Part II: Renormalization

Lecture Notes of An Introduction to Quantum Field Theory by Michael E. Peskin and Daniel V. Schroeder

本文档除了包括推导, 疑惑 外,做 读书重点 的记录

Part II: Renormalization

Ch.8 Invitation: Ultraviolet Cutoffs and Critical Fluctuations
P.273 (8.17)

初读本章有一些不明确的地方,但是应该都会在后续章节仔细讨论,故这里暂时略去评注.

Ch.9 Functional Methods
P.278 (9.4)

本书给出路径积分的两种证明.首先是这里的直接证明,后面在给出一个更为形式化的证明.

P.279 (9.5)

第一行,式子$$V$$里面和第二行$$U$$里面的$$x_b$$都可以理解为$$x'=x_b+(x'-x_b)+o(x'-x_b)$$的近似.

P.279 (9.6)上一式

这里高斯积分中的$$b=\frac{-im}{\hbar 2 \epsilon}$$是虚数.

P.280 倒数第二式

注意到所有的$$f(\hat{p})$$可以通过插入完备基$$\int dp|p><p|$$来变成数字函数.

P.280 最后一式

对于任意数字函数$$H(p,q)$$,总是可以先对一个变量做傅里叶展开其系数仅仅是另外一个变量的函数,从而写成单变量函数的乘积的和的形式.书上下一页讨论的是算符的情况导致的对易问题.

P.282 (9.14)上面二式哈密顿表达式

这里从量子力学过度到量子场论.如Mandl一书讨论,这里涉及到对体系(无限多)自由度的求和,每个自由度对应某离散化的空间点正比于所占据的空间体积.

P.284 (9.18)

注意到这个表达式的左边与之前的(4.31)的左边完全一致的,$$\phi_H=\phi$$.都是在海森堡图像下体系的传播子的计算.在之前,这个计算因为技术原因被转化到了相互作用图像中来计算;这里通过路径积分来计算.但是下面看到,导致的费曼图和费曼规则是完全一致的.所以两者是计算完全相同的量的完全相同的方法,不同的仅仅是形式.

P.285 (9.20)

这里,书上用两个办法来计算路径积分.第一个办法是具体的算;第二个办法是形式上的引入源来推导.

首先,因为讨论的是有限体系,所以对应频率空间是离散化的傅里叶级数.注意到一方面,其周期不会大于体系的大小$$L$$,否则没有意义;另一方面周期不能小于原包的大小$$\epsilon$$,否则也没有意义.

这里对四维空间的积分本质上与(9.13)上一式中的时间积分一样,所以并不对应积分$$\int dx_i$$而是乘以时空原包大小$$\epsilon$$并对所有原包求和,这样得到$$V$$,所以在(9.22)下一式中分母为$$\frac{V}{V^2}=\frac{1}{V}$$

从坐标格点空间到频率的变换是幺阵的,因为变换矩阵$$M_{ij}=\frac{1}{V}e^{-ik_j\cdot x_i}$$是幺阵.由于标量场是实的,所以频率系数还需要满足一定的关系,这相当于在前面的基础上再做变换$$x,y\rightarrow (x+y),(x-y)$$.这两个变换的雅克比行列式都是平庸的常数.

P.286 (9.23)下面的讨论

我们相应必须有$$k^0\rightarrow k^0(1+i\epsilon)$$,这是为了在(9.18)中取极限后,只有基态有贡献.

这样,原来指数上为纯虚数的高斯积分的结果是不定式,即结果虽然不发散但是也不收敛到某个极限.在加入实部后,结果是收敛且确定的.直观上这是因为实数因子压制了震荡在无限远处的贡献,使得积分收敛.从结果来看,这是把指数为纯实数的高斯积分的结果推广到指数上系数为复数的情况.数学上,可以视为把指数上系数为复数的高斯积分的积分路径从实轴位置绕原点转动一个角度,这相当于对被积变量乘以一个复数因子.指数的实数部分保证了积分在无穷远的大圆上的贡献为零.这样,通过转动适当的角度,可以把指数上的复数的复角部分吸收到被积变量中去,这样积分仍然在实轴上进行,且指数上的系数为实数.最后补偿最初被积变量所乘的复角即得所需结果.

P.287 (9.26)下一式

这里涉及包含$$(\mathrm{Re}\phi_m)^2$$因子的高斯积分,这样的积分可以通过对高斯积分的结果对积分前指数上系数的导数得到,具体的$$\frac{d\left(\frac{-i\pi V}{m^2-k_n^2}\right)}{d\left(\frac{-i}{V}(m^2-k_n^2)\right)}=\frac{-i\pi V}{m^2-k_n^2}\frac{-iV}{m^2-k_n^2}$$.其中,等式左边的分子,被求导函数,是(9.23)的倒数第二式乘积中的一项,而分母,求导对象,是(9.23)等式第二项指数部分的系数,而另一方面,等式左边的结果即(9.26)下一式等式右边的求和中的一项和乘积的一个因子.

注意到当$$k_m^0<0$$时,$$k_m^0$$不在$$\Pi_{k_n^0>0}$$的求和之内,但是$$k_l=-k_m$$在求和之内.

P.289 we obtain exactly the same expansion as in Eq.(4.31)

这句话是指在两个式子里面,相互作用项的形式一致.但是一方面是在相互作用图像下计算,另一方面是在计算路径积分.由于费曼传播子(9.28)一致,费曼规则一致,相互作用项一致,这导致两种计算的结果必然完全吻合.

P.293 (9.46)

量子场论和统计力学的对应性

这里的对应性并不是虚时格林函数,把真空到真空中格林函数从负无穷大到正无穷大的时间换到虚轴上从$$0$$积分到$$\beta$$的演化,并且把终态和初态等同后对所有可能求和.也不是双时格林函数,在原来时间演化基础上增加一个额外的沿着虚轴的演化.

这里讨论的是把(9.45)中时间积分作Wick转动,得到(9.46),得到函数和(8.8)的物理意义一致,是一个对3+1=4维域于下的被积函数的空间积分.参考(9.47)下面的讨论.

在上面的Wick转动中没有考虑复的时间轴坐标空间中的极点的情况.相比之前按P.192图6.1,是对传播子的积分,能量的小的虚部导致的极点并不在第一和第三象限,和传播子的渐进行为使得Wick转动成为可能.但是这些讨论似乎并不适用这里的情况.我们只能说首先如果场没有奇点,没有分母上有零点的情况,另外积分在无穷远大圆上的贡献为零可能来源于场在无穷大时空坐标时候的渐进行为比$$r^{-2}$$还要小.但是实际上,这是一个没有简单答案的问题,比如参见这里的讨论.

另外,如书中所述,不难注意到,生成函数的表达式具有在Wick转动后,在新的欧几里得空间中具有转动不变性.

如果我们在形式上接受了这个对应性,那么就可以具体的建立起统计力学和量子场论间的物理量的联系,具体参见本书第11章表格11.1及其相关讨论.

P.293 (9.48)

这个简单的结论,其实就是著名的无相互作用标量场的格林函数对空间距离的依赖关系.比如在Kerson Huang的统计力学里面有讨论.

P.294 (9.51)

直接验证即可得到,具体过程略.

因为括号部分的矩阵满足$$(-k^2g^{\mu\nu}+k^\mu k^\nu)k_\mu =0$$,所以如书中所述,该矩阵在动量$$k$$空间是奇异的.

P.295 (9.52)

注意到$$\partial_\mu F^{\mu\nu}=(\partial^2 g^{\mu\nu}-\partial^\mu \partial^\nu)A_\mu$$,同时因为传播子满足这两个方程,它是运动方程的格林函数.书中后面就是在具体计算这个格林函数.

P.295 (9.53)下一式

这里$$i$$是指每个坐标点.

本页最后一个公式以下.$${\mathcal D}A={\mathcal D}A^\alpha$$是因为对$$A$$积分时$$a$$是不变的.

P.296 (9.55)下一段中求变分的行列式

这个结果用到了部分积分.注意到行列式相当于对算符在基态上的平均进行的,把对$$\alpha$$的坐标偏导作用到基态上,然后求变分,再写回来,即得.

P.297 (9.58)

这里分母上的$$\epsilon$$的来源可以参考(2.58)到(2.59)的推导,同时比较格林函数的定义(2.56).

将(9.58)代入上一式,可以直接证明的确满足,具体略.

下面一段的讨论.书中提到,把光子内线换成$$k^\mu k^\nu$$S矩阵贡献为零,这是因为这相当于把光子线打断,成为两根外线,而由Ward-Takahashi等式,把任意光子外线替换成对应的动量$$k^\mu$$得到的物理贡献(所有外线外线在质壳上)为零.

这些贡献对粒子和反粒子相同和相反,是因为按P.230上(7.68)下面的讨论,把粒子线换成反粒子,动量反号后对s矩阵的贡献不变.

P.298 (9.60)

这里是阿贝尔规范场下仅有横向光子参与物理过程的总结性讨论.这里牵涉到$$S_{\mathrm{FP}}$$满足幺阵性但是包含纵向光子与横向光子,但前者并不对应物理实在.$$S$$仅包含横向光子,但是没有幺阵性.现在要证明,对物理体系,如果只考虑横向极化光子,对应的$$S$$矩阵既满足幺阵(这是光学定律的重要条件)又满足规范性(这样才保证观测量与规范无关).对于非阿贝尔规范场,类似结论仍然成立,这在后面的第16章讨论.

这里注意到(5.75),即$$\sum_{i=1}^2 \epsilon_{i\mu}^*\epsilon_{i\nu}$$等式左边就是起到投影算符的作用.具体 讨论 如下.这里的讨论涉及两个切入点向.第一就是直接证明幺阵关系(9.61),即考虑了被投影算符作用后的S矩阵(9.59)仍然是幺阵的.第二个就是考虑从仅含横向偏振的初态到任何终态的微分散射振幅$$\mathcal{M}$$,及其对应的微分散射截面.对这种情况,物理上的合理性要求这时散射到任何非物理终态,比如纵向或者时间极化态,的散射截面为零.数学上这等价于散射振幅的乘积用物理态作为中间态的计算结果等同于用"1"作为中间态的计算结果,此即(9.60).可以证明,这两个切入方式是完全等价.

首先,按$$\mathcal{M}$$和$$S$$矩阵元的关系(4.72-73),幺阵性的要求(9.61)其实得到的是(7.48),即光学定理
 * $$-i(T-T^\dagger)=T^\dagger T$$

光学定理最基本的应用是在这个表达式两边用物理初态夹住做内积,这样得到向前散射的振幅的虚部与总散射截面相关的结论.在当前的上下文中,我们考虑的是带纵向和时间偏振的FP空间中的$$SS^\dagger$$左右被横向偏振态内积的结果与只含有横向偏振空间中的$$S_{\mathrm{FP}}S_{\mathrm{FP}}^\dagger$$的结果的比较.这时,(7.48)的左边在两种情况下是一样的,因为夹住内积的都是横偏振空间中的态.我们真正需要比较的是(7.48)的右边在中间态为两种不同空间情况下的结果是否一致.如书中讨论,末态仅为横偏振空间时的结果就是(9.60)的左边.而如果取末态为任何偏振态就相当于取"1",具体,为FP空间情况下为$$\sum_m|m\rangle\langle m|=1$$,就是(9.60)的右边.这里的$$\mu,\nu$$求和一是因为按费曼规则散射振幅计算的是洛伦兹标量,有对两个不同指标的求和是因为在求微分散射截面即散射振幅模的平方.最后,我们强调等式(9.60)就是在说这两者是相等的.

我们指出,(9.60)作为光学定理(7.48)的右边,就是在计算从物理上允许的横向偏振的初态散射为任何末态的情况.所以上述两种切入方式没有区别.

接着,我们按本书后面16.3节的讨论的思想,更深入的阐述这个问题.考虑上述从物理态到物理态的散射,即Fig.16.6,这里中间态是共振态,我们希望证明,严格考虑规范包括了所有可能共振态的结果与只考虑物理中间态的结果是一致的.这些共振态对应了散射振幅的虚部,一方面这就是光学定理(7.48)的左边,而另一方面,按Cutkosky规则,这等于把费曼图切割并替换为质壳上的态(16.36)或者(7.56)后得到的计算结果.而由于(9.60),他们正是只考虑了横向偏振态后得到的结果.具体的,我们可以参考这个stackexchange问题的答案中偏振模型求和的关系,以及参见F. Mandl and G. Shaw一书的(8.35)附近的讨论,说明为何对无质量规范场(5.75)的确是正确的.

实际上,我们甚至可以不考虑Cutkosky规则相关的涉及奇点的积分,我们直接把某规范下的涉及横向,纵向,和时间偏振光子的传播子,利用费曼图规则来形式上写出上面过程的微分散射振幅.具体的,我们知道需要代入的传播子就是(9.58).由于和度规有关的项$$(1-\xi)\frac{k^\mu k^\nu}{k^2}$$与四动量成正比,而由于Ward恒等式,与四动量成正比的项对费曼图没有贡献.

P.299 最后一式

注意到这里对grassman数平移后,$$A'$$就是常数项,$$B$$是线性项.

P.300 (9.66)

注意到这里对数字$$\theta,\theta^*$$的积分的做法可以是计算雅克比行列式,对$$\theta_1,\theta_2$$进行积分.

变换(其上一式)对应的雅克比行列式为$$-i$$,取模后为$$1$$.取绝对值可以简单理解为如果在雅克比行列式中调换任意两个坐标的顺序,自然的会产生一个负号.

P.301 (9.69)

等式第二步,注意到这里$$e^{\Sigma\cdots}$$就是前面的函数$$f$$,所以只有其中的所有项的一次乘积$$(\Pi\theta_i)(\Pi\theta_i^*)$$才有贡献,但是这样的项并不对应指数展开的最低阶项.

P.305 (9.79)

这是一个 重要的 结果,在后面反复被用到.

等式的左边.利用(9.76)下面一式,写成分数的形式.这其实就很类似(9.30)上面一式,只是这里不牵涉到把指数展开的近似,而是完全严格的形式.重要的是,参考(9.18)的形式,通过对引入的外源求导来得到场算符乘积的平均值后,是需要在分母中把"1"的平均值除掉的.这个被除掉的无关痛痒的"常数",就是(9.76)下一式的讨论中涉及的无限大的常数.

等式的第一步就是考虑了所有相互作用的真空图的和.

等式的第二步按内点数把等式写成指数形式.书中解释,指数展开中的阶乘因子来自因子图的全排列数(与(4.52)的推导的意义完全一致,来自于对内点的拓扑不同全排列因指数$$\frac{N!}{n_1!n_2!n_3!\cdots}$$的一部分),而非下面讨论的重复因子$$\frac{1}{n}$$.

等式的右边.(9.76)就是以(9.78)下一式为相互作用的旋量场以及背景电磁场为自由度的拉格朗对应的真空图.我们特别强调这对应真空图,因为内点和外点的区别,拉格朗日的相互作用部分对应内点,因为其时空坐标是被积分的亚变元.所以,与(9.18)的形式比较,在相差一个无限常数的情况下(这个常数就是分母)分母是无相互作用情况的真空图,而分子是存在相互作用情况下的真空图.而作为比较,对(9.18)本身,分母是含相互作用的真空图,分子是含相互作用和外线的费曼图.

这里的结果虽然包括光子线,但是却不涉及对光子自由度的路径积分,这正符合书中后面章节多次涉及的背景场方法的手续.光子(内)线对应的规范场正是在路径积分后剩下的背景场自由度.

最后,我们顺带指出,矩阵乘积的行列式等于行列式的乘积这个常见的数学关系,可以通过把其中一个矩阵对角化,并利用行列式的定义来证明.

P.309 (9.90)下一式

注意到这里作用量,即泛函积分在被积的场的相位转动下结果不变.另外$${\mathcal \phi}={\mathcal \phi'}$$.但是,一般情况下,拉格朗日密度$${\mathcal L}$$在局域相位下是变化的.具体的,如果$$\alpha$$是常数,那么拉格朗日密度在全局相位变化下也保持不变;而如果$$\alpha(x)$$是时空坐标的函数,那么拉格朗日密度发生变化.

在下面第二式,注意到在$$\alpha$$为常数时,拉格朗日密度不变.所以当$$\alpha(x)$$为时空坐标的函数时,作用量由于拉格朗日密度所导致的变化,保留到一阶项的情况下,必然正比于$$\partial_\mu \alpha$$,即等式右边第一项.因为只有这样才可能与上述全局相位变化特殊情况的结果保持一致.

上述结论也不难通过直接的展开计算来验证,我们可以具体的证明在保留到一阶项的情况下上述结论成立.按书上(9.90),场的变化的一阶量为,$$\delta\phi=i\alpha\phi$$,其中$$\alpha(x)$$是时空的函数.显然拉格朗日密度中的$$\phi^2$$对全局和局域相位变化都保持不变(线性项,即一阶项相互抵消),$$\partial\phi^2$$在全局相位变化下也不变,与$$\phi^2$$完全类似.而对局域相位变化,如果导数正好作用在相位$$\alpha(x)$$上则产生一个不为零的贡献,这个贡献正是(9.90)下面第二式等式右边的第一项.

数学上,这个贡献牵涉到拉格朗日密度对场导数的微小变化的反应.故涉及到$$\delta(\partial_\mu\phi)\frac\partial{\partial{\mathcal L}}{\partial_\mu\phi}=\partial_\mu(\delta\phi)\frac{\partial{\mathcal L}}{\partial_\mu\phi}\to (\partial_\mu\alpha)(i\phi)\frac{\partial{\mathcal L}}{\partial_\mu\phi}$$.最后的右指箭头是提出了其中在局域相位变化下没有被抵消的剩余的线性项贡献.

P.309 (9.94)

这里的$${\mathcal J}^\mu$$的来源可参见之前(2.10)的推导.

P.310 (9.95)

上一式与(9.90)下第二式的意义完全相同,只是这里采用了更为抽象的符号.即场的局域变化对拉格朗日密度的影响的线性部分只是正比于$$\partial_\mu\epsilon$$的项.否则无法解释为何没有对$$\Delta\varphi_a$$求偏导,以及不考虑与$$\frac{\partial{\mathcal L}}{\partial\varphi}$$相关的贡献.

把上述结果在使用部分积分后对$$\epsilon$$求变分就得到(9.95),其中引入了流的形式.

P.310 (9.98)下一式

这里的推导参考(2.17)上一式的推导即得.右边应该为$$\rightarrow {\mathcal L}+\cdots$$.

具体的,我们重复之前的推导思路,现在的局域相位对应矢量形式$$a^\mu(x)$$.同样的,它对拉格朗日密度的影响是他的导数形式$$\partial_\nu a^\mu$$,此即(9.98)的下一式.

P.310 (9.99)

利用上面讨论的(9.98)下一式,部分积分后,我们整理得到
 * $$a^\mu\partial_\nu\left(\partial_\mu\varphi_a\frac{\partial{\mathcal L}}{\partial(\partial_\nu\varphi_a)}-{\mathcal L}\right)$$,

按之前的做法做变分,这相当于去掉最前面的矢量因子,把导数部分看成某流的散度,即得(9.99)的形式.

P.311 (9.105)

这里用路径积分的方法给出了Ward-Takahashi等式的证明.我们强调一个小细节,这里$$\mathcal{M}(k;p,q)$$是来自(9.103),即某种形式的Schwinger-Dyson方程,其推导方法正是之前(9.91)开始若干例子的推演思路.(9.105)无非是(9.103)的动量空间的形式.但是,注意到(9.103)左边的三个算符是流与两个旋量算符,而流的定义是$$j^\mu=e\bar{\psi}\gamma^\mu\psi$$,相当于一个不含光子(规范场)的QED顶点.换言之,在流的位置,我们可以等价看成,费曼图原来涉及一个QED相互作用顶点,但是我们把光子线截肢了,在动量空间中,这其实正是之前书中给出的"把光子外线$$\varepsilon_\mu(k)$$换成动量$$k_\mu$$"的手续.而顶角涉及的两个旋量算符是费曼图的一部分,反而不被特别的提及.这两个旋量场因子与关联函数(9.103)定义中的上述另外两个旋量场算符原则上完全没有任何关系,他们对应费曼图的另外两根旋量场外线,实际上比较之前Ward-Takahashi等式的证明,(7.68),这里完全可以考虑其他不同数目的旋量场外线,而不影响定理的结论.

