Research Paper Notes on Black Hole Shadow

Research Paper Notes on Black Hole Shadow

本文档除了包括推导, 疑惑 外,做 读书重点 的记录 $$$$

文献列表

 * Shadows and strong gravitational lensing: a brief review, arXiv:1801.00860v2, by Pedro V. P. Cunha, Carlos A. R. Herdeiro
 * Spherical photon orbits around a Kerr black hole, Gen. Rel. Grav. 35 (2003) 1909, by Edward Teo
 * Spherical orbits around a Kerr black hole, arXiv:2007.04022v1, by Edward Teo
 * Observing the shadow of Einstein-Maxwell-Dilaton-Axion black hole, arXiv:1311.4251v2, by Shao-Wen Wei, Yu-Xiao Liu

Shadows and strong gravitational lensing: a brief review, arXiv:1801.00860v2, by Pedro V. P. Cunha, Carlos A. R. Herdeiro
这是一篇很不错的综述,以作者自身工作为中心,对黑洞阴影相关课题给出了比较完全的阐述.除了中间有些叙述过于简略,有些概念没有加以强调区分,对初学者略有些不够友好.

(0)

首先我们要区分视界(完全向外的光测地线半径不变),光环(半径不变的切向闭合光测地线),光球(半径不变的闭合测地线),球面测地线(半径不变但未必闭合),与阴影(观测者观测到的黑洞影像).黑洞阴影的物理图像在Fig.4附近给出讨论.

黑洞附近的物质吸积一般有两个作用.第一是为阴影提供光源,一个常用的简单假设是光源在无穷远处,为全立体角,这在第4节讨论.第二是对光测地线的影响,这在3.3节讨论.

静态度规不含时,意味着一个Killing矢量,当把度规的对称性表达为对某坐标平移不变,即不含某坐标,这同样意味着一个Killing矢量.这两个Killing矢量由于分属时间与空间坐标,故一般是对易的.Kerr黑洞还有第三个Killing张量,它与Carter常数有关.

(1)

度规要求具有对$$t\to -t, \varphi\to -\varphi$$的对称性,但不要求对$$\theta=\pi/2$$平面的对称性,即$$\theta\to \pi-\theta$$.

这里用变方法来得到测地线方程,对于欧拉拉格朗日方程,其等价性的证明参见比如Schutz广义相对论引论.不过本文采用了哈密顿方程,参见(2)的笔记.

注意到(1)第二行为逆变指标,利用代数余子式,我们有$$g^{tt}=\frac{g_{\varphi\varphi}}{-D}, g^{\varphi\varphi}=\frac{g_{tt}}{-D}, g^{t\varphi}=\frac{-g_{t\varphi}}{-D}$$,即得文中给出的关系$$2\mathcal{H}=T+V$$.

(2)

光环涉及若干个要素.第一光环是测地线,第二光环是闭合的测地线.第三按直观的定义,光环半径不变且沿着切向. 文中指出,光环切矢量必然处于前两个Killing矢量$$\zeta, \xi$$张成的空间中. 这个论述可以简单解释如下:在三个沿着测地线守恒的Killing量中,第三个Killing张量对应著名的Carter恒量,虽然这个量的物理解释至今不是很清楚,但是几何上,如果这个量为零,那么初始处于赤道面的测地线将始终处于赤道面.实际上在Kerr黑洞中圆形轨道只能处于赤道面上.因此,按光环处于赤道面的结果意味着测地线的切实量与Killing张量的内积必须为零,即测地线的切实量只能由$$\zeta, \xi$$张成. 具体的,由哈密顿量的形式和哈密顿方程,$$\dot{r}=\dot{\varphi}=0$$意味着$$p_r=p_\theta=0$$. 同时,由对称性,坐标在Killing矢量的方向上平移后度规的形式不变,这导致了守恒量$$\dot{p_t}=\dot{p_\varphi}=0$$. 综上$$\dot{p}_\mu=0$$.

从另一个角度,光环测地线的切矢量通过Killing矢量平移后再平移移动仍然可以闭合,故按定义仍是某光环测地线的切矢量. 如果光环是唯一的,那么后者必然是光环测地线的切矢量,即用Killing矢量可以平行移动光环的切矢量.

