Lecture Notes of Black Hole Physics by Frolov and Novikov

Lecture Notes of Black Hole Physics by Frolov and Novikov

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Ch.4 Black Hole Perturbations
P.89 (4.2.5)

将(4.2.5)代入背景度规(4.2.2),不难发现径向类光曲线满足$$ds^2=0$$和$$d\theta=d\phi=0$$,导致$$dr_*=\pm dt$$.

P.92 (4.2.10)

对第一式,在视界处$$r_*\rightarrow -\infty$$,考虑到之前分离变量法引入的时间因子$$e^{-i\omega t}$$.这样得到的标量场微扰的平面波的相速度随着时间增加向$$r_*$$减小的方向传播,即向黑洞视界内传播,满足因果律.

P.92 (4.2.11)

就是把Wronskian行列式分别代入两头的波函数的渐进行为(及其共轭)并另之相等,即得(4.2.11),已验证.

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Ch.5 General Properties of Black Holes
P.151 (5.1.1)

这是一个保角变换.

首先注意区别.按数学方法,比如参考胡嗣柱数理方法,解析函数的换元就是保角的,所以原则可以通过验证变换是否满足柯西-黎曼条件来验证变换是否为保角变换.但这里变换$$\psi=\arctan(t+r)+\arctan(t-r)$$和$$\xi=\arctan(t+r)-\arctan(t-r)$$显然不满足柯西-黎曼条件$$\frac{\partial \psi}{\partial t}=\frac{\partial \xi}{\partial r}$$和$$\frac{\partial \psi}{\partial r}=-\frac{\partial \xi}{\partial t}$$.具体的,第一个等式满足,而第二个等式差了一个负号.实际上,如果画出图来,明显看到$$r,t$$的常数曲线并不是保角为90度的.所以这个变换似乎不是保角的.

实际上,这是因为我们没有考虑度规,按张承勇的解释,数理方法中的定义是对平直空间不考虑度规的情况(!)广义相对论在计算曲线坐标变换后的任意曲线在变换前后夹角的时候必须考虑度规,具体的,夹角按$$u\cdot v/|u||v|=u\cdot v/(\sqrt{u\cdot u}\sqrt{v\cdot v})$$来计算,其中内积要考虑度规.实际上,这里的左边变换给出的对应的Weyl变换,满足$$g_{\mu\nu}(x)\rightarrow g'_{\mu\nu}(x)=\Omega(x)g_{\mu\nu}(x)$$,按这个定义,任何内积的比例必然不变,所以由内积的商来定义的夹角也不变.另外注意到,共形变换是对坐标定义变换,而Weyl变换是对度规张量定义的变换.具体参见这个讨论.

最后,虽然考虑了度规的"夹角"不变,对应于在新老坐标轴中画的曲线一般不是保角的,这是因为这里曲线的夹角仅有坐标变换决定,与度规毫无关系.但是在这个特殊的变化下容易证明,比如参见Emil Akhmedov的这个视频15:35,光线仍然是45度的.

P.151 (5.1.3)

这里$$d{\tilde s}^2$$的空间部分是单位球面.直观上,因为$$\xi$$的确就是三维空间两位球面中$$\theta$$的表现行为.一般的,对任意维度,单位球面上的自由度用球坐标表达,采用这样的定义.

P.152 Fig.5.1a

这里时间坐标对应圆柱的轴线的方向,而$$\xi$$对应圆柱表明上的弧度,由于(5.1.2),$$\xi$$的变化范围正好是$$0 < \xi < \pi$$(边界除了(5.1.2)中间的条件决定的$$\xi >0$$,就是(5.1.2)两头的条件决定的直线).另外两个坐标$$\theta, \phi$$,没有表现出来.圆柱的半径的维度并不对应任何坐标自由度,因为我们需要一个高维空间来表达一个低维的球面.参考这里更为细致的讨论,因为$$\xi >0$$(文中$$R>0$$)其实对应的参数空间只有一半,时空结构并不占据没有整个菱形.在实际讨论中,把坐标画满整个菱形的理由是,考虑一根径向的光线,当他正好穿过原点后,对应$$r$$从正到零在折返为正数,$$\theta$$变为补角,$$\phi$$增加$$\pi$$角.这个坐标的变换在满足球对称的两维坐标情况下,即在保持$$\theta,\phi$$不变的要求下,对应$$r$$从正数通过零点变为负数.显然后者更为简便,所以把整个两维坐标空间填满菱形.

另外对光线$$ds^2=0=\tilde{d}s^2$$,与具体度规无关,对(13)的情况,两边的度规都是对角的,按转动不变性去掉角度部分后,两边都得到$$dt=dr$$和$$dT=dR$$,这样的确都是45度.如果度规不对角,那么就也有理由不是45度,比如对$$R,T$$做等价于(正交)旋转的变换,就自然的可以把45度角转动到其他方向上去.