Ch.10 Systematics of Renormalization
P.316 (10.2)

这是图论中的一个结论.但是可以直观的理解.考察从某一图逐一增加顶点和内线来得到更复杂的图的过程.因为增加一截内线而不改变圈图的拓扑仅仅是内线和顶点数目同时增加1,不影响(10.2),当增加的内线构成一个新的圈的时候,圈数增加1,顶点不变,内线增加1.而最简单的图是满足(10.2)的

P.318 (10.5)

右边$$j^\mu(x)=\bar{\Psi}(x)\Psi(x)$$.原来的费曼图只有一根光子外线,但是因为光子外线必然连接在顶点上,而顶点的另一端是两根旋量场线.这样,我们可以把这两根旋量场(内)线$$\bar{\Psi}(x)$$和$$\Psi(x)$$也明显的画出来,而不是认为他们是Fig.10.2的实心圈的一部分.这三根线都来源于同一个空间(内)点$$x$$,并存在对这个亚变元内点的积分.

如Fig.10.2所述,光子外线其实对发散没有任何影响,故我们把它截肢,考虑一个物理本质相同但数学形式上略有不同的费曼图.我们把(截肢光子外线后的)两根电子线整体理解为一根外线,对应的费曼图就是流$$j_\mu(x)$$在相互作用真空的期待值.把之前的内点理解为流算符的外点.我们指出,两电子线交于一点,相当于以这一点为外点定义的算符.这里去掉了对内点$$x$$的全空间积分,这个积分并不会产生发散,只是用来保证内点处的动量守恒.因为每一根内线(传播子)都会贡献一个和这个内点关联的相应动量傅里叶变换的因子,在对内点积分后得到内点处的动量守恒$$\delta$$函数.

对这个新的外点定义的流$$j_\mu(x)$$的期待值,在动量表象,做傅里叶变换.它们的动量就是之前光子外线的动量$$q$$.这里的傅里叶变换的积分也是对$$x$$进行的,但是因为在这里后者相当于外点,故需要明显的乘以一个相应的傅里叶变换的因子$$e^{-iq\cdot x}$$.

最后,我们强调,以局域算符流$$j_\mu(x)$$来计算相互作用真空期待值的做法和讨论在本书的后面章节,当涉及用Callan-Symanzik方程研究质量重整,算符乘积展开方法,QCD反常等问题时会反复出现.

P.318 最后一式

这里用电荷共轭变换的证明是很显然的.

在上面一段书中也提及用洛伦兹不变性来证明,这就不那么显然了.这里要注意到一个细节,$$j^\mu(x)$$不仅仅是矢量,而是被定义在每个时空点的矢量场.前者不是时空的函数,那么它对真空的期待值必然为零,而后者的确可以不为零.

真空态自然满足洛伦兹不变$$U|\Omega>=|\Omega>$$,但是对矢量场$$j^\mu(x)$$,我们有$$Uj^\mu(x)U^{-1}={\Lambda^\mu}_\nu j^\nu(\Lambda^{-1}x)$$.故并不能直接得到结果为零的结论.其实,这里的期待值$$<\Omega|j^\mu(x)|\Omega>$$的确满足一个洛伦兹矢量场的变化规律.问题是,在每个空间点$$x$$,我们有一个由不为零的$$<\Omega|j^\mu(x)|\Omega>$$决定的特殊方向.这是在物理上很难被接受的.

P.319 第一式

这里$$A_0,A_1$$中还应该包含使得整个表达式保持洛伦兹协变的常数因子,实际上它们就是"数".具体结果在之前已经给出了计算,结果即(7.19).

P.319 (10.6)

此式上面的讨论,有些 疑惑.

这里讨论的是质量重整化的第一项$$A_0$$.他是$$m$$和$$\Lambda$$的函数,按前面的讨论,这些展开系数不是动量的函数.首先如果质量为零.那么体系满足手征对称性.这个对称性不会因为重整化而改变,这样质量重整必然为零.所以质量重整化部分$$\delta m$$必然和质量$$m$$成正比.这样如果这时$$A_0$$项还正比于$$\Lambda$$,那么得到的$$A_0$$量纲不对,因为它的量纲是质量,而且不是其他含质量量纲的物理量(比如动量含质量量纲,QDE耦合常数无量纲故无影响)的函数.这样低一级的发散就是$$\log\Lambda$$.

P.320 (10.9)

有些 不清楚 怎么用穷举法来得到这个因子.

如果一个包含指标$$\mu$$的洛伦兹张量与$$k$$无关,则不可能满足$$k_\mu \mathcal{M}^\mu=0$$这个正交关系.因为我们不可能在不利用$$k$$的方向的信息的基础上给出与之垂直的方向.

如果包含$$k$$的一次方,那么一个选择就是书中给出的形式$$g^{\mu\nu}k^\sigma-g^{\mu\sigma}k^\nu$$.如果照应到四个不同的指标,那么是四个这样的因子相乘,最后结果是$$k$$的四次方,从而得到最后截肢后的图有限的结论.

按这个思路,我们不必排除还有其他形式的张量与$$k$$垂直,而张量本身包含$$k$$的一次方或者更高的次方.

另一种可能的形式是(10.8),但是这里的因子意味着对应的费曼图涉及两根动量相同的光子外线,这样对应四根光子外线的费曼图是不连接的,所以这种情况需要被排除.

P.320 QED renormalization

这并不是一个重要的推导演算,但是是对QED的重整化的一个重要的 小结.

首先,按(10.11),QED一共有三种本征发散的图,他们分别是$$Z_1$$顶角重整(6.56),$$Z_2,\delta_m$$电子传播子重整(7.19),$$Z_3$$光子传播子重整(7.90).虽然形式上存在线性发散,实际问题涉及的所有的发散都是对数发散.其中电子传播子重整涉及两个发散的因子,所以共有四个发散因子.

这四个发散因子中,电子外线和顶角重整正好相互抵消(7.31-32),本质上这个抵消(7.70)即$$Z_1=Z_2$$来自Ward恒等式.这样最后仅仅剩下两个发散,他们是光子外线带来的电荷重整化$$Z_3$$,和电子质量重整$$\delta_m$$.

P.324 图中的中间那个图

注意到结果必须为标量,所以这里展开中没有一次项(矢量).QDE耦合常数无量纲.

P.324 (10.15)

书中从这里开始讨论 重整微扰理论 ,并和之前的裸量微扰理论作对比.指出两者是完全一致的.

从本质上说,两者的一致性来源于重整化条件的统一性.

重整微扰理论的另一种表述是,如果我们从一个已经被重整化的理论出发,再次进行重整,那么结果是自洽即不变的.具体的,比如(10.21)的计算就是从重整化后顶点出发再次用单圈图进行重整,因为在重整条件下,重整化后的顶点正是计算的出发点对应的耦合常数,结果必然自洽.换言之,(10.21)在重整化条件下得到一个关于$$\lambda$$的自洽方程.在给定的微扰阶数下,因为重整化参数和重整化条件的数目,或者本质上发散的图的数目是一样多的,所以问题必然得解,且唯一的得解.形式上,把重整化后的理论再次重整后自然仍然满足相同的重整化条件,自洽性是自然的结果.

作用量表达式(10.18)就是把裸量拉矢量用重整化后的场$$\phi_r$$,重整化后的顶点$$\lambda$$,和重整化后的质量$$m$$重新表达,把重整化后的拉矢量作为基础,而把裸量拉矢量和重整化后的拉矢量间的区别写为抵消项.

表达式(10.15)是裸量场$$\phi$$和重整化后的场$$\phi_r$$间关系的表达式.这个关系式是收到LSZ关系(7.42)的启发,把两边的场的乘积的时间序在相互作用真空上求期待值.这时等式,左边按LSZ关系,与散射振幅存在传播子与$$Z^{1/2}$$因子.等式右边正好先把$$Z^{1/2}$$因子消去,同时不考虑LSZ关系,而通过(4.31)以及Wick定理(4.41),考虑不含真空图因子的费曼图,也不考虑任何传播子和顶点的重整化的图,这样把传播子外线截肢时也不(再次)涉及到场重整化因子,而传播子分母的极点按定义正对应物理质量.等式左边与右边截肢后相等.在此意义上(10.15)建立了裸量场和重整化后场的关系式.这个关系式在之后(12.35)再次被涉及,使用的含义有细微的差别.

P.330 (10.32-35)

首先下面的计算是把(10.32),其中第一项明显是一个在$$d\rightarrow 4$$时发散的表达式,按$$p^2$$在$$p^2=m^2$$附近展开到一阶.并按重整化条件(10.28),要求其常数项和一阶项系数都为零.如果我们暂时先不考虑极限$$d\rightarrow 4$$,这时是一个容易验证的结果.对常数项,就是在(10.33)中直接代入$$p^2=m^2$$即得,这样得到质量重整.对于一阶项,(10.35)就是将(10.32)对$$p^2$$求导,其中(10.32)的第一项可以按维度正规化写为(10.32)下面一式,对$$p^2$$的求导其实很容易,产生一个负号,按$$\Gamma$$函数性质代换$$\Gamma(1-\frac{d}{2})=\Gamma(2-\frac{d}{2})/(1-\frac{d}{2})$$即得,这样得到外线重整.

另外,这里涉及维度正规化对结果和发散级别的 联系.

按P.250的讨论,(10.35)中的$$1/\epsilon$$对应对数发散.因为在(7.85)中取$$d=4, n=2$$,从等式的左边容易看到原因.换言之,这里的外线修正为对数发散.另一方面,(10.33)对应平方发散.可以通过在(7.86)中同样取$$d=4, n=2$$,从等式的左边看到原因.换言之这里的质量修正为平方发散.

一般的,书中指出,这个结果是有一定普适性的.即标量场的质量修正为平方发散,外线修正为对数发散.

P.331 (10.37)

这里是电子电荷重整的表达式,本页下面的脚注指出,这里的对$$Z_1$$的定义,与之前(7.47)的定义等价.

对此的 一些理解 整理如下.

这个表达式可以写为$$e\equiv e_0 Z_1^{-1} Z_2 Z_3^{1/2}$$.这里包含若干重整化常数.在之前的第七章,我们把$$Z_1^{-1}$$定义为不考虑外线的截肢顶点的修正,换言之,它在$$q\rightarrow 0$$满足(7.47),故不存在任何矛盾.接着我们在修正后的截肢顶点上接上两电子外线修正因子和一个光子外线修正因子,在此意义上如果的确是外线,则对应真实的外线修正,如果不是外线则与对应顶点的外线修正因子(7.42)或(10.36)正好构成传播子修正(7.9).其实,我们在之前的讨论中论证了外线重整化和内线(传播子)重整化是完全自洽且一致的概念,所以它们才被统一的称为场重整化.这是因为两者的推导的来源是一致的.我们把考虑了这样修正后的顶点定义为电子电荷修正.在此意义上(10.37)与(7.47)不存在矛盾.

在此意义上,我们特别指出,(裸)顶点修正$$Z_1$$和耦合常数修正$$e$$不是一个概念.两者定义的区别是由顶角修正的对象是截肢的顶点,以及拉格朗日的相互作用项含有场算符而按(10.36)的代入过程自然造成的.

而另一方面,在(10.36)中,把(10.37)代入,场重整化因子又正好抵消了,这样就得到(10.38)下一式的形式.

P.332 (10.40)

这是QED重整化具体计算的总结.这里利用微扰重整化理论的角度,重新具体计算了QED的重整化过程.所有的发散项都重新使用了维度正规化进行计算,然后利用重整化条件(10.40)得到抵消项的具体形式,即(10.42),(10.43),(10.44)和(10.46)

P.334 $$\delta_1=\delta_2$$ to all order of renormalized perturbation theory

这里对这一部分书中的讨论还略有 疑惑 ,尽量理解如下.

首先在之前第七章,书中利用Ward-Takahashi恒等式证明了$$\delta_1=\delta_2$$是严格成立的,即对无限高阶修正成立.这是因为Ward-Takahashi的证明可以通过维度正规化的形式来给出,这样在趋近物理情况$$d\to 4$$时,规范对称性始终是保证的.Ward-Takahashi恒等式对任何$$d$$略小于$$4$$的情况严格成立,此时没有发散且具有规范不变性.利用书中的第七章的论述,我们得到了所需的重整化因子相等的结论.

从另一个角度,我们指出上述论证相当于说裸量对应的费曼图是满足Ward-Takahashi恒等式的.接下来我们尝试从另一个角度来论证上述问题,我们考虑引入了抵消项的微扰重整化理论.这时我们指出regulator,即重整化条件(10.40),是规范不变的,所以由此得到的抵消项也是规范不变的.这样(10.38)的拉格朗日除去抵消项后的费曼图满足Ward-Takahashi恒等式.具体的,(7.69)意味着$$ 1+k_\mu\gamma^\mu \delta F_1(k^2)=1-k_\mu\frac{d\Sigma_2}{d\not{p}}$$,在取极限$$k\to 0$$,我们得到$$\delta F_1(0)=-\left.\frac{d\Sigma_2}{d\not{p}}\right|_{\not{p}=m}$$.这个等式正是$$\delta_1=\delta_2$$.它的两边都是发散的,但是按重整化条件,正是我们需要证明的抵消项相等的形式.注意到这个证明对无限高阶修正成立.这里的一些讨论可以参考书中P.229-230的论述.

我们接着指出上述论证过程及结论其实对$$n=1$$阶的情况同样成立.这种情况下,我们需要具体的穷举Ward-Takahashi等式两边对应的所有的费曼图,对最低阶的情况,等式左右分别对应最低阶的修正,分别包含3个和2个顶点,每项都仅含有单圈修正,每项都只对应一个唯一的费曼图.

最后书上讨论了上述结论对任意给定的有限阶修正的情况,并指出,可以用递归的方法得到这个结论.在对书中简述的证明方式进行阐述前,我们指出,对微扰重整化理论,每一阶都其对应的抵消项$$\delta_1,\delta_2$$,高阶理论的抵消项需要配合对应的低阶理论的抵消项才能达成重整化的目的.这个讨论正是书中本章最后两节讨论的内容,可参考后面的笔记.在此意义上,在高阶情况下,要证明抵消项相等,是指对所有低于或者等于所考虑阶数的抵消项都相等.但是当我们在考虑高阶抵消项时,由于低阶抵消项的结果保持不变.虽然(7.69)只能提供一个关系,实际中我们只需处理抵消抵消项对应的费曼图和(7.69)已经完全被消去后,高阶情况下费曼图内对应的抵消项也完全一致的情况下,与新出现的与图同阶的发散对应的抵消项之间的关系.这里,应该还会牵涉到最后一个细节,就是对QED高阶图中含有新出现的发散的情况对于顶角修正和电子外线修正的费曼图是完全一一对应的,所以在此意义上(7.69)意味着对与图同阶的抵消项$$\delta_1=\delta_2$$.

我们复述一下书中的论证过程.首先可以证明,对于任何阶,考虑了抵消项情况下的Ward-Takahashi恒等式总是成立的.这样,如果一直到$$n$$阶的抵消项都已经被确定了,并有关系$$\delta_1=\delta_2$$.那么对$$n+1$$阶情况,因为Ward-Takahashi关系,我们有(6.79),即未重整的的顶点函数在$$q^2=0$$极限下的值等于自能函数在质壳上的导数.考虑重整过程,这意味着对$$n+1$$阶,我们有$$\delta_1=\delta_2$$.递推证明的出发点是关系式,$$\delta F_1(0)=-\left.\frac{d\Sigma_2}{d\not{p}}\right|_{\not{p}=m}$$对等式左边为顶点单圈修正,等式右边为传播子的单圈修正.这个关系可以通过检查(7.66)的具体论证过程得到,注意到图中右侧的光子线可以是构成圈图的内线.按上述讨论,我们知道对单圈情况有$$\delta_1=\delta_2$$.现在考虑两圈图的情况,因为新的发散的出现,我们需要重新用重整化条件来引入新的抵消项.通过上面的讨论,我们知道的确可以证明,对两阶情况的抵消项仍然有$$\delta_1=\delta_2$$.

P.337 polinomial in $$q^2$$

因为$$1\rightarrow \delta(x)$$且$$q^\mu \rightarrow \partial^\mu$$.所以$$q^2$$的多项式的傅里叶变换对应$$\delta$$函数的导数的多项式.

P.338 BPHZ theorem

至此,本书简要阐述了标准重整化手续的全部过程.注意这里没有系统化的严格证明BPHZ定理,只是进行了轮廓式的阐述.我们进行一个简要的 总结.

首先,微扰重整化理论的抵消项是按微扰阶数来决定的,高阶理论的抵消项并不能取代先前低阶理论的抵消项.可重整是指对于任意阶数抵消项的总数是有限的.

另一方面,表面发散的图的类型不会随着理论阶数的增加而增加.实际上,外线越多的图越不容易发散,表面发散的图的数目是很有限的,比如QED只有三个(对应四个抵消项,其中的两个因为相等互相抵消)要真正处理的发散图.

但是,正如书中在第十章开始处指出的,本质上发散的图和表面发散的图不同.存在两种可能.第一种可能是表面发散的图由于对称性等原因本质上未必发散,这种情况显然是人民群众喜闻乐见的.第二种可能是表面不发散的图本质上确实发散的.这种情况是重整化的系统理论BPHZ主要解决的问题,还分两种情况.

第一种情况是高阶图的内部包含了一个发散的低阶子图,即把高阶图切断$$n$$根内线后得到了一个表面发散的子图,这样的情况还是不构成本质上的新问题,我只需要用低阶图的抵消项来重整化这个子图即可.这也是在高阶情况下仍然要保留低阶抵消项的原因之一.

第二种情况是高阶图包含了两个(或更多)的嵌套的发散低阶子图,这正是本章最后两节具体讨论并给出具体计算实际的情况.具体的做法是虽然这里出现了一个形式上没有出现过的发散子图,但是在本质上任何一个发散仍然是已知的有限多的表面发散图的嵌套重复而已.具体的做法就是P.337和P.340给出的两个例子.书中对后者给出了具体计算.

概况的说,这个做法就是先用低阶抵消项消去发散图中的局域发散,如果这些局域发散是各自孤立(非嵌套)的,那么就已经把问题解决了.如果这些局域发散式嵌套的,那么抵消后对应的骨架(圈)图还会对应一个已经的表面发散,这个发散如果是"新"的,没有被之前的低阶图的重整化手续处理掉,那么它就意味着必须引入一个与整个图阶数一致的抵消项.

我们指出,如P.341上第一式和第二式指出的,这个抵消项的发散情况和对应的低阶表面发散图的抵消项的发散情况不同,一般更为恶劣.

最后,文中给出的例子是对顶点的高阶重整.而对内线(或外线)的重整,情况是类似的.首先考虑(7.43),他不是按顶点阶数来排序的,所以不适用BPHZ的讨论范畴.而实际的修正是在(7.43)中挑出所有顶点数目不超过问题给定阶数的图,并作出重整化.这样,其实重整过程可以视为把1PI中的每项都给出重整,然后带入(7.43)再挑出所需的项.这样,重整化问题显然可以归入之前讨论的顶点重整的范畴,即这里对应的是两粒子顶点而已,当处理高阶问题时,低阶抵消项的结果保持不变,我们只需要处理各类新出现的高阶发散图并确定对应的抵消项.