实际上,如果我们考虑光测地线,即便要求其半径坐标始终不变$$r=r_0$$的球面轨道,一般情况下,并不保证$$\theta$$坐标是常数,也不能保证测地线是闭合的. 只有对史瓦西黑洞,上述曲线必然闭合,其集合被称为光球. 由于球面光测地线是连续的,$$\theta$$是有界的,所以在测地线上必然可以找到一个点满足$$\dot{\theta}=p_\theta =0$$,但显然并不保证这个等式在测地线上点点成立. 上述点称为"转折点". 更具体的讨论参见比如Gen. Rel. Grav. 35 (2003) 1909一文的计算. 我们指出,这些测地线与黑洞阴影的计算也有关系.

哈密顿方程的推导及其用有效势表达的形式.注意到度规分量,比如$$g^{rr}, g^{\theta\theta}$$,是含有广义坐标的.同时循环变量的广义坐标不出现,广义动量是常数$$E, L$$,不再计入变量中.按哈密顿方程标准形式,不难得到文中给出的哈密顿方程的形式.

这里,(2)通过对势场的方程给出了通过Killing矢量生成的光环的切矢量满足的条件.

能量与角动量满足的不等式关系.按书中讨论,由于能量是正定的,故角动量不能为零.这样在(1)第二式取分子为零得到的关于$$E$$两个根中,至少有一个正根,而$$-Lg_{t\varphi}/g_{\varphi\varphi}$$是两次方程的解中在$$\pm\sqrt{D}$$前面部分,若存在一个负跟,则$$E > -Lg_{t\varphi}/g_{\varphi\varphi}$$,但若两个都是正根,则 不清楚 文中的不等式是如何得到的.

运动方程用势函数$$H_\pm$$的表达形式.按(2)式下一式的定义,势场可以表达为几个因子的乘积,那么按(2)的第一步等号,势场为零的点对应任何一个因子为零.故对应条件$$\sigma=H_\pm$$.

进一步,势场的导数对应了在保持剩余因子不变的情况下对每个因子单独求导的结果的和,由此,假设$$\sigma=H_+$$,涉及其他三个因子导数的项自然的为零,剩余项正比于$$\nabla(\sigma-H_+)=-\nabla H_+$$,其中注意到$$\sigma$$与坐标无关.这就是文中给出的结果$$\nabla H_\pm=0$$.与前面的结果一起$$H_\pm=\nabla H_\pm=0$$,故称之为"临界点".

类似的运用上面的分析策略,势场的二阶导数,只含与$$\nabla H_pm$$的导数因子正比的项,具体的,当$$\sigma=H_+$$时,$$\partial_\mu^2 =-L^2 g_{\varphi\varphi}(H_+-H_-)(-1)\partial^2 H_+=2L^2\partial^2 H_+/\sqrt{D}$$,即得书上结果.

光环的稳定性.物理上,如果所考虑的运动轨迹对应势场的极值点,所有的独立坐标的广义动量("速度")都为零.那么该运动轨迹的稳定性就是当给予小的微扰使得广义速度稍稍偏离零点,势场稍稍偏离最小值后,这样的扰动是否会被无限放大.直观的,若势场的极值点是最小点,微扰不会被放大. 注意到虽然上述光环解是在$$p_r=p_\theta=0$$的前提下得到的,但对测地线的扰动正是$$(r,\varphi)$$方向的.

注意到,这里光环的解对应了$$(r,\varphi)$$到势场梯度的映射的原点.这个点显然是极点.如果这个点是鞍点或者局域最大值,那么光环解对于扰动是不稳定的,如果是局域最小值,那么光环解是稳定的.后者虽然在线性微扰的层次上是稳定的,但是这样的系统必将导致能量的集聚,以至对度规产生反作用导致系统最终的不稳定性. 这里的解是一个点,这是因为考虑了$$(r,\varphi)$$两个自由度的取常数的解.如果我们只考虑$$r$$为常数的解,那么我们得到的是球面轨道或者光球解.这就是(4-5)讨论的内容. 进一步,球面测地线与光环的关系,又参见下面(6)的讨论.

(4-7)

这里,(4-5)和(7)的推导可以参见比如arXiv:1311.4251v2一文的相关内容.

(6)

半径一定的光球测地线由一个参数$$r_0$$决定.但是对于$$\theta$$方向,并不一定是常数.其转折点相当于抛物时最高点静止的瞬间.具体的,不难证明,我们可以通过令arXiv:1311.4251v2中(2.12)的右边为零得到.仰角速度为零的点可以直接由两个守恒量决定,从而由光球参数决定.

