Research Paper Notes on Cosmic Microwave Background

Research Paper Notes on Research Paper Notes on Cosmic Microwave Background

本文档除了包括推导, 疑惑 外,做 读书重点 的记录 $$$$

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 * Characterizing Inflationary Perturbations: The Uniform Approximation, arXiv: astro-ph/0406134v1, by Salman Habib et al
 * Inflationary cosmology with nonlinear dispersion relations, arXiv:1308.5708v2, by Tao Zhu, Anzhong Wang et al

Characterizing Inflationary Perturbations: The Uniform Approximation, arXiv: astro-ph/0406134v1, by Salman Habib et al
本文提出利用Uniform Approximation方法计算功率谱

(8)

这里的逻辑顺序是从附录的微扰方程的推导,到微扰方程的一般形式(4-5),到极限解(6-7),到连接条件Fig.1,最后给出功率谱(8).

其实在短波极限下方程(4)为波动方程,其渐进解(6)是显然的.而在长波近似下,我们也可以直接验证(7)是相应方程$${u}_k-\frac{z}{z}u_k=0$$的解,其中注意到$$u_k=u_k(\eta),z=z(\eta)$$.具体计算过程略.物理上,尺度比空间曲率半径小得多的短波模式保持振动,而尺度很大的长波模式被放大.

Fig.1

这里的横轴是共形时间,即宇宙演化的时间.纵轴是方程(4)右边括号中$$k^2$$与$$\frac{z}{z}$$的比较.它们的相对大小决定了具有不同渐进行为的宇宙演化的三个阶段.区域I对应$$k^2 \gg \frac{z}{z}$$,而区域III对应$$k^2 \ll \frac{z''}{z}$$.

转折点(turning point)$$k^2 = \frac{z''}{z}$$出现在区域II,这是解方程的难点.比如WKB方法就是在(WKB近似本身失效的)区域II将势场线性化后的解析解来连接区域I和III中的WKB形式的近似解.

(10)

如果$$\mathcal{C(\eta)}$$是常数,那么这个方程的通解就是(在QNM中)熟悉的贝塞尔函数.本文要讨论的是$$\mathcal{C(\eta)}$$为缓变函数时的近似方法,而非严格解.

(11)

因为按分割(11)的原则,零点被包含在$$g(\eta)$$中.所以,在$$g(\eta)$$的零点$$\bar{\eta}$$附近,函数展开为关于$$\eta$$的线性函数,其通解同样已知,为Airy函数.

而另一方面,在极点附近,即$$\eta\to 0^-$$时,利用变换(17),将方程化为(18),按arXiv:1308.5708v2一文(2.11)附近的讨论,解为WKB近似的形式(如参见Sakurai量子力学).本文在后面论证,在极限情况下第一类解可以自然的演化为第二类解.具体参见(43)的讨论.

对后者,我们用一个比较粗糙但是直观的办法来对(18-19)直接给出分析.首先变换(17)应用上下文,是在$$\eta\to 0$$时,$$\frac{d\xi}{d\eta},g(\eta)$$发散,而$$\xi\to\xi_0$$为有限值.这样,在此极限下,(18)等式右边第一项趋于常数,第二项即(19).而(19)等式右边的第二项与第三项分别趋于零与常数.我们只需讨论(19)等式右边第一项的发散情况,考虑$$g(\eta)\sim \eta^{-n}$$,这样$$g(\eta)g''(\eta)\sim \eta^{-n-n-2}=\eta^{-2(n+1)}$$,$${g'}^2(\eta)\sim \eta^{2(-n-1)}=\eta^{-2(n+1)}$$,而分母$$g^3(\eta)\sim \eta^{-3n}$$,因此,在$$n\ge 2$$时这个因子趋于零或者有限的常数.这样,方程对$$\xi$$的(18)的确是类似简单的谐振子方程的形式.这样可用WKB方法来写出解的近似形式.

(13-14)

这里是讨论把具体形式$$-k^2+\frac{\mathcal{C}^2(\eta)}{\eta^2}$$分解为(11)等式右边方括号中的形式.

我们接受(12)附近给出的结论,即(12)第二行等式右边的第一个系数为$$g_0=-\frac14$$.同时,对此具体形式极点处于$$\eta=0^+$$,故(12)等式右边$$a_2=0$$.

这样(12)中第二行$$q(\eta)$$展开项必然可以写为$$\frac{1}{\eta^2}\sum\left(-\frac14+g_1\eta+g_2\eta^2+\cdots\right)$$.但是因为$$q(\eta)$$不再含有其他零点,故只能有$$g_1=g_2=\cdots 0$$.把剩余部分归入$$g(\eta)$$,并取$$b^2=1$$,即得(13-14).

(17-18)

这个结果很容易直接验证,并且与arXiv:1308.5708v2一文(2.3-2.6)完全等价.

(36-38)

这里通过短波极限$$k\to \infty$$下的渐进行为来确定通解(36)中的待定积分系数$$AB$$.

(43)

将具体形式(30)代入(43)容易看到后者的确具有WKB解的形式.但是由(20-21),我们知道(mediawiki不认识gtrless)$$f_{>,<}=\xi=\mp\left(\pm\frac32\int \sqrt{\mp g(\eta)}d\eta\right)^{\frac23}$$,比较arXiv:1308.5708v2一文的(2.7)的假设以及之后得到的(2.10-11), 不明白 如何得到这个结果.

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Inflationary cosmology with nonlinear dispersion relations, arXiv:1308.5708v2, by Tao Zhu, Anzhong Wang et al
本文提出利用uniform asymptotic approximation方法计算功率谱

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