Research Paper Notes on Multiplicity Fluctuations

Research Paper Notes on Multiplicity Fluctuations

本文档除了包括推导, 疑惑 外,做 读书重点 的记录 $$$$

文献列表
Review paper
 * Dynamics of critical fluctuations: Theory – phenomenology – heavy-ion collisions, by Marcus Bluhm et al, arXiv:2001.08831v1
 * Fluctuations of conserved charges in relativistic heavy ion collisions: An introduction by Masayuki Asakawa and Masakiyo Kitazawa, arXiv:1512.05038
 * Search for the QCD Critical Point with Fluctuations of Conserved Quantities in Relativistic Heavy-Ion Collisions at RHIC : An Overview, by Xiaofeng Luo and Nu Xu, arXiv:1701.02105

Statistical model
 * Multiplicity Fluctuations in Hadron-Resonance Gas, by V.V. Begun, M.I. Gorenstein, M. Hauer, V.P. Konchakovski, and O.S. Zozulya, arXiv:nucl-th/0606036
 * Multiplicity fluctuations in the hadron gas with exact conservation laws, by Francesco Becattini, Antti Keranen, Lorenzo Ferroni, and Tommaso Gabbriellini, arXiv:nucl-th/0507039
 * Statistical model analysis of particle ratio fluctuations in heavy-ion collisions, by Jinghua Fu, PRC85, 064905 (2012)
 * Higher moments of net-proton multiplicity distributions in heavy ion collisions at chemical freeze-out, by Jinghua Fu, PLB722 (2013) 144
 * Higher moments of multiplicity fluctuations in a hadron-resonance gas with exact conservation laws, by Jinghua Fu, PRC96, 034905 (2017)

Sigma model
 * Event-by-Event Fluctuations in Heavy Ion Collisionsand the QCD Critical Point by M. Stephanov, K. Rajagopal and E. Shuryak, arXiv:hep-ph/9903292
 * QCD phase diagram and the critical point by Mikhail Stephanov, arXiv:hep-ph/0402115
 * Non-Gaussian fluctuations near the QCD critical point, by Mikhail Stephanov, arXiv:0809.3450
 * Sign of Kurtosis near the QCD Critical Point, by Mikhail Stephanov, arXiv:1104.1627
 * Critical versus spurious fluctuations in the search forthe QCD critical poin, by M. Hippert, E. S. Fraga, E. M. Santos, arXiv:1507.04764
 * Multiplicity fluctuations near the QCD critical point, by M. Hippert, E. S. Fraga, arXiv:1702.02028

Hydro implementation
 * Correlated fluctuations near the QCD critical point by Liji Jiang, Pengfei Li, and  Huichao  Song arXiv:1512.06164
 * Non-critical fluctuations of (net) charges and (net) protons from iEBE-VISHNU hybrid model by Jixing Li,Hao-jie Xu, and Huichao Songar aXiv:1707.09742

Dynamics of critical fluctuations: Theory – phenomenology – heavy-ion collisions, by Marcus Bluhm et al, arXiv:2001.08831v1
很好的综述,从理论和现象学模型为主.

Fluctuations of conserved charges in relativistic heavy ion collisions: An introduction by Masayuki Asakawa and Masakiyo Kitazawa, arXiv:1512.05038
以实验和现象学模型为主的综述

Search for the QCD Critical Point with Fluctuations of Conserved Quantities in Relativistic Heavy-Ion Collisions at RHIC : An Overview, by Xiaofeng Luo and Nu Xu, arXiv:1701.02105
Eq.(12)

我们把守恒荷的序号记为$$i$$,把粒子序号记为$$j$$,反粒子的序号写为$$\bar{j}$$,并在粒子的求和中与粒子分开,第$$j$$种粒子带有的$$i$$电荷为$$q_{i,j}$$,并注意到关系
 * $$q_{i,\bar{j}}=-q_{i,j}$$
 * $$\mu_j=q_{i,j}\mu_i$$
 * $$\mu_\bar{j}=q_{i,\bar{j}}\mu_i$$

这样有
 * $$\mu_{\bar{j}}=-\mu_j$$

另外,我们知道
 * $$N_j\mu_j=N_jq_{i,j}\mu_i=Q_i^+\mu_i$$
 * $$N_{\bar{j}}\mu_{\bar{j}}=N_{\bar{j}}q_{i,{\bar{j}}}\mu_i=Q_i^-\mu_i$$

其中$$Q_i^+,Q_i^-$$分别为正反粒子携带的守恒荷$$i$$的总量.把两者加起来,无非是
 * $$N_j\mu_j+N_{\bar{j}}\mu_{\bar{j}}=(Q_i^+ +Q_i^- )\mu_i=Q_i\mu_i$$

其中$$Q_i$$为净电荷.这样似乎和文中不相符.

但是文中其实是在考虑的近似下的结果,考虑文献的Eq.(4-7). 其推导可参加下面的笔记.注意到Eq.(6)就是粒子$$j$$的易逸度
 * $$\lambda_j=\exp(\beta\mu_j)=\exp(\beta q_{i,j}\mu_i)$$

其中要对守恒荷种类$$i$$求和.而由Eq.(4)对不同粒子要对Eq.(7)求和.现在我们考虑近似Eq.(7)中的求和只考虑第一项$$k=1$$并且把粒子和反粒子的贡献加起来,我们可以提出因子
 * $$\lambda_j+\lambda_\bar{j}=\exp(\beta\mu_j)+\exp(\beta\mu_\bar{j})=2\cosh(\beta\mu_j)=2\cosh(\beta q_{i,j}\mu_i)$$.

