Research Paper Notes on Quasinormal Modes

Research Paper Notes on Quasinormal Modes

本文档除了包括推导, 疑惑 外,做 读书重点 的记录 $$$$

文献列表
Analytic analyses of QNM
 * The Quasi-Normal Modes of the Schwarzschild Black Hole, Proc. R. Soc. Lond. A. 344, 441-452 (1975), by S. Chandrasekhar and S. Detweiler
 * Oscillations of a Black Hole, Phys. Rev. Lett. 52 (1984) 1361, by Valeria Ferrari and Bahram Mashhoon
 * Black hole normal modes: a semianalytic approach, Astrophys. Jour., 291 (1985) L33, by Bernard F. Schutz and Clifford M. Will
 * High-overtone normal modes of Schwarzschild black holes, Class. Quantum Grav. 7 (1990) L47, by J.W. Guinn, C.M. Will, Y. Kojima and B.F. Schutz
 * An analytic representation for the quasi-normal modes of Kerr black holes, Proc. R. Soc. Lond. A 402 (1985) 285-298, by E. W. Leaver
 * Asymptotic black hole quasinormal frequencies, arXiv:hep-th/0301173, by L. Motl and A. Neitzke
 * The asymptotic quasinormal mode spectrum of non-rotating black holes, arXiv:gr-qc/0307020, by N. Andersson and C.J. Howls
 * Spectral decomposition of the perturbation response of the Schwarzschild geometry, Phys.Rev. D34 (1986) 384, by E.W. Leaver

Analytic analyses of late-time tails
 * Late-time behavior of stellar collapse and explosions: I. Linearized perturbations, arXiv:gr-qc/9307009, by C. Gundlach, R. Price, J. Pullin
 * Wave Propagation in Gravitational Systems: Late Time Behavior, arXiv:gr-qc/9507035, by E.S.C. Ching, P.T. Leung, W.M. Suen, K. Young
 * Radiative falloff in Schwarzschild–de Sitter spacetime, arXiv:gr-qc/9902010, by P.R. Brady, C.M. Chambers, W.G. Laarakkers, and E. Poisson
 * Wave propagation in gravitational systems: Completeness of quasinormal modes, arXiv:gr-qc/9507034, by E. S. C. Ching, P. T. Leung, W. M. Suen, and K. Young
 * Late-time tails in gravitational collapse of a self-interacting massive scalar-field and decay of a self-interacting scalar hair, gr-qc/9801059, by Shahar Hod and Tsvi Piran

QNM and stability
 * Potential and Bound State, Am. J. Phys. 63 (1995) 256, by Walter F. Buell and B.A. Shadwich
 * Geodesic stability, Lyapunov exponents and quasinormal modes, arXiv:0812.1806v3, by Vitor Cardoso et al
 * Analytical correspondence between shadow radius and black hole quasinormal frequencies, arXiv:2005.09761v1, by B. Cuadros-Melgar et al

QNM and approximate stepwise potential
 * About the significance of quasinormal modes of black holes, arXiv:gr-qc/9602032, by Hans-Peter Nollert
 * Significance of black hole quasinormal modes: A closer look, arXiv:2002.07251, by Ramin G. Daghigh et al

Black hole echoes and QNM
 * A recipe for echoes from exotic compact objects, arXiv:1706.06155, by Zachary Mark et al

Numerical approaches and inverse problems
 * Mining information from binary black hole mergers: a comparison of estimation methods for complex exponentials in noise, arXiv:gr-qc/0701086, by E. Berti, V. Cardoso, J.A. Gonźalez and U. Sperhake

The Quasi-Normal Modes of the Schwarzschild Black Hole, Proc. R. Soc. Lond. A. 344, 441-452 (1975), by S. Chandrasekhar and S. Detweiler
这篇文章是Chandrasekhar-Detweiler方法.通过把主方程改写成一阶方程的形式,可以通过数值积分然后要求相函数连续来获得QNM,避免了数值不稳定性.具体讨论又参见arXiv:hep-th/0301173一文(11)的讨论.

(5-7)

与主方程(1)比较,这里给出了其"微分相位"满足的方程.这个方程的形式是一阶的.

因为它已经是原本波函数的指数部分,复频率QNM导致的波函数在无穷远处发散的问题在这里被有限的边界条件(7)所取代. 更重要的是,参考下面的讨论,原本的发散是与数值积分的不稳定性联系起来的,而这里因为不涉及两个数值上在黑洞视界附近相仿而在无穷远处相差悬殊的波函数,上述不稳定性似乎可以被避免.

这里的方程是一阶的,所以通解只含有一个积分常数.因为方程是非齐次的,故其通解不包含任何不确定的归一常数.又参见下面对方势垒的QNM解(17)的相关讨论.

(15-17)

这里给出方势垒的QNM的解.注意到(16)中的正负号选择不会影响(17)中通解仅含一个积分常数$$c$$的事实.因为通解,即(17)中的第二式,对纯虚数$$\kappa$$是偶函数.取$$\kappa\to -\kappa$$并不改变(17)第二式的形式.

(21)

这个求解的非线性方程,可由(17)中$$\tanh \kappa c$$代入(18),并注意到$$\tanh(a+b)=\frac{\tanh a \tanh b}{1+\tanh a\tanh b}$$直接得到,已验证.

我们注意到,不出意外的,最后的方程的待求变量仍然在指数上.这样的非线性方程在台阶数目很大的时候是很难数值求解的.

(49-53)

这里给出了具体的算法.除了数值积分外,在乌龟坐标的正负无穷远分别先用展开近似来得到近似解.文中指出,展开(49-50)都是收敛的.

我们注意到,表面上以(51)为例,它牵涉到5个不同的展开系数的耦合方程,所以很难得到从某低阶项出发的递推关系.所以,我们只能退而求其次,考虑到它可以充分的给出到某指定阶为止的所有展开系数$$\alpha_i$$满足的闭合的方程组.具体的,假设我们考虑五个展开系数,那么分别取$$j=0,1,\cdots,4$$时,(51)给出五个方程,忽略所有更高阶的系数后,这些方程是闭合的.借助(54),这些系数足以给出在无穷远附近函数$$\phi(x)$$的渐进形式,作为数值积分的出发点.在此意义上,这个方法与连续分数法的展开相比,后者通过选取更合适的方程形式,使得展开系数的递推关系更为简单.

实际上,林恺指出,只要取足够小的$$j$$,比如$$j=0$$,那么(51)对应的最低阶的方程只与$$\alpha_1, \alpha_0$$有关,而其他系数都为零.这样可以由$$\alpha_0$$决定$$\alpha_1$$.接着取$$j=1$$,那么对应的方程仅涉及三个系数,故可以把$$\alpha_2$$同样由$$\alpha_0$$决定.以此类推,可以得到任意阶的展开系数.进一步,因为(51)背后的方程是一阶的,所以本质上方程的解仅仅由一个积分常数决定.故最低阶的系数完全决定了方程的解是合理的.

(55)

注意到因为(6)是一个一阶方程,连接条件并非朗斯基行列式为零,而只需要函数连续即可.实际上,不难由(5)直接验证$$\phi$$连续意味着$$\psi,\psi'$$都是连续的.

Oscillations of a Black Hole, Phys. Rev. Lett. 52 (1984) 1361, by Valeria Ferrari and Bahram Mashhoon
本文提出了著名的Poschl-Teller势场近似法,更重要的是,这个方法是基于把QNM问题及其边界条件转换为束缚态问题的一般策略.

(2)

这里指出了QNM的一个物理意义.由于它的两边为出射波的边界条件,它对应了把频率延拓到复平面上后反射系数(同时也是透射系数)在频率域的奇点.同时,反射系数与透射系数的比值为有限值.

(3)

这里提出了一个把QNM问题及其边界条件转换为束缚态问题的一般策略.

首先,在变换下$$x\to x'=ix, p\to p'=\pi(p)$$下,按(3)的限制,势场不变,这样波动方程在新坐标下,势场取负号,形式不变,即(4). 因为QNM问题中的势场一般存在最大值,故势场加负号后,比较自然的对应势场形式为势阱的束缚态问题. 注意到这里文中记为$$x=-ix'$$,新的方程在$$x'$$为实数的情况下进行求解,即在原坐标$$x$$的虚轴上求解. 其中$$p\to p'=\pi(p)$$是为了使得(3)得到满足.显然,如果势场是坐标的函数,这个要求总是可以做到的,因为我们永远可以把势场中的$$x\to cx$$,并在计算最后取$$c=1$$.显然,在变换$$x\to x'=ix, c\to c'=-ic$$下,(3)总是被满足的.

其次,考虑方程的解的边界条件,比如$$x\to +\infty, \exp(i\omega x)\to \exp(i\omega' x')=\exp(-\omega' x)$$.对于QNM相应的本征值问题,因为$$\omega'=\omega(c')\ne \omega$$,并且一般不再是实数(具体例子见下面(10-11)的结果与讨论),故而方程的解的渐进行为一般不再相同. 而如果考虑散射态解的问题,这种情况下频率由外界给定.方程的通解具有两个独立的积分常数,物理上可以是分别对应左行波与右行波的散射态解.这时,我们仍然必须讨论方程与解在变换下一一对应的关系,故除了$$x\to x'=ix, V\to V'=-V$$外,还要求$$\omega\to \omega'=\pm i\omega$$,其中正负号根据实际需要取定后不变.这样原来的散射态解$$x\to +\infty, \exp(i\omega x)\to \exp(i\omega' x')=\exp(\pm i\omega x)$$仍然是散射态解.对应的解的能量,由于方程中势场的反转,产生一个负号,但这个负号正好抵消掉上述变换后频率的平方产生另一个负号,故变换后对应的散射态能量的数值不变.

显然,解析延拓(7)要求波函数在时间域不含奇性,或者从虚轴到实轴的解析延拓的路径上不存在奇点. 一般情况下,由于乌龟坐标变换,坐标空间存在割线.所以在乌龟坐标下,我们只可能在上述第二个要求的上下文中讨论问题. 而在此意义上,Motl提出的单值法正是这个思路的进一步展开.

(9-11)

这里以Poschl-Teller势场为例,具体给出计算. 这里(10)有笔误. 注意到在$$\alpha\to \alpha'=-i\alpha$$变换下,原来为实数的束缚态能级(10)变为复数形式(11).

Black hole normal modes: a semianalytic approach, Astrophys. Jour., 291 (1985) L33, by Bernard F. Schutz and Clifford M. Will
这是第一篇WKB计算QNM的文章.

Fig.1

首先当行文的年代,准正模式被称为正模式.

本质上,文章就是基于最标准的WKB方法,用于黑洞度规扰动的讨论散射波解.与普通WKB方法的区别是边界条件,即两端都是出射波.这样,文章指出,由于入射波(系数几乎)为零,由于概率守恒,透射系数与反射系数数值上必然相当,换言之,两端出射波的振幅必然相当.

显然,上述结论与量子力学的遂穿透射的一般的振幅比有很大的不同.因为在经典力学中,遂穿不存在,即当入射粒子能量小于势垒最大值时透射系数为零.量子遂穿作为经典情况下的修正,故在一般情况下透射系数的模远远小于反射(与入射)系数的模. 参考Froman的JWKB的透射系数的形式(9.7)与(9.12ab)或者Berry关于WKB近似的综述一文(2.29),在两个势场"拐点"间的反射系数与指数上的一个积分有关. 所以,上述结果也可以自然的通过具体的数学表达式来理解.一般情况下,如文中所述,在II区域,当能量与势场极值相差很大时,由于积分在两个能量与势场相等决定的拐点之间的区域进行积分,其结果$$B$$为很大的正值.这导致$$e^{-B}$$很小,即透射系数与反射系数相比小很多.

