Research Paper Notes on Triangular Flow

Research Paper Notes on Triangular Flow

本文档除了包括推导, 疑惑 外,做 读书重点 的记录

Data Analysis

 * Collision geometry fluctuations and triangular flow in heavy-ion collisions, arXiv:1003.0194, by B.Alver and G.Roland
 * Implications of space-momentum correlations and geometric fluctuations in heavy-ion collisions, arXiv:1002.4878, by Paul Sorensen
 * Analyzing the power spectrum of the little bang, arXiv:1101.1926, by Agnes Mocsy and Paul Sorensen
 * The rise and fall of the ridge in heavy ion collisions, arXiv.1102.1403, by Paul Sorensen et al

Cumulent Expansion

 * Triangularity and dipole asymmetry in heavy ion collisions, arXiv:1010.1876, by Derek Teaney and Li Yan
 * Understanding anisotropy generated by ﬂuctuations in heavy-ion collisions, arXiv:1107.5485, by Rajeev S. Bhalerao, Matthew Luzum, and Jean-Yves Ollitrault

Hydrodynamics

 * Triangular flow in hydrodynamics and transport theory, arXiv:1007.5469, by Burak Han Alver et al
 * Triangular flow in event-by-event ideal hydrodynamics in Au+Au collisions at \sqrt(s_NN)=200A GeV, arXiv:1008.0652, by Tadeusz Iwaniec et al
 * Phenomenology of the little bang, arXiv:1008.3323, by Jean-Yves Ollitrault
 * Translation of collision geometry fluctuations into momentum anisotropies in relativistic heavy-ion collisions, arXiv:1009.1847, by Guang-You Qin et al
 * Elliptic and triangular flow in event-by-event (3+1)D viscous hydrodynamics, arXiv:1009.3244, by Bjoern Schenke, Sangyong Jeon, and Charles Gale
 * The effect of triangular flow on di-hadron azimuthal correlations in relativistic heavy-ion collisions, arXiv:1011.3750, by Jun Xu and Che Ming Ko
 * Jets Mach cone hot spots ridges harmonic flow dihadron and gamma-hadron correlation in high energy heavy-ion collisions, arXiv:1011.5249, by Guo-Liang Ma and Xin-Nian Wang

CMB analogy

 * Super-horizon Fluctuation and acoustic oscillations in relativistic heavy-ion collisions, arXiv:0711.1323, by Ananta P. Mishra et al
 * Searching for superhorizon fluctuations in heavy-ion collisions, arXiv:0808.0503, by Paul Sorensen
 * Using CMBR analysis tools for flow anisotropies in relativistic heavy-ion collisions, arXiv:0811.0292, by Ananta P. Mishra et al

Collision geometry fluctuations and triangular flow in heavy-ion collisions, arXiv:1003.0194, by B.Alver and G.Roland
第一篇关于$$v_3$$的文章.对两体关联函数用$$v_1,v_2,v_3$$展开,而不考虑jet得到很好的数据拟合.从而考虑$$v_n$$,特别是$$v_3$$对两体关联函数的贡献.

Eq.(3)

按引文,此式仅仅是一个结果.首先考虑坐标轴原点处于质心的情况,如果把偏心率定义为$$\frac{\overline{y'^2}-\overline{x'^2}}{\overline{y'^2}+\overline{x'^2}}$$,那么(分子)是转动角度(即反应平面)的函数,对转动角度求导得到偏心率的最大值,这时得到形式
 * $$\frac{\sqrt{(\sigma_y^2-\sigma_x^2)^2+(2\sigma_{xy})^2}}{\sigma_y^2+\sigma_x^2}

=\frac{\left|(\sigma_y^2-\sigma_x^2)+i(2\sigma_{xy})\right|}{\sigma_y^2+\sigma_x^2} =\frac{\left|\overline{ z'^2}\right|}{{\overline{y'^2}}+{\overline{x'^2}}} =\frac{\left|\overline{z^2}\right|}{{\overline{y^2}}+{\overline{x^2}}}$$ 等式左边即为文中给出的表达式,而等式右边,因为被写为复数的模的形式,与具体的坐标系(转动角度$$\theta$$)无关,故是一个一般的定义,为后续文献普遍采用. 注意到,如果概率分布是球对称的,那么$$\overline{\exp(2i\mathrm{arg}z)}=\overline{\exp(2i\mathrm{arg}z')}=0$$,偏心率为零. 以下摘录计算中涉及的一些具体的定义和代数推导过程.


