Research Paper Notes on Traffic Modeling

Research Paper Notes on Traffic Modeling

本文档除了包括推导, 疑惑 外,做 读书重点 的记录

文献列表

 * 综述
 * Teoria do Fuxo de Tráfego, Paulo Cesar Marques da Silva, Universidade de Brasilia
 * Criticism of generally accepted fundamentals and methodologies of traffic and transportation theory: A brief review, Physica A 392 (2013) 5261


 * 宏观模型
 * A simplified theory of kinematic waves in highway traffic, Part I General theory, G.F. Newell
 * Kinetics of clustering in traffic flow, PRE50, 822
 * Phase Diagram of Traffic States in the Presence of Inhomogeneities PRL82 4360
 * Dynamic states of a continuum traffic equation with on-ramp PRE59 5101
 * Origin of Synchronized Traffic Flow on Highways and Its Dynamic Phase Transition, PRL81 1130
 * Steady-state solution of hydrodynamic traffic models, PRE69, 016118


 * 介观模型
 * A Boltzmann-like approach for traffic flow, Operations Research, Volume 8 Issue 6, 1960, pp. 789-797
 * Gas-kinetic derivation of Navier-Stokes-like trafIic equations Dirk Helbing, Phys. Rev. E53, 2366
 * Derivation properties and simulation of a gas-kinetic-based nonlocal traffic model PRE59, 239 (1999)
 * A molecular explanation for the long-term suppression of circadian rhythms by a single light pulse, Am J Physiol Regulatory Integrative Comp Physiol 280, R1206-R1212, 2001
 * On Boltzmann-like Treatments for Traffic Flow: a critical review of the basic model and an alternative proposal for dilute traffic analysis, S.L. Paveri-Fontana, Transp. Res. Vol.9 225 (1975)


 * 微观模型
 * Dynamical model of traffic congestion and numerical simulation Phys. Rev. E51, 1035
 * Kink soliton characterizing traffic congestion Phys. Rev. E52, 5574
 * Cluster effect in initially homogeneous traffic flow, Phys. Rev. E48, R2335
 * Congested traffic states in empirical observations and microscopic simulations PRE62 1805 (2000)
 * Analysis of Micro-cars' Influence on Traffic Network Using a Microscopic Simulator, Journal of Transportation Systems Engineering and Information Technology, Volume 13, Issue 6, December 2013, Pages 44–51
 * Car-Following and steady-state theory for noncongested traffic, Operations Research, 9(1), pp. 66-76. 1961
 * A behavioral theory of multi-lane traffic flow. Part I: Long homogeneous freeway sections, Transportation Research Part B: Methodological Volume 36, Issue 2, February 2002, Pages 131–158
 * A car-following theory for multiphase vehicular traffic flow, Transportation Research Part B: Methodological, Volume 39, Issue 5, June 2005, Pages 385–399
 * Macroscopic traffic models from microscopic car-following models, PRE64, 056126


 * 抽象模型
 * Spontaneous Symmetry Breaking in a One Dimensional Driven Diffusive System, PRL74, 208
 * Boundary-Induced Phase Transition in Driven Diffusive System, PRL67, 1882


 * 实验数据分析
 * Experimental Properties of Phase Transitions in Traffic Flow, PRL79, 4030
 * Experimental Features of Self-Organization in Traffic Flow, PRL81, 3797
 * Experimental properties of complexity in traffic flow, Phys. Rev. E 53, R4275 1996, B. S. Kerner and H. Rehborn

Teoria do Fuxo de Tráfego
http://www.sinaldetransito.com.br/artigos/teoria-do-fluxo-de-trafego.pdf

这是一个讲课笔记.其中错误百出.但是作为一个简单参考,还是值得一读的.

(3.35)第一个错误,该运动方程应该和Fock定理相对应.应该为
 * $$\begin{align}

\frac{dv}{dt}=-\frac{c^2}{k}\frac{\partial k}{\partial x} \end{align}$$ 而从下面的推导中可以看到的确如此.注意到Fock方程因为没有弛豫时间,存在因果问题.

(3.40)这个方程对应流守恒.

