Lecture Notes of The Quantum Theory of Fields Vol I by Steven Weinberg

Lecture Notes on The Quantum Theory of Fields by Steven Weinberg

本文档除了包括推导, 疑惑 外,做 读书重点 的记录

Ch.2 Relative Quantum Mechanics
P.57 (2.3.10)

注意这里的定义的自洽性.

在这里,因为$${\Lambda^\mu}_\nu$$仅仅被视为一个矩阵,从而,$${\Lambda_\nu}^\mu$$是一种类型完全不同的矩阵(另外两种可能,上上,下下并没有在这里被定义和使用).把一个矩阵转置就是直接对调两个指标的位置和前后,不会改变矩阵的类型.(2.3.10)通过定义,把两种类型通过逆阵联系起来.

按温伯格的定义,我们可以自然的把其余类型(比如上上和下下)用度规通过升降指标联系起来(参见(2.4.2)上面一式),特别是注意到温伯格的定义与下面的表达式自洽


 * $${\Lambda_\mu}^\nu =g_{\mu\sigma}{\Lambda^\sigma}_\alpha g^{\alpha\nu}$$

因为这导致
 * $${\Lambda_\mu}^\nu x_\nu =g_{\mu\sigma}{\Lambda^\sigma}_\alpha g^{\alpha\nu}x_\nu = g_{\mu\sigma} {\Lambda^\sigma}_\alpha x^\alpha =g_{\mu\sigma} x'^\sigma=x'_\sigma$$

而这个结果自然的与
 * $$x'_\nu = x_\mu{{\left(\Lambda^{-1}\right)}^\mu}_\nu $$

自洽.后者是因为自协变坐标和逆变坐标的内积为标量.

P.62

这里非相对论近似的具体做法是 $$H=M+W$$ 其中 $$M$$ 质量为常数,如果对易子(乘积)的量级比等式右边大,则等式右边取零.由 $$[K_i,P_j]$$ 或 $$[K_i,W]$$ 都可得到 $$K \sim \frac{1}{v}$$.

利用,当 $$[A,[A,B]]=[B,[A,B]]=0$$ 满足的对易关系 $$e^Ae^B=e^{\frac{1}{2}[A,B]}e^{A+B}$$ 以及 $$[K_i,P_j]=iM\delta_{ij}$$ 即得


 * $$\begin{align}

e^{iK\cdot v}e^{-iP\cdot a}=e^{iMa\cdot v/2}e^{i(K\cdot v-P\cdot a)} \end{align}$$

P.72 (2.5.42)

由此式知,螺旋性(helicity)是洛仑兹不变的. 而关于螺旋性守恒的一个很好的讨论参见F. Mandl, Quantum Field Theory, P.163-5, 参考相应读书笔记.

Ch.3 Scattering Theory
P.108 (3.1.1)

这里有印刷错误(在本书最新版本中被更正)

P.104 (3.1.6-7)-(3.1.11)

因为本书的课题是考察量子力学和洛仑兹协变性(2.2.2)或者(2.2.4),公式中 $$U$$ 对应洛仑兹变换.对于相对论的形式,时间和空间应该平等的处理.这里所考虑的体系的状态是庞加莱群生成元的本征函数,一般是不含时的,这导致我们自然的使用海森堡图像.当然这也可以理解为一种习惯,但是在下面可以看到,在海森堡图像中讨论散射问题是非常方便的.另外注意到,我们并没有体系状态随时间演化的"运动方程",但是通过时间平移洛仑兹变换 $$\Lambda^{\mu}_{\nu}=\delta^{\mu}_{\nu},a^{\mu}=(0,0,0,\tau)$$ 我们可以改变体系坐标时间轴原点的位置,这相当于把海森堡图像的时间原点从一个时刻变化到另外一个时刻.通过考察无限小的平移洛仑兹变换,我们总是可以定义变换的生成元 $$H$$ ,它就是物理问题中体系的哈密顿.注意到,这里时间和空间实际上并不是完全对称的,比如取坐标表象,那么在坐标表象中波函数不是时间的函数但却是空间的函数.

