Part I: Feynman Diagrams and Quantum Electrodynamics

Lecture Notes of An Introduction to Quantum Field Theory by Michael E. Peskin and Daniel V. Schroeder

本文档除了包括推导, 疑惑 外,做 读书重点 的记录

Part I: Feynman Diagrams and Quantum Electrodynamics

Ch.1 Invitation: Pair Production in e+e- Annihilation
P.7 (1.4)

$$\epsilon^\mu$$是沿着$$z$$轴正方向的右旋光子(自旋为1)振幅的复数表示,容易验证$$y$$分量比$$x$$分量的相位提前了$$\frac{\pi}{2}$$相位$$e^{\frac{\pi}{2}}$$.

P.7 (1.5)

如图Fig1.3,转动未在$$x-z$$平面上转动了$$\theta$$角.

P.7 不可能存在的初态

考虑正负电子都是右旋的情况$$|e^-_R e^+_R>$$,书中指出,这里相当于考虑把这个态用CG系数分解,因为电子自旋为1/2,初态的自旋$$z$$分量为零,所以可以指望展开到两个$$j=0,1$$态上.即$$(1/\sqrt{2})(|j=1,m=0>+|j=0,m=0>)$$. 其中$$|j=1,m=0>$$并非是左旋或者是右旋光子($$|j=1,m=\pm 1>$$)的线性组合,而是对应纵向极化光子(物理上不存在,数学上从对称性出发可以考虑.

但是书中又指出,这个考虑忽略了其实这里的粒子对应的是洛伦兹群表示的基,而非三维转动群表示的基.在洛伦兹群下的类似的关于CG系数的讨论,得到的相应的展开系数为零.所以对应的物理过程不存在.

这真是对简单问题的复杂化的讨论.

Ch.2 The Klein-Gordon Field
P.14 静止相位点

将相位$$px-t\sqrt{p^2+m^2}$$对$$p$$求导,导数为零的点就是书中得到的$$p$$.注意到对解析函数导数与求导的方向无关.改变积分路径通过导数为零的点,沿着导数下降最快的方向积分,就是鞍点积分法.这里仅仅考虑零阶项,即鞍点的函数值.即得书中结果.

P.19 (2.17)

在这里,值得指出,虽然作用量在变化下不变,但是拉格朗日(密度)在变化并不保持不变.这样最后的守恒流(2.12)会涉及到相应的贡献.一个例子就是时空平移导致能动张量守恒.

注意到,按(2.10),拉格朗日的变化表达为$$\partial_\mu(a^\nu{\delta^\mu}_\nu{\mathcal L})$$,所以$${\mathcal J}^\mu=a^\nu{\delta^\mu}_\nu{\mathcal L}$$.

P.19 哈密顿的物理意义

这里的哈密顿是空间点碎片的哈密顿的和,如果把每个碎片点看成一个小质点体系,按质点粒子的拉格朗日,他来源于时间平移,且具有能量的物理意义.所以体系的哈密顿量的物理意义是完全一致的.

P.23 $$\delta(p-q)$$

可以不利用书上的提示,等式两边对三维的动量空间积分,显然差一个雅克比因子,而雅克比矩阵仅仅$$\frac{dp_3'}{dp_3}$$因子不平庸.

P.23 (2.37)

将等式两边对共轭态做内积,利用幺阵算符的性质,得到的结果正等价于归一条件的洛伦兹不变性.

P.23 (2.39)

把这个表达式的右边作用到相应的动量本征态上,易得其的确满足投影算符的基本性质.故(2.39)成立.

P.23 (2.40)

具体计算参见温伯格一书P.67的相应推导.

P.25 (2.46)

由上面一式,有$$e^{iHt}a_p=a_pe^{i(H-E_p)t}$$,即得(2.46).

P.25 (2.50)

由(2.47),易证$$\phi(x)=\phi^+(x)$$.故两个态的内积$$<\phi(x)0|\phi(y)0>=<0|\phi(x)\phi(y)0>$$.

P.27 (2.51)

考虑换元之前的积分,被积变量为$$p$$,考虑指数部分相位对$$p$$的导数为零对应$$p=0$$,所以对应的常数相位为$$m$$.主导部分由常数相位决定,即$$e^{-imt}$$.剩余部分积分可以提出来做,参考这个这个近似做法. 注意这个结果很重要.和Bruno的讨论中发现,传播子的一般时空依赖关系中,空间部分在一般情况下随着距离差是指数衰减的,而时间部分却是这里得到的振动的形式.

P.27 (2.52)

首先确认割线的存在性及其位置.$$p=\pm im$$为极点,但是由于根号的存在,导致在每个极点周围必然存在一根割线.一个选择方法是书上的Fig. 2.3.这个链接解释了可以等价的把割线定义在$$p=\pm im$$之间.

路径的变换其实涉及到略去在无穷远处的积分,这时相应的要考虑$$r$$有微小的正的虚部,这样积分从实轴的上方绕行,但是书中没有具体讨论这点.

接着考虑路径变换之后,首先验证沿着虚轴左侧向下的积分和沿着虚轴右侧向上的积分的贡献的确是一样的.这是因为
 * $$\int_{C_1}dz+\int_{C_2}dz=\int_{z=im}^{z=i\infty}dz+\int_{z=i\infty}^{z=im}dz=\int_{z=im}^{z=i\infty}(ip-i(p+dp))+\int_{z=i\infty}^{z=im}(i(p+dp)-ip)=\int_{z=im}^{z=i\infty}(-idp)+\int_{z=i\infty}^{z=im}(idp)=\int_{z=im}^{z=i\infty}(-idp)-\int_{z=im}^{z=i\infty}(idp)=2\int_{z=im}^{z=i\infty}(-idp)$$

最后在$$r\rightarrow \infty$$,指数衰减占主导,超过了分母上的零点导致的无穷大,这样如果把被积函数除了指数外视为常数,即得(2.52)的结果.

P.28 (2.53)

这个式子是说波包塌缩并不意味着违法因果律.重要的是考虑$$x$$和$$y$$时空点的测量是否相互影响,这对应两个测量是否对易.

换言之,测量可以影响另外一个类空坐标的波函数,但是测量不会影响另外一个类空坐标的测量.

P.29 Fig. 2.4

因为是类空间隔,时间可以换号,而空间总是可以通过旋转来换号,这样可以通过洛伦兹变换(保持间隔不变)来实现$$(x-y) \rightarrow -(x-y)$$.

P.30 (2.54)

这里三维动量的符号存在一个负号,但是注意到这个三维动量$$p$$是积分哑元,有
 * $$\int_a^b dx f(-x)=\int_{-a}^{-b} d(-y) f(y)=-\int_{-a}^{-b} d(y) f(y)=\int_{-b}^{-a} d(y) f(y)=\int_{-b}^{-a} d(x) f(x)$$

再注意到积分限,负号对表达式无影响.

最后一步按图,把积分沿着虚轴下半平面绕行,由于$$(x^0-y^0)>0$$,无穷远处积分为零.按留数定理,积分结果为两个留数之和.即得结果.

P.30 (2.56)

第二步等式.这里得到三项之和.第三项有KG方程为零.第二项的第一个因子对$$\theta$$函数的时间部分的导数为$$\delta$$函数,对空间部分的导数为零,注意到(2.47),故得到含有系数2的式子.第一项第一次导数得到$$\delta$$函数,第二次导数用两个因子乘积的导数减去第二个因子的导数,前者为零,后者得到负号;特别注意到,这里两个因子的乘积在原点$$(x^0-y^0)=0$$为零,不存在歧义,因为按(2.53)在$$x=y$$和$$x\ne y$$两种情况下(2.53)都为零;可以参考这个讨论.

第三步等式注意到等时对易关系即得.

P.31 (2.60)

费曼传播子是格林函数.首先由其傅里叶变换(2.59)知道不是意外的.按(2.56)的推导,第一项和第二项对$$\theta$$函数的一次导数对第二个求和项产生一个负号,这个负号正好用于得到场算符和共轭场算符的对易关系.

P.32 (2.66)

首先这里是在海森堡图像中计算的真空态的哈密顿量平均值,这意味着计算的是初态为真空的体系在之后引入的外源消失后的能量.在海森堡图像中,体系的初态不随时间演化,但是体系的哈密顿量是时间的函数并且承载体系随时间演化的信息.因为在外源消失后体系仅有无相互作用的KG场,所以计算得到的能量必然是自由粒子的能量.

从而(2.65)可以视为是某动量下的自由粒子能量乘以对应的动量空间粒子数密度后对动量的积分.这样把动量空间的粒子密度对动量积分即得粒子数(2.66).

Ch.3 The Dirac Field
P.36 (3.3)

利用复合导数,我们有$$\frac{\partial \phi(\Lambda^{-1}x)}{\partial (\Lambda^{-1}x)^{\nu}}\frac{\partial (\Lambda^{-1}x)^{\nu}}{\partial x^{\mu}}=\partial_{\nu}\phi(\Lambda^{-1}x)\frac{\partial (\Lambda^{-1}x)^{\nu}}{\partial x^{\mu}}=\partial_{\nu}\phi(\Lambda^{-1}x) {(\Lambda^{-1})^{\nu}}_{\mu}$$

P.37 Fig.3.1

这是一个重要的物理概念,对非标量场在洛伦兹变换下涉及两个结果,一个是场本身对应洛伦兹群相应表示(矢量,张量,旋量等)的旋转,另一个是场的自变量坐标的(矢量的逆向的)旋转.

P.39 (3.17)

之前的(3.16)是从转动群生成元直接推广为洛伦兹群的生成元.严格的推导比如参见Wu-Ki Tung群论(10.2.16-18)的推导.

利用(3.16)可以直接推导得到(3.17)这里的度规$$g^{\nu\rho}$$来自逆变坐标对协变坐标的导数.接着,书中指出这里的度规可以是任何形式,比如三维的欧几里得空间的度规(3.22-24)或者四维闵可夫斯基度规(3.25-27).

P.41 (3.26-7)

这里书中指出一个群论中重要的结论.因为洛伦兹群不是紧致的,所以不存在有限维的幺阵表示,这在后面(3.32)构造拉格朗日的时候再次被提及.

P.42 (3.31)

等式第一步中出现的$${\left(\Lambda^{-1}\right)^\nu}_\mu$$,来自与(3.3)同样的理由,即坐标变换导致的复合导数的链式规则的使用.故提出该因子后要把导数看做对原来的场的自变量的导数(而非新坐标的导数),从而确保了等式最后一步为零.

P.42 (3.29)

这里通过无限小变换证明了这个关系.

关于这个结果的更一般化证明可以参见比如Broida Joel G. - Dirac Equation and Lorentz Group这里的P.14的(31).

P.43 (3.36)

这里书中提及另外一个重要的结论,旋量粒子对应的洛伦兹群表示并不是不可约的.

