Lecture Notes of Introduction to High-Energy Heavy-Ion Collisions by Cheuk-Yin Wong

Lecture Notes of Introduction to High-Energy Heavy-Ion Collisions by Cheuk-Yin Wong

本文档除了包括推导, 疑惑 外,做 读书重点 的记录

Ch.1 Introduction
P.1 Introduction

这里讨论相对论重离子碰撞的基本物理概念:主要是非弹性散射从而接近一半的能量滞留于质心区域,能量分布基本可以视为核子核子碰撞的线性和,由于洛仑兹效应这些碰撞几乎是同时发生的而且能量在极短的时间内释放导致很高的能量密度所以是QGP态的候选者.

作者进而开始论述对称自发破缺和无孤立夸克态的关系.作者给出格点QCD的实现的简单阐述:问题的自由度,和胶子自由度相关的链接变量(Link Variable),正对应着铁磁理论中的自旋态;从而链接变量的关联态对应铁磁态,对于这样的铁磁态,夸克反夸克相互作用为吸引而且正比于距离.

在能量比较低时,质心区的重子数密度是比较大的;而高能时,质心区的重子数密度几乎为零.由于与早期宇宙的相似性,后者在物理上更有趣.

理论研究的重心是通过研究核子如何在原子核中被减速和末态粒子的产生来讨论相应的去紧闭相变的物理信号.

Ch.2 Kinetic Variables
P.10 (2.9a)

考虑洛仑兹变换是沿着$$z$$方向的情况,这时有$$c_0'+c_z'=\gamma(1+\beta)(c_0+c_z)$$只差一个常数,具体见习题2.1的(4).

P.16 (7)

由(16)与(3)即得,已验证.

P.22 (2-20)

最方便的是利用(2.16-17)即得.

P.25 (2.31)

用雅克比行列式证明,已证明,因为与Key Notes on Hydrodynamics中推导的结果一致.

Ch.3 Nucleon-Nucleon Collisions
P.38 (3.13)

现在积分限(近似的)可取为$$0\rightarrow y_b$$.其中分子的积分可以在指数上引入一个因子$$a$$对$$a$$求导,并在最后取$$a=1$$.分子分母消去公共因子后即得(3.13).

Ch.4 Hard Processes in Nucleon-Nucleon Collisions
P.42 (4.3)

$$\sqrt{s}=\sqrt{(p_1+p_2)^2}$$.注意到这个定义是洛伦兹标量,而且在质心系就是体系的入射能量.

P.44 (4.10)

注意到,$$b_0$$与$$b_z$$不独立,$$b$$与$$b_T$$已知,即得.另外注意到$$b$$不在质壳上.

P.45 (4.14)

$$\beta$$是一组自由粒子之和,虽然$$\beta^2=m_{\beta}^2$$是洛伦兹协变的,但是当粒子间的相互动量变化时,这里定义的质量是变化的.

P.47 (3)

其中$$b=B-\beta$$,$$a=A-\alpha$$,$$c=C+\gamma$$.按定义(4.8),$$x_b+x_{\beta}=1$$.$$\int d\beta^2$$是对四动量的平方的积分,具体见exercise 2.2;这里在质壳上,所以没贡献.

P.53 (4.25)

以之前的Fig4.1为例子,固定外线$$(A,B)$$,自由粒子外线$$(\beta,\alpha,C,d,\gamma)$$.

对于每个自由粒子外线,有$$d^4p\delta(p^2-m^2)=\frac{d^3p}{2\omega}$$,两个对应入射粒子的固定外线导致$$n-2$$.总动量守恒给出一个额外的$$\delta(\sum p)$$.

由$$[d\sigma]=\frac{1}{A}=p^{-2}=p^{-2}|M|^2 (p^2)^{n-2}p^{-4}$$,即得结果.

P.54 flux factor

见P48底部推导.

P.54 integral out momentum

对于不确定的动量都需要积分积掉,这个过程不会使得结果依赖于质心系入射能量$$\sqrt{s'}$$.

P.56 $$s'=(a'+b')^2=\frac{(a'+b')^2}{(a+b)^2} (a+b)^2\sim xys$$

P.57 (4.33)

由$$x=x_r+y(1-x_r)$$得$$(1-x)=(1-\eta)(1-x_r)$$,从而 $$dx=(1-x_r)d\eta$$.

$$x \rightarrow 1$$,故略去x因子.

