Research Paper Notes on Theories of Modified Gravity

Research Paper Notes on Theories of Modified Gravity

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文献列表

 * The Theorem of Ostrogradsky, by R. P. Woodard, arXiv:1506.02210v2
 * Degenerate higher derivative theories beyond Horndeski: evading the Ostrogradski instability, by David Langlois and Karim Noui, arXiv:1510.06930


 * A kinetic theory of diffusion in general relativity with cosmological scalar field, by S. Caloger, arXiv:1107.4973
 * The Principle of Non-Gravitating Vacuum Energy and some of its consequences, by E.I. Guendelman and A.B. Kaganovich, arXiv:gr-qc/9605026v1
 * Scale Invariance, New Inflation and Decaying $$\Lambda$$-Terms, by E.I. Guendelman, arXiv:gr-qc/9901017v1
 * Interacting Diffusive Unified Dark Energy and Dark Matter from Scalar Fields, by David Benisty and E.I. Guendelman, arXiv:1701.08667v4
 * Unification of DE - DM from Diffusive Cosmology, by D. Benisty, E.I. Guendelman, and Z. Haba, arXiv:1812.06151v2

The Theorem of Ostrogradsky, by R. P. Woodard, arXiv:1506.02210v2
本综述回顾了Ostrogradsky不稳定性.分别从经典的哈密顿方程的导数,能量不域于下,量子化,不稳定性与幺阵性,以及不稳定性的解决方案等角度展开讨论.

(46)

至此为止给出了经典力学范畴,从拉格朗日量出发导出相应的哈密顿方程,正则坐标和动量,讨论了能量不域于下的具体形式.推导和讨论都很清晰.

(57)

这里对体系进行量子化.(57)与(61)这两种不同的量子化方案的区别是,我们必须在能量不域于下和体系的幺阵性缺失两者间进行选择.两个结果都无法被接受.

(65)

从这里开始本文讨论Ostrogradsky不稳定性的若干解决方案.

最经典的做法,包括Lovelock理论,是通过引入全微分项来抵消高阶的时间导数.

另外,第二种做法是引入额外的约束.这包括度规与人为约束. 通过度规的选择可能等价于给出额外的不平庸的约束,这些约束可能消除不稳定性. 人为引入简并,例如DHOST理论,这也相当于引入额外的约束.

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Degenerate higher derivative theories beyond Horndeski: evading the Ostrogradski instability, by David Langlois and Karim Noui, arXiv:1510.06930
这是著名的标量-张量修改引力的最新延伸.

(2.1-8)

这里通过一个玩具模型解释了Ostrogradski鬼场的物理机制.

拉格朗日(2.1)的等效形式(2.4),通过新增的一个自由度使得所有的场都具有两次型的标准形式.虽然额外增加了$$\phi,\lambda$$,仅仅新增了一个自由度而非两个,因为描写它们的运动方程都是一阶的.当矩阵(2.8)存在逆时,可以用运动方程初始条件的角度明确自由度数目.

但这时体系出现鬼场,因为由这个笔记(31-32)的讨论,由(2.4)得到哈密顿量对正则动量$$P_\phi$$的依赖是线性的.这意味着体系能量并不域于下,在物理上出现矛盾.这在本文(2.21-22)附近给出讨论.解决办法是要求矩阵(2.8)不存在逆,这时上述推导不再成立.

(2.9-10)

从数学上说,如果矩阵(2.8)的行列式为零,这意味着(两阶运动方程)运动方程(2.5-6)并不是完全独立的.我们不妨理解如下,在把奇异矩阵对角化后,其中一个对角项上为零,换言之,两个场$$(Q,q)$$中的一个场的运动方程为一次方程.行列式为零的条件对应了一个约束条件,相应减少了一个运动方程的初始条件.我们注意到,实际上消除一个自由度需要减少两个初始条件,相关论述参见(2.11-16)的相关讨论.

文章中(2.10)对应的两个本征值皆为零,从而行列式为零的特殊情况,这种情况下对应减少了两个运动方程的初始条件.从初始条件的数目而言,这对应完整的减少了一个自由度.

