Research Paper Notes on Acoustic Black Holes

Research Paper Notes on Acoustic Black Holes

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文献列表
Acoustic Black Hole and Effective Metric
 * Experimental Black-Hole Evaporation? Phys.Rev.Lett. 46 (1981) 1351–1353, by W.G. Unruh
 * Acoustic black holes: horizons, ergospheres, and Hawking radiation, arXiv:gr-qc/9712010v2, by Matt Visser
 * Geometrical aspects of light propagation in nonlinear electrodynamics, arXiv:gr-qc/9911085v1, by M. Novello et al
 * Light propagation in non-trivial QED vacua, arXiv:hep-ph/9804375v1, by Walter Dittrich and Holger Gies
 * Light propagation in non-linear electrodynamics, arXiv:gr-qc/0005049v1, by V. A. De Lorenci et al
 * Bi-refringence versus bi-metricity, arXiv:gr-qc/0204017v1, by Matt Visser, Carlos Barceló, and Stefano Liberati
 * Analog gravity from Bose–Einstein condensates, arXiv:gr-qc/0011026v1, by Carlos Barceló, Stefano Liberati, and Matt Visser

General Arguments
 * Analog gravity from field theory normal modes? arXiv:gr-qc/0104001v1, by Carlos Barceló, Stefano Liberati, and Matt Visser
 * Refringence, field theory, and normal modes, arXiv:gr-qc/0111059v1, by Carlos Barceló, Stefano Liberati, and Matt Visser
 * Analogue Gravity, arXiv:gr-qc/0505065v3, by by Carlos Barceló, Stefano Liberati, and Matt Visser

Experimental Nonlinear Optics
 * Equation for Nonlinear optical propagation beyond the paraxial approximation, Proc. SPIE 3418 (1998), by S. Alam and C. Bentley
 * Acoustic black holes in a two-dimensional “photon fluid”, arXiv:0808.1624v2, by Francesco Marino
 * Penrose Superradiance in Nonlinear Optics, arXiv:2007.07766v1, by M.C. Braidotti, D. Faccio, and E.M. Wright

Experimental Black-Hole Evaporation? Phys.Rev.Lett. 46 (1981) 1351–1353, by W.G. Unruh
本文从非相对论粘滞流体运动方程出发,导出了扰动方程满足弯曲空间黑洞度规中的标量场扰动方程.因此,作者得出结论:黑洞热辐射可以在相应的经典体系中研究,甚至在实验中实现.

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Acoustic black holes: horizons, ergospheres, and Hawking radiation, arXiv:gr-qc/9712010v2, by Matt Visser
本文是声学黑洞以及相关的黑洞视界与热力学的综述,值得好好学习.

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Geometrical aspects of light propagation in nonlinear electrodynamics, arXiv:gr-qc/9911085v1, by M. Novello et al
本文讨论非线性光学对应的等效弯曲时空对光测地线的影响

(4-6)

这与广义相对论中的Israel连接条件非常相似. 其中,(4)指电磁张量(对应度规)在曲面两侧连续,(5)指电磁张量的导数的不连续性只能在法向,而(6)是曲面法向的定义,在文中称为波矢.

(8)

就是变分原理导致的欧拉拉格朗日方程,注意到结果只有一项因为电磁张量中只含有场的导数项而不含有$$A_\mu$$.

(9-10)

这就是在曲面$$\Sigma$$两侧计算(8)并取差的结果.其中利用乘积的导数的计算以及(4-5).

(11)

这个结果的推导只需要注意到(5)的等式左边在取差前满足轮换关系,故取差后仍然满足轮换关系.

(13)

这里从(9)等式右边的第一项中解出$$f^{\mu\nu}k_\mu=\frac{2L_{FF}\xi F^{\mu\nu}k_\mu}{L_F}$$代入(12)等式右边的第二项中因子$${f_\nu}^\lambda k_\lambda$$. 这样在$$\xi\ne 0$$时约去$$\xi$$,即得与边界无关的结果.

这里形式上有两个问题.第一,上述推导结果仅在非平庸的边界$$\xi\ne 0$$处成立,不在bulk内任意位置成立.第二,$$k_\mu$$被称为波矢,但是它仅是曲面的法向量,即便电磁波(没有必然性的)垂直于曲面,$$k_\mu$$在一般情况下由曲面决定,未必是零矢量.

