Lecture Notes of Modern Quantum Mechanics by J.J. Sakurai

Lecture Notes of Modern Quantum Mechanics by J.J. Sakurai

本文档除了包括推导, 疑惑 外,做 读书重点 的记录

Ch.2 Quantum Dynamics
P.80 (2.1.70)

因为(2.1.69)是一个态通过一定时间演化后,在原来初始时刻的态上面的振幅的平方.显然如果 t=0 ,则 C(t)=1 .由讨论知,当 t 很大是 C(t) 由于震荡最后数值很小,接近零,而这个震荡在(2.1.70)条件满足时,开始变得重要.从而态的寿命,即可以参测到稳定的态时间间隔与态的能量不确定度成反比. 这里涉及一个很重要的论证方法和结论,更好的办法是通过数值计算得到一个直观的概念.比如通过以下Mathematica小程序

k = {10000000, 10000, 10, 1, 0.1, 0.001, 0.00001, 0.00000001}; N[\!\( \*SubsuperscriptBox[\(\[Integral]\), \(-1\), \(1\)]\(E^{I\ \ x/ k}\ \((3 x^2 + 2  x)\) \[DifferentialD]x\)\)]

我们看到,这里积分区间是一定的,对应体系态密度有贡献的部分,我们改变指数上完成一个周期震荡的区间$$ k $$的大小,随着$$ k $$变小,积分的贡献(实数部分,其虚数部分在$$ k $$很大时等效积分区间很小,由对称性导致贡献很小,但是在$$ k $$逐渐变小时满足相同的趋势)由于剧烈震荡的抵消,很快的变小.

这个思路在很多物理学的领域有应用.比如量子力学的路径积分的表述,参见应书谦讲义.比如在统计力学,可参见F. Reif, Fundamentals of Statistical and Thermal Physics, P.38在统计力学中的例子和具体的讨论.比如群速度的推导(对应上述问题指数上展开一次项系数最小时贡献最大),参见苏汝铿Quantum Mechanics P.14 (1.4.12).

P.96 (2.3.47)

这里给出有很多应用的Baker-Hausdorff引理.
 * $$e^{iG\lambda}A e^{-iG\lambda} = A + i\lambda [G,A] + \frac{\left(i\lambda\right)^2}{2!}[G,[G,A]]+\ldots+\frac{(i\lambda)^n}{n!}\underbrace{[G,[G,[G,\ldots[G}_{n\ times},A]]]\ldots]+\ldots$$

证明的思路是先按对应的阶数把等式左边展开,然后证明与等式右边对应的阶数的项一致.后者可以用数学归纳法给出证明.

具体证明可以参考stackexchange的这个链接.

P.111 (2.5.12) 相对论动力学方程的类比参见如F.Mandal, Quantum Field Theory, P.54 (3.56),最终的形式是(3.59)),

这里给出两个证明,第一个证明直接求解Eq.(2.5.12)得到(2.5.8),但仅对自由粒子情况成立,第二个证明直接将(2.5.8)代入(2.5.12)说明的确满足方程.

首先利用傅里叶变换来给出证明. 这里对(2.5.12)两边做傅立叶变换,得到动量表象的传播子,然后在利用傅立叶变化的定义,证明与(2.5.8)一致,这里的主要区别是薛定谔方程中能量为一次方,故而只有一个极点,而不是如相对论量子场论中有两个极点. 利用傅立叶变换的定义


 * $$\begin{align}

&\tilde{f}(p)=\int e^{-2\pi ipx}f(x)dx \\ &f(x)=\int\tilde{f}(p)e^{2\pi ipx}dp \end{align}$$

作为一个例子,写下三维 $$ \delta $$ 函数的傅立叶变换


 * $$\begin{align}

&\tilde{\Psi}(p)=\int e^{-2\pi ipx}\delta(x)d^3x=1 \\ &\delta(x)=\int\tilde{\Psi}(p)e^{2\pi ipx}d^3p =\frac{1}{(2\pi \hbar)^3}\int\tilde{\Psi}(p)e^{i(2\pi \hbar p) x/ \hbar}d^3(2\pi\hbar p)\\ &=\frac{1}{(2\pi \hbar)^3}\int e^{ipx/ \hbar}d^3p \end{align}$$

