Research Paper Notes on Phase Space Integral

Research Paper Notes on Phase Space Integral

本文档除了包括推导, 疑惑 外,做 读书重点 的记录 $$ $$

文献列表

 * Phys. Rev. Lett. 54, 510 (1985) Single-Particle Momentum Distribution at High Energies and Concept of Partition Temperature. by T.T. Chou, Chen Ning Yang, E. Yen


 * Phys. Rev. D 46, 160 (1992) Semi-inclusive rapidity distribution and a critical analysis of the concept of partition temperature. by Yogiro Hama, Michael Plumer


 * Phys. Rev. D 87, 114007 (2013) Tsallis fits to pt spectra and multiple hard scattering in pp collisions at the LHC. by Cheuk-Yin Wong, Grzegorz Wilk

Phys. Rev. Lett. 54, 510 (1985) Single-Particle Momentum Distribution at High Energies and Concept of Partition Temperature.
这里的一个重要的思想是系综的微正则分布导致单粒子的统计分布.

本文档除了包括推导, 疑惑 外,做 读书重点 的记录 $$ $$

Phys. Rev. D 46, 160 (1992) Semi-inclusive rapidity distribution and a critical analysis of the concept of partition temperature.
本工作就是上面杨振宁一文思想的具体数学推导.具体可以参考Yogiro的详细推导手稿

本文的物理思想是,从微正则系综和粒子数守恒出发能够一般的得到正则系综从而单粒子分布具有温度的概念. 这里通过一个相对论重离子碰撞中粒子分布的具体计算,得到解析的结果,并和实验数据分析对照确认推导的合理性.

(1.1-1.2)

本文的主要内容就是从微正则系综(1.1)出发,利用单粒子分布的具体形式(2.11)和能量动量粒子数守恒律,得到(1.2),并给出温度的具体形式(2.23).

(2.1)

这里已经考虑了粒子数守恒,等式右边剩余的守恒律由三个$$\delta$$函数承载,之后改写为(2.5-2.6)中的三个指数积分. 本文的核心技术难点,和所体现的Yogiro的过人的数学功底,就蕴含于完成这些积分中所涉及的复变函数技巧.

(2.4-2.6)

这里的数学推导参见附录(A1-A5)的笔记.

文中(位于(2.9)下方的讨论)指出,比值(2.4)不依赖与$$\beta$$.因为如果依赖的话,那么本文的结果就相对依赖于假设(2.11). 而结果的一般性主要体现在本文的结果不依赖于(2.11)的具体形式.

具体考虑分子分母的形式.比如分子是粒子占有数$$n_k$$的加权平均值.每个权重是一个指数函数的积分,其中指数上涉及$$\beta$$的项为
 * $$\prod_l \left(\exp(-\beta\sqrt{p_{Tl}^2+m^2}\cosh y_l)\right)^{n_l}

=\prod_l \left(\exp(-\beta E_l)\right)^{n_l} =\exp\left(-\sum_l \beta {n_l}E_l\right) =\exp(- \beta W)$$ 其中最后一步是因为能量守恒的$$\delta$$函数. 具体的,我们指出能量守恒来自于对(2.4)分子分母中对$$s$$的积分,这个积分因子在分子和分母中的形式一样,虽然在分子中没有对指定动量空间态$$dydp_T$$积分. 由于上述能量守恒,剩余的和$$\beta$$有关的因子在分子和分母中也是一样的,虽然分子中有一个因子处于$$f(y,p_T)$$中,而剩余的$$(n-1)$$个因子处于$$[F(s,t,u_T)]^{n-1}$$之中. 综上,不难注意到这个与$$\beta$$有关的因子对分子和分母是一样的.所以最后结果严格的与$$\beta$$无关.但是正如Yogiro指出的,做了近似后的结果是可能与$$\beta$$有关的,但是不应该敏感的依赖于$$\beta$$.

(2.7)

首先指出一个记号上的细节. 这里(2.7)中对变量的积分$$\int dydp_T$$和被积函数中的变量$$(y, p_T)$$是哑元,积分是对动量状态空间的求和. 这是因为按而(A4)笔记的推导,(2.5-6)中的变量$$(y, p_T)$$是指特定动量空间状态$$k$$,只是在相应表达式中略去了指标$$k$$而已.

