Research Paper Notes on Back to Back Correlation

Research Paper Notes on Back to Back correlation

本文档除了包括推导, 疑惑 外,做 读书重点 的记录

参考文献

 * arXiv:hep-ph/9612331, Heavy Ion Phys.4, 233, (1996) Strangeness Correlation: A Clue to Hadron Modification in Dense Matter? M. Asakawa and T. Csörgö
 * arXiv:nucl-th/9810034, Phys.Rev.Lett. 83, 4013 (1999) Squeezed Correlations and Spectra for Mass-Shifted Bosons, M. Asakawa, T. Csorgo, M. Gyulassy
 * MS dissertation, Correlação Hadrônica Comprimida para Pares $$K^+K^-$$ em Colisões de Ions Pesados Relativísticos, Danuce Marcele Dudek

arXiv:hep-ph/9612331 Strangeness Correlation: A Clue to Hadron Modification in Dense Matter
P.235 (8) 这几乎是量子场论的一个习题,但是结果简单而非平庸.质量的变化,在无相互作用质量不变的情况下,将非平庸的导致哈密顿的产生消灭算符"非对角"项. 用类似F. Mandle QFT的P.45 (3.15)完全类似的方法,可以给出证明 证明的关键是,其中与 $$a^+a^+, aa$$ 正比的项,其系数正比于 $$(-\omega^2-c^2|{\mathbf k}|^2+c^2(\mu^2+m_1^2))=c^2m_1^2$$ ,有非平庸贡献. 利用


 * $$\begin{align}

&\phi(x)=\phi^+(x)+\phi^-(x) \\ &\phi^+(x)=\sum_k\left( \frac{\bar h c^2}{2V \omega_k}\right)^{1/2}a(k)e^{-ikx} \\ &\phi^-(x)=\sum_k\left( \frac{\bar h c^2}{2V \omega_k}\right)^{1/2}a^+(k)e^{ikx} \\ &k^0=\frac{1}{c}\omega_k=(\mu^2+{\mathbf k}^2)^{1/2} \\ &E=\hbar\omega_k \\ &x^0=ct \\ &k^0x^0=\omega_kt \end{align}$$

代入


 * $$\begin{align}

H=\int d^3x \frac{1}{2}\left[ \frac{1}{c^2}\dot\phi^2+(\nabla\phi)^2+(\mu^2+m_1^2)\phi^2\right] \end{align}$$

得到


 * $$\begin{align}

&H=\int d^3x \frac{1}{2}\left[ A+B+C \right] \\ &A=\frac{1}{c^2}\dot\phi^2=\frac{1}{c^2}\left[\sum_k \left(\frac{\hbar \omega_k c^2}{2V}\right)^{1/2}a(k)e^{-ikx}(-i)+\left(\frac{\hbar \omega_k c^2}{2V}\right)^{1/2}a^+(k)e^{+ikx}(i)\right]^2 \\ &B=(\nabla\phi)^2=\left[\sum_k \left(\frac{\hbar c^2}{2\omega_kV}\right)^{1/2}a(k)e^{-ikx}(i{\mathbf k})+\left(\frac{\hbar  c^2}{2\omega_kV}\right)^{1/2}a^+(k)e^{+ikx}(-i{\mathbf k})\right]^2 \\ &C=\mu^2\phi^2=(\mu^2+m_1^2)\left[\sum_k \left(\frac{\hbar c^2}{2\omega_kV}\right)^{1/2}a(k)e^{-ikx}+\left(\frac{\hbar  c^2}{2\omega_kV}\right)^{1/2}a^+(k)e^{+ikx}\right]^2 \end{align}$$

其中交叉项得到对角结果


 * $$\begin{align}

\sum_k \hbar\omega_k(a^+(k)a(k)+\frac{1}{2})+\frac{m_1^2}{2}\sum_k \frac{\hbar c^2 }{\omega_k}(a^+(k)a(k)+\frac{1}{2}) \end{align}$$