实际上,进一步,可以证明.如果要求arXiv:1311.4251v2中(2.12)对应$$\theta$$不变的解,即(2.14)对应的有效势为零且有效势对$$\theta$$的导数也为零.那么这时结合(2.13)的方程,我们有四个方程,可以决定四个变量$$r,\theta,\xi,\eta$$.由(2.14)的有效势的形式,我们不难验证,若$$\theta_0=\pi/2$$对应仰角恒定的光环轨道,我们必须有$$K(\equiv Q)=0$$,从而$$\eta(\equiv\chi)=0$$.利用这个条件,将(4)代入(5),后者的分子必须为零,这样得到关于$$r$$的方程.不难验证(比如利用mathematica代入化简),光环半径(参见Gen. Rel. Grav. 35 (2003) 1909一文(1a-b))正是这个方程的解,文中(12)下的讨论也清楚的指出了这一点.更一般的讨论可参见arXiv:2007.04022v1一文的引言部分.

P.11第3.1节要求得到黑洞阴影边界的显函,可以注意到P.11第一式是关于$$r$$的一元三次方程,原则上有三个根.这分别对应下面的三个表达式.

(8)

对于特殊情况$$a=0$$,由(5-6)可以直接得到P.13第一个公式给出的两个关系.

同时,我们有$$\mathcal{A}=M^2, \mathcal{B}=1$$,代入之前第一式或者第二式即得$$r=3M$$

另外,注意到当$$\theta_0=\pi/2$$,(7)的第二式给出$$y=\pm\sqrt{\chi}=\pm\sqrt{(\chi+\eta^2)\cos^2\theta_*}=\pm\sqrt{3r^2\cos^2\theta_*}$$.这就是(8)式上面一式的结果.直觉上,这个结论似乎有些奇怪.因为对史瓦西黑洞,所有的球面测地线都是大圆上的光环,不应该存在转折点.对上述结果的理解是,Kerr黑洞包括光环在内的不同的球面测地线当退化为史瓦西情况时,对应了不同倾角的大圆.这样的结果是自然的,因为这样的退化方式对应了测地线的参数空间保持不变.

由于$$g_{\varphi\varphi}=r^2\sin^2\theta$$,由此我们可以给出(8)的近似方案.这个方案被用于得到Fig.3中给出的结果.

在媒体介质中的黑洞的阴影对应的哈密顿量相当于有"等效质量"情况下球壳上的只能关系.

Fig.4

本节讨论黑洞对光源扭曲后的影像,之前讨论的黑洞阴影是影像的边界.这里Fig.4首先给出了黑洞阴影的物理图像.其中$$\mathcal{N}$$对应无穷远处全方位角的光源,而$$\mathcal{O}$$对应观测者接受到的局域全方位影像.实际中,我们也可以从观测者发出光线,考虑光线射向无穷远和被黑洞捕获的情况.

习惯上我们把黑洞放在观测者坐标的原点.在观测者与黑洞连线上无穷远处的光源会在黑洞周围形成爱因斯坦环.它是从无穷远处的光线在黑洞附近绕行任意整数圈后以非常接近的角度到达观测者而形成的.一个直观的图像可以参见维基页.具体的计算参见之后P.21关于致密星体爱因斯坦环的讨论.按上述定义,爱因斯坦环与黑洞阴影边界虽然类似,但是是不同的,后者是从观测者发出的光线在黑洞附近绕行无数圈后最终坠入黑洞的光线的边界,由球面测地线决定.文中指出,在爱因斯坦环与黑洞阴影之间,全方位角的光源影像被扭曲并重复了无数次.

Fig.6

这里给出了黑洞阴影"脆皮"的结果与解释.

因为"非球面轨道"测地线的径向坐标并不是常数,这里用$$r_{\mathrm{peri}}$$来标示"非球面轨道".具体的,因为$$g_{\varphi\varphi}=r^2\sin^2\theta$$,在赤道上$$\theta=\pi/2$$,即得文中给出的关系$$r_{\mathrm{peri}}=\sqrt{g_{\varphi\varphi}}$$.

黑洞阴影对应的球面轨道的极值对应两个光环解.中间部分是"非球面轨道"解,但其实有两支.因为对观测者而言,影像的方位角仅由光测地线的守恒量$$\eta,\chi$$决定.故即便是不稳定的非球面轨道,也未必对应黑洞阴影的边界.Fig.6就形象的给出了上述"亚不稳态"的讨论以及相应的范德瓦尔斯气体"相变"的相图."脆皮"部分应该是"亚布稳态"的延伸.上述结果是数值的,但是有很好的理由相信这与解析结果一致且是足够一般的.