P.338 (10.51)

这里的6个图将$$s$$替换为$$t,u$$只有最后一个图不变.所以总数是$$6\times 3-2=16$$.

Ch.11 Renormalization and Symmetry
P.351 number of broken symmetries

注意到这里的旋转是两维旋转,所以两个自由度变化而其他自由度固定.所以当固定一个方向(自由度)时,从另外$$N-1$$中选取一个自由度的旋转都不可行,故而这些旋转对称都被打破了.

P.351 (11.11)

注意这个矩阵$$\frac{\partial^2 V}{\partial\phi^i_{\mathrm{cl}}\partial\phi^j_{\mathrm{cl}}}$$的本征值对应质量.因为对角化后代回拉格朗日后,拉格朗日就能写成由相似变换决定的线性组合后的形式来表达.这个线性组合的形式物理上可以视为是新的独立自由度,不妨称为准粒子.

由于对角化的关系,拉格朗日中的质量项对准粒子是对角化的.

表面上,因为矩阵是对称的,所以对应的相似变换矩阵是幺阵(复)或者正交(实)的.这样保证了拉格朗日中动能项的形式在用准粒子表达时保持不变.

但是进一步,质量必须是非负的.所以上述矩阵实际上也必须是非负的.只有实对称矩阵才有本征值为实数且非负的性质.物理上,这是由于在计算$$Z$$的过程中在Wick转动后,指数上涉及哈密顿为厄米算符,见(9.47).又见下面(11.105)的讨论.

在$$N$$个本征值中,只有一个是有质量的,其余$$N-1$$个都是没有质量的.对应一个标量$$\sigma$$粒子,无质量且具有$$O(N-1)$$对称性的矢量$$\pi$$粒子.

要注意在这里的例子中,最初的转动数目,即连续的对称化操作的数目,是$$\frac{N(N-1)}{2}$$,当真空沿着一个轴破缺后,这个数目是$$\frac{(N-1)(N-2)}{2}$$,而他们的差,即破缺的对称性的数目,是$$\frac{N(N-1)}{2}-\frac{(N-1)(N-2)}{2}=N-1$$,满足Goldstone定理.这里即便在破缺后,仍然存在连续对称性,同时$$(N-1)$$是对应着这些保持真空态不变的转动的轴的数目.我们 强调 ,上述条件在一般情况下并不是必须的,特别是,Goldstone定理的证明完全独立于上述特殊情况,从证明过程可以看到,Goldstone波色子的数目只和破缺的连续对称性的数目有关.

P.352 (11.13)

这里,最小值条件,(11.13)上一式,对不同的$$\phi_b$$成立,所以可以求偏导.这是因为对称性破缺的基态在对称性操作下不会改变其能量,所以基态必然是连续简并的.另外一点就是书中强调的,基态必然不全为零.

P.353 (11.15)

这个抵消项表达式每一项都和Fig.11.5中的某图对应.注意到一些项的合并关系外,这个一一对应并不难确认,我们仅对其中一些项的组合系数给出简单说明.

对于由$$n$$个全同粒子外线的图,比如可以理解这些外线分别对应不同动量的末态粒子(或者是初态或者中间态虚粒子),把对应的顶点处的内线与外线连接存在组合数是$$n!$$.所有的图按此思路都可以确定Fig.11.5中的组合系数,最复杂的一个图是对应(11.15)中最后一项
 * $$-\frac{\delta_\lambda}{4}[(\pi^k)^2]^2$$

它是Fig.11.5中最后一个图,按上述讨论,把4根顶点的内线连接到外线上有4!中方式,但是由于内线间配对有三种不同的可能,每种可能就对应了4!/3种方式,考虑到(11.15)中最后一项的系数$$\frac14$$,即得$$\frac{4!}{4\times 3}=2$$,因子$$i$$是因为顶点的费曼规则.

P.355 第一个图

这个图为零,是指$$\sigma$$场的单外线图(蝌蚪图)为零,即(11.17)的第一个图.而(11.16)中的$$\langle\phi^N\rangle=\langle v+\sigma\rangle=\langle v\rangle+\langle\sigma\rangle=\langle v\rangle=v$$,其中$$v$$是常数.

P.355 (11.16)

这个重整化条件就是说考虑量子修正后满足仍然经典关系(11.7).

这里提到,最后涉及到对$$\sigma$$粒子的质量的有限修正,这个修正的量级是$$\lambda\mu^2$$.这可以由后面的计算看出.比如由P.361最下面的两个单圈图,注意到对质量的有限修正部分的系数和发散部分一致的,是$$\lambda^2 v^2$$.利用(11.7)即得书中结论.

书中还证明了对零质量的$$\pi$$粒子的质量的单圈修正为零.即,这里用对具体例子的计算证明了在最低阶的量子修正下,Goldstone定理是成立的.

P.355 (11.17)

这里对对称性破缺的量子场论处理的重整化条件以及和之前不考虑对称性破缺情况下的重整化条件(10.19)给出具体的比较和 讨论.

首先按(10.19)和对传播子重整的具体形式(10.28),理论含有三个重整化常数.这样在经典对称破缺位置展开的量子理论(11.14-15)同样仅含有三个重整化常数,这样只能引入三个重整化条件.这就是(11.17).不难注意到,这里的第一个蝌蚪图的条件是一个新条件,这必然意味着他将取代(10.19)中的某个条件,实际上比较(11.17)第二式和(10.28),我们知道被取代的是(10.28)的第一个条件.自然的我们可以问,(10.28)的第一个条件是否仍然得到满足,如果不满足,意味着$$\sigma$$场的内线重整蕴含了某些矛盾.同时我们还可以询问$$\pi$$的传播子在重整化后是否满足类似(10.28)的条件,虽然在表明上没有任何重整化条件来保证这个结果.

在书中,与(11.17)对应的三个重整化条件分别对应了三个重整化常数.它们分别是(11.22)定出$$\delta_\lambda$$,(11.33)定出$$\delta_\mu$$,以及(11.35)以后的讨论定出$$\delta_Z=0$$.最后一个是单圈情况下平庸的结果.

现在我们来讨论之前提及的那些没有被重整化条件明确决定下来的与重整化密切相关的结果.首先对$$\sigma$$场传播子的重整,由(11.34)以及下方的结果,我们知道(10.28)的第一式在单圈情况下的确是满足的.在此意义上,选择蝌蚪图的重整化条件仅仅是因为这可以给实际操作计算带来便利.

而对$$\pi$$场传播子的重整,对(11.37)的计算证明了(10.28)的第一式是严格满足的.具体的(11.37)的三个图分别给出了计算结果,而(11.38)是包括了抵消项的完整贡献,书中的讨论证明在$$p=0$$时结果严格为零.换言之,如果以重整化后的质量$$m_{\pi}^2=0$$为出发点,再次重整化后质量仍然为零,不存在任何修正.书中其实没有直接证明(10.28)的第二式,这很可能是因为计算过程过于复杂了.

P.361 (11.33)

书中指出,在$$d\rightarrow 2$$时的奇点正好被两个因子抵消.这可以用类似(7.83)的展开得到.

P.364 (11.40)

书中在第九章以后再次讨论 量子场论和统计力学的对应性 .这里指出,量子场论路径积分中对某物质场的所有可能态对应的量子涨落的求和与统计力学中对某物理量的系综求和在数学形式上是一致的.换言之量子场论中的期待值就对应统计力学中的系综平均.另外,路径积分中的经典解与系综理论的零温极限一致.而对于统计力学,即便在有限温度下,体系的宏观态仍然可由热力学自由能(等温等容下为Helmholtz自由能,等温等压下为Gibbs自由能)的最小值决定.书中提出类比,指出这在量子场论中也有体现,这就是本章下面讨论的有效作用量.

书中接着给出一个著名的统计力学的例子.具体证明了在恒温下外磁场为零的情况下,体系Gibbs自由能对磁化强度的导数为零,所以物理上体系的宏观态是对应不同磁化强度Gibbs自由能最小的状态.这个例子同时是对称性自发破缺物理机制的直观解释.在场论中,问题的数学本质是完全相同的.磁场对应(最后要去为零的)外援,磁化强度,即自旋态的系综平均值,对应波函数的期待值.

P.367 soliton

这里提到,如果基态并非平移不变而是局限在某空间区域(或者一般的有空间依赖性),则称为孤子解.

P.367 (11.50)

这里给出有效作用量和有效势的关系.注意到方括号,有效作用量是一个泛函,等式的左边是把函数$$\phi_{\mathrm{cl}}$$代入泛函$$\Gamma[\phi]$$.而当这个函数不是空间的函数时,$$\phi_{\mathrm{cl}}$$其实是一个数,注意到括号,故而等式的右边可以看做数到数的映射,就此定义的有效势是一个函数.

在后面的很多表达式中$$[\phi]$$都是表示泛函(或者是泛函的变分,仍然是泛函)在函数$$\phi_{\mathrm{cl}}$$处的取值.

值得一提的是,代入常数函数后的泛函变分并不等于先将常数函数代入泛函后对所得函数的导数.一个例子参见这里.注意到前者对应比如(11.96)截肢的单粒子不可约$$n$$点格林函数,后者对应有效势的$$n$$阶导数.实际上,比较(13.20),我们不难证明
 * $$\frac{\delta^n\Gamma}{\delta\phi(x_1)\cdots\delta\phi(x_n)}\bigg|_{\phi=\phi_{\mathrm{cl}}}\ne\frac{\partial^n}{\partial\phi_{\mathrm{cl}}\cdots\partial\phi_{\mathrm{cl}}}\left(\Gamma[\phi_{\mathrm{cl}}]\right)=\Omega \frac{\partial^n}{\partial\phi_{\mathrm{cl}}\cdots\partial\phi_{\mathrm{cl}}}V_{eff}(\phi_{\mathrm{cl}})=\int dx_1\cdots dx_n\frac{\delta^n\Gamma}{\delta\phi(x_1)\cdots\delta\phi(x_n)}\bigg|_{\phi=\phi_{\mathrm{cl}}}$$

这个细节在后面证明考虑了量子涨落修正的Goldstone定理时有不平庸的影响.

P.368 (11.52)

这里指出(11.51)的解未必对应体系真实的解,理由和热力学中Gibbs相变条件和Maxwell结构完全类似.这是因为由(11.53)定义的有效势在相变过程中比原始的有效势更小,其导数对$$\phi$$是常数,并不由(11.51)决定.

P.370 (11.55)

经典场的物理意义的 讨论.

(11.55)可以看做是$$J_1$$的定义.但是这个式子的上面一式,仅仅对最低级的经典理论(零级微扰)成立.因为此式就是经典力学的变分原理在考虑在外源后的形式.对于考虑了量子修正的$$\phi_{\mathrm{cl}}$$(在此刻,可理解为只是被名义上称为经典场)的定义是(11.46),并非变分原理.特别是,路径积分的物理意义其实就是在经典场外还考虑了所有路径的贡献.所以书中指出,该式子仅在只考虑最低级的贡献时才成立.

但是最终可以证明$$\phi_{\mathrm{cl}}$$的确可以理解为经典场,因为按(11.64)附近的讨论,我们要求重整化条件满足$$\phi_{\mathrm{cl}}=\langle\Omega|\phi|\Omega\rangle=\langle\Omega|(\phi_{\mathrm{cl}}+\eta)|\Omega\rangle=\langle\Omega|\phi_{\mathrm{cl}}|\Omega\rangle+\langle\Omega|\eta|\Omega\rangle=\langle\Omega|\Omega\rangle\phi_{\mathrm{cl}}+\langle\Omega|\eta|\Omega\rangle=\phi_{\mathrm{cl}}+0$$,而$$\langle\Omega|\eta|\Omega\rangle=0$$,即(11.64)是正是抵消项$$\delta J$$的重整化条件.另外注意到按P.87页的定义,因子$$\langle\Omega|\Omega\rangle=1$$.

换言之,重整化条件就是要求(11.55)上一式与(11.46)同时被满足,任何蝌蚪图的贡献都为零.

实际上从(11.58)开始,书中已经使用了这个概念,而把$$\phi$$在$$\phi_{\mathrm{cl}}$$附近展开.

P.372 (11.62)

这里可以通过将(11.57)代入(11.59)得到.具体复验书中的推导,这里表达式中的"connected diagram"是指(11.58)中的展开高阶项对应的贡献.

另外,如书中提及的,在这里(11.62-63)没有具体写出抵消项$$\delta J\eta$$项,但是这个抵消项在书中P.372底部给出讨论,它正是用来保证蝌蚪图重整化条件,即(11.17)的第一式.

P.373 (11.67)

注意这里等式右边的第一项符号是负号.这里涉及$$\frac12 (\partial_\mu \eta^i)^2$$对$$\eta^i$$的两次求导.第一次求导因为部分积分得到一个负号,第二次求导需要假设一个最后$$\partial^2$$的作用对象,产生两个负号.故最后的表达式有一个负号.

P.374 (11.69)

注意到这里的$$\phi_{\mathrm{cl}}$$原则上是考虑了量子修正的.但是由重整化条件(11.17),我们发现(11.69)的第一行质量其实就是$$\pi$$介子的质量,等于零,而第二行质量就是$$\sigma$$介子的质量,等于$$2\mu^2$$.但是在这里是在计算有效势,所以始终要保留$$\phi_{\mathrm{cl}}$$的形式,代入其数值是在求了导数以后比如P.376的最后一式,又如(11.96)只涉及泛函求导,不需要代入值.

P.374 (11.71)

比较(9.22),那里的$$V$$是四维时空的体积,所以其实就是这里的$$VT$$.

P.375 (11.74)

首先比较(11.58),回顾书中第九章(9.30)上一式和(9.39)附近有相互作用场论的路径积分表述的一般思路.首先是谐振子势(质量部分)和高阶相互作用(比如$$\phi^4$$)是区别对待的.前者对应了(9.39),后者把指数上部分看成小量展开,把每个$$\phi(x)$$换成$$-i\frac{\delta}{\delta J(x))}$$.虽然这里的$$x$$如果是内点(相互作用顶点)就会被积分,如果是外点就不会被积分,但是替代过程不变.

虽然谐振子部分在(9.39)中变成了计算高阶相互作用部分(或者外线)的工具.但是实际上,如果系统只有谐振子势场(没有高阶相互作用也没有外线),它的路径积分贡献是可以严格被算出来的.而且按(9.20)的具体计算过程不难看到,算出来的结果并不仅仅是经典路径的贡献,而是考虑了量子涨落的贡献.这就是(11.72)在计算的内容.这在(11.58)中也容易看出来.第一项就是经典贡献为常数,第二项由经典运动方程为零,第三项就是谐振子势贡献,后面才是高阶贡献.另外按上面(11.69)的讨论,这里对应了$$\pi,\sigma$$两种粒子的谐振子势,不包含任何相互作用.

插注释,在没有外线和仅考虑谐振子势时,(9.35)就是对应真空到真空,且无相互作用,分子分母都是$$Z_0$$,结果为1.所以上面的讨论其实是在计算真空图$$Z_0$$.这是因为我们讨论的(11.59)的确仅仅是(9.35)中的分子.是不考虑高阶内点情况下的真空图.

因为(11.57)是在指数上,这些贡献都是相乘的.所以,要表达成相加的形式,其实是把高阶相互作用项的指数展开.第一项为1,对应没有内点的真空图.第二项开始分别对应给定内点数目的图.注意到,这时所有的图都被乘以$$Z_0$$因子,除去这个因子以外,图的贡献是相加,但是包含不连接图的贡献.最后考虑对对数,所以是$$Z_0$$的对数加上连接图的贡献.同时可以把抵消项看作仅仅抵消连接图中的发散.另外我们注意到,这里的$$Z_0$$,由于真空的自发对称破缺,还包含了与泛函积分无关的经典解的贡献,所以是两项之和而非一项.综合起来就正是(11.62)表达的结果.

因为对于高阶项,因为所有的相互作用都是从三内线的顶点开始的(二内线就会被归结到谐振子势中去),考虑了这样的内点的无外线的圈图至少是两圈的.所以在此意义上,书中形象的说(11.72)的贡献是(没有涉及到任何内点相互作用的)单圈图,并且用其结果的数学形式的相似性(如比较(7.85))加以佐证.另外在之前(9.76)的讨论中,书中也提到行列式对应单圈图的贡献的和,但是问题中处理的旋量场的两次项的具体形式是包含相互作用的.如果把不含相互作用,看做相互作用情况的退化,那么就只对应传播子自我闭合的单圈图.这和上述的讨论自洽.但是书中没有具体计算来直接验证这个结论,我们所知的计算$$Z_0$$的方法就是按(11.72)硬算.在下面的笔记中,我们给出具体的计算过程从数学上严格的证明这个结论.

P.375 (11.75)

这就是拉格朗日(11.66)中的场$$\eta$$,即之前的$$\pi,\sigma$$场,通过标准手续得到的动量空间的传播子.证明可以从(11.75)左边开始,利用它就是对应坐标空间的传播子在傅里叶变换后的形式.当然也可以反过来,从坐标空间的传播子出发,进行傅里叶变换,证明其形式就是(11.75)的左边.

我先按前一种思路给出证明.这个证明过程相对更简洁些.实际上,(11.75)的左边真空平均的每个因子都可以看成坐标空间波函数算符的傅里叶变换,所以 $$\langle\int d^4 x_1\eta(x_1)e^{ikx_1}\int d^4 x_2\eta(x_2)e^{i(-k)x_2}\rangle=\langle\int d^4 x_1 d^4 x_2\eta(x_1)\eta(x_2)e^{ik(x_1-x_2)}\rangle=\int d^4 \left(\frac{x_1+x_2}{2}\right)d^4 (x_1-x_2)G(x_1-x_2)e^{ik(x_1-x_2)}$$ 其中涉及对坐标引入雅克比为1的换元.这样,积分可以对$$(x_1-x_2)$$进行.同时注意到坐标空间的传播子的空间平移不变所以$$\langle\eta(x_1)\eta(x_2)\rangle=G(x_1-x_2)$$.这样除了对剩余的$$d^4 \left(\frac{x_1+x_2}{2}\right)$$的积分平庸的得到体积外,我们发现等式左边的确就是坐标空间传播子的傅里叶变换,即等式右边的传播子.

我们再讨论后一种证明思路.这个证明其实就是把左边空间的费曼规则推广到动量空间的一般做法,所以值得巩固复习.证明中我们利用坐标空间的传播子只是坐标差的函数,以及傅里叶变换的定义,就是把每个含坐标外线乘以因子并对坐标积分,即$$\int d^4x_i e^{ik_i x_i}$$.这样,对两点传播子,我们需要计算$$\int d^4 x_1 e^{ik_1x_1}\int d^4 x_2 e^{ik_2x_2}G(x_1-x_2)=\langle\int d^4 x_1 e^{ik_1x_1}\int d^4 x_2 e^{ik_2x_2}\eta(x_1)\eta(x_2)\rangle$$.对等式左边,对空间积分部分引入雅克比为1的换元,同时注意到可以改写指数上的表达式为$$ik_1 x_1+ik_2 x_2=i\frac{k_1-k_2}{2}(x_1-x_2)+i(k_1+k_2)\frac{x_1+x_2}{2}$$.这样对$$\frac{x_1+x_2}{2}$$的积分说明等式左边存在因子$$\delta(k_1+k_2)$$.把关系$$\delta(k_1+k_2)f(k_1,k_2)=\delta(k_1+k_2)f(k_1,-k_1)$$,应用到等式右边,即得(11.75)左边的结果.

P.376 有效势逐阶$$\mathcal{O}(N)$$对称性的保证

注意到一个细节,不管对哪一阶,结果都不出现$$\phi_{\mathrm{cl}}$$的任何分量.具体的,是以$$\phi_{\mathrm{cl}}^2$$的形式出现在有效势中,(11.74)是最低阶的例子.所以显然保证了$$\mathcal{O}(N)$$对称性.