(3.41)方程左边应该为$$\frac{\partial q}{\partial x}$$

(3.43-44)这里没有提及一个重要的假设,这里仅仅考虑一维流体,假设流体速度的模仅仅是密度的函数.这对于给定路段的车辆流来说,是合理的,但是如果是任意的流体,显然是不合理的.

(3.50)有非平庸解的条件为行列式为零,文中说反了.

(3.57)这是从宏观的流体模型来得到速度密度依赖关系.

(3.61-62)这里需要阅读文献, 值得讨论 .对应流守恒的方程(3.61)应该为
 * $$\begin{align}

\frac{\partial k}{\partial t}+\frac{dq}{dk}\frac{\partial k}{\partial x}=0 \end{align}$$ 显然(3.62)并非数学物理方法中的波动方程的形式.比如在广义相对论中,我们把度规在稳定解的基础上做微扰,那么一级小量满足的方程可能就是波动方程.这里的问题是方程本身是一阶导数,并不能通过展开得到两阶导数.在这里我们注意到如果速度项$$u_w={dq}/{dk}$$是常数,那么对方程左乘算符 $$ \left(\frac{\partial }{\partial t}-\frac{dq}{dk}\frac{\partial }{\partial x}\right) $$ 即可得到
 * $$\begin{align}

\frac{\partial^2 k}{\partial t^2}-u_w^2\frac{\partial^2 k}{\partial x^2} \end{align}$$ 这正是波动方程.但是显然上述操作会增加一些原来方程并不满足的解.比较数理方法中上述波动方程通解的推导过程,立即得到,在速度$$u_w$$为常数的前提下,原来的一阶方程的通解其实也含有下述沿着$$x$$轴正向传播的行波通解
 * $$\begin{align}

f(x-u_w t) \end{align}$$ 而传统两阶波动方程的行波通解含有两个传播方向
 * $$\begin{align}

f(x-u_w t)+g(x+u_w t) \end{align}$$ 在文献 A simplified theory of kinematic waves in highway traffic, part I: general theory by G. F. Newell, Institute of Transportation Studies, University of California中提出,实际上在一般$$u_w$$不为常数的情况下,考虑$$k$$不变的相速度对应的方程为
 * $$\begin{align}

\frac{dk}{dt}=\frac{\partial k}{\partial t}+\frac{\partial k}{\partial x}\frac{dx}{dt}=0 \end{align}$$ 比较最初的流守恒方程知
 * $$\begin{align}

\frac{dx}{dt}=\frac{dq}{dk} \end{align}$$ 正对应$$k$$不变的相速度.

值得一提的是,在下面对冲击波速度的讨论中,如果两相无限趋近,那么冲击波的速度就自然的趋近于相速度.

(3.63)这里的推导类似Landau一书对冲击波的讨论.

(4.1)虽然这里写了弛豫时间,在下面的讨论中取$$T\rightarrow 0$$,变成即时反应,故仍然存在因果问题.

(4.13)这就是前面(3.57)得到的速度与密度的关系.这里从微观角度出发得到.

(4.28-29)第一个方程对应司机由速度差进行加速和减速控制,第二个方程对应司机由距离差进行加减速控制.

A simplified theory of kinematic waves in highway traffic, Part I General theory, G.F. Newell
本文提出了积累流在冲击波解的应用.这个量是一个积分量,它的混合偏导对应流守恒方程.

On Boltzmann-like Treatments for Traffic Flow: a critical review of the basic model and an alternative proposal for dilute traffic analysis, S.L. Paveri-Fontana
本文對著名的Prigogine介觀交通流模型提出批評,給出修正.

本文的批評主要是指出很多直觀上應該成立的解在數學上其實並不是Prigogine-Boltzmann方程的解.

Eq.(19)

代入即可證明,代數等式.

Eq.(36)

這是將(35)的分母$$\frac{1}{1+x}$$分別在$$x\rightarrow 0$$和$$x\rightarrow \infty$$附近展開.

