Research Paper Notes on Black Hole Thermodynamics

Research Paper Notes on Black Hole Thermodynamics

本文档除了包括推导, 疑惑 外,做 读书重点 的记录 $$$$

文献列表

 * Particle Creation by Black Holes, by Steven Hawking, Commun. Math. Phys. 43 (1975) 199
 * Action integrals and partition functions in quantum gravity, Phys. Rev. D 15, (1977) 2752, by G. W. Gibbons and S. W. Hawking
 * Self-Interaction Correction to Black Hole Radiance, arXiv:gr-qc/9408003v1, by Per Kraus and Frank Wilczek
 * Hawking Radiation As Tunneling, arXiv:hep-th/9907001v3, by Maulik K. Parikh and Frank Wilczek
 * Hawking radiation as tunneling from the Kerr and Kerr-Newman black holes, arXiv:hep-th/0512351v4, by Qing-Quan Jiang, Shuang-Qing Wu, and Xu Cai
 * Charged particles’ tunneling from the Kerr-Newman black hole, arXiv:gr-qc/0512153v1, by Jingyi Zhang and Zheng Zhao
 * Particle production and complex path analysis, arXiv:gr-qc/9812028v1, by K. Srinivasan and T. Padmanabhan
 * Hawking Radiation as Tunneling for Extremal and RotatingBlack Holes, arXiv:hep-th/0503081v2, by M. Angheben, M. Nadalini, L. Vanzo and S. Zerbini
 * Tunnelling, Temperature and Taub-NUT Black Holes, arXiv:gr-qc/0603019v4, by Ryan Kerner and R.B. Mann
 * Relationship between Hawking Radiation and Gravitational Anomalies, arXiv:gr-qc/0502074v3, by Sean P. Robinson and Frank Wilczek


 * Experimental Black-Hole Evaporation? by W.G. Unruh, Phys.Rev.Lett. 46 (1981) 1351–1353
 * Acoustic black holes: horizons, ergospheres, and Hawking radiation, by Matt Visser, arXiv:gr-qc/9712010v2


 * The thermodynamic theory of black holes, by P.C.W. Davies, Proc. R. Soc. Lond. A. 353 (1977) 499-521


 * Zeroth Law compatibility of non-additive thermodynamics, by T. S. Biro and P. Van, arXiv:1102.0536v2
 * Classical and thermodynamic stability of black holes, by Ricardo Jorge Ferreira Monteiro, arXiv:1006.5358
 * Thermodynamic stability of Kerr black holes, by Osamu Kaburaki, PRD47, (1993) 2234
 * Bohr’s Correspondence Principle and The Area Spectrum of Quantum Black Holes, by Shahar Hod, arXiv:gr-qc/9812002v2

Particle Creation by Black Holes, by Steven Hawking, Commun. Math. Phys. 43 (1975) 199
霍金辐射原始文献,拜读.

(1.2)

这是对波函数正交归一的定义.

把这个表达式与Manogue文章(6)的讨论比较,后者是这个定义的一个具体实现,前者给出了弯曲空间中场论波函数正交性的一般定义形式.

上述具体形式的证明,参见相关文章中(6)的推导笔记.而一般形式的证明主要利用了弯曲空间的高斯定理,场方程,以及波包形式的假设,具体证明参见arXiv:gr-qc/0010055一文(2.5)的笔记.比较后注意到,文中$$d\Sigma = d^3x \sqrt{-g}$$.

接着,文章讨论了在弯曲空间中正反粒子能级的不确定性.即在无穷远处渐进平直空间处按波函数正频率定义的正粒子态通过一部分弯曲时空演化到末态平直空间时,未必仍旧对应这能量的粒子.这点与平直空间场论中的真空激发,即Schwinger效应在物理概念上很类似.关于正频率的数学定义参见(2.3-4)及相关笔记.以及arXiv:gr-qc/0010055一文(2.5)的相关讨论.

对于粒子穿过视界后,对于无穷远处观测者其能量为负理解如下.我们首先考虑单粒子延测地线运动能量守恒的问题.联系无穷远处的观察者的与能量相关的守恒量可以由满足测地线方程的自由落体的四动量$$p^\mu$$以及时间Killing矢量$$\left(\xi^{(t)}\right)^\mu=(1,0,0,0)$$的内积构造而成$$p\cdot \xi^{(t)}=g_{00}E^0=E_0$$,其中$$E^0$$是处于渐进平直时空的无穷远处观测者在他自身的随动系$$u^\mu=(1,0,0,0)$$中测量到的粒子的能量,对他而言,$$E^0=g_{00}E_0=E_0=p\cdot u$$.如果考虑在视界附近产生一对正反粒子,考虑对无穷远处的观测者总能量应该为零,那么$$E_{0}^{(1)}+E_0^{(2)}=0$$,在视界外的粒子2的能量满足$$E_0^{(2)}>0$$,如果沿着测地线运动到无穷远对应能量$$E^{(2)0}=E_0^{(2)}>0$$,而另一个粒子$$E_{0}^{(1)}<0$$,处于视界内部,并且由于在视界内$$g_{00}=f<0$$,对应的逆变分量$$E^{(1)0}>0$$,因为$$E^{(1)0}=m\frac{dt}{d\tau}$$,其时间坐标随着纺射坐标的增加的确是增加的,它将沿着测地线掉落到奇点.