P.376 (11.76)

利用(11.74)考虑$$\phi_{\mathrm{cl}}^2$$和$$\phi_{\mathrm{cl}}^4$$的系数即得.具体的,它们分别是<math(N-1)\lambda+3\lambda ,$$-(N-1)2\lambda\mu^2-6\lambda\mu^2$$,和$$(N-1)\lambda^2+9\lambda^2$$. 其中,对于剩下的因子要利用$$\Gamma$$函数的关系$$\Gamma(n+1)=n\Gamma(n)$$.

P.376 (11.76)下一式

这个式子来源于(11.51)和(11.16),前者是由有效势的定义自然得到的,后者是重整化条件.利用之后(11.96)的结果,这个泛函偏导对应单外线的蝌蚪图.

下面,我们从数学上 严格的证明 ,利用(11.74)的具体形式,这个关系与之前讨论的重整化条件(11.33)完全一致.而后者就是最低阶的无内点的单圈图贡献.从而对之前书中(11.75)中的发散本质上是单圈图的发散的说法给出另一个数学化的说明.

实际上,这个计算是非常机械的简单代数运算,但是基于结果的重要性,我们给出具体计算过程,对(11.74)求导,我们得到


 * $$\frac{\partial V_\mathrm{eff}}{\partial \phi_\mathrm{cl}}=(-\mu^2+\lambda\phi_\mathrm{cl}^2)\phi_\mathrm{cl}-\frac{-\frac{d}{2}\Gamma\left(-\frac{d}{2}\right)}{(4\pi)^{d/2}}\left[\lambda(N-1)(\lambda\phi_\mathrm{cl}^2-\mu^2)^{d/2-1}+3\lambda(3\lambda\phi_\mathrm{cl}^2-\mu^2)\right]\phi_\mathrm{cl}+(\delta_\mu+\delta_\lambda\phi_\mathrm{cl}^2) \phi_\mathrm{cl}$$

代入$$\phi_\mathrm{cl}=\frac{\mu}{\sqrt{\lambda}}$$后,得到


 * $$\frac{\partial V_\mathrm{eff}}{\partial \phi_\mathrm{cl}}\left(\phi_\mathrm{cl}=\frac{\mu^2}{\lambda}\right)=-\lambda\frac{\Gamma\left(1-\frac{d}{2}\right)}{(4\pi)^{d/2}}\left[(N-1)(0)^{d/2-1}+3(2\mu^2)\right]\frac{\mu}{\sqrt{\lambda}}+\left(\delta_\mu+\frac{\mu^2}{\lambda}\delta_\lambda\right) \frac{\mu}{\sqrt{\lambda}}$$

其中用到$$\Gamma$$函数的关系$$\Gamma(n+1)=n\Gamma(n)$$,并注意到$$v^2=\frac{\mu^2}{\lambda}$$,不难发现这个结果与(11.33)完全一致.

按这个思路以及(11.96),我们可以通过高阶导数来完全一致的实现其他两个重整化条件.但是在实际操作中,我们采用更为简单的,几乎是直接把有效势中的发散部分移除的做法,即MS和$$\bar{\mathrm{MS}}$$方案.

P.377 (11.77)

等式的第一步由(7.84)即可直接得到.

等式的第二步替换其实是引入了一个与(11.17)不同,但是操作上更为方便的抵消方式而已.

但是某种意义上可以等效的认为,因为这里是涉及一个重整化条件,严格按照(11.17)的重整化条件得到的结果相当于取一个正确的$$M$$的值.

在严格意义上述等价应该是不太可能正确的.因为虽然这里只涉及到一个无限发散项,但是(11.17),除了(11.16)外,还包含两个条件,所以不太可能通过一个常数$$M$$的选取来同时满足这两个条件.在后面的章节中,我们看到其实$$M$$的物理意义是重整化的能量标度.而重整化条件的物理意义就是直接和重整化的能量标度紧密连接的.

P.379 (11.81)下一式

这就是(11.81)令方括号结果为零,略去对数因子以外的项的贡献即得.

这和后面的(13.56)是一致,后者只是通过进一步对常数系数进行简化得到.

值得强调,注意到这里讨论的和对数函数相关的极小值并不是自发对称破缺相关的那个极小值.前者通过$$\mu=0$$已经被拿掉了.后面证明,这个极小值其实是由于求和不当而产生的.

P.380 (11.83)

由于分母上的$$Z$$,所有的图都不会有真空图的因子.但是由于相互作用节点的具体形式比如$$\phi^3$$,可以有不连接图.

P.380 (11.86)

这里一般情况的结论可以用数学归纳法来证明.

P.381 (11.91)

你可能会奇怪,这里左边是泛函变分取在经典解附近,而经典解与坐标无关,而右边是坐标空间两点格林函数的导数,和坐标有关.注意到经典解其实是在求完泛函变分以后代入的,另外这其实涉及泛函变分计算的一个小细节.一个最简单的计算给出由于泛函变分右边其实和$$\delta(x-y)$$成正比.参见Kleinert H. - Particles and Quantum Fields(T)(1625s)的(22.17)式的结果.

P.381 (11.92-93)

注意到这里的结果和最初两点格林函数的定义和计算是 自洽 的.事实上,一个连接的两点格林函数可以看成是在一个两点截肢单粒子不可约图的两个顶点上分别接上两个连接的两点格林函数.前者,两点截肢单粒子不可约图,正是(11.92).这是因为连接格林函数的倒数和两个连接的两点格林函数的的乘积,在分子分母消去一个因子后,正好得到两点连接格林函数.

首先(11.93)的物理意义是,对一个连接费曼图的$$\delta /\delta J(z)$$操作相当于增加一个外点$$z$$,而用一个连接两点格林函数$$D(z,w)$$建立和这个外点的联系,当然,这里涉及到的"新"内点$$w$$是被积分积掉的.这个论断其实是大致用"数学归纳法"来证明有效势是单粒子不可约函数的生成泛函的重要步骤.书中用图形的方法来给出形象的证明,又见下面的讨论.

这里涉及到的一个细节是,因为对两点单粒子不可约图,有一个例外,除了$$M^2$$,还多了因子$$p^2-m_0^2$$,这是因为除了考虑单粒子不可约图,还需要考虑没有任何修正的传播子.考虑这样的构造过程,我们用无修正的传播子加上两点单粒子不可约图在两头接上无修正的传播子来得到截肢前的两点单粒子不可约格林函数.这就是(7.43)的第一和第二个贡献.而截肢过程相当于乘以两边的$$(p^2-m_0^2)^2$$,这样就得到了$$p^2-m_0^2-M^2$$.我们指出,这个细节对于三点和以上的单粒子不可约图并不出现.

P.382 (11.95)下图

这个图就是等式(11.95)的最左边和最右边的图形表示.

这里给出一些讨论.

首先对任何一个三线连接费曼图,如果可以通过割断一根内线把图形分成两部分,那么必然是一部分包含一根外线而另一部分包含两根外线,且两部分都是连接图.所以我们可以保留包含两根外线的部分,把割断点视为第三根外线,继续切割,一直到剩余的图形为单粒子不可约图为止.换言之,从图形中等式的左边三线连接格林函数(所有三线连接费曼图的和)必然可以写为等式右边的形式,即通过三个连接两点格林函数,把截肢三线单粒子不可约格林函数(所有截肢三线单粒子不可约图的和)连接起来的形式.注意到对任一三线连接费曼图,上述切割的最终结果是唯一的.所以,两个不同的三线连接费曼图,切割以后的结果必然不同,所以上述等式右边的求和没有重复的图.这样,我们就形象的从图中左边到右边证明了这个关系.

反之,从右边到左边,说明了可以用截肢三线单粒子不可约格林函数构造出三线连接格林函数.按类似的推导,这样构造出的三线费曼图也是没有重复的.

当我们考虑到本页最下面的图的时候,注意到其实本图中等式的右边可以是一个4外线顶点的单粒子不可约图加上外线上的修正(本页最下面图等式右边的第一个图),把其中的两根外线通过(11.95)下图等式右边交汇为一个跟包含修正的外线.这种情况如何解释?其实这样通过四外线顶点的单粒子不可约图构造出来的三外线顶点的单粒子不可约图仍然是一个三外线顶点的单粒子不可约图,所以完全不违反(11.95)下图的画法的.

P.383 (11.96)

这里的一般性证明怎么给出并不显然.

P.384 (11.98)

这里给出对书中的对称性破缺情况下重整化可行性讨论的一些理解,具体的,对书中关于有效作用量以及其抵消项的对称性和真空态以及费曼图的对称性破缺的性质间的联系给出 一些讨论 如下.

考虑拉格朗日满足在$$\phi^i\rightarrow -\phi^i$$变换(或者其他某变换)下不变,但是真空态在同样变换下不同,自发破缺了.我们现在仅仅在经典近似下考虑这个问题,这时对真空态做这个变换,虽然真空态会变,但是对应的能量不会变.对于变换$$\phi^i\rightarrow -\phi^i$$而言,这意味着这个展开式不能有奇次的项.

首先这里是利用(11.96)的结果,在经典场与空间无关时,有效势$$V_{eff}$$的这个表达式对$$\phi_{\mathrm{cl}}$$的各阶导数对应有效作用量对$$\phi_{\mathrm{cl}}$$的各阶泛函变分,进一步对应截肢单粒子不可约图.换言之,有效势$$V_{eff}$$的各阶系数直接对应相应阶数的截肢单粒子不可约图.

然后考虑$$\phi^4$$理论对应的费曼图的发散问题,与前面章节指出的,发散问题最终被归结到单粒子不可约图的发散问题.而后者可以用最简单的表面发散的计算方式来估算. 因为耦合常数无量纲,这样唯一决定一个图的量纲就是动量的阶数,而后者决定了某具体的图的表观发散的阶数. 比如对应外线数为$$N$$,最大的表观发散是固定的,按前面章节的讨论为$$D=d-N((d-2)/2)$$.在四阶以后不再有发散.

利用之前讨论的结果,我们知道有效势$$V_{eff}$$其实是一个数,它是经典场$$\phi_{\mathrm{cl}}$$的函数.有效作用量是一个泛函$$\Gamma(\phi_{\mathrm{cl}})$$.它们的共同点是,都不是经典场任何分量的函数或者泛函.它在对称性操作下不变.其物理解释是,虽然真空态是对称破缺的,但是不同的破缺的真空态间没有孰优孰劣,它们对应相同的有效势数值.否则,就不可能保证它们对真空态的导数或者泛函导数为零.同时,真空态之间正可通过被破缺的对称操作相互联系.正因为有效势或者有效作用量在对称操作下保持不变,所以抵消项必然也是具有对称不变性的.

接着,我们来讨论一下对有效作用量泛函变分得到的费曼图.因为这时涉及到经典场$$\phi_{\mathrm{cl}}$$的具体分量,对应的费曼图是对称破缺的,具体的,比如(11.14-15)对应的费曼规则得到的费曼图.这些费曼图与破缺的真空态$$\phi_{\mathrm{cl}}$$直接有关,实际上,当真空态在破缺的对称性操作下转换为一个不同的真空态,这些费曼图也相应的由对称性对应到一个不同的费曼图.但是这里的物理本质没有发生任何变化,特别比如图的发散情况.

另一方面,按照书中10.4节阐述的重整化标准手续,即BPHZ定理,我们知道没有真空自发破缺的理论是可以重整的.特别是,BPHZ定理决定的未发生对称自发破缺的理论需要的抵消项的数目正一一对应了真空破缺后有效势发散的系数.这是两种情况下,虽然有效势的最小值及其满足的对称性不同,发散的数目都是由有效势的系数的表面发散决定的.具体的,在两种情况下,我们都引入与发散数目同样多的抵消项来消去有效势展开中的发散项.按书中的讨论,对这里的具体例子,这个发散的数目是2(单圈图有一个抵消项为零)3(一般情况)4(考虑导数相互作用项).如果有效势在引入抵消项后是有限的,那么显然它的各阶导数都是有限的.而在真空自发破缺时,按之前的讨论,形式上对应了数目更多的发散的费曼图.我们知道,破缺真空的不同选取可通过对称操作相互联系的.所以,在此意义上,抵消项本身是在对称操作下不变的.因为抵消项系数却是依赖于经典场的分量指标的,所以对应的抵消项系数间也可通过对称操作相互联系,这就对应了书中之前讨论中的由少数独立抵消项构造得到的很多不同形式的抵消项.

P.386 (11.103)

这里书中给出一个具体例子来说明上述讨论的自洽性.

之前P.376最后一式的讨论具体证明了有效势的一阶导数为零与蝌蚪图贡献为零的重整化条件数学上一致.

这里通过一个例子来说明有效作用量的两阶泛函偏导对应两外线的截肢单粒子不可约图.

其中涉及的费曼规则书中没有具体给出,它对应(11.66)的点点项.但其实很容易推导,二外线对应$$\eta^2\phi_{\mathrm{cl}}^2$$,三外线对应$$\eta^3\phi_{\mathrm{cl}}^1$$,四外线对应$$\eta^4\phi_{\mathrm{cl}}^0$$.这里书中用到三外线和四外线的费曼规则.

我们顺便明确一下书中的几处与$$\phi^4$$理论相关的讨论的区别与联系.(10.18)是标准$$\phi^4$$模型,质量为正数,没有对称性破缺.书中讨论了其微扰论的费曼规则和重整化过程.(11.14)是对称性破缺的$$\phi^4$$模型,按在经典势场极小值附近重新展开后,用微扰论讨论了重整化过程,用实例证明3个重整化抵消项的确足够了.(11.65)和(11.14)的例子表面上非常接近,区别是这里是采用路径积分的语言在讨论有效作用量方法,所以没有把体系的自由度换成$$\sigma,\pi$$场,仍然是$$\phi$$场,但是路径积分是以在经典场周围的展开为基础具体操作的.这里是具体讨论了有效作用量的两阶泛函导数对应的两外线截肢单粒子不可约图的情况.

注意到这里的求变分仅仅考虑了(11.63)中的第一行,即经典解和最低阶的量子谐振子形式的贡献.但是其结果,截肢二外线单粒子不可约图,且自然的包含了其他高阶贡献.

P.386 $$\partial_\mu \phi_{\mathrm{cl}}$$项的系数

书中指数,这些项的系数就是前面我们对有效势对$$\phi_{\mathrm{cl}}$$的各阶导数的系数.这只要仔细考察这些项的系数的来源就不难发现了.因为这无非是来自展开$$\Gamma_{eff}(\phi_{\mathrm{cl}}(x))=\Gamma_{eff}(\phi_{\mathrm{cl}}+\partial_\mu\phi_{\mathrm{cl}}+\cdots)=\Gamma_{eff}(\phi_{\mathrm{cl}})+0+\int(\partial_\mu\phi_{\mathrm{cl}})^2\frac{\partial^2 \Gamma_{eff}}{\partial\phi_{\mathrm{cl}}\partial\phi_{\mathrm{cl}}}+\cdots$$.

P.387 (11.104)

比较(11.16),这里实际上$$\lambda$$也应该在根号里面.

注意到由重整化条件(11.17),虽然$$\lambda$$和$$<\phi>$$都在重整化下不变,但是$$m$$是可能因为质量的圈图修正而有所改变,所以上式在量子修正下不再严格成立.书中指出,因为重整条件(11.17)已经消除了所有的发散项,所以考虑量子修正后对上式的影响是有限大小的,从而带来观测效应.这就是zeroth-order natural relation的内容.

同时参考习题11.2的陈述,以及本书21.3节第一部分的讨论.

P.388 (11.105)

在之前的(11.37)之后的计算中,我们具体证明了单圈情况下的确零质量的粒子在量子修正仍然为零质量.现在对这个考虑了量子修正的Goldstone定理给出具体证明.

注意到矩阵$$\frac{\delta^2 \Gamma}{\delta\phi^i_{\mathrm{cl}}\delta\phi^j_{\mathrm{cl}}}$$的矩阵元的物理本质,由(11.92)是重整后传播子的倒数,在傅里叶变化后对应$$p^2-m^2$$.如果矩阵不是对角化的,那么因为存在为零的本征值而且这是一个对称矩阵,就必然可以通过正交变化把矩阵对角化.这相当于对$$\phi^i_{\mathrm{cl}}$$进行线性组合成新的独立自由度,准粒子.参见前面(11.11)的讨论.

存在一个考虑了量子修正后的准粒子的质量为零,相当于$$p^2(=m^2)=0$$是(11.92)的零点,因为$$m=0$$,对应准粒子的质量为零.又参见这里的讨论.所以问题被转化为,把矩阵$$\frac{\delta^2 \Gamma}{\delta\phi^i_{\mathrm{cl}}\delta\phi^j_{\mathrm{cl}}}$$进行傅里叶变化后且对角化后的对角矩阵元,在代入$$p=0$$后存在多少个零.每个零都对应一个考虑了量子修正后的Goldstone粒子.我们附带注意到$$p=0$$是比$$p^2=0$$更强(充分)的条件.

我们知道按(11.50)有效作用量和有效势是密切相关的.但是按前面笔记对(11.50)的讨论,两者其实存在区别.有效势的两阶导数和有效作用量的两阶变分在空间均匀经典解处的值并不是只差一个体积因子.按上述链接的讨论,可以证明,有效作用量变分的对所有相关坐标的全空间积分,相当于把问题转化到外动量全为零的动量表象.而这时结果正好等于对应的有效势的导数的数值乘以时空体积.证明过程其实很简单,把有效作用量泛函在经典场(函数)附近展开,利用经典场其实不是坐标的函数的事实,就可以提取出有效势作为一个函数,在经典场(数值)附近的泰勒展开的形式.把展开系数对应起来,就得到了有效作用量变分对空间的积分和有效势的导数的关系. 这样,有效作用量对第一行和第一列的变分矩阵元对全空间的积分,即其傅里叶变换后动量空间取$$p=0$$的结果正好对应有效势的第一行第一列的导数,按前面的讨论等于零.换言之,将$$p=0$$代入(11.92)的确为零.

按经典情况下Goldstone定理的证明,这里从$$V_{eff}$$满足的对称性出发,可以得到矩阵必然存在$$N-1$$个为零的本征值. 在有效势导数矩阵的$$N-1$$个为零的本征值中,我们只考虑一个,并且假设这个为零的本征值处于对角矩阵的第一行第一列.即$$\frac{\partial^2 V_{eff}}{\partial\phi^1_{\mathrm{cl}}\partial\phi^1_{\mathrm{cl}}}=0$$.其中$$\phi^1_{\mathrm{cl}}$$是组合后的准粒子.

所以我们得到了Goldstone定理.在存在连续对称性的自发对称破缺时,必然存在至少一个质量为零的粒子.这在经典场论和考虑了量子修正的情况下都成立.

我们再次强调,之前的重整化条件(11.17)是对质量不为零的$$\sigma$$粒子给出的,对于质量为零的$$\pi$$粒子在修正后是否仍然为零,就是量子版本的Goldstone定理的内涵.对质量不为零的$$\sigma$$粒子的质量修正,就是之前的zero order natural relation讨论的内容.

最后关于有效势是实数的问题可参见这个讨论以及相关链接和评注.

Ch.12 The Renormalization Group
P.395 (12.2)

对书上关于磁化模型的对比和讨论的 基本思想 的理解如下.

先讨论磁化模型.这里(12.2)的第一个等式是两点关联函数,即传播子的傅里叶变换.由(12.2),从积分结果的指数部分的衰减我们发现关联函数的特征距离为$$\frac{1}{m}$$左右.其实这是一个很有名的结果,相互作用介子的有效质量是和关联函数的特征关联长度有关系的:大质量关联距离小,小质量关联距离大.注意到在勘错中指数书中(12.2)的结果其实不完全正确,但是指数上的函数关系是正确的,所以不影响物理概念.

