Lecture Notes of General Relativity by Robert M. Ward

Lecture Notes on General Relativity by Robert M. Ward

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Ch.1 Introduction
P.5 Fig1.1 Fig.12 这个两个图例说明,从经典力学的过去将来的划分的图像,到狭义相对论发生改变.同时面变化为四维时空的类空部分,过去和将来对应四维时空中两个分离的类时部分,而过去和将来的边界是两个光锥.

P.7 (1.3.1) 广义相对论的两个基本原理,等效原理和马赫原理. 等效原理在牛顿力学中可以表达为惯性质量等于引力质量.在爱因斯坦的理想电梯实验中,表达为在自由落体的电梯内与太空中远离一切的电梯内一切物理现象(如失重的感觉)的不可区分性.本书中提法为引力的万有性和效果的等同性.从而诱导把引力理解为背景时空弯曲的属性,而非一种作用在具体客体上的力. 马赫原理指某物体的惯性运动与周围其他物体的相对运动的联系,具体在广义相对论中体现为周围其他客体对通过能动张量对空间曲率的具体影响.书中指出,广义相对论借鉴了一部分马赫原理的意义,但是并非原本照搬其哲学上的讨论,如从纯粹运动学的角度论断,如不参考与其他客体的相对运动,就事论事讨论某物体的惯性运动没有意义.在此意义上,哲学上的惯性运动不是建立在物理学中的相互作用的基础上的,不是建立在观测和实验的基础上的,所以我们甚至并不知道在哲学上惯性运动是如何严格定义的.

Ch.2 Manifolds and tensor fields
P.12 流形的定义 书中P.12先给出定义的必要性,在给出定义后,指出数学上的图 $$\psi$$ 在物理上对应坐标系统,接着在P.13给出一个很好的两维球面 $$S^2$$ 的例子.文中指数,两维球面虽然是流形,但是我们不需要在数学上引入流形的概率来研究它,理由是我们可以利用三维平直空间来讨论两维球面上的数学问题.但是实际上,我们在广义相对论中需要处理的问题无法通过类似的方法通过在更高维度的平直空间中来讨论和解决问题,从而,我们必须在数学上引入一个新的对象,流形.

P.16 (2.2.8) 矢量的物理意义.从流行到实数的映射,几何意义是局域的定义在 $${\mathbb{R}}^n$$ 空间上的函数.对于确定的函数,我们可以形象的想象对空间任何一点可以找到函数下降最快方向上的变化率,对应的方向就是函数的梯度方向,或者切矢量,一个狭义相对论中的具体例子可以参见A First Course in General Relativity P.67 (3.14)by Bernard F. Schutz.显然,函数不同切矢量方向不同,但是求取切矢量方向的规则是确定的.数学上,这相当于研究一个,从所有映射的集合 $$\mathfrak{F}:M\to \mathbb{R}$$ 到实数的映射,即 $$v:{\mathfrak F} \to {\mathbb R}$$.实际上, $$v$$ 并不一定需要是函数下降最快方向上的变化率,它可以是函数在固定 $$45^{\circ}$$ 方向上的变化率,它可以是任何到实数的映射规则,所以数学上的定义更具有一般性.

这里 v 被定义为任何一个满足(类似导数)线性和莱布尼兹法则的映射,它把任何定义域在流形子集上的实函数 $$f$$ 的集合 $${\mathfrak F}$$ 映射为实数. 我们知道,具体函数 $$f $$在切矢量方向上变化率 $$v$$ 由两个因素决定,函数在每个独立坐标方向上的变化,以及切矢量在每个独立坐标分量方向上的大小.从证明的结果看到,求和的每一项是两个因子的乘积.第一个因子 $$v^{\mu}$$ 对应 $$v$$ 在坐标分量 $$\mu$$ 上的分量值,与 $$v$$ 具体映射规则有关,比如函数下降最快的方向,正如数学上的定义, $$v$$ 实际上与函数 $$f$$ 的具体形式无关.而第二个因子(2.2.1) $$X_{\mu}$$ 是函数在坐标分量 $$\mu$$ 上的导数,对应切矢量的基,它与具体函数形式 $$f $$有关,与所选择的坐标系统 $$\psi$$ 有关,但是与映射规则 $$v$$ 无关. 可以考虑书中给出的简单例子,一个定义在一个平直空间上笛卡尔坐标系中的函数 $$f $$.这个函数在$$ v$$ 方向上的导数为 $$\sum_{\mu}v^{\mu}\frac{\partial f}{\partial x^{\mu}}$$.这个表达式中对应项可进行比较.当具体函数形式$$ f $$在直角坐标系中被决定后,基的形式就决定了,任何 $$v$$ 方向上的函数变化都可以用这组基线性展开,基的维度由坐标系的维度决定.