P.61 (4)

这里书中的式子有些出入.讨论了两种不同的inclusive碰撞.区别是初态涉及的因子不同,相对速度对应入射粒子流,对两种碰撞,他们是一样的,故不需要改变.能量因子来源于费曼规则,所以要做相应变化,因子$$(1-x_b)$$就是近似的来获得改动后的能量因子.

这里考虑了两种不同的图,第一种$$\beta$$在质壳上,对应Fig4.1的情况,第二种$$b$$在质壳上,对应这里的情况.注意到$$\beta$$在质壳上就否定了$$b$$在质壳上的可能性,反之亦然.所以页末的三个公式是动力学关系.最后一个公式用于连接两种不同情况下的形状因子.这两个公式用mathematica数值验证不严格为零.所以这里必然涉及到某种近似.

Ch.5 Particle Production in a Strong Field
P.71 (5.18)

$$\Delta E=\frac{p_z dp_z}{|E|}|_{p_T}$$

Ch.6 Particle Production in QED2
P.78 (6.2)

这里$$(\partial ^{\lambda}\partial_{\lambda})^{-1}$$是逆函数.其定义来源于(6.36-37)的上下文.

P.95 (6.41)

首先,$$\Box \phi_{ext}=0$$.由(6.39)可以直接得到,比如,$$\Box \theta(x'-t)=0$$.

(6.41)是一个非齐次方程的通解(质壳上正能量平面波),加上一个特解$$-\phi_{ext}$$.

P.98 (1)

这正是Bjorken标度不变.

P.104 (6.51)

注意到$$\int_{-\infty}^{+\infty}dxf(x)=\int_{-\infty}^{+\infty}dxf(-x)$$.

Ch.7 Classical String Model
P.107 $$s$$频道和$$t$$频道

他们的命名来源于四动量和平方$$s$$和四动量差的平方$$t$$,所谓Mandelstam变量.

P.112 (7.4)

这是模型.导致后面所述的正反夸克的溜溜球运动模式.

P.121 (7.28)

这里矩形面积等于不变质量的平方.

这是因为由溜溜球运动解的讨论知道,任何一对做溜溜球正反夸克构成的面积在$$u,v$$空间洛伦兹不变,且面积等于质心系能量$$s$$.这个量显然是洛伦兹不变的,在弦模型中被定义为介子不变质量的平方.

P.121 (7.29)

这里有两个概念,一个是找到某节点的概率(这里节点位置与产生的弦的不变质量有关),第二个是找到某断裂点以后在该位置产生某不变质量的介子的概率.这两个概率函数都和不变质量有关.

P.124 (2)

这里考虑吧所有弦破裂点连接起来构成的曲线与产生的粒子的快度联系起来,且假设对应的快度函数是单调变化的.注意到这里控制弦的断裂频率(如果弦的断裂无限频繁,则产生无限多的粒子)是产生粒子的质量.

Ch.8 Dual Parton Model
P.134 (2)

对$$s$$频道,我们需要对所有有贡献的费曼图求和,所以对某一个顶点,导数要作用在每个(初态或者末态)粒子线上.这样得到$$(-ip_{1\mu}-ip_{2\mu})$$.考虑两个顶点,一共有四种排列组合的可能,所以是求积$$(-ip_{1\mu}-ip_{2\mu})(-ip_{3\mu}-ip_{4\mu})(-ip_{1\mu}-ip_{2\mu})^2=-s$$.同样的分析适用于$$t$$频道.

P.134 (8.4)

自旋$$J$$需要$$J$$个指标的张量,并用杨图约化.

$$t,u$$对称因为交换两个末态粒子动量(对$$s$$和$$t$$)理论上对应不同的图但是实验上是不可区分的.

P.135 (1)

对正数$$n$$,$$\Gamma(n)=(n-1)!$$.

P.136 (8.5)

$$\Gamma(1+\alpha(t))$$不产生极点.$$sin\pi\alpha(t)$$在$$\alpha(t)$$为整数时产生极点.对应等效粒子质量$$m_J^2=\frac{N-N_\alpha}{\alpha'}$$.

P.137 (3)

首先$$t$$固定只考虑$$s$$有关的项.表达式最后一项$$sin\pi\alpha(s)$$决定了$$\alpha(s)$$整数时是极点.随着$$\alpha(s)$$变大,极点(和分子决定的零点)的震荡将越来越快.