上述结果符合经典图像,但与准正模式解所需满足的边界条件大相径庭.正如文章中指出,达到准正模式的条件,就是当能量$$E=\omega^2$$与势场最大值相当,这时上述积分得到的结果尽量小,这才可能使得正则模式的条件得到满足.而实际上,这时必须进一步把能量延拓到复平面上.这是因为,如果能量为实数,那么两边外行波的边界条件使得体系不断损失能量,这显然不可能构成稳态,唯一的可能是振幅随着时间也不断减少,直到体系的能量被耗尽.这时,能量为复数,即复频率,数值上与势场极大值接近.这时使用WKB方法近似获得QNM频率谱的基本图像.

进一步,由于能量与势场最大值很接近,故方程的两个转折点(零点)非常接近.这样在势场的最大值附近,一阶导数为零,两阶导数很大,这实际上违反了WKB方法的适用条件.所以,对两个零点之间的这个区域,作者即用抛物线近似最大值附近的势场并得到对应的波函数的解,上述讨论涉及的能量与势场最大值接近的结论保证了这个展开近似的合理性.同时,作者使用WKB近似得到两个零点两侧的波函数,并用波函数以及一阶导数连续的条件来连接不同区域的解,最后利用QNM边界条件得到准正频率.

与后续工作,特别是高阶QNM准正频率的结果比较,文中给出的讨论与高阶QNM模式不符.当模式的序数较小时,的确需要满足上述能量$$E=\omega^2$$与势场最接近的条件.但考虑复域中复能量的高阶模式,积分结果同样可能通过幅角的快速震荡抵消而变得很小,使得QNM透射波与反射波振幅相当的边界条件得到满足.这时,显然WKB基于复频率与势垒最大值相近的假设,从而对对势场近似展开获得波函数近似解的做法不再可靠,所获得的QNM数值与实际结果偏差较大.

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High-overtone normal modes of Schwarzschild black holes, Class. Quantum Grav. 7 (1990) L47, by J.W. Guinn, C.M. Will, Y. Kojima and B.F. Schutz
这篇文献利用WKB近似讨论高阶QNM渐进行为.主要基于复域WKB方法,并利用积分回路的改变实现具体计算.

具体的,当QNM频率的虚部很大时,因为"拐点"移动到复平面上,标准WKB近似不再适用,必须使用复域WKB近似.计算中具体涉及的极点,割线和回路变化参见文中的Fig.1和Fig.2.

An analytic representation for the quasi-normal modes of Kerr black holes, Proc. R. Soc. Lond. A 402 (1985) 285-298, by E. W. Leaver
这篇文献中提出了经典的连续分数法.

虽然表面上,连续分数法被认为是与解氢原子电子能级的薛定谔方程类似的方法.的确,物理上的要求是在去掉渐进行为因子后的波函数用级数展开收敛.但是,氢原子情况下较为简单,是通过截断级数来达到这个目的的.而在连续分数法情况下,是利用了三项递推关系级数的收敛性质分析来求得复频率.对后者,级数具有无限多而非有限多阶,在能量取为特殊的QNM复频率时,级数一致收敛.

(5)

首先边界条件,就是在乌龟坐标$$x=r+\ln(r-1)$$下在两端的平面波形式$$e^{\pm i\omega x}$$对应$$r\to 1, r\to +\infty$$时$$x\to\pm \infty$$.

这里顾及到了在某一侧的边界条件不致影响到另一侧.比如因子$$r^{-2\rho}$$是因为在无穷远处$$(r-1)^\rho r^{-2\rho}\to r^{-\rho}$$而在视界处$$(r-1)^\rho r^{-2\rho}\to (r-1)^\rho$$.同样的,因子$$e^{-\rho(r-1)}$$是因为在无穷远处满足$$e^{-\rho(r-1)} \to e^{-\rho r}$$而在视界处满足$$e^{-\rho(r-1)}\to 1$$.

(10)

此式与(7)等价.具体推导只要注意到后者等价于$$\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{-\gamma_{n+1}}{\beta_{n+1}+\alpha_{n+1}\frac{a_{n+2}}{a_{n+1}}}$$.反复迭代这个形式即得(10)式.

(11-13)

注意到(6-7)意味着如果取定与归一性相关的第一个系数$$a_0$$,那么由(6)我们得到$$a_1$$,再由(7)反复迭代即可得到任何系数.而这样得到的展开式,即(5)等式右边的最后的求和,一般不是收敛的.在量子力学氢原子的薛定谔方程中,使得这个展开收敛的方式是截断合流超几何级数.而在这里,我们考虑的这个展开是无限阶的,它仅在频率为准正频率时以(9)的形式一致收敛.在解方程(13)时,我们只考虑有限阶$$N$$的具体展开,而根据(9)给出的渐进行为,假设从某阶开始$$a_{N+1}=a_N$$,这并非是量子力学中的截断$$a_{N+1}=0$$,而是某种对无限阶的近似.因此,我们通过(13)获得的准正频率是存在增根的.

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Asymptotic black hole quasinormal frequencies, arXiv:hep-th/0301173, by L. Motl and A. Neitzke
这篇文章提出了所谓单值法.该方法通过势场在$$r\to 0$$附近的渐进解以及解析延拓的方法,解析求解准正模式的频率.该方法的局限性是它仅适用于$$\mathrm{Im}\omega$$很大的情况.因为这里的结果主要由势场很小和在视界处的乌龟坐标变换性质决定,本质上这个方法是WKB方法.

(9-10)

这里的讨论首先说明准正模式必然意味着波函数不在希尔伯特空间中,即波函数不是平方可积的.具体的,对频率虚部符号的讨论得到波函数在空间两端发散的结论.

(11)

文中对QNM问题的边界条件的叙述似乎 不是 很清晰,在完成理解后,结合文中具体内容讨论如下.

首先,在视界处,由(7),可直接得到关系$$e^{\pm i\omega x}=(r-1)^{\pm i\omega}e^{\pm i\omega r}$$.

按之前的讨论,在复平面上,对给定的$$r$$,$$x$$仍然不是单值的.对应的一根割线经过$$r=1$$,如图Fig.1.我们考虑在$$r=1$$处对应出射波,上述表达式在指数上取正号,所以是$$(r-1)^{ i\omega}e^{ i\omega r}\to \left({\epsilon e^{i\theta}}\right)^{i\omega}e^{i\omega}=e^{-\theta\omega\ln\epsilon}e^{i\omega}$$,其中模$$\epsilon\to 0_+$$是实数,幅角$$\theta$$也是实数,顺着逆时针绕行一圈的变化为$$\Delta\theta=2\pi$$.所以在割线两侧的函数数值的比值是因子$$e^{-2\pi\omega}$$,而不是函数值的跳跃或者积分值,这点在(23)下方的讨论中给予确认.

考虑$$\omega$$几乎是纯虚数的情况,按定义,对QNM有物理意义的频率,其虚部系数为正.同时考虑在复平面上的$$x$$也几乎为纯虚数,在很大时,它与$$r$$一致,Wick转动90度后虚数系数同样为正.这样$$\omega x$$的乘积基本上是实数,但有一个负号,与文中给出的边界条件(11)比较差了一个负号.我们应该把(18)理解为波函数在无穷远处的边界条件,其中,在无穷远处,$$z$$与$$x$$的幅角是一致的,它们都几乎为纯虚数,其虚部系数小于零.注意到,虽然我们在处理单值函数,但是由于极点的存在,在一般情况下我们并不能保证复平面上的解析性.所以,边界条件并不适用于复平面上任何方向.参见(21-23)的结果与笔记中的讨论.

这里在无穷远处的边界条件由实轴上的条件(9)改为在复平面满足$$\mathrm{Im}\omega x=0$$方向上的条件(11).在这个方向上,指数上为纯虚数,所以等式左边为纯简谐振动而没有衰减.这个替换的理由在很多文献中都有提到,现讨论如下.方程(9)是出射波条件,但这个表达式在$$x\to +\infty$$时,因为$$\omega$$的虚部系数为正,是指数发散的.换言之,比较入射波和出射波在$$x\to +\infty$$时的渐进行为,前者因为是指数衰减要小得多,即便不为零,也很难显现.这意味着,要严格的从无穷远处的波函数中剔除入射波数值上是非常困难的.而(11)式对应的边界条件,入射波和出射波的振幅大致相当,把入射波剔除掉在数值上更具有可操作性.关于这个差别在数值积分求解QNM方法中的重要影响可以参见Chandrasekhar-Detweiler方法的文章P.448的讨论.具体做法是在正负无穷远处分别将满足边界条件的波函数向内积分,而正确的QNM频率在两个波函数的交接处的朗斯基行列式必为零.但因为与边界条件相违背的內行波波函数在边界处为无限小,故数值上无法避免其以微小的比例混入正确的波函数,这导致最后的计算结果在数值上有极大的误差.我们注意到本文的方法其实并不涉及数值处理.具体又参见(25)的讨论.

Fig.2

注意到Fig.1和Fig.2的左图中其实有两种不同的红色.$$r=1$$附近的红色其实对应Fig.2右图实轴右侧的区域,因为奇点$$r=1$$对应$$z=-\infty$$.

对于$$\mathrm{Re}x<0$$的区域,由于$$x=z+i\pi$$,两者之间之差一个纯虚数,故$$\mathrm{Re}z<0$$的区域,即实轴左侧就是对应区域.这在Fig.2右边的图中是显然的.

对于$$r$$,我们利用定义知$$\mathrm{Re}x=\mathrm{r}+\ln|r-1|<0$$,这对应区域$$|r-1|0$$,则上述不等式所要求的最大距离总是小于$$1$$的,故这是一个包含在$$r=1$$为圆心的半径为$$1$$的圆内的有限大小的区域.实际上,因为这是不等式两边都小于$$1$$,这个区域必然在虚轴的右侧,与原点$$r=0$$接触,如Fig.2左图所示.

另一种可能是,如果$$\mathrm{Re}r<0$$,这时不等式两边都大于$$1$$,对应的区域必然在虚轴左侧,而且因为指数总是比线型函数增加的快,所以如果在某个点上不等式两边相等,那么这个点左侧的所有的点都必然满足不等式,故这个区域向左包括无限大的空间.特别的,在实轴上满足不等式两边相等的点正是原点.在曲线$$|r-1|=e^{-\mathrm{Re}r}$$左侧的无限大区域都满足不等式,如Fig.2左图所示.

因为积分文中所讨论的复平面上的路径除了大圆以外是沿着$$z$$的实轴,即在$$r$$复平面上贴着$$\mathrm{Re}x=0$$曲线运动的,所以画出对应区域便于对问题的讨论.

(12)

将展开$$\ln(x_0+\Delta x)=\ln x_0+\frac{\Delta x}{x_0}+\frac12 (-1)\frac{\Delta x^2}{x_0^2}$$延拓到复变函数,并注意到其中$$x_0=-1=e^{i\pi+i2n\pi}$$,$$\Delta x=r$$,并按书中约定取$$n=0$$这一支,即得这个结果.

