4)

这里的结果以及之后的(15-16)都可以用标准量子力学的做法得到,比如参见苏汝铿量子力学一维势垒(2.8.1)的解法.具体就是利用波函数和波函数的导数在$$x=0$$点连续的条件.波函数的形式可以参见Cardoso超辐射的综述一文的(3.4)和(3.13).结果已验证,这里略去具体计算.但是,我们特别 指出 这里透射系数与Cardoso或者Manogue的文章不同,是用概率流的比值来定义的,具体参见这个维基页的定义.考虑到这个区别,这里波函数的振幅用$$R,T$$而非$$\mathcal{R},\mathcal{T}$$来标记.

求解过程中涉及的区别仅仅是对应的方程为克莱因高登方程与狄拉克方程,而非薛定谔方程,但是由于平面波解的形式是一致(或者类似)的,具体计算过程没有本质区别. 具体的,按本文的定义,对克莱因高登方程,反射与透射振幅都可以表达为入射振幅的函数,即
 * $${R}=\frac{p-q}{p+q}{I}=\frac{1-\kappa}{1+\kappa}{I}$$
 * $${T}=\sqrt{\frac{q}{p}}\frac{2p}{p+q}{I}=\frac{2\sqrt{\kappa}}{1+\kappa}{I}$$

而反射与透射系数分别为
 * $$\rho\equiv \left(\frac\right)^2=\left(\frac{1-\kappa}{1+\kappa}\right)^2$$
 * $$\tau\equiv \left(\frac\right)^2=\frac{4\kappa}{(1+\kappa)^2}$$

不失一般性,文中取了$$I=1$$.

为了方便不同文献间的比较阅读,对波色子的情况我们这里具体列出两个定义的差别.对波色子
 * $$I=\mathcal{I}$$
 * $${R}=\frac{1-\kappa}{1+\kappa}{I}=\mathcal{R}$$
 * $${T}=\frac{2\sqrt{\kappa}}{1+\kappa}{I}=\sqrt{\frac{|q|}{|p|}}\mathcal{T}$$
 * $$\kappa=\frac{q}{p}$$

对费米子
 * $$I=\mathcal{I}$$
 * $${R}=\frac{1-\kappa}{1+\kappa}{I}=\mathcal{R}$$
 * $${T}=\frac{2\sqrt{\kappa}}{1+\kappa}{I}=\sqrt{\frac{|p|}{|q|}\frac{|E-eV+m|}{|E+m|}}\mathcal{T}$$
 * $$\kappa=\frac{q}{p}\frac{E+m}{E-eV+m}$$

满足克莱因高登方程的波色子数学上有四个独立的解,其中两个解是物理的,对应入射波从左边或者右边进入系统在势场边界上反射与透射情况.上面给出的解对应从左边入射的情况.问题对波色子与费米子所有的解在文章的附录中给出.对于解的归一正交性的证明,本笔记没给出,但是推导过程可以参考这篇文献中(6)的讨论.

(14)

这里是退一步,用相对论形式的经典力学来讨论克莱因佯谬问题的经典解,但是其中仍然涉及到群速度的概念.

按(13),我们有$$\frac{E}{m}=\dot{i}_A=\dot{i}_B+\frac{eV}{m}$$.

不失一般性,我们考虑$$E>m>0$$以及$$eV>0$$.方程(2)可以改写为$$(E-eV)^2=m^2+q^2$$,所以对实数$$q$$,我们要求$$E>eV+m$$或者$$Em$$.

我们按三个区域来讨论.

首先,当势场满足$$eVm$$,我们有$$eV0$$. 这时对任何实数$$q$$,都能找到对应的实数$$E$$.

其次,当势场满足$$eV<2m$$时,由$$E>m$$,易证$$eV-E-1$$. 另一方面,当$$eV>E$$时,由于$$0<(eV-E)m$$和$$\dot{i}_B<0$$ 但实际上,如果我们从一个更宽泛的条件$$eV>m$$出发,若假设$$E<2m$$,同样有$$(eV-E)=(eV-m)+(m-E)>(0)+(-m)=-m$$.同样满足上述(2)中$$q$$没有实数解的充分条件.这时$$\dot{i}_B < 1$$. 所以我们得到结论,在此情况下,必然存在某个入射能量满足$$2m>E>m$$,此时$$q$$没有实数解. 综上,当$$m2m$$,由于$$eV-m=(eV-E)+(E-m)>m$$,同样,我们总能找到(满足$$E>m$$但)足够(小)的能量,使得$$eV-E>m$$. 这时$$q$$存在实数解.这时$$\dot{i}_B< -1$$,与文中给出的数值一致. 按(8),此时粒子的运动速度的分母为负,换言之粒子群速度与$$q$$反号.注意到,这是在势场中运动的粒子而非真空中被反射的粒子,换言之,真实粒子的运动方向应该是向右的.

(16)

由(7),$$\rho+\tau=R^2+T^2=1$$.按(3-4)的讨论,在$$\kappa<0$$时,$$T$$为纯虚数,$$\tau<0$$,故$$T^2=-|T|^2$$.

(17)

按附录或者文章中的讨论,在$$z>0$$区域的波函数$$n_1\sim e^{iqz}$$.按(14)的讨论,此时$$\kappa$$或者透射系数$$\tau$$与$$q$$反号,群速度(8)与$$q$$也反号.由于入射粒子$$p$$为正,由波函数的解$$q$$亦为正,群速度(8)为负,这就是文中表述为向左运动的入射反粒子,同时对应的透射系数也为负.

进一步的理解,特别是完成本文的阅读后,我们指出,(17)并不是在边界条件上波函数连续的条件.按本文附录,(17)中的$$p_1,p_2,n_1$$分别都是波动方程在全空间的解,它们满足波动方程且在势场边界$$z=0$$满足波函数与一阶导数的连续条件.(17)表达的是这些解的三个解满足的一个线性关系.这个关系存在是因为$$p_1,n_1$$其实已经构成了一组正交完备基,故任何函数$$p_2$$可以表达为它们的线性组合,而因为$$p_1,p_2$$在$$z<0$$真空区域满足入射和出射波的条件,$$n_1$$在$$z>0$$势场区域满足反粒子入射波的条件,与上述讨论的物理问题一致,进一步因为$$p_1,p_2,n_2$$在全空间满足波函数与一阶导数的连续条件,在$$z=0$$这一点上必然同样满足上述条件,故$$T,R$$必然就是量子力学阶梯势问题的透射与反射振幅.

最后我们简单定性说明为什么因为$$p_1,n_1$$能够构成了一组正交完备基.可以这样理解,如果是傅里叶变换,那么频率$$p$$需要是实数才能展开任意(平方可积)函数.在这里我们考虑$$z>0$$区域为$$p>0$$的平面入射波,为了满足波动方程,在$$z<0$$区域的波函数并非为简单的出射(透射)波,而是必须包括出射以及(从未来的)入射波,这就是附录中的$$p_1$$.按上面讨论比较傅里叶变换,这样只包括了一半的基.在此基础上我们第二类基,它在$$z<0$$区域为$$q>0$$的(从未来的)平面入射波,而相应在$$z>0$$区域包括入射与出射波,这就是附录中的$$n_1$$.这包括了剩余的一半的基.综上,不难理解$$p_1,n_1$$可能构成一组正交完备基.相关内容可以参见这篇文献(4ab)的讨论以及(6)的具体证明;也可以参见硕士论文的(5.13)之前的讨论与证明.

(22)

通过引入另一个解,它(按以上讨论,在全空间而并非仅仅是边界上)满足(20),它在物理上的解释在这里 不甚明白 ,相比较,与之后(56)的讨论似乎更为清晰.比如说,文中提到的"未来入射波"的具体涵义在场论的框架下似乎更为明确.

从数学上说,这里通过两组解的线性组合,抵消掉势场中的上述向左运动的入射反粒子,而得到物理上有意义的向右运动的出射反粒子.抵消后的结果在边界上是(21).因为入射波的振幅为1,故反粒子出射波的振幅就是它的产率.

利用$$T,R$$的具体形式,容易得到(22)等式的第二步,它就是把$$\tau=T^2$$表达式中的$$\kappa\to -\kappa$$并取绝对值.

(23)

这里把(19)解读为正负粒子对湮灭概率,这个概率等于真空中粒子对产生概率,因为这两个过程由同一个费曼图顶角决定.在此意义上,(23)是真空中产生的反粒子的平均数.

这个数组先除以$$C\omega$$,再对$$\omega$$积分后为
 * $$\int d\omega(1+2\omega+3\omega^2+\cdots)=\omega+\omega^2+\omega^3+\cdots=\frac{\omega}{1-\omega}$$

故这个数组为上述结果对$$\omega$$的导数乘以$$C\omega$$
 * $$\bar{n}=C\omega\frac{d}{d\omega}\left(\frac{\omega}{1-\omega}\right)=\frac{C\omega}{(1-\omega)^2}$$

(32)

这一部分,文中利用波戈留波夫变换的方法得到波函数的关系,这里最重要的结果是(38).

这里,(29-30)本质上定义了一个由自由空间与势场中的波函数构成的完备的正交空间,而这里讨论的问题中涉及两个这样的空间,它们分别由入射与出射波(由下标12标记)构成.

接着,我们把任意态的在两组基上展开,即写成(31).把系数视为产生消灭算符,而把态视为场算符.这就是本文所谓的二次量子化.