P.44 (3.37)

按变换的定义(3.30),生成元的具体形式(3.26-27),最后按之前(3.20-21)定义习惯,把三个牵涉到时间分量的洛伦兹冲刺的反对称参数记为$$\beta_i=\omega_{0i}$$,把三个只牵涉到空间分量的纯转动的反对称参数记为$$\theta_i=\epsilon^{ijk}\omega_{jk}$$.注意到(3.26-27)中的指标也是按这个方式标记的,另外这个表达式有因子$$2\times\frac{1}{4}$$,其中因子$$2$$来自$$\omega_{ij}$$的反对称性,比如,对应空间转动部分,由三阶Levi-Civita负号的性质$$\varepsilon_{jmn} \varepsilon^{imn}=2{\delta_j}^i $$得到.

P.46 (3.48)

首先P.45 最下面一式可以由(3.21)直接推广得到.注意到这里只考虑了时间分量和洛伦兹冲刺的空间方向这两个分量的二维情况.

考虑无限多无穷小冲刺的和就得到指数形式,这就是(3.48).

P.46 (3.49)

首先注意到这里讨论是四分量旋量的洛伦兹(对应可约表示)变换,区别与之前(3.19-21)洛伦兹矢量的变换.

注意到这里对$$u(p_0)$$左乘洛伦兹冲刺的旋量场表示来得到$$u(p)$$.之前对矢量的例子,按(3.21)来写洛伦兹表示,这里$$u(p)$$是旋量,所以形式上需要找到无限小洛伦兹旋量表示的形式,然后再写到指数上去.然而,这里有一个潜在的问题:因为我们仅仅对坐标自变量定义了(3.8),我们并没有理由随便对动量自变量的旋量同样可以做类似(3.8)的操作.

实际上,我们仅仅知道$$u(p)$$是满足(3.46)的解.所以我们的出发点实际上是$$(\gamma^\mu(\Lambda p)_\mu-m)u(\Lambda p)=0$$,这样按分量写出来,利用(3.29)并且比较原来的(3.46)的形式,我们得到$$u(p)=\Lambda_{\frac{1}{2}}u(p_0)$$,其中$$p=\Lambda p_0$$.

P.46 (3.50)

在这个特殊情况下,只要注意到$$p\cdot \sigma =p^0 1 - p^3\sigma^3$$.因为对应的矩阵是对角的,代入根号后取正根即可.

在一般情况下,做替换$$\sigma^3\rightarrow \sigma\cdot\hat n$$和$$p^3\rightarrow p\cdot\hat n$$,其中$$\hat n=\hat p={\vec p}/p$$是沿着动量方向的单位矢量.容易验证,取平方后,矩阵的相互关系仍然满足.这是因为
 * $$\left(\sqrt{E+{\vec p}\cdot{\hat n}}\frac{1-{\vec\sigma}\cdot{\hat n}}{2}+\sqrt{E-{\vec p}\cdot{\hat n}}\frac{1+{\vec\sigma}\cdot{\hat n}}{2}\right)^2=(E+{\vec p}\cdot{\hat n})\frac{1-{\vec\sigma}\cdot{\hat n}}{2}+(E-{\vec p}\cdot{\hat n})\frac{1+{\vec\sigma}\cdot{\hat n}}{2}+\sqrt{E^2-({\vec p}\cdot{\hat n})^2}\times 0=E-({\vec p}\cdot{\hat n})({\vec\sigma}\cdot{\hat n})=E-{\vec p}\cdot{\vec\sigma}=p\cdot \sigma$$

因为我们知道如果矩阵是对角的,那么开方涉及到正负号的不确定性,这里书中给出取正号的约定.

另外,(3.50)是$$u(p)$$对应于任何洛伦兹冲刺变换对应的动量情况下的一般形式,所以在洛伦兹变换下,其中的动量$$p$$按之前的洛伦兹矢量变换,泡利矩阵为常数形式不变.

P.46 (3.51)

由(3.43)
 * $$-m\psi_L+i\sigma\cdot\partial\psi_R=-m\sqrt{p\cdot\sigma}\xi+i\sigma\cdot(-ip)\sqrt{p\cdot\bar{\sigma}}\xi=-m\sqrt{p\cdot\sigma}\xi+\sqrt{p\cdot{\sigma}}\sqrt{(p\cdot{\sigma})(p\cdot\bar{\sigma})}\xi=(-m+m)\sqrt{p\cdot{\sigma}}\xi=0$$

P.47 (3.54)

由(3.44),$$\psi_L$$满足$$\sigma\cdot(-ip)\psi_L=E\psi_L$$,$$\psi_L$$是螺旋性的本证态.$$\psi_R$$同理.

P.48 (3.63-65)

这部分的一个推导参见F.Mandl一书的附录的证明.

P.49 $$\gamma^{\mu\nu}$$

如果这里没有反对称,直积表示是可约的.

P.51 (3.76)

由$$\gamma^5$$的表达式(3.68),和$$\psi_L$$,$$\psi_R$$的定义(3.36)知道等式的右边的确只是分别和$$\psi_L$$,$$\psi_R$$有关,从而对应左右手的流.

注意到$$\gamma^5$$会和其他$$\gamma$$交换两次.

P.51 (3.77)

问题中的等式为:$$(\sigma^{\mu})_{\alpha\beta}(\sigma_\mu)_{\gamma\delta}=2\epsilon_{\alpha\gamma}\epsilon_{\beta\delta}$$

我们先考虑右边.我们首先证明$$\epsilon_{\alpha\gamma}$$是一个洛伦兹不变张量,如果其两个下标按左手Weyl旋量变换.换言之需要证明
 * $$\Psi_L\rightarrow U_L\Psi_L=\exp(-i{\mathbf \theta}\cdot \frac{\sigma}{2}-\mathbf{\beta}\cdot\frac{\sigma}{2})\Psi_L$$

或者
 * $$\epsilon_{\alpha\gamma}\rightarrow \exp(-i{\mathbf \theta}\cdot \frac{\sigma}{2}-\mathbf{\beta}\cdot\frac{\sigma}{2})

_{\alpha\alpha'} \exp(-i{\mathbf \theta}\cdot \frac{\sigma}{2}-\mathbf{\beta}\cdot\frac{\sigma}{2})_{\gamma\gamma'}\epsilon_{\alpha'\gamma'}=\epsilon_{\alpha\gamma} $$ 具体的
 * $$\exp(-i{\mathbf \theta}\cdot \frac{\sigma}{2}-\mathbf{\beta}\cdot\frac{\sigma}{2})\begin{pmatrix}

0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \exp(-i{\mathbf \theta}\cdot \frac{\sigma}{2}-\mathbf{\beta}\cdot\frac{\sigma}{2})^T=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$$

上面关系不难证明,只需要注意到$$\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}=i\sigma^2$$,$$\sigma^\dagger=\sigma$$,并且利用Eq.(3.38)的转置.这样,


 * $$\exp(-i{\mathbf \theta}\cdot \frac{\sigma}{2}-\mathbf{\beta}\cdot\frac{\sigma}{2})\sigma^2

\exp(-i{\mathbf \theta}\cdot \frac{\sigma}{2}-\mathbf{\beta}\cdot\frac{\sigma}{2})^T$$
 * $$=\exp(-i{\mathbf \theta}\cdot \frac{\sigma}{2}-\mathbf{\beta}\cdot\frac{\sigma}{2})\sigma^2

\left[\sum_n\frac{1}{n!}(-i{\mathbf \theta}\cdot \frac{\sigma}{2}-\mathbf{\beta}\cdot\frac{\sigma}{2})^n\right]^T$$
 * $$=\exp(-i{\mathbf \theta}\cdot \frac{\sigma}{2}-\mathbf{\beta}\cdot\frac{\sigma}{2})

\exp(+i{\mathbf \theta}\cdot \frac{\sigma^*}{2}+\mathbf{\beta}\cdot\frac{\sigma^*}{2})^T \sigma^2$$
 * $$=\exp(-i{\mathbf \theta}\cdot \frac{\sigma}{2}-\mathbf{\beta}\cdot\frac{\sigma}{2})

\exp(+i{\mathbf \theta}\cdot \frac{\sigma^\dagger}{2}+\mathbf{\beta}\cdot\frac{\sigma^\dagger}{2}) \sigma^2$$
 * $$=\exp(-i{\mathbf \theta}\cdot \frac{\sigma}{2}-\mathbf{\beta}\cdot\frac{\sigma}{2})

\exp(+i{\mathbf \theta}\cdot \frac{\sigma}{2}+\mathbf{\beta}\cdot\frac{\sigma}{2}) \sigma^2=\sigma^2$$

似乎完全类似的证明,可以给出$$\epsilon_{\beta\delta}$$也是洛伦兹不变张量,如果它的两个下标按Weyl右手旋量变化.这样等式右边可以看成一个洛伦兹不变张量,其中的四个指标,两个$$\alpha,\gamma$$按左手旋量变化,另外两个$$\beta,\delta$$按右手旋量变化.这正是书中给出的论述.

现在我们再来看等式的左边.虽然对应的数学证明变得非常麻烦,但其实可以联想到,$$(\sigma^\mu)_{\alpha\beta}$$也是一个洛伦兹不变张量,其中指标$$\mu$$按洛伦兹逆变矢量变换,指标$$\alpha$$按左手旋量变换,而指标$$\beta$$按右手旋量变换.这样当指标$$\mu$$被缩并掉以后,剩下的四个指标与等式右边的变换形式完全一致.

在群论书中,上面的讨论一般更为数学化也更为优雅,一个好的参考文献比如Srednicki的量子场论(参考Eq.(34.18)和Eq.(35.20)中间部分的讨论).

参见问题.

P.52 (3.82)

等式第一步就是利用了(3.77),等式第三步就是利用了(3.81),最后一步就是利用了(3.77)

等式第二步利用了(3.80)但是比较复杂.首先把_$$\beta$$把矩阵分量完全写出来,这样第一个因子$$\sigma$$的第一个下标是$$\beta$$,这时利用(3.80)来交换$$\epsilon$$和$$\sigma$$的位置,接着用相同的方式来继续交换$$\epsilon$$和$$\bar{\sigma}$$的位置,这样就把这两个因子乘到后面一组因子前面了,最后重写亚变元,得到$$\epsilon_{\beta\delta}(\sigma^\nu\bar{\sigma}^\lambda u_{2L})_\beta=\epsilon_{\sigma\alpha}u_{2L\sigma}\sigma^\lambda_{\alpha\beta}\bar{\sigma}^\nu_{\beta\delta}$$.

P.55 (3.93)

注意到$$e^{i\hat{P}x}a^+_q|0>=e^{iqx}a^+_q|0>$$.

P.56 (3.96)

反対易关系并不影响可测量量的因果性,因为所有可测量量都是场算符的双线性形式.

P.59 (3.110)上一式

这里参见(3.49)的讨论.

P.66 (3.125)

线性幺阵表示.按温伯格一书,对称性对应的算符要么是线性幺阵,要么是反线性反幺阵的.