如文中指出,这个表达式的一个直接结果是在Fig.2中,在左图中原点附近$$r\to 0$$的小圆上$$3\pi/2$$弧度的绕行在右图中对应了一圈半$$3\pi$$的绕行.而在原点附近的入射幅角的变化为


 * $$5\pi/4 \to 2\times 5\pi/4+\pi=2\times 5\pi/4+\pi-2\pi=3\pi/2$$

在远离原点处,三个变量$$r$$,$$x$$和$$z$$的幅角趋于一致,入射方向都是$$3\pi/2$$.而文中选取的路径其实是保持$$z$$的入射幅角为$$3\pi/2$$不变的.

最后,按文中所取极限的上下文,在$$z$$沿着$$3\pi/2$$的幅角趋于原点时,由于$$\omega$$虚部系数为正,我们有$$\mathrm{Im}\omega z=0$$且$$\omega z\to +\infty$$.如果在原点附近,$$r,z$$都很小,那么由定义$$z=x-i\pi$$,有$$x\to i\pi$$.若$$\omega z\to\infty$$,显然$$\mathrm{Im}\omega x=0$$且$$\omega x\to -\infty$$,对于解析函数$$\psi(x)$$适用问题的边界条件(11).

(17)

这就是贝塞尔函数的渐进形式.注意到这里成立的条件是,虽然$$z$$很小,但是$$\omega z$$很大.

(18)

这就是把(15)整理后,$$e^{i\omega z}$$项对应的系数.

(20)

这个结果按贝塞尔函数与超几何函数的关系,注意到在超几何函数中自变量以$$z^2$$形式出现,故必然是偶函数,同时由超几何函数级数展开的形式知,它在复数域可导.

(21-23)

在保持极限$$\omega z\to +\infty$$下,引入变换$$z\to ze^{i3\pi}$$.利用(20)和$$\phi(z)$$是偶函数的性质,我们有
 * $$J_{\pm j/2}(\omega z)\to z^{\pm j/2}\phi(z)=e^{\pm i3\pi j/2}z^{\pm j/2}\phi(-z)=e^{\pm i3\pi j/2}z^{\pm j/2}z^{\mp j/2}z^{\pm j/2}\phi(z)=e^{\pm i3\pi j/2}J_{\pm j/2}(\omega z)$$

由此,我们可以计算(16)左边对应的变换
 * $$c_\pm\sqrt{\omega z}J_{\pm j/2}(\omega z)\to c_\pm\sqrt{\omega z}e^{\pm i3\pi j/2}J_{\pm j/2}(\omega ze^{i3\pi})=e^{\pm i3\pi/2\pm i3\pi j/2}c_\pm \sqrt{\omega z}J_{\pm j/2}(\omega z)=e^{6i\alpha_\pm}c_\pm \sqrt{\omega z}J_{\pm j/2}(\omega z)$$

其中最后一步利用了(17)中的定义.我们强调到上述结果对应极限$$\omega z\to +\infty$$,利用贝塞尔函数的渐进形式,我们同样有
 * $$c_\pm\sqrt{\omega z}J_{\pm j/2}(\omega z)\to e^{6i\alpha_\pm}c_\pm \sqrt{\omega z}J_{\pm j/2}(\omega z) \to e^{6i\alpha_\pm}2\cos(\omega z-\alpha_\pm)$$

如果我们考虑对极限反号,即$$\omega z\to -\infty$$,那么上述等式右边只需把$$\omega z$$反号,此即(21).我们强调,因为(20)中偶函数的缘故,以及对$$z$$的积分路径只差一个负号,在积分路径两端对应的都是贝塞尔函数自变量是实数的情况,即本质上只涉及$$\omega z$$在实轴上趋于正无穷大时的极限.

而(22)就是利用(21),再次把$$\cos$$写成指数形式,按入射和出射波整理后即得.这里我们看到,在一个方向上的边界条件,并不能简单的"解析延拓"到复空间的其他方向上.

最后(23)中等式的第一步利用了(18).下面一段的讨论中清楚的指出,我们在实际问题中把波函数定义为单值的,但是由于极点的存在,单值并不意味着在全平面的解析性.实际上(23)的结果就是被归结为由平面上的极点造成的.具体参见对(24)的讨论.

(24)

这里通过两个方式来计算单值波函数在大圆上绕行后的比值.得到的等式可以用于决定准正模式频率.

等式右边就是(23)的计算结果.这里考虑的波函数的自变量是$$z$$,将(19)和(22)相比,两个波函数的自变量分别对应Fig.2右图A点(两个红点中上面那个)和B点位置的$$z$$的数值,它们都是复数.具体的,由之前的推导,$$z_A\to z_B=z_Ae^{i3\pi}$$,按文中的讨论,在大圆上波函数是解析的,因为势场的影响很小,方程的解基本上是平面波解.我们把解沿着大圆解析延拓回到A点下方(对应Fig.2右图两个红点中下面那个).这时候计算波函数的比值,即(23).其中函数的自变量相同,都为$$z_A$$.函数值不同,由于积分路径圈围了$$z=0$$处的极点,另外一个极点在关于$$z$$的复平面上在无穷远处,故表面上在Fig.2右边的图中并不涉及.如书中所述,函数的比值主要由$$e^{-i\omega z}$$的系数决定,(23)计算的正是这个系数比,这是因为$$\omega$$为纯虚数,系数为正,在虚轴右边绕行,$$z$$的实部为零,故$$e^{-i\omega z}$$在波函数(22)中占绝对主要的贡献.

另一方面,我们还可以用Fig.2左边的图来理解上面的函数绕行后的比值.这是因为,不管采用什么坐标作为波函数的自变量,波函数的比值是不变的.首先,我们注意到,相对于奇点$$r=1$$,的确发生了绕行.同时,参考Fig.1,我们可以理解经过$$r=1$$的割线同时也经过A点,这样解析了为何绕行后函数值发生变化.实际上,这个变化正是在视界$$r=1$$处波函数的边界条件.按之前的讨论,它就是绕行前后函数的比值.如书中所述,与之前讨论的略有不同,这里相对$$r=1$$发生的顺时针而非逆时针的绕行,故产生因子$$e^{2\pi\omega}$$.上述讨论虽然是在$$r=1$$附近给出的,但是因为$$r=1$$正对应$$z\to \infty$$,在上述$$z$$的路径下是很好的近似.除此以外,还有一个重要的细节与Fig.2不同.从Fig.1左图的视角,由关系$$z=r+\ln(r-1)-i\pi$$,当$$r$$绕着$$r=1$$完成一周绕行后回到A点,$$z$$并非无偿的回到原值,而是增加了$$i2\pi$$,即$$z_A\to z_A+i2\pi$$或者$$e^{-i\omega z_A}\to e^{\omega 2\pi}e^{-i\omega z_A}$$,这个多余的$$e^{2\pi\omega}$$因子在(23),按Fig.2右图出发的计算,中并没有被记入,但是在按Fig.2左图的计算中需要被补偿.换言之,(23)计算比值其实是$$e^{-i\omega z}$$系数的比值,按上述计算方法,即使波函数在绕行后完全没有变化,它也会存在并等于$$e^{2\pi\omega}$$.在考虑了波函数绕行后(23)的结果应该等于$$e^{4\pi\omega}$$,这就是(24).最后,回溯和Fig.2左图中大圆上绕行的比较,在上述情况中,在大圆上波函数是解析的,因为问题的中涉及的奇点是$$r=0$$位置,之前一圈半的绕行导致了非平庸的贡献,而结果是通过绕行幅角与贝塞尔函数的性质计算获得的.

(25)

表达式中$$\epsilon(\mathrm{Re}\omega)$$就是符号函数.上述表达式的讨论中指出,如果$$\omega$$的实部反号,不会影响现有结果.

实际上比较(2)以及按陈松柏博士的提示,(25)意味着$$4\pi\omega=im\pi+\ln|1+2\cos\pi j|$$,当$$(1+2\cos\pi j)$$为正数时,$$m$$为奇数,反过来,当$$(1+2\cos\pi j)$$为负数时,$$m$$为偶数.具体的,(27)就是当$$m$$为奇数时的情况,其中等式右边实部的正负号来自于$$\omega$$实部的正负号的进一步自由选取.所以考虑了这一点,(27)的一般形式是$$4\pi\omega=im\pi\pm\ln|1+2\cos\pi j|$$.

特别的,考虑$$\omega$$的实部的模,它等于$$|4\pi \mathrm{Re}\omega|=\ln|1+2\cos\pi j|$$,这就是(26).

这里 想不明白 的反到是和推导的数学过程关系并不紧密,但是和物理初始条件有关的一个问题.就是为什么文中提到,如果$$\mathrm{Re}\omega$$为负,初始条件要设在B点而非A点.我们知道$$\mathrm{Re}\omega$$是小量,是正数还是负数基本不影响满足条件$$\mathrm{Im}\omega x=0$$且$$\omega x \to+\infty$$中的$$x$$方向.因为按之前的讨论,这里的$$x$$基本上就是纯虚数,在虚轴的负半轴,就是A点的位置.而上面的条件大致是说在复平面上找到$$x$$,要求其在足够远处是出射波,即把在实轴上的条件(9)换为复平面上的条件(11).但是,本文给出的方法,延拓到A,对应极限$$\omega x\to +\infty$$,反过来如延拓到B,对应极限$$\omega x\to -\infty$$.从解析延拓的角度看,两个延拓都是可取的.但是,本方法中涉及的延拓的本质原因是需要利用在$$r$$很小的地方获得的解析解的渐进性质.换言之,利用复偶函数的特性来获得当$$r$$转动$$3\pi$$后解的渐进行为.因为解涉及到贝塞尔函数,所以我们只能利用它在自变量$$\omega r \sim \omega x\to +\infty$$时的渐进行为,而在$$\omega x\to -\infty$$时不可用.在此意义上,延拓到$$\mathrm{Im}\omega x=0$$不是因为上述数值上的需要,而是由本文提出的单值法的特殊性的决定的.这样,在$$\mathrm{Re}\omega<0$$时,无穷远处的边界条件(9)仍然应该被延拓到A点了.换言之,文中的整个论述过程似乎与$$\omega$$实部符号无关.但是,如果上述说法正确,(25)的结果在$$\mathrm{Re}\omega<0$$时候形式并不会改变,这样貌似就有矛盾了.

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The asymptotic quasinormal mode spectrum of non-rotating black holes, arXiv:gr-qc/0307020, by N. Andersson and C.J. Howls
在上述工作的基础上,本文讨论了复域WKB方法,从一个更具B格的角度一般化的重复了上述工作的结果.文章把上述工作称为分子,自己称为原子.

这个工作的数学基础是复域WKB方法中关于Stokes线,反Stokes线和Stokes常数等基本概念和相关计算.利用上述工具,文章借鉴的Motl单值法的思想精髓,在避开所有割线,通过沿着复域封闭回路绕行后波函数单值的要求来得到准正模式复频率的关系式.

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Spectral decomposition of the perturbation response of the Schwarzschild geometry, Phys.Rev. D34 (1986) 384, by E.W. Leaver
本文是第一篇采用格林函数与傅里叶变换方法来讨论QNM的文章.在此之后,Nollert等人才提出了等价的拉普拉斯变换的观点.

