Key Notes on Hydrodynamics

Key Notes on Hydrodynamics

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参考文献

 * arXiv:hep-ph/0407360 Concepts of Heavy-Ion Physics by Ulrich Heinz
 * Thesis on Hydrodynamics by Philipe Mota
 * Gravitation and Cosmology by Steven Weinberg
 * A First Course in General Relativity by Bernard F. Schutz
 * Introduction to Relativistic Heavy Ion Collisions by L. P. Csernai
 * arXiv:hep-ph/0609117 Relativistic Dissipative Hydrodynamics: A Minimal Causal Theory by T. Koide, G. S. Denicol, Ph. Mota, T. Kodama
 * arXiv:0901.4355 Early collective expansion: Relativistic hydrodynamics and the transport properties of QCD matter by Ulrich Heinz

初始条件与NEXUS事件发生器
NEXUS是一个微观模型.它通过计算得到初始阶段终了时刻,即在两个原子核对撞后瞬间的能量密度,初始流速度等宏观量.换言之,它为碰撞的下一步宏观模型处理(如流体力学模型,输运模型)提供初始条件. 作为一个微观模型,NEXUS采用了严谨的方式处理多重散射过程.另外,对散射截面与粒子产率,能量守恒均通过场论规则严格的被遵守.模型利用部分子模型计算"可化解"的部分子体系在一个确定的类时曲面上的能动张量,而对"不可化解"的部分子,由于其能量总和并不可忽视,通过弦模型来处理.后者等效于间接的处理"软"的部分子.

强耦合弱粘滞的夸克胶子等离子体
在高能重离子碰撞(如200GeV金金对撞)发生1fm/c后,物理上如何定性描述这时体系的性质.是高温高密强相互作用达到热力学平衡的体系,还是可微扰相互作用渐进独立的体系. 从实验的角度出发.对椭圆流系数v2的测量告诉我们,体系的整体行为和与流体力学模型计算得到的椭圆流的结果符合的很好,体系达到热力学平衡,具有接近理论极限的很小的粘滞系数.同时,格点QCD的计算表明,体系的能量低于理想气体口袋模型给出的值,说明体系具有很强的相互作用.

从理论的角度出发.一个重要的结论如下.当体系的相互作用很强,并不意味着体系的粘滞系数很大,相反,QGP是相互作用很强且同时粘滞系数几乎为零的理想流体.反过来,当体系的相互作用很弱可微扰,体系相应的粘滞系数反而可以很大.数学上的理解如下.一方面,强相互作用意味着夸克胶子等离子体状态方程偏离Steffen-Boltzman分布 $$\varepsilon = 3P$$ 很远,因为Steffen-Boltzman分布是无相互作用理想气体的分布.它体现在能动张量的对角项上(见下面讨论).另一方面,由对称性出发可以得到粘滞度的定义,他们是能动张量偏离各向同性的量度.我们知道,应力张量其实就是能动张量的空间部分(见下面具体讨论),比如体系的剪切压力是应力张量的非对角部分,相应于剪切粘滞度.而体系的体粘滞度虽然体现在能动张量的对角项上,它数学上表现为偏离由状态方程决定的能动张量对角项的程度.从上面的讨论可见,两者在数学上是相互独立的.相互作用很强,能动张量对角项在平衡状态下偏离 $$\varepsilon = 3P$$ 很远,但同时真实的能动张量偏离这个理想状态很少,粘滞度很小.两者的独立性决定了具体情况由具体系统,具体模型决定.

与应力张量的联系
与应力张量(stress tensor)的联系可参见Key Notes on Notions of Energy Momentum Tensor 能动张量的空间部分即应力张量,所以能动张量可以视为应力张量的相对论推广.

