Research Paper Notes on Review of Quasinormal Modes

Research Paper Notes on Review of Quasinormal Modes

本文档除了包括推导, 疑惑 外,做 读书重点 的记录 $$$$

文献列表

 * Quasinormal modes: the characteristic `sound' of black holes and neutron stars, Class. Quantum Grav.16 R159 (1999), by Hans-Peter Nollert
 * Quasinormal modes of stars and black holes, gr-qc/9909058, by Kostas D. Kokkotas, Bernd G. Schmidt
 * Quasinormal modes of black holes: from astrophysics to string theory, arXiv:1102.4014, by R. A. Konoplya and Alexander Zhidenko
 * Quasinormal modes of black holes and black branes, arXiv:0905.2975, by Emanuele Berti et al.

Quasinormal modes: the characteristic `sound' of black holes and neutron stars, Class. Quantum Grav.16 R159 (1999), by Hans-Peter Nollert
P.3 QNM的物理意义

首先QNM不是束缚态解,因为势函数在两头都等于零,而在中间为正的值.波函数的能量大于零,不存在能量小于零,即无穷远处能量值,之束缚态解.

接着,波函数在事件视界和无穷远处的边界条件(都是只有出射波)导致了本征值问题,从而频率是间断的.

频率含有虚部,即结果是似正规模而非正规模,是因为视界导致物理体系是耗散的,所以震荡不可能是稳定的.

在实际中,用筷子敲一下酒杯,产生的渐渐变弱的声音,就是准正规模的一个很好的例子.

一个很好的类比是量子力学中可以直接数值求解的井壁为有限宽度的有限深势阱的问题.在这里,如果势阱足够高,那么体系的波函数会很接近无限深势阱的波函数,但是有限的深度会导致波函数"侧漏",从而能量(频率)出现一个很小的虚部(实部).在数学上,这表现为波函数无法归一,包含边界条件的问题不再是厄米的.

QNM算符的谱其实是连续的,由于边界条件QNM频率是间断的,所以QNM波函数并不构成完备集.频率的间断性来源于物理上允许的边界条件导致的本征能量的离散化.具体的,因为本征奇点和割线导致的波函数的拖尾部分,物理上合理的初始条件的时间演化后的波形不能仅由QNM波函数来展开.

间断QNM频率的来源可以有很多不同的理解.按讨论切入点的不同,我们简单划分为时域与频率域两个大类.上述边界条件使得连续谱变为间断谱是一个最基本的认知,实际操作中类似氢原子薛定谔方程的求解过程,与连续分数法的做法紧密相关.由"矩阵法",QNM频率的解由一个对频率的非线性代数方程决定,它的解自然的对应离散的频率.如果在时域中,把坐标实轴上的薛定谔方程延拓到坐标的虚轴上,我们发现对应的薛定谔方程的势场反号,由于QNM为波动解为题,它对应的有效势一般为势垒,故在上述变换后问题转换为束缚态问题,在求解得到离散的束缚态实数能级后做逆变换可以得到离散的复频率. 而从频率空间的格林函数出发,QNM出现时,对应了分别满足两头的边界条件的齐次方程的解$$(f,g)$$呈线性,这个额外条件使得原本具有连续频率的$$(f,g)$$只能取间断的频率.更直观的,函数$$(f,g)$$呈线性关系正对应了格林函数分母上朗斯基行列式为零,后者是$$\omega$$的非线性代数方程,得到离散解是自然的.另外,QNM的边界条件在两端只包含出射波,这对应了反射或者透射系数为无穷大,具体的,如果我们对黑洞背景的有效势求解,得到反射系数是任意实数频率的函数,我们将上述函数解析延拓到复平面上,而复平面上反射系数的奇点正对应了QNM频率.

另外,QNM的完备性问题也是一个重要的研究课题.QNM的波函数并非正交的,因此即便不考虑拖尾部分,体系的总能量也并不等于每个QNM分波能量之和.但是讨论一个模型是否能够唯一的用QNM模式的线性组合来表达是有意义的.

本综述主要涉及的是非转动情况下的黑洞的QNM.

(3)

这个升降指标的做法是一阶近似.这是因为,广义相对论中对张量的定义是依赖于某具体度规的,而$$h_{\alpha\kappa}$$并非张量.

如果我们以扰动前的背景度规$$\mathring{g}^{\mu\alpha}$$的立足点来讨论问题,那么把下指标的$$h_{\alpha\kappa}$$定义为张量,问题似乎不存在.但是,物理上有意义是以扰动后的度规$$\bar{g}^{\mu\alpha}$$为出发点,因为那才是问题中真实的度规.这时,表面上,对$$h_{\alpha\kappa}$$提升指标需要用到扰动后的度规,而因为真实度规是未知的,在计算中很不方便,所以我们引入(3)的形式,而在(3)中升降指标所使用的背景度规是近似.

本质上,情况更复杂一些,因为按自然的做法$$\mathring{g}^{\mu\alpha}$$的升降指标是用背景度规进行的,而$$\bar{g}^{\mu\alpha}$$的升降指标是用扰动后的度规进行的,而上下指标的$$h_{\alpha\kappa}$$本质上就是用两者的差来定义的.换言之,考虑背景场的情况下微扰后的度规不是张量,两者的差$$h_{\alpha\kappa}$$也不可能是张量,反过来,考虑微扰的度规的情况下,$$\mathring{g}^{\mu\alpha}$$不是张量,两者的差也不可能是张量.所以$$h_{\alpha\kappa}$$里外不是人,怎么定义也不可能是张量,(3)只可能是近似.

(10)

对张量扰动的分解,最容易想到的是使用球谐函数作为展开的基.的确,球谐函数是在球对称,或者$$SO(3)$$群,之不可约表示.但是,球谐函数是从球面流形$$S^2$$到实数$$R$$的映射,映射的结果是标量,而我们涉及的物理量$$h_{\alpha\beta}$$是张量,这导致系数必然是张量,而因为张量在旋转下是变化的,展开系数在旋转下也必然是变化的.这样一部分对称性信息并没有被收纳到展开的基中,而是被展开系数所承载了.所以,如果我们希望展开基完全承载了度规扰动的对称性信息,我们真正需要的基,不是标量函数基,而是张量函数基.

