Research Paper Notes on Phenomenological Approaches of Cosmology

Research Paper Notes on Phenomenological Approaches of Cosmology

本文档除了包括推导, 疑惑 外,做 读书重点 的记录 $$$$

文献列表

 * Observational Constraints Regarding the Dark Energy and Lorentz Invariance Breaking, PhD thesis, by Yu Pan
 * Testing the interaction model with cosmological data and gamma-ray bursts, arXiv:1211.0184, by Yu Pan, Shuo Cao, Yungui Gong, Kai Liao, Zong-Hong Zhu


 * Holographic dark energy and cosmic coincidence, arXiv:gr-qc/0505020, by Diego Pavon and Winfried Zimdahl
 * Transition of the dark energy equation of state in an interacting holographic dark energy model, arXiv:hep-th/0506069, by Bin Wang et al


 * Chameleon Cosmology, arXiv:astro-ph/0309411v2, by Justin Khoury and Amanda Weltman

Observational Constraints Regarding the Dark Energy and Lorentz Invariance Breaking, PhD thesis, by Yu Pan
(2.14)

这就是能量守恒方程(1.19)的推广,考虑到暗能量和暗物质的总能量仍然守恒,以及物质场的压强近似为零以及暗能量的状态方程$$p_X=w_X\rho_X$$.

(2.46)

如图Fig2.15,注意到$$S$$是源,$$O$$是观察者,透镜在圆盘中心位置.如果$$\beta=0$$,则源,观察者和透镜在一根直线上,出现爱因斯坦环的现象.

Testing the interaction model with cosmological data and gamma-ray bursts, arXiv:1211.0184, by Yu Pan, Shuo Cao, Yungui Gong, Kai Liao, Zong-Hong Zhu
这是一篇典型的用实验数据来界定宇宙学模型参数的工作.这里考虑的是暗能量暗物质相互作用模型.模型解析可解.被研究的模型参数是暗物质占比$$\Omega_m$$,暗物质暗能量转换率$$r_m$$,和暗能量状态方程$$w_X$$.实验数据具有很大的多样性,但都可以用模型的解析解表达出来,拟合采用马科夫链蒙特卡洛方法MCMC进行.

Holographic dark energy and cosmic coincidence, arXiv:gr-qc/0505020, by Diego Pavon and Winfried Zimdahl
这是著名的暗能量暗物质相互作用模型.其元素是,把能量守恒方程做改动,暗物质密度由全息原理和红外截断尺度确定.立论是时间演化导致恒定的物质能量比,解决宇宙学中的"巧合"问题.

Transition of the dark energy equation of state in an interacting holographic dark energy model, arXiv:hep-th/0506069, by Bin Wang et al
这是王老师被引500+的文章.与前作的区别是考虑了未来事件视界,而非哈勃半径,来做红外截断.

在下面我们对文中中公式的推导给出一个比较具体的说明,这对于推导一般宇宙学模型的方程有借鉴作用.

(1)

对最简单的情况宇宙学其实涉及三个方程.如参见Schutz一书的宇宙学章节.第一个是对每种独立物质流体的能动张量守恒,第二个是爱因斯坦方程的$$tt$$或者$$rr$$分量,第三个是对每种物质的状态方程.第二个方程,很多时候通过和其他方程结合用Friedmann方程所取代.在此意义上,本文用暗能量暗物质间能量转换关系取代第一个方程,Friedmann方程不变,用全息宇宙学的暗能量密度表达式取代状态方程.所以方程数目不变,问题本质上仍然为含有一个独立变量的常微分方程.考虑暗能量暗物质,方程数是$$2+1+2=5$$,对应变量$$\rho_m,p_m,\rho_D,p_D,a$$.度规只有一个参数故爱因斯坦方程只可能贡献一个独立的方程,对每种物质流体,能动张量守恒与状态方程决定了其能量密度与压强.因为暗物质的压强可以忽略不计$$p_m=0$$,故也可以认为问题涉及4个变量与对应的方程.

我们按此思路,来数一下本文中模型的方程和变量的数目,方程(1-2),Friedmann方程$$\rho_m+\rho_D=3H^2$$和暗能量密度$$\rho_D=3c^2 R_E^{-2}$$,一共4个.对应的变量是尺度因子,暗物质和暗能量密度,暗能量状态方程$$a, \rho_m, \rho_D, w_D$$也是四个,他们都是时间坐标$$t$$的函数.其他变量,比如宇宙未来视界$$R_E$$,比率$$r$$,哈勃常数$$H$$,能量转换率$$Q$$,暗物质暗能量占比$$\Omega_m, \Omega_D$$等都可以由这4个变量得到.

另外,这个模型的参数是$$b, c$$,注意$$a$$是FW度规中描写宇宙曲率的变量.在文中,模型独立的自变量被取为$${\Omega_D}$$.(5)是它的演化方程,(6-7)是其他变量用它来表达得到的结果.

宇宙未来视界是指空间中向观测者发送信息并且在无限将来之前被观测者接收到的最大固有距离,具体讨论参见这个综述的笔记.它等于$$R_E=a\int_t^\infty \frac{dt'}{a(t')}=a\int_a^\infty \frac{da'}{H{a'}^2}$$.等式第二步由换元得到.

方程(1-2)用于取代基本宇宙学模型中的能量守恒表达式.

宇宙全息模型的暗能量表达式是$$\rho_D=3c^2 R_E^{-2}$$,这个表达式取代暗能量的状态方程,所以$$w_D$$需要计算得到.