这两个问题可能的解答如下.第一,这里研究的是不连续性$$\Sigma$$法向量的传播,所以我们始终考虑曲面上的结果(13).而形式上(13)说明$$k_\mu$$在等效度规中是个零向量. 第二,在附录A中作者证明了按定义$$k_\mu$$在以自身为切向量的平移移动下不变,故不连续性在等效度规中以测地线传播. 我们指出,附录中的证明仅仅用到$$k^\mu$$在等效度规下为零矢量以及它是法向量故可表达为某标量函数的梯度的形式. 这是一个很一般的证明.虽然零矢量未必是零测地线,但这里的零矢量是一个法向量,在此情况下它的确是零测地线.

(26)

参见arXiv:gr-qc/0005049v1一文(3b)附近更为详细的讨论和笔记.

(28-29)

这就是arXiv:gr-qc/0005049v1一文(16ab).

(31)

参见arXiv:gr-qc/0005049v1一文(18)的推导.

(36-37)

这个结果显然类比之前得到的(13-14),它的推导思路参见arXiv:gr-qc/0005049v1一文(22-23)的讨论,但具体形式 未能 给出证明.

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Light propagation in non-trivial QED vacua, arXiv:hep-ph/9804375v1, by Walter Dittrich and Holger Gies
本文是arXiv:gr-qc/0005049v1的前序工作,作者考虑了偏振的平均,所以没有bi-refringence效应.除此以外,基本思路被完整的继承了.

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Light propagation in non-linear electrodynamics, arXiv:gr-qc/0005049v1, by V. A. De Lorenci et al
(3ab)

注意到按定义,我们有
 * $$F^{\alpha\beta}\overset{*}{F}_{\alpha\beta}=F^{\alpha\beta}\left(\varepsilon_{\alpha\beta\sigma\rho}F^{\sigma\rho}\right)

=\left(F^{\alpha\beta}\varepsilon_{\alpha\beta\sigma\rho}\right)F^{\sigma\rho} =\overset{*}{F}_{\sigma\rho}F^{\sigma\rho}$$
 * $$F^{\alpha\beta}\overset{*}{F}_{\alpha\beta;\nu}=F^{\alpha\beta}\left(\varepsilon_{\alpha\beta\sigma\rho}F^{\sigma\rho}\right)_{;\nu}

=\left(F^{\alpha\beta}\varepsilon_{\alpha\beta\sigma\rho}\right){F^{\sigma\rho}}_{;\nu} =\overset{*}{F}_{\sigma\rho}{F^{\sigma\rho}}_{;\nu}$$ 其中Levi-civita张量的协变导数为零,因为它在平直坐标系中为零,且它是张量. 这说明了把(3b)中的张量都替换成其对偶张量与(3b)等价,并不得到新的线性独立的形式. 具体的,在一对指标没有缩并情况下的更一般的关系式是(15a).

注意到,由高维Levi-Civita符号的内积性质,Levi-Civita协变和逆变张量的内积的剩余指标的各种对应排列的$$\delta$$函数并涉及置换奇偶因子. 这样,把(3a)中的张量替换成其对偶张量形式等于(3a)与其他剩余排列可能的贡献,后者为电磁张量缩并的形式. 具体的,在一对指标没有缩并情况下更一般的我们有关系式(15b).

(22-24)

这两个表达式(22-23)对解(21)的等价性 未能 给出证明.

这里导致对含有两个协变量$$(F,G)$$构造的拉格朗日(4)存在两个等效度规(24),这与arXiv:gr-qc/9911085v1一文仅由$$F$$构造的拉格朗日(7)推知的等效度规(14)更为一般. 这里(24)被称为光锥条件,这里的重要结论是存在不止一个光锥面.

(25)

这里有笔误,等式右边$$k_\mu k_\nu$$应该为归一化的$$n_\mu n_\nu$$,如(29)等式右边.另外$$k^2=-\omega_0^2+\left|\vec{k}\right|^2$$.

(32-33)

这里,(32-33)是偏振矢量$$\epsilon^\mu$$满足的方程.

(34-35)

文中强烈,偏振矢量作为本征矢,由电磁场张量,其对偶张量,以及波矢完全确定. 所以,它必然可以表达为前者的并矢和缩并的线性组合. 而对于四维时空,引入四个基是充分的.

(37)

代入本证方程求解待定系数,我们发现四个系数中只有两个是非平庸的,这对应了两个偏振自由度.

文中指出,对偏振方程求解$$k^2$$即可得到与之前光锥方程等价的结果.这与之前的讨论联系起来了.

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Bi-refringence versus bi-metricity, arXiv:gr-qc/0204017v1, by Matt Visser, Carlos Barceló, and Stefano Liberati
本文与arXiv:gr-qc/0005049v1讨论的物理问题接近,但数学切入方式完全不同.前者考虑的是间断的运动方程,本文讨论的是背景下的扰动方程. 在本文(16)以上的讨论中,作者提到上述做法与间断演化方程的等价性,但并未给出具体的论证. 在下面的讨论中,我们参考其他工作,从几何光学近似尝试给出解释.