 * $$\begin{align}

&z=x + iy \\ &z'=x' + iy'=z \exp(i\theta) \\ &x'=x\cos\theta-y\sin\theta \\ &y'=x\sin\theta+y\cos\theta \\ &\sigma_y=\sqrt{\overline{y'^2}} \\ &\sigma_y^2={\overline{y'^2}} \\ &\sigma_x^2={\overline{x'^2}} \\ &\sigma_{xy}={\overline{x'y'}} \\ &y'^2=x^2\sin^2\theta+y^2\cos^2\theta+2xy\sin\theta\cos\theta \\ &{\overline{y'^2}}=\sigma_x^2\sin^2\theta+\sigma_y^2\cos^2\theta+2\sigma_{xy}\sin\theta\cos\theta \\ &{\overline{y'^2}}+{\overline{x'^2}}=\sigma_y^2+\sigma_x^2\\ &{\overline{y'^2}}-{\overline{x'^2}}=(\sigma_y^2-\sigma_x^2)\cos 2\theta+2\sigma_{xy}\sin 2\theta \end{align}$$

对角度求导后得到极值


 * $$\begin{align}

({\overline{y'^2}}-{\overline{x'^2}})_{max}=\sqrt{(\sigma_y^2-\sigma_x^2)^2+(2\sigma_{xy})^2} \end{align}$$

接着推广到坐标轴原点不是质心的情况,发现引文中的表达式中的定义仅仅是把考察点移动到质心而已,具体证明非常类似,这里略去.

Eq.(4)

这是坐标轴原点为质心的情况,直接证明即得,具体略去.

Eq.(10)

参见Derivation Notes on Flow Decompositions of Particle Correlations

Eq.(11)

源于假设$$e_n$$对$$v_n$$关系为线性.有 $$\frac{}{<\varepsilon_n^2>}=\frac{}{<\varepsilon_n>^2}$$ ,将平均值记号按定义写出即得.

Implications of space-momentum correlations and geometric fluctuations in heavy-ion collisions, arXiv:1002.4878, by Paul Sorensen
对两体关联函数不同形式的展开获得同样良好的数据拟合,从而讨论物理意义.之后的$$v_3$$其实是此文的推广.

Analyzing the power spectrum of the little bang, arXiv:1101.1926, by Agnes Mocsy and Paul Sorensen
对谱函数进行傅立叶展开,考虑其转换效率.

The rise and fall of the ridge in heavy ion collisions, arXiv.1102.1403, by Paul Sorensen et al
考虑傅立叶展开,假设转换效率,得到关于两粒子关联强度对碰撞偏心度的依赖关系.

Triangularity and dipole asymmetry in heavy ion collisions, arXiv:1010.1876, by Derek Teaney and Li Yan
此文中引入的一些比如关于cumulant展开的定义被之后很多文章所采用.

