Part III: Non-Abelian Gauge Theories

Lecture Notes of An Introduction to Quantum Field Theory by Michael E. Peskin and Daniel V. Schroeder

本文档除了包括推导, 疑惑 外,做 读书重点 的记录

Part III: Non-Abelian Gauge Theories

Ch.14 Invitation: The Parton Model of Hadron Structure
P.477 (14.4)

注意这里$$q$$被定义成四动量的转移.作为一个运动学变量,$$q^2$$的类时或者类空属性是QCD的很多近似计算和对物理过程的估算中是很重要的概念.

我们简单的 讨论 一下它的属性.

首先考虑经典图像,一个质量很小的粒子撞击一个质量很大的粒子的情况,大质量粒子保持其运动状态,而小质量粒子的动量的空间分量发生很大的改变.这里小质量的就是电子,质量很大的粒子就是质子的部分子,即便很小一部分$$x$$很小,因为电子和质子的质量相差悬殊,按实验上测量涉及的$$x$$取值,上述近似仍然成立.我们容易看到,在这个图像下,$$q$$显然是类空的,$$Q^2=-q^2$$为很大的正数.

接着,我们完全有理由质疑上述经典图象在极端相对论和量子力学的上下文中是否仍然成立.这时,我们可以从实验的角度出发来理解这个问题.即如果我们理论上感兴趣的运动学参数是$$q$$类空的情况,那么我们可以通过选择被探测到的末态电子的出射动量来选取对应的感兴趣的物理过程.比如QCD的围绕计算是当动量转换很大的时候才能得到令人满意的近似结果,这样我们就通过选择末态电子散射角度很大且很硬的过程,即横向动量转换很大的碰撞事件,即$$Q^2$$很大,来研究对应的的物理过程,从而获得有意义的理论与实验比较的前提.

P.478 (14.8)

将$$\hat{t},\hat{s}$$表达式,$$x$$的定义(14.7)代入(14.3),考虑到(14.3)右边有概率因子$$\sum_i f_i(\xi)d\xi=\sum_i f_i(x)dx$$和$$d\hat{t}=-dQ^2$$即得.

P.479 (14.10)

在碰撞前质子的随动系中$$P^0=m,\vec{P}=0$$,所以$$q^0=\frac{P\cdot q}{P^0}$$.

Ch.15 Non-Abelian Gauge Invariance
P.483 (15.7)

按书上讨论,将(15.5)代入(15.3),一阶小量有两项.一项来自和$$A_\mu$$成正比的部分,另一项来自指数上面$$\alpha(x)$$中自变量$$x$$的微小变化.

P.484 (15.9)

注意到$$x+\frac{\epsilon}{2}n=(x+\epsilon n)-\frac{\epsilon}{2}n$$,换言之$$x+\frac{\epsilon}{2}n=\frac{x+(x+\epsilon n)}{2}$$即得.

P.484 (15.10)

这里定义的$$\mathbf U(x)$$局域不变是指按(15.3),$$\mathbf U(x)\rightarrow e^{i\alpha(x)} \mathbf U(x)e^{-i\alpha(x)}=\mathbf U(x)$$.

P.484 (15.11)

这里$$A_i=\hat{i}\cdot A$$.

P.485 (15.15)

等式第一行右边的第二项,注意到对易子使得偏导$$\partial_\mu$$不会作用到$$A_\nu$$之后的部分.

P.486 (15.20)

在下面,书中指出这里的SU(2)群并非转动群SO(3),实际上从SU(2)群到转动群SO(3)的映射为2到1.比如参见Wu-Ki Tung物理中的群论P.127(8.1-14)附近的讨论.

P.487 (15.22)

这个定义隐含了条件$$V(x)V^\dagger (x)=V^\dagger (x)V(x)=1$$.

这个关系可以用泡利矩阵的性质直接证明.具体的,我们先证明一个有用的关系$$e^{i\alpha^i\frac{\sigma^i}{2}}=\cos(\alpha^i\frac{\sigma^i}{2})+i \sin(\alpha^i\frac{\sigma^i}{2})=\cos(\frac{|\alpha^i|}{2})+i \sigma^i\hat{\alpha}^i \sin(\frac{|\alpha^i|}{2})$$.这个关系的证明主要用到Taylor展开和泡利矩阵的对易关系等属性,包括$${\sigma^i}^\dagger=\sigma^i$$,$$(\sigma^i)^2=1$$和$$\sigma^i\sigma^j=i\varepsilon^{ijk}\sigma^k$$.这样我们有,比如$$\varepsilon^{ijk}\alpha^i\alpha^j\sigma^k=(\alpha\times\alpha)\cdot\sigma=0$$.

其实很多重要的关于泡利矩阵的属性可以参考维基页或者研究生核物理课程备课笔记(纸质).

P.487 (15.26)

最后一步等式其实并不是很平庸的.有一个很简洁的证明方式,就是直接对$$V(x)V^\dagger (x)=1$$求导,$$\frac{\partial}{\partial x^\mu}(V(x)V^\dagger (x))=0$$即得.

而如果具体对$$V(x)$$求导,操作性非常差,因为其实$$\frac{\partial}{\partial x^\mu}V(x)\ne i\partial_\mu\alpha^i\frac{\sigma^i}{2}V(x)$$.这是因为把指数展开后,幂次$$(\alpha^i\frac{\sigma^i}{2})^n$$的导数其实是$$n$$互不相同的项的和.这是因为泡利矩阵非平庸的对易关系,$$(\sigma\cdot\alpha)(\sigma\cdot\beta)=\alpha\cdot \beta+i\sigma\cdot(\alpha\times\beta)$$并不是对易的.这在书中(15.28)附近488也指出了.

P.488 (15.30)

书中指出,对于有限变换,同样不难给出证明.在推导中特别注意到偏导$$\partial_\mu$$的作用范围,我们有

$$D_\mu\psi=(\partial_\mu-igA^i_\mu\frac{\sigma^i}{2})\psi\rightarrow (\partial_\mu Vig(A^i_\mu\frac{\sigma^i}{2}+\frac{i}{g}\partial_\mu)V^\dagger)V\psi=\partial V\psi-V(ig(A^i_\mu\frac{\sigma^i}{2}+\frac{i}{g}\partial_\mu))\psi=V\partial_\mu\psi+(\partial_\mu V)\psi-VigA^i_\mu\frac{\sigma^i}{2}\psi+V(\partial_\mu V^\dagger)V\psi=V\partial_\mu\psi+(\partial_\mu V)\psi-VigA^i_\mu\frac{\sigma^i}{2}\psi-VV^\dagger(\partial_\mu V)\psi=V\partial_\mu\psi-VigA^i_\mu\frac{\sigma^i}{2}\psi=VD_\mu\psi$$.证毕.我们强调在证明过程中其实没有涉及到SU(2)群的李代数性质.

P.489 (15.34)

这是(15.44)的李群一般关系的一个特例.后面推导有作为例子用到.

P.489 (15.38)

证明这个等式,可利用$$\mathrm{tr} (\sigma^i)^2=\mathrm{tr} I=2$$,其中没有对$$i$$求和.而(15.38)的右边是对$$i$$求和的.

证明其在(15.37)规范变换下不变,考虑相对$$\alpha^i$$的一阶小量,利用泡利矩阵的各种对易和求迹关系,$$\sigma_a \sigma_b = \delta_{a b}I + i\varepsilon_{a b c}\,\sigma_c$$,$$\mathrm{tr}\sigma^i=0$$,所以唯一不为零的项必然具有系数$$F^i_{\mu\nu}\alpha^jF^k_{\mu\nu}\varepsilon_{i j k}$$.而后者由于对指标$$(i,k)$$既为对称又为反对称故为零.

P.489 (15.40)

由欧拉拉格朗日方程直接易得.其中之前拉格朗日中的$$\frac12$$系数,因为$$F^i_{\mu\nu}$$平方项,以及表达式(15.35)中第一第二项结果的合并和第三项中$$A^j_\mu A^k_\nu$$因子而被消去.

P.491 (15.46-50)

这里不是很清楚 .书中指出,按上面两式,任何满足整体相位变换下不变的,$$\psi,F_{\mu\nu}^a$$及其导数的函数其实都在局域规范变换下也不变.所以上述的讨论可以用来引导构造满足局域规范变换下不变的作用量.

P.492 (15.53)

可以直接验证此式按(15.3)变换.因为$$A_\mu\rightarrow A_\mu-\frac1e\partial_\mu\alpha$$,所以$$\int_P=\int_y^z(A_\mu-\frac 1e \partial_\mu\alpha)dx^\mu=\int_y^z A_\mu dx^\mu-\frac 1e(\alpha(z)-\alpha(y))$$.

P.492 (15.54)

这个表达式满足局域$$(y,y)$$规范不变,但是由于积分和路径有关,这个圈积分并不为零.

P.492 (15.55)

这是阿贝尔规范场的情况,所以$$F_{\mu\nu}$$的定义是(15.13)而非(15.35).利用斯托克斯定理,以及$$(\nabla\times A)^i=\epsilon^{ijk}\partial_jA_k$$和$$(d\sigma)^i=\epsilon^{ijk}dx_jdx_k$$即可由(15.54)得到(15.55).

P.493 (15.58)

这可按(14.45)的定义,由(15.57)直接得到(15.58).

P.493 (15.60)

这里是说,将规范变换后的矢量场代入(15.58)左边,利用(15.59-60)即得$$\frac{dx^\mu}{ds}D_\mu(A^V)U_P(z,y,A^V)=V(z)\frac{dx^\mu}{ds}D_\mu(A)U_P(z,y,A)V^\dagger(y)=0$$.即满足相同的方程.

这对应了解通过规范变换也存在联系,即$$U_P(A^V)$$与$$U_P(A)$$之间的关系正是(15.59).

P.494 (15.62)

这个结果似乎不复杂,其推导似乎并不特别显然,现具体讨论如下.

阿贝尔规范的情况下,一阶贡献为零,而二阶贡献来自对$$A_\mu$$的一阶展开.与此相比,非阿贝尔规范得到一个额外的二阶项贡献.来自指数上面的两阶展开.这个贡献不仅仅来源于指数上面两阶展开涉及到不可对易的矩阵的乘积,而且来自于$$P$$序(之后再取所有坐标点都相同的极限).要具体验证(15.62),不妨把所有的两阶项都写下来,$$\frac12 P\left(-A_2^a(x+\frac{\epsilon}{2}\hat{2})t^a-A_1^a(x+\frac{\epsilon}{2}\hat{1}+\epsilon\hat{2})t^a+A_2^a(x+\epsilon\hat{1}+\frac{\epsilon}{2}\hat{2})t^a+A_1^a(x+\frac{\epsilon}{2}\hat{1})t^a\right)^2$$一共是16项,对应$$(A_1-A_1)^2$$和$$(A_2-A_2)^2$$的有8项总贡献为零,剩余8项.由于$$P$$序,这些项两两相同,正好抵消因子$$\frac12$$,剩下4项,两两组合并考虑$$P$$序后分别是$$A_2^a(x+\frac{\epsilon}{2}\hat{2})t^a A_1^b(x+\frac{\epsilon}{2}\hat{1}+\epsilon\hat{2})t^b-A_1^b(x+\frac{\epsilon}{2}\hat{1}+\epsilon\hat{2})t^b A_2^c(x+\epsilon\hat{1}+\frac{\epsilon}{2}\hat{2})t^c$$以及$$A_2^a(x+\epsilon\hat{1}+\frac{\epsilon}{2}\hat{2})t^a A_1^b(x+\frac{\epsilon}{2}\hat{1})t^b-A_2^c(x+\frac{\epsilon}{2}\hat{2})t^c A_1^b(x+\frac{\epsilon}{2}\hat{1})t^b$$.不难看到,第一项等于$$A_2^a A_1^b (i f^{abc}t^c)$$,而第二项为零.即得所需结果.

P.495 (15.67)

这里,大写$$T^a$$对应的是算符,即群元本身;而小写$$t^a$$代表的是群的基础表示矩阵.

P.495 (15.69)

Jacobi等式,这可由对易的定义直接得到.来源于对易的反对称性.

P.496 (15.71)

因为$$T^\alpha$$总是和自身反对易,所以它必然和$$(T^\alpha)^n$$反对易$$[T^\alpha,(T^\alpha)^n]=0$$,换言之,$$T^\alpha$$是一个阿贝尔群的生成元,阿贝尔群只有一维可约表示,所以必然可以写成$$e^{i\alpha}$$的形式.这个阿贝尔群是独立的,因为$$T^\alpha$$和任何其他生成元反对易,所以$$[(T^\alpha)^n,T^\alpha]=[(T^\alpha)^n,T^\beta]=0$$,按约当引理,这个一维表示和其他任何生成元的表示矩阵为对角化关系.对应一个U(1)子群.

P.497 (15.74)

幺阵变换群存在一个独立的U(1)子群,所以按前面的讨论,我们要除掉这个对应阿贝尔群一维表示的U(1)子群,这对应于设定群表示矩阵$$\mathrm{det}(U)=1$$.利用生成元展开的表达式,$$U=e^{i\alpha t^\alpha}$$,这等价于$$\mathrm{tr}[t^\alpha]=0$$.

P.497 (15.75)

这里提到正交矩阵和辛矩阵都是幺阵的子群. 一个可能的证明 是从李代数出发,似乎可以证明它们的生成元是幺阵群SU(N)生成元的子集.因为SU(N)的生成元的数目等于所有独立的无迹的$$N^2-1$$个矩阵的数目,所以它必然大于后两者的生成元数目.具体数目见(15.85).这样,SU(N)的李代数必然包含后两者的李代数.从而后者为前者的子群.

P.498 (15.77)

这里的矩阵$$t_r^a$$为厄米矩阵,这是因为幺阵的生成元为厄米矩阵.

翻了半天谷歌也没找到证明, 不知道 为何(15.77)的定义的矩阵是正定的.但如果是这样,则把矩阵对角化所有对角元比为正定的数.但是 也不清楚 如何通过基的选择,把这些数都归一为(15.78)右边的形式.另外 也不知道 为何(15.78)右边如果对一个不可约表示正确,则对所有不可约表示都满足.

P.498 (15.81)

因为复共轭矩阵的乘法保持了原来群元乘法的相互变换关系.所以按定义对应群的表示,共轭表示.

P.498 (15.82)

这里 不清楚 如果证明书中给出的结论.文中$$\eta,\xi$$对应某表示的基,具体见后面的例子.

P.500 (15.89)上一式

利用(15.69)以及$$\epsilon^{\mu\nu\lambda\sigma}=\epsilon^{\mu\lambda\sigma\nu}$$,这个表达式为零.

P.500 (15.89)

利用(15.45-49)以及(15.86)代入(15.89)上一式即得.

P.500 (15.93)

按伴随表示的定义,由(15.92)我们有$$T^2\to (t^c_G)_{ad}(t^c_G)_{db}=i^2f^{acd}f^{dcb}=C_2(G)\delta^{bd}$$,而等式左边可以利用群结构系数的性质写成$$f^{bcd}=-f^{dcb}$$,这样就得到了(15.93).

P.501 (15.96)

这里的讨论是从SU(2)推广到SU(N).对于SU(2)的情况,对应的基础表示是2维的,即生成元是2x2矩阵.按书中的说明,把这三个生成元用到SU(N)的情况,但是因为基础表示是N维的,这里相当于三个N维矩阵的1-2行和列由SU(2)的基础表示生成元的矩阵形式决定,矩阵的其余部分都为零,这样保证了这三个生成元之间的李代数不变,的确是SU(2)的生成元.完整的SU(N)基础表示为N维,还必须包含其他矩阵,但是因为(15.78),$$C(N)=\frac12$$.

P.502 (15.102)

右边,因为所有两阶张量的完全对称张量总是对应一个一维的不可约表示,而剩余表示的维度(剩余生成元的数目)正是$$N^2-1$$,和基础表示的维度一致.书中指数,剩余的$$N^2-1$$个生成元构成的正是伴随表示.

P.502 (15.103)

右边第一项为$$0=0*1$$.一维的常数表示"1"的$$C_2(1)=0$$.这是因为如果考虑两个一维表示的直积表示还是一维的,它其实就等于一维表示本身.这样按(15.100-101)的右边,有$$2C_2(1)\times 1\times 1=C_2(1)\times1$$,即得$$C_2(1)=0$$.

Ch.16 Quantization of Non-Abelian Gauge Theories
P.506 (16.4-5)

这里除了这几章都在讨论的规范对称性,还是洛伦兹对称性.

这里涉及到QCD相互作用形式,规范变换,以及对 夸克的颜色 的讨论.对夸克场和规范场,规范变换分别牵涉到指标$$i,a$$,即颜色指标.夸克场满足SU(3)的基础表示(参见P.547).一方面,$$i$$的数目为某不可约标示的维度,也就是该不可约表示的基的数目,即颜色的数目(=3),具体对应(15.46)第一式,和基础表示的具体形式(P.499).而另一方面,$$a$$的数目为伴随表示的维度,也就是伴随表示基的数目,即规范场的数目.对阿贝尔规范场,不存在这个指标.而对非阿贝尔规范场而言,按(15.87),形式上$$A^a_\mu$$中的$$a$$指标并不在规范变换下变化,实际上按(15.46)的第二式,规范场各颜色分量$$a$$完全由伴随表示(李代数结构系数)进行重新线性组合.我们可以理解规范场的变化形式是由作用量的规范不变性决定的,其具体变化形式就是伴随表示.

另外与洛伦兹变换对应的指标$$\alpha,\mu$$,即自旋指标,都是QED中就具有的场自由度,显然因为QED就必要有洛伦兹协变.其中$$\alpha$$对应的是自旋为$$\frac12$$的洛伦兹旋量指标,而$$\mu$$为自旋为$$1$$的洛伦兹矢量指标.

除了这两个指标以外,规范场还可以有味道指标$$f$$.但是QCD相互作用与味道无关.所以结果对味道仅仅是简单求和的形式,比如参见(17.4).

P.508 (16.10)

这是之前的Ward等式情况的推广.这里同样把一根规范场(对应QED中的光子)外线$$\epsilon^\mu(k)$$替换成$$k^\mu$$.区别是,不仅是电子外线需要在质壳上,规范场外线也必须在质壳上.物理上的理由是,对非阿贝尔规范场的情况,规范场是携带守恒(QED中的电)荷的.数学上,Ward恒等式的形式是(7.68)或者(9.105),当使用路径积分来推导时,等式右边的项为成为接触项(contact term),这是因为这个推导来自(9.97),又来自之前对(9.85)右边的$$\delta$$函数的讨论.在非阿贝尔规范场的情况,会出现一些额外的与规范场相应的接触项,为了使得等式左边为零即流守恒方程成立,这些新的接触项也必须为零,故这些规范场也必须在质壳上.

对上述问题的一些讨论可以参考这个stackexchange问题.

P.509 (16.16)

利用$$k_3=-k_1-k_2$$,利用简单的代数运算即可证明等式.其实,由(16.16)第二行中的第一项和第二项可得第三行中的第三项和最后一项.而由(16.16)第二行中第三项可得第三行中的第一项和第二项.

P.510 (16.17)

由$$k_1^2=0$$得(16.16)倒数第二项为零.其横向极化的性质得最后一项为零,注意$$\epsilon_\mu(k_1)$$因子由费曼图规则会乘在等式外面.最后$$k_3^\rho k_3^\mu$$项与费米子流乘积为零,来源于原版的Ward恒等式的结果.剩下的第一项即得(16.17).

P.511 (16.21)

这里是考虑两个规范场粒子并不是全为横向极化的情况.在所有的可能性中,当它们为一个向前极化一个向后极化的情况下,之前(16.16)中讨论的散射振幅中原来为零的一项不为零.注意到分母上的因子是因为$$\epsilon_\nu^{+*}(k_2)=\frac{k_2}{\sqrt{2}|k_2|}$$.

P.513 (16.25)

这里说作用在伴随表示中的场是因为$$D$$中的$$f^{abc}$$是伴随表示而与$$A^a_\mu$$中的指标$$a$$相匹配.

这里指出对线性理论$$\delta G(A^\alpha)/\delta\alpha$$与$$\alpha$$无关参见下面(16.30)的具体讨论.

这里指出无非是做了平移和转动.平移是指(16.25)右边最后一项中和$$A_{\mu}^\alpha$$无关的部分,这部分是空间的函数,但是对场(涉及的其实是场的泛函积分)来说,的确是平移.而转动是幺阵的,因为涉及到转动的部分是规范群的幺阵表示.

P.513 (16.29)

注意比较之前(9.58)的推导.在下面(16.30)中涉及的讨论,即行列式$$\mathrm{det}\left(\frac{\delta G(A^\alpha)}{\delta\alpha}\right)$$与$$A$$有关的事实,不会影响到规范场传播子形式的推导.这是因为,这项在微扰展开中对应相互作用部分,而传播子的推导仅涉及到拉格朗日的自由场部分.

P.513 (16.30)

这里其实涉及到一些比较抽象的符号运算.关键点是注意到(16.30)其实最后要求行列式,而行列式对应的矩阵元必然是在基态上计算的.这样就可以利用部分积分把偏导符号转嫁到基态上,完成对$$\alpha$$的变分,再把偏导放回来.这样就得到了(16.30)的结果.其实这里从结果的形式上和推导过程上都和之前阿贝尔场(9.55)处的讨论很接近.

P.514 (16.31)

这是非阿贝尔规范场情况特有的贡献,对应额外鬼场的贡献,书中指出这个鬼场贡献正好抵消非阿贝尔情况下不为零的纵向规范场贡献.另外注意到这个贡献是虚数(相对于横向极化规范粒子的贡献而言),所以在后面的讨论中和光学定律有关.

P.515 Fig.16.5

注意到,动量的方向其实由散射振幅傅里叶变化的定义决定.而这里鬼场的流的箭头的方向是按电子旋量的箭头方向的惯例定义的.

P.515 (16.36)

通过本书之前的具体计算容易知道,球壳上$$\delta$$函数对四动量积分其实等于三动量的积分.这就是(16.37)的结果对两个规范场粒子的三动量空间的积分.

P.516 (16.38)

可以直接验证,这个表达式也为零.

P.516 Fig.16.6

本书在这个部分用费曼图最低阶的具体例子说明鬼场和纵向极化的规范场的贡献正好相互抵消.具体思路大致如下.

注意到虽然之前的讨论用于光学定律和与之相关的向前散射的结果.用于计算散射振幅的虚部的贡献的Cutkosky规则(7.56)其实适用于任何散射矩阵.考虑所有切开费曼图的可能性,把传播子替换为$$\delta$$函数并对四动量积分,最后把所有的贡献加起来.这些贡献都是虚的(相对于不涉及传播子奇点贡献的情况).

而另一方面,按之前的结论,Fig.16.2的第三个图的贡献,(16.16)不为零,(16.38)为零,(16.21)不为零,所以除了横向极化的物理上存在的规范场的贡献(为实数)外,只有纵向极化规范场粒子的贡献不为零,且为虚数.所以我们来计算向前散射的散射振幅的虚部,鬼场和纵向极化规范场的贡献,验证两者正好互相抵消.两者都是利用Cutkosky规则来计算.后者的一部分计算之前已经完成了.

P.516 (16.39)

对应图Fig.16.6,左上左下右上右下的四根规范场内线分别对应指标$$\rho,\mu,\sigma,\nu$$.

P.518 (16.45)

注意公式下面的讨论中涉及的"第三项"是指(16.44).

P.518 (16.46)

这里等式左边的变分是关于场的变分,所以与坐标和坐标的导数无关.

P.518 (16.47)

不是很清楚为什么这里讨论的时候说BRST变换反映的整体对称性.

P.519 (16.53)

如书中指出,这里的讨论重要的阐述结果,其论证似乎并不是完全严谨的.比如为什么$$Q$$是把规范场的向前极化转换为鬼场.

P.520 (16.56)

这段的阐述是很重要的非阿贝尔规范场的幺阵性非微扰结论.这是之前阿贝尔规范场理论的非平庸的推广.这里阐述的物理思想是$$S$$矩阵幺阵性的重要物理内容.即只考虑规范场物理态的基不是完备的,但是理论在此自子空间中的$$S$$矩阵仍然是幺阵的.

P.524 $$P^\mu P^\nu\rightarrow g^{\mu\nu}P^2/d$$

这在之前(7.87)处有过讨论和证明.因为结果的非对角项都为零,且是一个两阶洛伦兹张量,被积函数仅仅是$$P^2$$函数.

P.525 (16.65)

这里有提到$$d=2$$处的奇点.如果我们仅仅考虑$$d=4$$的重整化那么似乎这个奇点是无关的.但是其实上这里的讨论主要针对的这个发散其实对应两个不同发散形式的重整化常数,平方发散的质量重整和对数发散的外线重整.这个问题并不清楚,但是相关的讨论可以参见关于(12.32-34)的笔记.

P.526 (16.69)

上面一行,利用$$\Gamma(z+1)=z\Gamma(z)$$,我们有$$(1-\frac{d}{2})(d-2)\Gamma(1-\frac{d}{2})=(d-2)\Gamma(2-\frac{d}{2})$$.

P.526 (16.70)

这里计算的意义在于,在考虑最低阶圈图修正后,即便发散,传播子仍然应该具有仅含横向极化规范场粒子的形式,满足Ward恒等式,即(16.58)的形式.

P.527 (16.74)

注意到(16.70)的分母,和在动量标度上应用重整条件,即得这个结果.这和之前比如(12.44)的推导是完全一致的.

P.532 (16.88-89)

类似(10.37),要注意到顶角修正和耦合常数修正是两个不同的量.

按本书之前的讨论,可以直接把一阶情况下$$\beta$$函数的表达式(12.53)和(12.58)应用到这里,但是要注意到其中$$\delta_g$$是顶角修正的抵消项,$$\delta_1=Z_1-1$$,都和截肢的顶角重整化有关.(16.88)与QED中的定义(10.38)是完全一致的.而$$\beta$$函数计算的是耦合常数随着标度的变化,书中的讨论得到的结论是不同顶角的耦合常数在重整前后始终不变.

其实参考之前(12.58)的笔记,就很容易证明书中给出的结论.即不同顶点的$$\beta$$函数之间有直接联系,而这些联系与(16.89)完全等价.这是因为,对任何顶点,我们有$$-\frac{\beta(g)}{g} \propto \Delta(\delta_1-\sum_{i=2,3\cdots}\frac12\delta_i)$$(这与书中讨论中的表达式略有不同,但是这是按(12.53)结果的形式写下的).

这样Fig.16.1中的三个顶点,分别对应上面式子右边$$\delta_1-\delta_2-\frac12\delta_3$$,$$\delta_1^{3g}-\frac32\delta_2$$以及$$\delta_1^{4g}-\frac42\delta_2$$.而等式左边对应顶点的耦合常数分别为$$g$$,$$g$$以及$$g^2$$.所以$$\delta_1-\delta_2-\frac12\delta_3=\delta_1^{3g}-\frac32\delta_2=\frac12(\delta_1^{4g}-\frac42\delta_2)$$.这就是(16.89)的前两步等式. 完全类似的,对Fig.16.5,右边为$$\delta_1^c-\delta_2^c-\frac12\delta_3$$,左边对应耦合常数$$g$$.对应(16.89)的最后一步等式.

