Lecture Notes of An Advanced Course in General Relativity by E. Poisson

Lecture Notes of An Advanced Course in GR by E. Poisson

本文档除了包括推导, 疑惑 外,做 读书重点 的记录 $$$$

Ch.3 Hypersurfaces
P.48 (3.1.4)

容易证明这的确是曲面法向.因为$$\Phi$$对任意曲面坐标参数$$y^\alpha$$导数为零,而这个导数可以表达为(3.1.4)分子上面的偏导乘以一个决定于参数选择的曲面切向方向.而分母仅仅是归一.

我们指出(3.1.4)定义的$$n_\mu$$并不是一个一形式,因为如果用度规直接升降指标来计算$$n^\mu$$,那么(3.1.3)可能差一个负号,并不被满足.所以实际上$$n^\mu=\epsilon g^{\mu\nu}n_\nu$$.

P.48 (3.1.5-3.1.6)

对零(法向类光)曲面,上述定义不成立,所以用不归一的(3.1.5)来定义曲面的法向.接着按书中讨论我们得到,$$k^\alpha$$实际上是切向;推导得到(3.1.5)下面一式是一般的测地线方向.比较测地线方程(比如参见Schutz (6.47)到(6.50)间的推导)唯一的差别是右边正比于$$k^\alpha$$而非为零.因为矢量沿着曲线平行移动时矢量的变化沿着矢量本身,若$$k^\alpha$$是四速度,则这意味着沿着测地线的加速运动,对应平直空间中沿着直线的加速运动.

我们注意到,(3.1.5)给出的定义$$k_\alpha=-\Phi_\alpha$$是一形式,即协变矢量.这与之后逆变矢量的定义$$k^\alpha=dx^\alpha/d\lambda$$是自洽的. 因为显然其缩并为零$$k_\alpha k^\alpha=-\Phi_\alpha dx^\alpha/d\lambda=-d\Phi/d\lambda=0$$.

文中指出,由于上述关系等式右边未必为零,故$$\lambda$$一般情况下并不是仿射坐标.在特殊情况下,如果$$\Phi(x^\alpha)=\mathrm{const.}$$对于任何常数(而非某给定常数)都对应零曲面,则$$(\Phi_{,\beta}\Phi^{,\beta})_{;\alpha}$$不仅仅在曲面上为零,而是严格为零,故它不再正比于法向量.换言之,$$\kappa =0$$,即$$\lambda$$是纺射坐标. 一个具体的例子就是之后3.1.4小节给出的未来光锥曲面.

这里的测地线参数$$\lambda$$虽然与零曲面自洽,但并不由曲面的定义$$\Phi(x^\mu)$$决定. 这个参数在(3.1.6)中被选择为第一个零曲面的坐标参数,它在后续的曲面上的诱导度规的线元和曲面面元的计算中起到重要的作用. 我们把零曲面视为由测地线和另外两个生成元堆砌而成的,而按(3.1.9)下方的讨论,把测地线参数$$\lambda$$取为第一个曲面坐标参数,会给诱导度规的形式带来不少方便. 注意到这时因为法向量$$k^\alpha$$与平面相切,我们只给出了三个基矢.在下面3.1.4小节给出的例子中这对应平庸的结果$$e_\lambda^\alpha=k^\alpha$$. 因此,在之后验证(3.1.13)时必须引入第四个基矢,才能在完备的意义下验证该张量关系.

P.49 (3.1.9)

这就是诱导度规的定义.注意文中关于三张量变换性质的讨论.

P.50 (3.1.12)

我们按书中的思路给出证明过程. 首先,若等式成立,则等式的左右两端都是两阶张量,它的数学意义是把一个协变矢量映射为一个逆变矢量.所以,若等式两边对任意协变矢量缩并得到的结果都相同,则等式成立. 其次,我们只需考虑下列逆变矢量$$n_\alpha$$和$$e_{\alpha,c}\equiv\frac{\partial x_\alpha}{\partial y^c}$$,它们分别是曲面内和曲面的法向量,是完备的. 前者满足归一形式(3.1.3),且按(3.1.7)下方的讨论与后者正交$$e^\alpha_a n_\alpha=0$$.下面给出具体计算.

将$$n_\alpha$$与等式两边缩并,利用上述归一和正交关系,容易证明等式两边都得到$$\epsilon n^\beta$$. 将$$e_{\alpha,c}\equiv\frac{\partial x_\alpha}{\partial y^c}$$与等式两边缩并.等式左边得到
 * $$g^{\alpha\beta}e_{\alpha,c}=g^{\alpha\beta}\frac{\partial x_\alpha}{\partial y^c}=\frac{\partial x^\beta}{\partial y^c}=e^{\beta}_{c}$$

而等式右边得到
 * $$h^{ab}e^{\alpha}_{a}e^{\beta}_{b}e_{\alpha,c}

=h^{ab}\frac{\partial x^\alpha}{\partial y^a}\frac{\partial x^\beta}{\partial y^b}\frac{\partial x_\alpha}{\partial y^c} =h^{ab}\frac{\partial x^\alpha}{\partial y^a}\frac{\partial x^\beta}{\partial y^b}\frac{\partial x_\gamma}{\partial y^c}g_{\alpha\gamma} =h^{ab}h_{ac}\frac{\partial x^\beta}{\partial y^b}=\delta^b_c \frac{\partial x^\beta}{\partial y^b}=\frac{\partial x^\beta}{\partial y^c}=e^{\beta}_{c}$$ 其中利用了$$h_{ac}=g_{\alpha\gamma}\frac{\partial x^\alpha}{\partial y^a}\frac{\partial x_\gamma}{\partial y^c}$$,即(3.1.9). 证毕.

原则上,注意到$$N^\alpha$$与其他矢量一起构成矢量空间的完备基,(3.1.13)的证明与(3.1.12)的证明非常类似.

P.51 (3.2.1)

这就是用诱导度规来计算曲面面积的公式.但是,实际上,一个常见的特殊情况,就把一个坐标取为常数定义的曲面(且改曲面不类光)对应的曲面面积是很直观的(根本无需讨论诱导度规的定义).而反过来,在曲面类光时,情况反而很不不直观.

这里首先给出一个表面元的洛伦兹标量形式(3.2.2),证明对非类光的表面元(3.2.2)与(3.2.1)一致.接着利用(3.2.2)给出类光表面元的关系(3.2.7).

