Research Paper Notes on Scalarization

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 * Perturbations of a rotating black hole in DHOST theories, by Christos Charmousis, Marco Crisostomi, David Langlois, and Karim Noui, arXiv:1907.02924

Perturbations of a rotating black hole in DHOST theories, by Christos Charmousis, Marco Crisostomi, David Langlois, and Karim Noui, arXiv:1907.02924
本文讨论了DHOST理论中的引力和标量扰动方程.作者指出,引力扰动方程的爱因斯坦张量部分和Kerr黑洞形式上一致,而标量扰动部分与引力部分独立.进而,作者给出了标量扰动的通解,并讨论了其在视界和无限远的收敛性,指出,通解的展开系数需要由具体物理问题来定.在最后,作者以具有周期条件,耗散项和外源的本征值问题为例,讨论了引力扰动方程的解的一般性质.

(13-14)

这是本文的主要工作对象,标量场和引力场的扰动方程.

(18)

这里讨论两阶微扰项,是因为一阶微扰项前的系数为零,对应背景场的方程.而两阶项前的系数对应了一阶微扰方程.不妨类比Goldstein经典力学中体系在平衡位置附近微小振动满足的方程.

(25-29)

这是标量扰动对应的通解形式.

(33)

这里讨论了一个具有周期条件,耗散项和外源的本征值问题.这个问题的形式解是(37).作者把他作为具有源的张量扰动的准正则模问题的类比.

(35)

将满足边界条件的展开形式(34)代入把源(右边)取为零的(33),我们得到$$-\left(\frac{n\pi}{L}\right)^2-(-i\omega_n)^2-\frac{2}{\tau}(-i\omega_n)=0$$.易证,此即(35).

(37)

将(36-37)代入(33),两边都考虑积分以及求和号内的表达式,发现等式两边其实就是$$\hat{S}(-1)[-\left(\frac{n\pi}{L}\right)^2-(-i\omega)^2-\frac{2}{\tau}(-i\omega)]/[\left(\frac{n\pi}{L}\right)^2-(\omega)^2-\frac{2i\omega_n}{\tau}]=\hat{S}$$,显然是成立的.故(37)就是问题(33)的形式解.

我们指出,这里的对$$\omega$$的积分,由于分母上极点在复平面上,利用约当引理,最后的贡献就是留数值.换言之,$$\omega$$的积分可以替换为由(35)决定的复的$$\omega_n$$.具体的,因为$$t>0$$,我们应该从下半复平面绕行,不论(35)中根号内的符号,两个极点都在复平面的下方,当$$\frac{n^2\pi^2\tau^2}{L^2}>1$$时,两个极点关于虚轴对称,而在$$\frac{n^2\pi^2\tau^2}{L^2}<1$$时,两个极点都在虚轴上,记为$$\omega_1, \omega_2$$,我们可以进一步把结果化简为
 * $$\psi(x,t)=\sum_n \int d\omega\frac{\hat{S}\sin(n\pi x/L)e^{-i\omega t}}{(\omega-\omega_1)(\omega-\omega_2)}=2\pi i \sum_n \frac{\hat{S}(n,\omega_1)\sin(n\pi x/L)e^{-i\omega_1 t}}{\omega_1-\omega_2}+\frac{\hat{S}(n,\omega_2)\sin(n\pi x/L)e^{-i\omega_2 t}}{\omega_2-\omega_1}=2\pi i\sum_n \frac{\sin(n\pi x/L)(\hat{S}(n,\omega_1)e^{-i\omega_1 t}-\hat{S}(n,\omega_2)e^{-i\omega_2 t})}{\omega_1-\omega_2}$$.

我们可以通过从上述表达式对时间的依赖的因子中来读出准正则模式的频率,不难发现,实际上这个频率与外源是无关的,外源影响到的,仅仅是准正模式的振幅部分而已.

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