(11-16)

具体做法就是用对标量的协变导数来构造协变和逆变张量.具体推导和基的形式可以参见比如Eric Poisson的博士生Karl Martel的博士论文Particles and black holes: time-domain integration of the equations of black-hole perturbation theory中附录A,其中涉及两维球面张量度规和协变导数的符号定义参见其论文(2.1-2)处的定义.由此,(11-16)中的表达式的具体含义,其正交,及"归一"性都没有任何歧义.

对于自由度的数目,可以参考王斌老师的综述,故有1个标量基被使用了三次,2个不同的矢量基各被使用了两次,3个不同的张量基各被使用了一次.故$$1\times 3+2\times 2+3\times 1=10$$,正好等度规扰动的自由度数目,即$$4\times 4$$的对称张量的分量数目.度规扰动对称性完全由基承担,展开系数都是标量.

最后我们简单的讨论一下基(11-16)在坐标变换下是如何变化的.不是一般性,我们讨论矢量基$$\left(\overset{1}{V}_{LM}\right)_a$$.这里函数的自变量是$$(\theta, \phi)$$,应变量是一个矢量,其分量为$$a=\theta, \phi$$.如果做坐标变换$$(\theta, \phi)\to(\theta', \phi')$$,那么一方面函数的自变量被新的变量取代$$(\theta, \phi)\to(\theta'(\theta, \phi), \phi'(\theta, \phi))$$,另一方面作为矢量$$A_a\to {A'}_a=\left(\frac{\partial {x'}_a}{\partial x_b}\right)A_{b}=\left(\frac{\partial x^b}{\partial {x'}^a}\right)A_{b}$$.上面等式的来源是定义$$\left(\frac{\partial {x'}_a}{\partial x_b}\right)\equiv{X_a}^b, \left(\frac{\partial {x'}^a}{\partial {x}^b}\right)\equiv {X^a}_b$$,但由于$$\left(\frac{\partial {x'}_a}{\partial x_b}\right)\left(\frac{\partial {x'}^a}{\partial {x}^d}\right)={g_b}^d=\delta_b^d={X_a}^b {X^a}_d={X_a}^b{{\left(X^{-1}\right)}_d}^a $$,我们有$${X^a}_b={\left(X^{-1}\right)_b}^a$$.

现在考虑一个特例,即空间反演$$\theta\to \theta'=\theta+\pi, \phi\to\pi'=\pi$$矢量部分的变化是平庸的$$A_a\to {A'}_a=\left(\frac{\partial x^b}{\partial {x'}^a}\right)A_{b}=A_a$$,所以在空间反演下,我们只会看到两维球面上函数取值的坐标分量的变化而看不到函数本身矢量分量的变化.

最后,我们具体计算一下Levi Civita张量,书上的结果其实与上述K. Markel博士论文的(A.4-5)处的结果相差一个负号.我们计算得到的与后者一致.具体的,这里其实是三阶完全反对称张量,所以在坐标变换后原则上涉及三个指标$$(r, \theta, \phi)$$,但是因为转动操作不会改变$$r$$,所以可以把三阶完全反对称张量用两个指标$$(\theta, \phi)$$来表达.具体的
 * $$\epsilon_{r\theta\phi}=\frac{\partial x_r}{\partial x_1}\frac{\partial x_\theta}{\partial x_2}\frac{\partial x_\phi}{\partial x_3}\epsilon_{xyz}=\frac{\partial x}{\partial r}\frac{\partial y}{\partial \theta}\frac{\partial z}{\partial \phi}\epsilon_{xyz}$$

其中注意到,最后一步等式是把协变坐标写成具体计算中涉及的逆变坐标.导数可以具体计算比如$$\frac{\partial y}{\partial r}=\cos\theta\sin\phi$$,通过具体计算(过程略),可以得到第一个分量$$\epsilon_{r\theta\phi}=r^2\sin\theta$$,这样略去与转动无关的因子$$r^2$$,结果与博士论文一致.

其实很容易把上述结论一般化.证明在任何一个坐标系中定义的完全反对称张量在坐标变换后仍然是完全反对称张量.两者的比值就是坐标变换的行列式,即雅克比.这个结论只要注意到行列式的定义,以及在某两行相同时行列式为零的性质即得.

(17-22)

书中提及,梯度不会改变波函数的宇称.这是因为梯度与坐标无关,我们不妨选取笛卡尔直角坐标系,偶宇称函数的梯度产生$$(-1)$$因子,而因为梯度是矢量在空间反演下产生另一个$$(-1)$$因子,导致宇称不变.而因为空间是三维的,三阶反对称张量是常数,在空间反演下产生$$(-1)^3=(-1)$$,导致宇称反号.

(23)

在轴宇称的情况下,共有三个展开系数.这里$$h_0, h_1, h_2$$分别是两个矢量基和一个张量基前面的系数,在转动下不变,仅是$$(r, t)$$的函数.

文中指出奇偶宇称的扰动方程没有混合.理解如下.文中的讨论直接证明了,如果我们只考虑某种给定宇称的扰动方程,方程在时间演化下的宇称不会改变.类似电动力学,因果律要求方程的解具有唯一性,因此上述讨论的解就是问题唯一正确的解(换言之,如果在数学上无法证明唯一性我们必须对方程的初始条件作出限制,使得方程的解被唯一决定.)而对任何初始条件,我们都可以按奇偶宇称进行投影$$f(\vec{r})=\frac12(f(\vec{r})+f(-\vec{r}))+\frac12(f(\vec{r})-f(-\vec{r}))$$,然后对于给定宇称分别用已知的方法进行讨论.

