Research Paper Notes on the Boltzmann Equation and its Hydrodynamic Limit

Research Paper Notes on the Boltzmann Equation and its Hydrodynamic Limit

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参考文献
The Chapman-Enskog method and method of moments
 * On the Kinetic Theory of Rarefied Gases, Commun. Pure App. Math.2 (1949) 331-407, by Harold Grad
 * Transient Relativistic Thermodynamics and Kinetic Theory, Ann. Phys. 118 (1979) 341-372, W. Israel and J. M. Stewart
 * Boltzmann Equation and Moment Equations in Curvilinear Coordinates, Fluid Dyn 2 (1967) 107–109, by E. M. Shakhov
 * The lattice Boltzmann method for nearly incompressible flows, Jour. Comp. Phys. 431 (2021) 109713, by Pierre Lallemand, Li-Shi Luo et al
 * Derivation of transient relativistic fluid dynamics from the Boltzmann equation, arXiv:1202.4551, by Gabriel S. Denicol, H. Niemi, E. Molnar, D.H. Rischke

Exact solution of the Boltzmann equation
 * A new exact solution of the relativistic Boltzmann equation and its hydrodynamic limit, arXiv:1408.5646, by Gabriel S. Denicol, Ulrich Heinz, Mauricio Martinez, Jorge Noronha, and Michael Strickland
 * Studying the validity of relativistic hydrodynamics with a new exact solution of the Boltzmann equation, arXiv:1408.7048, by Gabriel Denicol, Ulrich Heinz, Mauricio Martinez, Jorge Noronha, Michael Strickland

Anisotropic hydrodynamics, hydrodynamic attractor
 * The anisotropic non-equilibrium hydrodynamic attractor, arXiv:1709.06644, by Michael Strickland, Jorge Noronha, and Gabriel S. Denicol
 * Analytical attractor and the divergence of the slow-roll expansion in relativistic hydrodynamics, arXiv:1711.01657, by Gabriel S. Denicol and Jorge Noronha

On the Kinetic Theory of Rarefied Gases, Commun. Pure App. Math.2 (1949) 331-407, by Harold Grad
这是第一篇将玻尔兹曼方程按张量展开(14动量基展开),从而得到对应的流体力学方程的工作.

我们指出,Chapman–Enskog方法和moments方法虽然都是针对玻尔兹曼方程的近似手段,但一般认为是两种独立的方法. 两个方法都采用展开的形式,而展开的出发点都是热平衡分布. 具体的,利用与得到刘维尔定理类似的方式可以证明Jeans 定理,运动积分的任意函数是碰撞项为零的情况下玻尔兹曼方程的解.所以,局域热平衡分布同样是在热力学极限下的平衡态玻尔兹曼方程的解.

在上述基础上,Chapman–Enskog方法考虑了Knudsen数展开. 它对应的运动方程是按Knudsen数的各阶贡献得到的. 物理上,Knudsen数对应了偏离热平衡迟豫时间远小于体系宏观(流体)运动的特征时间情况下,两个时间尺度的比值. 所以这个展开对应了在流体力学描述极限附近的展开,与物理上流体力学作为等效长波理论的理解一致. 而在实际应用中,在数学上这个展开在高阶时导致偏微分方程的不稳定性.

另一方面Grad提出的动量矩(moment)展开,是在局域热力学平衡分布附近对单粒子分布函数的展开. 它对应的运动方程是各阶动量矩所满足的方程. 一方面,为使得方程封闭,方程在忽略高阶动量矩后在某阶被截断.另一方面,与状态方程一起,可将动量矩与流体力学理论中涉及的宏观物理量,如温度压强粒子流剪切张量等,联系起来. 在相对论情况下,二阶的Israel Steward理论涉及14个动量矩,称为14动量矩展开方法.这样得到的流体力学运动方程是收敛的. 但动量矩展开方法原则上并被不限制在某物理小量附近展开.

