Research Paper Notes on Holographic Superconductivity

Research Paper Notes on Holographic Superconductivity

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文献列表

 * Ginzburg-Landau theory for superconductors, Rep. Prog. Phys. 36 (1973) 103, by Cyrot M.
 * Introduction to Holographic Superconductor Models, arXiv:1502.00437, by Rong-Gen Cai, Li Li, Li-Fang Li, Run-Qiu Yang


 * Introduction to Holographic Superconductors, arXiv:1002.1722v2, by Gary T. Horowitz
 * Holographic Superconductors with Various Condensates, arXiv:0810.1077, by Gary T. Horowitz, Matthew M. Roberts
 * Holographic Superconductors, arXiv:0810.1563v1, by Sean A. Hartnoll, Christopher P. Herzog, and Gary T. Horowitz
 * The AdS/CFT Correspondence and a New Positive Energy Conjecture for General Relativity, arXiv:hep-th/9808079, by Gary T. Horowitz and Robert C. Myers
 * Colorful Horizons with Charge in Anti–de Sitter Space, arXiv:0803.3483, by Steven S. Gubser
 * Holographic Superconductors with various condensates in Einstein-Gauss-Bonnet gravity, arXiv:0912.2475, by Qiyuan Pan, Bin Wang, Eleftherios Papantonopoulos, Jeferson de Oliveira, Alan B. Pavan


 * Supercurrent: Vector Hair for an AdS Black Hole, arXiv:0809.4494, by Pallab Basu, Anindya Mukherjee, and Hsien-Hang Shieh
 * Holographic model of superfluidity, arXiv:0809.4870v3, by C. P. Herzog, P. K. Kovtun and D. T. Son
 * The Many Phases of Holographic Superfluids, arXiv:1006.5165v2, by Daniel Arena, Pallab Basu, and Chethan Krishnan
 * Holographic p-wave superfluid in Gauss-Bonnet gravity, arXiv:1610.02549, by S. Liu, Q. Pan and J. Jing
 * p-wave holographic superconductor in scalar hairy black holes, arXiv:1904.00428, by D. Wen et al.
 * A thermal quench induces spatial inhomogeneities in a holographic superconductor, arXiv:1308.5398v3, by A.M. Garcia-Garcia, H.B. Zeng, and H.-Q. Zhang

Ginzburg-Landau theory for superconductors, Rep. Prog. Phys. 36 (1973) 103, by Cyrot M.
(2-3)

首先关于相变的定义的讨论可以参见这个stockexchange帖子.

伦敦方程是超导体最为经典宏观唯象的方程.伦敦方程并不取代麦克斯韦方程组中的任何一个方程.其实四个麦克斯韦方程都是以电荷电流为外源如何决定电磁场的运动方程.反过来,在经典电动力学中,以电磁场为源决定电荷运动的方程的微观形式就是洛伦兹力,而对于宏观材料,一个最常见的形式就是库仑定律.伦敦方程其实就是取代后者的.

具体的,宏观超导理论是双电流理论.体系同时包括满足库伦定律的普通电荷和满足伦敦方程的超导电荷.伦敦第一方程是说超导电荷的电流和电场的关系,并非成正比而是前者对时间的导数和电场成正比,对应微观上超导电荷在电场的作用下做加速运动,即零电阻效应.伦敦第二方程决定了伦敦第一方程和麦克斯韦方程结合后原则上没法决定下来的一个积分常数,这个积分常数的取法,如果电场不含时(或不存在),即对静态解,磁场在超导体内随着距离必以指数形式衰减,即绝对抗磁性,迈斯纳效应.

由麦克斯韦方程本身和零电阻,我们表明上可以通过下面的例子直观的理解零电阻情况下磁通量被囚禁在超导体内的说法.因为可以考虑电场沿着圆柱体轴向,即电流方向的初始条件.这时,由于对称性在圆柱体大圈的切线方向上电场分量为零,电场在圆柱体横截面大圆上的线积分为零.假设某一时候导体忽然变为超导体,电场仅仅沿着电流方向由有限值变为零.由电流产生的磁场对称的沿着圆柱体横截面大圆的切线方向,其变化产生的电场仍然沿着圆柱体的轴向.这样,电场沿着圆柱体横截面大圆的线积分在整个过程中不变,始终为零.这样如果开始时刻有磁场处于圆柱体内,则该磁通量随着体系变为超导体没有变化,从而被囚禁在超导体内.在蔡胜善的经典电动力学中,这个结果和(7.14)是自洽的,后者说在形成超导体后,磁场随时间的变化在超导体内随距离以指数衰减.

但实际上,因为伦敦第二方程是一个独立的附加条件,这意味着,原则上如果引入从库伦定律到伦敦方程的渐变形式,可以通过解方程组得到体系宏观的时间演化解.虽然不是显然的,但是其实磁场并不完全由电流决定,上述分析中没有考虑的感应电场其实可以在超导体形成过程中产生圆柱体横截面上的涡流,这个局域有旋的电场,把磁场排斥出导体外.

注意到两个方程在一定条件下可以写成统一的形式.这就是文中给出的,在库伦度规即标势为零的情况下,电流正比于矢势的表达式.对比库仑定律,这个式子其实是说,代替电场,超导电流是和磁场(矢势)成正比.

(9-10)

朗道-金兹伯格模型.这个模型的相变机制是朗道的二级相变唯象理论.这里两个方程都是由变分而来.

第一个方程相当于考虑了对称性自发破缺的薛定谔方程.注意在临界温度以下$$\alpha<0$$,自由能最小的情况是波函数为对称自发破缺解,基态基本上是经典解几乎没有量子修正,空间导数为零,电磁场为零.这时没有电流和外场,但是超导电子密度不为零.

第二个方程直观的物理意义是超导电流就是波函数的概率流.它的推导稍微不直接些,但注意到(8)最后一项其实是矢势旋度的平方,注意到先用矢量运算关系,再把微分算符用部分积分改变作用对象,最后注意到重复因子2即得
 * $$\frac{\delta\left[(\nabla\times A)\cdot(\nabla\times A)-2(\nabla\times A)\cdot H_a\right]}{\delta A}=\frac{\delta\left[((\nabla\times A)\times\nabla)\cdot A-2(H_a\times\nabla)\cdot A\right]}{\delta A}=\frac{\delta\left[(A\cdot \nabla\times(\nabla\times A)-2A\cdot(\nabla\times H_a)\right]}{\delta A}=\frac{\delta\left[(A\cdot \nabla\times(\nabla\times A)\right]}{\delta A}=2\nabla\times(\nabla\times A)$$.