与场论中的情况比较,在电磁场的量子化中,场的格林函数满足的方程左边对应的矩阵也是奇异的.这时,我们通过选择适当的规范从而减少相空间的大小的办法来解决这个矛盾.具体参见Peskin场论.

(2.11-16)

注意到用(2.11)的转置左乘矩阵方程(2.5-6),即可得到对应本征值为零的一阶运动方程,这在上述(2.9-10)的讨论中被提及.

方便的引入一个新变量,除了上述一阶方程以外,(2.14)就是(2.6).所以,这时,如上述讨论,我们仅仅减除了一个初始条件.但是,不难注意到,如果我们不关心辅助变量$$\lambda,Q$$的方程,关于变量$$\phi,x$$的运动方程是"封闭"的两阶方程组.因此,我们等价的的确消去了鬼场自由度.

但是,另一方面,从哈密顿量域于下条件必须被满足的角度,这里并没有给出讨论.

(2.21-22)

我们先说明(2.21-22)的直接推导.首先,可以把(2.20)改写成
 * $${{P}\choose{p_i-c_iQ}}=M{{\dot{Q}}\choose{\dot{q}^j}}$$

故
 * $${{\dot{Q}}\choose{\dot{q}^j}}=M^{-1}{{P}\choose{p_i-c_iQ}}$$

拉格朗日(2.4)的第一,第二,和第五项的第一部分其实是
 * $$\frac12(\dot{Q},\dot{q}_i)M{{\dot{Q}}\choose\dot{q}^j}=\frac12(P,p_i-Qc_i){M^T}^{-1}MM^{-1}{{P}\choose{p_i-c_iQ}}=\frac12(P,p_i-Qc_i)M^{-1}{{P}\choose{p_i-c_iQ}}$$,

而(2.21)的第一和第二项是
 * $$(P,p_i){{\dot{Q}}\choose\dot{q}^i}=(P,p_i-Qc_i){{\dot{Q}}\choose\dot{q}^i}+Qc_i\dot{q}^i=(P,p_i-Qc_i)M^{-1}{{P}\choose{p_i-c_iQ}}+Qc_i\dot{q}^i$$

利用(2.4)的具体形式,注意到等式最右边的一项与拉格朗日中的对应项正好抵消,即得(2.22).

这里不把$$\lambda$$看做独立的自由度.但如果把$$\lambda$$看做某个广义坐标,因为拉格朗日中不包含$$\dot{\lambda}$$,其对应的正则动量也为零,从而相应项$$P_\lambda\dot{\lambda}$$对哈密顿量没有贡献.同时,哈密顿量对$$\lambda$$的显函关系,可以简单的通过代入$$\lambda$$所满足的方程来消去.这样同样得到(2.21-22).

(2.23)

由于$$v$$是对称矩阵的本征矢量,故$$v^T M=0$$.这样$$(-1,v^i)M{{\dot{Q}}\choose\dot{q}^i}=0$$,故$$(-1,v^i){{P}\choose{p_i-c_iQ}}$$,此即(2.23).

(2.24-25)

这个结果表面上很不显然,我们在这里给出推导的主要 过程 .辗转几乎三天才得到这个结果,最后的总结仍然是先动脑后动手.

首先,观察方程(2.20),由于矩阵$$M$$是奇异的,任何解与$$M$$的零本征值$$v$$的线性组合仍然是方程的解.我们无法由$${{P}\choose{p_i-Qc_i}}$$唯一的决定$${{\dot{Q}}\choose{\dot{q}^j}}$$,因此(2.25)中存在一个任意的拉格朗日乘子$$\mu$$.第二,按(2.23)的思路,将$$v^T$$左乘方程两边应该都为零,故$$P,(p_i-Qc_i)$$并非独立的,而满足(2.23),我们可尝试把结果用$$(p_i-Qc_i),\Omega,\mu$$表达出来,这正是(2.25)的形式.另外,$$\dot{Q},\dot{q}^j$$并非是独立的,换言之,对(2.20)的通解,有两个自由参数,可以取为$$(p_i-Qc_i),\Omega$$或者$$\dot{q}^j,\Omega$$.