书中给出的证明在形式上虽然复杂,但是实际上,证明的中心思想是流形任何元素必然属于某一个流形子集,且存在定义域为这个子集且维度等于流形维度的实函数 $$f: {\mathbb R}^n\to{\mathbb R}$$ .利用这一点,和关于实函数高等数学的定理,类比定义域在平直空间的实函数的切矢量的定义,从而构造出证明的基本思路.

在切矢量的定义中,我们考虑确定的 $$v$$ 和流形元素 $$p$$ ,它对应由不同的函数 $$f$$ 构成的集合到实数集合的的映射规则.切矢量空间 $$V_p$$ 的定义是进一步的推广.它考虑确定的流形元素 $$p$$ 和所有 $$f $$的集合的不同的 $$v$$ 构成的集合.比如,我们说平直空间的任何形状的两维曲面的切向量的维度是二维的,其中任何两维曲面的形状由 $$f $$的具体形式决定,所以包含了所有 $$f$$ 构成的集合.具体的疑问,在任何时候,我们总是可以通过平直空间直角坐标的简单例子来类比.

P.19 (2.3.1) $$V^*$$ 中的一个元素,是从 V 空间到实数空间的一个映射, $$V^*$$ 是所有这样的映射的集合.按定义,映射是线性的,这里指被映射对象的线性组合,即 $$V$$ 空间元素的线性组合导致映射到的实数发生同样的线性组合. (2.3.1)是在下述定义下展开,如果引入(定义而非假定) $$V^*$$ 空间中元素的加法和数乘即为映射规则的加法和数乘.则  $$V^*$$ 空间具有和 V 相同的维度,空间的基,即一些线性独立映射,满足(2.3.1).由于这里  $$V^*$$ 空间的基表达为 $$V$$ 空间的基的映射到的实数的特殊要求,这诱使我们以为这个式子给出了两个空间元素间对等关系的联系式 $$v_{\mu} \to v^{\mu *}$$ .其实不然,因为这个联系涉及 $$v$$ 的具体分量 $$v_{\mu}$$ ,从而取决于 $$V$$ 空间的基的具体取法,坐标变换会改变之前给定的对等关系,从而依赖于坐标变换.具体的,因为 $$v_{\mu} \equiv X{\mu} =\frac{\partial (f\psi^{-1})}{\partial x^{\mu}}$$ 注意到 $$v_{\mu}$$ 不是分量而是基,由(2.2.9)在坐标变换 $$x^{\mu} \to x'^{\mu}$$ 下,新的基为


 * $$\begin{align}

v'_{\mu}=\frac{\partial x^{\nu}}{\partial x'^{\mu}}v_{\nu} \end{align}$$

按(2.3.1), $$V^*$$ 空间中的可以通过基的线性组合得到一组新的基满足 $$v'^{\mu*}(v'_{\nu})=\delta^{\mu}_{\nu}$$ 按定义


 * $$\begin{align}

{\Lambda^{\mu}}_{\sigma} v^{\sigma*}(\frac{\partial x^{\omega}}{\partial x'^{\nu}}v_{\omega})=\delta^{\mu}_{\nu} \end{align}$$

其中 $${\Lambda^{\mu}}_{\sigma}$$ 为适当的线性组合,由映射的线性性质,


 * $$\begin{align}

{\Lambda^{\mu}}_{\sigma} \frac{\partial x^{\omega}}{\partial x'^{\nu}}v^{\sigma*}(v_{\omega})={\Lambda^{\mu}}_{\sigma} \frac{\partial x^{\omega}}{\partial x'^{\nu}}\delta^{\sigma}_{\omega} ={\Lambda^{\mu}}_{\sigma} \frac{\partial x^{\sigma}}{\partial x'^{\nu}}=\delta^{\mu}_{\nu} {\Lambda^{\mu}}_{\sigma} =\frac{\partial x'^{\mu}}{\partial x^{\sigma}} \end{align}$$ 从而


 * $$\begin{align}

v'^{\mu*} =\frac{\partial x'^{\mu}}{\partial x^{\sigma}}v^{\sigma*} \end{align}$$