(7)

这就是arXiv:gr-qc/0111059v1一文(5)的特例,注意到拉格朗日并是场算符本身的泛函,故对场算符的泛函变分都为零.

(15)

这个方程可以视为是关于$$k_\mu$$的内积表达式,故对应着arXiv:gr-qc/0005049v1所讨论的光锥方程(22). 另一方面,这个方程可以视为是关于偏振$$a_\mu$$的本证方程,它对应着arXiv:gr-qc/0005049v1的方程(33). 而在arXiv:gr-qc/0005049v1一文中,(22)和(33)都来源于(14),它是场方程(6)在间断处的跳跃并利用边界条件(10b)得到的.

我们 注意到 ,(6)在间断处的阶跃可以看成是某种背景下的微扰,而边界条件(10b)与本文的eikonal近似在数学形式上具有很大的相似性. 具体的,扰动的振幅或者场的不连续性$$f_{\mu\nu}$$都是满足Bianchi恒等式的,而界面法向量或者动量$$k_\mu$$都被表达为梯度的形式.

所以,我们完全可以理解两组作者从完全不同的角度得到了数学形式上相当一致的结果.

从几何光学近似(geometric optics approximation)的角度,上述等价性在数学上是很清晰的.该近似在Wheeler的书中有详细叙述,但也可参考arXiv:1207.4253v1一文(3.1-3.8)附近的讨论. 具体的,零质量(标量)场微小扰动的波动解如果满足波长远小于波面尺度的条件,那么可以证明以下结论. 零级近似下,等相面的法向量是零矢量且满足测地线方程.因此它正比于了某光测地线的波矢或者四动量. 一级近似下,我们可以得到振幅满足的演化方程. 这就是几何光学近似.显然这里的零级结果和Novello得到的不连续面法向量的结果数学上完全等价.

(20-21)

通过选择一个适当的规范,比如时间规范$$a_0=0$$. 这样,我们得到(21)是在约束(20)下的本征方程,故偏振矢量$$a_i$$含有(3-1=2)个独立的分量,对应两个独立的偏振模式. 代入本征值后,它是关于$$k_\mu$$的方程,对应了决定光锥曲面的方程,本文称为菲涅尔Fresnel方程.

(22-24)

这里(22)可直接由定义(18)得到.而(23-24)由(22)以及利用(10)上指出的$$\Omega^{\mu\nu\alpha\beta}$$对指标的反对称,略去一些为零的项.

注意到(23)第二行,等式右边加号后$$\hat{k}_m$$应为$$\left|\vec{k}\right|\hat{k}_m$$.

(25)

文中这里的记号略微抽象.

这里是形式上把$$(3\times 3)$$的矩阵(22)$$A^{ij}$$在三个正交的方向上的投影来表达. 因为这和最初的直角坐标系有一个纯转动关系,不会改变行列式. 这三个方向第一个方向取为$$\hat{k}^i$$,即波矢的空间分量的单位矢量.另外两个方向分别为$$V^I$$和$$V^J$$的单位矢量. 注意到$$V^{I},V^J$$都是三维矢量,它们的分量并非(23)中$$V^i$$,而是从中扣除$$k^i$$方向成分后对偶两维空间的两个相互正交的基矢. 在此意义上$$T^{IJ}$$是一个$$(2\times 2)$$的矩阵,此即(28)上方讨论中指出的.

(26-29)

文中上述讨论的关键是行列式可以提出$$\omega^2$$因子,此即(26-28)的结果.

我们注意到,由(25-26)的推导,行列式(26)在扣除$$\omega^2$$后然后是$$k^\mu$$的两次型,故一般情况下可以被抽象的写成(29)的形式.

(32)

这里给出了等效度规的抽象形式.它来源于(29)以及已知的偏振本征态.

在文章的后续部分,讨论Birefringence但并非Bimetricity的情况,需要仔细研读.

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Analog gravity from Bose–Einstein condensates, arXiv:gr-qc/0011026v1, by Carlos Barceló, Stefano Liberati, and Matt Visser
(1-7)

从多体哈密顿量(1)出发,做背景场展开(2),在进程作用的极限(4)下,得到对应的薛定谔方程(5)和作用量(6).

(29)

这是由振幅和幅角的扰动的方程得到的幅角满足的两阶微分方程,再由(28)即得振幅扰动. 它对应的等效度规为(30-35).

(30-35)

文中指出,因为$$\nabla$$是空间部分度规$$h^{ij}$$的协变导数,而$$D_2$$是由$$\nabla$$构成的,所以$$h^{ij}$$的位置是不重要的,它可以自由的放置在任何位置.