关于$$\mathbb{Z}_2$$的讨论,并 不清楚 其关于轨道半径唯一性的推导.

Fig.8

对于致密星体而言,因为没有视界,故从无穷远处发射的光不会落入视界而总是可能以适当的角度达到观测者.因此,虽然有光环,但不会有阴影.这时,光环对应了爱因斯坦环.

注意到,按惯例$$\mathcal{O}$$称为初始角,而$$\mathcal{N}$$对应散射角.在散射角发散点附近,对于给定散射角(所有相差$$2\pi$$角度的散射角),绕行不同圈数的测地线的入射角会有微小差别,故爱因斯坦光环是有一定厚度的,而非如黑洞阴影边界是几何曲线.

假设散射角变化关于入射角与光环角度的差值是以对数形式发散的,即$$2\pi k=\Delta\theta_{\mathrm{scattered}}=a\log\left(\frac{\Delta\theta_{\mathrm{initial}}}{b}\right)\sim a\log\left(\frac{\eta^{(k)}_{\mathrm{ER}}-\eta_{\mathrm{LR}}}{b}\right)$$.

本文档除了包括推导, 疑惑 外,做 读书重点 的记录 $$$$

Spherical photon orbits around a Kerr black hole, Gen. Rel. Grav. 35 (2003) 1909, by Edward Teo
这篇文章仔细讨论了Kerr黑洞的球面测地线.分析仔细,讨论透彻却又朴实无华.

本文档除了包括推导, 疑惑 外,做 读书重点 的记录 $$$$

Spherical orbits around a Kerr black hole, arXiv:2007.04022v1, by Edward Teo
本文是作者之前工作的延续,仔细分析了Kerr黑洞球面测地线的参数依赖以及测地线的稳定性问题.

本文档除了包括推导, 疑惑 外,做 读书重点 的记录 $$$$

Observing the shadow of Einstein-Maxwell-Dilaton-Axion black hole, arXiv:1311.4251v2, by Shao-Wen Wei, Yu-Xiao Liu
这是一篇比较标准的计算黑洞阴影的范文,除了细节略有缺失外,具体步骤比较详细.

(2.7)

这里测地线方程由哈密顿雅克比方程决定.

首先,注意到在弯曲空间中自由粒子哈密顿量的形式是$$H=\frac12 g^{\mu\nu}p_\mu p_\nu$$,因为由此得到的哈密顿方程与测地线方程等价,与欧拉朗日方程方程也等价.其中注意到在没有外势场的情况下,拉格朗日与哈密顿量只差一个负号.

接着,比较经典力学中的哈密顿雅克比方程(如参见Goldstein一书)的具体形式,注意到$$S\equiv F_2$$,(2.7)正是哈密顿雅克比方程.其中$$\lambda$$是反射坐标,含有时间的物理意义.

(2.8)

这是雅克比作用量$$S$$在可分离变量情况下的试解.

其中等式右边第一项因为(2.7)右边$$\frac{\partial S}{\partial x^\mu}=p_\mu$$,而自由粒子动量缩并为质量的平方,对$$\lambda$$积分即得.

等式右边第二项第三项,因为能量角动量为守恒量来源于由对应的Killing矢量决定的对称性.具体的,度规从而作用量不是守恒量(广义动量)对应的广义坐标的函数,所以这些变量自然的可以分离,且表达为守恒量的简单形式.比如,对能量$$E=-p_t=-\frac{\partial S}{\partial t}$$,积分即得对应的项$$-Et$$.对角动量$$L=p_\phi$$,对应的广义坐标为$$\phi$$,同样积分得到$$L\phi$$(文中貌似有typo).

最后我们假设对$$r, \theta$$坐标同样可以分离变量,这样就得到了(2.8)的形式.对此的系统性阐述参见比如Separation of variables in the geodesic Hamilton-Jacobi equation by S.Benenti.

(2.14)

这里的$$K$$即Carter常数,由对应的Killing张量决定.又参见arXiv:1801.00860v2一文(4-5)附近的讨论.

(3.1-2)

易证(3.1)就是(2.11)的平方.