如果要研究拖尾的性质,因为拖尾主要来自"低频"贡献,换言之,势场在$$r\to +\infty$$时的性质,这时可以将运动方程按$$\frac{1}{r}$$展开后取低阶项,在方程存在解析解的情况下获得格林函数的解析形式.因为如果割线经过原点,那么它的贡献在$$t\to +\infty$$时非常重要,所以拖尾的研究可以直接利用留数定理,通过计算经过原点的割线的贡献来获得.

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Late-time behavior of stellar collapse and explosions: I. Linearized perturbations, arXiv:gr-qc/9307009, by C. Gundlach, R. Price, J. Pullin
本工作采用求根法,通过计算波函数渐进行为获得QNM拖尾性质.

(17)

这个表达式给出了拖尾的理论渐进结果.

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Wave Propagation in Gravitational Systems: Late Time Behavior, arXiv:gr-qc/9507035, by E.S.C. Ching, P.T. Leung, W.M. Suen, K. Young
这是一篇思路非常清晰的讨论QNM的工作.很值得在对著名综述文献,比如Nollert的综述Class. Quantum Grav. 16 (1999) R159–R216,学习的基础上深入研读.文章以及附录中的一些具体推导参见邵才莹的笔记.

(2.1)

这个结果表面上是纯粹格林函数方法的结果,比如参见引文[14]的Morse和Feshbach一书P.893上的一般形式.注意到(1.1)涉及对时间和空间的两阶偏微分方程,即波动方程.方程右边为零,即是无缘的,故书中公式等式右边的第一项来自源的贡献为零.第二项与第三项都是来自于时空减少一维后的积分贡献.第二项对应空间减少一维的贡献,一般称为边界条件;而第三项对应时间减少一维即不涉及时间积分的贡献,一般称为初始条件.

对比电磁波的推迟格林函数解法的思想,因为只考虑空间"源"处偶极震荡发出的电磁波的格林函数,虽然不考虑任何从无穷远处入射的电磁波,仍然考虑的是有限位置处的边界条件对解的影响,这对应等式右边第二项.而对于准正模式的研究中,我们不考虑来自空间边界,即空间无穷远处,的影响,因为后者在物理上对应入射波,所以等式右边第二项的贡献不予考虑.具体的,虽然波函数的空间部分在无穷远处为震荡形式的出射波,但是其振幅及其空间偏导必须趋于零,具体参见(2.5b)的讨论.故在此意义上等式右边第二项的贡献的确可以为零.而公式等式右边第三项,考虑了格林函数和解本身在初始时刻的数值以及初始时刻对时间的偏导对全空间的积分,这正是(2.1)的结果.

而另一方面,不难看到这与Nollert综述的(55-59)的结果形式上一致.而后者明确的使用了拉普拉斯变换,注意到这时(55)涉及对空间的两阶导数,即亥姆霍兹方程.对应书中P.891的一般形式.等式右边不为零,这是有源的格林函数问题.而其解(59)仅仅考虑源的贡献,换言之,书中公式等式右边第二项贡献为零.与上述讨论类似,这对应于我们不考虑来自空间边界,即空间无穷远,的入射波对物理问题的影响.物理上对应了在无穷远处波函数及其偏导趋于零.

比较傅里叶变换与拉普拉斯变换分别对应的格林函数,我们看到,这两种处理方法的切入点很不相同,但是结果是形式上是一致的.实际上,只要把$$s$$看做复频率,两者是完全等价的.特别的,我们注意到(2.3)的积分从零开始,这也与拉普拉斯变换的定义一致.这是由于准正模式频率虚部的负号,导致波函数对时间的依赖在时间趋于负无穷大时发散.数学采用对时间的拉普拉斯变换或者时间小于零时原函数为零的傅里叶变换都是为了回避这个问题.而正如Nollert的综述的笔记中指出的,这也导致了这个方法得到的解无法正确的描写扰动的初始阶段.

(2.5b)

注意到由傅里叶变换(2.3),波函数(2.5b)需要乘以因子$$e^{-i\omega t}$$然后对$$\omega$$在实轴上积分.按上述讨论,时间因子在$$t\to +\infty$$时是收敛的.实际上,这正是因为在$$t>0$$时,按约当引理的思路,积分在复平面下方的大圆上绕行的必然结果.由于极点在实轴下方的复平面上,$$\omega$$的虚部系数为负,按留数定理,最终指数上的因子由留数决定,自洽的保证了在$$t\to +\infty$$情况下时间因子并不发散.而另一方面,上述结论仅仅是从物理出发说明为什么不考虑边界上信息对格林函数形式解的影响.而从数学上说,结论正好相反.因为如果波函数内积收敛,那么对应运动方程对应的算符就是自共轭的,而一个熟知的结论是,共轭算符的本征值是实数,所以就根本不会存在准正频率了.

我们注意到,正因为$$x$$因子指数上的符号与时间因子正好相反,对于$$g$$而言,似乎在$$x\to +\infty$$时该因子必然发散.而符号相反是由外行波的物理条件决定的.这样似乎导致了与上述讨论中所需之波函数及其偏导在空间无穷大边界上趋于零的要求相互矛盾.

解决这一问题的办法是,即便在空间无穷远的边界上,我们仍然必须仅仅讨论物理上有意义的情况.具体的,我们必须同时考虑时间与空间因子,即$$e^{-i\omega(t-x)}$$.由于因果律,物理上有意义的区域必须在光锥以内,满足$$t>x$$.所以空间无穷大的极限必须同时满足上述要求,保证了波函数是收敛的.

Fig.2

如上面讨论,这个图和Nollert文中在拉普拉斯变换$$s$$域的积分路径,绕行大圆,以及位于实轴左侧的极点是完全等价的.具体对应关系为$$s=-i\omega$$,这可以比较本文的边界条件(2.5b)及(2.6)与Nollert一文的边界条件(53).

文中这里指出,拖尾并非来自格林函数形式解中朗斯基行列式在复平面的零点决定,而是来自$$g$$的极点,如果这个极点的$$\omega$$虚部足够大,那么由于其随着时间的衰减就不会对拖尾有贡献.因此,可以理解最终对拖尾有贡献是某种在虚轴上一直延伸到原点的割线.另外,文中指出,$$f$$即便有极点,其虚部也不为零,因此对拖尾没有影响.

文中讨论提及对$$g$$的积分中对割线的具体处理,参见之后的(4.1)与相关讨论.

另外一个重要的问题是割线为何位于虚轴的负半轴上.割线的具体位置,部分是在求解的过程中人为定义的,但是它必须位于实轴的下方. 原因 如下.我们暂时不考虑被积函数是格林函数的情况,因为具体与割线有关的部分仅仅是对分子中因子$$g$$函数的割线位置.它是无源的齐次波动方程(这与齐次多项式的概念不同,仅指其无源)满足边界条件的解的傅里变换.实际上,割线的位置直接决定了$$g(\omega, x)$$在实轴上的函数值,这正是满足出射波边界条件的波函数在傅里叶变换后频率空间的函数形式.实际上,只有割线位于实轴下方时,这样的结果才不是平庸的.因为我们可以尝试对频率空间中的$$g$$函数做逆变换以得到坐标空间中的波函数.在实轴上的积分的困难是在原点附近被积函数趋于无穷大,但这可以通过在大圆上绕行来简化计算,而按约当引理,必须在实轴下方绕行.以(4.6)的为例,我们知道$$g$$函数在频率空间唯一的奇性就来自于$$\ln(-2i\omega x)$$决定的割线,换言之,如果割线位于实轴上方,那么回路圈围的区域没有任何奇性,这意味着坐标空间的出射波解$$g$$平庸的等于零,这样平庸解没有任何物理意义.所以物理上非平庸的要求导致我们必须选择割线位于实轴以下,而为方便起见,置于虚轴负半轴上.这时$$g$$函数才有不平庸的结果.

我们注意到,当严格的按上述说法进行解析验算,会发现使用约当引理时存在 困难 .具体的是因为频率空间$$g$$函数与割线对应的部分,参见(4.6),$$e^{-i\omega x}\ln\omega$$其中$$0 0$$处的函数形式得到频率实轴负半轴上的函数形式.在此意义上,上述问题中割线相对实轴的位置是被明确答案的,并没有歧义. 具体的,时域空间的波函数$$g$$不平庸,它可通过频率域的函数$$g(\omega, x)$$的傅里叶逆变换得到,后者对应乘以因子$$e^{-i\omega t}$$后对频率在实轴上的无限积分.这个积分的极限存在是傅里叶变换存在的基本要求,而后者进一步要求被积函数绝对可积.因此,显然,频率空间的$$g(\omega, x)$$函数必须在实轴的两端趋于零,而以(4.6)为例显然不满足这一点.因此,为了解决傅里叶变换的存在性问题,我们必须在"技术上"引入某种绝热因子(参见arXiv:gr-qc/9507034一文(2.24-25)附近的讨论)并在积分完成后取适当的极限.而这个额外的操作同样能够解决上述面临的问题,因为本质上,上述发散来自傅里叶变换的可行性而非$$g(\omega, x)$$函数在复平面上的奇性. 顺便指出,$$g$$函数的割线与场论中格林函数对应多粒子态的割线无关,后者在频率的实轴正半轴上.

(4.1)

不难证明(4.1)的确是齐次方程的解.将方程右边代入对应的齐次方程,注意对$$x$$求第一次的导数的结果是两项之和,第一项对分子中的$$x$$求导,第一项对积分下限$$x$$求导,但因为$$\sin(x-x)=0$$,后者为零.把结果再次对$$x$$求导,同样是两项之和,且都不为零,正好满足齐次方程.

(4.2)

注意到按本文的讨论,拖尾不是由格林函数的朗斯基行列式在复平面上的零点决定,而是由$$g$$的极点决定,而后者就来自(4.2).注意到这里的积分是从观察点积分到无穷大,所以敏感的依赖于势场在无穷远处的行为.实际上,这就是很多文献中指出的,$$t\to +\infty$$时的拖尾决定于势场在无穷远处的 渐进行为 ,而与之相对应的性质是准正频率决定于在势场极点处的性质.

(4.4)

把(4.3)中的$$\sin$$写成两项指数之差的形式,注意到其中一项将得到(4.4)的形式.保留这一项因为它具有分母上对$$\omega$$的极点,而另一项并不含有类似的极点.

(4.6)

由边界条件(2.5b),约定(2.7),和波恩近似(4.1-2),比较(4.4)与(4.6),我们注意到因为指数上差了一个负号,后者对应的是在(4.2)第一项右行波基础上的第二项左行波的微小修正.这个左行波被 自然的解释 为出射波在无穷远处的反射.

另外,在(4.14)上方的讨论中,作者指出,由于讨论的结果不依赖与$$x$$的具体数值,故在$$x$$很大,从而(4.2)等式右边第二项很小情况下成立的伯恩近似得到的结果其实是精确的.

(4.8)

注意到(4.6)等式右边的对数因子$$\ln (-2i\omega x)$$就是著名的割线.而计算在割线两端的差别非常容易,其实就是将上述指数因子替换为$$i2\pi$$即可,并且在(4.6)等式右边第一项中代入$$\omega=-i\sigma$$,忽略第二项,即得(4.8).