由实验上的Breit-Wigner分布,在理想传播子的能量中加入一个虚部,可以有效的通过散射振幅来描写实验上的能量分布半宽度.(稳定粒子传播子的能量虚部为无限小).在本问题中,通过这个虚部来解决数学上的(当$$s$$很大时)极点的困难.因为虚部的压制实际上去除了极点,化简了结果.

P.141 (i) no quantum number flow

由介子Fig8.3(b)和重子Fig.8.5(a)退化为类似Fig8.3(b)的非平面拓扑贡献可以看到交换的部分子是完全相同的(夸克或者夸克对),所以对应无任何量子数的流.

P.142 Fig.8.3

时间线实际上是从下到上(或者从上到下)的.

$$(b) \rightarrow (c)$$, 从图的中间从左到右画一根线,不难验证,两图对应交点完全等价.另外可以在图的上方画一根线,两图对应的交点完全等价.

$$(c) \rightarrow (d)$$, 图$$(c)$$右边部分在上方,左边部分在下方.

先考虑左右两边,A正好在E的上方,C正好在D的下方,然后意识到对应的相互作用,其实其余的半截的边也是上下对应的,所以所有的边都是上下对应的相互作用.

这样的相互作用被称为闭弦,解释如下.如果在一个给定的时刻,即用一个给定时刻的平面来截取费曼图.考虑介子介子相互作用的平面拓扑$$s$$频道贡献Fig.7.1(a),这样的截取得到一个夸克反夸克对,两者之间的空间对于胶子的弦.考虑同样介子介子相互作用的非平面拓扑$$s$$频道贡献Fig8.3(b)或者Fig8.3(c)或者Fig8.3(d),这样截取到的是除了Fig7.1(a)中那个夸克反夸克对之外,另外一对夸克反夸克对并没有被湮灭,共计两个夸克反夸克对,每一组都对应一根弦,和Fig.7.1(b)中的多组夸克反夸克对的情况不同,这里的两根弦构成一个闭合的回路,和前面的开弦情况相比,后者对应闭弦,而一个闭合的圈是无法用平面的图形来描绘的.

理解柱面的相互作用可以理解为把表面无限"缩水",从而把粒子线都拉到一起.

P.146 Fig.8.5

(a)注意到这里无法如Fig8.4(a),将$$q_jq_k$$与$$q_t$$湮灭掉.所以核子核子相互作用无法归结为平面拓扑的$$s$$频道贡献.

柱上面的圈是在柱子表面的.在柱子的表面可以从真空激发出夸克反夸克对构成的圈.如果用一个给定时刻的平面来截取Fig.8.5(a),就容易看到这与前一章开弦上激发出夸克反夸克对的情况非常类似.

P.147 (1)

这里有四个快度,三组快度差,所以是三个因子相乘.要利用Pomeran理论,由P.147第一式,如果快度差足够大,$$s$$就足够大,可以用Regge或者Pomeran理论.

考虑如下费曼图,一个快度为$$y_i$$的核子和一个快度为$$y_{jk}$$的核子相互作用.前者含有夸克$$i$$,后者含有夸克对$$jk$$,如果这个夸克$$i$$与夸克对$$jk$$形成一个中间态而或者一个统一的快度,那么这个过程可以因子化,即没有形成中间态的夸克的状态完全没有改变,同时中间态是一个色单态重子态,故而这个过程的散射振幅等于一个重子分裂为一个夸克$$i$$和夸克对$$jk$$的散射振幅.由于中间态是色单态对应夸克反夸克对构成的态,故而这个重子重子散射对应一个Regge轨迹.

注意到如果中间态是由夸克和夸克构成,这时两个夸克无法相互湮灭或者构成色单态,那么就只可能对应两个夸克线相互交换的过程,然后重新与另一个核子的夸克对构成末态核子,这时对应Pomeron轨迹而非Reggeon轨迹.

关于这一页第一个公式,快度和$$s$$的关系,在横动量不重要的时候,
 * $$s_{a,b}=(p^a+p^b)^2=(m_T^a cosh y_a + m_T^b cosh y_b)^2-(m_T^a sinh y_a+m_T^b sinh y_b)^2-(p_T^a+p_T^b)^2=(m_T^a)^2+(m_T^b)^2+2m_T^a m_T^b cosh(y_a-y_b)$$

这个式子中多出来的因子来自变量$$y$$到$$x$$的变换.

$$x$$动量比例和快度的关系参见(2.20).