(26-27)

这里的推导基本可以参见Schutz广义相对论引论(8.24)的推导.有两个细微的区别.第一,(8.24)仅仅考虑了坐标变换对度规的影响,如果仍然要在坐标变换前的位置,那么就有(27)第一行等号后的最后一项,这一项如果考虑在$$x'$$位置的度规的话就看不到它的贡献了,在实际问题中这一项也的确不重要.第二(27)中给出的协变导数而(8.24)中是一般偏导,在考虑到度规扰动和坐标变换同为一阶,且仅考虑一阶展开时,它们没有区别,因为将克里斯托弗符号用度规的导数写开发现差别是两阶小量.(但是注意,在具体计算中把直角坐标系写成球坐标系,这可不是满足无限小条件的坐标变换,故必须用协变导数形式来操作!)

这里我们要 区分 三个概念.第一个矢球谐函数及其宇称,这是按转动和宇称对称性得到的展开基,与具体物理问题无关.第二个是微小的坐标的规范变化,这可以进而给出相应的对度规的影响.第三个是规范不变性,即真正有物理意义的度规扰动方程,是在坐标规范变化下不变量满足的方程.这些量的数目决定了体系的自由度数目.对这样的量的系统构造可以系统的研究度规微扰的问题.在决定了上述物理量后,通过选择某种特殊形式的度规,可以进一步化简相应的运动方程.

这里(27)的第一步等式是坐标变换对度规的微小改变.其中$$g'_{\mu\nu},g_{\mu\nu}$$是已经包含了扰动的度规. 等式第二步把度规写为背景度规与度规的扰动.其中(27)第一行等式右边第一项中背景度规部分与最后一项组合为第二行第一项. 等式最后一步把最后的三项合并视为坐标变换后度规的微扰.之后的分析讨论并构造度规扰动部分在坐标变换下的不变量.

(29-34)

这里的推导即按(27),在极坐标给出具体计算.由(28)第二步等号给出的坐标变换的具体形式.


 * $$\delta_{02}=\eta_{0;2}+\eta_{2;0}=\eta_{2;0}=\eta_{2,0}=\partial_t\Lambda(t,r)\epsilon_{2a}\frac{\partial}{\partial x^a}Y_{LM}(\theta,\varphi)=\partial_t\Lambda(t,r)\epsilon_{23}\frac{\partial}{\partial x^3}Y_{LM}(\theta,\varphi)$$,最后一步利用了(13)以及涉及的投影度规和反对称张量;类似的$$\delta_{03}=\eta_{3,0}$$.


 * $$\delta_{12}=\eta_{1;2}+\eta_{2;1}=\Gamma^a_{12}\epsilon_{ab}\frac{\partial}{\partial x^b}Y_{LM}(\theta,\varphi)+\partial_r\Lambda(t,r)\epsilon_{2a}\frac{\partial}{\partial x^a}Y_{LM}(\theta,\varphi)+\Gamma^a_{21}\epsilon_{ab}\frac{\partial}{\partial x^b}Y_{LM}(\theta,\varphi)=\Gamma^2_{12}\epsilon_{2b}\frac{\partial}{\partial x^b}Y_{LM}(\theta,\varphi)+\partial_r\Lambda(t,r)\epsilon_{2a}\frac{\partial}{\partial x^a}Y_{LM}(\theta,\varphi)+\Gamma^2_{21}\epsilon_{2b}\frac{\partial}{\partial x^b}Y_{LM}(\theta,\varphi)$$
 * $$=\partial_r\Lambda(t,r)\epsilon_{2a}\frac{\partial}{\partial x^a}Y_{LM}(\theta,\varphi)+2\Gamma^2_{21}\epsilon_{2b}\frac{\partial}{\partial x^b}Y_{LM}(\theta,\varphi)$$

最后的复杂性来自球极坐标系中克里斯托弗符号的非零对角元的具体形式.一步利用了(13)以及涉及的投影度规和反对称张量;同理,$$\delta_{13}$$得到类似的结果,同样是因为$$\Gamma^3_{13}=\Gamma^3_{31}$$不为零.注意(30)等式右边最后一项的因子$$2$$的来源.


 * $$\delta_{32}=\eta_{3;2}+\eta_{2;3}$$与$$\delta_{23}$$也可以类似的方式计算,其中同样涉及克里斯托弗符号不为零的分量$$\Gamma^3_{23}$$.

实际上,其中$$h_0$$项,涉及$$(t\theta, t\varphi)$$的导数,按导数对因子$$\Lambda(t,r)$$的作用,可以大概"猜"出结果.

具体经验表明,参见Regge-Wheeler原文,如果给出满足某给定宇称的微小的坐标扰动,计算得到的度规的扰动具有很好的对称性.如(29-31)给出的结果.

通过这两个量可以构造一个不变量(32),它的不变性(33)意味着它对应于不依赖规范(28)的度规扰动分量.它的运动方程承载了度规扰动的物理意义.

为了进一步简化$$k_1$$满足的运动方程,如果我们选取适当的(28)的具体形式(34),我们发现(32)具有简单的形式(35).这样,我们只需要研究对应矢量分量系数$$h_1$$满足的方程即可.

实际上,不难理解,(28)本质上意味着我们可以通过规范不变的要求去掉一个(不独立的)分量,而非仅保留一个分量. 这是因为,按(29-31)我们同样可以构造$$k_2=h_0+\frac12 h_{2,t}$$,满足$$\delta k_2=0$$. 而(34)意味着$$k_2(t,r)=(h_0)_{\mathrm{RW}}(t,r)$$. 正如文中指出的,在RW原文中它们选择规范消除了含有最高阶偏导的基的系数$$h_2$$,以简化最后的运动方程.

(36)

这里有三个函数$$M_0, M_1, M_2$$,对应的选择消去$$h_0^{(p)}, h_1^{(p)}, G$$.

类似(23),这里我们来数一数极宇称情况下展开系数的数目.数学上有一个标量基,但是度规扰动有三个标量分量,故有三个系数,分别记为$$H_0,H_1,H_2$$.数学上有一个矢量基,但是度规扰动有两个矢量分量,故有两个系数,分别记为$$h_0^{(p)},h_1^{(p)}$$.数学上有个不同的张量基,度规扰动有一个张量分量,故存在两个系数,分别记为$$K, G$$.

关于基的数目参考(17-22)的结果,关于系数的记号参见(83),正因为$$h_0^{(p)}, h_1^{(p)}$$通过度规被消去了,故在记号上不区分$$h_0^{(p)}, h_1^{(p)}, G$$和$$h_0^{(a)}, h_1^{(a)}, G$$.

