Research Paper Notes on Quasinormal Modes

Research Paper Notes on Quasinormal Modes

本文档除了包括推导, 疑惑 外,做 读书重点 的记录 $$$$

文献列表

 * Asymptotic black hole quasinormal frequencies, by L. Motl and A. Neitzke, Adv.Theor.Math.Phys. 7 (2003) 307
 * The asymptotic quasinormal mode spectrum of non-rotating black holes, by N. Andersson and C.J. Howls, Class. Quantum Grav. 21 (2004) 1623
 * Spectral decomposition of the perturbation response of the Schwarzschild geometry, by E.W.Leaver, Phys.Rev. D34 (1986) 384
 * Late-time behavior of stellar collapse and explosions: I. Linearized perturbations, by C. Gundlach, R. Price, J. Pullin, Phys.Rev. D49 (1994) 883
 * Wave Propagation in Gravitational Systems: Late Time Behavior, by E.S.C. Ching, P.T. Leung, W.M. Suen, K. Young, Phys.Rev. D52 (1995) 2118
 * Radiative falloff in Schwarzschild–de Sitter spacetime, by Brady, P. R., Chambers, C. M., Laarakkers, W. G., and Poisson, E., Phys. Rev. D60 (1999) 064003
 * Wave propagation in gravitational systems: Completeness of quasinormal modes, by E. S. C. Ching, P. T. Leung, W. M. Suen, and K. Young, Phys. Rev. D54 (1996) 3778


 * Potential and Bound State, by Walter F. Buell and B.A. Shadwich, Am. J. Phys. 63 (1995) 256


 * Significance of black hole quasinormal modes: A closer look, by Ramin G. Daghigh et al, arXiv:2002.07251, PRD101 (2020) 104009
 * Mining information from binary black hole mergers: a comparison of estimation methods for complex exponentials in noise, by E. Berti, V. Cardoso, J.A. Gonźalez and U. Sperhake, Phys.Rev.D75 (2007) 124017
 * Measuring gravitational waves from binary black hole coalescences. I. Signal to noise for inspiral, merger, and ringdown, by Eanna E. Flanagan and Scott A. Hughes, PRD57, 4535 (1998)
 * Gravitational-wave spectroscopy of massive black holes with the space interferometer LISA, by Emanuele Berti, Vitor Cardoso, and Clifford M. Will, PRD 73, 064030 (2006)

Asymptotic black hole quasinormal frequencies, by L. Motl and A. Neitzke, Adv.Theor.Math.Phys. 7 (2003) 307
这篇文章提出了所谓单值法.该方法通过势场在$$r\to 0$$附近的渐进解以及解析延拓的方法,解析求解准正模式的频率.该方法的局限性是它仅适用于$$\mathrm{Im}\omega$$很大的情况.因为这里的结果主要由势场很小和在视界处的乌龟坐标变换性质决定,本质上这个方法是WKB方法.

(9-10)

这里的讨论首先说明准正模式必然意味着波函数不在希尔伯特空间中,即波函数不是平方可积的.具体的,对频率虚部符号的讨论得到波函数在空间两端发散的结论.

(11)

文中对QNM问题的边界条件的叙述似乎 不是 很清晰,在完成理解后,结合文中具体内容讨论如下.

首先,在视界处,由(7),可直接得到关系$$e^{\pm i\omega r}=(r-1)^{\pm i\omega}e^{\pm i\omega r}$$.

按之前的讨论,在复平面上,对给定的$$r$$,$$x$$仍然不是单值的.对应的一根割线经过$$r=1$$,如图Fig.1.我们考虑在$$r=1$$处对应出射波,上述表达式在指数上取正号,所以是$$(r-1)^{ i\omega}e^{ i\omega r}\to \left({\epsilon e^{i\theta}}\right)^{i\omega}e^{i\omega}=e^{-\theta\omega\ln\epsilon}e^{i\omega}$$,其中模$$\epsilon\to 0_+$$是实数,幅角$$\theta$$也是实数,顺着逆时针绕行一圈的变化为$$\Delta\theta=2\pi$$.所以在割线两侧的函数数值的比值是因子$$e^{-2\pi\omega}$$,而不是函数值的跳跃或者积分值,这点在(23)下方的讨论中给予确认.

考虑$$\omega$$几乎是纯虚数的情况,按文中约定,其虚部系数为正.同时考虑在复平面上的$$x$$也几乎为纯虚数,在很大时,它与$$r$$一致,Wick转动90度后虚数系数同样为正.这样$$\omega x$$的乘积基本上是实数,但有一个负号,与文中给出的边界条件(11)比较差了一个负号.我们应该把(18)理解为波函数在无穷远处的边界条件,其中,在无穷远处,$$z$$与$$x$$的幅角是一致的,它们都几乎为纯虚数,其虚部系数小于零.注意到,虽然我们在处理单值函数,但是由于极点的存在,在一般情况下我们并不能保证复平面上的解析性.所以,边界条件并不适用于复平面上任何方向.参见(21-23)的结果与笔记中的讨论.