但是这仍然不保证$$f^{0i}=f^{i0}$$以及$$f^{ij}=f^{ji}$$. 实际上,因为$$f^{\mu\nu}$$含有(导数)算符,它并不是函数,并不是真正意义上的度规. 文中在后面考虑各种可行的近似,是的上述度规形式有意义.

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Analog gravity from field theory normal modes? arXiv:gr-qc/0104001v1, by Carlos Barceló, Stefano Liberati, and Matt Visser
本文从一般的角度证明了标量场的拉格朗日理论,或者直接从运动方程出发,在背景场基础上的微扰都可以视为在等效弯曲空间中的达朗贝尔d’Alembertian波动方程.并讨论了激发元的量子化.

(6-12)

这里从标量场拉格朗日出发,讨论了微扰$$\phi_1$$满足的方程(6),它是在度规(7)下对应势场(12)的d’Alembertian波动方程(11).

(14-17)

这里在度规(14)中引入一个共形因子,其中$$\theta$$是时空坐标的任意函数,这样得到了新的度规满足的方程(16-17),以及新度规与方程系数的关系(15).这个关系在后续从运动方程出发直接推导时被用到.

(18-24)

从运动方程(18)出发微扰$$\phi_1$$满足的方程为(24),这里存在与$$\Gamma^\mu$$相关的额外项.

(25-32)

将(7)与(15)的第一步等号联立,并比较(25),我们发现$$\Omega=e^\theta$$.

这里令(27)为零就意味着通过寻找适当的$$\Omega$$以消除运动方程中与$$\Gamma^\mu$$相关的项. 具体的在(27)两边与$$f$$的逆$$\left[f^{-1}\right]_{\mu\nu}$$缩并,得到(30)一个与共形因子无关的矢量$$B_\mu$$必须为某个标量$$\Theta$$的梯度. 注意到这并不是总能满足的,但如果存在,我们就找到了对应的共形因子(31),使得方程能被化为达朗贝尔形式(32).

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Refringence, field theory, and normal modes, arXiv:gr-qc/0111059v1, by Carlos Barceló, Stefano Liberati, and Matt Visser
本文作者把arXiv:gr-qc/0104001v1推广到含有多个分量的场.讨论类比光学中不同偏振Refringence满足不同折射规律的菲涅尔Fresnel方程,讨论因果律等.

建议对比参考更为实际的计算的例子,如arXiv:gr-qc/0204017v1,对比阅读.

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Analogue Gravity, arXiv:gr-qc/0505065v3, by by Carlos Barceló, Stefano Liberati, and Matt Visser
模拟黑洞的综述,需要好好学习.

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Equation for Nonlinear optical propagation beyond the paraxial approximation, Proc. SPIE 3418 (1998), by S. Alam and C. Bentley
本文从麦克斯韦方程出发,讨论近轴近似和更一般情况下的非线性电介质中的电场方程.

(1)

这就是Jackson一书的(8.108),具体推导参见该书的笔记.

注意到$$n^2\equiv\frac{\mu\epsilon}{\mu_0\epsilon_0}=\frac{\mu_0\epsilon}{\mu_0\epsilon_0}=\frac{\epsilon}{\epsilon_0}$$,故和书中方程比较有一个因子$$2$$.

(3)

注意到媒质中波矢$$k=\frac{\omega n}{c}$$,真空波矢$$k_0=\frac{\omega}{c}$$.而(2)中电场沿着$$z$$方向传播,故其波矢必然就是媒质中的波矢.

如文中所述,将(2)代入(1)即可得到(3).

对(1)中等式左边的第一项,一共可以写出4项贡献. 延横向方向的两阶空间偏导为一项. 沿着$$z$$方程的两阶偏导给出三项. 其中对$$\mathbf{F}$$的两阶偏导由近似近似而被忽略.其余两项分别是对$$\mathbf{F}$$和指数函数各做一次偏导,含系数$$2$$,以及对指数函数的两阶偏导. 最后一项与方程左边第三项正好抵消,因为$$k=k_0 n$$.

但是 不清楚 方程(1)左边第二项如何化简为(3)等式右边的$$\frac{k^2}{n_1}\delta n \mathbf{F}$$.

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Acoustic black holes in a two-dimensional “photon fluid”, arXiv:0808.1624v2, by Francesco Marino
除去关于实验的讨论外,本文并没有太多新结果.另外这篇文章最初的几篇引文都是相关领域的经典之作.

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Penrose Superradiance in Nonlinear Optics, arXiv:2007.07766v1, by M.C. Braidotti, D. Faccio, and E.M. Wright
实验室用非线性光学实现模拟黑洞超辐射现象.

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