当我们讨论空间平移下不变导致动量守恒时,我们总是有一个运动方程作为出发点,比如最小作用量原理,又比如哈密顿或者拉格朗日方程,而在本书的逻辑体系下,我们并没有运动方程,我们的出发点是洛仑兹群,然后是研究生成元的本征值问题,一组包含哈密顿量在内的互相对易的可观测量的最大的集合的本征值问题,因为这个问题和体系能量和其他可观测量的实验测量值相联系.这里,问题并没有消除,而是转移了,原来是需要知道体系的运动方程,这里转移为需要知道对应体系的庞加莱群的生成元.

我们定义我们研究体系的海森堡图像波函数in和out态,把时间轴原点移动到无限过去和无限将来情况下,它们分别被定义为哈密顿的本征函数(3.1.11),自由哈密顿量被定义为与相互作用哈密顿量具有完全相同的(总能量)能谱(3.1.9).从物理的角度来讨论,我们知道在无限过去和将来,哈密顿量是无相互作用的哈密顿量(3.1.8),从而态可以写成自由粒子的状态的直积的形式,在洛仑兹变换下满足(3.1.1)的变换形式,(3.1.6-7)成立.

使用算符$$ e^{-iH\tau}$$ 作用在零时刻的海森堡图像的波函数上得到$$ \tau $$时刻海森堡图像的波函数 $$e^{-iH\tau}\Psi_{\alpha}$$ .或者我们仍然使用零时刻的海森堡图像的波函数,但是使用 $$\tau$$ 时刻海森堡图像的算符来计算可观测量的期待值,算符最右边是因子 $$e^{-iH\tau}$$ .这就是时间平移变换在这里出现的原因.可以认为 $$\Psi^{\pm},\Phi$$ ,分别是海森堡图像算符在时刻 $$\pm \infty,0$$ 的本征态,故可以视为三组不同的基,它们各自都是完备的.但是比如说把 $$\Psi^{+}$$ 演化到 $$\tau \rightarrow -\infty$$ 与 $$\Psi^{-}$$ 完全不正交,因为数学上这两组基一般情况下并没有理由一致,物理上由于碰撞相互作用它们自然不同.

引入波包的原因和名称来源,如果 $$\Psi_{\alpha}$$ 是确定的能量的本征态,则算符 $$e^{-iH\tau}$$ 只会导致平庸的结果
 * $$\begin{align}

e^{-iH\tau}\Psi_{\alpha}=e^{-iE_{\alpha}\tau}\Psi_{\alpha} \end{align}$$ 在 $$\tau\rightarrow \pm \infty$$ 的渐近行为不会产生什么不同,数学上不能实现我们物理上定性分析所需要的渐进性质.数学上的出路是引入波包. 不失一般性,取


 * $$\begin{align}

g(\alpha) \sim e^{-\frac{(E_{\alpha}-E_0)^2}{2\sigma^2}} \end{align}$$

从而在海森堡图象的把时间原点移动到 \tau 处的波函数为


 * $$\begin{align}

\int d\alpha e^{-iE_{\alpha}\tau}g(\alpha)\Psi_{\alpha}^{\pm}=\int d\alpha  e^{-iE_{\alpha}\tau}e^{-\frac{(E_{\alpha}-E_0)^2}{2\sigma^2}}\Psi_{\alpha}^{\pm} \end{align}$$

我们知道在一维坐标动量空间,一个波包中心为坐标 $$x_0$$ 的高斯波包可表达为


 * $$\begin{align}

\Psi(x)=\int dp e^{ip(x-x_0)}e^{-\frac{(p-p_0)^2}{2\sigma^2}} \end{align}$$

所以如果只看系数的积分而暂时先忽略本征函数 $$\Psi_{\alpha}^{\pm}$$ ,这是一个关于 $$\tau$$ 大小为 $$\frac{1}{\Delta E}=\frac{1}{\sigma}$$ 的波包,在 $$|\tau|>\frac{1}{\Delta E}$$ 区域,上述波函数很快的趋近于零.实际上不需涉及 $$g(\alpha)$$ 的具体形式,例如参见Sakurai P.80 的讨论,可得同样结果.这是波包名称的来源.注意到现在在积分中还包括波函数 $$\Psi_{\alpha}^{\pm}$$ ,故在 $$\tau\rightarrow \pm \infty$$ 时上式并不为零.如书中所述 $$e^{-iH\tau}$$ 作用在一个不含时的态上,波函数的模不变,故波函数的归一性不会改变.