而其实(16.89)可以直接通过简单的代数运算由(16.88)的定义得到.在数学上,上面两个推导其实是一致,其自洽性的物理本质等同于(12.58)处的讨论.

P.533 (16.90)

这一节书中通过对背景场方法的讨论,再次推到了QCD的$$\beta$$.这个Wilson的重整化群的思想,在书中被多次讨论.在12.1中第一次给出了Wilson理论的思路,接着在13.3通过非线性$$\sigma$$模型再次给出实例,本节是这个思路在QCD中的应用,之后在19.5中讨论QCD异常时再次涉及到背景场方法.

P.535 (16.99)

这里讨论了(16.98)在(16.99)下不变,我们逐条讨论书中的叙述.

注意到,这里的变换把$$\mathcal{A}^a_\mu,\psi,c^a$$都看做是对物质场的变换,而把$$A^a_\mu$$的变换看作是规范场的变换.注意到,在拉格朗日中$$A^a_\mu$$场仅仅出现在$$D_\mu$$导数以及场强度$$F_{\mu\nu}$$的表达式中.

如果考虑整体变换,即$$\beta^a$$不是坐标的函数的情况下,容易验证(16.98)不变.这时$$A^a_\mu$$没有变化,其他三个场都是整体相位变换.现在进一步考虑局域变换的情况.这时场的变换会由于$$\beta^a(x)$$依赖于坐标$$x$$而产生额外的贡献.书中提示,这个贡献正好与$$A^a_\mu$$的变换抵消.实际上,这正是15.2中讨论的,从全局规范变换推广到局域规范变换时规范场必须满足的变化方式.另外注意到这里我们其实仅考虑一阶贡献,因为(16.99)的本质就是仅考虑一阶贡献的表达式.

具体的,我们以$$\mathcal{A}^a_\mu$$为例来说明.首先,我们注意到按(15.83)的定义以及(16.95)第二步等式的定义,我们有$$D_\mu\mathcal{A}^a_\nu=\partial_\mu\mathcal{A}^a_\nu+f^{abc}A^b_\mu\mathcal{A}^c_\nu=\partial_\mu\mathcal{A}^a_\nu-i(t^b)_{ac}A^b_\mu\mathcal{A}^c_\nu$$.

这样,$$\mathcal{A}$$场的变化为$$D_\mu\mathcal{A}^a_\nu\rightarrow D_\mu(\mathcal{A}^a_\nu-f^{abc}\beta^b\mathcal{A}^c_\nu)$$.注意到结构常数$$f^{abc}$$只和生成元有关,与空间坐标无关,其由于非局域变换部分的额外变化为$$-f^{abc}(D_\mu\beta^b)\mathcal{A}^c_\mu=i(t^b)_{ac}(D_\mu\beta^b)\mathcal{A}^c_\nu$$.同时,$$A$$场的变换为$$D_\mu\mathcal{A}^a_\nu= \partial_\mu\mathcal{A}^a_\nu-i(t^b)_{ac}A^b_\mu\mathcal{A}^c_\nu \rightarrow \partial_\mu\mathcal{A}^a_\nu-i(t^b)_{ac}(A^b_\mu+D_\mu\beta^b)\mathcal{A}^c_\nu $$.所以非局域变换部分的额外变化为$$-i(t^b)_{ac}(D_\mu\beta^b)\mathcal{A}^c_\nu$$.两者正好相互抵消.

注意到$$\mathcal{A}^a_\mu,\psi,c^a$$场对应变换的积分雅克比行列式不变,即比如$${\mathcal{D}(\mathcal{A}^a_\nu-f^{abc}\beta^b\mathcal{A}^c_\nu)}={\mathcal{D}(\mathcal{A}^a_\nu)}$$,因为这些变换可以看成是纯转动,类似之前P.295底部的讨论.又考虑到上面得到的(16.98)在(16.99)下不变,当按背景场方法的思路把$$\mathcal{A}^a_\mu,\psi,c^a$$场积分积掉后,剩下的关于背景场$$A$$的拉格朗日在(16.99)中的对应变换下不变.

P.536 (16.104,107)

这里给出按场的洛伦兹群与规范群生成元的d'Alembertian算符的一般形式.

P.537 (16.110)

在这里,本书中再次使用了背景场方法.

和之前涉及背景场方法的情况相同,具体做法是把除了背景场以外的其他场自由度部分都路径积分掉.被路径积分的自由度是量子的,所以如果微扰展开的话就会涉及到各种圈图的贡献.而对背景场是经典的,其本质是因为不涉及到被积分,所以这部分只是以常数的形式出现在其他场的传播子和相互作用顶点中.

P.537 (16.111)

这里的展开从$$F_{\mu\nu}$$平方项开始.这在书中(16.120)下面也给出具体的讨论,书中给出了两个证明.

第一,按之前(16.99)不变性的讨论,因为其他场都由于路径积分从而本质上是亚元.另外书中指出泛函积分的雅克比也不随着(19.99)变化,所以,在背景场按(19.99)变化下(16.111)是不变.这意味着展开到一阶的系数必为零,否则与上述对称性矛盾.注意到$$F^a_{\mu\nu}$$按定义(16.91)包含了一阶项和两阶项,因为一阶项系数必须为零,故它的一阶项也为零.而$$(F^a_{\mu\nu})^2$$不变.因为这是非阿贝尔规范场能构造的最基本的不变量之一,参见(15.38).

第二,从具体计算出发,那么$$F^a_{\mu\nu}$$的一次方都伴随矩阵$$t^a$$,而它的迹是等于零的.

单圈贡献.按之前(9.76)附近的证明,(16.111)左边的计算得到的是单粒子不可约图的贡献和,因为顶角处的因子是经典场,所以所有的可能贡献都是单圈的单粒子不可约图.等式的右边,因为仅仅涉及$$(F^a_{\mu\nu})^2$$,对应在所有的单圈单粒子费曼图中仅仅考虑那些涉及到两个经典场因子的贡献.这些图就是Fig.16.10中的那些情况.注意到这里涉及的顶角就是(16.119)除了在两边还有对应的鬼场,参见(16.108)和(16.109).

P.538 (16.117)

利用(12.88)以及$$\beta$$函数的形式(12.61)即得.其实在后面(17.14)与(17.13)立刻可以得到完全相同的结果.

P.539 (16.121)

为证明(16.121),需要提醒两点注意.首先注意到$$F^{\mu\nu}F_{\mu\nu}$$包含两种形式的矢量内积,它们正对应$$k^2g^{\mu\nu}$$和$$-k^\mu k^\nu$$.其次是两个$$A$$因子的动量正好相反,这和(11.75)等式左边的理由一致,由动量守恒导致,参见之前相关推导.

P.539 (16.122)

这里我们对书中的具体计算给出一些说明.

在Fig.16.10中标记为外线的是经典场,计算中是常数因子.这里我们需要考虑是正比于$$(F^a_{\mu\nu})^2$$的项,即具有两个经典场$$A^\mu$$因子的项.因为(16.119)的三项分别含有1,2,1个经典场因子,故需要考虑各种的构造出两个经典场因子的可能组合.当需要两个因子时,需要在(16.120)的最后一步中考虑二阶项,注意到$$\log(1+x)=0+x+(-1)\frac12 x^2$$,这就是(16.122)中因子$$-\frac12$$的由来.

我们考虑(16.122),它对应着含有两个(16.119)中第一项的顶点的费曼图.图中两根经典规范场线上动量为$$k$$和$$-k$$,方向是向内为正,鬼场$$c^a,\bar{c}^b$$内线分别为$$p,p+k$$(各自对应下方的内线和上方的内线),动量沿着箭头方向.$$(\partial^2)^{-1}$$分别对应第一个顶点之前的鬼场和第二个顶点之后的鬼场的动量,分别为$$p+k$$和$$p$$.(16.119)第一行包括两个贡献之和,其不同之处就是向后作用的$$\partial^\mu$$位置的不同,所以两项可以直接合并,对应的动量正好是相互作用(16.119)第一行之前和之后的鬼场动量的和$$(p+k)+p=2p+k$$.

原则上,其他两个图都可以类似的得到.

P.540 (16.126)

这个结果原则上与(16.122)非常类似,但是 没有 能够具体推导出这个结果.

注意到由(16.103),$$\mathcal{F}^{\alpha\beta}$$是反对称的,所以对于(16.119)的第三项贡献只需要考虑$$F_{\rho\sigma}^b$$的反对称部分.由定义(15.49),等式右边的第一和第二项就是反对称的,所以只需要计算其中的任意一项后乘以2.但由(15.49)以及(15.44)下的讨论,(15.49)第三项同样是完全反对称的.但是却不清楚为何没有对应的贡献.另外对(15.49)第一项,也不清楚为何对应的动量为$$k$$而不是$$p$$.

P.542 (16.139)

这里从物理上分析,反屏蔽效应是如何产生的.用简单但不平庸的非阿贝尔规范场的例子给出说明.

书中指出,费米子的屏蔽效应照旧,只不过当非阿贝尔理论导致的反屏蔽效应(即(16.132)下面提及的磁矩项)不为零时,其贡献总是超过费米子的屏蔽效应.

具体的,这是由于(16.138)中协变导数的新增贡献导致的.书中接着给出一个简单的例子.分(a,b,c)三步走.第一步,涨落产生的$$A^2$$不是在$$2$$方向,否则这样下面的计算没有贡献,而是比较倾向于沿着径向向外.第二步,注意到在矢势涨落位置产生了一个新的非零的电场散度,$$\epsilon^{321}=-1$$,这对应了一个等效负电荷,一个电场线的聚集点.第三步,在$$A^2$$方向上,用新产生的等效负电荷的电场再次代入计算,在远离和靠近最初电荷的位置上分别再次产生负号相反的感应电荷,其电锯为反屏蔽.这里的讨论对书上的解释给出了很好的互补性说明.

Ch.17 Quantum Chromodynamics
P.546 parity of hadron state

宇称.在P.66讨论了费米子和它的反粒子的内秉宇称必然相反,所以他们的离子对的内秉宇称为-1.在乘以空间波函数带来的与轨道角动量的宇称$$(-1)^L$$.

P.547 (17.2)

此处值得 复习 下SU(3)群的与置换群相关的表示理论!

这里讨论的是夸克模型,提出时主要是引入了 夸克的味道 .注意到这是与之前讨论的颜色相互独立的自由度.在最低级近似下,夸克模型仅仅是夸克波函数构成各种SU(3)不可约标示的模型,与相互作用矩阵$$t^a$$无关.具体的,每个味道的夸克都对应SU(3)的基础表示,表示的维度为3,对应矩阵$$t^a$$的维度.在规范变换下变换形式是(15.41-42)或(15.46)第一式.在此意义上有三个夸克.三个夸克构成的重子就对应三个基础表示的直乘,仍然是SU(3)的表示,所以可按不可约标示约化,由群论知道$$3 \times 3 \times 3 = ({\bar 3} + 6) \times 3 = 1 + 8 + 8 + 10$$.所以其中有一个(完全反对称的)单态,两个(混合)八重态,一个(完全对称的)十重态.一些具体的讨论参见这本书.

同时波函数的颜色分量,也是SU(3)的基础表示,构成一个完全反对称的(色)单态.他和味道部分波函数的乘积使得整体满足量子统计对称性的要求.特别注意到,拉格朗日的夸克夸克胶子相互作用部分仅仅与颜色有关,与味道无关.换言之,QCD是味道守恒的,上夸克不会通过与胶子相互作用变化为下夸克,比如反应$$n\to p+\pi^-$$并不改变上下夸克的组分构成.这样如果我们主要关心夸克味道的数目,那么讨论主要涉及运动学方面,而不是与具体相互作用相关的动力学方面.

只涉及夸克味道的夸克模型不涉及胶子,胶子是带有颜色的规范场.它在规范变换下的变换形式是(15.46)第二式.其变换矩阵对应结构常数(15.44),是李群的伴随表示(15.83-84).同样,胶子场分量数目即其颜色数目,他就是伴随表示的维度,它同时就是群生成元的数目,矩阵$$t^a$$的指标$$a$$的数目,按(15.85)的第一行,胶子的颜色数目为8.

P.548 (17.4)

这就是(5.16).但是值得指出的是其中顶角为夸克夸克光子,并不涉及因子$$t^a$$,所以只牵涉到简单的求和和替换.

P.550 (17.6)

注意在Fig.17.2中牵涉到三种不同的顶角.QED电子电子光子,类似的夸克夸克光子以及QCD的夸克夸克胶子.只有夸克夸克胶子顶点涉及到$$t^a$$矩阵.右边前两个图牵涉到一个夸克夸克胶子顶点,而仅仅右边第三个图涉及两个该顶点.但是正如书中指出,因为散射截面的牵涉到散射振幅的平方(4.78),所以前两个图的和给出$$g^2$$量级的贡献,而第三个图对应更高阶的贡献.

不难发现,这里求迹的原因和QED中(5.4)右边求迹的原因是一样的,只是这里考虑的是QCD和QED的区别导致的额外因子.所以具体可追溯到费曼规则(16.7).我们把涉及发射胶子的夸克末态外线的颜色指标记为$$i$$(这里的讨论是关于颜色指标,而关于味道,已经体现在$$\sum_{f}Q_f^2$$,对顶角没有新增的因子),把另外一根外线的颜色指标记为$$j$$,那么这个额外因子是$$\sum_{i,j}(t^a_{ij})^2=tr[t^a t^a]$$而不是$$\sum_{i}(\sum_{j'} t^a_{ij'})^2$$,这是因为光子光子夸克夸克顶点必然是颜色守恒的,含有因子$$\delta_{ij}$$.

P.550 (17.9)

这里书中强调了,和QED的情况类似,软光子发射和顶角修正的红外发散会相互抵消,导致最后结果与软光子质量无关,而只和可观测量(包括探测器灵敏度,电子四动量差和电子质量)有关,参见(6.68)和(6.71).而在这里,物理上是很相似的,区别是最后的有限修正部分(17.9)形式上更为简单了.

接着书中从物理上解释为什么红外发散在物理上不应该对正反夸克对产生过程产生很大的影响.这里的物理思想是一个时间标度很慢的过程是不可能影响到一个时间标度很快的过程的结果的,因为前者还没发挥影响作用后者已经结束了.故而如果前者发散,那么必然存在某个另外机制的物理过程把这个发散抵消掉,剩余微扰量级的效果.

但是 不清楚 为何产生胶子的时间尺度为$$1/p_{\perp g}$$.一个粗略的说法是,对正负夸克对产生过程,其特征时间是由中间态虚光子的四动量平方(对质壳值0的偏离)决定的,它是类时的等于初态正负电子对的四动量之和.所以这个过程在质心系与体系初始能量成反比.类似的,对于软胶子发射过程,其特征时间由中间态虚夸克的四动量平方与质量数值的差决定.这是一个原来在质壳上的四动量加上胶子四动量,从物理上说,其贡献最大的部分来自与原夸克动量垂直的部分.这样从量纲上讨论,就直接写下书中的$$p_{\perp g}^2$$.

P.551 (17.10)

这里$$\gamma=0$$,因为之前按LSZ公式,格林函数与实验可测的散射振幅的区别就是外线重整因子.而在这里,计算对象本来就是实验可测的总散射截面,所以改变重整能量标度和相应的改变耦合常数后得到的应该就是同样的总散射截面.

在上面一段,书中提及按耦合系数展开,对应阶的贡献是$$(\alpha_s \log(P^2/M^2))^n$$的形式.这是因为将重整化群决定的耦合常数的表达式(12.82)的右边用重整化之前的耦合常数展开,自然得到的结果.

在(17.11)下面,书中指出$$f$$仅仅是跑动的耦合常数的函数.这是因为由(17.12),$$\alpha_s$$(或者$$g$$)是$$M$$的函数,所以(17.11)右边的$$M$$可以看做是$$\alpha_s$$的函数,当$$s$$一定时,唯一的决定了$$f$$的形式.

P.552 (17.14)

这就是直接的数学运算,已通过具体计算重复该结果.

P.552 (17.15)

这是对应重整化群方程的最低修正,比较之前(17.9).

P.552 (17.17)

这就是直接的数学运算,已通过具体计算重复该结果.

在下面,书中提到如果对$$Q$$的估计差了两倍,那么利用(17.17)得到$$d\alpha_s/d(\log(Q))\sim (\log(Q))^{-2}\sim \alpha_s^2$$. 同时因为这时自变量的变化为$$\Delta(\log Q)=\log(2Q)-\log(Q)=\log(2)$$,是量级为1的常数.

P.553 remarks on Callan Symanzik equation

不清楚 为何$$P^2$$如果类空的并且有很大的绝对值就可以避免奇点对问题的复杂化.

类空动量的重整化条件在书中多次被提及,比如在(12.30)上面的一段和(12.52)下面的讨论中.在12.1引言部分的最后,书中提及第12章将使用类空的特征动量$$M^2$$,而类时特征动量将可能涉及奇点和相关的复杂性.具体将在第17(本章)和18章中进一步讨论.

P.553 enhanced collinear radiation

这里提到对平行发射的软光子,存在因子$$\log(q^2/m^2)$$.这是在之前的(6.17)式上面的讨论中,对$${\mathcal I}(v,v')$$的定义(6.15)中对立体角积分贡献最大的部分的估算得到的结论.

P.557 (17.23)

这里带帽子的Mandelstam变量(比如$$\hat{s},\hat{t},\hat{u}$$)是部分子(夸克和电子)层次的,而不戴帽子的相应变量是核子(质子和电子)层次的.

从(17.22)出发,上面第一个式子是(5.73),第二个式子是动量转换的定义(14.4),第三个式子是(14.5).通过代数运算,即得(17.22).其中新增的阶梯函数是出于能量守恒的运动学考虑.即输入能量 > 电子或者质子能量的较大值 > 能量转移值.

P.558 helicity

参见本书之前5.2节中相对论极限(忽略电子质量)下螺旋性守恒的两个推导,以及5.3节中非相对论极限下自旋分量守恒的讨论.

P.560 (17.33)

这里的推导涉及本书之前5.2中计算的一些技术细节.

具体的,首先考虑中微子在夸克(正粒子,这里不考虑反夸克的贡献)上的散射过程,由(5.21),(5.11)上一式和(5.70),我们知道$$\hat{s}^2$$项的确是来自左手螺旋性电子在左手螺旋性费米子(夸克),或者右手螺旋性电子在右手螺旋性费米子上散射的贡献.而$$\hat{u}^2$$项是来自左手螺旋性电子在右手螺旋性费米子(夸克),或者右手螺旋性电子在左手螺旋性费米子上散射的贡献,这被(17.31)所禁止.

因为(17.31)的弱相互作用项,按之前(5.18)附近的讨论,对应的两个正粒子都必须是左手的.而实验证实,只存在左手螺旋性的中微子,所以对应的电子也必须的是左手螺旋性.

同理,(17.31)的另一个因子说明(正)夸克部分也必须都是左手螺旋性的.

这样,如果考虑是非极化的入射费米子(核子中非极化的夸克),那么上面的贡献要除以2,因为有一半的初始条件没有任何贡献.这个$$1/2$$因子同时出现在(17.33)和(17.34)中.

接着考虑反中微子在夸克上的散射过程,这对应相互作用项(17.31)的$$h.c.$$部分.注意到这里弱相互作用情况和QED的相互作用项不同,后者是厄米的.把(17.31)的第一项取厄米后,即
 * $${\bar l}\gamma^\mu\left(\frac{1-\gamma^5}{2}\right)\nu\rightarrow \nu^\dagger\left(\frac{1-\gamma^5}{2}\right)(\gamma^\mu)^\dagger\gamma^0 l={\bar \nu}\gamma^\mu\left(\frac{1-\gamma^5}{2}\right)l$$
 * $${\bar u}\gamma_\mu\left(\frac{1-\gamma^5}{2}\right)d\rightarrow {\bar d}\gamma_\mu\left(\frac{1-\gamma^5}{2}\right)u$$

而其中的一个贡献对应反中微子在u夸克上散射得到$$\mu^+$$和d夸克.

按上面的讨论夸克始终都只能左手螺旋性的.而按之前3.5节(3.112)和(5.18)下面提及的,对应相同的自旋态$$s$$(由给定投影算符比如$$\left(\frac{1-\gamma^5}{2}\right)$$决定的态),左手螺旋性的正粒子对应右手螺旋性的反粒子.物理上只存在左手螺旋的中微子意味着只存在右手螺旋的反中微子.这是因为按(3.112),相同的自旋态的正反粒子对应的自旋角动量的本征值正好相反.所以投影算符导致这个散射是右手螺旋性的反中微子在左手螺旋性的夸克上发散散射,得到右手螺旋的$$\mu^+$$和左手螺旋的d夸克,按第五章的计算结果,这对应(17.34).

P.564 (17.41)

首先,对于不同的自旋态,(17.41)中对应的散射截面数值上是一样的,这里讨论书中提及的两个$$1/3$$因子.由于(17.39)的归一条件,比如$$f_u(x)$$必然应该包含u夸克的所有自旋态的分布(概率)的总和.但是由于在(17.40)中这被表达为乘积的形式,比如只考虑正夸克,实际上的确涉及要对所有自旋求和(而非求平均).具体的,我们有$$\sum_s f_u(s)\sigma_u(s)=(\sum_s f_u(s))\left(\frac{1}{N_s}\sum_s \sigma_u(s)\right)$$.这就是写成乘积形式后,在散射截面因子的计算中要对不同自旋态求平均的原因.

P.568 (17.59)

在之前的(17.48),做了变量变换$$(x_1,x_2)\rightarrow(Y,M)$$.其中涉及到的两个无法具体确定末态粒子的动量,所以其实是对末态动量的任意角度完成积分后的散射截面.

在这里(17.59),做了变量变换$$(x_1,x_2,\hat{t})\rightarrow(y_3,y_4,p_{\perp})$$.其中,由于涉及$$\hat{t}$$,我们可以通过横动量和快度完全确定末态粒子的动量,所以(17.59)对应的是微分散射截面.

P.569 (17.63)

和之前(17.6)的计算类似,我们要对(17.63)上一式平方后求和,即$$\sum_{ii'jj'}\left(\sum_a (t^a)_{i'i}(t^a)_{j'j}\right)^2$$,这就是(17.63)左边的迹的乘积.两个$$1/3$$来自最初态的夸克颜色的平均.

注意到求和指标数目,矩阵元求和顺序,和平方的位置.类似色因子的求和在本章后面还有涉及.

P.570 (17.66)

这个式子来自与((17.67)+(17.68))x2/4,其中因子2来自于parity变换由于穷尽所有可能的螺旋性,而4来自于对初态自旋的平均.可以签证式子前面的因子的确与之一致.

P.570 (17.67)

由耦合的顶点(16.7),因为可以把常数写成投影算符之和$$1=\left(\frac{1+\gamma^5}{2}\right)+\left(\frac{1-\gamma^5}{2}\right)$$,所以相当于说有两种保证螺旋性守恒的相互作用,一种是保证左手螺旋性守恒,另一种保证右手螺旋性守恒.

另外注意到之前3.5节的结论,正粒子的左手螺旋态对应反粒子的右手螺旋态.这样(17.67)的第一行对应Fig.17.10左边的图,两个入射粒子$$e_R^+$$与$$e_L^-$$的螺旋性是不变的,这对两个出射粒子同样成立.而(17.67)的第二行对应Fig.17.10右边的图,左边的两个粒子$$e_R^+$$与$$e_R^+$$的螺旋性是不变的,这对右边两个粒子同样成立.同理不可能有$$e_R^+e_R^- \rightarrow e_L^+ e_L^-$$的散射过程.

P.570 (17.69)

比较这里与之前(17.63)的因子,它们的区别是,这里来自与图Fig.17.10的乘积(交叉项),所以是四个顶点处矩阵的连乘,四个矩阵元共涉及4个(对应两个初态两个末态的)夸克颜色指标,并且要对所有颜色指标求和.而(17.63)是两个矩阵元的乘积的平方,同样涉及4个夸克颜色指标的求和.

P.571 (17.70)

括号内第三个因子$$\left(-\frac23\right)$$来自于$$2\times(-\frac{2}{27})/\frac{2}{9}$$.其中因子2因为Fig17.10的乘积对应的交叉项还有因子2.

P.572 (17.74)

这里考虑的是极限情况,是Fig.17.11的左边和中间的图的传播子四动量趋于零,对应$$\hat{t}\rightarrow 0$$和$$\hat{u}\rightarrow 0$$.这时的顶点常数的计算与之前(17.63)和(17.69)又有不同.这里是两个矩阵元乘积的平方,同样涉及四个夸克颜色指标.与之前(17.63)不同之处在于具体指标的不同导致矩阵连乘方式的不同.(17.63)平方并对指标求和后,不同的项的相应因子指标封闭,结果为两个迹的乘积.这里的情况是平方后矩阵指标收尾相连,最后相当于4个矩阵连乘后的迹.

P.572 (17.76)

如书中解释的,(17.76)和(17.75)差了因子$$\left(\frac38\right)^2$$.这是因为夸克的颜色部分对应基础表示,表示的维度为3,对应颜色数为3.而胶子的颜色数为SU(3)群生成元的数目,即伴随表示的维度,等于8.

P.574 singularity in collinear emission

这里讨论的是正负电子对湮灭产生正反夸克加胶子.参见之前(17.18)的讨论是在粒子动量共线的情况下发生发散.我们注意到,在书中相关的推导中,用到了电子夸克质量为零的假设.

实际上,之前在第六章讨论QED顶角修正和红外发散的情况,在QED中共线发射的光子的发散(6.26)正好和顶角修正(6.65)中的红外发散抵掉,留下的有限结果(6.68)与电子质量以及探测器灵敏度有关.

文中指出,在QCD中,这样的发散并不抵消(这点在本章的后面部分并未直接证明,但是在(17.102)附近给出讨论).在本章的其余部分,就是用来处理电子和其他粒子的散射过程.书中最后证明,这样的发散过程物理上其实可以看成是部分子分布函数的演化过程.这是一组互相耦合的常微分方程,在一定的初始条件下,他们的解如图Fig.17.22-23显示是有限的.

P.574 enhanced factor $$\log(s/m^2)$$

在书中第五章的P.158的图中,讨论了电光子散射过程,康普顿散射.其角度$$\theta$$的定义参见P.162上的图.在高能近似下,(5.94)可能的发散出现在分母为零,实际上分母的最小值对应$$\theta=\pi$$角度,即散射后的光子沿着入射电子的方向.实际上这时候分母也并不为零,因为电子质量不为零.按(5.95)的讨论,不难发现,这个角度积分的结果相当于把电子质量取为零,同时把积分的下限取为$$-1+2m^2/s$$,这样积分结果并不为无穷大而是(5.96),他仅在电子质量趋于零的时候发散.(5.96)对数中没有因子2,这是因为积分上限的贡献正好抵消了这个因子.