而对于非交叉项并不相互抵消,下面仅仅以 $$a(k)a(k')$$ 为例子,给出证明.与 $$a(k)a(k')$$ 正比的一共是三项之和,它们是


 * $$\begin{align}

&\int \frac{1}{2}d^3x \sum_{k,k'} a(k)a(k') e^{-i(k+k')x}(-i)^2 \frac{1}{c^2}\left(\frac{\hbar \omega_k\omega_{k'} c^2}{2V\omega_k^{1/2}\omega_{k'}^{1/2}} \right) \\ &+\int \frac{1}{2}d^3x \sum_{k,k'} a(k)a(k') e^{-i(k+k')x}(i)^2 \left(\frac{\hbar c^2}{2V\omega_k^{1/2}\omega_{k'}^{1/2}}{\mathbf k}\cdot{\mathbf k'} \right)  \\ &+\int \frac{1}{2}d^3x \sum_{k,k'} a(k)a(k) e^{-i(k+k')x} \left(\frac{\hbar c^2}{2V\omega_k^{1/2}\omega_{k'}^{1/2}}(\mu^2+m_1^2) \right) \\ &=\int \frac{1}{2}d^3x \sum_{k,k'} a(k)a(k') e^{-i(k+k')x}\left(\frac{\hbar }{2V\omega_k^{1/2}\omega_{k'}^{1/2}} (-\omega_k^2-c^2{\mathbf k}\cdot{\mathbf k'}+c^2(\mu^2+m_1^2)) \right) \\ &= \sum_{k,k'} \frac{1}{2}[\int d^3xe^{-i(k+k')x}]a(k)a(k') \left(\frac{\hbar }{2V\omega_k^{1/2}\omega_{k'}^{1/2}} (-\omega_k\omega_{k'}-c^2{\mathbf k}\cdot{\mathbf k'}+c^2(\mu^2+m_1^2)) \right) \\ &= \sum_{k,k'}\frac{1}{2} [\int \frac{1}{V}d^3xe^{-i(k+k')x}]a(k)a(k') \left(\frac{\hbar }{2\omega_k^{1/2}\omega_{k'}^{1/2}} (-\omega_k\omega_{k'}-c^2{\mathbf k}\cdot{\mathbf k'}+c^2(\mu^2+m_1^2)) \right) \\ &= \sum_{k,k'} \frac{1}{2}\delta({{\mathbf k},{\mathbf -k'} })a(k)a(k') \left(\frac{\hbar }{2\omega_k^{1/2}\omega_{k'}^{1/2}} (-\omega_k\omega_{k'}-c^2{\mathbf k}\cdot{\mathbf k'}+c^2(\mu^2+m_1^2)) \right) \\ &=\sum_{k} a({\mathbf k})a({-\mathbf k})\frac{1}{2}e^{2\omega_k t} \left(\frac{\hbar }{2\omega_k} (-\omega_k^2+c^2|{\mathbf k}|^2+c^2(\mu^2+m_1^2)) \right) \\ &=\sum_{k} a({\mathbf k})a({-\mathbf k})\frac{1}{2}e^{2\omega_kt} \left(\frac{\hbar }{2\omega_k} (-\omega_k^2+c^2|{\mathbf k}|^2+c^2(\mu^2)) \right)  +\frac{\hbar c^2m_1^2}{4 }\sum_{k} a({\mathbf k})a({-\mathbf k})e^{2\omega_kt} \left(\frac{1  }{\omega_k}  \right) \\ &=\frac{\hbar c^2m_1^2}{4 }\sum_{k} a({\mathbf k})a({-\mathbf k})e^{2\omega_kt} \left(\frac{1 }{\omega_k}  \right) \end{align}$$

其中利用了


 * $$\begin{align}

&\frac{1}{V}\int d^3x e^{i(k'-k)x}=\delta_{\vec k, -\vec k'}e^{i(\omega_k-\omega_{k'})t}=\delta_{\vec k, -\vec k'}\\ &\frac{1}{V}\int d^3x e^{i(k'+k)x}(\omega_k\omega_{k'}-{\mathbf k}\cdot{\mathbf k'}-\mu^2)=\delta_{\vec k, -\vec k'}e^{i(\omega_k+\omega_{k'})t}(\omega_k^2-|{\mathbf k}|^2-\mu^2)=0 \end{align}$$

到这一步似乎已经到了绝路,即哈密顿量非对角部分与文献中公式(8)相差一个因子,但是注意到,如果这时引入时间依赖关系


 * $$\begin{align}

&a(k)\Rightarrow a(k)e^{i\omega_k t} \\ &a^+(k)\Rightarrow a^+(k)e^{-i\omega_k t} \end{align}$$

上述代换,并不会改变产生消灭算符之间的对易关系,并不会改变原来对角部分哈密顿量的形式,但是非对角部分哈密顿量则可以表达为(8)式.