按书中讨论,宇称算符可以通过线性幺阵算符实现.同时因为对观测量,宇称算符的平方等于恒等算符,观测量总是由费米子的偶数因子构成,所以对粒子和反粒子$$\eta_a^2, \eta_b^2=\pm 1$$.注意,这里并非是说宇称算符是厄米算符,所以并没有$$\eta_a, \eta_b=\pm 1$$的结论,但是有$$\eta_a\eta_a^*=\eta_b\eta_b^*=1$$的结论.这就是(3.125).

文中在(3.132)之后给出的$$\eta_a=-\eta_b=1$$,是一个在具体计算中不引起任何差别的特殊取法.

P.67 (3.133)

负频率和正频率的求和.这里的讨论是基于下面的思想.类似空间反演算符,时间反演算符作用在场算符上需要导致时间反演;而作用在粒子产生消灭算符上需要导致动量的反号(暂时不讨论自旋).如果这样的话,作用在真空态的求和的时间因子导致矛盾:前者对应正频率求和,后者对应负频率求和.这是因为,等式左边,按波函数展开(3.99),只有产生算符作用在基态上才有非零影响,而反粒子的产生算符的能谱为正对应了指数上频率为正.在等式右边,因为时间算符的会反演粒子产生消灭算符的三动量,所以反粒子产生算符能谱为正对应了指数上频率为负.

问题的解决方案是,时间反演算符不可能是线性算符,必须是反线性反幺阵算符.又参见Sakurai的讨论.

P.68 (3.134)

在宇称和时间反演下粒子自旋态的变化的结论是由类比经典情况下,转动对应的角动量得到的.

容易验证,其实$$\xi(\uparrow)$$和$$\xi(\downarrow)$$对应$$\sigma\cdot n$$的本征态.

特别注意到下面的$$\sigma^2$$是指泡利矩阵的第二个分量,而非平方.

P.68 (3.137)

这里粒子与反粒子算符间的额外负号来自(3.135),它使得最终(3.139)具有简单的变化关系的重要因素.同时,如书上所述,它使得两次时间反演产生一个额外负号.

P.70 (3.147)

这里交换反对称应该是来源于观测量其实是场算符的乘积的正规序,而非场算符的乘积.

Ch.4 Interacting Fields and Feynman Diagrams
P.77 (4.2)

在考虑了哈密顿中含有(不含导数的)相互作用项$$H_{int}$$后.首先出发点(2.27-28)不变.这样(2.31)多了一项$$\phi^4$$.而对(2.45)上面两式子:$$\dot{\phi}(x,t)=\pi(x,t)$$不变;但是$$\dot{\pi}(x,t)$$多了一项$$\phi^3$$.从而(2.45)对应的多了一项$$\phi^3$$.此即(4.2)

P.80 作用量的量纲

作用量的量纲是$$\hbar$$,在自然单位中无量纲.

在四维时空中,作用量的量纲可以通过具体分析得到.因为拉格朗日的量纲等于哈密顿的量纲,后者乘以时间为$$\hbar$$的量纲.

在其他维度,特别是非整数维度,比如维度重整化中涉及的稍稍偏离4维的情况,可以考虑如下原因.我们仍然需要保证路径积分量子化的合理性,而对后者作用量正比于相位,后者无量纲,换言之,要求路径积分量子化手续不变就要求作用量的量纲不由维度变化.

P.86 (4.25)

这是因为(4.24)的一个解(4.17)不满足初始条件,而是$$U(t',t_0)=C\ne 1$$,故右乘$$C^{-1}$$后的表达式必然既满足方程(4.24)又满足初始条件.

容易验证(4.25)满足(4.26).

注意到(4.17)的直观的推广$$\exp(iH_0(t-t'))\exp(-iH(t-t'))$$其实不满足方程(4.24).这是由于$$H_I$$的定义中涉及$$t_0$$.

所以(4.25)是一般形式,而(4.17)反而是它的特殊情况,而它的另一个特殊情况见(4.28)中的应用.

P.87 (4.31)

这里是把$$U$$打开写成乘积形式,然后应用时序$$T$$.

P.95 $$p^0$$的虚部

注意到如果$$p^0$$为实数,那么对$$z^0$$的积分总是在两个积分限的一个位置发散.为了让指数上为存虚数,我们利用$$(1+i\epsilon)(1-i\epsilon)=1+\epsilon^2$$,从而满足条件.

P.96 (4.50)

书中指出,因为顶点为4接口,所以图形不可能存在分离的两部分,其中一部分与$$x$$连接,另一部分与$$y$$连接的情况出现.

P.98 (4.55)

比较(4.52)与(4.30)的改写版,这个"因子化"的结果(与书中说法,即与$$T$$取无穷大极限有关的项,不同)可以通过剔除等式两边与$$x,y$$有关的项得到.

P.98 (4.56)

这里时间因子不存在,因为它同时也在(4.55)右边的指数上了.

P.100 (4.59)

$$\sigma$$是单位时间碰撞数与入射流和靶面密度的比值.参见G.Shaw的粒子物理学的笔记.

这里还有一个细节,与之后(4.72)的定义比较,如果粒子完全没有发生作用,那么不会包含在散射截面中,所以(4.76)的推导把微分散射截面$$\sigma$$与$$T$$矩阵建立联系,而非直接与$$S$$矩阵建立联系.进一步,通过(4.23)和(4.90),与相互作用有关的$$T$$和连接且截肢的费曼图直接有关.最后,对$$S$$矩阵的幺阵性要求非平庸的导致了光学定理(7.48).

另外,我们强调,即便粒子间发生了相互作用,仍然存在"向前"散射的情况,即粒子末态与初态完全一致.这样的过程仍然可以涉及到相互作用,数学上表现为这样的过程的$$T$$矩阵元不为零.同时,这并不是一个"量子"场论的新概念,比如在准经典情况下,也不难想象两个全同粒子粒子在质心系对心碰撞后以相同速度出射,但是因为是全同粒子的缘故,末态和初态在物理上完全一致.

P.105 (4.77)

这里$$\delta$$函数与积分的数目关系是$$4+2=3+3$$.在(4.77)的积分前,横动量的积分得到$$k_B^{\perp}=\bar{k}_B^{\perp}$$,$$k_A^{\perp}=\bar{k}_A^{\perp}$$.

P.107 (4.84)

这里$$\frac{1}{(2\pi)^2}$$应为$$\frac{1}{(2\pi)}$$

P.108 (4.87)

关于本式更具体的形式以及证明可参见本书(7.42)附近关于LSZ定理的讨论,一个具体的例子参考(7.45).

下面我们简单 讨论 一下$$|\mathrm{in}\rangle$$和$$|\mathrm{out}\rangle$$态的物理意义.

$$|\mathrm{in}\rangle$$和$$|\mathrm{out}\rangle$$是很不同的状态.类似(4.27)的讨论,含相互作用的最低能量的真空态和无相互作用的最低能量的真空态很不一样,他们的差别涉及无穷多的在指数上的真空图的和.所以,同理,单粒子动量本征态和无相互作用的动量本征单粒子态很不一样.从物理上分析,我们知道相互作用其实是含时的,在薛定谔图像波函数也是含时的.所以我们只能说空间波函数在无穷过去对含相互作用的$$|\mathrm{in}\rangle$$态和无相互作用自由粒子的空间波函数很接近.但是上述结论并不对其他时刻成立.同样,$$|\mathrm{out}\rangle$$只有在对应无限将来时候的空间波函数和自由粒子的空间波函数接近.

一个很好的例子是,即便对于真空到真空的演化,如果存在相互作用,那么就可能出现真空极化.换言之,无限过去的真空演化到无限未来后并不是真空态.具体的,用未来$$|\mathrm{out}\rangle$$态的粒子对算符对"真空态"计算期待值并不为零.上述计算中的"真空态"就是由无限过去的真空演化得到.数学上,这对应$$\langle \Omega_\mathrm{in}|\hat{n}_\mathrm{out}|\Omega_\mathrm{in}\rangle=\langle \Omega_\mathrm{in}|a^\dagger_\mathrm{out}a_\mathrm{out}|\Omega_\mathrm{in}\rangle$$.其中注意到我们在相互作用(海森堡)图像,态不是时间的函数,所以无限过去的真空态演化到无限将来就是$$|\Omega_\mathrm{in}\rangle$$. 具体参见Hansen与Manogue对克莱伊佯谬基于场论的研究与相应读书笔记.

在后面的(4.88),类比讨论无相互作用真空态和有相互作用真空态关系的方法,书中讨论并给出了计算S矩阵的费曼规则.

P.111 (4.97)

图中$$x$$处对应的是顶点$$\phi^4$$,而非一个箭头.

P.114 (4.103-104)

这里强调一下费曼规则涉及到的的负号和虚数因子$$i$$的一些细节.

首先比如对QED,相互作用部分,比较(4.4)和(4.5),导数中的相互作用项的$$i$$因子其实会和拉格朗日中导数外的$$i$$因子相乘而得到$$(-1)$$,所以相互作用项是实数而且如(4.3)或者(4.9)的结果,存在一个负号.但是这个负号在从拉格朗日计算哈密顿量的过程中与一个额外负号相互抵消,所以最终的相互作用量之前没有负号,如P.80上的两个表达式.

接着,顶角的费曼规则(4.104)计算的其实是$$i\mathcal{M}$$.比如(4.116),(4.119),(4.133),(5.1)的结果.

最后,还需要包括两个相邻费米子算符交换次序带来的负号,如(4.119),及其推论,闭合费米子圈带来的负号.

一个与之相关的重要结论是,在一般情况下,$$\mathcal{M}$$是实数,而其虚部与光学定理和S矩阵的幺阵性紧密相关.

P.115 (4.105)

对时间序费米子交换产生负号,而演化算符指数上的时间序$$H_I$$交换无负号.因为$$H$$是旋量的双线性形式,故两者不导致任何矛盾.

P.119 费曼图规则中旋量场粒子动量方向和粒子流方向

首先注意到$$e^{-ip\cdot x}$$被解释为在$$x$$点注入(ingoing)动量,$$e^{+ip\cdot x}$$被解释为在$$x$$点出射(outgoing)动量.

对外线,由(3.99-100),知道初态粒子必然在顶点上注入动量,而末态粒子必然出射动量.

对内线,由书上的实例知道,是由$$\bar{\psi}$$(湮灭正电子或者产生电子)点出射到$$\psi$$(湮灭电子或者产生正电子)点入射,故为(正电子)粒子流方向.

P.122 (4.128)

对$$p,p'$$不需要计算对应的因子,因为已存在于(4.119)中且无变化.

P.124 (4.132)

取$$x^0 \rightarrow y^0+$$并且取$$\vec{x} \rightarrow \vec{y}$$,这样积分中指数简化为1.