P.51 (3.2.2)


 * $$\begin{align}

d\Sigma_{\mu}=\varepsilon_{\mu\alpha\beta\gamma}e^{\alpha}_1e^{\beta}_2e^{\gamma}_3d^3y \end{align}$$

在定义中$$\varepsilon_{\mu\alpha\beta\gamma}$$在下一行中被定义,$$\varepsilon_{\mu\alpha\beta\gamma}=\sqrt{-g}[\mu\alpha\beta\gamma]$$. 其中$$y$$(对应指标$$123$$)是描述曲面的三个参数的编号,在(3.1.2)中被定义. 另外,$$e^{\alpha}_{a}=\frac{\partial x^\alpha}{\partial y^a}$$在(3.1.7)中被定义,并在P.50给出平直空间的例子. 注意上上述定义其实是张量缩并,其中注意到,按(3.1.9)下方的讨论,对曲面的描述$$y^a$$并不依赖于任何坐标系,从而$$e^{\alpha}_{a}$$本质上是逆变矢量,因此(3.2.2)定义了一个逆变矢量.

在第一次学习本书时,我给出了下面繁琐的"证明".先仍保留,以贻笑大方.

Now we want to show that $$ d\Sigma_{\mu}$$  defined in this way is indeed a covariant 4-vector.

Before handing out a general proof, let us check out a simple case, a surface element with $$\tau=const.$$  in  $$\{\tau,x,y,\eta\}$$  space. The example is very similar to that on P.51 right below (3.2.3) except in our case now $$\sqrt{-g}=\tau$$. Indices $$\mu,\alpha,\beta,\gamma$$   are chosen from  $$\{\tau,x,y,\eta\}$$ and


 * $$\begin{align}

y^1=x,y^2=y,y^3=\eta \end{align}$$

Straightforward calculation gives


 * $$\begin{align}

d\Sigma_{\mu,B}|_{\tau=const.}= \sqrt{-g}  \left( \begin{array}{c} 1\\ 0\\ 0\\ 0 \end{array}\right)  dxdyd\eta=  \left( \begin{array}{c} 1\\ 0\\ 0\\ 0 \end{array}\right)  \tau dxdyd\eta \end{align}$$

We want to show explicitly that the module of this surface element remains the same when one transforms the coordinates into flat Minkowski space $$\{t,x,y,z\}$$. Now one has $$\sqrt{-g}=1$$, and the surface can be defined as  $$\Phi(\tau-\sqrt{t^2-z^2})=0$$  (comparing (3.1.1)). Again, three parameters, namely, $$y^1=x,y^2=y,y^3=\eta $$, determine the surface. Therefore one obtains $$d^3y=dy^1dy^2dy^3=dxdyd\eta $$. $$e^{\alpha}_{a}$$ can be obtained from the following $$4\times 4$$ transformation matrix by ripping away the first column.


 * $$\begin{align}

\left( \begin{array}{cccc} \cosh\eta & 0 & 0 & \tau\sinh\eta\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ \sinh\eta & 0 & 0 & \tau\cosh\eta \end{array}\right) \Rightarrow\left( \begin{array}{cccc} X & 0 & 0 & \tau\sinh\eta\\ X & 1 & 0 & 0\\ X & 0 & 1 & 0\\ X & 0 & 0 & \tau\cosh\eta \end{array}\right) \end{align}$$

Now indices $$\mu,\alpha,\beta,\gamma$$ are chosen from  $$\{t,x,y,z\}$$, the first element is given by


 * $$\begin{align}

d\Sigma_{0}\equiv d\Sigma_{t}= \sqrt{-g}  [0,\alpha,\beta,\gamma]e^{\alpha}_1e^{\beta}_2e^{\gamma}_3 d^3y  =[0,\alpha,\beta,\gamma]e^{\alpha}_1e^{\beta}_2e^{\gamma}_3 dxdyd\eta  =\tau\cosh\eta dxdyd\eta \end{align}$$

since $$[0,\alpha,\beta,\gamma]e^{\alpha}_1e^{\beta}_2e^{\gamma}_3 \ne 0$$  only for  $$\alpha=x,\beta=y,\gamma=z $$. Similar calculation gives $$d\Sigma_{1}= d\Sigma_{2}=0, d\Sigma_{3}=\tau\sinh\eta dxdyd\eta$$. Piecing together one gets


 * $$\begin{align}

d\Sigma_{\mu,C}|_{\tau=const.}= \left( \begin{array}{c} \tau\cosh\eta\\ 0\\ 0\\ \tau\sinh\eta \end{array}\right)  dxdyd\eta \end{align}$$ This is the same as the result obtained naively from the notes "Energy Conservation Problem in SPheRIO". If we do the calculation for the surface $$\Phi(\eta-\frac{1}{2}\ln\frac{t+z}{t-z})=0 $$, similarly one gets


 * $$\begin{align}

&d\Sigma_{\mu,B}|_{\tau=const.}= \sqrt{-g}  \left( \begin{array}{c} 0\\ 0\\ 0\\ 1 \end{array}\right)  dxdyd\tau=  \left( \begin{array}{c} 0\\ 0\\ 0\\ 1 \end{array}\right)  \tau dxdyd\tau \\ &d\Sigma_{\mu,C}|_{\eta=const.}= \left( \begin{array}{c} \sinh\eta\\ 0\\ 0\\ \cosh\eta \end{array}\right)  dxdyd\tau  \\ &|d\Sigma_{\mu,B}|_{\tau=const.}|=\sqrt{g^{\mu\nu}d\Sigma_{\mu B}d\Sigma_{\nu B}}=\sqrt{-1}dxdyd\tau =|d\Sigma_{\mu,C}|_{\tau=const.}| \end{align}$$

Note that the normal direction of the surface is up to a negative sign since we have never explicitly considered it. The two examples show that the module of the surface does not change when the coordinates transform.