P.235 (9-12) 通过Bogoliubov变换,


 * $$\begin{align}

&a_k=c_kb_k+s_{-k}^*b_{-k}^+\\ &a_k^+=c_k^*b_k^++s_{-k}b_{-k}\\ &c_k \equiv \cosh(r_k)\\ &s_k \equiv \sinh(r_k) \end{align}$$

对角化上述含非对角元的哈密顿量. Danuce硕士论文中提到,式子有错误,但是很奇怪,演算结果表明,下述两个表达式都是正确的 第一个表达式来自Phys.Rev.Lett. 83, 4013 (1999)中的公式(11)


 * $$\begin{align}

r_k=\frac{1}{2}\log\left[\frac{\omega_k}{\Omega_k}\right] \end{align}$$

其中定义


 * $$\begin{align}

&\omega_k=\sqrt{\mu^2+k^2} \\ &\Omega_k=\sqrt{\mu^2+m_1^2+k^2}=\sqrt{\omega^2+k^2} \end{align}$$

第二个表达式即本文(10)


 * $$\begin{align}

\tanh 2r_k=\frac{-m_1^2}{2\omega_k^2+m_1^2} \end{align}$$

下面证明两个表达式等价.首先指出,证明的关键是不要忘了原先为对角形式的无相互作用哈密顿在Bogoliubov变换下也会产生非对角元,如果粗心忘了这一项,则无法拼凑出文中结果. 将文中(9)代入(8)后产生三项,分别与 $$b^+(k)b^+(-k), b(k)b(-k)$$ 和 $$b^+(k)b(k)$$ 成正比.变换需要取适当的 $$r_k$$ 使得前两项系数为零,直接代数运算得到


 * $$\begin{align}

&H=H_0+H_1=\sum_k \frac{m_1^2}{4\omega_k}\left[F_1(k)b^+(k)b^+(-k)+F_1(-k)b(k)b(-k)+F_2(k)b^+(k)b(k)\right] \\ &F_1(k)=\sinh r_{k}\sinh r_{-k}+2\cosh r_{k}\sinh r_{k}(1+\frac{2\omega_k^2}{m_1^2})+\cosh r_{k} \cosh r_{-k} \\ &F_2(k)=4\sinh r_{-k}\cosh r_{k}+2(\sinh r_{-k}\sinh r_{-k}+\cosh r_{k}\cosh r_{k})(1+\frac{2\omega_k^2}{m_1^2}) \end{align}$$

从而由非对角项的对称性,对角化的条件是 $$r_k$$ 满足方程


 * $$\begin{align}

F_1(k)=0 \end{align}$$

由于动量 $$k$$ 仅仅以 $$k^2$$ 的形式进入方程,显然 $$r_k=r_{-k}$$ ,这样很大程度上简化了求解


 * $$\begin{align}

&F_1(k)=\sinh r_{k}\sinh r_{k}+2\cosh r_{k}\sinh r_{k}(1+\frac{2\omega_k^2}{m_1^2})+\cosh r_{k} \cosh r_{k} \\ &=\sinh r_{k}\sinh r_{k}+\cosh r_{k} \cosh r_{k}+2\cosh r_{k}\sinh r_{k}(1+\frac{2\omega_k^2}{m_1^2}) \\ &=\cosh (r_{k}+r_{k})+\sinh 2r_{k}(1+\frac{2\omega_k^2}{m_1^2})=0 \end{align}$$