P.125 (4.134)

书中指出,代入旋量(3.50)和$$\gamma$$矩阵(3.25)具体形式,在非相对论近似下,$$p,p'\rightarrow (m,0,0,0)$$,有$$u^+ \gamma^i u \rightarrow 0$$.

Ch.5 Elementary Processes of Quantum Electrodynamics
P.142 (5.18)

利用$$(\gamma^5)^+=\gamma^5$$,有$$(Pv)^+=v^+P$$.

P.144 (5.26)

$$(\sqrt{2E}\frac{1}{2}(1-\hat{p}\cdot\sigma)^2=2E\frac{1}{4}(1+\hat{p}\cdot\hat{p}-2\hat{p}\cdot\sigma)=E(1-\hat{p}\cdot\sigma)$$

P.145 (5.29)

矩阵上半部为零,无需计算.最右边一步,分别取$$\mu=0,1,2,3$$即可.

P.147 (5.37)

这里重要的结论是对非相对论情况,自旋守恒,而对极端相对论情况,螺旋性守恒.

$$\xi$$和$$\xi'$$可分别取$$(0,1)$$和$$(1,0)$$,但是唯一不为零的结果是$$\xi=(1,0)$$,$$\xi'=(0,1)$$,对应沿着$$z$$轴自旋.注意到按P.61的讨论,$$\xi'$$是反粒子反转的自旋.

P.150 (5.47-49)

这样写成矩阵是因为(5.50)中的求迹.书中列举的(5.48-59)可用穷举法验证.

P.150 (5.50-51)

(5.50)中$$\Gamma(k)$$对应"something",不一定是电子对的初态.$$n$$对应末态的自旋状态.

(5.51)$$\epsilon_+$$对应初态电子对对应的虚光子的极化状态.这两个式子都是(5.45)的推广.但上下文不同.

P.151 (4.54)

注意到
 * $$\delta(P^0-K^0)=\delta(P^0-\sqrt{K^2+M^2})=\frac{\delta(K^2-P^2)}{\frac{1}{2}\frac{1}{\sqrt{K^2+M^2}}}=2E_K\delta(K^2-P^2)=2E_K\delta(M^2-E^2_{cm})$$

另外注意到积分后$$E_K$$与$$K^0$$,$$M\sim 2m$$以及$$\alpha=\frac{e^2}{4\pi}$$.

P.151 (5.55)

利用(4.80)积分定义.

P.151 (5.56)

分母下的因子2应该是8.由本书的errata确认.

P.155 (5.68)

这里等式左边来自类似(5.4)的推导,得到这个过程因为求散射截面要对散射振幅求模的平方,所以涉及到把$${\bar u}\gamma$$或者$$\gamma u$$求复共轭并转置的过程.

这里有一个负号,而之前(5.60)的讨论中不涉及到负号.这是因为(5.60)同时涉及一个初态粒子置换为末态粒子,同时一个末态粒子置换为初态粒子,涉及两个负号.

P.157 Moller scattering

是$$t$$和$$u$$的贡献之和,因为末态为全同粒子.

P.158 无相对负号

因为费米算符顺序一致,无交换.

P.159 (5.74)

下面直接证明康普顿散射的结果满足Ward恒等式.

考虑$$\epsilon_\nu(k)\rightarrow k_\nu$$的替换,注意到$${k\!\!\!\big /}{k\!\!\!\big /}=0$$,$$\epsilon\cdot k=0$$,$$k\cdot p'=p\cdot k'$$,$${p\!\!\!\big /}u(p)=mu(p)$$,$$\bar{u}(p'){p\!\!\!\big /}'=\bar{u}(p')m$$等关系,通过代数运算即得. 另外要注意到$${k\!\!\!\big /}{p\!\!\!\big /}'=2k\cdot p-{p\!\!\!\big /}'{k\!\!\!\big /}\ne {p\!\!\!\big /}'{k\!\!\!\big /}$$.

P.160 (5.75-80)

这里通过选取动量的特殊方向,直接证明光子自旋态求和规则$$\sum\epsilon_\mu^*\epsilon_\nu\to -g_{\mu\nu}$$.

一个稍微更一般的直接证明可参见F. Mandl and G. Shaw一书(8.35-36)附近的证明.

P.165 (5.98)

就是利用前一页$$p\cdot k'$$的表达式,对$$\frac{m}{\omega}$$展开即得.

P.165 (5.99) $$\gamma^3$$

由$$\gamma$$矩阵的矩阵块形式(3.42)代入,并且注意到在这个极端相对论情况下螺旋性不变在例子中意味着自旋反号.

P.166 (5.101)

它上面的一式,注意到其他分量的贡献都更小:$$t$$和$$z$$分量的大小都是$$\chi^2$$量级,$$y$$分量严格为零.在此意义上,理解为p波.

另外(5.101)分子上的结果也涉及到与质量有关的项的近似,注意到其条件是$$\frac{m}{\omega} \ll 1$$而非$$\frac{m}{\omega} \ll \chi$$;所以在$$\chi$$很小从而后一条件不满足时,(5.101)的贡献要小于(5.102).

P.167 (5.104)

注意到等式右边有1/2因子是来源于等式左边$$\frac{d\sigma}{d\cos\theta}\rightarrow\frac{d\sigma}{dy}$$.

Ch.6 Radiative Corrections: Introduction
P.178 (6.5)

这里一共有四个极点.连个来源于$$k\cdot p$$和$$k\cdot p'$$,另外两个来源于$$k^2=0$$.

比如,由$$k \cdot p'=k^0 {p^0}'-\vec{k}\cdot\vec{p}'+i\epsilon$$求解$$k^0$$,会得到一个小的负的虚部.而$$k^2=0$$对应的极点的虚部为负,是由解为库仑势,而物理上应该是推迟格林函数($$t>0$$时候不为零)的要求决定的.

P.179 (6.9)

因为直接可由标势和矢势,得到电场和磁场的形式.按(6.7)直接计算即可.

这里提到不难直接验证(6.9)中电场是否是横波,也同样可以验证磁场也是横波.

P.180 (6.11)下一式

第一步等式是把横波用偏振单位矢量展开.第二步等式利用(6.9)代入并且忽略掉沿着传播方向的分量的贡献.

P.180 (6.12)

这个式子可以方便的推广到四位协变形式.这是因为由P.124$$\epsilon$$的定义,其时间分量为零.

P.181 (6.16)上面的讨论

这里是经典电动力学范畴的讨论,涉及计算中采用的近似条件及其物理意义:电子运动的相对论极限下软光子的韧致辐射.

前者指电子的能量远远大于其静质量.

后者指光子动量很小,否则涉及对应电子动量突变的紫外发散.通过两个角度来说明需要存在一个光子动量的截断.一个角度是由测不准原理,光子的频率不应该大于过程特征时间的倒数.另一个角度是当光子的能量是电子能量的一个可观的百分比时,经典力学中把光子处理成经典外场的做法将不再成立.这两个条件都对应光子频率积分的上限,即紫外发散的截断.

P.182 (6.19)

这是把(6.18)看成$$E=\int k n(k) dk$$,从而提出$$n(k)$$来做积分.

P.183 (6.23)

分母上$$k=k^0$$使得积分协变.

P.183 (6.25)

这一部分采用了量子场论角度的讨论.这里考虑的是同样是软光子的近似(6.21),这个近似在光子能量太大是不再成立,所以对应的紫外发散需要有动量截断.

P.184 (6.26)

注意到$$\frac{1}{2}\log\frac{-q^2}{\mu^2}=\log\frac{|q|}{\mu}=\int_\mu^{|q|}\frac{dk}{k}$$

这里 简单总结 一下韧致辐射涉及到的一些物理条件.第一个是(6.21)与韧致辐射对应的是软光子,对积分(6.15)贡献最大的部分出现在共线的情况下,以及(6.18)或者(6.26)的极端相对论近似下获得发散的形式.这里的$$q$$是很大类空矢量,$$-q^2$$是很大的正数,远大于辐射共线光子的能量,与体系的入射态能量$$s$$相当.

P.185 (6.30)上一式

等式左右能量守恒.这是因为对不依赖与时间的经典场,其傅里叶变换得到能量为零(关于能量的$$\delta$$函数).

P.187 (6.34)

这里先得到小$$\vec{q}$$近似下的贡献.对零分量$$\mu=0$$,这时$$\sigma^{\mu\nu}$$不为零只有$$\nu=1,2,3$$,按(6.33),由于$$\vec{q}\sim 0$$,其第二项没有贡献.这样按书上的思路即得(6.34).

而按波恩近似,比如参见苏汝铿(8.4.33)并注意到等式右边正是势场的傅里叶变换,并且有一个质量因子.上面的一级近似公式不涉及自旋,所以$$\xi$$项在此意义上可以不予考虑.

P.187 (6.36)下一式

这个式子已具体验证,似乎差一个负号.略去具体计算过程,得到的结果是. $$m\xi^+\left[\left(1-\frac{\vec{p}'\cdot \sigma}{2m}\right)\sigma^i \left(1+\frac{\vec{p}\cdot \sigma}{2m}\right)-\left(1+\frac{\vec{p}'\cdot \sigma}{2m}\right)\sigma^i \left(1-\frac{\vec{p}\cdot \sigma}{2m}\right)\right]\xi=2m\xi^+\left[\sigma^i\frac{\vec{p}\cdot \sigma}{2m}-\frac{\vec{p}'\cdot \sigma}{2m}\sigma^i\right]\xi $$

其中的关键是这里考虑的仅仅是$$\gamma^i$$的$$i$$分量而非$$0$$分量,所以结果的最大贡献是和$$\vec{p}$$和$$\vec{p}'$$成正比,而没有$$1$$的贡献,正如(6.35)下面文中所讨论的.

P.188 (6.37)

这个公式在后面被用到.其中$$F_1(0)$$由最低级的微扰知道等于1,而$$F_2(0)$$由对磁矩的测量得到.

P.189 (6.39)

等式的第一步就是对$$x$$的积分,在分母上是$$x$$的线性函数.

P.190 (6.40)上一式

这里文中说分母是$$\ell^2$$,这是指把积分变量$$k$$换为$$\ell$$,而把其余量$$x,y,p$$都视为常数.

P.191 (6.44)下面对$$\Delta$$符号的讨论

注意到对不含时的经典场,$$q^0=0$$,所以$$q^2<0$$.

P.194 (6.51)

下面是分别计算两项的贡献,然后取差.

P.194 (6.52)

这个式子的得到可以注意观察(6.43)的推导,$$\Lambda$$仅仅在一个地方被加入.

P.194 (6.53)

等式的出发点,来自于当重新计算(6.50)的积分,取$$m=3$$.等式的第二步,这里是做了Wick转动.等式第三步,如果仅考虑发散项,并且考虑主值积分,则得到(6.53)的结果.否则还会有其他低阶的(为常数或者正比于$$\Lambda^{-2}$$)项,与(6.47)中对应(6.49)有限的积分项同样被忽略.