因为两组基分别都是完备的,所以对应的两组产生消灭算符之间必然存在线性关系,这就是(32).而其中的系数,比如(33),可以通过在(32)的左右两边左乘等式右边算符的复共轭并在真空态上求期待值得到.本质上(33-34)无非就是两组基之间的线性关系的具体表述.我们注意到,这里涉及的基和内积的定义,都受到正交完备性的限制,并不是平庸的,具体参见文章的附录.

(36-37)

这里,(36)是由1空间的产生消灭算符的正交完备关系(35)得到的,而(37)由2空间属性决定.它们导致了展开系数(33-34)满足的关系,换言之,这四个系数并不是独立的.

(38)

如文中所述,我们再次将(32)带回场算符的表达式,得到了波函数满足的关系.而其中的(38c)正与之前讨论的(17)对应.

注意到这些关于波函数间的展开关系是严格的,并非只在势场的边界点$$z=0$$处成立.

(41)

这个关系式 未能 具体证明.

(43-44)

这就是把(36-37)利用(41)重新表达,但是这个结果有更为直接的物理上的后果.

(45-47)

最后一部分,文章从场论的角度来讨论克莱因佯谬.具体的,利用S矩阵方法计算相关的散射振幅,从而进一步计算本文中涉及的相关物理量,比如真空中粒子对产生概率,真空激发粒子平均数等.

按定义,不论是单粒子态,多粒子态还是真空态,其$$|\mathrm{in}\rangle$$与$$|\mathrm{out}\rangle$$空间的态之间的内积被定义为S矩阵的矩阵元.

在文中,指标1用于标记$$|\mathrm{in}\rangle$$态,而指标2用于标记$$|\mathrm{out}\rangle$$态.这样才能保证$$\langle \mathrm{out}|\mathrm{in}\rangle=\langle \mathrm{in}|S|\mathrm{in}\rangle$$这个S矩阵的定义.

我们 指出 ,在量子场论中,由于存在某种相互作用,使得无限过去的$$|\mathrm{in}\rangle$$空间的真空态$$|\mathcal{O}_1\rangle$$演化到无限将来并不等于$$|\mathrm{out}\rangle$$空间的真空态$$|\mathcal{O}_2\rangle$$.类似的,在真空态$$|\mathcal{O}_1\rangle$$上通过产生算符增加了某些单粒子状态后经过无限长时间的演化,体系并不等于在真空态$$|\mathcal{O}_2\rangle$$上增加相应的粒子态.因此,我们在相互作用图像中考虑相互作用顶点对体系演化的贡献,计算$$|\mathrm{in}\rangle$$与$$|\mathrm{out}\rangle$$空间中粒子态的散射振幅.在这里,这种相互作用并不存在,我们也无法通过相互作用顶角计算相关的散射振幅.实际上,我们能够计算散射振幅是因为我们解析的知道$$|\mathrm{in}\rangle$$与$$|\mathrm{out}\rangle$$空间与相应粒子产生消灭算符的具体关系(32).

(50)

这是把之前的展开关系(32a)作用在真空$$|\mathcal{O}_1\rangle$$上,并利用(49)即得.注意到,$$|\mathrm{in}\rangle$$与$$|\mathrm{out}\rangle$$态就是之前波戈留波夫变换方法中涉及的两个不同的基1和2,所以可以利用这个展开关系.

(51-52)

这是粒子产生过程的散射振幅,故我们考虑初态真空态$$|\mathcal{O}_1\rangle$$与含有粒子对的末态$$|b_2^\dagger a_2^\dagger\mathcal{O}_2\rangle$$的内积.这就是等式的第一步.

等式第二步就是利用了(50),粒子产生消灭算符的对易关系,以及真空到真空的散射振幅的定义(52).后者被定义成指数形式,是因为考虑了连接真空图的贡献$$W$$.

(53-54)

这里概率等于散射振幅的模的平方,这里利用了之前导出的关系(42).而(54)仅仅是简单的数学结果,因为$$iW$$在(52)的指数上,所以$$W$$的实部对应幅角,在对(52)取模时没有任何贡献.

如文中指出,这个结果与之前推导(23)时的讨论完全一致.

(55)

这里文中有typo,这个式子应该是$$\langle\mathcal{O}_2|a_2 a_1^\dagger|\mathcal{O}_1\rangle$$.这点可以从代入(32a)后得到(56)的结果确认.

(56-58)

等式右边的第一项,从数学上看正比与真空到真空的散射振幅,文中称为直接散射.但是从它算符的来源来看,它是$$|\mathrm{in}\rangle$$空间真空与$$|\mathrm{out}\rangle$$空间的出射态与入射态的内积.注意到后者的物理意义很蹊跷,因为入射态一般应该属于$$|\mathrm{in}\rangle$$空间.

而等式右边的第二项,正比于正反粒子对产生过程(51),其中注意到对易关系$$b_2 a_2=-\epsilon a_2 b_2$$.

由于末态中并没有在势场中产生反粒子,故文中指出,从物理上说,上述两个过程(费曼图或者散射振幅)贡献之和,才对应于(55)中讨论的弹性散射过程.故在某种意义上,第二项中$$|\mathrm{out}\rangle$$空间里势场中的反粒子出射末态是用于抵消第一项中$$|\mathrm{out}\rangle$$空间里真空中粒子的入射末态.坦诚而言,具体解释 不清楚.

最后,带入之前的结果(51-52),我们得到(56)的右边为


 * $$\left(A^*+\epsilon B^*(-\epsilon)\left(-\frac{B}{A}\right)\right)\langle\mathcal{O}_2|\mathcal{O}_1\rangle=\left(\frac{A^*A+\epsilon B^*B}{A}\right)\langle\mathcal{O}_2|\mathcal{O}_1\rangle=\left(\frac{1}{A}\right)e^{iW}$$

其中最后一步利用了(36).

(59)

文中指出,之前统计力学分析中用到的概率归一在场论的语言中体现为S矩阵的幺阵性.这只需在(59)左侧的算符乘积中插入完整的$$|\mathrm{out}\rangle$$空间的基,再用$$|\mathrm{out}\rangle$$空间真空$$|\mathcal{O}_2\rangle$$在两边相夹求期待值.容易想象,等式左边,所有的非零贡献都对应于不同数目的正负粒子对产生的过程,而等式右边是1.这就是(24).

(60)

这里与(51)的计算类似,但很不相同,后者是要计算$$|\mathcal{O}_1\rangle$$在演化后,得到$$|a_2^\dagger b_2^\dagger\mathcal{O}_2\rangle$$的概率.

这里是要计算粒子数算符$$\hat{n}_2=a_2^\dagger a_2$$在真空$$|\mathcal{O}_1\rangle$$演化后的态上的期待值.显然,上述态并不是$$|\mathrm{out}\rangle$$空间的真空态$$|\mathcal{O}_2\rangle$$,否则我们不可能得到任何非平庸的真空粒子对产生.实际上,仔细思考后发现,这个态正是$$|\mathcal{O}_1\rangle$$,这是因为我们在海森堡(相互作用)图像内工作.由此,我们得到表达式(60).

(61)

将(32c)代入,注意到只有$$\tilde{B}^*b_1^\dagger$$项才有贡献.并利用(41)与(39-40)即得这个结果.

The Klein paradox and superradiance, Annals of Physics 181 (1988) 261, by C. A. Manogue
这篇文章从场论与波戈留波夫变换为主要出发点,讨论克莱因佯谬与超辐射.

(4ab)

这里给出了从左向右入射以及从右向左入射的,以构造数学上的完备基.这个做法与这篇文献中完备基的选择类似.我们注意到,在表面上,透射波的波矢的符号在两篇文献中有所不同.而实际上,如本文(5)下方的讨论中指出的,波矢符号其实应该由物理上有意义的波包群速度决定(由文中可知,这是由波尔提出的,在克莱因的最早的讨论中已被采用),而后者还与$$\omega$$所在区域与势场的渐进行为有关.在此意义上,这种定义上的不确定性是在所难免的,因为波包的具体符号往往与所讨论问题的具体细节有关.

这里给出的是三维空间(或者四维闵可夫斯基时空)中的解,因为体系具有平移不变性,故与一维问题比较,这组解没有本质区别.

Fig.1

除了用水平线划分出区域I-IV外,图中给出的曲线是势场形式,它在两头$$x\to\pm\infty$$分别趋近于$$\pm\frac{eV}{2}$$,在中间部分可以有比较随意的函数形式.

(5)

结合Fig.1,首先考察在势场渐进区域$$x\to\pm\infty$$的性质. 在$$x\to +\infty$$有(5)的第二式,易知,如果$$r$$为实数,则$$\omega > \frac{eV}{2}+\sqrt{k^2+m^2}$$或者$$\omega < \frac{eV}{2}-\sqrt{k^2+m^2}$$,这对应区域I和区域III,IV,V.而在区域II中$$r$$为虚数.对区域III,IV,V可给出类似的讨论,即$$q$$为实数对应I,II,III,V区域,$$q$$为虚数对应IV区域.

接着文中给出讨论,入射波(4a)成立的条件是入射波对应的$$q$$不能为虚数,故只能对应区域I,II,III,IV.

最后,文中提到一个重要的思想,$$q,r$$的符号是无法由(5)决定的,也不能人为指定,而是应该由问题中涉及的物理上有意义的波包群速度决定.