但是与书中的 说明不同 ,P.158的两个图分别对应s和t轨道,而非t或u轨道.实际上,(5.96)的结果是在高能近似下两个图的总贡献,即费曼图的和再平方后的结果.但重要是其物理结果,这里存在一个被电子质量截断的发散,结果正比于$$\alpha\log(s/m^2)$$.而在QCD的情况,注意到(17.12)上面文中的讨论$$Q^2=s$$,而下限是微扰QCD失效的动量标度,后者导致计算结果不能被推广到这个下限以外.最后,完成上述替换后就得到(17.79)上面的表达式.而按(17.17),这个因子对应的数值的数量级为1,所以所有的考虑有限阶数展开的过程都不是很可靠的.而需要通过书中提出的部分子分布函数的演化方程来解决.

P.575 (17.79)

这是QED情况下的结果,就是之前的(3.66).对于QCD证明略微复杂些,按(17.80)附近的讨论,并参考之前的结果(16.18),也是只有对应物理态极化才有贡献.

P.576 (17.82)

注意这里三个粒子的动量都是几乎共线的.这里并不是在质心系中讨论问题,但是因为出射光子几乎是沿着入射电子的方向,出射电子也必然几乎沿着这个方向(或者反方向),这样在任何坐标系中,三个粒子的动量方向都是几乎共线的.所以可以通过选取坐标系来简化计算.

P.577 (17.86)

在这里,书中具体计算了这个散射振幅的每一项,下面给出具体讨论.首先我们用左右手螺旋性来区分电子态,因为左右手螺旋性投影算符仅和$$\gamma^5$$有关,在取定$$\gamma$$矩阵表象后不会随着洛伦兹变换而变化,所以按(3.72)和(3.76)将(3.50)乘以左手螺旋性投影算符$$\frac{1-\gamma_5}{2}=\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 0 \end{pmatrix}$$后即得(17.86)下面的右边的式子的列矩阵部分,注意到其下分量为零.在此意义上,这里涉及的两个分量就对应的是波函数的螺旋性部分.同时,由(17.82)第一式,电子沿着3轴方向运动,因为它是左旋粒子,$$\xi(p)$$满足(17.88)第一式的形式,按(3.49)最后一行((3.50)比较不容易使用),我们发现其实$$\xi$$前面的系数矩阵只有一项有贡献,而其余要么为零要么平庸,这个贡献就是系数$$\sqrt{2p^0}$$.所以,这里讨论的两个分量主要和自旋有关.

P.578 (17.88)

左边的表达式即在洛伦兹冲刺前静止系中自旋部分的波函数,同位旋左手物理上的定义是自旋与动量方向相反.而电子波函数的自旋参见(3.112)以及之前的讨论.

对右边的表达式,这里书中的写法其实有些不妥,但是计算是完全正确的.$$\xi$$其实不是洛伦兹旋量,按之前第三章的惯例,具有四个分量的$$u(p)$$是洛伦兹旋量,按(3.49)或者(3.50)变换.我们下面用两个办法来验证(17.88).

第一个办法是考虑$$k$$是沿着3方向的量做了空间旋转后的结果.在旋转之前,$$u(k)=\sqrt{2k^0}\binom{\xi(k)}{0}$$.洛伦兹旋量的变换由(3.26-27)决定,空间旋转就是(3.27).只需要考虑上分量,因为下分量对左手螺旋粒子由P.577最后一式右边的表达式为零.因为旋转是沿着2轴的,这样变换后的量为$$1+\frac12 \omega_{13}\sigma^2$$,其中$$\omega_{13}$$对应转动的角度,它是$$\frac{p_\perp}{(1-z)p}$$.另外$$\sigma^2\xi=\sigma^2\binom{0}{1}=\binom{1}{0}$$.综上我们得到旋转后的$$u(k)=\sqrt{2k^0}(1+\frac12 \omega_{13}\sigma^2)=\sqrt{2(1-z)p}\binom{\frac{p_\perp}{2(1-z)p}}{1}$$.提取掉(17.87)中的因子$$\sqrt{2(1-z)p}$$即得(17.88)中右边表达式的结果.

第二个办法是直接利用(3.49)来计算.因为用(3.50),对(非对角)矩阵开方的结果其实并不能直接得到.对(3.49),我们只需把其最后表达式中的3方向推广到动量方向,就可以直接进行计算.首先不难计算$$\sigma\cdot k $$.这里涉及洛伦兹变量后的四动量,它就是(17.83)中的$$k$$.按(3.50),并保留到$$p_\perp$$的一阶项.利用$$\sqrt{E+{\vec p}\cdot{\hat n}}\simeq \sqrt{2k^0}$$,和$$\sqrt{E-{\vec p}\cdot{\hat n}}\simeq 0$$.同时注意到$$\vec \sigma\cdot \vec k \xi=\vec \sigma\cdot \vec k \binom{0}{1}=\binom{p^1-ip^2}{-p^3}=-\binom{p_\perp}{(1-z)p}$$,所以$$\left(\frac{1-\vec \sigma \cdot \hat n}{2}\right)\xi=\frac12\left(1-\frac{\vec \sigma \cdot \vec k}{(1-z)p}\right)\xi=\frac12\left(\binom{0}{1}+\binom{p_\perp/(1-z)p}{1} \right )=\binom{p_\perp/2(1-z)p}{1}$$.和第一个办法的结果完全一致.

P.578 (17.89)

注意到这里和(17.87)中一样,其中的$$i$$对应三个空间分量的指标,因为对于横向极化的光子,其极化矢量是没有时间分量的.

不难发现(17.89)也对应了P.124第一节末尾给出的极化矢量形式对应空间旋转后的结果.即便不给出具体的旋转操作的公式,我们不难由极化矢量的归一(对于一阶$$p_\perp$$下无任何影响)和正交形式得到.

P.579 (17.90)

括号内第二项下标R对应右手圆极化的光子.该表达式可由之前结果直接通过代数运算得到,已验算.

P.578 (17.93)

利用之前两体的散射问题中截面和散射振幅的关系,与(4.79)逐项比较,发现除了分母上$$1+v_X$$似乎差了一个负号,应该是$$1-v_X$$外,其余完全一致.但是注意到后面(17.95)的最后一步,把该因子融入到散射截面$$\sigma(\gamma X\to Y)$$中,所以这个差别对最后的应用(17.96)没有任何影响.

P.579 (17.97)

这里的结果中出现了因子$$\log \frac{s}{m^2}$$.在本书中至此,类似的因子出现了三处,分别是第五章,第六章和此处,我们 简单总结 一下.

在第五章讨论的是康普顿散射,类似的表达式出现在(5.96).但是注意到那里是有多一个光子的初态,物理问题并不完全一致.但是注意到,其结果(5.94)也是在末态光子与入射电子共线情况下出现可能的发散情况(5.96).因为是在质心系中展开讨论,表达式中的$$s$$为电子入射能量的两倍,数值上与体系入射态能量相当.

在第六章讨论的是软光子韧致辐射和顶角修正.如(6.68)讨论的,发散正好抵消.这里的发散涉及两个物理条件,第一个是(6.21)与韧致辐射对应的是软光子,对积分(6.15)贡献最大的部分出现在共线的情况下,以及(6.18)或者(6.26)的极端相对论近似下获得发散的形式.这里的$$q$$是很大类空矢量,$$-q^2$$是很大的正数,远大于辐射共线光子的能量,与体系的入射态能量$$s$$相当.

在本书这里的计算中,直接利用了共线辐射的近似来给出计算,在计算的开始阶段就引入这个近似使得计算比较容易进行,但是也较多的失去一般性.最后结果(17.97)中横动量积分上限最大无非是体系入射能量的数量级.

P.580 (17.100)

因为这里讨论的$$x$$涉及光子占的动量比例,所以由顶角上的动量守恒,它和$$z$$电子占的动量比例直接有关.

P.580 (17.102)

这里的$$\delta$$函数项就在物理上对应QED中的虚光子顶角修正.这里,没有再次给出具体计算,而是用粒子数概率守恒的要求直接给出系数$$A$$应该满足的"重整化"条件.

P.581 (17.105-106)

首先,(17.105)的右边一般情况下不再发散,例如参见后面(17.107)的具体应用.

不难发现,可以对(17.106)两边做积分来得到(17.105).

注意到作为函数的定义(17.106)显然满足书中给出的描述,该函数在发散点$$x=1$$以外与$$frac{1}{1-x}$$处处相等.而在发散点处的函数值,即(17.106)等式右边的第二项,使得函数在积分下发散部分相互抵消.

表达式(17.105)是一个定义,等式右边的意义是在积分意义上,扣除了$$\frac{1}{1-x}$$在$$x=1$$的奇性的影响.

P.581 (17.107)

从这个最后结果来看,这里的唯象的重整化涉及到两个方面,一个是(17.104)对红外发散的重整,第二是(17.102)中对电子不发散光子的重整,两者通过归一的要求(17.103)联系起来.

我们指出,从最后的结果来看,唯象的修正(17.102)或者(17.107) 似乎没有考虑 在$$x\ne 1$$时虚光子顶角修正对软光子发散的影响,而是只是唯象的去掉了发散的极点.

P.582 (17.108)

这个条件是高阶修正不断产生(17.109)影响的前提,如果这个条件不满足,则修正的贡献中的分母$$\frac{1}{p_{1\perp}^2}$$会改变,因为$$p_{2\perp}$$的影响足够大,中间态的虚电子不能被视为在质壳上,所以(17.85)不再成立,最终的贡献比(17.109)更小从而将被忽略.在书中这里只考虑修正足够大的情况,所以是这个条件被满足的情况.

P.583 (17.111)

这里推导演化方程.这个演化方程用于取代之前(17.109)从高阶费曼图的出发点对问题的讨论.

(17.111)第一步等号中的方括号就是(17.110). 发现光子部分子在区间$$Q<p_\perp<Q+\Delta Q$$的概率是$$p_\perp<Q$$的概率加上,由发现一个电子部分子$$(x',Q)$$,再由这个电子部分子中发现光子部分子$$(z,p_\perp)$$. 要求在满足$$x=zx'$$条件的前提下对所有可能的$$(x',z)$$积分. 等式第二步中注意到$$\frac{dQ^2}{Q^2}=2\frac{dQ}{Q}$$. 积分下限改为$$x$$是因为$$x'$$的上限是1.最后参考勘误,这里$$p_\perp=Q$$. 值得 指出 ,这里的$$f_e$$中既包含了原初电子中的作为部分子的电子,也包含了不发生任何光子辐射情况下电子本身,即(17.107). 这里通过自洽方程来取代通过各阶微扰论分析而得到的(17.107)的结果.

P.586 (17.118)

这里的很类似(17.92)和(17.100)之间的关系.这项对应之后(17.120-121)中$$f_{e}$$和$$f_{\bar e}$$中概率$$P_{\gamma\rightarrow e}(z)$$.

P.586 (17.119)

这里对应后面(17.120-121)中$$f_\gamma$$概率$$P_{\gamma\rightarrow\gamma}(z)$$.

P.586 (17.120-121)

注意到这里表达式中的动量占率$$x'=\frac xz$$都是针对初始态的物理电子,而不区分其中间态来源是(近壳,虚)光子还是(近壳,虚)电子.所以我们可以部分子分布函数都统一的写成$$f_e, f_{\bar e}, f_\gamma$$.

P.588 (17.125)

这个公式上面具体讨论了QCD中,按部分子分布函数演化方程的角度对基本粒子的物理图像的解释.部分子分布方程携带了在不同$$Q$$值下各基本部分子的在入射物理电子中的占有率.电子在这个图像中不再是一个单纯的基本粒子,而是各种部分子的组合.

Ch.18 Operator Products and Effective Vertices
P.601 (18.7)

在之前12章,把质量算符$${\mathcal O}_M$$作为外线来定义格林函数,(12.104).这样定义的格林函数除了费米子外线外,还具有一个质量算符作为外线,它是一个局域算符.这里的质量算符与拉格朗日中的质量算符不同,后者相当于对无质量拉格朗日的微扰相互作用.因为是相互作用,存在对其空间坐标的积分,所以是一个相互作用内点,在内上满足动量守恒.在此意义上,(12.104)定义了一个与之前传统意义上(4.31)完全不同的格林函数,因为他具有与众不同的局域算符外线.对于这个格林函数,我们实际上不需要求解其Callan-Symanzik方程,而只需要知道其局域算符外线的$$\gamma$$函数,即质量的重整化问题.虽然后者,即(18.8)是通过Callan-Symanzik方程得到的.具体参见(12.112)推导的笔记.

注意到,上述定义的含有质量算符为外线的格林函数和质量项作为相互作用内点的事实是独立的.在具体计算质量算符作为外线的格林函数的辐射修正中,质量项完全是可以作为一个内点出现的.而在之前(12.114)的计算中,质量项的辐射修正的图不产生最低阶贡献.

P.601 (18.8)

这个表达式是之前(16.73)讨论过的顶点$$\beta$$函数与各类外线和局域算符抵消项间的关系.这里强调的是等式中各项的由来以及对具体度规的依赖关系.

关于$$\beta(g)$$的计算结果参见(16.85)和(16.133)的计算,该结果不依赖于度规参见P.532的讨论,本质上和抵消项的不依赖于度规的关系(16.89)有关.

关于$$\delta_2$$的计算结果且依赖于具体度规,参见(16.77)以及下面的讨论.

P.601 (18.10)

这里图形下边两费米线外面的动量即(18.7)上标注的动量,左右两外线分别为$$p+q$$和$$p$$.动量方向为箭头方向,所以光子动量为任一侧的费米子动量差,即$$(k+q)-(p+q)=k-p$$.

P.602 (18.11)

这是在计算极限情况下发散项的形式,但是因为取了极限,从这个表达式我们看不到上述结果是如何依赖于外动量的.而实际上,在维度正规化后,也必然是依赖于外动量的.

P.602 (18.12)

首先,我们在原则上总是可以具体计算费曼图(18.11)的结果,然后在能标$$M$$处抵消发散.虽然对应的具体费米图不同,但如果借鉴(12.116)的结果,那么这个表达式是结果是容易理解的.因为我们在某能标处给出重整化条件,所以抵消项显然明显的依赖于能标$$M$$.这样就可直观的理解为由(18.11)直接推广为(18.12)的形式.

P.602 (18.13)

这里的情况与(12.117)处类似,直接将(18.12)和(18.9)代入(18.8)中求导数求不出来,而是要注意到这里其实对应$$n=2,d=4$$是对数发散,按(12.53)处的讨论写为对数形式求导,即得.

P.602 (18.16)

书中指出,按之前(12.110)处的讨论,物理上我们知道对应守恒流的质量算符的$$\gamma$$函数应该为零.所以这里通过具体计算来验证这个一般结论对此特殊问题的确成立.

P.602 (18.17)

这里因子$$\log(\Lambda^2/Q^2)$$有两个理由.首先我们知道$$\Gamma(2-\frac d2)$$对应对数发散.其次在$$Q^2=M^2$$处应该和抵消项正好干净,仅剩下树图贡献,从而满足(18.7).上述做法满足这两点.

P.603 (18.18)

这里书中没有给出具体计算,但是指出(18.17)计算的就是在单圈最低近似下计算质量随着重整化群流方程演化的形式.其中因子$$\frac 43$$的一部分(把因子$$\frac 43$$换为1),是与规范无关的.写下来就是(18.18).注意到$$\log\frac{M^2}{Q^2}=2\log\frac{M}{Q}$$,即得(18.19).

P.605 (18.31-32)

这里$$\cos\theta_c$$对应$$ud$$夸克的交叉项,而$$\sin\theta_c$$对应$$us$$夸克的交叉项.

P.607 Fig.18.3

这里最后两个图和之前的两个图是同阶的,其中胶子内线跳过了一根夸克外线.

P.607 (18.35)

这里的计算不考虑$$W$$介子的质量在其传播子中的贡献,即(18.49).

P.608 (18.39)

这里其实是要证明等式(18.41),这里的解释是假设我们已经利用穷举法证明该等式成立.同时,我们已知等式左边的$$i,k$$指标按$$3$$表示变化,而$$j,l$$指标按$${\bar 3}$$表示变化.因为等式右边是一个数,所以两个表示必然缩并为恒等表示,这里只有两个缩并的可能,就是(18.39),其系数待定.

P.609 (18.49)

这里涉及两个概念.

第一是问题的能标以及内动量远小于介子质量.即能量足够小,距离足够大,可以把相互作用看成点相互作用.

第二是与算符乘积展开有关,这个方法成为足够好的近似要求两个算符间的距离足够小,能量足够大.

表明上,这两个要求是互相抵触的,实际应用中,这里要求空间尺度要足够小,但是不至于达到介子质量的倒数.

P.609 (18.50)

这里书中指出,我们应该把紫外发散的Fig.18.3理解为含有一个截断动量为$$m_W$$的对数因子.

物理上的解释就是(18.49)的替换导致的表面上的发散.这样对数发散$$\log\frac{\Lambda^2}{m_K^2}$$对应的内动量$$\Lambda$$只有在小于介子质量$$m_W$$才有意义,所以对数表达式物理上可行的最大值不可能超过$$\log\frac{\Lambda^2}{m_K^2}$$.

P.611 (18.58)

这里因为$${s}$$夸克无同位旋,$$u,d$$夸克同位旋为$$1/2$$.所以第一式中当$${\bar u}{\bar d}$$为反对称时,剩余的$${u}$$夸克决定了算符的同位旋为$$1/2$$.类似的第二式的同位旋为$$1+1/2=3/2$$.

这里指出由于(18.59)计算得到的$$\gamma$$函数的不同,(18.58)的第一式得到增强,与实验观测一致,虽然,按(18.62)下的讨论,微扰QCD并不能给出全部的实验上观测到的增强因子.

夸克的同位旋见这个维基页链接,三个pion介子构成同位旋三重态,而四个Kaon介子构成两个同位旋两重态,但是 不明白 为什么$$K^+\rightarrow \pi^+\pi^0$$同位旋变化为$$\Delta I=3/2:1/2\to 2$$而非$$\Delta I=1/2:1/2\to 0, 1$$.因为对$$\pi^+$$,有$$I=1, I_3=1/2$$,而对$$\pi^-$$有$$I=1, I_3=-1/2$$.由角动量相加的法则,两个同位旋为$$1$$的完备基可以构造出同位旋为$$0,1,2$$的三个子空间,即两个pion粒子的末态的子空间维度为$$3\times 3=1+3+5$$.而由于$$\pi^+\pi^-$$的$$I_3=1/2-1/2=0$$,其波函数可以为完全对称和完全反对称两种可能,这两个态(通过排列组合)比如对应同位旋的本征态,其本征值不同.而实际情况是可以根据群论来具体计算的,其中一个基的组合对应同位旋为 $$2$$的本征态,而空间波函数的对称性由其他对称性,比如宇称守恒来决定.具体又见这个stackexchange问题的讨论.

P.613 (18.64)

算符乘积展开最简单直接的类比就是把对函数的傅里叶展开推广到算符的(乘积)表达式.

以前一节的计算为例,就是把算符(流)的乘积微扰修正后的结果再用流来展开,其中$${\mathcal O}_n$$就是(18.52).但是这里有个细节,本节指出,这个展开是在$$x\to 0$$的极限下讨论的.这时算符几乎是局域的.这在数学上和上一节的计算很像,其中的费曼规则是把传播子近似为一个常数$$\frac{1}{M_W^2}$$,两个顶点相当于一个顶点.但是按(18.49),其对应的动量不能太大,所以坐标差距$$x$$不能太小.

P.614 (18.70)

这就是把(18.63)右边的算符乘积$$\mathcal{O}_1\mathcal{O}_2$$用(18.64)替换为$$\mathcal{O}_n$$,然后和(18.69)比较即得.其中(18.69)只需注意到(18.66)的定义和Callan-Symanzik方程的形式即可.

P.614 (18.74)

只需注意到$$\exp[\log(xM)\gamma\cdots]=\exp[\log(xM)^{(\gamma\cdots)}]=(xM)^{(\gamma\cdots)}=\frac{1}{xM}^{(-\gamma\cdots)}$$即可.

P.614 (18.76)

这里基本上就是代数运算而已,具体如下.

首先注意到等式最右边的那个大个的分数,因为都是$$\log$$形式,其中自变量的平方其实可以同时去掉.

由(17.17),$$\alpha_s=\frac{2\pi}{b_0\log(Q/\Lambda)}=\frac{g^2}{4\pi}$$,这样$$\gamma=-a_0\frac{g^2}{(4\pi)^2}=-a_0\frac{1}{2b_0\log(Q/\Lambda)}$$.

所以我们有$$\int_{1/x}^M d\log M'\gamma=(-\frac{a_0}{2b_0})\int_{1/x}^M \frac{d\log(Q/\Lambda)}{\log(Q/\Lambda)}=\left.\log[\log(Q/\Lambda)]^{-\frac{a_0}{2b_0}}\right|_{1/x}^M=\log[\log(M/\Lambda)]^{-\frac{a_0}{2b_0}}-\log[\log(1/x\Lambda)]^{-\frac{a_0}{2b_0}}$$,即得所需结果.

P.615 dimension and example

这页第一节讨论了之前一节的例子.

量纲,作用量量纲为4:$$[\mathcal L]=4$$,耦合常数无量纲$$\left[\frac{g^2}{4\pi}\right]=[\alpha]=0$$,所以流的量纲为3,因为$$\left[\frac{J^2}{M_W^2}\right]=4$$.我们在下面(18.90)的讨论中给出更基础的推演.

另外物理上的流对应可测量的守恒荷,所以对应的$$\gamma=0$$.从而$$a_1=a_2=0$$.而由(18.59),$$a_n=8, -4$$.

P.615 (18.77)

到此为止,没有考虑算符混合.比如之前一节的例子(18.58)中算符已经对角化了.这里给出的公式就是考虑存在算符混合情况下的一般形式.

P.616 Fig.18.4

注意和之前Fig.17.2比较,时间方向是从下向上.

P.616 (18.81)

这里对QED近似到两个顶点$$\alpha\sim e^2$$,而对强相互作用原则上考虑各阶微扰的贡献.

注意到这里有动力学关系$$q^\mu=(k^\mu+k_+\mu)$$和$$s=q^2$$.

P.616 (18.82)

按(7.73)附近的讨论,Ward恒等式$$q_\mu W^{\mu\nu}=q_\nu W^{\mu\nu}=0$$要求截肢的光子自能的张量部分满足(18.82)的形式.另外由于这个截肢图通过光子自能和电子流耦合,光子自能无非贡献另一个$$g^{\mu\nu}$$因子,由于电子流这边的Ward恒等式,导致(18.82)与$$q_\mu$$正比的部分没有贡献,仅剩余(18.82)中与$$g^{\mu\nu}$$相关的项.

这实际上和(7.74)下方的讨论一致.

P.616 (18.83)

这里的计算就是参考之前(5.3)附近的计算方法,具体略.

P.617 (18.86)

在下面文中提到QCD的结果就是乘以因子3,这可以类比之前(17.4)与(17.9)的结果得到.

P.617 (18.90)

这里再次涉及到量纲.我们知道作用量为$$h$$,故没有量纲.由此拉格朗日量纲为$$[\mathcal L]=4$$.比较拉格朗日的具体形式(16.1),我们得到$$[J^2]=6$$,$$[{\bar\Psi} \Psi]=[{\bar q} q]=3$$,和$$[F_{\mu\nu}^2]=4$$.

P.618 (18.92)

这些因子应对的费曼图即Fig.18.5.这只要比较之前的Fig.18.4与(18.81)即得.

P.618 (18.93)

这里 不清楚 如何由(7.91)得到这个表达式,因为当夸克质量为零时,(7.91)为发散的结果.如果认为(7.91)中对数完全只由$$q^2$$决定,因为它在数值上很大.这样考虑$$m\sim 1$$并略去对数符号内其他任何系数和$$x$$的影响,仅考虑分母的对数贡献负号,把对数符号外的积分完成得到$$\int_0^1 dx x(1-x)=\frac16$$,这样可以"凑出"(18.93)的结果.

P.618 (18.95)

这个公式上面提及,因为(18.94)和(18.92)的原因,(18.86)没有$$s^{-2}$$项.对(18.86)这边,上述结论似乎不显然.其实,只要注意到因为$$\sqrt{1-\frac{4m^2}{s}}\sim 1-\frac{2m^2}{s}$$,(18.86)的确没有$$s^{-2}$$项.

注意到由(18.94)要计算(18.93)的虚部,这只要注意到$$\log(-q^2)=\log(e^{i\pi}q^2)=i\pi+\log q^2$$即可.

P.620 (18.96-97)

这里是留数定理的运用.参见数理方法中留数定理的证明,(18.96)是仅在$$q^2=-Q_0^2$$附近的对应阶正好等于留数积分的时候才不为零.而(18.97)就是把留数和复变函数的对应导数联系起来.

注意到(18.93),所以书中说(18.98)的最大发散是对数形式,但又分母的形式,积分在无限远处贡献为零.

P.620 (18.99)

具体的,这里就是通过Fig.18.7的回路变换来计算积分,积分结果为在实轴上割线函数的跳跃值.而函数的跳跃值就等于虚部的变化,等于虚部的两倍.

最后积分从0开始,其实如果某积分点处没有割线,那么函数虚部为零,这就意味着对应入射能量没有达到阈值,正负电子散射不会产生末态重子.

这里我们总结一下QCD的求和法则的 物理意义.

书中的(18.99)和之后的(18.154)都是QCD求和法则的具体定理.

从一个比较一般的角度.QCD求和法则就是实验上可测量的物理态(比如共振态和部分子分布函数)与理论上微扰计算结果的联系.更具体的,对于微扰QCD的计算,是通过算符乘积展开进行的,这个计算要求算符之间的距离很小,故四动量的类空部分很大,故动量转换类空,即$$Q^2=-q^2$$是很大的正数.而另一方面,对于一个真实的物理散射过程,如果在质心系的话,那么动量$$q$$是类时的.对于前者,计算是微扰展开,计算得到的微分散射振幅按$$1/q^2$$展开,所以计算结果作为$$q^2$$的解析函数,远离任何奇点.对于后者,物理态和总散射截面都是和奇点或者割线有关的.

作为一个具体的例子,我们可以考虑正负电子湮灭过程.这里计算的就是正负电子对流的乘积在物理真空上的平均值.这时$$q$$就对应体系的总动量,它的类时或者类空属性的确满足满足上述条件.如果考虑电子的深度非弹,则计算的是正负电子对流的乘积在质子态上的平均值,相应的运动学变量$$q$$的定义及其类时或者类空的属性更为复杂,但是本质上思路是相似的.接着我们考虑把通过微扰论得到的在特定的$$q^2$$复平面区域的结果解析延拓到物理上有意义的区域,通过复变函数论积分路径的改变的相关计算,得到了一个联系两者的关系,这个关系被称为QCD求和法则.

在Fig.18.6中,一方面我们把微扰论的结果写成级数的形式,把展开位置放在负的实轴,而另一方面物理上的总散射截面对应正实轴上超过某能量后的奇点和割线.两者通过积分路径的变换的计算从而联系起来.

P.621 (18.100)

等式右边倒数第二项对应QCD高阶顶点的修正,最后一项对应高阶OPE展开的修正.

这里 不清楚 书中对实验结果随着能量发生震荡的理论解释.

P.624 (18.106)

这个表达式就是将(18.101)代入(4.79).其中涉及散射振幅模的平方和对末态动量的积分和一个动力学因子.

注意到这里是两体碰撞,但末态不是两体的.