由(2.24),我们的最终目的是把哈密顿量中的$$P,\dot{Q},\dot{q}^i$$都表达为$$(p_i-Qc_i),\Omega,\mu$$的函数.注意到(2.25)的其余部分,并利用之前推导的经验,关键在于用适当的自变量写出(2.20)的通解形式.

我们先尝试找到一个特解.

利用(2.23),我们有
 * $$P=v^i(p_i-Qc_i)-\Omega$$.

而(2.20)的第二行
 * $$k_{ij}\dot{q}^j+b_i\dot{Q}=p_i-Qc_i$$

我们先给出一些盲目的做法, 将上式两边与$$v^i$$内积并利用(2.10-11),我们可以得到一个简洁的关系
 * $$\dot{Q}=\frac{v^i(p_i-Qc_i)}{a}-\frac{b_j}{a}\dot{q}^j$$.

而将上式与(2.12)
 * $$c_i\dot{q}^i+c_iv^i\dot{Q}=\lambda-k_0Q-v^iV_i$$

联立后,我们可以得到关于$$\dot{q}^j$$的(去除了一个维度的)矩阵方程
 * $$(p_i-Qc_i)-\frac{b_i(\lambda-k_0Q-v^kV_k)}{c_kv^k}=\left[-\frac{b_ic_j}{c_kv^k}+k_{ij}\right]\dot{q}^j$$.

这里$$(b_ic_j)$$可视为由列向量外积得到的矩阵,其行列式为零,但是与可逆矩阵$$k_{ij}$$求和后一般行列式并不为零,故的确可以求逆. 将上述表达式全部代入(2.24),原则上可以得到对应这个特解的哈密顿的形式,它虽然的确被完全表达为正则动量与$$(p_i-Qc_i),\Omega$$的函数,但是似乎得到的结果形式上与(2.25)相去甚远,接下来需进一步引入拉格朗日乘子$$\mu$$,得到哈密顿的通解形式.这个计算过程非常繁琐,其主要问题是思路不清晰,手咸鱼而先于脑.

实际上,我们注意到,我们总是可以通过选择适当的拉格朗日乘子,使得特解中的$$\dot{Q}$$部分为零,具体的
 * $${\dot{Q}\choose{\dot{q}^j}}={0\choose{\dot{r}^j}}+\mu v={0\choose{\dot{r}^j}}+\mu {{-1}\choose{v^i}}={0\choose{\dot{r}^j}}+ {{-\mu}\choose{\mu v^i}}={{-\mu}\choose{\dot{q}^j}}$$

换言之,我们总是可以把$$\dot{Q}$$直接参数化为拉格朗日乘子,即$$\dot{Q}=-\mu$$,而保留$$\dot{q}^j$$. 这样,考虑(2.24)等式右边的第一项,我们有
 * $$P\dot{Q}=(v^i(p_i-Qc_i)-\Omega)(-\mu)=-\mu v^i(p_i-Qc_i)+\mu\Omega$$.

而$$\dot{q}^j$$满足方程
 * $$k_{ij}\dot{q}^j=(p_i-Qc_i)-b_i\dot{Q}=(p_i-Qc_i)+b_i\mu$$

它的解为
 * $$\dot{q}^i={k^{-1}_{ij}}\left((p_j-Qc_j)+b_j\mu\right)$$.

这样,考虑(2.24)等式右边的第二项,按之前的经验,我们计算
 * $$(p_i-Qc_i)\dot{q}^i=(p_i-Qc_i){k^{-1}_{ij}}\left((p_j-Qc_j)+b_j\mu\right)=(p_i-Qc_i){k^{-1}_{ij}}(p_j-Qc_j)+(p_i-Qc_i){k^{-1}_{ij}}b_j\mu=(p_i-Qc_i)k_{ij}^{-1}(p_j-Qc_j)+(p_i-Qc_i)v^i\mu$$.

两者之和正是(2.25)等式右边的第一项的两倍与最后一项.