我们总结起来讨论下超导体排斥磁场和自由能的关系.超导体排斥磁场是方程(10)和麦克斯韦方程的结果,换言之电磁体系能量最低的要求.但是按方程(8)其实磁场为零$$H(r)=0$$使得吉布斯自由能增加(后面的$$H_a$$是人为施加的外场,而$$H(r)$$是与超导体产生磁场叠加后的剩余磁场),这是因为物理上把电磁场推出超导体外需要做功.如文中所述,只有当这部分功小于对称性自发破缺带来的体系能量的减少值.否则,波函数为零,(10)决定的超导电流为零,电磁场可以进入超导体.因为外磁场是由固定外源提供的,所以把磁场排除掉吉布斯自由能反而高.注意到这和在没有人为外场情况下体系自动产生的磁场的吉布斯自由能是完全不同的情况.在此意义上,(8)应该是吉布斯自由能的表达式,等式右边也没有$$F_n$$,运动方程仍然由对场变分得到.也参见这个问题.

(17-18)

这里涉及到两个物理尺度.第一个尺度由(17)上面一式比较(5)得到,注意到(17)上面一式左边是$$\vec{j}$$.这时考虑超导基态波函数基本不是空间坐标的函数(从而超导电子数密度是常数),在上引入很小的磁场后基本不会改变波函数形式,这样得到超导电流和磁场的关系直接和伦敦方程对应.换言之,朗道-金兹伯格模型包含伦敦方程的所有信息.自然的,考虑麦克斯韦方程即可得到磁场的渗透深度.(22)下面一段中的一个表达式有误,应该是零点能(不含$$\frac12$$)和频率两个不同的表达式.

第二个尺度是仅考虑超导电子的运动方程对应的格林函数的形式,决定的关联函数的指数依赖关系,即场论中熟知的关联长度与等效质量呈反比的结论.换言之,朗道-金兹伯格模型包含了伦敦方程没法涉及的体系的量子力学内涵.

他们的比值$$\kappa$$无量纲.是把朗道-金兹伯格模型的只有能无量纲化后唯一剩下的参数.

(22)

在导出(22)时,因为假设波函数很小,所以可略去$$\beta$$项在自由能中的贡献,所以下面讨论与朗道二级相变决定的相变点无关.按(8)自由能最小值主要由磁场贡献决定,问题的解比较接近普通导体的情况,磁场进入超导体.但是我们考虑波函数的空间依赖关系,具体讨论方程(9)的解,称为II类超导体.

如文中所述,这里在数学上等价于在匀强磁场加上一个常数势场$$\alpha$$中的粒子的薛定谔方程的解的问题.注意到在温度低于临界温度情况下$$\alpha<0$$,所以两项的贡献正好相差一个负号.容易发现,这时薛定谔方程的解对应著名的朗道能级问题.注意这里的薛定谔方程没有能量项,即体系总能量正好为零.要两项的贡献正好抵消,前者有最小值$$\frac12\hbar\omega_c$$上不封顶,后者固定.所以方程存在非平庸解要求谐振子解的零点能小于等于常数势场$$\alpha$$的势能,从而得到第二类超导体临界磁场的表达式.

注意,因为这时波函数的空间依赖关系是重要的,代回方程(10)不再简单的得到伦敦方程,换言之,伦敦方程对应的宏观图像不再成立.具体的,需要对问题做更为细致的讨论.

(24)

库帕对的物理概念的一个直观解释可以参考比如Ibach和Luth所著的Solid State Physics的第10.3节的讨论.这个讨论说明为何电子间,除了以光子为媒介的库伦力,为何通过声子的相互作用是吸引的?为何两个电子以声子为媒介的相互作用在处于费米面动量相反位置时为最大?为何在费米面之上的两个电子通过这个相互吸引作用最后能量比费米面要低?具体讨论可以参见Kbar和Luth的Solid State Physics,和这个讨论.

对于超导态,考虑的是一个有很多库帕对构成的哈密顿量的能量最小值,以及它和没有相互吸引的电子对作用的哈密顿量的能量的差别.通过手动打开电子对来计算能隙.

Introduction to Holographic Superconductor Models, arXiv:1502.00437, by Rong-Gen Cai, Li Li, Li-Fang Li, Run-Qiu Yang
(1)

这里关于朗道-金兹伯格模型的讨论基本参考了Cyrot M.的综述文章.具体讨论参考上述相关笔记.

Introduction to Holographic Superconductors, arXiv:1002.1722v2, by Gary T. Horowitz
这篇虽然时间在后,但是是对拓扑超导体的物理模型与数学架构基础性的讨论.

(7-8)

我们首先讨论一下常微分方程的初始条件与偏微分方程的边界条件的性质.

这里涉及两个两阶常微分方程,方程之间是耦合的.我们知道,两阶常微分方程具有两个积分常数.以牛顿力学为例,它的物理意义就是问题的初始条件,在运动学问题中对应初始位置与速度.实践上,通过函数和一阶导数可以通过数值积分得到未知函数,而这个数字2正对应着方程的独立通解数目.因此,数学上,问题的通解涉及四个独立的参数.作为比较,我们考虑一个特殊情况,假设我们只有一个两阶常微分方程,而且方程是齐次且线性的.这时,方程的通解是由两个积分常数决定,而且由于方程是线性的,其中的一个常数对应解的归一常数.一个具体的例子的简谐振动,这时解的两个积分常数可以分别取为振幅和初始幅角.如果方程不是齐次的,那么方程的一个解乘以任意常数不再满足方程,但问题的通解仍由两个常数决定.

作为比较,考虑两阶的偏微分方程的边界条件.不失一般性,我们以高斯方程为例.它的边界条件与解的唯一性在经典电动力学书籍中被很充分的讨论且赋予具体的物理意义.我们知道,这时数学上充分的边界条件有第一类边界条件和第二类边界条件.对于第一类边界条件,如果我们在直角坐标系中考虑方形的边界,其实就是确定了函数在任何一个坐标两侧(!)边界上的值.换言之,这与上述常微分方程的初始条件及积分常数数目的讨论是一致的.

文章指出,考虑在无限远的条件下,对$$\psi$$的方程,按$$f$$的渐进行为(2)代入,舍去高阶项后,得到一个关于$$\psi$$的二阶齐次方程(这是必然的,因为非齐次的项的贡献不是同量级的).假设贡献最大的项的形式为$$r^n$$,代入后得到关于$$n$$的二阶多项式(因为原场方程为两阶微分方程),有两个解,正是(10). 注意到这里虽然是解的渐进行为,但仍然涉及两个积分常数. 对$$\phi$$的情况非常类似.但是两个解中一个解$$n=0$$对应常数解,另外一个解对应$$\rho$$项.由(11)给出. 上述讨论解的渐进行为的过程和特殊函数论中的级数解法非常类似.虽然后者是在求通解,这里是在求极限情况下贡献最大的项.