从而


 * $$\begin{align}

\tanh 2r_k=\frac{-m_1^2}{2\omega_k^2+m_1^2} \end{align}$$

此即(10),这一结果可以进一步化简


 * $$\begin{align}

&\frac{e^{2r_k}-e^{-2r_k}}{e^{2r_k}+e^{-2r_k}} =\frac{-m_1^2}{2\omega_k^2+m_1^2} \\ &({e^{2r_k}-e^{-2r_k}})({2\omega_k^2+m_1^2}) ={-m_1^2}({e^{2r_k}+e^{-2r_k}}) \\ & ({2\omega_k^2+2m_1^2})e^{2r_k} ={2\omega_k^2}e^{-2r_k} \\ &e^{4r_k} =\frac{\omega_k^2}{\omega_k^2+m_1^2} \\ &r_k=\frac{1}{2}\log\left[\frac{\omega_k}{\sqrt{\omega_k^2+m_1^2}}\right] \end{align}$$

此即PRL中(11) 将 $$r_k$$ 的表达式 $$e^{2r_k}=\frac{\omega_k}{\Omega_k}$$ 代回 $$F_2(k)$$ 得到


 * $$\begin{align}

&F_2(k)=4\sinh r_{k}\cosh r_{k}+2(\sinh r_{k}\sinh r_{k}+\cosh r_{k}\cosh r_{k})(1+\frac{2\omega_k^2}{m_1^2}) \\ &=2\sinh 2r_{k}+2\cosh 2r_{k}(1+\frac{2\omega_k^2}{m_1^2}) \\ &=(e^{2r_k}-e^{-2r_k})+(e^{2r_k}+e^{-2r_k})\frac{2\omega_k+m_1^2}{m_1^2} \\ &=(\frac{\omega_k}{\Omega_k}-\frac{\Omega_k}{\omega_k})+(\frac{\omega_k}{\Omega_k}+\frac{\Omega_k}{\omega_k})\frac{2\omega_k+\Omega_k^2-\omega_k^2}{\Omega_k^2-\omega_k^2} \\ &=\frac{4\Omega_k\omega_k}{m_1^2} \end{align}$$

从而哈密顿被对角化,且能表达为简洁的形式(12)


 * $$\begin{align}

H=\sum_kF_2(k)\frac{m_1^2}{4\omega_k}b^+(k)b(k)=\sum_k\Omega_kb^+(k)b(k) \end{align}$$

P.236 (17) 读书重点.

文中在这里提到,由于有效体积效应,我们得到关于动量的$$\delta$$函数,两体关联函数仅仅对向前和背对背方向有非平庸的值.按Gastão的提示,我们可以理解如下.以BHT效应为例,源的空间分布在最后的两粒子关联中表现出来.即便是从最简单的量子力学的角度,如Gyulassy一文的(3.2)一式(参见相应笔记),也涉及到对源的积分.如果把其中的源的积分替换为对常数函数全空间积分,我们自然的得到2,与本文一致.

注意到在本文对于背对背关联的讨论中,我们没有明显的涉及到源的存在,计算系综平均值时,我们也不涉及到明显对空间的积分,实际上,体系的哈密顿并不包含源.这个情况可以被视为体系为空间均匀且无限大的情况.在Sinyukov的推广中,首先引入等时的空间积分,然后把该积分转换到冻结曲面上,这时其实已经把源的时空依赖性唯象的包含在内了.有限体积效应体现在对时空依赖的冻结表面的积分.

当关联用SPH自由度来表达时,我们看到每个因子是对SPH粒子的求和,这对应于对源的空间坐标(即冻结曲面表面)的积分.从表面上看,这似乎给人以两个粒子来源于同一空间点的假想.实际上,从物理上分析,HBT关联在动量空间的宽度对应于源的大小,从数学上,由于分子是两个因子的乘积,每个因子涉及对不同源坐标的积分,所以对应于終态粒子来自于两个不同的源空间坐标.

arXiv:nucl-th/9810034 Squeezed Correlations and Spectra for Mass-Shifted Bosons
P.2 (9) 这正是SPheRIO计算两粒子HBT关联所采用的公式,可以对比Yogiro文章计算HBT效应时用到的(120-22).

P.2 (18-19) 均匀体系两粒子关联公式.

证明思路参考Danuce的硕士论文.我们先把关联函数用热介质中的产生消灭算符来表达,使得所有涉及到的项都具有$$\langle|b^+_pb_{p'}|\rangle$$的形式.这时,我们把无限均匀体系的密度矩阵代入,即得(18-19),其中自然的产生动量$$\delta$$函数.如果我们代入Sinyukov的Winger函数的表达式,即得到非均匀有限体系的结果(22-23).