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Transient Relativistic Thermodynamics and Kinetic Theory, Ann. Phys. 118 (1979) 341-372, W. Israel and J. M. Stewart
本文即著名的连接粘滞流体的Müller-Israel-Stewart模型. 基于一阶粘滞流体理论的因果性问题,这个工作有两个出发点. 第一是非平衡态下推广的热力学,它是基于熵流应该包含两阶项以引入延迟效应避免因果困难的现象学论述. 第二是利用moments展开由输运模型对流体力学方程的推导,它是基于这个展开可以导致双曲线型的偏微分方程避免因果性困难的数学角度论述. Israel正是广义相对论中曲面Israel条件的作者,本文不易读懂.

(1.1-1.4)

这里(1.1)是平衡态广延体系结果的推广,(1.2)同样是准静态过程热力学第一定律的推广,但被推广到偏离平衡态的情况. 如果只考虑准静态过程,则(1.3)是(1.1)的变分与(1.2)的差.在(1.2)被推广到非平衡态情况后,(1.3)也同样适用于平衡态到非平衡态的偏离. 考察从平衡态(1.1)出发到非平衡态的偏离(1.2),两者之和即(1.4). 又参见(2.13-15)和(2.17-20)附近的讨论

(1.5)

将(1.4)求散度,考虑守恒方程(2.1),以及(1.3)即得(1.5). 又参见(2.27)附近的讨论. 注意到这里的一个细节.以粒子数为例,在热力学关系中粒子数是可变$$dn$$,而粒子数守恒是指考虑粒子到在热力学过程中粒子没有湮灭,粒子数流守恒$$\left(N^\mu\right)_{,\mu}=0$$.更具体的,如通过选取参照系定义流体速度$$u^\mu$$的前提下,我们可以有$$N^\mu =nu^\mu$$.

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Boltzmann Equation and Moment Equations in Curvilinear Coordinates, Fluid Dyn 2 (1967) 107–109, by E. M. Shakhov
(1.9)

这是玻尔兹曼方程在曲线坐标系中的一般形式,在很多书籍和文献中都有直接应用.本地下载链接

这个推导中最重要的一点是,当以坐标变换的方式把动量分量也表达为曲线坐标系的形式,玻尔兹曼方程会牵涉到对曲线坐标系中动量分量的偏导,尽管最初的玻尔兹曼方程(1.1)不含外力,对动量的偏导无关.

这是因为在曲线坐标系中的动量分量不仅仅是在笛卡尔坐标系中动量分量的函数,还是曲线坐标系中坐标分量的函数.即由(1.4),
 * $$q_i=q_i(x,y,z)$$
 * $$\xi_i=\xi_i(x,y,z,\xi_x,\xi_y,\xi_z)$$

反之亦然,即
 * $$\xi_x=\xi_x(q_1,q_2,q_3,\xi_1,\xi_2,\xi_3)$$

这样原来的对坐标的偏导不再具有之前的形式.具体的
 * $$\left.\frac{\partial f}{\partial q_i}\right|_{q_{j\ne i},\xi_1,\xi_2,\xi_3}\ne \left.\frac{\partial f}{\partial q_i}\right|_{q_{j\ne i},\xi_x,\xi_y,\xi_z}$$.

所以方程右边的新增的项就是为了补偿这个区别,而把$$\xi_x$$等三个变量看做中间变量来得到需要的偏导
 * $$\left.\frac{\partial f}{\partial q_i}\right|_{q_{j\ne i},\xi_1,\xi_2,\xi_3}=\left.\frac{\partial f}{\partial q_i}\right|_{q_{j\ne i},\xi_x,\xi_y,\xi_z}+\left.\frac{\partial f}{\partial \xi_x}\right|_{q_1,q_2,q_3,\xi_y,\xi_z}\left.\frac{\partial \xi_x}{\partial q_i}\right|_{q_{j\ne i},\xi_1,\xi_2,\xi_3}+\cdots$$

这个结果实际上并不是直观的,很容易搞错.注意到经典力学中的广义坐标和动量的变换牵涉到完全类似的问题.