(6)

按文中给出的内积的定义,如果我们直接利用度规空间的高斯定理(如参见Eric Poisson进阶广义相对论(3.3.1)),把面积分理解为闭合曲面上的积分,可以把面积分化为体积分,这样(我们用$$\sim$$取代原文中的$$'$$以避免混淆)
 * $$\oint_\Sigma d\Sigma_\mu(w^*{\tilde{w}^\mu}-\tilde{w}{{w^*}^\mu}) =\int dV (w^*{\tilde{w}^\mu}_\mu-\tilde{w}{{w^*}^\mu}_\mu)=\int dV \left\{w^*\left[((\omega-e\Phi)^2-k^2)\tilde{w}+\frac{d^2}{dx^2}\tilde{f}(x)\right]-\tilde{w}^*\left[((\omega-e\Phi)^2-k^2)w+\frac{d^2}{dx^2}f(x)\right]\right\}=\int dV m^2(w^*\tilde{w}-\tilde{w}^* w)=0$$.

其中我们在第一步等号中利用了运动方程(2),并代入了波函数$$w_{\mathrm{in}}$$的一般表达式(3)上面一式,但不涉及$$f(x)$$的具体形式(4ab),最后一步等式利用了$$f(x)$$满足的方程方程(3).不难注意到,即便仅仅利用克莱因高登方程(2),我们同样可以得到上述结论.

在此意义上,内积结果始终为零.这与书中的结论直接有矛盾.这是因为,第一上述曲面不是封闭的,而是类空的.第二波函数在边界(这里并非仅指对应空间上区域无限远的类空边界,还包括对应无限过去与将来的类时边界)上未必趋于零,故在实际计算中不能随意忽略任何面积分的贡献. 实际上,表达式(6)是一个定义,物理上我们需要引入一个满足正交归一性的内积定义. 下面我们先尝试按文中的给出的波函数具体形式 具体计算 这个内积,再对所得结果给出讨论.

首先,我们把积分曲面取为类时的,即
 * $$(w,\tilde{w})=-i\int (w^*\nabla_0 \tilde{w}-\tilde{w}\nabla_0 w^*)dxdydz=\int \left[(\omega-e\Phi)+(\tilde{\omega}-e\tilde{\Phi})\right]w^* \tilde{w}dxdydz$$

这里我们需要具体考虑波函数的形式,即(3-4).进一步,对$$\int dydz$$的积分,由于积分$$\int d\mathbf{y}\frac{1}{(2\pi)^2}e^{i\mathbf{k}\cdot\mathbf{y}}=\int dydz\frac{1}{(2\pi)^2}e^{i(k_y y+k_z z)}$$,得到因子$$\delta^2(\mathbf{k}-\mathbf{\tilde{k}})$$.而与频率有关的因子$$\delta(\omega-\tilde{\omega})$$更为复杂些.

考虑(6)的第一式,即$$\vec{w}_{\mathrm{in}}$$的正交归一.若仅仅考虑入射波,则情况较为简单,我们存在积分
 * $$\int \frac{1}{2\pi}dx e^{i(q-\tilde{q})x}=\delta(q-\tilde{q})=\mathrm{det}\left|\frac{d\omega}{dq}\right|\delta(\omega-\tilde{\omega})=\epsilon\frac{|q|}{\omega+eV/2}\delta(\omega-\tilde{\omega})$$.

上述计算中利用了$$\delta$$函数的换元公式.上述积分范围形式上为全空间,物理上可以理解为对局域非常接近平面波的波包积分.

注意到如文中所述,我们实际上的确只需对入射波的部分进行归一.上述结果中$$\epsilon$$就是(6-7)中出现的因子,分子上$$|q|$$与归一因子$$\vec{N}$$中的相应项抵消,而考虑到频率与势场必须相等的条件,$$\vec{N}$$中的因子$$2$$与上式分母中的$$(\omega+eV/2)$$因子正好与前面$$(w,\tilde{w})$$表达式中的$$[(\omega-e\Phi)+(\tilde{\omega}-e\tilde{\Phi})]=2(\omega-e\Phi)$$因子相消.因此我们具体证明了文中的结果(6).

我们注意到,在上述计算$$\int dx$$的过程中,虽然我们没有完全严格的对全空间积分,但是对$$\int dydz$$部分产生的$$\delta^2(\mathbf{k}-\mathbf{\tilde{k}})$$因子明确的提示这个计算结果与高斯定理得到的结果本质上不同.仔细考察计算过程,我们注意到在当前的问题中,波函数并不在四维时空边界上消失,这导致上述对高斯定理的使用并不是正确的.我们唯一可以确信的,是内积$$(w,\tilde{w})$$是一个洛伦兹不变量,故而,如文中所述,我们可以方便的选择类时曲面以完成积分的具体计算.

完成了上述具体计算.我们回过来从一个更一般的角度对(6)作出讨论. 按Particle Creation by Black Holes, by Steven Hawking, Commun. Math. Phys. 43 (1975) 199一文,霍金在(1.2)中给出了以类似的表达式. 我们注意到实际上,因为
 * $$\oint_\Sigma d\Sigma_\mu(w^*{\tilde{w}^\mu}-\tilde{w}{{w^*}^\mu}) =\int dV (w^*{\tilde{w}^\mu}_\mu-\tilde{w}{{w^*}^\mu}_\mu)=0$$.

考虑到真实粒子的世界线是类时或者类光的,这对应波函数中时间坐标的增加"方向". 因此我们可以考虑两个任意的类时曲面$${\Sigma_i}$$与$${\Sigma_f}$$,我们有
 * $$\int_{\Sigma_i} d\Sigma_\mu(w^*{\tilde{w}^\mu}-\tilde{w}{{w^*}^\mu}) =\int_{\Sigma_f} d\Sigma_\mu(w^*{\tilde{w}^\mu}-\tilde{w}{{w^*}^\mu})$$.

在上述表达式中,我们(通过把波函数理解为有限空间的波包)忽略相应"侧面"的类空曲面上的积分贡献. 因此,实际上对任何类时曲面$${\Sigma}$$,我们有
 * $$\int_{\Sigma} d\Sigma_\mu(w^*{\tilde{w}^\mu}-\tilde{w}{{w^*}^\mu}) =\mathrm{const.}$$.

显然,上述表达式具有类似量子力学中"流守恒"的形式,但是在这里,霍金文中(1.2)利用它来定义波函数的正交归一. 而本文中,Manogue给出的波函数具体形式(3-4)就是对霍金定义的一个具体实现.

(12)

如文中的讨论,这里涉及到存在外势场时场算符的展开表达式.其中频率的正负号以及归一系数的符号是问题的关键.在本文中,前者的积分范围将直接写成正负无穷大范围中被色散关系(5)所允许的对应范围,注意到,这能够在势场消失时回到一般场论的场算符展开形式.另外,归一系数的符号直接影响到对应产生消灭算符的对易关系.

我们注意到按(5),对于$$x<0$$区域,$$\omega$$为实数的区域对应于$$|\omega|>m$$的两个区域被势场抬高了$$eV/2$$,分别对应区域I,和区域III,IV,V.这种外势场造成的平移,使得我们不能简单的用$$\omega$$的正负号来判断,比如在上面的例子中,原本对应反粒子的频率$$\omega$$就会同时涉及正负区域.因此,(12)中对频率的积分不可能统一写成零到无穷大.但是,另一方面,因为上述积分在势场为零时必须与标准场论中场算符的展开形式一致,因此在(12)式中的频率范围在积分后本质上仍只能包括全部实域的一半.

另外,(12)中的求和以及积分,除了频率$$\omega$$,二动量$$\mathbf{k}$$外,还涉及$$\leftrightarrow$$.二动量中的$$k_y,k_z$$分量的范围同样是正负无穷大,而$$q,r$$只能包含一个方向,因为最后一个指标$$(\leftarrow,\rightarrow)$$正对应波函数解(4ab)中从左边及右边入射的情况.但是如文中所述,在某些区域,$$q,r$$的符号取决于群速度,故不总是正号,因此在(12)中形式上也取为正负无穷大的范围.

最重要的,我们 尝试讨论 一下(12)导致的产生消灭算符的对易关系. 对于场论的标准做法,可以参见Mandl&Shaw一书的相关内容及笔记.

我们首先反过来,证明从产生消灭算符的对易关系可以得到场算符的对易关系,这个证明相对简单. 由文中(12)的定义
 * $$\phi(x)=\sum\limits_{\leftrightarrow}\int d\omega d^2k[a_{\mathrm{in}}(\omega,k,\leftrightarrow)u_{\mathrm{in}}(\omega,k,\leftrightarrow|x)+b^\dagger_{\mathrm{in}}(\omega,k,\leftrightarrow)v_{\mathrm{in}}(\omega,k,\leftrightarrow|x)]$$.

按共轭场算符的定义,我们有
 * $$\pi\equiv \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\phi_{,0}}=-{{\phi^*}_,}^0=\dot{\phi}^\dagger=\sum\limits_{\leftrightarrow}\int d\omega d^2k[a^\dagger_{\mathrm{in}}(\omega,k,\leftrightarrow)\dot{u}^*_{\mathrm{in}}(\omega,k,\leftrightarrow|x)+b_{\mathrm{in}}(\omega,k,\leftrightarrow)\dot{v}^*_{\mathrm{in}}(\omega,k,\leftrightarrow|x)]$$.