我们先把两体关联函数利用Wick定理写为
 * $$\begin{align}

\langle |a^+_{p_1}a^+_{p_2}a_{p_2}a_{p_1}|\rangle = \langle |a^+_{p_1}a_{p_1}|\rangle\langle |a^+_{p_2}a_{p_2}|\rangle +\langle |a^+_{p_1}a_{p_2}|\rangle\langle |a^+_{p_2}a_{p_1}|\rangle +\langle |a^+_{p_1}a^+_{p_2}|\rangle\langle |a_{p_2}a_{p_1}|\rangle \end{align}$$ 接着逐项写出,并代入Bogoliubov变换,我们仅以一项为例,


 * $$\begin{align}

&\langle |a^+_{p_1}a_{p_2}|\rangle \\ &=\langle |(c_{p_1}^*b_{p_1}^++s_{-p_1}b_{-p_1})(c_{p_2}b_{p_2}+s_{-p_2}^*b_{-p_2}^+)|\rangle\\ &=\langle |c_{p_1}^*c_{p_2}b_{p_1}^+b_{p_2}|\rangle +\langle |c_{p_1}^*s_{-p_2}^*b_{p_1}^+b_{-p_2}^+|\rangle +\langle |s_{-p_1}c_{p_2}b_{-p_1}b_{p_2}|\rangle +\langle |s_{-p_1}s_{-p_2}^*b_{-p_1}b_{-p_2}^+|\rangle\\ &=\langle |c_{p_1}^*c_{p_2}b_{p_1}^+b_{p_2}|\rangle +\langle |s_{-p_1}s_{-p_2}^*b_{-p_1}b_{-p_2}^+|\rangle\\ &=\langle |c_{p_1}^*c_{p_2}b_{p_1}^+b_{p_2}|\rangle +\langle |s_{-p_1}s_{-p_2}^*(b_{-p_2}^+b_{-p_1}+1)|\rangle\\ &=c_{p_1}^*c_{p_2}\langle |b_{p_1}^+b_{p_2}|\rangle +s_{-p_1}s_{-p_2}^*\left(\langle |b_{-p_2}^+b_{-p_1}|\rangle+1\right)\\ \end{align}$$

注意到四项中仅有两项不为零.把所有的项都写出来得到下面的结果


 * $$\begin{align}

&R(p_1,p_2)\equiv C_2(p_1,p_2) =1+\frac{|G_c(p_1,p_2)|^2}{G_c(p_1,p_1)G_c(p_2,p_2)}+\frac{|G_s(p_1,p_2)|^2}{G_c(p_1,p_1)G_c(p_2,p_2)}\\ &G_c(p_1,p_2)=\sqrt{\omega_{p_1}\omega_{p_2}}\left[c_{p_1}^*c_{p_2}\langle |b_{p_1}^+b_{p_2}|\rangle+s_{-p_1}s_{-p_2}^*(\langle |b_{-p_2}^+b_{-p_1}|\rangle+1)\right] \\ &G_s(p_1,p_2)=\sqrt{\omega_{p_1}\omega_{p_2}}\left[s_{-p_1}^*c_{p_2}\langle |b_{-p_1}^+b_{p_2}|\rangle+c_{p_1}s_{-p_2}^*(\langle |b_{-p_2}^+b_{p_1}|\rangle+1)\right] \end{align}$$

对于无限热密体系,我们可以明显的利用密度矩阵的表达式


 * $$\begin{align}

\hat{\rho}=\frac{1}{Z}\exp\left\{-\frac{1}{T}\frac{V}{(2\pi)^3}\int d\vec{p}\Omega_pb_p^+b_p\right\} \end{align}$$

从而系综平均得到粒子数平均和$$\delta$$符号


 * $$\begin{align}

&\langle |b_{p_1}^+b_{p_2}|\rangle = \text{Tr}(\hat{\rho} b_{p_1}^+b_{p_2})=\frac{V}{(2\pi)^3}n_{p_1}\delta_{\vec{p}_1,\vec{p}_2}\\ &n_p=[\exp(\Omega_p/T -1)]^{-1}\\ &\Omega_p= \sqrt{m_*^2+{\vec p}^2} \end{align}$$