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The lattice Boltzmann method for nearly incompressible flows, Jour. Comp. Phys. 431 (2021) 109713, by Pierre Lallemand, Li-Shi Luo et al
本文是格点玻尔兹曼方程的综述文章,其中对由玻尔兹曼方程推导流体力学方程的讨论让人收到启发. Hilbert展开对热力学态的定义与其他展开都不同,其他展开对任何热力学量的高阶矩平局值都(定义)为零. Chapman-Enskog和Grad展开都是把分布函数在热力学平衡,它是玻尔兹曼方程的解,附近展开. 它们的不同是前者把分布函数写为热力学量及其对时空偏导的函数(2.31)并不直接涉及对动量的依赖,后者对动量矩展开,对时空坐标的依赖来源于展开系数中. 把分布函数的展开形式代入动量矩方程,并做相应的截断,即得到各阶流体力学方程. 虽然两个方法基于的物理思想是统一的:流体力学并不偏离平衡态很远,对应长波近似(波长远大于微观尺度),在平衡态附近速度偏离不大故动量矩展开式合理的;但是它们具体的展开实现中并没有完全用到全部的物理假设,因此两个展开可以被视为是独立的不同的方法. 而之后Denicol等的工作可以视为是对这些物理考察的进一步细化.

(2.20)

这里对动能部分给出了分解,表达为对应随机运动的温度部分和对应流体整体运动的平动部分.

(2.21-22)

这里(2.21)是动量矩方程的一般形式.低阶动量矩的时间偏导可以表达为高阶矩的空间散度以及碰撞核的动量矩平局值. 另一方面(2.22)是具体的最低阶的方程.方程左边是热力学量,方程右边是对热力学量的偏离. 这些方程不依赖于具体的分布函数的展开方式:Hilbert,Chapman-Enskog和Grad方法.

(2.44)

这是Hermite正交张量多项式,它通过对"生成函数"的导数得到,而生成函数正好与对经典统计力学对热平衡态的偏离一致,即指数上的玻尔兹曼分布.

(3.1)

值得指出,格点玻尔兹曼方程对速度同样离散化,而且速度只涉及最小的若干数值,且在静止流体附近展开.这在物理上是有很大局限性的.

(3.25)

这里的碰撞核给出的仍然是多重弛豫时间近似,又参见(4.18)附近的推导和讨论.这与Denicol文章的结果一致,可见后者并非该文章得到新结果.

(5.2-3)

从这里的推导可以看到,冯纽曼分析本质上主要是通过傅里叶变化来分析色散关系,和相关的算法稳定性.而不是算法稳定性或者截断误差传递本身.

换言之,它最核心的是分析方法而非分析对象.

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Derivation of transient relativistic fluid dynamics from the Boltzmann equation, arXiv:1202.4551, by Gabriel S. Denicol, H. Niemi, E. Molnar, D.H. Rischke
本文为Gabriel经典之作,必须学习,理解,融通,超越.

(3)

波色子对应$$(1+f_k)$$因子的来源.

甚至于文中引文中教科书都没有给出证明.因为对费米子$$(1-f_k)$$因子直接来源于泡利不相容原理.对玻色子同样的推演则无法实现.在网上搜索苦久.终于找到了一个推导.其实考虑在体系达到动态平衡的情况下,分布函数$$f_k$$对时间全微分为零,换言之,方程右边碰撞项的贡献等于零,被积函数为零意味着
 * $$\begin{align}

f_pf_k(1\pm f_{p'})(1\pm f_{k'})-f_{p'}f_{k'}(1\pm f_p)(1\pm f_k)=0 \end{align}$$ 换言之
 * $$\begin{align}

\frac{f_p}{(1\pm f_p)}\frac{f_k}{(1\pm f_k)}=\frac{f_{p'}}{(1\pm f_{p'})}\frac{f_{k'}}{(1\pm f_{k'})} \end{align}$$ 两边取对数后,是和守恒的形式.按Landau统计力学的思路,每一项对应两体碰撞过程的守恒量的函数,即
 * $$\begin{align}

\ln\frac{f_p}{(1\pm f_p)}=-\beta{(\epsilon_p-\mu)} \end{align}$$ 而对应的$$f_p$$分布函数必然对应费米狄拉克或者波色爱因斯坦统计.
 * $$\begin{align}

{f_p}=\frac{1}{exp(-\beta{\epsilon_p-\mu})\pm 1} \end{align}$$ 从而反过来解释了玻色子的$$(1+f_k)$$来源.