其中,由(2)上面一式,具体的我们有
 * $${u_{\mathrm{in}}}_{,0}(\omega,k,\leftrightarrow|x)\equiv {\dot{u}_{\mathrm{in}}}=(\partial_0-ieA_0){u_{\mathrm{in}}}=(-i\omega-ieA_0){u_{\mathrm{in}}}=(-i\omega+ie\Phi){u_{\mathrm{in}}}=-i(\omega-e\Phi){u_{\mathrm{in}}}$$
 * $${u^*_{\mathrm{in}}}_{,0}(\omega,k,\leftrightarrow|x)\equiv {\dot{u}^*_{\mathrm{in}}}=(\partial_0+ieA_0){u^*_{\mathrm{in}}}=i(\omega-e\Phi){u^*_{\mathrm{in}}}$$
 * $${{u^*_{\mathrm{in}}}_{,}}^0(\omega,k,\leftrightarrow|x)=(\partial^0+ieA^0){u^*_{\mathrm{in}}}=-i(\omega-e\Phi){u^*_{\mathrm{in}}}=-{u^*_{\mathrm{in}}}_{,0}=- {\dot{u}^*_{\mathrm{in}}}$$

注意到,运算中交换偏导和复共轭的顺序不会改变最后的结果.

我们指出,由于势场的存在,对应于正反粒子的波函数$$u_{\mathrm{in}},v_{\mathrm{in}}$$下面的关系是不等式(等式不成立)$$u^*_{\mathrm{in}}(\omega,k,\leftrightarrow|x)\ne v_{\mathrm{in}}(\omega,k,\leftrightarrow|x)$$.考虑正反粒子和入射方向同时改变时,我们有下面的不等式$$\dot{v}_{\mathrm{in}}(\omega,k,\rightarrow|x)\ne -\dot{u}_{\mathrm{in}}(\omega,k,\leftarrow|x)$$,$$\dot{v}_{\mathrm{in}}(\omega,k,\rightarrow|x)\ne-\dot{u}_{\mathrm{in}}(\omega,k,\rightarrow|x)$$.在验证上述关系时,我们考虑了入射波区域的波矢,标势,以及反粒子的频率与正粒子频率的关系.但是,我们指出,虽然由于势场的存在,反粒子的频率可正可负,但是它必须在势场为零是正数.实际上,注意到正粒子与反粒子的频率是成对出现的,它们满足$$\pm(\omega-e\Phi)$$,因此我们有关系$$\dot{v}_{\mathrm{in}}(\omega,k,\leftrightarrow|x)=-(\omega-e\Phi)v_{\mathrm{in}}(\omega,k,\leftrightarrow|x)$$.

我们需要证明的场算符对易关系是
 * $$[\phi(t,x,y),\pi(t,x',y')]=[\phi(t,x,y),\dot{\phi}^\dagger(t,x',y')]=i\delta(x-x')\delta(y-y')$$.

将产生消灭算符的对易关系代入上述对易式后,发现剩余的波函数部分具有形式

\sum\limits_{\leftrightarrow}\sum\limits_{\leftrightarrow'}\int d\omega d\omega' d^2k d^2k'(u_{\mathrm{in}}(\omega,k,\leftrightarrow|x)\dot{u}^*_{\mathrm{in}}(\omega',k',\leftrightarrow'|x')[a_{\mathrm{in}}(\omega,k,\leftrightarrow),a^\dagger_{\mathrm{in}}(\omega',k',\leftrightarrow')]+v_{\mathrm{in}}(\omega,k,\leftrightarrow|x)\dot{v}^*_{\mathrm{in}}(\omega',k',\leftrightarrow'|x'))[b^\dagger_{\mathrm{in}}(\omega,k,\leftrightarrow),b_{\mathrm{in}}(\omega',k',\leftrightarrow')]+0+0$$

=\sum\limits_{\leftrightarrow}\int d\omega d^2k(u_{\mathrm{in}}(\omega,k,\leftrightarrow|x)\dot{u}^*_{\mathrm{in}}(\omega,k,\leftrightarrow|x')-v_{\mathrm{in}}(\omega,k,\leftrightarrow|x)\dot{v}^*_{\mathrm{in}}(\omega,k,\leftrightarrow|x'))$$

注意到上述表达式与波函数内积的定义有相似之处但不仅相同,其实上述形式是"正负"频率基$$u_{\mathrm{in}}(\omega,k,\leftrightarrow|x),v_{\mathrm{in}}(\omega,k,\leftrightarrow|x)$$的完备性形式.换言之,


 * $$\sum\limits_{\leftrightarrow}\int d\omega d^2k \left[u_{\mathrm{in}}(\omega,k,\leftrightarrow|x)\left(u_{\mathrm{in}}(\omega,k,\leftrightarrow|x'),{w}_{\mathrm{in}}(\omega',k',\leftrightarrow'|x')\right)- v_{\mathrm{in}}(\omega,k,\leftrightarrow|x)\left(v_{\mathrm{in}}(\omega,k,\leftrightarrow|x'),{w}_{\mathrm{in}}(\omega',k',\leftrightarrow'|x')\right)\right]$$
 * $$=\sum\limits_{\leftrightarrow}\int d\omega d^2k \left[u_{\mathrm{in}}(\omega,k,\leftrightarrow|x)\epsilon_{\leftrightarrow'}\delta(\omega-\omega')\delta^2(k-k')\delta_{wu}+ v_{\mathrm{in}}(\omega,k,\leftrightarrow|x)\epsilon_{\leftrightarrow'}\delta(\omega-\omega')\delta^2(k-k')\delta_{wv}\right]$$
 * $$=\left[u_{\mathrm{in}}(\omega',k',\leftrightarrow'|x)\delta_{wu}+v_{\mathrm{in}}(\omega',k',\leftrightarrow'|x)\delta_{wv}\right]$$
 * $$=\int dx' \delta^3(x-x')w_{\mathrm{in}}(\omega',k',\leftrightarrow'|x')$$

注意到上式第一步$$v_{\mathrm{in}}$$前的负号来源于(6)中的$$\epsilon$$因子,即反粒子对应负的归一常数.而另一方面,
 * $$\sum\limits_{\leftrightarrow}\int d\omega d^2k \left[u_{\mathrm{in}}(\omega,k,\leftrightarrow|x)\left(u_{\mathrm{in}}(\omega,k,\leftrightarrow|x'),{w}_{\mathrm{in}}(\omega',k',\leftrightarrow'|x')\right)- v_{\mathrm{in}}(\omega,k,\leftrightarrow|x)\left(v_{\mathrm{in}}(\omega,k,\leftrightarrow|x'),{w}_{\mathrm{in}}(\omega',k',\leftrightarrow'|x')\right)\right]$$
 * $$=\sum\limits_{\leftrightarrow}\int d\omega d^2k (-i\int d^3x')\left[u_{\mathrm{in}}(\omega,k,\leftrightarrow|x)\left( u^*_{\mathrm{in}}(\omega,k,\leftrightarrow|x')\dot{w}_{\mathrm{in}}(\omega',k',\leftrightarrow'|x')-\dot{u}^*_{\mathrm{in}}(\omega,k,\leftrightarrow|x'){w}_{\mathrm{in}}(\omega',k',\leftrightarrow'|x')\right)- v_{\mathrm{in}}(\omega,k,\leftrightarrow|x)\left(v^*_{\mathrm{in}}(\omega,k,\leftrightarrow|x')\dot{w}_{\mathrm{in}}(\omega',k',\leftrightarrow'|x')-\dot{v}^*_{\mathrm{in}}(\omega,k,\leftrightarrow|x'){w}_{\mathrm{in}}(\omega',k',\leftrightarrow'|x')\right)\right]$$
 * $$=\sum\limits_{\leftrightarrow}\int d\omega d^2k (2i\int d^3x')\left[u_{\mathrm{in}}(\omega,k,\leftrightarrow|x)\left( \dot{u}^*_{\mathrm{in}}(\omega,k,\leftrightarrow|x'){w}_{\mathrm{in}}(\omega',k',\leftrightarrow'|x')\right)- v_{\mathrm{in}}(\omega,k,\leftrightarrow|x)\left(\dot{v}^*_{\mathrm{in}}(\omega,k,\leftrightarrow|x'){w}_{\mathrm{in}}(\omega',k',\leftrightarrow'|x')\right)\right]$$
 * $$=\sum\limits_{\leftrightarrow}\int d\omega d^2k (2i\int d^3x')\left[u_{\mathrm{in}}(\omega,k,\leftrightarrow|x)\dot{u}^*_{\mathrm{in}}(\omega,k,\leftrightarrow|x')- v_{\mathrm{in}}(\omega,k,\leftrightarrow|x)\dot{v}^*_{\mathrm{in}}(\omega,k,\leftrightarrow|x')\right]{w}_{\mathrm{in}}(\omega',k',\leftrightarrow'|x')$$

其中利用了(6)式证明涉及到的,当内积不为零时两项的贡献一致的结果,

与上述结果相比,除了因子(-2)外,我们的确发现(无耻之尤)
 * $$\sum\limits_{\leftrightarrow}\int d\omega d^2k (2i)\left[u_{\mathrm{in}}(\omega,k,\leftrightarrow|x)\dot{u}^*_{\mathrm{in}}(\omega,k,\leftrightarrow|x')- v_{\mathrm{in}}(\omega,k,\leftrightarrow|x)\dot{v}^*_{\mathrm{in}}(\omega,k,\leftrightarrow|x')\right]=\delta^3(x-x')$$

而利用场论中的标准手续,我们首先证关系


 * $$ a(\omega,k,\leftrightarrow)=\int d^3x u^*_{\mathrm{in}}(\omega,k,\leftrightarrow|x)(i\dot\phi(x)+(\omega-e\Phi)\phi(x)) $$
 * $$ b(\omega,k,\leftrightarrow)=\int d^3x v_{\mathrm{in}}(\omega,k,\leftrightarrow|x)(i\dot\phi^\dagger(x)+(\omega-e\Phi)\phi^\dagger(x)) $$