综合所有的项,得到


 * $$\begin{align}

&C_2^{HBT}(p,p')=2\delta(p-p')\\ &C_2^{BBC}(p,p')=\delta(p+p')\left(1+\frac{|s_pc_p^*n_p+s_{-p}c_{-p}^*(n_{-p}+1)|^2}{n_1(p)n_1(-p)}\right) \end{align}$$

其中


 * $$\begin{align}

&c_p = \cosh(r_p)\\ &s_p = \sinh(r_p)\\ &r_p =\frac{1}{2}\log\left[\frac{\omega_p}{\Omega_p}\right]\\ &\omega_p = \sqrt{m^2+{\vec p}^2}\\ &\Omega_p= \sqrt{m_*^2+{\vec p}^2}\\ &n_p=[\exp(\Omega_p/T -1)]^{-1}\\ &n_1(p)=|c_p|^2n_p+|s_k|^2(n_{-p}+1) \end{align}$$

P.3 (22-23) 这是按Sinyukov思路推广的得到的两粒子关联公式在凝结曲面上的形式.在前面得到两粒子关联函数中,我们把两点格林函数表达为维格纳函数在冻结曲面上的积分.我们得到


 * $$\begin{align}

&G_c(1,2) \equiv G_c(p_1,p_2)=\frac{1}{(2\pi)^3}\int_{\sigma}d\sigma_{\mu}P_{1,2}^{\mu}e^{iq_{1,2}\cdot x} \left[|c_{1,2}|^2n_{1,2}+|s_{-1,-2}|^2(n_{-1,-2)}+1)\right] \\ &G_s(1,2) \equiv G_s(p_1,p_2)=\frac{1}{(2\pi)^3}\int_{\sigma}d\sigma_{\mu}P_{1,2}^{\mu}e^{2iP_{1,2}\cdot x} \left[s_{-1,2}^*c_{2,-1}n_{-1,2}+c_{1,-2}s_{-2,1)}^*(n_{1,-2}+1)\right] \end{align}$$

其中


 * $$\begin{align}

&P_{i,j}=(p_i+p_j)/2 \\ &q_{i,j}=(p_i-p_j)\\ &\omega_i=p_i \cdot u\\ &\tilde{p}_i= p_i - \omega_i u \\ &\Omega_i=\sqrt{m_*^2-\tilde{p}_i \cdot \tilde{p}_i}\\ &p_i^*=\Omega_i u+ \tilde{p_i}\\ &P^*_{i,j}=(p_1^*+p_2^*)/2\\ \end{align}$$

其中 $$i=1,2$$, $$u$$ 为流体四速度, $$\tilde{p}$$ 为粒子动量与四速度垂直的部分.我们可以进而定义


 * $$\begin{align}

&p_{\pm i}=\omega u\pm \tilde{p}_{i}\\ &p_{\pm i}^*=\Omega u\pm \tilde{p}_{i} \end{align}$$

其中 $$p_{-1}, p_{-2}$$ 是把动量$$p_1, p_2$$中与四速度垂直部分反演得到的动量.从这里开始,我们把它们统一的写为 $$p_i$$ 注意到其中 $$i=\pm 1, \pm 2$$. 利用上面的记号,我们可以进一步定义


 * $$\begin{align}

&c_{i,j} = \cosh\left[r(i,j)\right]\\ &s_{i,j} = \sinh\left[r(i,j)\right]\\ &r(i,j) =\frac{1}{2}\log\left[\frac{P_{i,j} \cdot u}{P^*_{i,j}\cdot u}\right]\\ &n_{i,j} =[\exp((P^*_{i,j}\cdot u)/T -1)]^{-1} \end{align}$$

其中的量的定义采用与之前相同的形式,


 * $$\begin{align}

&P_{i,j}=(p_i+p_j)/2 \\ &P^*_{i,j}=(p^*_i+p^*_j)/2 \end{align}$$

实际上,记号 $$c_{i,j}, n_{i,j}$$ 显得多余,因为它们仅仅和与四速度平行的部分有关,显然下标中的负号对表达式没有任何影响.换言之


 * $$\begin{align}

&c_{i,j} = c_{|i|,|j|}\\ &s_{i,j} = s_{|i|,|j|}\\ &r(i,j) =r_{|i|,|j|}\\ &n_{i,j} =n_{|i|,|j|} \end{align}$$

在上面的过程中,我们主要是利用维格纳函数的表达式,另外对公式的其余系数也进行协变形式的推广.注意到对冻结曲面的积分如果是等时的对空间的积分,那么上面结果自然的回到无限体系动量$$\delta$$函数的形式.