这里在无穷远处的边界条件由实轴上的条件(9)改为在复平面满足$$\mathrm{Im}\omega x=0$$方向上的条件(11).在这个方向上,指数上为纯虚数,所以等式左边为纯简谐振动而没有衰减.这个替换的理由在很多文献中都有提到,现讨论如下.方程(9)是出射波条件,但这个表达式在$$x\to +\infty$$时,因为$$\omega$$的虚部系数为正,是指数发散的.换言之,比较入射波和出射波在$$x\to +\infty$$时的渐进行为,前者因为是指数衰减要小得多,即便不为零,也很难显现.这意味着,要严格的从无穷远处的波函数中剔除入射波数值上是非常困难的.而(11)式对应的边界条件,入射波和出射波的振幅大致相当,把入射波剔除掉在数值上更具有可操作性.注意到本文的方法其实并不涉及数值处理.具体又参见(25)的讨论.

Fig.2

注意到Fig.1和Fig.2的左图中其实有两种不同的红色.$$r=1$$附近的红色其实对应Fig.2右图实轴右侧的区域,因为奇点$$r=1$$对应$$z=-\infty$$.

对于$$\mathrm{Re}x<0$$的区域,由于$$x=z+i\pi$$,两者之间之差一个纯虚数,故$$\mathrm{Re}z<0$$的区域,即实轴左侧就是对应区域.这在Fig.2右边的图中是显然的.

对于$$r$$,我们利用定义知$$\mathrm{Re}x=\mathrm{r}+\ln|r-1|<0$$,这对应区域$$|r-1|0$$,则上述不等式所要求的最大距离总是小于$$1$$的,故这是一个包含在$$r=1$$为圆心的半径为$$1$$的圆内的有限大小的区域.实际上,因为这是不等式两边都小于$$1$$,这个区域必然在虚轴的右侧,与原点$$r=0$$接触,如Fig.2左图所示.

另一种可能是,如果$$\mathrm{Re}r<0$$,这时不等式两边都大于$$1$$,对应的区域必然在虚轴左侧,而且因为指数总是比线型函数增加的快,所以如果在某个点上不等式两边相等,那么这个点左侧的所有的点都必然满足不等式,故这个区域向左包括无限大的空间.特别的,在实轴上满足不等式两边相等的点正是原点.在曲线$$|r-1|=e^{-\mathrm{Re}r}$$左侧的无限大区域都满足不等式,如Fig.2左图所示.

因为积分文中所讨论的复平面上的路径除了大圆以外是沿着$$z$$的实轴,即在$$r$$复平面上贴着$$\mathrm{Re}x=0$$曲线运动的,所以画出对应区域便于对问题的讨论.

(12)

将展开$$\ln(x_0+\Delta x)=\ln x_0+\frac{\Delta x}{x_0}+\frac12 (-1)\frac{\Delta x^2}{x_0^2}$$延拓到复变函数,并注意到其中$$x_0=-1=e^{i\pi+i2n\pi}$$,$$\Delta x=r$$,并按书中约定取$$n=0$$这一支,即得这个结果.

如文中指出,这个表达式的一个直接结果是在Fig.2中,在左图中原点附近$$r\to 0$$的小圆上$$3\pi/2$$弧度的绕行在右图中对应了一圈半$$3\pi$$的绕行.而在原点附近的入射幅角的变化为


 * $$5\pi/4 \to 2\times 5\pi/4+\pi=2\times 5\pi/4+\pi-2\pi=3\pi/2$$

在远离原点处,三个变量$$r$$,$$x$$和$$z$$的幅角趋于一致,入射方向都是$$3\pi/2$$.而文中选取的路径其实是保持$$z$$的入射幅角为$$3\pi/2$$不变的.

最后,按文中所取极限的上下文,在$$z$$沿着$$3\pi/2$$的幅角趋于原点时,由于$$\omega$$虚部系数为正,我们有$$\mathrm{Im}\omega z=0$$且$$\omega z\to +\infty$$.如果在原点附近,$$r,z$$都很小,那么由定义$$z=x-i\pi$$,有$$x\to i\pi$$.若$$\omega z\to\infty$$,显然$$\mathrm{Im}\omega x=0$$且$$\omega x\to -\infty$$,对于解析函数$$\psi(x)$$适用问题的边界条件(11).

(17)

这就是贝塞尔函数的渐进形式.注意到这里成立的条件是,虽然$$z$$很小,但是$$\omega z$$很大.

(18)

这就是把(15)整理后,$$e^{i\omega z}$$项对应的系数.

(20)

这个结果按贝塞尔函数与超几何函数的关系,注意到在超几何函数中自变量以$$z^2$$形式出现,故必然是偶函数,同时由超几何函数级数展开的形式知,它在复数域可导.

(21-23)

在保持极限$$\omega z\to +\infty$$下,引入变换$$z\to ze^{i3\pi}$$.利用(20)和$$\phi(z)$$是偶函数的性质,我们有
 * $$J_{\pm j/2}(\omega z)\to z^{\pm j/2}\phi(z)=e^{\pm i3\pi j/2}z^{\pm j/2}\phi(-z)=e^{\pm i3\pi j/2}z^{\pm j/2}z^{\mp j/2}z^{\pm j/2}\phi(z)=e^{\pm i3\pi j/2}J_{\pm j/2}(\omega z)$$

由此,我们可以计算(16)左边对应的变换
 * $$c_\pm\sqrt{\omega z}J_{\pm j/2}(\omega z)\to c_\pm\sqrt{\omega z}e^{\pm i3\pi j/2}J_{\pm j/2}(\omega ze^{i3\pi})=e^{\pm i3\pi/2\pm i3\pi j/2}c_\pm \sqrt{\omega z}J_{\pm j/2}(\omega z)=e^{6i\alpha_\pm}c_\pm \sqrt{\omega z}J_{\pm j/2}(\omega z)$$