注意到最后的结果还需要计算由齐次方程解$$g$$构造得到的格林函数,并且如(4.16)等式右边那样对割线积分,对于文中讨论的第一个具体计算的势场,最终结果是(4.17-18).

(5.4a)

此式是由(5.4b)通过顺时针转动到割线的另一侧得到的.这里的割线可以通过将(5.4b)中的汉克函数展开得到.具体的,在$$\rho$$不是整数时,展开的每一项都有割线,但是在割线两侧的函数值的差别对每一项都提供了一个相同的因子,这个因子直接与(5.4a)方括号中的第一项$$\cos\rho\pi$$直接有关.换言之,在计算(5.4a)时,我们计算的是(5.4b)与(5.4a)的差别,他对应方括号中的第一项,而方括号中的第二项正是(5.4b).

(5.10-11)

因为势场在无穷远处足够大,这个例子在$$\nu$$不趋于零时并不能应用伯恩近似,但问题对应的齐次方程方程恰好存在严格解.

由(5.5),对于整数$$\nu$$,割线消失,而物理问题对应完全没有势场的自由波,故不会被无穷远处的势场散射.

(6.18)

我们考察(5.10)的推导,以及势场形式,即(3.2)中只考虑对数因子的一次方$$\beta=1$$,不难发现.对不含对数因子的势场对$$\alpha$$求导(不是对$$x$$求导),即得到所需的对数因子.为了得到(5.10)我们需要乘以格林函数并对$$x'$$积分,即积分(6.4),然后在做对频率与时间的傅里叶变换,即由(6.15)到(6.16)对$$\sigma$$的积分.我们指出,这两个积分都可与对$$\alpha$$的导数交换.故可以将(6.16)对$$\alpha$$求导即得所需结果(6.18).其中花括号的第二项的导数虽然复杂但与$$t$$无关,故可归入(相对时间的)常数$$d$$中.最后,如果$$\beta$$不为1,则只需将(6.16)对$$\alpha$$求导$$\beta$$次即可.

(A.5)

本附录讨论的是在数值计算中由于精度问题出现鬼势场(A8)或者(A9)的情况,该势场在$$(\Delta x)$$足够大时,会影响拖尾的幂指数形式.Fig.10就是具体数值计算的实例.

这里,比较(A1-A3),表达式(A5)等式右边第二项方括号中的内容为$$\partial_x^4\phi$$的近似.它可以由对$$\partial_x^2\phi\sim V\phi$$对空间两次求导得到.

由$$\partial_x^2\phi= V\phi+\partial_t^2\phi$$,注意到$$\partial_t^2\phi\sim t^{-2}\phi$$,故在时间很大时与$$V\phi$$比较是二阶小量,可以被忽略. 对$$V\phi$$的空间两阶导数有三项,其中$$\phi''=\partial_x^2\phi$$可以被迭代一次,即得(A5)的结果.

Radiative falloff in Schwarzschild–de Sitter spacetime, arXiv:gr-qc/9902010, by P.R. Brady, C.M. Chambers, W.G. Laarakkers, and E. Poisson
本文讨论了在AdS空间,即带有宇宙学常数的QNM的拖尾性质.

(4.2)

这里,在数值解之后,作者讨论了解析解.由于数学上的困难,作者仅仅讨论了AdS空间中的格林函数.具体的,用(4.2)来取代更为复杂的形式(2.14),所抛弃正是在半径很大时贡献最小的项.而上述结论正有力的说明了势场在宇宙视界附近的性质决定了拖尾的性质.

(4.16)

本质上,问题的解法与其他文件中的做法是类似的:首先求解满足边界条件的齐次方程的解,通过解来构造格林函数,最后,利用格林函数的奇点来完成傅里叶(或者拉普拉斯)变换的逆变换以得到准正则模式的性质.

这里格林函数的极点与上述Ching等作者一文讨论的割线的最主要的区别是,极点是由朗斯基行列式产生的.由于极点在实轴的下方的虚轴上,得到的结果是指数衰减.因为它的实部为零,所以也无所谓出射波还是入射波.

Wave propagation in gravitational systems: Completeness of quasinormal modes, arXiv:gr-qc/9507034, by E. S. C. Ching, P. T. Leung, W. M. Suen, and K. Young
本文讨论QNM波函数的完备性问题.是作者之前所发表快报PRL 74 (1995) 4588的具体陈述.在本文中,QNM波函数的完备性是指,任何物理上微扰导致的波形都可以由QNM模式的波形叠加而成.具体要求是,割线不存在,在大圆上的贡献为零,这样的波形不存在拖尾(和初始不规则震荡?).数学上,上述结论存在的条件是势场不连续,存在间断点.

本文的重要意义是在用分段函数近似势场得到波形必然可由对应的QNM得到.而任何数值方法只能取有限多的间断的势场值,本质上等同于采用某种分段函数来近似势场.这方面后续的数值讨论,由Nollert和Ramin等人进一步展开.

(2.5-7)

这是对方程(2.1)针对不同解并取不同$$\omega$$的情况下进行左乘并相减后再积分的结果.文中提到部分积分,但未明确是对两边要积分并利用部分积分得到的结果.具体的势场项相互抵消没有贡献,频率项对应等式左边,而两阶导数项在部分积分后得到等式右边.

如文中所述,(2.7)是将(2.5)的两端对$$\omega$$求导并考虑极限$$X\to\infty$$即代入$$\omega \to \omega_j$$后的结果.等式(2.5)右边可以直接对(2.6)求导来简化计算.注意到(2.6)的第二项对$$\omega$$求导对应(2.7)等式右边朗斯基行列式对$$\omega$$的求导(并除以$$2\omega_j$$).(2.5)等式左边以及(2.6)第一项$$\omega$$相关因子$$(\omega^2-\omega_j^2)$$和$$(\omega_j-\omega)$$对$$\omega$$的求导(并除以$$2\omega_j$$)即为(2.7)等式左边的两项.最后(2.5)等式左边以及(2.6)第一项中$$g(\omega)$$对$$\omega$$的求导由于相关因子$$(\omega^2-\omega_j^2)$$和$$(\omega_j-\omega)$$在取$$\omega \to \omega_j$$后没有任何贡献.

(2.8-9)

如文中所述,因为QNM在空间无限远处发散,(2.8)中的两项在极限$$X\to\infty$$下分别都发散,但他们的和为有限值.这可以通过将(2.8)两边对$$X$$求导,并考虑极限$$X\to\infty$$.因为在准正则频率下朗斯基为零,两函数呈线性相关$$f\to g$$,同时,利用(2.3)上的边界条件易知进一步有$$f\to g(\omega,X)\sim \exp(i\omega X)$$,故它们的导数为$$\frac{d}{dX}g(\omega,X)\sim i\omega g(\omega,X)$$.这样(2.8)等式右边两项的导数在$$X\to\infty$$互相抵消,等于零.这样就不难理解为何(2.8),作为上述导数的积分,是有限的.这就是(iii)中指出的特点.

由(2.4)的定义,我们用新定义的内积把留数写为(2.9).文中指出,由(2.7-8)朗斯基行列式涉及表面项的贡献.

(2.10)

把$$x\to +\infty$$的积分路径扭转到$$x\to -\infty$$,其中$$a$$为势场的间断点.如果上述做法成立,那么因为QNM在空间坐标无穷大处发散,则解析延拓到空间坐标为负无穷大处必然收敛.在此路径下(2.8)的第二项没有贡献,可以写为(2.10)的形式.

我们把在实轴$$x>a$$处的解$$f$$在复平面上做解析延拓.因为势场为零,(2.3)上方给出的渐进形式正是问题的精确解,它是平面波形式$$f(\omega_j,x)\propto g(\omega_j,x)=\exp[i\omega_j x]$$.它显然并不包含任何奇性.因为准正模式按(2.12)下方的约定$$\mathrm{Re}\omega_j>0$$,故在$$x$$的实轴上方的区域$$i\omega_j x$$的实部小于零,按约当引理,(2.10)在大圆上的积分部分贡献为零.

在实际应用中,前半段积分以真实波函数相关的被积函数,完成积分$$\int_0^a dx$$,接着以$$x>a$$处的波函数为被积函数完成后半段路径积分$$\int_a^{-\infty} dx$$.

(2.11)

这就是格林函数的三种不同贡献的和,并把其中的QNM用(2.9)表达出来而已.

(2.12)

比较(2.11)等式右边的第一项.注意前面的系数$$i$$和分母上的$$\omega_j$$(文中有typo)的乘积在$$\omega_j\to -\omega_j^*$$后变为复共轭,而同样分子上的指数形式$$e^{-i\omega_j t}$$在这个变换下变为复共轭,故(2.11)等式右边第一项整体变换为复共轭,故最后结果就是实部的两倍.这与(2.11)是实数函数之事实自洽.

这个式子下面的结果$$\partial_t G(x,y;t=0^+)=\delta(x-y)$$的讨论参见之后(3.5)的笔记.

(2.13ab)

这部分关于$$f,g$$函数不存在割线的论述,没有具体对相关文献展开学习和 验证 ,姑且接受之.

(2.14-15)

首先,我们指出这个结果与之后(2.35-36)中用阶梯势具体推导得到的结果一致.我们引用之后得到的结果
 * $$R=-R'\equiv \frac{A_j}{B_j}=(-1)^2\frac{D_{12}-D_{22}}{D_{11}-D_{22}}\sim \frac{\omega_{j-1}-\omega_j}{\omega_{j-1}+\omega_j}\to -M_{12}$$.

其中注意到$$D_{11}=\left.I'(a_j,x)\right|_{a_j=a,x=a^+}=S'(a^+)$$, $$D_{12}=-S'(a^+)$$, $$D_{22}=-S'(a^-)=-[S'(a^-)]^*$$.

更严格的,这个结果与WKB近似有关,但是,如文中所述,它并非WKB的推论,而是WKB不再成立的位置.我们 讨论 如下.参考Berry的文献的讨论,这里的(2.15)正是文献中的(2.8),它可以由比如超几何势场的严格解,文献中(2.4)取间断势极限而来.但是因为这个结果不依赖与$$\hbar$$,所以它不可能在$$\hbar\to 0$$时得到$$R\to 0$$经典极限,即文献中(2.5).后者对应在波动解,即粒子能量大于势场时,粒子总能越过势垒.而文献中(2.6-7)总能得到上述极限.这说明取极限的顺序至关重要.

文中在(2.14)上方给出的波函数形式$$\tilde{\phi}(x)=\exp[iS(x)]=\exp\left[i\int^x p(x')dx'\right]$$与WKB的一般形式,比如上述文献中(2.14)的形式$$\tilde{\phi}(x)=\left(\frac{p_1}{p(x)}\right)^{1/2}\exp\left[i\int^x p(x')dx'\right]$$比较,并参考(2.14)的推导过程,特别是文章中的(2.19)与(2.21),我们发现这里文中给出的是最低阶的结果.