We are in the place to deliver a general proof. We are about to show that the module of a surface element is a scale, therefore surface element is a 4-vector. First, consider any surface element in flat Minkowski space $$\{t,x,y,z\}  ( \sqrt{-g}=1 )$$ but parameterized in terms of  $$y^1,y^2,y^3$$. It is noting that the surface element
 * $$d\Sigma_{\mu}=\varepsilon_{\mu\alpha\beta\gamma}e^{\alpha}_1e^{\beta}_2e^{\gamma}_3=\sqrt{-g}[\mu\alpha\beta\gamma]e^{\alpha}_1e^{\beta}_2e^{\gamma}_3$$

can be written in term determinant of an auxiliary matrix $${E_{\alpha}}_{\beta}$$  (whether the indices are superscript or subscript does not enter the question here, since we are dealing with a matrix, though the transform properties of the indices are discussed below)


 * $$\begin{align}

d\Sigma_{\mu}= \sqrt{-g}  \begin{vmatrix} \begin{array}{cccc} \hat{e}_0 & e^0_1 & e^0_2 & e^0_3\\ \hat{e}_1 & e^1_1 & e^1_2 & e^1_3\\ \hat{e}_2 & e^2_1 & e^2_2 & e^2_3\\ \hat{e}_3 & e^3_1 & e^3_2 & e^3_3 \end{array}\end{vmatrix}_C =  \begin{vmatrix} \begin{array}{cccc} \hat{e}_0 & e^0_1 & e^0_2 & e^0_3\\ \hat{e}_1 & e^1_1 & e^1_2 & e^1_3\\ \hat{e}_2 & e^2_1 & e^2_2 & e^2_3\\ \hat{e}_3 & e^3_1 & e^3_2 & e^3_3 \end{array}\end{vmatrix}_C =\det ({E_{\alpha}}_{\beta C}) \end{align}$$


 * $$\begin{align}

{E_{\alpha\beta} C }\equiv  \left( \begin{array}{cccc} \hat{e}_0 & e^0_1 & e^0_2 & e^0_3\\ \hat{e}_1 & e^1_1 & e^1_2 & e^1_3\\ \hat{e}_2 & e^2_1 & e^2_2 & e^2_3\\ \hat{e}_3 & e^3_1 & e^3_2 & e^3_3 \end{array}\right)_C \end{align}$$

where the first column elements are the coordinate basis vectors (which are not unit vectors!) and $$e^{\alpha}_{a}=\frac{\partial x^\alpha}{\partial y^a}$$. As a second step, we want to calculate the same surface element in a different coordinate system $$\{\tau,x,y,\eta\}$$. The word "same" is mathematically implemented when that one adopts the same set of parameters, namely, $$y^1,y^2,y^3$$  to describe the surface, except now new coordinates are composite functions of the parameters. The surface element, according to its definition can be written down as


 * $$\begin{align}

&d\Sigma_{\mu}=\varepsilon_{\mu\alpha\beta\gamma}e^{\alpha}_1e^{\beta}_2e^{\gamma}_3=\sqrt{-g}[\mu\alpha\beta\gamma]e^{\alpha}_1e^{\beta}_2e^{\gamma}_3 =\sqrt{-g}  \begin{vmatrix} \begin{array}{cccc} \hat{e}_0 & e^0_1 & e^0_2 & e^0_3\\ \hat{e}_1 & e^1_1 & e^1_2 & e^1_3\\ \hat{e}_2 & e^2_1 & e^2_2 & e^2_3\\ \hat{e}_3 & e^3_1 & e^3_2 & e^3_3 \end{array}\end{vmatrix}_E \\ &=\sqrt{-g}\det ({E_{\alpha {\beta} E}}) =\sqrt{-g}\det ({\Lambda^{\alpha}}_{\lambda}{E_{\lambda{\beta}C}})\\ &{E_{\alpha{\beta}E}} \equiv \left( \begin{array}{cccc} \hat{e}_0 & e^0_1 & e^0_2 & e^0_3\\ \hat{e}_1 & e^1_1 & e^1_2 & e^1_3\\ \hat{e}_2 & e^2_1 & e^2_2 & e^2_3\\ \hat{e}_3 & e^3_1 & e^3_2 & e^3_3 \end{array}\right)_E \end{align}$$

The last step was based on two facts. Firstly, for the three spatial columns, chain rule of derivative gives


 * $$\begin{align}

e^{\alpha}_{aE}=\frac{\partial x_E^{\alpha}}{\partial y^a}=\frac{\partial x_E^{\alpha}}{\partial x_C^{\beta}}\frac{\partial x_C^{\beta}}{\partial y^a}={\Lambda^{\alpha}}_{\beta}\frac{\partial x_C^{\beta}}{\partial y^a} = {\Lambda^{\alpha}}_{\beta}e^{\beta}_{a C}   \end{align}$$

and secondly, for the zeroth column, the transformation properties of coordinate basis read


 * $$\begin{align}

\hat e_{\alpha E}=\frac{\partial {x_\beta}_C}{\partial x_{\alpha E}}\hat {e_{\beta C}}={({\Lambda^{-1})}_{\beta}}^{\alpha}\hat e_{\beta C}={{\Lambda}^{\alpha}}_{\beta}\hat {{e_\beta}_C} \end{align}$$

above one has made use of the property of transformation matrix
 * $$\begin{align}

{\Lambda^{\nu}}_{\sigma}{\Lambda_{\nu}}^{\mu}={g_{\sigma}}^{\mu}=\delta_{\sigma}^{\mu}  \Rightarrow   {\Lambda^{\nu}}_{\sigma}={(\Lambda^{-1})_{\sigma}}^{\nu} \end{align}$$ One sees explicitly that the first index $$\alpha$$  of the auxiliary determinant  $${E_{\alpha}}_{\beta}$$  transforms like a superscripted contravariant 4-vector, meanwhile its second index  $$\beta$$  only depends on the parameterization of the surface element, therefore it does not depend on coordinate transformation. To show that the module of the surface element remain unchange, one need to evalute the determinant. The trick is, if one replace the first column with its algebraic complement, and taking into account the metric, one gets the module. For Minkowski case, the module of the surface element is


 * $$\begin{align}

\end{align}$$
 * d\Sigma_{\mu}|^2=\sum_{\mu\nu}\eta^{\mu\nu}A_{{\mu}1C}A_{{\nu}1C} =\det({E_{\alpha\beta C}})^2\sum_{\mu\nu}\eta^{\mu\nu}({E^{-1}_C})_{1\mu}({E^{-1}_C})_{1\nu}

where $$A_{\mu 1}$$  is the algebraic complement of  $$(\mu,1)$$th element of matrix  $${E_{\alpha}}_{\beta}$$, therefore  $$A_{\mu 1}=\det({E_{\alpha\beta}})({E^{-1}})_{1\mu}$$. For general case