上述"负"能量粒子可以类似克莱因佯谬中在势场中的反粒子,一个反粒子在势场中的动能为"正",势能为负,且总能量为负.这个结果不涉及任何违反能量守恒的情况,且在动力学上是完全自然的,具体参见这篇综述(3.17)的笔记.黑洞在物理上就对应某种势场,故这里的反粒子的能量为负的结果完全可以用类似的形式来理解.

不幸的是,具体讨论基本 完全看不懂 .按波函数对应频率$$\omega$$与局域曲率$$B^{\frac12}$$的大小关系,作者讨论了上述不确定性导致的局域能量密度不确定性.

(2.3-4)

这里分别在入射态空间$$|\mathrm{in}\rangle$$与入射态空间$$|\mathrm{out}\rangle$$定义了两组正交完备的基.同时明确指出对应的"时间"坐标为纺射坐标,从而对正频率给出了明确的定义.

入射态被定义在过去类光无穷远$$\mathscr{I}^-$$上.在这里定义的初始条件在物理上是充分的,即足以构造柯西条件.

而出射态仅仅被定义在将来类光无穷远$$\mathscr{I}^+$$上是不够完备的,还需要被定义在黑洞视界上.从物理上说,这是容易理解的.入射波可能被散射到无穷远,但也可能终结于视界表面.所以,后一种在出射态空间$$|\mathrm{out}\rangle$$的展开必须同时考虑(2.4)中的两组基.

这里的讨论与Hansen的文献(45-47)的讨论有很多共通之处.

(2.5-10)

按之前的讨论,按$$\mathscr{I}^-$$上的展开定义的波函数$$f_i$$是完备的,所以可以把$$p_i,q_i$$用这组基展开,进而得到(2.7-8).

我们需要计算的期待值正是(2.10),参见Hansen的文献(60)的讨论.

(2.11-15)

散射到无穷远处的波函数分两种,第一种对应$$S$$以及$$T$$矩阵定义中的1.这是当不存在任何相互作用情况下结果.文中指出这对应$$\delta(\omega'-\omega)$$. 2. 任何通过费曼图对$$S$$矩阵的非平庸的计算,即便是"向前散射"问题,都涉及相互作用.在这里,这就是通过星体表面散射但没有被视界捕获而演化到将来无穷远的波函数.

文中(2.11)给出的$$p_\omega$$对应着与散射到视界上没有任何因果联系(零柯西数据)的入射态.

参考赵峥的"黑洞的热性质与时空奇异性"一书的讨论,实际上,可以考虑一个标量粒子的克莱因高登方程在时空背景下的形式,考虑球对称解,做分离变量把角度部分剔除(这就是霍金本文中对解的对称性考虑),在剩余的时间与径向坐标中,首先对径向坐标引入乌龟坐标变换,这样得到(熟悉的)乌龟坐标中含有有效势的场方程.我们指出,不难注意到,在无穷远处与视界上,平直空间中的有效势都为零,因此方程在此渐进行为下为乌龟坐标中的波动方程,它的通解就是平面波解.在此情况下,我们考虑爱丁顿双零坐标,对入射波,有物理意义的就是时空因子为$$e^{i\omega v}$$,其中$$v=t+r_*$$,因为其相速度就是以光速向内传播.类似的对于出射波其时空因子为$$e^{i\omega u}$$,其中$$u=t-r_*$$.如果考虑点粒子,那么入射粒子轨迹为$$v=\mathrm{const.}$$的世界线,出射粒子轨迹为$$u=\mathrm{const.}$$的世界线.

参考赵峥书中的Fig.2.3.3,这是一个本质上有问题但是直观上容易理解的物理图景.入射粒子在视界形成前恰好掠过星体中心,并且其半径从随着时间(纺射坐标)减小忽然变为随着时间增加,物理上是很直观的.但实际问题考虑的不是从某特定方向入射的波包,而且具有球对称的入射波与出射波,故不存在半径的"正"与"负"方向,入射波球对称的从外向内在星体中心反射后球对称的向外出射.这对应Fig.2.3.4中按奇点虚线对称反演后的曲线.

