Lecture Notes of College Mathematics Zen-Fu Qing

Lecture Notes of College Mathematics by Zen-Fu Qing

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Ch.6 不定积分
几个典型的积分


 * $$\begin{align}

\int \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}=\sin^{-1}(x)+C \end{align}$$ 做换元 $$x=\sin(\theta)$$


 * $$\begin{align}

\int \frac{dx}{\sqrt{1+x^2}}=\sinh^{-1}(x)+C \end{align}$$ 第二个积分可以通过做换元 $$x=\sinh(\theta)$$ 得到或者利用第一个积分的结论,在第二式中令 $$y=ix$$ ,从而


 * $$\begin{align}

\int \frac{dx}{\sqrt{1+x^2}}=\int \frac{-id(ix)}{\sqrt{1-(ix)^2}}=-i\sin^{-1}(ix)+C \end{align}$$

可以证明,两者是一致的,因为


 * $$\begin{align}

&\sin^{-1}(ix)=iy \\ &ix=\sin(iy)=(e^{i(iy)}-e^{-i(iy)})/2i=(e^{-y}-e^{y})/2i=i\sinh(y) \\ &x=\sinh(y) \\ &\sinh^{-1}(x)=y=-i\sin^{-1}(ix) \end{align}$$

利用这种联系,可以方便的导出类似下面的积分结果


 * $$\begin{align}

\int \frac{dx}{\sqrt{ax^2+bx+c}}= \frac{1}{\sqrt{a}}\,\sinh^{-1}\frac{2ax+b}{\sqrt{4ac-b^2}} (\text{for }a>0, 4ac-b^2>0 ) \end{align}$$