对这样存在原子晶格结构的系统,存在一个自然的截断动量.这个截断动量就是由原子晶格的不连续性决定的,如果理论涉及的动量太大,大于原子间距离的倒数,那么体系就不可能用宏观连续媒质的场论模型来近似.所以体系的微观结构决定了宏观模型成立的最小的空间尺度就是原子间距的量级.一方面,宏观模型失效时对应的截断动量,由测不准原理,约等于原子间距的倒数$$a\sim\frac{1}{\Lambda}$$.另一方面,由上面关联函数的大致计算,宏观模型有效关联长度为$$L\sim \frac{1}{m}$$,其中的$$m$$,比较(8.12-14)的推导和(4.126)相当于相互作用介子质量(和原子质量无关),其实是和模型参数以及和温度与临界点的差有关.书中指出,对磁化模型,在远离临界点时,体系的关联长度也就是若干个原子间距,换言之,关联长度就是原子间距的数量级$$L\sim a$$,从而我们得到$$m\sim \Lambda$$.而在临界点附近时,我们知道这时关联长度其实是趋于无穷大的.这时,正如书中指出的,我们有$$L \gg a$$,从而$$m\ll \Lambda$$.

对这个结论,按书上的分析,我们注意到以下几点.首先,在晶格常数$$a$$不变,从而$$\Lambda$$不变.在临界点附近,按(8.14-16),可以看到其实是$$m^2=2b(T-T_C)\rightarrow 0$$,所以导致$$m\ll \Lambda$$.

其次,书中指出,对磁化模型,截断动量远大于介子质量的条件只有对参数作特别调节(比如温度调节接近相变温度)才会出现.反之,这个情况正是一般在场论中自然出现的情况.比如在QED中,在考虑内圈积分贡献时,我们要求涉及到比电子(和光子)质量大得多的(内线)截断动量数值,否则计算结果会很大的依赖于截断动量的数值而变得没有实际意义.而在磁化模型中,并没有这样的要求.因为物理上,我们考虑的正是所交换动量没有接近或者达到晶格尺度倒数的过程.

比较本章后面讨论的内容,就发现Wilson的重整化群的流方程,讨论的就是这样一个体系在参数空间演化到与截断动量无关的重整化群"固定点"的问题.

最后,我们来 尝试讨论 QED的重整化问题.这个讨论在本书中由于某种原因没有特别被着重指出.但是在Mandl一书P.199有更为具体和浅显的说明.磁化模型,存在一个自然的截断动量数值.换言之,我们知道超过了这个截断动量,理论本身已经失效了,对于不再有物理真实性的理论,动量积分到无穷大仅仅是一个近似,如果得到发散的结果自然不足为奇.而对于QED的重整化,处于同样的类比性思维,也可能涉及到一个截断动量,超过这个这个数值,理论其实已经不成立了.只不过我们知道,这个截断动量是远远大于传播子质量的.在这个截断动量的具体数值上,QED不像磁化模型,并没有一个截断动量数值的估计.这是因为不像磁化模型,我们并不预先知道一个更高能理论基本性质.我们只是做出判定,QED的计算结果必须在内线积分动量远小于截断动量之前就足够精确,这样数值结果才可能不依赖于截断动量的具体数值.

在数学上,对裸量的修正随着截断动量的增加而增加最终趋于无穷大.如果对裸量的修正大到和被修正物理量的数值可比拟的话,那么所有基于微扰论的讨论都失效了.标准的重整化过程是,把对物理量的修正写成两部分的和.第一部分是与截断动量有关的,会趋于无穷大的部分.第二部分是有限的,是对物理量的真正修正的部分,它随着截断动量的增加而趋于固定的极限..引入有限多的抵消项,把第一部分抵消掉,仅留下有限修正的第二部分,把截断动量趋于无穷大时后者的极限和实验结果比较.我们认为一个重整化理论是在物理上是有价值的,就是当增加截断动量到某个阶段,这时第一部分在数值上还是足够小,可以被视为微扰,而另外一方面,与对可观测物理量修正有关的第二部分已经可以和实验精确比较,其精度超出现有所有实验.换言之,在QED中,当对裸量的修正进一步增大到和被修正物理量数值可比较时,其对应的截断动量的数值,已经时远远超出实验上涉及的能量了.在这个能标,QED完全已经失效而必须被其他理论所取代了.所以说,存在一个合适的截断动量的区域,微扰论的物理前提成立,同时结果的精度超出现有的实验水平.QED成功之处,就是在这个截断动量区域,理论预言与实验完美符合.在这个截断动量以上,当QED被一个更精确的理论所取代,重整化就是在暂时不具体涉及这个未知的高能理论的细节的前提下,最大限度的从QED获取有价值的信息..这就是在微扰论范畴对重整化的发散和截断动量的物理解释.

P.396 (12.5)

文中说$$\phi(k)$$和$$\hat{\phi}(k)$$正交.注意到这里是在动量空间讨论问题,更具体的,因为两者的交叉项对应的费曼图为一根线的树状图,无法满足动量守恒关系.这和$$\hat{\phi}\phi^3$$项不同,后面(12.16)有讨论这样的项的贡献.

P.397 (12.7)

注意到这里其实是在动量空间讨论.先把拉格朗日中波函数写为动量空间的波函数$$\hat{\phi}(k)$$对动量的积分形式,这样涉及到两个对动量的积分一个对坐标的积分,对坐标的积分得到对应动量守恒的$$\delta$$函数,后者再次去掉一个动量的积分,所以结果中只含一个动量的积分,且两个动量空间的波函数的动量数值相同.

P.397 (12.8)

这个结果可以通过直接积分得到.因为比较重要,这和后面多次涉及的背景场方法有关,我们给出具体说明.

比较之前的路径积分的传播子的计算,这里是非常类似的,但是有三个区别.第一个区别是粒子的质量为零,第二个区别是这里直接计算了动量空间的传播子.第三个区别是这里并不涉及所有的动量谱,而仅仅是$$b\Lambda <|k|<\Lambda$$区间内的.

显然,因为(12.4)下一式的定义,在动量区间外的路径积分结果为零.在动量区间内,我们指出类似(9.23)的讨论,唯一的区别是在对动量连乘时,必须考虑上述区间.但是这个区别在分子分母中完全一致,结果互相抵消,对传播子形式没有任何影响.这里我们强调这里的泛函积分是实现为对$$\phi_k$$的积分,而非对$$k$$的积分.

最后,我们还是利用重复(9.27)的论证思路来计算(12.7),这时,唯一的区别是在(9.26)中不涉及到(9.26)上一式的右边,而直接涉及到因子$$\phi_m\phi_l$$,按(9.26)下一节的讨论,这里只有在$$m=-l$$时结果才不为零,这样我们不难得到结果为


 * $$\frac{-iV}{m^2-k_m^2-i\epsilon}\delta_{m,-l}=\frac{iV}{k_m^2-m^2+i\epsilon}\delta_{m,-l}$$

最后我们注意到$$\delta_{m,-l}$$不能直接替换为$$\delta(k+p)$$.他们的联系是$$\int d^4 k\delta(k+p)=1=\frac{1}{V}(2\pi)^4\sum_m\delta_{m,-l}\frac{V}{(2\pi)^4}$$,再利用(9.22),我们发现$$\delta(k+p)=\delta_{m,-l}\frac{V}{(2\pi)^4}$$.代入上述结果,即得(12.8).

P.397 (12.10)

这里的关于费曼图的讨论涉及到Wilson重整化群的基本思想.动量积分仅仅是对高动量部分$$\hat{\phi}$$在$$b\Lambda<k<\Lambda$$之间进行的,而剩余的低动量部分$$\phi$$并不被积分,从而成为体系的自由度.

P.399 (12.19-24)

这里陈述书中总结的 基本思想 如下.在截断重整化下,最初的动量空间为$$0<k<\Lambda$$.上一节的处理是在把动量区间$$b\Lambda<k<\Lambda$$积掉,这样体系自由度的动量空间为$$0<k<b\Lambda$$.在此基础上,我们在(12.19)对动量做标度变换$$k \rightarrow k'=k/b$$,这样动量区间又回到了原来的区间$$0<k'<\Lambda$$.注意上(12.19)这个变换本质上是来源于空间的变换$$x\rightarrow x'=xb$$,但是因为空间的范围是全空间,这个变换仅仅体现在动量的变化上.最后,我们在(12.22)中对场做替换,得到了(12.23-24).

综上,经过几次变换,最终的体系和最初的体系的动量空间,换言之,内线的动量积分范围,都是$$0<k<\Lambda$$.而且我们知道变换前后的拉格朗日描写的是同一个体系.在此意义上,我们把上述变换称为在拉格朗日的参数空间中的变换.这时,如果反复应用上述变换,我们得到在拉格朗日参数空间的一系列点.当$$b\rightarrow 1$$时,这些点连接成为连续曲线.

这里的似乎有蹊跷之处,每次变换前后如果拉格朗日描写的是完全相同的体系,难道意味着两个拉格朗日,(12.3)与(12.23-24)是完全等价的吗?显然不可能啊!区别就在于上面的讨论仅仅涉及被积分的内线动量,而外线动量,在$$k \rightarrow k'=k/b$$的变换中是不可能保持不变的.所以上述两个拉格朗日的等价性受限于外线动量的对应标度变换.注意到,在上述全部讨论中,外动量,换言之,问题涉及到的能量标度,要远远小于截断动量$$\Lambda$$.所以,通过重整化流方程的讨论,我们发现不可重整相互作用随着重整化群的运动被压制,并认为一般有效理论涉及到的内动量积分的主要贡献来自于不比外动量大很多的区域的贡献,就得出了为什么我们平时观测到理论"自然"是可重整的结论.

如果结合本章第一节的讨论,我们注意到,在截断动量$$\Lambda$$远大于外动量和质量(问题涉及的能标)时,在数学上,问题非常接近二级相变的临界点附近的情况.而这里的论述表明,这时重整化群的流方程能把体系演化到"固定点"上去.

上述讨论可以直接和下面一节的Callan-Symanzik方程的推导方法相联系,看到为什么两者本质上是一致的.Callan-Symanzik描写了当重整化条件变化时,格林函数对相关参数依赖关系满足的方程.这些相关参数是,耦合常数,重整化外动量和场重整化因子.显然,重整化外动量的大小的改变正对应了上述Wilson方法中的变化,这是因为上述标度变化虽然不改变作为亚变元的内动量范围,但是外动量却会按标度变化改变其数值,这样如果最初的给定截断动量的重整化对应某给定重整化外动量的重整化,Wilson给出的变化就自然的对应了重整化外动量的变化.而对应的耦合常数在两种情况下以相同的形式变化,从而满足相同的方程.故而(12.28)和(12.82)必然等价.

书中指出,上述在拉格朗日参数空间的变换是不可逆,所以重整化群操作的集合并不满足群的定义,操作并不是群元素.换言之,从一个高能理论,我们可以得到对应的(可重整的)低能理论,但是反之则不可能.这是一个很直观的结论.

最后,如果弱相互作用的假设并不成立,那么我们仍然可以认为理论涉及到的内动量积分的主要贡献来自于不比外动量大很多的区域.这样,重整化群的流方程的概念在非微扰的前提下仍然成立.区别是,这时流方程决定的在拉格朗日参数空间运动不一定指向平庸的固定点.在后面书中就给出了相关的讨论.

下面我们指出有些理解上 不够明确 的地方.

书中指出,流方程是在$$b\rightarrow 1$$时反复执行上述重整化群的操作相当于在拉格朗日空间给出一系列连续的点,它们将画出一条光滑的曲线.这是一个形象的描述.但是,原则上,对动量间隔的多次薄球壳积分完全可以一次性的完成.换言之,重整化群的流方程的演化和具体操作过程,即上述曲线的路径,无关,而只和初始点和终了点有关.这类似于$$b^T=\frac{\Lambda^{(f=N)}}{\Lambda}=\frac{\Lambda^{(1)}}{\Lambda}\frac{\Lambda^{(2)}}{\Lambda^{(1)}}\cdots \frac{\Lambda^{(f=N)}}{\Lambda^{(N-1)}}$$.等式右边的每个因子都是很接近于1,对应对很薄的动量球壳的积分.在微扰论成立的前提下,如果这些积分一次性的完成,最终结果必然和通过多次积分的积累的效果完全等价.原则上,这里的$$b^T$$,从最初到最终的截断动量比值,似乎没有必要很接近1.形象的,这对应直接跳跃到由重整化群的流方程决定的轨迹上远处另外一点的结果,而不是用一串无限接近的点画出光滑的轨迹.但是,按下面的讨论指出,体系演化到固定点的思路要成立,耦合常数系数必须足够小.而与截断动量的数值的关系不明确.

我们先复述书中对(12.24)和(12.26)的讨论.对模型参数的修正$$\Delta m^2, \Delta \lambda, \Delta Z$$,是通过例如(12.11),(12.15)等关系决定的,其中$$\lambda$$是耦合常数.在讨论(12.24)时,书中指出,由于相互作用足够小,可以按对耦合常数阶数来讨论而略去所有两阶贡献,而不难验证,上述修正项都是至少二阶的(要么是一阶项的平方,要么一阶修正在分母上,要么是高阶修正)所以都被忽略,从而得到(12.26),只和$$b$$有关.这样,重整化群流的运动主要由最后的$$b$$的指数因子项所决定,其他项的贡献都被忽略.我们指出,按前面的讨论,上述讨论似乎是有欠完美的.因为数学上无数无穷小的和并不是一个确定的结果.因此,我们考虑来一次完成积分,因为这个很多次薄球壳积分的累积等价.这时,为了让(12.24)非常接近固定点,对应最初到最终截断动量的比值$$b^T$$可以并不接近1,甚至反而可能是一个接近0的数.观察对模型参数的修正,比如质量修正(12.11),由于各项之间的竞争关系,要让质量修正合理的小,只有两种可能,第一是耦合常数足够小,小到抵消掉截断动量的贡献后还是小量,第二就是$$b^T$$足够接近1,抵消了截断动量的贡献.这两点都比较奇怪.关于第一点,在微扰论中,修正项的大小就是用耦合常数的阶数来衡量的,如果还涉及到截断动量这样数值很大的物理量,会使得对修正阶数的判断出现问题.第二点,按上面的讨论,直接计算中$$b^T$$可以有理由不接近1.

与上述讨论对应的是在P.406的最后一段,书中指出如果用Wilson的方法来直接讨论重整化群的流方程问题,结果应该不是$$b$$的显函数.而仅仅是留下体系在拉格朗日参数空间运动的轨迹.这个说法是很直观和合理的.

进一步,在P.407第一段,书中指出,如果截断动量足够大,那么流方程的演化的时间就会足够长,而体系就会足够接近固定点.这个结论似乎应该和前面的讨论都对不起来.

而实际上上述这个结论和本章开始时候对磁介质模型的讨论是有联系的.如果重整化群流方程演化足够接近临界点在数学上对应着磁介质发生二级相变的条件.那么后者正意味着$$\Lambda \gg m$$,即截断动量远远大于质量.这点其实在P.406的第一段中也给出了讨论.书中指出磁介质模型中把问题调节到临界温度发生二级相变的过程,相当于场论中把粒子质量进行微调的过程.

P.402 (12.27)

这里与(10.13)的区别是,这里额外有$$M$$个对外动量的导数因子.由量纲分析,每个导数去掉一个积分中分子上的动量量纲,故之前关于表面发散的结论可以被直接推广使用.

P.403 lie far beyond the present day experiment

见上面P.395的讨论.

P.403 suppress the remaining quantum fluctuations

因为内动量的积分范围是$$m<p<\Lambda$$,所以当$$m\sim\Lambda$$,动量的积分,即量子涨落受到很大的限制.

P.404 (12.28)

在上面的讨论,按(10.35),$$\Delta Z$$的阶数是$$\lambda^2$$,故整体是$$\lambda^3$$.

P.407 最上面的讨论

注意到,这里书中指出.重整化群原则上存在两个不同的理论框架.第一个框架就是Wilson的框架,其中存在一个有限大小的截断动量$$\Lambda$$.第二个框架就是这里提出来的,考虑某重整化外动量给出重整化条件,把截断动量取为无穷大.在这里重整化条件中涉及到的外动量数值$$M$$,它物理上对应理论的动量标度,和前面的$$\Lambda$$是完全不同的概念.前者是用在球壳上的积分哑变量$$b$$来作为重整化的"参数",后者是用重整化条件中的能量标度作为重整化的"参数".按上面的讨论,两者是直接有关的.

P.408 (12.30)下一式

注意到在重整化条件下是1PI为零,1PI是(7.43)分母中的一部分,代入即得.注意当时1PI用了符号$$M^2$$,其实和这里的符号有冲突.

P.409 (12.32-34)

这里的讨论结果是比较重要的,但是按书上的逻辑似乎 有些不能理解 .而按下面的讨论似乎可以得到同样的结论.

首先这里涉及的Yukawa理论是对(12.30)的第一个重整化条件非平庸的例子.在前面讨论的简单例子中,质量发散部分与外动量无关,这样质量重整项就与重整化条件无关了.而在一般情况下,质量重整化是与外动量有关,从而与重整化能量标度有关.Yukawa理论就是一个简单而非平庸的例子,故这里的讨论就是基于该理论的一些具有一般意义的具体计算结果.

这里的一些具体结果和讨论可以参考之前(10.33-35)的讨论以及(7.84-86)附近的数学关系式.

不明白之处是书中把$$d=2$$处的奇点对应平方发散的质量修正,而把$$d=4$$处的奇点对应对数发散的外线修正.但是实际情况是空间维度始终是4维的,维度正规化就是考虑在$$d=4$$附近的发散行为,如果必须考虑$$d=2$$空间的情况,那么为什么不同时考虑$$d=6,8\cdots$$处对应的发散呢?

其实上,如果按照之前(10.32-35)处的讨论,似乎就直接可以得到书上的结论.首先(12.32)就是(10.33),其中的质量修正部分就是代入$$p^2=-M^2$$,虽然重整化的动量位置不同,按之前的讨论,发散形式仍旧为平方发散.而(12.33)其实就是将$$p^2=m^2$$代入之前的(10.35)代入(10.32),注意到括号中的第一项就是$$\frac{1}{\epsilon}$$.这时可以看做是(10.32)中的常数项和对应的质量修正的无限大部分已经相互抵消了.按之前的讨论,这时扣除掉平方发散后剩余的项除去$$p^2$$后对应的项发散,为对数发散,故而可以写成(12.34).

P.410 (12.37-39)

这里有些 不明确 的地方,但是关于Callan-Symanzik方程的 基本思想 如下.

考虑一个对应有限截断动量的重整化过程,这里,任何具体的计算都和一个确定且有限的截断动量$$\Lambda$$有关.书中对"相同的理论"是指和某给定的截断动量得到与实验结果一致的理论.具体的,前者是由原始的相互作用耦合常数和某一给定的截断动量确定下来的.对于一个物理上允许的截断动量$$\Lambda$$,它必须要足够大使得结果在现有实验精度下和测量符合,同时又必须足够小可视为微扰.这时,在数值上,结果还是依赖于$$\Lambda$$的具体取值的.而另一方面,后者,对应所有的最终计算结果和前者完全相同的各种抵消项重整化理论.这里,如果是截断动量重整化(实际操作中,当然也可以是维度正规化或者其他重整化方案),截断动量是取为无穷大的,相应的抵消项也为无穷大.值得注意,这时抵消项取决于具体的重整化条件,特别的,取决于重整化条件中的外动量数值$$M$$(或称为重整化能量/动量标度).所以这里是在讨论和比较一系列重整化条件,比如$$M$$,不同,但是本质上等价的理论.

