Research Paper Notes on WKB method

Research Paper Notes on WKB method

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文献列表

 * Semiclassical approximations in wave mechanics, Rept. Prog. Phys. 35 (1972) 315, by Michael V. Berry and K.E. Mount
 * Transmission through a real potential barrier treated by means of certain phase-integral approximations, Nucl. Phys. A147 (1970) 606, by Nanny Froman and Per Olof Froman
 * Semiclassically weak reflections above analytic and non-analytic potential barriers, J. Phys. A: Math. Gen. 15 (1982) 3693, by Michael V. Berry

Semiclassical approximations in wave mechanics, Rept. Prog. Phys. 35 (1972) 315, by Michael V. Berry and K.E. Mount
本文是一篇很好的关于WKB近似的综述(原文地址).

(2.8)

这是由势场(2.1)的薛定谔方程问题的严格解(2.4)得到的,但是,因为这个结果与$$\hbar$$无关,如文中所述,它是无法通过依赖于$$\hbar$$展开的WKB等半经典近似得到.

(2.14)

这是得到WKB近似公式的第一个方法,通过连续的阶梯势透射的近似.

(2.21)

这是得到WKB近似公式的第二个方法,与Sakurai一书中类似,通过待定解并按$$\hbar$$逐阶展开.

(2.28-29)

这里(2.28)把势场视为阶梯势在连续反射与投射后得到的波函数一般形式(2.23)的解.根据这个图像,由此入射波通过光滑势场连续的投射与被反射.

最终的反射系数为(2.29).

(2.31)

表面上,这就是将积分(2.29)换元$$x\to w$$即得(2.31).实际上,这里牵涉积分路径与积分限的细节.对$$x$$的积分可以在实轴上有奇点,而对于$$w$$,对应的奇点不再出现.而在复平面上可能有(3.34-35)结果中涉及的两类奇点.

(2.34-35)

因为这时$$p^2(w)$$为简单奇点,这时我们可以把被积函数改写为$$\frac{dp/dw}{2p}=\frac{d(p^2)/dw}{4p^2}$$.这样就可以直接利用简单奇点的留数定理.但这样得到的结果与(2.34)比较系数$$\frac13$$为$$\frac12$$,并不相同.

我们注意(2.35)只需利用留数定理即可得到.

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Transmission through a real potential barrier treated by means of certain phase-integral approximations, Nucl. Phys. A147 (1970) 606, by Nanny Froman and Per Olof Froman
这是一篇使用复域WKB方法计算势垒贯穿的文章.本文是同作者的相关书籍JWKB approximation contributions to the theory的延伸.

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Semiclassically weak reflections above analytic and non-analytic potential barriers, J. Phys. A: Math. Gen. 15 (1982) 3693, by Michael V. Berry
(14)

这个展开关系决定了奇点(或者零点)的阶数.而它本身由具体的势场形式,比如将势场(22)代入定义(1),决定.

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