需要注意到,上述维格纳函数可以近似的用平衡条件下体系的分布函数近似,但是这样的近似仅仅在iliangge动量$$p_1,p_2$$很接近的条件下才正确.正是因为这个原因,在讨论背对背关联的时候,我们必须先进行Bogoliubov变换后,才利用Sinyukov公式,如果反过来,那么我们将在两个动量差别很大的时候运用上述公式,对应的维格纳函数不能用平衡态的分布函数取代.

P.4 (33-35) 上述推导仅仅适用粒子不带守恒荷的情况,这时粒子的反粒子就是自身.如果粒子携带守恒荷,Bogoliubov变换将联系粒子与反粒子,即
 * $$\begin{align}

&a_k=c_kb_k+s_{-k}^*\bar{b}_{-k}^+\\ &a_k^+=c_k^*b_k^++s_{-k}\bar{b}_{-k}\\ &\bar{a}_k=\bar{c}_kb_k+s_{-k}^*b_{-k}^+\\ &\bar{a}_k^+=\bar{c}_k^*b_k^++s_{-k}b_{-k}\\ &c_k \equiv \cosh(r_k)\\ &s_k \equiv \sinh(r_k) \end{align}$$ 在原始哈密顿量中,需要添加相应反粒子的项,总的项数增加一倍.将上述Bogoliubov变换代入,所有关系式的数目翻倍,但由于对称性,对角化条件保持不变,所以,最终结果只需要在原先对角化的哈密顿量中对称的添加反粒子的贡献即可.对于两粒子关联,我们需要在最初的表达式中明确我们需要计算全同粒子的两粒子关联函数.


 * $$\begin{align}

\langle |a^+_{p_1}a^+_{p_2}a_{p_2}a_{p_1}|\rangle = \langle |a^+_{p_1}a_{p_1}|\rangle\langle |a^+_{p_2}a_{p_2}|\rangle +\langle |a^+_{p_1}a_{p_2}|\rangle\langle |a^+_{p_2}a_{p_1}|\rangle +\langle |a^+_{p_1}a^+_{p_2}|\rangle\langle |a_{p_2}a_{p_1}|\rangle \end{align}$$

还是粒子反粒子的两粒子关联函数


 * $$\begin{align}

\langle |a^+_{p_1}\bar{a}^+_{p_2}\bar{a}_{p_2}a_{p_1}|\rangle = \langle |a^+_{p_1}a_{p_1}|\rangle\langle |\bar{a}^+_{p_2}\bar{a}_{p_2}|\rangle +\langle |a^+_{p_1}\bar{a}_{p_2}|\rangle\langle |\bar{a}^+_{p_2}a_{p_1}|\rangle +\langle |a^+_{p_1}\bar{a}^+_{p_2}|\rangle\langle |\bar{a}_{p_2}a_{p_1}|\rangle \end{align}$$