通过代数计算我们得到Eq.(12).

最后我们指出,上述在配方函数的展开中仅取第一项$$k=1$$的近似称为玻尔兹曼近似是有道理的,因为的确就是就是回到了玻尔兹曼巨正则系综的结果,因为配方函数的对数和$$z_{j(1)}$$成正比也和$$\lambda_j$$成正比.具体的在这篇文献中Eq.(32)求和的第一项的确就是Eq(3)的对数.注意到这里的玻尔兹曼近似由于分母上的阶乘,已经部分考虑了全同粒子的对称性.

Multiplicity Fluctuations in Hadron-Resonance Gas, by V.V. Begun, M.I. Gorenstein, M. Hauer, V.P. Konchakovski, and O.S. Zozulya, arXiv:nucl-th/0606036
Eq.(2)

我们采用定义$$\Delta A=A-\langle A\rangle$$,所以$$\langle (\Delta A)^2\rangle$$是标准偏差的平方,$$\langle \Delta A\Delta B\rangle=\langle AB\rangle-\langle A\rangle\langle B\rangle$$与Pearson关联有关.

按朗道的统计力学Eq.(112.14),这个表达式即是从热力学也能从统计力学得到,虽然后者的推导更为简洁.

对经典气体,费米子,和波色子,分别得到(113.1),(113.3),和(113.4).对费米子和波色子结果的不同来自不相容原理导致的不同具体形式的配分函数.

Eq.(6)

由于配分函数对不同类型或者不同能量的粒子的导数是可以交换的,这是因为波色或者费米理想气体的巨配分函数是各能级的配分函数的乘积的形式.所以有两个$$\delta$$函数因子.

Eq.(7)

这个方程是用中心极限定理证明每个末态粒子类型的涨落都是高斯型的.中心极限定理是说无数个相同且独立的(任意形式的)分布的和是高斯分布.

Eq.(8-10)

方程Eq.(8)就是在Eq.(7)的基础上加上守恒荷守恒的$$\delta$$函数的积分形式.因为$$\delta$$函数因子的存在,这里的(微观态)求和只涉及保证守恒荷的情况.其实,正则系综和巨正则系统的区别其实仅仅是在微观态$$\Gamma$$空间积分的区域不同,而积分的权重是一样的,因为各态历经且等几率.

最后Eq.(10)就是在正则系综下的计算平均值的一般形式.Eq.(11)就一个实际中经常用到的物理量给出计算.

Eq.(15)

这是粒子数涨落乘积的平均值,我们看到在巨正则系综中具有简单的形式,而在正则系综中结果变得更复杂,具体与Eq.(11)直接有关.

Eq.(37)

这里讨论的是利用鞍点法直接从巨正则系综得到正则系综的讨论,而不利用上述粒子的巨正则系综的粒子平均数就是正则系综的守恒粒子数加上高斯分布的做法.鞍点法细节参见这篇文章的讨论和相应笔记.

Eq.(39)

这是对生成函数直接求导的结果,原则上也可以直接从物理上理解.

由于Eq.(38)最终是连乘的形式,所以导数可以写成对每个因子的导数贡献的和的形式.因为每个因子在取$$\lambda_i=1$$都为1,所以不被求导的因子对结果没有非平庸的贡献,计算中只要注意每个被求导因子的非平庸贡献即可.

每个因子对应一个确定的$$R$$,所以最终求和是$$R$$进行的.每个因子指数下面是对$$r$$的求和,所以结果也是每项的导数对$$r$$求和.对固定的$$r$$,也是对不同的末态粒子$$i$$的乘积的形式,每个粒子只会至多出现在一个因子中.

注意到$$\langle n_i\rangle_R=\sum_r b_r^R n_{i,r}^R$$,Eq.(39)是比较显然的.

对$$\lambda_i$$求导后再乘以$$\lambda_i$$对一阶导数是没有任何影响的.但是其作用是在高阶导数的情况下,如果考虑的是相同粒子的粒子数乘积的平均值$$\overline{N_i N_i}$$,如果这两个粒子都来源于同一个共振态$$R$$的相同粒子.那么两次求导后对应的因子是$$n_i n_i$$(实际问题中需要的),而非$$n_i(n_i-1)$$.

物理上,体系的初态是一组具有确定粒子数的共振态$${N_R},R=1,2\cdots$$,共振态$$R$$具有$$N_R$$个粒子.每个共振态有不同的衰变方式$$r$$,对一个给定的衰变方式,有$$n_{i,r}^R$$个$$i$$末态粒子.Eq.(39)可以理解为,对给定共振态,$$i$$粒子对各衰变方式平均值$$_R$$乘以对应共振态粒子数,而$$i$$的总数的平均值就是上述给定共振态结果对所有共振态求和.

Eq.(40)

这是对生成函数求导的结果,原则上也可以直接从物理上理解.

