Research Paper Notes on Gravitational Waves

Research Paper Notes on Gravitational Waves

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文献列表
Gravitational wave from EMRI


 * Numerical and analytical models of self-force effects in Kerr extreme-mass-ratio inspirals, PhD thesis, by Zachary Nasipak
 * Kludge gravitational waveforms for a test-body orbiting a Kerr black hole, arXiv:gr-qc/0607007, by Stanislav Babak et al.
 * Effect of gravitational radiation reaction on circular orbits around a spinning black hole, PRD52 (1995) R3159, by Fintan D. Ryan
 * Spin effects in the inspiral of coalescing compact binaries, PRD47 (1993) R4183, by Lawrence E. Kidder and Clifford M. Will
 * Extreme mass ratio inspirals with spinning secondary: a detailed study of equatorial circular motion, arXiv:2004.02654v2, by G. Piovano, A. Maselli, and P. Pani
 * Detecting dark matter around black holes with gravitational waves: Effects of dark-matter dynamics on the gravitational waveform, arXiv:2002.12811v1, by Bradley J. Kavanagh et al

Gravitational wave in modified gravity


 * The Gravitational Wave Stress-Energy (pseudo)-Tensor in Modified Gravity, by Alexander Saffer, Nicolás Yunes, and Kent Yagi, arXiv:1710.08863

Numerical and analytical models of self-force effects in Kerr extreme-mass-ratio inspirals, PhD thesis, by Zachary Nasipak
这篇博士论文的网址为DOI: 10.17615/z0nt-6x35

Sean Carroll的广义相对论一书P.299指出,可以证明,爱因斯坦方程与背景度规下的自旋为2的张量粒子的动力学等价.这就是该书Fig.4.2中描述的引力的自相互作用.

(3.5)

本章开始部分用经典电动力学中的电子韧致辐射举例说明问题.

这里(3.5)与(3.4)的$$\gamma$$因子的差别来源于积分变换需要从固有时换为时间坐标才能完成对时间部分的积分.

(3.10-11)

这里给出从(3.8-9)推导(3.10-11)的思路.

首先,(3.10-11)是在计算任何时空点$$(t,\mathbf{x})$$上的势函数. 其次,(3.9)中的积分由于(3.7)中的$$\delta(t-t_+)$$的存在且唯一的源是沿着世界线运动的电子,使得所有含时量(比如$$\mathbf{x}_e, \mathbf{v}\equiv \mathbf{v}_e$$)的(唯一)自变量都是$$t_+$$. 换言之,时空点$$(t,\mathbf{x})$$上的势函数,仅由电子世界线与过去光锥的交点时空点$$(t_+,\mathbf{x}_e(t_+))$$上的信息决定. 注意到光速等于一,所以$$t-t_+=|\mathbf{x}-\mathbf{x}_e(t_+)|\equiv r$$. 由此不难得到(3.10-11).这就是Dirac一文的(47),也是所谓Liénard-Wiechert势.

(3.17-18)

按这里的讨论,自作用(3.17)正是在静电电动力学框架里自洽的解释韧致辐射能量守恒的基础.文中给出了相关计算,出发点正是(3.18).

而(3.15-16)在粒子位置的发散形式,正是这个计算的难点所在.而这个发散本质上与量子场论面临的电子自能发散同源.

(3.20)

这是经典电动力学情况下构造的奇性格林函数.它首先也必须满足非齐次方程. 第二,我们可以利用推迟和超前格林函数的反身性关系.数学上这是利用方程的对称性从推迟格林函数求出超前格林函数.即从点源A传播到B点的信号就是从点源B传播到A的信号的时间反演.

对(3.20)最简单的理解就是它不再具有奇性,具体可 进一步 参考Dirac的原文.