具体的(6.53)中没有写出积分$$\int dx \frac{x^2}{(x+\Delta)^3}=\log(x+\Delta)+\frac{2\Delta}{(x+\Delta)}-\frac{\Delta^2}{2(x+\Delta)^2}$$结果中除了对数外的另外两项.

所以对于紫外发散,(6.53)我们考虑$$\Lambda \rightarrow \infty$$后的结果.

P.194 (6.54)

这是紫外发散正规化后的形式.

为了得到这个结果其实具体操作就是代入,其中(6.53)的分子只用到(6.52)的发散部分$$\Lambda$$.

P.196 (6.56-57)

这里是紫外重整化的重要结果,是把顶角修正的紫外发散去除掉,但是还没有取消红外发散的结果.对紫外发散,用了条件(6.55)来定义重整.如后面所述,它的物理意义是外线的修正.将(6.54)与$$F_1$$有关的部分代入(6.55),利用$$\Delta$$的表达式(6.44),并取极限$$\Lambda\rightarrow\infty$$.注意到重整化以后的结果有限且与$$\Lambda$$无关.

$$F_2$$的结果更加直接,因为不存在发散,直接代入$$\Delta$$形式即可.

P.199 (6.61)上一式

这里做了坐标变化$$y,z\rightarrow w^2,\xi$$,计算雅克比可以其雅克比为2.

P.199 (6.61-62) 这里给出红外发散的正规化后的形式.

首先我们只研究红外发散点附近的渐进行为,所以把(6.60)所有的有限项都扔掉,仅仅保留和$$\mu$$有关的(可能)发散项.要明显看出发散利用上面讨论的坐标变换,对$$d(w^2)$$积分(并忽略任何有限项,比如$$\log(\frac{m^2}{m^2+\mu^2})$$和$$\log(\frac{-q^2}{m^2})$$后者就是书中所谓指数上可以取$$-q^2$$或者$$m^2$$),得到(6.61)上一式,看出的确是在$$\mu\rightarrow 0$$的时候发散.

(6.61)中的第一个1是补偿(6.56)中的第一项,即确保重整化条件$$F_1(0)=1$$.这里的逻辑是1是0阶修正,而和$$\alpha$$一次方相关已经是一阶修正,我们扔掉它的有限部分,仅仅研究发散部分.具体的,(6.62)的第一项即(6.61)上一式方括号中的第一项,(6.62)的第二项即对应(6.61)上一式方括号中的第二项.

P.200 (6.63)

这里$$\frac{\alpha}{2\pi}$$并没有少因子2.这是因为微分散射截面是散射振幅的平方,把表达式看成展开式,所以有这个因子.

文中指出,这里不仅把原来为1的量修正为无穷大,而且是减去正无穷大,即修正为负的无穷大.直观上显然不合理.

P.200 (6.64-65)

这里首先计算红外修正的系数$$f_{IR}$$在$$-q^2\rightarrow \infty$$极限下的表达式,这个极限就是之前讨论的韧致辐射中的电子动量的相对论极限,这是因为电子动量很大时,由于(6.13)下面取$$p^0=p'^0=E$$,得到$$-q^2$$为很大的类空.

具体做法就是在积分发散点做近似,然后把积分上限取为1,就得到书中结果.在积分的另一头的渐进行为完全对称,所以最后结果乘以2.如果前面讨论的积分的上限不取为1,比如随意的取为1/2,那么比较最后的结果,其实只是差了一个有限项,其无限发散部分是不变的,故而是精确的.

接着考虑(6.65)中剩下的第二个因子,要重新考虑(6.61-2)推导过程,注意到$$-q^2$$极限下,只有关于它的项是重要的,对积分部分,情况比(6.64)复杂但是本质相同,不妨简单的取为常数比如$$\xi=1/2$$,最后的结果除了一个有限项$$\log\frac12$$外其发射部分仍旧是精确的.

注意到书中强调了第二个因子是$$\log\frac{-q^2}{\mu^2}$$,因为在这个极限下$$-q^2$$相关的项会保留而$$m^2$$相关的项可以直接被忽略.

P.201 (6.68)

这里讨论了实际发射的软光子(韧致辐射)的发散和顶角修正中低能虚光子导致的红外发散的贡献之和可能(在后面(6.70)给出严格证明)正好抵消的结果.但是因为前面全部都仅仅考虑了发散项.这个结果仅仅说明发散部分的确可以被完全消除,同时结果依赖于实验室软光子极限.但是这个有限的结果没有包括前面计算过程中被扔掉的其他有限项,所以没法用来和实验测量结果做实际定量比较.但是在极限情况$$-q^2\gg m^2$$下,倒是趋于精确结果,这在后面(6.71)给出讨论.

P.201 (6.70)上一式

这里角度部分的积分的一个比较不聪明的解决办法是比如把$$p'$$放在$$z$$轴,而把$$p$$放在$$x,z$$平面上,这样积分实际上变得很复杂.而实际上,最简洁的办法是把分母写成$$\hat{k}\cdot(\xi p'+(1-\xi)p)$$把括号内的部分看成一个矢量.这样最后的积分形式简单多了,即得到书上结果.

P.202 (6.71)

这里是说(6.71)在$$-q^2$$极限下除了前面扔掉的有限项外,其发散发散部分的形式是精确的.

P.205 递归法

这里$$\sum_{\pi}=\sum_{i=1}^{n}\sum_{\pi '(i)}$$的意义是把一个$$n$$个数的全部排列的求和写为$$n-1$$数的全部排列的组合.上述$$n$$元素的全排列可以理解为,穷举最后一个数的交换$$\pi(n)$$分别为$$1,2,\cdots n$$,然后对上述每个固定的$$\pi(n)$$情况,把剩余的$$n-1$$个数做全排列.

P.206 (6.78)下的讨论

这里乘积写开后有四项.文中指出这里的因子$$\frac12$$是因为每个费曼图都被重复了两次.这是因为,按(6.75)的推导,同一个电子线上的两个光子的顺序交换已经被考虑了,这样当光子内线是在同一根电子线上时,光子交换顺序后连接得到的内线对应的是同一个费曼图.而当两个光子线来自不同电子时,正对应(6.78)右边出现的两次.故(6.78)右边的四项对应三个费曼图,各重复了两次.

P.206 (6.79)下的讨论

由于(6.65)来自(6.56),而后者考虑了(6.55)的重整化条件.

P.206 (6.81)

这里是考虑了发射一个软光子的散射振幅的模的平方,并且对所有可能的偏振求和后的结果.

P.207 (6.84-5)

这两个表达式正是之前得到的单个软光子和单圈近似(6.68)和(6.71)的结果在考虑高阶修正后的推广.虽然其中的一些讨论会在书中的后面部分给予跟细致的明确.其中等式第一行和第二行右边的第一个因子是包括硬光子发射的顶角,第二个因子来源自虚光子,而第三个因子来源自软光子的发射.最后的结果与软光子的质量($$\mu$$)无关,仅仅和可观测量($$E_l,q$$)有关.同时完整的指数形式的修正是一个范围在0-1之间的因子,不会为负无穷大.

问题的解决来自考虑发射任意数量的软光子和虚光子,并且适当考虑了统计组合数.

P.208 (6.86)

这里对书中的论述讨论如下.硬过程是指硬光子的发射,如图(6.77)我们把硬光子放到图的未知部分,并归到$$\left(\frac{d\sigma}{d\Omega}\right)_0$$中去.

现在我们考虑剩余的软光子部分的贡献.对外线部分,考虑发射$$n$$个光子的$$Y$$项,而考虑涉及任意虚光子的$$X$$项.按书中的结果,这种情况下两者涉及同样的积分上下限.这里讨论如下.对于软光子发射涉及的$$Y$$项,对数函数的自变量是从光子质量(实际发射最小动量)$$\mu$$到探测器能探测到的最小光子动量$$E_l$$(这个范围发射存在但是不能被探测到).对于虚光子,在重整化后,对数函数的自变量是从光子质量$$\mu$$到初态末态电子的动量差$$q$$.在这里,书中给出了另外一个上下文,我们要计算考虑$$E_-$$到$$E_+$$之间的光子计数.动量区间的数值和探测阚值满足关系$$E_+>E_->E_l>\mu$$.当$$E_-$$和$$E_+$$的差别很小时,可以把粒子平均数$$\lambda$$中的对数以他们的差展开,不难发现计数和动量差$$(E_+-E_-)$$成正比,这正是(6.19).

具体的推导过程如下,又参见这里的讨论.

需要证明的是发射$$n$$个软光子能量在$$E_- < E < E_+$$之间的概率为如下表达式


 * $$\text{Prob}(n\gamma \text{ with } E_-<E<E_+)=\frac{1}{n!}\left[\frac{\alpha}{\pi}f_{IR}(q^2)\log\left(\frac{E_+^2}{E_-^2}\right)\right]^n\times \exp\left[-\frac{\alpha}{\pi}f_{IR}(q^2)\log\left(\frac{E_+^2}{E_-^2}\right)\right]$$

我们来考虑发射$$n$$个能量不超过探测器值域$$E_l$$的软光子的概率


 * $$\text{Prob}(n\gamma \text{ with } \mu<E<E_l)$$
 * $$=\frac{{d\sigma}/{d\Omega}(n\gamma \text{ with } \mu<E<E_l)}{\sum_{n'=0,1,2,\cdots}{d\sigma}/{d\Omega}(n'\gamma \text{ with } \mu<E<E_l)}$$
 * $$=\frac{\left(\frac{d\sigma}{d\Omega}\right)_0\frac{1}{n!}\left[\frac{\alpha}{\pi}f_{IR}(q^2)\log\left(\frac{E_l^2}{\mu^2}\right)\right]^n\times \exp\left[-\frac{\alpha}{\pi}f_{IR}(q^2)\log\left(\frac{-q^2}{\mu^2}\right)\right]}{\left(\frac{d\sigma}{d\Omega}\right)_0\exp\left[-\frac{\alpha}{\pi}f_{IR}(q^2)\log\left(\frac{-q^2}{E_l^2}\right)\right]}$$

分子包含三个因子.第一个因子$$\left(\frac{d\sigma}{d\Omega}\right)_0$$对应顶点以及硬光子的贡献.第二个因子$$\frac{1}{n!}\left[\frac{\alpha}{\pi}f_{IR}(q^2)\log\left(\frac{E_l^2}{\mu^2}\right)\right]^n$$描写发射$$n$$个软光子(对应$$Y$$项Eq.(6.82)).第三个因子$$\exp\left[-\frac{\alpha}{\pi}f_{IR}(q^2)\log\left(\frac{-q^2}{\mu^2}\right)\right]$$考虑了虚光子顶角修正的贡献(对应$$X$$项Eq.(6.79)).