这里波函数带零下标的格林函数相当于可以直接与实验比较的散射振幅,而波函数不带下标的格林函数相当于通过不同重整化条件得到截肢格林函数.表达式(12.35)相当于(7.45).

我们先说明独立的重整化参数的数目.首先,费曼图的计算结果似乎依赖于两个参数$$M, \lambda$$.因为,一旦这两个参数确定,那么外线修正参数$$Z$$也可以通过传播子的计算而确定.具体的,参见(7.26)附件的讨论,传播子和质量的重整化由传播子的极点位置决定,而不依赖于其他额外的重整化条件.因此,任何重整化后的费曼图的结果可以被完全确定下来,而实际上,对应一个确定的物理体系,我们有关于S矩阵和费曼图的关系(7.45).等式的右边,考虑了外线修正的截肢费曼图完全由上述理论计算确定下来,而等式的左边,是由实验决定的,从而对确定的物理体系不会因为重整化参数而改变.这样,等式右边也不为重整化参数而改变.因此,重整化能量标度$$M$$和重整化的耦合常数$$\lambda$$这两个参数只有一个是独立的.换言之,可以把格林函数计算中涉及的$$\lambda$$进一步看做是$$M$$的函数.这就是(12.39)的意义.其实,格林函数是重整化能量标度$$M$$和耦合常数$$\lambda$$的函数可以通过(12.44)的结果来直观的理解.在此意义上,格林函数最终也是$$M$$的函数.这并不违反可观测量的基本思想,因为格林函数并不是可测量量,S矩阵才是可测量量.

另一方面,由格林函数与S矩阵元的关系(7.42),我们知道只要通过外线修正$$Z$$,就可以由可测量的S矩阵元得到格林函数.此即(12.38)的第二步等式的意义.

一方面,我们知道任何可观测的物理量(比如散射截面,单粒子态激发的质量)必然和重整化动量无关.另一方面,耦合常数在此意义上并不是一个绝对的实验数值,因为其测量值其实是和对应的能量标度,即重整化条件有关.我们注意到,格林函数(虽然在很多口语化的说明中并不加以区别,特别的,比如本书的(4.90)第一次讨论S矩阵的费曼图及费曼规则的时候)并非直接和散射截面的S矩阵元有联系,它并不是直接可观测量.实际上,格林函数和S矩阵元的差别正好是截肢过程和场重整化因子(7.42).截肢格林函数和S矩阵的联系是场重整化(7.45).我们不妨用(7.45)的具体例子来说明,等式左边是S矩阵元,对应客观的测量,不依赖于任何重整化方案.而等式右边,第一个因子正是场的重整化,由$$\eta$$决定.而等式右边的第二个因子是截肢格林函数,由费曼图决定,按上面的讨论,它是$$M, \lambda$$的函数.

综上,我们得到(12.38),注意到其本质上只有一个独立的变量.

在此意义上,我们不妨把(12.35)右边(除了重整化因子)的裸量表达式理解为"确定的物理体系".把固定不变的裸量和截断动量的配置定义为"相同的理论".同时,所有物理量实验测量结果也应该是唯一没有歧义的.在此确定的物理体系的前提下,Callan-Symanzik方程就是描写在能量标度变化下,测量到的耦合常数和修正后的场的相应变化.

最后,再次强调,这里涉及的量,包括后面(12.39)中定义的导数,涉及的是重整化后的顶角和波函数.重整化后的顶角,物理上对应是测量到的已经考虑了各阶修正后的"等效"顶角,参见(12.44)的讨论.在问题中,裸量及其截断动量是不变的.

P.410 (12.40-41)

(12.39)中引入了两个没有量纲的函数$$\beta,\gamma$$.

按书中的讨论,重整后的格林函数结果是不依赖于截断动量的.由量纲分析,这两个无量纲的函数不可能依赖于有量纲的参数$$M$$.所以它们只能是无量纲的$$\lambda$$的函数.这样大大简化对Callan-Symanzik方程的分析过程,因为可以将单变量函数$$\beta,\gamma$$按$$\lambda$$展开.

P.411 (12.42)

注意到QED的耦合常数是无量纲的.

P.412 第一个图

因为(10.29),$$\delta_Z=0$$,而$$\delta_m$$与$$p^2$$无关,换言之与重整外动量$$M^2$$无关.所以,如书上所述,单圈修正完全的被单圈的抵消项清楚,没有留下任何与重整化过程($$p^2$$,就是这里的$$M^2$$)相关的效应.

但是注意到从两圈开始的高阶项,满足重整化条件的修正显然与重整化动量有关.注意到图中右边最后一个贡献就是两圈的,之后文中(12.49)就是对此的讨论.

P.412 (12.44)

这里利用了之前(10.20)的结果,并且要求在能量标度$$M^2$$满足(12.30)的重整化条件.其中$$\lambda$$作为顶角的耦合常数代入之前(10.20)的结果之中.虽然在之前的讨论中,明确指出$$\lambda$$是重整化之后的顶角,而在这里正是被再次代入重新计算这个四线顶角的重整化.但这应该并不导致矛盾,参见这个stackexchange问题.

P.413 (12.45)

由(12.44)导出(12.45)只要利用之前(7.83)上一式推导出(7.84)的结果的论述来化简被积函数,然后再做对$$x$$的积分.因为,$$\log$$的关系,发现可以写成和的形式然后再积分.我们发现,发散的第一项和与$$M$$相关的第二项都与积分无关,可以直接提出来.剩余与$$x$$有关的部分积分得到有限项,积分结果不明确但肯定不是$$M$$的函数,这就是(12.45)没有明确写出来的"finite"部分.

P.413 (12.48)下面的讨论

这里的的讨论是关于按$$\lambda$$的阶数来比较各项的贡献大小的讨论.

比如关于$$\beta$$第二项的贡献最终为三阶,因为对格林函数对$$\lambda$$的导数降了一阶,而$$\beta$$本身为两阶.因为第一项为两阶贡献,所以和第一项比第二项贡献可以忽略.因为表达式为零,所以第三项必然也是两阶贡献.

$$G^{(2)}\beta$$单圈图无贡献,可以参见(10.29-31)附近书中的讨论.

P.413 (12.49)

按之前(12.34)附近的讨论,在重整化群问题的讨论中,我们关心的其实是与$$M$$有关的发散部分,所以真正和重整化群的流方程相关的是(10.34)中的$$\delta_Z$$而非$$\delta_m$$项.

比较(12.34),两边的传播子都是$$1/p^2$$,并比较(12.32),即得(12.49)

P.414 (12.52)

这里等式右边的第二项贡献和之前(12.49)的结果应该是类似的,这里是去掉了与$$M$$无关的发散部分,剩余的是对数发散形式.

这里等式右边的求和部分相当于轮流把每一根外线上考虑单圈圈图贡献.

P.415 (12.53)

注意到其中只考虑最低贡献,这样关于$$\beta$$的项可以被忽略,同时利用(12.50)来取代$$\delta_{Z_i}$$,即得.

P.415 (12.54) finite part of counterterm

接着,在下面的讨论中,书中指出抵消项中的有限项与截断标度$$M$$无关.直观的,这个说法和上面的对(12.45)推导的讨论 密切相关.

没有重整化前的格林函数是发散的,且显然不是$$M$$的函数,因为它的计算过程和$$M$$毫不相干.现在把格林函数在$$M$$点抵消,考虑一个具体的例子,即由(12.44)上一式得到抵消项(12.44),后者通过计算得到(12.45).

在书中,把$$\delta_{\lambda}$$与$$M$$有关的部分和发散部分写到一起,比如(12.34)和(12.49),而把剩余部分称为有限项.这正是(12.45)中的"finite"所指的项.按前面笔记的讨论,这部分的确和$$M$$无关.

接着,书中指出,在考虑无质量标量场的情况下,格林函数的渐进行为(可能仅仅适用于对Callan-Symanzik方程有贡献的最低阶圈图)总是可以写成(12.49)的形式,而这个形式本质上保留了(12.45)的特点,即去掉抵消项后中的发散部分,以及具有$$-\log p^2$$形式的部分后,剩余的部分记为"finite"即有限项.这部分"有限项"和$$M$$无关,不会对$$\beta,\gamma$$有贡献.

我们指出,书中的说法从某种意义上来理解其实并 不是很准确 的.因为$$\delta_{\lambda}$$是能量标度的函数,对应有限的能量标度的变化,$$\delta_{\lambda}$$的变化也是有限的.在此意义上Callan-Symanzik方程才是有意义的.这样,这部分有限的变化自然的是能量标度的函数.针对前面的例子,不难发现,$$\delta_{\lambda}$$中与$$M$$有关的项其实是有限.它就是(12.45)中的$$\log M^2$$.在此意义上.书中所谓的"有限项"不依赖于$$M$$并不是一个严格的说法.

P.415 (12.57)上面的讨论

注意到投影部分与偏导是无关的.

P.416 (12.58)

除了这是(12.53)直接得到的结果.按(10.38)下面的定义,我们有

$$\Delta(-\delta_1+\delta_2+\frac12\delta_3)=-Z_1\left(\frac{\Delta (e_0/e)}{e_0/e}+\frac{\Delta Z_2}{Z_2}+\frac{\Delta(Z_3^{1/2})}{Z_3^{1/2}}\right)+\Delta Z_2+\frac12 \Delta Z_3=\frac{\Delta e}{e}$$

其中注意到大多数重整化常数都是在1附近展开的,把展开取到一阶小量即得.这样以$$e\Delta(-\delta_1+\delta_2+\frac12\delta_3)=\Delta e$$代入(12.58)就发现仅按(10.38)就在形式上满足$$\beta$$函数(12.39)的定义.

P.417 $$\gamma$$ is independent of the cutoff $$\Lambda$$

这是一个很简单的结论,因为对一个可重整理论,要求任何可观测量与动量截断$$\Lambda$$无关.

P.417 (12.64)与(12.53)等价

利用(10.17)对(12.53)再展开,注意到$$\lambda,\lambda_0,Z-1$$都是小量,整个式子保留到一级小,即得.

P.418 (12.65)

$$1/p^2$$是把传播子的量纲提出来,把剩余部分定义为$$g$$从而为无量纲.所以$$g$$只能是唯一的无量纲组合$$-p^2/M^2$$的函数.

P.418 (12.66)

这里就是把原方程换元$$M \rightarrow p$$,注意到对$$1/p^2$$的导数会给出附加项$$2$$即可.

P.420 (12.71)

这是characteristic方法的 典型 例子.

表面上,(12.71)的物理意义是很明确的.下面我们从更为数学的角度加以说明.按图Fig 12.3中的描绘,细菌的生长速率可以形象的认为是和灯光强度成正比.我们可以直接把解(12.71)的第一行代入方程(12.68)来验证其正确性.但是下面的证明分两步走.第一,我们证明$$D_i(\bar{x}(t;x))$$项就是$$\rho(x)=0$$时,对应的"齐次方程"的通解.第二,我们证明指数部分对应了$$\rho(x)\ne 0$$"非齐次"方程的特解.

首先,如果没有固定点上的灯光照射,细菌不繁殖,即($$\rho(x)=0$$),那么(12.71)的指数部分平庸的为1.在此情况下,容易证明,$$D_i(\bar{x}(t;x))$$正是方程(12.68)的解.这其实是最简单的charactersistic解得例子.具体证明如下.

(12.70)其实是偏导.一个初始位置为$$\bar{x}$$的菌团在时刻$$t'$$的位置为$$x$$,如果在时刻$$t'+\delta t'$$的位置为$$x$$,那么对应的初始位置是$$\bar{x}-v(\bar{x})\delta t'$$.其中的负号是因为如果一个漂流着的细菌再晚一点飘到同一点的话,那么它的出发点就必须更往左一些,以致在$$\delta t'$$时间后才赶到先前的初始点.所以路程上和初始点的速度有关,是$$-v(\bar{x})\delta t'$$.因为在讨论中终了位置不变,所以是关于$$x$$的偏导,即$$\frac{\partial}{\partial t'}\bar{x}(t';x)=-v(\bar{x})$$.

同时我们除了(12.70),还发现其实有关系$$\frac{\partial}{\partial x}\bar{x}(t';x)=\frac{v(\bar{x})}{v(x)}$$.它的物理意义是,如果一个漂流着的菌团在同一时刻是飘到了偏右边一些的话,那么它的出发点也必须偏右边一些,因为滞后的时间是相等的,所以两个小距离的偏差的比例和当地(出发点和考虑问题的点)的漂流速度有关.

从这两个结果我们易得下面关系式$$\frac{\partial}{\partial t'}\bar{x}(t';x)+v(x)\frac{\partial}{\partial x}\bar{x}(t';x)=0$$.其实,更为一般的,我们有$$\frac{\partial}{\partial t'}f(\bar{x}(t';x))+v(x)\frac{\partial}{\partial x}f(\bar{x}(t';x))=0$$,其中$$f(\bar{x})$$是任意单元函数.这是一个联系对$$x$$偏导和对$$t$$偏导的关系.由此,对任意初始分布$$f(\bar{x})\to D_i(\bar{x})$$,(12.71)第一行指数函数前的因子满足$$\rho(x)=0$$齐次方程的解.

第二,现在考虑$$\rho(x)\ne 0$$的非齐次方程.我们将(12.71)的第一行指数函数部分,代入方程(12.68)来验证其正确性.

注意到指数部分对时间$$t$$的偏导得到$$\rho(\bar{x})$$,初始点出的生长速率.这和(12.68)左边的最后一项的差正好由对$$x$$的偏导得到.具体的,对空间偏导,(除了公共的指数因子外)我们有
 * $$\int_0^t \frac{d\rho}{d\bar{x}}\frac{\partial \bar{x}}{\partial x}dt'=\int_0^t \frac{d\rho}{d\bar{x}}\frac{v(\bar{x})}{v(x)}dt'=\int\frac{d\rho}{d\bar{x}}d\bar{x}(-\frac{1}{v(x)})=-\frac{1}{v(x)}[\rho(\bar{x}(t;x))-\rho(\bar{x}(0;x))]=-\frac{1}{v(x)}[\rho(\bar{x})-\rho(x)]$$.

其中注意到对$$t'$$的积分是保持$$x$$不变的情况下进行的,所以开始求偏导的时候保留积分,后面用换元把积分变成了对$$\bar{x}$$进行.积分的初始点是时刻0在位置$$x$$的菌群对应的初始时刻位置,即是$$x$$,的生长率,积分的终了点是时刻$$t$$在位置$$x$$的菌群对应的初始时刻位置,即是$$\bar{x}(t,x)$$,的生长率.利用上述结果,很容易证明(12.71)等式右边指数函数部分满足(12.68).

将上述两部分结果结合起来,我们就完成的证明,即(12.71)第一行满足方程(12.68).

显然,用非常类似的证明过程,可以证明(12.71)的第二行也是(12.68)的解.从而,它与(12.17)的第一行必然一致.后者也可以直接通过上面对$$x$$和对$$t$$偏导的关系式来证明.

P.420 (12.74-75)

显然,(12.72)可以由对应性(12.69)直接由(12.71)得到.(12.74-75)应该无非就是重复(12.71)的验证过程而已.

(12.74)来自(12.73),但是它本质上对应(12.70),所以其中导数是偏导,对应$$\lambda$$不变的偏导.换言之,$$\bar{\lambda}$$是对应重整化能标$$M$$处的耦合常数,这个耦合常数在动量$$p$$处的取值为$$\lambda$$.所以等式左边积分的下限是$$\lambda$$,上限是$$\bar{\lambda}$$.

所以(12.74)左边的积分是对固定的$$\lambda$$进行的,并非任意路径,积分变量就是等式右边涉及的$$p$$.

而(12.75)其实对应着上面证明的$$\frac{\partial}{\partial t'}\bar{x}(t';x)+v(x)\frac{\partial}{\partial x}\bar{x}(t';x)=0$$.除了用对应性关系给出证明,(12.75)也可以由(12.74)出发直接证明.

P.420 (12.76)

这里简单讨论一下(12.76)中的未知项的确定方法.因为和生物流体知道初始细菌分布的条件不同,这里$$\mathcal{G}$$的具体形式是未知的.在此意义下(12.76)是在$$\beta,\gamma$$已知情况下的一个形式解.而在实际应用中其实$$\beta,\gamma$$也是未知的.在最简单的情况下,我们可以通过微扰论来近似的得到格林函数的形式.在这种情况下,我们把获得的近似的格林函数的形式对在重整化能标处的耦合常数展开,来获取信息.

P.421 (12.79)

比较(12.71)的形式以及讨论.这里的第一个因子是来源于初始分布以及$$v(x)$$,即未知的函数形式$$\mathcal{G^{(4)}}$$以及$$\beta$$函数.这是$$\gamma=0$$时的修正,故书中归纳为对顶点的修正. 而第二个指数因子由$$\gamma$$以及$$v(x)$$决定.指数上积分的贡献是对不同以及$$x$$即以及$$p$$的贡献的乘积.故书中归纳为对外线的修正.

但是,我们必须指出这里问题和类比的生物流体问题的不同.这里我们其实要研究是同一物理理论的重整化群的流方程.对于同一理论,其实我们需要把$$\bar{\lambda}$$和$$M$$固定不变,研究$${\lambda}$$关于$$p$$的函数.其实,,取定$${\lambda}$$和$$p$$,研究$$\bar{\lambda}$$关于$$M$$的函数也是可以的.但是在固定其余变量的情况下研究$$\bar{\lambda}$$关于$$p$$的函数就与上述物理上的理解有冲突.尽管上述函数在生物流体问题中对应求得某时刻和空间位置的菌群密度,是完全有意义的.在此意义上,一个理解方式是把(12.97)最终替换为$$\bar{\lambda}$$和$$M$$取定情况下$$p$$的函数.在(12.97)右边的因子$$\mathcal{G}^{(4)}$$中,因为$$\bar{\lambda}$$在(12.79)右边作为一个复合函数出现,可以直接把它视为固定的常数.另一方面,在$$\gamma(\bar{\lambda})$$相关的积分过程则不同,因为积分是对固定的$$\lambda$$进行的,必须保留$$\bar{\lambda}$$作为一个复合函数的形式,随着被积变量$$p'$$而变化,而在积分完成后用反函数把$${\lambda}$$替换成$$\bar{\lambda}$$的函数.上述讨论和之前分析的 联系是什么 呢?

注意到这里对格林函数的两个因子物理上讨论的细节其实并不影响下一章的应用.因为后者仅在固定点附近进行.耦合常数在固定点并不是能标的函数,$$\lambda=\bar{\lambda}$$.

P.422 (12.82)

这里积分限为右边从$$M$$到$$p$$,左边从$$\lambda$$到$$\bar{\lambda}$$.

和之前的(12.28)比较,按笔记讨论,我们有对应关系$$\frac{p}{M}\rightarrow \frac{1}{b}$$,以及$$\bar{\lambda}\rightarrow \lambda$$和以及$$\lambda\rightarrow \lambda'$$.

注意到这里的函数$$\bar{\lambda}(\frac{p}{M};\lambda)$$,类似于$$\bar{x}(t;x)$$.$$\bar{\lambda}$$并不是在给定的重整化条件下耦合常数随着外动量(相对重整化能量标度)的变化,类似于$$\bar{x}$$并不是在初始时刻某位置的某菌团随着时间演化的函数.

然而,对于$$v(x)$$已知的情况,我们的确可以定义一个传统意义上的,固定出发点菌团的时间演化函数,$$x(t;\bar{x})$$,对应零时刻出发点为$$\bar{x}$$的菌团随着时间演化的函数.它满足的方程是$$\frac{\partial}{\partial t'}x(t';\bar{x})=v(x)$$.注意唯一的区别是速度前的负号.这样方程的解,即$$\bar{x}(t;x)$$的反函数$$x(t;\bar{x})$$就是在原来的解中把时间取反号即可.