其中$$\frac{d^3k'}{(2\pi)^3}\frac{1}{2k'}$$对应末态电子四动量在质壳上的积分.

另外$$\frac{1}{2s}$$来自因子$$\frac{1}{2E_P 2E_e|v_P-v_e|}$$,在初态质子静止的坐标系$$v_P=0, |v_e|=1$$,$$2E_P 2E_e=2P\cdot k$$.

P.625 (18.113)

注意到$$W^{\mu\nu}$$应该由$$q^\mu_1q^\nu_1,q^\mu_2q^\nu_2,q^\mu_1q^\nu_2,q^\mu_2q^\nu_1$$和$$g^{\mu\nu}$$的线性组合构成.显然$$q^\mu_1q^\nu_1,q^\mu_2q^\nu_2$$不符合要求,另外考虑到对指标$$\mu\nu$$的对称性(见(18.111)),所以只有两个独立的张量.最后因为(18.113)显然满足(18.112),所以就是这两个张量.

P.625 (18.114)

在这个表达式上方的文字中提到守恒流,这是因为(18.111)的张量部分来自(18.107),是守恒流.

P.626 (18.119)

最后一项,因为$$xys=y(xs)=y(\xi s)=y(2k\cdot p)=\frac{2P\cdot q}{2P\cdot k}(2k\cdot p)=\frac{2p\cdot q}{2p\cdot k}(2k\cdot p)=2p\cdot q=2p\cdot(p+q)$$

P.626 (18.120)

按文中叙述,正比的这项其实就是$$\frac{q^\mu q^\nu}{(2x)^2}4x^2=q^\mu q^\nu$$.

另外注意到按(18.119)的笔记的推导,最后一步如果利用(18.118)$$2p\cdot q=-q^2$$,即得需要的结果.

P.627 (18.124)

本表达式就是Wick定理时序和正规序的关系.时序具体在流乘积(18.102)中被定义,而正规序则在对应微扰计算费曼图,比如(18.10)中被涉及到.而实际上,这里讨论是算符乘积展开OPE,这里涉及到一个更为一般的假设(18.64),与时序和正规序都无关.

在文中,这个表达式上方提到:"1"在这里没有贡献.比较Fig.18.10,"1"即包含为因子的图,这样的散射过程质子其实没有参与相互作用,所以不是感兴趣的过程.而质子参与相互作用的情况相当于Fig.18.5(b)的情形.

在文中,这个表达式下方提到:其实只有传播子出现奇性趋于无穷大的项才是重要的,其他的有限项在此都相对次要.另外由(16.4),传播子中有因子$$\delta_{ij}$$,所以夸克的味道必须一致,传播子的贡献才不为零.

P.628 (18.125)

比较Fig.18.10,这里传播子的动量来自虚光子的动量和夸克场算符所携带的动量的和.前者在散射振幅表达式中不对应任何场算符,只能明显的写出,后者可以通过对夸克场算符求导数得到.

注意到,这里有些 蹊跷 .因为(18.124)在傅里叶变换前包含两个独立的坐标变量,可以视为坐标差和整体坐标.傅里叶变换如果把所有空间坐标都变换为动量,那么(12.125)中的导数$$\partial$$无法获得夸克的动量$$p$$.这意味着傅里叶变换只是对坐标的差$$y-x$$进行,而夸克场$$q(0)=q(x)\sim\sum_{p,s} a_p^s u^s(p)e^{-ipx}$$仍然是空间的函数,求导后得到夸克动量$$p$$,但是注意到这里$$p$$是个哑变量.

P.628 (18.126)

这个表达式下方,书中指出,在后面可以证明$$\partial^2$$可以被忽略.具体的讨论是在(18.140)处指出,迹的贡献不重要.这里$$\partial^2=p^2=\xi^2P^2$$.

P.628 (18.129)

这个表达式下方,这里指出夸克波函数满足$$i{\not\partial}q=0$$.这是对无质量的自由场满足的方程.

P.628 (18.130)

注意这个表达式没有把任何可以通过对称化指标$$\mu\nu$$后可以得到的项明显的写出.

P.629 (18.131)

注意在表达式(18.125-18.131)中的夸克波函数$$q$$不是动量$$q$$,其对应的动量也是$$p$$.

在(18.131)中涉及偶数个指标.对(18.130)等式右边的第一项,最初的两个指标是求和号外的两个指标,而求和号内剩余偶数个动量$$q$$的因子,在动量取负号后乘积不变.对(18.130)等式右边的第二项,最初的两个指标内积得到$$\not q$$,剩余指标在求和号内也是偶数.参见(18.132)的定义和(18.133)的具体应用.

P.629 (18.133)

这个式子等式右边$$Q_f^2$$就是耦合常数平方,因为对应的费曼图对应两个涉及流的顶点.

等式右边第一项,有两个指标悬空,对应(18.130)的第一项.分母上$$\frac{1}{(Q^2)^{n-1}}=\frac{1}{Q^2}\frac{1}{(Q^2)^{n-2}}$$.

等式右边第二项,除了$$g^{\mu\nu}$$外,所有指标都被内积.$$\frac{1}{Q^2}$$的因子数正好等于内积指标的对数.

两项的系数比正好是4,第一项多余系数2,第二项需补给系数2.

P.630 (18.134)

在(18.132)定义的算符$$\mathcal{O}_f^{(n)}$$是计算OPE算符乘积展开(18.130)的关键部分,它是一个张量算符,携带$$n$$个张量指标.为了计算(18.102),我们需要知道(18.134)对质子态的矩阵元.

文中指出,(18.133)对动量$$q$$的方向的依赖已经体现在算符$$\mathcal{O}_f^{(n)}$$前的系数中了,这是由(18.126-130)的推导过程决定的.因此,这些张量指标就只能唯一的由含有矢量指标的质子的动量所决定.这里注意到前面讨论涉及的夸克动量$$p$$是个哑变量,所以不可能作为这里计算的矩阵元的自变量.

由定义(18.132)这里的系数$$A_f^n$$是无量纲系数.考虑(12.125)左边,流的量纲为3,傅里叶变换涉及的四维时空的积分量纲为-4,所以最终量纲为2,所以等式右边除了一个动量量纲的因子外的量纲为3.这样(18.132)右边的量纲就是$$n-1+3=n+2$$, 不清楚 为什么$$A_f^n$$是无量纲系数.但是书中指出,$$A_f^n$$并不是数,后面的具体讨论给出它是如何依赖于$$Q^2$$的.

P.630 (18.136)

这里的结果一方面可以具体计算,因为按(5.4)的计算方法,我们得自旋平均为$$\frac12\sum_s\to \frac12 Tr {\not P}\gamma^\mu=2P^\mu$$

而另一方面这个结果与(18.134)一致.

P.630 (18.138)

书中提及,$$A_f^2$$是夸克的能动张量占质子能动张量的比例.这可以结合之后的(18.191)即得.

P.631 (18.140)

这个表达式对应在$$Q^2$$很大时,$$\frac{m_p^2 x^2}{Q^2}\ll 1$$.

而为了比较$$P^\mu P^\nu$$和他的迹的大小,两边都用$$q_\mu q_\nu$$来内积.后者对应$$q_\mu q_\nu g^{\mu\nu}m_p^2$$,而前者对应$$q_\mu q_\nu P^\mu P^\nu$$,这时利用(18.140)的结论即可.

另外书中指出,在$$Q^2$$很大时,$$x$$趋于固定值.这可以参考(18.193)附近的讨论.

P.631 (18.141)

这里开始,书中讨论系数函数$$A_f^n$$对$$Q^2$$的依赖关系.

在流乘积的OPE展开的右边,一个量纲为$$d$$的算符的系数的量纲是$$6-d$$,这是因为按之前笔记的讨论,流的量纲为$$3$$.

如果把等式做傅里叶变换,那么考虑到四维时空积分,它的量纲为$$6-d-4=2-d$$.此即$$m^{2-d}=\left(\frac{1}{m}\right)^{d-2}=\left(\frac{1}{Q}\right)^{d-2}$$.最后一步是把质量换为一个具有质量量纲的在具体计算中涉及到的标示特征能量大小的物理量.

P.631 (18.142)

这个表达式的第一个因子$$\left(\frac{1}{Q}\right)^{d-s-2}$$,是因为已经算符$$\mathcal{O}_f^{(n)}$$中包含因子$$P^s$$,按(18.133)或者(18.139),这个因子可以明显的写出来并且和展开剩余部分的$$Q^2$$构成$$\left(\frac{2P\cdot q}{Q^2}\right)^s$$的形式,按(18.140)附近的讨论,这个因子在$$Q^2$$很大时趋于常数,从而与这里讨论的渐进行为无关.

而第二个因子的来源是因为,这时算符中新增的$$P^\mu$$是算符本身量纲的一部分.因此不会在系数函数的分子上引入额外的$$Q$$因子.所以两个因子的最终效果是,第一个因子为$$\frac{q^s}{Q^{2s}}=\frac{1}{Q^s}$$,第二个因子为$$\frac{1}{Q^{-s}}$$,正好抵消.在$$Q^2$$很大时,按前面的讨论,第一个因子不依赖于$$Q^2$$,从而对它的依赖仅来自第二个因子.考虑$$d$$取定的情况,贡献最大的项是$$s$$越大越好.

最后,观察(18.139)不难发现,其中$$\left(\frac{2P\cdot q}{Q^2}\right)$$因子的数目并不是总是和自旋一致.但是因为自旋的存在是使得某一项变得更重要,所以在(18.142)的估算中,我们考虑的是贡献最大的可能,这对应因子$$\left(\frac{2P\cdot q}{Q^2}\right)^s$$的情况.

综上,算符$$\mathcal{O}_f^{(n)}$$本身不依赖于$$q$$或者$$Q$$,对$$Q^2$$的依赖仅来自其系数函数$$A_f^n$$.而系数函数对$$Q^2$$的依赖取决于两个因子,算符的量纲和自旋,前者决定系数函数对$$Q$$的依赖的幂次,后者决定其幂次中一部分因子是不重要的,移除后$$Q$$的幂次与$$t=d-s$$有关.

P.631 (18.143)

这里给出很多具体的例子.

对单位算符"1",量纲和自旋都为零,故$$t=d-s=0$$.

对(18.135),流算符,量纲为$$d=3$$,自旋为$$s=n=1$$,故$$t=3-1=2$$.

对(18.138),能动张量算符,量纲为$$d=3+1=4$$,自旋为$$s=n=2$$,故$$t=4-2=2$$.

实际上,每增加一个指标,自旋和量纲都$$+1$$,保持$$t=2$$不变.书中指出,$$t=2$$是除了单位算符外最小,即贡献最大的情况.

对于夸克味道不同的情况,算符$${\bar u}\Gamma u{\bar d}\Gamma d$$的量纲为$$d=3\times 2=6$$,而没有内积的四个夸克态的自旋$$s\le 2$$,故$$t\ge 4$$.和味道相同构成传播子的情况相比,其贡献相对而言不重要.

P.632 (18.145)

对应(18.113)有些项没有出现,因为不重要.

P.632 (18.147)

这里是加号,因为这里考虑的是一个特定味道的夸克,按(18.120)同时考虑反夸克的贡献,即把两者的分布函数相加即可.

P.633 (18.148)

算符乘积展开成立的条件是$$Q^2$$很大,而物理上问题成立的条件是$$x\le 1$$即$$Q^2 \le \nu\equiv 2P\cdot q$$.所以这里再次需要利用复平面积分路径的变换来达成这个转换.

注意到,这里和之前(Fig.18.4)动力学量的定义有所不同.这里$$(P+k)^2=s \ne q^2$$.

P.633 (18.149-150)

这里给出了QCD求和规则的第二个实例的路径积分部分的 讨论.

我们先讨论一个重要的但是书上并不是完全明确的要点,即$$q^2=-Q^2$$在复平面上类时或者类空与具体问题的关系.

首先,问题计算的关联函数是一对正负电子流的乘积的质子态上的平均值,即(18.102).与之前真空态上的平均值(18.88)相比有类似之处,也有不同之处.后者的一个问题就是这里$$q$$的定义和物理过程的关系到底是什么.按图Fig.18.9,我们知道这里采用的符号$$q$$就是书中第三部分一开始引入电子深度非弹问题中定义的动量转移$$q$$,所以这个量并非两个流的时空坐标差对偶的四动量,按图我们不妨把末态的动量记为$$q_f$$,满足$$q_f=q+P$$.

现在因为$$f$$是物理态,所以$$q_f$$是类时的.这是因为可以近似的认为所有的末态粒子都在质壳上,那么空间动量部分可以在很大程度上互相抵消而能量部分只会相加,一个方便的理解办法就是对于物理态可以在质心系计算$$q_f^2$$然后意识到这个结果与坐标系无关.这样我们有$$q^2=(q+P)^2=q^2+P^2-2q\cdots P \gg 0$$,对于极端相对论略去质子质量我们有$$Q^2 \ll 2q\cdot P$$,或者$$x\ll 1$$.注意到其中我们始终考虑的是$$Q^2 \gg 1$$的情况.

而另一方面,我们知道两个局域流的空间间距足够小,这意味着,不仅$$q^2=-Q^2$$是类空的,$$q_f^2$$也必须是很大的类空矢量.类似上述推导,我们得到$$Q^2 \gg 2q\cdots P=\nu$$,这就是书中指出的,对于给定的$$Q^2$$,微扰论对应的算符乘积展开计算是在$$\nu=0$$附近进行的.

与之前类似,这里在$$\nu > Q^2$$某处开始存在割线的原因是因为该区域对应真实的物理散射过程.由光学定理导致的(18.111)确保虚部不为零.接着由类似(7.51)附近的讨论,利用复变函数的解析延拓知存在割线,并且在割线两侧实部不变,虚部反号.

为了得到(18.149),首先(18.102)满足以下对称性.它对指标$$\mu\nu$$是对称的,同时它在变换$$(q,\mu,\nu)\to(-q,\nu,\mu)$$下不变.这两点保证了(18.149)成立,其中自变量$$\nu$$不是指标,而由(18.148)定义.

这样,我们知道割线还对称的存在于$$x$$的负半轴.即Fig.18.12所示.

书中指出,上述对称的割线其实有物理意义,分别对应u-channel和t-channel.这里我们并 不清楚 为何这个过程对应u-channel,而且不存在t-channel.这一结论导致$$W_2$$不存在复平面上的其他奇点,所以书中讨论的积分路径的改变成立.

又见这个stackexchange上的问题.

P.634 (18.154)

这里给出了QCD求和规则的第二个实例的最后结果.

特例.在下面一节Operator Rescaling开始处的讨论中,如果等式右边的系数函数与$$Q^2$$无关,则等式左边也无关,这样分布函数$$f(x,Q^2)$$就不应该依赖于$$Q^2$$,而这正是Bjorken scaling的情况.

P.634 (18.155)

合理涉及定义(18.134)但仅适用奇数$$n$$,这是因为在之前的展开比如(18.133)和(18.145)中,求和仅涉及偶数$$n$$.

P.635 (18.157-158)

这两个式子分别对应$$n=1$$和$$n=2$$的情况.

P.636 (18.161)

这里主要讨论的都是twist-2算符,即之前讨论的$$t=d-s=2$$的情况.

这个图里,两外线对应夸克场,其余因子都在顶点上.

我们需要计算Fig.18.13的贡献,并且从中拣选出与未修正的因子成正比的部分.这是在具体讨论算符混合之前的,算符修正对算符自身影响的计算.

因子$$g^{\mu_i\mu_j}$$对应迹的贡献.比如,$$P^\mu P^\nu-\frac{P^2}{4}g^{\mu\nu}$$以及$$n=2$$的例子,$$\frac{\gamma^\mu P^\nu+\gamma^\nu P^\mu}{2}-\frac{\not P}{4}g^{\mu\nu}$$.如书中前面讨论,迹的贡献相对不重要,可以被忽略.

这里的积分中$$\bf k$$不是空间矢量,而是4矢量.积分(18.162)做了平移后,积分对$$\bf k$$进行,计算$$\bf k$$的幂次,它是$$4-6+2+(n-1)=(n-1)$$.由变换(18.163),涉及$$k$$的,仅仅是分子,它的幂次是$$2+(n-1)$$.要从分子的这次幂次中选出两个为$$\bf k$$,其余$$(n-1)$$为$$p$$,这样与(18.161)成正比.

P.636 (18.163)

在(6.40)中代入$$A=(k-p)^2$$,$$B=k^2$$以及$$n=2$$,利用简单代数运算即得.

P.637 (18.164)

第一式,首先因为积分对任何角度均匀进行,实际上无旋转对称性的部分积分由空间反演等对称都为零.这样只剩下与$$g^{\mu_i \mu_j}$$正比的对角项.

而对剩下的对角项,我们对等式两边内积$$g^{\mu_i \mu_j}$$后比较系数即可.

第二式,我们有$${\not k}\gamma^{\mu_1}k^{\mu_j}=k^{\mu_i}\gamma_{\mu_i}\gamma^{\mu_1}k^{\mu_j}\to \frac14 k^2g^{\mu_i\mu_j}\gamma_{\mu_i}\gamma^{\mu_1}=\frac14 k^2\gamma^{\mu_j}\gamma^{\mu_1}$$.其中利用了第一式的结果.

P.637 (18.167)

这个式子下面讨论的情况是把顶点处发出一个光子传播子回到这一顶点.

P.637 (18.168)

这里因子$$g^{\lambda\mu_j}$$来自于光子传播子.

P.639 (18.174)

因为电磁张量的量纲是$$[F^2]=4$$,这些算符的量纲是$$4+(n-2)=(n+2)$$.

P.639 (18.178)

等式右边第二项对应Fig.18.15(a)的贡献,又参考(18.181)的结果.

P.641 (18.182)

书中指出胶子算符只和算符(18.182)有交叉影响.

而与这个表达式正交的算符不受到胶子场算符修正的影响,只是按原算符做比例上的修正.

在下面则是把胶子也考虑后,一个一般的线性组合形式(18.183),及其由算符混合矩阵分析得到的一般结果(18.184).

P.641 (18.185)

容易证明,去掉与(18.182)正比的部分的确与(18.182)正交.具体的,把每个算符视为相互正交的基,则正交对应了$$(1-\frac{1}{n_f})-\frac{n_f-1}{n_f}=0$$.

P.642 (18.191)

这是自由粒子的情况.

Ch.19 Perturbation Theory Anomalies
P.652 (19.9)

这只是对费米子自由场的情况,所以这里运动方程不涉及规范场.

P.652 (19.10)

这里$${\bar\Psi}\gamma^\mu\Psi$$为重子数流,对二维体系只有两个分量.而$$\frac{1\pm \gamma^5}{2}$$分别取得其上下分量.

P.653 (19.11)

容易证明,这里$$\gamma^\mu\gamma^5$$不仅仅按(19.11)是$$\gamma^\mu$$的线性组合,其实是和$$\gamma^\mu$$本身直接有关.

具体的$$\gamma^0\gamma^5=-\epsilon^{01}\gamma_1=-\gamma_1=-\gamma^1$$,而$$\gamma^1\gamma^5=-\epsilon^{10}\gamma_0=\gamma_0=-\gamma^0$$.

P.653 (19.14)

这里给出了(7.75)的讨论和脚注中提及的一般情况下不会出现的特例.即按(7.73)的定义,$$\Pi(q^2)$$在$$q^2=0$$位置存在奇点,这个奇点正好抵消了(7.75)分母上的$$q^2$$因子,使得最终的重整化后的传播子是一个有质量的光子.将(19.13)代入(7.75),发现分母中原来对应零质量奇点的因子$$q^2$$被抵消,新的分母是$$q^2-m_\gamma^2$$,换言之,传播子的奇点对应的质量正是(19.14).

P.654 Fig.19.1

按(19.15)的计算.等式第一步,说明是在计算动量空间的流.等式第二步,这个流通过一个1PI图,把其一个顶点和一个经典场$$A_\nu$$内积后得到的.所以在Fig.19.1右边的黑点对应流$$j^\mu$$留空的带有指标$$\mu$$(被切除外线后)的外点,而右边通过波纹线和带圈的叉对应经典外源$$A_\nu$$.

P.654 (19.17)

这里等式右边的结果对应(19.16)括号内第一项的贡献,由于$$F_{\mu\nu}$$的反对称性,这项对应(19.18)等式右边的结果.而(19.16)的第二项没有贡献,因为它是对称张量乘以反对称张量并对指标$$\mu\nu$$求和,结果为零.

P.654 (19.18)

在接下去的几节中,这个结论被推广到高维的情况,利用不同的计算过程重复得到这个结论.进一步,在19.5的开头,书中指出,轴流守恒来自对称性的推导属于经典场论的范畴,而本章讨论的轴流反常本质上来自量子修正的贡献.

P.654 (19.20)

已验证这个结果.

P.655 (19.22)

这里通过先把一个空间点看过两个点,再取两个点差别为零的极限,通过$$\frac00$$形式得到了一个与之前不同的不为零且有限的结果.这个结果就是手征破缺的物理意义.

使用Wilson线来连接两个不同的点,这样得到的表达式是满足局域规范不变的.参见(15.53)附近的讨论.

P.655 (19.23)

这个极限相当于说分子上的张量是对称不变(只有对角项)的,接着用迹确定其系数.之前本书中有类似的讨论.

P.655 (19.24)

等式右边,前两项来自对电子波函数的导数,而第三项来自对指数上积分限的导数,具体写开后发现其实对应对矢势的导数.

P.656 (19.26)

这里的等式第二步对应的两维积分的计算并不显然.如果在极坐标中计算,可以先把角度部分积分,按定义得到改变的贝塞尔函数$$J_0$$,不过接下来对模$$k$$的积分似乎发散.具体的做法是要把贝塞尔函数的积分写成极限形式,然后找到贡献最大的项,具体参见这个stackexchange问题的解答.

而如果直接在直角坐标中进行计算,那么涉及到一个两维积分.具体参见这个stackexchange问题的解答.

P.656 (19.27)

这里用到之前QED费曼图计算类似的技巧,对所有分量求和最后得到迹的形式.注意到费米子算符交换得到的负号,以及$$\epsilon$$按定义的负号,就得到(19.27)的结果.

P.656 (19.29)

文中下面提到,如果在Wilson线的定义中差一个负号,这就会导致(19.25)中得到$$\partial_\mu A_\nu+\partial_\nu A_\mu$$,这是对指标对称的形式.这样在(19.29)中做相应修改后,三组哑元指标分别为对称,反对称,对称,对所有哑元指标求和后得到其结果为零.

P.657 (19.32)

这里书中指出,对应一维空间(即1+1维时空)中的常数矢势$$A^1$$场的全空间积分,在周期边界条件下,不为零.这个结果由于是度规不变的,所以不可能通过度规变化来消除满足给定边界条件的$$A^1$$场.

P.660 (19.40)

等式第二步这个积分可以在Wick转动后的欧式空间完成.

这样这里涉及到四维空间的极坐标和立体角,包含一个矢径坐标和三个角度坐标,具体参见维基页的讨论.注意到这时体积元为$$k^3\sin^2\theta\sin\phi_1 dkd\theta d\phi_1 d\phi_2$$.其中两个角度积分是平庸的给出$$\int_0^\pi\int_0^{2\pi} \sin\phi_1 d\phi_1 d\phi_2=2\cdot 2\pi=4\pi$$,其实就是三维空间的二维立体角.

对角度$$\int_0^\pi d\theta$$的积分$$\int_0^\pi\sin^2\theta d\theta e^{-ika\cos\theta}=\pi \frac{1}{ka}J_1(ka)$$.其中$$a=|y-z|$$

最后对矢径积分积分$$\frac{2\cdot 4\pi}{(2\pi)^4}\int_0^\infty dk k^3\frac{1}{k^2}\frac{1}{ka}J_1(ka)=\frac{1}{4\pi^2}\frac{1}{a}\int_0^\infty dk J_1(ka)=\frac{1}{4\pi^2}\frac{1}{a^2}\int_0^\infty dx J_1(x)=\frac{1}{4\pi^2}\frac{1}{a^2}$$.等式的最后一步利用了Bessel函数的积分结果$$\int_0^\infty dx J_1(x)=1$$由mathematica验证.

P.660 (19.41)

这里的图左边的费米子外线动量为$$k+p$$,右边的费米子外线动量为$$k$$,上面的规范场线动量为$$p$$.

P.660 (19.42)

这个表达式和之前(19.41)相比的差别仅仅是$$\gamma^\mu\gamma^5$$.注意到这个因子是在第一行作为算符的一部分人为插入的,而求迹是因为,类似S矩阵的计算,计算中涉及对所有同位旋分量的求和.

P.660 (19.43)

这里第二步等式的计算之前(19.26)和(19.40)都类似,在欧式空间积分,把角度积分完毕后,矢径的积分发散,但是因为我只需要这个积分的导数,导数其实是有限的.具体的做法可参见上述(19.40)的笔记以及这个stackexchange问题和这个stackexchange问题的解答.

P.661 (19.46)

首先,这里并不是在计算某个QCD的顶角对应的过程的贡献,而是在计算某(原则上的守恒流对应的)局域算符在某些物理态和真空上的平均值.

这里,(19.45)的左边即流的最低级贡献对应图Fig.19.4中的两种情况.而从(19.45)的左边看,求导(散度)其实相当于乘以动量$$q_\mu$$并内积指标,按Ward恒等式,即把外线$$\epsilon_\mu$$替换为它携带的动量并内积指标结果应为零.而(19.48)给出了一个形式上的具体的"证明".这个证明的症结在于需要做动量平移,而如果积分发散,这样的平移是不被允许的.

另一方面,由于前面看到,求导(散度)并不改变费曼图的样子,只是多乘了一个动量因子.所以可以从等式(19.45)的右边来讨论费曼图,这时每个$$F_{\mu\nu}$$因子贡献一个光子外线.

P.662 (19.53)

首先注意到这里的"其他(指标)"是指四维时空以外其他维度的指标.(19.53)就是在积分中把一个矢量写成这两类指标对应的基矢划分的两个不同子空间内的矢量的和的形式.因为这两类子空间内的矢量和$$\gamma$$矩阵的对易关系是不同,这导致(19.54)的最后一项.

P.663 (19.55)

这里涉及到其他$$\gamma$$矩阵和$$\gamma^5$$乘积的求迹.在Mandle和Shaw的量子力学附录涉及这样的计算,简单的说,只有每个矩阵都出现一次再乘以$$\gamma^5$$的矩阵的迹才不为零,因为$$\gamma^5=i\gamma^0\gamma^1\gamma^2\gamma^3$$乘积以后任何落单的矩阵都导致求迹为零.

这是因为如果不相同的矩阵总数为偶数,那么把左边第一个矩阵轮换到右边最终产生一个负号,导致迹为零;如果不相同的矩阵总数为奇数,那么可以补上缺失的矩阵的平方,得到含$$\gamma^5$$在内的偶数个矩阵,从而迹也为零;唯一不为零的情况是乘积正比于单位矩阵,即上面讨论的情况.

P.665 (19.67)

需要 检查或补全 之前路径积分章节的笔记.

P.665 (19.70)

等式的第二步是一个矩阵关系,证明的主要思路如下.第一,相似矩阵的迹不变,所以可以用相似变换把矩阵对角化.第二,矩阵的指数对数操作都可以按泰勒展开来理解,从而凑出相似矩阵的形式.

