Research Paper Notes on Review of AdS/CFT Correspondence

Research Paper Notes on Review of AdS/CFT Correspondence

本文档除了包括推导, 疑惑 外,做 读书重点 的记录 $$$$

文献列表

 * AdS/CFT Duality User Guide, by Makoto Natsuume, arXiv:1409.3575
 * Lectures on Holographic Superfluidity and Superconductivity, by C.P. Herzog, arXiv:0904.1975v2

AdS/CFT Duality User Guide, by Makoto Natsuume, arXiv:1409.3575
这是一本很好的起点较低的AdS/CFT简介书籍.书中在1.5节给出的参考文献是很好的书籍阅读列表.

Ch.2 General relativity and black holes
(2.10)

在这之前讨论了自由粒子的作用量和非相对论情况下的形式.

注意到这个式子右边最后一步的分子是$$\tau$$,所以利用(2.7),分子分母抵消了$$d\lambda$$.

(2.14)

这里的第一个式子,括号里面指代的是四个分量,即1和普通速度的三个分量.

(2.36-37)

这里讨论引力红移,讨论的内容与Schutz一书第十章对引力红移和固有时的讨论.

这里(2.36)等式两边计算的是振动次数,等于局域平直空间内的频率乘以固有时.这个等式是指在A处坐标间隔$$dt_A$$内某光子振动次数,必然应该等于B点对应时间间隔$$dt_B$$内光子的振动次数.这里$$dt_A=dt_B$$,是因为(2.33)计算是光子从A到达B需要的坐标时间间隔,这个间隔与发出时刻的A点的坐标时间无关(因为是静态度规),故是常数.而振动次数对应某场的振幅,会随着光子从A传播到B点.

所以(2.37)是指在A和B两点局域平直空间内标准钟快慢的比例,或者光子的引力红移关系.

(2.68)

首先对对角矩阵这个关系是成立的,求行列式和求迹的运算的关系其实就是把对角元的乘积的对数的导数表达为对角元的对数的和的导数.然后对任意矩阵,总是可以通过相似变换把它对角化,而相似变换对行列式和求迹都等同于针对对应的对角矩阵的操作.

(2.79)

这里是把Ricci标量写成$$R=R_{\mu\nu}g^{\mu\nu}$$,然后泛函变分即得.

Ch.3 Black holes and thermodynamics
(3.13)

这里的讨论背后的物理是对无穷远处的观测者,视界处的加速度是有限的,它两个因素的总和.第一是与(3.8)对应的发散的$$a$$对应在视界处粒子本身的加速度为无穷大,故必然掉落进世界内.第二是无限红移对应$$f=0$$,两者在(3.12)右边的乘积为有限.

为了计算无穷远处观测者测量到的加速度,它通过一根无质量的弦来拉动粒子,在无限远处的力做功的过程中,弦的两端的固有距离的变化是相同的.我们由此尝试计算在视界附近和无穷远处的加速度(力)的关系.在视界附近做的功完全转变为辐射,而后者传播到无限远处经历引力红移.最终结果就是(3.13).但是 不清楚 为何弦的两端的固有距离的变化是相同的,为何做功等于四矢加速度的模乘以固有距离?

(3.25)

注意这里$$d\rho^2=d\rho d\rho$$以及$$dr^2=dr dr$$,所以$$d\rho^2=\frac{dr^2}{f'(r-r_0)}$$.

(3.26)

这里把闵可夫斯基坐标的时间轴做解析延拓到虚轴上,并且要求对应得到的欧几里得空间连续.这样就得到了虚时间必须为周期性的结果.而按虚时温度场论(3.28-29),虚时的周期性与温度有关.

(3.28-29)

把路径积分的生成泛函指数上的对时间的无限积分替换为对虚时的有限积分,并考虑周期性(初态与末态相等的)条件,即得到统计物理(虚时温度场论)中的配分函数.

在Peskin一书中,指出的量子场论和统计力学的对应性,其中并不涉及对虚时的上下限为有限的积分,而是把Wick转动后的虚时看做某空间维度,进行上下限为正负无穷大的积分.其中,温度仅仅被视为指数上的一个常数而已.这种意义下的对应性,除了对Wick转动不牵涉到任何复平面上的奇点的假设为,反而是更加精准的等价关系.

而对于欧几里得黑洞(3.25)的情况,由于虚时坐标自然的周期性,反而是自然的与统计力学精确的存在等价关系.

(3.30)

这是一个很重要的近似.其本质是路径积分与经典力学的关系.按这个近似,我们可以用经典运动方程的结果来对配分函数,从而得到自由能(正则系综,无化学势)或者巨势(巨正则系综,含化学势)的近似结果.

(3.41)

对黑膜而言,视界不是有限的球形,而是有某个维度的无限延伸.不严格的,由(3.41)以及简单的用无限红移来取代视界定义的话,可以由$$dt^2$$前的系数为零得到视界,即$$r=r_0$$.这里$$z$$是一个与之前所有其他维度都垂直的维度,从而我们得到的是一个具有柱坐标对称性的视界.

额外坐标$$z$$的维度决定了对应的体系是黑洞,黑弦,还是黑膜等.

(3.45)

对于给定的质量$$M$$,比较(3.45)与(3.44),只要质量足够小,那么因为指数上的不同,(或者如书中所言,$$V_1$$足够大),体系的熵(3.45)就可以比(3.44)大.

(3.55)

按此表达式,极端黑洞根号内为零,温度为零.但是表面积不为零,熵不为零.此即本页下方阐述的,黑洞热力学违反第三定律,温度趋于零时熵并不趋于零.

(3.58-60)

这里的思路是$$\mu\Delta Q$$等于电荷$$\Delta Q$$的能量变化,而后者等于电荷$$\Delta Q$$乘以静电势的差距,而$$A_0$$就是黑洞电荷$$Q$$的静电势.

(3.66)

此式满足广延性关系(3.64),所以热力学关系成立.

Ch.4 Strong interaction and gauge theories
adjoint representation

文中指出胶子场的变换类似夸克反夸克对,这是相对于Peskin一书的夸克夸克胶子顶角(16.3)而言.这个顶角包含SU(3)基础表示的生成元,它们是关于颜色指标的3x3矩阵.

而胶子场按SU(3)伴随表示变换的说法,具体的在数学上是指Peskin一书(15.86-87)的关系.

(4.2)

这里书中提出了一个说法,理想气体对应弱相互作用的极限,理想流体对应强相互作用极限.粘滞系数,相互作用导致的微观态动量传递的效率,动量传递可以通过直接碰撞,和势能的方式实现.

这里的一些讨论与之前对相关概念的定性理解有所不同.

(4.3)

这里等式第二步就是利用了之前Fig.4.3下方耦合常数间的关系$$\lambda=g_{\mathrm{YM}}^2 N_c$$.

费曼规则第一条,利用动能项计算传播子.比如参见Peskin一书的非线性$$\sigma$$模型的例子,即(13.73)对应的费曼规则中的传播子Fig.13.1.参见该书笔记.

费曼规则第二条,对于三线顶点和四线顶点,因子$$\frac{N_c}{\lambda}$$都处于耦合常数的位置.同样见上述非线性$$\sigma$$模型的例子.

(4.9)

这里的结论就是图的拓扑是按$$N_c$$的多项式来分类的.在大$$N_c$$极限下,平面拓扑的图贡献最大.

平面图可以画在平面或者球面上,而高一阶的图可以画在甜面包圈或者有把手的杯子上.参见Fig.4.6.