(37)

这里的下标是度规扰动的分量,而非矢量球谐函数系数的标记.

(38)

对于作用量展开方法,展开的一阶量是平庸的为零,而二阶才对应微扰方程.

对于运动方程展开,一阶即对应微扰方程.

(52)

这里对能量,束缚态,边界条件,以及间断本征值的一些讨论,同样参见之前arXiv:0905.2975一文的笔记.本文后面是从拉普拉斯变换的角度来讨论QNM问题.

(53)

因为对时间的依赖关系是$$e^{i\omega t}$$,所以在时间趋于无穷大时衰减要求$$\omega$$的虚部大于零.这样,因为必须是outgoing波,在$$x\to +\infty$$时对空间的依赖是$$e^{-i\omega t}x$$,所以这个因子的实部是发散的.同理,在乌龟坐标下,当$$x\to -\infty$$时,对空间的依赖因子的实部同样是发散的.这就是书中在3.1.2节提及的发散问题.

(55-56)

把主方程两边做傅里叶变换,并且两次利用部分积分把到对时间$$t$$的两阶导数转移到$$e^{-st}$$上去,得到边界项就是$$\mathcal{I}$$.这是拉普拉斯变换的基本操作.

(57)

这就是拉普拉斯变换的反演,参见胡嗣柱数理方法第一版(6.40)的Mellin反演公式.

这个反演公式是通过傅里叶变换得到的,进一步,通过推广的约当引理可以得到拉普拉斯变换的留数展开定理.

(60)

这个表达是方式(58)右边替换为$$\delta(x)$$时的解.下面证明这个结论.

显然在$$x\ne x'$$时,对应$$\left.\delta(x)\right|_{x\ne 0}=0$$,方程退化为齐次方程.因为$$f_-, f_+$$都是奇次方程的解,结果显然成立.

在$$x\to x'$$的附近,由(60)显然函数是连续的,我们证明函数的一阶导数其实不连续,这是因为$$G(s, x, x')$$的导数是对$$x$$进行的,考虑到分母与坐标$$x$$无关,那么在$$x=x'+\epsilon$$时,$$G'=\frac{f_-(s,x'){f'}_+(s,x)}{W}$$,反之在$$x=x'-\epsilon$$附近,我们有$$G'=\frac{{f'}_-(s,x)f_+(s,x')}{W}\sim\frac{{f'}_-(s,x')f_+(s,x)}{W}$$,其中注意到$$x\sim x'$$.两者的差$$\Delta G'=\frac{f_-{f'}_+-{f'}_-f_+}{W}=1$$,最后一步因为此时分子就是在$$x\sim x'$$点附近计算函数及其导数得到的朗斯基行列式,从而与坐标位置无关.

这时考虑把右边替换为$$\delta(x-x')$$的(58)式,两边对$$x$$积分,$$\int_{x_--\epsilon}^{x_-+\epsilon}dx$$,等式右边等于1,等式左边第一项就是$$\Delta G'$$,等式第二项因为函数值有限积分为零.注意到上述证明的最主要的思路是两阶导数在等式左右都是"发散"的$$\delta(x-x')$$,只能在积分意义下证明两者相等.当然,我们可以尝试直接证明格林函数形式(60)的确满足其定义方程.

具体证明需要将(60)代入方程.同样注意到分母与坐标$$x$$无关,分子可以写为$$f_-(s,x')f_+(s,x)\theta(x-x')+f_-(s,x)f_+(s,x')\theta(x'-x)$$,注意到$$\theta(x-x')+\theta(x'-x)=1$$以及$$\theta'(x-x')=\delta(x-x')$$,分子的一阶导数为
 * $$(f_-(s,x')f_+'(s,x)-f_-'(s,x)f_+(s,x'))\theta(x-x')+f_-'(s,x)f_+(s,x')+(f_-(s,x')f_+(s,x)-f_-(s,x)f_+(s,x'))\delta(x-x')=(f_-(s,x')f_+'(s,x)-f_-'(s,x)f_+(s,x'))\theta(x-x')+f_-'(s,x)f_+(s,x')+(f_-(s,x')f_+(s,x)-f_-(s,x)f_+(s,x'))\delta(x-x')$$

注意到$$\delta(x-x')$$(及其导数)和任何在$$x=x'$$为零的函数的乘积为零,故最后上式最后一项可直接取为零. 两阶导数为
 * $$(f_-(s,x')f_+(s,x)\theta(x-x')+f_-(s,x)f_+(s,x')\theta(x'-x))+(f_-(s,x')f_+'(s,x)-f_-'(s,x)f_+(s,x'))\delta(x-x')$$

利用$$f_-, f_+$$自身满足的方程,其中第一项与格林函数定义中等式左边第二项相互抵消,而第二项在除以朗斯基行列式后就是格林函数定义中等式右边的$$\delta(x-x')$$.证毕.

进一步,书中似乎试图论证,满足波函数在乌龟坐标下边界上有界的解可以被唯一的确定.但是我们的理解有所 不同 ,具体如下.由数理方法知,当$$\mathrm{Re}s>0$$时,对应齐次方程(58)的通解有两个线性独立的根$$f_\pm$$,分别满足在$$x\to\pm\infty$$时有限,当朗斯基行列式为零时,这两个根线性相关,换言之它们仅相差一个常数且在两端$$x\to\pm\infty$$都有限,从而这个根可归一.但是QNM存在的前提正是方程的解并不同时在两端有限,否则,因为(58)算符左边对应的算符是自厄米的,其本征值$$\omega$$必须为实数,与虚部不为零的假设矛盾.利用上述逻辑,我们可以证明具有复频率的QNM只能发生在$$\mathrm{Re}s<0$$的区域.格林函数(60)在$$\mathrm{Re}s>0$$区域没有奇点,如图Fig.4所示.我们具体讨论如下,我们需要解满足的是边界条件(53),与上述讨论对应的其实是分别满足边界条件(53)的两个线性独立的齐次方程的解.注意到对应关系$$s=i\omega$$,它们在$$\mathrm{Re}s>0$$或者$$\mathrm{Im}\omega<0$$时,分别都是收敛的,适用于上述讨论.这导致矛盾,即波函数可归一,频率的虚部必然为零.唯一的可能就是朗斯基行列式没有零点.反之,而在QNM存在的区域边界条件对应的线性独立的解的边界条件是发散的,故上述讨论中涉及的数理方法结论的前提不成立,这正是QNM成立的条件.