Ch.9 Quarks Gluons and Quark-Gluon-Plasma
P.165

第一个等式的最后一步.注意到$$z^3 dz e^{-z} e^{-nz}=\frac{1}{(n+1)z}((n+1)z)^3 d((n+1)z) e^{-(n+1)z}=\frac{1}{(n+1)z}\Gamma(4)$$,即得.

第二步等式的第二步.注意到$$\sum_{m=1,3,5,..}\frac{1}{m^4}=\sum_{m=1,2,3,..}\frac{1}{m^4}-\sum_{m=2,4,6,..}\frac{1}{m^4}$$,即得.

Ch.10 Lattice Gauge Theory
首先注意到对行列式,按定义不难证明$$det A=\sum_{abc}\varepsilon^{123}_{abc}A_{1a}A_{2b}A_{3c}=\sum_{abc}\varepsilon^{123}_{abc}A_{2b}A_{1a}A_{3c}=\sum_{bac}\varepsilon^{213}_{bac}A_{2b}A_{1a}A_{3c}=\sum_{bac}\varepsilon^{123}_{abc}A_{2a}A_{1b}A_{3c}$$.

如果对这个可以任意轮换的指标求和,我们得到$$det A=\sum_{abc}\varepsilon^{123}_{abc}A_{1a}A_{2b}A_{3c}=\frac{1}{3!}\sum_{abc}\sum_{\alpha\beta\gamma}\varepsilon^{\alpha\beta\gamma}_{abc}A_{\alpha a}A_{\beta b}A_{\gamma c}$$.其中的因子来自所以可能轮换的次数$$3!$$.

由此不难证明,如果我们固定列指标而对行指标求和,同样可以得到行列式,即$$det A=\sum_{abc}\varepsilon^{123}_{abc} A_{1a}A_{2b}A_{3c}=\sum_{abc}\varepsilon^{123}_{abc} A_{a1}A_{b2}A_{c3}$$,这相当于说矩阵的转置的行列式等于矩阵的行列式.

利用这个结论,就可以去证明矩阵的乘积的行列式等于行列式的乘积.唯一所要做的,就是先考虑一组确定的求和指标:比如第一个行列式固定列数为123,第二个行列式固定行数为123.

$$(det A)(det B)=(\sum_{abc}\varepsilon^{123}_{abc}A_{a1}A_{b2}A_{c3})(\sum_{\alpha\beta\gamma}\varepsilon^{\alpha\beta\gamma}_{123} B_{1\alpha}B_{2\beta}B_{3\gamma}) $$

注意到$$\varepsilon^{123}_{abc}\varepsilon^{\alpha\beta\gamma}_{123}=\varepsilon^{\alpha\beta\gamma}_{abc}$$,另外可以对123作轮换而不会改变结果,轮换总共有3!种可能,而最后得到的是乘积矩阵对应行列式的3!倍,即得最后结果.

P.203 $$U_{-\nu}(n+\mu)U_{\mu}(n)$$

按定义,等式右边指数上第一项符号有误$$U_{-\nu}(n+\mu)U_{\mu}(n)=exp{+ig\frac{a}{2}\cdots}$$

Ch.11 Results from Lattice Gauge Theory
P.212 (11.6)

在$$T\rightarrow \infty$$时,可以忽略空间方向上的积分.

P.213 (11.9)

由(11.43)知道,$$J$$中也应该包含$$\lambda$$矩阵,而拉格朗日和作用量都必须是数,故必然存在求迹.

P.213 (11.11)

注意到$$\frac{1}{g^2}=\beta$$

P.214 (11.12)

$$\Pi_p(1-\beta tr(UUUU))_p$$不理解这里的负号,似乎应该是正号,但是注意到这个符号完全不影响下面的推导的结论.

P.217 特殊幺阵群参数空间的积分

推导中注意到下面的关系即可


 * $$\int dU x_1^2=\int dU x_2^2 =\int dU x_3^2 =\int dU x_4^2$$


 * $$\int dU x_i=\int dU x_i x_j =0 (i\ne j)$$

想象在三维空间的二维球面上的积分即得.