对Penrose-Carter图的讨论,一个比较精简的讨论参见这个Emil Akhmedov的广义相对论网络课程,在那里会先把对应于$$\xi$$或者$$r$$变换为乌龟坐标$$r_*$$,这样这个变量的值域就变成了正负无穷大,而非必须大于零.这样最后坐标变换后的量也没有这个限制,如课程中提到的,我们的确得到两倍的空间.

P.161 Fig.5.4

这里在不同的坐标下画出了视界,星体表面(曲线1),无穷远,零点(奇点)等.视界在$$\tau_0$$出现在原点,逐渐膨胀直到在$$\tau_1$$和星体表面重合,之后在Eddington-Finkelstein坐标中停止膨胀而在彭罗斯卡特图中继续以光速膨胀直到与时间无限未来重合.

P.163 Fig.5.3

图中包含点(caustic)1向下张开的锥形对应塌缩星体的半径.在点1处出现视界,也是构成视界的零曲线generator的交汇点.而点2对应视界形成后,另一根generator进入视界的位置.

P.166 (5.3.2)

注意$$l^\mu=g^{\mu\nu}v_{,\nu}$$和$$l_\mu=v_{,\mu}$$是零曲面的法向量,按零曲面定义,内积为零.

但是如果把与这个法向量内积为零(垂直)的质量定义为零平面,那么显然法向量$$l^\mu$$本身也满足这个条件,从而与零平面相切.这个"有趣"的结论在Eric Poisson An Advanced Course in General Relativity一书(3.1.5)下面也被提及.

按这个结果,不然理解这个方程为什么是测地线方程,因为比如按Schutz一书(6.47)处的记号,则$$U^\mu=l^\mu$$就是测地线的切向.在下面,本书中也强调了,如果初始点位于零曲面上,那么测地线就在这个零曲面上.

P.166 (5.3.3)

对第二个等式,因为$$\frac{\partial f^\mu}{\partial y^\alpha}$$只能在零曲面上,故与零曲面法向的内积为零.

P.167 (5.3.7)

由(5.3.6)决定了一个对观察者而言的3维等时曲面.加上条件(5.3.7)这个曲面同时还必须在3维零曲面上,故两者的交集是一个2维曲面.它是对观测者而言等时的零曲面.

P.167 (5.3.9)

注意这里的展开的定义采用了复数的基和复数的系数,所以两个线性独立的基和系数都互为复共轭.正因为如此,在后面(5.3.19-20)只需要给出一个系数的变化关系即可.

P.168 (5.3.12)

现在我们可以选择适当的仿射坐标,使得第二个观测者的等时曲面正好对应仿射坐标$$r_2$$.同时按(5.3.2)下面的讨论,这个等时面处于零曲面上,所以满足(5.3.3)的第二式.

P.168 (5.3.13)

首先这里是在考虑对两个不同观测者2的等时的"像"的相互关系.如果他们之间$$\delta x^\mu$$满足关系$$\delta' x^\mu-\delta x^\mu=al^\mu$$,那么(5.3.13)的确被满足.这是由于$$l^\mu$$本身类光且与零曲面正交.

而上面这个关系只需要考虑到"像"边界的对应点处于同一测地线上,所以对于微小的变换,按测地线方程(5.3.2),其差别就是沿着$$l^\mu$$方向的.

P.168 (5.3.14)

注意到,对于给定的$$\phi$$,$$\zeta^\alpha$$是$$m^\alpha$$的常数系数的线性组合,而$$m^\alpha$$本身是平行移动的,所以$$\zeta^\alpha$$是平行移动的.(5.3.14)正是切向矢量为$$l^\beta$$的测地线方程的形式.

P.169 (5.3.15)

注意到$$\zeta^\alpha$$的定义是(5.3.14)上面是用边界的基的展开的平行移动定义的.而$$\zeta'^\alpha$$的定义是(5.3.15)上面用边界上点的零测地线与中心点零测地线在同一放射坐标$$r$$出的差定义的,(5.3.15)是把后者再用(平行移动后的)基展开.两者并不一致.

这两者的差$$\zeta'^\mu-\zeta^\mu$$,或者他们分量的差$$\zeta'-\zeta$$即(5.3.21)表达了遮挡物和像的差别,在广义相对论中,这个差别必须通过对遮挡物的平行移动来计算.

P.169 (5.3.16)

具体 未证明 .等式的第一步相当于李导数的定义.而后一步等式应该可由$$\zeta'$$的具体形式证明.