这对应场论中的情况,对于固定重整化条件的耦合常数随着外动量的变化$$\lambda(\frac{p}{M};\bar{\lambda})$$,就是$$\bar{\lambda}(\frac{p}{M};\lambda)$$中把$$\bar{\lambda},\lambda$$交换并把$$\log(\frac{p}{M})$$换为$$-\log(\frac{p}{M})$$即可.

这里 不够明确 的地方是,在书中(12.73)下面把$$\bar{\lambda}(\frac{p}{M};\lambda)$$而非$$\lambda$$定义为跑动的耦合常数.在之前(12.24)的讨论中把高动量部分积分掉,在物理上的确对应考虑把能标降低后的相互作用常数.但是从(12.82)与(12.70)的类比,及其上述讨论的$$\bar{\lambda}$$的定义出发,之前积分掉高能区域的做法相当于增加$$p$$的值,所以相当于两次乘以负号后精确抵消,即取(12.82)并把$$p\rightarrow 0$$来得到低能区的耦合常数.另外一个理解是注意到(12.79-80),如果我们在能量标度$$p$$重整后的相互作用常数为$$\lambda$$,计算格林函数,取在$$p\rightarrow 0$$的渐进行为,即计算(12.79)的渐进行为.根据对(12.79)的讨论,这个表达式可以视为耦合常数重整和外线重整的效果的叠加.而对于前者,$$\mathcal{G}^{(4)}$$因子中的自变量正是$$\bar{\lambda}$$.换言之,在形式解中,一个在不同能标$$M$$处的耦合常数直接影响了格林函数.但是这个解释与之前的讨论很难被统一的理解.又参考这个问题.

P.422 (12.82)下一式

注意到$$\frac{1}{1-x}=1+x+x^2\cdots$$既得.

P.423 (12.83)

根据(7.93)附近的讨论,这在数学上非常接近对光子自能的两点格林函数的修正.但是,因为其傅里叶变换$$V(x)$$是一个可观测量,所以这里不涉及类似格林函数和S矩阵元之间存在的外线修正因子.具体的,这里计算的格林函数直接和两个静电荷间的作用势,后者是可观测量,所以对应的外线修正为零,即$$\gamma$$为零.

由两点格林函数的量纲,用类似之前的讨论,可以把(12.83)改写成(12.84).

P.427 (12.97)

这部分先以尽量一般性的角度讨论了$$\beta$$函数,在弱耦合强耦合下的情况.对前者,又按$$\beta$$的符号分为三种情况,前后两种分别对应QED和QCD,中间对应超对称理论.在强耦合下,微扰分析的具体过程不成立,具体结果可能更为复杂.

然后书中以固定点的存在为出发点,讨论了在固定点附近格林函数的渐进行为.得到非平庸的指数依赖关系,即(12.97).

P.428 (12.100)

在微扰论中相互作用量在费曼图中的贡献,即(4.44)的意义上,这里(12.100)引入的算符$$\mathcal{O}$$可以看成是一个对应外线的算符,字面上对应一个不满足动量守恒的内点.

在从格林函数的定义的出发点来看,比如(12.100),内点和外点其实没有本质区别.唯一的区别是由于拉格朗日的形式内点存在对坐标点的积分,后者导致动量守恒.而外线的坐标不被积分,那么其动量空间的形式是总动量$$k$$的函数.即可以定义格林函数(12.104).这里把一个局域算符,质量算符$${\mathcal O}_M$$,作为外线来定义格林函数,(12.104).这样定义的格林函数不但具有若干费米子外线,还具有一个质量算符作为外线.这里的质量算符与拉格朗日中的质量算符不同,后者相当于对无质量拉格朗日的微扰相互作用.因为是相互作用,存在对其空间坐标的积分,所以是一个相互作用内点,在内上满足动量守恒.在此意义上,(12.104)定义了一个与之前传统意义上(4.31)完全不同的格林函数,因为他具有一根与众不同的外线.其实,我们并不需要求解格林函数,而是需要知道质量算符的演化方程.这在后面第18章以QCD的实际应用有进一步的讨论.

注意(12.101)是在不考虑任何相互作用,没有任何辐射修正情况下的结果.但是书中后面指出这个式子是无质量理论的"质量"项的重整化条件.具体理由理解如下,但 并不确定 .这里质量算符作为一个相互作用外线可以计算一个含有一个质量算符和四根费米子外线的格林函数的辐射修正,故(12.101)就是用该格林函数的费曼图为骨架图时的值对作为考虑了各种辐射修正后费曼图的重整化条件.

如果类似于对任意外线的重整化,可以把质量算符重整化后的结果形式上写成(12.103).后面(12.112-117)就是一个具体的通过重整化条件计算这个重整化因子的例子.

注意到,上述定义的含有质量算符为外线的格林函数和质量项作为相互作用内点的事实是独立的.在具体计算质量算符作为外线的格林函数的辐射修正中,质量项完全是可以作为一个内点出现的.这样就回到(12.100)的讨论,这里的相互作用和W介子的质量相关.在当前的讨论中,我们认为该质量算符导致的辐射修正远小于顶点辐射修正的贡献,故而不考虑.而在(12.114)的计算中,质量项的辐射修正的图不对应最低阶贡献.

P.430 (12.110)

这是讨论的量子数完全相同的算符的线性组合的问题.

书中指出,这样得到的$$\gamma$$矩阵有一个本征值为零.我们不妨反过来考虑,假设$$\gamma$$矩阵已经线性组合,其中的一个组合对应可观测量,能动张量.因为可观测量(比如电荷,比如之前计算的库仑势)不会随着重整化过程而变化,所以对应的$$\gamma$$函数为零.换言之,对角化的$$\gamma$$矩阵的对应对角元素为零.即在对角化之前,$$\gamma$$矩阵有一个本征矢量对应可观测量,其对应的本征值为零.

P.431 (12.112)

这里重复(12.53)的推导思路,但是注意到因为对应的格林函数是(12.111),要将局域算符,即质量算符,理解为外线,而非传统意义上的格林函数.

考虑(12.52),这里对最简单的树图的情况并没有任何内点,所有的辐射修正都可以理解为是来自费米子外线和质量算符外线的重整.这样可以在(12.53)中简单的去掉括号中的与$$g, \delta_g$$相关的前三项,其中第四项为树图的外线修正,取$$g=1$$.这样(12.52)变为
 * $$(\Pi_i \frac{i}{p_i^2})\left[(A_i \log\frac{\Lambda^2}{-p_i^2}-\delta_{Z_i})+(B \log\frac{\Lambda^2}{-p_i^2}+\delta_{\mathcal O})\right]$$.

注意到其中$$\delta_{Z_i}$$和$$\delta_{\mathcal O}$$之前负号的差别来自(12.111)下图的定义和(12.49)定义中外线对应的$$i$$因子数的不同.另外注意到(12.105)中指数因子的不同,导致类似(12.63)前面的$$\frac 12$$因子. 把这两个因素都考虑上,代入Callan-Symanzik方程,利用(12.50),我们得到
 * $$M\frac{\partial}{\partial M}(\delta_{\mathcal O}-\sum_i\delta_{Z_i})+(\gamma_{\mathcal O}+\sum_i\frac12 M\frac{\partial}{\partial M}\delta_{Z_i})=0$$

此即需要证明的结果
 * $$\gamma_{\mathcal O}=M\frac{\partial}{\partial M}(-\delta_{\mathcal O}+\frac12\sum_i\delta_{Z_i})$$.

比如对下面(12.114)计算的具体例子,$$(\Pi_i \frac{i}{p_i^2})\rightarrow \frac{i}{p^2}\frac{i}{q^2}$$.而质量算符的发散$$(B \log\frac{\Lambda^2}{-p_i^2})$$对应(12.116).

这里强调,这里的推导并不是把质量算符作为内点直接搬用(12.53)的结论得到的.另外,我们不可能直接用类似推导(12.50)的方式写出$$\gamma_{\mathcal O}$$和$$\delta_{\mathcal O}$$之间的关系.这是因为我们可以构造有费米外线但是没有质量算符外线的格林函数,却无法构造仅含质量算符外线的格林函数.最后我们考虑把质量算符视为内点的情况,这时对应于质量算符的外动量为零,我们讨论仅含有费米外线的一般意义上的格林函数满足的Callan-Symanzik方程,直接利用(12.53)的结论,注意到质量算符抵消项的定义和内点和其抵消项($$g, \delta_g$$)的定义的相对正负号完全一致,故可以直接把$$\beta_{\mathcal{O}}$$换为$$\gamma_{\mathcal{O}}$$,即得需要的结果.这说明,前面把质量算符作为外线的推导和这里的推导是一致的.

P.432 (12.113)

这里利用(12.112)以及重整化条件(12.101)来计算$$\gamma_{\mathcal{O}}$$到一阶$$\lambda$$精度的具体例子.

注意(12.112)等式右边的$$m$$并非质量,而是相互作用内点对应的内线的数目.

书中指出,这里计算的(12.114)是$$\lambda$$阶的唯一贡献.因为$$\phi^4$$相应顶点可以给出外线修正$$\delta_Z$$,但是(12.29)与$$M$$无关,而(10.31)的第一个图是$$\lambda^2$$阶的.

另外比如(10.31)图似乎同时可以视为两线顶点的修正,但是这里其实与此无关.因为(12.113)对应的两线顶点不满足动量守恒,而前者必须满足动量守恒.

P.432 (12.117)

这里直接将(12.116)代入(12.112)中求导数求不出来,而是要注意到这里其实对应$$n=2,d=4$$是对数发散,按(12.53)处的讨论写为对数形式求导,即得.

P.432 (12.118)

这里指出,当把质量作为一个无质量粒子的拉格朗日的相互作用项时,存在一个额外的问题.因为其重整化条件会受到质量是可观测物理量的事实的影响.比如(12.83)库伦相互作用,(12.110)电荷或者能动张量,它们对应的$$\gamma$$函数都为零.书中指数,这里不考虑上述可观测量的事实对重整化条件的限制,仅仅把质量项作为一个普通的耦合项来看待,并讨论对应的Callan-Symanzik方程.

P.433 (12.119)

这里考虑的是包含$$l$$个(对应质量项的)内点的格林函数$$G^{(n,l)}(p_1,p_2,\cdots,p_n,k_1,k_2,\cdots,k_l)$$对应的Callan-Symanzik方程.

注意到这里$$m^2\frac{\partial}{\partial m^2}\rightarrow l$$.其中$$l\gamma_{\phi^2}$$项与$$n\gamma(\lambda)$$的来源完全一样,因为每个内点都会贡献一个因子$$\gamma_{\phi^2}$$.导数部分因为$$m^2\frac{\partial}{\partial m^2}(m^2)^l=l(m^2)^l$$.

P.433 (12.123)

这里$$\rho_i\frac{\partial}{\partial \rho_i}$$与$$m^2\frac{\partial}{\partial m^2}$$的作用完全一样,就是用来得到内点数目.多出的因子$$d_i-4$$就是为了正好抵消方程的第一项$$M\frac{\partial}{\partial M}$$对展开(12.222)的额外贡献.

P.434 (12.129)

注意到这里考虑维度$$d$$稍稍偏离4的情况,这里把质量项和$$\phi^4$$相互作用项都重新统一的写成(12.122)的形式.注意到$$\phi$$的量纲为$$M^{\frac{d-2}{2}}$$,所以质量项和相互作用项按(12.122)的形式分别写成$$\rho_m M^2\phi^2$$和$$\lambda M^{4-d}\phi^4$$,而(12.122)本身写为$$\rho_i M^{d-d_i}\mathcal{O}^i_M(x)$$.

P.434 (12.130)

这里就是利用(7.83)的展开,并且具体对$$M$$求导即得.注意到在维度偏离4的时候,原来严格等于-2的因子现在是在-2基础上加上和维度相关的小量的修正.这里是以一个相互作用为例进行讨论,但是指出结果是普适的.维度稍微偏离4,导致对应的$$\beta$$函数就是在原来四维结果的基础上叠加小的修正.对应(12.131)的第三式.注意到其中的$$[d_i-d+\gamma_i^{(4)}]$$完全可以写为$$[d_i-4+\gamma_i^{(4)}]$$,因为前者也不是精确结果,差距仍然是$$(4-d)$$的一阶小量.

P.435 (12.131)

这里的第三项,这就是(12.123)中的$$\rho_i\frac{\partial}{\partial\rho_i}$$前面的系数按类似(12.130)的结果推广即得.

第二项,利用(12.129)的讨论可视为第三项的特殊情况,这里$$d-d_i\sim 4-d_i=2$$.

第一项,原则上,也可以视为第三项的特殊情况,这里$$d-d_i\sim 4-d_i=2$$.但是,这里的例外是$$d=4$$时候的$$\beta=\beta^{(4)}$$已经在(12.46)附近被讨论并计算过了,为了自洽的回到之前的定义,所以展开式的写法有所不同.

P.436 (12.136)

在这里,书中分别讨论了固定点的两种情况.固定点是由$$\beta$$函数为零决定的,比如满足方程Eq.(12.132)为零.对两种情况,书中利用方程Eq.(12.126)讨论在固定点附近其他耦合系数$$\beta_i,\beta_m$$(定义如Eq.(12.131))的渐进行为.两种情况下,固定点处$$\lambda=0$$和$$\lambda\ne 0$$.前者对应平庸的固定点,与(8.16)的结果一致,后者是由Wilson和Fisher首先得到的.

对第一种情况,$$\lambda=0$$,当$$\bar{\rho}_m \sim O(1)$$时,质量项在拉格朗日中贡献才真正体现出来了,换言之,之前P.432讨论中涉及的质量项的贡献可视为微扰的假设在这个标度$$p_0$$开始被打破,从而方程Eq.(12.134)以及结果也在这时开始失效.在此之前体系处于统计力学中的临界点,满足标度不变性.从物理上知道,在临界点时关联长度趋于无穷.质量的作用显现时,体系逐渐离开固定点,标度不变性开始被打破,关联长度开始趋于零.按下面的讨论,我们知道关联长度和能标的倒数有关,即$$\xi\sim p_0^{-1}$$.代入条件$$\bar{\rho}_m(p_0)=1$$即得到$$\xi\sim m^{-1}$$,这正是在之前(12.2)附近的讨论中涉及到的结论.等价的,条件$$\bar{\rho}_m(p_0)=1$$意味着我们有$$\xi\sim p_0^{-1}\sim \rho_m^{-\frac{1}{2}}$$.这正是书中讨论的,和Eq.(8.16)得到的临界系数.

关于在临界点附近的性质,在后一章的开头书中给出了更为详细的计算,参见(13.3-4)附近的讨论,并且考虑到$$(T-T_C)$$和质量平方$$m^2$$的关系$$m^2=2b(T-T_C)\rightarrow 0$$,在固定点附近,关联长度对质量的依赖为幂函数关系,并趋于无穷.

P.436 (12.137)

(12.137)可用与上面类似的方法计算得到.

但是这里表面上 不清楚 为什么得到(12.138)对应固定的$$\bar{\rho}_m \sim O(1)$$.其实在后一章(13.19)之前给出给出的讨论结果相同.按书中讨论的思路,$$\xi$$是(12.135)或者(12.137)等式右边$$p^{-1}$$的系数的倒数.这是因为坐标空间格林函数满足的方程就是在原来的Callan-Symanzik方程中把$$p^{-1}$$替换为$$|x|$$,而该格林函数随着空间距离$$|x|$$指数衰减,衰减系数就与(12.135)或者(12.137)中等式右边与$$|x|$$相乘的因子直接有关.但是上述论述并不与书中这里的讨论直接相关.我们可以认为,从更为严格的讨论的结果出发,现在的结论相当于等效的取$$\bar{\rho}_m \sim =1$$的条件来得到.

P.436 (12.141)

这里比较$$\phi^4$$理论的拉格朗日和磁介质模型(8.8),知道$$(T-T_C)$$和质量平方$$m^2$$有关,故与(8.16)和上述$$\xi\sim m^{-1}$$一致.

Ch.13 Critical Exponents and Scalar Field Theory
P.442 (13.11)

考虑到$$\phi$$的量纲是$$\frac{d-2}{2}$$,即知$$G$$的量纲.

P.442 (13.12-13)

这里是在考虑坐标空间的格林函数满足的Callan-Symanzik方程,但是按之前其推导过程,主要把格林函数写成无量纲的量的关于无量纲的量的函数.这样,其实只需要在之前的结果中做代换$$p\rightarrow\frac{1}{|x|}$$即得.其中$$|x|$$和$$p$$是一回事,都是指模.

P.422 (13.15)

第一式即对应(12.131)第二式,当$$\lambda\ll 1$$时,$$2-\gamma_{\phi^2}>0$$,所以$$|x|$$增加而$$\bar{\rho}_m$$增加.

第二式即对应(12.131)第三式,$$A_i=d_i-d+\gamma_i^{(4)}$$.如果相互作用不可重整,为irrelevant算符,即$$d_i>d$$,$$A_i>0$$,随着$$|x|$$增加$$\bar{\rho}_i$$减小.

最后对$$\phi^4$$相互作用,即(12.131)第一式,$$(d_i-4)\lambda+\beta^{(4)}$$,在这里考虑$$d<4$$,所以$$\beta$$函数在原点为负,但是由(12.46),$$\beta^{(4)}>0$$,这样按(12.132)附近的讨论,这是耦合常数的演化对应Fig12.4(b),在固定点附近(12.94)中的$$B<0$$.所以$$|x|$$增加而$$\bar{\lambda}$$同样减小.

P.443 (13.16)

首先对$$\phi^4$$理论,我们对质量项提出无量纲系数的操作如下$$m^2\phi^4\rightarrow \rho_m M^2\phi^2$$,比较之前的磁介质模型,我们有$$b(T-T_C)s^2\rightarrow\frac{T-T_C}{T_C}bT_Cs^2$$,显然其中$$t\equiv \frac{T-T_C}{T_C}$$无量纲,对应$$\rho_m$$.

在(13.12)中,把指数上的$$\gamma$$近似为常数,这样可以把指数上的定积分积出来.前面的因子$$h$$的一个自变量$$\bar{\rho}_m$$由(13.14)的第一式代入.其他自变量$$\bar{\rho}_i$$,按书中讨论,都是更小的量近似为0.最后用$$t$$取代$$\rho_m$$即得(13.16).

P.443 (13.17-19)

注意到这里的指数法则都是固定其他变量,仅仅让一个变量变化,并提取出主要依赖的部分.

(13.17)的幂函数依赖关系来源(13.16)的分母.虽然$$h$$也依赖于$$|x|$$,但是因为其依赖关系是指数的形式(13.2),特别在临界点附近关联距离很大时,依赖性很弱.

(13.18)这里是通过分析得到的,而非具体的计算结果.首先对$$t$$仅在$$h$$函数的唯一自变量$$t(\mu|x|)^{2-\gamma_{\phi}^2(\lambda_*)}=\left(t^{\frac{1}{2-\gamma_{\phi}^2(\lambda_*)}}\mu|x|\right)^{2-\gamma_{\phi}^2(\lambda_*)}$$.这样,所有与$$|x|$$以乘积形式出现的项都以相同的形式出现在指数函数(13.2)中,这就是方程(13.18).

注意到结果(13.4)就是之前(12.138-139)获得的结果.

P.444 (13.21)

按(11.95)和下面的图及相关讨论即得.

P.444 (13.22)

将(13.21)或者之前的(11.95)将其中的所有格林函数都用其和裸量的关系(12.35)来表达,即得到不可约顶角关系(13.22)与之前(12.35)类似但指数上因子正好差负号的结果.

