Research Paper Notes on Review of Cosmology and Cosmic Inflation

Research Paper Notes on Review of Cosmology and Cosmic Inflation

本文档除了包括推导, 疑惑 外,做 读书重点 的记录 $$$$

文献列表

 * The Cosmological Constant, arXiv:astro-ph/0004075, by Sean M. Carroll


 * Survey of Dark Energy and Quintessence by Matt DePies
 * Slow roll inflation by Pascal Vaudrevange
 * Inflation by Bin Wang


 * An Introduction to cosmological inflation, arXiv:astro-ph/9901124, by Andrew R. Liddle
 * Expanding Confusion:common misconceptions of cosmological horizons and the superluminal expansion of the universe, arXiv:astro-ph/0310808, by Tamara M. Davis and Charles H. Lineweaver
 * Cosmology Part III Mathematical Tripos by Daniel Baumann
 * TASI Lectures on Inflation, arXiv:0907.5424, by Daniel Baumann
 * TASI Lectures on Primordial Cosmology, arXiv:1807.03098, by Daniel Baumann

The Cosmological Constant, arXiv:astro-ph/0004075, by Sean M. Carroll
(16)

这里讨论了精确性问题,为什么宇宙学常数与量子场论的真空零点能相差100多个数量级.

Survey of Dark Energy and Quintessence by Matt DePies
这篇简单的简介或者其shoutwiki版本虽然是用word写的公式,而且推导的说明有的地方不是特别清楚,但是是对基础暴涨模型的一个很好的说明.第一遍值得把其中的每个式子都推一遍.

Slow roll inflation by Pascal Vaudrevange
这篇简单的简介或者其shoutwiki版本是是对基础暴涨模型的一个很好的说明.第一遍值得把其中的每个式子都推一遍.

(8)

如文中所述,(7-9)中只有两个方程是独立的.实际上,不难通过(7-8)得到(9),即对(7)求时间导数,代入方程(8)即得.物理内容上,这和Schutz一书(12.55)附近的讨论一致,虽然在书中没有标量,暴涨是通过宇宙常数实现的.

(20)

等式的第二步只需要注意到对(8),即$$\dot{H}=-\frac12 \dot{\phi}^2$$求时间导数,再除以这个表达式本身即得.

(23-24)

这两个等式在展开到势场的一阶导数的平方或者两阶导数时成立.证明过程主要就是代数运算.这里具体给出如下.

对(23),由(17),$$\dot{\phi}=-\frac{1}{3H}\partial_\phi V$$,代入(8),$$\dot{H}=-\frac12\dot{\phi}^2=-\frac{(\partial_\phi V)^2}{18H^2}$$.

按(14)中$$\epsilon_H$$的定义,把上述结果取负号除以$$H^2$$,并利用(18),$$H^2=\frac13 V$$,即得$$\epsilon_H=-\frac{\dot{H}}{H^2}=\frac12\frac{(\partial_\phi V)^2}{V^2}=\epsilon_V$$.

对(24),在计算$$\eta_H$$时要注意保留小量的阶数.

因为$$\eta_H=-\frac{\ddot{\phi}}{H\dot{\phi}}$$,由(9),考虑负号后,分母就是$$-H\dot{\phi}=\frac13 \partial_\phi V$$,这个表达式的偏差为$$\ddot{\phi}$$,但是分母中差的这个小量相对分子为更高阶,所以只需要计算分子即可.

对(17),$$\dot{\phi}=-\frac{1}{3H}\partial_\phi V$$求导,分子为


 * $$\ddot{\phi}=\frac{\dot{H}\partial_\phi V}{3H^2}-\frac{\dot{\phi}}{3H}\partial_\phi^2 V=\frac{-\dot{\phi}^2\partial_\phi V}{6H^2}-\frac{\dot{\phi}}{3H}\partial_\phi^2 V=\frac{-(\partial_\phi V)^3}{6\times 9H^4}+\frac{\partial_\phi V}{3\times 3H^2}\partial_\phi^2 V=\frac{-(\partial_\phi V)^3}{6V^2}+\frac{\partial_\phi V}{3V}\partial_\phi^2 V$$

其中第三步等号用到(17),最后一步等号用到(18).

所以$$\eta_H=-\frac{\ddot{\phi}}{H\dot{\phi}}=\frac{-(\partial_\phi V)^2}{2V^2}+\frac{\partial_\phi^2 V}{V}=-\epsilon_V+\eta_V$$,这就是(24).