上述表达式的正确性,可以通过对$$n'$$求和,得到分母来检验,具体的


 * $$\sum_{n'=0,1,2,\cdots}{d\sigma}/{d\Omega}(n'\gamma \text{ with } \mu < E <E_l)$$
 * $$=\left(\frac{d\sigma}{d\Omega}\right)_0\sum_{n'}\frac{1}{n'!}\left[\frac{\alpha}{\pi}f_{IR}(q^2)\log\left(\frac{E_l^2}{\mu^2}\right)\right]^{n'}\times \exp\left[-\frac{\alpha}{\pi}f_{IR}(q^2)\log\left(\frac{-q^2}{\mu^2}\right)\right]$$
 * $$=\left(\frac{d\sigma}{d\Omega}\right)_0\exp\left[\frac{\alpha}{\pi}f_{IR}(q^2)\log\left(\frac{E_l^2}{\mu^2}\right)\right]\times \exp\left[-\frac{\alpha}{\pi}f_{IR}(q^2)\log\left(\frac{-q^2}{\mu^2}\right)\right]$$
 * $$=\left(\frac{d\sigma}{d\Omega}\right)_0\exp\left[-\frac{\alpha}{\pi}f_{IR}(q^2)\log\left(\frac{-q^2}{E_l^2}\right)\right]$$

即分子的所有可能性之和就是分母,即(6.84).换言之,这样得到的概率的确是归一的$$\sum_n\text{Prob}(n\gamma)=1$$.

我们注意到,在上述计算中,分子和分母中的指数上的$$-q^2$$正好被消去,另外$$\left(\frac{d\sigma}{d\Omega}\right)_0$$也被消去.这样就得到了


 * $$\text{Prob}(n\gamma \text{ with } \muE_->E_l>\mu$$关系时,我们得到
 * $$\text{Prob}(n\gamma \text{ with } E_-<E<E_+)$$
 * $$=\frac{\left(\frac{d\sigma}{d\Omega}\right)_0\frac{1}{n!}\left[\frac{\alpha}{\pi}f_{IR}(q^2)\log\left(\frac{E_+^2}{E_-^2}\right)\right]^n\times \exp\left[-\frac{\alpha}{\pi}f_{IR}(q^2)\log\left(\frac{-q^2}{\mu^2}\right)\right]}{\left(\frac{d\sigma}{d\Omega}\right)_0\exp\left[\frac{\alpha}{\pi}f_{IR}(q^2)\log\left(\frac{E_+^2}{E_-^2}\right)\right]\exp\left[-\frac{\alpha}{\pi}f_{IR}(q^2)\log\left(\frac{-q^2}{\mu^2}\right)\right]}$$
 * $$=\frac{1}{n!}\left[\frac{\alpha}{\pi}f_{IR}(q^2)\log\left(\frac{E_+^2}{E_-^2}\right)\right]^n\times \exp\left[-\frac{\alpha}{\pi}f_{IR}(q^2)\log\left(\frac{E_+^2}{E_-^2}\right)\right]$$

注意到其中顶角修正部分和软光子的动量无关,因为这个修正是因子化的,故在分子分母中相互抵消.容易验证,最后得到的概率是归一的. 这样就得到
 * $$\lambda=\langle n\rangle=\frac{\alpha}{\pi}\log\left(\frac{E_+}{E_-}\right)\mathcal{I}(v,v')$$

最后注意到,如果$$E_+$$和$$E_-$$差距很小,记动量差为$$dk=E_+-E_-$$易得
 * $$d\langle n\rangle=\frac{dk}{k}\frac{\alpha}{\pi}\mathcal{I}(v,v')$$

这就是之前(6.19)的结果.

Ch.7 Radiative Corrections: Some Formal Developments
P.213 Fig.7.1

这里涉及到的两粒子连续态可以理解为经典情况下,质心速度为零的任何散射态.

P.213 (7.4)

注意到这里利用$$\psi(x)=e^{iP\cdot x}\psi(0)e^{-iP\cdot x}$$.这个关系在本书并没有明确给出.但是如果仔细考虑(2.43-47)的推导过程,并且利用场的总动量的算符(2.33),不难验证这个关系的确成立.

另外利用了假定$$|\lambda_p>$$是(在质壳上的)自由粒子本征态.

P.213 (7.5)

这里能量在实轴上的积分可以通过约当引理通过极点处的留数化简.注意到因为$$y^0>x^0$$,这个积分只能在实轴下方的大圆上绕行.

P.214 (7.8)

这里是约大等于,所以如果存在束缚态,应该包含在其中的.

P.215 (7.9)

注意到这里的结果和后面第11章(11.92)关于有效势的讨论是 自洽 的.一个连接的两点格林函数可以看成是在一个两点截肢单粒子不可约图的两个顶点上分别接上两个连接的两点格林函数.前者正是(11.92),是连接格林函数的倒数,所以和后者的乘积正好分子分母消去一个因子后结果得到两点连接格林函数.

这里涉及到的一个细节是,按后面(11.92)的讨论,对两点单粒子不可约图,有一个例外,除了$$M^2$$,还多了因子$$p^2-m_0^2$$,这是因为除了考虑单粒子不可约图,还需要考虑没有任何修正的传播子,相当于(7.43)的第一和第二个贡献.这两个图截肢需要乘以$$(p^2-m_0^2)^2$$,这样就得到$$p^2-m_0^2-M^2$$.注意到这个细节对于三点和以上的单粒子不可约图并不出现.

P.216 (7.12)

这里对$$\psi(0)$$展开,在每个因子之间都插入洛伦兹冲刺和它的逆算符$$UU^{-1}$$,使得$$U(\Lambda)|p,s>=|0,s>$$.换言之,该洛伦兹变化把粒子变换到其质心系中,$$\Lambda p=(m,0)\equiv 0$$.注意到最左边,物理真空态具有洛伦兹不变性,所以在洛伦兹算符作用下不受影响.中间部分,把场按(3.99)展开,注意到$$x=0$$,在两边都被洛伦兹算符和逆算符作用后,产生消灭算符的变换关系是(3.109).右边的态是(3.106),在洛伦兹算符作用下同样按(3.109)变化,注意到其中涉及无相互作用真空态,同样是洛伦兹不变的.上述讨论涉及的各项中(3.99),(3.106)和(3.109)都涉及到能量因子,不难发现他们正好相互抵消.随后利用对易关系(3.101)得到动量的$$\delta^{(3)}(\Lambda p-0)$$函数,这就把动量积分去掉了,并且决定了最后唯一剩下的系数$$u^s(p)$$的动量自变量$$p$$正是最初右边的态的动量值.最后,这个结果对中间态求和后就是(7.11).

P.217 (7.16)

这里的红外发散似乎不能直接看出,具体问题讨论参见这里的问题.

但是另外一方面,这个"红外发散"在后续讨论中完全没有被涉及.

P.218 (7.18)

这个表达式的最后一步其实还存在两项没有写出,但这两项在$$\Lambda\to\infty$$时并不发散,它们趋于零或者为有限.但因为这里是在讨论发散行为,所以这个两个有限项并不重要.

P.218 (7.20)下一式

如书中指出的,这个关系仅在质心系成立.在质心系中两粒子的总能量为$$\sqrt{m_0^2+k^2}+\sqrt{\mu^2+k^2}=\sqrt{p^2}$$,通过直接但较为繁琐的代数运算即可证明这个关系式与书中的表达式等价.

P.220 (7.25)

这个对$${p\!\!\!\big /}-m$$的展开式按定义零阶常数为零,对(7.24)两边对$${p\!\!\!\big /}$$求导即得一阶项前面的系数.

P.220 (7.27)

等式的第一步,注意到修正是按$$\alpha$$的阶数展开,所以$$\Sigma$$对应二阶修正为小量,换言之$$Z_2$$为高阶量.

等式第二步,同理自变量中可以用$$m_0$$取代$$m$$.

P.220 (7.29)

注意(7.28)中对$$x$$的积分,其实并不发散.具体注意到$$\int \log x dx=x\log x-x$$以及$$\int x\log x dx=\frac{1}{2}x^2 \log x -\frac{1}{4}x^2$$在$$x=0$$并不发散而是为零.故而在忽略$$\mu^2$$项后,积分可以具体算出,即是(7.29)的结果.

P.221 (7.30)

这是经典电动力学点电荷的静电场总能量发散的表达式.书中指出,因为这个电场是和点电荷自然耦合的,所以在物理上,这与电子自能修正的发散的本源是一致的.所以(7.29)的发散并不是量子场论特有的结果.

但是,这里(7.29)与(7.30)的发散对截断动量的函数形式不同,(7.30)的发散更为恶劣.接下来,书中通过讨论说明在场论中发散对截断动量的依赖的确应该是指数形式的.这是因为如果质量为零,那么手征对称性守恒,左手旋量场与右手旋量场间不存在耦合.这时引入电磁场的耦合,这样的微扰相互作用不会打破手征对称性,从而不会因为微扰而产生出质量来.这是因为电子质量不为零直接意味着手征对称性的破缺.这样,以(7.19)为例,质量重整项必然具有类似(7.27)的形式,换言之,质量重整必然正比于质量.由于质量重整项和质量项都具有质量量纲,对截断动量的依赖关系为对数形式,即无量纲的形式,的确是合理的.

P.224 (7.36)

这里分母在极点附近完全等价(7.33)的分母,差别仅仅是有限项.这是因为$$E^0+E_p \rightarrow 2E_p$$,而分子也趋于1.但是书中已经指数这里仅仅考虑极点附近的渐进行为,而不考虑有限项的差别.

P.224 (7.37)

这里$$Z$$的表达式,与(7.7-8)逐项比较发现的确一致.

P.224 (7.39)

这里从数学的角度,我们知道坐标空间的高斯波包在动量空间也是高斯波包.所以在坐标空间的局域态的确可以对应动量空间的局域态,这个物理图像成立.

P.225 最后一式

就是在(7.14)中插入"1".

P.226 第一式

如书中所述,这里是因为两个态在空间上完全分开,所以可以写为乘积的形式.另外注意到$$d^4K=d^4q_1d^4q_2$$即得.

P.227 (7.42)

这里有若干 重要 的概念.

对于一个给定的费曼图,我们必须明确这是一个截肢的费曼图还是未截肢的费曼图,同时很多时候我们不加区分的理解是在讨论格林函数,或者是散射振幅和S矩阵元.虽然这些概念有物理意义有一致的地方,在很多不甚严格的场合下的确可以互换,但是这些都是不同的物理量.下面我们先简单的逐一讨论这些定义,然后对LSZ定理给出讨论.

散射振幅和S矩阵元是用概率定义的,中间引入S矩阵的定义,即(4.70-71或(4.87).散射振幅是散射截面直接有关,是实验中可以被实际测量的物理量.在没有完备的考虑重整化的情况下,(4.90)指出这和连接截肢的费曼图相关,而更为精确的形式正是通过LSZ定理来建立的.