作为另外一个例子,写下三维波函数在动量空间的形式,注意到这里和傅立叶变换的区别是波函数差一个归一常数(1.7.31-32) $$ ={\Psi}(p)=\frac{1}{(2\pi \hbar)^{3/2}}\int e^{-ipx/\hbar}\Psi(x)d^3x $$ 而傅立叶变换按定义


 * $$\begin{align}

&\tilde{\Psi}(\frac{p}{2\pi\hbar}) \equiv \tilde{\Phi}(p)=\int e^{-2\pi i(\frac{p}{2\pi\hbar})x}\Psi(x)d^3x =\int e^{-ipx/\hbar}\Psi(x)d^3x={(2\pi \hbar)^{3/2}}\Psi(p) \\ &\Psi(x)=\int\tilde{\Psi}(\frac{p}{2\pi\hbar})e^{2\pi ipx}d^3p =\frac{1}{(2\pi \hbar)^3}\int\tilde{\Psi}(\frac{p}{2\pi\hbar})e^{2\pi i(\frac{p}{2\pi\hbar})x}d^3p=\frac{1}{(2\pi \hbar)^3}\int\tilde{\Phi}({p})e^{ipx/ \hbar}d^3p  =\frac{1}{(2\pi \hbar)^{3/2}}\int{\Psi}(p)e^{ipx/ \hbar}d^3p \end{align}$$

此即(1.7.51a)


 * $$\begin{align}

&\Psi(p)=\frac{1}{(2\pi \hbar)^{3/2}}\int e^{-ipx/\hbar}\Psi(x)d^3x \\ &\Psi(x)=\frac{1}{(2\pi \hbar)^{3/2}}\int{\Psi}(p)e^{ipx/ \hbar}d^3p \end{align}$$

下面需要用到的是一维波函数能量动量的傅立叶变换


 * $$\begin{align}

&\tilde{\Phi}(p,E)=\int e^{-2\pi i(px-Et)/2\pi \hbar}\Psi(x,t)dxdt=\int e^{-i(px-Et)/\hbar}\Psi(x,t)dxdt \\ &\Psi(x,t)=\frac{1}{(2\pi \hbar)^2}\int\tilde{\Phi}(p,E)e^{2\pi i(px-Et)/2\pi \hbar}dpdE=\frac{1}{(2\pi \hbar)^2}\int\tilde{\Phi}(p,E)e^{i(px-Et)/ \hbar}dpdE \end{align}$$

如果势场是常数(如果不是常数,则傅里叶变化将涉及卷积,似乎没有显然的做法,注意到量子场论中的做法也是针对只有粒子的),那么对(2.5.12)两边做傅立叶变换并移项得,


 * $$\begin{align}

\tilde{K}(p,E)=\frac{-i\hbar}{\frac{p^2}{2m}+V-E-i\eta}=\frac{i\hbar}{E-[(\frac{p^2}{2m}+V)-i\eta]} \end{align}$$

其中$$V$$为势场,是常数.对此做傅立叶变化回到坐标表象,注意由于约当引理,这里留数的积分只在 $$t>t'$$时不为零,对能量的复平面积分往实轴下方绕行,故极点在实轴的下方,顺时针积分多产生一个负号


 * $$\begin{align}

&K(x-x',t-t')=\frac{1}{(2\pi\hbar)^2}\int\tilde{K}(p,E)e^{i[p(x-x')-E(t-t')]/\hbar}d^3pdE\\ &=\frac{1}{(2\pi\hbar)^4}\int (-2\pi i)(i\hbar)e^{i[p(x-x')-(\frac{p^2}{2m}+V)(t-t')]/\hbar}d^3p \\ &=\frac{1}{(2\pi\hbar)^3}\int e^{i[p(x-x')-(\frac{p^2}{2m}+V)(t-t')]/\hbar}d^3p \\ &=\sum_{p'} e^{-iH(t-t')/\hbar} \end{align}$$ 最后一步注意到平面波表达式(1.7.32),以及将(2.5.8)中$$ |a'> $$以动量本征态带入即得.证毕.