(4-11)

流体力学物理量与玻尔兹曼方程动量矩中间的关系.

重要的定义,需要一一验证.

自由度数目. 首先由(4)第一式定义的粒子流$$N^\mu$$含4个分量,按与四速度$$u^\mu$$平行与垂直分解4=1+3,分别对应(8)第一式等式右边的$$n,n^\mu$$的独立分量. 而由(4)第二式定义的4X4能动张量是对称的,含10个独立分量,10=1+(1+3)+5,分别对应(8)等式右边的$$\epsilon,P_0,\Pi,\pi^{\mu\nu}$$的独立分量.

注意到这里(4)的第一式的量纲值得一提,粒子动量的(动量空间)平均为粒子流. 这是因为由洛伦兹协变性的要求,质壳上的积分$$d^4k\delta(k^2-m^2)=\frac{d\mathbf{k}}{k^0}\to dK$$为洛伦兹不变量(具体见(3)下面第二行对应表达式.),$$f(\mathbf{k})$$为动量以及实空间密度,在自然单位下同样无量纲. 这样,$$f(\mathbf{k})d\mathbf{k}$$是坐标空间粒子数密度,为密度量纲. 这样$$N^\mu$$的零分量对应粒子数密度,可以理解$$\langle E_k\rangle_0=n$$. 同理,能动张量的零分量,在随动系中除掉$$k^0$$因子后对应于$$\langle E_k^2\rangle_0=nm$$.它的洛伦兹变换方式对应一个两阶张量的零零分量.又参见比如A First Course in General Relativity by Bernard Schutz的(4.12)附近的讨论.

这里一方面是流体力学能动张量的分解方式,另一方面是分解后的物理量与玻尔兹曼方程中动量矩之间的关系.

(10-12)

这里引入了局域热平衡分布,以下标"0"标记. 由此区分了压强和体粘滞系数,并给出定义.

(13)

这里的$$\tilde{f}$$的定义在(3)下面.虽然不清楚为什么要这样定义,但是$$\phi$$还是承载了对平衡态偏离的信息,且刨去了$$f\tilde{f}$$因子.

(17)

这里对$$k^\mu$$的展开,由于(7),包括对速度平行部分$$E_k$$和垂直部分$$k^{<\mu>}$$的展开.这里先按后者展开,而展开系数为前者的函数.

对$$k^{<\mu>}$$采用的基,对应洛伦兹群不可约表示的,满足正交归一关系(16)的基(14)来展开.

(21)

为了满足归一条件(20),这里归一条件中又反过来和$$k$$有关.

(26)

这是本文对分布函数展开的一般表达式. 注意到因为展开系数其实是$$\rho_r^{\langle\mu_1\cdots\mu_\ell\rangle}$$,它是之后线性化后的玻尔兹曼方程(29-31)中的变量.

(29-32)

将(28)代入(27)得到运动方程方程(29-31). 对$$\rho_r^{\langle\mu_1\cdots\mu_\ell\rangle}$$导数在文中被称为随动导数,因为它是时空梯度和四速度上的缩并. 因为玻尔兹曼方程牵涉到碰撞项$$\mathcal{C}[f]$$,在将(28)代入(27)中,相应部分即(32)相当于对碰撞项同样以张量基展开,而展开系数$$C_r^{\langle\mu_1\cdots\mu_\ell\rangle}$$在方程(29-31)中出现. 这里的方程对应定义(27)中因子$$E_k^r$$任意次方$$r$$,文中指出,方程动量矩只需考虑到两阶即可满足本文后续讨论的需要.

(33-41)

这里方程(29-31)的变量为$$\rho_r^{\langle\mu_1\cdots\mu_\ell\rangle}$$,注意到它们都是(随动)导数的一阶方程. 接下来,我们通过较为繁琐的定义和代换来实现把方程中涉及到的其余相关系数都表达为热力学量. 在这些量中,$$\sigma^{\mu\nu},\theta,\omega^{\mu\nu}$$是熟知的与体粘滞,剪切粘滞和涡旋相关的输运物理量. 另外,系数$$\alpha_r^{(0,1,2)}$$由(36-38)定义,已经表达为(39)中定义的热力学量$$I,J$$的函数. 在(33-34)涉及到的$$\alpha_0,\beta_0$$与局域平衡态的化学势与温度有关,在之前(9-10)附近被定义.