图的拓扑可以用杯子的"把手"的数目$$h$$来分类.

(4.11)

等式左边的对数是指等式右边的真空图是所有不重复的图的求和.

Ch.5 The road to AdS/CFT
(5.1)

这里是取了自然量纲,所以速度无量纲,故长度量纲和时间量纲相同.

在后面,又取$$\hbar =1$$,这样只剩下一个量纲单位,取为长度.

(5.5)

开弦和闭弦的自由度的数目除了正文,参见其脚注5的讨论.

Fig.5.12

这里指数,弦论的费曼图按弦的耦合常数展开同样对应了不同拓扑结构的图.

从左到右,分别对应$$\frac{1}{g_s^2}$$的$$-2, 0, +2, \cdots$$次方.

Fig.5.14

开弦的单圈修正相当于发射一个闭弦.这是因为,按Fig.5.14,把圈的表面看成圆筒表面,这在Fig.5.13(b)中就对应了把中间的空心圆拉到平面外,即在开弦的传播子中拉出一个闭弦.

(5.10)

这个结果利用了(5.7)和(5.8)下面的分析,加上引力场和规范场耦合长度的量纲分析,以及在弦论中$$l_s$$是唯一的有量纲的物理量的事实,换言之,耦合常数$$g_s$$无量纲.

(5.15-16)

这就是AdS/CFT两个理论间的对应规则.

(5.18)

书中指出,弯曲的空间可以是高维的,对应高维的弦论,而其中我们需要下述庞加莱对称性$$ISO(1,3)$$,而非$$ISO(1,d-1)$$.

$$w$$对应额外的弯曲的高维部分,$$t,x_3$$对应具有$$ISO(1,3)$$对称性的规范场空间.

(5.30-33)

书中这里的讨论以理论的经典和量子的标度不变性为要求,讨论对应的引力理论是在AdS空间的.而书中这一部分的讨论的具体数学内容是从标度不变出发导出度规的形式就是纯AdS空间.

这里(5.30)就是由$$x^\mu\to ax^\mu$$和(5.29)第一项的标度不变的要求得到.

因为(5.29)要求标度不变,所以其第二项决定了(5.31).首先,$$w$$的变换只可能是平移.而因为$$a$$是没有量纲的,所以可取$$\log$$以向正负两个方向平移,并且引入一个有长度量纲的量$$L$$.

利用(5.30)和(5.31)得到满足上述条件的$$\Omega$$具有唯一形式.而代入后即得(5.32),而(5.33)就是用$$r$$的定义得到.

我们强调,这里是纯AdS空间的结果,它是满足标度性的.而AdS的黑洞解其实不满足标度性,因为视界位置随着标度变换会变化.具体计算中,可以通过这样标度变化来通过视界位置来调节黑洞的温度.

(5.37-38)

这是因为,等式右边的组合是无量纲的.

(5.42)

其中$$\sqrt{-g}=\sqrt{|\mathrm{det}(g_{\mu\nu})|}$$,所以在Weyl变换下和因子$$g^{\mu\nu}g^{\rho\sigma}$$的变换正好抵消.这时,规范场无需做任何变换,作用量(5.42)保持不变.

如(5.44)下面指出的,当做标度变换时$$x^\mu\to ax^\mu$$,度规是不变的,这时规范场需要引入相应的变换$$A_\mu \to a^{-1}A_\mu$$,才能保证作用量(5.42)不变.其中,对$$F_{\mu\rho}$$因为坐标和规范场,产生因子$$a^{-2}$$.

(5.50)

等式的第一步就是对(5.49)求迹,由于$$\eta_{\mu\nu}$$的迹等于维度4,等式第二项的绝对值是第一项的两倍.

(5.51)

按(5.50),容易直接证明(5.51)的确是无迹的.因为(5.51)的第二项的迹与第一项的迹正好抵消.

而另一方面,(5.51)的第二项的偏导为零,所以没有影响能动张量守恒,这个做法参见Peskin一书的(19.144)的思想.

这里的逻辑是,体系的能动张量无迹,这本质上来源于Weyl对称性,实际上操作中我们可以构造出(5.51).而如果能动张量按定义无迹,那么体系就在量子层次上满足标度不变,所以满足共形不变.

(5.55)

而对于一个整体Weyl不变的理论,书中给出例子通过在弯曲空间中构造出"推广"的满足局域Weyl对称性的理论(5.54)来得到无迹的能动张量.

这样做的可行性与平直空间中能动张量形式不唯一的事实相容.

(5.78)

不理解后面关于D-brane的讨论.

Ch.6 The AdS spacetime
(6.5)

由度规(6.4)按定义即可计算Ricci标量.

(6.6-9)

这里指出的一个重要的性质,即(6.6-7)与(6.8-9)的区别.前者是均匀的,后者不是均匀的.

Fig.6.1能画出来是坐标轴,而闵可夫斯基空间两点间的距离(6.6)与(6.8)不同,前者不是直观的,是画不出来的.

(6.17)

这是AdS$$_2$$空间,它含有一个类时坐标$$\tilde t$$,一个类空坐标$$\rho$$.而承载它的平直空间含有两个类时坐标,一个类空坐标(6.14).

容易证明,AdS$$_2$$具有常数负数标量曲率.但是反过来,常数负数标量曲率并不能唯一的决定度规,所以未必是AdS$$_2$$空间,后者是具有常数负数曲率的(空间中)对称性最大的空间.

与之前相比,(6.11)不含类时坐标,而承载它的平直空间含有一个类时坐标,两个类空坐标(6.8).如书中指出,这与粒子物理中质壳的概念一致.

(6.22)

这是把时空的时间轴做Wick转动,书中成为欧几里得转动,得到的同样维度的空间对应关系.

(6.66-67)

注意到根据Schutz一书或者这个帖子的讨论粒子能量是指在局域随动系的能量,这是能动四矢量和四速度的内积.在随动系四速度为$$U^\mu=(1,0,0,0)$$,所以在随动系中能量就是$$E=-p_0$$.其中负号是因为米可夫斯基度规的符号的选取.考虑在AdS空间粒子不受任何场的作用,空间的每一点都是一样的,换言之粒子不应该受到任何方向的加速,所以自由粒子在自身随动系中的能量是常数,即$$E$$是常数.后面的在不同坐标系中的讨论都用到了这个守恒量.

注意这里在表达式中度规的上下标的取法,这样的取法是为了之后得到更为简单的结果.

这样,(6.66)描写的是在static坐标系中光子静质量为零的方程,而按之前的讨论(6.67)右边一项等式右边为常数.这样得到结论,光子运动到AdS边界需要无穷大的纺线坐标.

(6.70)

这个方程是从两个角度来写下$$p^0$$,一方面是从其对应的协变分量$$E$$和度规的零分量,另一方面是从时间坐标对固有时的导数.

(6.78)

这个空间具有$$SO(2,4)$$不变性不是显然的.下面的讨论涉及两个从(6.78)中可以直接看到的对称性.其中第二个对称性,是在拓扑超导体的计算中经常用到的,选择标度变化下不变的无量纲量作为计算基准的基础.

注意到这里与之前(6.51-54)导致的庞加莱坐标的度规(6.55)类似但不是一致的.一致的庞加莱坐标变换参见维基页的定义,做替换$$\alpha\to L$$就能得到书上涉及的度规的形式.这两个变换除了对$$r, x_i, t$$的依赖是一致的,对常数部分$$\alpha$$以及$$L$$的依赖是完全不同的.