上面已经指出,数学上的通解有四个独立的积分常数.利用物理上的要求,我们把这四个参数缩减为两个. 相关的物理条件分别是利用在视界处$$\phi(r_+)=0$$的边界条件,来源于$$g^{\mu\nu}A_\mu A_\nu$$必须有限的要求(注意到在无限远处没有对$$\phi(r_+)=0$$的边界条件). 另一个要求是在无穷远处,由线性响应理论,把其中的一个对应于"源"的项取为零$$\psi_-=0$$. 注意到,在具体分析中,对于$$\psi$$方程,在视界附近函数及其一阶导数满足一个关系(因为$$f\to 0$$,两阶导数项的贡献与其他项相比可以忽略不计),这样形式上似乎得到一个混合边界条件. 但这个关系(可以对很多微分方程导出)并不导致自由积分常数的数目的变化.相关具体分析参见下面的讨论.

这样方程(7-8)的解是原则上由两个参数决定的.在实际操作中,我们可以利用试射法等多种方法来决定解. 在具体讨论各种方法之前,我们解释一下文章Fig.1中给出的结果为什么对应了两个自由参数.显然第一个自由参数就是图中横轴,那么第二个参数在哪里呢? 实际上,由于方程满足标度变换(13),所以如果我们找到方程的一个解,就可以利用标度变换得到由一个参数(标度$$a$$)决定的一组解. 如果和上述简谐振动的齐次方程做类比,不难理解这个参数本质上就是一个自由的积分常数.由这个参数决定的解具有characteristic解的特征. 而Fig.1是把标度取定的情况下,如给定$$r_+=1$$,改变任意一个其他的积分常数,比如$$\rho$$得到的.所以如前所述,改图的横轴对应第二个自由的积分常数.

现在让我们来分析问题的若干数值解法.

Carlos Dudu的程序编写的思路如下. 首先是在边界上用$$\psi$$和$$\phi$$的函数和一阶导数来调整炮台方向.因为$$\phi(r_+)=0$$和$$\psi$$在视界上的函数和一阶导数满足的关系,视为一个混合边界条件,我们仅剩下两个自由参数.在这两个参数中先固定$$\phi$$的一阶导数,通过调节$$\psi$$在视界上函数值来使得在无穷远处$$\psi_-=0$$为零,这样就找到了一个满足物理条件的解,它对应Fig.1中曲线上的一个点.接着调节$$\phi$$的一阶导数的数值,最终得到一根曲线.表面上,上述混合边界条件去掉了一个自由参数,本质上,这个做法可行的理由是因为characteristic解的特征.

而原作者是通过试射法求解的.网上公开的mathematica程序的算法实现如下. 在视界上,因为函数没有奇性,$$\psi$$和$$\phi$$都可以用泰勒展开,而实际上因为$$\phi(r_+)=0$$的边界条件,后者的展开从一阶开始.把展开代入方程,发现实际上两个展开都可以用最低阶系数完全决定.这样其实只有两个独立的参数.这时,取定其中的一个参数,比如$$\phi$$的一阶展开系数,就可以通过另一个参数的试射来使得在无穷远处$$\psi_-=0$$为零.这样问题同样得解,其中首先取定的参数为具有物理意义的解的参数,比如温度.

这时问题来了.第一个问题.上述做法其实具有很大的普适性,因为一般波函数总是可以在视界上展开,代入方程后,总是可以把波函数的所有展开系数都写成第一个系数的表达式.从而用试射法来满足无穷远处的边界条件.但是这样做似乎会导致一个佯谬.因为原则上,如果方程是三阶的,换言之,通过方程在无穷远处的渐进行为我们会发现其实方程有三个,而非两个,独立的解的话,仍然可以通过在视界上固定一个参数而调节另一个参数,由试射法得到了在无穷远处满足边界条件(源为零)的解.而另一方面,在视界上,我们仅有可调一个自由参数.这样,我们明明知道通解包含三个自由的参数,去掉边界条件后还剩两个.因此,问题本身的自由积分常数的数目与视界上的自由参数数目不同,导致佯谬!

按与林恺的讨论,对上述问题可理解如下.我们处理吕红的黑洞解的问题的数值方法就是在视界处做类似展开,在实际操作中,的确只涉及一个可调的自由参数.同时,在无穷远处的边界条件是唯一的.数值上这时却能得到两个线性独立的解,对应试射法射到无穷远时的结果随着视界处自由参数的连续变化从射(偏)高连续变化到射(偏)低再连续变化到射(偏)高.这样不难想象,视界处的单参数的边界条件并不意味这方程不存在不同的线性独立的解.具体的,单一参数的不同取值本身就可能对应到不同的线性独立的解.这是非线性方程的一个重要特性.

我们还可以从另一个角度来考虑这个问题.我们考虑对微分方程用级数方法来求解,这时我们展开到无限阶,所以得到的是展开系数的递推方程,而并非如展开到有限阶情况下得到封闭的方程.对于前者,以氢原子径向本证方程为例,不同的线性独立的解已经严格的包含在系数的递推方程中了.对后者,其实方程的数目与未知展开系数的数目是在解方程前被决定的.一般,在具体实践中,我们要人为的把方程的数目选为比变量的数目少一个,这样才能近似的把解表达为最低展开系数的函数,如果把方程的数目选为比变量数目少两个,那么解就能被表达为最低阶的两个系数的函数. 因此,上述展开阶数与方程的截断阶数必须与微分方程阶数以及有物理意义的边界条件扣除的独立积分常数数目保持一致. 实际上,在另一侧无穷远处,有物理意义的边界条件扣除的独立积分常数往往是通过采用试射法来实现的.

第二个问题.试射法在具体操作中可以直接用求根命令由边界条件(源为零)得到一个自由参数的值.这个求根的方程一般是多项式方程,包含多个根.其实根的数目和最初波方程的展开阶数有关.那么我们怎么知道哪个根是有物理意义的呢?

按潘启沅,解释如下.这里不同的根很多时候对应波函数满足边条件的不同激发态的解.我们其实一般最关心的基态解,在一维情况下,能量最低的基态解对应的是没有节点的波函数,而以后节点数对应能级.另外,对于两阶微分方程,方程的数目为展开的阶数减去2,这样保证了所有展开项对所考虑的方程导数项的贡献都是完整的,但是展开到有限阶本身已经引入了近似.另外注意到,这里的场方程并非本证方程,所以很可能除了方程本身存在的线性独立的解以外的解都是增根.

上述讨论中涉及的具体程序参考mathematica的nb文件的注释.

最后这里涉及到Breitenlohner–Freedman(BF)bound,这是一个在AdS空间标量场,从而AdS时空本身,稳定性的问题.可以证明,这是标量场质量可以为负数,只要不是太大的负数就行.这个质量的下限就是BF限.

(13)

标度变换.