(25)

这个式子直接证明即可,我们有$$\frac{d\epsilon}{dN}=-\frac{\dot{\epsilon}}{H}=\frac{1}{H}\left(\frac{\ddot{H}}{H^2}-\frac{2\dot{H}^2}{H^3}\right)=2\epsilon(\eta-\epsilon)$$.

其中我们考虑了$$\epsilon_H$$和$$\eta_H$$的定义.

(30)

这个方程是"带阻尼的谐振子"方程,注意到最后一项应该是$$m\phi$$

(34)

这是一个吸引子解,吸引子的中心是$$\phi=0,\dot{\phi}=0$$.因为它的确是方程(30)的解,而如果有平移$$\phi>0$$,力的方向总是等于指向中心的"弹簧力"以及和速度反向的"阻尼力".如果速度很大,那么阻尼力可能超过前者,而使得合力并不指向中心$$\phi=0$$.但是这仅仅在速度指向中心时才发生,且此时后者会很快的使得速度变小,而在速度降为零后,阻尼就不再存在了,所以阻尼永远不会使得向着中心运动的振子反向运动.另一方面,"弹簧力"总是可以变得足够大,使得振子的运动范围受到限制.另外,容易发现,谐振子不可能在除了原点以外的任何一点静止.因为这不可能是(30)的解.最后,我们指出因为机械能的损耗,体系的总机械能只能越来越小.综上,我们知道$$\phi=0,\dot{\phi}=0$$必然是方程的(30)的唯一吸引子解.

注意到,因为(32)中的根号,所以(33)中的指数上其实根据具体情况不同也可以差一个负号.(34)也仅仅是在条件$$\dot{\phi}\gg \phi$$速度很大时的渐进解.

考虑一个$$ \phi>0, \dot{\phi}<0 $$的初态,体系处于Fig.1(b)的右下角,第四象限.注意到$$\dot{\phi}_1<0 $$,随着$$\phi$$不断减小,速度保持为负,速度的模也逐渐变小,当$$\phi$$经过原点时,由(34)速度仍然是负的,而且可能在数值上很大.一直到振子在$$\phi<0$$的区域被"弹簧力"拉住,速度降为零.这时解已经不能由(34)来描述.实际上,解的主要特征可以由上面对阻尼谐振子的讨论得知.

(35)

从高阻尼慢滚到简谐振动.这在王老师给的pdf讲义中也有更具体的讨论.

如文中所述,首先注意到(9)是一个含阻尼的谐振子方程.但是其中的阻尼不是常数,而是由另一个方程(7)决定.渐进平直的情况,我们考虑$$k=0$$,这时我们发现,阻尼的大小由体系的"机械能决定",这是因为做替换$$\phi\to m\phi,\dot{\phi}\to m\dot{\phi},\ddot{\phi}\to m\ddot{\phi}$$,容易发现,$$H$$就是体系机械能的三分之一.

实际上,我们知道对于带阻尼的谐振子,体系在不断耗散下损失机械能,最后机械能为零,停滞于原点.这说明阻尼随着时间变小并趋于零.

另一方面,由(不独立的)(8)看到,阻尼的确随着时间是变小的,而且速度越大,阻尼变小得越快.所以在慢滚的开始阶段,阻尼很大且变化不明显.而在最后阶段体系对应于阻尼很小的谐振子.

(45)

重复推导不难发现,$$H_0$$在这里无非是$$p$$的一个乘积因子,他其实并不在(38)的解(39)中.

(48)

注意到在慢滚近似下,有(18),进而$$\lambda\phi^n=3H^2=V$$.这里的物理意义是,efold数$$N$$,可以用来衡量时间,其实场也和它的平方成正比,暴涨的是宇宙的大小$$a$$.

(56)

这就是为什么在慢滚近似下,我们一般可以做出宇宙尺度的暴涨是指数暴涨的结论的一般性论证.

当然一个更简单的证明是按Schutz一书,从宇宙学常数的角度给出讨论.

Inflation by Bin Wang
在王斌老师的这个讲义中,从微扰波长和视界尺度比较的角度讨论了微扰在暴涨背景下的时间演化.结论是短波长微扰被以指数形式放大,而长波长微扰被压制.