Eq.(53)

上面Eq.(48)有個重要的問題,為啥加速度(是速度的函數)在對速度的求導裡面.按玻爾茲曼方程的推導,應該在外面的.參見exchange問題.其實將這裡(55)代入(53),發現不應該對括號裡面的加速度項求導,否則會多出一項來.

Eq.(71)

這裡有些推導的細節.比如,按模型$$v$$永遠不會超過理想速度$$w$$.所以這裡最後一式對$$v$$的積分上限為$$w$$.

Eq.(72)

這裡注意到$$F(v)$$的定義中涉及$$F_0(w)$$這是因為$$f(v,w)$$的歸一關係所致.

Gas-kinetic derivation of Navier-Stokes-like trafIic equations Dirk Helbing, Phys. Rev. E53, 2366
本文给出一个很好的关于交通流宏观模型的回顾,讨论Boltzmann方程与含粘滞系数的流体力学方程的等价性.数学上,文章用了最常用的Chapman-Enskog展开方法.考慮不同moments的運動方程,得到無限方程鏈,最後用在次高moment的平衡分佈附近的高斯分佈來近似它,已得到最高階moment的近似表達式.注意到並沒有直接使用平衡分佈,使得近似的精度高了一階(moment).

這裡給出重複本文推導的一些細節.

首先是符號說明.大寫$$V$$是速度平均值,僅僅是時空的函數,大寫$$V_0$$是理想速度平均值也僅僅是時空的函數.$$\Theta,{\mathcal C},\Theta_0$$都是平方偏差,他們的區別正事$$v$$的平方偏差,$$v_0$$(之前文章中的$$w$$)的平方偏差,和兩者的混合偏差.一個量上面有彎彎$$\tilde A$$是對$$v_0$$積分后得到的reduced量,比如$${\tilde V}_0$$就是沒有對$$v$$積分的$$v_0$$平均值.

Eq.(46)

最後一步等式利用了(43),(49),(50)即得.

Eq.(47)(49)

最後一步等式都是按平均值的定義得到的化簡.

Eq.(50)

平衡值是按(46)左邊為零,由右邊得到的.

Eq.(58)

已驗證.

Eq.(60)

已驗證.

Eq.(67)

其中後面一個括號中的$$v_0$$應該是$$V_0$$.

Eq.(68)

將(66),(68)代入(67)積分,利用高斯積分即得.如文中指數,這個結果與(64)自洽,這是只是因為一階結果可以退回到零階結果.

Eq.(73)

第一步就是(64).第二步利用(70),因為左邊為零,右邊也為零,右邊第一項因為均勻態為零,第二項按書中討論為零,即得.

Eq.(76)

第一步由(46),(69)得到.第二步由(43)得到,其中$$\mathcal C$$的方程是(70).

A Boltzmann-like approach for traffic flow, Operations Research
这是第一篇用企图用Boltzmann输运方程来解交通流的工作,文章通过分析给出碰撞项的形式,挺有意思.但是并没有最终达到任何与流密度曲线有关的结果.

Kinetics of clustering in traffic flow, PRE50, 822
此文利用弹道模型讨论cluster的形成,通过初始分布和堆积形式考虑cluster的形成.主体是关于统计问题的一些计算,数学上和物理上基本可理解.也是属于介观模型.这个模型的最大问题是,虽然可以给出cluster形成,但是不能自然的给出其消除的动力学,从此意义上模型虽然直观,但是没有深度.

Dynamical model of traffic congestion and numerical simulation Phys. Rev. E51, 1035
本文为微观模型,按距离差来讨论车辆运动方程和解的稳定性,解析和数值处理.