(6.81)

这个关系的本质就是引力红移,而这就是文献中提到的红外紫外的来源.

(6.82)

这个表达的来源是因为温度是通过Wick转动后的时间坐标的周期性得到的,而坐标时和固有时满足引力红移的关系.

这里指出,霍金温度就是边界上的规范场论的温度,它与在坐标$$r$$处的随动温度不同,后者与$$r$$有关.

Ch.7 AdS/CFT - equilibrium
(7.3-4)

这里讨论了AdS黑洞的在标度变化下的性质.注意到,标度变换按定义是指(5.19).而在彭加莱坐标(6.30-32)下,变换的形式才是(6.79).

按变换(6.79),AdS空间度规(6.78)和AdS黑洞度规(7.1-2)都是不变的.对黑洞度规,唯一的额外要求是视界半径也做同样的变换$$r_0\to \frac{1}{a}r_0$$.这正是(7.4).这样的标度变换的思路是在拓扑超导体计算中得到不同温度的处理方法.

我们指出,在(7.39)书中又讨论另一种标度变换的方式,其中$$r_0\to r_0$$.这个方式在后面第十章再次被用到.在本质上,这两种变换对于无限远处的AdS空间的形式没有任何影响,因为纯AdS空间在标度变换下都是不变的.

(7.9)

因为线元含因子$$(r/L)^2$$,所以长度含因子$$(r/L)$$,这里计算的"面积"是长度的三次方故含因子$$(r/L)^3$$.在视界处$$r=r_0$$计算"面积"就是(7.9).

(7.16-17)

这里比较了渐进平直空间史瓦西黑洞和渐进AdS空间的史瓦西黑洞.指出后者其实是稳定的热力学系统,故可以在物理上与有限温度场论对应.

(7.36)

不是太平庸的简单计算得到的基本常识性结果.无质量费米子和无质量波色子理想气体虽然都是无迹的,满足简单的$$p=\frac{\varepsilon}{3}$$关系,但是它们的配分函数差了一个分数$$\frac{7}{8}$$.进而,所有的广延热力学量都差了这个因子.

(7.37)

注意到这个黑洞度规的形式是由静态坐标(static,或者称为全局坐标global)推广而来的,在书上对应(6.49).与之前的度规(7.1)相比是不同的,对应着彭加莱坐标下下的AdS时空度规(6.78)或(6.55)的推广.注意本书庞加莱坐标的前后定义略有偏差,参见(6.78)的笔记.

这两个坐标的不同,体现在黑洞视界对应的$$r$$坐标的不同,静态坐标视界对应$$r=r_0$$,而庞加莱坐标对应$$r=r_+$$.

(7.39)

注意到在(7.37)中做变换$$t\to at$$, $$r\to \frac{r}{a}$$,同时作$$r_0\to\frac{r_0}{a}$$,我们得到(7.39)的关系,即$$\left(\frac{r^2}{L^2}+1-\frac{r_0^4}{L^2r^2}\right)\to \left(\frac{r^2}{L^2}+a^2-\frac{r_0^4}{L^2r^2}\right)$$.但是这与(7.1)的关系似乎不是很明确.

如果不按书中的讨论,直接比较(7.37)与黑膜(7.1)的形式.我们发现
 * $$\left(\frac{r^2}{L^2}+1-\frac{r_0^4}{L^2r^2}\right)=\left(\frac{r^2}{L^2}\right)\left(1+\frac{L^2}{r^2}-\frac{r_0^4}{r^4}\right)$$.

在极限$$r\to \frac{r}{a}$$, $$r_0\to \frac{r_0}{a}$$,且$$a\to 0$$时,上式中$$\frac{L^2}{r^2}$$部分可以被忽略,所以度规的前面的确趋于黑膜的情况.而角度部分,当$$r\to \frac{r}{a}$$很大时,很小的(高维球面)立体角可以用垂直方向的(低维平面)面积除以距离来近似,即$$d\Omega_3\sim \frac{d\mathbf{x}_3}{L}$$

(7.48)

我们这里在计算(7.43),雅克比行列式部分,按度规(7.42),我们得到$$\sqrt{-g}=\sqrt{\frac{r_0^2}{L^2}\frac{h}{u^2}\left(\frac{r_0^2}{L^2}\frac{1}{u^2}\right)^3 L^2\frac{1}{hu^2}}=\frac{r_0^4}{L^3 u^5}$$.

作用量部分,按(7.46)和(7.44),我们有$$R-2\Lambda=-\frac{2(p+1)}{L^2}$$.综上,容易得到(7.48)第一个等式.

(7.55)

这里给出如何通过ADM分解计算外曲率$$K$$和$$\gamma_{\mu\nu}$$的方法,具体过程不理解.需要 好好学习 微分几何.

在Fig.7.1,书中给出了内曲率和外曲率的(直观)几何意义.

首先我们容易理解一个圆柱体表面的内曲率为零.因为按黎曼几何,容易直观的看到,矢量的平行移动不会产生其方向的额外的偏移.实际上,正如书中指出的,圆柱体就是一张纸的平面加上边缘的周期性条件而已,所以显然是"局域"平摊的.注意比较圆柱表面与球面的区别.

另一方面,在直观上,我们知道一个圆柱体的表面是"弯曲"的,这是因为我们在一个更高的维度中进行观察的结果.

Ch.8 AdS/CFT - adding probes
(8.8)

如果对应某粒子的世界线,则这里的积分不应该是闭合的圈积分,因为$$\lambda$$是纺射坐标,不具有周期性.这里的积分相当于是对所有时刻的流的总和.

而实际上,这里的积分就是闭合的路径,如果我们坚持纺线坐标只能是沿着"类时"的正方向增加,这相当于一部分路径对应粒子带负电荷.所以(8.8)被解释为正负夸克对产生和湮灭的真空图对应的"流".

(8.14-15)

书中的这一部分论述了利用Wilson圈的计算来得到夸克禁闭势信息的物理基础.

(8.16)

这里表面上与之前(6.33)不一致,但是实际上是因为之前的例子是两维的$$AdS_2$$,而在高维情况下,度规实际上是这个形式,与书中的(6.33)与(8.16)都一致.

在(8.13)下方,书中提到Fig.8.1(b)的水平部分在时间$$\mathcal{T}$$很大时科忽略.不明白是为什么.尽管在后面的一节考虑纯AdS空间的夸克反夸克对的弦的能量时提到弦的能量只是由弦沿着水平方向(规范场空间$$x$$方向)的距离决定.

(8.22)

这段讨论描述了去禁闭的QGP相的AdS/CFT描述.对于弦论描述,弦可以进入到有限大小的$$r$$的区域而使得弦的长度更短,这对应恒定张力情况下更小的势能.而对规范场描述,仅仅限制在$$r=\infty$$表面上,这对应规范场的复杂的强相互作用.

其中因子$$g_{00}$$反映了从视界附近到无穷远的引力红移,而因子$$g_{xx}$$来源于在视界附近与沿着$$x$$方向上弦的坐标长度对应固有长度.

(8.25)

这里对于固定的温度,从而固定的视界半径$$r_0$$,考虑了当两个夸克的距离增加,它们的相互作用消失,德拜屏蔽.

但是反过来,如果两个夸克的距离一定,那么让黑洞视界逐渐接近弦的最低位置意味着让视界增加,这对应着黑洞吸积质量,温度降低的过程.在物理上,这对应随着温度降低两个夸克的相互作用反而更接近自由粒子了.这个表面上的悖论和黑洞的负热容,即热力学不稳定性有关.