要证明一个运动方程具有标度不变性,我们给出一个简单的例子.下述两阶常微分方程
 * $$f''(x)+\frac{f(x)}{x^2}=0$$

具有标度不变性.具体的,如果$$f(x)$$是上述方程的解,那么$$f(\lambda x)$$也是方程的解.这是因为,将$$f(\lambda x)$$代入方程,得到
 * $$\lambda^2 f''(\lambda x)+\frac{f(\lambda x)}{x^2}=0$$

两边除以$$\lambda^2$$即得
 * $$ f''(\lambda x)+\frac{f(\lambda x)}{(\lambda x)^2}=0$$

从一个更一般的角度引入标度变换,是认识到在变换下拉格朗日和$$ds^2$$等标量的形式不依赖于标度因子$$\lambda$$.这样,对场做变分后得到的所有的运动方程都是标度不变的.换言之,把运动方程都写为没有量纲的量的方程.这里的没有量纲的量是通量纲的物理量的比值的形式.

在实际计算中,任何一个物理量都和某标度维度相联系,比如$$A\rightarrow \lambda^n \tilde{A}$$,那么$$A$$的维度为$$n$$.比如我们可以用这样的分析得到标量场的凝聚$$\psi_+$$的维度为$$\Delta+1$$.

这样我们在最后输出结果的时候,可以把所有结果都表达成同样标度维度的量的比值的形式.这样的结果不依赖于具体标度的选取.Fig.1中横轴与纵轴都是随标度变换不变的量.

我们的上述方程的解依赖于一个参数$$a$$,按上述讨论,这个参数相当于数学问题通解中的一个积分常数.通过这样的解来获得与标度相关的物理量的过程相当于数学上的characteristic解.按下面的讨论,$$\rho,T$$都可以自由变化,对应两个独立的积分常数.但因为运动方程的标度不变性,其中一个积分常数对应标度$$a$$,而问题的解仅依赖于另一个自由参数.

具体的,在实践中,比如在解的时候取定视界半径为$$r_+=1$$,而通过改变$$\rho$$获得不同的解.由于视界半径是一定的,黑洞的质量和温度就被确定下来了. 在计算中,我们需要计算物理量随着温度的变化.为此我们考虑标度不变量$$T/\rho^{\frac{1}{3}}$$.我们知道一个$$\rho$$变化而温度$$T$$不变的系统的运动方程和一个温度$$T$$变化而$$\rho$$不变的系统完全等价,换言之,这样我们把一个变化$$\rho$$的运动方程的解表达为$$\rho$$一定,温度变换的运动方程的解.

这部分讨论参见PRD 79, 045010 (2009)一文,(11)下面一段的分析.

(18)

这里给出电导率从电矢势角度的推导.

(22)

这里实部和虚部的关系式任何解析函数满足的,推导参见维基页的证明 如果做代换$$\omega\rightarrow\omega_0, \omega'\rightarrow\omega'_0$$容易说明对实轴上任何位置,实部和虚部都满足$$\delta$$函数和极点的关系.

Holographic Superconductors with Various Condensates, arXiv:0810.1077, by Gary T. Horowitz, Matthew M. Roberts
(7)

这是在边界上场论的格林函数的定义,其实这个表达式有错,应该是$$\frac{A'_x}{A_x}$$.按无穷远处(边界上)的渐进行为(8)即得(9).这样就得到了电导率和格林函数的关系.一个简单的分析又参见Horowitz的Introduction一文的(18).具体的推导原则上需要参考arXiv:1409.3575一文(10.21)之前的推导,但是实际上更为复杂,来自文章的引文arXiv:hep-th/0205051v2的(3.15)式,但是由(3.12)的推导并比较(3.6)与(3.11)不难注意到(3.12)应该除以(3.11)中夹乘的场算符是错误的源头.具体的,利用修正后的(3.12),我们有$$\sqrt{-g}=\sqrt{ff^{-1}r^{2(d-2)}}=r^{d-2}$$,$$g^{rr}=f_{rr}^{-1}=f\sim r^2$$,将解的渐进行为(8)代入(7),我们不难得到(9).

在生成泛函中,因为矢势和四电流耦合,所以生成泛函对矢势时间分量的偏导的系综平均得到电荷密度,而对矢势空间分量的偏导的系综平均得到电流密度.因为这个原因,引入的外源分别在计算静态凝聚时是矢势的零分量,得到的体系净电荷不为零;而在计算电导率时引入矢势的空间分量,在体系中引入微小的电流.

复电导率的实部和电导性能有关,当趋近于无穷大的时候对应超导.其对应的格林函数的极点和激发的准粒子的质量有关.

另外,对于化学势的叫法,我们指出,按arXiv:1409.3575一文P.144注脚,这里化学势是在称呼与电荷密度共轭的物理量.而在arXiv:0809.4870一文(6-8)附近的讨论指出巨正则系综的化学势就对应矢势的零分量.

Fig.2

对所有四个图,在频率为零时,电导率为$$\delta$$函数,电导率实部(实线)函数值为无穷大这样对应体系的超导态.这时电导率的虚部趋近于无穷大对应极点.这里实部和虚部的关系式满足任何解析函数的特性,参见Introduction一文的(22)

值得注意的是,$$\omega \rightarrow 0$$对应最重要的频率为零时的直流电导率.但这里数值计算是无法得到实部对应的非常尖锐的$$\delta$$函数的,但是虚部对应的$$1/\omega$$的极点是可以被观察到的.

对于右上方的图,虚部出现了第二个极点(在极点两侧函数区域分布趋于正负无穷大),实部出现了相应的$$\delta$$函数.在两个极点之间的电导率实部为零,故完全不导电.其他三个图虽然有的没有出现第二个在实轴上的极点,但是也出现了电导率实部为零的绝缘区域.这时我们利用格林函数的极点对于准粒子质量的物理意义,这里两个无限寿命的粒子的激发态之间的能量差就是频率的差$$\omega_g-0=\omega_g$$.

但是这个在准粒子态之间跃迁的过程并不是BCS理论的物理图景,因为第二个准粒子态是一个超导态.而BCS理论对应的是普通导电态.

这是看左下图.这是虚部有一个极小点,实部有一点点像$$\delta$$函数.这实际上是因为极点这时极点是在$$\omega$$的复平面上,当$$\omega$$在实轴上经过时,只能感受到一个极值,而非极点.如果被激发到这个极点,对应的电导率实部为有限的数值,所以是普通导体.因为极点在复平面上,对应的粒子是一个有限寿命的共振态.

温度在临街温度以上的时候,电导率为常数.见Introduction一文的Fig.3.这是可以理解为极点在离开实轴很远的地方,这时体系在共振态之间演化,电导率的实部导致耗散.

Holographic Superconductors, arXiv:0810.1563v1, by Sean A. Hartnoll, Christopher P. Herzog, and Gary T. Horowitz
考虑了反作用的拓扑超导模型.

大师的工作,是AdS/CFT应用很好的范文.文章引言部分提到AdS/CFT运动方面的不严格性以及应用的限制.

(3.3)

这里把复标量场取为实数,简单推导如下.