(3)

则通过对$$r=\rho_m/\rho_D$$对时间坐标求导数,然后代入(1-2)和$$Q=3b^2 H\rho$$的定义,$$r=\rho_m/\rho_D$$的定义,注意到$$\rho=\rho_m+\rho_D$$,直接代数运算即得.

(4)

先从(3)中形式上解出$$w_D$$,利用书上导出的$$r$$和$$\dot{r}$$的表达式,即得.

注意到其中对一个任意物理量$$A$$的空间$$x=\ln a$$导数和时间导数是直接有关的,不难证明$$A'=\dot{A}/H$$.

(5)

这个式子并不容易证明,这里给出证明思路如下.

这个表达式给出了$$\Omega_D$$的运动方程,它是一个常微分方程,由模型参数$$b, c$$决定.

首先,不妨先证明以下结果.利用暗能量密度表达式,可以证明$$R_E=c\sqrt{1+r}/H$$,以及$$\dot{R_E}=HR_E-1$$.

接着,我们要解一个重要的关系式,即把$$\dot{H}/H^2$$用$$\Omega_D$$和$$w_D$$表达出来,而后者由(4)也可以表达为$$\Omega_D$$及一阶导数的表达式.需要这个关系式的原因是,在这个模型,这两组变量是"几乎"等价的$$r \leftrightarrow \Omega_D$$, $$\rho_D \leftrightarrow R_E$$,但是这两组变量之间差了一个$$H$$的函数,所以上述关系式就是连接着两组变换的导数之间的桥梁.

这个关系式可以用下面的办法得到,将(1-2)表达为$$\rho_D$$和$$H$$的函数,并且相加,然后将$$\rho_D$$表达为$$\Omega_D$$和$$H$$的表达式,将有关$$H$$的项整理出来,即得所需结果.这个表达式在文中的(7)下方给出.

最后我们来验证(5),不难注意到它其实就是$$-(1/\Omega_D)'=-(1+r)'=-r'=-(H^2 R_E^2)'/c^2$$,接下来只需要代入上述结果,注意到空间导数和时间导数的区别,不难证明最后的结果不再与$$H$$有关,而只与$$\Omega_D$$有关,最后把等式右边出现的$${\Omega_D}'$$移到等式左边,即得结果.

(6)

将(5)中$${\Omega_D}'$$的表达式带回(4),即得(6).这是$$w_D$$对$${\Omega_D}$$的依赖关系.

(7)

再次利用之前的结果,注意代入并替换掉$${\Omega_D}'$$的表达式,即得.这是$$q$$对$${\Omega_D}$$的依赖关系.

最后,因为$$\frac{d}{dt}\left(\frac{1}{H}\right)\equiv \dot{\left(\frac{1}{H}\right)}=-\frac{\dot{H}}{H^2}=\frac{3}{2}(1+w_D\Omega_D)$$,所以代入(6)后,也可以直接通过数值积分得到$$H(\Omega_D)$$的函数.

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Chameleon Cosmology, arXiv:astro-ph/0309411v2, by Justin Khoury and Amanda Weltman
宇宙暴涨模型要去暴涨对应的标量粒子质量很小,考虑该粒子与标准模型物质的相互作用为Yukawa势的形式,这样对应了物质间平方反比的作用力在距离足够小应该能够被实验测量到.本文给出一个唯象的基于弦论结果的变色龙暗物质与普通物质的相互作用形式.具体的相互作用依赖于普通物质(能量)密度,这导致变色龙粒子的Yukawa等效质量在高密区域很大,足以屏蔽普通物质间通过变色龙场的相互作用力.

(6)

这里由作用量(1-2)推导变色龙场$$\phi$$的运动方程.

具体的,作用量(1)中最后一项的变分为$$\frac{\delta\mathcal{L}}{\delta g^{\mu\nu}_{(i)}}\frac{\delta g^{\mu\nu}_{(i)}}{\delta\phi}$$.其中第一个因子与物质场的能动张量有关,即$$\frac{\delta\mathcal{L}}{\delta g^{\mu\nu}_{(i)}}=\frac12 \sqrt{-g^{(i)}}T_{\mu\nu}^{(i)}$$.注意到这里的物质场部分作用量的写法与一般文献的区别,另外在能动张量的表达式中把度规取为$$g^{\mu\nu}_{(i)}$$,这可以看做仅仅是个定义.

第二个因子可由(2)直接得到$$\frac{\delta g^{\mu\nu}_{(i)}}{\delta\phi}=\frac{2\beta_i}{M_{Pl}}g^{\mu\nu}_{(i)}$$.最后注意到,由(2)行列式之前满足关系$$\sqrt{-g{(i)}}=e^{4\beta_i\phi/M_{Pl}}\sqrt{-g}$$.即得(6).

(7)

我们注意到,对于非相对论固体,压强几乎为零,故能动量与度规的缩并与随动系中的能量密度直接有关,即$$\tilde{\rho}_i=-g^{\mu\nu}_{(i)}T_{\mu\nu}^{(i)}$$.同时,在非相对论情况下,能量密度的空间三维积分,相当于质量,是个不变量.换言之$$\tilde{\rho}_i(\sqrt{-g^{(i)}}d^4 x)^{\frac34} = \mathrm{const.}=\tilde{\rho}_ie^{3\beta_i\phi/M_{Pl}}(\sqrt{-g}d^4 x)^\frac34$$,这样形式上对应不变的密度为$$\rho_i \equiv \tilde{\rho}_ie^{3\beta_i\phi/M_{Pl}}$$.感觉有点胡说八道!代入(6)即得(7).

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