Research Paper Notes on Time-Delay Interferometry

Research Paper Notes on Time-Delay Interferometry

本文档除了包括推导, 疑惑 外,做 读书重点 的记录 $$$$

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 * Time-Delay Interferometry, Living Rev. Relativity, 17, (2014) 6, by Massimo Tinto and Sanjeev V. Dhurandhar

Time-Delay Interferometry, Living Rev. Relativity, 17, (2014) 6, by Massimo Tinto and Sanjeev V. Dhurandhar
本文是综述arXiv:gr-qc/0409034v2的2014更新版本.讨论探测引力波的空间迈克尔逊干涉仪的激光器相位噪声的消除TDI方法.本质上该方法利用匹配光程的方法来抵消未知形式的噪声,除了表面上简单的代数加减外,抵消方案即方程(21)或(28)的解,对应了从四个多项式多项式环到一个多项式环的映射$$\mathcal{R}^4\to\mathcal{R}$$的核.这进而可以通过Grobner基,环理想的生成元,和syzygies模等数学概念来系统的得到问题的解.后者的数学基础是值得深入学习的.

(7-9)

这里的推导文中的叙述并不清晰,可以参考比较(25)附近的推导.(8)是对光路中的激光相位噪声进行两次延时并相减后剩余的非零部分,它对应了噪声一次延时后的贡献.相当于(25)中算符乘积中的一次项.

(21)

因为(20)中的$$p$$可以是任何噪声形式,故(20)并不对应矩阵的齐次方程从而得到(21)的行列式为零,而是(21)本身必须为零.

其中$$(q,q')$$是$$\mathcal{D}_i\ (i=1,2,3)$$的多项式,因为多项式本身构成环,而$$\mathcal{D}_i$$是相互对易的,故这些多项式也构成环.

(28)

这个表达式(28)左边通过四个多项式的线性组合得到一个多项式,故是一个从四个多项式多项式环到一个多项式环的映射$$\mathcal{R}^4\to\mathcal{R}$$.

如文中所述,方程(28)要求等式右边为零,故它的解就是上述映射的核.称为sizigies模(module).

这个问题的数学本质就是通过环论的工具来求解上述方程.

(29)

数学方案的第一步是讨论由集合(29)为生成元构造的理想.因为有四个生成元(即将这四个生成元乘以环的任何元素构成的理想,这区别于更简单情况下主理想通过一个生成元来产生的例子),故理想通过生成元来产生的形式是$$\sum v_i u_i$$,其中$$u_i$$就是由(29)决定的生成元(用符号$$u_i$$没有异议因为生成元本身必然属于通过其构造的理想$$u_i\in\mathcal{U}$$),而$$v_i\in\mathcal{R}$$是环中的任何元素,容易证明这样得到的集合满足理想的定义.上述定义的理想可以由某一组更为精简的生成元基来生成,这组基底的一个选组方案就是Grobner基.

文中指出Grobner基是由单一生成元产生的主理想情况的推广,因为这里涉及多个生成元.

对于单一生成元的简单情况,文中给出了这样的例子.考虑仅由一个(而非本文中涉及的三个)变量定义的多项式环.我们同样考虑由任意指定的$$m$$个环的元素$$(g_1,g_2,\cdots,g_m)$$为生成元定义的理想$$\mathcal{G}$$,理想的元素形式为$$\sum_{i=1}^m v_i g_i$$.其中$$v_i$$就是该多项式环的元素.现在要考虑某多项式$$f$$是否属于上述理想.我们注意到,按多项式环的定义,多项式系数本身也是某个环的元素,我们考虑一个简单的情况,即多项式系数是整数,即多项式系数属于整数环.这意味着,对生成元集合的线性组合可以得到其"最大公约数",它是某个确定的多项式$$g$$.所以,若$$f$$是$$g$$乘以其他换元素得到的,换言之,$$f$$可以被$$g$$整除(余数为零),我们就可以通过对生成元的线性组合得到$$g$$,然后得到$$f$$,即$$f$$属于环$$\mathcal{G}$$.反之,若$$f$$属于环$$\mathcal{G}$$,它必然可以表达为$$\sum_{i=1}^m v_i g_i$$的形式,但因为$$g$$是$$g_i$$的公约数,我们可以把它们各自都写成公约数乘以换元素的形式,这样提出公约数后$$g$$,显然形式上$$f$$能被$$g$$整除.上述论证意味着,一个变量的多项式环的任意理想必然是主理想,理想只有一个生产元,上述例子中理想$$\mathcal{G}$$的生产元就是$$g$$.而文中指出,多于多变量多项式环,上述简单结论不再成立,这样才有Groner基的概念.

文中指出,对多变量多项式环,虽然任意环元素都可以写成$$\sum_{i=1}^m v_i u_i$$的形式,但是把换元素用生产元$$u_i$$来除,并把得到的余数用下一个生成元来除,一直到穷尽所有生成元,最后的余数未必为零.这是因为保证余数最小的原则导致了,用第一个生成元$$u_1$$除以后的余数并不一定是$$\sum_{i=2}^m v_i u_i$$.而Broner基确保上述连续除法最后得到的余数为零.

(30)

具体计算结果得到这里的Grobner基的数目为3个(比之前(29)中给出系数数目少1).更为直观的细节,参见(115-116)附近的讨论.

(31)

进而,我们可以计算对应sizigies模的生成元,从而得到问题的解.因为模(module)的简单例子就是定义在标量场上的矢量线性空间,对应的模的每个生成元具有6个分量(即$$q,q'$$的分量总数).线性独立的生成元有4个.具体细节参见附录的讨论.

(118)

由(116)易知$$Af=(1-dc)f=0$$,取转置为$$f^T A^T=0$$.比较方程(114),知$$A^T$$的每一行都满足(114),它们的线性组合也必然满足.

我们指出,上述构造的基础是矩阵$$dc$$的存在性.这可以简单的由基的定义得到证明.参考(29)处采用的符号,因为Grobner基是理想的基,故对于任意一组环的元素$$v_i\in\mathcal{R}$$,我们得到一个理想中的元素$$r=fv\equiv \sum_i v_i u_i\in \mathcal{U}$$,必然存在另外一组对应的环的元素$$w_i\in\mathcal{R}$$满足$$r=gw\equiv\sum_i w_ig_i$$.反之,对任意一组换的元素$$w'_i\in\mathcal{R}$$,得到一个理想中的元素$$r'=gw'\equiv\sum_i w'_ig_i$$,必然能够找到另外一组对应的环的元素$$v'_i\in\mathcal{R}$$满足$$r'=fv'\equiv \sum_i v'_i u_i\in \mathcal{U}$$.由上述第一个条件,我们取$$v_i=(1,0,0,0)$$,对应的$$w_i$$就是$$d$$矩阵的第一行的元素,由此类推得到$$d$$矩阵.而类似的上述第二个条件可用于决定$$c$$矩阵.

这里给出的结果中$$a_2$$的第二个元素有打字错误,因为$$1-z^2$$而非$$z(1-z^2)$$.

(120)

这里具体描述了如何构造另外三个生成元.这里,矩阵$$b^*$$把$$f$$转换为Grobner基的S多项式,但并不为零.具体推导参见本综述2021版的(50)之前的讨论.

通过上述具体构造过程我们直观的看到为何Grobner基可以用于确定sizigies模的生成元.

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