在假设了旋转对称的ansatz后,电磁场方程的$$t,r$$分量原则上都不是平庸的.最后文章使用的是$$t$$分量,而考虑$$r$$分量.具体的,利用关系 $$A_r=A_x=A_y =0$$从而$$F_{tr}=F_{ry}=F_{rx}=0$$ 不难证明,相应的方程为
 * $$0=\nabla^\mu F_{\mu r}=\nabla^r F_{rr}=2q^2\psi^*\psi A_r+iq(\psi^*\nabla_r\psi-\psi\nabla_r\psi^*)=iq(\psi^*\nabla_r\psi-\psi\nabla_r\psi^*)$$

因此$$\psi^*\nabla_r \psi=\psi\nabla_r \psi^*$$,导致$$\psi$$的幅角部分的导数为零,故$$\psi$$可取为常数,并忽略这个方程.

(3.5-6)

大电荷极限,并且保持$$q\phi$$和$$q\psi$$相当于把电磁场和标量场都取为一阶小,从而在爱因斯坦方程中被略去.

(3.8)

这是四个积分常数.但是我们有两个两阶方程,两个一阶方程,所以原则上有$$6=2\times 2+2$$个积分常数,但是物理上的要求$$\phi(r_+)=0$$以及$$\chi(\infty)=0$$即(3.14),使得仅剩下四个积分常数.

(3.9)

文丹提示,按Killing矢量$$\xi^\mu$$与表面引力$$\kappa$$的关系式$$\xi^\mu \nabla_\nu \xi^\nu = \kappa \xi^\nu$$,可以得到这个霍金温度的表达式.

具体的,这样定义的量$$\kappa$$是"表面引力",原因是这个量对应加速度,即四速度对纺射参数的协变导数.而后者是因为Killing矢量在视界上正比于恰好不掉进黑洞的类光世界线对应的四速度.

但文丹给出的结果和蔡老师,潘启沅等工作的结果一致,然而却与文中给出的表达式 不符.

(3.15-17)

这里存在三个使得运动方程形式不变标度变换.如上讨论,其中的一个被用来确保获得渐进平直的时空.相当于用一个物理上的条件来确定一个积分常数.另外剩下的两个来等效的改变$$L,r_+$$的数值.

这样,上述(3.8)中四个积分常数中的两个(从属于类似characteristic解的一部分)$$r_+,\chi_+$$不再是"自由的",仅剩下$$\psi_+,E_+$$和电荷$$q$$.这就是文中提及的"自由"参数.参见(3.18).与没有反作用的情况下比较,这时我们还没有从$$\psi^{(1)},\psi^{(2)}$$中按(3.12-13)对标量场的"源"作出选择.这点在(3.20)下的讨论中指出.

(3.18)

这里就是用级数展开的办法,利用第一个非零的展开系数,通过数值积分得到整个曲线.然后通过第一个标度变换来使得在边界处度规满足物理上的要求(3.14).这个做法的一个优点是,我们几乎可以不加修改的直接利用之前没有反作用情况下的试射法程序.注意到,按(3.20)下方的讨论,在这个从自由参数到可导出的量的映射关系中,我们还未按(3.12-13)对标量场的"源"作出选择.这也与之前的试射法算法一致.

(3.19-20)

由(3.5-6),$$g,\chi$$的方程都是一阶的,所以我们将已知的$$\psi,\phi$$在无穷远处的渐进行为代入,原则上可以得到一个可以被直接积分一次求解的常微分方程.它由$$\psi,\phi$$的渐进行为参数$$\psi^{(1)},\psi^{(2)},\mu,\rho$$决定.

由(3.19)以及似乎需要假定$$\psi^{(1)}=0$$才可以直接得到(3.20).具体 不清楚.

Fig.1

比较arXiv:0803.3295的Fig.1,在考虑了反作用后,凝聚在零温时不再发散.所以之前的发散是探头近似所致,这是物理上期待的结果.

(3.31)

按两元性原理的标准手续,这里通过计算在"壳"上满足运动方程的作用量,获得对应场论中的热力学巨势.注意到这里的计算涉及到对发散的边界项的重整化.对具体的比如Gibbons-Hawking项的来源, 需要学习.

(4.1-2)

这里考虑在之前的有标量毛的背景解下的微扰,除了电场微扰的空间分量$$A_x$$外,这里还考虑并仅考虑了度规的沿着$$x$$方向微扰$$g_{tx}$$.

得到的运动方程已由文丹重复,这里没有明确写出的方程,比如麦克斯韦方程的$$t$$分量,标量场方程,爱因斯坦方程的$$(tt),(rr),(xx)$$分量,都与之前得到的方程一致,或者并非线性独立.与新增的两个扰动自由度对应的两个新方程分别是麦克斯韦方程的$$x$$分量(4.1)与爱因斯坦方程的$$(tr),(rx)$$分量方程的差(4.2).文丹已给出具体计算,这里从略.

(4.3)

将(4.2)代入(4.1)右边的电池扰动方程的引力场"源"的部分,我们发现对应的电磁场扰动方程对偶,且其量子(Higgs粒子)的等效的质量进一步发生了变化.在规范对称自发破缺的情况下,电磁场量子,即光子,获得质量即为Higgs机制.如文中指出,这个机制在不考虑反作用的情况下也会出现.

在这里,如文中指出的,Higgs质量进一步变化,来源于平移对称性的恢复.注意到这里的导数是对$$r$$,所以所有的量都不是$$x$$的函数,这是ansatz,对应解具有空间($$x$$方向上的)平移不变性.这显然对应考虑空间动量为零的情况.因此,这里的所谓平移对称性的恢复是人为通过ansatz实现而非自发的.换言之,没有这个假设,不可能使得方程退偶而改变Higgs粒子的等效质量. 在空间平移对称性下,直流电导率趋于无限是物理上自然的结果.这是因为此时不存在电子与基于周期性晶格的声子的散射,而导致的能量损失.后者是电阻来源的物理解释.

进一步,文中指出平移对称性的恢复不会改变电流对磁场的反应. 因为只有在矢势是空间的函数(没有平移不变性)时才存在磁场,这时方程形式更复杂且不会退偶,所以Higgs的等效质量此时不会改变. 某种意义上,这部分叙述 似乎 没有更多的深度,可理解为对物理内容的平铺直叙,定性为大师级别的口水话.

(4.7-8)

与之前(3.31)类似,这里计算对应微扰部分的"壳"上的作用量.

(4.9)

当不考虑引力微扰时,利用线性响应原理,传导系数可以通过电流与电场的比值得到,它们分别对应(4.4)第一式等式右边的第一项与第二项的时间偏导.具体参见相关文献的笔记.

在这里,情况更为复杂,因为引力扰动对应的算符是能动张量,与分量$$g_{tx}$$对偶的是热流.它与电导以耦合的方式出现在同一个方程中.