(8.29)

这是诱导度规的定义.

这里$$\sigma^a$$是低维度的曲面,所以它的指标$$a$$的数目等于较低的维度的数目,而$$x^M$$是高维度空间的坐标的一般形式,它的指标$$M$$是对应的高维空间的维度.

(8.35)

这是在曲面上,对应弯曲时空的坐标变换的变换矩阵.

(8.38-41)

这成为静态度规,因为如果弦划过的曲面对应$$r=const$$,$$x=x(r)\ne x(r,t)$$,那么就是"静态"的.$$x$$不独立,故对两维的弦,把两个独立的坐标取为$$(t,r)$$.

而(8.40)就是把函数关系$$x=x(r)$$代入度规而已.

(8.44)

极值出现在$$r$$的极小值.

注意到$$\left.\frac{\partial r}{\partial x}\right|_{r_m}=0$$是因为$$r$$在极值,所以它没有变化,而自变量$$x$$在单向变化.然后这一项的倒数趋于无穷大.

(8.47)

这里的理解是Fig.8.12其实是Fig.8.10关于极小值的一个反演.我们把最小值处的$$x$$取为零,而把曲面的$$x$$的最大值记为$$\mathcal{R}/2$$.反演后的夸克点可以理解为反夸克,这样我们得到一个夸克对,所以相当于一对夸克反夸克的运动,故而解的结果可以与之前链接夸克反夸克的弦的结果进行比对.

最后,夸克反夸克对的相互作用势问题本质上就是Wilson圈的问题.

(8.52)

这是由满足运动方程在质壳上的作用量来决定其他热力学量,这里是能量.

(8.60)

比较$$dz'^2$$与$$dr^2$$的项,注意其中$$h$$的定义(8.58),注意到它是有零点的.比较之前(3.23)的讨论,就知道$$h$$的零点对应黑洞度规(8.57)的视界,也对应了孤子解(8.60)的奇点.对于后者$$z'$$必须有限(周期性),其周期为$$\frac{4\pi}{f'(r_0)}=\frac{4\pi}{(hr^2/L^2)'(r_0)}=\frac{4\pi}{(4r_0/L^2}=\frac{\pi L^2}{r_0}$$.这就是书上的(8.61).

(8.62)

这个结果是(8.22)的直接应用.

下面讨论的两种情况弦都是沿着$$x$$方向的,但是时间坐标在对应的欧几里得坐标中的形式是不同的.

Ch.9 Basics of nonequilibrium physics
(9.13)

这里$$\phi$$是物质场,被扰动的场,而$$O(x)$$对应外源.注意到在场论中作用量对外源的变分等于场的期待值,热统中配分函数对外源的变分等于场的系综平均.

(9.32)

这里给出了线性反馈理论用延时格林函数表达的一般结果,即对应可观测量的算符的系综平均的变化对外源为线性关系,比例正是延时格林函数乘以一个负号.

简单的说,线性反馈原理就是外源对物理量的影响.一方面,物理上一个具体的例子就是外场对材料的磁化,外源对体系能量(哈密顿)的影响形式是(9.13).另一方面,数学形式上,这里的外源就是场论中生成泛函中引入的外源(9.14),这被称为外源是因为对应的最小作用量原理所决定的经典运动方程中引入的外源将出现在方程的右边.在场论中,很多时候引入外源只是为了计算的方便,因为(9.14)中的外源$$\phi^{(0)}$$与可观测量$${\mathcal O}$$的"对偶"关系,可以通过对外源的泛函导数来得到观测量的系综平均值,而在完成计算后最后要把外源设为零.而在这里,我们讨论的是外源的确不为零的情况.

注意到这里有个重要的性质,这里计算的格林函数其实可以和具体物理问题的细节无关.因为(9.30)的右边的系综平均其实涉及对所有算符可能取值的泛函积分.具体的,比如参见Peskin(11.40),$$\mathcal H$$是无外场时的哈密顿,$$H$$是外源,$$s$$是对应可观测量的算符,磁矩其实是自旋的系综平均,而这里每个空间点的自旋其实是泛函积分的自变量.这样(9.30)得到的格林函数某种意义上和自旋的具体细节无关,结果的形式是一般的.

最后,(9.31)除了用书中给出的推导外,还可以直观的用格林函数和外源的物理本质直接得到.因为格林函数对应外源为电源时运动方程的解,即点源影响函数,所以,所以对一般形式的外源,场的解就是格林函数对外源的积分.而(9.32)是(9.31)傅里叶变换后的形式.

(9.34)

对引力场(度规)做微扰然后把一阶作用量对零阶度规做变分,得到一阶度规对应的能动张量.

这个结论的一个理解方法就是把一阶度规扰动看做是物质场,一个具体一些的讨论参见这个与引力波能动张量有关的讨论.

(9.42)

这里得到了一个重要的结论,即著名Kubo公式.它是关于延时传播子和传导系数的关系.他是(微观)线性反馈理论(9.32)和物理上的(宏观,这里是库伦定律)动力学方程(9.40)相结合后直接得到的结果.

(9.74)

这里奇点在复平面上,所以沿着实轴的积分可以用留数定理来计算.导致的迟豫时间和奇点和原点的距离有关,这和Jorge的工作的结论很类似.

(9.85-86)

这是因为(9.86)中$$J$$和$$\mu$$的相互关系是共轭关系,即它们的乘积的空间积分为哈密顿量的变化值,在热力学中这就是(9.65)的右边最后一项.而按Peskin一书(20.43-45)附近的讨论,与守恒流耦合的是规范场.最简单的例子就是QED中的四矢势与守恒流耦合.四矢势的零分量是标势,标势对空间的导数就是电场.所以,(9.85)中对$$\mu$$的偏导,可以看做电场,这里的问题可以类比库仑定律.

(9.87-88)

这是把通过计算"外源"的扰动的影响的Kubo公式的办法推广到"内秉扰动",如热力学中的非平衡态扰动,的情况.一个非平庸的结果是,虽然物理问题本身与体系的电传导率丝毫无关,但(9.88)中传播子数学形式上正是(9.33)中的传播子.利用见上面对(9.32)的讨论.

注意到,真正的计算不涉及到$$\partial^i\mu$$,在(9.88)中,我们只需要由体系热力学性质决定的$$\chi_T$$以及格林函数$$G_R^{xx}$$在原点$$\omega\to 0, q=0$$的虚部的数值就可得到热传导系数$$D$$.

(9.89)

这里给出另外一种计算输运系数的方法,由(9.74),格林函数的极点与热传导系数$$D$$直接有关.所以,如果仅仅知道格林函数极点的位置,我们也可以得到传导系数的信息.

(9.115)

这里不仅仅是把张量偏离理想流体的部分按对称性和迹的形式进行进一步分解,比如参见这个讨论,而是分别对应无迹部分和迹的部分,把它们的运动方程写出来.这里对应一阶的粘滞流体运动方程.

(9.124)

这就是著名的一阶粘滞流体力学与热力学第二定律相一致的讨论.

(9.138)

如脚注18中提到的,虽然原则上需要严格解方程才能得到一般情况的结果,对于这里简单的情况,可以利用对称性的一些分析来直接得到$$\tau^{xy}$$的一阶项的形式.