Eq.(2.9) 由(2.7-2.8),我们不难发现,(2.8)的各阶的展开系数,因为在指数上,成为了把(2.7)看成生成函数对动量$$(ik)$$多次求导数后的贡献中的"连接图"的贡献.这是因为把(2.8)代入(2.7)的左边,对$$(ik)$$求某阶(零次,一次,两次...)导数,并把$$k$$取为零,比较等式的两边.这时等式的左边为对应外线数目等于求导阶数的"费曼图".这些图分两类,第一类是对与求导阶数相同的$$W$$因子反复求导得到的,这样的费曼图是"连接"的,因为只含有一个唯一的一个阶数正确的$$W$$因子.而另一类是涉及对指数上不同的$$W$$因子项的求导,在最后取$$k=0$$后没有消失的项,这样的费曼图是"不连接"的,因为含有多个$$W$$因子的乘积,这些$$W$$因子的阶数的和必然等于求导阶数.而等式右边是对应的关于坐标的关联函数,和左边对比起来看,它包含连接和不连接的费曼图的贡献之和.所以,如果我们要单独写出每个$$W$$因子的坐标关联函数的形式,我们就需要人为的去除所有不连接的费曼图的贡献,而这正是(2.9)的结果.其中第一项,单外线的情况,因为这时不存在"不连接"的费曼图的情况,所以结果是"平庸"的.而第二项,就存在具体把"不连接"费曼图的贡献扣除的操作.

最后在(2.3)下面文中指出这里的分布$$\rho$$是归一的,所以(2.8)中$$W$$展开的第一项其实是0,

Eq.(2.12-13) 虽然没有明确写出来,这里的记号约定是$$a$$指求和的亚变元,而$$x,y$$指具体分量,不按爱因斯坦规则求和.

文中指出$$W$$虽然对应连接图,但是作为张量是可约张量.一个把张量进行约化的处理方法就是用置换群和杨图的数学手段,但是这里是二阶最简单的情况所以不需要用这种系统性的工具.任何两阶张量,我们都可以写成完全反对称张量,迹,无迹的完全对称张量的线型组合,但(2.9)按定义是对称的,所以可以分解为(2.11),其中第二项就是无迹的.

这样,因为张量的独立的基的数目是2,所以只要写出两个张量就够了,于是,(2.12-13)选了迹,xx分量对应的无迹张量这两个作为独立的选择.

Eq.(2.16-2.21) 首先利用对称性可以推知 $$W_{2n}^{c,s}$$ 仅仅含 $$(ik)$$ 偶数次幂,而 $$W_{2n+1}^{c,s}$$ 仅仅含 $$(ik)$$ 奇数次幂.这是因为函数在变换 $$k\rightarrow -k, \phi\rightarrow\phi+\pi$$ 下不变,其中三角函数因子在此变换下产生(或者不产生)一个负号,故而决定了多项式部分必须为奇函数(或者偶函数).严格的,这可以用奇函数(或者偶函数)n阶导数的性质,以及函数在相应的点的泰勒展开来证明. 其次,文中所谓平移和转动不变的说法是错误的.但是我们有三个只有参数可以选择.我们可以选择坐标原点为质心,从而 $$==0$$ ,再相对质心进行转动,使得 $$=0 $$.容易后面将涉及证明,这三项正对应了 $$W_{1,1}^{c,s},W_{2,2}^{s} $$. 最后,所有展开系数满足 $$W_{n,m}^{c,s}=0 (m<n)$$ .这似乎并不能直接从对称性得到,但是按附录中的贝塞尔函数展开表达式,以及平面波按柱面波(贝塞尔函数)展开表达式的具体形式,可以直接得到上述结论.

Eq.(2.15)余弦函数中漏了一个$$n$$

Eq.(2.34-35)导数可以换成相应的坐标分量,而另一方面$$ \cos 3\phi $$可以写成 $$\sin\phi, \cos\phi $$从而也写成坐标分量,容易证明两者相等.

Eq.(A.3-4)这是平面波按柱面波(贝塞尔函数)展开表达式,可以在wiki中找到.在量子力学的分波法或者数理方法中,一般有一个类似但是不同的展开公式,平面波按球面波(球贝塞尔函数)展开表达式.这里余弦函数漏了一个$$n$$.将此代入傅立叶变换直接可得到(A.4)

Eq.(A.8-24) 证明中涉及$$\Gamma$$函数的性质,


 * $$\begin{align}

&\Gamma(n)=(n-1)! (n\in N) \\ &J_n(kr)=(\frac{1}{2}kr)^n\left[ \frac{1}{n!}+\frac{\frac{1}{4}(ikr)^2}{(n+1)!}+\frac{(\frac{1}{4}(ikr)^2)^2}{2(n+2)!}+\frac{(\frac{1}{4}(ikr)^2)^3}{3(n+3)!}+\cdots \right] \end{align}$$