引入波包的自洽性.实际上,注意到之后(3.1.21)的讨论,正是对波包能级 $$\alpha$$ 的积分,使得(3.1.21)第二项在 $$t\rightarrow \mp\infty$$ 时分别对 $$\Psi^{\pm}$$ 无贡献,从而完成了"in"和"out"态渐进行为自洽性的证明.注意到如果不引入波包,我们仍然可以在形式上得到Lippmann-Schwinger方程,但是渐进行为自洽性的证明却不能完成.波包的物理意义大致如下, $$\Psi^{\pm}$$ 态可以由无相互作用态利用(3.1.17)构成,它形式上可以表达为无相互作用的态,和把相互作用势作用在无相互作用态上(无限多次迭代)的构成的态的组合.而后者,在对一定能量范围的态求和(构成波包)并演化到无限过去或者将来时贡献趋近于零.

P.117 (3.3.1)

按P.109的叙述, $$\Psi^{\pm}$$ 态在 $$t\rightarrow \mp\infty$$ 时可视为由自由粒子集合 $$\alpha$$ 组成,所以 $$\alpha$$ 可用于标记 $$\Psi^{\pm}$$ 态为 $$\Psi^{\pm}_{\alpha}$$ .但是从物理上考虑,通过相互作用哈密顿的作用,在零时刻(碰撞发生的时间区域)体系的状态是不可能表达为无相互作用粒子的直积形式的,在此意义上, $$\alpha$$ 的确只是用于标记态,而并不意味着状态由 $$\alpha$$ 所标记的能动量自由粒子组成,换言之,虽然物理上对于弹性碰撞,体系仍然由相同的粒子集合构成,但是由于相互作用,每个粒子的能动量与 $$\alpha$$ 标记的值无关.然而另一方面,如果我们考察体系在洛仑兹变化下的行为,如(3.3.1)我们需要考察 $$U(\Lambda,a) \Psi_{\alpha}^{\pm}$$ 的性质,但是我们知道的仅仅是


 * $$\begin{align}

&U(\Lambda,a) \lim_{\tau \rightarrow \mp \infty}U(1,-\tau)\int d\alpha g(\alpha)\Psi_{\alpha}^{\pm}\\ &= U(\Lambda,a) \lim_{\tau \rightarrow \mp \infty} \int d\alpha g(\alpha) U(1,-\tau)\Phi_{\alpha} \\ &=U(\Lambda,a) \lim_{\tau \rightarrow \mp \infty}\int d\alpha g(\alpha)e^{-i\tau H_0}\Phi_{\alpha} \\ &=U(\Lambda,a) \lim_{\tau \rightarrow \mp \infty}\int d\alpha g(\alpha)e^{-i\tau E_{\alpha}}\Phi_{\alpha}\\ &= \lim_{\tau \rightarrow \mp \infty}\int d\alpha g(\alpha)e^{-i\tau E_{\alpha}} U(\Lambda,a)\Phi_{\alpha} \end{align}$$

等式的最右边积分以外部分可进一步表达为自由粒子的洛仑兹变换的直积形式.推导中注意到洛仑兹变换 $$U(\Lambda,a)$$ 和时间平移 $$U(1,-\tau)$$ 一般不对易,但是由于所讨论的状态是能量本征态(3.1.9), $$e^{-i\tau E_{\alpha}}$$ 是数字,可以和(线性)算符交换.而等式的最左边同样可以利用本征态(3.1.11)的性质写为


 * $$\begin{align}

\lim_{\tau \rightarrow \mp \infty}\int d\alpha g(\alpha)e^{-i\tau E_{\alpha}} U(\Lambda,a)\Psi_{\alpha}^{\pm} \end{align}$$