利用
 * $$\phi(x)=\sum\limits_{\leftrightarrow}\int d\omega d^2k[a_{\mathrm{in}}(\omega,k,\leftrightarrow)u_{\mathrm{in}}(\omega,k,\leftrightarrow|x)+b^\dagger_{\mathrm{in}}(\omega,k,\leftrightarrow)v_{\mathrm{in}}(\omega,k,\leftrightarrow|x)]$$.
 * $$\dot{\phi}(x)=\sum\limits_{\leftrightarrow}\int d\omega d^2k[a_{\mathrm{in}}(\omega,k,\leftrightarrow)\dot{u}_{\mathrm{in}}(\omega,k,\leftrightarrow|x)+b^\dagger_{\mathrm{in}}(\omega,k,\leftrightarrow)\dot{v}_{\mathrm{in}}(\omega,k,\leftrightarrow|x)]

$$
 * $$=\sum\limits_{\leftrightarrow}\int d\omega d^2k[-i(\omega-e\Phi)a_{\mathrm{in}}(\omega,k,\leftrightarrow)u_{\mathrm{in}}(\omega,k,\leftrightarrow|x)+i(\omega-e\Phi)b^\dagger_{\mathrm{in}}(\omega,k,\leftrightarrow)v_{\mathrm{in}}(\omega,k,\leftrightarrow|x)]

$$. 以及
 * $$\phi^{\dagger}(x)=\sum\limits_{\leftrightarrow}\int d\omega d^2k[a{\dagger}_{\mathrm{in}}(\omega,k,\leftrightarrow)u^*_{\mathrm{in}}(\omega,k,\leftrightarrow|x)+b_{\mathrm{in}}(\omega,k,\leftrightarrow)v^*_{\mathrm{in}}(\omega,k,\leftrightarrow|x)]$$.
 * $$\dot{\phi}^{\dagger}(x)=\sum\limits_{\leftrightarrow}\int d\omega d^2k[i(\omega-e\Phi)a^{\dagger}_{\mathrm{in}}(\omega,k,\leftrightarrow)u^*_{\mathrm{in}}(\omega,k,\leftrightarrow|x)-i(\omega-e\Phi)b_{\mathrm{in}}(\omega,k,\leftrightarrow)v^*_{\mathrm{in}}(\omega,k,\leftrightarrow|x)]

$$.

故

\int d^3x u^*_{\mathrm{in}}(\omega,k,\leftrightarrow|x)(i\dot\phi(x)+(\omega-e\Phi)\phi(x)) $$

=i\sum\limits_{\leftrightarrow'}\int d\omega' d^2k' a_{\mathrm{in}}(\omega',k',\leftrightarrow') \int d^3x (u^*_{\mathrm{in}}(\omega,k,\leftrightarrow|x)\dot{u}_{\mathrm{in}}(\omega',k',\leftrightarrow'|x)-\dot{u}^*_{\mathrm{in}}(\omega,k,\leftrightarrow|x){u}_{\mathrm{in}}(\omega',k',\leftrightarrow'|x)) $$

=-\sum\limits_{\leftrightarrow'}\int d\omega' d^2k' a_{\mathrm{in}}(\omega',k',\leftrightarrow')(u_{\mathrm{in}}(\omega,k,\leftrightarrow|x),{u}_{\mathrm{in}}(\omega',k',\leftrightarrow'|x)) $$

=-a(\omega,k,\leftrightarrow) $$ 在上式的推导中,不难发现由于正交关系(6),$$b^\dagger(\omega,k,\leftrightarrow)$$前的系数正好抵消(没有具体写出),而$$a(\omega,k,\leftrightarrow)$$前的系数正好给出正交关系.但是最后结果差了一个负号.

利用上述结果计算比如$$[a_{\mathrm{in}}(\omega',k',\leftrightarrow'),a^\dagger_{\mathrm{in}}(\omega,k,\leftrightarrow)]$$容易发现也差了一个因子2,具体的,结果是之前有个$$1/2$$因子.与之前的结果一致.综上,文中(12)前面似乎 的确 差了因子$$\frac{1}{\sqrt{2}}$$.

(17ab)

注意到这里与(4ab)的区别是动量(且群速度)的方向相反但频率不变,(4ab)与对应的反粒子的区别是动量方向不变但频率相反.与其他文献一样,(17ab)被定义为$$|\mathrm{out}\rangle$$空间,是另一组完备基.

(22)

容易发现,这个结果就是守恒流零分量的期待值(13)直接有关.

同时,这个结果与之前Hansen得到的结果是一致的,具体讨论参见Cardoso综述的笔记.

比较费米子的结果,即正文部分最后一个公式.等式右边包含四个透射振幅,这是因为旋量场波函数含有四个独立分量.在有的文献中,通过对波函数形式的特殊化取法,只写出一个透射振幅.

Radiation by uniformly moving sources, Physics-Uspekhi 39 (1996) 973, by V. L. Ginzburg
这是Ginzburg关于这个题目给出的一个讲座的总结.

(9-10)

真空中的方程(9)没有解与QED中不存在外线在质壳上的三线顶角树图的结果一致.而媒质放宽了"质壳"的要求,使得问题(10)存在解.

(14)

利用洛伦兹变换矩阵,并注意到$$\omega(\theta)=k$$,从$$\omega(\theta)\to \omega_{00}$$,就是对光子四动量的零分量,即频率的洛伦兹变换$$\omega_{00}\equiv\omega'=\omega\gamma-k\cdot(\gamma v/c)=\omega(1-(v/c)\cdot\hat{k})$$.

The many faces of superradiance, arXiv:gr-qc/9803033, by Jacob D. Bekenstein and Marcelo Schiffer
(9)

这里从之前的质点运动学关系(6-8)出发,把质点视为热力学体系,把随动系中的质量解读为随动系中的内能,考虑热力学体系不涉及外力做功而仅包含辐射的热量交换形式,这样得到内能与熵的关系,从而进一步得到熵随时间的变化(9).

(11)

等式右边第一项$$\ln$$中是强度量,但是粒子数是通过粒子流强度乘以面积和频率间隔,在取了对数后占主导的就是它.如文中所述,在辐射主导熵变的情况下,这部分贡献并不重要.

(12)

在计算熵变,如果入射粒子流占主导,其贡献远大于自发(热)辐射对的影响,那么,(9)式的第一项中去掉正定的因子外的部分必须大于零,这就是(12).

这个结果从物理上把反常多普勒效应与超辐射联系起来.如文中所述,吸收系数为负,反射系数大于1.这就是超辐射.我们注意到,这个推导中仅涉及经典物理:相对论,能动量守恒,宏观物理辐射与反射模型,热力学第二定律.并没有涉及量子力学的运动方程以及反粒子.

文中指出,经典范畴内的超辐射对应于量子力学中的受激辐射,后者可通过微扰论进行讨论,参见如Sakurai高等量子力学.同时,在量子力学中,我们知道受激辐射与自发辐射可通过热平衡条件联系起来,得到爱因斯坦关系.在经典情况下,这个关系正对应了,通过热力学第二定律建立起来的,反常多普勒效应与超辐射的关系.但是,爱因斯坦关系是建立在热平衡前提下的,而一般情况下,运动中的超辐射系统并不处于热平衡.

(14)

这个在金兹伯格条件附近的展开是指$$a$$在该点为零点.

文章指出,我们可以排除掉$$a$$在该点附近为奇点从而改变符号的可能.由热力学第一定律,不可能吸收比入射更多的粒子,系数系数小于1.如果为奇点,$$a$$必须发散,这个条件不可能被满足.退一步来说,即便由于某种特殊的量子效应吸收系数大于1,也不可能趋于无穷大.

(15)

由(14)的零点,$$\omega=v\cdot k=vk \cos\theta$$,注意到$$v\equiv v_{\mathrm{g}}$$,$$\frac{\omega}{k}=v_{\mathrm{ph}}=\frac{c}{n}$$,以及$$c=1$$.最后注意到波前的张角与辐射波矢角度互补,有$$\sin\Theta_C=\cos\theta=\frac{1}{vn}$$.

对于这个例子,文中指出,对基本粒子而言,无内部自由度,静质量不变,所以反常多普勒效应只可能发生在上述角度.另外,上述论述只考虑了能动守恒,而由II.A的讨论,不同角度(指锥面上角度的不同)的光子的发射对应于熵增,所以的确是自发过程.

(20)

值得指出,类似于在媒质中的超光速运动,因为物体的运动速度是大于这些声子的速度,即声速,按(20),虽然声子的方向与物体运动速度方向的夹角必须小于一个角度,换言之,声子向前运动并被以超辐射的形式放大,它们仍然落后于物体,按这个思路,考虑到(19)中证明了自发超辐射处于物体身后的"马赫锥"的锥面上,不难发现这些超辐射声子必然处于马赫锥之中.这是对文中前面部分对马赫锥内部区域的声学涨落的物理解释.我们指出,对超辐射的这些理解源于对经典体系运动学,所以与马赫锥能联系上是很自然的结果.这部分文字读来颇有朗道的教材的大师风范.

(22)

与之前的讨论相比较,旋转物体的超辐射涉及到两个不同之处.第一是电子波的角动量.第二是旋转物理的内能(热力学中内能不包括整体转动),角动量与总能量的关系.