P.219 (11.18)

这是一根在虚时空间的环形的线,两头一致是因为如果(11.18)对应态的(和时间演化对应的)系综平均,那么初态末态必须一致,故有(11.19).

按此定义的得到的配分函数是和体系的自由能联系在一起的$$=\sum_r e^{-\beta E_r}=Z=e^{-\beta F}$$.

P.225 (11.31)

这里$$\theta_{iL}$$,\theta_{iR}是针对link的两边结点,故四点相乘正好抵消.

P.230 $$=0$$

因为虚部总是存在对应项权重一样,数值相反.另外易证实部和虚部的交叉项的实部为零$$Re=0$$

P.232 (11.51)

这里有个对这个近似的问题.本来(11.33)与$$\lambda$$完全无关的,后者是在近似中引入的,近似过程使得结果与$$\lambda$$有关,并且对它求极值, 为什么?

P.240 (11.54c)

这个式子是关于经典的Grassmann数,量子的场对易关系显然右边是$$\delta$$函数.比如参见F. Mandl的量子电动力学(3.7),等式右边除了$$\delta$$函数外还正比与$$h$$,所以在经典极限下对易关系的右边为零.

Ch.12 Nucleus-Nucleus Collisions
这章主要讨论Glauber模型.

P.257 (12.15)

这是是考虑至少有一次非弹性碰撞的二元碰撞数的平均值,数学上和$$$$的区别仅仅是对碰撞数的求和需要从1开始,即$$=\frac{\sum_{n=1}^{AB}nP_n(n,b)db}{\sum_{n=1}^{AB}P_n(n,b)db}$$.

P.261 倒数第三行公式


 * $$1-(1-f)^n

=1-\sum_{m=0}^{n}\left( \begin{array}{c} n\\ m\\ \end{array} \right)1^{n-m}(-f)^{m} =-\sum_{m=1}^{n}\left( \begin{array}{c} n\\ m\\ \end{array} \right)(-f)^{m}$$

Ch.13 High-Energy Heavy-Ion Collisions and Quark-Gluon Plasma
这章主要讨论流体力学模型的主要结果.

P.267 (7)

这里似乎有打印错误,应为$$\alpha\left(\frac{m_T}{m}\right)^{\alpha-1}e^{(\alpha-1)(y_n-y_B)}$$.

P.267 (8)

利用上面一式和(5),这里的推导似乎只有在$$\alpha$$很大的时候才近似正确,但是在后面的应用中$$\alpha\sim 1$$, 不解.

P.276 提及的(5.14)

应该是(5.11).

P.286 四速度表达式

由(13.1),得到$$u^z=\frac{v^z}{\gamma}=\frac{z}{\tau}$$,满足书中的四速度关系.

P.288 熵守恒

书中这个关系就是熵流守恒,随超曲线坐标系静止的观测者的结果:$$(su^{\mu})_{;\mu}=\frac{1}{\sqrt{-g}}\partial_{\mu}(\sqrt{-g}su^{\mu})=0$$.

另外在书中的前提下$$dy=d\eta$$.

Ch.14 Signatures for the Quark-Gluon Plasma I Dilepton Production
P.298 (2)

可以参考,比如F. Mandle量子电动力学(7.45)其中因子$$\left(\frac{m}{VE}\right)^{1/2}$$来自自旋$$1/2$$费米子(电子,轻子)的波函数算符系数,$$\left(\frac{1}{2V\omega}\right)^{1/2}$$来自自旋为$$1$$的规范场粒子(光子).把两者统一起来就得到(8.1)其中$$2m$$因子仅仅针对轻子.然后得到(8.6).最后考虑散射截面的部分,加入相对速度(参见Glauber模型关于散射截面部分的笔记)后得到(8.8),就是(2).

P.300 (2)

因为$$l_0^2=|{\bf l}|^2+m^2$$,所以$$l_0dl_0=|{\bf l}|d|{\bf l}|$$.

P.307 (24)

这里$$2(m_q^2+q\cdot\bar{q})(m_l^2+l\cdot\bar{l})$$重复多写了一次.

P.309 (2)

按$$\sigma$$的物理意义,有$$\sigma=\frac{dN/dt}{I}$$,而$$I\sim nv=\frac{d^3p fv}{(2\pi)^3}$$,故对于一个确定靶核的单位时间的碰撞数目为$$\frac{dN}{dt}=\sigma I=\sigma v\frac{d^3p f}{(2\pi)^3}$$.注意到这里没有$$N_c$$因子是因为对于确定的靶核,反夸克的颜色是确定的.