其中最后一步利用了(17)中的定义.我们强调到上述结果对应极限$$\omega z\to +\infty$$,利用贝塞尔函数的渐进形式,我们同样有
 * $$c_\pm\sqrt{\omega z}J_{\pm j/2}(\omega z)\to e^{6i\alpha_\pm}c_\pm \sqrt{\omega z}J_{\pm j/2}(\omega z) \to e^{6i\alpha_\pm}2\cos(\omega z-\alpha_\pm)$$

如果我们考虑对极限反号,即$$\omega z\to -\infty$$,那么上述等式右边只需把$$\omega z$$反号,此即(21).我们强调,因为(20)中偶函数的缘故,以及对$$z$$的积分路径只差一个负号,在积分路径两端对应的都是贝塞尔函数自变量是实数的情况,即本质上只涉及$$\omega z$$在实轴上趋于正无穷大时的极限.

而(22)就是利用(21),再次把$$\cos$$写成指数形式,按入射和出射波整理后即得.这里我们看到,在一个方向上的边界条件,并不能简单的"解析延拓"到复空间的其他方向上.

最后(23)中等式的第一步利用了(18).下面一段的讨论中清楚的指出,我们在实际问题中把波函数定义为单值的,但是由于极点的存在,单值并不意味着在全平面的解析性.实际上(23)的结果就是被归结为由平面上的极点造成的.具体参见对(24)的讨论.

(24)

这里通过两个方式来计算单值波函数在大圆上绕行后的比值.得到的等式可以用于决定准正模式频率.

等式右边就是(23)的计算结果.这里考虑的波函数的自变量是$$z$$,将(19)和(22)相比,两个波函数的自变量分别对应Fig.2右图A点(两个红点中上面那个)和B点位置的$$z$$的数值,它们都是复数.具体的,由之前的推导,$$z_A\to z_B=z_Ae^{i3\pi}$$,按文中的讨论,在大圆上波函数是解析的,因为势场的影响很小,方程的解基本上是平面波解.我们把解沿着大圆解析延拓回到A点下方(对应Fig.2右图两个红点中下面那个).这时候计算波函数的比值,即(23).其中函数的自变量相同,都为$$z_A$$.函数值不同,由于积分路径圈围了$$z=0$$处的极点,另外一个极点在关于$$z$$的复平面上在无穷远处,故表面上在Fig.2右边的图中并不涉及.如书中所述,函数的比值主要由$$e^{-i\omega z}$$的系数决定,(23)计算的正是这个系数比,这是因为$$\omega$$为纯虚数,系数为正,在虚轴右边绕行,$$z$$的实部为零,故$$e^{-i\omega z}$$在波函数(22)中占绝对主要的贡献.

另一方面,我们还可以用Fig.2左边的图来理解上面的函数绕行后的比值.这是因为,不管采用什么坐标作为波函数的自变量,波函数的比值是不变的.首先,我们注意到,相对于奇点$$r=1$$,的确发生了绕行.同时,参考Fig.1,我们可以理解经过$$r=1$$的割线同时也经过A点,这样解析了为何绕行后函数值发生变化.实际上,这个变化正是在视界$$r=1$$处波函数的边界条件.按之前的讨论,它就是绕行前后函数的比值.如书中所述,与之前讨论的略有不同,这里相对$$r=1$$发生的顺时针而非逆时针的绕行,故产生因子$$e^{2\pi\omega}$$.上述讨论虽然是在$$r=1$$附近给出的,但是因为$$r=1$$正对应$$z\to \infty$$,在上述$$z$$的路径下是很好的近似.除此以外,还有一个重要的细节与Fig.2不同.从Fig.1左图的视角,由关系$$z=r+\ln(r-1)-i\pi$$,当$$r$$绕着$$r=1$$完成一周绕行后回到A点,$$z$$并非无偿的回到原值,而是增加了$$i2\pi$$,即$$z_A\to z_A+i2\pi$$或者$$e^{-i\omega z_A}\to e^{\omega 2\pi}e^{-i\omega z_A}$$,这个多余的$$e^{2\pi\omega}$$因子在(23),按Fig.2右图出发的计算,中并没有被记入,但是在按Fig.2左图的计算中需要被补偿.换言之,(23)计算比值其实是$$e^{-i\omega z}$$系数的比值,按上述计算方法,即使波函数在绕行后完全没有变化,它也会存在并等于$$e^{2\pi\omega}$$.在考虑了波函数绕行后(23)的结果应该等于$$e^{4\pi\omega}$$,这就是(24).最后,回溯和Fig.2左图中大圆上绕行的比较,在上述情况中,在大圆上波函数是解析的,因为问题的中涉及的奇点是$$r=0$$位置,之前一圈半的绕行导致了非平庸的贡献,而结果是通过绕行幅角与贝塞尔函数的性质计算获得的.

(25)

表达式中$$\epsilon(\mathrm{Re}\omega)$$就是符号函数.上述表达式的讨论中指出,如果$$\omega$$的实部反号,不会影响现有结果.

实际上比较(2)以及按陈松柏博士的提示,(25)意味着$$4\pi\omega=im\pi+\ln|1+2\cos\pi j|$$,当$$(1+2\cos\pi j)$$为正数时,$$m$$为奇数,反过来,当$$(1+2\cos\pi j)$$为负数时,$$m$$为偶数.具体的,(27)就是当$$m$$为奇数时的情况,其中等式右边实部的正负号来自于$$\omega$$实部的正负号的进一步自由选取.所以考虑了这一点,(27)的一般形式是$$4\pi\omega=im\pi\pm\ln|1+2\cos\pi j|$$.

