Key Notes on Finite Temperature Nuclear Matter and Thermal Field Theory

Key Notes on Finite Temperature Nuclear Matter and Thermal Field Theory

参考文献

 * Subatomic nuclear physics by S. Yin

利用平均场近似得到系统的巨势

 * $$\begin{align}

&\Omega(\beta,\mu_i,V)=-\frac{\ln \Xi}{\beta} \\ &\Xi=\langle e^{-\beta(\hat{H}-\sum_i\mu_i\hat{N}_i}\rangle=\sum_n e^{-\beta(E_n-\sum_i\mu_iN_{i,n})} \end{align}$$ 利用马休定理,可以得到任何其他热力学函数


 * $$\begin{align}

&p=-\left(\frac{\partial \Omega}{\partial V}\right)_{T,\mu_i} \\ &S=-\left(\frac{\partial \Omega}{\partial T}\right)_{V,\mu_i} \\ &\bar{N_i}=-\left(\frac{\partial \Omega}{\partial \mu_i}\right)_{T,V} \end{align}$$ 以及


 * $$\begin{align}

\Omega=U-TS-\sum_i \mu_i\bar{N_i}=-pV \end{align}$$ 平均场近似下,场的平均值可以由 $$\Omega$$ 的极值条件定出,例如


 * $$\begin{align}

\frac{\partial \Omega}{\partial \sigma}|_{\sigma=\sigma_0}=0 \end{align}$$ 而 $$\Omega$$ 关于核子部分由于平均场近似,具有以下形式


 * $$\begin{align}

\Omega=-2k_BT\left[\sum_{k,\tau}\ln\left(1+e^{-\beta(E^*(k)-\nu_{\tau})}\right)+\sum_{k,\tau}\ln\left(1+e^{-\beta(E^*(k)+\nu_{\tau})}\right) \right] +\cdots \end{align}$$ 其中系数$$2$$来源于自旋简并, $$\tau$$ 为同位旋简并即对质子和中子求和, $$E^*$$ 为有效能级, $$\nu_{\tau}$$ 为有效化学势, $$\pm$$ 对应正反粒子,其余部分 $$(+\cdots)$$ 对应于介子场贡献.利用理想气体模型箱归一化 $$\sum_k \rightarrow \int \frac{Vd^3k}{h}$$, $$E^*$$ 与体积无关,导致求和(或者积分)与体积成正比.

虚时格林函数温度场论
比较相互作用图像中的Dyson展开


 * $$\langle\psi_f,t_f|\psi_i,t_i\rangle=\sum_{n=0}^\infty (-i)^n \underbrace{\int dt_1 \cdots dt_n}_{t_f\,\ge\, t_1\,\ge\, \cdots\, \ge\, t_n\,\ge\, t_i}\, \langle\psi_f,t_f|e^{-iH_0(t_f-t_1)}Ve^{-iH_0(t_1-t_2)}\cdots Ve^{-iH_0(t_n-t_i)}|\psi_i,t_i\rangle$$

路径积分的生成泛函的形式为(取 $$\hbar =1$$ )


 * $$\begin{align}

&\langle x_f,t_f|x_i,t_i\rangle \\ &=\lim_{N\rightarrow\infty}\left(\prod_{i=1}^{N-1}\int_{-\infty}^{+\infty}dx_i\right)\left(\prod_{i=1}^{N}\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{dp_i}{2\pi}\right)e^{-\sum_{k=1}^N[-ip_k(x_k-x_{k-1})+\epsilon H(p_k,x_k)]} \\ &=\int D[x]'D[p]e^{\int_{t_i}^{t_f}[ip\dot x- H(p,x)]dt} \end{align}$$

关于动量部分的积分可以直接积掉,形式上得到


 * $$\begin{align}

\langle x_f,t_f|x_i,t_i\rangle =\int D[x]'e^{i\int_{t_i}^{t_f}L(x,\dot x)dt}=\int D[x]'e^{iA[x]} \end{align}$$

温度场论关于密度矩阵的生产泛函的形式为


 * $$\begin{align}

&Z=\text{tr} e^{-\beta \hat H}\\ &=\lim_{N\rightarrow\infty}\prod_{i=1}^{N}\left(\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{dx_idp_i}{2\pi}\right)e^{-\sum_{k=1}^N[-ip_k(x_k-x_{k-1})+\epsilon H(p_k,x_k)]} \\ &=\int D[x]D[p]e^{-\int_0^{\beta}[-ip\dot x+ H(p,x)]d\tau} \end{align}$$

区别是这里首尾态相同(从而导致Matsubara频率),并且对首尾进行积分. 对动量部分的积分可以类似路径积分的明显的积掉,从而得到


 * $$\begin{align}

&\langle x'|e^{-\beta \hat H}|x \rangle=\int D[x]'e^{A_E[x',x]} \\ &Z=\int dx \langle x|e^{-\beta \hat H}|x\rangle=\int D[x]e^{A_E[x]} \end{align}$$

进而引入源,定义格林函数.