P.169 (5.3.17)

作为一个取巧的办法,这可以通过(5.3.16)考虑无限小的放射坐标变化$$\delta r$$情况下,在局域坐标下得到.这时(5.3.16)第一项对应对放射坐标的普通导数,而第二项将$$\zeta'^\mu$$替换为$$\zeta^\mu$$,即得.

未证明 为什么这里定义的$$\rho, \sigma$$不依赖与基的取法,以及微分$$\rho\delta r, \sigma\delta r$$不依赖于放射坐标的选取.

P.169 (5.3.18-19)

将(5.3.17)等式右边的第一项移到坐标,接着将(5.3.14)上面的定义$$\zeta^\beta=\zeta{\bar m}^\beta+{\bar\zeta}m^\beta$$代入(5.3.17)的右侧.我们得到$$(\zeta'-\zeta){\bar m}^\alpha+({\bar\zeta}'-{\bar\zeta})m^\alpha={l^\alpha}_{;\beta}(\zeta{\bar m}^\beta+{\bar\zeta}m^\beta)$$.

接着两边用$$m_\alpha$$来内积,利用(5.3.8)的正交归一关系,即得(5.3.18-19).注意到(5.3.18-19)都有一个负号.

P.170 (5.3.24)

不清楚怎么证明 .因为这里不知道具体的度规和联络啊.

P.170 (5.3.25)

注意到(5.3.23)意味着$$d{\mathcal A}=-{\mathcal A}(\rho+{\bar \rho})\delta r$$,代入$$\rho={\bar \rho}$$即得(5.3.25).

P.174 Fig.5.10

按刘云旗的提示,这里讨论了关于黑洞视界的一个重要 物理概念 .某一时刻的事件视界其实不仅仅是与当前时刻的时空性质有关,还由考虑时空的所有未来性质决定的.作为比较,某一时刻的表观视界仅仅由某一时刻光测地线的性质决定.这样表观视界可以在事件视界内部,这是因为,某一时刻向外射出的光线可以由于黑洞随时间的物质积吸而无法达到未来无穷远.

在P.175最下方,讨论了一个比较数学化的定义,这里把和向内以及向外零测地线都垂直的类空曲面沿着放射参数的演化都收敛的曲面,即定理(5.3.29)中涉及的$$\rho>0$$的条件,称为"被囚禁的表面".

P.175 Fig.5.11

这里比较了表观世界和事件视界的区别.考虑一个塌缩的星体,按之前的讨论以及Fig.5.11a知,事件视界是在对应黑洞质量的全部物质完全塌缩进事件视界(2M半径,对应时刻$$$$\tau_1)之前(对应时刻$$\tau_0,\tau_0<\tau_1$$)就形成的.这样如果在时刻某时刻$$\tau_t,\tau_0<\tau_t<\tau_1$$星体发生爆炸,把还没有进入视界的物质甩到无穷远,黑洞就无法形成.后者对应Fig.5.11b.注意到在$$\tau_t$$之前,Fig.5.11a和Fig.5.11b对应的黑洞演化完全一致,所以,和之前讨论的结果一致,事件视界是由未来的性质决定的.对应Fig.5.11b的情况,事件视界从未形成.

P.176 Apparent horizon

进一步在本页下方,书中讨论了表观世界与黑洞形成充分和必要关系.

书中指出,表观视界是黑洞形成的充分条件,且表观视界一般在事件视界的内部.这样,可以推迟表观视界不是黑洞形成的必要条件.证明如下.

与事件视界不同,表观视界是由某一时刻的时空特性决定的.同样考虑Fig.5.11a和Fig.5.11b的这两种情况,因为对Fig.5.11b的情况完全没有形成黑洞和事件视界,所以必然没有形成表观视界.特别的,对于Fig.5.11a的情况(对Fig.5.11b显然同样成立)在$$\tau<\tau_t$$之前必然没有形成表观视界,否则因为演化完全一致,对Fig.5.11b的情况也必须存在表观视界,从而必将形成黑洞,与假设矛盾.这样我们知道即便对于形成黑洞的情况下,可能存在事件视界但不存在表观世界,证明了表观视界并非黑洞存在的必然条件.

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Ch.12 Black Holes and Thermodynamics
P.467 (12.1.3)

这里无非是用黑洞质量,视界面积,电荷,角动量的代数关系(12.1.2)得到一个类似于第一定律的微分关系.把这个关系解释为热力学第一定律,需要进一步的考察黑洞与外界构成的更大的体系,证明这个关系式是后者的热力学第一定律的一部分.

P.467 (12.1.4)

如果黑洞的电荷和角动量为零,随着半径的增加,黑洞质量增加,而黑洞表面引力$$\kappa$$减小,从而温度降低.这样黑洞的热容为负.

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