特别的,考虑$$\omega$$的实部的模,它等于$$|4\pi \mathrm{Re}\omega|=\ln|1+2\cos\pi j|$$,这就是(26).

这里 想不明白 的反到是和推导的数学过程关系并不紧密,但是和物理初始条件有关的一个问题.就是为什么文中提到,如果$$\mathrm{Re}\omega$$为负,初始条件要设在B点而非A点.我们知道$$\mathrm{Re}\omega$$是小量,是正数还是负数基本不影响满足条件$$\mathrm{Im}\omega x=0$$且$$\omega x \to+\infty$$中的$$x$$方向.因为按之前的讨论,这里的$$x$$基本上就是纯虚数,在虚轴的负半轴,就是A点的位置.而上面的条件大致是说在复平面上找到$$x$$,要求其在足够远处是出射波,即把在实轴上的条件(9)换为复平面上的条件(11).但是,本文给出的方法,延拓到A,对应极限$$\omega x\to +\infty$$,反过来如延拓到B,对应极限$$\omega x\to -\infty$$.从解析延拓的角度看,两个延拓都是可取的.但是,本方法中涉及的延拓的本质原因是需要利用在$$r$$很小的地方获得的解析解的渐进性质.换言之,利用复偶函数的特性来获得当$$r$$转动$$3\pi$$后解的渐进行为.因为解涉及到贝塞尔函数,所以我们只能利用它在自变量$$\omega r \sim \omega x\to +\infty$$时的渐进行为,而在$$\omega x\to -\infty$$时不可用.在此意义上,延拓到$$\mathrm{Im}\omega x=0$$不是因为上述数值上的需要,而是由本文提出的单值法的特殊性的决定的.这样,在$$\mathrm{Re}\omega<0$$时,无穷远处的边界条件(9)仍然应该被延拓到A点了.换言之,文中的整个论述过程似乎与$$\omega$$实部符号无关.但是,如果上述说法正确,(25)的结果在$$\mathrm{Re}\omega<0$$时候形式并不会改变,这样貌似就有矛盾了.

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The asymptotic quasinormal mode spectrum of non-rotating black holes, by N. Andersson and C.J. Howls, Class. Quantum Grav. 21 (2004) 1623
在上述工作的基础上,本文讨论了复变量的WKB方法,从一个更具B格的角度重复了上述工作的结果.文章把上述工作称为分子,自己称为原子.没有补数学基础,故还没有学习.

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Spectral decomposition of the perturbation response of the Schwarzschild geometry, by E.W.Leaver, Phys.Rev. D34 (1986) 384
本文是第一篇采用格林函数与傅里叶变换方法来讨论QNM的文章.在此之后,Nollert等人才提出了等价的拉普拉斯变换的观点.

如果要研究拖尾的性质,因为拖尾主要来自"低频"贡献,换言之,势场在$$r\to +\infty$$时的性质,这时可以将运动方程按$$\frac{1}{r}$$展开后取低阶项,在方程存在解析解的情况下获得格林函数的解析形式.因为如果割线经过原点,那么它的贡献在$$t\to +\infty$$时非常重要,所以拖尾的研究可以直接利用留数定理,通过计算经过原点的割线的贡献来获得.

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Late-time behavior of stellar collapse and explosions: I. Linearized perturbations, by C. Gundlach, R. Price, J. Pullin, Phys.Rev. D49 (1994) 883
本工作采用求根法,通过计算波函数渐进行为获得QNM拖尾性质.

(17)

这个表达式给出了拖尾的理论渐进结果.

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Wave Propagation in Gravitational Systems: Late Time Behavior, by E.S.C. Ching, P.T. Leung, W.M. Suen, K. Young, Phys.Rev. D52 (1995) 2118
这是一篇思路非常清晰的讨论QNM的工作.很值得在对著名综述文献,比如Nollert的综述Class. Quantum Grav. 16 (1999) R159–R216,学习的基础上深入研读.文章以及附录中的一些具体推导参见邵才莹的笔记.

(2.1)

这个结果是纯粹格林函数方法的结果,比如参见引文[14]的Morse和Feshbach一书P.893上的一般形式.注意到(1.1)涉及对时间和空间的两阶偏微分方程,即波动方程.方程右边为零,即是无缘的,故书中公式等式右边的第一项来自源的贡献为零.同时我们不考虑来自空间边界,即空间无穷远处,的影响,因为后者在物理上对应入射波.上述这点在物理上可以对比电磁波的推迟格林函数解法的思想,因为只考虑偶极震荡发出的电磁波的格林函数,不考虑任何从无穷远处入射的电磁波,最后得到的电磁波解及其偏导在无穷远处自然的趋于零.对于准正模式,虽然波函数的空间部分在无穷远处为出射波,但是其振幅及其空间偏导必须趋于零,具体参见(2.5b)的讨论.故书中公式等式右边第二项外部通过边界输入对解的贡献为零.最后书中公式等式右边第三项,考虑了格林函数和解本身在初始时刻的数值以及其时间偏导,这正是(2.1)的结果.