第二个证明是通过直接的积分形式给出. 首先因为传播子满足薛定谔方程,所以在 $$t> t_0$$ 时,(2.5.12)左边为零.按边界条件,在$$t< t_0$$传播子为零.故在$$t\ne t_0$$时(2.5.12)左边总是为零. 另外,由于(2.5.8),在$$ t=t_0$$ 时,(2.5.12)左边的确存在一个 $$ \delta(x''-x')$$因子.所以只需要证明(2.5.8)坐标对于时间也是一个$$ \delta$$函数. 现在注意到(2.5.8)实际上左边有一个因子阶梯函数 $$\theta (t-t_0)$$ ,以保证在 $$texp[\frac{-iE_{a'}(t-t_0)}{\hbar}]\theta(t-t_0) \end{align}$$

对求和号内的每一项,对时间做积分 $$\int_{-\infty}^{\infty} dt$$ 结果是有界的,但是无限震荡不收敛,为了使之收敛,引入一个对能级的微小移动 $$E_{a'}\rightarrow E_{a'}-i\eta$$ ,使得积分收敛


 * $$\begin{align}

&\int_{-\infty}^{\infty} dtE_{a'}exp[\frac{-i(E_{a'}-i\eta)(t-t_0)}{\hbar}]\theta(t-t_0) \\ &=\int_{0}^{\infty} dtE_{a'}exp[\frac{-i(E_{a'}-i\eta)t}{\hbar}] \\ &=\int_{0}^{\infty} \frac{\hbar E_{a'}}{-i(E_{a'}-i\eta)}d(\frac{-i(E_{a'}-i\eta)t}{\hbar})exp[\frac{-i(E_{a'}-i\eta)t}{\hbar}] \\ &= \frac{\hbar E_{a'}}{-i(E_{a'}-i\eta)}exp[\frac{-i(E_{a'}-i\eta)t}{\hbar}]|_{t=0}^{t=+\infty} \\ &= \frac{-i\hbar E_{a'}}{(E_{a'}-i\eta)}\\ &= -i\hbar<a'|x'> \end{align}$$ 对能级求和,左边第一项即为
 * $$\begin{align}

\sum_{a'} -i\hbar<x|a'><a'|x'>=-i\hbar\delta(x-x') \end{align}$$ 左边第二项


 * $$\begin{align}

&\int_{-\infty}^{\infty} dt (-i\hbar\frac{\partial}{\partial t}) K(x'',t;x',t_0)\\ &=-i\hbar K(x'',t;x',t_0)|_{-\infty}^{+\infty} \\ &=-i\hbar\sum_{a'}E_{a'}<x''|a'><a'|x'>exp[\frac{-i(E_{a'}-i\eta)(\infty-t_0)}{\hbar}]-0\\ &=0-0\\ &=0 \end{align}$$

综上,(2.5.12)左边对时间的积分为


 * $$\begin{align}

\int_{-\infty}^{\infty}dt (H-i\hbar\frac{\partial}{\partial t}) K(x,t;x',t_0)=-i\hbar\delta(x-x') \end{align}$$

证毕. 实际上第二个证明有个更直接的方式,参见这里.因为(2.5.8)满足薛定谔方程,所以如果将(2.5.8)代入(2.5.12)右边为零.而实际上(2.5.8)由于边界条件需要乘以因子$$\theta(t-t_0)$$.这个因子的唯一额外影响是时间的偏微分导致$$\delta(t-t_0)$$,而后者保证了函数仅在等时下不为零,而显然按定义在等时下(2.5.8)等于$$\delta(x'-x'')$$,问题得证.