(1)这里没有考虑反应延迟

(11)如果要求方程(11)的解的实部为零,即得此关系.已验证.换言之,由,
 * $$\begin{align}

Re \left(-a\pm a\sqrt{1+4\frac{f}{a}(e^{i\alpha}-1)}\right)=0 \end{align}$$ 出发,利用
 * $$\begin{align}

Re(z) = \frac{z+z^*}{2} \end{align}$$ 来化简运算,两边平方后得到
 * $$\begin{align}

2+8\frac{f}{a}(\cos\alpha-1)+2\sqrt{1+8\frac{f}{a}(\cos\alpha-1)+16\frac{f^2}{a^2}2(1-\cos\alpha)}=4 \end{align}$$ 移项后再次平方,可得
 * $$\begin{align}

16\frac{f}{a}\cos^2\alpha-16\frac{f}{a}-16\cos\alpha+16=0 \end{align}$$ 易证这就是
 * $$\begin{align}

\frac{f}{a}=\frac{1-\cos\alpha}{1-\cos^2\alpha}=\frac{1}{1+\cos\alpha}=\frac{1}{2\cos^2\alpha/2} \end{align}$$

Fig.10 这里$$0<\Delta x<1$$部分的稳定区域,特别是在$$\Delta x \sim 0$$处导数为零,起到稳定降速车辆的作用,最后车辆速度不会像Fig.11那样变成负值.

Kink soliton characterizing traffic congestion Phys. Rev. E52, 5574
此文原则上是考虑Bando一文的数学解.考虑的是在临界点附近展开得到的运动方程,并再考虑高次项.得到的结果是所谓可变形孤子解.具体推倒其实未能理解文章的Eq.(5),其实就开始迷失.

Cluster effect in initially homogeneous traffic flow, Phys. Rev. E48, R2335
本文同样是一篇讨论交通流稳定性的文章.做法同样是在稳定解的周围寻找微扰满足的方程.注意到在相对论流体力学中,如果方程有不稳定解,或者超光速解说明方程有问题.在交通流中,不稳定解仅仅意味着出现堵塞,因为方程永远是近似的,司机会改变运动规律使得堵塞不会真的随时间指数增长.具體推導可參見https://goo.gl/photos/UQ9AJAnGd6x2MbwHA

(14)这是在均匀解周围做扰动(11)得到的扰动谱$$\gamma$$对波数$$k$$的方程.

如果我们把波动方程(4)和连续性方程(1)的解展开为
 * $$\begin{align}

&v=v_h+\delta v \\ &\rho=\rho_h+\delta \rho \end{align}$$ 其中$$v_h$$和$$\rho_h$$为均匀解部分,他们满足(1)和(4). 代入方程(1)和(4),并扣除均匀解$$v_h$$和$$\rho_h$$部分,从而得到$$\delta v$$和$$\delta \rho$$满足的方程.
 * $$\begin{align}

&[(-\gamma)+v_h(ik)+\frac{1}{\tau}+\frac{\mu}{\rho_h}k^2]\delta v+[c_h^2\frac{1}{\rho_h}(ik)+\frac{\xi}{\tau}]\delta\rho=0 \\ &\rho_h(ik)\delta v+[(-\gamma)+v_h(ik)]\delta\rho =0 \end{align}$$ 其中注意到空间均匀的解意味着$$\frac{\partial v_h}{\partial x}=\frac{\partial^2 v_h}{\partial x^2}=0$$.(而实际上,由连续性方程(1),这意味着稳态解$$\frac{\partial v_h}{\partial t}=0$$),这样实际上导致比如下面的展开没有贡献
 * $$\begin{align}

\frac{1}{\rho}=\frac{1}{\rho_h}-\frac{\delta \rho}{\rho_h^2}+\frac{\delta \rho^2}{\rho_h^3}\cdots \end{align}$$ 上面的方程最后导致
 * $$\begin{align}

\gamma^2-\gamma(2ikv_h+\frac{\mu k^2}{\rho_h}+\frac{1}{\tau})+ik(\frac{\mu v_hk^2}{\rho_h}+\frac{v_h}{\tau}+\frac{\rho_h\xi}{\tau})+k^2(c_h^2-v_h^2)=0 \end{align}$$ 注意到除了用"自然单位"归一化以外,与(14)相符.

(15) 注意到當$$m=0$$時,解是空間均勻的,故時間因子導致漲落的空間積分不為零,從而粒子數不守恆.而當$$m\ne 0$$時,漲落的空間積分為零,從而保證了粒子數守恆.