另外,考虑拉格朗日(2.4)等式右边的第一项
 * $$\frac12 a\dot{Q}^2=\frac12 a\mu^2$$

而等式右边的第二项为
 * $$\frac12 k_{ij}\dot{q}^i\dot{q}^j=\frac12 {k^{-1}_{ij}}(p_i-Qc_i)(p_j-Qc_j)+\frac12 {k^{-1}_{ij}}b_ib_j\mu^2+\mu(p_i-Qc_i){k^{-1}_{ij}}b_j=\frac12 {k^{-1}_{ij}}(p_i-Qc_i)(p_j-Qc_j)+\frac12 a\mu^2+\mu(p_i-Qc_i)v^i$$

最后等式右边第五项的第一部分为(这部分之前处于$$M$$矩阵乘法的一部分,故总是被同时消去)
 * $$b_i\dot{Q}\dot{q}^i=-\mu b_i{k^{-1}_{ij}}\left((p_j-Qc_j)+b_j\mu\right)=-\mu v^j(p_j-Qc_j) -a\mu^2$$

所以三项之和正是所需要的
 * $$\frac12 {k^{-1}_{ij}}(p_i-Qc_i)(p_j-Qc_j)$$

这样我们推导得到了(2.25)的形式.

注意到这个结果中$$\pi_\phi$$的线性项仍然存在.

(2.27)

这里 不清楚 ,由Poisson定理,若$$\Omega,\Psi$$都是守恒量,那么它们的泊松括号也是守恒量.

若$$\{\Psi,H_T\}$$为零,则若$$\{\{\Psi,H_T\},\Omega\}$$也为零.而由泊松括号的Jacobi恒等式,
 * $$\{\{\Psi,H_T\},\Omega\}=-\{\{H_T,\Omega\},\Psi\}-\{\{\Omega,\Psi\},H_T\}=-\{-\Psi,\Psi\}-\{\{\Omega,\Psi\},H_T\}=-\{\{\Omega,\Psi\},H_T\}$$

由(2.27),因为$$\{\Omega,\Psi\}$$为常数,则$$\{\{\Psi,H_T\},\Omega\}$$为零,但这似乎不足以证明$$\{\Psi,H_T\}$$为零.

相关工作的作者Hayato在询问下只给了一个很含糊的说明,指出$$\{\Omega,\Psi\}$$是$$\{\Psi,H_T\}$$的一部分.

(2.28-29)

这部分推导 不清楚 ,涉及规范情况下的量子化有关.注意到(2.26)中,仍然涉及正则动量的一次方,而在(2.29)中"问题项"才不再出现.总体的,由自由度数目的考察已经消除了鬼场自由度,因为通过对场的适当的重新定义可以得到能量域于下的形式.因为该讨论只是在经典的意义下展开,理论体系并不涉及到,比如,与高阶导数相关的相互作用的量子修正所带来的后果,因此该理论体系在物理上的重要性是很有限的.

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A kinetic theory of diffusion in general relativity with cosmological scalar field, by S. Caloger, arXiv:1107.4973
本文考虑弯曲空间中协变的Fokker-Planck方程.按这个对流体的介观描述,在粒子数守恒的情况下,能动张量不守恒.

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The Principle of Non-Gravitating Vacuum Energy and some of its consequences, by E.I. Guendelman and A.B. Kaganovich, arXiv:gr-qc/9605026v1
本文是双侧度模型的第一篇

(2)

可以证明,这个表达式在坐标变换下的变换规律与$$\sqrt{-g}$$是完全一致的.(2)是个数,其具体数值随坐标系而变化,故并非标量,其物理意义是某种密度.

要证明上述关系,只需注意到$$\sqrt{-g}$$可以写成坐标变换雅克比的形式,其中的矩阵元就是$$\frac{\partial {x}^a}{\partial {x'}^\mu}$$.而利用Levi Civita符号,我们可以把雅克比写为
 * $$\sqrt{-g}=\varepsilon^{\mu\nu\alpha\beta}\varepsilon_{abcd}\frac{\partial {x}^a}{\partial {x'}^\mu}\frac{\partial {x}^b}{\partial {x'}^\nu}\frac{\partial {x}^c}{\partial {x'}^\alpha}\frac{\partial {x}^d}{\partial {x'}^\beta}\to \varepsilon^{\mu\nu\alpha\beta}\varepsilon_{abcd}\frac{\partial {\varphi}_a}{\partial {x'}^\mu}\frac{\partial {\varphi}_b}{\partial {x'}^\nu}\frac{\partial {\varphi}_c}{\partial {x'}^\alpha}\frac{\partial {\varphi}_d}{\partial {x'}^\beta}$$

注意到$$x^a$$对应给定的(平直空间中)的坐标,在坐标变化下不会改变,相当于标量.故$$\varphi_a$$中的指标$$a$$不是时空维度的指标,而是标量对应某种不同对称性的指标.