对于全同粒子的关联函数,我们利用bogoliubov变换,不难看到
 * $$\begin{align}

&\langle |a^+_{p_1}a_{p_2}|\rangle \\ &=\langle |(c_{p_1}^*b_{p_1}^++s_{-p_1}\bar{b}_{-p_1})(c_{p_2}b_{p_2}+s_{-p_2}^*\bar{b}_{-p_2}^+)|\rangle\\ &=\langle |c_{p_1}^*c_{p_2}b_{p_1}^+b_{p_2}|\rangle +\langle |c_{p_1}^*s_{-p_2}^*b_{p_1}^+\bar{b}_{-p_2}^+|\rangle +\langle |s_{-p_1}c_{p_2}\bar{b}_{-p_1}b_{p_2}|\rangle +\langle |s_{-p_1}s_{-p_2}^*\bar{b}_{-p_1}\bar{b}_{-p_2}^+|\rangle\\ &=\langle |c_{p_1}^*c_{p_2}b_{p_1}^+b_{p_2}|\rangle +\langle |s_{-p_1}s_{-p_2}^*\bar{b}_{-p_1}\bar{b}_{-p_2}^+|\rangle\\ &=\langle |c_{p_1}^*c_{p_2}b_{p_1}^+b_{p_2}|\rangle +\langle |s_{-p_1}s_{-p_2}^*(\bar{b}_{-p_2}^+\bar{b}_{-p_1}+1)|\rangle\\ &=c_{p_1}^*c_{p_2}\langle |b_{p_1}^+b_{p_2}|\rangle +s_{-p_1}s_{-p_2}^*\left(\langle |\bar{b}_{-p_2}^+\bar{b}_{-p_1}|\rangle+1\right)\\ \end{align}$$ 不为零,这时牵涉到与粒子反粒子的贡献,与原来结果略有不同,因为粒子和反粒子的化学势是不一样的.

而对于粒子反粒子关联函数
 * $$\begin{align}

&\langle |a^+_{p_1}\bar{a}_{p_2}|\rangle \\ &=\langle |(c_{p_1}^*b_{p_1}^++s_{-p_1}\bar{b}_{-p_1})(c_{p_2}\bar{b}_{p_2}+s_{-p_2}^*b_{-p_2}^+)|\rangle\\ &=\langle |c_{p_1}^*c_{p_2}b_{p_1}^+\bar{b}_{p_2}|\rangle +\langle |c_{p_1}^*s_{-p_2}^*b_{p_1}^+b_{-p_2}^+|\rangle +\langle |s_{-p_1}c_{p_2}\bar{b}_{-p_1}\bar{b}_{p_2}|\rangle +\langle |s_{-p_1}s_{-p_2}^*\bar{b}_{-p_1}b_{-p_2}^+|\rangle\\ &=\langle |c_{p_1}^*c_{p_2}b_{p_1}^+\bar{b}_{p_2}|\rangle +\langle |s_{-p_1}s_{-p_2}^*\bar{b}_{-p_1}b_{-p_2}^+|\rangle\\ &=\langle |c_{p_1}^*c_{p_2}b_{p_1}^+\bar{b}_{p_2}|\rangle +\langle |s_{-p_1}s_{-p_2}^*(b_{-p_2}^+\bar{b}_{-p_1}+1)|\rangle\\ &=c_{p_1}^*c_{p_2}\langle |b_{p_1}^+\bar{b}_{p_2}|\rangle +s_{-p_1}s_{-p_2}^*\left(\langle |b_{-p_2}^+\bar{b}_{-p_1}|\rangle+1\right)\\ &=0 \end{align}$$ 结果为零.完全类似的考虑其余的项,最后我们看到对全同粒子的关联函数,$$G_c \ne 0, G_s = 0$$,对粒子反粒子关联函数$$G_c = 0, G_s \ne 0$$,这就是文中的结果.

MS dissertation
有效质量在有限温下的情况.Gastão给出的 解释.

对于$$\pi$$介子,它是赝标量的Goldstone玻色子,在理想的手征自发破缺模型中,它的质量为零.他的起源与普通介子不同.每个流夸克通过对称破缺获得质量成为组分夸克,其质量由5MeV增加到300MeV左右.$$\pi$$介子由正负夸克构成,但是质量150MeV远小于两个组分夸克质量的和.这和它是赝标量紧密相关,两个夸克自旋相反,相互作用很大,使得其最终的等效质量远小于两个夸克质量之和.作为比较$$\rho$$介子具有相同的夸克组分,但是它是矢量介子,质量为600MeV左右,与夸克质量的和相当.当考虑有限温度是,一般$$\pi$$的质量随着温度的上升基本不变,而在过了临界点后,对称自发破缺恢复,其质量随着温度的增加而增加.

对于Kaon介子,它是涉及到奇异夸克的Goldstone玻色子.但是距离理想对称自发破缺比较远,它的质量也距离零质量有很大距离.

对于$$\phi$$,它的质量一般随着温度的增加而减小.