对于第一点,Jackson的经典电动力学(9.144)附近的讨论来源于电磁波的球谐函数展开分量的磁矩的直接计算.书中同时给出了其量子力学解释,即单位光子能量对应能量$$\hbar\omega$$携带$$z$$方向角动量$$m\hbar$$.

(23)

参见朗道力学(39.13).我们注意到,在(39.13)的推导中,旋转的非惯性系无非是作为一种广义坐标来处理的,而拉式力学对任何广义坐标成立.

(27abc)

两阶完全反对称张量$$F^{\alpha\beta}$$包括6个独立分量,当$$\beta=0$$时,对应电场,当$$\alpha,\beta$$都取类空分量时,对应磁场.因为物质的四速度为$$u^\beta$$,所以在它的随动系中$$F^{\alpha\beta}u_\beta$$是电场,$$H^{\alpha\beta}u_\beta$$是电位移矢量$$D^\alpha$$,$$\rho u_\beta$$对应四电流零分量.

而按这个思路$$*F^{\alpha\beta}u_\beta$$的$$\alpha$$(空间)分量应该为$$\frac12\varepsilon^{\alpha\beta\gamma}F_{\beta\gamma}$$,其中$$\varepsilon^{\alpha\beta\gamma}$$为(空间)三阶完全反对称张量.其中因子$$\frac12$$是因为两个完全反对称张量的缩并,结果中所有项都被重复了一次.不难发现$$*F^{\alpha\beta}\equiv \frac12 \varepsilon^{\alpha\beta\gamma\delta}F_{\gamma\delta}$$.如果$$\beta=0$$那么空间部分的反对称张量就是上面讨论中涉及的因子.

(29)

容易验证,这个协变四速度是从对应的逆变四速度通过度规升降指标获得,且满足归一条件.

(30a-f)

这些等式的第一步等号就是直接将(28-29)代入(27ab).

而第二步等号给出的定义并不平庸,物理和数学上都有一些 意义 .原则上,这里涉及两个问题.

我们先给出一些简单的,但是具体计算中经常用到的数学形式.柱坐标中的电磁场表达式为

\vec{E} = - \left( \frac{\partial V}{\partial r} + \frac{\partial A_r}{\partial t} \right)\hat{r} \ - \left( \frac{1}{r}\frac{\partial V}{\partial \phi} + \frac{\partial A_\phi}{\partial t} \right)\hat{\phi} - \left( \frac{\partial V}{\partial z} + \frac{\partial A_z}{\partial t} \right)\hat{z} $$ 和

\vec{B} = \left( \frac{1}{r}\frac{\partial A_z}{\partial \phi} - \frac{\partial A_\phi}{\partial z} \right)\hat{r} \ +\left(\frac{\partial A_r}{\partial z} - \frac{\partial A_z}{\partial r} \right)\hat{\phi} \ +\frac{1}{r}\left(\frac{\partial (r A_\phi)}{\partial r} - \frac{\partial A_z}{\partial r} \right)\hat{z}. \ $$ 平直空间的柱坐标中的度规为
 * $$(g_{\mu \nu})=

\begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & r^2 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix},$$ 它的逆为
 * $$(g^{\mu \nu})=

\begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1/r^2 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.$$

第一个问题是从直角坐标到柱坐标的变换带来的问题.这个问题的关键在于注意到柱坐标中的基矢并不是单位矢量,具体操作中,$$E_\phi$$被定义为电场沿着$$\hat{\phi}$$方向上的分量,并不对应任何矢量或者一形式的分量.具体的讨论参见比如Schutz的广义相对论引言第五章的最后部分.这里,我们计算电磁张量的一个分量,比如(30a)中的$$F^{02}$$,并把它与上述$$E_\phi$$比较,由于坐标基$$\vec{e}_2=r\hat{\phi}$$,对应平直空间中的情况,我们有$$F^{02}=E^2=\frac{E_\phi}{r}$$.这与(30a)形式上完全一致.我们指出,这一点与弯曲空间本质上无关,但是与张量的定义和变换形式密切相关.

具体的讨论参见这个stackexchange问题和解答.

第二个问题来源于如何计算随圆柱转动的坐标系中的电磁场,这是非惯性系,度规也不在对应平直空间.在实验室坐标系中,我们可以利用平直度规(28)计算电磁场协变与逆变分量的关系,而在转动坐标系中,计算还进一步涉及到从实验室到转动坐标系的坐标变换.后者的度规,如果取圆盘中心为坐标原点,可以参考朗道经典场论(第五版)的(89.2).


 * $$ds^2=-(1-\Omega^2r^2)dt^2+2\Omega rd\phi dt+dr^2+r^2d\phi^2+dz^2$$

这个度规可以由实验室坐标系中柱坐标的度规


 * $$ds^2=-d{t'}^2+d{r'}^2+{r'}^2d{\phi'}^2+d{z'}^2$$

通过坐标变换得到,只需注意到$$t'=t,r'=r,z'=z,\phi'=\phi+\Omega t$$,代入即得上述度规.如书中所述,常数场与静态场是不同的(参见(88.1)附近的讨论),旋转体对应的度规是常数度规(度规不依赖于时间),但并非静态(度规对时间反演不变,这样$$g_{0\alpha}$$不全为零)的.书中进一步指出,对于时间空间度规交叉分量不为零的坐标系,无法定义世界时间(坐标系不同空间点之间对钟的规定).

如何在上述非惯性系或者弯曲空间中合理的定义电磁场,并得到表达式(30a-f)第二步等号的内容,牵涉到一个在前面讨论中估计被忽略的要点. 因为$$F^{02}$$实际上是一个两阶张量(的分量),而$$E^2$$是一个一阶张量(的分量,或逆变矢量),所以两者相等的关系,即便在平直空间中成立,是不可能在任意坐标系中成立的. 实际上,上述质疑是完全正确的.一般情况下,我们需要选择一个以四速度$$u_\beta$$运动的观测者,电磁场的定义,只有对这个观测者才是有具体涵义的.实际上,这个定义就是(27abc).

显然,在观测者的局域随动系,四速度是$$(1,0,0,0)$$,所以我们形式上回到了之前讨论的平直空间中的定义. 而在物理上一个非平庸的选择就是观测者在现有的坐标系中并不是静止的,这里(30a-f)中定义的电磁场就是相对于匀速转动的物体静止的观测者而言的. 与上述情况不同,在本文中等式右边的量$$E_r,E_\phi,\cdots$$并不是总被定义为沿着相应单位基矢方向的分量,而有时被定义为平直空间中柱坐标下的相应表达式的形式. 因为作为主观选择的定义,的确存在一定的任意性. 而文中指出,它们虽然不是张量,却是物理的,我们并不敢苟同(!)

最后我们简述表达式(30a-f)的推导.方程的左边是在实验系中给出的,它对应度规(28),利用电磁场的定义来得到等式最后一步的结果.注意到柱坐标的完全反对称张量中有个$$\mathrm{det}\left(\frac{\partial(r,\theta,\phi)}{\partial(x,y,z)}\right)=\sqrt{|\mathrm{det}(g_{\mu\nu})|}=r$$因子.

对(30a),按定义$$E^2\equiv F^{2\mu}u_\mu=F^{20}u_0=F^{02}\gamma =\frac{\gamma}{r}E_\phi$$,其中最后一步等式,是注意到$$F^{02}\gamma=\gamma( \partial^0 A^2 - \partial^2 A^0 )= \gamma(-\partial_0 A^2 - \frac{1}{r^2}\partial_2 A^0) = -\frac{\gamma}{r}\frac{\partial A_\phi}{\partial t}-\frac{\gamma}{r^2}\frac{\partial V}{\partial \phi}=\frac{\gamma}{r}E_\phi$$,其中$$E_\phi=- \left( \frac{1}{r}\frac{\partial V}{\partial \phi} + \frac{\partial A_\phi}{\partial t} \right)$$来自上述柱坐标中的形式,所以$$F^{02}=r^{-1}E_\phi$$.

对(30b),类似的$$B^2\equiv \frac12 \varepsilon^{2\beta\gamma\delta}F_{\gamma\delta}u_\beta=\frac12 \varepsilon^{2 0 \gamma\delta}F_{\gamma\delta}u_0=\frac12 \varepsilon^{2013}F_{13}u_0-\frac12 \varepsilon^{2031}F_{31}u_0= \varepsilon^{2013}F_{13}u_0=r F_{13}u_0=r F^{13}u_0=r F_{13}(-\gamma)=r F_{31}\gamma=r \gamma{B_\phi}$$其中最后一步,比较磁场在球坐标中的矢势表达式,$$B_\phi=\left(\frac{\partial A_r}{\partial z} - \frac{\partial A_z}{\partial r} \right)$$,这样得到了文中的结果.

对(30c),类似的$$E^1\equiv F^{1\mu}u_\mu=F^{10}u_0+F^{12}u_2=F^{10}(-\gamma)+F^{12}(\Omega r^2\gamma)=(F^{01}+\Omega r^2F^{12})\gamma=E^1=E_r$$,即得(30c).注意到这里无法打开表达式$$F^{01},F^{12}$$并与柱坐标下的表达式$$E_r=- \left( \frac{\partial V}{\partial r} + \frac{\partial A_r}{\partial t} \right)$$进行比较,而是直接借鉴平直柱坐标情况下的关系$$E^1=E_r$$.否则,若仅考虑占主导的$$F^{01}$$项,则将导致相差一个$$\gamma$$因子.