另外,文中指出,这里得到的(3.20)和扣除奇性后的(3.21)涉及因果论问题.即得到势场是将来某时刻粒子位置和速度的函数. 文章指出,利用仅仅被定义在光锥上(才非平庸的不为零)的推迟和超前格林函数的特质以及粒子在视界线上运动的题设,如果仅仅考虑视界线附近局域的势场,则虽然仍无法保证全局因果性,但是局域因果性是可以得到保证的.因此,得到的结果在(满足因果律的)局域有意义. 具体的,计算过程要利用(3.7)和(3.19)中的延迟和超前格林函数的具体定义,以及积分的源仅为世界线上的粒子. 这样对于推迟势,我们得到(3.10-11)中给出的结论.其中显然依赖于推迟时间. 但是如果我们在粒子所处的世界线附近的某个时空点上进行计算,我们可以把得到势场展开,这样最终得到的结果只依赖于电子的局域信息而非其整个过去(或将来). 具体计算结果参见Dirac一文的(11-12)以及附录中的给出的计算过程. 而我们注意到,经典电动力学中格林函数的这个简单的特性在弯曲空间的上下文中不再成立:即便在世界线附近,电子的无奇性的推迟势仍由电子的全部历史和将来所决定.

(3.36-37)

这里指出,在弯曲空间的经典电动力学中,延迟格林函数不仅定义在光锥上如(3.7),而是定义在光锥内.这是因为光可以在弯曲的空间上被连续反射,对应的等效光速并不恒为1. 这样如果直接通过格林函数的差来构造有限部分会导致违反因果律,因为所构造出的不发散的格林函数不是推迟形式的.

基于上述问题,我们引入额外的函数$$H$$,对应齐次方程的解.按文中产生奇性的分析,它并不含奇性.因此,它的引入主要是为了得到满足合理的因果律的边界条件,而非扣除奇性.扣除奇性通过取差延时和超前格林函数就可以完成.

对$$H$$选取原则的具体分析如下. (H1)要求(3.37)和(3.39)在未来光锥内任何可能的来自超前格林函数的违反因果性的成分都被抵消. (H2)要求(3.37)在过去光锥内的来自延迟格林函数的成分都被抵消,而(3.39)不满足这点.这个条件并没有来自因果律的要求,只是从对称性给出的对$$H$$的额外限制. (H3)这是(H1)和(H2)的推论,进一步利用延迟和超前格林函数间的对称性,我们得到奇性格林函数(3.37)也满足同样的对称性.似乎只是出于对称性的考虑. (H4)这是奇性格林函数与延迟格林函数中奇性必须一致的要求的推论,而这来源于两者之差必须为有限的要求. 除了(H1)和(H4)外,似乎(H2)不是必要的,它只来源于对称性的选择.但另一方面它给出了在超前时间区域对$$H$$函数形式的额外限制,这使得一旦(H1)可行,则$$H$$在全定义域的形式以及相应的扣除奇性后满足因果律的延时格林函数的形式被明确的确定下来.

(3.45)

文中指出,由于$$H$$是对称的,它无法区分过去与将来,所以不可能带有耗散的物理属性.

(3.51-53)

这里把度规和能动张量都逐级展开.用标记$$\epsilon$$的幂次来标记每一项对应的阶数.

在(3.51)中,度规的两阶扰动涉及一阶扰动的平方和两阶扰动本身. 在(3.53)中,因为协变导数$$\mathbf{D}^\nu$$中含有度规,所以能动张量导数展开的两阶项中也牵涉到两种可能,分别是能动张量的二阶导数,和度规一阶对协变导数的修正作用在能动张量一阶修正上,这两个贡献之和.

将上述(3.53)和爱因斯坦方程逐级写开.注意到零阶的能动张量为零,零阶度规为背景度规,粒子在背景度规下测地线对应的能动张量为一阶.我们可以得到(3.54-57)中给出的逐级近似算法.

(3.55-3.57)

这里给出了逐级计算EMRI的逻辑.

零阶对应背景度规下的测地线. 一阶对于点粒子的能动张量,以及它对度规的一阶扰动. 二阶在扰动度规下计算能动张量守恒方程得到修正的能动张量,即用粒子测地线的能动张量(一阶能动张量)和度规的一阶扰动计算能动张量的(二阶)扰动.物理上对应在扰动的度规下重新计算粒子轨迹. 同时度规的二阶扰动来源于(3.51)等式右边的两阶项与(3.52)两阶项的匹配,整理后等式右边含有两个来源. 再次不断重复上述过程得到各阶结果.