将Eq.(38)对$$\lambda_i$$第一次求导并乘以$$\lambda_i$$后得
 * $$G\rightarrow \sum_{R} N_R\left(\sum_r b_r^R n_{i,r}^R \prod_j \lambda_j^{n_{j,r}^R}\right) \left(\sum_r b_r^R \prod_i \lambda_i^{n_{i,r}^R}\right)^{N_R-1}\prod_{R'\ne R}\{\cdots\}$$

其中$$\cdots$$对应其他共振态项对应的因子.

在求和号内,对给定的$$R$$,这里有三个因子$$\left(\sum_r b_r^R n_{i,r}^R \prod_j \lambda_j^{n_{j,r}^R}\right)$$,$$ \left(\sum_r b_r^R \prod_i \lambda_i^{n_{i,r}^R}\right)^{N_R-1}$$和$$\prod_{R'\ne R}\{\cdots\}$$都含有$$\lambda_j$$,会被第二次求导影响到.因为是乘积的形式,最后的贡献是相加的形式.

实际上对第一个因子和第二个因子的求导分别对应Eq.(40)的第二项和第一项.在物理上,这两个粒子都来自同一个共振态$$R$$,Eq.(40)的第一项对应来自两个不同但同一类型$$R$$的共振态,而第二项对应来自同一类型且相同的共振态粒子,不仅如此他们必然来自同一个衰变渠道.

但是, 不理解 的是来自第三个因子的贡献也不为零.对应的贡献可以写为$$\sum_{R,R'\ne R}N_R N_{R'}\langle n_i\rangle_R\langle n_j\rangle_{R'}$$.物理上这对应两个粒子$$i, j$$来自完全不同的共振态.似乎Eq.(40)的确是漏写了这一项,因为如果加上这一项,Eq.(42)的第二步等式就是严格成立的.具体见下.

综上,Eq.(40)似乎应该为
 * $$\overline{N_iN_j}=\sum_R [N_R(N_R-1) \langle n_i\rangle_R\langle n_j\rangle_R+N_R \langle n_i n_j\rangle_R]+\sum_{R,R'\ne R}N_R N_{R'}\langle n_i\rangle_R\langle n_j\rangle_{R'}$$

Eq.(41)

这是一个归一的概率,即对于给定的$$N_R$$,$$\sum_r P(\{N_R^r\})=1$$.这是因为等式$$1=1^{N_R}=(\sum_r b_r^R)^{N_R}$$右边的各种项就对应了各种衰变可能的概率,而概率的和就是等式左边.这样衰变概率守恒的$$\delta$$函数是自动满足.

如果进一步考虑不同的共振态,且不同共振态的衰变是相互独立的,则等式右边最外面还需要对不同$$R$$的概率做连乘$$\prod_R$$.指数上面的$$N_R$$是同样的意义.

为了构造生成函数,类似场论中的生存泛函,我们在相应概率项基础上引入一个外源乘以场算符的因子.这里外源就是$$\lambda_i$$,在外源$$\lambda_i=1$$时外源项完全没有贡献.而场算符就是粒子数$$n_{i,r}^R$$,这样对外源的导数就是粒子数对概率的平均$$\sum_{r,R} n_{i,r}^R P(\{N_R^r\})$$.

原则上,类似的,生成函数似乎也可以定义成$$G\equiv \prod_R \left(\sum_r b_r^R \prod_i \exp(\lambda_i n_{i,r}^R)\right)^{N_R}$$.这样粒子平均数可以定义为,$$\left.\frac{\partial}{\partial \lambda_i}G\right|_{\lambda_i=0}$$.

Eq.(42)

这里具体写出等式的第二步.由Eq.(39)我们有
 * $$\overline{N_i}=\sum_R N_R \langle n_i\rangle_R$$
 * $$\left(\overline{N_i}\right)^2=\sum_{R,R'} N_R N_{R'}\langle n_i\rangle_R \langle n_i\rangle_{R'}=\sum_{R,R'\ne R} N_R N_{R'}\langle n_i\rangle_R \langle n_i\rangle_{R'}+\sum_R N_R^2\langle n_i\rangle_R^2$$

而由增加了一项的Eq.(40)
 * $$\overline{N_iN_j}=\sum_R [N_R(N_R-1) \langle n_i\rangle_R\langle n_j\rangle_R+N_R \langle n_i n_j\rangle_R]+\sum_{R,R'\ne R}N_R N_{R'}\langle n_i\rangle_R\langle n_j\rangle_{R'}$$
 * $$\overline{N_i^2}=\sum_R [N_R(N_R-1) \langle n_i\rangle_R^2+N_R \langle n_i^2\rangle_R]+\sum_{R,R'\ne R}N_R N_{R'}\langle n_i\rangle_R\langle n_i\rangle_{R'}$$

这样有
 * $$\frac{\overline{N_i^2}-\left(\overline{N_i}\right)^2}{\overline{N_i}}=\frac{\sum_R N_R\langle n_i^2\rangle_R-\sum_R N_R\langle n_i\rangle_R^2}{\sum_R N_R \langle n_i\rangle_R}=\frac{\langle n_i^2\rangle_R-\langle n_i\rangle_R^2}{\langle n_i\rangle_R}$$

Eq.(43)

考察上面Eq.(42)的推导过程,发现如果$$N_R$$本身不是常数,在原来的平均的基础上还需再加一个系综平均,那么的确,本来抵消的一项不为零,这一项在分子上为
 * $$\overline{\left(\sum_{R}N_R \langle n_i\rangle_R\right)^2}-\left(\overline{\sum_{R} N_R \langle n_i\rangle_R}\right)^2$$,

因为由$$\langle n_i\rangle_R$$衰变反应完全确定,不会涨落,所以可以从系综平均中提出来,再考虑分母后,最后结果可以写为Eq.(43)的形式.