对(30d),类似的$$B^1\equiv \frac12 \varepsilon^{1\beta\gamma\delta}F_{\gamma\delta}u_\beta=\frac12 \varepsilon^{1 0 \gamma\delta}F_{\gamma\delta}u_0+\frac12 \varepsilon^{1 2 \gamma\delta}F_{\gamma\delta}u_2=\varepsilon^{1032}F_{32}u_0+\varepsilon^{1203}F_{03}u_2= rF_{32}u_0+rF_{03}u_2=(F^{23}-F^{03}\Omega)r^3\gamma\equiv r^2{B_r}$$,其中最后的定义与平直柱坐标下的关系$$F^{23}=\frac1r \left( \frac{1}{r}\frac{\partial A_z}{\partial \phi} - \frac{\partial A_\phi}{\partial z} \right)=\frac1r B_r$$有些类似但是和上面一样差了个$$\gamma$$因子.

因此等式右边最后一步不妨简单的接受为定义.又参见(34ab)的讨论.

(31ab)

以电场为例,这里(31a)相当于电场旋度为零,包含2个独立的方程;而(31b)相当于电位移矢量的散度为自由电荷密度,对应1个方程;总共2+1=3个方程对应电场的三个分量.

(32a-33d)

如文中所述,将$$\phi'=\phi-\Omega t$$代入试解形式,得到时间因子前面的系数是$$(\omega-m\Omega)$$,接着将对$$\phi$$偏导替换为$$(im)$$,即可推知运动方程.

对(32a),我们考虑$$F_{[02,1]} =\partial_1F_{02}+\partial_0F_{21}+\partial_2F_{10}=-\frac{\partial (F^{02}r^2)}{\partial r}+\frac{\partial (F^{21}r^2)}{\partial t}+\frac{\partial F^{01}}{\partial \phi} =-\frac{\partial (F^{02}r^2)}{\partial r}+(-i\omega)(F^{21}r^2)+(im){ F^{01}}$$,此即(32a).

(32bcd)等其他方程可以类似的证明.

对(33a),考虑等式右边,将(27c)取$$\alpha=0$$,并考虑(30a)中定义的$$E_\phi$$.最后等式左右都乘以$$r$$即得文中结果.注意到等式右边第二项漏了因子$$(4\pi)$$.

(33bcd)等其他方程可以类似证明.

(34ab)

这里讨论了方程的解.简单起见,在形式解$$f(r)e^{i(m\phi+kz-\omega t)}$$中取了$$k=0$$.按文中的讨论,逻辑是非常清晰的.但是本质上构造解的最初假定显示了高逼格的数学才能.

文中首先找到两支解,分别称为AE和AM模式.

针对AE模式,可以把所有的场分量与辅助变量表达为$$F^{03}$$的表达式,然后导出后者的径向方程为(37).

在这里我们讨论一下旋转媒质的性质是在哪里进入运动方程的,其实这就是(30a-f),因为介电常数和磁感应常数并不是指两个张量间成线性,而是在与媒质四速度缩并后才成正比的关系.容易理解,上述性质与(30)最后一步等式中定义的变量并无关系,后者仅仅是辅助变量而已.比较其他运动方程,比如(31),并不与媒质有关.

(39ab)

这就是用物理意义的(震荡的)实部来去掉震荡的复数.然后,如文中所述,求时间平均值.

(40)

这就是简单的把(39ab)相乘,注意到四项中两项在时间平均后为零,剩下的两项相因子部分正好抵消,得到(40).

(43)

这个结果就是对(41)积分,并代入了能量流的表达式(40).这个积分的先决条件是$$\mu\ne 0$$,否则流在原点发散,积分下限为$$\frac00$$不定式.

由朗道一书中由热力学第二定律得到的电导系数,介电系数和磁感应系数的性质,体系具有超辐射.这里再一次把超辐射与热力学第二定律联系了起来.

(45)

这就是(37)中的一个因子,使得圆柱内的方程(37)退化到圆柱外的真空方程(44).

(48ab)

这里的一个重要结论是,当没有耗散时,介电常数和磁感应常数为实数,而电导率为零.这是反射振幅$$\rho$$的模为1,故不存在超辐射.因为(48ab)是一般情况下的结果,所以在此意义上耗散是超辐射存在的必要条件.

注意到,耗散的物理本质是过程的不可逆性,这与本文之前基于热力学第二定律对超辐射条件的推导是完全自洽的.

Reflection, Transmission, and Amplification of Sound by a Moving Medium, Jour. Acoustical Society of America 29(1957) 435, by Herbert S. Ribner
这篇文献是关于流体力学或者空气动力学方面的超辐射的例子,相关计算在朗道的流体力学中也给出了讨论.我们知道,马赫锥是与超辐射紧密相关的,这与本文的结论是一致的.注意到,本文处理的是流体力学方程,而非粒子的能动量守恒关系.因此,从数学上看,本文与卡莱茵佯谬或者转动媒质的电磁波超辐射更为接近.

(1)

这里的问题假定见Fig.1.在实验室参照系中,上方媒质以速度$$U$$向右(我们称为$$x$$方向)运动,下方媒质静止.入射波从下方媒质中以入射角$$\alpha$$入射.如文中所述,入射波可能激发出涟漪.我们可以想象涟漪的起伏必然与入射波的波纹相匹配,具体的,两者的相邻波峰必然相互匹配.因此,涟漪中波峰沿着$$x$$轴的传播速度在入射波方向上的投影必然与入射波的传播速度相同.而因为入射波是以声速传播的,涟漪必然以 超声速 传播.

注意到,在一般情况下,涟漪的运动速度远远大于上述媒质的速度$$U$$,使得$$U$$仍然是超声速的.当$$U$$绝对值小于声速时,如文中论证,将发生全反射现象.

(3)

在空气动力学研究中,我们经常把客体(比如飞机的机翼)取为参照系.这里,我们把(激发出的)涟漪取为参照系.这时,上下媒质都以超声速向左运动,所以,如Fig.1右图所示,反射波与折射波在这个参照系中都对应着马赫锥(这里并非锥面但是物理意义是很类似的)角度.我们注意到,这两个角度的确定并不牵涉到任何动力学分析.

同时,利用实验室系中的反射定律(4)与相对速度的定义(2),我们得到了反射与折射角$$\alpha',\alpha''$$如何被入射角$$\alpha$$与相对运动速度$$U$$决定的关系,即,移动媒质情况下的反射与折射定律.

我们附带指出,由(4),我们知道实验室系中的涟漪速度与$$U'$$(涟漪系中静止媒质的速度)绝对值相同,这是自然的.

(6)

这里$$f$$是波动的函数形式,重要的是其自变量反应了波的传播方向.波动的具体形式文章在,比如(15)式给出.

注意到这里并没有涉及时间振动因子.表面上,由于在边界上所有波的振动的时间依赖必须一致,否则不可能满足连续性条件,所以这个共同的时间因子可以被略去不写.但是这也意味着,本文不可能像朗道一书那样从色散关系的角度来讨论超辐射.

(7)

没有从网上找到Ackeret 原理 的具体阐述.与朗道一书中给出的推导比较,我们相信,这个关系由动力学决定,换言之,要从波动方程出发才能得到这个关系.

(8-9)

不难发现这里给出的两个边界条件与朗道一书中指出的边界条件完全一致.

Interaction of a quantum field with a rotating heat bath, arXiv:1702.06231v2, by Rober Alicki and Alejandro Jenkins
本文考虑粒子与旋转热源相互作用导致的超辐射.文章利用了密度矩阵,KMS条件,Markovian主方程等工具.并讨论了不少实例,包括海波与霍金辐射.

A Modern Approach to Superradiance, arXiv:1609.06723v2, by Solomon Endlich and Riccardo Penco
本文使用有效场论,讨论超辐射.值得好好 学习 呀!

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Greybody factors at large imaginary frequencies, arXiv:hep-th/0304080v1, by Andrew Neitzke
本文是利用Motl与作者提出的单值法,讨论入射波在黑洞势场中反射与折射相关的灰体因子的计算.

(A.2)

按Nollert综述(60)下的笔记,由数理方法知,当$$\mathrm{Im}\omega<0$$时,对应齐次方程(A.1)的通解有两个线性独立的根,分别满足在$$x\to\pm\infty$$时有限.当朗斯基行列式为零时,这两个根线性相关,换言之它们仅相差一个常数且在两端$$x\to\pm\infty$$都有限,从而这个根可归一.这直接与(A.1)算符左边对应的算符为自厄米矛盾,因为本证函数在两端不发散时,后者意味着本征值$$\omega$$必须为实数,与最初虚部不为零的假设矛盾.只有当$$\mathrm{Im}\omega>0$$时,边界条件(A.2)发散,上述论证的必要条件不再成立,频率可以为复数.实际上,后者的复频率正对应了QNM发散的区域.这意味着,朗斯基行列式在$$\mathrm{Im}\omega<0$$区域没有零点.换句话说,对应方程(A.1)的点源解,即格林函数,在$$\mathrm{Im}\omega<0$$区域没有极点.与Nollert一文比较,注意拉普拉斯变换与傅里叶变换的对应关系$$s=i\omega$$.