扰动$$h_{xy}^{(0)}(t)$$是均匀而非各项同性的.前者因为$$h_{xy}^{(0)}(t)$$只是空间的函数.后者因为在空间转动下$$g_{\mu\nu}^{(0)}$$显然不保持不变,这是由于舒乐引理,在空间转动下形式不变的能动张量必然是对角的.最后$$g_{\mu\nu}^{(0)}$$在空间反演作用下保持不变,即用空间反演算符在左右夹乘(9.138),这样对应的速度解也必须是空间反演不变的.

书中指出$$(\nabla\cdot u)$$是两阶的.这是因为$$\nabla\cdot u=(u^\mu)_{;\mu}=\frac{1}{\sqrt{-g}}\partial_\mu(\sqrt{-g}u^\mu)$$.而因为速度的分量都是常数,所以导数都来自对雅克比的导数.按(9.138),雅克比是一个很接近与1的量,其最低阶涉及$$h^{(0)2}$$.故$$(\nabla\cdot u)$$是至少两阶的.

(9.143)

这里$$\omega\to 0$$因为这样等式两边才足够小,保证符合线性相应理论对微扰的要求.同时$$q=0$$因为等式右边的微扰不是坐标的函数,故相应于只含有$$q=0$$的模式.

(9.146-147)

如脚注19中给出的,这里需要考虑另一种形式的度规微扰.首先,这个微扰同样不是空间的函数,从而是均匀的,同时仍然具有空间反演不变性.所以,我们同样可以得到速度四矢量是常数的结论.

接着我们考虑$$(\nabla\cdot u)$$,因为这时$$\sqrt{-g}$$对$$1$$的偏离是一阶的,所以$$(\nabla\cdot u)$$是一阶而非二阶,因为有三项,前面的系数正好是$$\frac32$$.反过来,我们希望在(9.136)中与$$\eta$$相关的项为零.实际上,重复(9.139-141)的计算,我们发现这时只有在$$x=y=1,2,3$$时,这些量才不为零,利用(9.137),此时(9.136)与$$\eta$$相关的前两项结果仍然相同,只有在$$\alpha=\beta=\mu=\nu=1,2,3$$时才不为零,每项含系数$$\frac12$$.所以在这样的度规微扰下,与$$\eta$$有关的项正好消失,只剩下与$$\zeta$$有关的项对能动张量的贡献.

而按(9.29)的推导,格林函数(9.147)的形式来自于作用量中度规与能动张量耦合的形式,并进一步把相关的耦合项的能动张量部分写成空间分量的迹的形式.

(9.149)

这里考虑的是使得四矢量$$(t,z,0,0)$$不变的洛伦兹群的小群SO(2),并用它来分解能动张量.

各个不同模式的运动方程间不会耦合,这是因为如果体系的初始扰动具有某种对称性,那么我们不相信运动方程导致的时间演化会打破这种对称性.

(9.155)

最后一步中我们忽略了$$\partial^a u^z$$,这是因为我们考虑的微扰的形式是(9.149).这也是下面可以把微扰写成$$u^a\sim e^{-i\omega t+iqz}$$的原因.

Ch.10 AdS/CFT - non-equilibrium
(10.2)

按(10.4)下方的讨论,这里$$\left.\phi\right|_{u=0}=\phi^{(0)}$$是指场$$\phi$$在边界上满足给定边界条件的解.这样,将在"质壳"上满足运动方程的解代入作用量得到其近似结果的做法其实就是所谓"鞍点法"或者"最快下降法".

而进一步,满足将满足运动方程的场代入拉格朗日密度并且对时空积分.如果我们计算一个相对值,换言之我们比较两个满足运动方程的场对作用量的贡献的差,即$$\delta S=\int d^5x\left(\frac{\delta \mathcal{L}}{\delta \phi}\delta\phi\right)$$.按Goldstein或者Landau经典力学中$$\Delta$$变分的讨论(即并非保持边界条件不变的作用量变分,对不同但都满足运动方程的场来说,这个变分的差别只可能等于零),这个积分可以被写为表面项的贡献$$\delta S\to \Delta S=\int d^5x\left(\frac{\delta \mathcal{L}}{\delta \partial_\mu\phi}\delta\phi\right)_{;\mu}=\int d\Sigma_\mu\left(\frac{\delta \mathcal{L}}{\delta \partial_\mu\phi}\delta\phi\right)$$.我们注意到,我们可以把其中的一个取为某给定的解,所以真正有物理意义的是两者的差.特别是,一般情况下$$\phi=0$$就对应一个满足运动方程的(平庸)解,对应的贡献为零,所以$$S=\int d\Sigma_\mu\left(\frac{\delta \mathcal{L}}{\delta \partial_\mu\phi}\phi\right)$$一个具体的计算参见这个手稿的(21-23).

(10.11)

注意到这是AdS黑洞度规在无穷远处的渐进行为.只要代入条件$$r_0=L=16\pi G_5=1$$以及$$u\to 0$$即可由(10.9)得到(10.11).而后面的不少计算以及标度不变性的讨论其实主要是对(10.11)展开的.

(10.13-15)

这里在具体计算作用量.注意到导数下标$$M$$是五维时空的指标.计算中利用了解的均匀和静态的特性.前者保证了对$$\phi$$场的空间偏导为零,后者对时间偏导为零.除此以外,$$\sqrt{-g}\sim u^{-5}, g^{\mu\nu}\sim u^2$$都可由度规(10.11)直接得到.

等式的最后一步中表面项也仅考虑无穷远处$$u=0$$边界上的贡献,这是因为$$\frac{1}{3u^3}$$因子使得无穷远处的贡献比在视界处的贡献大得多,而上述计算本身就是在极限$$u\to 0$$的前提下进行的.

(10.16-17)

这里书中指出(10.15)中最后一步的第二项为零,这是由于计算是在"质壳"上进行的,而(10.16)就是运动方程.这是一个两次常微分方程,容易验证(10.17)就是它的通解.

(10.21)

在arXiv:1006.5165中指出,按AdS/CFT对应性,引力理论中的场在边界上的值对应对偶理论的场的"源". 在边界上的对偶理论中,作用量涉及某算符(在质壳上的期待值)和与之对偶的外源的耦合. 这里通过对一个最简单的标量场的情况的具体的计算,在无穷远边界上将标量场满足运动方程的在质壳上的解代入作用量,在对"源"求导后得到对偶算符的期待值. 代回标量场的表达式,发现标量场的通解本身包含了算符期待值与外源这两个信息.

讨论的过程涉及到(两阶场)方程的两个通解的具体形式.这里得到的结果是一般的.特别的,它的物理解释是(10.22).$$\phi^{(0)}$$是外源,因为它是$$\phi$$在边界($$u=0$$)上的值. 而由于$$\phi^{(0)}$$为外源,且(10.20)等价于(10.23),即得格林函数的.

按潘启沅的提示,在一般情况下,如果没有常数项,那么源还是会对应正比于$$u=0$$多项式阶数较低的系数,这是因为形式上可以把这个低阶的多项式和场的乘积定义为一个新的场,这个新的场在形式上是在边界上(更容易)存活下来的源. 在arXiv:1006.5165中指出,一般不可归一的解必须被处理为"源",如果两个解都可以被归一,那么其实存在自由度来选择一个解为源,另一个解为算符的期待值.

(10.23)

等式左边,其实就是$$\delta\langle O(t, x)\rangle=\langle O\rangle_s-\langle O\rangle_0=\langle O\rangle_s$$.