指数上有因子$$-(s \cosh y-t \sinh y)$$并对$$y$$积分. 为了这个积分收敛,指数上的实部需要为负数. 因为$$y$$是实数,$$\cosh y, (\cosh y-\sinh y)$$都是正定的,故一个充分条件是$$s$$的实部要大于$$t$$的实部,即$$\epsilon_0 > \epsilon_1$$.

我们接着从另一个角度,在讨论积分收敛的问题. 注意到在表达式$$A,B$$中对$$s$$的积分,指数上$$s$$前面的系数是负定的,而原始的积分是在虚轴上的.比较约当引理的证明,原始的积分是在实轴上,而指数上被积变量前的系数是纯虚数$$ia$$,其中$$a$$为正数或者负数决定了积分可以从实轴的上方或者下方绕行.按证明约当引理的思路,我们知道$$s$$在虚轴上的积分可以在虚轴的右侧(实轴正方向)的大圆上绕行.

对$$t$$的积分情况更复杂,因为$$\sinh y$$为实数但符号不确定,一般的证明并不是很显然. 但是我们可以退而求其次,利用之前的思路,考虑$$t$$在大圆上绕行的积分与对$$s$$在大圆上绕行的积分有某种依赖关系,只要能够保证在大圆上的两个积分路径上指数的实部始终小于零,那么在大圆上的绕行就是可行的.

(2.8-2.10)

这里不考虑横动量守恒,从而对$$u_T$$的积分看成$$du_T \rightarrow \delta(u_T)du_T$$. 从(2.5-2.6)到(2.8-2.9)的推导是显然的,基本就是将$$u_T=0$$代入.

(2.11)

Yogiro指出,这里的第二项只是为了有效的斩断横动量,因为对于jet而言,粒子(相对于jet方向垂直)的横动量非常小,可以视为零.

(2.13-2.15)

这里(2.13)就是将(2.11)代入(2.7),对$$y$$积分后即得(2.14).

对后者,我们利用(2.15)可对指数化简得
 * $$-\left[\delta+(\beta+s)\cosh y-t\sinh y\right]\sqrt{p_T^2+m^2}

=-\left[\delta+\eta\cosh\zeta\cosh y-\eta\sinh\zeta\sinh y\right]\sqrt{p_T^2+m^2} =-\left[\delta+\eta\cosh(\zeta- y)\right]\sqrt{p_T^2+m^2}$$

注意到变形贝塞尔函数的积分表示
 * $$K_a(x)=\int_0^\infty e^{-x\cosh t}\cosh at dt$$

我们有
 * $$F(s,t)=\alpha\int_{-\infty}^\infty dy\int dp_T^2 \exp\left\{-\left[\delta+\eta\cosh(\zeta- y)\right]\sqrt{p_T^2+m^2}\right\}

=\alpha\int dp_T^2\exp(-\delta \sqrt{p_T^2+m^2}) \int_{-\infty}^\infty dy \exp\left\{-\eta \sqrt{p_T^2+m^2}\cosh(\zeta- y)\right\} =\alpha\int dp_T^2\exp(-\delta \sqrt{p_T^2+m^2}) K_0\left(\eta \sqrt{p_T^2+m^2}\right)$$
 * $$=\alpha\int d\left(p_T^2+m^2\right)\exp(-\delta \sqrt{p_T^2+m^2}) K_0\left(\eta \sqrt{p_T^2+m^2}\right)

=\alpha\int_0^\infty d\left(\epsilon^2\right)\exp(-\delta \epsilon) K_0\left(\eta \epsilon\right) =4\pi\alpha\int_0^\infty \epsilon d\epsilon\exp(-\delta \epsilon) K_0\left(\eta \epsilon\right)$$ 其中$$\epsilon\equiv \sqrt{p_T^2+m^2}$$,两维矢量的平面积分$$\int dp_T^2=\int d\theta p_Tdp_T=2\pi\int p_Tdp_T$$.

(2.16)

这里的数学推导参见附录(B3-A7)的笔记.

(2.17-2.19)

这是本文解析计算最为出彩的部分,充分展现Yogiro的功力.具体推导参见附录(C2-C13)的笔记.

