Research Paper Notes on the stability of ordinary differential equations

Research Paper Notes on the stability of ordinary differential equations

本文档除了包括推导, 疑惑 外,做 读书重点 的记录 $$$$

文献列表

 * A Polyalgorithm for the Numerical Solution of Ordinary Differential Equations, ACM Transactions on Mathematical Software, 1(1975) 71–96, by G. D. Byrne and A. Hindmarsh

A Polyalgorithm for the Numerical Solution of Ordinary Differential Equations, ACM Transactions on Mathematical Software, 1(1975) 71–96, by G. D. Byrne and A. Hindmarsh
我们用这篇文章作为引子来对常微分方程的稳定性问题对一个简单的回顾.

第一种不稳定性是von Neumann不稳定性,它在Numerical Recipe一书和维基页,它讨论的是由于截断误差等原因,微小误差随着数值求解过程被放大的可能性.这个过程依赖于具体的求解算法.

第二种是方程求解算法本身的收敛性.它与向前向后差分(explicit和implicit)以及硬度(stiffness)有关.维基页给出了对相关基础概念很好的说明. 首先是硬度的溯源,它大致来源于实部为负的本征值的大小差距.实部为正的本征值对应方程的解本身就是发散的,不在讨论之列. 对于具体的差分方法,上述维基页通过具体计算讨论了稳定性,A-稳定性和L-稳定性的定义和相关推导. 稳定性一般要求$$z$$处于复平面实部为负的某个区域内,参见欧拉方法的推导,它对应一个半径为1中心为-1的圆.

本文档除了包括推导, 疑惑 外,做 读书重点 的记录 $$$$