而实际上,$$\rho_r^{\langle\mu_1\cdots\mu_\ell\rangle}$$本身也与流体力学宏观量有关,对于低阶量,它们与宏观量的关系是已知的,比如参见(41).

(42-43)

这里展开是关于两个小量进行的.第一个是关于Knudsen数,是指微观线度(平均自由程)远小于宏观线度(压强发现明显变化的尺度). 具体的,平均自由程必然体现在玻尔兹曼方程右边的碰撞项中,直观的例子可以参见文章后面给出的例子. 在实际中,文章指出,这个近似相当于在(49)中忽略高阶动量矩方程中的与迟豫项$$\chi_i^{(n)}$$对应的随动导数$$\dot{X}_i^{\mu_1\cdots\mu_\ell}$$. 如(52)下方所讨论的,这些动量矩的为Knudsen数的一阶量.

第二个在文中被称为Reynolds数的倒数,是说系统偏离平衡态不远,即粘滞项远小于能量密度和压强. 这些量在玻尔兹曼方程中都有出现,原则上需要人为的把相关项表达成比值的形式然后按大小进行取舍. 在实际中,文章通过对导数项的阶数来实现对Reynolds数的倒数的展开,按(43)附近给出的讨论,这与Gradient expansion的思想一致.

(46-50)

这里通过线性组合重新定义变量,从$$\rho_i^{\mu_1\cdots\mu_\ell}$$变为$$X_i^{\mu_1\cdots\mu_\ell}$$,把矩阵$$\mathcal{A}^{(\ell)}_{ij}$$对角化. 这样通过代换,并在忽略非线性项后,可以把运动方程(29-31)化为(49)的形式. 注意到虽然这里矩阵对角化过程和得到本征值$$\chi_i^{(n)}$$都仅仅给出了形式化的结果,但是原来方程(29-31)右边所保留的最低阶输运项$$\theta,I^{\mu\nu},\omega^{\mu\nu}$$形式不变. 最后,$$X_i^{\mu_1\cdots\mu_\ell}$$的重要性通过其本征值来决定,衰减最"慢"对应最重要的模式.

(51-57)

这里进一步假设模式的重要性直接由动量矩的阶数决定,以简化分析. 最重要的模式保留对应了本征值的迟豫方程,对于其他本征值直接用渐进值代入. 这个近似和之前他们的文章arXiv:1102.4780相关,其实,这里的一些表明上相对复杂的计算的物理实质在文章arXiv:1102.4780给出了更加清晰的分析.

在代回$$\rho_i^{\mu_1\cdots\mu_\ell}$$的展开得到(54),(54)与(41)结合再代回(54)给出了所有动量矩用流体力学宏观量的表达的形式(56). 注意到,由(57)的具体形式,我们指出这里的结果牵涉到碰撞项的具体计算. 对于$$r$$为负数的情况结果在(60)中给出.

(62-67)

这里导出运动方程. 如文中指出,把动量矩方程(29-31)两边乘以$$\tau_{ij}^{(\ell)}$$矩阵,并针对碰撞部分利用(62),最后利用(56)和(60)将所有的动量矩替换为流体力学宏观量. 具体的计算中,还将牵涉到比如把时空散度中的时间偏导和空间偏导分开,以套用具体的RK算法.

(68)

这里在形式上把碰撞项(通过矩阵本征值)和粘滞系数联系起来了.

(69-70)

这里考虑到退回14动量矩近似,且碰撞项近似为固定散射截面的特殊情况,具体计算碰撞项相关的(45-46)中涉及的积分.

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A new exact solution of the relativistic Boltzmann equation and its hydrodynamic limit, arXiv:1408.5646, by Gabriel S. Denicol, Ulrich Heinz, Mauricio Martinez, Jorge Noronha, and Michael Strickland
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== Studying the validity of relativistic hydrodynamics with a new exact solution of the Boltzmann equation, arXiv:1408.7048, by Gabriel Denicol, Ulrich Heinz, Mauricio Martinez, Jorge Noronha, Michael Strickland ==

这两篇文章讨论了把流体力学满足Gubser(共形)对称性的流体力学方程的解析解推广到Boltzmann方程的解.