(3.3)

这是球面测地线满足的方程.直观的.半径不变$$\dot{r}=0$$意味着$$V_{\mathrm{eff}}=0$$.但是仅有这一个条件是不够的,因为这可能对应了上抛运动质点到达最高点处速度为零的瞬间.所以,同时我们要求$$\partial_r V_{\mathrm{eff}}=0$$,对应此时粒子受力亦为零.数学上对(3.1)两边对$$r$$等式左边第一项实际上正是$$\ddot{r}$$,而第二项为力,固定轨道$$r=\mathrm{const.} 0$$意味着处于势场的极值.这就是(3.3)给出的两个条件,也可以参考arXiv:1801.00860v2的(2)式.

显然,(3.3)并不能保证轨道是稳定的,后者对应解不但处于势场的极点,还需处于势场的底部.

文中指出,(不稳定)光球对应黑洞阴影的边界上的光线.这是因为,对于不稳定光球测地线,略微偏离该测地线都会使得矢径坐标$$r$$无限的增加从而达到观测者.临界情况下光线在达到观测者前将绕行黑洞无数圈.另一方面,对于达到观测者的临界光线,它对应的阴影的尺寸并不等于光球的尺寸,它由在假象的平直空间中的直线的影像决定.具体参见(4.1-2)的讨论.

理论上,我们必须证明,为什么球面测地线对应的是黑洞阴影的边界.直观的,如果球面测地线是不稳定的,那么稍稍偏离球面测地线解的测地线要么最终射向无穷远,达到观测者,要么落入黑洞,无法被观测到.在此意义上,球面测地线,即FPO,是我们观测到黑洞阴影的边界.而且球面测地线得到黑洞阴影是闭合的鸭蛋形状,故很可能是完备的,即包括了所有的满足上述条件的临界不稳定测地线.但是,我们仍然不妨直接提问,是否可能存在半径坐标不为常数的,既不落入黑洞也不射向无穷远的测地线,如果这样的测地线存在,那么球面测地线就是不完备的.对后面这个问题的答案是不存在.对Kerr黑洞,所有的FPO都对应半径不变的测地线.这是因为,(3.2)中的有效势仅仅是$$r$$的函数,对于不稳定的测地线,一旦偏离有效势的最大值,只能单调的增加到无穷大或者落入原点.这是Kerr黑洞"分离变量"情况下的简单而重要的后果.对于测地线的稳定性,aXiv:2007.04022v1一文中给出了具体的讨论,结论是,对任何存在球面测地线解的$$r$$,总是存在不稳定的测地线,提供黑洞阴影的边界.

(3.4-5)

由(3.3)得到两个方程,对$$a=0$$的情况,这两个方程可以决定$$r$$与$$(\xi^2+\eta)$$的值.

具体的,将(3.2)对$$r$$求导,由(3.3)我们可以联立得到
 * $$\frac{(r+2b)^2r^2}{r^2+2r(b-1)}=\frac{4(r+2b)r(r+b)}{2[r+(b-1)]}=\xi^2+\eta$$

由此得到一个关于$$r$$的一元两次方程$$r^2+3(b-1)r+2b(b-1)=0$$,其正根既是(3.4),代回即得(3.5).

(3.6-7)

对于$$a\ne 0$$的情况,由(3.3)得到的方程中$$(\xi, \eta)$$以独立的形式出现,这样我们由(3.3)中的两个方程决定$$(r,\xi,\eta)$$三个变量,得到(3.6-7)的结果.

(4.1-2)

我们先考虑等式的第一步.

在具体计算之前我们考察下述简单情况.

考虑某光源在$$z$$轴上,离开原点的距离为$$z_0$$.它以与$$z$$轴$$\alpha$$角度发出一束光线,在光线上的某一点的球极坐标为$$(r,\theta,\phi)$$.满足几何关系
 * $$\frac{r\cos\theta-z_0}{r\sin\theta}=\mathrm{ctan}\alpha =\mathrm{const.}$$

把等式左边的分母移到等式右边后,等式两边对$$r$$求导得到
 * $$\frac{d\theta}{dr}r=\frac{\mathrm{ctan}\theta-\mathrm{ctan}\alpha}{1+\mathrm{ctan}{\theta}\mathrm{ctan}{\alpha}}=\tan(\alpha-\theta)$$

等式右边在$$r\to\infty$$时趋于$$\tan(\alpha-\theta) \sim (\alpha-\theta)\to 0$$,但$$\lim_\limits{r\to\infty}r\tan(\alpha-\theta)=z_0\sin\alpha= z_0\sin\theta_0\equiv z_\perp$$,等式的右边$$z_\perp\equiv z_0\sin\theta_0$$正是源的尺度$$z_0$$在与观测者视线垂直的平面上的投影.最后我们有
 * $$z_\perp=\lim_\limits{r\to\infty}r^2\frac{d\theta}{dr}$$.