注意到上述证明有两个关键,一个是阶梯函数,另一个是所有能级的微小移位,这两点导致了(2.5.12)左边的第一项和第二项产生不同结果.

P.114 (2.5.25) 从(2.5.23)推导,此积分不发散但是无限震荡,加上无限小因子取符号使得在积分两端收敛,因为时间的阶梯函数因子积分限为零到无穷大,积分结果在时间为零的一端给出,即(2.5.25) 反过来,从(2.5.25)利用能级的微小移动,利用留数定理同样可以得到(2.5.20),其中无限小移动的符号由格林函数在时间小于零时为零决定.

Ch.3 Theory of Angular Momentum
P.120 (2.5.45b) 是 $$\delta$$ 函数首先因为归一,其次因为其形状在 $$\Delta t\rightarrow 0$$ 时变得无限尖锐.

P.157 (3.1.15) 为什么在不知道转动的具体表示(维度和具体形式)的情况下,生成元已经可以写出 $$\mathbf{J}\cdot \mathbf{n}$$ 的形式?因为我们知道无限小的转动是矢量,可以做矢量加法.从而任何无限小转动可以表达为 $$(x,y,z)$$ 三个方向上无限小转动的矢量和.如果沿着 $$(x,y,z)$$ 三个方向上的转动的生成元已知为 $$(J_x,J_y,J_z)$$ .对于一个任意方向上的无限小转动,利用其矢量的性质,我们可以表达为三个连续的在 $$(x,y,z)$$ 方向上的转动,各自的转动的大小 $$(\epsilon_x,\epsilon_y,\epsilon_z)$$ 决定于无限小矢量在每个方向上的分量 $$\epsilon_i=\epsilon \mathbf{n \cdot {x}_i}$$ ,这样我们得到三个(3.1.11)形式的因子的乘积,保留一阶小量即得对于任意方向无限小转动的生成元为 $$\mathbf{J}\cdot  \mathbf{n}$$

其实这里的关键是,如果证明无限小转动是矢量,在书中仅仅证明了无限小转动在考虑到一级近似的情况下,是可对易的.但是这并不等于证明了无限小转动是矢量.证明的思路如下.首先我们引入矢量的定义,按习惯,矢量的方向是转轴,而沿轴逆时针的转动角度为矢量的大小.利用(3.1.4-5)的具体形式,我们可以具体的核实任何两个无限小转动的基矢量(比如,沿着直角坐标轴的无限小转动)的连续作用的转动,得到一个新的矢量,它满足矢量的和的分量定义.具体的,我们利用下面的技巧,任何一个实正交矩阵对应一个转动,转动的方向对应矩阵本征值为1的本征矢量,转动的大小\theta由矩阵的迹决定,它等于$$1+2\cos\theta$$.具体参见Goldstein Classical Mechanics的笔记.为此,我们可以把(3.1.4-5)的乘积保留到两阶,由其迹得到对应转动的角度,而转动方向,更方便的是用矢量的和代入验证的确是矩阵的本征值.

P.157 (3.1.16) 这是一个常用的数学极限,下面记忆方法


 * $$\begin{align}

&\lim_{N\rightarrow \infty }(1+\frac{a}{N})^N=\exp(\ln(\lim_{N\rightarrow \infty }(1+\frac{a}{N})^N))=\exp(\lim_{N\rightarrow \infty }\ln(1+\frac{a}{N})^N) \\ &=\exp(\lim_{N\rightarrow \infty }N \ln(1+\frac{a}{N}))=\exp(\lim_{N\rightarrow \infty }N (\frac{a}{N}+O(\frac{1}{N^2})))=e^a \end{align}$$ P.201 (3.6.40) 从角动量的一般性质知道角动量可以是整数或者半整数.从生成元的对易关系和作用效果知道,空间角动量算符是一个角动量算符.但是空间角动量只能取整数.书中列出很多理由加以说明,很有说服力的一点是,(角动量取整数的)球谐函数是完备的,所以任何半整数的假设都会导致矛盾.从而,半整数的角动量不出现于坐标空间,而只能在另外与之正交的(例如自旋)空间中.