与电传导类似,热传导系数的定义是热流与温度梯度的比值,这点可以从(4.9)等式右边矩阵相关项的温度$$T$$因子中读出.

这里,我们对(4.9)的形式给出简要的讨论.对于关系$$Q_x=T_{tx}-\mu J_x$$,从物理上说,如果没有粒子流,那么热流与温度梯度的比值就是热传导系数,当存在粒子流时,特别是这个粒子流本身对应了某种耗散过程,现在热流将受到额外的贡献.从数学上说,粒子流是作为守恒流引入作用量的,所以这导致了与度规扰动耦合的部分,与温度梯度的耦合项中出现了额外的与粒子流相关的贡献.这意味着维度梯度将导致额外的粒子流.由(4.9)第一行,外电场与温度梯度都将导致粒子流,第二行,类似的,热流同样来自于电场与温度梯度. 一个比较详细的证明可以参考arXiv:0904.1975讲义中(26)之前的讨论.

(4.14-15)

这是(4.9)的最简单的应用.考虑没有度规扰动,即温度梯度,情况下电导与热电导系数.

(4.18)

热传导系数的结果在直流情况下同样是发散的,这是意料中的结果.特别因为电流导致热流,而电流在恒定电场作用在一个具有平移对称性的系综中是发散的.

(4.22-23)

在直流情况下,电导率与粒子通过热涨落打破能隙的概率有关.(4.22)描写的就是这个关系.表格(4.23)显示,$$\Delta$$与$$\omega_g$$的比例不是整数,虽然在探头极限是,这个比值是更为"合理"的$$\frac12$$.文中在之后对此给出讨论,指出表格(4.23)不对应任何"整数"关系意味着体系的强耦合,不适用弱相互作用准粒子激发元的概念.注意到,BCS是弱相互作用准粒子图像,而波色爱因斯坦凝聚是强相互作用相关联图像.

Fig.4

按这里的讨论,我们得到了在其他文章中被其他作者使用的"结论",即凝聚与能隙是直接有关的.更大的凝聚意味这更大的能隙宽度.另外,这里也提到了数值上$$\omega_g/T$$基本是个常数,在$$q\ge 3$$时不依赖于电荷.

文中指出,在电导系数vs频率曲线上,在$$\omega$$逐渐变大时,电导率连续的趋近于正常态的电导率,这意味着高频情况下的电导率主要由正常态对应的自由度决定.

反过来,在$$\omega \le \omega_g$$区域,直流电导率为零,与实验相符.交流电导率不为零,但是因为其实部为零,这时体系导电且没有耗散. 在物理上,这段区域可以被解释为能隙,因为如果体系存在$$\omega<\omega_g$$的准粒子态,那么它们对应的格林函数的奇点必将导致实部不为零的电导系数. 从场论的角度,上述结论值得进一步讨论,因为U(1)对称性的破缺导致Goldstone波色子,且数目不止一个. 从量子场论我们知道,它们的质量为零,这样,这些粒子的激发态应该对应着在$$\omega<\omega_g$$区域电导率的实部连续的不为零(格林函数中零质量多粒子态对应的直到原点的割线). 文中对此的解释是,因为在大$$N$$极限下,量子效应变得不重要,Goldstone定理可能不再成立. 不管如何,显然,上述讨论大大的消减了数值计算中获得能隙这一结论的重要性.

Fig.5

不清楚按这个图景, 如何 实现第一类超导体.

(5.1)

文中关于黑洞电荷与场论中电荷密度的叙述可理解如下.按(3.10)给出的标示的表达式,在空腔内$$\rho$$的物理意义是电荷,而$$\mu$$对应电势的零点.而在边界上,按线性相应原理,$$\mu$$和$$\rho$$是作用量中的对偶物理量,即外援与对偶的场算符,具体的,分别对应化学势和对应的守恒荷(电荷)密度.

文中指出,磁场与之稍有不同.磁荷对应边界上的背景磁场.在引文arXiv:0704.1160中,作者考虑了背景中同时包含电荷与磁荷的爱因斯坦麦克斯韦理论.

(5.4)

这里,我们并没有考虑反作用,故度规(5.1)是已知的.由于磁场的存在,标量场的方程不再是常微分方程而成为偏微分方程.

所幸,通过分离变量,其在边界上矢径$$u$$的依赖性由(5.6)决定,其最低阶模式(5.8)也能被确定下来.剩下的方程(5.7)仍然是一个常微分方程,可以用类似的方式求解.

我们讨论一下自由的积分常数的数目.不考虑度规的反作用,磁场$$B$$不带来任何方程,或者说由于它对度规和标量场方程的影响已知,可以视为一个模型参数,我们有两个两阶常微分方程,故存在四个积分常数.这时,按文中的讨论,对标量场,我们在视界上取$$c_0=1,c_1=0$$,在边界上取$$\psi^{(1)}=0$$或者$$\psi^{(2)}=0$$. 注意到其中两个条件是物理上的要求,而取$$c_0=1$$是因为方程(5.7)是线性的. 对标势,我们在视界上取$$\phi(r_+)=0$$. 这样没有剩余任何自由的积分常数,也不再有其他标度不变性,否则将发生矛盾.

换言之,对于给定的$$q$$和$$B$$也固定,我们可以找到唯一的$$\rho$$使得凝聚存在,这对应着超导态解.由此可以得到Fig.6. 由(5.3),可以把$$\rho$$解读为温度,对于给定的温度与电荷,可以找到一个对应的磁场值$$B$$. 这个对应的磁场实际上是磁场的临界值$$B_{c2}$$,当磁场大于临界值$$B>B_{c2}$$,不可能找到凝聚,而仅有dyonic黑洞解. 这一点可以理解如下,如果磁场更小,系统可以通过使得磁场在某些局域聚拢(形成vortex)来实现标量场的凝聚,这些局域的凝聚,如文中所述,发生在曲线的左下区域. 这样,Fig.6中给出的,就是对于给定的温度与电荷时,对应的临界磁场的边界.

要真正研究上述相变过程,如文中所述,需要考虑标量场的微扰的动力学.

(5.12)

这个表达式上面一式来自理想流体的能动张量,其中等式右边的因子为2而非3是因为边界上的体系空间是2维的.

将这个关系代入(5.11)的第二步等式即得(5.12).

(5.14)

上面一个表达式应该是$$\mu Q=\frac{1}{r_+}\rho^2 V$$,它可由(5.2)得到.

这个表达式代表着正常相在低温下为很强的抗磁性,可通过文中给出的偏导计算与相关系数大小的分析得到.而因为一般物质为很弱的抗磁性,这个结果似乎与实际不符.具体参见文中的后续讨论.

Fig.7

在没有磁场时,相变是两级的.这通过自由能的具体形式以及Erenfest定义得到.

(6.1)

因为格林函数是电导率,对超导体电导率直接与超导电子对密度成正比.故这个定义在物理上是很自然的.