P.665 (19.72)

这里指数部分的引入是为了把求和表达为某收敛级数的极限.显然在这个极限下指数部分趋于1.但是在取极限之前,求和收敛.

P.666 (19.74)

这里等式右边的第一项与$$k$$有关,从而按书中讨论,数值很大,而等式的第二项对应规范场的多项式,是被展开的对象.

P.667 (19.79)

利用变换(19.62)和相应的配分函数结果(19.63),把其中的雅克比(19.69)替换为(19.78),即得(19.79).

这个结果被用于从第三个角度来佐证反常流计算结果的合理性.

P.668 (19.81)

本书一直到这里为止,没有牵涉到不同味道之间的夸克的相互作用.这个拉格朗日,不同味道的夸克间仍然是完全独立的.但是这并不妨碍(19.82)讨论拉格朗日的对称性.

P.669 Fig.19.5

图中向左运动的为右手螺旋的夸克,而向右运动(从而总动量为零,换言之,基态的真空激发满足动量守恒)的反夸克其实是左手螺旋的夸克的反粒子.这是因为反粒子的螺旋性和粒子是相反的,同时向右运动的粒子(不论是粒子还是反粒子)其自旋和动量的手征性必须保证体系的总自旋为零,这样(基态的真空激发满足)自旋守恒.

P.669 (19.87)

这里在计算夸克标量密度的真空平局值.第一步等式物理上来自于Fig.19.5的讨论.数学上,因为$$\bar{Q}Q=\overline{(P_L+P_R) Q}(P_L+P_R)Q=\overline{P_L Q}P_R Q+\overline{P_R Q}P_L Q=\bar{Q}_L Q_R+\bar{Q}_R Q_L$$.其中利用手征投影算符$$P_{L,R}=\frac{1\mp \gamma^5}{2}$$,及其与$$\gamma$$矩阵的反对易性质即得.

第二步等式是指如果真空对称自发破缺,那么这个表达式不为零.注意这里计算的是夸克标量密度而非某守恒流的零分量.表面上,(19.87)作为一个不为零的数字,在变换操作(19.82)下不会是常数.特别是因为$$U_L\ne U_R$$.而另一方面,在洛伦兹空间(19.87)是一个洛伦兹标量,在左右手同位旋空间,如书中指出,如破缺后体系的对称性满足$$U_L= U_R$$,则显然(19.87)在对称性破缺后在同位旋空间仍然是一个标量.注意到,因为没有和Higgs机制结合起来,这里的对称性破缺理论仅是QCD在低能下的近似.

最后,考虑到守恒流(19.86),注意到其中$$a=1,2,3$$,我们一共有四个守恒流的分量,而每个分量都有对应的手征对称性.对于上述对称性自发破缺,按Goldstone定理,每个破缺都可以带来一个零质量的标量粒子.所以我们最多可以观测到4个零质量的Goldstone粒子.在实际实验观测中,我们只观测到三个零质量的$$\pi$$粒子.这些粒子都是贋矢量.在后面书中指出,这是因为QCD的赝矢量轴流其实不守恒,而赝同位旋矢量轴流是守恒的,而只有对守恒的对称性才会有真空的对称自发破缺.按这个逻辑,书中接着讨论与贋同位旋矢量对应的守恒流$$j^{\mu 5a}$$的性质.

这里要排除一个容易产生的 误解 .按Goldstone定理,每个破缺的连续对称性对应一个无质量的Goldstone波色子.而在之前章节,这个定理给出的实例是,对线性$$\sigma$$模型,破缺的连续变化的数目就是破缺前$$\sigma$$场的分量数目减一.对这个例子,就是在破缺前后连续对称变换(转动)数目的差,$$\frac{N(N-1)}{2}-\frac{(N-1)(N-2)}{2}=N-1$$.而在一般情况下,Goldstone定理成立的条件并不受限于这样的情况.这里,(19.86)中两个流对应的夸克场U(1)和SU(2)对称性的破缺,分别对应1和3个无限小生成元对应的连续对称性的破缺,所以分别对应1和3个Goldstone波色子.对于后者,具体参见(20.22)的例子,同位旋SU(2)对称性的破缺在自然表示空间导致3个Goldstone粒子,对应三个生成元的对称性都破缺;而在矢量表示空间导致2个Goldstone,沿着破缺方向的空间转动仍然是真空态的连续对称操作.

P.670 (19.88)

这里的结果的物理本质,即为什么对应于全局规范变换的守恒流算符可以用于产生或者消灭$$\pi$$介子,可以参考之后(20.46)附近的讨论.

等式右边因子$$p^\mu$$是因为流守恒$$\partial_\mu j^{\mu 5a}$$,以及$$\pi$$介子质量为零$$p_\mu p^\mu=p^2=0$$的事实.注意到这里流守恒的关系仍然成立(不是anomaly!),因为流守恒方程来自拉格朗日与真空态无关;但是,守恒荷不再存在了,因为后者与真空态有关.(19.88)的等式的讨论之和前者有关.而关于后者的讨论,具体见这个stackexchange的讨论以及这个stackexchange的讨论.

因子$$\delta^{ab}$$,来自产生湮灭算符对易关系,要求两个算符的同位旋指标一致,和更简单的情况一致.最后因子$$e^{-ip\cdot x}$$来自把坐标空间的流算符做傅里叶变换,产生湮灭算符对易关系要求两个算符动量一致,再对动量积分后的结果.

P.670 (19.91)

注意到这里$$m,\tau^a$$都是矩阵,不对易.反对易关系来自(19.89-90)以及赝同位旋轴流的定义(19.86).另外等式右边老版本书漏了$$\gamma^5$$.

P.670 (19.93)

首先(19.92)按等式左边是一个对同位旋变化不变的量.观察(19.92)的右边,同位旋SU(2)变化对应把两边的夸克场按SU(2)的自然表示变化.而在同位旋变化下不变,相当于在中间被夹住的矩阵在左右变换矩阵的乘积下不变,按Schur舒尔引理,中间的矩阵正比于单位矩阵.所以与求迹后的矩阵成正比.这样,不难想象$$\pi^b$$场含有因子$$\tau^b$$,否则求迹必然为零.

接着,不难发现求迹后,即(19.93)的左边对对指标$$ab$$其实是交换对称的.由Pauli矩阵和$$\tau$$矩阵的关系(15.43),以及后者的对易关系$$\{\tau^a ,\tau^b\}=\frac12\delta^{ab}$$,即得等式右边.

P.670 (19.94)

在(19.93)的讨论的基础上,我们把夸克质量和耦合常数$$f_\pi$$提出来,并把其他常数都归结到$$M^2$$中,即得(19.94).

P.670 (19.95)

注意到这里计算的是赝同位旋轴流$$j^{\mu 5a}$$和核子对$$NN$$的相互作用顶角.这个表达式对应Fig.19.6(a)的贡献,其中的第一项,除了赝相互作用顶点因子$$\gamma^5$$外,就非常类似QED中正负电子受到的顶角相互作用的修正的形式,其中$$u,{\bar u}$$为核子波函数.这个之前12.4讨论的局域算符是一个意义.

而Fig.19.6(b)在(19.99)附近给出讨论.改图讨论局域算符的正负夸克线结合为一个$$\pi$$介子,然后和核子线相互作用的贡献.

等式右边老版本书漏了$$\gamma^5$$和$$\tau^a$$.

P.671 (19.97)

等式第三步利用$$\gamma^5$$和其他$$\gamma$$矩阵的反对称性,$$\sigma^{\mu\nu}=\frac12[\gamma^\mu,\gamma^\nu]$$的反对称性,以及无质量粒子的Dirac方程即得.

P.672 (19.100)

这里是按(19.99)直接计算由于$$\pi$$和核子对的顶角对Fig.19.6中赝同位旋轴流与核子对顶角的最低修正,其中$$u,{\bar u}$$为核子波函数.

其中牵涉到$$\pi$$和流的相互作用由(19.88)导致的因子$$iq^\mu f_\pi$$,$$\pi$$的传播子,以及$$\pi$$和核子对相互作用的顶角的贡献引入的因子$$g_{\pi NN}\gamma^5\sigma^a$$,其中$$2\tau^a=\sigma$$.

P.673 (19.103)

注意这里开始讨论反常anomaly,是与之前的自发对称破缺不同的概念.

这里,表达式中对指标$$c,d$$求和.规范场张量的定义由(16.2)决定.这里,如果末态对应某给定的状态,那么指标$$c,d$$是给定的,并不按爱因斯坦规则求和,与之后(19.131)或者Fig.19.9外线的意义相同.

这个表达式可以比较之前(19.45)和(19.60)的结果.其中求迹是由类似(19.28)的讨论,因为计算缩并而引入的.两个规范场张量因子,第一个来自类似(19.25)的差分,第二来自类似(19.43)在高维情况下最低阶贡献为零,而二阶贡献导致第二个规范场张量因子.同位旋矩阵和颜色矩阵都是来自QCD顶角的特性.和之前的结果相比,只需在之前的结果上乘以与同位旋和颜色相关的矩阵的迹.其中$$\tau^a$$来自于流的定义(19.85),矩阵维度对应夸克的味道自由度.另外计算中涉及到两个顶角,因为(19.41)考虑了一阶修正,而由Fig.16.1,每个顶角都涉及到一个$$t^c$$矩阵,矩阵维度对应夸克的颜色自由度.

接着,书中指出,这个表达式右边其实为零.所以,与胶子相关的赝同位旋三态轴流无反常.相反的,如书中下面紧接着讨论的,赝同位旋单态轴流存在反常,同时,与电磁场相关的赝同位旋三态轴流也存在反常.前面涉及的是夸克夸克胶子相互作用对应的赝流守恒,后者涉及的是夸克夸克光子相互作用对应的赝流守恒.

P.674 (19.110)

显然这个表达式的右边满足书中提到的基本要求,两电子交换不变,即同时交换$$(p,\nu)$$和$$(k,\lambda)$$后表达式不变.以及满足Ward恒等式(19.51).但是 不清楚 为什么(19.110)的右边穷尽了所有的可能.

P.675 (19.112)

容易发现,(19.111)中的项,对应$$p_\mu p_\sigma$$和$$k_\mu k_\sigma$$都因为和四阶反对称张量指标的求和而没有贡献,而剩下的两项也因为和四阶反对称张量指标求和的缘故可以写成一项,以及一个系数2.所以我们得到(19.112).

P.675 (19.113)

注意到(19.108)$$F_{\alpha\nu}$$中的偏导在动量空间对应$$p_\alpha$$,而$$A_\nu$$是对应末态光子的外线,所以其实根据费曼规则(4.129)是$$\epsilon_\nu^*$$.

P.675 (19.114)

注意这个表达式里面光子的自旋是求和的,但是其实也可以考虑不求和的情况,这时对应讨论固定偏振的光子的末态的情况.

这个表达式里面的其他项可以做如下理解.因为这里算的$$\pi$$衰变为两个光子的过程是由相应的顶角来算的.和之前(19.100)的逻辑非常类似的是,总的费曼图,除了这个顶角因子外,还有$$\pi$$介子传播子因子,以及轴流和$$\pi$$介子因子(19.88),后两者的形式都已知.这样,因为最后的散射振幅必须是(19.113)的形式,这样就对(19.114)的顶角相互作用形式给出很强的限制了.同时这个顶角也必须满足,比如,同时交换$$(p,\nu)$$和$$(k,\lambda)$$后表达式不变的条件,这也使得我们容易理解为什么其参数化形式中的很多因子与(19.113)是一致的.

P.675 (19.115)

这是整个散射振幅的形式,如之前讨论是三个因子的乘积,分别对应轴流和$$\pi$$介子,$$\pi$$介子传播子,以及$$\pi$$介子衰变为两光子的部分.而这里对光子自旋没有求和.

P.676 (19.120)

这里的拉格朗日和之前(3.40)中的运动方程直接有联系.由拉格朗日(3.34),注意到(3.25)有$$\gamma^0=\bigl(\begin{smallmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{smallmatrix}\bigr)$$,同时将左右手螺旋场(3.36)代入拉格朗日,利用(3.39)的结果以及定义(3.41),即得(19.120).利用(19.120),可以直接得到运动方程(3.40).

和书中之前讨论的区别是,这里对独立的左右手螺旋空间分别赋予了不同的规范场的变换形式.此即(19.121).

P.677 (19.125)

首先我们说明书中指出的$$\sigma^2\psi_R^*$$在洛伦兹变化下按左手场的方式变化.这只需要将(3.37)的第二式取复共轭,左乘$$\sigma^2$$,利用(3.38)并注意到$${\sigma^{2}}^*=-\sigma^2$$,改写获得的关系式并比较(3.37)的第一式即得.

而(19.125)的第二式就是第一式复共轭的转置,其中注意到$${\sigma^2}^\dagger=\sigma^2$$.

这个变换把右手螺旋粒子理解为新的具有左手螺旋的反粒子.

P.677 (19.126)

这个关系可以通过直接计算得到,但是计算过程有些细节容易引起错误.我们给出以下具体的讨论,我们从(19.126)的右边出发,得到(19.126)的左边.首先将(19.125)代入(19.126)的右边,我们得到中间和矩阵有关的部分是$$\sigma^2\vec{\sigma}\sigma^2$$.利用关系$$\sigma^a\sigma^b=\delta_{ab}I+i\epsilon_{abc}\sigma^c$$,我们发现$$1,\sigma^2\to 1,\sigma^2$$,而对另外两个泡利矩阵有额外的负号,即$$\sigma^1,\sigma^3\to -\sigma^1,-\sigma^3$$.接着我们注意到(19.126)是一个数,所以它的转置就是它本身,这样把(19.126)的右边取转置,我们发现$$1,\sigma^1,\sigma^3$$的转置就是本身,而$$\sigma^2$$的转置会出现一个负号.所以这两个因素都考虑以后,利用(3.41)的定义,我们得到$$({\sigma^2\vec{\sigma}\sigma^2})^T=-\vec{\sigma}$$.

但是因为涉及夸克场的算符,以及偏导,费米子算符的交换和部分积分法都会导致负号,正如书中指出的,这两个负号正好相互抵消.这样就得到了(12.126)的左边.

最后,如果认识到拉格朗日是实数,那么不需要进行转置操作,只需要将(12.126)右边取复共轭,代入(12.125)并利用(3.38),即得(12.126)左边.这样并不涉及到部分积分法和交换算符的位置.

P.677 (12.127)

这里等式第一步括号内为正号是因为这里不涉及到部分积分,但是涉及到费米子算符的交换.

注意到,按前面的讨论,这里涉及转置操作.由于(15.82)前面取复共轭的分析同样有效,是完全等价的.

在第三章,我们已经知道对于狄拉克旋量场,表示是可约的,具体见(3.26-27).这里,通过左右手螺旋的分解,书中重新讨论了这个问题并指出,把费米子场写成由自然表示(规范场按对应的伴随表示变化)和它的共轭表示的之和的可约表示的形式是我们对很多已知粒子的最常见的理论处理方式.

P.678 (19.128)

右边第一项是由拉格朗日的形式(3.34)中的质量项决定的,利用左右手螺旋分量形式(3.39)以及$$\gamma^0$$的具体形式(3.25),容易得到第一步等号.

P.678 (19.129)

本书一直到这里为止,没有讨论不同味道的夸克的相互作用.但是如果$$M$$矩阵不是对角化的,那么就相当于牵涉到了不同味道的夸克间的作用.

这里指标$$i,j$$对应同位旋分量的指标,而矩阵$$\sigma^2$$维度对应的分量对应自旋空间的指标,所以它们不在同一个自由度空间.

但是,因为(19.129)是一个数,我们可以对它取转置而不改变其结果.这是我们交换亚变元$$i,j$$,这时涉及到质量矩阵$$M_{i,j}$$的对称性,费米子算符的交换反对称性,以及$$\sigma^2$$转置后产生的负号.全都考虑后,不会产生任何负号.否则(19.129)就必须为零了.

另外,因为同位旋空间的矩阵$$M$$是被波函数夹住的,所以在同位旋变化下,如果$$M$$是个不变张量,那么质量项(19.129)就是同位旋变换下不变的.

接着,书中不加论证的指出,如果与质量矩阵耦合的是自然表示和它的共轭表示(可约表示),那么质量项是存在的.反之,如果体系的夸克对应某不可约表示,那么可以证明手征对称性导致不可能存在质量项.

P.678 (19.130)

书中指出,在经典(树图)情况下,对群表示没有特别的要求.但是在单圈近似下,由于可能存在anomaly,会对群表示给出限制.

表达式(19.130)考虑的是对应某同位旋表示$$t^a$$的贋矢量流.

P.678 (19.132)

注意到这里讨论的与之前赝矢或者赝标对应的流的anomaly类似,但是推广为一个更一般的情况.按之前的推导,流守恒表达式中还涉及到另外两个顶点,但是三个$$\left(\frac{1-\gamma^5}{2}\right)$$因子连乘可归结为一个$$\left(\frac{1-\gamma^5}{2}\right)$$因子,即只需要在计算中引入一个左手螺旋的投影算符即可.故而,我们仅仅在(19.130)中保留$$\left(\frac{1-\gamma^5}{2}\right)$$,而认为其余的顶点就是QCD的顶点.这里讨论的anomaly是指这个因子中的$$\gamma^5$$部分,对应贋矢量流.

和之前的(19.103)相比,这里求迹的矩阵不是$$\tau^a t^bt^c$$,而是$$t^at^bt^c$$.这是因为$$t^a$$来自流的定义(19.84),这里流的定义(19.130)中存在矩阵$$t^a$$,而按之前讨论,去掉了因子$$\left(\frac{1-\gamma^5}{2}\right)$$的QCD顶角不变,所以求迹为这三个矩阵的乘积.

同时,这导致Fig.19.9的两个图的贡献不同,故存在对指标$$b,c$$的对称化.注意到之前(19.103)对应的Fig.19.4的两个图的贡献是相同的.

接下来文中提到可以通过改变重整化条件使得流守恒得到满足,这是指之前(19.20)附近的讨论,即轴矢流和矢流的守恒只能有一个得到满足的例子.在这里,因为三个顶角是对称的,所以总是会有一个顶角无法满足流守恒.

如果体系存在规范场的局域规范对称性,那么必然存在整体规范对称性,而后者与流守恒直接相关.由此,流守恒的破坏直接影响到对理论整体架构的破坏.作为结论,书中指出,作为一个物理上自洽的理论,(19.132)必须为零.这就对表示的具体形式给出了限制.

P.679 (19.134)

这里考虑夸克和电磁场的顶角对应的流,而外线仍然为色规范场(胶子)外线.

P.680 (19.136)

这里相当于说,必须要同时考虑轻子和三种颜色的夸克,他们都以同样的顶角和颜色规范场作用,才能保证没有anomaly.这就要求理论具有同样数目的夸克和轻子两重态.

P.680 (19.138)

在这个表达式上方的讨论中指出,这里涉及到一个完全对称的同位旋不变量.这里尝试给出讨论.

首先,(19.131)在同位旋空间是一个数,因为它的指标$$\nu,\lambda$$是洛伦兹矢量分量,而任何同位旋分量都通过求迹缩并为一个数.当进行同位旋空间的变换时,变换矩阵将出现在求迹符号内.

另一方面,(19.131)对应一个物理过程的散射振幅,由拉格朗日的对称性,它不仅仅是一个复数,对任何对称变换(洛伦兹变换,规范变换,同位旋变换)而言,它必须对应一个恒等表示.我们讨论的部分是散射振幅的一个因子$$\mathcal{A}^{abc}$$,但是因为有在同位旋空间的求迹过程,这个量不包含任何同位旋的分量,所以它必然对应同位旋空间的一个恒等表示.(下面stackexchange问题讨论中的链接指出,可以严格的从数学上直接证明这个结论.)

最后,这个表示由同位旋空间的三个表示的生成元对应的矩阵的指标$$a,b,c$$标记,其中一个来自流的定义,另外两个来自顶角.这里讨论中涉及的三个同位旋矩阵都来自同一同位旋表示.$$\mathcal{A}^{abc}$$对三个指标$$a,b,c$$完全对称.因为生成元对应群表示,矩阵的乘积(这里不是直乘)和求迹都是线性运算,按书中的两个自旋为1的粒子构成的态与第三个自旋为1的粒子的内积的讨论,相当于说这三个群表示的直积空间中必须包含一个恒等表示,否则(19.132)只可能为零.但是,因为这里涉及到的是矩阵的乘积而非直乘, 有疑惑 为何这里可以同样得到这样的结论.作为比较,(19.138)的讨论是矩阵的简单乘积,其结论是明确的,不涉及到上面的讨论.具体的,这个问题是比较复杂的,进一步的参考可见这个stackexchange问题.

P.680 (19.138-139)

从(19.138)出发,(19.139)的结果只需利用(15.74),(15.78)和(15.97)即得.

P.681 (19.142)

这是因为由(19.141)$$A(a)=n-4$$,由(19.140)$$A({\bar n})=-A(n)=-1$$.所以$$n-4+(-1)(n-4)=0$$.

P.681 (19.143)

这个结果可参见之前(15.74)的推导.

P.681 $$\gamma^5$$的定义

这里 不清楚 为何在散射振幅不与$$\epsilon^{\mu\nu\lambda\sigma}$$成正比时,理论的规范不变性可能存在问题.具体的讨论应该涉及群表示理论以及规范对称性的细节.

P.682 (19.144-5)

不难证明(19.144)的第二项对四动量没有贡献.

注意到$$\int d^3x \partial_\lambda\Sigma^{0\nu\lambda}=\int d^3x \partial_i\Sigma^{0\nu i}=\oint d\vec{S}\cdot\vec{\Sigma}^{0\nu}=0$$.其中等式第一步利用了$$\Sigma$$的反对称性,等式第二步是高斯定理.

P.682 (19.146)

首先简单讨论量纲.按路径积分的思路,作用量$$\hbar$$的量纲,在自然单位中为无量纲,故拉格朗日$$[\mathcal{L}]=[m^4]=[\frac12 m^2\phi^2]$$,即$$[\phi]=[m]$$.故对$$\phi^4$$理论,自耦和常数无量纲.

对$$S=\int Ldt=\int\mathcal{L}d^4x=\int \lambda\phi^4 d^4x$$,在标度变化$$\phi\to e^{-D\sigma}\phi(e^{-\sigma}x)$$下不变.其中耦合常数无量纲,不在标度变化下变化.这样,因为作用量涉及对全空间积分,我们可以引入任何坐标变换和相应的雅克比而不影响积分结果.容易验证,在下述坐标变换$$x\to e^\sigma x$$,并考虑到相应的有$$d^4x\to e^{4\sigma}d^4x$$,即发现作用量不变.

P.683 (19.147)

注意到$$\Theta^{\mu\nu}x_\nu={\Theta^{\mu}}_\nu x^\nu$$,以及由(19.144)能动张量守恒$$\partial_\mu\Theta^{\mu\nu}=\partial_\mu T^{\mu\nu}=0$$和$$\partial_\mu x^\nu=\delta_{\mu\nu}$$,即得(19.147).

P.683 (19.148)

这里没有考虑弯曲空间的度规,从爱因斯坦-希尔伯特作用量出发推导物质场能动张量和爱因斯坦方程的讨论可以参考这个维基页.

而真正的问题是,(19.148)得到的能动张量为何与通过拉格朗日在时空平移变换下不变得到的能动张量一致.这个问题的证明参见这个stackexchange问题的解答.证明的思路是,按本书(9.90)附近的讨论,我们可以把局域左边平移与守恒流联系起来.接着,证明微小坐标变换与度规的微小扰动在具体数学形式上有关.最后,通过在坐标变换以及对应的度规变换的组合变换下,作用量不变的事实,把能量张量与度规扰动联系起来.

P.683 (19.149)

这里的讨论和之前(2.10-12)的关于守恒流的讨论直接有关,在某对应性表换下,场和拉格朗日密度进行相应的变换,而作用量不变,从而得到守恒荷.

我们注意到两点 细节 .第一,这里(19.148)是对作用量的变分,而(2.10)或者(2.11)中讨论是拉格朗日密度的变化.特别的,按书中的讨论,在此情况下若作用量不变,拉格朗日密度的变化必然可以表达为某量的散度的形式.对应标量场的变化(19.146),拉格朗日密度同样不是恒定的.但是,如果坐标不做相应的标度变换,作用量并不能保持不变.所以,按之前笔记对(19.146)的讨论,这个标度变化必须配合以坐标变化$$x^\mu\to e^\sigma x^\mu$$,以使得其效果在全空间积分后完全抵消.而坐标变换在数学上可以完全可以用度规变换(14.149)即$$g_{\mu\nu}\to e^{-2\sigma}g_{\mu\nu}$$来实现(注意到指数上的负号),或者$$\delta g_{\mu\nu}\to -2\sigma g_{\mu\nu}$$.另外注意到,(19.148)中涉及的并不是坐标和标量场同时变化下的作用量的变化(这个变化为零),而是在保持标量场形式下,度规(坐标)变化引起的作用量的变化的变分.

所以,结合之前(2.10-11)的思路,我们可以这样来理解这里的标度变化与守恒流的关系.如果把作用量中积分形式$$\int d^4x$$写开,而把剩余部分理解为拉格朗日密度,这时拉格朗日密度涉及标量场的变化也涉及到度规的变化.在此理解下,包含两个因素的拉格朗日密度对标度变化不变,这样对应于(2.10)的右边为零,而(2.11)的变化分两部分,分别由场的变化和度规的变化造成,它们的和为零.具体的
 * $$0=\delta S=\delta \int d^4x\mathcal{L}=\int d^4x \sigma \partial_\mu D^\mu+\delta g_{\mu\nu}\frac{\delta}{\delta g_{\mu\nu}}\int d^4x \mathcal{L}=\int d^4x \sigma \partial_\mu D^\mu-2\sigma g_{\mu\nu}\frac{\delta}{\delta g_{\mu\nu}}\int d^4x \mathcal{L}$$.

其中场的变化(19.146)被归结到第一项中,即参考(2.11),我们有$$D^\mu\equiv j^\mu=\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial (\partial_\mu\phi)}\Delta\phi-\mathcal{J}^\mu$$,第一部分对应标量场的标度变换,第二部分$$\mathcal{J}^{\mu}$$对应一个由拉格朗日密度的全微分(这里可以是零,一个具体的非零的例子参见(2.17)前关于能动张量的推导).而第二项中$$-2 g_{\mu\nu}\frac{\delta}{\delta g_{\mu\nu}} \mathcal{L}=g_{\mu\nu}\Theta^{\mu\nu}={\Theta^\mu}_\mu$$,这里(19.148)中的因子2(老版本书中此式差了一个负号需要补上)是因为比较(19.146)与(19.149),其中并注意到之前讨论的(19.149)指数上差了负号,$$\phi$$场的微小变化和度规$$g_{\mu\nu}$$的微小变化差了两倍.由此我们得到(19.147).

这里最后一项因为非平庸的度规而出现,故放到守恒流的外面.

在后面,(19.152)通过计算指出在经典情况下规范场和无质量的旋量场能动张量的迹为零.