 * $$\begin{align}

&|d\Sigma_{\mu}|^2=(\sqrt{-g})^2\sum_{\mu\nu}g^{\mu\nu}A_{{\mu}1E}A_{{\nu}1E} \\ &=(\sqrt{-g})^2\det({E_{\rho\sigma E}})^2\sum_{\mu\nu}g^{\mu\nu}({E^{-1}_E})_{1\mu}({E^{-1}_E})_{1\nu} \\ &=(\sqrt{-g})^2 \det({\Lambda^{\rho}}_{\lambda}{E_{\lambda}}_{\sigma C})^2\sum_{\mu\nu\alpha\beta}g^{\mu\nu}(({E_1}_{\beta C})^{-1}{(\Lambda^{-1})^{\beta}}_{\mu})((E_{1\alpha C})^{-1}{(\Lambda^{-1})^{\alpha}}_{\nu}) \\ &=(\sqrt{-g})^2 \det({\Lambda^{\rho}}_{\lambda})^2\det(E_{\lambda\sigma C})^2\sum_{\mu\nu\alpha\beta}g^{\mu\nu}{(\Lambda^{-1})^{\beta}}_{\mu}{(\Lambda^{-1})^{\alpha}}_{\nu}({E}_{1\beta C})^{-1}({E}_{1\alpha C})^{-1}\\ &=\det(E_{\lambda\sigma C})^2\sum_{\alpha\beta}\eta^{\beta\alpha}({E}_{1\beta C})^{-1}({E}_{1\alpha C})^{-1} \end{align}$$

where one has taken into consideration that


 * $$\begin{align}

&\sqrt{-g}=\sqrt{-\det(g_{\mu\nu}) } \\ &{\Lambda^{\mu}}_{\lambda}g_{\mu\nu}{\Lambda^{\nu}}_{\sigma}=\eta_{\lambda\sigma} \\ &(\sqrt{-g})^2\det({\Lambda^{\mu}}_{\nu})^2 =-\det({\Lambda^{\mu}}_{\lambda}g_{\mu\nu}{\Lambda^{\nu}}_{\sigma})=-\det(\eta_{\lambda\sigma})=1 \\ &\eta^{\lambda\sigma}={\Lambda_{\mu}}^{\lambda}g^{\mu\nu}{\Lambda_{\nu}}^{\sigma} ={(\Lambda^{-1})^{\lambda}}_{\mu}g^{\mu\nu}{(\Lambda^{-1})^{\sigma}}_{\nu} \end{align}$$

since


 * $$\begin{align}

{\Lambda^{\nu}}_{\sigma}{\Lambda_{\nu}}^{\mu}={g_{\sigma}}^{\mu}=\delta_{\sigma}^{\mu}  \Rightarrow   {\Lambda_{\nu}}^{\mu}={(\Lambda^{-1})^{\mu}}_{\nu} \end{align}$$

This concludes our proof that the module of $$d\Sigma_\mu$$ defined by (3.2.2) is indeed a scalar, therefore $$d\Sigma_\mu$$ is a four-vector.

P.51(3.2.3)

如书中所述,这样定义的的确是法向量,因为它与曲面垂直.具体的,用曲面内的任意一个坐标基$$e^{\mu}$$来缩并的结果为零,即$$e^{\mu}_a\varepsilon_{\mu\alpha\beta\gamma}e^{\alpha}_1e^{\beta}_2e^{\gamma}_3=0$$.假设$$a=1$$,则因为反对称张量对指标$$(\mu\alpha)$$反对称,而因子$$e^{\mu}_{a=1}e^{\alpha}_1$$对指标对称$$(\mu\alpha)$$对称,缩并后为零.

接着书中具体证明了(3.2.2)对非零曲面与(3.2.1)等价,即可以写为(3.2.3)的形式. 首先,由法向量的特性,我们形式上写为$$\varepsilon_{\mu\alpha\beta\gamma}e^{\alpha}_1e^{\beta}_2e^{\gamma}_3=\epsilon f n_\mu$$. 对此两边用$$n^\mu$$来缩并,利用$$n^\mu n_\mu=\epsilon=\pm 1$$,即得$$\varepsilon_{\mu\alpha\beta\gamma}n^\mu e^{\alpha}_1e^{\beta}_2e^{\gamma}_3=f$$. 因为$$f$$是标量,我们可以采用任何形式的坐标系来计算之.现在考虑如下特殊的坐标形式,$$x^0\equiv\Phi$$,$$x^{1,2,3}=y^{1,2,3}$$. 这样,$$e^{\alpha}_1=\delta_{\alpha,1},e^{\beta}_2=\delta_{\beta,2},e^{\gamma}_3=\delta_{\gamma,3}$$,这样对$$\mu$$的求和仅$$\mu=0=\Phi$$是才不为零.此即$$f=\sqrt{-g}n^0$$.用法向协变矢量归一的定义$$n_\mu=\Phi_{,\mu}/(g^{\alpha\beta}\Phi_{,\alpha}\Phi_{,\beta})^{1/2}$$,并且注意到$$\Phi_{,\mu}=(1,0,0,0)$$唯一的非零分量是零分量,由(3.1.4)我们得到$$n_\mu=\epsilon(1,0,0,0)/(g^{00})^{1/2}$$,注意到这并不是一个一形式,而必须按定义计算,而对应的逆变指标量为$$n^0=\epsilon g^{0\nu}n_\nu=(g^{00})^{1/2}$$,代回之前得到的$$f$$的表达式,即得$$f=\sqrt{-g}n^0=(-g g^{00})^{1/2}$$.最后,按书中提示将$$g^{00}$$写成其对应的逆阵$$g_{\mu\nu}$$代数余子式的形式消去行列式$$g$$,所以在可能差一个负号的情况下,代数余子式正是空间部分的雅克比.

P.52 (3.2.4-3.2.5)

这就是将(3.2.2)直接应用到零曲面的情况.三个曲面坐标分别为$$\lambda,\theta^A$$,对应的$$e^\mu_a\equiv \partial x^\mu/\partial y^a$$为$$k^\alpha=e^\alpha_1,e^\beta_2,e^\gamma_3$$,其中注意到对(3.1.5)给出的定义的讨论,而积分元$$d^3y=d\lambda d^2\theta$$.

P.52 (3.2.6)

书中(3.2.6)的证明在P.53给出. 其思路与之前类似,我们构造出满足对$$(\mu,\nu)$$指标反对称且与$$e^\alpha_{2,3}$$缩并为零的一般形式. 其实上,注意到与$$e^\alpha_{2,3}$$缩并为零的空间是两维,要求对指标反对称再去掉一维,所以它除了标量$$f$$外是唯一的.