Eq.(46)

首先这里计算的是$$\langle \Delta A\Delta B\rangle=\langle AB\rangle-\langle A\rangle\langle B\rangle$$.

我们考虑直接粒子$$N_i^*$$,以及共振态的共振态$$N_R,N_{R'}$$之间都是独立的,故有$$\overline{N_i^* N_R}=\bar{N_i^*}\bar{N_R}$$和对$$R\ne R'$$有$$\overline{N_{R'} N_R}=\bar{N_{R'}}\bar{N_R}$$.这样的假设是基于理想气体模型.到直接粒子和共振态为止,体系的配分函数是理想气体的配分函数,所以不同粒子的涨落之间相互独立,即满足Eq.(6)的形式.

这样Eq.(46)只有对$$N_i^*$$本身和对确定的共振态$$N_R$$本身有贡献,其余"交叉项"都为零.

除此以外,这里的计算与Eq.(42)分母的计算非常类似,就是要考虑共振态数目涨落的系综平均.比如我们可以具体写出
 * $$\overline{N_iN_j}=\sum_R [\overline{N_R(N_R-1)} \langle n_i\rangle_R\langle n_j\rangle_R+\overline{N_R} \langle n_i n_j\rangle_R]+\sum_{R,R'\ne R}\overline{N_R N_{R'}}\langle n_i\rangle_R\langle n_j\rangle_{R'}$$
 * $$\bar{N_i}\bar{N_j}=\sum_{R,R'} \bar{N_R} \bar{N_{R'}}\langle n_i\rangle_R \langle n_j\rangle_{R'}=\sum_{R,R'\ne R} \bar{N_R} \bar{N_{R'}}\langle n_i\rangle_R \langle n_j\rangle_{R'}+\sum_R (\bar{N_R})^2\langle n_i\rangle_R \langle n_j\rangle_R$$

代入即可验证Eq.(46).

Eq.(47)

这个表达式就是把之前表达式中为零的一些项补回来,并且注意到这里的结果是对正则系综,即Eq.(11),而非巨正则系综.

Multiplicity fluctuations in the hadron gas with exact conservation laws, by Francesco Becattini, Antti Keranen, Lorenzo Ferroni, and Tommaso Gabbriellini, arXiv:nucl-th/0507039
Eq.(3)

等式右边连乘号后面部分可以写成指数形式.见Eq.(6)最后一个因子,故其等式右边最后一个因子指数上对$$j$$的求和是针对不同的粒子种类$$j$$.

Eq.(4)

对经典体系,巨正则分布满足Eq.(3),就可以证明Eq.(4)即粒子数分布必然满足泊松分布.付菁华提示,这个是基本常识,证明其实很简单,如下. 记$$a=z_{j(1)}\lambda_j$$.对于固定粒子类型$$j$$,平均数为
 * $$\langle N\rangle=\frac{\sum_{N=0}N\frac{a^N}{N!}}{\sum_{N=0}\frac{a^N}{N!}}=\frac{\sum_{N=1}N\frac{a^N}{N!}}{\sum_{N=0}\frac{a^N}{N!}}=\frac{\sum_{N=1}\frac{a^N}{(N-1)!}}{\sum_{N=0}\frac{a^N}{N!}}=a\frac{\sum_{N=1}\frac{a^{N-1}}{(N-1)!}}{\sum_{N=0}\frac{a^N}{N!}}=a$$

实际上,归一化后的概率为
 * $$P_{GC}(N)=\frac{\frac{a^N}{N!}}{\sum_{N=0}\frac{a^N}{N!}}=\frac{\frac{a^N}{N!}}{\exp(a)}=\frac{1}{N!}a^N e^{-a}=\frac{1}{N!}\langle N\rangle^N e^{-\langle N\rangle}$$

实际上,在数学上我们知道,泊松分布的任何阶的cumulant都是等于$$\langle N\rangle$$的.

Eq.(5)

这是因为守恒荷都是整数,这样只有当$$Q_i$$和后面$$\lambda_j$$中的电荷正好抵消是不为零.相当于$$\delta$$函数.

注意到(!)Eq.(3)指数上的粒子数$$N_j$$相当于$$N_j$$个因子的连乘,所以对应的相应粒子对总电荷的贡献是单个电荷$$q_{i,j}$$的$$N_j$$倍,这是合理的.

Eq.(6)

因子$$w_B^{-B-1}$$中的$$(-1)$$以及等式右边积分前常数分母中的$$i$$都是来自$$dw_i=id\phi_i w_i$$.

同样由于这个换元,对$$w_i$$的积分路径是复平面上半径为1的圆.