(16b) 導出對$$\lambda$$的方程為
 * $$\lambda(2\omega-2kv_h)=\omega\left(\frac{\mu k^2}{\rho_h}+\frac{1}{\tau}\right)-k\left(\frac{\mu k^2v_h}{\rho_h}+\frac{v_h}{\tau}+\frac{\xi\rho_h}{\tau}\right)$$

一元二次多項式方程有兩個解,但是不清楚為什麼文中忽略了這個解.

(17) 文中允許的解導致
 * $$-\frac{1}{\tau}\pm \frac{\xi\rho_h}{\tau c_0}>\frac{\mu k^2}{\rho_h}$$

注意到其中的任何一個解也對應一元二次方程,所以有圖Fig.1中的形式,即兩個解對參數的曲線是一根二次曲線.

Fig.2-3 如文中所述,數值模擬通過把所有方程都轉化為一次方程來解.初始條件就是引入對應最低頻率$$m=1$$情況下的擾動然後看數值上這個擾動如何演化. 文中得到兩個重要結論.第一是演化波包的形式,這個形式在短時間內指數增長但是在有限時間后只能由具體的計算決定.第二是數值結果指出雖然擾動的相速度基本上有(16a)決定,即與計算出來的頻率實部基本一致,但是群速度與相速度相反,與交通流堵車相的實際情況一致.

Analysis of Micro-cars' Influence on Traffic Network Using a Microscopic Simulator
这是一个使用VISSIM程序来计算交通网络的例子.

Car-Following and steady-state theory for noncongested traffic
(3) 推导参见 Teoria do Fuxo de Tráfego (3.57)

(4) 对于稳定态(stedy state),状态不是时间的函数,所以解对时间的平移不变.故运动方程中的延迟时间大小对解没有影响.这个方程等价于(3)的证明参见 Teoria do Fuxo de Tráfego (4.14).在证明中如果把延迟时间记为常数.则
 * $$\begin{align}

M\dot{v}(t+\Delta)=-\lambda \frac{\dot{k}}{k}=-\lambda \dot{({\ln{k}})} \end{align}$$ 两边对时间做定积分,得到
 * $$\begin{align}

{v}(t+\Delta)-v(\Delta)=-\lambda ({\ln{k(t)}}-\ln{k(0)}) \end{align}$$

Experimental properties of complexity in traffic flow
本文是关于流-密度曲线存在$$\lambda$$形状的实验数据分析.

A behavioral theory of multi-lane traffic flow. Part I: Long homogeneous freeway sections
这篇文章首先给出了很多观察数据的总结,很有意义.

然后唯象的解释为什么存在观测到的流-密度曲线存在$$\lambda$$形状.该唯象理论包括(1)两种状态,两车道畅通状态和拥挤状态(2)在畅通状态(证据C3)和在拥挤状态(证据C4)下,曲线的斜率由波速决定.虽然这个模型并没有什么数学基础,且罗罗嗦嗦写了那么一大堆,但是其思想值得借鉴.

A car-following theory for multiphase vehicular traffic flow
从数学上说,本文仅仅是一个数值解微观模型的工作.其重要性在于试图解释流-密度曲线存在$$\lambda$$形状.实现的办法很简单,利用分段函数.

A molecular explanation for the long-term suppression of circadian rhythms by a single light pulse, Am J Physiol Regulatory Integrative Comp Physiol 280, R1206-R1212
本文是生物钟的研究.通过分子水平的蛋白表达和压制对应的常微分方程来得到其相空间的周期性解Limit Circle,讨论了各种解的特点.此文的方法可以在交通流的震荡态问题中予以借鉴.

Dynamic states of a continuum traffic equation with on-ramp PRE59 5101
本文是利用流体力学方程讨论交通流的各种相,特别是关于除了理想车流,均匀堵塞以外的各种震荡态的讨论.是这方面的重要工作之一.

文章首先给出了很好的回顾.在有匝道和定域微扰的稳定性,涉及同步流synchronized traffic flow,和滞待效应hysteresis effect等的讨论.

在流体方面,文章具体讨论了问题的数学形式和解.注意到本模型仅仅限于对匝道交通的讨论

(1) 注意到这里的匝道车流是作为外援输入(或者输出)的.匝道并非点输入,而是在一个有限的长度上都有输入.其余部分的公路是按流体运动方程来求解.

