Lecture Notes of Supersymmetry An Introduction with Conceptual and Calculational Details by Muller-Kirsten and Wiedemann

Lecture Notes of Supersymmetry An Introduction with Conceptual and Calculational Details by Muller-Kirsten and Wiedemann

本文档除了包括推导, 疑惑 外,做 读书重点 的记录

Ch.1 Lorentz Group Poicare Group SL(2,C) Dirac and Majorana Spinor
P.8 Notations for Lie algebra and Lorentz group

大写的$$O$$代表群,小写的$$o$$是对应的代数.

$$O(1,3)$$是所有满足指纹为$$(1,3)$$的两次型不变的线性变换的构成的群.在物理中,时空距离的平方的指纹正是$$(1,3)\equiv(1,-1,-1,-1)$$对应一维时间三维空间,而洛仑兹变换真是满足上述正则距离不变的线性变换.

$$O(1,3;{\mathbb R})$$为满足上述条件且矩阵元为实数的群.

$$GL(4;{\mathbb R})$$为一般线性群.它是矩阵元为实数,非奇异的4维矩阵.

P.9 Proof

生成元$${\mathfrak U}$$构成李代数$$o$$,其中$$t$$是一个实参数.上述证明过程对任何$$t$$成立,故取$$t=0$$.其实如果不取这个特例,注意到$$exp(t{\mathfrak U})$$与$${\mathfrak U}$$的对易关系,同样完成证明.

P.23 (1.30)

对应空间平移的生成元$$P$$与对应洛仑兹速度平移的生成元$$K$$是不同的.

P.31 (1.43)

描写物理体系状态的数学形式,波函数,在某种变换下不改变其对应的物理态,比如质子波函数在洛仑兹变换下得到同一质子在另外一个坐标系下的波函数.文书从洛仑兹变化为出发点,到此为止讨论了洛伦兹群和庞加莱群.由物理上的定义,一个粒子波函数在变化下的改变不改变其本质,自然的这些通过群元变换得到的波函数构成一个群的表示空间.从而,对粒子的分类来源于对群的所有不可约表示的群的表示的研究.对于李群,一个重要的研究不可约表示的手段是得到群的克什米尔算符.因为李群的表示可以由李代数的表示得到,而在李代数的不可约表示中克什米尔算符正比于单位元.以三维转动群$$SO(3)$$为例.其克什米尔算符是总角动量,即便已经确定了克什米尔算符的形式,克什米尔算符在不可约表示中对的单位元的正比常数一般还需由李代数的具体结构决定,比如一般量子力学中的讨论得到正比常数对于整数和半整数$$l$$具有$$l(l+1)$$的形式.对于洛伦兹群,克什米尔算符由P.20上的通过(1.22-23)定义的总自旋和类似表达式决定.而对于庞加莱群,克什米尔算是总动量和泡利极化的模.

由此出发,自然的得到质量不为零的粒子的自旋的概念,质量为零的粒子的螺旋结构的概念.

P.33 (1.57)

注意到其实群的线性表示理论并不需要把表示的具体矩阵形式定义出来的.参数比如马中琪或者Sternberg的群论.但是如果写出来,习惯上基在群元作用下是满足下面的变换形式
 * $$D(M) e_i = D_{ji}(M) e_j$$

其中$$e_i$$是对应的基.按此习惯考虑$$D_{ij}(M) \equiv {D_i}^j(M)$$,即得到(1.57)的形式.

值得一提的是,注意到上面基的变换的的乘积求和顺序和矩阵乘积不同,但这个不同的原因正是(1.57),一个矢量的系数的变换满足"正常"的矩阵乘法的顺序.

P.43 Double Dual与Dual Map (Transpose of a linear map)

首先复习下,矢量的共轭空间的共轭空间($$V^{**}$$)与矢量空间($$V$$)同构.一个简单的说明办法是构造一个例子,我们定义$$\Psi$$为对应与每个矢量空间元素($$v \in V$$)的,把共轭空间($$V^{*}$$)元素($$\varphi\in V^{*}$$)映射为复数的操作,它的定义如下$$(\Psi(v))(\varphi) = \varphi(v)$$.显然上述例子满足我们的结论.

一个在此之前建立的概念是共轭映射,或者称为线性映射的转置.是考虑存在线性图$$f:V\rightarrow W$$,对任何$$\varphi \in W^*$$定义$$f^*$$为$$f^*(\varphi)=\varphi\circ f$$.由于$$\varphi$$把$$W$$空间的元素映射到复数,上述复合映射对应每一个$$\varphi$$,得到一个把$$V$$空间的元素映射为复数的映射,后者即一个$$V^*$$空间元素$$\psi\in V^*$$.换言之,$$f^*$$是从$$W^*\rightarrow V^*$$的映射.