格林函数或关联函数的定义是(4.31),它通过时间序的海森堡图像的场算符乘积的相互作用(物理)真空期待值来定义.利用相互作用图像的定义和物理真空的性质,它可以表达为在给定时刻插入到演化算符中的相互作用图像场算符,在正负无穷远时刻,对无相互作用真空期待值的比值来表达,即(4.31).而利用Wick定理,时间序的相互作用算符可以表达为所有可能缩并的正规序,后者对无相互作用真空的期待值为所有的完全缩并.上述格林函数是我们通过费曼规则在理论上可被实际计算的.格林函数上述形式中的分母保证了对应的费曼图不包含真空图因子.

我们指出,按格林函数定义的费曼图,其外线动量并不一定是在质壳上.为了和散射振幅联系起来,必须被截肢.换言之,只有截肢的费曼图才与散射振幅或S矩阵元有对应关系.而由于其物理内涵,任何初末态粒子外线动量必须在质壳上.

现在我们来讨论LSZ公式,即(7.42).这个表达式是考虑了重整化后精确的结果.等式左边是格林函数,而等式右边最后的因子正是S矩阵元.我们注意到,格林函数与散射振幅相差了波函数的重整化$$\sqrt{Z}$$因子以及自由粒子的传播子.因为左边是可以通过费曼图被计算的,右边最后一个因子是测量量.这相当于说,格林函数对应的费曼图,未截肢的费曼图并不直接对应观测量.在等式右边,即未截肢的费曼图中扣掉重整化后的传播子,即(7.23-26)或(7.44),我们得到的结果正是(7.45).等式右边的因子正是外线重整化的因子.

所以,在(7.42)中把右边的S矩阵元和左边的连接格林函数联系起来,而在(7.45)中把左边的S矩阵元和右边的含有外场重整化因子的截肢格林函数联系起来.

在涉及到重整化的时候,截肢费曼图的计算其实依赖于具体的重整化条件.参见Callan-Symanzik方程的相关讨论.严格的说,本书的大多数章节中给出费曼图的时候都是在讨论相应的(截肢,连接,单粒子不可约)费曼图,而对应的S矩阵是通过(7.45)来得到的. 我们指出,在实际计算中,波函数重整化$$Z$$和质量,电荷,顶点重整化一样,是由重整化条件决定的.一个具体的例子是对$$\phi^4$$理论(10.16)的重整化(10.17).利用重整化条件(10.19),具体计算发现在单圈情况下波函数重整化是平庸的(10.30),即$$Z=1$$.但是对Yukawa理论,单圈图给出非平庸的结果(10.35).

另外,这里还有一个重要的概念.在(7.42)中定义的场重整化因子$$Z$$是来自(7.8)或者(7.12)的定义,而这个定义与内线重整化(7.26)中给出的定义其实是一致的.这里我们要注意到在等式左边的当多点格林函数的定义中,如果外线数目大于三,那么(7.42)的等式右边总是可以对同样数目的外线传播子进行截肢.但是如果外线数目正好等于二,即是传播子的情况,这时按(7.39)的推导逻辑,当在第一个场算符后插入完备的中间态后,剩下的部分其实正是场重整化因子(7.4),所以与(7.26)的结果是完全一致的.这段讨论说明,外线和内线(传播子)重整的论述基础是相同的,它们在重整化的上下文中是自洽和一致的,故经常被统一的称为场重整化.

最后,这里书中关于交换两个步骤的讨论,是关于交换插入波包态和取波包宽度极限两个步骤的循序.如果可以交换,那么就可以写为P.227最下面平面波的形式.但书中指数,这个交换可以进行,但是不是平庸的,因为平面波与波包不同,存在空间的交叠位置.

P.227 不考虑不连接图

不连接的图都意味着每个部分各自的动量守恒.书中是以$$\phi^4$$理论为例来说明.不连接的图每个图都正好包含两根外线,而对每个图来说,所有的修正之和就是一个重整化后的传播子,它在重整化后的质量处含一个奇点,所以整个费曼图共含两个奇点.反过来,按Fig.7.4以及(7.42)的右边,我们发现含有四个奇点,所以不连接的费曼图不含有正确的奇点结构,对(7.42)右边的S矩阵元没有贡献.

对比之前P.110附近的讨论中,我们关注的这个非平庸部分,对应于T矩阵的矩阵元,而不连接的费曼图,对应于(4.72)中的"1"部分.

P.229 (7.46)

其实有意义的(7.46)下一式的计算.考虑了辐射修正后的顶角,有两个贡献:一个来自(7.45)的外线修正和S矩阵元素的关系,它体现在$$z_2$$中;第二部分 来自对顶角的修正(在$$q=0$$时的)贡献,正是前一章的直接计算结果.这里直接计算发现它们正好抵消.

再回看(7.46),左边考虑外线修正也考虑了顶点修正,而等式的右边是类似(6.33)利用形式上的讨论把最后的结果整理为两部分,虽然这个讨论给出的时候并没有考虑外线修正,但是所得到的形式上的结果仍然成立.

P.230 (7.47)

注意到虽然$$F_2(q^2=0)\ne 0$$,但是$$q_\nu F_2=0$$.所以$$F_2$$在此情况下完全没贡献.

P.231 (7.50)

如P.106所述,这个表达式对于$$z$$方向(碰撞方向)是洛伦兹不变的,所以我们通过洛伦兹变换可以考虑在质心系中的情况,这时简单的有$$E_A p_A^z-E_B p_B^z=(E_A+E_B)p_A^z=E_{cm}p_{cm}$$

P.232 量子力学中光学定律的推导

除了书中给出的利用散射矩阵幺阵性得到的光学定律的推导外,其实用量子力学也可以直接推导光学定律.

一个证明可以参见维基页的讨论.这里的推导完全不显然,注意最后得到的表达式中,各对应项分别和(概率)1,波函数完全不改变对应得到的概率以及向前散射($$k=0$$)分波增幅的虚数部分.

P.232 散射振幅的虚实

从具体计算的角度,书中指出,如果没有对极点的积分,每一阶的$$\mathcal{M}$$都是实的.考虑$$\phi^4$$,Yukawa和QED的例子,费曼法则说明每个内线和每个顶点都贡献一个因子$$i$$,而每个相关的内线都对应一个$$i$$因子.另外注意到每个圈图相关的Wick转动也会贡献一个$$i$$因子.

比如(7.52)的例子,图从原来的一个内点,变为2个内点两个内线,这样多出一个$$i$$因子,但是正如文中指出,圈图的Wick转动会导致另外一个$$i$$因子,所以最后增加的$$i$$因子数为偶数.图的相对贡献为实的.而当能量超过阈值,利用(7.56)和上面一式做代换后,每个代换带来一个$$i$$因子,共两个代换,但这时不再有Wick转动.所以相对贡献为虚数.

又比如考虑在电子内线上增加一个虚光子线,在没有超过阈值时,因子$$i$$的数目从最初的1个,变为7个=2(顶点)+4(内线)+1(Wick转动),所以相对贡献为实.

P.232 (7.51)

这里讨论的是幺阵性的重要结论之一.散射振幅$$\mathcal{M}$$在能量轴上的割线.

接着,用(7.51)开始的一般讨论,指出了割线的存在和散射振幅虚部的阶跃.但是有一个小细节,为什么(7.51)的右边要写成书中的形式,说明该表达式在实轴上能域内成立,然后进一步推广到虚轴上?而不可以把表达式写成比如$$[\mathcal{M}(s)]^*$$?

理由是因为等式两边都必须是解析函数,这样才能由解析延拓的唯一性按在实轴上相等退出在复平面上等式两边一致.但是等式左边$$\mathcal{M}(s)=\mathrm{Re}\mathcal{M}(\mathrm{Re}(s)+i\mathrm{Im}(s))+i\mathrm{Im}\mathcal{M}(\mathrm{Re}(s)+i\mathrm{Im}(s))\equiv u(x,y)+iv(x,y)$$是解析函数,由于导数和方向无关,必须满足Cauchy-Riemann方程$$\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}$$和$$\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}$$.这导致只有$$[\mathcal{M}(s^*)]^*$$才是与上述结果自洽的解析函数.

P.232 $$s=E_{cm}^2$$

这里把$$s$$推广到复平面上.在这个例子中,外线被拉掉了,所以只是依赖外线的动量和.

P.233 最小$$\lambda^2$$阶

等式(7.49)右边,因为要有中间态,所以至少为二阶小.注意到等式左边的一阶小是实的,因为没有积分.

P.233 (7.52)

注意这里的$$i$$因子是来自于(4.72).

P.234 (7.53)

当替换为等式右边的$$\delta$$函数时,实际上涉及到两个贡献之和,分别对应书上图中的两个极点,而实际问题中仅仅涉及到一个极点.但是注意到在P.235最下面一式的讨论中,这里在质壳上$$\delta$$函数的积分其实也是在两个极点中取了一个能量为正数的极点,正是问题中涉及到的极点.

P.234 (7.55)

注意到这个$$\delta$$函数的替换是在考虑了前一个$$\delta$$函数替换导致的极点贡献的基础上再次进行的.而且不难验证,问题中仅涉及到在两个极点中选取了其中的一个对应能量为正值的极点.

另外,这里的讨论指出这样的极点取法对应了割线的位置与物理上的讨论一致.

P.235 (7.56)

在上面,分别取P.233上面的图中的两个内线动量为$$p_1,p_2$$,然后取质壳上的对应正能量的$$\delta$$函数.

在下面,注意到从初态(两外线)到末态(切割两内线得到的两外线)对应的$$\mathcal{M}$$其实就是$$\lambda$$.所以下面的式子做了这个替换.

P.236 Cutkosky规则

这就是著名的Cutkosky规则,它可以被用来计算由于传播子极点的贡献而导致的散射振幅的虚部.我们指出,虽然在本书这里这个规则被用来计算向前散射的虚部,但是按其推导,适用于讨论任何散射振幅的虚部.

下面我们讨论对向前散射Cutkosky规则切割得到费曼图的对称性以及结果的虚实.

首先考虑切割一根内线把费曼图分成两部分的情况.考虑对应这根被割断的内线两边的初态和末态的情况.这时,被割开部分的两端需要考虑所有不同的费曼图的可能的和,最后必然导致对应于切割位置两边的费曼图是对称的.对于贡献的虚实的考虑如下,因为(7.56)中涉及的$$\delta$$函数替换,产生了一个$$i$$因子,同时没有影响原来的圈图数量,对应贡献为虚.

其次,考虑一个切割两根内线把费曼图分成两部分的情况.对称性考虑不变.虚实的考虑,这时做了两个替换,增加两个$$i$$因子,同时切开了一个圈图,所以少了Wick转动带来的贡献,少了一个$$i$$因子,总体$$i$$因子变化数目为奇数,对应贡献为虚.这对应Fig.7.6的情况.

再次,考虑一个切割三内线把费曼图分成两部分的情况.这时,多了一个$$\delta$$函数的替换,但是同时多切开了一个独立的圈图,所以三根内线同时在质壳上是完全可能的,同时对应贡献为虚.