能动张量
参见Key Notes on Notions of Energy Momentum Tensor

理想流体的能动张量为


 * $$\begin{align}

T^{\mu\nu}=(\varepsilon+P)u^{\mu}u^{\nu}-Pg^{\mu\nu}=\varepsilon u^{\mu}u^{\nu}-P\Delta^{\mu\nu} \end{align}$$ 其中速度投影算符


 * $$\begin{align}

\Delta^{\mu\nu}=g^{\mu\nu}-u^{\mu}u^{\nu} \end{align}$$ 能动张量的一般形式为


 * $$\begin{align}

T^{\mu\nu}=\varepsilon u^{\mu}u^{\nu}-(P+\Pi+\frac{\Delta^{\rho\sigma}\pi_{\sigma\rho}}{\Delta})\Delta^{\mu\nu}+\Delta^{(\mu\rho}\Delta^{\nu)\sigma}\pi_{\sigma\rho}+2q_{\lambda}\Delta^{\lambda(\mu}u^{\nu)} \end{align}$$

其中 $$\Pi$$ 称为体粘滞系数,对应与速度垂直的对称矩阵的迹, $$\pi^{\mu\nu}$$ 称为剪切粘滞系数,对应与速度垂直的对称矩阵的无迹部分, $$q_{\lambda}$$ 称为热流对应 $$T^{\mu\nu}u_{\nu}$$ 与速度垂直部分.

粘滞和热传导
参见Key Notes on Notions of Energy Momentum Tensor

流体力学方程
参见Key Notes on Equation of Motion of Hydrodynamic Model 流体力学方程即流守恒和能动张量守恒
 * 第一步,流体力学方程无非就是能动张量守恒即其余守恒荷守恒.


 * $$\begin{align}

&\partial_{\mu}N^{\mu}=0 \\ &\partial_{\mu}T^{\mu\nu}=0 \end{align}$$

理想流体的运动方程为


 * $$\begin{align}

&N^{\mu}=nu^{\mu}\\ &T^{\mu\nu}=(\varepsilon+P)u^{\mu}u^{\nu}-Pg^{\mu\nu} \end{align}$$ 从而可以证明等价于


 * $$\begin{align}

&\dot n=-n\theta \\ &\dot u^{\mu}=\frac{\nabla^{\mu}P}{P+\varepsilon}\\ &\dot \varepsilon=-(P+\varepsilon) \theta \end{align}$$

其中利用记号


 * $$\begin{align}

&\nabla^{\mu} \equiv \Delta^{\mu\nu} \partial_{\nu} \\ &\theta \equiv \partial \cdot u\equiv \partial_{\mu}u^{\mu} \\ &\dot f =u^{\mu} \partial_{\mu}f \equiv u\cdot \partial f\equiv Df \end{align}$$

考虑粘滞系数和热流后


 * $$\begin{align}

N^{\mu}=nu^{\mu}+j_{\nu}\Delta^{\mu\nu}\equiv nu^{\mu}+V^{\mu} \end{align}$$ 引入记号


 * $$\begin{align}

\sigma^{\mu\nu}\equiv\frac{1}{2}(\nabla^{\mu}u^{\nu}+\nabla^{\nu}u^{\mu}) \end{align}$$

运动方程等价于


 * $$\begin{align}

&\dot n=-n\theta+V\cdot\dot u-\nabla\cdot V \\ &\dot\varepsilon= -(\varepsilon+P+\Pi) \theta+\pi_{\mu\nu}\sigma^{\mu\nu}+2q\cdot \dot u-\nabla\cdot q\\ &(\varepsilon+P+\Pi) \dot u_{\sigma} = \nabla_{\sigma}(P+\Pi) +\pi_{\mu\sigma}\dot u^{\mu} -\Delta_{\sigma\nu}\nabla_{\mu}\pi^{\mu\nu} +(q\cdot \nabla) u_{\sigma}+q_{\sigma}\theta+\Delta_{\sigma\nu}\dot q^{\nu} \end{align}$$

$$\eta_c=\frac{1}{2}\ln\frac{t+z}{t-z}$$ 参见Key Notes on Equation of Motion of Hydrodynamic Model
 * 第二步,弯曲空间Bjorken $$(x,y,\tau_c,\eta_c)$$ 坐标系中的运动方程形式.其中 $$\tau_c=\sqrt{t^2-z^2}$$ (并非固有时),

参见Key Notes on Equation of Motion of Hydrodynamic Model
 * 第三步,考虑粘滞度后的流体力学运动方程.