文中指出,把将来无穷远的波函数做实验反演,那么在视界处的观测者看来,粒子态是无限蓝移的.这很容易理解,因为这本质上与无限远处的观测者看到的视界上事件的无限红移完全是一回事.

(2.21)

虽然对具体计算过程 不清楚 ,这里通过几何光学近似计算了具体的入射与反射波间$$(u,v)$$值的对应关系$$u=u(v)$$,从而获得波戈留波夫变换(2.5-6)的系数,最终得到辐射粒子的数密度(2.10).

本文档除了包括推导, 疑惑 外,做 读书重点 的记录 $$$$

Action integrals and partition functions in quantum gravity, Phys. Rev. D 15, (1977) 2752, by G. W. Gibbons and S. W. Hawking
本文是霍金提出的对黑洞熵的第二种计算方法,用基于作用量形式的路径积分方法计算配分函数.

虽然对具体计算存在很多 疑惑 ,但是看懂的文章的脉络非常精彩!

(2.1)

这就是著名的Gibbons-Hawking项(!)

文中给出了这一项的具体意义.这是一个表面项,所以形式上,在给定表面上的波函数值的情况下对运动方程没有影响.但是,因为作用量(2.1)上面一式具有两阶项,在通过面积分把作用量改写为仅包含最高一阶项的体积分时,会涉及到一阶项,这些项在表面上并不为零,且在变分原理中并非假定为不变.对这些表面项的考虑导致了GH项的出现.

其中$$(-h)^{\frac12}d^3x$$部分就是表面上的积分元,参见比如Poisson高等广义相对论(3.2.1)式.显然被积函数不应该包含任何坐标指标,所以是第二类基本形式的迹.与第一类基本形式即基的内积比较,第二类基本形式的几何意义是曲面上一个基沿着另一个基的平行移动的差别(即联络)在曲面法矢上的投影.霍金的给出的表达式的具体证明未能给出.

(2.6)

以史瓦西度规为例,通过一次Kruskal坐标变换和一次Wick转动,现在度规不存在奇点.可以进而应用作用量(2.1)进行计算.

我们指出,这种Wick转动在若干年后变成了标准"小技巧",比如参见Horowitz的黑洞孤子解及相关笔记.它不仅消除了奇性,而且导致某个坐标具有周期性.而边界$$r=r_0$$就是由坐标的周期性导致的.进一步,这种周期性直接导致了与虚时温度场论中的温度产生联系.但是接下来的计算没有能够重复.

(3.1-3.3)

也许这里更好的写为从真空到真空的跃迁振幅,而它同时可以被写为真空的哈密顿的形式.当把时间改成虚数时,可以用以计算有限温度下的配分函数,进而得到黑洞熵的表达式(3.13).

本文档除了包括推导, 疑惑 外,做 读书重点 的记录 $$$$

Self-Interaction Correction to Black Hole Radiance, arXiv:gr-qc/9408003v1, by Per Kraus and Frank Wilczek
本文考虑霍金辐射中引力场的最低阶反作用.

计算的过程大致为,首先给出粒子场在弯曲空间中(考虑了反作用)的等效哈密顿模型.接着,通过WKB近似利用经典路径,即测地线,计算粒子的作用量,进而得到波函数.具体的,这涉及到初态作用量对时间的积分.具体计算,由短波近似,把径坐标取为视界值,并在时间积分中保持不变.最后通过计算相应的波戈留波夫变换系数来计算末态粒子流.虽然对具体计算存在很多 疑惑 ,但是看懂的文章的脉络非常精彩!

(1.1)

这部分没有公式.文中指出,霍金温度由半经典近似计算得到,适用条件这在无限蓝移的情况下,这时采用了几何光学近似.而另一方面,此时辐射粒子能量更大,对黑洞质量的影响也更大,所以不讨论反作用是不合理的.这导致两难.

(5.8-9)

这是辐射粒子束流在视界表面与无穷远处的关系.前者主要由波戈留波夫变换系数决定.

(5.12)

这里通过积分,利用之前的WKB的结果来计算波戈留波夫系数.而积分通过鞍点法进行.后者在计算$$\beta_{kk'}$$时发现贡献最大的位置的时间是复数.

这里本来是一个实轴上从负无穷大到正无穷大的积分,但是如果在复平面上存在鞍点,那么积分的主要贡献其实在鞍点附近.注意到对于解析函数,如果对复变量$$t$$的导数为零,那么那个点必然是鞍点.这里被积函数的指数部分比较复杂,而且注意到$$M'$$同时也是$$t$$的函数,故指数上第二项的导数涉及两项.但是由于$$M\gg \omega_k$$容易发现对$$M'$$的导数项是高阶项且$$M'\sim M$$.这样以文中的结果反带,容易发现的确取正负号时满足文中给出的$$e^{k/2M'-t/4M'}$$的渐进行为(已验证,具体计算给出$$\pm$$号后的项在近似下为$$\mp\omega_k$$).注意到,指数函数的自变量为实数时,结果不可能为负,故负号必须通过虚部$$e^{i\pi}$$来提供,故在取负号时,鞍点在复平面上,其虚部为$$4i\pi M'=4i\pi (M-\omega_k)$$,其中最后一项中的负号由上述渐进结果决定.