其余证明思路与之前类似,我们对标量$$f$$选取最为方便的坐标系进行验算,$$x^0=\Phi,x^{1,2,3}=(\lambda,\theta^A)$$. 曲面上后两个坐标的定义导致$$e^\beta_2=(0,0,1,0)$$和$$e^\gamma_3=(0,0,0,1)$$. 值得指出的是,在文中给出的选择下,法向量的协变与逆变矢量简单却不平庸.具体的,$$k_\alpha=(-1,0,0,0)$$而$$k^\mu=(0,1,0,0)$$. 注意观察$$f$$的形式,我们只需知道$$N^0$$即可. 正交关系要求导致$$N^0=+1$$,其余分量未知,但一般不为零,记为$$N^\lambda\equiv N^1, N^A\equiv N^{2,3}$$. 代入$$f$$的具体形式我们知$$f=\sqrt{-g}$$. 而因为$$g^{\mu\nu}k_\mu k_\nu=0$$,有$$g^{00}=0$$.其余分量未知,度规按(3.1.13)表达为文中的矩阵. 容易发现,这个矩阵的重要特点是其行列式与$$N^\lambda, N^A$$的具体数值无关,计算其行列式,即得(3.2.6).

P.52 (3.2.7)

这就是将(3.2.6)直接代入,利用指标反对易关系和基矢间的内积(为零或者为负一)关系即得.其中注意到反对易关系中含有系数$$1/2$$. 类似的,由(3.2.6)出发,可以证明讨论中用到的关系$$N^\alpha k^\beta d S_{\alpha\beta}=\sqrt{\sigma}d^2\theta$$. 而(3.2.7)具有清晰的几何意义.

文中接着给出了两个实例.其中第二个实例用到了(3.2.6)证明中涉及的$$f$$的表达式.

P.54 (3.2.8)

这里讨论一个内嵌在三维空间中的两维类空曲面.书中论证,它的面积元可以表达成与之前零曲面类似的形式.

这个两维类空曲面有两个法向量,一个是三维曲面的类时法向量和三维曲面切向的类空法向量.前者是以后的结果,后者虽然是直观的,我们按书中的记号给出证明如下. 首先按两维曲面的定义我们知道它的类空法向量与两维曲面正交,数学上,这是$$r_a e^a_A=0$$,即沿着曲面上的坐标$$\theta^A$$变化时$$\psi(y^a)$$不变. 我们需要证明的关系是$$r^\alpha$$与两维曲面的切向量$$e^\alpha_A$$正交,即$$r^\alpha_{\alpha A}=0$$. 为此,我们注意到三维曲面上的正交关系
 * $$e^\alpha_a e_\alpha^b = \frac{\partial x^\alpha}{\partial y^a}\left(g_{\alpha\beta}h^{bc}\frac{\partial x^\beta}{\partial y^c}\right)

= h^{bc}\left(g_{\alpha\beta}\frac{\partial x^\alpha}{\partial y^a}\frac{\partial x^\beta}{\partial y^c}\right) = h^{bc}h_{ac}=\delta_{ab}$$ 其中利用了投影度规$$h_{ab}$$的定义. 这样,我们在原有的关系里插入上述$$\delta_{ab}$$,得到
 * $$0=r_a e^a_A=r^a e_{aA}=r^a \delta_{ab} e_{bA}=(r^a e^\alpha_a) (e_\alpha^b e_{bA})=r^\alpha e_{\alpha A}$$.

注意到其中指标$$(ab)$$使用投影度规$$h_{ab}$$来改变上下标位置的.证毕.

而(3.2.8)的证明与之前是非常类似的.唯一的不同是$$n_\mu, r_\nu$$这里不是零矢量,故需要归正负一,其中正负号是由于$$n_\mu$$类时,而$$r_\nu$$类空.最后仍然需要把度规的分量写成矩阵的形式计算行列式,得到(3.2.8)的形式.

最后,通过把正交归(正负)一的矢量构建成缩并为负一的零矢量,最后得到与零曲面完全相同的(3.2.6)的形式.

P.55 (3.3.1)


 * $$\begin{align}

\int_{\mathscr{V}}{A^{\alpha}}_{;\alpha}\sqrt{-g}d^4x=\oint_{\partial \mathscr{V}}A^{\alpha}d\Sigma_{\alpha} \end{align}$$

这是高斯定义,其中的表面元$$d\Sigma_{\alpha}$$的定义就是(3.2.2).

这里对高斯定理的证明与普通场论中非广义相对论情况下的证明很不同.

我们先回顾一般狭义相对论中协变守恒流导出守恒量的过程. 我们先把协变的时空散度部分写为时间分量对时间偏导和空间分量对空间的散度的贡献之和,然后对空间散度部分对空间的积分使用普通三维空间的高斯定理化为面积分. 接着,我们并且假设体系域于有限空间或者任何物理量在无限远处以足够快的速度衰减,从而认为在空间无限远处的面积分为零.这样空间导数部分没有贡献. 而对剩余的时间导数部分,我们把零分量对空间的积分定义为守恒量,因为形式上它对时间的导数为零.

而在广义相对论中,高斯定理的推广形式本身先需要被证明. 技术上,这涉及到在把矢量协变导数的缩并利用雅克比写为普通导数后,我们把积分和求导的变量分割为径向变量和角度变量. 同时,我们注意到物理量在空间无穷远处为零的假定仍然是合理且重要的假设.实际上,在之后(3.3.2)附近的讨论中,上述假设仍被使用以得到守恒量的形式. 对书中高斯定理的证明,具体讨论如下.

首先利用矢量的协变微分的形式把等式写成普通散度的体积分的形式.考虑任意有限大小的封闭曲线$$\Sigma$$,包络了一个有限体积.

接着,表达式是协变的,所以我们可以选取一个特殊的坐标系以简化分析. 在这个坐标系中,"时间"或者准确的说"径向"坐标对应一个描写表面的函数$$\Phi$$(3.1.1),它像洋葱一样的一层一层,使得在中心处$$\Phi=0$$,在外表面处$$\Phi=1$$. 选择了这个径向坐标以后,余下的其他坐标都是角度坐标,即任何物理量(这里的被积函数)是余下坐标中的至少一个坐标的周期函数. 为了便于直观理解,可以先考虑平面极坐标,接着考虑球面极坐标的例子.前者仅牵涉到一个周期性的角度坐标,后者牵涉到两个角度坐标且仅有一个是周期性坐标. 对于更一般的情况,我们指出,任何维度的空间都可能通过变换把所有的维度相关的长度量纲做归入一个径向坐标,而把剩余无量纲的自由度都归入角度坐标中.