实部是$$\delta$$函数,不清楚技术上如何提取系数,但虚部是$$1/\omega$$的形式,故可以通过简单的拟合提取出系数来.故这里的说法来源于数值计算中实际操作的可能性.

这里给出了伦敦方程在场论上下文中的适用条件.

(6.2-3)

关于伦敦方程在极限情况下的物理后果的精彩讨论^^

这里与讨论电导率的区别是,不仅仅考虑解的时间依赖$$k=0$$,而是假设$$A_x\sim e^{-i\omega t+iky}$$.

(6.5)

文中指出,这里不再仅仅是Higgs质量给出凝聚的结果.

具体的,与(4.4)以及(4.14)的计算类似,我们现在需要的计算涉及(6.2).从而验证伦敦方程导致米赛尔效应的特性.

本文档除了包括推导, 疑惑 外,做 读书重点 的记录 $$$$

The AdS/CFT Correspondence and a New Positive Energy Conjecture for General Relativity, arXiv:hep-th/9808079, by Gary T. Horowitz and Robert C. Myers
这个工作讨论AdS空间的(正)能量条件问题.其中提出了一个AdS空间的孤子解,其能量为负.这个孤子解背景被很多以后的作者用于研究拓扑超导和超流问题.

我们这里对这个孤子解给出最简单的讨论.首先这个解被称为孤子解的主要原因在于其能量为负,故小于对称性最高的等曲率纯AdS空间的能量,后者按文章中的定义为零.

接着,为了避免锥形奇点,这个孤子解变换到欧几里得空间中的时间坐标是具有周期性的.这点可以参考这篇综述(3.14)附近的讨论.文中指出,在变换到欧几里得坐标后,具有周期性的坐标是因为它对应了极坐标下的角度坐标,这样在圆锥顶点就可能产生奇点.另外按量子统计,周期性的虚时是和温度的倒数对应的.

Colorful Horizons with Charge in Anti–de Sitter Space, arXiv:0803.3483, by Steven S. Gubser
这是另一篇在拓扑超导和超流计算中被经常使用的时空背景,它同样是涉及有对称性自发破缺电磁场的情况.

物理上我们需要的是体内引力部分非阿贝尔局域规范U(1)的破缺,这对应边界场论中阿贝尔整体U(1)的破缺.在不考虑反作用的情况下,弯曲时空和U(1)局域规范场的耦合可以导致规范对称性的自发破缺,从而导致黑洞的超导,通过AdS/CFT对应性导致边界场论中的超导理论.

在这里,体内的部分考虑了SU(2)的自发破缺.场论中著名的例子是SU(2)的一个生成元$$\tau_3$$对应的U(1)变换并没有破缺,即把$$\tau_3$$作用在对称性破缺的真空上为零.而在这里Gubser提出了一个更一般的情况,即由于$$w\ne 0$$,电磁场U(1)对称性也破缺了,所以可能被用来研究拓扑超导态.

Holographic Superconductors with various condensates in Einstein-Gauss-Bonnet gravity, arXiv:0912.2475, by Qiyuan Pan, Bin Wang, Eleftherios Papantonopoulos, Jeferson de Oliveira, Alan B. Pavan
Fig.2

在下面的讨论中,提及当condensation gap越小,越容易发现凝聚.首先,朗道金兹伯格模型的物理意义,$$\langle{\mathcal O}\rangle$$对应超导电子对的数密度.但是数密度似乎并不与发生相变的难易程度直接有关,表明上似乎是独立的.针对这个问题询问了以下各位同事.

启沅的答复是,按图同样的温度与临界温度比值下,凝结大应该就对应了凝结容易.王老师的答复是,凝结量和其他物理量可能有关,比如纠缠熵,关联长度,激发概率等,具体有待查阅文献.小梅的答复是,标量场的凝结的关联长度物理上并不对应电子的关联长度而是超导电子对(间)的关联长度.存在针对费米子拓扑超导模型,后者更为物理的计算了这些物理量.

Supercurrent: Vector Hair for an AdS Black Hole, arXiv:0809.4494, by Pallab Basu, Anindya Mukherjee, and Hsien-Hang Shieh
这应该是拓扑超流模型的第一篇发表的工作.

这篇文章指出,超流态其实是超导态的一个形变解.这个形变解通过在超导态解中引入空间分量非零的规范场来实现,这个形变对普通非超导黑洞基态是无法类似实现的.

Holographic model of superfluidity, arXiv:0809.4870v3, by C. P. Herzog, P. K. Kovtun and D. T. Son
这篇文章从场论的角度研究了拓扑超流模型.是拓扑超流模型的最初工作.

The Many Phases of Holographic Superfluids, arXiv:1006.5165v2, by Daniel Arena, Pallab Basu, and Chethan Krishnan
这篇文章是下面启元文章的基础.

Holographic p-wave superfluid in Gauss-Bonnet gravity, arXiv:1610.02549, by S. Liu, Q. Pan and J. Jing
(8-10)

这里有三个方程,和超导的情况(两个方程)比,多了一个方程.

因为我们要求凝聚场的源为零,这个条件决定了一个变量,所以最终问题的解由两个参数决定.而在超导的情况,解只由一个参数决定,这个参数当时被取为温度.现在,这两个参数可以选取为温度和化学势.在文中,取为$$S_y,\mu$$.

(12)

由作用量的形式$$A\cdot j$$,"外源"和"场算符"的对应关系,外源标势$$A_t$$对应电荷密度,而矢势的一个分量$$A_y$$对应$$j_y$$,电流密度的对应分量.

在边界上场的通解包含外源和场算符的期待值,衰减慢的对应外源部分,衰减快的对应场算符的期待值部分.

按arXiv:1409.3575一文P.144注脚,这里化学势的叫法只是在称呼与电荷密度共轭的物理量而已.而按,arXiv:1006.5165的(2.12)下的讨论,超流速度的叫法是因为在凝聚态物理中,超流速度是被定义成凝聚(波函数)相位的梯度.而后者,参见该文(2.2)下面的讨论,可以在适当的度规变换下由矢势担当.

(14-16)

这里文中的on-shell是指表达式里的场是满足运动方程的解.潘启沅指出,将运动方程及其边界条件(11)代入即可得到这个结果.

自由能(不是巨势)的一个类似的推导见arXiv:1904.00428的(21-23)的讨论.

p-wave holographic superconductor in scalar hairy black holes, arXiv:1904.00428, by D. Wen et al.
(21-23)

这里利用质壳上(场满足运动方程)的作用量来计算自由能.由文丹提供.

