Research Paper Notes on Holographic QCD

Research Paper Notes on Holographic QCD

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文献列表

 * Expanding plasmas and quasinormal modes of anti-de Sitter black holes, arXiv:hep-th/0611005v2, by J.J. Friess, S.S. Gubser, G. Michalogiorgakis, and S.S. Pufu
 * Mimicking the QCD equation of state with a dual black hole, arXiv:0804.0434v1, by Steven S. Gubser and Abhinav Nellore
 * A holographic critical point, arXiv:1012.1864v2, by Oliver DeWolfe, Steven S. Gubser, and Christopher Rosen
 * Dynamic critical phenomena at a holographic critical point, arXiv:1108.2029v1, by Oliver DeWolfe, Steven S. Gubser, and Christopher Rosen
 * Critical point in the phase diagram of primordial quark-gluon matter from black hole physics, arXiv:1706.00455v3, by Renato Critelli, Jorge Noronha et al
 * Hot and dense quark-gluon plasma thermodynamics from holographic black holes, arXiv:2102.12042v2, by Joaquin Grefa et al
 * Transport coefficients of the quark-gluon plasma at the critical point and across the first-order line, arXiv:2203.00139v2, by Joaquin Grefa et al

Expanding plasmas and quasinormal modes of anti-de Sitter black holes, arXiv:hep-th/0611005v2, by J.J. Friess, S.S. Gubser, G. Michalogiorgakis, and S.S. Pufu
本文通过AdS空间黑洞准正模式计算对应相对了重离子碰撞系统的集体流和热平衡迟豫时间.

Mimicking the QCD equation of state with a dual black hole, arXiv:0804.0434v1, by Steven S. Gubser and Abhinav Nellore
本文考虑用dilaton标量场打破共形对称性的AdS/CFT对偶理论,用零密下声速来决定标量场自作用势的形式.

(4)

不懂.声速的定义是能量密度对压强的偏导,保持单位粒子熵不变. 不清楚 这里为啥等价于这个表达式.

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A holographic critical point, arXiv:1012.1864v2, by Oliver DeWolfe, Steven S. Gubser, and Christopher Rosen
本文在零密的基础上引入化学势,考虑对偶场论中的一级相变曲线和临界点.

这里陪伴黑洞解的标量场(用于打破标度不变性)和矢量场(用于打破U(1)对称性给出有限的化学势)都不为零,所以对应有"毛"的黑洞解. 按郭宏的讨论,对于拓扑超导体模型,通过度规参数的选择,也是又可以存在由二级相变到一级相变的变化.

(20)

这是热力学中的关于体系稳定性的计算.体系的局域稳定性要求矩阵正定,而按线性代数,后者对应了矩阵行列式正定以及一个对角元为正.

把熵$$s(T,\mu)$$的中间变量视为$$s(T,\rho)=s(T,\rho(T, \mu))$$. 这样
 * $$\left.\frac{\partial s}{\partial T}\right|_{\rho}

=\left.\frac{\partial s}{\partial T}\right|_{\mu}+\left.\frac{\partial s}{\partial \mu}\right|_{T}\left.\frac{\partial \mu}{\partial T}\right|_{\rho}$$ 同时,由(11)出发,我们定义
 * $$g=\epsilon-sT$$

得到
 * $$dg=-s dT+\mu d\rho$$

由其混合导数关系得到
 * $$-\left.\frac{\partial s}{\partial \rho}\right|_{T}=\left.\frac{\partial \mu}{\partial T}\right|_{\rho}$$

综上,
 * $$\left.\frac{\partial s}{\partial T}\right|_{\rho}

=\left.\frac{\partial s}{\partial T}\right|_{\mu}+\left.\frac{\partial s}{\partial \mu}\right|_{T}\left.\frac{\partial \mu}{\partial T}\right|_{\rho} =\left.\frac{\partial s}{\partial T}\right|_{\mu}-\left.\frac{\partial s}{\partial \mu}\right|_{T}\left.\frac{\partial s}{\partial \rho}\right|_{T} =\left.\frac{\partial s}{\partial T}\right|_{\mu}-\left.\frac{\partial s}{\partial \mu}\right|_{T}\left.\frac{\partial s}{\partial \mu}\right|_{T}\left.\frac{\partial \mu}{\partial \rho}\right|_{T} =\left.\frac{\partial s}{\partial T}\right|_{\mu}-\left(\left.\frac{\partial s}{\partial \mu}\right|_{T}\right)^2\left.\frac{\partial \mu}{\partial \rho}\right|_{T} =\frac{\partial^2 f}{\partial T^2}-\left(\frac{\partial^2 f}{\partial T\partial\mu}\right)^2\left(\frac{\partial^2 f}{\partial \mu^2}\right)^{-1}$$ 其中最后一步利用了(15),由此确认(20)的第二步等号.

(29)

不难证明(29)不是$$r$$的函数. 具体做法是计算(29)对$$r$$导数,不难发现它其实就是
 * $$\mathcal{F}'=y_1(28)(y_2)-y_2(28)(y_1)=0$$

等式第一步中$$(28)(y_2)$$是将解$$y_2$$代入(28),由于运动方程(28),等式第二步得到零.

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Dynamic critical phenomena at a holographic critical point, arXiv:1108.2029v1, by Oliver DeWolfe, Steven S. Gubser, and Christopher Rosen
(27)

因为运动方程具有SO(3)转动不变性,考虑某球对称背景下的扰动的线性化方程. 因为方程的系数由球对称背景决定,它们是转动的标量表示. 所以如果某微扰从属于SO(3)的某表示,那么,观察运动方程本身,不难发现初始扰动不会在时间演化下离开上述表示空间. 这是因为微扰的变化由扰动与转动下不变的系数的乘积决定,某表示空间的基的线性组合仍然处于该表示空间.