(5.13)

由于(5.12)指数上还有一个因子$$i$$,而(5.13)涉及模,所以时间的实部只决定幅角反而不重要,自由虚部有贡献.鞍点积分还涉及鞍点附近极大值的半宽度,在(5.13)只会提供一个指数部分以外的因子,故也不明确写出.

(5.15)

这里利用(5.10)第一步等式,重新将(5.12)写为对$$S$$的偏导的形式,从另一个角度计算了鞍点的位置,更清晰的给出物理上的讨论.

注意到(5.15)的正负号以及$$\frac{\partial S}{\partial t}$$为哈密顿取反号,另外一个在视界内侧给定半径的点在时间坐标演化下对应类空间隔.换言之,因为对结果有最大贡献的部分正好对应了虚时且能量为负的粒子态,所以,尽快所有的计算都是在视界外进行的,导致霍金辐射的机制被解读为负能量粒子穿出视界的物理过程.

本文档除了包括推导, 疑惑 外,做 读书重点 的记录 $$$$

Hawking Radiation As Tunneling, arXiv:hep-th/9907001v3, by Maulik K. Parikh and Frank Wilczek
本文提出了把霍金辐射的物理本质解读为遂穿的观点.基于之前工作的WKB近似结果得到的作用量的虚部$$\mathrm{Im}S$$来直接计算由波戈留波夫变换系数决定的散射振幅.技术上,本文采用了一个在视界附近没有奇性的Painleve坐标,从而定义从视界内到视界外的积分(5-6),并通过适当选择复平面回路获得(7),从而最终完成发射率(10)的计算.没有完全 看懂 本文的全部计算细节.

(3)

这个测地线方程可由令(2)中的$$ds^2=0$$求解一个一元两次方程即得.

(5-6)

由arXiv:gr-qc/9408003v1的(5.13)的讨论,利用WKB方法计算波函数,关键是用经典路径,测地线,计算作用量.而只有作用量的虚部才是对计算波戈留波夫系数,从而霍金辐射的发射振幅,的指数部分有本质影响的部分.故这里只计算$$\mathrm{Im}S$$.决定具体计算采用何种坐标系的因素,除了积分的奇性,还有相应的波函数的初态的半经典近似合理性的考虑.但是除此以外,本质上具体计算与坐标系无关.

只需利用之前的测地线方程(3),以及哈密顿方程,即可由(5)得到(6).

我们指出,这里对测地线的积分,按之前文章导出相应关系的逻辑,是随着粒子态的演化对时间坐标的积分.而在这里表达为某初始半径坐标$$r_{\mathrm{in}}$$到终了半径坐标$$r_{\mathrm{out}}$$.作为比较,在arXiv:gr-qc/9408003v1中,这是对时间坐标的积分,通过鞍点法找到了贡献最大的(虚时)位置.

(7)

我们 注意 到,对$$r$$的积分如果经过了视界附近,那么将会掠过一个与实轴很近的零点,零点在实轴上方$$r=2(M-\omega')+i\epsilon$$处,因为$$\omega$$可以被理解为携带了无限小的负的虚部,物理上对应把稳定粒子视为半衰期无限长的共振态粒子.这样可以向实轴下方稍微改变积分路径.这时,积分等于主值积分加上半个留数,具体的,由胡嗣柱的数理方法有$$\int_a^b dx \frac{f(x)}{x-x_0\mp i\epsilon}=P\int_a^b dx \frac{f(x)}{x-x_0}\pm i\pi f(x_0)$$.其中主值积分结果为实数,对积分虚部没有贡献,虚部由半个留数提供,分母在零点的导数为
 * $$\left.\left(-\frac12\right)\left(\frac{2(M-\omega')}{r}\right)^{-\frac12}(-1)\frac{2(M-\omega')}{r^2}\right|_{r=2(M-\omega')}=\frac{1}{4(M-\omega')}$$

这样,半个留数为
 * $$i\pi\mathrm{Res}\left[\frac{1}{1-\sqrt{\frac{2(M-\omega')}{r}}}\right]=i4\pi(M-\omega')$$.

考虑到$$r_{\mathrm{in}}<r_{\mathrm{out}}$$,增加一个额外的负号,积分后取虚部即得(7).