在考虑粘滞度后,熵流守恒不再成立,我们必须同时考虑4个运动方程.另外,每个粘滞系数的分量对应一个和具体模型有关的方程. 参见Key Notes on Equation of Motion of Hydrodynamic Model

参见Key Notes on Equation of Motion of Hydrodynamic Model
 * 第四步,用SPH自由度表达

运动方程的等价形式与讨论
参见Key Notes on Equation of Motion of Hydrodynamic Model

快度与赝快度的定义及基本换算
快度的定义为


 * $$\begin{align}

y \equiv \frac{1}{2}\ln\frac{E+p_L}{E-p_L} = \ln\frac{E+p_L}{m_T} \end{align}$$

快度是对纵向速度的度量,当纵向速度为零时,快度为零,当纵向速度为光速是,快度为无穷大.速度另外它比四速度方便,因为快度具有可加性.赝快度的定义是


 * $$\begin{align}

\eta \equiv \frac{1}{2}\ln\frac{|p|+p_L}{|p|-p_L}=-\ln\left[\tan\left(\frac{\theta}{2}\right)\right] \end{align}$$

其中, $$\theta = \arcsin \left(\frac{p_{\bot}}{|p|}\right)$$ .所以赝快度是对角度的度量,它是出射粒子与入射流的夹角.快度与赝快度在高能或者粒子质量为零时等价.与 $$\tau=\sqrt{t^2-z^2}$$ 是在 $$(t,z)$$ 坐标下的双曲线不同,快度与赝快度没有直观的图例关系.

快度是动量的纵向分量的对数形式,类似于快度,我们可以定义"横向快度"如下,


 * $$\begin{align}

y_t \equiv \frac{1}{2}\ln\frac{m_T+p_T}{m_T-p_T} = \ln\frac{m_T+p_T}{m} \end{align}$$

"横向快度"在实验上被用于表达横向动量的关联.

被测量物理量:横动量谱

 * $$\frac{E d^3N}{d p^3} = \frac{d^3N}{2\pi p_T dp_T dy}$$

是协变的.证明如下. 问题相当于需要计算在坐标变换 $$\{|p|,\theta,\phi\} \rightarrow \{p_{\bot},y,\phi\}$$ 下的雅可比行列式.利用快度的定义
 * $$y=\frac{1}{2}\ln\frac{E+p_L}{E-p_L} $$

我们有


 * $$\begin{align}

&E=m_{\bot}\cosh y \\ &p_L=m_{\bot}\sinh y \\ &|p|=(p_{\bot}^2 \cosh ^2y+m^2 \sinh^2y)^{1/2} \\ &\theta = \arcsin \left(\frac{p_{\bot}}{|p|}\right) \end{align}$$ 从而


 * $$\begin{align}

&\frac{\partial \theta}{\partial p_{\bot}}=\frac{1-\sin \theta \frac{\partial |p|}{\partial p_{\bot}}}{p_L} \\ &\frac{\partial \theta}{\partial y}=\frac{-\sin \theta \frac{\partial |p|}{\partial y}}{p_L} \\ &\frac{\partial |p|}{\partial y}=\frac{E p_L}{|p|} \end{align}$$