由于这个解满足Bjorken对称性且包含对称的横向流,同时因为这个解是解析的,所以对于Boltzmann方程和很多流体力学方程的数值模型有引导作用.

(5) Gubser解涉及到两个坐标系之间的映射关系.在一个坐标系中对称性的表现很直观,而在另一个平直空间的坐标系对应物理问题的实际坐标空间.

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The anisotropic non-equilibrium hydrodynamic attractor, arXiv:1709.06644, by Michael Strickland, Jorge Noronha and Gabriel S. Denicol
这个工作是讨论了Boltzmann方程对应的各向异性流体力学aHydro以及粘滞流体力学的吸引子解.可视为是arXiv:1503.07514的更多的例子和数值验证.

首先,这个工作是从弛豫时间近似的Boltzmann方程出发,推导出对应的aHydro方程,然后和已经的流体力学方程的解比较MIS,DNMR,NS.比较对象还包括原Boltzmann方程的严格解,但是他的差别和aHydro的在慢滚近似下的解差别很小.最后的结果包括两个方面,第一是数值上展示了aHydro和DNMR模型的确存在吸引子解;第二是比较各模型的吸引子解和严格解的差别.

(4-5)是从Boltzmann方程出发推导出相应的粘滞流体力学方程.这里的解考虑了Bjorken和弓星对称性.

(15)是从Boltzmann方程出发推导出相应的aHydro的运动方程.值得指出,粘滞流体力学模型MIS或者DNMR其实就是各向异性的,所以(20)就是把两者统一以$$\Pi$$为自变量进行比较.由于(16)和(17),文中指出,这个方程实际上牵涉到无限阶的倒雷诺数展开.

(32-33)对MIS和DNMR模型,通过换元(27-29),两个运动方程只有一个与模型有关.通过进一步的变量变换最终得到了运动方程.在慢滚近似下,吸引子解可以解析的得到.慢滚近似相当于假设解对时间参数的导数足够小,所以解可以按其对时间参数的导数展开,并引入$$\delta$$作为展开参数.最低阶的展开相当于说在方程中忽略解对时间参数的导数,由于方程本身依赖于时间,所以这样得到的吸引子解仍然是时间参数的函数.数值结果说明,这个近似非常精确.

(39)接着讨论了aHydro的吸引子解,这在慢滚近似下没有简单的解析解.

(41)这是Boltzmann方程的严格解.

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Analytical attractor and the divergence of the slow-roll expansion in relativistic hydrodynamics, arXiv:1711.01657, by Gabriel S. Denicol and Jorge Noronha
这篇文章可以看做这两个作者之前文章arXiv:1608.07869 [nucl-th]在PRL不中后的加强版续作.

文章的主要内容是继续使用他们提出的和trans-series相关的展开办法得到的解和attrator解析解相比较,证明其实他们的解是唯一不发散的解.

另外,继承Jorge文章的一般风格,这篇文章清楚的讨论了得到attractor解得几种做法.比如大时间数值时的渐进解;初始时刻边界条件数值解;慢滚展开解等.清晰的说明了这些数值或者解析解法的具体过程.

本文中有些不清楚的地方.流体力学的因为和牛顿第二定律等价所以对应对时间的两阶方程.这样的方程对某一平衡态(吸引子)的微扰方程仍然是两阶的,所以趋向吸引子模式是准正规模是可以理解的.但是相关文章中通过变量变换,把方程写为两个一阶方程,其中一个退偶,导致趋向吸引子的方程为一阶,故准正规模的频率为纯虚.作为比较,简谐振动方程可以写为速度和坐标的一阶方程,但是两个方程始终互相耦合,微扰的运动方程仍然为两阶,可能出现准正模式.作者提出的新的展开方法,得到的是解存在初值和解本身的偏差,但是不清楚为什么相对误差却有准正模式的形式.

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