Research Paper Notes on Acoustic Black Holes

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 * Equation for Nonlinear optical propagation beyond the paraxial approximation, Proc. SPIE 3418 (1998), by S. Alam and C. Bentley

Equation for Nonlinear optical propagation beyond the paraxial approximation, Proc. SPIE 3418 (1998), by S. Alam and C. Bentley
本文从麦克斯韦方程出发,讨论近轴近似和更一般情况下的非线性电介质中的电场方程.

(1)

这就是Jackson一书的(8.108),具体推导参见该书的笔记.

注意到$$n^2\equiv\frac{\mu\epsilon}{\mu_0\epsilon_0}=\frac{\mu_0\epsilon}{\mu_0\epsilon_0}=\frac{\epsilon}{\epsilon_0}$$,故和书中方程比较有一个因子$$2$$.

(3)

注意到媒质中波矢$$k=\frac{\omega n}{c}$$,真空波矢$$k_0=\frac{\omega}{c}$$.而(2)中电场沿着$$z$$方向传播,故其波矢必然就是媒质中的波矢.

如文中所述,将(2)代入(1)即可得到(3).

对(1)中等式左边的第一项,一共可以写出4项贡献. 延横向方向的两阶空间偏导为一项. 沿着$$z$$方程的两阶偏导给出三项. 其中对$$\mathbf{F}$$的两阶偏导由近似近似而被忽略.其余两项分别是对$$\mathbf{F}$$和指数函数各做一次偏导,含系数$$2$$,以及对指数函数的两阶偏导. 最后一项与方程左边第三项正好抵消,因为$$k=k_0 n$$.

但是不清楚方程(1)左边第二项如何化简为(3)等式右边的$$\frac{k^2}{n_1}\delta n \mathbf{F}$$.

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