Eq.(7)

注意到$$j$$是某特定粒子种类,而$$h=\{j_1,j_2,\cdots\}$$是满足需要的粒子种类的某特定集合,而$$\lambda_h$$中的$$h$$一个特定标记,用于选取被求导的对象.

方程Eq.(6)右边的指数上面已经没有用$$\lambda_j$$来表达,而是代为被积变量$$w_j$$(或者之前用到的$$\phi_i$$).但是这不重要,重要的是按文中的代换$$\lambda_j\rightarrow \lambda_h \lambda_j$$把$$\lambda_h$$写进去,后者才是被求导的对象.

实际上,对Eq.(6),这个代换无非是对方程的最后部分
 * $$\exp\left[\sum_j z_{j(1)}w_B^{b_j}w_S^{s_j}w_Q^{q_j}\right]\rightarrow \exp\left[\sum_j \lambda_h z_{j(1)}w_B^{b_j}w_S^{s_j}w_Q^{q_j}\right]$$.

对$$\lambda_h$$求导之后为
 * $$w_B^{b_j}w_S^{s_j}w_Q^{q_j}z_{j(1)} \exp\left[\sum_j \lambda_h z_{j(1)}w_B^{b_j}w_S^{s_j}w_Q^{q_j}\right]$$.

其中$$z_{j(1)}$$被保留下来,而$$w_B^{b_j}$$对指数上的总电荷贡献了$$(-1)\times {b_j}$$.

下面我们理解等式的左边的确给出粒子数平均.这时还是要利用Eq.(3),右边的因子$$(z_{j(1)}\lambda_j\lambda_h)^{N_j}$$对$$\lambda_h$$求导之后为$$N_j z_{j(1)}\lambda_j(z_{j(1)}\lambda_j\lambda_h)^{(N_j-1)}=\frac{N_j}{\lambda_h}(z_{j(1)}\lambda_j\lambda_h)^{N_j}$$. 所以最后表达式成为相关$$N_j$$的和的巨正则系综平均.因为最后要取$$\lambda_h=1$$,所以对于粒子数平均Eq.(7)不需要乘回去,但是对粒子数平方平均Eq.(8),需要补偿$$\lambda_h$$以后再做第二次求导.

这里讨论的是经典气体的正则系综,既不是一般情况下的结果,也不是巨正则系综.对后者,易逸度(fugacity)的定义为$$\lambda_j=\exp(-\alpha_j)=\exp(\beta\mu_j)$$.另外注意到化学平衡时化学势之间的关系$$\mu_j=\sum_i q_{i,j}\mu_i$$,其中$$i$$对应守恒荷的种类,$$j$$对应粒子的种类.所以$$\lambda_j$$的确对应粒子$$j$$的易逸度,而$$w_i$$对应的是守恒荷$$i$$的易逸度. 实际上,因为$$\sum_i Q_{i}\mu_i=\sum_i (\sum_jq_{i,j}N_j)\mu_i=\sum_j N_j(\sum_i q_{i,j}\mu_i)=\sum_j N_j \mu_j$$,这样一方面,守恒荷数的系综平均值可以用对$$w_i$$的导数来获得.而另一方面,粒子数的正则系综平均值可以用对$$\lambda_j$$的导数来获得,具体的,用$$\lambda_h\frac{\partial}{\partial \lambda_h}$$的形式来得到.这和在巨正则系综情况下对求偏导来得到粒子数平均的做法是完全一致的,具体的,对某粒子类型$$-\frac{\partial}{\partial\alpha}={\lambda}\frac{\partial}{\partial \lambda}$$,对某守恒和类型,就是把其中$$\lambda$$换为$$w$$.

Eq.(8)

方程右边的第二项对应连续两次作出对方程Eq.(7)的操作,而方程右边的第一项就是对等式左边第一次求导后的$$\lambda_j$$因子求导的结果.

Eq.(9)

将Eq.(7-8)代入Eq.(1)即得.

Eq.(13)

首先容易验证,这个方程是由被积函数下降最快的点决定的.下降快是因为Eq.(10)最右边因子的指数形式,特别是,当取热力学极限$$V\rightarrow \infty$$时,下降就更快了.一个非常直观的讨论见这个stackexchange链接

极值点必然是鞍点因为被积函数是解析函数,这是由柯西-黎曼条件导致的结果(被积函数的实部和虚部都是调和函数,满足两维拉普拉斯方程).对(复变)解析函数函数,在鞍点(一阶导数为零的点),其二阶导数和实轴的选择有关,但是如果选择实轴方向是的二阶导数为实数且为正,那么沿着虚轴方向就是函数下降最快的方向.这点在文章的附录A中用到.

由柯西定理,连续变换积分回路使得积分回路经过鞍点,那么数值上所有积分的贡献都集中在鞍点附近的高斯积分.这就是鞍点积分近似.

另一方面,Eq.(13)的结果从右到左可以读作,电荷等于微观态电荷的巨正则系综平均.同时,即$$z_{k(1)}w_B^{b_k}w_S^{s_k}w_Q^{q_k}=_{GC}$$. 其实,把其中$$w_j$$直接换成易逸度就容易看到这的确是在巨正则系综的表达式.这样就在鞍点把正则系综和巨正则系综联系起来了.但是等式左边的$$q_k$$替换为1,等式右边就变为粒子数$$_{GC}$$而非电荷数.