根据

\rho_\mu dx^\mu = \rho_x(r) dx, \\ A_\mu dx^\mu = A_tdt, \\ \rho_{\mu\nu}=D_\mu \rho_\nu -D_\nu \rho_\mu, \\ F_{\mu\nu}=\nabla_\mu A_{\nu} -\nabla_\nu A_{\mu} \\ $$ 可知非零分量有

\rho_{rx}=-\rho_{xr}=\rho'_x, \\ \rho_{tx}=-\rho_{xt}=-iqA_t\rho_x, \\ F_{tr}=-F_{rt}=-A'_t $$

根据度规和运动方程有

\sqrt{-g}=\sigma r^3, \\ \sigma(\infty)=1, \\ \frac{f}{\sigma}|_{r \to \infty}=1, \\ f(r_h)=0 ,\\ A_t(r_h)=0, \\ A_t=\phi(r)=\mu-\frac{\rho}{r^2}, \\ \rho_x(r) = \frac{\rho_{x-}}{r^{\Delta_-}}+\frac{\rho_{x+}}{r^{\Delta_+}} $$ 其中$$A_t(r_h)=0$$是为了保证$$g^{\mu\nu}A_\mu A_\nu$$在视界上不发散.

该巨正则系综的自由能为$$\Omega=-\mathit{T}\mathcal{S}_{os}$$,其中$$\mathcal{S}_{os}$$为质壳上的作用量.

\mathcal{S}_{os}=\frac{1}{16\pi G}\int dtdxdydzdr \sqrt{-g} \big[ -\frac{1}{2}\nabla_{\mu}(A_\nu F^{\mu\nu}) -\nabla_{\mu}(\rho^\dagger_\nu \rho^{\mu\nu}) +\frac{1}{2}A_\nu \nabla_{\mu}F^{\mu\nu} \big] =\frac{V_3}{16\pi GT} \int dr \left[ -\frac{1}{2}\partial_r(\sqrt{-g} A_\nu F^{r\nu}) -\partial_r(\sqrt{-g} \rho^\dagger_x \rho^{rx}) +\frac{\sqrt{-g}}{2}A_\nu \nabla_{\mu}F^{\mu\nu} \right] \label{actionOS1} $$ 其中$$\int dtdxdydz=V_3/\mathit{T}$$,为了方便计算中将因子$$16\pi G$$略掉了. 对式中积分的三项分别计算如下



\int dr \left[ -\frac{1}{2}\partial_r(\sqrt{-g} A_\nu F^{r\nu}) \right]=-\frac{1}{2}\left[ \sigma r^3A_tg^{rr}g^{tt}A'_t |_{r \to \infty} -\sigma r^3A_tg^{rr}g^{tt}A'_t |_{r \to r_h} \right]  \\ =-\frac{1}{2}\left[ \sigma r^3A_tg^{rr}g^{tt}A'_t |_{r \to \infty} \right] \\ =\frac{1}{2} \frac{r^3}{\sigma}(\frac{2\mu\rho}{r^3}-\frac{2\rho^2}{r^5})|_{r \to \infty}   \\ =\mu\rho $$ 其中第二步等号用到,度规的具体形式$$g^{tt}=-r^2f, g^{rr}=\frac{\sigma^2}{r^2f}$$,以及$$A_t(r_h)=0$$,除了这个因子外表达式不发散,故在视界上的边界值为零.而最后一步用到$$\sigma(\infty)=1$$



\int dr \left[ -\partial_r(\sqrt{-g} \rho^\dagger_x \rho^{rx}) \right]=-\left[ \sigma r^3\rho_xg^{rr}g^{xx}\rho_{rx}|_{r \to \infty}-\sigma r^3\rho_xg^{rr}g^{xx}\rho_{rx}|_{r \to r_h} \right] \\ =-\left[ \frac{r^3f}{\sigma}\rho_x\rho'_x|_{r \to \infty} -\frac{r^3f}{\sigma}\rho_x\rho'_x|_{r \to r_h} \right] \\ =-\frac{r^3f}{\sigma}\rho_x\rho'_x|_{r \to \infty} \\ = 0 $$ 其中第三步等号用到$$f(r_h)=0$$,最后一步用到$$\frac{f}{\sigma}|_{r \to \infty}=1 ,\rho_x\rho'_x \sim r^{-(2\Delta+1)}, (\Delta>1)$$



\int dr \left[ +\frac{\sqrt{-g}}{2}A_\nu \nabla_{\mu}F^{\mu\nu} \right]=\int dr \left[ \frac{1}{2}A_t\partial_r (\sqrt{-g}F^{rt}) \right] \\ =\int dr \left[ \frac{1}{2}A_t\partial_r (\sigma r^3g^{rr}g^{tt}A'_t) \right] \\ =\int dr \left[ \frac{1}{2}A_t\partial_r (-\frac{r^3}{\sigma}A'_t) \right]  \\ =-\int dr \left[ \frac{r^3A_t}{2\sigma}(A''_t+\frac{3}{r}A'_t-\frac{\sigma'}{\sigma}A'_t) \right]  \\ =-\int dr \left[ \frac{r^3A_t}{2\sigma}\frac{2\sigma^2\rho^2_xA_t}{r^4f} \right] \\ =-\int dr[\frac{\sigma}{rf}\rho^2_xA^2_t] $$ 其中倒数第二步等号代入了场的运动方程.

综上则有

\mathcal{S}_{os}= \frac{V_3}{16\pi GT}\big( -\frac{1}{2}\sqrt{-h}n_r A_\nu F^{r\nu}|_{r \to \infty} -\sqrt{-h}n_r \rho^\dagger_\nu \rho^{r\nu}|_{r \to \infty} + \frac{1}{2}\int^{\infty}_{r_h}dr\sqrt{-g} A_\nu \nabla_{\mu}F^{\mu\nu} \big) = \frac{V_3}{16\pi GT}\left[ \mu\rho -\int^{\infty}_{r_h}dr \frac{\sigma\rho^2_x\phi^2}{rf} \right] $$

于是得到超导相中的自由能表达式为

\frac{\Omega_S}{V_3}=-\frac{\mathit{T}\mathcal{S}_{os}}{V_3}=-\mu\rho +\int^{\infty}_{r_h}dr \frac{\sigma\rho^2_x\phi^2}{rf} $$

对正常相则有$$\rho_x=0$$,所以第二项为零.另外矢势零分量的精确解为$$A_t=\phi(r)=\mu-\frac{\rho}{r^2}$$,注意到在视界位置$$r_h=1$$的边界条件为$$A_t=0$$,则有$$\mu=\rho$$. 最后相应地自由能为

\frac{\Omega_N}{V_3}=-\mu^2 $$

A thermal quench induces spatial inhomogeneities in a holographic superconductor, arXiv:1308.5398v3, by A.M. Garcia-Garcia, H.B. Zeng, and H.-Q. Zhang
本文有以下两点新结果.第一,计算了含源淬火扰动情况下的时间演化.第二,导致体系的不稳定性,不稳定性具有空间不均匀性,质壳自由能小于无源情况下的空间均匀解.

本文档除了包括推导, 疑惑 外,做 读书重点 的记录 $$$$