值得指出,上述表达式的左边与在一般坐标系中完全反对称张量直接有关
 * $${\tilde{\varepsilon}'}_{\mu\nu\alpha\beta}=\frac{\partial {x}^a}{\partial {x'}^\mu}\frac{\partial {x}^b}{\partial {x'}^\nu}\frac{\partial {x}^c}{\partial {x'}^\alpha}\frac{\partial {x}^d}{\partial {x'}^\beta}\tilde{\varepsilon}_{abcd}=\frac{\partial {x}^a}{\partial {x'}^\mu}\frac{\partial {x}^b}{\partial {x'}^\nu}\frac{\partial {x}^c}{\partial {x'}^\alpha}\frac{\partial {x}^d}{\partial {x'}^\beta}\varepsilon_{abcd}=\mathrm{det}\left(\frac{\partial x^a}{\partial {x'}^\mu}\right)\varepsilon_{\mu\nu\alpha\beta}=\sqrt{-g}\varepsilon_{\mu\nu\alpha\beta}$$
 * $${\tilde{\varepsilon}'}^{\mu\nu\alpha\beta}=\frac{\partial {x'}^\mu}{\partial {x}^a}\frac{\partial {x'}^\nu}{\partial {x}^b}\frac{\partial {x'}^\alpha}{\partial {x}^c}\frac{\partial {x'}^\beta}{\partial {x}^d}\tilde{\varepsilon}^{abcd}=-\frac{\partial {x'}^\mu}{\partial {x}^a}\frac{\partial {x'}^\nu}{\partial {x}^b}\frac{\partial {x'}^\alpha}{\partial {x}^c}\frac{\partial {x'}^\beta}{\partial {x}^d}{\varepsilon}^{abcd}=-\mathrm{det}\left(\frac{\partial x^a}{\partial {x'}^\mu}\right)^{-1}\varepsilon_{\mu\nu\alpha\beta}=-\frac{1}{\sqrt{-g}}{\varepsilon}_{\mu\nu\alpha\beta}$$

其中$$\varepsilon^{\mu\nu\alpha\beta}$$是Levi Civita符号,它对指标完全反对称,其取值仅为零和正负一,指标上下分量没有特殊含义.而完全反对称张量$$\tilde{\varepsilon}^{\mu\nu\alpha\beta}$$是个张量(有时被称为Levi Civita张量,这时需特别注意),虽然它对指标完全反对称但是其模随着坐标的不同是变化的.仅在平直空间直角坐标系中$${\varepsilon}_{abcd}={\varepsilon}^{abcd}=\tilde{\varepsilon}_{abcd}=-\tilde{\varepsilon}^{abcd}$$,最后一步等号因为有且仅有一个零分量.

(5-6)

这个运动方程的导出可以利用对作用量的变分.

考虑到$$\Phi$$定义中的对称性,我们仅考虑一个因子$$\delta(\partial_\alpha \varphi_a)=\partial_\alpha\delta \varphi_a$$,注意到其中$$\partial_\alpha$$是普通的偏导,而$$\varepsilon^{\alpha\beta\mu\nu}$$Levi Civita符号是常数,其导数为零.这样,利用部分积分法,偏导被作用在拉格朗日密度与其他$$\partial_\beta \varphi_b$$因子上,由于偏导可交换是对称的,所以与反对称张量指标求和后没有贡献,最后只留下对拉格朗日密度的偏导的贡献.其之前的因子除了$$\delta \varphi_a$$外就是(6).

