Research Paper Notes on Cosmic Microwave Background

Research Paper Notes on Research Paper Notes on Cosmic Microwave Background

本文档除了包括推导, 疑惑 外,做 读书重点 的记录 $$$$

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 * Characterizing Inflationary Perturbations: The Uniform Approximation, arXiv: astro-ph/0406134v1, by Salman Habib et al
 * Inflationary cosmology with nonlinear dispersion relations, arXiv:1308.5708v2, by Tao Zhu, Anzhong Wang et al

Characterizing Inflationary Perturbations: The Uniform Approximation, arXiv: astro-ph/0406134v1, by Salman Habib et al
本文提出利用Uniform Approximation方法计算功率谱

(8)

这里的逻辑顺序是从附录的微扰方程的推导,到微扰方程的一般形式(4-5),到极限解(6-7),到连接条件Fig.1,最后给出功率谱(8).

其实在短波极限下方程(4)为波动方程,其渐进解(6)是显然的.而在长波近似下,我们也可以直接验证(7)是相应方程$${u}_k-\frac{z}{z}u_k=0$$的解,其中注意到$$u_k=u_k(\eta),z=z(\eta)$$.具体计算过程略.物理上,尺度比空间曲率半径小得多的短波模式保持振动,而尺度很大的长波模式被放大.

Fig.1

这里的横轴是共形时间,即宇宙演化的时间.纵轴是方程(4)右边括号中$$k^2$$与$$\frac{z}{z}$$的比较.它们的相对大小决定了具有不同渐进行为的宇宙演化的三个阶段.区域I对应$$k^2 \gg \frac{z}{z}$$,而区域III对应$$k^2 \ll \frac{z''}{z}$$.

转折点turning point满足$$k^2 = \frac{z''}{z}$$,它出现在区域II,这是解方程的难点.比如WKB方法就是在(WKB近似本身失效的)区域II将势场线性化后的解析解来连接区域I和III中的WKB形式的近似解.

(10)

如果$$\mathcal{C(\eta)}$$是常数,那么这个方程的通解就是(在QNM中)熟悉的贝塞尔函数.本文要讨论的是$$\mathcal{C(\eta)}$$为缓变函数时的近似方法,而非严格解.

(11)

文中在三种极限情况下讨论方程的解.在$$k^2$$很小或者很大情况下,方程的解就是(6-7)的形式.另外一个极限情况就是方程在转折点附近的解.

因为按分割(11)的原则,零点被包含在$$g(\eta)$$中.所以,在$$g(\eta)$$的零点$$\bar{\eta}$$附近,$$q(\eta)$$近似为常数,故函数展开为关于$$\eta$$的线性函数,其通解同样已知,为Airy函数.

而另一方面,在极点附近,即$$\eta\to 0^-$$时,方程的解可以通过刘维尔格林Liouville-Green近似获得.文中指出,本质上LG近似与WKB近似等价.

而本文采用的统一近似Uniform Approximation方法,得到的一个统一形式的近似解(22).本质上,它在转折点附近获得,并在极点($$k^2$$很小)区域与自由震荡区域($$k^2$$很大)与上述渐进解一致.

对于获得(22)的关键步骤,是把方程通过变换(17)写为(18)的形式,并且把(18)式右边方括号内的第二项可视为小量.故最低阶的解由第一项决定,即为Airy函数.接着,通过类似逐级展开的方式,得到各阶的解的形式,最后的结果为(22).对于(18)式右边方括号内两项大小的比较,参见之后(17-21)的笔记.

(12-15)

这里是讨论把具体形式$$-k^2+\frac{\mathcal{C}^2(\eta)}{\eta^2}$$分解为(11)等式右边方括号中的形式,即(15).

我们接受(12)附近给出的结论,即(12)第二行等式右边的第一个系数为$$g_0=-\frac14$$.同时,对此具体形式极点处于$$\eta=0^-$$,故(12)等式右边$$a_2=0$$.

这样(12)中第二行$$q(\eta)$$展开项必然可以写为$$\frac{1}{\eta^2}\sum\left(-\frac14+g_1\eta+g_2\eta^2+\cdots\right)$$.但是因为$$q(\eta)$$不再含有其他零点,故只能有$$g_1=g_2=\cdots 0$$.把剩余部分归入$$g(\eta)$$,即得(13-14)或(15),比较(11),取了$$b^2=1$$.

(17-21)

首先,(18)的推导很容易直接验证,这里涉及的变换称为刘维尔变换.这与朱涛arXiv:1308.5708v2一文(2.3-2.6)引入的变换完全等价.

其次,(20-21)就是(17)的形式解.这可以直接通过对(20)两边对$$\eta$$求导验证.积分从被积函数的零点$$\eta=\bar{\eta}$$(即之前讨论中的转折点)出发,(20)与(21)的差别仅来自零点两侧的符号差别.

最后我们用一个比较粗糙但是直观的办法来验证(18)式右侧方括号内的第二项的确比第一项小,故文中的展开是成立的.首先我们讨论在变换(17)后,极点的位置的相应变换,在$$\eta\to 0$$时,$$\frac{d\xi}{d\eta},g(\eta)$$显然是发散的,而$$\xi$$其实也是发散的.考虑$$g(\eta)\sim \eta^{-n}$$,由(20),我们有$$\xi\sim \eta^{\frac{2-n}{3}}$$.(18)等式右边第二项即(19).在此极限下,(19)式右边的第三项趋于零.我们接着讨论(19)式右边第一项的发散情况.按上述讨论,$$g(\eta)g''(\eta)\sim \eta^{-n-n-2}=\eta^{-2(n+1)}$$,$${g'}^2(\eta)\sim \eta^{2(-n-1)}=\eta^{-2(n+1)}$$,而分母$$g^3(\eta)\sim \eta^{-3n}$$.因此,第一项趋于$$\sim\eta^{\frac23(n-2}$$,在$$n\ge 2$$时这个因子趋于零.最后,(19)式右边第二项趋于$$\sim -\frac{\xi}{4\nu_S^2}$$,与(18)式等式右边方括号内第一项同阶.(这似乎就没救了,然)而朱涛指出,实际上$$\nu_S^2=\frac94$$,故在实际计算中,它比第一项小很多,可以作为小量处理.

(27-28)

不难发现,这就是直接利用(22)的结论,考虑最低阶结果$$n=0$$得到的表达式.其中$$f_{>,<}$$就是(20-21)中的$$\xi$$.

(36-38)

这里通过短波极限$$k\to \infty$$下的渐进行为来确定通解(36)中的待定展开系数,即特解的积分常数,$$AB$$.

按Fig.1,这同时对应$$\eta\to -\infty$$极限下的结果.

在决定了解的形式后,我们把解在物理上感兴趣的区域,即$$\eta\to 0^-$$.

(43)

将具体形式(30)代入(43)容易看到后者的确具有WKB解的形式.但是由(20-21),我们知道(mediawiki不认识gtrless)$$f_{>,<}=\xi=\mp\left(\pm\frac32\int \sqrt{\mp g(\eta)}d\eta\right)^{\frac23}$$,比较arXiv:1308.5708v2一文的(2.7)的假设以及之后得到的(2.10-11), 不明白 如何得到这个结果.

本文档除了包括推导, 疑惑 外,做 读书重点 的记录 $$$$

Inflationary cosmology with nonlinear dispersion relations, arXiv:1308.5708v2, by Tao Zhu, Anzhong Wang et al
本文提出利用uniform asymptotic approximation方法计算功率谱

本文档除了包括推导, 疑惑 外,做 读书重点 的记录 $$$$