(10.25)

在形式上,这个标度变换与之前(5.79)或者(6.79)的变换并非等价.如果按(6.79),由$$u=\frac{r_0}{r}$$,由于$$r,r_0$$以相同的形式变换,应该有$$u\to u$$,而非$$u\to au$$.

但是注意到书中在讨论AdS黑洞的标度变换的时候,其实也可以采取$$r\to \frac{1}{a}r$$而$$r_0 \to r_0$$不变的上下文进行讨论.具体参见(7.39)附近的讨论.这样在此理解下,标度变换的形式的确是(10.25).

我们特别指出,上述标度变换会影响黑洞视界的位置.具体的,线元(10.9)因为其中$$h$$的形式,显然是不满足在标度变换(10.25)下不变的.而另一方面,因为在无限远处的时空可被视为纯AdS空间,后者不会受到这种标度变换的影响.具体的在数学上,这表现为而在$$u\to 0$$附近,(10.11)的确满足这个变换.

(10.27)

这里要讨论$$\phi$$场的标度变换,但是因为$$\phi$$并不进入线元,所以讨论需要从作用量入手.纯AdS空间的作用量为(5.34),而在考虑了物质场后是(10.7-8).我们在这里只考虑标量场,所以考虑作用量(10.12),以及度规(10.11).

我们考虑每一个因子在标度变换下的变换形式,即在(10.25)下的变换形式,我们同时要求作用量不变,从而得到$$\phi$$场在无穷远处标度变换下的变换形式.

具体的我们有$$\sqrt{-g}\sim u^{-5}\to a^{-5}\sqrt{-g}$$, $$d^5x\to a^5 d^5x$$, $$g^{uu}\sim u^2\to a^2 g^{uu}$$以及$$\frac{\partial}{\partial u}\to a^{-1}\frac{\partial}{\partial}$$.这样剩下的$$\phi$$场满足$$\phi\to a^0\phi$$.利用(10.21)即得(10.27).

我们指出,书中提及的标度变换是坐标变换所以标量场没有变化的说法其实并不正确,标度变换,如(5.19)与(5.22),按定义就是牵涉到场的变换.

(10.28)

这个表达式可由(10.20)的定义,代回(10.19)确认.实际上,这个结果是很自然的,正是因为(10.20)的第一步等式.

而这里重要的结果是(10.28)的标度不变性,这里是在边界上的,所以不再涉及到弯曲空间比如$$\sqrt{-g}$$,而体系的维度也是4维而非5维,因为$$u$$已经在(10.14-15)中被积掉了.

(10.30)

由(10.29)出发,这里因为规范场非零的分量仅仅是$$A_0=A_0(u)$$,所以对作用量有唯一非零贡献的分量来自$$F_{u0}$$,其余因子由度规(10.11)决定.即得作用量的被积函数是$$-u^{-1}{A'}_0^2$$,对应的欧拉拉格朗日方程即为(10.30).

(10.31)

容易证明,这是(10.30)的通解.其中,缓慢衰减的项是指$$A_0^{(0)}$$,它是一个常数项,但是 不明白 为何这是由规范不变决定的.而快速衰减项是指与$$u^2\sim \frac{1}{r^2}$$成正比的项,显然形式上库伦定律一致.对后者,注意到这是电(标)势,并且是在五维时空中的,因为如果高斯定理成立,那么库伦定律的三维空间中的平方反比在四维空间中要改为立方反比,故电势将进行响应的改为平方反比.

(10.32-33)

这与之前(10.15-17)和(10.19)的计算是完全类似的.具体的区别是(10.15)中的$$\frac{1}{2u^3}$$因子现在是$$\frac{1}{4u}$$,但是除了一个系数外,最后(10.19)的形式完全不变.

(10.37)

这和之前(10.27)的讨论完全一致,具体已验证.

(10.41-42)

这就是将试解,即(10.41)第一式$$\phi\sim u^\Delta$$,代入方程(10.40). 同时,利用(10.11)推广到高维的形式,即做替换$$5\to p+2, 3\to p$$,由(10.39),$$p$$是边界上的空间维度. 我们有$$g^{MN}\sim u^2$$,这个两阶在最后和$$\partial_M\partial_N$$两次减小的$$u$$的阶数正好相抵. 另外$$\sqrt{-g}sim u^{-(p+2)}$$,分子分母最后也正好相抵. 将这些渐进关系都代入(10.41),不难发现等式左边两项都正比于$$\phi\sim u^\Delta$$,同时$$\phi$$之前的系数为零就是(10.41). 具体的,(10.41)左边的第一个$$\Delta$$因子来源于(10.40)中里面的导数$$\partial_N$$. 将求导后的形式乘以各项后再次求导,即得第二个因子,它是$$(\Delta-1)+2-(p+2)=\Delta-p-1$$.

实际上,(10.41)是两次多项式方程正因为(10.40)是两阶常微分方程.

(10.44)

等式右边的第一项的定义来自对"源"非平庸的要求,即不为零也不能发散.而第二项的系数和$$u$$的幂次是按定义通过具体计算得到的.

(10.53)

将(10.50)的度规代入(10.51)的左边,然后比较(10.51)的右边剥离第一项,而等式右边的第二项即得能动张量的关系,此即(10.53).

(10.61)

这里考虑的是度规(10.9)而非(10.11),为了简便起见,取了$$L=r_0=16\pi G_5=1$$的约定.对于运动方程,在做了傅里叶变换后,拉格朗日密度正是(10.59)的被积函数.换言之,因为作用量中对时空的四维积分已经不存在了(替换为对动量的求和),拉格朗日密度中对时空的导数也不存在,仅仅含有对$$u$$的偏导,这样易得对给定动量$$k$$模式的欧拉拉格朗日方程正是(10.61).

(10.62)

注意到在趋于无穷远$$u\to 0$$时$$u^2g^{\mu\nu}\to \eta^{\mu\nu}$$,即得(10.62).

(10.63)

因为(10.63)的第二项对于$$u$$是更高阶的可以被忽略,这导致$$\Delta=0, 4$$,而这正是(10.17).

Ch.11 Other AdS spacetimes
这一章整体数学性比较强,比较 难理解 ,但试图对一些讨论简单总结如下.

(11.2)

五维球面$$S^5$$的对称性是$$SO(6)$$,作为李群它具有$$\frac{6\times5}{2}=15$$个生成元,按Geometric Optics on Phase Space这本书P.246页的讨论,这是3阶卡当图的正交代数$$D_3$$,对应三个角动量.而守恒的角动量在对偶空间对应R-荷.

(11.3)

这里给出了一类体系没有共形性,特别是,没有标度不变性的模型.这在AdS/QCD的应用中很重要.

Ch.12 Applications to quark-gluon plasma
(12.5)

这是因为能动张量没有迹,所以体粘滞系数始终为零.而因为空间各向同性,能动张量空间部分分量等于压强,由无迹的条件,能量是压强的3倍.

(12.12)

书中在这里推导了这个有名的结论.

(12.19)

这里粒子数可以用粒子数算符的平均值得到,而粒子数算符可以用产生消灭算符来定义.

(12.23)

这里的$$g\phi^4$$理论考虑的是单圈近似,但是其渐进行为和AdS/CFT比较是合理的.注意到$$\eta$$在高温时候并非变小,而是变得更大了.同时如果耦合变大,剪切粘滞系数其实却是变小的.

(12.27)

我们直接验证这个结果.

我们利用(3.26)中温度的结果和SAdS度规(14.3),易知$$T=\frac{r_0}{\pi L^2}$$.