Eq.(18)

这里通过一个具体的例子来说明,对于pion介子理想气体,巨正则系综的粒子平均数$$<\pi^->_{GC}=z_{\pi}/\lambda_Q$$(直接利用巨正则系综粒子平均数的定义或者参考上面Eq.(7)的讨论中的计算),和按Eq.(7)和附录A结果得到的正则系综粒子平均数在考虑到一阶$$V^{-1}$$展开下是一致的.但是,文章的中心思想正是粒子数涨落$$\omega$$的结果对两个系综并不是一致的.

Eq.(20-21)

这是正则系综的结果.其实,对于巨正则系综,其实也是只有在泊松分布的情况下才等于1,因为这时粒子平均数和标准偏差数值上相等.

从物理上来说,正则分布粒子数确定,为什么还会有粒子数涨落呢?这是因为这里只是保证了守恒荷一定,而各个类别的粒子数是可以有涨落的,数学上就是之前得到的Eq.(6-8).

Eq.(22)

首先按Eq.(13)下面的讨论,利用了$$z_{j(1)}w_B^{b_k}w_S^{s_k}w_Q^{q_k}=_{GC}$$的表达式.其次分母上 为什么 是$$\lambda_{Q_l}\lambda_{Q_n}$$而不是$$w_{Q_l}w_{Q_n}$$.因为前者是以特定粒子序号为自变量,而后者才是对守恒荷序号为自变量,同时这也和利用Eq.(12)的直接推导一致.这可能是一个笔误,因为从Eq.(13)开始就有把$$w$$在公式中不经意的替换为$$\lambda$$.

Eq.(32)

根据付菁华提示,这个表达式的推导可参见,比如这个文献的Eq.(7)的推导.具体讨论如下: 对给定粒子类型,$$\epsilon_i=\sqrt{p^2+m_i^2}$$,$$\lambda_i(T,\mu)=\exp\left(\frac{B_i\mu_B+S_i\mu_S+Q_i\mu_Q}{T}\right)$$,我们有
 * $$\ln Z_i(T,V,\mu)=\frac{Vg_i}{2\pi^2}\int_0^\infty \pm p^2dp \ln[1\pm\lambda_i \exp(-\beta\epsilon_i)]$$
 * $$\ln Z_i(T,V,\mu)=\frac{Vg_i}{2\pi^2}\int_0^\infty \pm p^2dp \sum_{k=1}^\infty \frac{(\pm 1)^k \lambda_i^k \exp(-k\beta\epsilon_i)}{k}$$
 * $$\ln Z_i(T,V,\mu)=\frac{\pm Vg_i}{2\pi^2}\sum_{k=1}^\infty \frac{(\pm 1)^k \lambda_i^k}{k} \int_0^\infty p^2dp \exp(-k\beta\epsilon_i)$$
 * $$\ln Z_i(T,V,\mu)=\frac{\pm Vg_i}{2\pi^2}\sum_{k=1}^\infty \frac{(\pm 1)^k \lambda_i^k}{k} \int_0^\infty \frac{-\epsilon_i p}{k\beta} d\left(\exp(-k\beta\epsilon_i)\right)$$
 * $$\ln Z_i(T,V,\mu)=\frac{\pm Vg_i}{2\pi^2}\sum_{k=1}^\infty \frac{(\pm 1)^k \lambda_i^k}{k} \times(-1)\times\left[\left.\frac{\epsilon_i p}{k\beta}\exp(-k\beta\epsilon_i)\right|_0^\infty -\int_0^\infty \frac{1}{k\beta} \exp(-k\beta\epsilon_i)d(\epsilon_i p)\right]$$
 * $$\ln Z_i(T,V,\mu)=\frac{\pm Vg_i}{2\pi^2}\sum_{k=1}^\infty \frac{(\pm 1)^k \lambda_i^k}{k} \int_0^\infty \frac{1}{k\beta} \exp(-k\beta\epsilon_i)d(\epsilon_i p)$$
 * $$\ln Z_i(T,V,\mu)=\frac{\pm VTg_i}{2\pi^2}\sum_{k=1}^\infty \frac{(\pm 1)^k \lambda_i^k}{k^2} \int_0^\infty \exp(-k\beta\epsilon_i)d(\epsilon_i p)$$
 * $$\ln Z_i(T,V,\mu)=\frac{\pm VTg_i}{2\pi^2}\sum_{k=1}^\infty \frac{(\pm 1)^k \lambda_i^k m_i^2}{k^2} \int_0^\infty \exp\left(-k\beta m_i\frac{\epsilon_i}{m_i}\right)d\left(\frac{\epsilon_i}{m_i} \frac{p}{m_i}\right)$$