An Introduction to cosmological inflation, arXiv:astro-ph/9901124, by Andrew R. Liddle
本文逻辑独立性不强,故不适合作为第一遍学习使用的材料.

(6)

针对这个公式,文中给出了引起能量密度变化的两个原因,第一个来自于体系增加,与密度有关,第二个来自碰撞时压强做功,与压强有关.我们注意到,理想气体对真空膨胀是不做功的,虽然压强也不为零.这里的区别是,如果我们不从热力学的角度而从力学的角度来看待这个问题,那么这里对应的是一个把气球吹开的过程,体系的各部分之间由于"内应力"而做功,改变了势能,但体系的确没有对外做功.

(10)

这里文中提及另一个用宇宙学常数来研究暴涨的重要特征,对应的暗能量的能量密度不随时间改变.

(13)

这里提出两个重要的尺度常数.

哈勃时间,是对宇宙年龄的粗略估计.假设哈勃常数和宇宙膨胀率都是常数得到,具体见这个stackexchange问题.

曲率标度,是对时空曲率的粗略估计.按FWR度规,其Ricci标量为$$ R = 6  \left(\frac{\ddot{a}(t)}{c^2 a(t)}  +  \frac{\dot{a}^2(t)}{c^2 a^2(t)} + \frac{k}{a^2(t)}\right)$$.略去时间变化部分,那么这里定义的$$a|k|^{-\frac12}\sim R^{-\frac12}$$.

(16)

这里有两个概念,粒子视界和宇宙事件视界.前者的定义是过去发出的光在今天到达我们的最远距离,后者的定义是今天发出的光在未来能够到达我们的最远距离.由于宇宙是膨胀的,这两个物理量是完全不同的.物理概念的讨论,参见这个stackexchange问题的讨论.

这两个视界的表达式可以参见这个维基网页.

具体的计算其实很简单.对于粒子视界,我们需要计算的是从过去某一坐标时刻到现在一个光子运动对应的随动坐标距离,因为光子对应$$ds^2=0$$,所以在平直空间的情况下,对应的坐标距离为$$\eta_p(t)=\int_0^t \frac{dt'}{a(t')}$$.积分从零开始,对应宇宙从$$0$$时刻开始演化.这个积分结果是有限的,对应视界有限大.这个坐标距离对应的固有距离,即与两个坐标点在相同坐标时间的$$ds^2$$有关,我们得到$$d_p(t)=a(t)\int_0^t \frac{dt'}{a(t')}$$.注意到得到粒子视界是坐标时间的函数.

对于宇宙事件视界,我们考虑一个现在与原点发出的光子到无穷远时刻可以达到的坐标距离,即$$\eta_e(t)=\int_t^\infty \frac{dt'}{a(t')}$$.注意积分从现在开始到无穷大,这个积分结果仍然可以是有限的,对应视界有限大.这个坐标距离读音的固有距离为$$d_e(t)=a(t)\int_t^\infty \frac{dt'}{a(t')}$$.我们发现在表达式上两个视界的区别仅仅是积分限的不同.

接着,文中指出$$d_H(t_0)=d_p(t_0)$$和微博背景辐射的距离接近,其中$$t_0$$按习惯为现在时刻.这是因为微博背景辐射对应的光子退耦合时刻$$t_{\mathrm{dec}}$$与宇宙初始时刻$$0$$与现在时刻$$t_0$$比较都是极小的.

(17)

这里指数红移作为时间单位,即指对应红移的光子发出的坐标时刻.

作为距离坐标,是指当前坐标时刻与发出红移光子位置的固有距离.因为宇宙碰撞的关系,这里固有距离并非光速乘以时间坐标的差,而是有上述涉及的积分决定.

(18)

不清楚,但考虑辐射为主演化时期,按Schutz一书(12.49),$$\rho\propto a^{-4}$$,而对光子(无质量波色气体)$$\rho\propto T^4$$,即得$$T\propto\frac{1}{a}$$.

(19)

不清楚 是怎么得到的.

本文档除了包括推导, 疑惑 外,做 读书重点 的记录 $$$$

Cosmology Part III Mathematical Tripos by Daniel Baumann
这篇综述性简介文章的链接为原文和本地shoutwiki下载

TASI Lectures on Primordial Cosmology, arXiv:1807.03098, by Daniel Baumann
本文档除了包括推导, 疑惑 外,做 读书重点 的记录 $$$$