P.232 (3.10.3) 这个式子可以看作是矢量算符的定义,但是为什么先乘以$$ \mathcal{D}^+ $$呢,理由是我们相信空间位矢,动量和角动量都是矢量算符,由(3.10.3)可以自然的得到(3.10.9),正是我们所熟悉和需要的结果.

P.234 (3.10.13) 这里的含义是矢量 $$\mathbf U$$ 和矢量 $$\mathbf V$$ 构成的所有两次型.所以当然包含点积.另外对 $$\mathbf U=V= r$$ 也可以应用,如P.237最上面的例子,其中$$ x^2$$ 应该被看成两个矢量分量的乘积,而非一个数字.

P.235 (3.10.16) 这个式子说明,通过矢量可以构造球张量.矢量的变换形式为(3.10.3)或(3.10.8),而球张量的变换形式为(3.10.22)或(3.10.24).矢量和一阶球张量实际上完全等价,需要引入球张量的原因是,一阶矢量的直乘一般情况下是可约,而由定义,球张量是不可约的.(3.10.27)给出如何由两个低阶的球张量构造一个高阶的球张量.

P.235 (3.10.20-21) 在推导(3.10.20)的过程中,从等式的左边内积的 $$<\hat n |$$ 仅仅是一个波函数,其中方向单位矢量 $$ \hat n $$是一个代表着波函数本征值的参数,是数字.而实际上,我们需要是把(3.10.16-17)中的数字坐标变量理解为算符,并且讨论对应算符在转动算符前后夹乘下的变化方式.所以在这里原则上有一步飞跃.通过表达式(3.10.20),我们仅仅知道态的内积 $$ <\hat{n}|l,m>=Y_l^m(\hat{n}) $$在空间转动下的变化形式.现在我们如下的过程,把$$ Y_l^m(\hat{n}) $$其中的表征空间方向的数字参数替换为算符,那么什么操作可以对替换后的算符做矢量旋转$$ \hat{n}\to \hat{n'} $$,且保持函数形式$$ Y_l^m(\hat{n}) $$不变呢?答案是,如果参数形式是由算符的乘法和加法构成,那么这个操作就是左右夹乘,如果 $$ \hat n $$是矢量,那么它自然的满足(3.10.3),即$$ \mathcal{D}^+\hat{n}\mathcal{D}=\hat{n'} $$.其中最右边的操作是为了对再右边的任何算符不构成影响,而在任何连续乘积中间可以按需要插入旋转操作和它的厄米的对儿.按此思路,推导(3.10.20)的过程全盘成立,只是其中的$$ \hat{n} $$是算符,在等式左边,让它旋转的操作需要被替换为(3.10.3)左右夹乘.

P.239 (3.10.31) 这个定理的一个应用是原子物理中著名的g-factor.具体讨论参见比如Ashcroft Solid State Physics(31.36).

Ch.4 Symmetry in Quantum Mechanics
P.258 非常通俗易懂的对称性破缺和简并的例子!

P.264 (4.3.11) $$n$$和$$n'$$不是能量本征态但是正交,这是可能的因为利用了(4.2.37)的类比,在那里$$R$$和$$L$$不是能量本征态,但是正交.利用上述正交性和(4.3.8)及(4.3.10),即得(4.3.11)

P.277 (4.4.63) 利用(4.4.53),易得 $$J^2\Theta|j,m>=j(j+1)\Theta|j,m>,J_z\Theta|j,m>=-m\Theta|j,m>$$ 从而 $$\Theta|j,m>=\eta|j,-m>$$ .又见书中关于(4.4.79)的讨论.