作为补充,在不涉及具体证明的情况下,我们简单讨论上述数理方法结论的前提.因为两阶常微分方程通解包含有两个积分常数.无论方程是线性或者非线性,上述结论都不变,比如具体的可以考虑线性谐振子与受迫阻尼振动方程通解中涉及的待定常数的数目.现在方程(58)就是线性两阶常微分方程,故除了一个没有物理意义的归一因子外,方程的解只能由一个物理(边界)条件确定.故分别满足边界条件(53)的两个解一般情况下是线性独立的.文中提及的结论涉及的这两个线性独立的解在边界上有限或发散的性质.

如果处于某种原因,QNM的振动是有源的,即(52)等式右边等于不为零的"源",那么这里的讨论基本仍然成立,唯一的区别是(55)的右边还需加上外源的拉普拉斯变换,这样(59)形式上也要做相应调整.但是因为格林函数是不变的,所以格林函数的极点也不变,实际上极点由分母上朗斯基行列式的零点决定.而正是格林函数的极点决定了QNM频率.因此在存在(退偶)外源的情况下,QNM的频率并不会改变.实际上,按上述思路一直到(65)的形式,把其中的$$\mathcal{I}$$替换为含外源的情况即可.决定QNM频率的部分是(65)的指数部分对时间$$t$$的依赖关系,而外源在(64)中会影响到QNM的振幅.

(62-65)

注意按推广的约当引理(比如参见胡嗣柱数理方法),积分绕行在复平面的左半平面进行,所以奇点也必须在这个无限大半圆内才会有贡献.

这里的化简是考虑了对初始条件$$\mathcal{I}$$的积分在一个有限的范围且小于求解的坐标$$x$$,换言之,$$x_1 < x' < x_{\mathcal{I}} < x$$.这样上述积分中格林函数的形式及积分都可以具体写出来,结果就是(63-65).其中留数决定了QNM频率,体现在(65)中指数上对时间$$t$$的依赖关系,而振幅是(64)与初始条件与格林函数留数项的系数决定.

(66)

这里$$f_{+}(s_n,x)=c(s_n)f_{-}(s_n)$$,两个解线性相关,是朗斯基行列式为零的$$s_n$$位置.因为在虚轴左侧,这些$$s_n$$值可以是实部为负的复数.对这个结果的更为细致的讨论参见arXiv:9909058一文以及相应的笔记.

当取$$s=i\omega$$时,发现在$$s_n$$实部为正时波函数的渐进行为满足物理上的要求,而实际上,$$s_n$$的实部为负,波函数的渐进行为与之前傅里叶分析的得到的结论一致.

另外由于$$f_-(s_q,x)$$是问题的解意味着$$f^*_-(s_q^*,x)$$也是问题的解,换言之,复频率及其波函数总是成对出现,所以如果取适当的组合,则(63)中的系数(64)是实数,基(65)也是实数.这样就确认了"通解"的完备性.比如对(65),这里$$s_q$$的实部不变,在指数上可以提出后,因为指数上虚部正好反号,相加后为实数.注意到$$s_q=i\omega_q$$,实部对应振幅的指数变化,在复平面左边正好使得振幅不会出现发散,而虚部对应振动频率,虽然在收敛性质上满足边界条件,但与空间依赖结合起来,可以对应入射波或出射波,可以因为物理上的要求不进入求和.所以物理上得到准正模式频率并非如此成对出现的.

(67-68)

对这部分的讨论在物理上是关于扰动的初期的特征,数学上对应于展开式(63)的系数(64)不是时间的函数,但是从物理上因果律的考虑,上述系数应该是时间的函数.

物理上,这是因为Fig.3对应的因果关系,所以按(67-68),影响到观测的QNM的系数(64)应该是(67).具体的,积分限必须满足这个因果律,换言之,与观测点类空的初始条件不会影响到QNM的展开系数,从而不应该在积分中被考虑.

我们补充若干讨论.

第一初始条件$$\mathcal{I}$$就是时间的函数,但是(64)中应该拉普拉斯变换,对时间的依赖转化为对$$s_q$$的依赖,所以在对$$x'$$积分后系数只是对应的QNM的频率$$s_q$$的函数,不依赖于时间.但是考虑经典电动力学中超前和滞后格林函数方法,这里的格林函数应该被认为选择为滞后格林函数,所以(64)的积分原则上会自然的给出满足因果律的结果,而事实上这里没有出现被"期待"的结果的原因是所讨论的格林函数不是时空格林函数,而只是时间域做了拉普拉斯变换后的空间的格林函数.具体的,这体现在(59)仅仅是考虑了$$x$$的依赖得到的,推导过程中把$$s$$视为参数.根据拉普拉斯变换的卷积定理变换后的函数是乘积的情况对应原函数的卷积,显然(59)对应两个拉普拉斯变换后函数的乘积,所以对应的原函数$$f(t, x)$$应该表达为卷积形式,在此意义上,书中的做法似乎有些奇怪.另外表面上这个做法无法自然的得到之后格林函数中的时间$$\delta\left(t+\frac{R}{c}-\bar{t}\right)$$,比如参见蔡胜善经典电动力学一书(12.2-3).而在(67)的积分中,通过手动修改积分下限的方法引入了这个$$\delta$$函数.我们 不清楚 如何类似于经典电动力学的处理方法达到这样的结论.