而另一方面,不难看到这与Nollert综述的(55-59)的结果完全一致.而后者明确的使用了拉普拉斯变换,注意到这时(55)涉及对空间的两阶导数,即亥姆霍兹方程.对应书中P.891的一般形式.等式右边不为零,这是有源的格林函数问题.而其解(59)仅仅考虑源的贡献,换言之,书中公式等式右边第二项贡献为零.与上述讨论类似,这对应于我们不考虑来自空间边界,即空间无穷远,的入射波对物理问题的影响.物理上对应了在无穷远处波函数及其偏导趋于零.

从上面的讨论,我们看到,这两种处理方法的切入点很不相同,但是结果是完全一致的.实际上,只要把$$s$$看做复频率,两者是完全等价的.特别的,我们注意到(2.3)的积分从零开始,这也与拉普拉斯变换的定义一致.这是由于准正模式频率虚部的负号,导致波函数对时间的依赖在时间趋于负无穷大时发散.数学采用对时间的拉普拉斯变换或者时间小于零时原函数为零的傅里叶变换都是为了回避这个问题.而正如Nollert的综述的笔记中指出的,这也导致了这个方法得到的解无法正确的描写扰动的初始阶段.

(2.5b)

注意到由傅里叶变换(2.3),波函数(2.5b)需要乘以因子$$e^{-i\omega t}$$然后对$$\omega$$在实轴上积分.按上述讨论,时间因子在$$t\to +\infty$$时是收敛的.实际上,这正是因为在$$t>0$$时,按约当引理的思路,积分在复平面下方的大圆上绕行的必然结果.由于极点在实轴下方的复平面上,$$\omega$$的虚部系数为负,按留数定理,最终指数上的因子由留数决定,自洽的保证了在$$t\to +\infty$$情况下时间因子并不发散.而另一方面,上述结论仅仅是从物理出发说明为什么不考虑边界上信息对格林函数形式解的影响.而从数学上说,结论正好相反.因为如果波函数内积收敛,那么对应运动方程对应的算符就是自共轭的,而一个熟知的结论是,共轭算符的本征值是实数,所以就根本不会存在准正频率了.

我们注意到,正因为$$x$$因子指数上的符号与时间因子正好相反,对于$$g$$而言,似乎在$$x\to +\infty$$时该因子必然发散.而符号相反是由外行波的物理条件决定的.这样似乎导致了与上述讨论中所需之波函数及其偏导在空间无穷大边界上趋于零的要求相互矛盾.

解决这一问题的办法是,即便在空间无穷远的边界上,我们仍然必须仅仅讨论物理上有意义的情况.具体的,我们必须同时考虑时间与空间因子,即$$e^{-i\omega(t-x)}$$.由于因果律,物理上有意义的区域必须在光锥以内,满足$$t>x$$.所以空间无穷大的极限必须同时满足上述要求,保证了波函数是收敛的.

Fig.2

如上面讨论,这个图和Nollert文中在拉普拉斯变换$$s$$域的积分路径,绕行大圆,以及位于实轴左侧的极点是完全等价的.具体对应关系为$$s=-i\omega$$,这可以比较本文的边界条件(2.5b)及(2.6)与Nollert一文的边界条件(53).

文中这里指出,拖尾并非来自格林函数形式解中朗斯基行列式在复平面的零点决定,而是来自$$g$$的极点,如果这个极点的$$\omega$$虚部足够大,那么由于其随着时间的衰减就不会对拖尾有贡献.因此,可以理解最终对拖尾有贡献是某种在虚轴上一直延伸到原点的割线.另外,文中指出,$$f$$即便有极点,其虚部也不为零,因此对拖尾没有影响.

文中讨论提及对$$g$$的积分中对割线的具体处理,参见之后的(4.1)与相关讨论.

另外一个重要的问题是割线为何位于虚轴的负半轴上.割线的具体位置,部分是在求解的过程中人为定义的,但是它必须位于实轴的下方.原因如下.被积函数,即格林函数,具体的,与割线有关的是对分子部分$$g$$函数,它是无源的齐次波动方程(这与齐次多项式的概念不同,仅指其无源)满足边界条件的解的傅里变换,故我们要求在$$\omega$$实轴上必须是平方可积的且解析的.而从函数的具体分析,比如展开形式,我们发现,函数必然存在一根通过零点的割线.此时,除了割线不能位于实轴上外,我们似乎不能确定割线位于实轴的上方或者下方.而另一方面,整个问题的分析还可以通过拉普拉斯变换给出,这时,我们注意到对应的割线位置其实是稍稍位于实轴的上方(参考Nollert综述的Fig.4),这是由拉普拉斯变换的逆变换背后的广义约当引理决定的.由于一般$$g$$的解只在实轴的正半轴上获得,将割线定义在虚轴的负半轴上,并将$$g$$从复平面上上方延拓到实轴的负半轴上,是一个方便的选择.进一步,用类似的方法,可以计算函数在割线两侧的差.例如(4.10)和(5.4-5.5)中的计算.在$$g$$函数的形式被完全确定下来后,我们可以具体讨论朗斯基行列式在实轴下方的零点,以计算准正频率.

(4.1)

不难证明(4.1)的确是齐次方程的解.将方程右边代入对应的齐次方程,注意对$$x$$求第一次的导数的结果是两项之和,第一项对分子中的$$x$$求导,第一项对积分下限$$x$$求导,但因为$$\sin(x-x)=0$$,后者为零.把结果再次对$$x$$求导,同样是两项之和,且都不为零,正好满足齐次方程.