虽然$$ g(\alpha) $$是任意函数,但由于 $$t\rightarrow \mp\infty$$ ,我们不能得到


 * $$\begin{align}

U(\Lambda,a)\Psi_{\alpha}^{\pm}=U(\Lambda,a)\Phi_{\alpha} \end{align}$$

因为类似(3.1.21)的讨论,极限 $$t\rightarrow \mp\infty$$ 对渐进行为有很重要的影响.所幸的是,我们关心的仅仅是 $$$$ 所以我们可得到


 * $$\begin{align}

&\lim_{\tau \rightarrow \mp \infty}\int d\alpha d\beta g(\alpha)g^*(\beta)e^{-i\tau (E_{\alpha}-E_{\beta})}\\ &=\lim_{\tau \rightarrow \mp \infty}\int d\alpha d\beta g(\alpha)g^*(\beta)e^{-i\tau (E_{\alpha}-E_{\beta})} \end{align}$$

接着,我们将 $$$$ 部分利用对自由粒子的洛仑兹变换写开,得到(3.3.1)等式右边的系数,然后重新再将内积用 $$\Psi_{\alpha}^{\pm}$$ 表达 这时,类似于(3.1.15)的论证,因为 $$g(\alpha)$$ 是任意函数(如果取 $$\delta$$ 函数,则 $$\tau$$ 从等式两边消失),我们得到关于 $$$$ 的一个类似(3.3.1)的表达式.

遗憾的是这个证明方法并不适用于 $$$$ 的情况,因为这时我们无法消除极限 $$t\rightarrow \mp\infty$$ 的影响.所以如书中所述,实际上(3.3.1)是一个推广性的假设,而非定理.下面对(3.3.28)的讨论中,我们给出一个补充说明,利用(3.3.3)对(3.3.1)进行形式上的证明.同时可以看到,该推导过程完全不适用于 $$$$ 的情况,这从另一个侧面说明了(3.3.1)包含了我们对具体的物理问题上的需求而引入的数学上的假定.

另外如书中所述,在利用(3.3.1)时还隐含了一个重要的假定.因为我们只是知道$$ \Psi^{\pm}$$ 在洛仑兹变换下可表达为按 $$\alpha$$ 所标记的自由粒子态变换的直积形式.原则上存在两组庞加莱群生成元集合,每个集合满足对易关系(2.4.18-24),但是这两组集合未必相同.正如下面讨论的,对应于 $$\Phi_{\alpha}$$ 的庞加莱代数(3.3.4-10)与(2.4.18-24)或者(3.3.11-17)完全一致,但是生成元是不同的.所以这里蕴含的假设是, $$\Psi^{\pm}$$ 对应的庞加莱群生成元一致.

P.120 (3.3.24)

首先证明 $$V(t)\equiv e^{iH_0 t} V e^{-iH_0 t}=e^{iH_0 t} (H-H_0) e^{-iH_0 t}$$ 关于 $$H_0$$ 本征函数 $$\Phi_{\alpha}$$ 的矩阵元在 $$t\rightarrow \mp\infty$$ 时趋近于零 由于


 * $$\begin{align}

\lim_{\tau \rightarrow \mp \infty}\int d\alpha g(\alpha)e^{-i\tau H_0}\Phi_{\alpha} = \lim_{\tau \rightarrow \mp \infty}\int d\alpha g(\alpha)e^{-i\tau H}\Psi^{\pm}_{\alpha} \end{align}$$

我们有


 * $$\begin{align}

\lim_{\tau \rightarrow \mp \infty}\int d\alpha g(\alpha)e^{-i\tau H_0}\Phi_{\alpha}  =\lim_{\tau \rightarrow \mp \infty}\int d\alpha g(\alpha)e^{-i\tau E_{\alpha}}\Phi_{\alpha}  = \lim_{\tau \rightarrow \mp \infty}\int d\alpha g(\alpha)e^{-i\tau E_{\alpha}}\Psi^{\pm}_{\alpha} \end{align}$$

