Lecture Notes of Group Theory in Physics An Introduction by J.F. Cornwell

Lecture Notes of Group Theory in Physics An Introduction by J.F. Cornwell

本文档除了包括推导, 疑惑 外,做 读书重点 的记录

Ch.5 Representations of Groups: Developments
P.89 (5.45) 注意到$$ B(q) $$是一个整数,因为(5.44)定义了一个表示的特征标,由于是阿贝尔群,这个定义必然对应阿贝尔群的一个表示,而阿贝尔群的任何表示都可以用一个小于等于群的阶的整数来表示,故$$ B(q) $$是一个整数.

Ch.7 Crystallographic Space Groups
P.110 (7.10) 由于$$ N_1,N_2,N_3 $$很大,这里的$$ \vec k $$可以几乎视为是连续的.

P.111 (7.17) 这里要对所有的$$ N_1,N_2,N_3 $$求和.直观上,在极限情况下,这个求和在复平面的各个方向上相互抵消,最后几乎没有贡献.数学上,这个求和似乎并不趋于零,但是在极限条件下,它的贡献远远小于$$ \vec k $$处于布里渊区边界时的贡献.

P.118 空间群的转动部分可以是点群的真子集 虽然我们有$$ Rt_n =t_{n'} $$,这并不意味着$$ R $$是点群元素.考虑最简单(晶格常数为$$ a $$)的空间立方晶格,空间平移$$ t_n $$对晶格内任意点成立,考虑原点为两个相邻的晶格点连线上的点$$ (\frac{a}{4},0,0) $$,如果研究对应该点的空间点群,我们存在对称操作群元$$ \{C_{2z}|\frac{a}{2}\hat{e}_x\} $$,显然操作$$ \{C_{2z}|0\} $$并不属于该点的空间群,而$$ C_{2z} $$必然属于该晶格的(以某晶格点为原点的)最大点群.

Appendices
P.272 (A.4)

等式右边是两个因子的乘积,每个因子是对矩阵的第二个指标轮换后乘以$$ {(-1)}^{P} $$求和,把求和提出到外面,考虑轮换第二个因子的第一个指标为与第一个因子的第二个指标相同,这样的轮换导致出现一个新的因子正好抵消$$ {(-1)}^{P} $$,这样对第一个因子的第二个指标的求和对应矩阵的乘积,剩余的求和对应求该矩阵乘积的行列式.这样的论述其实忽略了矩阵乘积中那些并不对应指标轮换的项,但是可以证明由行列式的性质,这些项其实等于零.

P.284 Schwarz不等式和三角形不等式

Schwarz不等式.构造一个矢量$$ \psi-\frac{(\psi,\phi)\phi}{||\phi||^2} $$,它是第一个矢量减去它在第二个矢量方向上的投影的分量.由这个矢量的模正定的条件即得.

三角形不等式由两个矢量和的模正定的条件即得.