实际上,更重要的是,(2.15)的结果是在一般的.首先,阶梯势情况下的推导可以被推广到任意在间断点两侧适用WKB近似的情况.第二,如果势场是连续的,而势场的某个导数不连续其最低阶为$$m$$,那么(2.15)的分子就不为零.数学上,可以再次参考上述文献的(2.19-21),注意到(2.21)是将(2.20)做一次迭代后得到的.如果我们先把根号展开到一阶,然后反复迭代,我们有
 * $$S'(x)\sim \pm\left[\frac{p(x)}{\hbar}\left(1+\frac{i\hbar^2S''(x)}{2p^2(x)}\right)\right]$$
 * $$\sim \pm\left[\frac{p(x)}{\hbar}+\frac{i\hbar}{2p(x)}S''(x)\right]$$
 * $$\sim \pm\left[\frac{p(x)}{\hbar}+\frac{i\hbar}{2p(x)}\left[\frac{p'(x)}{\hbar}+\frac{i\hbar S'''(x)}{2p(x)}\right]\right]$$
 * $$\sim \pm\left[\frac{p(x)}{\hbar}+\frac{ip'(x)}{2p(x)}+\frac{(i\hbar)^2 }{(2p(x))^2}S'''(x)\right]$$
 * $$\sim \pm\left[\frac{p(x)}{\hbar}+\frac{ip'(x)}{2p(x)}+\frac{(i\hbar)^2 }{(2p(x))^2}\left[\frac{p(x)}{\hbar}+\frac{i\hbar S''(x)}{2p(x)}\right]\right]$$
 * $$\sim \pm\left[\frac{p(x)}{\hbar}+\frac{ip'(x)}{2p(x)}+\frac{(i\hbar)^2 p(x)}{(2p(x))^2\hbar}+\frac{(i\hbar)^3 }{(2p(x))^3}S''(x)\right]$$

其中,对给定的$$\hbar$$阶,我们忽略了一些不占主导的高阶导数项.不难发现,第$$n$$阶的项对应$$\frac{i(i\hbar)^{n-1} p^{(n)}}{(2p)^n}$$,其中$$p=\hbar k$$,故势场在第$$m$$阶的不连续性就体现在$$p$$的不连续中,这样(2.15)分子的确不为零,它正比于$$\frac{\hbar^{m-1}p^{(m)}}{p^m}=\frac{k^{(m)}}{k^m}$$. 因此,我们从数学上证明了只要势场在某阶导数有间断,而在间断点两侧WKB近似适用,那么(2.15)的分子就不为零.

从物理上说,即便当势场连续,但势场的导数存在不连续性时,WKB近似不成立,这对应着在间断点从某方向入射的波函数会在该点被部分反射.如果势场是连续的,任何点的反射系数都趋于零,尽管对有限空间尺度积分后反射波仍会出现.

(2.16-17)

这里首先要指出的是,我们通过分别在两端满足边界条件的WKB解,利用(2.3)来构造频率空间的格林函数.其中涉及到我们把结果通过(2.15)定义的反射系数$$R$$来表达出来.这里还有两个细节.第一是,考虑定义域$$0\le y\le a \le x$$中用于构造格林函数的两个函数,$$f(\omega,y)$$和$$g(\omega,x)$$,线性无关的,否则(2.3)分母为零.换言之,如将$$f(\omega,y)$$用波函数连接条件推广到$$x>a$$的区域,对应的函数不可能与$$g(\omega,x)$$成正比.比如,这两个函数与后面(2.34)在间断点的连接条件毫无关系,而是与(2.40-41)的关系类似.实际上,他们分别是由各自的边界条件决定的,它们线性相关正是QNM的条件.第二是,(2.15)与势场间断点两端的具体函数形式无关,只要两侧的函数都可以向各自方向用WKB方法来近似,那么(2.15)意味着$$R=\frac{k_y-k_x}{k_y+k_x}$$.

具体的 推导 如下. 波函数的边界条件在文中(2.3)上方给出讨论. 在间断点左边的波函数我们从零点出发,利用WKB近似给出点,而为了满足零点的边界条件,即函数为零导数为1.在相差到一个无关的归一常数$$A$$的情况下,我们有
 * $$f(\omega,y)=\frac{A}{2i}\exp[iI(0,y)]-\exp[-iI(0,y)]=A\sin[I(0,y)]$$

这样它的导数为
 * $$f'(\omega,y)=\frac{A k_y}{2}\exp[iI(0,y)]+\exp[-iI(0,y)]$$

而在间断点右侧的波函数为
 * $$g(\omega,x)=B\exp[iI(a,x)]$$

其导数为
 * $$g'(\omega,x)=ik_x B\exp[iI(a,x)]$$

为了计算朗斯基行列式,我们考虑位置$$x=y=a$$.在空间任何其他位置计算朗斯基行列式都需要把波函数推演过间断点,但由于朗斯基行列式不是位置坐标的函数,我们可以选取上述位置使得计算最为简便.易得
 * $$W=gf'-fg'=\frac{Ak_y}{2}(\exp[iI(0,a)]+\exp[-iI(0,a)])B\exp[iI(a,a)]-\frac{A}{2i}(\exp[iI(0,a)]-\exp[-iI(0,a)])iBk_x\exp[iI(a,a)]$$
 * $$=AB\left(\frac{k_y-k_x}{2}\exp[iI(0,a)]+\frac{k_y+k_x}{2}\exp[-iI(0,a)]\right)

=AB\frac{k_y+k_x}{2}\left(R\exp[iI(0,a)]+\exp[-iI(0,a)]\right) =AB\sqrt{\frac{k_y}{k_x}}\frac{\sqrt{k_yk_x}}{1+R}\left(R\exp[iI(0,a)]+\exp[-iI(0,a)]\right)$$ 其中等式的最后两步利用了反射系数$$R$$的具体形式. 这样再考虑到(2.3)分子就是
 * $$f(\omega,y)g(\omega,x)=AB\sin[I(0,y)]\exp[iI(a,x)]$$

略去比值$$\sqrt{\frac{k_y}{k_x}}$$后即得(2.16)给出的结果.

(2.18)

文中从(2.14)开始讨论这里在大圆上的积分,大圆从实轴下方绕行.这个讨论分两部分.第一部分,粗略的讨论,是考虑大圆上积分角度$$\pi<\theta<2\pi$$并不趋近于实轴条件下的积分贡献.这时只需考虑被积函数即频率域的格林函数在乘以因子$$e^{-i\omega t}$$后即(2.18)的渐进行为.因为当(2.18)趋于零时,必然以指数形式趋于零,故积分贡献为零意味着被积函数指数的实部小于零.具体见下面笔记的分析.第二部分,是考虑大圆积分角度接近实轴条件下的积分贡献.与约当引理证明关键部分涉及的问题类似,这里的被积函数并不以指数形式趋于零,积分贡献为$$0\cdot\infty$$型.同时,如文中指出,这时按(2.22)或者Fig.3,这里正是QNM存在的区域.

首先注意到,在分母上,注意到按(2.21)上方讨论给出的,这时$$R\sim A\omega^{-q}$$以幂函数形式趋于零.但若与指数发散的项相乘,最终贡献仍被指数贡献所主导. 具体的,将(2.16)分子中的$$\sin$$也写成指数形式,分子和分母中求和的项之间都保留指数上实数部分为正的项,即贡献最大的项.注意大圆在实轴下面绕行,$$\omega$$的虚部为负以及(2.17)和关系$$0<y<a<x$$,即观测者$$x$$在星体边界$$a$$以外.

这样分母上两项之和中第二项$$Re^{iI(0,a)}=Re^{i\omega a}$$的贡献显然占主导.类似的分子上贡献最大的部分是$$\frac{1}{2i}(1+R)e^{i\omega y}e^{i\omega(x-a)}$$. 注意到$$k\to \omega$$,并将分子分母中的指数部分整理在一起,除了一些不重要的常数外,即得(2.18).

所以,对第一部分的粗略讨论,只要时间适当的大,在大圆上的贡献趋于零.

(2.21)

这个结果来自文中给出的近似关系$$R\sim A\omega^{-q}$$,其中$$q=p+2$$而$$p$$是势场不连续的阶数.

注意到由(2.15)的讨论,在势场的某阶导数出现不连续性时,(2.15)的分子不为零,即$$R$$有限.具体的,假设最低的不连续阶数为$$p$$,在$$\omega$$很大时, 它正比于$$\frac{k^{(p)}(x)}{k^p(x)}\sim \frac{d^p V(x)}{dx^p}\frac{1}{\omega^2}\frac{1}{k^p(x)}\sim A\omega^{-p-2}$$.

(2.22)

由(2.21)出发,注意到$$A<0$$,$$A=-(-A)=e^{i\pi}(-A)$$我们有
 * $$e^{-2i\omega a}=e^{i\pi}(-A)\omega^{-q}e^{-i2\pi j}$$
 * $$-2i\omega a=i\pi+\ln(-A)-q\ln\omega-i2\pi j$$
 * $$\omega a =\pi j+i[\ln (-A)]/2 -iq[\ln\omega]/2-\pi/2$$
 * $$\omega a \sim \pi j+i[\ln (-A)]/2 -iq[\ln(\pi j)-\ln a]/2-\pi/2$$
 * $$\omega a \sim \pi \left(j-\frac12\right)+i[\ln (-Aa^q)]/2 -iq[\ln(\pi j)]/2$$

除了一个半整数外,此即(2.22),其中最后一步近似结果通过迭代之前结果得到.因为在$$j$$很大时,$$\omega$$的实部占主导,虚部最大的贡献来自与$$a$$有关的项.QNM的具体位置可形象的参见Fig.3.

(2.23)

这里开始讨论第二部分,即在$$\Delta\theta\sim \ln C/C$$角度上大圆积分的贡献.

注意到,如果在小角度上不存在奇点,那么只要按类似约当引理的证明,即可得到在实轴附近大圆上积分贡献趋于零的结论.而实际上,由(2.22)知,QNM的奇点在$$j\to +\infty$$的极限下实部与虚部同时区域无穷,其比例正大致为$$j:\ln j$$.这就是上述角度$$\Delta\theta\sim \ln C/C$$的由来.

由此,我们考虑$$\omega$$在上述方向上趋于无穷.注意到积分路径在奇点$$\omega_j$$以外,但大致为$$\omega_j$$的幅角方向.这样(2.16)的分母因子(2.21)并不为零,借鉴(2.22)的结果,对分母我们可以在(2.21)中代入$$\omega \to C\omega_j$$.这样,与之前的结果类似,(2.21)等式左边第二项远大于第一项,给予保留.我们注意到对$$\omega \to C\omega_j$$的替换,除了对(2.16)的分母有上述影响外,取$$\omega \to C\omega_j$$相当于直接在(2.22)中做替换$$j \to Cj$$,这又等价于在(2.16)中(在保留分母的相关项后)直接取$$\omega \to \omega_j$$.这时,我们并不具体使用(2.22),而利用(2.21)的关系$$e^{-2i\omega a}=-A\omega^{-q}\sim -R$$并注意到取模,这样我们得到
 * $$\frac{e^{-i\omega(t-x-y+2a)}}{R\omega}=\frac{e^{-i2\omega a(t-x-y+2a)/2a}}{R\omega}=\frac{(-R)^{(t-x-y+2a)/2a}}{R\omega}=-\frac{(-R)^{(t-x-y)/2a}}{\omega}\to \frac{R^{(t-x-y)/2a}}{|\omega|}\sim \frac{\omega^{-q(t-x-y)/2a}}{|\omega|}$$

易证,对(2.20),我们同样得到(2.23). 另外如果我们在上述基础上做代换$$\omega_j \to C\omega_j$$其中$$C$$为大于1的实数,相当于在最后结果中做代换$$R^C$$,这样对文中的讨论没有影响.