文中指出,如果考虑点粒子近似,那么上述微扰算法在二阶时本质上会出现发散问题. 因为二阶度规扰动方程右边的源中的与度规一阶扰动平方项相关的部分含有两个$$\delta$$函数的乘积.当用格林函数方法求解上述问题时,得到的度规二阶扰动将包含一个$$\delta$$函数因子,从而在$$\delta$$函数发散的位置发散. 需要引入重整的方案.

(3.64-66)

这里(3.64)等式右边来自对张量协变导数的定义,可以把对指标$$\mu$$的缩并留到最后进行.

这里(3.65)等式右边第一项.这里$$u^\mu$$的自变量是$$x_p$$,同样$$d\tau$$也是,物理意义是对点粒子源的求和(积分),以计算空间某点$$x$$处的能动张量.故对$$x$$的导数只会作用在$$\delta$$函数上. 等式右边的第二项和第三项就是来自(3.64)等式右边的相应项.

这里(3.66)先把速度和偏导的缩并写成对固有时的导数,然后对导数对象从$$x$$替换为$$x_p$$(注意到对$$d\tau$$的积分在最后进行,故不受整个换元过程的影响).

这里(3.67)采用部分积分法.

这里(3.70)从普通的$$\delta$$函数,换为考虑了度规的形式,在(3.4)下方定义.其实这个共有因子对所得的测地线方程没有影响.

(3.74)

注意(3.73)的差在一阶情况下导致(3.74)中两项贡献.

(3.92-93)

至此,文中给出了一阶扰动下爱因斯坦方程的手动具体推导的全过程和结果.

(3.95-96)

这是自引力的定义.它是(3.106)计算结果的出发点.

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Kludge gravitational waveforms for a test-body orbiting a Kerr black hole, arXiv:gr-qc/0607007, by Stanislav Babak et al.
本文讨论EMRI极限下的引力波发射的计算.上述极限对应小质量客体绕大质量致密星体旋进的运动时发射的引力波,旋进运动可以基本视为测地线运动(以及对应的修正),而引力波发射通过解适当坐标下的爱因斯坦方程得到,后者等式右边的源,即能动张量,主要由小质量客体的运动所决定.

(1abcd)

注意到这里的测地线方程是坐标的一阶,而非二阶方程.这是因为自变量是纺射参数$$\tau$$的函数.方程的初始条件与(形式上为两阶的)测地线方程一样,仍然是初始时空坐标和对应的四速度.(c.f.这与正则坐标下哈密顿方程是一阶方程并无任何直接关系,因为这里仅涉及坐标的方程,而完全没有涉及到任何正则动量的方程.)

(10abc)

这里考虑的是对测地线方程的修正.

它可以有两个物理来源.按龚云贵老师的说法,由于引力波辐射的能量损失,造成粒子运动状态的变化.这可以类似经典电动力学中在电磁场中做加速运动的电子由于电磁辐射导致的运动状态的变化.比如在匀强磁场中运动的电子并不能保持圆周运动,因为后者是加速运动会导致韧致辐射,能量损失使得电子动量减少,运动轨迹发生变化.我们进一步给出两点讨论.第一,考虑到韧致辐射完全可以在平直空间中发生,这种机制本质上与弯曲空间无关,因为任何耗散机制都会引起其测地线方程的变化.这可以类比经典电动力学中的韧致辐射问题.第二,这种机制本质上用经典理论描述时,会面临发散的问题.同样可以类比电子自能的发散.而从能量守恒的角度对此作出讨论,比如经典电动力学的拉莫辐射公式,是最简单的处理方法.但是原则上从第一性原理通过微扰论和"反身力"的概率的讨论仍然是可行的,具体参见下面讨论.相关计算可参见下面两篇(Ryan以及Kidder和Will的)文章.