P.683 (19.152)

由(19.151)电磁张量部分的两项求迹相互抵消,因为$${g^\mu}_\mu=4$$.

旋量场部分需要利用场算符满足的狄拉克方程,$$(i\not{D}-m)\Psi=0$$,最后一项自然为零.中间两项相等消去因子$$\frac12$$,再利用狄拉克方程即得(19.152)中的质量项.

P.683 (19.153)

这里是计算耦合常数随着标度变换的变化.由(12.39),一方面由$$\beta$$函数的定义$$\beta=M\frac{\delta\lambda}{\delta M}$$.而另一方面标度的变化$$x\to x e^{-\sigma}$$意味着$$M \to Me^{+\sigma}$$,故$$\delta g=\delta \lambda=\beta\frac{\delta M}{M}=\beta\sigma$$

P.684 (19.155)

这里,等式第一步是(19.147).而其等式右边的能动张量在经典情况下为零.

这里的经典情况,就比如是广义相对论中的定义的能动张量,或者经典Goldstone定理中定义的对称性破缺后的场.

在考虑了跑动的耦合常数后,按类似(19.148)的推导,作用量的变分还会有新的一项,我们仍然不把这项归结到守恒流$$D^\mu$$中去,也不归结到度规的标度变化中去,而是独立的写出来,这就是(19.155)的形式.

因为跑动的耦合常数是一个量子修正的效应,所以我们希望这个结果也可以通过对能动张量的迹求物理真空期待值的方法来得到.

P.684 (19.157)

这就是将(19.156)代入(19.155)的等式右边,考虑到这里$$g = e$$即得.

P.684 (19.158)

在这里我们对计算给出一些 说明.

这里是在计算(19.159)的物理真空期待值,所以本质上和本书前面讨论的传播子$$\langle\Omega| \phi(x)\phi(y)|\Omega\rangle$$,局域算符平均值$$\langle\Omega| J^\mu J^\nu|\Omega\rangle$$,和带导数的顶角期待值$$\langle\Omega| \phi(x)\partial^\mu\phi(y)|\Omega\rangle$$数学形式上是一致的.

我们需要具体说明的是Fig.19.10的三个图的意义.

和背景场方法类似的,我们把电磁场写为背景场和规范场的和,然后在物理真空平均中考虑把规范场和旋量场做路径积分,最后得到的结果是经典场的泛函.根据(19.159)中每一项中的场算符的因子的不同,对应的费曼图分别对应不同外线的情况.但(19.158)左边只要求考虑所有含有经典场的平方作为因子的结果.

第一个图和第二个图都是在计算$$\langle\Omega| (1-d)\bar{\psi}i\not{D}\psi|\Omega\rangle$$.考虑这个物理真空期待值,除了常数和导数外,这个真空期待值计算的是有两个旋量场因子的费曼图,从所有的可能中,选出最低阶的并且含有经典场平方因子的费曼图.任何费曼图涉及的顶角相互作用,就是QED的顶角相互作用,并额外考虑经典场取代规范场的情况即可.

因为$$\not{D}=\gamma^\mu\partial_\mu-\gamma^\mu A_\mu$$,第一个图对应局域算符$$\bar{\psi}\partial_\mu\psi$$的物理真空期待值,其中圆里加叉的符号就是对应这个局域算符.在这个场算符处,动量是守恒的.这个局域算符不含有经典场因子,故两个经典场因子需要通过QED顶点在圈图的其他位置给出.正因为如此,这个图与第二个图相比,多了一个传播子.但是,正如书中指出,这个传播子在分母上的贡献与场算符在分子上的额外因子正好抵消.为了方便起见可以考虑旋量场质量不为零的情况.分子上的额外因子是$$(\not{p}-m)$$,而传播子因子是$$\frac{1}{\not{p}-m}$$,正好抵消.

第二个图对应局域算符$$-\bar{\psi}\gamma^\mu A_\mu\psi$$.它的物理真空期待值需要和第一个图分开讨论是因为它含有一个经典场的因子.所以只需要在圈图上增加一个额外的含经典场的顶点即可.至此容易发现第二个图与第一个图的确相互抵消.这是在考虑了量子修正的层次上的抵消.

第三个图显然对应场算符平均值$$\langle\Omega| -\frac{4-d}{4}(F_{\lambda\sigma})^2|\Omega\rangle$$.这个"顶角"或者局域场算符同样由圆里加叉的符号来代表.在图中折线如果是外线,那么可以代表背景场也可能代表规范场,但是如果是内线,则只可能是规范场.我们是在所有的可能中选择最低阶的,非零的贡献.如果不考虑单圈修正,那么必须都选择为经典场,不含单圈修正(把图中的光子自能圈图去掉).但这时结果为零,由于$$d=4$$的因子的存在.当考虑单圈修正时,就是第三个图的形式,光子外线为经典场,内线为规范场,再加上一个圈图.如书中指出的,维度正规化得到的4维时圈图的发散正好与4维时空的对应的因子$$\frac{4-d}{4}$$抵消,得到有限的结果,正是迹反常.关于具体计算的讨论参见(19.161)的笔记.

P.684 (19.159)

这里是从(19.151)出发,注意到任何$$g_{\mu\nu}$$和其逆矩阵的乘积的迹为空间维度,以及$$m=0$$即得.

P.685 (19.161)

利用(7.90)和之后(10.44)的结果,取$$m=0$$,注意到$$\int_0^1 dx 8x(1-x)=\frac43 $$.利用$$\Gamma(n+1)=n\Gamma(n)$$及$$\Gamma(1)=1$$,换言之在4维情况下$$\left(2-\frac{d}{2}\right)\Gamma\left(2-\frac{d}{2}\right)=\Gamma\left(3-\frac{d}{2}\right)=\Gamma(1)=1$$.并且,注意到规范场传播子的分母中的动量因子与(19.159)第一项局域算符和圈图的额外动量平方抵消.从而最后得到(19.161)的结果.

具体的,第一项局域算符导致因子$$2(k^2 g^{\mu\sigma}-k^\mu k^\sigma)$$,而圈图含有因子$$2(k^2 g_{\sigma}^\nu-k_\sigma k^\nu)$$.把他们相乘并把指标缩并,为了方便计算可以用Ward恒等式简化,就得到一个额外的$$k^2$$因子.

但是, 不理解 的是,为何单圈图处没有引入抵消项?

P.685 (19.162)

利用QED的$$\beta$$函数的具体形式(12.61)即得.

Ch.20 Gauge Theories with Spontaneous Symmetry Breaking
P.691 (20.8-9)

这里是通过一个最简单的模型计算,标量场负责对称性破缺,因为需要局域对称性所以必须有规范场.这里的计算结果说明,在具有局域规范和全局规范对称性的体系中引入整体规范对称性破缺,除了标量场出现无质量的Goldstone介子外,与局域规范有关的规范场出现一个"质量项".一个有质量矢量场的真空传播子的推导参见这个练习,以及本书第21章的讨论与相应笔记.

因为一个有质量的洛伦兹矢量粒子自旋为1,由于运动方程Proca方程导致的约束方程四个分量中有三个是独立的.相比于零质量的洛伦兹矢量光子多一个.这个多出的自由度与Goldstone介子的关系在这一节后面部分被指出和进一步深入讨论.

注意,这个拉矢量正是用于研究超导的朗道金兹伯格模型的拉矢量!

P.691 (20.11)

书中提及了之前第19章的二维情况下的特例,规范场在自能修正中获得质量的特例.一般,由于Ward恒等式,以及自能不包含原点处的奇点,规范场不会由于重整而获得质量.

这里具体计算了真空极化对传播子的修正,计算的结果是截肢的.计算中把上述质量项看做相互作用顶角并和Goldstone标量子的相互作用结合起来.结果发现,规范场传播子极化修正为横向偏振粒子,即因为横向偏振投影算符的存在,只有横向偏振的光子态才可能被修正.注意到其中横向偏振投影算符是指因子$$g^{\mu\nu}-\frac{k^\mu k^\nu}{k^2}$$满足Ward恒等式.与零质量的电磁场的情况类似,这个因子来源于所有偏振态的求和.再次强调,这里没有考虑自由规范场的传播子,而且不是在计算传播子的修正部分,而是截肢的修正部分.

这样我们发现,比较(19.13),这正和之前本书中的讨论完全类似.具体的,比较(7.73-75)进入到最后考虑修正的传播子分母是去掉括号中因子$$\left(g^{\mu\nu}k^2-{k^\mu k^\nu}\right)$$的部分,而分母上剩余的$$k^2$$与(7.75)中分母上因子消去后,得到最后质量不为零的传播子.

P.692 (20.12)

这里讨论了一些重要的物理思想.比如超导中Higgs机制使得电磁场获得质量而产生麦瑟尔效应.Goldstone波色子自由度在规范场获得质量的过程中被吞噬,同时无质量的规范场在获得质量后偏振,换言之,自由度的数目增加等.书中指出,这部分内容将在下一章讨论,本章剩余部分主要讨论弱电统一理论的基本框架.

P.692 (20.13)

矩阵$${t^a}_{ij}$$是纯虚的,因为按约定,变换前后的标量场是实的.矩阵是厄米的因为场和复共轭的内积在变换下不变,而因为是纯虚的厄米矩阵,矩阵元是反对称的.

P.693 (20.19-21)

在(20.19)的相互作用中,自由度$$\phi$$是同位旋空间的某表示(比如基础表示,矢量表示,等),姑且称为同位旋空间的矢量(并非洛伦兹空间的矢量),它的$$i$$分量是$$\phi_i$$.它与规范场$$A_mu^a$$有相互作用.书中指出,它必须与某个以$$a$$标记的同位旋空间常数矢量$$T^a\phi_0$$内积不为零,相互作用才不为零,最终相互作用要对所有的$$a$$求和.换言之,$$\phi$$中任何与$$T^a\phi_0$$垂直的分量是没有任何贡献的.我们指出,常数矢量$$\phi_0$$是由破缺的真空态决定的,而$$T^a\phi_0$$正比于真空态在同位旋空间中转动时增量的方向.不难注意到,要求$$\phi$$与这个方向垂直,这实际上就是要求$$\phi$$仅限于Goldstone粒子自由度的方向.因为由Goldstone定理,后者是无质量的激发态,所以它的传播子具有(20.20)中$$1/k^2$$的形式,与之前阿贝尔情况下(20.11)等式右边第二项的形式一致.同样的,(20.21)与(20.11)一致.

P.694 (20.26)

这是Goldstone定理的一个本质上与线性$$\sigma$$模型的对称性破缺不同的应用.这里,同位旋SU(2)基础表示的真空态破缺,不失一般性真空态波函数可以写成(20.23),代入后得到相互作用项(20.24),我们注意到不同指标的对称求和结果为零,无贡献,所以可以写成(20.25)只涉及一个同位旋指标$$a$$的求和,有三项.因为对每个$$a$$,真空态(20.23)都是破缺的,所以全部(三个)连续对称性都破缺了,根据Goldstone定理比如存在三个质量为零的标量粒子,它们就是(20.20)中传播子对应的不同$$j$$指标的粒子.另外(20.25)导致(20.26),是三个Higgs粒子.它们质量相同,故三个连续对称性破缺的情况完全相同,也从另一个侧面再次确认了Goldstone波色子的数目为3.

P.695 (20.27-31)

这里给出另一个例子,对应同位旋SU(2)矢量表示的真空态破缺.这里,重复完全类似的手续,书中通过具体计算给出,三个连续变换中只有两个是破缺的.

值得指出,这个例子,正是试图错误的用线性$$\sigma$$模型的真空自发破缺来理解SU(2)同位旋基础表示空间的真空自发破缺,容易进入的死胡同.值得 比较领会.

P.697 (20.40)

将(20.37-39)代入(20.35),如果任何生成元与$$\Phi$$对易,那么(30.35)为零,对Higgs质量没有贡献.所以质量项只能在指标$$a, b$$与$$\Phi$$都不对易的情况下不为零.

下面证明,如果,我们考虑$$\Phi=t^c$$,如(20.37),$$\Phi\sim t^8$$,那么质量项是一个对角的质量矩阵的迹的形式,而且质量矩阵正比与单位矩阵,即(20.40). 具体的,我们有
 * $$\mathrm{tr}([t^a,\Phi][t^b,\Phi])=\mathrm{tr}(if^{ace}t^eif^{bcd}t^d)=(-1)C(r)f^{ace}f^{bcd}\delta^{ed}=-C(r)C_2(G)\delta^{ab}$$

其中等式第一步是利用了(15.68),与具体表示无关的生成元的对易关系,等式第二步利用了(15.78),对任何不可约表示成立,而等式第三步利用了(15.93)是与伴随表示的克什米尔算符有关.

P.697 (20.42)

这个结果说明,在一般情况下,质量也未必是相等的.但这里,规范场的质量矩阵仍然是对角的.其实如果不对角,质量项(20.35)总可以写成一个对指标$$a, b$$对称的矩阵对指标$$a, b$$求和的形式.这样,因为我们可以把对称矩阵对角化,总是可以在这个对称破缺的子空间选取适当的坐标轴使得规范场的质量矩阵对角化.

P.698 (20.43-44)

按之前的笔记,拉氏量密度的变化在指数上参数$$\alpha$$为常数是为零,故在局域规范情况下,即$$\alpha$$不为常数时,拉氏量密度与$$\partial_\mu\alpha$$成正比.其中$$a$$与其他对称性表示有关,比如同位旋分量指标.

把$$\alpha$$为常数视为非常数情况的特例.利用(20.43)的结果,考虑到这时作用量不变,对时空的积分利用部分积分法即得(20.44),此即流守恒方程.这个流守恒是对应整体规范变换的.

P.698 (20.45)

这是本书之前第15章的内容.如果不含有规范场,那么由(20.43),局域规范变换导致的拉格朗日的变化.而如果存在规范场,拉格朗日在局域规范变化下是不变的.具体的,按(15.46),规范场的变化用耦合常数展开,其主要部分为$$\frac{1}{g}\partial_\mu\alpha^a$$,这部分贡献应该正好抵消(20.43)中的变化.

这里的结论是,局域规范场的矩阵元就是对应的全局规范对称性对应的守恒流与规范场的内积.

这样得到的矩阵元,即(20.45)的第二项,不涉及任何具体的拉格朗日量的形式,所以按书中的说法,这里的讨论超越了书中之前洛伦兹标量场的例子的Higgs机制的例子,是一个更为一般的方法.

P.698 (20.46)

这里考虑的Goldstone波色子的重要例子就是洛伦兹矢量粒子$$\pi$$的情况.这里$$\pi$$介子不是真空态,而对应对破缺的真空态进行旋转后得到的自由度.

这里的$$J^\mu$$一方面是和之前路径积分推导中的局域规范变换联系起来,另一方面对应全局规范变换的守恒流.按之前的讨论,矩阵元就是守恒流与规范场的内积.现在的上下文是在真空的自发破缺对称性破缺的情况下这个守恒流的性质.一方面,流的零分量对应其守恒荷.另一方面,由(2.12)或者具体的实例(19.84),守恒流对应的算符就是对称性旋转的生成元,而真空在对应的微小转动操作下得到的是在真空态附近的Goldstone自由度.故流就是Goldstone场的生成消灭场算符.我们 理解 如下,在转动操作下,非零的真空基态场的各个分量按具体的转动表示进行转换.但是,这里的讨论涉及的某群表示基矢量的分量,并不是数值.实际上,回顾在本书之前对线性$$\sigma$$模型的讨论中,虽然不涉及到转动,但是在基态附近展开的场分量,比如(11.8)中的$$\pi, \sigma$$都直接被理解为(11.9)中的场算符.而基态的分量$$v$$被理解为数值.现在,基态通过流对应的转动被转变为另一个场,这个场和基态的差别,是(11.9)中的Goldstone场$$\pi$$,显然对应场算符.所以,产生这些Goldstone自由度的转动操作,即对应整体规范变换的守恒流,就必然应该对应Goldstone场的的产生消灭算符了.

参考之前(19.88)的讨论,这里从物理上阐明了(19.88)的运算的物理基础,即守恒流算符是$$\pi$$场的生成消灭算符.利用在真空破缺下仍然满足的流守恒以及$$\pi$$介子质量为零的条件,我们得到了(19.88)或(20.46)的唯象的参数化形式.

最后,因为(20.46)的右边正比于无质量粒子的四动量,而(20.45)等式右边的第二项对应的顶角只有在足够小时微扰才有意义,故书中提到这些讨论对应红外极限的情况.

P.699 (20.48)

这里,我们再次退回到标量场的情况,用具体的例子来讨论上述结果.

因为拉格朗日密度在变化下不变,这就是按(2.12)等式右边第一项得到的.其中第一个因子对应对场的偏导,而第二个因子对应场在对称性变换下的变化.

P.699 (20.50)

这里将(20.49)代入等式左边,注意到区别真空场$$\phi_0$$和Goldstone玻色子$$\phi_i$$,其中真空场仅仅是一个数,以及扣除导数算符产生一个(被积分的)动量因子,剩余部分是$$\langle 0|\phi_i(x)|\phi_j(p)\rangle$$.注意到$$\phi_j(p)$$中只有产生算符部分才有非零贡献,所以对应的$$\phi_i(x)$$的消灭算符部分与之得到$$\delta$$函数和符号,求和和积分后得到(20.50)右边的结果.

P.699 (20.51)

这个因子只有在同时满足两个条件下才不为零.第一是必须是真空破缺态的非零分量.第二这个分量必须在对应的对称性转动下变化,即在对应的转动生成元作用下不为零.换言之,如果在对应的转动下不变,则在对应的生成元作用下为零.

P.700 (20.53)

这里的计算思路与之前(20.11)的情况是很类似的,就是这里给出的是更为一般的说明.因为Ward恒等式的要求,我们只需要考虑(20.53)中的$$\frac{k^\mu k^{\nu}}{k^2}$$项的计算,因为类似(20.11)的第二项,这项可以通过计算Goldstone玻色子中间态的过程来得到.而它的系数就是Higgs的质量.

P.700 (20.55)

这个结果在书中被称为"质量矩阵",这在后面P.717页最后一段以及之后(20.120)被再次提及.这里矩阵的指标$$a, b$$

P.701 (20.62)

这里采用与(20.53)的讨论类似的逻辑,我们仅讨论(20.53)中的一项,另一项由Ward恒等式应该自然的被确定下来.但是,这次讨论的是规范场的平方项.

首先(20.63)中定义的四个场在表明上是"归一"且"正交"的.这是因为场算符的不同分量对应独立的激发态,所以是对易的."归一"注意到在拉格朗日中是场算符和它的共轭的乘积,比如对$$W^+$$,即是$$\frac{1}{\sqrt{2}}(A^1+iA^2)^\dagger \frac{1}{\sqrt{2}}(A^1+iA^2)=\frac12 ((A^1)^2+(A^2)^2)\to 1$$,最后一步要把每个场分量视为是归一的.而"正交"的证明也要用到这点,同时注意到不同的场分量间是对易的.即对$$W^\pm$$粒子,有$$\frac{1}{\sqrt{2}}(A^1+iA^2)^\dagger \frac{1}{\sqrt{2}}(A^1-iA^2)=\frac12 ((A^1)^2-(A^2)^2)\to 0$$.最后一步同样是把每个场分量视为归一的.

实际上对$$Z^0$$和$$A$$的定义可以看的更清楚些.考虑两个场$$A^3$$和$$B$$,我们通过上述线性组合得到$$Z^0$$和$$A$$.如果它们的质量相同,那么对质量项,因为$$Z^2+A^2=(A^3)^2+B^2$$,我们可以直接把拉矢量用线性组合后的场写出来,而不难注意到,动能项我们其实可以做完全类似的操作.所以对两个独立的质量相同的自由场,在上述意义下通过线性组合,我们可以自由组合得到两个等价的自由度.现在的情况是,我们知道其中一个场的质量为零,而其动能项仍然是存在的.所以我们说$$A$$的质量为零.但是问题是,既然$$Z^0$$和$$A$$的质量不同,为什么还可以使用上述线性组合的方式来定义场呢?这是因为,这里是在讨论Higgs机制,而在获得质量之前,所有的粒子质量都相等,都是没质量的,所以的确可以这样来组合.

总结上面的讨论,我们知道(20.62)在最后还有一项质量项平庸的等于零,即$$m_A^2 A^\dagger A=0A^\dagger A=0$$.另外两个$$W^\pm$$粒子的质量相同,按上述讨论,故它们定义存在一定的任意性,参见(20.69)的讨论,这可以通过要求其线性组合构成电荷本征态确定下来.

P.702 (20.66-67)

这里$$T^\pm$$的定义的符号与(20.63)中正好相反.

另外(20.67)是一个具体实例,即SU(2)的基础表示(又名,旋量表示)的情况,对应于拉格朗日中电子与中微子的变化规则,又见(20.75)附近的讨论.

P.702 (20.69)

在这个模型中真空态是对称破缺的,但并非完全破缺,即真空态在某些生成元对应的对称操作下不变.具体的,生成元作用在基态上得到为零的结果.和对称性破缺的生成元对应的规范场由Higgs机制获得质量,没有破缺部分对应的规范场仍然为零质量.但是上述讨论是关于标量场$$\phi$$的.具体的,它的变换满足(20.57),真空态表达为(2.58),在对称操作(2.59)下真空态保持不变.注意到!在这里(20.65)我们考虑的是协变导数作用在满足SU(2)直积U(1)的某表示的费米子波函数上的情况,比如,SU(2)的基础表示直积U(1)的标量表示,即(20.75)这点在(20.65)以上的讨论中被指出.进一步,我们顺便指出,实际上$$E_L$$与$$\phi$$都是SU(2)群基础表示的基,所以在(20.98)中,他们可以构成SU(2)空间的不变表示.

我们先以(20.66)的最后一项为出发点,讨论定义(20.69)给出的电荷算符性质.这个算符对应SU(2)$$\times$$U(1)对称操作的生成元,在后面的分析中主要被作用于费米子场$$E_L$$.我们先把注意力集中在SU(2)变换部分,问题中涉及到的费米子场在相应生成元的作用下按群的某表示变化.如果是标量表示,则生成元作用在场上得到为零的结果.如果是中微子电子构成的SU(2)基础表示的基(20.75),则按SU(2)基础表示(书中(20.67)中提及SO(3)的旋量表示就是SU(2)基础表示的另一个叫法)变换,如果是两味夸克,也是按SU(2)的基础表示变换,如果是三味夸克,则按SU(3)基础表示变换.这部分讨论的前提是已取定(20.66)的最后一项,所以,这里的特殊之处是我们选取了特定的表示矩阵.比如,我们选择$$T^3$$为对角化的形式,使得(20.75)的粒子态$$E_L$$是$$T^3$$的本征态,这样矩阵$$T^3$$就可以被其本征值取代,得到一个对角矩阵,记为$$Q$$.在此意义上对给定的物理粒子,$$Q$$就是一个"数".从(20.75)的两维列矩阵的角度来说,$$Q$$就是一个$$2\times 2$$的对角化的矩阵.

从守恒流的角度,我们可以对(20.69)给出进一步的 分析 .我们知道,守恒流的零分量是相应的荷.对SU(2)变换,我们其守恒流的形式类似(19.85)的第二式$$j^\mu=\bar{E_L}\gamma^\mu\tau^a E_L$$,其中$$a=1,2,3$$且已经适当的考虑了其手征投影.注意到这里涉及三个流对应的三个荷$$j^0=\bar{E_L}\gamma^0\tau^a E_L={E_L}^\dagger\tau^a E_L$$.注意到其中$$\tau^a$$正对应转动的基础(旋量)表示的生成元.由此,如果真空在对称转动操作下没有破缺,那么转动的生成元作用在真空上就只能得到零.反过来,自发对称破缺会使得真空态带有某电荷.换言之,在本书之前的讨论中,我们知道对称性破缺即使不影响流守恒,而现在我们得到结论,因为对应自发破缺的流的零分量作用在基态上不为零,对应基态的荷不再为零.在这里,容易验证,对$$\phi$$场而言,对称操作(20.59)的生成元作用在基态(20.58)上的确为零.在此意义上,(20.69)正对应了未破缺的,保持了作用在基态上为零的,它对应某守恒流的零分量,所以是物理上有意义的守恒荷,我们用这个算符来讨论费米子$$E_L$$的电荷.

因为这里的模型必须能够描述在实验中观察到的粒子态,所以涉及到的对电子,中微子,夸克的$$Y, Q$$的数值都必须与观测相符.

我们不妨计算一下(20.63)中规范介子的电荷,我们以$$W_\mu^\pm$$介子为例.注意到$$A_\mu^{123}$$对应SU(2)的矢量(伴随)表示,而$$B_\mu$$对应U(1)的标量表示,因为电荷算符是$$Q=T^3+Y$$,所以容易发现$$Z_\mu^0, A_\mu$$的电荷为零.下面我们计算$$W_\mu^\pm$$在电荷算符作用下的结果.实际上我们只需要计算在$$T^3$$作用下的结果.为此我们利用其矢量表示下的矩阵形式(参见这个链接或者这个链接的(2.60)) $$D(T^3)=\begin{pmatrix} 0 & -i & 0\\ i & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$ 以及矩阵表示的定义$$T^3 A_\mu^i=A_\mu^j D(T^3)_{ji}$$.比如我们得到$$T^3 A_\mu^1=-iA_\mu^2, T^3 A_\mu^2=-A_\mu^1$$,从而$$QW_\mu^\pm=T^3 W_\mu^\pm=\mp W_\mu^\pm$$.这与$$W_\mu^\pm$$的电荷数正好 差了 个负号.这可能是由于矢量表示基的编号顺序定义的不同造成的.具体参见这个提问.

最后,我们指出,标量场$$\phi$$的真空破缺对电子夸克等费米子是有影响的,通过相互作用项,它导致这些粒子获得质量,这在(20.100)附近被讨论.破缺的标量场及其量子涨落对应的自由度,即Higgs波色子在(20.110)以及本书下一章被具体讨论.

P.704 (20.78)

利用(20.65)的形式和(20.75)下方的讨论,以$$Y=+1/6$$代入即得.

P.705 (20.80)

利用(2.67)右边Pauli矩阵的具体形式,即得(20.80)各项.

P.706 (20.81)

这里整段的讨论和具体计算,一方面是利用了之前对QED和QCD情况讨论的结论,证明它们并不会带来"手征反常"的关键步骤,另一方面逐项考虑Fig.20.2中的各种可能,逐项证明其没有贡献.按本书的勘误,Fig.20.2还少了一个SU(2)波色子,两个引力子的情况,但由(20.82),同样可以证明其贡献为零.

这里除了证明理论不存在反常流外,还解释了为什么轻子和夸克的代数必须一致.因为后者是反常流不存在的充分条件.

P.707 (20.86)

本式与(20.84)相比,后者只涉及夸克,但是本式涉及夸克与电子,所以涉及到两者的简并度的比值,故有颜色因子$$3$$.

P.709 (20.94)

利用(20.67)的具体形式代入(20.94)等号右边的第一和第二项,即可得到(20.90)的结果.

P.710 (20.96)

如书上的讨论,考虑(20.80)的相互作用项,注意到用费米子的电荷$$Q_f$$来取代具体的数值,即得等式右边的形式.