(8)

为了讨论$$r_{\mathrm{in}}M$$或者$$r<M-\omega$$,被积函数的虚部为零,故真正有贡献的仅仅是将积分的上下限取为$$\int_{2M}^{2(M-\omega)}dr$$,这时我们再次得到(7)的结果.

似乎这个做法只是说明了,从两个不同的方式完全积分得到的结果是一致的,但没有给出理由说明如何决定坐标积分的"有效"上下限的顺序.对这个积分限的顺序,也许一方面来自(10)指数上正确的符号,另一方面是来自物理上的解释,即这个非平庸的虚部贡献完全来源于一个沿着经典理论允许的测地线运动的粒子在无限接近黑洞视界而导致的对其波函数振幅(对应散射振幅)的影响,又见下面的讨论.

我们 指出 ,通过(7)和(8)的验算过程,我们都看到对矢径$$r$$的积分上下限其实可以远大于区间$$M-\omega<r<M$$,只是其对虚部贡献非零的区域是局限在离开奇点很近的范围内的.

注意到,$$r_{\mathrm{in}}=2M$$和$$r_{\mathrm{out}}=2(M-\omega)$$分别对应辐射粒子前后的视界位置,通过手动给出的小量$$\epsilon$$,具体的$$r_{\mathrm{in}}=2M-\epsilon$$,$$r_{\mathrm{out}}=2(M-\omega)+\epsilon$$.文中对此的解读是粒子在视界线初始位置稍稍位于视界内,而在终了位置稍稍位于视界之外,这样对应了粒子通过经典力学所禁忌的世界线从内向外穿越黑洞视界的过程.但令人不解的是,其实上述积分的虚部的贡献并不会因为上述小量$$\epsilon$$的引入而改变,实际上,我们完全可考虑一个经典物理允许的过程,即粒子在视界上的初始和终了位置都处于视界之外,换言之,$$r_{\mathrm{in}}=2M+\epsilon$$,$$r_{\mathrm{out}}=2(M-\omega)+\epsilon$$.这样,我们的计算就对应了一个很接近黑洞视界,但处于黑洞以外的粒子态的波戈留波夫系数的计算,计算结果在形式上完全相同,但是我们完全 不需要 引入任何经典物理所禁忌的物理过程.如果交换(6)或者(8)中径坐标积分的上下限,则粒子必然从视界内穿越视界到达视界外,这样的轨迹是禁忌的.

(10)

这里给出的结果除了霍金辐射对应的玻尔兹曼分布外,还包括了粒子能量的两次项,这对应了这个基于WKB半经典近似方法给出的高阶修正.

本文档除了包括推导, 疑惑 外,做 读书重点 的记录 $$$$

Hawking radiation as tunneling from the Kerr and Kerr-Newman black holes, arXiv:hep-th/0512351v4, by Qing-Quan Jiang, Shuang-Qing Wu, and Xu Cai
本文将arXiv:hep-th/9907001v3的工作推广到旋转黑洞的情况.

本文档除了包括推导, 疑惑 外,做 读书重点 的记录 $$$$

Charged particles’ tunneling from the Kerr-Newman black hole, arXiv:gr-qc/0512153v1, by Jingyi Zhang and Zheng Zhao
本文将arXiv:hep-th/9907001v3的工作推广到带电旋转黑洞的情况.

本文档除了包括推导, 疑惑 外,做 读书重点 的记录 $$$$

Particle production and complex path analysis, arXiv:gr-qc/9812028v1, by K. Srinivasan and T. Padmanabhan
这个工作号称是对Wilczek的方法的推广.窃以为,这根本就是连数理方法也没学好的民科级别之垃圾文章.

(2.18)

主值积分与半个留数相关的关系式,比如参见胡嗣柱数理方法,我们有$$\int_a^b dx \frac{f(x)}{x-x_0\mp i\epsilon}=P\int_a^b dx \frac{f(x)}{x-x_0}\pm i\pi f(x_0)$$.注意这里极点必须位于实轴上方或者下方无限接近的地方,物理上必须有这个机制,比如能量具有无限小的虚部对应任何稳定粒子可视为寿命趋于无穷的共振态粒子.这样原本的积分通过柯西定理改变路径的时候才能确保不会掠过零点,违反定理成立的条件.而在积分路径上本身就存在零点的情况在数学上是没有定义的.

而(2.18)如果成立,实际上相当于要求,主值积分加上极点附近半圈上的积分加上无限远处的大圆上的积分等于留数贡献.这是,积分通过在无限远处的大圆上绕行,以利用留数定理.这时,被积函数在无限远处大圆上的积分贡献需为零,这要求被积函数必须比math>1/|x|^2 更快的趋于零,而这里涉及的被积函数显然不满足这一点.因此(2.18)完全不成立.实际上,等式的左边,作为主值积分,注意到被积函数精确的为实数,根本不可能产生任何虚部的贡献.

