Lecture Notes of Stochastic Differential Equations 6th Edition by Oksendal Bernt

Lecture Notes of Stochastic Differential Equations 6th Edition by Oksendal Bernt

本文档除了包括推导, 疑惑 外,做 读书重点 的记录

Ch.2 Some Mathematical Preliminaries
P.3 Complete probability space

这里涉及外度量的定义.如果随机事件集$$\cal{F}$$包含任何外度量为零的基本事件集$$\Omega$$的子集,则概率空间是完备的.书上的式子除了等于0的部分是外度量的(一种)具体定义.集合$$G$$的外度量$$P^*(G)$$是所有包含$$G$$的随机事件$$F$$的概率的下确阶.

P.8 $$\sigma$$-algebra $${\cal H}_X$$ generated by $$X$$

这里是函数$$X$$生成的$$\sigma$$代数(与前面讨论的子集集合$$\cal{U}$$生成的$$\sigma$$代数是不同的,并不是前者的延续,书中没有强调).另外书中并没有强调这是一个定理,所以是可以证明的(虽然是比较直观的),即$$X^{-1}(U)$$的集合满足构成$$\Omega$$上的$$\sigma$$代数的定义.具体证明可参见这个链接.

P.9 $$L^p$$-norm

这里的$$X$$的$$L^p$$-模的定义的右边,$$|X(\omega)|$$的含义似乎不清楚,因为$$X(\omega)$$含多个分量,参考维基百科中$p$-模的定义,这个定义以及其数学意义来源于函数可积和平方可积的定义的推广, 似乎应该 把$$|X(\omega)|$$理解为模.维基上有个很简短但是有意义的介绍.严格的讲,$$|X(\omega)|$$是半模.

P.11 measurable space $$((R^n)^T,{\cal B})$$

这里$$(R^n)^T$$是集合,其元素$$\omega$$对应函数$$t\rightarrow X_t(\omega)$$,$${\cal B}$$是集合对应的$$\sigma$$代数.

P.11 Kolmogorov's extension theorem

这里维基百科有很好的解释.类比投掷硬币的例子.(K1)相当于说连续投掷得到正面反面的几率等于连续两次投掷得到反面正面的几率.(K2)相当于说连续两次投掷得到正面反面的几率等于连续两次投掷得到正面反面接着第三次投掷得到任意结果的几率.

P.12 (2.2.1)

注意到等式右边比如对$$dx_1$$的积分是对集合$$F_1$$而非全部可能$$R^n$$

P.12 (2.2.6-7)

这是可以直接通过积分验证的.结果是说,对于一串时间$$t_1,t_2,\cdots,t_k$$,其位置平均值都是初始位置;而其标准偏差对角项随着时间增加,标准偏差非对角项不为零.其中$$I_n$$为$$n\times n$$单位阵.

利用(2.2.2)可以从(2.2.3)等式的左边和右边分别通过积分来验证(2.2.3).首先考虑$$k=1$$这时积分为指数上两次,不难得到结果.对于一般的$$k$$,似乎可以利用数学归纳法来得到结果.

Ch.3 Ito Integral
P.23 (3.1.7)

特征函数$$\Chi$$,函数值在对应的半开半闭区间内为1,在区间以外为零.

注意到等式的右边实际上对应的函数并不连续,更不光滑.对于任何函数,仅仅在无限分段时可以写为等式(3.1.7)右边的形式.

P.23 (3.1.8)

把等式看作某种积分,把时间$$t$$看作积分的变量.这样$$dB$$相当于对应时间变量的$$R^n$$空间坐标矢量的差,而对应的被积函数通过特征函数写为各个时刻的函数的和的形式,从而得到(3.1.8)

P.23 Example 3.1.1

第一个等于零的平均值,可以利用(2.2.5)得到,其中$$M=0$$.第二个不为零的等式可由(2.2.10)得到,其中对$$j$$的求和得到整个时间段.

P.26 (3.1.11)

下面的一式在$$i=j$$时,利用(2.2.10)即得;在$$i\ne j$$时,利用(2.2.12)即得.

P.27 3 steps

第一个步骤对应有界且连续,第二个步骤仅仅需要有界,第三个步骤去掉了有界的条件.

P.29 Example 3.1.9

证明部分.

等式的第一步,利用了特征函数的关系 $$\sum_j B_j^2\Chi^2_{[t_j,t_{j+1})}=\sum_j B_j^2\Chi_{[t_j,t_{j+1})}$$和$$ B_s^2=\sum_j B_s^2\Chi_{[t_j,t_{j+1})}$$.

等式的第二步,利用了(2.2.10).

等式的第三部,直接对该区间积分.

P.30 Properties of Ito Integral

其中第三个性质很有用.一个例子是可以用于直接计算随机过程的稳定态解(不随时间变化)的平均值以及稳定态解的方差$$\mathrm{Var}[X]$$的平均值.考虑方程(3.1.2)的积分形式(3.1.5),由于性质三,如果被积函数有界(属于$$\cal{V}$$),右边第二项为零没有贡献.因为稳定态与时间无关,所以唯一的可能是第一项被积函数为零.这一项为零的条件就是随机过程的稳定态平均值满足的方程.

为了求得其方差,由Ito微分知$$d(X^2)=XdX+(dX)^2$$,从而可以得到$$d(X^2)$$满足的方程,显然该方程的右边与(3.1.5)右边形式上相似,从而其对时间积分的被积函数为零的条件就是稳态解方差平均值满足的方程.

Ch.5 Stochastic Differential Equations
P.65 Remark

自然的,如果在(5.1.3)中如果不考虑等式右边的第二项则得到(*)式.书中给出直接证明.将(5.1.5)两边取平均,并将$$Y_t$$的结果代入,即得(*).

P.67 Example 5.1.4

$$Y_1$$满足的方程的第二项来自泰勒展开的两阶项.