然后,把散度径向和角度部分的导数分开写成两项之和. 一方面,角度坐标部分的散度的体积分为零.因为被积函数是至少一个坐标(在其他坐标给定情况下)的周期函数,我们可以先完成其他坐标的导数和积分操作,这样剩下的操作仅对最后一个周期性变量进行. 不难验证,对一个周期函数先求导然后对完整周期的积分为零.这很容易用傅里叶级数展开周期函数来验证. 另一方面,径向坐标的积分仅有在表面上积分的贡献,在球心处贡献为零. 故高斯定理的第一形式得证.

注意到上述三个角度坐标正是(3.1.2)中标记曲面的三个$$y$$坐标.在这个情况下,从全空间$$(\Phi,y^1,y^2,y^3)$$到$$y^1,y^2,y^3$$的诱导度规对应的行列式平庸的有$$\sqrt{-g}=\sqrt{h}$$,而按(3.2.2)表面元只有零分量不为零.所以最后表达式又能写成协变的形式.

P.56 (3.3.2)

在这里,我们从高斯定理出发,进而讨论满足协变导数缩并为零的守恒流与守恒量的关系.

我们假设守恒量在空间无穷远处为零.这样我选择某特殊的圆柱形的三维曲面,使得其柱形侧面对应空间无穷远处的的类时曲面. 这样,守恒流只能通过圆柱形的上下底面,而在圆柱侧面的面积分为零. 这是因为,考虑感兴趣的实际体系仅仅局限在有限的空间中.最后的守恒荷的表达式为(3.3.2).
 * $$\begin{align}

Q \equiv \int_{\Sigma}{j^{\alpha}}d\Sigma_{\alpha} = \int_{\Sigma}{j^{\alpha}}n_{\alpha}\sqrt{h}d^3y \end{align}$$ 如(3.3.1)的笔记中指出的,上述论证过程的内涵和普通场论中由守恒流得到守恒荷的证明过程非常类似,只是这里得到的结果(3.3.2)是广义相对论协变面元(3.2.1-3)的形式.

一个具体计算的例子,参见Research Paper Notes on Gravitational Collapse使用$$(u,v)$$坐标和$$(u,r)$$计算电荷的过程.

P.56 (3.3.3)

这是斯托克斯定理在广义相对论中的推广,它的证明过程与之前的高斯定理非常相似. 除了空间维度上从两维平面的边界一维曲线推广为三维曲面的边界两维曲面以外,我们注意到在平直空间中三维矢量的旋度
 * $$\left(\nabla\times \mathbf{A}\right)_a=\epsilon_{abc}\nabla^b A^c=\nabla^b (\epsilon_{abc}A^c)=\nabla^b B_{ab}$$

其中$$B_{ab}\equiv \epsilon_{abc}A^c$$就是一个反对称张量.

P.57 (3.4.1-3.4.2)

容易证明,之前(3.1.12)等式右边第二项定义的$$h_{\alpha\beta}$$的确是投影算符.因为投影后的量,$${h^\alpha}_\beta T^\beta$$满足$${h^\alpha}_\beta T^\beta n_\alpha =0$$.

按此逻辑,(3.4.1)是一个展开形式.它把一个切向张量用基矢展开,但是其分量仍然采用对应的高维度空间的指标.

注意到(3.4.2)同样仅对切向张量成立,具体的,把(3.4.1)代入(3.4.2)的左边,我们得到
 * $$A_{\alpha\beta\cdots}e^\alpha_a e^\beta_b\cdots =A^{cd\cdots}e_{\alpha c} e_{\beta d}\cdots e^\alpha_a e^\beta_b\cdots

=A^{cd\cdots}\left(e_{\alpha c}e^\alpha_a\right) \left(e_{\beta d}e^\beta_b\right)\cdots =A^{cd\cdots}\left(g_{\gamma\alpha}\frac{\partial x^\gamma}{\partial x^c}\frac{\partial x^\alpha}{\partial x^a}\right) \left(g_{\delta\beta}\frac{\partial x^\delta}{\partial x^d}\frac{\partial x^\beta}{\partial x^b}\right) \cdots =A^{cd\cdots}h_{ca}h_{db} \cdots \equiv A_{ab\cdots}$$ 此即(3.4.2).其中利用了$$e^\alpha_a$$和$$g_{ab}$$的定义(3.1.7)和(3.1.9). 书中再次强调,(3.4.2)对于$$x^\mu$$坐标而言是一个标量,对于$$y^a$$而言才是一个张量.

P.58 (3.4.4)

等式的右边可以直观的理解为把一个在曲面切向的基矢,沿着曲面切向平行移动时的变化率在曲面切向基矢上的投影. 这个表达式的几何意义是高维空间中联络在曲面切向空间中的投影.

P.58 (3.4.6)

这个关系说明(3.4.4)所定义的高维空间中联络在曲面切向的投影正是曲面上度规的联络. 换言之,曲面切向空间的联络并不依赖于其内嵌在高维空间中的具体形式,此即内曲率概念的由来.

显然(3.4.6)可以通过诱导度规的定义直接验证. 而另一个方法是考察广义相对论中(3.4.6)的推导过程,比如参考Schutz一书(5.72)到(5.75)的推导. 我们发现,关系(3.4.6)用度规导出需要以下三个条件. 第一是联络可以升降协变导数的指标,此即(3.4.5). 第二是度规的协变导数为零,此即书中证明的关系,它是协变导数所有指标在曲面切向的投影.书中给出了证明. 第三是联络是对称的,即(3.4.4)对指标$$(a,b)$$对称. 在广义相对论中,联络的对称性来自协变导数交换顺序的对称性,因为在一个坐标系中对称的张量在任何坐标系中都是对称的. 对于投影度规,最直接的证明方法是(3.4.4)上一式的中的$$A_\alpha \to \phi_{;\alpha}=\phi_{,\alpha}$$,因为协变导数$$\phi_{;\alpha;\beta}$$对指标$$(\alpha,\beta)$$对称,故交换后发现整个表达式必然对指标$$(a,b)$$对称,故投影度规对应的联络也必然对指标$$(a,b)$$对称.

P.59 (3.4.8)

这个结果的几何意义是,在高维度空间看来,一个曲面切向矢量的协变导数会导致曲面切向和垂直于曲面切向的分量. 前者就是内曲率,它反映了内嵌曲面本身的弯曲程度,故与曲面如何内嵌在高维空间的具体方式无关;而后者就是外曲率,它反映了曲面是如何弯曲的内嵌在高维空间中的.