作为比较,一个数学上严格的真正应用留数定理或者主值积分的具体例子,可以参考文献arXiv:hep-ph/0407264笔记中对(24)式的讨论.

本文档除了包括推导, 疑惑 外,做 读书重点 的记录 $$$$

Hawking Radiation as Tunneling for Extremal and RotatingBlack Holes, arXiv:hep-th/0503081v2, by M. Angheben, M. Nadalini, L. Vanzo and S. Zerbini
本文对arXiv:gr-qc/9812028v1一文的做法进行了诠释与改良,并且给出了形式上不依赖于坐标系选择的做法.实际上,这里的物理解释是牵强的,但给出的做法仍然存在本质问题.

(2.6)

这里就是哈密顿雅克比方程最简单形式解的操作,将(2.5)代入(2.3)解出$$\partial_r I$$,将对$$r$$积分后得到$$W(r)$$后代回(2.4)即得(2.6).

注意到(2.5)中第二项有笔误,应该是导数$$W'(r)$$,而(2.4)中的第三项类似.

(2.7)

对(2.6)的积分,注意到$$A,B,C,r_H$$的具体形式,将积分从奇点上方(逆时针转动$$\pi$$角度)绕行,得到的虚部就是半个留数.容易验证,即得(2.11).从数学上说,这就是arXiv:gr-qc/9812028v1一文的做法.

而本文没有强行给出另外从实轴下方绕行的理由,然后凑出缺失的因子$$2$$.文章给出解释由于积分发散,所以需要引入某种重整化手续.而做法是将积分(无理由的)从奇点上方绕行,承认这种做法得到的结果少了一半.

(2.9-10)

按后面的讨论,这里的坐标$$\rho$$仍然不能给出固有距离,故(2.11)仅仅能理解为 巧合 ?

(2.14)

这就是直接在$$r>r_H$$的情况下对等式左边做积分,不难证明,其解析结果就是等式右边.

(2.15)

将(2.13)代入(2.12),并将其中的$$(r-r_H)$$利用(2.14)替换为$$\sigma$$即得(2.15).

(2.16)

显然,由于(2.15)积分前额外的系数$$2$$,积分(2.15)能够给出正确的结果(2.16).

本文给出的做法原则上不依赖于满足(1.8-10)形式的坐标变换,因为选取空间不变间隔(1.7)来实现积分(2.6).与arXiv:gr-qc/9812028v1一文的做法相比,显然更有些道理,因为前者显然不能解释结果的坐标变换依赖性.本文不仅给出了一个更一般的框架,并且给出了重整化的说法.但是,按(2.14)的第一步等号,本文引入的类空积分变量$$\sigma$$其实类似乌龟坐标,但这个积分的极限在趋于视界时的确存在且有限,(2.14)第二步给出的是视界外的解析结果,注意到在$$r<r_H$$时结果为虚数.然而,文中(2.13)给出的解析形式导致(2.15)回避了这个问题.比较Wilczek的做法,不存在这样的问题,所以在此意义上,这里的数学手续以及物理是不清楚的.

实际上,与Wilczek的做法比较,不难注意到粒子能量可视为携带了无限小的虚部$$E\to E-i\epsilon$$,考虑了平方和开根号后,分子仍然携带了无限小的负的虚部,但是这并不会改变奇点在实轴上的事实.注意到,Wilczek的做法是在度规,从而粒子的测地线中考虑了自身能量的影响,最终导致了积分中自然的出现了无限小的虚部.通过任何其他形式引入这个虚部,都是本质上完全不同的做法.我们可以尝试在(2.12)的度规中类似的引入粒子能量的影响,做替换$$M\to M-\omega$$.这时,注意到$$r$$与$$\sigma$$是单调关系,我们知道奇点在$$\sigma$$的实轴的上方,积分需要从实轴下方绕行.我们计算留数,对应分母的一阶导数为
 * $$\sqrt{A(r)}'\frac{dr}{d\sigma}=\left(\sqrt{1-\frac{2(M-\omega)}{r}}\right)'\frac{dr}{d\sigma}=\frac12\left(1-\frac{2(M-\omega)}{r}\right)^{-\frac12}(-1)^2\frac{2(M-\omega)}{r^2}\left(1-\frac{2(M-\omega)}{r}\right)^{\frac12}=\frac{1}{4(M-\omega)}$$

代入留数后,
 * $$\mathrm{Im}S=-4\pi(M-\omega)\omega$$

这里可以通过交换$$r$$积分的上下限补偿一个负号,这样得到的霍金温度是正确的,但是$$\omega$$的两阶项与Wilczek的arXiv:hep-th/9907001v3结果是不同的,但是却与arXiv:gr-qc/9408003v1一文的结果一致.