(3.1)

按(2.22)对$$p_T$$部分积分,考虑零质量$$y=\eta$$,$$p_T=m_T$$,$$m\delta=0$$,由(2.22):


 * $$\frac{dn}{d\eta}=\frac{dn}{dy}

\propto \delta^2\int 2\pi p_T dp_T \exp(-\delta p_T) \exp(-p_T \cosh y/T_p) =\delta^2\int 2\pi p_T dp_T \exp(-\delta p_T) \exp(-p_T \cosh y/T_p) = \delta^2 2\pi \int p_Tdp_T \exp[-(\delta+\cosh y/T_p)p_T] = \delta^2 \frac{\partial}{\partial a} \int dx \exp(-a x) = \delta^2 \frac{1}{a^2} =\frac{1}{(1+\cosh y/\delta T_p)^2}$$

其中定义$$a=\delta+\cosh y/T_p$$.

(3.2)

这里因子$$2$$来源于两阶导数,$$T_p$$来自$$\delta^2$$没有消去的部分,由于积分中$$E=p_T \cosh\eta$$,似乎分子分母上都是除以$$\cosh^2\eta$$.

Table I

按CYY一文的计算采用的$$\langle p_T(0)\rangle$$和$$W$$,(2.23)得到的结果与CYY的拟合得到的结果很吻合.

这里最后三列,分别是通过实验数据得到的$$\langle p_T(0)\rangle$$和通过对$$dn/d\eta$$积分到入射能量决定的最大快度而得到的与CYY不同的jet的总能量$$W$$,来计算$$T_p$$,得到很不一样的结果.

(A1-A2)

这里文中只给出(2.4)的分子(2.5)推导的主要步骤,而分母(2.6)的推导是类似的. 首先注意到$$\sqrt{p_T^2+m^2}\cosh y=E$$和$$\sqrt{p_T^2+m^2}\sinh y=p_L$$,以及对动量空间的划分数为$$l=1,2,\cdots N$$且$$N\to \infty$$,占有数任意. 公式中明确写出的$$p_T,y$$对应给定的动量空间态,这个态不是哑元,剩余动量空间的状态都可视为积分(2.7)中的哑变量$$dy dp_T$$. 因为例如纵向动量守恒导致因子
 * $$\exp\left[\left(\sum_l n_l \sqrt{p_{Tl}^2+m^2}\sinh y_l\right)t\right]=\prod_l \exp\left[\sqrt{p_{Tl}^2+m^2}\sinh y_l t\right]^{n_l}$$

这与$$q_l^{n_l}$$的形式合并,并注意到所有的可能的求和具有形式$$\prod_{l=1}^N \sum_{n_l}$$,即得(A2)的结果.

除此以外,注意到分子$$A$$中涉及一个额外因子$$n_k$$. 注意到下标$$k$$是给定的,但是这个状态的占有数$$n_k$$(其实不管是分子还是分母都)是一个被求和的哑元. 当$$n_k=0$$时,对应的求和贡献为零. 而在其他情况下,(A2)等式右边最后因子的分母被替换为$$(n_k-1)!$$,求和从$$n_k=1$$开始,故实际计算中相当于换元为$${n_k}'=n_k-1$$从零开始求和. 这时只要相应修改(A2)等式右边最后因子的分子. 我们需要提出一个额外的因子$$q_k\exp\left[-E_k s + p_{Lk}t+ip_{Tk}\cdot u_{T}+iv\right]$$. 不难注意到,这正是(A2)第一行等式右边那些额外的因子.

(A4)

首先注意到$$E_k=E_{l=k}$$.

考虑$$a_l=q_l \exp[-(E_l s \cdots)+i p_{Tl}\cdot u_T+iv]$$,分子相当于计算
 * $$\prod_l \sum_{n_l} n_k \frac{a_l^{n_l}}{n_l !}

=a_k \frac{\partial}{\partial a_k}\prod_l \sum_{n_l} \frac{a_l^{n_l}}{n_l !} =a_k \frac{\partial}{\partial a_k}\prod_l \exp(a_l) =a_k \prod_l \exp(a_l) =a_k \exp\left(\sum_l a_l\right)$$

比较(A4)的右边,等式第二行的因子正是$$a_k$$,下标$$k$$被省略了因为其余下标都被积分. 另外求和在连续极限下称为对状态空间的积分. 具体的,对快度和横动量的积分$$\sum_l y_l p_{Tl}\to \int dy dp_T$$.