(12-13)

对应的运动方程包含描写时空动力学的场$$\varphi_a$$方程(7)和爱因斯坦方程(8).简单起见,这里没有考虑能量张量自由度的方程.

最终化简后得到方程(12),其中与$$\varphi_a$$场有关的$$\chi$$部分不会影响物质场的能动张量,而且物质场的能动张量不守恒.

Scale Invariance, New Inflation and Decaying $$\Lambda$$-Terms, by E.I. Guendelman, arXiv:gr-qc/9901017v1
(4)

因为求偏导是可交换的,而利用完全反对称符号,故四项仅有一项不为零,即得(2).

因为$$\varphi_a$$是标量,这里涉及的偏导都是指普通导数.

(5)

考虑(5),比较(1)与(3),对前者而言,对作用量的产生的附加项将会有非平庸的影响.具体的,对度规扰动的运动方程中将出现宇宙学常数.对后者,对作用量的影响可化为面积分,故对(任何)运动方程都不会有影响.

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Interacting Diffusive Unified Dark Energy and Dark Matter from Scalar Fields, by David Benisty and E.I. Guendelman, arXiv:1701.08667v4
本文把Fokker-Planck方程导致的能动张量不守恒与双侧度理论结合起来,给出了两个可能的模型

(5)

这个作用量对应的变分为
 * $$\delta S=\delta\chi_\mu \sqrt{-g}\nabla_\nu {T^{\mu\nu}_{(\chi)}}$$

故得到了能动张量守恒的方程,其详细推导参见arXiv:1812.06151v2一文(12)的笔记.

(6-7)

按(5)的推导思路,并多使用一次部分积分法,我们不难得到作用量的变分为
 * $$\delta S=(\delta\chi)_{,\mu} \sqrt{-g}\nabla_\nu {T^{\mu\nu}_{(\chi)}}

\to -(\delta\chi)(\sqrt{-g}\nabla_\nu {T^{\mu\nu}_{(\chi)}})_{,\mu} =-(\delta\chi)\sqrt{-g}\nabla_\mu\nabla_\nu {T^{\mu\nu}_{(\chi)}}$$ 其中利用了$$\nabla_\nu {T^{\mu\nu}_{(\chi)}}$$是一阶逆变张量的事实.

这样引入定义$$f^\mu \equiv \nabla_\nu {T^{\mu\nu}_{(\chi)}}$$即得(7)给出的结果.

这个模型的物理意义就是从拉格朗日架构出发,打破了能动张量守恒.

(10-12)

这是第二个模型,这里$$f^\mu$$由动态场决定.而如文中指出,动态场对标量场$$A$$的变分保证了$$f^\mu$$是守恒的.

(15)

作为一个简单的例子,这里讨论一个总能量随着时间线性变化的振动系统.对应方程的推导都是之前推导的简化版本.

(21)

文章的卖点是能量不守恒,但是因为拉格朗日密度不含时间,哈密顿仍然是一个守恒量.

(23)

这一项保证了动力学演化具有吸引子解的形式.

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Unification of DE - DM from Diffusive Cosmology, by D. Benisty, E.I. Guendelman, and Z. Haba, arXiv:1812.06151v2
(12-13)

这里推导运动方程,我们先复习一下弯曲空间中标量场与电磁场的场方程推导.

对标量场的情况,有些细节的是作用量中的动能项$$\sqrt{-g}\nabla^\mu\phi\nabla_\mu\phi=\sqrt{-g}\partial^\mu\phi\partial_\mu\phi$$.因此我们仅考虑零质量标量场的情况.注意到这时偏导就是普通导数,利用部分积分法,并注意到对任何逆变矢量$$A^\mu$$,我们有
 * $$(\sqrt{-g}A^\mu)_{,\mu}=\sqrt{-g}(A^\mu)_{;\mu}=\sqrt{-g}\nabla_\mu A^\mu$$,

其中我用到了关系 $$\frac{\partial \sqrt{-g}}{\partial x^\nu}=\sqrt{-g}\Gamma^\mu_{\mu\nu}$$. 所以
 * $$(\sqrt{-g}\partial^\mu\phi)_{,\mu}=\sqrt{-g}(\partial^\mu\phi)_{;\mu}=\sqrt{-g}\nabla_\mu(\partial^\mu\phi)=\sqrt{-g}\nabla_\mu\nabla^\mu\phi$$

我们自然的得到了熟悉的克莱因高登方程的形式.容易发现,这与利用欧拉拉格朗日方程得到的结果是一致的.