(4.2)

注意到按本文的讨论,拖尾不是由格林函数的朗斯基行列式在复平面上的零点决定,而是由$$g$$的极点决定,而后者就来自(4.2).注意到这里的积分是从观察点积分到无穷大,所以敏感的依赖于势场在无穷远处的行为.实际上,这就是很多文献中指出的,$$t\to +\infty$$时的拖尾决定于势场在无穷远处的 渐进行为 ,而与之相对应的性质是准正频率决定于在势场极点处的性质.

(4.4)

把(4.3)中的$$\sin$$写成两项指数之差的形式,注意到其中一项将得到(4.4)的形式.保留这一项因为它具有分母上对$$\omega$$的极点,而另一项并不含有类似的极点.

(4.6)

由边界条件(2.5b),约定(2.7),和波恩近似(4.1-2),比较(4.4)与(4.6),我们注意到因为指数上差了一个负号,后者对应的是在(4.2)第一项右行波基础上的第二项左行波的微小修正.这个左行波被 自然的解释 为出射波在无穷远处的反射.

另外,在(4.14)上方的讨论中,作者指出,由于讨论的结果不依赖与$$x$$的具体数值,故在$$x$$很大,从而(4.2)等式右边第二项很小情况下成立的伯恩近似得到的结果其实是精确的.

(4.8)

注意到(4.6)等式右边的对数因子$$\ln (-2i\omega x)$$就是著名的割线.而计算在割线两端的差别非常容易,其实就是将上述指数因子替换为$$i2\pi$$即可,并且在(4.6)等式右边第一项中代入$$\omega=-i\sigma$$,忽略第二项,即得(4.8).

注意到最后的结果还需要计算由齐次方程解$$g$$构造得到的格林函数,并且如(4.16)等式右边那样对割线积分,对于文中讨论的第一个具体计算的势场,最终结果是(4.17-18).

(5.4a)

此式是由(5.4b)通过顺时针转动到割线的另一侧得到的.这里的割线可以通过将(5.4b)中的汉克函数展开得到.具体的,在$$\rho$$不是整数时,展开的每一项都有割线,但是在割线两侧的函数值的差别对每一项都提供了一个相同的因子,这个因子直接与(5.4a)方括号中的第一项$$\cos\rho\pi$$直接有关.换言之,在计算(5.4a)时,我们计算的是(5.4b)与(5.4a)的差别,他对应方括号中的第一项,而方括号中的第二项正是(5.4b).

(5.10-11)

因为势场在无穷远处足够大,这个例子在$$\nu$$不趋于零时并不能应用伯恩近似,但问题对应的齐次方程方程恰好存在严格解.

由(5.5),对于整数$$\nu$$,割线消失,而物理问题对应完全没有势场的自由波,故不会被无穷远处的势场散射.

(6.18)

我们考察(5.10)的推导,以及势场形式,即(3.2)中只考虑对数因子的一次方$$\beta=1$$,不难发现.对不含对数因子的势场对$$\alpha$$求导(不是对$$x$$求导),即得到所需的对数因子.为了得到(5.10)我们需要乘以格林函数并对$$x'$$积分,即积分(6.4),然后在做对频率与时间的傅里叶变换,即由(6.15)到(6.16)对$$\sigma$$的积分.我们指出,这两个积分都可与对$$\alpha$$的导数交换.故可以将(6.16)对$$\alpha$$求导即得所需结果(6.18).其中花括号的第二项的导数虽然复杂但与$$t$$无关,故可归入(相对时间的)常数$$d$$中.最后,如果$$\beta$$不为1,则只需将(6.16)对$$\alpha$$求导$$\beta$$次即可.

(A.5)

本附录讨论的是在数值计算中由于精度问题出现鬼势场(A8)或者(A9)的情况,该势场在$$(\Delta x)$$足够大时,会影响拖尾的幂指数形式.Fig.10就是具体数值计算的实例.

这里,比较(A1-A3),表达式(A5)等式右边第二项方括号中的内容为$$\partial_x^4\phi$$的近似.它可以由对$$\partial_x^2\phi\sim V\phi$$对空间两次求导得到.

由$$\partial_x^2\phi= V\phi+\partial_t^2\phi$$,注意到$$\partial_t^2\phi\sim t^{-2}\phi$$,故在时间很大时与$$V\phi$$比较是二阶小量,可以被忽略. 对$$V\phi$$的空间两阶导数有三项,其中$$\phi''=\partial_x^2\phi$$可以被迭代一次,即得(A5)的结果.

Radiative falloff in Schwarzschild–de Sitter spacetime, by Brady, P. R., Chambers, C. M., Laarakkers, W. G., and Poisson, E., Phys. Rev. D60 (1999) 064003
本文讨论了在AdS空间,即带有宇宙学常数的QNM的拖尾性质.

(4.2)

这里,在数值解之后,作者讨论了解析解.由于数学上的困难,作者仅仅讨论了AdS空间中的格林函数.具体的,用(4.2)来取代更为复杂的形式(2.14),所抛弃正是在半径很大时贡献最小的项.而上述结论正有力的说明了势场在宇宙视界附近的性质决定了拖尾的性质.

(4.16)

本质上,问题的解法与其他文件中的做法是类似的:首先求解满足边界条件的齐次方程的解,通过解来构造格林函数,最后,利用格林函数的奇点来完成傅里叶(或者拉普拉斯)变换的逆变换以得到准正则模式的性质.