这时令$$\cosh t=\frac{\epsilon_i}{m_i}$$,则有$$\sinh t=\frac{p}{m_i}$$和$$\sinh 2t=2\sinh t\cosh t=2\frac{p}{m_i}\frac{\epsilon_i}{m_i}$$,这样上式可以写成
 * $$\ln Z_i(T,V,\mu)=\frac{\pm VTg_i}{2\pi^2}\sum_{k=1}^\infty \frac{(\pm 1)^k \lambda_i^k m_i^2}{k^2} \int_0^\infty \frac12\exp\left(-k\beta m_i \cosh t\right)d(\sinh 2t)$$
 * $$\ln Z_i(T,V,\mu)=\frac{\pm VTg_i}{2\pi^2}\sum_{k=1}^\infty \frac{(\pm 1)^k \lambda_i^k m_i^2}{k^2} \int_0^\infty \exp\left(-k\beta m_i \cosh t\right)d(\cosh 2t)dt$$

按修正贝塞尔函数的积分形式,上式可以写为
 * $$\ln Z_i(T,V,\mu)=\frac{\pm VTg_i}{2\pi^2}\sum_{k=1}^\infty \frac{(\pm 1)^k \lambda_i^k m_i^2}{k^2} K_2\left(k\beta m_i\right)$$
 * $$\ln Z_i(T,V,\mu)=\frac{VTg_i}{2\pi^2}\sum_{k=1}^\infty \frac{(\pm 1)^{k+1} \lambda_i^k m_i^2}{k^2} K_2\left(k\beta m_i\right)$$

这就是文献的Eq.(7).这时考虑到文献的Eq.(4),我们有
 * $$\ln Z(T,V,\mu)=\prod_i\ln Z_i(T,V,\mu)=\prod_i\frac{VTg_i}{2\pi^2}\sum_{k=1}^\infty \frac{(\pm 1)^{k+1} \lambda_i^k m_i^2}{k^2} K_2\left(k\beta m_i\right)=\prod_i\sum_{k=1}^\infty \frac{\lambda_i^k}{k}\frac{(\pm 1)^{k+1} VTg_i m_i^2}{2\pi^2 k} K_2\left(k\beta m_i\right)$$

这和本文的Eq.(32-33)是完全一致的.

Eq.(60)

这个附录给出了一个文章中用到的积分的形式解.这里的讨论的数学形式具体可以参考维基页的讨论.这里给出一些说明如下.首先这里涉及$$d$$维积分,而不是一个变量的积分.通过比较Eq(6)和Eq.(60)(类似但不是Eq.(10-12))知道,这里的连乘相当于对不同的守恒荷进行的.积分变量$$w_k$$是个复数,积分路径$$\Gamma_k$$是在复平面上有初始点和终了点的一根曲线(按Eq(6)上面的定义这里积分的初始点和终了点一致),所以可以用一个实数参量来描写这根曲线.按鞍点积分的中心思想,我们利用柯西定理对积分曲线进行变形,使之沿着合适的方向通过鞍点,所以在离开鞍点比较远区域的积分的贡献基本可以被忽略,只需要关注鞍点附近的积分贡献.由于问题是$$d$$维的,所以所有积分路径进行形变后,变为一个通过鞍点的$$d$$维积分.这时利用Morse引理,可以找到合适的坐标变换,使得积分对角元即积分结果只和Hessian矩阵的本征值有关.最后一个细节,对每个变量通过鞍点仍然存在路径的选择,当Hessian矩阵的本征值为正时,应该选择虚轴方向为$$w_k$$的积分路径,其原因见之前Eq.(13)的讨论.文中提到对正则系综对给定$$w_k$$两阶导数的确是正数,按Eq.(6)指数部分Eq.(12),对$$w_B$$的两阶导数得到的是$$\sum_j b_j(b_j-1)z_{j(1)}w_B^{(b_j-2)}w_S^{s_j}w_Q^{q_j}$$,在鞍点Eq.(13),$$w_k=e^{-\alpha_k}=e^{\beta\mu_k}$$,的确是实数且是正定的.

Eq.(74)

按上面的讨论,到这里的计算结果是比较直接了当的,其中仅仅考虑了把指数上的$$f$$展开到两阶.如果把指数上的剩余贡献记为$$\eta(w)$$并归入到$$g$$中去,那么就是下面的计算.这个计算的理由是,最后的展开是按$$\nu^{-1}$$来排序的,如果上述高阶项的考虑会带来新的贡献,那么就应该被考虑.这样就得到了最终的Eq.(79-80)的形式.

Statistical model analysis of particle ratio fluctuations in heavy-ion collisions, by Jinghua Fu, PRC85, 064905 (2012)
Eq.(2)

我们采用定义$$\Delta A=A-\langle A\rangle$$,所以$$\langle (\Delta A)^2\rangle$$是标准偏差的平方,具体推导参考本笔记之前的说明.

Eq.(4)

这个表达式按标准偏差的定义即得.比较两个量相加的情况,最后一项与Pearson关联有关.

Eq.(5)

这里除了用到涨落的独立性,还要用到泊松分布的性质,期待值和标准偏差都为$$\lambda$$.

Eq.(7)

这是粒子衰变的定义,满足的粒子数守恒.下标$$i,j,\cdots$$代表最终粒子,$$R$$代表共振态,$$r$$代表某共振态$$R$$的衰变模式.

Eq.(8)

按引文这个结果其实不是从Eq.(7)得到的,而是必须从配分函数出发,用定义直接计算得到的.

Eq.(12)

这由Eq.(11)按链式求导规则直接得到.

Eq.(13)

这是实际计算中需要的表达式.等式的的第一步由定义直接得到.