同样的


 * $$\begin{align}

&\lim_{\tau \rightarrow \mp \infty}H_0\int d\alpha g(\alpha)e^{-i\tau H_0}\Phi_{\alpha}  \\ &=\lim_{\tau \rightarrow \mp \infty}\int d\alpha g(\alpha)E_{\alpha}e^{-i\tau E_{\alpha}}\Phi_{\alpha}  \\ &=\lim_{\tau \rightarrow \mp \infty}\int d\alpha g(\alpha)E_{\alpha}e^{-i\tau E_{\alpha}}\Psi^{\pm}_{\alpha} \\ &= \lim_{\tau \rightarrow \mp \infty}H\int d\alpha g(\alpha)e^{-i\tau E_{\alpha}}\Psi^{\pm}_{\alpha} \\ &= \lim_{\tau \rightarrow \mp \infty}H\int d\alpha g(\alpha)e^{-i\tau H_0}\Phi_{\alpha} \end{align}$$

从而


 * $$\begin{align}

\lim_{\tau\rightarrow\mp\infty}V(t)=0 \end{align}$$

利用书上(3.3.21)


 * $$\begin{align}

<\Psi_{\alpha}|W(t)|\Psi_{\beta}>=-\frac{<\Psi_{\alpha}|[K_0(t),V(t)]|\Psi_{\beta}>}{(E_{\beta}-E_{\alpha})} \end{align}$$

由书上讨论分母上的奇性由某种原因被消除,而分子由 $$\lim_{\tau\rightarrow\mp\infty}V(t)=0$$ 得到


 * $$\begin{align}

\lim_{\tau\rightarrow\mp\infty}W(t)=0 \end{align}$$

P.120 (3.3.25)

由于 $$\Omega(\tau)=U(0,\tau)$$ ,前面证明的 $$W(-\infty)=0$$ 以及(3.3.22)


 * $$\begin{align}

K_0\Omega(-\infty)-\Omega(-\infty)K_0=-W(0)\Omega(-\infty)=-W\Omega(-\infty) \end{align}$$

移项即得


 * $$\begin{align}

K\Omega(-\infty)-\Omega(-\infty)K_0=0 \end{align}$$

P.120 (3.3.26-27)

这可以利用(3.3.9),(3.3.16)和(3.3.18)以及 $$\Omega(\mp\infty)$$ 的定义(3.1.14)直接得到

P.120 (3.3.28)

因为形式上由(3.1.13) $$\Psi^{\pm}_{\alpha}=\Omega(\mp\infty)\Phi_{\alpha}$$ 由(3.1.9)及(3.1.11)得


 * $$\begin{align}

H\Omega(\mp\infty)\Phi_{\alpha}=H\Psi^{\pm}_{\alpha}=E_{\alpha}\Psi^{\pm}_{\alpha}=\Omega(\mp\infty)E_{\alpha}\Phi_{\alpha}=\Omega(\mp\infty)H_0\Phi_{\alpha} \end{align}$$ 由于 $$\Phi_{\alpha}$$ 是完备的,我们得到(3.3.28).这个证明平凡的可用于(3.3.26-7)的证明.

下面说明,利用形式符号(3.3.25-28)和(3.3.3)可以形式上方便的给出(3.3.1)的证明,即(3.3.3)实际上是(3.3.1)的充分条件. 由(3.3.25-28)得 $$U\Omega(\mp\infty)=\Omega(\mp\infty)U_0$$ (其中 $$U$$ 是任意洛仑兹变换,不局限于空间平移.)从而


 * $$\begin{align}

&U\Psi^{\pm}_{\alpha}=U\Omega(\mp\infty)\Phi_{\alpha}=\Omega(\mp\infty)U_0\Phi_{\alpha} \\ &=<\Omega(+\infty)U_0\Phi_{\beta}|\Omega(-\infty)U_0\Phi_{\alpha}>=\\ &==<\Phi_{\beta}|U^{-1}_0SU_0|\Phi_{\alpha}> \end{align}$$

倒数第二步利用了(3.2.5) 再带入书中花费笔墨证实的(3.3.3)即 $$U^{-1}_0SU_0=S$$ 成立,我们得到(3.3.1)