另外由彭加莱坐标中度规的形式,不难得到$$\sqrt{-g}=\sqrt{\frac{(r_0^2)^4}{(L^2)^3(u^2)^5}}=\frac{r_0^4}{L^3 u^5}$$.在具体计算中$$g^{\mu\nu}$$只与坐标$$u$$有关,所以(12.27)的计算中,对$$u$$的导数部分是第一项,注意到$$g^{uu}=\frac{hu^2}{L^2}$$,所以$$\sqrt{-g}g^{uu}=\frac{hr_0^4}{L^5 u^3}$$,注意到常数部分是互相抵消的.最后括号内外的因子$$\frac{h}{u^3}$$正好互为倒数,所以这意味着扩外外面的结果处于某种原因多了一个$$g^{uu}$$因子.这个因子必然也需要出现在(12.27)等式左边第二项中,这在后面的讨论中得到肯定.

而另一边,对时空部分的导数对应(12.27)的第二项.因为上述讨论,因为导数会直接作用在$$\phi$$上,其中的$$\sqrt{-g}$$因子互相抵消,余下的结果就是考虑了度规的四矢量$$(\omega,q)$$的内积,它是$$g^{tt}\omega^2-g^{xx}q^2$$,由度规(10.9),$$g^{tt}=-\frac{L^2 u^2}{r_0^2 h}$$, $$g^{xx}=\frac{L^2 u^2}{r_0^2}$$.所以,根据(12.27)的结果,额外考虑温度因子$$T$$后,它们的共同因子为$$\frac{T^2L^2 u^2}{r_0^2 h}=\frac{1}{\pi^2 h^2}\frac{h u^2}{L^2}$$.这里等式右边的第一个因子与(12.27)等式左边第二项的分母一致,而第二个因子正好等于$$g^{uu}$$,它正和之前(12.27)等式左边第一项的讨论一致.另外注意到因为等式左边分母上的$$h$$因子,这时在分子上$$q^2$$项会有一个因子$$h$$,这与(12.27)等式左边第二项的分子一致.

(12.29)

这些奇点分别由方程(12.27)左边第一项括号内的分母为零$$u=0$$,分子为零$$h=0$$,以及分子趋于无穷大$$u\to\infty$$决定的.

(12.30)

上面的展开具体为$$h=1-u^4=1-(1-(1-u))^4\sim 1-(1-4(1-u))$$,注意到要用"小量"来展开.

(12.32)

这是在视界附近最主要的贡献,从而对应级数解的最低阶.

(12.33)

这是乌龟坐标变换真正的定义,变为共形平直的坐标系.

(12.37)

这个结果说明,前面(12.32)给出的渐进解的形式其实就是乌龟坐标的平面波形式.它包含入射波和出射波两种可能.

(12.39)

按(12.30)上面的对$$u$$的近似,这里还差了一个因子4,但是因为这样的平面波波函数是不可归一的,波函数前的整体常数因子并不重要.

(12.41)

这是把(12.40)的推广,在$$\mathcal{\omega}$$很小的情况下,从视界附近的解推广到全部$$u$$的值域.这种情况下我们可以获得解析解,它就是(12.44).

注意到(12.40)是把(12.39)换一种展开方式,明确的表达为按$$\mathcal{\omega}$$展开的形式.

(12.42)

这是因为(12.27)等式左边的第二项(注意$$q=0$$)对于$$\mathcal{\omega}$$是二阶的,所以可以忽略.

(12.46)

这是考虑了(12.40)在$$u\to 1$$时两项之间的比值,定出了$$\phi_k^{(0)}$$系数.

(12.48)

这就是之前在(12.8)中用到的结果.但为了得到(12.10)的具体结果,还牵涉到(12.9),这需要计算在"壳"上的作用量.

(12.55)

从这两个关系,我们可以得到$$\eta/s$$存在上限的物理解释.

这里第一式,由(4.1-2)的讨论得到.注意到这里并没有忽略速度的量纲,即没有取$$c=1$$,质量和能量的量纲差了速度平方,在非相对论情况下,差别是$$\bar{v}^2$$,这解释了等式右边的平均速度在分子上而非在分母上.

这里的第二式,就是熵密度正比于粒子数密度,并配上正确的量纲.具体的,注意到$$\frac{m}{T},\frac{\mu}{T}\ll 1$$的条件,按这篇综述的(12)与(16),并利用贝塞尔函数的渐进表达式即得.

(12.57)

注意这里要区别两个不同的修正.第一个是$$1/\lambda$$修正,即$$\alpha$$修正,这对应于引力理论作用量中的高阶导数项,理论仍然是经典的.第二个是$$1/N_c$$修正,这对应于弦论中的圈图修正或者量子引力中的量子涨落的修正,这是会改变临界点的临界系数的修正.

(12.64)

这里是从扩散问题的角度得到的结果,但是这个表达式形式上可以解读为体系的频率是复数.

(12.68)

参见最后第十五章相关习题的答案.计算的思路就是在考虑高阶$$q^2, \omega^2$$的情况下计算微扰方程,然后按"质壳"上的作用量和Kubo公式,得到相应的输运系数.

(12.78)

这里考虑的是(12.75)的特殊情况,与标准标量场情况不同,这里拉格朗日密度中含有两阶导数项.

这里倒数第二行有三项,来自部分积分,分别对应(12.77)积分号内第二项的部分积分法和第三项的两次部分积分法.

按变分原理,边界上的贡献为零,故(12.78)体积分的被积函数为零对应于运动方程.

(12.81)

因为这时考虑的是在"质壳"上满足运动方程的场,所以体积分部分为零,仅含边界上的贡献.

(12.101)

这个结果可直接由(12.98)代入(12.100)得到,而其中第二项正是之前(12.8-9)中给出的形式.第一项来自其他的贡献,可由此定出压强的形式,与自由能给出的结果一致.

(12.119)

这里的逻辑是这样的.格林函数的奇点对应$$A=0$$,换言之,在$$A=0$$的条件下,如果我们观察到QNM,由于准正则模式对应共振态,所以那么体系的QNM频率对应了格林函数的奇点位置的信息.

(12.121)

这里的指标约定为,$$a=x$$,因为$$(x, y)$$由于对称性是等效的.而$$\alpha$$对应剩余指标$$\alpha=u, 0, z$$.

Ch.13 Basics of phase transition
(13.4)

这是平均场理论得到的临界指数是平庸的主要原因:在计算配分函数时用了由经典运动方程决定的鞍点近似.

(13.25)

因为"动能"项是正定的,当解是空间均匀的时候这项的贡献最小,等于零.物理上,"动能"项可以对应临近磁矩的相互作用.

(13.59)

首先运动方程由(13.58)的极值给定,所以必然满足$$\tilde{m}=f(\tilde{H})$$,这样得到(13.59).

将(13.59)对比(13.46)即得标度变换指数.

(13.64)

这本质上就是(13.8),注意到(13.64)等式左边有平方.

这里要表达为平方因为$$\Psi$$是复数,从而才有下面把模和相位具体写开的做法.

(13.65)

书中的"耦合"与"非耦合"就是指的全局规范变换和局域规范变换.

注意到在局域规范变换的情况下,耦合仅仅出现在(13.65)等式右边的第二项,即来源于(13.63).正如Peskin场论中指出的,这是由局域规范下拉格朗日密度不变的要求得到的.在这种情况下,可以把幅角$$\phi$$取为零,这相当于选择特定的规范.注意(13.67)等式右边的加号应该是减号(或者(13.66)指数上是减号).同时,由于$$\Psi$$场的对称破缺,规范场获得质量,这就是Higgs机制.除了文中指出的$$A_i^2$$项前的系数不为零外,可以证明单圈图对应的规范场传播子获得质量,对应的质量参考Peskin场论的(20.8),具体参见任何相关场论书籍的讨论.