A. $$f_{up}>f_b$$ 这是小节标题,对应参数范围的不同的讨论.

Phase Diagram of Traffic States in the Presence of Inhomogeneities PRL82 4360
这个工作也是用流体力学来讨论匝道处车流的相变.这里的流体力学方程是按照分子动力学的思路导出的.

Experimental Properties of Phase Transitions in Traffic Flow, PRL79, 4030
这个工作从实验数据分析的角度给出了两个重要结果.第一是synchronized flow的概念的提出,这是一种与自由流和堵塞流不同的交通流状态.其特点是除了向上游放学传播的堵塞特点外,该流与下游方向的自由流相的交流面还可以向下游传播,第二延迟效应(hysteresis effect),这体现在从自由流相到堵车相的相变对应的车密度与反过来的从堵车相到自由流相的相变的车密度不同,后者小于前者.

Experimental Features of Self-Organization in Traffic Flow, PRL81, 3797
这篇文章讨论实验上贯彻到的stop-and-go现象.讨论了这个相的形成条件,其对时间依赖性的主要特点,对基本图线的影响.

Derivation properties and simulation of a gas-kinetic-based nonlocal traffic model PRE59, 239 (1999)
这篇文章从玻尔兹曼方程出发导出宏观流体力学交通流方程,得到所谓的GKT模型类似的模型.并且讨论了均匀流解,上述解的稳定性,冲击波解.

Congested traffic states in empirical observations and microscopic simulations PRE62 1805
这是著名的用微观模型得到包括stop-and-go结果的数值模拟.注意这里stop-and-go解是通过参数的不均匀性,以及非微扰的不连续冲击条件得到的.

Origin of Synchronized Traffic Flow on Highways and Its Dynamic Phase Transition, PRL81 1130
这篇文章研究匝道处的交通流,明确提出,同步流(Sychronized Flow)对应数学中动力学体系通解的圆极限(Limit Circle).文章给出了在流体力学模型情况下,如何通过脉冲初始条件来获得同步流解.这样的解的特性是,它使得基本曲线不再有一一对应关系,它与自由流的相变自然的具有滞后效应(Hyteresis).作者认为在平直公路上的同步流并不对应圆极限,而仅仅是普通的震荡衰减解.

Spontaneous Symmetry Breaking in a One Dimensional Driven Diffusive System, PRL74, 208
这里研究一维格子气体模型的动态不含时解(解不含时,但不是静态解,因为体系的边界条件不是静态的)对称性自发破缺问题.说明虽然一维的Ising模型没有相变,当然就没有对称性破缺的相变,这对于非静态系统并不成立,因为本模型不对应静态系统.

(2a) 其中等式右边的$$-(1-q)m_{i+1}$$中的两个负号相当于说"除非"正号粒子被一个其右边的符号粒子所"阻拦".如果讨论不随时间改变的动态稳定解,上式为则不能是$$i$$的函数.

(2b) 其中两步等式对应第一和最后一个晶格位置,它们相等因为讨论的解不含时.

Boundary-Induced Phase Transition in Driven Diffusive System, PRL67, 1882
这个工作研究非平衡态情况下的相变.由于非平衡态的关系,这个相变和平衡态下的相变不同.文章没有细读,所以仅仅给出粗略的总结.文章讨论了两种不同的相变,第一种是由边界条件的变化引起的;文章进而讨论了耗散项的随机涨落对上述结论的影响.第二种是由相互作用随机强度的变化引起的,这个强度的变化物理机制类似于温度的变化,所以这种相变显然与平衡态相变类似.最后文章简略讨论了一些简单情况下的关联函数.