这里格林函数的极点与上述Ching等作者一文讨论的割线的最主要的区别是,极点是由朗斯基行列式产生的.由于极点在实轴的下方的虚轴上,得到的结果是指数衰减.因为它的实部为零,所以也无所谓出射波还是入射波.

Wave propagation in gravitational systems: Completeness of quasinormal modes, by E. S. C. Ching, P. T. Leung, W. M. Suen, and K. Young, Phys. Rev. D54 (1996) 3778
本文讨论QNM波函数的完备性问题.是作者之前所发表快报PRL 74 (1995) 4588的具体陈述.在本文中,QNM波函数的完备性是指,割线不存在,而在大圆上的贡献在一定条件下为零.

(2.5-2.7)

这是对方程(2.1)针对不同解并取不同$$\omega$$的情况下进行左乘并相减后再积分的结果.文中提到部分积分,但未明确是对两边要积分并利用部分积分得到的结果.

我们指出(2.7)其实是在极限$$X\to\infty$$下的结果,所以可以利用(2.6)来简化等式右边导数的计算.注意到$$f$$在零点的边界条件,即在这个边界上$$f, f'$$都不是$$\omega$$的函数所以对后者的导数为零,即得(2.7)的结果.

(2.8)

将这个表达式两边对$$X$$求导,并考虑极限$$x\to\infty$$.因为在准正则频率下$$f\to g$$,利用后者边界条件的边界条件易知这时第二项表面项与第一项趋于一致,这时导数趋于零.而这个极限的两项,在$$\omega$$的虚部为负的情况下分别都是趋于无穷大,却正好相互抵消.这就是(iii)中指出的特点.

(2.10)

把$$x\to +\infty$$的积分路径扭转到$$x\to -\infty$$.在一些文献中有说明$$f$$在复平面并没有奇性,但具体 不清楚 如果处理在大圆上的积分.

(2.11)

这就是格林函数的三种不同贡献的和,并把其中的QNM用(2.9)表达出来而已.

(2.12)

比较(2.11)等式右边的第一项.注意前面的系数$$i$$和分母上的$$\omega_j$$的乘积在$$\omega_j\to -\omega_j^*$$后变为复共轭,而同样分子上的指数形式$$e^{-i\omega_j t}$$在这个变换下变为复共轭,故(2.11)等式右边第一项整体变换为复共轭,故最后结果就是实部的两倍.这与(2.11)是实数函数之事实自洽.

(2.16-17)

这里的解通过$$k$$和$$R$$来决定解.前者给出通解形式,后者决定解在不连续点的连接方式.

(2.18)

将(1.16)分子中的$$\sin$$也写成指数形式,分子和分母中求和的项之间都保留指数上实数部分为正的项,即贡献最大的项.注意$$\omega$$的虚部为负以及(2.17)和关系$$0a$$,$$\Psi(x)\equiv\Psi_2(x)=e^{i\omega (x-\frac{a}{2})}$$,

对$$x<0$$,$$\Psi(x)\equiv\Psi_3(x)=e^{-i\omega (x-\frac{a}{2})}$$.

容易证明上述方程的确对于$$x=\frac{a}{2}$$点为偶函数.我们考虑$$x=a$$处函数及其导数连续的条件,易知这与在$$x=0$$处得到的结果是一致的.

函数和导数连续的条件可以写为$$\left(\ln\Psi\right)'$$连续,即$$\left.\left(\ln\Psi_1(x)\right)'\right|_{x=a}=\left.\left(\ln\Psi_2(x)\right)'\right|_{x=a}$$,容易证明,这意味着$$k\tan b=-i\omega$$,其中$$b=\frac{ka}{2}$$.利用$$\tan x=i\frac{1-e^{2ix}}{1+e^{2ix}}$$,我们得到$$\omega=\frac{e^{2ix}-1}{e^{2ix}+1}k$$,代入计算$$\frac{\omega-k}{\omega+k}$$不难得到$$\left(\frac{\omega-k}{\omega+k}\right)^2=e{-4ix}=e^{2ika}$$,此即(4.4).

不难证明对于奇宇称的情况,我们类似的有$$\omega=\frac{e^{2ix}+1}{e^{2ix}-1}k$$,所以同样得到(4.4).

(4.5)

这个表达式就是完备性的数值验证的基础.

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Potential and Bound State, by Walter F. Buell and B.A. Shadwich, Am. J. Phys. 63 (1995) 256
这篇文章讨论的仅仅是一维薛定谔方程是否存在束缚态解与势场形状的关系.其结论是,对于在两边趋于零的势场,如果势场的全空间积分为负,则必有束缚态.这是个充分但不必要的条件.这里的具体实例可以参考一维有限深势阱与一维谐振子势的严格解.这与三维势场存在束缚态与势场深度有关的结论表面上矛盾.后者的具体例子可以参考三维有限深势阱与三维$$\delta$$势.这是一个与空间维度敏感相关的有意义的结果.

这个结果的重要应用是QNM,后者对应一维薛定谔方程.当度规不稳定对应QNM在时间域发散,这时体系凝结出现黑洞的"毛",对应束缚态.比如在文献arXiv:1001.0019中,就利用这里的结论来作为判定QNM不稳定性出现的条件.

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Significance of black hole quasinormal modes: A closer look, by Ramin G. Daghigh et al, arXiv:2002.07251, PRD101 (2020) 104009
这是用梯形分段函数近似来讨论QNM和波形的工作.