(2.25)

注意到(2.23)即便发散也是幂函数,因此(2.25)中指数的压低因子将使得积分在正(负方向由复共轭对称性不需要)实轴上无限远处为零.

(2.26)

由Fig.4下的说明,积分回路逐一以矩形绕过各个QNM奇点.回路高度取为$$j$$,由(2.22),奇点虚部约为$$\ln j$$,因为对数函数小于线性函数,故上述高度的取法可以确保回路包含由(2.22)决定的奇点.

这样(2.26)的右边第一项就是为了补偿包围QNM奇点的回路积分.

文章进一步指出,势场不含拖尾,故频率域格林函数在虚轴上没有割线,由时域格林函数为实数给出的对称性$$\tilde{G}(-\omega^*)=\tilde{G}(\omega)^*$$,格林函数在虚轴上是实数.积分的另外两端在频率虚部很大时,由类似约当引理的理由为零.而当频率的虚部较小时,被积函数为幂函数,故给出的指数压低因子使得积分为零.

(2.33-34)

本文这一节把讨论推广到黑洞度规的乌龟坐标的情况,即坐标范围为正负无穷大.同时,这里讨论最简单但有意义的情况,阶梯势.

结果(2.34)是对阶梯势波函数具体形式的递归关系.注意到最后的阶梯右端频率域的波函数由(2.33)描述,(2.33)是波函数的一般形式,而利用(2.34)可以由最右端的波函数开始递推得到全部频率域波函数形式.

递推关系满足一般的形式(2.34),这是因为,考虑区域$$a_{j-1}<x<a_{j}$$的波函数$$g_+^{(j-1)}(\omega,x)$$,和区域$$a_{j}<x<a_{j+1}$$的波函数$$g_+^{(j)}(\omega,x)$$的连接条件.由波函数以及其一阶导数连续的条件,我们可以由系数$$(A_{j-1},B_{j-1})$$来表达$$(A_{j},B_{j})$$(如果由最右边的系数来求解左边的系数,则需要上述关系的逆关系).这对应两个方程决定两个待定系数.注意到,在波函数及其导数连续的两个方程中,系数$$(A_{j-1},B_{j-1})$$始终以$$(\exp[iI(a_{j-1},a_j)]A_{j-1},\exp[-iI(a_{j-1},a_j)]B_{j-1})$$的形式出现,而对$$(A_{j},B_{j})$$,因为连续条件出现在波函数的左边界上,在方程组中以自身形式出现.因此最终的关系必然满足(2.34)的形式.

(2.35-36)

我们给出 具体 证明.证明过程本质上就是应用波函数及其导数的连续条件以及反射系数的定义.

我们考虑阶梯势的近似情况,两阶$$M$$矩阵由两个区间内的频率$$\omega_j,\omega_{j-1}$$完全决定.具体的,为方便起见,我们引入下述两阶矩阵$$D$$,
 * $$\left.\frac{d}{dx}{g_+^{(j)}}(\omega,x)\right|_{x=a_j}=D_{11}A_{j}\exp[iI(a_{j},a_j)]+D_{12}B_{j}\exp[-iI(a_{j},a_j)]=D_{11}A_{j}+D_{12}B_{j}$$
 * $$\left.\frac{d}{dx}{g_+^{(j-1)}}(\omega,x)\right|_{x=a_j}=D_{21}A_{j-1}\exp[iI(a_{j-1},a_j)]+D_{22}B_{j-1}\exp[-iI(a_{j-1},a_j)]$$

其中$$D_{11}=i\omega_j, D_{12}=-i\omega_{j}, D_{21}=i\omega_{j-1}, D_{22}=-i\omega_{j-1}$$.

那么用连接条件具体计算不难得到(2.34)中的矩阵元为
 * $$M_{11}=\frac{D_{12}-D_{21}}{D_{12}-D_{11}}, M_{12}=\frac{D_{12}-D_{22}}{D_{12}-D_{11}}, M_{21}=\frac{D_{11}-D_{21}}{D_{11}-D_{12}}, M_{22}=\frac{D_{11}-D_{22}}{D_{11}-D_{12}}$$.

这样,其中对角元$$M_{11}=\frac{D_{12}-D_{21}}{D_{12}-D_{11}}=\frac{\omega_j+\omega_{j-1}}{2\omega_j}\to 1$$,$$M_{22}$$类似. 而非对角元为$$M_{12}=\frac{D_{12}-D_{22}}{D_{12}-D_{11}}=\frac{\omega_j-\omega_{j-1}}{2\omega_j}$$,$$M_{21}$$类似. 对于非对角元,我们需要振幅的比较反射系数.因为波函数的时间因子为$$\exp[-i\omega t]$$,所以$$A_j$$对应右行波,$$B_j$$对应左行波,而注意到,由于两边的势场不同(这里与不对称的势垒穿透不同)从右到左通过势垒和从左到右通过势垒的反射系数并不是一致的.以下我们考虑从右向左入射,从而边界条件为左边没有入射波$$A_{j-1}=0$$的情况.这时$$R\equiv \frac{A_j}{B_j}$$.利用上述结果,可以把$$A_j, B_J$$都用$$B_{j-1}$$来表达,这样
 * $$R'\equiv \frac{A_j}{B_j}=\left(\frac{D_{12}-D_{22}}{D_{12}-D_{11}}\right)/\left(\frac{D_{11}-D_{22}}{D_{11}-D_{12}}\right)=(-1)\frac{D_{12}-D_{22}}{D_{11}-D_{22}}\sim (-1)\frac{\omega_{j-1}-\omega_j}{\omega_{j-1}+\omega_j}=-R\to M_{12}$$,与文中(2.36)一致.注意到等式的倒数第二步的结果与(2.15)一致.注意到其中$$R'$$是从右向左的反射系数,而$$R$$是从左向右的反射系数,差一个负号.

(2.40-41)

这里,(2.40)就是将(2.32-36)的结果从右边第一个阶梯开始反正应用于所有阶梯一直到左边的最后一个阶梯.但是注意到我们在讨论频率趋于无穷情况下的渐进行为,我们可以把矩阵的连续乘积简化.具体的,我们只考虑波函数指数增加的部分,这样只涉及到$$(-R_j)$$的若干次连乘,记为$$R_n$$(按(2.42)的讨论,这个具体系数在后面格林函数的计算中不重要),以及指数上对空间的连续的积分.其结果就是(2.40).

(2.42)

这就是将(2.40-41)代入格林函数的表达式(2.31)即得.注意到因子$$R_1, R_n, g_+(\omega,a_n), g_-(\omega,a_1)$$都被抵消了.而$$I(a_1,a_n)$$来自朗斯基行列式,除了直接利用定义外,注意到它不是坐标$$x$$的函数.

注意到(2.42)与(2.23)的相似性,在$$y\le x$$时,这导致分子部分在下半复平面指数趋于零,积分在大圆上贡献为零. 文中指出,对于在星体外的情况更为复杂,但是关于其收敛性的条件与证明与之前的讨论是类似的.

(3.1)

这里分母中应该是$$\omega_j$$.

(3.4)

这就是从傅里叶变换与格林函数的角度说明任何函数都可以用QNM基展开,从而说明其完备性.

(3.5)

这是数值测试完备性所使用的表达式.在之前(2.12)下方已经给出,即$$\partial_t G(x,y;t=0^+)=\delta(x-y)$$.

首先我们考虑一个行不通的证明过程,我们尝试计算积分
 * $$\int dy \delta(x-y)f_i(y)\to \int dy \partial_t G(x,y;t=0^+)f_i(y)\to \langle\langle \partial_t G(x,y;t=0^+)|f_i(y)\rangle\rangle

=\mathrm{Re}\left[\sum_j \frac{f_j(x)\langle\langle f_j(y)|f_i(y)\rangle\rangle}{\langle\langle f_j|f_j\rangle\rangle}\right]=? f_i(x)$$. 这里,除了(2.8)的第二项的差别外,由于内积(2.8)并没有正交性$${\langle\langle f_i|f_j\rangle\rangle}\ne \delta_{ij}$$.一般意义上的证明思路并不成立.

另外压低因子$$I(\tau)=e^{-\omega\tau}$$在使用留数定理后,对每项求和的形式是(3.2),即$$I_j(\tau)=e^{-\omega_j\tau}$$. 虽然其$$\omega_j$$的虚部为负数,与空间边界上波函数发散相比,是不足道的.

下面,我们对(3.4)以及(3.5)涉及的$$C3$$条件给出 讨论.

从数学上说,这个结论其实可以通过Morse和Feshbach一书P.893的结果严格证明.首先由格林函数的形式解知,这里(3.4)对应其中在初始时刻时格林函数及其时间偏导对全空间的积分的贡献.更重要的是,在一维情况下,格林函数与阶梯函数成正比$$G(x,y;t)\sim H(t-(x-y))$$.值得指出,在三维情况下,格林函数与$$\delta(t-(x-y))$$成正比,这正是经典电动力学中著名的推迟势和超前势的结果,比如参见蔡胜善等所著经典电动力学.我们指出,物理上,这两个结果都不违背与光速有限相联系的因果律.在一维情况下,阶梯函数对时间的偏导正是$$\partial_t G(x,y;t)\sim \delta(t-(x-y))$$,即文中给出的结果$$\partial_t G(x,y;t=0^+)\sim \delta(x-y)$$.

上述结果也可参见这个stackexchange问题的解答,具体计算得到格林函数为阶梯函数,时间偏导为$$\delta(t-(x-y))$$函数,与上述结果完全一致.

另外,通过观察(3.4),在$$y\le x, t\to 0^+$$条件下,格林函数趋于$$G(x,y,0^+)\sim H(0^+-(x-y))\to 0$$,同时$$\partial_t G(x,y;t=0^+)=\delta(x-y)$$.这的确使得等式(3.4)被满足.

最后,我们指出一个相关的事实.参见这个推导(原文地址),波动函数的通解可以通过"无源"的格林函数来表达,形式上仍然满足(3.4).这个结论直接来自上述文献中的(7)与(16),也与之后的(23)一致.但是我们注意到,这里的格林函数的定义(5-7)其实并不涉及"点源",所以虽然结果类似,但推导过程大相径庭.若要把上述两种情况结合起来,那么我们需要把条件$$y\le x$$替换为$$y < x$$,这样,格林函数定义中的"点源"不被涉及,殊途同归于(3.4)也是可以理解的.

(4.1-4)

这是方势垒的QNM的严格解.具体的证明过程实际上与量子力学的有限深势阱非常类似,区别是具体应用时频率可以是复数.下面我们参考苏汝铿量子力学一书(2.4.15)的推导给出这个结果的证明.

首先我们依据一维薛定谔方程必然有确定宇称的解的结论,同样把写成奇偶宇称的形式.对偶宇称,方程的解为

对$$0a$$,$$\Psi(x)\equiv\Psi_2(x)=e^{i\omega (x-\frac{a}{2})}$$,

对$$x<0$$,$$\Psi(x)\equiv\Psi_3(x)=e^{-i\omega (x-\frac{a}{2})}$$.

容易证明上述方程的确对于$$x=\frac{a}{2}$$点为偶函数.我们考虑$$x=a$$处函数及其导数连续的条件,易知这与在$$x=0$$处得到的结果是一致的.