我们继续对书中做法的讨论.我们先说明一下上述结果从数学上说没有矛盾.与前面的讨论类似,考虑一个观察点与QNM振动的源分开的情况,即$$x_1 < x' < x_{\mathcal{I}} < x$$.我们考虑(59)作为方程(55)的解的问题.之前的讨论是把问题视为以$$x$$为变量的方程,通过格林函数来构造形式解的做法,具体参见之前的笔记.现在,我们把注意力集中到以$$s$$为变量的视角.由于上述假设,$$x'$$总是小于$$x$$,所以对前者的积分无非是某种求和,由于(60)中$$x_>=x$$,而$$f_+(x)$$满足(58),代入(55)等式的左边为零.观察等式右边,因为按上述假设源是局域的,$$\mathcal{I}$$在$$x$$点为零,与等式左边相等.

如文中所述,上述结果在物理上是有问题的,由此按(64),系数$$c_q$$不含时,而唯一含时的因子包含在(65)中.我们 理解 这个矛盾来源于拉普拉斯变换.因为按定义,拉普拉斯变换只涉及到原函数$$t>0$$的性质,所以本质上不可能包含因果律可能要求的(无限)过去的历史.换言之,源的过去的历史信息不会被包含在拉普拉斯变换后的函数中,所以最终得到的结果违反因果律是可以理解的.

(69)

这部分的讨论在物理上是关于扰动的末期的特征,幂函数衰减比较慢,所以在指数衰减变得很小时,波函数主要由这些幂函数衰减形式所主导.在数学上,这些幂函数的来源就是在零点绕行和实轴上割线的贡献,甚至在无穷远上大圆上的贡献也不为零,这些贡献都笼统的归入(69)等式右边"其他贡献"部分.

(76)

参见Schutz广义相对论引论一书(10.39)的推导.特别的,我们注意到液体在坐标架参考系中是静止的,参见该书(10.19-23)的推导及相关讨论.

(82)

对流体的能动张量的扰动具体实现为对能量,压强和四速度的扰动.前两者是标量场可以用球谐函数展开,后者为矢量场,类似度规扰动的矢量部分可用矢球谐函数展开.

注意到(82)第一行其实与(83)的$$(tt)$$分量的展开微扰系数有关,这是由微扰后的速度仍然归一的要求得到的.换言之,四速度归一这个要求对应的方程去掉了一个微扰展开的系数,即微扰的自由度.

(83)

参见之前(36)的笔记,这里列出了在通过度规进一步简化前所有的系数.其中$$h_0^{(a)}, h_1^{(a)}, h_2$$是对应轴宇称的系数,$$H_0, H_1, H_2, h_0^{(p)}, h_1^{(p) }, K, G$$是涉及极宇称的系数.由于度规的选取,轴宇称可以消去$$h_2$$,极宇称可以消去$$h_0^{(p)}, h_1^{(p)}, G$$.具体参见书上之前的讨论和笔记.

我们注意到,最后剩余的独立的奇偶宇称扰动所占据的度规扰动分量正好没有任何重叠.又参见Cardoso综述的相关讨论.

(84-87)

这是ADM分解坐标系中的扰动(关于时间演化的)方程以及(只与空间有关的)约束方程.

在式子(87)下方是ADM分解的一些重要的定义的描述.技术细节必须参考具体的书籍.

(89)

因为按(12-16),基含有一个标量,两个矢量,三个张量.这里的空间外曲率具有标量,矢量,张量各一个,故有6个系数.其中$$K_1, K_2, K_4, K_5$$是极宇宙,$$K_3, K_6$$是轴宇称.

(91-92)

这里涉及压强,密度,速度扰动(80-82)的系数,它体现为爱因斯坦方程右边能动张量的扰动,度规的扰动(83)的空间分量的系数,以及外曲率扰动(89)的系数.按宇宙分量,形式上得到(91-92)等式右边的系数的集合.

这里具体方程的推导 不清楚.

WKB-type techniques

WKB近似的讨论参见Sakurai量子力学一书(2.4.39)附近的讨论.

量子力学中的WKB解是一种 半经典 近似解,它在体系波长远小于势场发现显著变化的特征尺度上成立.所以主要在短波的情况下适用.前者对应能量和势场的差距很大,后者对应能量与势场的差距除以势场的空间导数.而所谓WKB方法就是在两端都采用WKB解,而在满足$$V(x)=E$$从而近似解不再适用的拐点附近采用把势场写成某种解析形式从而获得问题的解析解.最后通过选取合适的积分常数把所有的解连接起来.

QNM问题的方程是类时的,所以可以适用改变的WKB方法,而对拐点处势场的不同近似直接决定了方法对应的阶数.

本文的接下来部分讨论了,QNM的波函数的正交性,能量分割,从引力波数据中获得QNM频率的方法,附录中讨论了转动情况下黑洞和星体的QNM.

Quasinormal modes of stars and black holes, gr-qc/9909058, by Kostas D. Kokkotas, Bernd G. Schmidt
(3)

本文首先从自对偶算符与Hilbert空间的角度讨论了正规模式.除了量子力学或者线性代数中厄米矩阵的本征值必然为实数,从而本征值不是实数的矩阵必然不是厄米矩阵的角度外,并不理解书中的叙述.

(11-13)

这里的讨论是比Hans-Peter Nollert一文更为详细的,可以参考该文的笔记.

这里(11)是严格的,因为势场在$$|x| > x_0$$时为零.如果问题的解不存在两个不同的解在某些区域严格的相等,那么(12)的就是满足边界条件的唯一的解在区域$$|x| > x_0$$的形式.

但是正如Hans-Peter Nollert一文中指出的,在一端满足收敛的物理上合理的渐进行为的解在另一端一般不满足物理上合理的渐进行为,而在某特殊情况下,两个解线性相关时,才能保证解在两个边界上都是物理上有意义的,这个要求正是(13).不难理解,它只会对应离散的值$$s_n$$,并且,这些值为实部小于零的复数.另一方面,当两个解为线性相关时,它们的朗斯基行列式为零.而这正对应了格林函数(9)发散的情况.

接着,书中指出,在$$s_n$$的实部为负的情况下,(13)两边的函数在$$x\to \pm\infty$$时都为指数发散,这正是因为他们在$$s_n$$实部为正的情况下为物理解. 这种发散的情况,形式上与傅里叶分析得到的波函数的空间部分在视界与无限远处发散的结论一致.