因为QNM依赖于势场极值处的函数以及各阶导数,所以能精确计算QNM的方法一般都牵涉到高阶展开,比如连续分数法,WKB,HH,矩阵法等.而用梯形,甚至是更低阶的矩形,来近似,只包含一阶导数的信息,计算得到的QNM非常不准确.本文首先用数值计算重复和确认了这个结果.

接着,文章给出有意义的结果.用分段函数近似能够很好的毕竟波函数,而且波形显然不被最低阶QNM频率决定,否则结果一定很差.作者指出,这是因为此时的不同模式构成了完备基,而通过完备基可以正确的逼近任何波形.

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== Mining information from binary black hole mergers: a comparison of estimation methods for complex exponentials in noise, by E. Berti, V. Cardoso, J.A. Gonźalez and U. Sperhake, Phys.Rev.D75 (2007) 124017 ==

这是通过各种不同的数学方法,从离散的时间序列数据中提取QNM频率的方法总结.

(3.12)

这里简述Prony方法推导的过程.首先我们把时间序列写出来.我们注意到(3.7)中包含$$p$$个准正频率对应$$z_k$$,$$k=1,2,\cdots,p$$.我们注意到这$$p$$值就是(3.9)中定义的多项式的根,而(3.9)的第二步等式就是把这个多项式写成级数形式.这样如果(3.9)右边多项式的每个系数$$a[m]$$都知道了,求解它的$$p$$个根问题就得解了.为了求解这些系数,我们写出(3.11),把这些系数与$$x[n]$$,即(3.7),进行某种组合,不难发现,在交换了求和顺序后,(3.11)的每一项都涉及到一个因子把某个根$$z_k$$代入(3.9),故(3.11)为零.这样就决定了系数$$a[m]$$满足的方程,注意到$$a[0]=1$$,上述方程可以表达为矩阵的形式(3.12).

在这里时间序列点数正好是QNM频率数的一倍,所以(3.12)左边的矩阵是方阵.这个要求很大的限制了这个数值方法在实践中的应用.

(3.15)

综述Prony方法,这个方法通过把问题转化为矩阵求逆和线性方程求复平面上零点的问题.在这个结果之后,本文主要讨论了当存在白噪声时如何通过对线性方程复平面上零点的合理选择来消除噪声的影响.

这里与(3.12)的区别来源于格点数目与我们需要提取的频率数目不必相同,本质上前者可以远大于后者.由(3.15),在(3.16)中的矩阵$$X$$不必是方阵.具体的$$p$$是需要提取的频率数目,而$$N$$是数据的时间点数目.作为一组线性方程,这时方程的数量是大于变量数量,这样问题被"过度"决定了,原则上问题不可解.相应的对策是采用最小两乘法来求解这类线性方程问题.具体的,把问题的解表达为使得方程左边和右边的两个矢量的欧式距离最小的最小值问题,问题的解对应欧式距离表达式对所有带求解变量的偏微分为零,具体可参见这里的推导.

在具体使用时,由文章的第二部分(第三页最后一行)给出的实例,分别使用了56和72个时间格点.

Measuring gravitational waves from binary black hole coalescences. I. Signal to noise for inspiral, merger, and ringdown, by Eanna E. Flanagan and Scott A. Hughes, PRD57, 4535 (1998)
本文是后续Cardoso文章的基础.

Gravitational-wave spectroscopy of massive black holes with the space interferometer LISA, by Emanuele Berti, Vitor Cardoso, and Clifford M. Will, PRD 73, 064030 (2006)
这篇文章讨论了QNM频率振幅和对应的SNR探测器信噪比的相关计算.

因为黑洞QNM的不同模式的强度和相位其实取决于初始条件,所以这里的做法是在合理的区间内取平均.

(2.2)

引力扰动至少是从四极距$$l=2$$开始的.

(2.3-6)

对Kerr黑洞的度规扰动,这里(2.3)是数学上严格形式是(2.3),径向部分是Teukolsky函数,它在角度部分的基spheroidal函数上展开的,而时间依赖部分中涉及的频率是实数.

但是作为一种近似我们用指数衰减的QNM来取代径向和时间部分的因子,这就是(2.6).同时spheroidal函数的自变量取为与QNM频率有关的值.

(3.1ab)

注意到等式右边分别取了实部和虚部,容易按(3.1ab)下面的定义建立与(2.9)之间的联系.

(3.4)

这就是计算SNR的基本公式,本文后面就是对其进一步化简和近似.这里$$h$$由被探测到的波形(3.2),进而由(3.1ab)与(3.3ab)得到,而$$S_h(f)$$由探测器决定.

(3.5)

这个结果被用来计算波形的傅里叶变换.注意到$$F_+, F_\times$$部分是不含时的,所以傅里叶变换只需要对$$h_+, h_\times$$展开.

注意这个积分因为指数上的$$|t|$$是绝对值,所以结果不是零,也不能用留数定理.被积函数虚部的积分正好抵消,故等于零,所以积分结果是实数.后者等于被积函数从零到正无穷大的积分结果的实部的两倍.

(3.19)

因为我们不知道不同的准正则模式的振幅与幅角,所以也不知道引力波能量占黑洞质量的比例(3.15).换言之,对于固定$$l,m,n$$的准正模式,这三个量之间满足一个关系,这就是(3.19).

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