P.713 (20.98)

再次强调,这里涉及的按SU(2)基础表示变化的标量粒子$$\phi$$的波函数,不要与电子中微子(或者夸克)波函数(20.75)混淆.

这里(20.98)构造了一个标量.首先,其中$$\bar{E}_L$$按SU(2)基础表示的复共轭变换,$$\phi$$按SU(2)基础表示变换,$$e_R$$按SU(2)恒等表示变换.所以对于SU(2)对称性这是一个不变量.这在数学上相当于用一个群的若干表示的基来构造一个不变表示.

其次,对于U(1)对称性,如果(20.98)对应一个不变量,那么它们的$$Y$$荷之和应该等于0,这样指数上为1,变换为恒等变换.$$\bar{E}_L$$的$$Y$$荷为$$+1/2$$,具体参见(20.75)上方的结果以及复共轭.$$\phi$$的$$Y$$荷是$$+1/2$$,见(20.57)上方的讨论.而$$e_R$$的$$Y$$荷是$$-1$$,参见(20.75)上方的讨论.显然它们的总和的确为零.

最后,对于洛伦兹对称性$$\bar{e}_L e_R$$构成洛伦兹标量,其余$$\nu_L, \phi$$也是洛伦兹标量.

P.713 (20.99-100)

代入(20.75)以及真空态(20.58)即得(20.99),另外比较(20.76)的讨论,即知质量修正为(20.100).

P.713 (20.101)

类似轻子,对涉及夸克的相互作用顶点也可以进行类似的讨论.注意到右手夸克针对SU(2)空间是恒等表示,而左手夸克在SU(2)空间是旋量表示.

与之前类似,表达式必须满足在SU(2)空间必须是不变量,在U(1)空间也必须是不变量所以$$Y$$荷之和等于零.与之前不同的是,存在有两种不同的方式通过SU(2)的旋量表示构造不变表示,第一种方式是我们熟知的,对应(20.101)等式左边第一项,如果我们在拉格朗日密度中要求粒子和反粒子同时出现,这是唯一的可能.而第二种方式两项之间是线性组合关系,不涉及相对的复共轭操作,这在两项涉及不同种类的粒子时可以被允许,此即(20.101)的第二项的形式.具体数学形式可参加这个链接.

P.714 (20.104)

注意到这里夸克获得质量的机制和电子(20.100)是完全类似的,但是这个机制表面上与之前(19.87)附近所描述的对称性破缺获得质量是不同的.在那里,对称性并非由$$\phi$$场承载和破缺,而是直接由夸克场承载和破缺.这里破缺的真空态即(20.58),流算符的零分量作用在真空态上不为零,流算符的具体形式是(20.49),是$$\phi$$场的函数.在之前,夸克的标量密度算符作用在真空态上即(19.87),夸克密度算符与流算符(19.86)都是用夸克场来表达的.该理论仅能视为QCD在低能下的某种近似描述.

这两个不同的夸克获得质量的机制其实代表了两类不同的模型,在本书最后一章P.789,这点被进一步讨论.

P.714 (20.107)

易证这里$$V_{ij}=(U_u^\dagger U_d)_{ij}$$的确是一个厄米矩阵.

P.715 (20.109)

这里的讨论指出,右手中微子不存在与中微子的零质量是直接相关的.因为如果相互作用(20.109)存在,代入(20.75)与(20.58),比较(20.76),类似之前(20.100)的结果,那么电子(左右手)中微子的质量获得不为零的修正.同时,另外一个重要的结论是不同代的轻子是没有混合的,本质上与不同代的夸克之间的转换(20.107)不同.

P.717 (20.117)

这里考虑的理论是替代(20.57-58)的标量SU(2)$$\times$$U(1)对称性破缺的理论,比如是一个矢量介子理论.后者同样满足规范场,电子,与夸克获得质量机制,以及(20.117)的实验结果,只是在Higgs机制部分更为复杂而已.

后者与标准模型的区别,实验上可以由比如测量Higgs波色子的自旋来甄别.

P.718 (20.121)

这里书中的论述来源于本书之前Higgs机制导致规范场获得质量的讨论,以及参考(20.69)的讨论.

首先,我们知道光子为零质量是因为与光子相关的对称性并没有破缺,因子无法通过Higgs机制获得质量.光子对应的未破缺的对称操作类似(20.59),这是标量的弱电标准模型的实现.它的生成元即为(20.69),把它作用在破缺的真空态上得到零.换言之,生成元无法如(20.46)那样激发出Goldstone粒子.我们只能得到零,此即(20.121).所以对零质量规范场的要求就是对称性不能完全破缺.

P.718 (20.122)

考虑之前的(19.88),这是ud夸克SU(2)整体对称性破缺导致的Goldstone波色子,对应物理上的$$\pi$$介子,本质上由真空夸克场通过对应SU(2)表示的生成元旋转而成.(20.46),这是某$$\phi$$场SU(2)整体对称性破缺导致的Goldstone波色子,形式上也记为$$\pi$$,本质上同样由真空夸克场通过对应SU(2)表示的生成元旋转而成.两者的区别是,对后者,如果基态在守恒流的某生成元对应的转动下没有破缺,那么$${F^a}_k=0$$.反之,对前者,在QCD中,ud夸克从属SU(2)的基础表示(考虑到同时满足的洛伦兹对称性,对称性对应的守恒流是赝轴流),真空对SU(2)的三个生成元都是破缺的,所以有$$\delta^{ab}$$因子.

这里(20.122)相当于说,这里讨论中涉及的广义的Higgs模型的真空对应于SU(2)的三个生成元也都是破缺的,形式上与(19.88)类似.容易验证,这与之前标量场$$\phi$$的结果(20.57-59)也是一致的.具体的,真空态(20.58)在SU(2)的任意生成元作用下都不为零.它其实是在SU(2)$$\times$$U(1)的某种线性组合的转动操作下才等于零,即一共3+1=4个生成元,通过线性组合后独立生成元数字仍然是4,真空对其中一个生成元没有破缺(因为只有一个生成元,它对应U(1)对应性,但是并非最本拉格朗日中的那个U(1)对称性),在它的作用下为零.我们取另外三个生成元为SU(2)的三个生成元,并且把对应的Goldstone波色子$$\pi$$定义为由它们作用在真空态上产生的无质量的自由度(这在本页的最上方的讨论中也被提及).这些自由度在之前文中并没有被具体讨论,因为(20.110)仅考虑了幺阵规范的情况,但按P.692及本页的讨论,这些自由度在相应的规范场获得质量的过程中被吞噬而消失.

注意到,这样的定义似乎破坏了SU(2)$$\times$$U(1)生成元的某种正交性.实际上,(20.123-124)就是被这样定义的$$\pi$$场必须满足的条件,其中(20.124)质量矩阵是相对于破缺前SU(2)$$\times$$U(1)生成元而言,注意到它并不是对角化的,是必须付出的代价.

以标量场的情况为例,因为真空态(20.58)是已知的,生成元的矩阵表示(20.57)是已知的,前者是SU(2)的基础(旋量)表示的基,被生成元作用后仍然属于这个不可约表示空间,所以(20.122)中内积左边的三个矢量$$\langle 0|j^{\mu a}$$满足的对称关系其实是明确的.书中指出,它们与$$|\pi^b \rangle $$代表的SU(2)矢量表示的对称关系完全一致.具体的,我们计算如下.记$$|0 \rangle =\phi_0=\binom{0}{v}$$,$$|\pi^1 \rangle =\tau_1\phi_0=\binom{v}{0}$$,$$|\pi^2 \rangle =\tau_2\phi_0=\binom{-iv}{0}$$,$$|\pi^3 \rangle =\tau_3\phi_0=\binom{0}{-v}$$,我们可以分别按SU(3)的矢量表示与基本表示来计算$$|\pi^b \rangle $$在群生成元作用下的变换.比如$$T^3\pi^3=\pi^i {D(T^3)^i}_3=0$$,而$$\tau_3\pi^3=-\pi^3$$,故在群元作用下$$\exp(i\alpha T^3)\pi^3=\pi^3$$,$$\exp(i\alpha \tau_3)\pi^3=\exp(-i\alpha)\pi^3\xrightarrow{?} \pi^3$$,类似的我们有$$T^1\pi^3=\pi^i{D(T^1)^i}_3=-i\pi^2=\tau_1\pi^3$$,$$T^2\pi^3=i\pi^1$$,一共有9项,我们都已具体计算并得到类似的结果.所以(20.122)中内积的两边都 几乎 按SU(2)矢量表示变换.

书中对此的讨论 很不一样 .对称性破缺是从O(4)$$\to$$O(3)$$\sim$$SU(2),而非SU(2)$$\times$$U(1)$$\to$$U(1).目前的理解是,生成元的数目对应了独立的连续转动操作的数目,真空在生成元的作用下不为零意味着该对称性的破缺,所以的确破缺为U(1).但是对应的三个Goldstone波色子构成某SU(2)不可约表示空间的基矢,与$$|\pi^b$$的变换方式正好一致.进一步学习后,这里的讨论需要被更新/更正!

P.718 (20.124)

这里计算质量矩阵.其实,利用定义(20.119),耦合常数$$g_A$$的定义,以及由(20.122-123)得到的系数$${F^A}_b$$的具体形式,即可直接验证这个结果.

注意到这里质量矩阵并非对角化的.比较(20.70)及上面一式,质量矩阵的这部分直接导致了(20.117).

P.719 (20.125)

这个关系是因为$$\pi$$介子顶角的耦合强度$$f_\pi$$,或者$$F$$,本身就与破缺的大小$$v$$以及Higgs波色子的质量直接有关.

这里,我们从一个不同的角度,以(20.121-122)为出发点,证明同样导致了(20.63-64).这是一个更为一般的视角.

P.720 (20.126)

这里的SU(3)$$\times$$SU(2)$$\times$$U(1)即是标准模型的对称性.它们是颜色,同位旋(一代电子与中微子以及夸克对),和光子.

其中下标$$i$$包括胶子,WZ介子(局域同位旋对应的规范场),以及光子自由度的求和.而$$J$$涉及(一代)左右手夸克,电子与中微子.

P.720 (20.127)

宇宙与时间反演下的性质可以通过,电磁场,时空导数在时空反演下的性质得到.具体的,由于完全反对称张量的存在,使得$$(\mu,\nu,\lambda,\sigma)$$求和部分正好含有一个时间分量和三个空间分量.这样,4个指标只可能有:矢势的空间导数乘以矢势的时间导数,或者标势的空间导数乘以矢势的空间导数.接着,利用时空导数和这个和这个链接给出的标势矢势的时空反演性质,我们知道时空导数在各自对应的反演下都是奇对称,标势在时空反演下是偶对称,矢势在时空反演下是奇对称.可以逐项证明,矢势的空间导数对空间反演都是偶对称的,对时间反演是奇对称的,而标势的空间导数和矢势的时间导数对空间反演都是奇对称的,对时间反演偶对称的.综上,它们的乘积并求和(20.127)对于时空反演都是奇对称的.

在第19章,这个结果的来源是在变化(19.62)下,变分函数成为(19.79).这个结果在当时被用于从另一(第三)个角度来佐证反常流结果的合理性.

(20.129)

按(19.79)的讨论,(20.127)的引入意味着反常流.所以我们原则上需要通过费米子场的旋转(20.128)来抵消(20.127).因为后者的求和$$i$$对应三种不同的规范场,对应胶子SU(3)和WZ介子SU(2)和光子U(1)所以只需要引入三种费米子旋转就可以了.书中选取了与对应规范场耦合的$$Q_L, E_L, e_R$$来抵消.

注意到夸克的颜色部分是手征对称的.但是,与电子中微子类似,夸克的SU(2)部分是手征破缺的,因为由(20.101)我们知道$$Q_L$$是旋量而$$u_R, d_R$$是标量.因此,虽然SU(3)与U(1)部分都具有手征对称性,其SU(2)部分对耦合的夸克场,电子中微子场,都不具有手征对称性.书中指出,因为(20.127)的CPT对称性与拉格朗日主体(20.126)是不同的,前者对于PT都是奇对称,所以,特别的,它违反T时间反演的.而后者(见书中下一段的讨论)对于CP或者T变化下是不变的,虽然单独的P或者C在SU(2)部分是以最大可能的方式破缺的(并不满足任何简单的奇偶对称性).所以,解决这一矛盾的方法就是通过费米子场的旋转(20.128)来消去(20.127),这相当于选择了一个特殊的坐标系,使得体系具有足够简单的CPT对称性.

按本书第3章的讨论,(3.123)意味着粒子的动量反号但是自旋不变好,故螺旋性反号,即左手粒子在宇称作用下变为右手粒子.而因为螺旋性也是通过螺旋性投影算符$$P_{L,R}=\frac{1\mp\gamma^5}{2}$$来实现的,我们验证如下.按(3.126)的推导,如果我们考虑在宇称算符$$P$$左右夹在左手态波函数上
 * $$P\Psi_L(t,x)P=P\frac{1-\gamma^5}{2}\Psi(t,x)P=\frac{1-\gamma^5}{2}P\Psi(t,x)P=\frac{1-\gamma^5}{2}\eta_a \gamma^0 \Psi(t,-x)=\eta_a \gamma^0 \frac{1+\gamma^5}{2}\Psi(t,-x)=\eta_a \gamma^0\Psi_R(t,-x)$$

同时,类似(3.128),我们有
 * $$P\overline{\Psi_L}(t,x)P=P\overline{\frac{1-\gamma^5}{2}\Psi(t,x)}P=P\left(\frac{1-\gamma^5}{2}\Psi(t,x)\right)^\dagger P\gamma^0=\left(P\Psi(t,x)P\right)^\dagger \frac{1-\gamma^5}{2}\gamma^0=\eta_a^*\Psi^\dagger (t,-x)\gamma^0\frac{1-\gamma^5}{2}\gamma^0=\eta_a^* \Psi_R^\dagger(t,-x)\gamma^0\gamma^0=\eta_a^* \overline{\Psi_R}(t,-x)\gamma^0$$

将上述结果比较(3.126)与(3.128),我们得到书中的结论,宇称算符互换左右手螺旋态的粒子.

利用(5.18)下面的结论,左手螺旋的电子(正粒子)对应右手螺旋的正电子(反粒子).在拉格朗日中,它们与SU(2)规范波色子的耦合形式是相同的.因此体系的拉格朗日在CP联合作用下不变.

P.722 (20.135-136)

等式中定义的两个厄米矩阵的本征值是一样的.厄米矩阵的本征值是实数,故可以被幺阵对角化.

直接由任意复矩阵$$\lambda$$出发得到(20.135-136)是比较困难的.但是由(20.136)出发,显然满足(20.135).所以问题被转化为:是否任何复矩阵$$\lambda$$都可以写成(20.136)的形式,其中$$U,W$$为幺阵,$$D$$为实数对角阵.

证明可以参考这个维基页关于矩阵极化分解的讨论.大致思路如下.首先可以把任何非奇异矩阵$$A$$唯一的分解为$$A=UP$$,其中$$U$$是幺阵,$$P$$是半正定厄米矩阵.进一步,$$P$$,因为是厄米的,可以用幺阵进行对角化,而按定义,对角元为非负实数,记为$$P=VDV^\dagger$$.故$$A=UVDV^\dagger=WDV^\dagger$$,其中$$W=UV$$为幺阵的乘积,仍是幺阵.问题得证.后者是所谓单值分解的特例.

P.722 (20.139-140)

这里讨论使得夸克场动能量对角化的特定的手征转动.

这个表达式说明在某右手手征转动(20.138)下,关于夸克的动能项的不变.而正如书中指出,这里幺阵$$W$$在变换后可以被抵消的原因是规范场与夸克场的耦合与标记夸克的代(generation)的指标$$i$$无关.

考虑相互作用项(20.133),由于(20.136)与(20.138),变换后,不同代夸克的相互作用暂时由幺阵$$U$$非负对角阵$$D$$决定.

最后,利用左手手征转动(20.140),并注意到(20.133)中对左手场的共轭操作,幺阵$$U$$也从相互作用项中被消去,最后在动能项中不同代夸克是完全分开的,系数由非负对角阵$$D$$决定.

P.723 (20.142)

这里取幺阵规范后简化得到拉格朗日.这个表达式与之前(20.116)只考虑一代夸克的结果形式上非常类似.

P.723 (20.144-145)

这里讨论了不同代之间夸克的耦合.注意到流的定义(20.80)牵涉到左右手夸克场的耦合.这里的结论正是之前的(20.107).

P.724 (20.148)

这里讨论了对于两代夸克的情况,可以通过旋转得到完全是实数的$$V$$矩阵,即(20.148).而对于三代矩阵,对应的$$3\times 3$$的$$V$$矩阵包含三个旋转角度和一个(复)相位.而在三代夸克情况下$$V$$矩阵不能表达为实数的事实导致了CP对称性的违反.

接着本书对于标准模型的PCT对称给出了总结性的讨论.

首先由于对左右手费米子与WZ介子的耦合不同,(20.126)表面上是具有CP和T对称性.而由于$$\lambda$$矩阵的任意性,(20.133)表面上打破了所有的对称性.经过手征旋转后(20.142)得到了更为简单的形式,如果忽略WZ介子对应的SU(2)部分,理论对于CPT分别都是守恒的,每个味道都是独立守恒的.在此意义上,手征旋转(并非某种对称性)相当于选择一个合适的坐标,使得满足对称性的物理自由度得以展现.

如书中讨论,考虑了Z介子和对应的中性流后,(20.126)满足CP和T对称性,每个味道仍然都是独立守恒的.进一步,我们考虑W介子,这时引入的带电流会引起夸克味道混合,导致对应Fig.20.7中的碰撞过程.在两代夸克情况下,$$V$$是实矩阵,所以CP是联合守恒的,而在三代夸克的情况下,因为$$V$$矩阵必然有一个无法通过变换消去的相角,CP联合守恒也被打破了.

P.727 (20.152)

书上指出,由于只有一个$$U_\ell$$,按(20.144-145),与夸克不同,不同代的轻子间是没有混合的.

Ch.21 Quantization of Spontaneously Broken Gauge Theories
P.732 (21.1)

终于来到了本书的最后一章.这一章讨论有自发对称性破缺的规范场的重整化问题,规范场的自由度与费曼规则,鬼粒子及S矩阵的幺阵性,涉及自发对称性破缺下的重整化问题.

P.732 (21.4)

这个结果可以由(15.1)与(15.7)直接得到.

P.733 (21.7)

由这里第二式,真空也跟着做同样的旋转.

P.733 (21.9)

注意到这里与(9.54)比较,没有对$$\alpha$$的积分$$\mathcal{D}\alpha$$,但正如(9.54)下方讨论所指出的,可以通过对泛函积分的换元证明,这个积分仅仅给出一个不重要的常数.

P.734 (21.14)

注意等式右边的第一项来自$$A_\mu$$本质上是$$A=A^\alpha_\mu$$所带来的的泛函变分,而第二项来自$$\varphi$$场对规范变换的依赖,即(21.7),及其泛函导数.

P.734 (21.15)

这里鬼场的引入与QCD的情况完全类似,来自(9.69)的数学结果.

P.734 (21.17)

文章指出,这里横向偏振规范场的质量为$$m_A$$来自第一步等式右边的第一项,而非物理部分的质量$$\sqrt{\xi} m_A$$来自第一步等式右边的第二项.Goldstone波色子质量来自(21.13),鬼场质量来自(21.15).

这里第一步等式在取$$\xi=0$$的时候容易被化简,而第二步等式在取$$\xi=1$$的时候容易被化简.

P.736 (21.20-21)

这里最后得到的结果,(21.20)和(21.24),与规范相关的非物理部分在计算中相互抵消后,剩余贡献仍然是非零的,而且就是忽略Goldstone波色子和直接应用规范场去除非物理部分后的传播子(21.25)的费曼规则得到的结果.

注意到这里涉及的并非之前(21.2-17)讨论的阿贝尔标量场的对称性破缺和相关规范场,而是费米子与这些场的耦合(21.18).与之前第20章的讨论一致,费米子通过(21.18)等式右边第三项的耦合获得质量.

这个耦合对规范场$$A_\mu$$而言只会耦合左手费米子场,而右手费米子场间没有耦合.所以(21.21)可以插入投影算符左手螺旋态投影算符$$P_L=\frac{1-\gamma^5}{2}$$,以选择正确的螺旋态态.

对Goldstone波色子$$\varphi$$而言,情况更 复杂 些.这里是左手场和右手场之间的耦合,易证$$\gamma^5 P_L=(-1)P_L$$,$$\gamma^5 P_R=P_R$$,代入(21.3)并只保留$$\varphi$$部分,并注意到其中$$\frac{1}{\sqrt{2}}$$的系数使得顶角的耦合系数为$$-\frac{\lambda_f}{\sqrt{2}}$$,剩余部分为
 * $$\bar{\Psi}_L(i\varphi)\Psi_R+\bar{\Psi}_R(-i\varphi)\Psi_L=\overline{P_L \Psi}(i\varphi)P_R\Psi-\overline{P_R\Psi}(i\varphi)P_L\Psi=\overline{P_L \Psi}(i\varphi)P_R\Psi-\overline{P_R\Psi}(i\varphi)P_L\Psi=\overline{P_L \Psi}(i\varphi)\gamma^5 P_R\Psi+\overline{P_R\Psi}(i\varphi)\gamma^5 P_L\Psi$$
 * $$=\overline{(P_L+R_R) \Psi}(i\varphi)\gamma^5 (P_L+P_R)\Psi=\bar{\Psi}(i\varphi)\gamma^5 \Psi$$

其中利用了$$\overline{P_L\Psi}(i\varphi)\gamma^5{P_L\Psi}=\overline{P_R\Psi}(i\varphi)\gamma^5{P_R\Psi}=0$$以及$$P_L+P_R=1$$的性质.

这个结果同时意味着等效的顶角为$$(-i)\frac{\lambda_f}{\sqrt{2}}\bar{\Psi}(\varphi)\gamma^5\Psi$$.同时,因为顶点涉及复数因子$$(-i)$$,所以(21.20)与(21.21)比,少了这个因子.所以这两项整体正好差了一个负号,在绝对数值相等的情况下互相抵消.

P.736 (21.23)

这里主要利用了狄拉克方程.第二步等式是利用狄拉克方程(3.46)证明方括号内的第一个小括号的两项正好抵消,第二个小括号内第一项利用$$\gamma^5$$与其他$$\gamma$$矩阵的反对易关系.第三步等式再次利用了狄拉克方程.

文中指出,(21.23)的结果与由于Ward恒等式(维度正规化证明与路径积分证明分别对应了文中提及的零与接触项)的情况不同,手征矢量流$$\bar{\psi}\gamma^\mu(1-\gamma^5)\psi$$是不守恒的.

P.737 (21.25-26)

注意,(21.25)并非精确等同于(21.17)的第一项.具体差别来源于(21.22)附近的代数运算.

如书中讨论,如果$$q^\mu$$在质壳上.考虑质心系,则$$q=(m_A,0,0,0)$$,代入(21.25)可以直接证明(21.25)只包含空间部分,而且正比于$$q^iq^j$$,故为空间投影算符.

仍然考虑质壳上的动量$$q^\mu$$,在一般坐标系中,我们有(21.26).这仍然是投影算符,这里的求和是物理态的求和.这个结果是零质量规范场相应的偏振态求和结果(5.75)(完整的结果参见F. Mandl and G. Shaw一书的(8.35))的推广.关于这个求和可以参考这个stackexchange的问题,其中指出了对物理态求和与对所有态(完备基)求和的区别.后者又可参见F. Mandl and G. Shaw一书P.85上(5.17-20)给出的定义.我们指出,(21.26)是物理态,因为如果在等式两边内积动量$$q_\mu$$,可直接验证等式两边的确为零.

P.738 (21.29)

这个表达式上方对重整化的讨论,参见之前(11.98)附近对称性自发破缺的可重整化问题的讨论.

在$$\xi\to\infty$$极限下规范场传播子的渐进形式,可以利用(21.22)方便的获得.

在这个度规下,S矩阵自然的满足幺阵性,因为非物理态在传播子中自然的不会出现.具体的,按16.3的思路,使用Cutkosky规则计算传播子的虚部,利用类似(16.20)的关系展开计算.但因为非物理态完全不存在,理论自然的满足幺阵性.

P.740 (21.39)

具体计算得到
 * $$T^1\phi_0=-\frac{1}{\sqrt{2}}i\frac{\sigma^1}{2}\binom{v}{0}=\frac{1}{\sqrt{2}}\binom{-i}{0}\frac{v}{2}$$

这里$$T^1$$的指标1对应(21.39)中第一行,而结果与(21.38)中$$\phi^1$$项$$\frac{1}{\sqrt{2}}\binom{-i}{0}\phi^1$$的系数$$\frac{1}{\sqrt{2}}\binom{-i}{0}$$比较,对应(21.39)中第一列,系数为$$\frac{v}{2}$$.

P.740 (21.42)

注意到按(21.35)下方给出的定义,矢量$$\{n_i\}$$从属于$$\chi_i$$场的空间.对于(21.40)的最后一项$$-\frac12 M_{ij}\chi_i\chi_j$$,由Goldstone定理,$$M_{ij}n_j=0$$,对应Goldstone波色子质量为零.由(21.41),质量矩阵是对称的,故也可写成(21.42)的形式.

P.741 (21.45)

与(21.11)比较,括号内第二项分别是$$\xi$$,同位旋场规范场耦合常数$$g$$,与(21.36)不垂直的Goldstone波色子$$\chi_i$$,和与之对应的质量矩阵系数$${F^a}_i$$.

书中强调了,与$${F^a}_i$$垂直的$$\chi_i$$,相当于(21.38)的$$h$$,部分,自然的不会在这个度规部分引入.但是作为有质量的波色子(Higgs),会出现在拉格朗日(21.32-35)中.

P.741 (21.49-50)

这里涉及的两个方阵都是由一般情况下为非方阵的(21.36)定义的.这两个质量矩阵分别代表规范场和Goldstone波色子的质量矩阵.由(21.47),把方阵对角化后,对应质量为零的部分相应于规范场中对称没有破缺的部分,比如弱电相互作用破缺后的对应U(1)对称性的光子,和标量场(21.38)中的质量不为零的$$h$$场.后者质量不为零来源于原始拉格朗日(21.32)与展开(21.35),而非规范(21.45).另一方面,质量不为零的部分,分别对应规范场通过对称破缺获得质量的部分,以及Goldstone波色子.书中指出两者的自由度的数目是一致的.

这是一个数学上的结果,可以证明如下.利用矩阵的单值分解方法,我们可以把任何非方阵$$F_{ai}{F^a}_i$$分解为$$F=UDV^\dagger$$,其中$$D$$是非负对角矩阵,且是唯一的.$$U,V$$满足$$U^\dagger U=I, V^\dagger V=I$$,而且因为$$U, V$$不是方阵,所以它们并没有唯一的逆阵,$$U, V$$本身的形式也并不唯一.