我们涉及的问题与上述几何问题相似,但更为复杂,这里具体分析如下.

我们考虑光源边界上的一个点的笛卡尔坐标为$$(r_0\cos\gamma, r_0\sin\gamma, z_0)$$以自身为原点的球极坐标角度$$(\alpha, \beta)$$发射的光线,相对坐标系的原点的球极坐标角度为$$(\theta, \phi)$$,显然在无穷远处$$\lim_\limits{r\to\infty}\theta\equiv\theta_0=\alpha, \lim_\limits{r\to\infty}\phi\equiv\phi_0=\beta$$.我们试图用导数$$\frac{d\theta}{dr}, \frac{d\phi}{dr}$$来表达处于无穷远方位为球极坐标角度$$(\alpha, \beta)$$的观测者观察到到上述边界点在与其视线垂直方向平面上的投影尺度.

由于上述位移距离$$(r_0, z_0)$$相对于无穷远是很小的,所以所涉及的投影距离的计算中可以近似为独立位移的贡献之和.沿着$$z$$轴的位移对$$\frac{d\theta}{dr}$$的计算和相应投影距离的计算我们已经给出,虽然上述计算中我们相当于取了$$\beta=0$$,但这个假设并不失一般性.接着我们给出赤道面上的平移$$r_0$$对$$\frac{d\theta}{dr}$$的贡献.我们类似的约定从平移后的点发出的光线在以自身为原点的求极坐标中的角度为$$(\alpha, \beta)$$

不失一般性,我们假设在大圆上$$\gamma=\pi/2, \beta=0$$.类似上述计算,我们有
 * $$\frac{r\cos\theta}{\sqrt{(r\sin\theta)^2-r_0^2}}=\mathrm{ctan}\alpha$$

移项后求导我们有
 * $$r\frac{d\theta}{dr}=\frac{\mathrm{ctan}^2\theta-\mathrm{ctan}^2\alpha}{\mathrm{ctan}\theta(1-\mathrm{cta}^2\alpha)}\sim 2\tan(\theta-\alpha)$$

而由几何关系
 * $$\tan\alpha=\frac{\sqrt{(r\sin\theta)^2-r_0^2}}{r\cos\theta}$$

故
 * $$\tan(\alpha-\theta)\sim\frac{\tan\alpha-\tan\theta}{1-\tan^2\alpha}\sim\frac{1}{2\sin\alpha\cos\alpha(1-\tan^2\alpha)}\frac{r_0^2}{r^2}$$

为两阶小量,故对$$r\frac{d\theta}{dr}$$没有贡献.

进一步,我们再考虑在赤道平面上离开原点距离$$r_0$$的光源在以自身为原点的求极坐标中以角度$$(\alpha, \beta)$$发出的光线,光线上一点在原本球极坐标系中的坐标为$$(r,\theta,\phi)$$.利用与上述分析非常类似的分析得到.
 * $$r_0=\lim_\limits{r\to\infty}(r\sin\theta_0)^2\frac{d\phi}{d(r\sin\theta_0)}=\lim_\limits{r\to\infty}r^2\sin\theta_0\frac{d\phi}{dr}$$.

其中在赤道平面上的平移$$r_0$$与观测者的视线垂直,与在$$z$$方向上的平移也垂直,故与后者在观测者视线垂直方向上的投影也垂直.

最后,显然在$$z$$轴上的平移对$$r\frac{d\phi}{dr}$$没有影响.等式第一步证毕.

对于等式第二步,我们很容易在极限$$r\to\infty$$下得到渐进结果$$\Delta\sim r^2$$,$$R\sim (Er)^2$$,$$\Sigma\frac{d\phi}{d\lambda}\sim L\mathrm{csc}^2\theta$$,$$\Sigma\frac{dr}{d\lambda}=\sqrt{R}\sim Er^2$$,由此$$r^2\frac{d\phi}{dr}\sim \frac{L}{E}\mathrm{csc}^2\theta=\xi\mathrm{csc}^2\theta$$,由此即得(4.1)等式第二步.而(4.2)等式第二步可由完全类似的讨论得到.

本文档除了包括推导, 疑惑 外,做 读书重点 的记录 $$$$