以及指数部分的展开导致的对数函数的展开


 * $$\begin{align}

\ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}\cdots \end{align}$$

另外注意到例如


 * $$\begin{align}

&=\int d\vec x\rho(\vec x)r^2\cos (2\phi) =\int rdrd\phi\rho(\vec x)r^2\cos (2\phi) =\int rdrd\phi 2\rho_2^c(r)r^2\cos^2 (2\phi) =2\pi \int \rho_2^c(r)r^3 dr \\ &=\int d\vec x\rho(\vec x)r^3\sin (\phi) =\int rdrd\phi\rho(\vec x)r^3\sin (\phi) =\int rdrd\phi 2\rho_1^s(r)r^3\sin^2 (\phi) =2\pi \int \rho_1^s(r)r^4 dr \\ &=\int d\vec x\rho(\vec x)r^4 =\int rdrd\phi\rho(\vec x)r^4 =\int rdrd\phi \rho_0(r)r^4 =2\pi \int \rho_0(r)r^5 dr \end{align}$$

这样由于对数函数展开导致的交叉项具有 $$^2$$ 或者 $$$$ 的形式,而且其贡献总是满足


 * $$\begin{align}

&(ik)^m\cos(n\phi) \\ &(ik)^m\sin(n\phi) (m\ge n) \end{align}$$ 的形式,故而只会对更高阶项作贡献,而不会对低阶项做贡献.而由贝塞尔函数展开的高阶项的贡献满足


 * $$\begin{align}

&(ik)^m\cos(n\phi) \\ &(ik)^m\sin(n\phi) (m\ge n,\ m=n+2l,\ l\in N) \end{align}$$

最后注意到除了(A.4)和(A.6),(2.22)中含有一个因子 $$1/m!$$ ,故对 $$\rho(\vec k)$$ 用 $$\rho_n^{c,s}(k)$$ 展开取对数然后关于动量的 $$m$$ 阶展开系数还需要乘以 $$m!$$ .其次定义(A.2)和(A.5)中的因子$$2$$会影响交叉项的因子. 按此,可以证明展开系数例如(A.8) (A.10) (A.19),并且逐项验证了(A.9)的三项.

Eq.(A.25) 利用关系


 * $$\begin{align}

&\vec \nabla \cdot \hat n =\frac{\partial}{\partial l_n} \\ &\vec \nabla \cdot \hat e_x =\frac{\partial}{\partial x} \\ &i\vec k \rightarrow \vec \nabla \end{align}$$

即得


 * $$\begin{align}

i |\vec k| \cos \phi_k = ik_x = i \vec k \cdot \hat e_x \end{align}$$

Understanding anisotropy generated by ﬂuctuations in heavy-ion collisions, arXiv:1107.5485, by Rajeev S. Bhalerao, Matthew Luzum, and Jean-Yves Ollitrault
Eq.(6) 如果视


 * $$\begin{align}

K\equiv k_x+ik_y=ke^{i\phi} \end{align}$$ 则容易理解对(3)式按 $$K$$ 展开的形式


 * $$\begin{align}

&K\bar K^2=k^3 e^{-i\phi} \\ &\bar K^2=k^2 e^{-2i\phi} \\ &\bar K^3=k^3 e^{-3i\phi} \\ &K\bar K=k^2 \end{align}$$

Triangular flow in hydrodynamics and transport theory, arXiv:1007.5469, by Burak Han Alver et al
用具体模型计算$$e_n$$与$$v_n$$的关系,基本为线性.

Triangular flow in event-by-event ideal hydrodynamics in Au+Au collisions at \sqrt(s_NN)=200A GeV, arXiv:1008.0652, by Tadeusz Iwaniec et al
类似上文.利用数值结果指出奇数和偶数的事件平面之间没有关联,偶数事件平面与反应平面联系.用具体模型计算$$e_n$$与$$v_n$$的关系,基本为线性.