实际上,另外一种讨论QNM频率的方法是利用格林函数法求解,并考虑推广的约当引理,得到复平面上环路积分的结果为留数之和,而后者又正对应了格林函数发散的极点.参考之前Hans-Peter Nollert一文的相关笔记.这一部分在本文仅在(15)给出结论,但没有给出详细的推导.

(21)

本文对于矢量与张量球谐函数的讨论是比较粗略的,具体一些的参考引文或者Hans-Peter Nollert一文的相关笔记.

(27)

第二式应该是$$f_-\sim e^{+sr_*}$$,原式中$$x$$应该是$$s$$.

(28)

并 不清楚 如何得到这个展开,但是这里的讨论是关于$$f_\pm$$的解析延拓的性质,和极点与割线的位置有关.

Fig.2

这里可以很清楚的看到QNM频率的实部是可以取负号对称的,在拉普拉斯变换的情况下,比如参见Hans-Peter Nollert一文的相关笔记,知道$$s_n\to s_n^*$$是成对出现的,而$$s_n = i\omega_n$$,故两个一致.

(39)

这是一个受到一个连续参数$$a\omega$$控制的角度部分的本征值问题.其解就是球面调和函数(spheroidal harmonics).从中我们可以得到本征值$$E$$,但是问题的输入$$\omega$$是连续的.

从几何的视角出发,这是考虑了比如椭球面上的坐标系的结果.

(40-42)

这是径向方程,它得到QNM复数分离解$$\omega$$的机理本质上与一般QNM的径向方程一致.如书中提到,如果解是平方可积的,那么通过傅里叶变换就能得到连续的正的频率$$\omega$$,对应的傅里叶展开系数就是(42).这是频率是连续的,对它的积分正对应傅里叶逆变换.

事实上,正因为解不一定是平方可积的,我们只能对时间进行拉普拉斯变换,这使得(40)的右边出现"源".其对应的格林函数的奇点以及梅林逆变换涉及的QNM贡献与之前的讨论内涵一致.

本文提出KN黑洞事实上 并没有 被真正解决.这点在后面6.1.1又再次被提及.

Quasinormal modes of black holes: from astrophysics to string theory, arXiv:1102.4014, by R. A. Konoplya and Alexander Zhidenko
这篇文章主要就是介绍了一些数值方法,除此以外文章并没有太多深度,且有多处语言上的低级错误.

(3.34-36)

按Sakurai量子力学一书,WKB方法主要是将两端能量低于势场区域方程的经典展开解与势场中间能量高于势场的类似解析延拓后得到的展开解在能量与势场相等的拐点上匹配.这样可以得到间断的能级以及对应的波函数.

在黑洞QNM问题中,势场与能量的关系正好相反,势场存在最大值而非最小值.实际上因为势场在无穷远处为零,如果势场存在负值,那么对应的波动(而非束缚态)解意味着能量能够源源不断的从无穷远处流向势场负值区域.换言之,这一般意味着QNM解是不稳定的.

这里,在第一和第三区域的波函数满足关系(3.25).为了从 物理上理解 为何存在这个关系,我们可以与粒子被势场的散射情况做类比.在散射问题中,粒子的平面波初态被势场散射得到平面波终态,初态和终态是问题的解在时间分别趋于正负无穷大且粒子远离势场时的渐进行为.注意到,上述提及的问题的解实际上是含时运动方程(薛定谔方程)的严格解.简单的说,因为入射平面波被势场散射,所以(3.25)的对角元不为零.反过来,如果不涉及散射过程,那么(3.25)只会包含非对角项,注意到(3.21-24)的对平面波传播方向的定义.在此意义上,(3.25)中的矩阵可以被形象的称为$$S$$矩阵.

进一步,通过波函数在拐点上的连接条件,文中具体得到了(3.34-35).并且未加证明的指出(3.34)的形式在高阶情况下仍然成立.

由(3.34)和边界条件,我们可以得到能量离散化条件(3.36).这就是WKB方法对QNM频率离散化的物理解释,这与拉普拉斯s域格林函数极点的解释有相辅相成之妙.

最后,作者指出利用(3.34)的形式以及上述能量离散化手续使得在计算过程中并不真正需要讨论连接条件,而是直接求解波函数在区域II的解即可.

(3.44-48)

这里给出了如何利用Prony方法从数值差分得到的含时振动解中提取出QNM频率,具体问题被化成矩阵方程.这里给出了计算的主要过程.这个方法是由Cardoso率先应用的.

Fig.11

这里证明了,如果频率的实部不为零,那么频率的虚部必然是负数,即QNM稳定.所以若QNM不稳定,频率的实部必然为零.这个结论与实际的数值计算相符.

(9.4-5)

这是AdS空间中的(2+1)维BTZ黑洞的准正模式与对应边界上的2维场论格林函数极点的对应关系的重要结论.

Quasinormal modes of black holes and black branes, arXiv:0905.2975, by Emanuele Berti et al.
本综述对QNM研究的方法与结果的文献罗列比较齐全.对QNM物理的讨论仍需参考其他相关文献,对AdS/CFT的应用可以结合Makoto Natsuume的入门文献(arXiv:1409.3575)一起学习,而关于天体黑洞引力波探测的相关计算也是很值得学习的.

(7)

这里在分母上有一个径向的待定函数.它的选取由林恺指出,可以用待定的方式$$\Phi(r,\theta,\phi)=B(r)R(r)Y_{lm}(\theta,\phi)$$,然后令最后的径向方程(10)对乌龟坐标的一阶导数前面的系数为零,即得该待定函数必须满足的形式.

这个推导的非平庸之处是最后待定的$$B(r)$$与$$g_{00}=-f(r)$$的具体形式无关.

(12-13)

具体细节参见Nollert综述(83)的讨论.注意到最后剩余的独立的奇偶宇称扰动所占据的度规扰动分量正好没有任何重叠.