对电磁场,我们注意到对任何反对称张量$$\Theta^{\mu\nu}$$,我们有
 * $$(\sqrt{-g}\Theta^{\mu\nu})_{,\mu}=\sqrt{-g}(\Theta^{\mu\nu})_{;\mu}=\sqrt{-g}\nabla_\mu \Theta^{\mu\nu}$$.

这是因为等式右边协变导数中的第三项$$\propto \Gamma^\nu_{\sigma\mu}\Theta^{\mu\nu}=0$$,因为反对称指标$$(\mu\sigma)$$的对称求和而没有贡献. 另外我们注意到对麦克斯韦张量$$F_{\mu\nu}=\partial_\mu A_\nu-\partial_\nu A_\mu=\nabla_\mu A_\nu-\nabla_\nu A_\mu$$,可以用普通导数来代替协变导数. 因此可以很大程度上简化作用量$$\sqrt{-g}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}=2\sqrt{-g}\partial_\mu A_\nu F^{\mu\nu}$$. 利用上面的关系我们最终得到
 * $$(\sqrt{-g}F^{\mu\nu})_{,\nu}=\sqrt{-g}\nabla_\nu F^{\mu\nu}$$.

同样,这与利用欧拉拉格朗日方程得到的结果是一致的.

我们现在可以来讨论文章中的作用量
 * $$\sqrt{-g}\chi_{\mu;\nu}T^{\mu\nu}_{(\chi)}$$

其中$$\chi_\mu$$是一个协变矢量,我们考虑对它的变分,方法也是类似的.具体的,考虑到
 * $$\chi_{\mu;\nu}=\partial_\nu\chi_\mu-\Gamma^\lambda_{\mu\nu}\chi_\lambda$$

对第一项导数部分,用部分积分法,我们有贡献(在略去一个负号后)为
 * $$(\sqrt{-g}{T^{\mu\nu}_{(\chi)}})_{,\nu}

=(\sqrt{-g})_{,\nu}T^{\mu\nu}_{(\chi)}+\sqrt{-g}{T^{\mu\nu}_{(\chi)}}_{,\nu} =\sqrt{-g}(\Gamma^\sigma_{\sigma\nu}T^{\mu\nu}_{(\chi)}+{T^{\mu\nu}_{(\chi)}}_{,\nu})$$. 对第二项的贡献(同样略去一个负号)为
 * $$\sqrt{-g}\Gamma^\mu_{\sigma\nu}T^{\sigma\nu}_{(\chi)}$$

注意到其中提取了场变分的$$\mu$$分量. 两者的贡献之和为
 * $$\sqrt{-g}({T^{\mu\nu}_{(\chi)}}_{,\nu}+\Gamma^\sigma_{\sigma\nu}T^{\mu\nu}_{(\chi)}+\Gamma^\mu_{\sigma\nu}T^{\sigma\nu}_{(\chi)})$$

它应该正比于(13)是给出的协变导数,我们具体计算如下
 * $$\nabla_\nu {T^{\mu\nu}_{(\chi)}}

={T^{\mu\nu}_{(\chi)}}_{,\nu}+\Gamma^\mu_{\sigma\nu}{T^{\sigma\nu}_{(\chi)}}+\Gamma^\nu_{\sigma\mu}{T^{\mu\sigma}_{(\chi)}}$$. 注意到联络的对称性以及能动张量的对称性,(13)的确是正确的.换言之,作用量的变分导致
 * $$\delta S=\delta\chi_\mu \sqrt{-g}\nabla_\nu {T^{\mu\nu}_{(\chi)}}$$

(16-17)

终于到了打破能动张量守恒的时间了.这里的做法是之前两个方案中的一个.把矢量$$\chi_\mu$$直接耦合到第二个测度中去,这样(17)是显然的.

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