Research Paper Notes on Review of Smoothed Particle Hydrodynamics

Research Paper Notes on Review of Smoothed Particle Hydrodynamics

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 * Topics on Hydrodynamic Model of Nucleus-Nucleus Collisions, arXiv:hep-ph/0407264, by Y. Hama T. Kodama and O. Socolowski Jr.

Topics on Hydrodynamic Model of Nucleus-Nucleus Collisions, arXiv:hep-ph/0407264, by Y. Hama T. Kodama and O. Socolowski Jr.
(5)

这个本征方程定义了随动系的四速度,同时把能动张量的第一行和第一列对角化,保留的对角元对应了能量密度. 具体推导参见Key Notes on Notions of Energy Momentum Tensor的笔记.

(24)

对(23)考虑$$\Gamma$$很小,两个极点分别在$$M_R\pm i\Gamma/2$$.表面上,似乎可以做留数积分,从上半圆绕行,即得(24).但是实际上,绕行的理由涉及modified Bessel函数在复平面上无穷大处的性质,参见维基页,在实部为负数的时候,由于$$K_2\rightarrow \infty$$其实无法绕行.

以下给出三种可行的做法. 第一种是类似Weinberg场论中用到的$$\delta$$方法.这个做法是把$$W$$的被积函数写成$$\delta$$函数的形式,即$$\delta(W-M)=\frac{1}{2\pi}\lim_{\Gamma\rightarrow 0}\frac{\Gamma}{(W-M)^2+\Gamma^2/4}$$.然后用$$\delta$$函数来直接完成积分.

第二种做法是利用数理方法中涉及到的对一个离开实轴无限接近的积分的处理方法.形式上结果是$$\int_a^b dx \frac{f(x)}{x-x_0\mp i\epsilon}=P\int_a^b dx \frac{f(x)}{x-x_0}\pm i\pi f(x_0)$$.注意到这里的积分不需要在无穷远处的大圆上为零,其证明过程是按柯西定理,把在极点附近实轴上的积分换成以极点为圆心的圆弧上的积分,其绕行方向是在极点相对实轴的另一侧,这个绕行方案保证积分路径的连续变换不会触碰到极点,从而确保了柯西定理使用的条件.这里涉及到两个极限,第一是极点趋近实轴的极限,第二是绕行积分的半径趋于零的极限.在问题的自然表述中,第二个极限是不重要的,换言之,因为柯西定理,这个半径可以取任何大于$$\epsilon$$的值而不会改变积分的结果.下面我们先取第一个极限,这时积分半径为有限值但是圆弧趋于半圆.接着,我们取第二个极限,这样的做法的结果是剩余的积分在极限下趋于主值积分而圆弧在极限情况下趋于半个留数.对于本问题,注意到$$\frac{\Gamma /2}{(W-M)^2+\Gamma^2/4}=i\left(\frac{1}{W-M+i\Gamma/2}-\frac{1}{W-M-i\Gamma/2}\right)$$,利用上述公式发现主值积分部分相互抵消,余下的部分正好是一个留数.

值得指出上面的这个等式也可以利用上面的第一个方法来证明.前面给出了要求的两个式子的差的形式,容易得到要求的两个式子的和的形式.按前面的讨论易知,这个差的积分对应一个留数值,容易证明,和的积分在极限下就对应主值积分.

第三种做法是注意到第一象限无限大圆上的积分是收敛的,而问题中积分在实轴上部分可以保证构造一个局限在第一象限的环路积分.这样,再次利用$$\frac{\Gamma /2}{(W-M)^2+\Gamma^2/4}=i\left(\frac{1}{W-M+i\Gamma/2}-\frac{1}{W-M-i\Gamma/2}\right)$$,注意到对每一项,我们都采用路径完全相同的上面所构造的局限在第一象限的环路积分.因为第一项环路积分不包含极点,所以等式右边两个积分之差正好是极点$$M+i\Gamma$$的留数.等式左边在无穷远大圆上的积分为零,在通向大圆的路径上的积分的贡献两项完全相同从而相互抵消,剩余部分正好就是我们需要的积分.

上述三种做法实际上是处理这一类问题的有代表性的处理的方法.

(85)

运动方程的导出参见https://goo.gl/photos/vayEFdzThTmrgoAy7

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