P.279 (4.4.75) 可以把 $$J_y $$换为 $$J_z $$,而同时把 $$|j,m>$$ 换为所有基的线性组合,由于奇偶性不会变,(4.4.75)得证

Ch.5 Approximation Methods
P.288 (5.1.15) 这里 不清楚 是如何得到这个表达式的.对有限深势阱,在势场非常小时,至少存在一个束缚态解.按求解的方程,这个解在势场趋于零时对应的能量就是势场的值(负数).但是书上关于势场反号,势阱变为势垒后不存在束缚态的讨论仍然成立.

P.289 (5.1.25) 可以在(5.1.25)左边插入完备的基$$\sum_i|i><i|$$,然后求和中对$$n$$的项为零,即得$$\phi_n$$.即非简并微扰只可能来自能量不同的本征态,这个结论是严格和清晰的.

P.290 (5.1.27-28) 这是一个 历史遗留问题 .表面上,这里$$c_n$$似乎没有被确定.数值上因为很接近1,所以对原来的态的小的改变在一阶情况下完全可以被忽略,真正有贡献的是垂直于$$n$$态的小的改变.这个结果可以从几何的角度直观的被理解.但是,参考其具体的数学形式参考(5.1.48)并注意到(5.1.44),实际上$$|n^{(0)}>$$前面的系数如果不归一化,而且$$c_n$$是$$n$$的函数,那么必须更细致的重复推导过程.我们发现,一阶能量修正的表达式不会被影响,但是对二阶能量修正,和一阶开始的波函数的修正的确存在不确定性.换言之,如果不假设波函数修正只存在于被修正的波函数的方向上,那么微扰方程的解存在不确定性.

P.299 (5.2.3-5) 首先因为投影算符$$P_0$$对应的态都包含相同的能量$$E_D^{(0)}$$的微扰前的简并态$$\{|m^{(0)}>\}$$,所以$$H_0$$对$$P_0$$来说是常数,且可以交换,所以(5.2.3)中有$$P_0 H_0 P_1=H_0 P_0 P_1=0$$.其实,对于$$P_0$$子空间之外的$$P_1$$空间也一样,$$H_0$$是不可能把任何$$P_1$$子空间的态转到获得任何$$P_0$$空间分量的.所以虽然$$H_0$$在这里不相当于常数,但是$$P_1$$子空间的态被$$H_0$$作用后不需要再次用$$P_1$$来投影.作为对比,$$V$$就会联系这两个子空间.

这就解释了在(5.2.4)为什么不是保留$$P_1 H_0 P_1$$,而是得到$$H_0 P_1$$的项.在后面直到(5.2.5)的分母中又出现$$ H_0 $$而非如之前的$$H_0 P_1$$.

其实,所有这些在(5.2.6)的结果中能够被更清楚的看到.因为(5.2.5)其实只是在说,对于任何与能量与简并能量不同的能级的微扰结果其实就是非微扰情况下的公式.所以上述任何在(5.2.5)被夹在两个$$P_1$$的算符,都必须是在$$P_0$$子空间之外的.

P.300 (5.2.7) 见(5.2.14),虽然相互作用项和 $$\lambda^2$$ 成正比,分母上零级的基的能量差与 $$\lambda$$ 成正比,所以最终结果和 $$\lambda$$ 一次方成正比.

P.301 (5.2.14) 方程(5.2.14)就是考虑薛定谔方程(5.2.12)的势场部分的第二项(其中第一项对波函数的微扰影响已经在(5.2.8)中给出)对波函数的微扰贡献.因为简并能级已经被打开,所以对波函数的微扰采用非简并微扰的计算方法,即(5.1.39)或者(5.1.44)中等式右边的第二项.

P.301 (5.2.15) 这里我们主要关注最初的简并态,所以$$|l_i^{(0)}>=P_0|l_i^{(0)}>$$.而最右边的ket也通过投影算符分为两部分,分别已经在(5.2.6)和(5.2.14)中给出了具体形式.书中指出(5.2.14)中的|P_0 l_i^{(1)}>对这个关于能量修正的内积没有贡献,因为他只对$$j\ne i$$求和.最后代入(5.2.6)即得(5.2.15).