(A5)

其实这个表达式就是指数函数展开$$e^x=\sum_{l=0}^\infty \frac{x^l}{l!}$$,其中$$x=e^{iv}$$.

接着我们讨论对$$v$$的积分. 因为积分限为$$(0,2\pi)$$因为$$n$$和$$n_l$$都是整数,所以展开对象是周期函数.换言之,这里是傅里叶级数而非傅里叶积分. 利用(A5)的提示,得到:
 * $$\int_0^{2\pi} dv e^{-i(n-1)v}\exp[F e^{iv}]

=\sum_l \frac{F^l}{l!}\int_0^{2\pi} dv e^{-i(n-1-l)v} =\sum_l \frac{F^l}{l!}\delta(n-1-l) =\frac{F^{n-1}}{(n-1)!}$$

其中$$F$$由(2.7)定义.这样涉及粒子数守恒的积分问题首先被解决了. 这样就完成了(2.5)的证明,注意到分子上残余的因子来自$$n=\frac{n!}{(n-1)!}$$.

简述(2.6)的证明,其过程更为简单. 其核心部分的积分就是上述积分但被积函数指数上为$$n$$而非$$(n-1)$$,也不涉及$$a_k$$,但$$F$$形式不变.

(B3)

按文中所述把变形贝塞尔函数的自变量取为$$m\eta$$,以完成积分
 * $$\int_m^{\infty}\epsilon e^{-\delta\epsilon}d\epsilon

=-\frac{\partial}{\partial \delta}\int_m^{\infty} e^{-\delta\epsilon}d\epsilon =-\frac{\partial}{\partial \delta}\left[\left(-\frac{1}{\delta}\right)\left.e^{-\delta\epsilon}\right|_m^\infty\right] =-\frac{\partial}{\partial \delta}\left[\left(-\frac{1}{\delta}\right)\left(0-e^{-m\delta}\right)\right] =-\frac{\partial}{\partial \delta}\left(\frac{1}{\delta}\right)e^{-m\delta} =\left(\frac{1}{\delta^2}+\frac{m}{\delta}\right)e^{-m\delta}$$

(B4-B5)

这里(B4)相当于要求积分(B1)和平均值积分(B5)同时成立. 注意到等式(B5)严格成立,在此意义下,$$\langle\epsilon\rangle$$是一个比$$m$$更准确的近似.

(B6-B7)

这里(B6)的第一步等式就是把(B4)减号前后的两项分别放在等式两边. 第二步等式利用部分积分
 * $$d\epsilon e^{-\delta\epsilon}\epsilon\ln\epsilon

= d\left[\left(\frac{1}{\delta^2}+\frac{\epsilon}{\delta}\right)e^{-\epsilon\delta}\right] \ln\epsilon$$.

部分积分法的第二部分含有两个积分
 * $$-\int\left[\left(\frac{1}{\delta^2}+\frac{\epsilon}{\delta}\right)e^{-\epsilon\delta}\right] \frac{1}{\epsilon}d\epsilon

=-\int \frac{1}{\epsilon\delta^2}e^{-\epsilon\delta}d\epsilon-\int\frac{1}{\delta}e^{-\epsilon\delta}d\epsilon =-\int \frac{1}{\epsilon\delta^2}e^{-\epsilon\delta}d\epsilon+\frac{1}{\delta^2}e^{-\epsilon\delta} =-\int \frac{1}{\delta^2}\frac{1}{\epsilon\delta}e^{-\epsilon\delta}d(\epsilon\delta)+\frac{1}{\delta^2}e^{-\epsilon\delta}$$.

其中第一个积分的定积分结果给出最后表达式中的Ei,即指数积分. 注意到按定义,指数积分自变量含有一个额外的负号. 第二个积分与文中结果相比似乎差了一个负号. 最后(B7)就是(B6)的代数结果.

(C2)

首先,由(2.15)给出的坐标变换$$(s,t)\to(\eta,\zeta)$$(其中$$\beta$$是常数)对应的雅克比为
 * $$dtds=Dd\eta d\zeta=\begin{pmatrix}\frac{\partial s}{\partial \eta}&\frac{\partial s}{\partial \zeta}\\\frac{\partial t}{\partial \eta}&\frac{\partial t}{\partial \zeta}\end{pmatrix}

=\begin{pmatrix}\cosh \zeta&\eta\sinh \zeta\\\sinh \zeta&\eta\cosh \zeta\end{pmatrix}d\eta d\zeta=\eta d\eta d\zeta$$.