按赵文的说法,考虑爱因斯坦方程由于在外援微扰下度规的扰动.其零阶展开对应(粒子的)测地线方程.从测地线方程解出粒子的运动轨迹代回爱因斯坦方程,可以得到度规展开的一阶项所满足的方程.展开的一阶项对应引力波辐射,如果将得到的度规扰动的一阶项的解代回爱因斯坦方程,并保留到度规展开的二阶项,可以再次得到考虑了度规扰动的测地线方程.注意到,保留到度规展开一阶项的测地线方程(应该!?)是平庸的,这是因为考虑了粒子的作用量对度规的一阶展开系数为零,而(度规扰动的爱因斯坦)方程对应作用量对度规(扰动)的变分. 赵文的说法的另外一种相关的具体实现就是通过后牛顿近似计算两个质点的相互运动.这样得到的运动轨迹比绕行大质量物体的测地线更为精确,而利用运动轨迹同样可以计算质量矩,从而计算引力波辐射,后者给出由于能量损失导致的减速,进一步修正轨迹.

后牛顿近似的具体步骤可以参考Poisson和Will所述Gravity: Newtonian, Post-Newtonian, Relativistic一书中有详细叙述.它与从大黑洞的测地线运动出发的Kludge方法的区别 理解 如下.后牛顿近似的运动方程是,决定度规的含有物质场和引力波(一次迭代后出现)的能动张量的爱因斯坦方程,与决定物质场的流体力学方程(或者在简化的质点情况下相对质心系的测地线方程).它涉及两个展开近似,其一是$$1/c^2$$展开,这对应牛顿力学与相对论(测地线)的差别,其二是$$G$$展开,对应一次迭代后度规扰动产生的能动张量对度规的(再次)影响.具体的,因为爱因斯坦方程右边能动张量前有系数$$G$$,所以把测地线得到的能动张量代入扰动的爱因斯坦方程后得到的度规扰动为$$G$$的一阶,它对应引力波,将它的能动张量再次代入爱因斯坦方程迭代,得到的度规修正为$$G$$的两阶.原则上,上述一阶度规扰动同时也会影响到测地线,从而影响到爱因斯坦方程右边物质场的能动张量,但是因为测地线的修正已经涉及到$$1/c^2$$展开,因此被忽略不计.在上述意义下我们理解后牛顿近似涉及$$G$$展开.我们注意到,后牛顿近似处理的两体问题并不依赖于质量比.但是,如果我们把上述结果进一步按质量比$$\mu/M$$的阶数整理为展开形式,那么Kludge理论很可能对应零阶贡献.而一阶及更高阶贡献,当与之前的两个展开,按数量级适当匹配获得某种联合展开的形式,原则上可以得到一个更为合理的修正的Kludge方法.

实际计算中,在二阶微扰计算中,可以证明这两部分是等价的.比如参见Nasipak的博士论文.这具体体现在度规的扰动包含辐射场,同时会对粒子有反作用,这个反作用力被称为"引力反身力",在电磁学中有相应的对应例子.这个作用力一般是发散的,物理上类似电子的自能发散,而正确处理发散和因果性以后,可以得到满足作用力做功等于辐射能量的自洽结论.

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Effect of gravitational radiation reaction on circular orbits around a spinning black hole, PRD52 (1995) R3159, by Fintan D. Ryan
(1)

用后牛顿近似得到的运动方程等价的可以由这个拉格朗日得到.

(10ab)

通过轨迹的具体形式可以计算质量矩.

(11)

而质量矩与导致能量耗散,故给运动轨迹带来额外的加速度.

(13ab)

这是在黑洞为中心的坐标系中表达这个额外的加速度,这与(1)的坐标系一致.

(14abc)

通过轨迹的具体形式可以计算质量矩,而质量矩与能量(这里具体是包括能量在内的三个守恒量)耗散,类比电矩导致的电磁波辐射与能量耗散,满足这个关系.损耗表达为上述计算得到的额外加速度的形式.

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Spin effects in the inspiral of coalescing compact binaries, PRD47 (1993) R4183, by Lawrence E. Kidder and Clifford M. Will
(4)

用后牛顿近似得到的运动方程等价的可以由这个拉格朗日得到.