等式第二步的第一项和第二项分别是对分子和分母求导的"理想气体部分",而剩余贡献需要再次代入Eq.(12)为第三项.

Higher moments of net-proton multiplicity distributions in heavy ion collisions at chemical freeze-out, by Jinghua Fu, PLB722 (2013) 144
付菁华说这篇文章里面的附录AB都是手算的.

Higher moments of multiplicity fluctuations in a hadron-resonance gas with exact conservation laws, by Jinghua Fu, PRC96, 034905 (2017)
这次没有打(关于粒子衰变部分的)公式,因为用了之前的公式.

Event-by-Event Fluctuations in Heavy Ion Collisionsand the QCD Critical Point by M. Stephanov, K. Rajagopal and E. Shuryak, arXiv:hep-ph/9903292
本文是著名的$$\sigma$$模型的出处.具体讨论在文章的第5部分.

物理思想是按最简单的手征模型,$$\sigma$$场和$$\pi$$场是耦合的,所以前者的分布和质量会直接影响到后者的涨落

Eq.(71)

粗浅的认识是,在统计力学中,比如苏汝铿统计力学P.114 (3.6.5)对于正则系统,那么$$\Omega$$对应自由能$$F$$,几率$$P$$对应配分函数$$F$$,那么形式上就是这个表达式.但是一个重要的区别是,这里$$\Omega$$和$$P$$都是场$$\sigma$$的函数,作为自由度没有被积分掉.

实际上,对所有状态的求和被在某特定微观态(经典态)附近的贡献所主导.特别是,体系处于二级相变,经典态可以被某序参数来描述.在特定的条件下特定的序参数使得指数上"自由能"部分取最小值.换言之,对标量场自由度求和后其主要贡献就是来自于这一项.

进一步,在arXiv:nucl-th/0302013中,具体计算了热力学势,并且讨论了相变从一级变为二级的可能性.另外在Mauricio Hippert的博士论文中指出,按重整化群的基本思想,当接近临界点时,$$\sigma$$场的有效质量趋于零,这时在相变点热力学势函数对场的一阶导数和两阶导数都为零,场变得非常平缓.如果量子力学允许在经典的最小值附近的涨落(和向有势垒阻挡的其他最小值的隧穿),那么在临界点的量子涨落和关联长度的增加是可以从物理上理解的.另一方面,这个讨论不严谨之处在于,对于热力学体系,不管是经典统计还是量子统计,体系的宏观态都处于热力学势的最小值,像写成$$\sigma$$模型(arXiv:hep-ph/9903292)中写出一个概率分布,仅仅是从唯象的角度来得到"标准偏差",但是宏观态本身是不存在概率分布的.

Eq.(76)

首先(75)是严格的结果.(76)就是对其两边对质量平方的求导,左边容易从系综平均的角度的得到,而右边就是求导后代入热力学中粒子数平均值公式.

Eq.(88)

这个表达式就是粒子涨落的最终结果,它应该就是(80)对$$\sigma$$场平均后的结果.

QCD phase diagram and the critical point by Mikhail Stephanov, arXiv:hep-ph/0402115
Eq.(2.1)

参考Peskin场论的(13.16),这里关联函数对距离的依赖其实含有两个因子,一个是指数形式,一个是幂次形式.前者在$$x$$大的时候主导,后者在$$x$$接近零的时候主导,分别对应书中的(13.4)和(13.5).

在后面Fig.10的讨论中,给出了该阶情况下$$\eta=0$$的结论.

在Peskin的书中,临界系数其实通过相互作用和相应的Callan-Symanzik方程的求解得到的,而不是通过具体计算配分函数得到的.这里,文章中指出,对应的配分函数为奇点,这点 能否 从场论的角度来理解呢,其实场论中明确指数热力学系统的配分函数的计算本身就和路径积分的生成函数的计算密切相关.

Eq.(5.2)

再下一页中提到,如果可以计算Eq.(5.2),那么就可以计算可观测量从而和试验比较.但是这个计算是很复杂的,因为不清楚要考虑怎样形式的相互作用量,或者何种相互作用.

在Peskin的书中,关联函数其实也可以通过相互作用和相应的Callan-Symanzik方程的求解得到的.但是这样也存在如果不是在微扰的情况下,用低阶结果来逼近高阶结果,如何求解方程?

Correlated fluctuations near the QCD critical point by Liji Jiang, Pengfei Li, and Huichao  Song arXiv:1512.06164
本文同样是考虑了普通的流体运动方程,把$$\sigma$$模型在"静态"情况下偏离平衡分布的分布函数用到了粒子涨落的计算里.

Non-critical fluctuations of (net) charges and (net) protons from iEBE-VISHNU hybrid model by Jixing Li,Hao-jie Xu, and Huichao Songar aXiv:1707.09742
这个工作考虑的是冻结表明的非平衡项对粒子数涨落的影响.文章具体计算细节在第二部分最后给出.

Eq.(3)

这里构造和广延量数目无关的量,即对泊松分布,那么按定义,这些比值都与粒子数N无关.具体泊松分布的moments的计算可用生成函数,参见这个stackexchange问题.

本文档除了包括推导, 疑惑 外,做 读书重点 的记录 $$$$