P.305 (5.3.5) 参见蔡圣善Classical Eletrodynamics的P.134的讨论.

P.320 (5.5.21) 真的是很无聊的验证了此式.写下关于 $$c_2$$ 的方程,因为后面看到它的边界条件较容易


 * $$\begin{align}

i\hbar \ddot{c}_2=-i(\omega-\omega_{21})\dot{c}_2-i\frac{\gamma^2}{\hbar}c_2 \end{align}$$

做傅立叶变换,发现其谱是 $$\delta$$ 函数,满足


 * $$\begin{align}

4\pi^2\hbar^2k^2+2\pi(\omega-\omega_{21})\hbar^2k-\gamma^2=0 \end{align}$$

有两个根 $$k^{(1)},k^{(2)}$$ ,假定都是实数
 * $$\begin{align}

2\pi k^{(1,2)}=-\frac{\omega-\omega_{21}}{2}\pm \sqrt{\left(\frac{\omega-\omega_{21}}{2}\right)^2+\left(\frac{\gamma}{\hbar}\right)^2} \end{align}$$ 通解为 $$c_2(t)=m_1e^{-2\pi ik^{(1)}t}+m_2e^{-2\pi ik^{(2)}t}$$ ,由初条件知 $$m_1=-m_2=m$$ 复杂的计算,在于由$$ i\hbar\dot{c}_2=\gamma e^{-i(\omega-\omega_{21})t}c_1$$ 得到 $$c_1(t)$$ ,再由$$ |c_1(t)|^2+|c_2(t)|^2=1$$ 定出常系数$$ m$$ 最后得到
 * $$\begin{align}

&\frac{|c_1(t)|^2+|c_2(t)|^2}{m^2} \\ &=\frac{(\omega-\omega_{21})^2+2(\frac{\gamma}{\hbar})^2+(\frac{\gamma}{\hbar})^22\cos (2\pi (k^{(1)}-k^{(2)})}{(\frac{\gamma}{\hbar})^2}+2-2\cos (2\pi (k^{(1)}-k^{(2)}) \\ &=\left(2\sqrt{\frac{\frac{(\omega-\omega_{21})^2}{4}+(\frac{\gamma}{\hbar})^2}{(\frac{\gamma}{\hbar})^2}}\right)^2\\ &=1 \end{align}$$ 从而易得(5.5.21)

P.333 (5.6.37) 这里的物理意义是在常数相互作用下的情况,因为相互作用相当于频率为零的相互作用介子,初态和末态能量必须守恒.但是可以通过经历能量不守恒的中间态实线跃迁.只要求这个中间态和初态对相互作用算符的矩阵元不为零即可.这里$$V$$是经典的外场,能量守恒仅仅只需要对初态和末态成立即可.这和量子场论中任何顶角保证能动量守恒略有不同.

P.334 (5.6.40-42) 和(5.6.37)相比,这里是在外加源频率不为零情况的结果.这里的初态和末态还涉及吸收或者发射一个光子的能量.同样中间态存在违法能量守恒的情况.

P.333 (5.6.36) 最后一步等式由直接对 $$t''$$ 做定积分即得.结果的第一项对时间的依赖与(5.6.21)相同,其实观察(5.6.21)最后两个等式中的时间积分与这里的第一项完全相同.而等式的第二项因为无法控制求和的中间态是哪个态,在时间趋于无穷时贡献趋于零.

Ch.7 Scattering Theory
P.391 (7.3.6) 此式上面的式子是一个有名的关系,它的证明其实和留数定理完全无关,参见温伯格场论第一卷P.112 (3.1.22)下面的精彩说明.

P.399 (7.5.22) 这里的例子不是坐标空间,而是两个散射終态的例子的总动量空间,这样对于(7.5.6)和(7.5.13)的推导总是成立,而不需考虑終态坐标空间的波函数的形式 $$\Psi(x_1,x_2)$$ 且由于相互作用,一般不能写成两个粒子波函数的积的形式.