Research Paper Notes on Gravitational Collapse

Research Paper Notes on Gravitational Collapse

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文献列表

 * Lecture Notes on Turbulent Instability of Anti-de Sitter Spacetime, by Maciej Maliborski, Andrzej Rostworowski, arXiv:1308.1235
 * Weakly turbulent instability of anti-de Sitter space, by Piotr Bizoń, Andrzej Rostworowski, arXiv:1104.3702
 * Late-time behavior of stellar collapse and explosions II. Nonlinear evolution, by Carsten Gundlach, Richard H. Price and Jorge Pullin, arXiv:gr-qc/9307010
 * Choptuik scaling in null coordinates, by David Garfinkle, arXiv:gr-qc/9412008
 * Critical Behaviour and Universality in Gravitational Collapse of a Charged Scalar Field, by Shahar Hod and Tsvi Piran, arXiv:gr-qc/9606093
 * Multiple critical gravitational collapse of charged scalar with reflecting wall, by Rong-Gen Cai1 and Run-Qiu Yang, arXiv:1602.00112

Lecture Notes on Turbulent Instability of Anti-de Sitter Spacetime, by Maciej Maliborski, Andrzej Rostworowski, arXiv:1308.1235
P.5 (1)-(3)

All the 3 points are also demonstrated in the nb code:

(1) The code need to calculate the derivative at the boudary (as well as for inner points) using interpolation method, here the symmetry of the function is made use of, since the information on symmetry can be obtained from expansion.

(2) To obtain the value of a function at the boundary point, one uses the Taylor expansion with the consideration of the above symmetry. Therefore, the value is expressed in terms of several points inside the boundary.

(3) Use l'Hospital rule to calculate the r.h.s. of the equation.

Weakly turbulent instability of anti-de Sitter space, by Piotr Bizoń, Andrzej Rostworowski, arXiv:1104.3702
Eq.(4-8)

See mathematica nb file for derivation. For the completeness of the equations, see Kai's nb file.

Eq.(11)

When discussing the orthogonality of the eigen functions, the integral have weigh $$tan^2x$$. This is obtained by taking $$t=const$$ and evaluate the surface area of the rest of the coordinates, the Jacobian determinant. Considering only up to the first order quantities, it gives $$tan^2x$$.

The same set of basis is also used when considering higher order equations to show that instability in higher order case.

Late-time behavior of stellar collapse and explosions II. Nonlinear evolution, by Carsten Gundlach, Richard H. Price and Jorge Pullin, arXiv:gr-qc/9307010
Eq.(1)

这是第一篇利用$$(u,v)$$坐标来计算引力塌缩的文章.其中相关的公式推导参见手稿的链接https://goo.gl/photos/msTtpu6pRwbGc2Zm7以及对应的mathematica nb文件.

这里我们简单讨论一下独立方程的数目.因为度规Eq.(2)中含两个独立的函数.所以,如果度规的形式是自洽的,相当于通过假设某种对称性来减少变量的数目,那么爱因斯坦场方程的所有分量应该含有两个独立的方程.实标量场含有一个未知函数,对应一个方程.复标量场则含有两个变量两个方程.在球对称下电磁场对应的电磁张量仅含一个分量,从而对应的麦克斯韦方程仅有一个独立方程.

Eq.(4) characteristic方法.

方程(4)的解用characteristic方法找到,即解的形式为$$\psi(u,r(u))$$,满足Eq.(8).直观上,这对应浮动点$$\psi$$的时间$$u$$演化满足Eq.(4)的右边,而浮动点$$r$$的坐标满足速度Eq.(8).这样,如文中所述,即便开始时刻格点的$$r$$是均匀分布的,随着时间,由于Eq.(8)会不在均匀分布.数学上,这其实与$$(u,v)$$坐标完全等价,满足浮动速度规律的点,就是$$v$$固定的点,因为按定义,Eq.(4)左边就可以看成固定$$v$$时对$$u$$的偏导.

Fig.1 Penrose图(共形图)

首先由于共形变换是局域保角变换,光测地线为两个45度方向.而$$r$$为常数的线(除了$$r=0$$外)不是直线.无穷远通过标度变换转化为有限点$$i_0$$对应的类空无限远(现在时刻无限远),$$i_-$$对应的类空无限远(无限过去),和$$i_+$$类空无限远(无限将来).后者没有画出来用$$r=0$$的波浪线代替.注意到$$i_-$$浓缩了所有的空间坐标$$r$$的取值.而scri+与scri-对应无限内行与外行类光无限远.因为黑洞表面是类光的,所以视界表面(图上一个事件点对应一个球面)的演化$$H_+$$是45度角的,值得注意到在最后即便视界半径已经稳定不再随着时间演化,视界的世界线在图中仍然沿着45度方向,与临界半径$$r$$的世界线趋于一致.

图上的网格对应了"双零"$$(u,v)$$坐标.三条曲线都是$$r$$为常数曲线,分布对应小于,等于和大于视界半径的情况.前者会穿越视界,而在临界情况下,表现出黑洞视界最终会趋近于临界质量的两倍.