在当前问题中,我们并没有在求带点源的方程的格林函数,而是齐次方程(A.1)的解.但是上述讨论可以以类似方式的给出.因为作为线性常微分方程,其通解仅包含两个独立的积分常数.由于方程(A.1)是线性的,其中一个常数是没有任何物理意义的归一因子,这体现在(A.2)中入射波前的系数为1.所以真正有物理意义的边界条件只能有一个,比如QNM问题中黑洞视界处的入射波形式.而实际上QNM问题中出现间断频率就是因为我们同时给出了视界处为入射波和无穷远处为出射波这两个条件.在(A.2)中,我们选取的边界条件正是黑洞视界处的入射波这一个条件,在物理上对应从无穷远处发出的入射波在黑洞视界处反射和透射的过程.现在,我们把上述问题的解的频率$$\omega$$解析延拓到复平面上,如果在$$\mathrm{Im}\omega<0$$区域存在某些间断的频率值,使得解(A.2)的系数$$T(\omega),R(\omega)$$发散,那么可以证明这必然导致矛盾.首先注意到,对给定的$$\omega$$,由于流守恒,$$T(\omega),R(\omega)$$必然同时发散.这样,两阶常微分方程的解其实相当于同时满足边界条件
 * $$\psi(x)\sim \begin{cases}

e^{i\omega x} & \text{as }x\to -\infty\\ e^{-i\omega x} & \text{as }x\to +\infty \end{cases}$$ 而两边的边界条件分别决定一个(包含一个归一常数的)特解.问题的解要求两个特解线性相关,正对应了朗斯基行列式为零.而因为这是波函数的边界条件是有限的,由数理方法的结果进行推演,易知这是不被允许的.故$$T(\omega),R(\omega)$$在$$\mathrm{Im}\omega<0$$区域没有任何极点.

(A.3)

按(A.2)的笔记,我们知道$$T(\omega),R(\omega)$$在在$$\mathrm{Im}\omega>0$$区域一般存在极点,且这些极点正对应了QNM频率.

而在复平面上,不在这些极点位置处,方程(A.1)满足(A.2)的解之解析延拓仍然是有意义的.但是,如文中指出,更方程的是给出与(A.2)略有不同的边界条件.其理由,与Motl一文类似,这时(A.3)的右边指数部分为纯虚,并不涉及任何发散.这样的定义在数学上显然是更为明确的.



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Greybody Factors for d–Dimensional Black Holes, arXiv:0708.0017v2, by Troels Harmarka, José Natáriob, and Ricardo Schiappa
本文系统的讨论了各类黑洞的灰体因子的解析计算.其中涉及频率很小与频率的虚部很大两种极限情况下的结果,后者的计算利用了单值法.

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Klein-Gordon equation and rotating black holes, PRD22 (1980) 2323, by Steven Detweiler
这篇文章计算的是超辐射不稳定性,关键是解的边界条件.

(13-14)

注意到这里$$x/2=kr=\sqrt{\mu^2-\omega^2}r=\pm i\sqrt{\omega^2-\mu^2}r$$.文章明确指出对应的边界条件是外行波,以及(随时间)不稳定的边界条件.文章中对$$x$$的定义是因为不稳定性其实在频率的实部很小,即$$\mathrm{Re}\omega<\mu$$时发生,因为此时对应最小能量的束缚态.换言之,质量为零时,没有上述不稳定性,质量不为零时,不稳定性发生在粒子能量处于局域势阱的谷底处.

另外这里指出$$x$$的幅角必须在复平面第四象限,且指数上取负号,换言之,指数上的$$(-x)$$必须在第二象限.我们推导如下,空间收敛要求$$(-x)$$的实部必须小于零,即处于第二或者第三象限,而外行波,要求$$(-x)$$的虚部必须大于零,即第一或者第二象限,综合上述要求,$$(-x)$$必须在第二象限,即$$x$$处于第四象限.

文章指出,这个假设的正确性在于最后获得的结果是否与这里分析一致,否则整个做法没有意义.尽管在文章中没有被明确提出,这点的确是可以被验证的,具体参见(26-27)的比较.

(26-28)

这里我们来 确认 之前对$$(-x)$$幅角的假设的确与这里获得的结果一致.因为$$(-x)=2kr$$幅角在第二象限,故$$k^2=\mu^2-\omega^2$$幅角必须在第四象限.由于$$\omega^2=(\sigma+i\gamma)^2=\sigma^2-\gamma^2+2i\sigma\gamma$$,利用(26)我们有
 * $$\mu^2-\omega^2=\mu^2-\sigma^2+\gamma^2-2i\sigma\gamma=\gamma^2+\mu^2\left(\frac{\mu M}{\ell+1+n}\right)^2-2i\sigma\gamma$$

注意到其中,$$\gamma,\mu$$都是正实数且$$\sigma\sim\mu,$$,$$\gamma$$为实数.当$$\gamma>0$$时,$$k^2$$在第四象限,波函数在空间边界收敛且为外行波,但因为$$\omega$$虚部为正,波函数在时间域上不稳定.这与之前讨论中的假设完全一致,没有矛盾.反之,当$$\gamma<0$$时,$$k^2$$的虚部大于零,实部符号不定,这样$$(-x)$$其实处于第一象限,此时波函数为外行波,但在空间边界上发散,在时间域上收敛,这正是QNM(!)

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Instability of Massive Scalar Fields in Kerr-Newman Spacetime, arXiv:gr-qc/0402037v2, by Hironobu Furuhashi and Yasusada Nambu
本文用解析方法讨论了KN黑洞的超辐射不稳定性并与数值结果进行比较.

(8)

比较(9)中的相关因子$$e^{ikx}$$,这个条件是说方程的解的空间边界上要收敛.具体的,它对$$\omega$$没有任何限制,仅是对$$k=\sqrt{\omega^2-\mu^2}$$的虚部的符号的限制.

在粒子质量为零时,因为$$k=\omega$$,这个要求直接导致在空间无穷远处是內行波,与物理上自由边界条件对应的外行波的条件相悖.作为比较,如果是波函数为零的驻波边界条件,那么內行波与外行波也必然同时存在.换言之,在粒子质量为零时候,一方面:外行波导致波函数发散,另一方面,波函数空间收敛导致內行波.在此意义上,这两个条件似乎是互斥的,鱼与熊掌的关系.

在粒子质量不为零的时候,判断相速度的方法是讨论波函数指数上与$$(x,t)$$相关的项的虚部(对应振动部分而非衰减部分)为常数的方程的给出的$$(x,t)$$的关系.这时,我们有可能获得既是外行波,又在空间边界上波函数收敛的可能.此时如在时间域上发散,则为某种不稳定性.

我们指出,比较arXiv:hep-th/0502206v2一文(2.20)幅角的约定,后者是从外行波的角度出发给出的限制.表面上与这里的做法很不一样.但在实际数学操作中,其在无穷远处的解的形式(9)的取法与PRD22 (1980) 2323一文(14)是完全一致的(!)而后者明确指出必须为外行波.具体的讨论参见上述PRD一文(13-14)的讨论.

在此基础上,解析的做法的关键是讨论对应的解的频率$$\omega$$部分虚部的正负号,这就是(28).

(40)

数值解法这里解的是分离变量后的径向方程(37),这是一个本征值问题.本征值出现在当在两端满足边界条件的解(38)满足线性相关条件的时刻.这可以通过在复平面上寻找方程(40)的根的办法来实现.

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Superradiant instabilities of rotating black branes and strings, arXiv:hep-th/0502206v2, by Vitor Cardoso and Shijun Yoshida
(2.6-2.7)

这里给出的边界条件与QNM边界条件是完全一致的,外行波.只是把不稳定性归结为超辐射不稳定性.

(2.26)

注意到这里的边界条件在无穷远处与本文之前给出的形式一致,指数部分依赖关系为$$e^{i\omega_1 r}$$,其中$$\omega_1=\sqrt{\omega^2-\mu^2}$$就是其他文章中的$$k$$.对比(2.20)下面给出的约定,$$\omega_1$$的实部为正,故与时间因子$$e^{-i\omega t}$$结合起来对应外行波(!)为了在空间部分收敛,虚部需为正数.但这点无法被"选择",是由$$\omega$$的值决定的.对此,文章并没有给出更多的讨论.具体参见PRD22 (1980) 2323一文(13-14)的讨论.

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Instability of the massive Klein-Gordon field on the Kerr spacetime, arXiv:0705.2880v2, by Sam R. Dolan
这篇文章把QNM和超辐射不稳定性作为两个不同的问题进行讨论.

(31)

QNM是指无穷远处波函数发散,而束缚态是指取无限远处波函数为零.通过选择$$\mathrm{Re}q$$的符号来决定计算是QNM还是束缚态(超辐射).而文中没有明确指出的是,此时必须满足$$\mathrm{Im}q>0$$,以保证是外行波.

具体的计算中,在(35-45)采用的递推关系中涉及到$$\mathrm{Re}q$$的符号的选择,并影响到通过截断条件(47-48)得到的结果.但是得到复频率的结果后,必须代回验证是否满足$$\mathrm{Im}q>0$$的条件以及$$\mathrm{Re}q$$的符号选择.否则,得到的结果很可能包含非物理的解.

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Massive vector fields on the Schwarzschild spacetime: quasinormal modes and bound states, arXiv:1110.4494v2, by Jo˜ao G. Rosa and Sam R. Dolan
这篇文章Dolan继续对QNM与束缚态分开的思想展开工作,引言部分的综述写的非常好.

(27-29)

这里讨论的时间域的稳定性与空间域的收敛与发散.但是仍然没有考虑到外行波的重要性.这里采用的两个方法,连续分数法可以用来获得不稳定模.而第二个方法只能用于讨论束缚态解,它利用视界处展开在无穷远处收敛的条件进行计算.

The Penrose process, superradiance, and ergoregion instabilities, arXiv:1803.08060, by Rodrigo Vicente, Vitor Cardoso, and Jorge C. Lopes
解析解与数值验证,非线性费米场的超辐射.

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