从此,雅可比行列式为


 * $$\begin{align}

\frac{\partial (|p|,\theta,\phi)}{\partial (p_{\bot},y,\phi)}= \begin{bmatrix} \frac{\partial |p|}{\partial p_{\bot}} & \frac{\partial |p|}{\partial y} & 0 \\ \frac{\partial \theta}{\partial p_{\bot}} & \frac{\partial \theta}{\partial y} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix} =\frac{-\sin \theta \frac{\partial |p|}{\partial y}}{p_L}\frac{\partial |p|}{\partial p_{\bot}}-\frac{1-\sin \theta \frac{\partial |p|}{\partial p_{\bot}}}{p_L}\frac{\partial |p|}{\partial y}  =-\frac{1}{p_L}\frac{\partial |p|}{\partial y}=-\frac{E}{|p|} \end{align}$$

从而


 * $$\begin{align}

\frac{1}{E}dp^3=\frac{1}{E}|p|^2\sin\theta \begin{vmatrix} \frac{\partial (|p|,\theta,\phi)}{\partial (p_{\bot},y,\phi)} \end{vmatrix}dp_{\bot}dy d\phi =\frac{1}{E}|p|^2\sin\theta \frac{E}{|p|}dp_{\bot}dy d\phi=p_{\bot}dp_{\bot}dy d\phi \end{align}$$

如果将公式中的快度 $$y$$ 换成赝快度 $$\eta$$ ,最终的表达式形式比较复杂,但是这同样是与实验数据比较所需要的形式之一.这里我们需要计算变换 $$\{|p|,\theta,\phi\} \rightarrow \{p_{\bot},\eta,\phi\}$$ 的雅可比,


 * $$\begin{align}

&\eta=\frac{1}{2}\ln\frac{|p|+p_L}{|p|-p_L}=-\ln\left[\tan\left(\frac{\theta}{2}\right)\right] \\ &\theta = \arcsin \left(\frac{p_{\bot}}{|p|}\right) \end{align}$$

我们有


 * $$\begin{align}

&|p|=p_{\bot}\cosh \eta \\ &p_L=p_{\bot}\sinh \eta \end{align}$$

以及


 * $$\begin{align}

&d\eta=-\frac{d\theta}{\sin \theta} \\ &\sin \theta = \frac{p_{\bot}}{|p|}= \frac{1}{\cosh\eta} \end{align}$$

相应的雅可比可以写为


 * $$\begin{align}

\frac{\partial (|p|,\theta,\phi)}{\partial (p_{\bot},\eta,\phi)}= \begin{bmatrix} \frac{\partial |p|}{\partial p_{\bot}} & \frac{\partial |p|}{\partial \eta} & \frac{\partial |p|}{\partial \phi} \\ 0 & \frac{\partial \theta}{\partial \eta} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} \cosh \eta & \frac{\partial |p|}{\partial \eta} & 0 \\ 0 & -\sin \theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix} =-\cosh \eta \sin \theta \end{align}$$

从而


 * $$\begin{align}

\frac{1}{E}dp^3=\frac{1}{E}|p|^2\sin\theta \begin{vmatrix} \frac{\partial (|p|,\theta,\phi)}{\partial (p_{\bot},\eta,\phi)} \end{vmatrix}dp_{\bot}d\eta d\phi =\frac{1}{E}p_{\bot}^2 \cosh^3 \eta \sin^2 \theta dp_{\bot}d\eta d\phi = \frac{ p_{\bot}^2 \cosh\eta}{(p_{\bot}^2 \cosh ^2 \eta+m^2)^{1/2}} dp_{\bot}d\eta d\phi \end{align}$$

Bjorken标度不变性
在粒子物理中,Bjorken标度不变性是指当动量转移 $$Q^2$$ 足够大时,物理量的随能量的标度不变性.轻子质子深度非弹性散射的结构函数仅仅是质子动量比例 $$x$$ 的函数,而与动量转移量基本无关,即
 * $$F_{1,2}(x, Q^2) \sim F_{1,2}(x)$$

它是部分子模型的重要基石之一.参见B. Martin和G. Shaw粒子物理P.170.

核核碰撞中的Bjorken模型,是指在高能核核碰撞中,在中心快度区域,物理量随快度的标度不变性,即任何物理量的测量值基本都不是快度 $$y$$ 的函数.