Eq.(9)

这是一个由实践得到的满足稳定性的时间间隔$$u$$的选取方法.即间隔导致的最大坐标漂移最小值小于任何条件格点的相邻坐标差的最大值.这个方案被后续文章所使用.

Fig.2 等时u演化

按图1和图2,在某有限时刻$$u=u_h$$黑洞视界$$r=0$$处开始出现.所以此时出现视界的条件导致的发散使得$$u$$的曲线间隔(在$$r=0$$点而非$$\infty$$点)为无限密集.这是因为用Eq.(9)的右边来取代左边,代入Eq.(8),在$$\bar{g}$$趋于无穷时时间步长$$\Delta u$$趋于零.

解决问题的做法是如果一个格点(测地线,其半径随着时间浮动)在某时刻穿越视界,那么就在穿越后舍弃它.注意随着黑洞演化视界未必为零.

这个方案被后续文章所采用.

Choptuik scaling in null coordinates, by David Garfinkle, arXiv:gr-qc/9412008
Eq.(10-14)

第一个改善精度的做法.这里讨论的是在$$r$$很小时,由于$$1/r$$因子在空间积分中造成的误差.这里通过展开在对被积函数在边界附近进行估值.

第二个改善精度的做法.格点精度优化问题.这里从一个直观的观点来讨论问题.考虑一根光线正好击中在黑洞开始在$$r=0$$形成的事件,这个事件点是个奇点.注意到因为它是类光的,所以它是在坐标空间中所有能够在因果上影响到$$r=0$$这个奇点的事件的边界.换言之,因为其他事件影响奇点都要通过小于45度的世界线来实现,所以因果上能够影响到奇点的世界都在上述$$v$$固定的类光曲线的左侧.换言之,如果仅仅考虑到黑洞形成的瞬间,那么数值计算只需要考虑$$r=0$$轴,初始$$u$$常数曲面和这根测地线所包夹的区域即可.在计算中,随着越来越接近这个奇点,这个区域越小,所以在不改变格点总数的情况下,可以用更高的精度(更小的格点间距和时间步长)来计算.

Critical Behaviour and Universality in Gravitational Collapse of a Charged Scalar Field, by Shahar Hod and Tsvi Piran, arXiv:gr-qc/9606093
Eq.(2-17)

这篇文章是以$$(u,r)$$坐标来推导运动方程和建立网格的.

相关的公式推导参见手稿的链接https://goo.gl/photos/msTtpu6pRwbGc2Zm7以及对应的mathematica nb文件.

Multiple critical gravitational collapse of charged scalar with reflecting wall, by Rong-Gen Cai1 and Run-Qiu Yang, arXiv:1602.00112
Eq.(3-13)

这篇文章是以$$(u,v)$$坐标来推导运动方程和建立网格的.除了标量,比如电荷,形式不变外,由于两个坐标系之间的变化关系和所考虑解的对称性的特殊形式,电四势的协变形式只有第一个分量,且在两个坐标系中相同;固定$$u$$对$$r$$的积分和相应的对$$v$$的积分完全等价.所以最后在两个坐标系中的运动方程的形式非常类似.

相关的公式推导参见手稿的链接https://goo.gl/photos/msTtpu6pRwbGc2Zm7以及对应的mathematica nb文件.arXiv的第一个版本中不少公式有打错的地方,在前面的手稿中给出修正.

Fig.2

图中清楚的表现出入射到$$r=0$$的信号会沿着$$u$$轴瞬时反射到$$r=R$$的边界上.

首先 可以证明 ,这里给出的度规中的$$(u,v)$$坐标是类光坐标.这是因为曲线$$x^\mu(\lambda)=x^\mu(u)=(u,0,0,0)$$和曲线$$x^\mu(\lambda)=x^\mu(v)=(0,v,0,0)$$是光测地线,满足两个性质.第一,易证,他们的切线矢量$$V^\mu \equiv dx^\mu/d\lambda$$是类光的.第二,直接证明,切线矢量满足测地线方程 $$V^\mu (V^\nu)_{;\mu}=\kappa V^\nu$$ 注意到因为$$\kappa$$不为零,$$\lambda$$并非仿射参数(affine parameter).

实际上沿着坐标轴,也就是上述曲线$$\theta,\phi$$不变,而$$r,t$$变化.故而$$u$$轴和$$v$$轴分别对应沿着径向的内向和外向的光测地线.所以场方程对初态微扰的解的最快传播,即光信号的传播先是沿着$$v$$轴各项同性的向内塌缩和传播,到达原点后,如果不形成黑洞,就会各项同性的向外反弹,这时最快的信号以光速沿着径向传播,即沿着$$u$$轴传播.这就是文中,包括之前其他文献,给出的传播图景.注意到这个图景和具体的边界条件基本上是无关的.

Eq.(25-29)

这里不清楚曲线的具体定义导致光测地线Eq.(26)中的$$\kappa$$满足Eq.(27).

这里 不清楚 Expansion of geodesic congruence的定义和物理上它和形成黑洞的奇性条件的联系.