特别注意(2.3.6-7)是关于协变逆变张量分量的变换,这里使用类似的符号,是关于关系基的变换,本书中这里使用相同的符号代表基或者矢量分量,需要特别注意,虽然(2.3.7)的证明方式与这里非常类似.从上面导出的公式可见,在坐标变换下 $$\frac{\partial x^{\nu}}{\partial x'^{\mu}}v_{\nu}\to \frac{\partial x'^{\mu}}{\partial x^{\sigma}}v^{\sigma*}$$ ,这与 $$v_{\mu}\to v^{\mu *}$$ 并不呈线性关系,故虽然同构,但是一一映射关系取决于坐标变换.这两个同构空间的一一映射任意性可以通过一个人为的定义来确定下来,度规 $$g_{\mu\nu}$$ 可以视为从 $$V \to V^*$$ 的映射,从而可以视为联系协变坐标和逆变坐标的映射.这是一个约定.实际上,协变坐标,逆变坐标和度规都随着坐标系的变化而改变.一个平直空间的例子如下,从笛卡尔坐标到球坐标的变换, $$x^{\mu} \{x,y,z\} \to x'^{\mu} \{r, \theta, \phi \}$$ ,在笛卡尔坐标系中度规为


 * $$\begin{align}

\left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right) \end{align}$$ 球坐标中为


 * $$\begin{align}

\left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0\\ 0 & r^2\sin^2\theta & 0\\ 0 & 0 & r^2 \end{array}\right) \end{align}$$ 对应 $$ds^2=dr^2+r^2\sin^2\theta d\theta^2+r^2d\phi $$.考虑 $$d\theta=\frac{d\theta}{dx^{\mu}}dx^{\mu} $$,在迪克而坐标中到协变矢量的映射为 $$d\theta \to d\theta $$,在球坐标中到协变矢量的映射为 $$d\theta \to r^2\sin^2\theta d\theta $$.

如果我们进一步定义 $$V^{**}$$ 中的一个元素,是从  $$V^*$$ 空间到实数空间的一个映射.类似的,我们定义  $$V^{**}$$ 空间的基满足 $${v_{\mu}}^{**}(v^{\nu *})=\delta^{\mu}_{\nu}$$ .并且类似的进一步构造对应关系 $$v_{\mu} \to v^{\mu *} \to {v_{\mu }}^{**}$$ .通过类似的推演不难发现,在坐标变换下,我们有 $$\frac{\partial x^{\nu}}{\partial x'^{\mu}}v_{\nu}\to \frac{\partial x'^{\mu}}{\partial x^{\sigma}}v^{\sigma*}\to\frac{\partial x^{\nu}}{\partial x'^{\mu}}{v_{\nu}}^{**}$$ .从而,跳过  $$V^*$$ 空间的一一对应关系 $$\frac{\partial x^{\nu}}{\partial x'^{\mu}}v_{\nu}\to\frac{\partial x^{\nu}}{\partial x'^{\mu}}{v_{\nu}}^{**}$$ 即 $$v_{\mu} \to {v_{\mu}}^{**}$$ 并不随着坐标变换而改变.这部分讨论可以参见A First Course in General Relativity P.65 (3.12)by Bernard F. Schutz附近的讨论.对于这一结论,书上给出了一个不涉及坐标变换的证明如下.

$$V^{**}$$ 中的一个元素,是从 $$V^*$$ 空间到实数空间的一个映射,  $$V^{**}$$ 是所有这样的映射的集合.书中指出,如果我们考虑一个  $$V^{**}$$ 空间中元素与 V 空间中元素(任一元素比如 $$v$$ )的一一对等关系如下.一个  $$V^{**}$$ 空间中元素由一个对  $$V^*$$ 空间所有元素的映射法则决定,这个映射法则取为,对  $$V^*$$ 空间任意元素 $$\omega^*$$ ,映射到实数$$ \omega^*(v)$$ ,即这个实数正是映射关系 $$\omega^*$$ 把 $$v$$ 投射到的特定实数.上面通过 $$v$$ 和  $$V^*$$ 构造出了一个特定的映射关系,按定义,它是  $$V^{**}$$ 的元素.而反过来,任何一个  $$V^{**}$$ 空间的元素,必可找到对应的 $$v$$ ,因为  $$V^{**}$$ 空间并不大于  $$V^*$$ 空间.从而的确是一一对应关系.重要的是,上面构造的这个一一对应关系并不随着 $$V$$ 的坐标变换而改变.理由是,上面的构造与具体坐标系无关.如果利用空间的线性性质,其实我们只需要具体的构造一个从基到基的映射,我们看到从基到基的映射 $$v_{\mu} \to v^{\mu *} \to {v_{\mu}}^{**}$$ 正是一个满足上面条件的映射.

P.20 (2.3.2) 由于张量空间到实数集合的映射关系是线性的,我们只需要讨论张量基的函数值.按上面推知的 $$V$$ 和 $$V^*$$ 空间中的基随着坐标变换的变换关系知,缩编的定义不受特定坐标系的影响相当于矩阵的迹不受相似变换影响.