最后我们指出,我们没法"大胆"尝试的用Wilczek文中的度规进行类似的计算.这是因为度规中时间与空间的耦合项导致了哈密顿雅克比方程无法简单的分离变量.这样,其解不再具有本文(2.4)的形式.

本文档除了包括推导, 疑惑 外,做 读书重点 的记录 $$$$

Tunnelling, Temperature and Taub-NUT Black Holes, arXiv:gr-qc/0603019v4, by Ryan Kerner and R.B. Mann
本文针对性的比较了Wilczek的方法与Angheben等人的方法,文章给出了对方法公式的概括.

(18)

文中指出,显然(5)中的$$r$$因为$$dr^2$$前系数为1,就是Angheben等人的方法中指出的固有空间距离,所以与Angheben等人的论述相一致.

本文档除了包括推导, 疑惑 外,做 读书重点 的记录 $$$$

Relationship between Hawking Radiation and Gravitational Anomalies, arXiv:gr-qc/0502074v3, by Sean P. Robinson and Frank Wilczek
本文利用引力场中能动张量守恒的量子反常来确定霍金辐射温度.由Peskin场论知,量子反常不存在的条件可以被用来确定三代夸克和轻子的关系,具有高逼格的深厚物理基础.本文由量子霍尔效应启发,指出引力场中能动张量守恒不存在反常的条件可以被用来确定霍金温度. 看不懂 但是真的好精彩.

本文档除了包括推导, 疑惑 外,做 读书重点 的记录 $$$$

Experimental Black-Hole Evaporation? by W.G. Unruh, Phys.Rev.Lett. 46 (1981) 1351–1353
本文从非相对论粘滞流体运动方程出发,导出了扰动方程满足弯曲空间黑洞度规中的标量场扰动方程.因此,作者得出结论:黑洞热辐射可以在相应的经典体系中研究,甚至在实验中实现.

Acoustic black holes: horizons, ergospheres, and Hawking radiation, by Matt Visser, arXiv:gr-qc/9712010v2
本文是声学黑洞以及相关的黑洞视界与热力学的综述,值得好好学习.

The thermodynamic theory of black holes, by P.C.W. Davies, Proc. R. Soc. Lond. A. 353 (1977) 499-521
本文揭开了黑洞范德瓦尔斯气液相变的第一篇工作.

(2.4)

注意到黑洞热力学中广延热力学量之间的关系并非经典热力学处理的理想气体的线性关系.第一个重要的结果就是(质量守恒的)黑洞合并是热力学不可逆过程.

(2.9)

这是上述非线性关系的另一个重要结果,Smarr关系.

这里利用了(2.3)满足标度变换关系
 * $$M\lambda^{\frac12}=M(\lambda S,\lambda J, \lambda Q^2)$$

将上式对$$\lambda$$求导后并取$$\lambda=1$$我们得到
 * $$\frac12 M=\frac{\partial M}{\partial S}S+\frac{\partial M}{\partial J}J+\frac{\partial M}{\partial Q^2}Q^2$$,

并注意到(2.5-2.8)中$$T,\Omega,\Phi$$的热力学定义,以及$$\frac{\partial M}{\partial Q^2}=\frac{1}{2Q}\frac{\partial M}{\partial Q}=\frac{Phi}{2Q}$$即得.

(3.2)

因为Davies点对应$$C_{J,Q}$$发散的位置,故它可直接由(3.2)右边的分母为零决定.

同时对于带电旋转的黑洞,有三个自由参数($$(M,Q,J)$$),故上述方程决定了一个两维曲面.而类似的,对于RN黑洞,Davies点对应一个曲线(3.5),对于Kerr黑洞,对应曲线(3.4)或(3.7)后者对应Fig.2.

在Fig.1中,我们要取定两个参数,使得Davies点成为一个"点".故Fig.1取定了$$Q,J$$改变$$M$$计算$$C_{J,Q}$$.

但是上面结果还有一个更深一层的细节.Davies点(3.4)或者(3.5)其实具有标度不变性.以RN黑洞为例,通过具体计算,可以把$$\frac{C_Q}{M^2}$$化为$$\frac{M}{Q}$$的函数,由于这个标度不变性,Davies点在此意义上真的只是一个"点".实际上,几乎所有的物理量通过除以$$M$$或者$$Q$$适当的幂次,都可以表达为$$\frac{M}{Q}$$的函数.具体的,$$TM, S/M^2$$等都是$$\frac{M}{Q}$$的函数.进一步,对应具体的度规,因为$$\Omega M,\lambda M$$也都是$$\frac{M}{Q}$$的函数(其中$$\Omega,\lambda $$分别为光球角动量与Lyapunov指数),可以证明Davies点与"光球"参数直接有关.特别的,它对应温度$$TM$$对$$\Omega M,\lambda M$$的最大值,但因为$$\lambda M$$对$$\frac{M}{Q}$$并非单调的,故包含上述最大值的$$T M$$ vs. $$\lambda M$$曲线不是单值的.主要原因还是因为相关问题都仅仅是一个由单个参数决定的问题.一般其他情况都可以通过标度变换获得.在此意义下,如果Davies点与QNM有关,后者必然也是标度不变的.