进而,书中计算了对于靶核和入射核都满足动量空间分布$$f(E)$$时的双轻子产生率.

P.310 $$dM^2=2|p_1||p_2|d(cos\theta_2)$$

可以这样写,因为对应于变换$$(p_1,p_2,\theta_2)\rightarrow (E_1,E_2,M)$$的雅克比仅仅由对应变换矩阵的对角元决定,(换言之与$$\theta_2$$对$$E_1,E_2$$的偏导数无关.

P.312 (16)

注意到$$M_0^2=4m_q^2$$.$$E_1$$的积分上限不明,但是不影响后面结果,具体见(21).

P.318 (14.14)

这里涉及到因子$$\sigma(M)$$.所以最低级的Drell-Yan过程可以因子化,其中的一个因子就是正反夸克湮灭过程.

P.320 (14.18)

这里$$M^3$$来自等式右边的第一项的分母.而因子$$M/\sqrt{s}$$是因为$$x\sim M/\sqrt{s}$$.具体见(14.21).

P.321 $$\alpha^2\alpha_s^0$$

因为$$\alpha^2 \sim e e_q$$,见P.302的讨论.

P.322 第一式

注意到$$A=B$$,由(14.18)即得.

P.324 第一式

这里的$$\delta$$函数,是把考虑了动量守恒的微分散射截面写成不含动量守恒的总散射截面和一个(对应动量守恒的)$$\delta$$函数的乘积.所以当对两边对(微风散射截面求导的)动量积分后,两边都得到总散射截面.

P.324 第二式

注意到第二个$$\delta$$的作用,可以用来化简第一个$$\delta$$.具体的,有
 * $$\frac{dC^2}{2C_0}d\vec{C}\delta(\vec{C}-(\vec{a}+\vec{b}))=\frac{d(C_0^2-\vec{C}^2)}{2C_0}d\vec{C}\delta(\vec{C}-(\vec{a}+\vec{b}))=\frac{d(C_0^2-(\vec{a}+\vec{b})^2)}{2C_0}d\vec{C}\delta(\vec{C}-(\vec{a}+\vec{b}))=\frac{d(C_0^2)}{2C_0}d\vec{C}\delta(\vec{C}-(\vec{a}+\vec{b}))=dC_0d\vec{C}\delta(\vec{C}-(\vec{a}+\vec{b}))$$

P.326 第一式

这个式子的右边似乎应该是$$\delta(x_b x_a -x_1 x_2)\delta((x_b-x_a)-(x_1-x_2))$$

P.326 (3)

利用$$x_F$$的定义,以及下面雅克比和$$\delta$$函数的关系,得到
 * $$\delta(M^2-s x_a x_b)\delta(C_z-(x_b-x_a)\sqrt{s}/2)=\frac{s\sqrt{s}}{2}\delta(M^2/s-x_a x_b)\delta(x_F-(x_b-x_a))=\frac{s^{3/2}}{2}\frac{1}{(x_a+x_b)}\delta(x_1-x_b)\delta(x_2-x_a)$$

这与书中P.325底部的 结果不符 ,对$$x_1,x_2$$的$$\delta$$函数的积分就是代入其由$$\delta$$函数决定的值.

这里对$$\delta$$函数的积分的 理解 如下.如果考虑确定入射动量的粒子,那么微分散射截面含有$$\delta$$函数,因为如果不满足能动量守恒散射截面为零,对所有中间态粒子动量积分得到总散射截面.现在考虑任何可能的入射粒子动量的前提下的,微分散射截面的总和,这相当于对入射粒子动量积分.而这个积分使得$$\delta$$函数消失了.

P.327 第三式

这个关系用个变换的雅克比可以直接得到.从而$$\delta(x_1-x_b)\delta(x_2-x_a)=(x_a+x_b)\delta(x_F-(x_b-x_a))\delta(\frac{M^2}{s}-x_a x_b)$$.

Ch.15 Signatures for the Quark-Gluon Plasma II J/Ψ Suppression
P.350 (4)

最后一行的最后一项是由部分积分得到的.