如果$$\phi$$是个全局变量,即它不是坐标的函数,那么(13.63)就没有必要,退化为普通导数.如果$$\Psi$$发生对称性破缺,由于Goldstone定理,得到一个质量为零的波色子.

(13.68)

这是序参数波函数对应的关联长度.将(13.65)与(13.25)逐项比较,其中$$\Psi\to m$$,利用(13.26)的结果,即得.

(13.69)

按上述讨论,对应的Higgs质量平方是$$\frac{e_*^2|\Psi|^2}{m_*}$$,所以对应的关联长度是它的倒数.

(13.71)

按(13.63)下面的讨论,我们考虑的规范的标势为零$$A_0=0$$,这样磁通量$$\Phi=\int_S B\cdot dS=\int_S (\nabla\times A)\cdot dS=\oint_C A\cdot dl$$.由(13.66-67)序参数波函数相位的变化等价于矢势的变化,所以上述结果进一步为$$\Phi=\oint_C \partial\alpha \cdot dl=\Delta\alpha$$.而由于波函数是解析函数,$$\frac{e_*\Delta\alpha}{\hbar}=n\times2\pi$$,即$$\Phi=n\times \frac{2\pi\hbar}{e_*}=n\times \frac{h}{e_*}$$.这就是书上的结果.

(13.76)

这就是由朗道金兹伯格理论推导出伦敦方程的步骤.

这里(13.76)包含了四个方程.比较经典电动力学,比如蔡胜善一书的(7.7)和(7.15).我们下面用比书上稍微更一般的形式证明两者的确等价.注意到我们考虑的是平直空间,所以原则上不区分协变逆变指标.

而这正是(13.76)可以得到的结果.因为$$F^{ij}=\epsilon^{ijk}B_k$$,所以方程两边对空间的导数$$\partial_j F^{ij}=\epsilon^{ijk}\partial_j B_k=(\nabla\times B)_i$$,把(13.76)两边取散度即得$$-\nabla^2 B=-\frac{1}{\lambda^2}B$$.这就是迈斯纳效应(7.16).注意上述推导中没有考虑$$\partial_0 F^{0j}=-\partial_0 E_k$$,即忽略了电场对时间的导数,这个非相对论条件下的近似和蔡胜善一书中的做法完全一致.

另一方面,对(13.76)的两边对时间求偏导,考虑度规$$A_0=0$$,就得到了蔡胜善一书的(7.7).这里的一个重要的物理上的输入是把(13.76)右边的波函数的概率流(13.73)解读为电流.

(13.80)

这是一个非常重要的结论,超导的伦敦第一方程并不意味着在交流电下,有限的电压对应无限的电导率.所谓发散的电导率仅仅对应着零频率$$\omega=0$$位置的一个奇点而已.

(13.81)

这一段的叙述与蔡胜善一书关于超导体的伦敦方程的讨论完全一致,即超导体不仅仅是理想导体,还具有绝对抗磁性,即除了伦敦第一方程还具有伦敦第二方程.但(13.81)从定量的角度给出了Drude模型.

(13.84)

这就是把(13.84)写成电流$$J$$和电场$$E$$的方程,对电流求时间偏导即得.

(13.91)

这就是把两个"组分"相加而成,它们分别是(13.85-86)和(13.82).

Fig.13.8

书中指出BCS理论无法适用于高温超导体的原因是该理论是基于弱相互作用的费米液体,所以通过微扰展开不能成立的条件可以定出该理论适用的最高温度.

Ch.14 AdS/CFT - phase transition
(14.7-9)

由于自由能是由"质壳"上的解决定的,而黑洞和孤子之间数学上仅存在某数学变化,所以(14.7-8)的第一步是相同的.

而对这两个表达式的物理解释是不同的.孤子解不涉及温度,仅仅涉及到坐标$$z'$$的周期性.这个周期性直接与$$r_0$$有关,即(8.61).从而可以把$$r_0$$替换为$$l$$,后者因为与坐标的值域有关,是个常数.

(14.11)

在极限$$r\to\infty$$下,比较(14.10)各项的大小关系,$$dr^2$$项自然的被略去.度规趋于4维的形式(14.11).而另一方面,比较之前(10.9)到(10.11)的推导,在无穷远处,度规仍然可以写为5维的形式.

(14.13)

注意到(3.26),我们有$$T=\frac{f'(r=r_+)}{4\pi}$$,将$$f(r)=\left(\frac{r^2}{L^2}+1-\frac{r_0^4}{L^2r^2}\right)$$求导后代入,并注意到(14.12),即得(14.13),具体代数运算略.

这个表达式对温度没有解的条件$$TL=\frac{\sqrt{2}}{\pi}$$,就是不存在黑洞解的临界温度,对应相变点.这个结果与之前(14.8-9)对应的相变点$$Tl=1, l=\frac{\pi L^2}{r_0}$$的物理意义是类似的.数值上的不同因为两个讨论分别采用了不同的坐标系,参见之前(7.37)的讨论.

(14.16-17)

如书中的讨论,参见(7.47)以及之后的例子(7.48),注意到其中$$dt$$的积分限由对应的欧几里得几何中的锥形奇点出现的条件决定.而再之后的例子,比如(10.18)中并没有具体写出坐标$$dt$$的积分限.

而对(14.17),书中指出,对$$dt$$的积分限没有限制.

(14.38)

这里的讨论指出,探头极限对应电荷很大的情况.这在物理上是可以理解的,对应着带电很大的黑洞度规不会轻易受到电磁场的微扰的影响.

(14.40)

这对应着没有凝聚的平庸解,按(10.31),这时的解对应黑洞所带电荷产生的库伦场.

(14.41)

这个表达式的导出是显然的,本质上来自包含规范场的协变导数,等式右边的第二项对应(14.40)是洛伦兹标量的形式.

如书中讨论,这个结果意味着标量场在弯曲空间中与电磁场的耦合,即便在电磁场解为库伦场的情况下,因为度规的原因使得其有效质量变小,以至于小于BF极限.这在物理上意味着不稳定性,从而导致了标量场的凝聚.

(14.47-48)

在P.267书中指出,即便在平均场的情况下,可能导致与朗道金兹伯格模型不同的临界系数.这种情况在物理意义上的探究可能是有意义的研究方向.

(14.56)

与之前(14.41)比较,矢势的空间部分导致有效质量变大,而因为前者对应磁场,物理上对应磁场很大时对超导的破坏.

在磁场比较小在(14.56)中没有足够大的影响时,超导态存在,且显然由于磁场的存在,体系并不具备绝对抗磁性.因此拓扑超导体在现实中只可能对应第二类高温超导体.

Fig.14.4

与此图无关,文中提及s波,p波等不同的拓扑超导体的区别在于序参量波函数是标量,矢量等.换言之,序参数波函数的不同空间对称性决定了对应的高温超导体的不同类型.

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Lectures on Holographic Superfluidity and Superconductivity, by C.P. Herzog, arXiv:0904.1975v2
这是一份较为进阶的AdS/CFT在凝聚态中应用的讲义.除了理论物理部分的深入讨论,讲义的开头还给出了很多在凝聚态物理中的实际例子.很值得学习.

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