Criticism of generally accepted fundamentals and methodologies of traffic and transportation theory: A brief review, Physica A 392 (2013) 5261
(1-2)

LWR模型的激波解的形成.当入射流总量大于基本曲线的最大车流时,(考虑匝道上的车流一定,模型中处理为外源)主干道上产生激波,从而流不守恒,激波的波面的下游的车流密度变大流变小,使得总车流小于基本曲线最大值.激波的波面向着上游传播,其速度随着匝道车流的增加而减小,这是因为激波波面的传播速度,等于两面两边的车流差比上密度差,车流差越大速度越大.这时候,读者可能会认为,塞车密度(由于基本曲线,塞车车流是它的函数)还具有不确定性,具体的模型除了基本曲线外,还需要塞车密度来决定激波的形成和传播.而实际上,由于流体运动方程LWR方程(等价于车流守恒方程)已经被确定了,利用流体运动方程和基本曲线(某种意义上等价于状态方程),激波的形成(体系的运动)被完全确定下来了.

我们还可以从微观的角度来考虑这个问题,这对应文章中引用的Daganzo的微观模型,该模型的运动方程相当于同时满足流守恒(任何微观模型都自然的满足流守恒)和基本曲线,而一个微观模型可以自然的确定运动方程的解.

塞车区域(wide moving jam)的自然消失.塞车区域即两个激波面中间的区域.这是因为塞车区域的(车辆运动方向)下游激波面的运动速度是从完全塞车密度(塞车区域流为零,为完全阻塞)到自由流最大值(塞车区域向下游的出射流为自由流最大值)对应的密度决定,对应图Fig.6(f)的导数为负数(激波面向上游传播)的实线,另外赛车区域的上游激波面的运动速度是从完全塞车密度到某自由流密度(由实际系统决定),对应图Fig.6(f)中导数为负数的虚线,虚线斜率的模小于实线斜率的模,所以塞车区域随着时间变小,最终将会消失.

LWR模型的受迫塞车的形成.当塞车区域向上游传播并且通过匝道口后,匝道向下游的流是自由流最大值,而塞车区域的下游激波面的出射流受到匝道影响,无法达到自由流最大值,所以在塞车区域完全消失(前面的讨论)前,在塞车区域和匝道之间存在某种塞车区域.

Steady-state solution of hydrodynamic traffic models, PRE69, 016118
这是一篇原本送到PRL上的文章.文章讨论流体力学模型的各种行波解.其中包括limit circle解.但是文章只是从凑解的角度出发,而没有能够讨论所得到的解的稳定性(后者可能本身就是不可完成的任务).

(4) 这个式子就是需要以行波解(1)作为前提才能得到.在这里群速度$$v_g$$和群流$$q_g$$都是待定常数,而按文中的思路,他们是积分常数可以随便取,所以最后的解(见图4)就是以这两个参数构成的空间中讨论的,因为几乎对任意参数都存在物理上有意义的解,所以群速度的物理意义似乎并不清楚.

Macroscopic traffic models from microscopic car-following models, PRE64, 056126
这篇文章从微观模型推导流体力学模型,经典之作.

(3)利用 $$\frac{\partial \phi(x-x',t-t')}{\partial t}=-\frac{\partial \phi(x-x',t-t')}{\partial t'}$$并利用(1)自然满足流守恒的结论即得.

(4)这里比较难证明的是方程右边的第二项.代入(5)后对$$x$$的导数仅仅对$$\phi$$作用,将导数转嫁到$$x'$$后,利用部分积分法(和$$\phi$$的边界条件)将导数再次转为$$\delta$$函数中的$$t'$$.注意到等式左边是时间的导数对应两项之和,第一项是对$$\dot{y}$$的导数,第二项是对$$\delta$$函数的导数.

(7)注意到$$v\frac{\partial \rho}{\partial t}=-v\frac{\partial \rho v}{\partial x}=-\frac{\partial \rho v^2}{\partial x}+\rho v\frac{\partial v}{\partial x}$$,即得.

(10)就是将 函数的泰勒展开取平均 减去 函数的自变量的平均代入泰勒展开,即得.

(23)将其中的项按对应关系替代,注意到倒数的导数的形式即得.

(24)这里按书中所述,忽略对速度的高阶导数即得.因为$$\frac{\partial^2 v}{\partial x^2}$$以$$\rho^{-1}$$为中间变量可以写为两项之和,其中的一项按文中的讨论为高阶导数被略去.