Fig.1

这里有一个过程要利用复共轭来把复数的反超三角函数的实部和虚部分开.具体可以参考这个计算过程和Yogiro的详细推导手稿.

这里我们给出一个对Yogiro推导手稿(见上面的链接)的总结.首先,推导的主要思路包括(1)按(2.15)的变换,最好的讨论方法是把所有的复数都写成分量的形式,这样在$$s,t$$一头由于复数的实部固定,有两个变量,在$$\eta\xi$$一头暂时有4个分量.手稿首先尝试从$$s,t$$一头出发讨论$$\eta\xi$$的范围,然后反过来从$$\eta\xi$$出发验证是否的确完全覆盖了$$s,t$$参数空间(2)随着讨论,会要自然放宽(2.6)中对$$s$$和$$t$$的积分路径,按复变函数积分理论,我们的确被允许这样做.比如从$$\eta\xi$$一头出发,固定$$\eta$$讨论$$\xi$$变化导致的在$$s,t$$空间的曲线,手稿通过去$$\epsilon_1=0$$来消去一个变量.但是这是不难验证,这时$$\epsilon_0$$不再是常数了.

我们这里对手稿最后的在$$S,T$$空间图做出说明.这个图的每根实线对应一组固定$$a,b$$,实线上的点对应不同的$$\alpha$$值,而$$\gamma$$由$$\epsilon_1=0$$不是自由变量.只需要考虑$$a>0$$的情况,在$$b>0$$和$$b<0$$时,曲线分别处于$$T$$轴的左右两边,曲线分别有四个角的无穷大的渐进行为.但是考虑覆盖全空间,还需要考虑这些曲线是否覆盖在原点附近的$$S,T$$参数空间.这些曲线与$$S$$轴有截距,这个截距在$$b$$趋于零的时候趋于零.这些曲线在$$|b|>a$$时与$$S=T$$相交,交点在$$b$$趋于零时趋于零.如果直接取$$b=0$$得到一根在$$T$$轴上从$$a$$点向上的割线.这个割线的渐进行为通过考察$$b$$趋于零时的渐进行为得到.考虑曲线与$$T=a$$的交点,在$$b$$很小时,对应$$\alpha$$趋于正负零从而$$S$$趋于正负零.所以曲线在$$b$$不但在$$S$$轴上的截距趋近于原点,而且无限逼近$$T=a,S=0$$点.但是注意到即便在$$b$$趋于零时,当$$\alpha$$趋于正负无限大时曲线的$$S$$值仍然趋于无限大,如图所示其渐近线同样是$$S=\pm T$$,而不是包裹上述割线.这个渐进行为使得$$S,T$$参数空间存在如图虚线上(下)方的空洞.就此,手稿得到结论,需要通过把$$a$$推到无穷大才能正常覆盖全部$$T,S$$空间.

(C10)

文中计算了沿着实轴方向的两阶导数,但是鞍点积分是沿着虚轴方向的.因为$$I_\alpha$$和$$K_\alpha$$分别是指数增加和指数衰减,函数沿着实轴方向导数为零的点为最小值.接着文中用沿着实轴的两阶导数来估算鞍点积分的结果. 这是因为对解析函数,导数也是解析函数,所以极值必然是鞍点,而在鞍点附近对小的复数展开满足$$\Phi(\xi)=\Phi(\xi_0)+\frac{1}{2}\Phi''(\xi-\xi_0)^2$$.

这里总结一下积分的办法,首先是直接积分,其次考虑特殊函数(利用特殊函数的积分表示),再次有留数法积分,鞍点积分法,换元法,最后可以用mathematica积分.

本文档除了包括推导, 疑惑 外,做 读书重点 的记录 $$ $$

Phys. Rev. D 87, 114007 (2013) Tsallis fits to pt spectra and multiple hard scattering in pp collisions at the LHC.
这里的问题是是否可以用jet的分布和粒子发射的微正则分布导出末态重子的分布形式.

本文档除了包括推导, 疑惑 外,做 读书重点 的记录 $$ $$