P.59 (3.4.9)

这里用一个特殊的例子,用三个基矢之一的$$e^\alpha_a$$来取代矢量$$A^\mu$$. 因为$$A^\alpha =\delta_{ba} e^\alpha_b = A^b e^\alpha_b$$,故$$A^b =\delta{ba}$$. 代入(3.4.8)即得(3.4.9).

P.59 (3.4.11)

这里证明中用到的第二个条件,正是之前关于(3.4.6)笔记中讨论的投影联络(3.4.4)对指标$$(a,b)$$的对称性.证明参见相关讨论.

P.59 (3.4.12)

这里的证明只需用到完备条件(3.1.12)和$$n^\mu$$的归一性(3.1.3).

P.60 (3.5.3)

这里补充一些推导细节.

首先上方RHS部分第二步等式,是利用了$${\Gamma^d}_{ab}$$对$$x^\mu$$来说是标量,所以对它的协变导数就是普通导数,即
 * $${\Gamma^d}_{ab;\gamma}={\Gamma^d}_{ab,\gamma}={\Gamma^d}_{ab,f}\frac{\partial y^f}{\partial x^\gamma}$$

而后者$$\frac{\partial y^f}{\partial x^\gamma}$$与$$e^\gamma_c$$对亚元$$\gamma$$求和后得到$$\delta_{fc}$$.

解出$$e^\alpha_{a;\beta\gamma}e^\beta_b e^\gamma_c$$后与$$e^\alpha_{a;\gamma\beta}e^\gamma_c e^\beta_b$$相减,等式左边为零. 等式右边,比较Ricci张量的定义,首先能提出$${R^\alpha}_{\mu\beta\gamma}$$它对应两项联络$$\Gamma$$的导数以及两项联络的乘积; 接着有两项外曲率的协变导数,每项都等于一项普通导数和一项联络;最后剩下的两项与外曲率有关.

P.61 (3.5.5)

这里补充一些推导细节.

首先将$$R_{\alpha\beta}$$和$$R$$的展开式代入$$G_{\alpha\beta}=R_{\alpha\beta}-\frac12 Rg_{\alpha\beta}$$后再与$$-2\epsilon n^\alpha n^\beta$$缩并.

注意到$$R_{\alpha\beta}$$展开式等式右边第一项由于Ricci对指标的反对称,缩并后为零,所以这一项为零. 另外$$R_{\alpha\beta}$$展开式右边第二项为$$-2\epsilon h^{mn}R_{\mu\alpha\nu\beta}e^\mu_m e^\nu_n n^\alpha n^\beta$$. 注意到$$R$$展开式,利用归一性$$Rg_{\alpha\beta}n^\alpha n^\beta=\epsilon R$$. 这样展开式等式右边的第一项为$$+2\epsilon h^{ab}R_{\mu\alpha'\nu\beta'}n^\nu e^{\alpha'}_a n^\nu e^{\beta'}_b$$,注意到Ricci张量的对奇偶指标的反对称性,两次交换亚指标后与上述剩余项正好抵消. 最后留下的一项对应$$R$$展开式等式右边第二项$$h^{ab}h^{mn}R_{\mu\alpha'\nu\beta'}e^\mu_m e^{\alpha'}_a e^\nu_n e^{\beta'}_b$$. 利用(3.5.3)表达为曲面切向Ricci张量,并注意到$$h^{ab}h^{mn}R_{manb}={}^3R$$,即得(3.5.5)右边的结果.

P.62 (3.5.7)

这个表达式的主要计算对象正是上述(3.5.5)的计算过程中相互抵消的项的内容. 这里补充一些推导细节.

在推导最初,Ricci标量等式右边第一项与四个法向矢量缩并为零是利用了Ricci张量对指标的对称性,参见Schutz一书(6.69). 接着,利用Ricci张量的定义,Schutz一书的(6.77),我们有$$[\nabla_\alpha,\nabla_\beta]n^\nu={R^\mu}_{\nu\alpha\beta}n^\nu$$. 进一步利用定义(6.91)缩并指标,我们有$$[\nabla_\mu,\nabla_\beta]n^\nu={R^\mu}_{\nu\mu\beta}n^\nu=R_{\nu\beta}n^\nu$$. 对等式两边用$$n^\beta$$进一步缩并即得书中的结果
 * $$n^\beta[\nabla_\mu,\nabla_\beta]n^\nu=n^\beta R_{\nu\beta}n^\nu=n^\beta n^\nu_{;\nu\beta}+n^\beta n^\nu_{;\beta\nu}$$.

P.63 (3.6.1-3.6.2)

本节讨论广义相对论中爱因斯坦方程的初始条件.

文中指出,顾名思义,初始条件必须由初始"时刻"所定义的超曲面上的诱导度规完全确定,这样的对称的度规只含有六个独立分量.对比$$10-4=6$$,四个不确定的自由度正对应了一个任意坐标变换携带的自由度,换言之,规范所对应的四个自由度.

因此,初始"位置"可由$$h_{ab}$$决定,而初始"速度"可由$$K_{ab}$$决定,后者正是度规在由法向矢量决定的流的演化速率在曲面切向的投影.

注意到,(3.6.1-3.6.2)给出了爱因斯坦方程中与曲面垂直方向投影相关的分量.这些分量,并不构成投影度规和外曲率在垂直方向上的"时间"演化. 实际上,它们所决定的投影度规和外曲率的关系,反过来是一种额外的约束. 在技术上,在爱因斯坦方程的其他(在曲面切向的投影)分量构成了演化方程的同时,它们构成了爱因斯坦方程3+1分解对应的约束方程.

在下一节,书中给出宇宙学度规的例子. 首先,因为空间各向同性,故空间部分的度规,即以时间坐标为常数定义的曲面上的投影度规,必然在旋转下不变. 因此,除去可能的时间依赖以外,度规的空间部分正比于单位矩阵. 同理,在曲面上,并不存在任何特殊方向,故$$j_a=0$$. 又因为宇宙学考虑的宇宙是均匀的,物质密度在曲面上为常数,$$\rho=\mathrm{const.}$$.显然,这并不排除"常数"可以是时间坐标的函数. 简单总结,空间各项同性,即旋转不变,意味着标量为常数,矢量为零,而张量(由舒乐引理)正比于单位矩阵. 进一步,外曲率反映了曲面法向量在曲面上平行移动的变化率在曲面切向的投影,因为各向同性,这个张量也必须正比于单位矩阵. 因为外曲率与曲面内嵌到高维空间的具体形式有关,故这意味着我们考虑的内嵌在曲面切向上必须是各项同性的.否则空间将存在某特殊方向. 因此,$$K_{ab}$$正比于$$h_{ab}$$.文中比例常数为$$\frac13 K$$,这是因为在投影度规中$$h_{ab}$$被用以升降指标,故$$K$$就是外曲率的迹. 另外,因为$$h_{ab}$$是平直的,(3.6.1)中的$${}^3R=0$$. 最后,由$$g_{00}=g^{00}=-1$$,归一后$$n_\alpha = \partial_\alpha t$$.而由(3.4.12)和$$\sqrt{-g}=\sqrt{(-1)(-1)(a^2)^3}=a^3$$,我们有
 * $$K={n^\alpha}_{;\alpha}=\frac{1}{\sqrt{-g}}(\sqrt{-g}n^\alpha)_{,\alpha}=\frac{\dot{(a^3)}}{a^3}=\frac{3\dot{a}}{a}$$.