最后,考虑一个切割任意数目内线把费曼图分成两部分的情况.这时,每多切开一根内线,对应多增加一个$$\delta$$函数替换和多切开一个独立圈图,所以最后的总贡献仍然是虚的.

P.237 (7.59)

注意到这里是说整个散射截面由此极点的贡献占主导,虽然这个过程仅仅是一个考虑了无限过去到无限将来的稳定粒子散射过程的一个部分:一个不稳定粒子的暂时的形成过程.

P.240 (7.66)

注意这里左边在两个电子线变成质壳上的外线时,(除了$$k_\mu$$)等式左边存在下面讨论的因子.而等式右边即便在此情况下,任何一项都不同时含有这两个因子.所以唯一的可能是等式为零.

P.242 (7.68)和图

这里可以提出两个问题.第一,为什么出入费米子线必须是固定配对的.第二,为什么求和后才为零,而不是求和式的任何一项都为零.

第一,费米子线,由于QED相互作用的形式,要么是形成封闭环的内线,要么是直接从入射粒子径直穿过体系为出射粒子的横穿线(through-going),没有其他可能.在此意义上,对于$$\mathcal{M}_0$$的任何一种的可能,即对应一个确定的费曼图,横穿线的入射线和出射线数目必须一样多,他们之前必须以某种形式配对.而在(4.73)定义的散射矩阵元$$\mathcal{M}_0$$并不是对应一个具体的费曼图,而是一个确定的物理过程,所以是所有相关的费曼图的贡献的和.对$$\mathcal{M}_0$$,这体现在(7.68)上图中带点点点的圈.这些都是给定出射和出射电子动量的所有费曼图的和,其中包括不同的入射动量和出射动量的配对形式.在此意义上,图中的$$p_i$$不一定和$$q_i$$配对,从而具有(7.66)的形式.但是,如果假设与$$p_i$$配对的费米外线为$$q_j$$,那么由于(7.66),对应的贡献已经包含在(7.68)的求和中了.所以差别只有一个"重复"因子.而实际上,这个重复因子已经被包含在$$\mathcal{M}$$和$$\mathcal{M}_0$$中了.这是因为(7.66)说明了等式左边的每一项都在等式右边对应两项.

同样,插入光子外线后,$$\mathcal{M}$$对应某包含一个额外确定动量光子的给定的物理过程,也需要对所有的可能方式求和.这时就需要对$$\mathcal{M}_0$$的所有的可能的费曼图做所有不同的插入光子外线可能的操作.

最后,按书中的证明,对于每个给定的费曼图,那么任何插入光子外线的方式的和等于零.但是因为$$\mathcal{M}$$对应的是一个物理过程,所以需要对所有对应$$\mathcal{M}_0$$的费曼图和插入方式求和,这样图才对应(7.68).书中提到的,这个等式对于个别费曼图并不成立,实际上是指对某个特定的插入可能,而是需要对所有插入可能求和.但是对于一个确定的插入前的费曼图,的确只要考虑对应所有可能的插入的表达式就成立了.可以参考这个stackexchange问题.

在后面,书中指出,在很多文献中,Ward恒等式,流守恒,规范不变性,这三个概念经常被相互替换使用.与最简单的推导,直接用流守恒来得到Ward恒等式不同,在这里的推导中,我们没有直接涉及任何流守恒,仅仅是最后的结果是广义的流守恒的形式.至于规范不变性,导致Ward恒等式的证明,最简洁的推导是利用路径积分,因为场的雅克比矩阵在路径规范变换下不变,由(9.105)之前的推导,直接得到Ward恒等式,可视为广义的流守恒的形式.对这个问题的进一步和不同角度的讨论,参见这个stackexchange问题的讨论.

文中指出,如果积分发散,那么证明过程中对积分动量的平移过程是无意义的.补偿的办法是维度正规化,因为这样积分在维度取极限前都是有限的,所以对积分动量的平移是有意义的,从而保证了Ward恒等式在取极限前都是有意义的.

P.243 (7.70)

注意这里$$\Sigma(p+k)-\Sigma(p)$$是小量.

P.245 (7.73)

这里从张量分解的角度得到结论$$\Pi(q^2)$$因子必然是$$q^2$$的函数,而无需写成一般的形式$$\Pi(q^\mu)$$.实际上,通过具体计算能直观的理解这个结果,比如考虑单圈贡献后的结果参见(7.90).

这里提到$$\Pi(q^2)$$在$$q^2=0$$处不为奇点,紧接着给出理由.在后面一页说明物理上这对应对光子的自能修正不影响光子的零质量事实,其实这是物理上的要求.而具体的反例是存在的,就是二维QED的"反常"质量修正,这在第19章给出具体的计算.

P.246 (7.74-75)

这里算的是包含了光子外线的图,与(7.72)比较,后者对应不包括外线的单粒子不可约图部分所以按Ward恒等式,具有(7.73)中的因子.

按书中的讨论,这里的(7.74)修正后的传播子至少有一头和一根费米线连接,所以从那根费米线为主体的费曼图的视角,利用Ward等式,知道光子传播子中任何含$$q_\mu$$或者$$q_\nu$$的因子都没有实际的贡献.

P.247 (7.77)

这里利用(7.76),代入(7.77)右边后,发现略去高阶小以后,分母上是$$1-(\Pi_2(q^2)-\Pi_2(0))(1-\Pi_2(0))\sim 1-\Pi_2(q^2)$$.

P.248 (7.79)

这里和上面一式相比较,分子上的第一项是把对积分贡献为零的对$$l^\mu$$奇次幂扔掉后的对角项$$g^{\mu\nu}$$.

P.248 (7.79)下一式

书中指出,这里的发散形式违反Ward恒等式.这是因为由前述Ward恒等式的证明,这里的单粒子不可约图应该具有因子(7.73)中的因子,而这里贡献最大的项对应的因子为$$g^{\mu\nu}$$,与之矛盾.而后面通过维度正规化的计算得到的(7.90)及其上式满足这个要求.

P.249 (7.81)

这里是有很多应用的对任意维度的立体角积分的计算方法和结果.

P.250 (7.82)

这里的变换$$x=\Delta/(l^2+\Delta)$$的重要意义是把一个值域从$$(0,\infty)$$变为一个值域是$$(0,1)$$的变量.

P.250 (7.83)

页末附录.考虑对z的展开.发现后面的连续求和最低是$$z^2$$的贡献,所以展开到$$z$$的一阶,只需要考虑前两项.得到就是对$$\frac{1}{z(1+\gamma z)}$$按$$1/z$$的展开,易得书上的结果.

P.251 (7.81)下一式

按等式左边在$$d=2, 4$$时的发散分别是指数发散和平方发散.而另一方面,在等式右边,分别为不发散和$$\frac{1}{\epsilon}=\frac{1}{4-d}$$形式.

P.250 (7.84)

注意到这里涉及到一个极限$$\lim_{\epsilon\rightarrow 0}\frac{2}{\epsilon}\left(\frac{1}{\Delta}\right)^{\frac{\epsilon}{2}}=\frac{2}{\epsilon}\exp(-{\frac{\epsilon}{2}} \log\Delta)=\frac{2}{\epsilon}-\log\Delta+\cdots$$

另外$$\log 4\pi$$项来自$$\frac{1}{(4\pi)^{\frac{d}{2}}}=\frac{1}{(4\pi)^{2-{\frac{\epsilon}{2}}}}$$,按和之前$$\Delta$$的同样处理即得.

这个结果在之后的章节反复被用到.

比如P.251涉及的关于$$\log\Delta$$的量纲的讨论也是与这个极限直接有关.

比如P.357的(11.19)就是利用发散的第一项其实和被积动量无关,可以被分离开.而第二项和具体的动量积分有关,但是是有限的.

P.251 (7.85-86)

已验证.注意到这里就是套用之前的$$x$$的换元,从而把积分写成(7.82)的形式.其中$$\beta$$的选取是为了得到分子上$$l^2$$的幂次;而接着$$\alpha$$的选取是为了得到分母上$$(l^2+\Delta)$$的幂次.

P.251 (7.89)

下面证明来自日文谷歌

第一式
 * $$\gamma^\mu\gamma^\nu\gamma_\mu=(2g^{\mu\nu}-\gamma^\nu\gamma^\mu)\gamma_\mu=2g^{\mu\nu}\gamma_\mu-\gamma^\nu\gamma^\mu\gamma_\mu=2\gamma^\nu-d\gamma^\nu=(2-(4-\epsilon))\gamma^\nu=-(2-\epsilon)\gamma^\nu$$

P.251 最后一式

注意到$$\frac{1}{2}=\frac{2}{d}$$,以及$$\Gamma(t+1)=t\Gamma(t)$$和$$\Gamma(N)=(N-1)!$$.

P.252 (7.90)

这里虽然仍然是发散的,但是实际上却满足$$q_\mu \Pi_2^{\mu\nu}=0$$.因为发散部分是一个可以提出来的因子.这样Ward恒等式不会被破坏.

P.253 (7.92)

接下来这里讨论光子自能修正部分结果的物理意义,讨论按$$q^2$$的大小进行.在$$q^2<0$$时,容易直接验证这的确是$$t$$或者$$u$$轨道的情况.反过来在$$q^2$$足够大时,积分会产生割线,其结果为复数,而(7.92)就是计算在割线两侧虚部的值.书中指出,这个结果与正负电子湮灭的总散射截面对$$q^2$$的依赖性(5.13)一致,这是光学定理的结果,因为光子能量足够大时产生正负电子对的过程的时间反演就是正负电子对湮灭的过程,而对应的整个费曼图就是正负电子对通过中间光子态的向前散射过程.而光学定理就是指向前散射的散射振幅的虚部等于正负电子对的总散射截面.

P.253 (7.93)

这里讨论$$q^2$$的模很小时的非相对论极限.

注意到,非相对论近似是指(4.121),在此近似下四动量变成三动量,得到类似(4.123)的形式.接着用(7.77)取代耦合常数后做类似的非相对论近似,并代入傅里叶变换定义即得.

P.253 (7.94)

这里用到在$$|q^2|\ll m^2$$条件下的展开.因为形式上,我们总是可以有$$\frac{1}{q^2(1-c_1\frac{q^2}{m^2})}=\frac{1}{q^2}+\frac{\frac{c_1}{m^2}}{1-\frac{c_1q^2}{m^2}}$$,把上面的形式写成两项的贡献之和,而第二项的一级近似为常数,所以对应的傅里叶变换得到$$\delta$$函数.

P.254 Fig.7.7

首先不难发现$$Q$$在虚轴上大于$$2im$$处才对应条件$$q^2 > 4m$$,出现割线.

在割线两侧,实部一致,虚部为(7.92)取正负号,所以它们的差得到一个因子2.

下面的式子作近似把分母写到分子上,并完全类似(4.126)的对角度积分即得.