在Bjorken坐标系中速度为零的等价形式
证明Bjorken坐标中速度为零 $$v_{\eta}=\frac{d\eta_c}{d\tau_c}=0$$ 与 $$y=\eta_c$$ 等价

按定义


 * $$\begin{align}

&t=\tau_c \cosh \eta_c \\ &z=\tau_c \sinh \eta_c \\ &v_z=\frac{dz}{dt}=\frac{\sinh \eta_c+\tau_c \cosh \eta_c (d\eta_c/d\tau_c)}{\cosh \eta_c+\tau_c \sinh \eta_c (d\eta_c/d\tau_c)}=\frac{\sinh \eta_c}{\cosh \eta_c}=\frac{z}{t} \end{align}$$

注意上述速度可以用快度表达为


 * $$\begin{align}

&v_z = \frac{z}{t}= \tanh \eta_c= \tanh y \ne 0 \\ &u_z = \frac{dz}{d\tau_c}= \sinh \eta_c= \frac{z}{\tau_c} \end{align}$$

即使在初始时刻也并非处处为零,这是Bjorken图像和朗道模型的重要区别.早期的朗道模型也考虑初始时刻的洛仑兹压缩,但是模型假设了初始静止的速度.

而按快递的定义


 * $$\begin{align}

&y=\frac{1}{2}\ln \frac{E+p_z}{E-p_z}=\frac{1}{2}\ln \frac{1+v_z}{1-v_z} \\ &\eta_c = \frac{1}{2}\ln \frac{t+z}{t-z}=\frac{1}{2}\ln \frac{1+z/t}{1-z/t} \end{align}$$

比较后,即得上述结论.

Bjorken标度不变最简单形式的解
考虑采用 $$\{\tau_c,x,y,\eta_c\}$$ 坐标.其中 $$\tau_c=\sqrt{t^2-z^2}$$ (并非固有时), $$\eta_c=\frac{1}{2}\ln\frac{t+z}{t-z}$$ .在此坐标中流体力学运动方程的形式为???,假设初始时刻,体系的纵向速度等于零 $$v_{\eta}=\frac{d\eta_c}{d\tau_c}=0$$ ,注意到这个条件可以等价的写为 $$y=\eta_c$$ ,具体参见下面证明.由于流体力学方程,任何时刻体系的纵向速度都等于零.由于Bjorken标度不变性,任何物理量都不是快度 $$y$$ 的函数,故而在此情况下任何物理量都仅仅是坐标$$ \eta_c$$ 的函数.实际上,这是物理量仍然是时间的函数,由运动方程知,物理量以 $$\frac{1}{\sqrt{-g}}=\frac{1}{\tau_c}$$ 因子随着时间 $$\tau_c$$ 衰减.

所以在Bjorken标度不变的假定下,速度在$$\{\tau_c,x,y,\eta_c\}$$坐标下为$$(1,0,0,0)$$,而在坐标$$\{t,x,y,z\}$$下为$$(\frac{t}{\tau_c},0,0,\frac{z}{\tau_c})$$

下面我们考虑理想流体的情况下的解.具体如下,考虑理想流体的运动方程与速度垂直部分的方程,它是


 * $$\begin{align}

&u_{\nu}\partial_{\mu}T^{\mu\nu}=0 \\ &\dot{\varepsilon}=-(\varepsilon+P)\theta \end{align}$$

在Bjorken坐标$$\{\tau_c,x,y,\eta_c\}$$下,可以具体计算得到


 * $$\begin{align}

&\theta\equiv\nabla_{\mu}u^{\mu}=\partial_{\mu}u^{\mu}+\Gamma^{\xi}_{\xi\sigma}u^{\sigma}=\Gamma^{\xi}_{\xi\sigma}u^{\sigma}=\frac{1}{\tau_c}\\ &\dot{\varepsilon}=D\varepsilon=u^{\mu}\partial_{\mu}\varepsilon=\partial_{\tau_c}\varepsilon \end{align}$$