P.353 (19)

正确的做法是对(19)用傅里叶变换,得到动量空间的$$V$$函数.接下来的傅里叶逆变换不容易计算,而从坐标空间变换到动量空间是相对容易得到的.将下面的结果先对$$\theta$$积分,后对$$r$$积分,注意到对$$r$$的积分就是两个简单的指数函数的积分的差,每个指数函数的积分上下限为平庸值,即得.

不正确但是存在讨论的做法是忽略(19)右边的$$\delta$$函数,将极坐标下的$$\nabla^2$$形式写出来,可以凑解.但是这样的解在原点有奇性,不能说明这与略去$$\delta$$一致.

P.361 (15.22)

注意到式子的右边的$$\frac{dN}{dy}$$部分的物理意义是概率(对快度的导数).

P.364 (15.29)

因为吸收满足关系$$\frac{dN}{dl}=-\alpha N$$,这里的$$l$$是运动距离正比于被碰撞的核子数,故而存活率为指数关系.

P.366 (15.32)

与(15.29)相比,这里考虑了简单的线性关系.似乎可以看做当$$N$$很小的时候,上面指数关系的展开.

P.368 (15.41)

不难注意到$$A^{\alpha}=A^{1-(1-\alpha)}=Ae^{ln(A^{-(1-\alpha)})}=Ae^{-(1-\alpha)ln A}=A(1-(1-\alpha))ln A$$.

P.376 (5)

这里是在讨论$$\tau$$一定时刻的密度,故而不是平直时空的密度.注意到$$d^4=\tau d\tau d\eta dxdy$$即得.

P.376 (6)

因子$$1/2$$来源于当总参与核子数为$$2$$时,结果应该为$$\frac{dN^{NN}}{dy}$$.

Ch.16 Signatures for the Quark-Gluon Plasma III Photon Production
P.384 (16.5)

这里$$\lambda^a_{i,j}$$类似$$\gamma^\mu_{\alpha\beta}$$.下标对应矩阵的元素指标.

P.385 (16.8)

其中利用(16.2-3).

P.387 微元$$dt$$

对(1)求导,固定$$m,E_\gamma,E_q,p_q$$.

P.387 (2)

注意到这个式子的合理性在于,两边对$$dp_\gamma$$积分后得到总散射截面以及能四动量守恒.

P.388 微分散射截面(16.14)极值的讨论

$$\frac{1}{u-m^2}$$和$$\frac{1}{t-m^2}$$这两项都来自动量交换的贡献,区别仅仅是对末态粒子动量的定义不同.

P.390 (16.18)

最后一项$$\frac{\sqrt{s}}{2}\sqrt{s}=\frac{s}{2}$$.

P.395 (5)

波色子末态增强因子$$(1+f)$$的来源.这个因子的来源完全类同于玻尔兹曼输运方程的推导中涉及的相应项.

最简单的考虑费米子的情况,费米子末态的这个因子是显然的.对波色子,考虑相应的过程的反过程,末态变为初态,由细致平衡,从而存在该因子.考虑stack exchange的讨论和Le Bellac一书的推导.

P.398 (19)

因为$$\int dx \frac{1}{e^x+1}=\int dx \frac{e^{-x}}{e^{-x}+1}=(-1)\int \frac{d(e^{-x}+1)}{e^{-x}+1}$$

Ch.17 Signatures for the Quark-Gluon Plasma IV The HBT Effect
P.437 (17.6)

这可以做点源影响函数的物理解释.光子或者$$\pi$$介子场的运动方程可以看成由经典"源"激发的场.用格林函数方法来求解该问题,问题的解就是格林函数对"源"的积分.

P.444 (17.25)

这里的贡献是两项之和.分别是两个点源正好相同和源不同的情况.

P.454 (17.54) c.f. (17.25)

对于任何可以把源的相位写成$$\phi(x)$$的情况,都可以按(17.54)来推导关联函数.这时候,注意到对于完全不相干源的情况,书中的"证明"需要重新考虑.这里涉及到引入完全不相干源的假设,数学上相当于把任何涉及到因子$$e^{i\phi(x)}$$的积分都取为零.

P.457 (8)

这里$$1$$来自$$e^{-i\phi_{\chi}(x)}e^{i\phi_{\chi}(x)}$$.

P.470 (17.70)

相对核子核子碰撞,这里核核碰撞的Glauber(几何)部分体现在$$\frac{dN}{dy}$$因子中.