P.444 (13.24)

首先,这里的$$\int dx\phi_{\mathrm{cl}}(x)\frac{\delta}{\delta\phi_{\mathrm{cl}}(x)}$$与之前(12.121)中的$$C_i\frac{\partial}{\partial C_i}$$的作用是完全一样的.注意到虽然求变分和求偏导是不同的,特别是,对P.384(11.98)上面一式有效势对$$\phi_{\mathrm{cl}}$$求导并不得到有效作用量对相应的$$\phi_{\mathrm{cl}}(x)$$求变分的结果.这里就是在对有效作用量求变分的意义上使用,其实,只要注意因子$$n$$的产生来源于被求导泛函展开中对应阶数泛函对$$\phi_{\mathrm{cl}}(x)$$求一阶变分得到的相同结果的重复数.

其次,注意到(13.23)是动量空间的方程而(13.24)是坐标空间的方程.他们满足相同的方程类似于(13.10)与(12.47)满足相同的方程.因为傅里叶变化不受到方程涉及的偏导的影响.

P.444 (13.25)

如书中所述,把$$\phi_{\mathrm{cl}}(x)$$取为常数函数,这样按(13.20)对数值$$\phi_{\mathrm{cl}}$$的依赖可以提出到积分号以外,这样$$V_{eff}$$的泰勒展开系数就是$$\Gamma{(n)}$$对空间的积分.因此,由于空间积分部分对导数没有影响,可以把$$\Gamma{(n)}$$满足的方程,改写为$$V_{eff}$$的泰勒展开系数满足的方程.求和后即得(13.25).

P.445 (13.26)

注意到这里的磁化强度$$M$$就是作用量中与外源$$J$$对应的经典场$$\phi_{\mathrm{cl}}$$.吉布斯自由能对应有效势,由经典场与坐标无关时的不可约顶角函数决定.这样就把统计力学中的物理量和量子场论中的物理量联系起来了.

P.445 (13.27)

因为$$\Gamma$$无量纲,所以$$V_{eff}\sim x^{-d}\sim (mass)^d$$,另外已知$$\phi_{\mathrm{cl}}\sim (mass)^{\frac{d-2}{2}}$$,所以$$(mass)^d\sim\phi_{\mathrm{cl}}^{\frac{2d}{d-2}}\sim M^{\frac{2d}{d-2}}$$.注意到这里用的符号$$M$$容易引起混淆,它不是质量而是经典场.

P.445 (13.38)

按$$\hat{g}$$的自变量,我们有$$\frac{1}{\mu^{-\frac{d-2}{2}-1}\left(-\frac{d-2}{2}\right)M}\frac{\partial}{\partial\mu}\hat{g}=\frac{1}{\mu^{-\frac{d-2}{2}}}\frac{\partial}{\partial M}\hat{g}$$.这样就有$$\frac{-2}{d-2}\mu\frac{\partial}{\partial\mu}\hat{g}=M\frac{\partial}{\partial M}\hat{g}$$.

P.445 (13.32)

类似(13.14)讲(13.31)积分即得.

P.446 (13.35-44)

不难证明,可以把(13.35)写为以$$t$$和$$Mt^{-\beta}$$为自变量的函数,这就是(13.36).其中$$\hat{f}(x)=x^{1+\delta}\hat{h}\left(x^{-\frac1\beta}\right)$$.

这里重要之处是从实验上知道,在以$$M\ne 0,t=0$$和$$t\ne 0,M=0$$两种形式接近临界点时,在到达临界点之前,格林函数都不发散.所以$$\hat{h},\hat{g}$$在零点处的极限都有限且平缓的趋近这个极限,临界指数由之前的$$M,t$$幂函数因子决定.

在下面(13.41)就是(13.36)的导数,写出反函数就是(13.42),再求导就是(13.43),而利用实验上观测到的在$$t\ne0,H=0$$时磁化系数不发散,故$$\hat{c}'$$在零点处的极限有限且平缓的趋近这个极限.代入$$H=0$$即得其温度依赖关系(13.43).

P.452 (13.63)

这是用一阶圈图近似下计算得到的$$\gamma$$代入Callan-Symanzik方程,并从一阶真空图结果(13.55)中提取出不考虑外线重整时有效势形式而得到的结果.结果把其重整化条件依赖性吸收到跑动的耦合常数中.书中把这种做法称为由重整化群改进的微扰论.

这个结果和(13.55)的本质区别是,作为$$\phi_{\mathrm{cl}}$$的函数,不存在与对数因子有关的第二个极小值,书中证明,这个极小值其实并不存在,它是由于求和不当而产生的.注意到这个极小值并不是之前讨论的自发对称破缺相关的那个极小值,后者存在且是物理的.

P.454 (13.67)

因为归一性(13.66),所以所谓的质量项是常数项,没有实质贡献.一般的,由于对称性,矢量场唯一可以构造的标量是其模的函数,所以拉格朗日最一般的形式就是(13.67).

P.455 (13.68)

在下面把非线性$$\sigma$$模型和线性$$\sigma$$模型比较.对线性$$\sigma$$模型的对称破缺的真空态,其涨落并不保证模不变.但是,按书中(11.7-9)附近的质量$$m=2\mu^2$$和经典解$$\phi_0=v=\frac{\mu}{\sqrt{\lambda}}$$的表达式,知道在质量趋于无穷大而$$\phi_0$$不变的极限相当于把势场趋于无限陡峭.这样其实就是抹杀了沿着对称性破缺方向的量子涨落,即$$\sigma$$场的自由度,而仅仅保留在剩余对称性下模不变的涨落,即$$N-1$$个$$\pi$$场的涨落.这正是非线性$$\sigma$$模型.

P.455 (13.71)

注意到由于归一性,最后一个$$\sigma$$分量不是独立的.所以直接把(13.70)求导并代入(13.71)左边的最后一项,得到其右边用$$N-1$$个独立自由度表达的拉格朗日形式.

P.456 Fig.13.1

第一个图是传播子,这里的拉格朗日与标量场相比,动能项前多了一个系数.为了计算传播子,我们利用路径积分的办法.完全类似之前(9.27)的做法,同时可以参考(12.8)的讨论,我们注意到这里的区别是高斯积分在指数上的系数多了一个$$\frac{1}{g^2}$$因子,这个因子对结果的影响是在分母(9.23)和分子(9.26)下一式的结果中把所有的$$m^2-k_n^2$$都替换为$$\frac{m^2-k_n^2}{g^2}$$.最后,除去分子分母相互抵消的部分,最后$${g^2}$$出现在传播子中.

接着,我们讨论一下第二个图费曼规则前的系数.

为了说明这个问题,首先回顾一下$$\phi^4$$理论.其相互作用(4.1)是$$-\frac{1}{4!}\phi^4$$,对应的费曼图规则是P.94上第二条规则.四个内线连接到四根外线上的组合数是$$4!$$,所以正好抵消.

接着考虑线性$$\sigma$$理论.$$\pi$$场相互作用形式(11.9)是$$-\frac{\lambda}{4}\left[(\pi^k)^2\right]^2$$,对应的费曼图是P.353上Fig.11.3的最后一个图.配对数对应给定初末态,用Wick定理得到的有相同贡献项的数目.这时,注意到$$\pi$$为矢量场,所以外线可以标记为$$i,j,k,l$$分别对应动量$$p_1,p_2,p_3,p_4$$,定义射向内点动量为正.不难发现,配对共有三种办法,对应和第一个外线配对的外线有三种选择.而对于任何一种方法,组合数都是$$4\times 2$$,其中4是第一个外线的选择数,2是另外两个配对外线的选择顺序.所以最后费曼规则中系数为$$\frac{4\times 2}{4}=2$$.

有个这些回顾,最后考虑非线性$$\sigma$$模型费曼规则的系数.$$\pi$$场相互作用形式(13.73)是$$+\frac{1}{2g^2}(\pi\cdot\partial_\mu\pi)^2$$,对应的费曼图正是Fig.13.1的第二个费曼规则.取代之前的组合数为8的三种配对方法,这里是组合数为2的12种配对方法.这是因为第一根外线可以被求导可以不被求导,当被求导时,外线动量直接影响相互作用而导致其特有的贡献.对应每种配对方法,组合数也相应减少为$$2$$,对应两根不被求导的外线的选择先后顺序.这样总的项数和线性$$\sigma$$理论一致.对外线的求导项可以按$$\pi$$场的分量的内积形式来合并同类项,这样Fig.13.1第二个规则右边每个动量乘积其实对应4种不同配对方法,三个和得到所有12种不同的配对方法.剩余系数为$$\frac{2}{2}=1$$.前面的因子$$-1$$是因为每个被求导的外线除了动量外都贡献格外的$$i$$,所以$$i\times i=-1$$.

P.456 (13.75)

注意到按微扰论和这里的计算$$\langle \pi \rangle=0,\langle \sigma\rangle\ne 0$$,前者为零,后者不为零.所以$$\sigma$$分量具有特殊性.这是因为这里微扰论的真空的确就是对称性破缺的,最后一个分量不为零的态.

P.456 (13.77)

注意这个在固定空间点计算的真空期待值,按(13.70)展开等于在零点计算的两点格林函数,再按傅里叶变换的定义和费曼规则等于动量空间的所有动量的圈图的总贡献.

另外,按纠错,(13.76)的圈图前少了$$\frac12$$系数.

P.457 (13.78)

这是维度正规化最简单的应用之一.这里只需对四动量的时间分量做Wick转动,利用(7.85)并考虑$$n=1$$的情况,即得(13.78).

P.456 (13.79)

注意到书中这里讨论的就是$$d=2$$的两维的情况,所以取这个极限.表明上,这里的重整化与(12.44)处的情况不同,这里(13.76)中的圈图根本不涉及到外动量,虽然紫外发散本质来源于内动量积分发散(13.78),其结果与外动量无关,所以不能用外动量来做标度.

实际上在(7.85)中代入$$d=2,n=1$$,发现这个紫外发散是对数发散,所以可以写成(13.79)中的对数形式.对应的能量标度为$$M$$.另外这个对数形式也说明同时还存在红外发散,通过$$\mu$$来控制.

另外系数$$N-1$$来源于对$$\pi$$的分量的缩并.

注意到,这个结果的物理意义是,如果取$$\pi$$场的前$$(N-1)$$个分量为独立自由度,那么在$$g\ll 1$$且$$(N-1)$$不是很大(c.f.之后大$$N$$极限的讨论)的情况下,$$\pi$$场的最后一个分量的平均值不为零,故存在对称性自发破缺.

P.457 (13.80)

注意到这里和(12.47)处的讨论的不同之处在于,$$g\ll 1$$并不是前者意义上的耦合常数.这里$$g$$不但影响到传播子,而且在分母上影响相互作用.如何把(12.47)处相关讨论的结论,比如$$\beta$$比耦合常数至少高一阶,用到这里 并不明确.

如果对(13.79)应用Callan-Symanzik方程,我们可以认为$$\beta$$项的贡献是高阶的(比如直接应用$$\beta$$比耦合常数至少高一阶)从而可以暂时忽略,且这和之后得到的(12.86)的确自洽,那么我们将(13.79)代入(13.74)即得(13.80).

P.457 (13.81-83)

按纠错,这里的一些公式有些系数上的错误.

这里的$$\Pi^{kl}$$选取两根不同的内线打圈,留下另外两根为外线,至少有三种可能,其一就是(13.78),其二是(13.82),其三为混合形式.

首先因为对动量积分的奇偶,第三种情况$$\langle\pi^k(0)\partial^\mu\pi^l(0)\rangle=0$$.

第二种情况(13.82)在$$d=0$$时,因为$$\frac{d}{2}\Gamma\left(-\frac{d}{2}\right)$$有限所以不是奇点.在$$d>0$$有奇点,但是这时$$\Pi^{kl}$$的表达式与$$\mu^2$$正数幂次成正比,这个重整化质量是要趋于零的,所以可要求他趋于零的速度比维度趋于使结果发散的整数更快,这样这样的贡献为零.

第一种情况,与(13.78)相比,另外两根不被积分的内线上的偏导使得其结果与外线动量$$p$$有关,这就是(13.83)第一行右边括号中$$(-1)p^2$$的来源.最后的结果仅仅和这种情况有关.本节仅考虑$$d\to 2$$,我们同样引入与之前类似的依赖于能量标度$$M$$的抵消项.

P.457 (13.85)

注意到这里Callan-Symanzik方程适用的条件仅仅是方程对应的物理量是$$g,M$$的函数,物理量可以通过LSZ公式使得和费曼图相联系.换言之,这里$$g$$不需要是相互作用顶点的耦合常数.在这里其实拉格朗日和相互作用顶点都和$$g^2$$成反比,但是重要的是$$g$$是小量,而费曼图的确是按$$g$$的阶数展开的.

P.458 (13.88)

这部分从Wilson重整化群思路出发的讨论,按微扰论计算了传播子中的耦合常数演化的"流方程".这个方法代表的思路在本书中多次出现,比如在后面多次被用于背景场方法中.但是在推导的若干细节 不是很清楚 ,尽数罗列如下.

首先(13.88)可以和(12.5)对比,把在动量空间的场写成两部分之和,其中高动量部分为$$\phi$$,然后再通过傅里叶变换转换回到坐标空间,仍然可以写成两部分之和的形式.这时,把从$$n^i$$场中抠掉$$\phi$$后剩余的场再次归一化后为$$\tilde{n}^i(x)$$.除了$$\tilde{n}^i(x)$$方向外,还剩下$$(N-1)$$个独立的方向,我们定义这些方向的基矢为$$e^i_a(x)$$.这样$$\tilde{n}^i(x)$$和$$e^i_a(x)$$(13.88)构成$$1+(N-1)=N$$个正交归一完备的基,容易验证(13.88)的左右两边的模都为1.

但是为什么要把$$e^i_a(x)$$也就是$$\phi$$的方向选为和$$\tilde{n}^i(x)$$垂直呢?这可以参考量子力学中的微扰论,因为$$\phi$$是高动量部分的小的微扰,所以这个微扰对原来的波函数的作用主要是体现在与原来波函数垂直的方向上,与之平行的分量对最终结果的影响是可以忽略的.但是还是可以继续问,为何不同傅里叶分量的分离会影响到(洛伦兹)标量场(比如在同位旋空间)不同的分量,引起它们之间的重新线性组合?如果傅里叶分量不会影响到标量场的不同分量,那么修正将沿着与原来分量相同的方向.上述正交分解将变得平庸.

P.459 (13.92)

这里 没有能够重复 展开后拉格朗日的形式.

首先(13.92)原则上是由(13.89)利用(13.90)和没有写出来的$$e^i_a(x)$$的正交归一性得到的.保留到$$\phi$$的两阶是包含导数项的,因为比如(13.37)中场的导数无非就是乘以动量后的内线,只要动量的数量级$$\sim O(1)$$,则不改变图形的阶数.但是具体验证有困难.(13.92)的右边第一项对应(13.89)右边第一项的平方,(13.92)右边第二项来自(13.89)右边第三项的平方,(13.92)右边第三项来自(13.89)右边第三项和第四项的交叉项,而(13.92)右边第五项来自(13.89)右边第四项的平方.但是不清楚(13.92)右边第四项是如何得到的,实际上(13.89)右边的平方一共涉及10项,除了上面涉及到的4项贡献外,由于正交关系,第一项与第二项的乘积为零,剩余的5项中,有三项的最低贡献为$$\phi^3$$,分别是第二项的平方,第二项与第三项的乘积,第二项与第四项的乘积,故可忽略.剩下的两项为第一项分别与第四和第五项的乘积,但是不清楚为何可以由此得到(13.92)右边的第四项.特别是,第一项与第四项的乘积与需要的第四项的两倍,而第一项与第五项的乘积除了因子2外还涉及因子$$\partial_\mu\tilde{n}^i\partial_\mu e_a^i$$,不清楚如何进一步化简.

然后,不清楚为什么$$\phi_a(p)$$涉及的传播子的动量积分范围是$$b\Lambda\le |p|\le \Lambda$$.这意味着,把原来的场的自由度中积分掉的高动量部分正是(13.88)中的$$\phi_a(x)$$?

P.459 (13.95)

这里的证明和之前(13.77)及(13.83)的积分很接近,因为被积函数中动量因子为奇数,积分为零.唯一的区别是这里的积分范围不是全部动量空间,而是被限制在高动量区域$$b\Lambda\le |p|\le \Lambda$$.但是积分为零是由角度对称性导致的,而不会受到动量的模的范围的影响.

P.459 (13.96)

这里(13.96)的计算和(13.77)完全一致,但是没有像之前那样写成维度正规化的结果,而是直接积分.具体的,我们有,$$\int\frac{d^dk}{(2\pi)^d}\frac{ig^2}{k^2-\mu^2}\delta^{ab}\to \int\frac{d^2k}{(2\pi)^2}\frac{ig^2}{k^2}\delta^{ab}=\int\frac{id^2k_E}{(2\pi)^2}\frac{ig^2}{-k_E^2}\delta^{ab}=\int\frac{\pi d(k_E^2)}{(2\pi)^2}\frac{g^2}{k_E^2}\delta^{ab}=\log\frac{\Lambda^2}{(b\Lambda)^2}\frac{g^2}{4\pi}\delta^{ab}$$.

P.459 (13.97)

注意到,这里可以和之前(12.10-15)处的讨论结合起来理解.把$$\tilde{n}$$看成外线,对应Fig.12.13中的单线,而把$$\phi$$看成需要积分的高能部分,对应Fig.12.13中的双线.除了(13.92)中的第二项对应零级拉格朗日的无质量粒子的动能量项,比较(12.5)中的相互作用项和(12.92)中的相互作用项,注意到(12.10)中的高能内线缩对应了(13.95-96)的缩并.这样,类似(13.92)右边的第三项和第四项,凡是牵涉到导数相互作用的顶点,缩并后都没有贡献,最后容易发现对(13.92)的第一项对应的顶点修正后就是(13.97).

P.459 (13.98)

首先(13.96)中产生了$$\delta_{ab}$$,所以(13.98)既是矢量的模又要对所有的基的指标$$a$$求和.接着因为函数的模等于在各正交单位基矢上的投影的平方和,注意到要对指标$$a,c$$独立求和.

P.460 (13.99)

这里第二步等式也是因为函数的模等于在各正交单位基矢上的投影的平方和,并利用(13.91)第一式知道不必在$$\tilde{n}$$上投影.最后不再含有对指标$$a$$的求和,所以(13.100)第二项有系数$$(N-1)$$而第三项没有这个系数.

P.461 (13.104)

由(13.103),我们有$$M\frac{\partial T}{\partial M}=2gM\frac{\partial g}{\partial M}$$,所以可以把等式右边第二项写为$$g$$的函数.

P.461 (13.105)

注意到由(13.103),我们有$$g^4|_{d=2}=T^2$$,所以等式右边第二项可以写为$$T$$的函数,实际上在维度与2差别不大时,差别的确是小量.

P.462 (13.109)

这里注意到$$\frac{d}{d \log p}\Delta T=\Delta \beta$$和$$\beta|_{T=T^*}=0$$即得.

P.463 (13.117)

这里(13.115)的左边其实来自(13.114)中的trace,所以等式左边不妨取动量表象的动量本征态,并且对所有态求和,此即(13.117).

P.464 (13.120)

注意到这里证明了拉格朗日相当于在没有(模为1)约束下的有质量的拉格朗日,比较(13.2)质量的确为正,这时基态自然没有对称自发破缺.即$$\pi$$场的所有分量的平均值都为零,这和之前的结论是迥然不同的.

P.464 (13.121)

这里应用Callan-Symanzik方程需要的条件仅仅是$$m$$是$$g$$的函数,后者并不是相互作用耦合常数,其平方其实与耦合常数的倒数有关.另外$$g$$是由重整化标度决定的.最后$$m$$按LSZ公式与费曼图的计算有关与可测量物理量有联系,其实,这里$$m$$本身就是可测量量,故$$\gamma=0$$.