代入后得到


 * $$\begin{align}

\dot{\varepsilon}+(\varepsilon+P)\theta=\partial_{\tau_c}\varepsilon+\frac{(\varepsilon+P)}{\tau_c}=0 \end{align}$$

考虑理想气体状态方程


 * $$\begin{align}

\varepsilon=3P \end{align}$$

我们得到


 * $$\begin{align}

\frac{d\tau_c}{\tau_c}=-\frac{d\varepsilon}{\varepsilon+P}=-\frac{d\varepsilon}{4/3\varepsilon} \end{align}$$

方程的解满足


 * $$\begin{align}

\varepsilon(\tau_c)=\varepsilon(\tau_c^0)\left(\frac{\tau_c^0}{\tau_c}\right)^{4/3} \end{align}$$

初始光锥导致的关联
在时刻 $$\tau_f$$ 两个粒子的快度分别为 $$\eta_A, \eta_B$$ ,证明他们相互因果联系的最晚时刻满足 $$\tau \le \tau_f \exp{(-|\eta_A-\eta_B|/2)}$$

我们理解当两个粒子 $$A, B$$  处于同一事件点,则他们具有因果联系,如果我们考虑直角坐标系 $$z-t$$, $$\tau$$ 为常数的曲面与时间轴的截距为 $$\tau$$ .在最终时刻 $$\tau=\tau_f $$,两个粒子都处于这曲面之上.考虑在过去某一事件点 $$\tau_i$$ ,两个粒子重合,则 $$\Delta\tau=\tau_f-\tau_i $$取得最小值的条件为两个粒子都以光速运动,这样两个粒子的运动轨迹与时间轴的夹角为最大的45度,从而初始时刻 $$\tau_i$$ 取最大可能值,在此时间之后,两个粒子不可能有因果关联. 我们仅仅考虑一维情况,假设 $$z_A>z_B \to \eta_A>\eta_B$$ ,这时光锥关系为


 * $$\begin{align}

&t-t_A=z-z_A \\ &t-t_B=-(z-z_B) \end{align}$$

得到


 * $$\begin{align}

&t=\frac{(z_B-z_A)+(t_B+t_A)}{2} \\ &z=\frac{(z_B+z_A)+(t_B-t_A)}{2} \end{align}$$

以及快度的定义


 * $$\begin{align}

&t_A=\tau_f \cosh \eta_A\\ &t_B=\tau_f \cosh \eta_B\\ &z_A=\tau_f \sinh \eta_A \\ &z_B=\tau_f \sinh \eta_B \end{align}$$

代入即得


 * $$\begin{align}

\tau = \sqrt{t^2-z^2} =\sqrt{(t_Bt_A-z_Bz_A)+(z_Bt_A-z_At_B)} =\tau_f\sqrt{\cosh(\eta_A-\eta_B)-\sinh(\eta_A-\eta_B)} =\tau_f \exp[(\eta_B-\eta_A)/2] \end{align}$$

综合考虑另一种情况 $$z_A \sim 0.3 \text{GeV} ( m_{\pi} = 0.14 \text{GeV} ) \end{align}$$

因为


 * $$\begin{align}

&E=m_{T}\cosh y \\ &E|_{y\sim 0}=m_{T}\cosh y|_{y\sim 0}=m_T \end{align}$$

从而


 * $$\begin{align}

\frac{dN_{total}}{dy}|_{y\sim 0} \sim \frac{dN_{ch}}{dy}|_{y\sim 0} \times 2 \end{align}$$

其中 $$2 = \frac{1}{2} \times 3 + etc $$ 因为主要是 $$\pi^+, \pi^-$$ 和不带电的 $$\pi^0$$.从而我们得到