(10)

通过轨迹的具体形式可以计算质量矩,而质量矩与能量耗散,类比电矩导致的电磁波辐射与能量耗散,满足这个关系.

(14ab)

这是质量矩与轨迹的具体关系.

(17ab)

第一个方程式能量与角速度的关系,第二个是能量耗散满足的关系,从而我们得到(18-19),由于耗散的存在,角速度与运动半径随时间的变化.

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Extreme mass ratio inspirals with spinning secondary: a detailed study of equatorial circular motion, arXiv:2004.02654v2, by G. Piovano, A. Maselli, and P. Pani
(5-8)

这是多极近似(3-4)下的运动方程,即Mathisson-Papapetrou-Dixon方程.它的本质是物质的能动张量守恒.

(41-43)

对背景度规是Kerr度规(19)的情况下,利用正交零标架的数学工具,对方程进行化简.最后得到了三个自由度对曲线参数的一阶方程.

这里的运动方程有三个变量对曲线参数的一阶常微分方程构成. 由于方程是对曲面参数(亚元$$\hat{\lambda}$$),相当于两个变量对时间坐标的函数对应的两个方程,还需要两个物理的初始条件以完全确定其轨迹. 具体讨论如下.

最初(24-25)定义了对动量$$p^\mu$$和反对称张量自旋$$S^{\mu\nu}$$的一阶常微分方程,共4+6=10个分量. 由(11)速度$$v^\mu$$并不是独立变量,但(15)附近的讨论,通过各种假设四速度只有三个独立分量(-1),Tulczyjew-Dixon条件(13)要求四速度与自旋垂直(-4),两个Killing矢量(26-27)对应了两个守恒量(-2),最后考虑赤道面运动$$\theta=\pi/2$$(-1),所以10-1-4-2-1=2.

(50)

这里进一步考虑圆周运动,径向速度与加速度亦为零,这样自由度速度再减去2,2-2=0,运动形式完全被两个Killing矢量对应的守恒量决定了.对应的等效势(50)的极点.

作为类比,我们考虑Kerr黑洞度规下给定质量粒子的测地线.四速度含有三个独立分量,由对称性我们有能量,角动量,Cartan常数.3=3=0故轨道(除了初始位置以外)由上述三个守恒量完全确定.

(86)

这本质上就是用满足边界条件的齐次方程的解来构造格林函数,对外源积分后得到需要的满足边界条件的非齐次方程的解. 这里与一般文献中更为简单的形式相比,(77-78)的形式中引入了一些考虑到边界条件后更为方便的因子,但这些并不改变方法的本质. 文中提到,结果中在视界和无穷远处的渐进行为由(84-85)的因子$$Z^H_{\ell,m,\hat{\omega}},Z^\infty_{\ell,m,\hat{\omega}}$$完全决定,而后者由于涉及两个非齐次方程的通解(77-78),对应两个自由系数,可以认为是$$B^{\mathrm{tran}}_{\ell,m,\hat{\omega}},D^{\mathrm{tran}}_{\ell,m,\hat{\omega}}$$. 本质上,由格林函数的形式,这两个系数都在分子和分母中相互抵消了,因为格林函数是不包含任何归一因子的.

在具体计算中,直接在原方程中求解齐次方程的数值解由于数值精度问题是不可行的. 比如通过变换把Teukolsky方程转换为Sasaki-Nakamura方程,后者对应某种近程势场. 在求解齐次方程的数值积分中,在两端的初始函数要用到渐进展开,这就是本文附录A的主要内容.

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The Gravitational Wave Stress-Energy (pseudo)-Tensor in Modified Gravity, arXiv:1710.08863, by Alexander Saffer, Nicolás Yunes, and Kent Yagi
(7)

按最小作用量原理,这里的零阶背景和二阶微扰满足的方程对应于不同的初始条件(边界条件).这对应于Goldstein一书第二版P.365第8-6节中讨论的,虽然其上下文是针对粒子运动的情况.书中计算了不同的物理过程的作用量的差别,其中不同的物理过程的初末态显然是不同的.