Phenomenology of the little bang, arXiv:1008.3323, by Jean-Yves Ollitrault
为暑期学校讲稿的总结.其中涉及流体力学方程的标度不变性,与一些相关结果的讨论.讨论了一些重要的结果和图.值得一读,但并非力作.

Translation of collision geometry fluctuations into momentum anisotropies in relativistic heavy-ion collisions, arXiv:1009.1847, by Guang-You Qin et al
用具体模型计算$$e_n$$与$$v_n$$的关系,基本为线性.但是有益之处是文章涉及 对Glauber MC模型的具体说明,具体参见Research Paper Notes on Glauber Model

Eq.(3)参见Lecture Notes of Particle Physics by B.R. Martin & G. Shaw关于散射截面的讨论. 这里 $$\hat\sigma$$ 相当于单位面积的总散射截面,由于总散射截面的量纲为面积, $$\hat\sigma$$ 不具有量纲,物理意义为碰撞发生的概率. Eq.(4)这里给出了粒子对碰撞数目和参与碰撞的核子数目的表达式.虽然是半经典模型,但是两个表达式的推导具有一般意义.第二式中 $$\prod_{j=1}^{B} \int d^2s_j \hat T_B(s_j)[1-\hat\sigma(s)] $$ 是第 $$i$$ 个粒子不与$$ j=1,2,...B$$ 碰撞的概率.

Elliptic and triangular flow in event-by-event (3+1)D viscous hydrodynamics, arXiv:1009.3244, by Bjoern Schenke, Sangyong Jeon, and Charles Gale
一些关于粘滞流体动力学方程导出的摘要非常好,需要在Key Notes on Hydrodynamics参考加入总结.

The effect of triangular flow on di-hadron azimuthal correlations in relativistic heavy-ion collisions, arXiv:1011.3750, by Jun Xu and Che Ming Ko
采用AMPT模型讨论v_3,考虑边缘碰撞.

Jets Mach cone hot spots ridges harmonic flow dihadron and gamma-hadron correlation in high energy heavy-ion collisions, arXiv:1011.5249, by Guo-Liang Ma and Xin-Nian Wang
采用AMPT模型讨论$$v_3$$,采用ZYAM,考虑中心碰撞.

Super-horizon Fluctuation and acoustic oscillations in relativistic heavy-ion collisions, arXiv:0711.1323, by Ananta P. Mishra et al
暴涨模型对应红移很大,时间很早.而光子的最后散射面对应的宇宙微波背景辐射演化对应1000左右的红移.两者的时间尺度不同. 暴涨模型,量子扰动的演化.根据王斌的解释,考虑最简单的标量场情况,一个KG方程.在$$H$$内,如薛定谔方程,获得震荡解.在$$H$$外,在相应的近似下为常数解,仅仅与$$H$$有关.其波动解的波长$$ \lambda=\frac{a}{k} $$,其中$$ a$$ 为标度因子,由于采取随动坐标系而引入, $$k=\frac{2\pi}{\lambda'}$$ 为波矢. 宇宙微波背景辐射的演化方程为波尔斯曼方程.我们对其中的能动张量和度规都进行展开,对$$4\times 4$$自由度,我们获得2个标量,4个矢量和4个张量,分别导出其方程.宇宙微波背景辐射谱的一些性质,如震荡与压制,与ISW效应有关.

Fig.3 疑惑 .完全随机"白色噪音"的初始条件会导致何种形式的 $$\varepsilon_n$$ 谱.文章提及是常数,为什么?

Searching for superhorizon fluctuations in heavy-ion collisions, arXiv:0808.0503, by Paul Sorensen
Fig.3 动量关联去除$$v_2$$贡献后,得到一个谷,傅立叶展开后发现其对应小$$n$$的压制.

Using CMBR analysis tools for flow anisotropies in relativistic heavy-ion collisions, arXiv:0811.0292, by Ananta P. Mishra et al
题目变大了,内容变得很无味.