在具体的问题中,为方便起见,我们定义时使得$${F^a}_i$$为实数.这样(21.49)和(21.50)分别可以写为$$FF^T=FF^\dagger=UDV^\dagger VDU^\dagger=UD^2 U^\dagger$$和$$F^TF=F^\dagger F=VD^2V^\dagger$$.两个最终矩阵的维度是不同,但是我们可以通过选择行列中更大的维度,把上述两个表达式的右端都扩充写成方阵的相似变换的形式.比如$$UD^2 U^\dagger=\tilde{U}\tilde{D}^2\tilde{U}^\dagger$$,其中,$$D\to \tilde{D}$$就是增加新的全为零的行与列,使得它成为一个维度更大的方阵,这个更大的对角方阵的原本非零的本征值不变,只是新增了若干零本征值.$$U\to \tilde{U}$$是把这个矩阵扩充为方阵,扩充的内容可以为任意数值,因为对角阵对应部分全为零,所以不会有任何影响,实际上,唯一的要求是使得扩充的每一行与其余行线性独立,且满足与自身共轭的内积为1的归一条件,这样方阵$$\tilde{U}$$为非奇性矩阵,且因为$$U^\dagger U=1$$与扩充行的归一条件,易证$$\tilde{U}^\dagger\tilde{U}=\tilde{U}\tilde{U}^\dagger=1$$.这样就得到了需要证明的结果.即(21.49)与(21.50)的非零本征值是一一对应的,由单值分解矩阵$$D^2$$的非零对角元决定.

P.742 (21.52)

这里的计算与之前(21.14)非常类似.第一项来自对规范场中的规范的泛函导数,第二项来自对同位旋场对规范的依赖.

P.742 (21.53)

这里的标量场包括两类,即标量场$$\phi$$同位旋场破缺后非Goldstone波色子自由度与Goldstone波色子自由度.前者的质量来自$$F^TF$$矩阵,而后者来自$$M^2$$矩阵.书上指出,这两个质量矩阵的维度完全独立,但如上所述,因为这两个自由度是完全"正交"的,并不导致任何歧义.

注意到,比较(21.53)与之前的Fig.21.1和相应的推导(21.20-24),我们可以用形式上非常类似的方法证明,至少在树图情况下,规范场的非物理部分与Goldstone标量部分抵消.代价就是,如前文所述,规范场的物理部分获得质量.

P.746 (21.67)

注意到规范粒子的费曼规则,这个表达式的左边是发射或者吸收一个规范场粒子的散射矩阵.而表达式右边,注意到在Goldstone波色子$$\pi$$的传播子中我们也简化并忽略了可能的同位旋指标,是对应的发射或者吸收一个Goldstone波色子的散射振幅.故这就是Goldstone波色子等效原理,即纵向极化的规范场粒子在高能极限下的发射与吸收受到相关Goldstone波色子的影响,换言之,后者的自由度并没有因为被规范场吸收而不再对物理过程有任何影响.

P.746 (21.68-69)

这里再次讨论用Cutkosky法则来具体计算S矩阵的幺阵性的问题.讨论思路与本书之前16.3节是完全类似的,可参考之前的笔记.

注意到,因为顶角形式牵涉到的具体细节,Fig.16.6中涉及两个规范场传播子,而在这里我们仅考虑含一个规范场传播子的中间态.(21.69)等式左边的第一项就是被(21.68)取代的(16.36)中$$g^{\mu\nu}$$的最后的非物理项.而(21.69)的第二项因为是Goldstone波色子是标量粒子,利用Cutkosky规则时并不涉及到$$g^{\mu\nu}$$因子.

P.747 (21.70)

这里 不清楚 为什么物理上$$W$$介子峰的半宽度$$\Gamma$$随着夸克质量$$m_t$$的增加而增加.

P.747 (21.71)

将(20.80)第一行代入(20.79)的相关项$$gW_\mu^+ J_W^{\mu +}$$.然后,按费曼规则,把其中$$W$$介子外线换为极化矢量.

P.748 (21.72)

具体计算费米子场部分得
 * $$\frac12\sum\mathcal{M}\mathcal{M}^\dagger\to\frac{g^2}{4}\mathrm{tr}\left(\bar{u(q)}\gamma^\mu\left(\frac{1-\gamma^5}{2}\right)u(p)u^\dagger(p)\left(\frac{1-\gamma^5}{2}\right)\gamma^0\gamma^\nu\gamma^0\gamma^0u(q)\right)=\frac{g^2}{4}\mathrm{tr}\left(\gamma^\mu\left(\frac{1-\gamma^5}{2}\right)(\not{p}+m_b)\left(\frac{1-\gamma^5}{2}\right)\gamma^\nu(\not{q}+m_b)\right)=\frac{g^2}{4}\mathrm{tr}\left(\gamma^\mu\left(\frac{1-\gamma^5}{2}\right)\not{p}\gamma^\nu\not{q}\right)=\frac{g^2}{8}\mathrm{tr}\left(\gamma^\nu\not{p}\gamma^\nu\not{q}\right)$$

其中等式第二步利用了(5.3),等式第三步通过交换$$\left(\frac{1-\gamma^5}{2}\right)$$和$$\gamma$$矩阵,利用投影算符的正交性去掉了其中一个投影算符因子.第四步利用了含$$\gamma^5$$矩阵的求迹结果,如参见Mandl一书(A.21),但是因为求迹后对任何指标都是反对称的,而两个动量指标是对称的,所以对应的纯虚数项没有贡献.最后利用(A.17)即得(21.72)等式右边的第一个因子.

P.748 (21.77)

这里利用Goldstone波色子等效原理来理解推导得到的(21.76)与(21.70)的差别.

因为按(21.67),发散$$W^+$$介子的散射振幅与发射Goldstone波色子的散射振幅是有联系的.前者按(20.79-80),对应的顶角正比于耦合系数的平方$$\frac12 g^2$$,其中因子$$\frac12$$来自流$$J_W^+$$的定义(20.80),而后者按(20.103)与(20.142),正比于耦合系数的平方$$\left(m_t\frac{1}{v}\right)^2=\frac12\lambda_t^2$$.所以(21.76)与(21.70)相差比值$$\frac{\lambda_t^2}{g^2}$$,而等式利用了(20.103)以及(20.63).

P.749 (21.79-81)

注意到这里有个细节,相互作用(20.142)不涉及$$bt$$夸克之间的关系,只有涉及$$W$$介子的相互作用顶点(20,80)以及更一般的形式(20.144)才涉及到$$bt$$夸克的转换.其实,这是因为上述计算仅考虑了Higgs波色子.

实际上,考虑(21.79)涉及的(21.38)的上分量,代入(21.78)即得(21.80),这正是所需的$$bt$$夸克间通过Goldstone波色子的相互作用形式.而且耦合常数就是(20.142)或者(20.102)中耦合常数.

另外,由定义(21.79),$$\phi^\pm$$是与规范场$$W^\pm$$对应的Goldstone波色子.具体的,他们是由$$W^\pm$$与$$\phi^\pm$$的耦合项决定的,通过(20.7)等式右边的第三项和第四项的方式来使$$W^\pm$$获得质量.故与图Fig.21.4的过程相对应的Goldstone波色子过程是$$\phi^+$$波色子.

我们需要比较(20.79)中与$$W^\pm$$耦合的夸克顶角与(20.101)中对应的与夸克$$\phi^\pm$$耦合的相关的顶角.注意到在(20.79)中,相关的两项$$W^+J^+$$与$$W^-J^-$$正互为复共轭(h.c.),他们仅仅对左手螺旋的夸克进行耦合(注意到右手螺旋的费米子不与规范场耦合).而在(20.101)中,考虑了复共轭后共计有四项,比之前多了一倍,这是因为这里是左右手夸克之间的耦合,同时在(20.101)等式右边前两项中,对Goldstone波色子,满足关系$$\left(\phi^\pm\right)^\dagger=\phi^\mp$$.每一项的总电荷也必须为零.在(20.101)推导出(20.102)的计算中,因为$$\phi$$仅仅牵涉到下分量,不难证明,$$\phi,\phi^\dagger$$电荷都为零.这里的情况不同,对等式右边第一项,$$\phi^+$$电荷为1,总电荷为$$(-\frac{2}{3}+1-\frac13)=0$$.而$$\phi^-=\left(\phi^+\right)^\dagger$$电荷为(-1),这样等式右边的第二项总电荷为$$\left(\frac13-1+\frac{2}{3}\right)=0$$.

比较(20.80)与(20.101)等式右边的第二项,并注意到反对称算符$$\epsilon^{21}=-1$$,(21.80)应该是$$\Delta\mathcal{L}=\lambda_t\bar{b}_L\left(\phi^+\right)^\dagger t_R$$. 而按(4.104)给出的标准费曼规则,(21.81)顶角前应该有系数$$(-1)(-i)$$,所以结果为$$i\mathcal{M}=i\lambda_t\bar{u}(q)\left(\frac{1+\gamma^5}{2}\right)u(p)$$.上面第二个表达式都与本书的原版一致而与勘误 不同.

P.750 (21.88)

在不考虑Goldstone等效原理的情况下,这里给出的论断,是基于$$W^\pm$$和$$\phi^\pm$$介子费曼规则的比较.一个简单的类似,可以考虑光子和标量粒子作为终态的费曼规则的区别.具体的,可以比较(21.93)与(21.96)的区别,参见(21.96)的讨论.

P.751 (21.90)

这里$$\mathcal{M}$$域于下的问题在$$s\gg m_W^2$$的时候才出现.同时,与(21.87)比较,它以微分散射截面(21.88)$$\sim \frac{1}{s}$$为临界条件.显然,如果$$s$$继续增大,则散射截面大于(21.87)给出的渐进行为.

P.752 (21.91)

如文中所述,这个表达式是SU(2)规范场的动能项,因为对称破缺后的光子场与规范场成线性,故这项是$$\gamma W^-W^+$$顶角的来源.最后结果在Fig.21.9中给出.这在计算Fig.21.7的第一和第二个图时被使用.

而Fig.21.7的第三个图涉及的顶点由(20.80)的第一行和第二行决定.

另外$$\gamma, Z^0$$粒子与电子和Goldstone波色子的相互作用顶点在Fig.21.8中给出.这只需要利用(20.80)的相关顶角以及关系式(20.72)即得.这在计算Fig.21.7的第一和第二个图把末态替换成$$\phi^+,\phi^-$$粒子时被使用.

P.754 (21.93)

这就是(21.92)本身加上把两个顶角分别替换成Fig.21.8右边第一第三,以及第二第三个顶角后,把公因子提出来后的结果.这两个过程的区别是电子$$e^-$$的螺旋性是左手还是右手.

我们注意到,对于$$\phi^+,\phi^-$$终态的情况,对应的费曼图只有Fig.21.7的前两个图,对应Fig.21.8中涉及的顶角,Fig.21.7中的第三个图并不存在,因为在拉格朗日中电子并不与$$\phi$$场直接作用.

P.754 (21.94)

把(21.93)的第二式括号中取极限$$m_Z\to 0$$,即得这个结果.

由(20.75),如果初态右手电子$$e_R^-$$的$$Y=-1$$,与其反粒子,一个左手正电子$$e_L^+=-(-1)=+1$$,通过一个中性粒子散射为$$\phi^+\phi^-$$对应$$Y=\pm 1$$.而中性粒子因为是对应正反粒子对湮灭,必须具有电中性和Y荷中性,候选者只可能是SU(2)规范场的电中性粒子$$A^3$$以及U(1)阿贝尔规范场$$B$$的线性组合.在(20.63),他们线性组合得到的是光子$$\gamma$$或者$$Z^0$$.对应的相互作用顶角已在Fig.21.8给出.

我们注意到,由(20.70)和(20.72)可得$$g'=\frac{e}{\cos\theta_w}$$,换言之,上述散射振幅中的耦合常数$$\frac{e^2}{2\cos^2\theta_w}=(ig'Y_{e_R^-})(ig'Y_{\phi^+})$$.比较(20.65),这正是$$B$$粒子与$$e_R^-,e_L^+$$和$$\phi^+,\phi^-$$的相互作用顶角.同时,因为这里考虑的是相对论极限,所以介子的质量被忽略,因此上述讨论自然的回避了$$B$$粒子在对称性破缺后的拉格朗日中没有确定的质量的"问题".

P.754 (21.95)

按上面(21.94)相关讨论的思路,不难看到,这个表达式可以被视为以$$B, A^3$$为中间态介子正负电子对湮灭过程的高能极限.注意到其中的常数因子是$$\frac14$$而非$$\frac12$$,来源于对介子波函数的归一系数,即$$\frac{1}{\sqrt{2}}(A^3+B)$$.

这里得到的重要结论是在高能情况下,真空SU(2)破缺被恢复.而(21.94)与(21.95)的区别来源于费米子右手场$$e_R^-$$是SU(2)下的单态,在拉格朗日中不与矢量介子$$A^{123}$$耦合.

P.754 (21.96)

与(21.93)的第二式相比,唯一的区别仅仅是把Fig.21.8右边第二,第三个图对应的顶角替换为Fig.21.9中的两个顶角.如果我们忽略方括号内的差别,那么形式上的确接近之前(21.88)的估算.而实际上,通过具体计算,(21.99)的结果与(21.94)完全一致,从而证明了Goldstone等效原理的正确性.

书中指出,(21.93)与(21.96)并不依赖于具体度规,因为在电子质量为零时,$$\gamma$$与$$Z^0$$场的传播子,(21.53)的第一项,的度规依赖部分对散射振幅$$i\mathcal{M}$$没有任何贡献.

P.754 (21.97)

注意到这个关系并不需要从守恒流得到,从狄拉克方程(3.46)出发,考虑电子零质量近似可以直接得到这个结果.

P.755 (20.101)

这里就是简单的代数运算,利用$$s=q^2$$,从(21.100)的方括号直接运算得到.方括号外的结果与之前(21.99)的推导完全一致.

P.756 (20.102)

这里计算的Fig.21.7的第三个图涉及的顶点由(20.80)的第一行和第二行决定,另外,中微子的传播子就是零质量费米子的传播子.

P.756 (21.106)

由于$$q=k_++k_-$$,利用(21.97)我们有$$\bar{v}_L\not{k}_+u_L=-\bar{v}_L\not{k}_-u_L=\frac12 \bar{v}_L(\not{k}_+-\not{k}_-)u_L$$.代入即得(20.106)的结果.

P.759 (21.109)

在讨论中,书中指出,零阶自然关系不依赖于模型参数.(21.109)给出了这个说法的确切含义:这里有四个可观测物理量,但只有三个模型参数,所以必然有一个物理量的关系没法通过调节模型参数得到.这个关系体现了模型的预测能力.而且,因为模型本身是可重整的,所以在量子修正下,对这个关系的修正是必然是有限的,给出了在量子涨落对体系观测量的修正.

P.759 (21.111-113)

如在(21.113)下的讨论,圈图计算会对$$m_W,m_Z,G_F,\alpha,A_{L,R}^e$$都给出修正.所以,(21.111)仅仅是给出一个在给定能标下的$$\sin\theta_w$$值,记为$$s_0\equiv \sin\theta_0$$.

P.761 (21.114)

在上面一段,书中指出,在五个观测量中,三个量$$m_W,m_Z,A_{L,R}^e$$直接出现在零级自然关系(21.113)中,另外两个量$$\alpha,G_F$$可通过另外三个观测量表达,这是因为模型本身只有三个参数$$g,g',v$$.书上的说法是,$$\alpha,G_F$$可以通过$$\theta_w$$和(21.111)获得,前者的具体意义参见下面(21.126)下方书中的讨论.

P.762 (21.115)

如书中所述,Fig.21.12给出了$$tb$$对各观测量的相关修正之费曼图.从图中不难发现,其实所有修正都是关于规范场传播子的$$tb$$修正.

与QED中由Ward恒等式决定的(7.73)相比,这里无需满足这个条件.物理上,这种情况下的Ward恒等式相当于说零质量仅含横向偏振的规范粒子在质量重整后仍然只含有横向偏振的分量.显然$$W,Z$$粒子是有质量的,无需满足这个条件.

而作为比较,书中指出,(21.97)的推导来源不同,从结果来看,这种形式的Ward恒等式仍然成立.由于这个原因,同时因为修正后的传播子在本节剩余部分总是要与无质量费米子流内积,所以(21.115)中的$$\Delta(q^2)q^\mu q^\nu$$因子将在以下计算中被直接忽略.

P.762 (21.116)

这里考虑的是相当于(7.73)中的因子$$\Pi(q^2)$$,在$$q^2=0$$时的性质.

光子自能修正的1PI图是(7.73),重整化后得到(7.75),所以在重整化后因子$$\Pi(q^2)$$应该满足$$\Pi(0)=0$$,以满足重整化的自洽性.比如,用BPHZ标准方法讨论$$\phi^4$$理论(10.18)的顶角修正的重整化条件(10.21-22),和传播子修正重整化条件(10.29-30).

在此意义下,(21.116)的第一式是零质量规范场自然的重整化条件,而第二式可视为 人为 给出的某种重整化条件.由图Fig.21.12知,还涉及,另外两种形式的规范场内线修正,他们对应的重整化条件也是物理上直观的,是(21.118).

P.762 (21.118)

除了上面讨论中指出的(21.118)本身是重整化条件,它又给出了重整化后的质量修正.实际上,(21.118),(21.120),(21.122),和(21.126)给出了前面提到的5个观测量的量子修正.

P.762 (21.119)

这里的计算类似(7.93),考虑其中与$$e^2$$相关的因子,并把自能修正看做是对$$e^2$$的修正.而(7.93)的做法来源于(4.126),把通过光子传播子实现的正负费米子散射与Born近似中的势场联系起来,并得到在坐标空间势场的形式.

P.763 (21.121)

这就是$$W$$介子传播子加上$$tb$$单圈图贡献的形式结果.

P.763 (21.122)

这与(21.120)的推导完全类似,把(21.121)看做修正后的$$\frac{G_F}{\sqrt{2}}$$,并注意到(21.109)中的修正前的关系,即得.

P.763 (21.124)

这里讨论的修正是在(来源于(20.71)等式右边倒数第二项的)顶角(21.123)的基础上,加上一项单圈贡献.后者是以圈图贡献$$\Pi_{Z\gamma}$$乘以光子传播子乘以光子与正负费米子顶角.上述三个因子的乘积就是(21.124).

如书中所述,因为这三个因子是正比于$$Q$$的,而$$Q$$与$$T^3$$的比值给出$$\sin^2\theta_w$$,所以它相当于是对后者的修正.

P.764 (21.127-131)

在上面计算了三种不同的$$\sin\theta_w$$定义在量子修正下的变化.

这里(21.129)可视为通过等式右边的修正来计算$$\delta\theta_0$$,从而计算$$\sin^2\theta_0$$的变化量.

P.765 (21.132)

这里用算符$$Q,T^3,T^1$$等本征态来投影规范场,具体参见例如(21.138)的计算.比如对$$\gamma$$,根据(20.71),可以用给定$$Q$$的初态和末态来计算圈图自能贡献.对$$Z$$,则可以用$$Q,T^3$$来投影,因为规范场对上述算符的不同本征态间并不是正交的,所以结果需要考虑交叉项$$\Pi_{3Q}$$.不同本征态前的系数,可由(20.71)中的相互作用顶角读出.

对$$W$$,可考虑$$T^1$$本征态作为初态和末态来计算,再把结果乘以2,注意到(20.71)中相应耦合项的系数$$\frac{1}{\sqrt{2}}$$以及$$T^\pm$$的定义,此即(21.132)最后一式的结果.这是因为$$\Pi_{11}=\Pi_{22}$$,$$\Pi_{12}=\Pi_{21}=0$$.注意到,对后者类似书中讨论,有$$\mathrm{tr}\left[T^1T^2\right]=0$$.或者按书中的讨论,$$W^\pm$$粒子与$$T^\pm$$耦合,或者等效的,$$W^{1,2}$$与$$T^{1,2}$$耦合.

接着书中又指出,可以把规范场的真空极化的计算等价于一对流的真空平均值.这是因为规范场与流算符耦合,因此计算流算符的真空平均值的费曼图与真空计划的费曼图完全一致.作为一个例子,考虑Fig.21.13的右图,入射规范场与一个左手流耦合,出射规范场与一个右手流耦合,左手流和右手流分别都可看做本书12.4节中讨论的局域算符,而它们的乘积的真空平均与规范场的真空极化完全一致.特别的,这里流乘积真空平均值最简单的情况就是流算符的四个费米子场算符两两缩并,构成Fig.21.13右图中的圈图.

P.766 (21.136)

因为由一个动量构造出的两阶洛伦兹张量只可能有两个独立的分量,所以在左右手流组合得到的四种可能中只有两个是独立的.

与QED的计算比较,并参考(21.144)的讨论,这里涉及左右手流的真空极化的计算涉及到的唯一区别只是加入了螺旋投影算符$$P_{L,R}=\left(\frac{1\mp\gamma^5}{2}\right)$$而已.

P.770 (21.152)

由于规范场是不带电的$$Q=0$$,这里仅涉及$$tt$$和$$dd$$这两种情况.类似(21.144)涉及夸克电荷的平方,同时由于(21.136)因子4变为8.如文中指出的,因子3来自颜色自由度.(21.150)方括号内第一项的第二部分与(21.151)方括号内第一项抵消.由于(21.151),求和中涉及$$b_0,b_1$$的项相互抵消.

Ch.22 Quantum Field Theory at the Frontier
$$$$

P.783 (22.3)

对本章的不少讨论有很多 疑惑 ,必须继续深入学习其他相关书籍.

P.787 (22.7)

按定义,普朗克单位制是推广的自然单位制.除了光速,普朗克常数,玻尔兹曼常数外,把引力常数也取为1.

这在物理上对应于当质量,长度,时间都以普朗克单位计量时,相互作用力在普朗克单位制下也等于1.换言之,在普朗克单位制下,两个质量为1间隔距离为1的物体的相互作用力为1.

反过来,我们考虑在SI单位制下,如果两个相互距离为1长度单位的质点,相互作用力为1力单位,那么它们的质量应该是多少?

我们下面先用简单的例子具体回顾一下自然单位制的基本思想.考虑方程$$L={hbar c}/{E}$$,在自然单位下,取$$\hbar=c=1$$后,它的形式是$$L=1/E$$,假设我们在自然单位下只保留长度单位,那么所有物理量都被表达为长度单位的表达式.等式的右边的结果$$E$$的单位是$$\mathrm{fm}^{-1}$$.那么如果最终要把$$E$$恢复为能量单位,我们注意到其实我们使用自然单位的做法无非是在计算前对方程右边做了替换$$(\hbar c)/E\to 1/E$$,换言之,$$E=(\hbar c)E'$$.接着,求解关于$$E'$$的方程.所以$$E'$$的单位的确是$$\mathrm{fm}^{-1}$$.最后要得到$$E$$的数值,只需再把$$(\hbar c)$$除去即可,即$$E=E'/(\hbar c)=E'/0.197 \mathrm{GeV}$$.我们指出,采用自然单位制的一个重要特性是,我们只需要知道需要恢复成SI单位制的物理量的量纲即可进行相应操作,而不需要具体知道物理问题涉及的具体方程是什么.

我们把上述逻辑应用到牛顿引力公式$$G_N\frac{m^2}{r^2}=f$$,等式右边力的量纲是能量处以长度,在自然单位制中它的单位长度的负二次方$$[L]^{-2}$$.当恢复成SI单位后,等式右边需要补回能量量纲$$(\hbar c)/[L]^2$$,数值上等于$$(\hbar c)$$而方程左边质量正是需要求的,$$G_N$$被补回,长度单位不变,数值为1,我们有$$G_N{m^2}={\hbar c}$$,即$$m_{\mathrm{Planck}}=(G_N/\hbar c)^{-1/2}$$,此即(22.7).

我们增加一个脚注,从上述讨论我们注意到,因为牛顿引力常数$$G_N$$本身并不会在自然单位制中引力新的量纲,所以在此意义上它是不能被认为取为1的.这样做的理由是,在等式的左边其实光速和$$G_N$$同时和质量相乘,所以上面的做法相当于我们对"引力质量"取$$G_Nc^2=1$$,而对"惯性质量"取$$c^2=1$$.

Ch.22 Quantum Field Theory at the Frontier
P.783 (22.3)

对本章的不少讨论有很多 疑惑 ,必须继续深入学习其他相关书籍.

这里,书中首先讨论了QCD在非微扰情况下的各种处理方法,着重提到了包括格点QCD.接着,讨论了在场论框架内弱电和强相互作用统一理论的可能形式及其困难,场论精确解及其意义,包括孤子解,瞬子解等.最后,书中简略介绍了超对称和弦论的主要结果及其意义和展望.

P.787 (22.7)

按定义,普朗克单位制是推广的自然单位制.除了光速,普朗克常数,玻尔兹曼常数外,把引力常数也取为1.

这在物理上对应于当质量,长度,时间都以普朗克单位计量时,相互作用力在普朗克单位制下也等于1.换言之,在普朗克单位制下,两个质量为1间隔距离为1的物体的相互作用力为1.

反过来,我们考虑在SI单位制下,如果两个相互距离为1长度单位的质点,相互作用力为1力单位,那么它们的质量应该是多少?

我们下面先用简单的例子具体回顾一下自然单位制的基本思想.考虑方程$$L={hbar c}/{E}$$,在自然单位下,取$$\hbar=c=1$$后,它的形式是$$L=1/E$$,假设我们在自然单位下只保留长度单位,那么所有物理量都被表达为长度单位的表达式.等式的右边的结果$$E$$的单位是$$\mathrm{fm}^{-1}$$.那么如果最终要把$$E$$恢复为能量单位,我们注意到其实我们使用自然单位的做法无非是在计算前对方程右边做了替换$$(\hbar c)/E\to 1/E$$,换言之,$$E=(\hbar c)E'$$.接着,求解关于$$E'$$的方程.所以$$E'$$的单位的确是$$\mathrm{fm}^{-1}$$.最后要得到$$E$$的数值,只需再把$$(\hbar c)$$除去即可,即$$E=E'/(\hbar c)=E'/0.197 \mathrm{GeV}$$.我们指出,采用自然单位制的一个重要特性是,我们只需要知道需要恢复成SI单位制的物理量的量纲即可进行相应操作,而不需要具体知道物理问题涉及的具体方程是什么.

我们把上述逻辑应用到牛顿引力公式$$G_N\frac{m^2}{r^2}=f$$,等式右边力的量纲是能量处以长度,在自然单位制中它的单位长度的负二次方$$[L]^{-2}$$.当恢复成SI单位后,等式右边需要补回能量量纲$$(\hbar c)/[L]^2$$,数值上等于$$(\hbar c)$$而方程左边质量正是需要求的,$$G_N$$被补回,长度单位不变,数值为1,我们有$$G_N{m^2}={\hbar c}$$,即$$m_{\mathrm{Planck}}=(G_N/\hbar c)^{-1/2}$$,此即(22.7).

我们增加一个脚注,从上述讨论我们注意到,因为牛顿引力常数$$G_N$$本身并不会在自然单位制中引力新的量纲,所以在此意义上它是不能被认为取为1的.这样做的理由是,在等式的左边其实光速和$$G_N$$同时和质量相乘,所以上面的做法相当于我们对"引力质量"取$$G_Nc^2=1$$,而对"惯性质量"取$$c^2=1$$.

P.790 (22.12)

在这里,书中讨论了为什么真空能在场论中没有绝对意义,但是在广义相对论中,作为宇宙学常数,可能被观测到.