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Critical point in the phase diagram of primordial quark-gluon matter from black hole physics, arXiv:1706.00455v3, by Renato Critelli, Jorge Noronha et al
本文通过对偶原理,讨论了对应的无标度不变性化学势不为零的边界体系的临界点位置. 按全息超导体模型的思路,我们可以尝试大致理解为什么存在临界点和一级相变. 对于全息超导体,相变的出现是由一个带电的标量场的凝聚导致的,来源于AdS空间的(经典)不稳定性. 后者在温度低于临界温度下出现,而且其连续性意味着它对应着一个二级相变. 对于现在的模型,我们除了温度以外还需要化学势这个状态空间参数. 在化学势为零的情况下,体系没有不稳定性;在一个临界化学势下,体系出现凝结并对应二级相变; 在这个临界化学势以上,体系出现凝结并且对应一级相变. 在引力体系中,我们可以讨论标量场凝聚所对应的不稳定性,这与黑洞相变有关. 在此意义上,之前文献中讨论的大小黑洞的相变,对应着边界上理论的何种相变过程?

(A3-7)

这里给出了方程,约束和边界条件. 这里我们对独立变量的数目给出分析. 这里有$$\phi, \Phi, h, A, B$$五个变量,分别对应标量场,电磁场零分量,度规扰动分量. 度规分量$$B$$并不包含动力学自由度,容易看到,它只是相当于取不同的径向坐标的选取,故可以简单的取为$$B=0$$,减少了一个变量. 同时,我们注意到最后一个方程(A7)并非独立的. 为看到这点,我们把(A7)再求一次导,然后用(A4)消去所得方程的$$\Phi$$,用(A5)消去所得方程的$$A$$,用(A6)消去所得方程的$$h$$,这样得到的方程只有$$\phi$$是两阶的(其余都是最高一阶),原则上要么和(A3)等价,要么得到第二个$$\phi$$的方程.(这时候如果不能马上看出等价,还可以被允许使用一次求导前的(A7)本身,替换掉其中的一些一阶导数的关系. 最后一步,其实也可以用(A3)把$$\phi$$消去,这样得到一个最高为一阶导数的方程,然后观察这个方程是否和(A7)等价. 在取$$B=0$$后,下面这个Mathematica代码验证了上述结论. 在保留任意函数$$B$$的形式时,仍然可以证明上述结论,参见这段代码截图.

这样(A3-6)对应四个变量,满足四个两阶常微分方程.

一般情况下,一个二阶常微分方程的通解包含两个积分常数. 但是方程(A7)虽然不独立,但是它相当于对已知的两阶方程做了一次积分,故它消除了一个积分常数. 这样,我们的出发点是三个两阶方程,五个积分常数. 在此基础上,上述运动方程对应的常数需要通过物理条件来确定. 而在最终的相空间我们有两个自由参数,正好对应相图的温度$$T$$和重子数化学势$$\mu_B$$.

(A9-10)

郭宏指出,虽然这样的方程是考虑了反作用的耦合方程,其解法与全息超导完全一致. 首先把方程在视界处展开,得到其展开系数满足的递推关系,这样所有的展开系数都由最低阶的两个展开系数决定. 这里两个系数的数字存在人为选择的因素,但它与两阶常微分方程的通解包含两个积分常数相一致. 把这样得到的解在无穷远处(边界上)与满足物理条件的渐进行为匹配(类比QNM的外行波条件或者超辐射问题波函数为零的条件,这里是在两个独立的渐进解中选择一支). 这样我们得到物理上合理的解,同时去除一个自由的系数. 上述AdS空间边界上的物理条件就是在两阶常微分方程的通解中选取一个在边界衰减更快的解,它对应"扰动",而衰减更慢的解对应"外源". 按上述分析,上述四个运动方程的解包含四个自由参数. 除此以外,我们还有两个可调函数,标量自相互作用势$$V(\phi)$$以及耦合函数$$f(\phi)$$. 我们知道,对应相图中的温度$$T$$和重子数化学势$$\mu_B$$,最终我们握有两个对解的可调参数.

文中,利用格点QCD在化学势为零的纵轴上的两个条件,熵密度$$s$$和重子数涨落$$\chi_2$$这两个已知函数,我们用以决定上述两个未知函数. 由(A10)中的渐进行为,给出了五个约束,这样去除了五个积分常数. 而由(A14)后一段的讨论,通过$$h(r_H)=h_0=0$$定出视界位置后,由于黑洞不带电,在视界上$$\Phi(r_H)=\Phi_0=0$$.这样又给出一个约束,除去一个积分常数. 这样,的确剩余两个自由参数.

(A9)

这里渐进AdS空间由真空解以及解的渐进行为决定. 具体体现在有效势在零点,标量场不存在的情况下,为负数$$V(0)=-12$$.

(A22-25)

这是本文用到的AdS/CFT字典对应关系.

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Hot and dense quark-gluon plasma thermodynamics from holographic black holes, arXiv:2102.12042v2, by Joaquin Grefa et al
本文通过数值计算决定了一级相变曲线的具体位置. 这是否可由某种物理上考察而非通过数值方法所决定?

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Transport coefficients of the quark-gluon plasma at the critical point and across the first-order line, arXiv:2203.00139v2, by Joaquin Grefa et al
在这篇工作中,他们进一步计算了一系列输运系数.

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