这里的讨论从作用量出发,按刘云旗的提示和Sean Carroll一书所指出的,爱因斯坦的引力理论与在背景引力场下自旋为2的张量粒子的相互作用理论等价,为出发点. 因此,我们可以把在某个背景度规下的度规扰动看成一种独立的自旋为2的张量粒子的场.

我们尝试按下面的方式来理解.把零阶的背景度规看做是度规,而把二阶微扰看做是物质场,两者之间是有(非最小)耦合的. 对作用量展开的意义类似于对函数的泰勒级数的形式展开,这里把作用量在极值附近按度规的扰动做泛函展开. 这样,零阶作用量对背景度规的变分就得到没有物质场(即微扰)时度规满足的方程. 我们指出,一阶作用量平庸的为零.这是因为零阶度规,即背景度规,是满足作用量最小的.处于势能极值处展开的一阶项系数为零,从而一阶项亦为零. 接着,我们讨论二阶项.把展开到二阶的作用量对背景度规的变分得到存在微扰情况下(主要是针对相应的问题的边界条件)度规满足的方程.这样得到的方程相当于爱因斯坦方程,具体表达为(背景度规的)爱因斯坦张量等于(度规微扰对应的张量场的)能动张量.最后我们注意到度规的扰动就是引力波,故方程右边的能动张量其实是引力波的能动张量.

最后提及,把展开到二阶的作用量对物质场变分得到存在微扰情况下微扰满足的方程,即物质场的方程:克莱因高登方程等.

(17)

从这里开始的讨论从运动方程,即爱因斯坦方程出发. 具体的,我考虑在爱因斯坦方程中的度规替换为展开的形式后,依次考虑各阶的贡献.这是考察引力波最传统的做法,比如参见Schutz和Carroll的书.

本表达式是考虑在爱因斯坦方程中把度规展开后,其中一阶贡献对应的方程.

爱因斯坦方程的左边的爱因斯坦张量,按展开阶数,可以为零阶,一阶和二阶.因为没有物质场,等式右边对任何阶数都为零. 注意到零阶度规作为背景度规必须满足爱因斯坦方程才有意义,但未必是闵可夫斯基时空,比如可以是描写宇宙膨胀的RW度规.在这里,我们把零阶度规取为闵可夫斯基度规,平直空间的真空解.

刘云旗说,(17)就是把爱因斯坦张量中的度规换为度规的一阶微扰得到的表达式.但是问题是这个表达式必须等价爱因斯坦张量的一阶项的贡献,所以其中必然还涉及到零阶度规的贡献啊?即便注意到度规就是闵可夫斯基张量,只会起到抬升和降低指标的作用,所以不会明显的出现,但是为什么这样得到的结果与直接代入度规的一阶项等价呢?戴德昌提示,爱因斯坦张量是联络的函数,而在某种指标选择下(选择只有下分量的联络),可以把联络写成只含有度规的导数的形式,而闵可夫斯基度规的导数都是零,故不出现.具体的表达式Wheeler的书里可能会有.

另外,对于一阶贡献,我们得到了一个可以把一阶微扰表达为横向无迹(TT)的规范形式,此即(21).

(18)

这里考虑爱因斯坦方程中把度规展开后,考虑两阶项贡献对应的方程.按爱因斯坦场方程,等式左边为爱因斯坦张量,右边为物质场能动张量.

现在把二阶项对爱因斯坦张量的两种贡献分别写到等式的左右两边.第一种贡献是来自二阶展开,第二种贡献来自一阶平方项.因为考虑的是二阶小量,不存在其他可能.

但是 为什么 一阶项的短波平均就是能动张量呢?戴德昌提示,这个结果并不是显然的,在Wheeler的书中有讨论和证明.

(32)

虽然(31)是守恒流的形式,但是为什么(32)中它的平均值是能动张量呢?刘云旗说,因为这时问题中唯一涉及到的守恒量.

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Detecting dark matter around black holes with gravitational waves: Effects of dark-matter dynamics on the gravitational waveform, arXiv:2002.12811v1, by Bradley J. Kavanagh et al
本文讨论暗物质对EMRI的影响,并且讨论由于动力学阻尼导致的非静态的暗物质分布.

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