 * $$\begin{align}

\frac{dE}{dy}|^{p+p}_{y\sim 0}=\frac{dN_{total}}{dy}|^{p+p}_{y\sim 0}=\frac{dN_{total}}{dy}|^{p+p}_{y\sim 0}\sim 1.8 \text{GeV} \end{align}$$

初始能量密度一般估计为


 * $$\begin{align}

e_0 \sim 1-10 \text{GeV/fm}^3 \end{align}$$

金金碰撞入射快度, 补完 这里!! 实验数据
 * $$\pi $$介子总数 $$\sim 1000 \times 3$$
 * $$\frac{dN_{ch}}{d\eta}|_{\eta\sim 0} \sim 600 $$

初始能量密度一般估计为


 * $$\begin{align}

e_0 \sim 1-10 \text{GeV/fm}^3 \end{align}$$

系统总能量

能量在 $$txyz$$ (实验室)坐标与 $$\tau xy\eta$$ 坐标中是完全不同的量,数值上也可以相差很大.注意这里讨论的坐标参数的改变与由洛仑兹变换联系的惯性坐标系之间的转换是两码事.后者,能量数值上的变换是因为洛仑兹加速,比如当赝快度 $$\eta$$ 或者快度 $$y$$ 增加时,能量呈指数形式增加,这是因为由定义


 * $$\begin{align}

E=m_{\bot}\cosh y \sim \frac{1}{2}m_0 e^{y} \end{align}$$

补完 这里!!

快度计算

考虑每个核子$$i$$在碰撞前的动量和能量
 * $$\begin{align}

& p^z_i = \pm \sqrt{s_{\rm NN}}/2 \\ & e_i = \sqrt{ m_p^2 + p_z^2 } \end{align}$$ 其中动量的符号由入射方向决定.由上面表达式,可以得到快度为

Y_i = \tanh^{-1} \frac{p_z}{\sqrt{ m_p^2 + p_z^2 }} = \tanh^{-1} \frac{1}{\sqrt{ 4\frac{m_p^2}{s_{\rm NN}} + 1 }} $$ 在LHC的铅铅碰撞的条件下($$\sqrt{s_{\rm NN}}$$ = 2760GeV)我们得到$$Y_i \sim 8$$,这基本上对应旁观者的最大的快度.

强子冻结模型和SPH表示
单粒子分布可以用SPH粒子表达为


 * $$\begin{align}

E\frac{d^3N}{dp^3}=\sum_j \frac{\nu_j n_{j\mu}p^{\mu}}{s_j|n_{j\rho}u_j^{\rho}|}\theta(u_{j\delta}p^{\delta})f(u_{j\omega}p^{\omega}) \end{align}$$

其中, $$\theta$$ 是阶梯函数.因为 $$\frac{\nu_j}{s_j}=V_j$$ 是第 $$j$$ 个SPH粒子的体积,换言之,它是在随动系中四维冻结曲面 $$\sigma_{j\mu}$$ 的时间分量.从而,我们有 $$\frac{\nu_j}{s_j}={\sigma}_{j\mu}u_j^{\mu} $$,这是因为等式的左边和右边都是洛仑兹标量.注意到实际上 $$n_{j\mu}$$ 是冻结曲面 $$\sigma_{j\mu}$$ 的方向.在代码中,实际上不必对 $$n_{j\mu}$$ 进行归一化,因为它的模在分子分母中消去.

被测量物理量: 椭圆流和HBT
椭圆流$$v_2$$的定义是在横截面上粒子分布傅立叶展开的第二个系数.


 * $$\begin{align}

\frac{E d^3N}{d p^3} = \frac{d^3N}{ p_T dp_T dyd\phi} =\frac{1}{2\pi}\frac{d^2N}{ p_T dp_T dy}(1+2v_1\cos(\phi-\Psi_R)+2v_2\cos(2[\phi-\Psi_R])+\cdots) \end{align}$$

一般的


 * $$\begin{align}

v_n\equiv \langle \cos (n[\phi-\Psi_R])\rangle \end{align}$$