P.64 Killing vector and normal vector

对于静态(static)时空,$$\xi_\alpha=g_{\alpha\beta}\xi^\beta=g_{\alpha\beta}\delta_{\beta t}=g_{\alpha t}=g_{tt}\delta_{\alpha t}=g_{tt}\partial_\alpha t$$.

按书中讨论,静态时空的克林矢量,法向量,和外微分有密切的关系.

P.65 spherically symmetric external curvature

在这里我们要写出一个球对称但非平庸的外曲率的形式,书中给出下述形式
 * $$K_{ab}=\left[K_1(r)-K_2(r)\right]n_a n_b+K_2(r)h_{ab}=K_1(r)n_a n_b+K_2(r)(h_{ab}-n_a n_b)$$.

其中$$n_a$$并非三维(平直空间)曲面的(类时)法向量,而是垂直与两维球面的(类空)单位法向量,$$h^{ab}n_a n_b =1$$. 我们注意到张量$$h_{ab}$$对应了平直空间的度规,它显然是球对称的,它包含了径向与角度方向的分量. 新增加的部分正比于$$n_a n_b$$显然是径向的,因为它与任何角度方向的矢量$$e_A$$缩并后都为零. 同时由矢量的径向分量构成的张量在空间没有特殊方向,其分量满足旋转对称性.所以两者之和$$K_{ab}$$满足球对称性. 而如文中指出的,把它的系数分别写开为$$K_1,K_2$$后,张量$$(h_{ab}-n_a n_b)$$对应了角度部分,这是因为它与径向矢量$$n_a$$的内积为零.

具体的,如文中指出的,$$h_{ab}$$在$$(r,\theta,\phi)$$坐标系中的分量为$${h^a}_b=(1,1,1)=\delta_{ab}$$,而$$n^a n_b=(1,0,0)$$,故$${K^a}_b=(K_1,K_2,K_2)$$.后两者其实要用$$h_{ab}$$来升降指标.

接着,取第一个约束方程非平庸的解$$K_2=-2K_1$$,注意到这时$$K=-3K_1$$正是张量迹. 将此时外曲率$$K_{ab}$$的具体形式代入第二个约束方程,注意到$$K(r)n_a n_b$$对$$y^b$$的协变导数产生三项,而$$h_{ab}$$的协变导数为零,同时该项对$$K(r)$$的导数贡献系数$$\frac23$$.综上,正是对应文中给出的表达式.

接着文中给出具体计算.其中$${n^b}_{|b}$$和$$n_{a|b}n^b$$的直接计算需要用到求极坐标联络的形式.具体的,
 * $${n^b}_{|b}={\Gamma^b}_{ba}n^a={\Gamma^b}_{b1}={\Gamma^2}_{21}+{\Gamma^3}_{31}=\frac{1}{r}+\frac{1}{r}=\frac{2}{r}$$
 * $$n_{a|b}n^b={\Gamma^c}_{ab}n_c n^b={\Gamma^1}_{a1}=0$$.

P.65 conformally flat

首先共形平坦并非是平坦的,具体计算Ricci标量充分说明并不等于零. 共形因子对应的约束方程具体泊松方程的形式.

P.66 (3.7.1)

一方面,我们法向量的定义为(3.1.4)
 * $$n_\mu\equiv \frac{\epsilon\partial_\mu\Omega}{\left|g^{\mu\nu}\partial_\mu\Omega\partial_\nu\Omega\right|^\frac12}$$.

它的归一关系是$$\epsilon =g^{\mu\nu}n_\mu n_\nu=g^{\mu\nu}\partial_\mu\Omega \partial_\nu\Omega\frac{1}{\left|g^{\mu\nu}\partial_\mu\Omega\partial_\nu\Omega\right|}$$.

对于任何标量函数$$\ell\equiv \ell(x^\mu)$$,我们有$$\Delta\ell=\frac{\partial \ell}{\partial x^\mu}\Delta x^\mu$$, 它的平方为$$(\Delta\ell)^2=\left(\frac{\partial \ell}{\partial x^\mu}\Delta x^\mu\right)^2 =\left(\partial_\mu \ell \Delta x^\mu\right)^2 =\partial_\mu \ell \partial_\nu \ell \Delta x^\mu \Delta x^\nu$$. 如果$$\ell$$是固有距离(或固有时间),那么对于任何两个事件点上它的差值就是固有距离差,即 $$d\ell^2=g_{\mu\nu}dx^\mu dx^\nu$$或$$(\Delta\ell)^2=g_{\mu\nu}\Delta x^\mu \Delta x^\nu$$. 而上述两式相等 $$(\Delta\ell)^2=g_{\mu\nu}\Delta x^\mu \Delta x^\nu=\partial_\mu \ell \partial_\nu \ell \Delta x^\mu \Delta x^\nu$$ 对任意$$\Delta x^\mu$$成立,换言之,
 * $$g_{\mu\nu}=\partial_\mu \ell \partial_\nu \ell$$.

我们注意到
 * $$g^{\mu\nu} \frac{\partial_\mu \ell }{\left|g^{\mu\nu} g_{\mu\nu}\right|^\frac12}\frac{\partial_\nu \ell}{\left|g^{\mu\nu} g_{\mu\nu}\right|^\frac12}

=g^{\mu\nu} \frac{\partial_\mu \ell\partial_\nu \ell}{{\delta^\mu}_\mu} =g^{\mu\nu} \frac{\partial_\mu \ell\partial_\nu \ell}{d} =\frac{d}{d}=1$$. 将这个结果与$$n_\mu$$的归一条件进行比较,我们发现$$\Omega = \ell$$的确可以选为固有空间(或固有时间).

P.

本文档除了包括推导, 疑惑 外,做 读书重点 的记录 $$$$