按张量球谐函数的分析,最初,独立扰动系数的总数是10(=3+7),这正好等于爱因斯坦方程的数目.而在通过度规可以消去一些扰动分量,一共是4(=1+3)个分量(它们分别是$$h_2,h_0^{(p)},h_1^{(p)},G$$),故剩余6(2+4)个独立的分量,这对应6个独立的方程.实际上,奇偶宇称的情况分别可以被进一步化简,最后各自得到一个主方程.而上述剩余的独立分量与主方程中波函数的关系是(16)以及(17-19).

(25-26)

旋转Kerr黑洞背后的数学是四分公式,目前只适用于四维时空.他通过局域基而非坐标系展开的方式来简化运动方程的具体形式.

(29)

如书中所述,当指数不为正整数时,从黑洞视界的出射波(并非物理上允许的入行波)存在单值性问题.这是因为,当指数不是正整数是,对应的复变幂函数存在割线.这样,在趋于视界$$(r-r_+)\to 0$$时,$$(r-r_+)^{2i\omega/f'(r_+)}$$函数本身不是单值的,也不会趋于零.当指数为负整数时,上述结果趋于无穷大.最后当指数为零时,上述表达式为不定式.后面讨论的三种情况都是物理上不允许的.

(31)

按林恺提示.把AdS空间度规具体形式(3),保留最大项$$f\sim r^2/L^2$$,并注意乌龟坐标变换$$dr_*=dr/f$$,利用具体势场形式(20),代入运动方程(10).这时我们对波函数,及其各阶导数项都仅保留贡献最大的部分.对应的运动方程,对$$s=1,2$$时为$$(r^2\Psi'(r))'-2\Psi(r)=0$$,对$$s=0$$时为$$(r^2\Psi'(r))'=0$$.利用比如mathematica易得通解即为(31).

如果因为失误,在$$s=0$$时,多保留了势场中不占主导的第一项,对应得到的方程为$$(r^2\Psi'(r))'+\Psi(r)/r^2=0$$.它的通解为$$\Psi(r)=c_1\cos(1/r)+c_2\sin(1/r)$$,不难证明,考虑$$r\to \infty$$时把这个通解以$$1/r$$为小量展开,即得上述结果.

文中指出,由于对波函数归一的要求,通解中的常数项必须为零.这个要求成为数学方程的边界条件.

(38)

这里涉及QNM的初始条件的问题,需要 进一步 学习.

(123)

这里对应10维超引力理论的时空度规,它是AdS/CFT中涉及的弦论的经典近似.它的进一步近似是5维史瓦西AdS黑膜时空(125),直观的,它又等价于半径特别大的黑洞(126).具体内容有待 进一步 学习.

(129)

当扰动具有空间转动不变性,(129)左边函数自变量$$x$$在空间转动下不变,这意味着(129)右边指数部分以外的扰动的动量空间函数自变量$$p$$在(反向的)空间转动下不变.

由文中(134)下的讨论,因此,扰动可以在确定动量方向为$$z$$轴后剩余的$$O(2)$$对称性来分类.按定义,这时的对称性实际上是SO(3)的小群.

(132-133)

由(132)决定的格林函数分母上的$\Gamma$函数与分子上的导数的比值,可以证明,从零开始的非正整数都为极点.这就导致了(133).

(135-137)

这部分的推导不清楚,需要 学习.

(139-140)

这里讨论的是黑膜QNM中得到流体力学模式.(139-140)是连续介质,或者流体的色散关系.换言之,我们考察波动方程(时空两阶偏微分方程)在傅里叶变换后的频率空间的解的形式.一般情况下,我们知道,波的频率是波长的函数.按量子力学,频率对波长的导数为波包的群速度,对应给定相位的运动速度.对自由粒子波函数,$$\frac{d\omega}{dk}=\frac{\omega}{k}$$,相速度等于群速度.

对应到的引力理论的QNM,在之前讨论的情况中,频率似乎并不是动量的函数,而仅仅是主量子数,角量子数与磁量子数$$(n,\ell,m)$$的函数.而实际上,QNM问题可以直接类比于量子力学克莱因高登方程的求解,而数学上后者就是波动方程.因此,我们相信可以通过进一步的对比,找到这两个表面上不同的结论之间的关系.我们注意到,动量对应波动解中的波长或者波矢.考虑薛定谔方程最简单的一维无限深势阱的情况,它的解,参见苏汝铿量子力学(2.4.3)和(2.4.4),$$E_n=\frac{n^2\pi^2\hbar^2}{8ma^2}$$,而波矢其实为$$k\equiv\frac{2\pi}{\lambda}\equiv \alpha=\frac{n\pi}{2a}$$,由此$${E_n}=\frac{\hbar^2 k^2}{2m}$$.故频率与波矢之间的确有关,即$$\omega=\frac{E_n}{\hbar}=\frac{\hbar k^2}{2m}$$.这其实就是自由粒子的"色散关系".因此,我们理解,对于引力QNM,是可以通过选择合适的独立变量,把准正模式表达为对动量,以及其余量子数的函数.

正如文中在Fig.14下方讨论中指出的,由(139-140)看到,流体力学模式的一个重要性质是当$$q\to 0$$是有$$\omega\to 0$$.换言之,在物理上有意义的长波极限下,体系的激发元的能量可以趋于零,这与QNM对应的准粒子概念有明显的不同.一个重要的区别是,流体力学模式对应连续,而非离散的$$q$$.作为比较,文中指出,黑洞QNM原则上因为$$q$$是离散的,不存在流体模式,但是在黑洞趋于黑膜的极限下,能够近似的得到流体模式.同时,由(139-140)我们看到,这种激发模式或者不会衰减,或者衰减非常缓慢.

量子场论结果(141-142)与QNM计算结果(143-144)的一致,可视为两元性理论的重大里程碑.

(154-155)

这是黑洞质量与QNM频率的关系.接着文章讨论了地球探测器和空间探测器的频率测量限制,从而反推对应的黑洞质量.地球探测器受自身尺度限制存在频率下限$$f_s$$,但无上限,而空间探测器同时存在下限和上限.由频率限制可以推知所需测量的黑洞的质量范围.

综述的之后部分涉及数值相对了结果以及引力波的测量,没有仔细阅读,需要进一步 复读.

本文档除了包括推导, 疑惑 外,做 读书重点 的记录 $$$$