函数和导数连续的条件可以写为$$\left(\ln\Psi\right)'$$连续,即$$\left.\left(\ln\Psi_1(x)\right)'\right|_{x=a}=\left.\left(\ln\Psi_2(x)\right)'\right|_{x=a}$$,容易证明,这意味着$$k\tan b=-i\omega$$,其中$$b=\frac{ka}{2}$$.利用$$\tan x=i\frac{1-e^{2ix}}{1+e^{2ix}}$$,我们得到$$\omega=\frac{e^{2ix}-1}{e^{2ix}+1}k$$,代入计算$$\frac{\omega-k}{\omega+k}$$不难得到$$\left(\frac{\omega-k}{\omega+k}\right)^2=e{-4ix}=e^{2ika}$$,此即(4.4).

不难证明对于奇宇称的情况,我们类似的有$$\omega=\frac{e^{2ix}+1}{e^{2ix}-1}k$$,所以同样得到(4.4).

(4.5)

这个表达式就是完备性的数值验证的基础.具体参见之前笔记关于(3.5)的讨论.

(4.7-8)

首先(4.7)即直接利用之前(2.14)下方WKB近似的结果,与之前(2.23)推导的思路类似,直接利用(2.22)的结论即得.

而(4.8)的推导不妨考虑到(2.8)中路径积分采用合适的路径后具有(2.9)的形式,我们忽略积分在势场最后一个间断点$$a$$之后的贡献.作为一个大致的估计,我们将间断点$$x=a$$波函数$$f(x)\sim e^{ikx}$$的数值来取代积分结果.这样近似后我们自然的得到(4.8).

这样,分子分母在$$j\to \infty$$时的发散的发散形式类似,最坏的情况下分子的发散的形式为$$(j\pi)^{2q}$$,分母为$$(j\pi)^{q}$$,故两者的比值发散.压低因子为指数形式压低,故可以很好的使得最后的结果收敛.

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Late-time tails in gravitational collapse of a self-interacting massive scalar-field and decay of a self-interacting scalar hair, gr-qc/9801059, by Shahar Hod and Tsvi Piran
这篇文章是有质量标量场拖尾的经典之作.主要结果是对有质量的粒子,格林函数含有顶点在实轴上的两根割线,最简单的计算方法是把两个的连接割线在实轴上连接起来.这样得到拖尾,既有幂函数衰减因子,又因为虚部为零,函数纯震荡因子.

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Potential and Bound State, Am. J. Phys. 63 (1995) 256, by Walter F. Buell and B.A. Shadwich
这篇文章讨论的仅仅是一维薛定谔方程是否存在束缚态解与势场形状的关系.其结论是,对于在两边趋于零的势场,如果势场的全空间积分为负,则必有束缚态.这是个充分但不必要的条件.这里的具体实例可以参考一维有限深势阱与一维谐振子势的严格解.这与三维势场存在束缚态与势场深度有关的结论表面上矛盾.后者的具体例子可以参考三维有限深势阱与三维$$\delta$$势.这是一个与空间维度敏感相关的有意义的结果.

这个结果的重要应用是QNM,后者对应一维薛定谔方程.当度规不稳定对应QNM在时间域发散,这时体系凝结出现黑洞的"毛",对应束缚态.比如在文献arXiv:1001.0019中,就利用这里的结论来作为判定QNM不稳定性出现的条件.

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Geodesic stability, Lyapunov exponents and quasinormal modes, arXiv:0812.1806v3, by Vitor Cardoso et al
本文讨论了球对称度规在WKB近似和eikonal极限($$\ell\to\infty$$)下QNM频率与光球测地线的Lyapunov指数和角速度的关系.文章非常简单.

(10)

这里(7)和(9)都可以直接用定义(6)和(8)得到.

如果取合适的坐标系把矩阵$$L$$对角化,那么(8)意味着$$L$$的每一个本征值完全决定了相关的坐标分量(原来坐标分量的线性组合)的时间演化. 如果这个时间演化是指数形式,如$$e^{\lambda t}$$,那么(10)的定义就能得到对应的指数. 我们知道,按线性微扰理论,对两阶方程,一般情况下,微扰的演化就是指数形式的.具体的,$$\lambda<0$$对应体系是稳定的,而$$\lambda>0$$意味不稳定. 这里(10)针对$$L$$矩阵最大的本征值,决定了对体系的微扰随时间最快的增长方式.

(14)

在具体计算中,由(7)得到矩阵$$K$$,从而由(9)决定矩阵$$L$$.将后者对角化后利用(10)即得Lyapunov指数. 故(14)给出的结果由$$K$$的矩阵元决定.

(33)

这由(27)和(30)即得.

(34)

这里是在之前的推导中增加零测地线的信息,即(28)等式右边的常数为零.

(46)

这就是本文的主要结果.

注意到在球对称情况下,势场极值点与光球半径重合$$r_0=r_c$$.只需将WKB近似结果在极限$$\ell\to\infty$$下取主导项得到(45),与之前的结果(37)和(40)比较即得.

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Analytical correspondence between shadow radius and black hole quasinormal frequencies, arXiv:2005.09761v1, by B. Cuadros-Melgar et al
本文讨论了球对称度规在WKB近似和eikonal极限($$\ell\to\infty$$)下QNM频率实部与光环半径的关系.文章非常简单.

(4)

这是具有球对称的度规光环(光球)满足的条件.

它可以由arXiv:1801.00860中P.6定义的有效势$$H_\pm(r,\theta)$$和它的梯度决定. 在球对称情况下的光球$$\theta=\pi/2$$,我们有$$g_{tt}=-f(r)$$,$$g_{t\varphi}=0$$,$$g_{\varphi\varphi}=r^2\sin\theta$$. 代入有效势的表达式,我们只需要取正根$$H_+=\sqrt{\frac{-g_{tt}}{g_{\varphi\varphi}}}=\sqrt{\frac{f(r)}{r^2}}$$. 它的导数为零的条件正是(4).

(10)

这里说明,在极限$$\ell\to\infty$$下,势场极值(WKB近似应用位置)与光球半径是一致的.

(11)

利用WKB近似的结果(7),在$$\ell\to\infty$$时势场的实部仅由(7)实部的第一项决定(所以似乎根本不需要用到三阶WKB的结果),按势场的形式(3)在$$\ell\to\infty$$极限下$$g(r)$$项没有贡献,剩余部分按$$\ell$$的平方项和一次项展开即得(11)的实部,即(13).后者就是本文的核心结果,实在有点苍白.

(12)

这里等式右边第一个因子的分子$$(2\nu+1)$$应该是$$2\nu$$或者$$(2n+1)$$(笔误).而根号内的结果由(9)得到的$$f'=2f/r$$代入即得.

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About the significance of quasinormal modes of black holes, arXiv:gr-qc/9602032, by Hans-Peter Nollert
Nollert的第一篇用阶梯势来取代连续势场对QNM的频率与时间域演化的计算.结论是,QNM频率差很多而时间域演化能够比较忠实的反应物理演化.

这篇文章的动机来自QNM的完备性问题.由于非厄米属性,QNM一般认为是不完备的.具体的,拖尾的幂律和快速的初始振动显然都不可能由QNM频率的基的线性组合给出,另外由arXiv:gr-qc/9507034指出当势场出现不连续时,QNM是完备的.故Nollert通过具体计算来检验两者的一致性.

显然这个工作某种意义上留下很多有意义的问题.比如对QNM完备性的数值检查?从时域演化通过Prony分析得到的频率与QNM比较是怎样的结果?如果上述比较得到很不同的频率值,而时域演化是很精确的,比如能描述拖尾与初始扰动,那么QNM的意义究竟何在?如果我们考虑函数与导数都连续的情况,那么是否可以得到与QNM一致的结果?

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Significance of black hole quasinormal modes: A closer look, arXiv:2002.07251, by Ramin G. Daghigh et al
这是用梯形分段函数近似来讨论QNM和波形的工作.与之前Nollert工作相比,其实只能算依葫芦画瓢.

因为QNM依赖于势场极值处的函数以及各阶导数,所以能精确计算QNM的方法一般都牵涉到高阶展开,比如连续分数法,WKB,HH,矩阵法等.而用梯形,甚至是更低阶的矩形,来近似,只包含一阶导数的信息,计算得到的QNM非常不准确.本文首先用数值计算重复和确认了这个结果.

接着,文章给出有意义的结果.用分段函数近似能够很好的毕竟波函数,而且波形显然不被最低阶QNM频率决定,否则结果一定很差.作者指出,这是因为此时的不同模式构成了完备基,而通过完备基可以正确的逼近任何波形.

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A recipe for echoes from exotic compact objects, arXiv:1706.06155, by Zachary Mark et al
黑洞回声也许读这一篇就够了.本文通过格林函数分析,指出回声其实是来自频率域中格林函数的某些特定因子.他们的傅里叶逆变换是一系列在时间域上间隔的点源函数,卷积后即得到时间域中回声的特性.

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Mining information from binary black hole mergers: a comparison of estimation methods for complex exponentials in noise, arXiv:gr-qc/0701086, by E. Berti, V. Cardoso, J.A. Gonźalez and U. Sperhake
这是通过各种不同的数学方法,从离散的时间序列数据中提取QNM频率的方法总结.

(3.12)

这里简述Prony方法推导的过程.首先我们把时间序列写出来.我们注意到(3.7)中包含$$p$$个准正频率对应$$z_k$$,$$k=1,2,\cdots,p$$.我们注意到这$$p$$值就是(3.9)中定义的多项式的根,而(3.9)的第二步等式就是把这个多项式写成级数形式.这样如果(3.9)右边多项式的每个系数$$a[m]$$都知道了,求解它的$$p$$个根问题就得解了.为了求解这些系数,我们写出(3.11),把这些系数与$$x[n]$$,即(3.7),进行某种组合,不难发现,在交换了求和顺序后,(3.11)的每一项都涉及到一个因子把某个根$$z_k$$代入(3.9),故(3.11)为零.这样就决定了系数$$a[m]$$满足的方程,注意到$$a[0]=1$$,上述方程可以表达为矩阵的形式(3.12).

在这里时间序列点数正好是QNM频率数的一倍,所以(3.12)左边的矩阵是方阵.这个要求很大的限制了这个数值方法在实践中的应用.

(3.15)

综述Prony方法,这个方法通过把问题转化为矩阵求逆和线性方程求复平面上零点的问题.在这个结果之后,本文主要讨论了当存在白噪声时如何通过对线性方程复平面上零点的合理选择来消除噪声的影响.

这里与(3.12)的区别来源于格点数目与我们需要提取的频率数目不必相同,本质上前者可以远大于后者.由(3.15),在(3.16)中的矩阵$$X$$不必是方阵.具体的$$p$$是需要提取的频率数目,而$$N$$是数据的时间点数目.作为一组线性方程,这时方程的数量是大于变量数量,这样问题被"过度"决定了,原则上问题不可解.相应的对策是采用最小两乘法来求解这类线性方程问题.具体的,把问题的解表达为使得方程左边和右边的两个矢量的欧式距离最小的最小值问题,问题的解对应欧式距离表达式对所有带求解变量的偏微分为零,具体可参见这里的推导.

在具体使用时,由文章的第二部分(第三页最后一行)给出的实例,分别使用了56和72个时间格点.

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