Lecture Notes of Gravitation Foundations and Frontiers by Padmanabhan

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Ch.8 Black Holes
(8.138)

注意到$$r^*$$在视界外就占据了$$(-\infty,+\infty)$$区间,故在视界内要去掉(8.138)对数中的绝对值,而由对应的负号得到新增的一项$$\ln(-1)=\ln e^{i\pi}=i\pi$$.这样,如书中指出的,在计算
 * $$UV=-e^{(v-u)/4M}=-e^{r^*/2M}$$

中指数上额外的一项得到因子$$e^{i\pi}=-1$$.故如书中所述,在视界内$$UV>0$$视界外$$UV<0$$.

(8.142)

某矢量与曲面正交是指它正比于曲面的法向量,因为由曲面方程$$U=f(u,v)=-e^{-u/4M}=0$$易知曲面的法向量的协变分量为$$n_\mu=(\frac{\partial f}{\partial u}, \frac{\partial f}{\partial v})=(e^{-u/4M}/4M, 0)$$,这与的确与(8.142)的逆变形式成正比.

而与曲面相切是指它与曲面的法向量正交,零矢量显然与自身正交.而法向量为零矢量的曲面就是零曲面.



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