本文档除了包括推导, 疑惑 外,做 读书重点 的记录 $$$$

Zeroth Law compatibility of non-additive thermodynamics, by T. S. Biro and P. Van, arXiv:1102.0536v2
本文从一般的角度,讨论了非延展体系的热力学第零定律,并且从这个角度出发推导了Tallis分布.讨论和推导明确,清晰.

这个讨论视角被称为formal logarithm方法.

本文档除了包括推导, 疑惑 外,做 读书重点 的记录 $$$$

Classical and thermodynamic stability of black holes, by Ricardo Jorge Ferreira Monteiro, arXiv:1006.5358
这是一篇讨论黑洞稳定性的毕业论文.

本文档除了包括推导, 疑惑 外,做 读书重点 的记录 $$$$

Thermodynamic stability of Kerr black holes, by Osamu Kaburaki, PRD47, (1993) 2234
本文用Poincare方法来讨论黑洞的稳定性.

本文档除了包括推导, 疑惑 外,做 读书重点 的记录 $$$$

Bohr’s Correspondence Principle and The Area Spectrum of Quantum Black Holes, by Shahar Hod, arXiv:gr-qc/9812002v2
大师级水平的工作.Hod从黑洞熵,熵的热力学意义,波尔的相应性原理出发,讨论了史瓦西黑洞和RN黑洞QNM频率的实部渐进值.可惜其对KN黑洞频率实部渐进值的预言被之后的数值计算否定了.

首先,作者回顾了黑洞熵的量子化结果,它们分别是对史瓦西黑洞的(2)和对RN黑洞的(3).这些结果的讨论只涉及动力学可逆过程(Christodoulou过程)的分析以及海森堡不确定性原理.

接着,作者指出,上述分析类似用不确定性原理来估计氢原子的电子能级,能够得到正确的数量级,但是无法得到正确的系数.而自然的,一个更精确的做法是分析波动方程的解.因为量子引力理论并不存在,我们只能分析经典的黑洞扰动的波动方程,并且利用波尔相应性原理,利用高阶数(overtone)情况下的量子体系的性质渐进退化为对应的经典体系的事实,对比以得到黑洞表面积(及熵)量子化的相关系数.

作者指出,高阶黑洞QNM频率的虚部很大,对应了量子过程(比如波包塌缩)是顺时过程.而其实部,利用黑洞热力学关系,即可得到(8).而进一步,(8)正是满足统计力学的要求(9)的一个特解.最后作者把结果进一步推广到KN黑洞,得到(11).虽然对史瓦西黑洞的结果被Motl的单值法(hep-th/0301173)解析的确定,对KN黑洞的结果后续计算(比如hep-th/0301173和hep-th/0303029)否定了.

(8)

对史瓦西黑洞质量与视界面积关系$$M=\frac{A^{1/2}}{4\pi^{1/2}}$$两边求导,得到$$dM=\frac{dA}{32M\pi}$$,把质量的最小变化与粒子能量$$\hbar\omega$$等同起来,我们得到$$dA=32\pi l_p^2 M\omega$$,最后代入$$\mathrm{Re}(M\omega_n)=\ln 3/(8\pi)$$,即得(8).

(9)

注意到熵的统计学解释为对应某宏观态$$n$$的微观状态数$$g_n$$的对数,即$$g_n =\exp(S_{\mathrm{BH}})$$.注意到黑洞熵与视界表面积的关系和(4),我们有$$S_{\mathrm{BH}}=\frac{A}{4 l_p^2}=\frac{\gamma n}{4}$$,所以$$g_n=\exp\left(\frac{\gamma n}{4}\right)$$.注意到对任意正整数$$n$$,微观状态数$$g_n$$必须是正整数,所以我们必然有(9).

(11)

利用热力学关系(10),其中左边$$dM=\hbar \mathrm{Re}\omega$$,右边由(8),$$dA=4 l_p^2 \ln 3 dn=4\hbar \ln3$$,而由角动量量子化$$dJ=m \hbar$$,即得(11).

本文档除了包括推导, 疑惑 外,做 读书重点 的记录 $$$$